Аналитический расчет осцилляций поверхностно заряженных капель и тающих градин в рамках теории пограничного слоя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Паранин Александр Романович

АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ОСЦШШЩИЙ ПОВЕРХНОСТНО ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ И ТАЮЩИХ ГРАДИН В РАМКАХ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

01.02.05 - Механика жидкости газа и плазмы.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-ЗНОЯ 2011

Пермь 2011

4858871

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования физических процессов Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова

Ширяева Светлана Олеговна доктор физико-математических наук, профессор

Братухин Юрий Клавдиевич доктор физико-математических наук, профессор

Гращенков Сергей Иванович кандидат физико-математических наук, доцент

Ярославский государственный технический университет.

Защита диссертации состоится 15 ноября 2011 года в 17ш часов на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 при ФГБОУ ВПО Шермскцв.гос^аарст-венный национальный исследовательский университет» по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета ПГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия автореферата доступна на сайте ПГНИУ по адресу: http://www.psu.ru

Автореферат разослан « » октября 2011г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

В.Г.Гилёв

Общая характеристика работы

Актуальность темы. С проблемой неустойчивости капли по отношению к собственному и индуцированному зарядам тесно связаны вопросы электроаэрозольных технологий, задачи очисти! жидких металлов от шлаков и окислов, различные геофизические вопросы, касающиеся атмосферного (грозового) электричества, задачи, возникающие при разработке электрокаплеструйных печатающих устройств, аппаратов для распыливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов, жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей.

Цель работы заключалась в решении задачи об аналитическом расчете поля скоростей в таких физических объектах, как заряженная сферическая капля в отсутствии внешнего электрического поля, твердое ядро, обводненное тонким жидким слоем (далее просто градина) и сфероидальная капля, находящиеся в однородном электростатическом поле для случая маловязкой несжимаемой жидкости в модификации теории пограничного слоя у свободной поверхности; исследование зависимости интенсивности вихревого движения и толщины пограничного слоя от основных параметров задачи (вязкость, заряд, напряженность поля, эксцентриситет).

Научная новизна проведенных исследований заключается в том, что в ней впервые в научной практике проводится аналитический расчет осцилляций в модификации теории пограничного слоя вблизи свободной поверхности для сферических объектов;

Практическая значение работы заключается в том, что результаты, полученные в ней могут быть использованы при разработке новых конструкций электрокаплеструйных печатающих устройств; аппаратов для распыливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов; жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей; устройств для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и

3

литографии, капель жидкого водорода для установок управляемого термоядерного синтеза.

На защиту выносятся:

1. Результаты аналитического расчета поля скоростей в точной постановке и в модификации теории пограничного слоя вблизи свободной поверхности для

• осциллирующей сферической заряженной капли вязкой жидкости

• сфероидальной незаряженной капле

• тонком слое вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра, находящего в однородном электростатическом поле

2. Результаты исследования зависимости вихревого движения, возникающего в выше перечисленных системах, от основных параметров задачи.

3. Результаты исследования зависимости толщины пограничного слоя, формирующего под осциллирующей свободной поверхностью, для вышеперечисленных случаев, от основных параметров задачи.

4. Оценки для толщины пограничного слоя, при котором точное решение, выше описанных задач, наилучшим образом апроксимируется их соответствующими модельными упрощёнными решениями.

Публикации. Результаты исследований, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1-9], из них 3 статьи в научных журналах из перечня ВАК [4,5,8].

Личный вклад автора. Работы 1-3,9 выполнены и опубликованы диссертантом лично. В остальных работах обработка результатов проведены диссертантом, анализ осуществлен совместно с соавторами.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на: Всероссийской конф. молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь,2008); VIII Международной конференции «Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере»

(Ярославль, 2009); Пятнадцатой всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово-Томск, 2009); 4-ой международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2009); Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование и наука в технических и экономических вузах» (Ярославль, 2010); шестнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010); 24-ой научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2010г).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 104 наименований. Общий объем диссертации 115 страниц, включая 30 рисунков.

Содержание работы.

Во введении сформулирована актуальность темы, цель работы, научная новизна, научная ценность и апробация работы. Представлено краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена обзору современного состояния области гидродинамики, занимающейся исследованием механизмов реализации неустойчивости капель вязких жидкостей. Приводится историческая справка о закладке основ первых представлений о пограничном слое, формирующемся на твердой поверхности, основное понятия и закономерности формирования пограничного слоя на твердой поверхности. Изложены основные представления и общий подход к решению задач об аналитическом расчете линейных осцилляции свободной поверхности вязкой жидкости в рамках теории пограничного слоя, формирующегося вблизи свободной поверхности, по которой бежит капиллярно-гравитационная волна.

Во второй главе диссертации проводится аналитический расчет капиллярных осцилляций заряженной капли вязкой жидкости в рамках теории пограничного слоя в линейном по амплитуде осцилляций приближении с последовательной оценкой относительной погрешности замены точного

решения приближенным.

Рассматривается заряженная сферическая капля радиуса Принимается, что капля совершает осцилляции вследствие создания в начальный момент времени виртуальной осесимметричной деформации равновесной сферической формы капли так, что ее форма в произвольный момент времени определяется соотношением:

где £ = £(5,г)- отклонение свободной поверхности жидкости от равновесной в поле сил тяжести формы г = Целью ставится исследовать аналитическим путем в линейном по амплитуде начальной деформации приближении временную эволюцию формы капли. Все рассмотрение проводится в сферической системе координат с началом в центре масс невозмущенной сферической капли.

Применяемый алгоритм решения следующий: сперва находится точное решение поставленной задачи, затем формулируется модельная задача и находится решение в рамках приближения теории пограничного слоя, которым впоследствии апроксимируется точное решение. Следующим этапом проводится упрощение модельной задачи на основе представлений о погранслойном движении, затем отыскание решения модельной упрощенной задачи и, наконец, как результат работы, делается подбор толщины пограничного слоя, при которой точное решение задачи апроксимируется модельным упрощенным решением наилучшим образом.

Математическая формулировка точной задачи расчета линейных осцилляций заряженной капли включает в себя уравнение неразрывности, уравнение Навье-Стокса, кинематическое граничное условие, динамическое граничное условие на касательную и нормаль к свободной поверхности, условие сохранения объема капли, условие неподвижности центра масс и начальные условия.

Решение сформулированной векторной задачи ищется в безразмерных переменных, в которых р = = методом скаляризации, так что

векторное поле скоростей представляется в виде суперпозиции: и(г,/) = + V х (V х г)^(г,0, где <р,ц/ - скалярные функции.

Искомые величины представляются в виде разложения по

полиномам Лежандра Р„(собЗ).

После подстановки проектов решений в систему основных гидродинамических уравнений, было получено дисперсионное уравнение задачи и выражения для неизвестных скалярных функций, по которым несложно определить поле скоростей жидкости.

Далее строился график распределения амплитуды ротора поля скоростей вдоль радиальной переменной г (от центра капли до её свободной

0.4 Рис.1. Распределение модуля ротора поля скоростей вдоль радиуса капли, по-02 строенное для различных моментов времени в пределах одного периода колебаний. Кривая номер 1 соответствует

00 " / = 0. 2 - / = 1/47', 5 - / = 1/27\ 4 --0.2 / = 3/47'

Из рисунка 1 видно, что вихревое

-0.4

течение, порождаемое осцилля-циями свободной поверхности, достаточно быстро затухает по мере удаления от поверхности. Этот факт даёт основание говорить о разделении всего поля скоростей на две компоненты: потенциальную, охватывающую весь объем, и приповерхностную вихревую, быстро затухающую с глубиной.

Далее, исходя из вышеназванного факта, на основании представлений о погранслойном строении реального течения маловязкой жидкости в приповерхностном ее слое, формулируется модельная задача, которой в дальнейшем аппроксимируется найденное до этого точное решение. Формулировка модельной задачи основывается на предположении, что потенциальное течение охватывает весь объем капли и обращается в ноль в центре капли, а вихревая часть течения сосредоточена только в пограничном приповерхностном пограничном

слое толщиной 6, и ротор скорости течения С! обращается в нуль на нижней границе этого слоя: = 0.

Остальные граничные условия остаются прежними, как и решаемые уравнения для отыскания неизвестных функций . Таким образом уравнения для потенциальной составляющей течения решаются во всей области 0 £ г < 1, а дня погранслойной вихревой составляющей только в узком приповерхностном слое: (1-«5)<г<1. Толщина же пограничного слоя принимается определенной с точностью до постоянного множителя С и малой по сравнению с радиусом капли 5 = О^/р/ю < 1, где ю-собственная частота осцилляций капли.

Далее, путем подстановки проекта решений модельной задачи в систему граничных условий, находится дисперсионное уравнение модельной задачи и скалярные функции <р,у. При этом следует в пределе 5 1 (другими словами пограничный слой распространяется на весь объем капли), несложно убедиться, что решения модельной задачи и её дисперсионное уравнение в пределе малой вязкости совпадают с решениями и дисперсионным уравнением точной задачи.

Следующим шагом проводится упрощение модельной'задачи в рамках теории пограничного слоя. Упрощение основывается на следующих рассуждениях: для потенциальной части движения характерный линейный масштаб, на котором -изменяются компоненты скорости, одинаков во всех направлениях ~ Яд. Для вихревой части течения характерный линейный масштаб, на котором изменяются компоненты скорости в направлении, перпендикулярном пограничному слою, равен толщине слоя 8, а вдоль слоя - определяется характерным линейным размером На основании сказанного вводятся правила оценки производных от искомых величин по пространственным координатам для основной части течения: д/дг 1/^, 1¡г-д/дЭ 1/^,/т. Для погранслой-ных величин: д/дг ->• 1/3, 1/г-д/дЗ 1//?оЯ\ Далее, пользуясь малостью толщины пограничного слоя <5 <с проводится упрощение формулировки мо-

дельной задачи, путем пренебрежения в суммах вида 3 = А + В, слагаемым В, если В/А~0(32/1$У

После упрощения граничных условий на основе сделанных выше предположений, следуя уже привычному алгоритму, проект решений вновь подставляется в систему, уже упрощенных граничных условий, откуда находится дисперсионное уравнение и поле скоростей модельной упрощенной задачи, совпадающие в пределе малой вязкости V < 1 и в пределе 5 -> 1 с решениями точной задачи.

Последний этап задачи заключается в сравнении решений точной и модельной упрощенной задач и подборе величины множителя О из формулы для толщины пограничного слоя 8 = при которой решения упрощенной

модельной задачи наилучшим образом аппроксимируют точное. Для получения количественной оценки расхождения точного и приближенного решений определяются относительные ошибки для амплитудных множителей обеих проекций поля скоростей на орты сферической системы координат ег, е8 :

о о

Рис.2-а Рис.2-6

Графики зависимости относительных погрешностей для амплитуд радиальной и угловой компонент поля скоростей точной и модельной упрощенной задач на нижней границе по-гранслоя г =1 — 6. Номер точки соответствует значению й

Из рисунков 2-а,б видно, что уже при в = 4 совпадение достаточно хорошее и ошибка не превышает порядка десятой доли процента.

С увеличением заряда капли (параметра Рэлея IV) толщина пограничного слоя медленно растет, но при приближении к критическому для реализации неустойчивости основной моды значению скорость роста толщины пограничного

слоя увеличивается и вихревое движение охватывает весь объем капли, а толщина пограничного слоя стремится к радиусу капли:

0,7 0.6 0.5 0.4 Л 0.3 0.2

___ 0.1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 V/

Рис.3 График зависимости толщины пограничного слоя от величины параметра Релея

Во третьей главе диссертации предлагается модификация теории пограничного слоя вблизи совершающей периодические движения свободной поверхности сферического слоя вязкой жидкости на твердом ядре. Для адекватного описания течения вязкой жидкости в обсуждаемой системе вводятся два пограничных слоя: один у свободной поверхности жидкости и другой у твердого дна. Получены оценки на толщины пограничных слоев, при которых в асимптотике малой вязкости различие между точным решением и решением модельной задачи может быть задано с заранее оговоренной точностью.

Пусть внутри сферической с радиусом К капли вязкой идеально проводящей несжимаемой жидкости находится твердое сферическое ядро радиуса /?о. Вся система находится в однородном внешнем электростатическом поле напряженностью Е0. Форма поверхности жидкого слоя в произвольный момент времени определяется соотношением:

.Р (г, .9,/) = г - Яд - £ (#,/) = 0; «Ло.

где £, =¿¡(3, ?) - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесной в поле сил тяжести формы г = К. Целью ставится исследовать аналитическим путем в линейном по амплитуде начальной деформации приближении временную эволюцию формы капли.

Алгоритм решения поставленной задачи аналогичен процедуре, описанной в главе 2, поэтому, минуя подробное описание схемы решения, остановимся на

тех моментах, которые заслуживают наибольшего внимания. Картина распределения вихревого движения вдоль радиальной переменной г в пределах жидкого слоя будет следующей:

Рнс.4-а

Рис.4-6

График распределения амплитуды ротора поля скоростей вдоль радиальной переменой Г для различных моментов времени. Точка г = 0.8 соответствует поверхности твердого ядра, а г = 1 - свободной поверхности. На рисунке 4-а номер моды осцимяций п = \0, рисунок 4-6 соответствует п = 18_

Из рисунков 4-а,б видно, что вихревое движение сконцентрировано в малой окрестности свободной поверхности жидкости, по которой бежит волна, и в малой окрестности твердого ядра, на котором обе компоненты поля скоростей обращаются в нуль. Указанное обстоятельство означает, что попытки использования для расчета характеристик волнового движения в вязкой жидкости теории пограничного слоя, должны учитывать наличие двух пограничных слоев - приповерхностного и «придонного».

Также, несложно видеть, что толщины приповерхностного и придонного пограничных слоев уменьшаются с увеличением номера моды, что в плоском случае соответствует уменьшению длины волны. В частности, согласно рисункам интенсивность вихревого движения в придонном слое быстро .убывает с увеличением номера моды, иными словами, с уменьшением длины волны, бегущей по поверхности жидкости, её взаимодействие с дном ослабевает.

Особенность модельного решения заключается в наличии двух пограничных слоев и, поэтому, формулировка модельной задачи основывается на предположении, что потенциальное течение охватывает весь объем капли и обраща-

ется в ноль в центре капли, а вихревая часть течения сосредоточена только в пограничном приповерхностном пограничном слое толщиной 5Х = С-Ща> и придонном толщиной 8г - Ну]2тту/ф, причем 31 < Я - Яо»и ротор скорости течения О обращается в нуль на нижней границе поверхностного и верхней границе придонного слоев. Процедура упрощения и решения модельной задачи аналогична описанной в главе 2.

На рисунках 5-а,б приведены графики значений относительной погрешности для амплитудных множителей радиальной и угловой компонент поля скоростей точной и модельной упрощенной задач (смотри глава 2-ая) для придонного пограничного слоя на его верхней границе:

Рис.5-а Рнс.5-6

Относительная погрешность расчета между амплитудами радиальных и угловых компонент поля скоростей точной и модельной упрощенной задач. Номер точки соответствует значению Н

В четвертой главе диссертации проводится асимптотическое аналитическое решение задачи об исследовании временной эволюции амплитуд капиллярных осцилляций сфероидальной во внешнем однородном электростатическом поле капли вязкой жидкости в модификации теории пограничного слоя. Решение проводится в линейном по амплитуде осцилляций £ и стационарной

деформации равновесной формы капли е2 во внешнем электрическом поле по отношению к исходной сферической форме приближении, с сохранением слагаемых, пропорциональных произведению обоих малых параметров £ • е2.

Примем, что сферическая капля радиуса Я, находящаяся в однородном электростатическом поле напряженностью Е0, совершает осесимметричные

осцилляции в окрестности равновесной сфероидальной формы вследствие создания в начальный момент времени виртуальной осесимметричной деформации. Её форма в произвольный момент времени в сферической системе координат с началом в центре масс капли определяется соотношением:

^(г А/) = г-г{Э)-4{Э,г) = 0, |тах|£ (0,/)|/д| < 1, где г (5) - функция, описывающая поверхность вытянутого сфероида. В отличие от задачи про сферическую заряженную каплю, в данной работе большее внимание уделено исследованию зависимости вихревого движения от основных параметров задачи (вязкости V, эксцентриситета капли е2, полевого параметра IV = е1 и полярного угла 5):

-0.30 -0.25 -0.20 -0,15 -0.10 -0.05 0.00

Рис.6-а

Распределение амплитуды ротора вдоль радиальной переменной г в зависимости от вязкости капли. Линия 1 соответствует вязкости V = 0.001, линия 2 - V = 0.005, линия3- V = 0.025, линия 4-У — 0.125. 2-— 1 - центр капли, г = 0 - поверхность

0.1 ог

0.00

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 г

Рис.7-а

-0.2 0.0

Рис.6-6

Распределение амплитуды ротора вдоль переменной г в зависимости от полярного

угла 3. Линия 1 3 = 2 - 5 = 30°. 3 -

19 = 60°. Диапазон построения графика

-0.3 < г < 0

Роторы поля скоростей точной и модельной упрощенной задач для различных С. Номер пары кривых соответствует значению С7

».I 0.2 0.3 0 А 0.! 0.6 0.7

Рис.7-б

Зависимость толщины пограничного слоя от степени деформации формы капли

На графиках 7-а,б приводится сравнение решений точной и модельной упрощенной задач для ротора поля скоростей при различных значениях подбираемого коэффициента б, а также исследование зависимости толщины пограничного слоя от степени деформации капли.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Показано, что для выполнения расчетов с погрешностью по отношению к точному решению, не превышающей единиц процентов, толщина пограничного слоя должна примерно в четыре-пять раз превышать толщину, на которой интенсивность вихревого движения, порождаемого свободной поверхностью капли, уменьшается в 2.714 раз (в е раз).

2. Обнаружено, что с увеличением заряда капли (параметра Рэлея IV) толщина погранслоя медленно растет, но при приближении к критическому для реализации неустойчивости основной моды значению скорость роста толщины пограничного слоя увеличивается и вихревое движение охватывает весь объем капли. С увеличением номера моды толщина погранслоя уменьшается.

3. Выяснено, что для адекватного описания течения вязкой жидкости в системе твердое ядро, обводненное тонким слоем жидкости, необходим учет двух пограничных слоев: один у свободной поверхности жидкости и другой у твердого дна.

4. Выяснено, что учёт пограничного слоя вблизи твердого дна актуален только для низких мод осцилляций. Для высоких мод движение жидкости возле твердого ядра можно считать потенциальным. В тонких слоях жидкости (для низких мод) приповерхностный и придонный пограничные слои перекрываются, а вихревое движение заполняет весь объем слоя жидкости.

5. Показано, что в расчетах в рамках теории пограничного слоя осцилляции высоких мод жидкого слоя на поверхности падающей в облаке градины, возбуждающихся за счет столкновения со взвешенными в облаке мелкими капельками, наличие внешнего электрического поля проявляется

весьма слабо.

6. Обнаружено, что глубина проникновения вихревого движения, порождаемого периодическими движениями свободной поверхности, внутрь капли увеличивается с ростом безразмерной вязкости и величины напряженности поля.

7. Обнаружено, что толщина пограничного слоя у свободной осциллирующей поверхности, сфероидальной капли в однородном электростатическом поле, растет, сперва медленно, но потом интенсивнее по мере увеличения деформации формы поверхности, которая в свою очередь напрямую зависит от величины напряженности электрического поля.

Публикации по теме диссертации

1. Паранин А.Р. Расчет волнового движения на поверхности сферического слоя вязкой жидкости вокруг твердого шара в модификации теории пограничного слоя / Паранин А.Р. // Дисперсные системы: сборник статей 24-ой научной конференции стран СНГ. - Одесса. - 2010. - С.226-228.

2. Паранин А.Р. Модификация теории пограничного слоя для твердого сферического ядра, обводненного вязкой жидкостью / Паранин А.Р. // 16-ая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-16. - Волгоград. -2010. - С.621-623.

3. Паранин А.Р. Физическая реализация неустойчивости капли в однородном электростатическом поле / Паранин А.Р. // Аналитические и численные методы моделирования естественных и социальных проблем: сборник статей международной научно-технической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний. -2009. - С. 173-176.

4. Паранин А.Р. О расчете осцилляции слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра в рамках теории пограничного слоя / Ширяева С.О., Григорьев А.И., Паранин А.Р.//Журнал технической Физики. - 2011. - Т. 81, Выпуск 2. - С.31-42.

5. Паранин А.Р. О толщине пограничного слоя, связанного с осциллирующей свободной поверхностью заряженной капли вязкой жидкости / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, А.Р. Паранин // Журнал тех-

нической Физики. -2010. -Т.80, Выпуск 10. -С.30-37.

6. Партии А. Р. Деформационные поправки к критическим условиям реализации неустойчивости заряженной капли в однородном электрическом поле / С.О. Ширяева, Д.О. Корниенко, А.Р. Паранин //Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере: Материалы 8-ой Международной конференции. - Ярославль.. -2009.-С.165-169.

7. Паранин А.Р. Нелинейный по амплитуде сфероидальной деформации анализ осцилляции электропроводной капли в однородном электростатическом поле / С.О. Ширяева, А.Р. Паранин // Волновая элекгрогидроди-намика проводящей жидкости. Долгоживущие ¡плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере: Материалы 8-ой Международной конференции. - Ярославль. -2009. -С.172-177.

8. Паранин А.Р. О структуре поля скоростей под сфероидальной свободной поверхностью осциллирующей капли вязкой жидкости в электростатическом поле / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, А.Р. Паранин //Журнал технической Физики. -2011. -Т. 81, Выпуск 9. -С.30-38.

9. Паранин А. Р. О расчете осцилляций слоя вязкой жидкости на поверхности сфероидальной капли в электростатическом поле в рамках модельной задачи теории пограничного слоя / А.Р. Паранин // Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере: Материалы 9-ой Международной конференции. -Ярославль.-2011. -С.159-164. _

Подписано в печать 29.09.2011 г. Печ. л. 1. Заказ 1030. Тираж 100. Отпечатано в типографии Ярославского государственного технического университета г. Ярославль, ул. Советская, 14 а, тел. 30-56-63.