Влияние вязкости на нелинейные осцилляции заряженных капель и пузырьков в жидкости

Жаров, Алексей Николаевич

Влияние вязкости на нелинейные осцилляции заряженных капель и пузырьков в жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Жаров, Алексей Николаевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Влияние вязкости на нелинейные осцилляции заряженных капель и пузырьков в жидкости»

Автореферат диссертации на тему "Влияние вязкости на нелинейные осцилляции заряженных капель и пузырьков в жидкости"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика.

На правах рукописи

Жаров Алексей Николаевич

Москва, 2005

Работа выполнена в Ярославском Государственном Университете

им. П.Г.Демидова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Григорьев А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян А.К.

доктор физико-математических наук, профессор Синкевич O.A.

доктор физико-математических наук, профессор Рудый A.C.

Ведущая организация: Ивановский государственный университет.

Защита диссертации состоится "<3 j>" UfO И ff 2005 года в /5" часов на заседании диссертационного Совета Д - 212.155.07 в Московском областном университете (107005, Москва, ул. Радио, д.10 а)

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат диссертации разослан "р0 " И А ff_2005 года

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук, профессор

V^V'w^--— Богданов Д.Л.

Z-&Q6 -4 ✓s'S6ff

2 762 Г* S

ВВЕДЕНИЕ

Первое строгое аналитическое исследование устойчивости заряженной капли идеальной электропроводной жидкости по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы было выполнено в XIX - веке и принадлежит Рэлею. С того момента заряженная капля стала объектом пристальных теоретических и экспериментальных исследований, спектр которых определяется значительным списком технических, технологических, геофизических и академических приложений, в которых заряженная капля играют определяющую роль.

Теоретические исследования нелинейных капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к деформации ее равновесной сферической формы, основаны на решении нелинейных уравнений электрогидродинамики, содержащих нелинейное уравнение Навье-Стокса и нелинейные граничные условия. Нелинейность задачи стала причиной того, что до настоящего момента времени, решить данную задачу в строгой постановке никому еще не удавалось. В связи с таким положением дел исторически выделились приближенные подходы к решению обсуждаемой задачи, содержащие ряд упрощающих допущений.

К простейшим решениям такой задачи следует отнести приближение идеальной жидкости, в котором векторное поле скоростей можно представить в виде градиента скалярного потенциала и отыскать точное общее решение гидродинамической части задачи. Однако форму свободной поверхности капли можно найти только из нелинейных граничных условий, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения для функции, определяющей форму поверхности капли. Решение этих уравнений связно с существенными математическими трудностями, потому для их решения обычно используют методы возмущений. Использование этих методов позволяет исследовать устойчивость капли по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы по первому приближению. Однако в этом приближении автономная система дифференциальных уравнений, описывающих капиллярные колебания капли идеальной жидкости, имеет чисто мнимые собственные числа при параметре Релея не превосходящем четырех и действительные положительные при параметре Рэлея превышающем четыре. Согласно теореме Ляпунова об исследовании устойчивости автономных систем по первому приближению можно утверждать, что при параметре Рэлея, превышающем четверку и нелинейная система будет так же неустойчивой. Однако в том случае, когда параметр Рэлея меньше четырех об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы сказать нечего нельзя. В связи с этим в конце XX века появились работы, исследующие нелинейную динамику заряженной капли идеальной жидкости. Наиболее первыми работами в этой области явились работы, выполненные Tsamopolous & Brown, в которых авторы рассмотрели решение задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости и выделили сдвиг частот, который появляется только в третьем порядке малости по величине начальной деформации капли. Как и следовало ожидать, они обнаружили уменьшение критического значения параметра Рэлея, при котором К.ЯП1ТЯ идеальной жидкости становится неустойчивой. Однако их ы для начального

возбуждения одной из мод: второй, третьей, четвертой капиллярных колебаний поверхности свободной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме.

Теоретическое исследование капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к бесконечно малым искажениям ее формы в случае учета вязкости жидкости наталкиваются на еще большие трудности математического плана, чем в случае идеальной жидкости, для преодоления которых был разработан метод скаляризации векторных краевых задач. Идея этого метода основана на известной теореме Гельмгольца о возможности разделения векторного поля на потенциальную и вихревую компоненты. Данный метод хорошо подходит к исследованию устойчивости нелинейной гидродинамической задачи о капиллярных колебания заряженной капли вязкой жидкости по первому приближению. Чисто теоретически, данный метод, дополненный методами интегральных преобразований (преобразования Лапласа, Фурье и т.д.) и методами теории возмущений, позволяет решить начальную краевую задачу о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, то есть отыскать явный вид полей скоростей, давлений, а так же образующей капли. Однако, не смотря на это, теоретических работ, в которых найдены конкретные выражения для физических величин, исследуемой задачи нет. Содержание же большинства работ, использующих метод скаляризации, ограничивается исследование дисперсионного соотношения. Исследование же нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной капли вязкой жидкости на основе метода скаляризации наталкивается на математические затруднения, которые до настоящего времени никому из исследователей преодолеть не удалось.

Цель работы состояла в исследовании влияния вязкости жидкости и величины начальной деформации заряженных капель и пузырьков в жидкости на нелинейные осцилляции их формы. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- выделение нелинейного сдвига частот при нелинейных осцилляциях заряженной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме, при начальной произвольной одномодовой деформации ее формы и определение формы ее образующей;

- выделение сдвига частот свободной заряженной капли идеальной жидкости при многомодовой начальной деформации ее формы;

- исследование влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилляций заряженной капли и на форму ее образующей;

- исследование четырехмодовых внутренних нелинейных резонансных взаимодействий мод капли идеальной жидкости;

- разработка метода решения нелинейной задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;

- исследование влияния вязкости на закономерности линейных колебаний заряженной капли;

- исследование влияния вязкости на особенности нелинейных осцилляций заряженной капли;

- изучение влияния вязкости на условия резонансного взаимодействия мод в задаче второго порядка малости по величине начальной ее деформации;

- изучение влияния движения газа внутри газового пузырька на закономерности его осцилляций в жидкости;

. * - - -

- исследование влияния вязкости на устойчивость газового пузырька в жидкости;

- исследование влияния вязкости жидкости на закономерности нелинейных осцилляций газового пузырька в ней;

- изучение закономерностей диспергирования заряженной капли и заряженного пузырька во внешнем электростатическом поле.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- разработан асимптотический метод решения задачи о нелинейных капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, основанный на теории возмущений и преобразовании Лапласа;

- впервые найдено решение задачи о нелинейных капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости во втором порядке малости по величине начальное ее деформации;

- исследовано влияние вязкости жидкости на форму образующей капли при линейных и нелинейных ее осцилляциях;

- изучено влияние вязкости жидкости на положение нелинейных трехмодовых резонансов, которые имеют место в задаче второго порядка малости по величине начального возмущения капли;

- впервые найдены поправки к частоте капиллярных колебаний заряженной капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания для случая произвольного многомодового начального искажения ее формы;

- впервые изучено влияние внешней среды на нелинейные осцилляции заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по величине много-модовой начальной деформации капли и на нелинейную поправку к частоте ее колебаний;

- исследовано влияние вязкости жидкости на устойчивость линейных и нелинейных осцилляций пузырька в жидкости.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о роли нелинейных эффектов и вязкости жидкости на эволюцию жидко-капельных систем искусственного и естественного происхождения.

На защиту выносятся

- асимптотический метод решения задачи о нелинейных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;

- асимптотический метод решения задачи о нелинейных колебаниях заряженного пузырька в вязкой жидкости;

- теоретический анализ влияния вязкости жидкости на форму образующей нелинейно осциллирующей заряженной капли;

- исследование влияния вязкости на положение внутренних нелинейных трехмодовых резонансов при осцилляциях заряженной капли;

- анализ влияния формы начальной деформации заряженной капли идеальной жидкости на нелинейные поправки к частоте капиллярных колебаний ее поверхности;

- теоретический анализ влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилляций заряженной капли идеальной жидкости;

- теоретическое исследование внутреннего нелинейного четырехмодового резонанса, между модами капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания;

- анализ влияния вязкости жидкости на устойчивость газового пузырька в жидкости.

Апробация работы: Результаты работы докладывались на: VII Четаевской научной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань. 1997); молодежной научно-практической конференции «Проблемы моделирования в естествознании» (Волжский. [1997]); I, II, III и IV Всероссийских конференциях «Математика и математическое образование» (Ярославль. [1999; 2001; 2002, 2004]); на международной конференции "Annual Conference on liquid atomizaron & spray systems" (Zurich) [2001]; 3-ей областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов "Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии" (Ярославль) [2002]; IX, X, XI Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва. [2002, 2003, 2005]); XVIII - XXI научных конференциях Стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса) [1998, 2000, 2002; 2004]; V, VI и VII-ой международных научных конференциях "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики" (С-Петербург) [1998, 2000, 2003]; Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета (Ярославль) [2003]; IX Всероссийской конференции молодых ученых "Состав атмосферы и электрические процессы" САтЭП-2005 (Борок) [2005].

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 285 страниц, содержит 73 рисунка, 10 таблиц, состоит из введения, пяти глав, приложений, заключения, и списка литературы из 312 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава представляет собой аналитический обзор ранее опубликованных работ, посвященных исследованию линейных и нелинейных осцилляций капель и пузырей в жидкости. В частности в обзоре рассмотрены: нелинейные осесиммет-ричные осцилляции капли и ее устойчивость по отношению к собственному заряду; линейная и нелинейная устойчивость заряженной капли по отношению к неосесим-метричным деформациям; нерезонансный механизм нелинейной раскачки осцилляций основной моды и ее влияние на устойчивость капли; существующие методы аналитического учета влияния вязкости на нелинейные осцилляции капель; численные анализы нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель, в том числе и с учетом влияния вязкости жидкости; экспериментальные и натурные исследования нелинейных деформаций и осцилляций капель; существующие методы регистрации микропузырьков в жидкости и возможные механизмы их стабилизации; роль заряженных микропузырьков в процессах кавитации, теплообмена и других технологических процессах; роль микропузырьков в реализации электрического

разряда в жидкостях; теоретические и экспериментальные исследования устойчивости пузырьков в жидкости.

Вторая глава лосвящена аналитическому асимптотическому исследованию нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости. Асимптотическим методом многих масштабов проанализированы нелинейные осцилляции заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде многомодо-вой начальной деформации равновесной сферической формы капли вида

те П /леП

где О - множество номеров изначально возбужденных мод осцилляций; Ът - константа, учитывающая парциальный вклад /и-ой моды в формирование начальной деформации сферической формы капли; ^ и константы, определяемые из условий постоянства объема капли и неподвижности ее центра масс. Найдены поля скоростей течения жидкости в капле, распределение электрического поля в ее окрестности, нелинейная поправка к частотам осцилляций изначально возбужденных мод и образующая формы капли, совершающей осесиметричные осцилляции. Найденное аналитическое выражение для образующей в безразмерных переменных, в которых радиус капли, коэффициент поверхностного натяжения и плотность жидкости приняты равными единице, имеет вид:

г(э,/)=1+Е^Х» • ад+е2Ек2)(0+е • <>(/))• ад;

я=2 я=О

<>(/) = к„ ■ ««(К + Ь„гг)• /); ш„ = +

Ъ - 1 ¡у , /¿(2(»-1К2+5„)

" 2*>я [*еЬ2(2*+1> 4<2и+1)

Хп- Л-1 (пЦ+) . о2(-) \ (п 1(~) + Г12<+>

_ + н-2'+><+> + н-2(-х-» 4.с1 -я + н2{+*+) +я2<""х"))]1-

¿^~^Г\Рпккп кпкп +"кпкя Ал Д ААял + " ккт +" пккп Щ'

кеО 4 )

/,«еП 1

я<2,=_ £ Уь^ = (ут/„ ± «„Ш/Лт/яМ®" ~ С®«« * ®/)2)'

= "Е^Ш^Т^^ + 2ш,»-соз(юпг))-

16(2А: + 1)СОДсоя+СО4)

& 16(2& + 1)ю4(юя - со*) 1 4,7

к—ша 4 1 (®'-К+й),+со/+,)2)

^ 4 1

g=2t,/л,/en

//«,-'(со8((<й,- а.»-со5(су))|

к.тл,а 4 I 0)^-({04+Ю,+Ют)2

я^г дг^ймуа-'о- «"(«л»,

-(да*-®/-®«)2

Коэффициенты, явный вид которых несущественен в контексте данного изложения, опущены в целях экономии места. IV- безразмерный параметр Рэлея, характеризующий устойчивость капли по отношению к собственному заряду, капля претерпевает неустойчивость при IV >4.

Наиболее интересными качественно новыми результатами, полученными в проведенном рассмотрении, являются: аналитические выражения для нелинейных поправок к частотам е2 ■ Ьп и обнаружение значительного количества внутренних

с) ф

Рис.1 Зависимости коэффициента Ъп от параметра Рэ-

лея при начальном возбуждении различ-

ных пар мод. а - начальная деформация определена 2 и 3 модами (/>2 =/¡3 =0.5); Ь - начальная деформация определена 2 и 4 модами (й2 = й4 = 0.5 ); с - начальная деформация определена 2 и 5 модами = й5 = 0.5); й -начальная деформация определена 2 и 6 модами (й2 = Й6 = 0.5 ). Номер у кривой совпадает с номером

нелинейных резонансов как вырожденных, так и вторичных комбинационных, как трехмодо-вых, так и четырехмодо-вых. Из приведенных выше выражений видно, что нелинейный сдвиг частот изначально возбужденных мод, пропорционален квадрату амплитуды начальной деформации е2, коэффициенты Ь„, определяющие поправки к частотам, могут быть как отрицательны, так и положительны, а их величины существенно зависят от спектра мод, вовлеченных в формирование поверхности капли в начальный момент времени, а также от величины собственного заряда капли (см. рис.1).

Наличие поправок к частотам приводит к изменению критических условий реализации неустойчивости т - ой моды капиллярных колебаний по отношению к собственному заряду капли. По мере увеличения заряда квадрат час-

И1НЯЧЯЛ1.НП ЯП1({УЖПРННПЙ МОЛЫ.

тоты уменьшается и при некотором критическом (для данной моды) значении обращается в нуль. Дальнейшее увеличение заряда приводит к тому, что частота становится мнимой, а это соответствует экспоненциальному нарастанию со временем амплитуды т - ой моды, т.е. реализации неустойчивости капли. Критическое условие реализации неустойчивости т - ой моды с учетом нелинейной поправки можно записать в виде:

(сот + г2ЬтУ £ ю2 + 282штЬт + С>И= 0.

Устойчивость капли как целого определяется критическими условиями реализации неустойчивости наиболее легко возбуждаемой моды, каковой является основная мода (т = 2). На рис.2 приведены зависимости от параметра № квадрата частоты основной моды с учетом полученных поправок (кривая 1) и без их учета (кривая 2). Хорошо видна тенденция к снижению критического дяя реализации неустойчивости капли значения параметра №. Так при амплитуде начального возмущения основной моды Б = 0.1 численные оценки приводят к критическому значению 1Гсг= 3.85, а при е = 0.3 -И^сг = 3.54 (напомним, что Рэле-евский предел устойчивости капли соответствует значению №сг = 4 ). Из выражений для нелинейных поправок второго и третьего порядка малости к амплитудам осцилляций несложно видеть, что они имеют резонансный вид: содержат знаменатели, обращающиеся в нуль, когда частоты резонансно взаимодействующих мод связаны друг с другом одним из соотношений:

а„±щ ±а)т= 0;

С^+СО* ±09, ±<йи=0. Среди множества реализующихся в заряженной капле внутренних нелинейных ре-зонансов наибольший интерес в связи с проблемой инициирования разряда молнии в грозовых облаках представляют такие, в которых основная мода (п=2) увеличивает свою амплитуду за счет перекачки энергии из более высоких мод при докритиче-ских в смысле устойчивости по отношению к собственному заряду значениях параметра Рэлея < 4. Согласно данным расчетов, проведенных во втором порядке малости, когда реализуются только трехмодовые резонансы, наинизшая мода, способная приобретать энергию у высоких мод за счет резонансного взаимодействия, является третьей. В расчетах третьего порядка малости, когда реализуется четырехмодо-вое взаимодействие обнаруживается и принципиальная возможность резонансной раскачки основной моды. Так если ограничиться условиями со„+сок -со, -сот = 0;

то в диапазоне номеров мод 2<п,к,1,т<30 реализуются семь резонансных четы-рехмодовых ситуаций, в которых участвует основная мода.

Рис.2. Зависимости квадрата частоты <вт основной моды т — 2 от параметра Рэлея (V: 1 - с учетом поправки б 2Ът для е = 0.3; 2 - без учета поправки.

Выражение для напряженности электростатического поля на свободной поверхности электропроводной нелинейно осциллирующей капли в расчетах третьего порядка малости определится выражением:

пе О

л=0

+ Ö 1[(3 - (/я + IX« + 2))Кктп + аьн/2]hkhm cos(<okT0)cos(co„Т0);

k,mei)

E? = (и + 1)F„(3) - 2ß<> + - (»> + IX« + cos(oitT0)F™ -

keil m=0

" + 4X* - W^h, cos(ffltr0)Mi2) + ß ¿[((A + IX* + W + 3)/2 - -

k,m,neil

- ((/ +1)/2 + £ + I)atmj; cosKr0)cos(wmr0)cos(©,r0).

m=0 *<=Q

Расчеты по этому выражению показывают, что напряженность поля собственного заряда нелинейно-осциллирующей капли существенно возрастает на полюсах капли при ее нелинейных осцилляциях (как это видно из рис.3), что может привести к зажиганию у поверхности капли коронного разряда.

Это обстоятельство представляет интерес в связи проблемой инициирования разряда молнии. Согласно существую-Е. щим представлениям разряд мол-

нии может начаться с коронного разряда в окрестности падающей в облаке обводненной градины или 12 крупной капли. Признанию такого

механизма инициирования разряда молнии препятствует то, что собственные заряды капель, регистрируемые при натурных измерениях в грозовых облаках, слишком малы для того, чтобы коронный разряд мог зажечься в окрестности невозмущенной капли. Обнаруженный

эт/4 п/2 зтг/4 в факт значительного усиления элек-

тростатического поля у вершин

Рис. 3. Зависимость напряженности электрнче- „ ____________„ ~ ,,„„„„

* _ г нелинейно-осциллирующеи капли

ского поля у поверхности капли Ь. от полярного ______ ,,„

3 * я г позволяет посмотреть на оосуж-

угла 9 при возбуждении 2 и 3 мод и 6 = 0.3, даемую проблему с новых пози-IV = 3.7, й2 = А, = 0.5,1 = 0 (1); 1(2); 3(3); 4(4). ций

Учет наличия внешней для капли диэлектрической среды с безразмерной плотностью р(е) в основном проявляется в изменении частот осцилляций, которые

примут вид: а)„=^(1 + и(1 + р^ ))-1 • (и - 1)и(и + IX« + 2 - (Р), и, как следствие, в

изменении положений и значительном увеличении количества внутренних нелинейных резонансов, а также в изменении величин нелинейных поправок к частотам.

В случае начального возбуждения нескольких мод капиллярных колебаний поверхности капли при условии отсутствия окружающей среды, величину Ьт, характеризующую нелинейный сдвиг частот капиллярных колебаний капли, можно так же представить в виде полинома по параметру Рэлея. Так, например, если изначально возбуждается вторая и третья моды капиллярных колебаний поверхности капли (когда П = {2; 3}), то величины Ьт, характеризующие поправки к частотам 2 и 3 мод, имеют вид

^ __8____ 1_ _\У,2?(2) РГ' •

2 2695 ©2 ©4 (с»2 — 4<£>з |й)4 - 4(й22 Х(й)2 -ю3)2 — Х(ш2 +юз)2 -©5)^0

ъ 20736__1__

3 11011 <й1(й2(о1®1[(й1 -4©з](о)4 -4с>з)(а)б -4(Оз)

\((й2-й>з) - (О; д(<В2 + ш3) -С03]1=о

Выражения для нелинейных поправок весьма сильно изменяются при наличии внешней среды. В этом случае они представляются двойным рядом по параметру Рэлея IV и безразмерной плотности окружающей жидкости р(е). Так, если изначально возбуждается 2 и 3 мода капиллярных колебаний поверхности капли, то величины Ът, характеризующие поправки к частотам 2 и 3 мод, можно представить в виде рядов

1944 1

539 (2 + р(Дз + 2рм)Р(4 + 3ри)5(5 + 4ри))2(б+5р(е))2 Х

11 7

Ь2=:

х з 21 2—ТТЛ—ГТТГ \Г ТТ/-й р<*>' ^''

СС>2<а4\С02-4(ВЗА®4 -4®2Л1Ш2 -сйз) "~®5А'®2+<ИЗ) -®5]<=07=0

559872

¿>з =-

1573 (2 + Р(ДЗ + 2р(е))5(4 + Зр(.,)Г(5 + 4р(г))г(б + 5р(е))2(7 + бр^)2

1 _ 1 _^

Ю2Ю3Ш4ЮI (со2 - 4со\ )(й>4 - 4©з \(оI - 4оз)

х-^—4--—Р(,)' ^ ■

((ш2 - Юз у - ©Ц(а>2 + со3) - ш52) м

Численные расчеты указывают на весьма сильную зависимость поправок к частотам от плотности окружающей жидкости. В частности как видно из рис.4 при увеличении плотности окружающей жидкости р(е) величины поправок растут (за исключением малых окрестностей возможных резонансных ситуаций).

а) Ь)

Рис.4 Зависимости коэффициента Ьп от плотности окружающей жидкости р(е) при

начальном возбуждении п - ой моды, когда W = 0 (а), W = 1 (Ь). Номер кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды.

Согласно сказанному выше наличие нелинейных поправок к частотам осцил-ляций сильно деформированных капель приводит к изменению величины критического для реализации неустойчивости капли собственного заряда параметра Рэлея. Это обстоятельство нуждается в отдельном исследовании для согласования данных теории с результатами экспериментов.

Критические условия реализации неустойчивости изолированной капли электропроводной идеальной несжимаемой жидкости по отношению к собственному заряду теоретически вывел в конце девятнадцатого века Рэлей в виде соотношения W = (£)2/4tegä3)>4, где R,Q и а - радиус капли, ее заряд и коэффициент поверхностного натяжения жидкости соответственно. В течение двадцатого века и в начале двадцать первого этот критерий неоднократно экспериментально проверялся в различного вида лабораторных установках: в вертикальном электростатическом поле между плоскими пластинами (т.е. в электростатическом подвесе, типа использованного Милликеном в экспериментах по определению заряда электрона) [Doyle, Moffet & Vonnegut, 1964]; в неоднородном периодически изменяющемся во времени электрическом поле между электродами сложной геометрии (комбинация колец, цилиндрических и сферических поверхностей) [Berg, Trainor & Vaughan, 1970]; в комбинированном электрическом подвесе с электростатическим и периодически изменяющемся электрическими полями между тремя плоскими электродами [Schweizer & Hanson, 1971], в воздушном потоке [Roulleau & Desbois, 1972]; в электродинами-

ческом подвесе на основе двух кольцевых электродов [Duft et al, 2002]. Эксперименты были проведены с каплями широкого диапазона размеров: сотни микрометров в работах [Doyle, Moffet & Vonnegut, 1964; Roulleau & Desbois, 1972], десятки микрометров в работах [Berg, Trainor & Vaughan, 1970; Schweizer & Hanson, 1971] и единицы микрометров в исследовании [Duft et al, 2002]. Во всех случаях справедливость критерия Рэлея была подтверждена. Причем наибольшая точность экспериментов была достигнута в исследовании [Schweizer & Hanson, 1971], где критерий Рэлея был подтвержден с точностью до 4%, и в работе [Duft et al, 2002], где точность была около 5%.

С началом нелинейных исследований осцилляций и устойчивости заряженной капли выяснилось, что в расчетах третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации появляются квадратичные по амплитуде поправки к частотам осцилляций, а поскольку критические условия реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду определяются из требования прохождения квадрата частоты основной моды осцилляций через ноль в область отрицательных значений, то и критическое значение параметра Рэлея W = Wcr оказывается зависящим от квадрата начальной деформации равновесной сферической формы. Область применимости этого результата ограничивается лишь справедливостью асимптотических разложений, лежащих в основе анализов [Tsamopolous & Brown 1984; Tsamopolous, Akylas & Brown 1985; Feng 1997; Жаров, Ширяева и Григорьев 2003], и на величину нелинейной поправки к критическому значению параметра Рэлея накладывается только требование ее малости по сравнению с четверкой. Другими словами, в зависимости от условий проведения эксперимента (в зависимости от амплитуды начальной деформации капли) можно ожидать отклонения измеряемой в эксперименте критической величины параметра Рэлея от предсказываемого линейной .теорией значения Wcr = 4 на 10-г20 %, что расходится с данными экспериментов. Проведенный анализ полученных выражений для нелинейных поправок к частотам осцилляций показал, что причина такого расхождения между теорией и экспериментов в том, что величины поправок к частотам могут быть как отрицательны, так и положительны и в последнем случае нелинейность осцилляций приводит не к снижению, а к увеличению критического для реализации неустойчивости значения параметра Рэлея.

На рис.5а-0 приведены зависимости Ь2 = b2(W,р) в диапазонах изменения параметров: 0<fV<3.9, 0<р< 15, пересеченные плоскостью ¿>2=0. Графики рассчитаны для различных видов начальных деформаций, определенных суперпозицией основной моды (и = 2) и одной из более высоких мод с номером т>2, т.е. для двухмодовых начальных деформаций равновесной сферической формы капли с парциальными вкладами h2 — 0.75, hm = 0.25. Как показывают расчеты, в ситуациях, когда т < 11 коэффициент Ь2 в нелинейной поправке к частоте основной моды отрицателен. Согласно рис.5Ь при т >12 на множестве значений параметров W, р появляется область в которй Ь2 ^0. Из рис.5 видно, что при т >12 с увеличением номера т размеры области значений параметров W, р, на которой Ь2>0, растет. Согласно рис.5с при т >14 передняя граница этой области выходит на плоскость

Рис.5 Зависимости коэффициента Ьг = Ь2 (IV, р) определяющего поправки к частотам основной моды, от параметра Рэлея № и безразмерной плотности внешней среды р, рассчитанные для различных видов начальных деформаций, определенных суперпозицией основной моды (п = 2) и одной из более высоких мод с номером т> 2: а) т = \\; Ь) /я = 12; с) т = 14;<1) т = 30 и ^ =0.75, Ит =0.25.

р = 0, физически соответствующую нулевой плотности окружающей среды, т.е. капле, осциллирующей в вакууме. При /и >30 и р = 0 и любых значениях (V < 3.8 коэффициент Ь2 положителен (см. рис.5с1), что согласно вышесказанному означает увеличение критического значения параметра Рэлея (¥сг с ростом амплитуды осцилляции. Иными словами, в ситуации, когда начальная деформация капли определяется суперпозицией основной моды и одной из мод с номером тп>30, сильно заряженная капля с IV < 3.8 не может претерпеть неустойчивость даже при весьма значительной (в рамках асимптотической теории) амплитуде ее нелинейных осцилляции. Из сказанного следует, что при указанной начальной деформации отклонение

критического значения параметра Рэлея от четверки не может превысить пяти процентов принципиально. По-видимому, именно это обстоятельство и объясняет результаты вышеупомянутых экспериментов [Schweizer & Hanson, 1971; Duft et al, 2002], в которых вероятнее всего имело место возбуждение основной моды в совокупности с несколькими более высокими модами.

Закономерности нелинейной раскачки амплитуды основной моды осцилляций заряженной капли за счет реализации внутреннего черырехмодового взаимодействия с перекачкой энергии из высоких мод в основную проанализированы для ситуации нелинейных осцилляций капли в вакууме. Весь анализ выполнен стандартными методами теории возмущений. Чтобы отразить близость комбинации частот ар ± ю9 - мод, определяющих начальную деформацию, к частоте ооя моды, раскачиваемой за счет внутреннего резоансного взаимодействия, вводится параметр расстройки а ~ 0(1), определяемый соотношением: сор ±ю(? - со, =со„(1 + е2с), что

позволяет перевести резонансную ситуацию к секулярной. Анализ секулярной ситуации стандартными для теории возмущений методами позволяет получить систему связанных дифференциальных уравнений для амплитуд я*" и фаз взаимодействующих мод (у = п,):

2со.

dß№) дТ-,

о)„CJ

+ Gn(T2)

- С 4V2).а?(Г2)■ «<•>(Г2)• cosfef] = 0; 2сол - • *<'>(Г2) • а"(Т2) ■ а?\Т2 )• sinfc^'b 0;

2ю

дЬ«\Т2)

дТ-,

-олт2)

■ У^ ■ «№) • <(Г2) ■ ai\T2) -cos[9™]= 0;

2 со, 94ß1 + С ■ <№г) • «№>■ аЧ\Т2) ■ sinfc^r ] = 0;

¿\Т2)

2со,

дТ2

дЬ«\Т2)

дТ2

ОЛТ2)

дТ2

в««(Г,)| 2С0 Ä-СД)

• п(±) • • <}(7-2) • 0<"(Г2) -cos^H*)]^;

2 ^^ - - «<1 > (Г2) - (Г2) • (Г2) - ] = о.

В приведенных уравнениях номер п соответствует моде, раскачиваемой за счет нелинейного резонансного взаимодействия, а номера я.р, <7 - модам, входящим

в спектр мод, определяющих начальную деформацию капли. На рис.6 приведен результат численного расчета по приведенной системе амплитуды основной моды (и =2), когда начальное возмущение определяется 17-ой, 21-ой, и 30-ой модами, парциальные вклады которых в амплитуду начальной деформации (е = 0.1) равны между собой (Лп = Aj, = А30 = 1 /3). Из представленных графиков видно, что для данной моды, раскачиваемой за счет четырехмодо-вого взаимодействия, эволюционный коэффициент первого порядка малости дос-

тигает лишь весьма незначительных амплитуд (на порядок меньших соответствующих амплитуд 17-ой, 21-ой, и 30-ой мод) и не превышает величин второго порядка малости. Увеличение относительной амплитуды начального возмущения е приводит лишь к уменьшению периода резонансного взаимодействия, практически не сказываясь на амплитуде резонансно раскачиваемой моды. Уменьшение парциального вклада резонансно взаимодействующих мод из спектра начальной деформации приводит к пропорциональному уменьшению амплитуды раскачиваемой основной моды. При этом значительно увеличивается период резонансного взаимодействия. Изменение величины заряда капли (величины параметра W) приводит к увеличению параметра расстройки и к ухудшению условий резонансной перекачки энергии из высоких мод в низкую - основную. В итоге имеем, что амплитуда основной моды, раскачиваемой при резонансной перекачке в неё энергии из возбужденных в начальный момент времени высоких мод в четырехмодовых резо-нансах, хотя формально имеет первый порядок малости, тем не менее, не превышает величины поправки второго порядка малости, появляющейся за счет нерезонансного нелинейного взаимодействия. Это делает возможность применения результатов проведенных расчетов к истолкованию проблемы инициирования разряда молнии достаточно проблематичной. Интересно, что в третьем порядке малости проявляется трехмодовое резонансное взаимодействие амплитуд мод первого порядка, возбужденных в начальный момент времени, с поправками к амплитудам, имеющим второй порядок малости, однако такое взаимодействие малоэффективно.

Третья глава посвящена аналитическому асимптотическому исследованию нелинейных осцилляции заряженной капли вязкой несжимаемой жидкости.

Рис. 6 Временная зависимость эволюционного коэффициента первого порядка малости в разложении в ряд по амплитуде начального возмущения амплитуды раскачиваемой основной (второй) моды капиллярных колебаний поверхности капли. Значение параметра ¡У соответствует положению точного резонанса IV = 0.46, е = 0.1, /г17 =/¡2, =А30 =1/3.

Аналитические исследования нелинейных осцилляции заряженных капель начались около двух десятилетий назад, и их библиография насчитывает уже более полусотни работ, но все проведенные к настоящему времени исследования выполнены лишь в приближении идеальной жидкости. Очевидная причина такого положения - значительная громоздкость расчетов нелинейных осцилляций капли вязкой жидкости. Тем не менее, положительные результаты решения задачи о временной эволюции деформированной в начальный момент времени заряженной капли вязкой жидкости в линейном по амплитуде начальной деформации приближении, дали основание полагать, что и нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости вполне доступны для аналитического анализа в рамках асимптотического подхода.

Путем прямого разложения по амплитуде многомодовой начальной деформации равновесной сферической формы капли во втором порядке малости с использованием операционного исчисления в весьма громоздких расчетах определяются поля течения жидкости, распределения давления, электрического потенциала в окрестности и форма образующей нелинейно-осциллирующей заряженной капли вязкой несжимаемой электропроводной жидкости.

Форма образующей осесимметрично нелинейно-осциллирующей капли вязкой несжимаемой электропроводной жидкости как функция времени и полярного угла имеет весьма громоздкий, но пригодный для расчетов вид:

км=г0+8 ')/>» -

пе£2у=1

г0 теО /.#=1 ¿т + \. г0 теп /,«-1 + 1К1т + -V

+«> -и» (¡¡о) ып с(«Л / ч

а (г(и2 1)|(ГуЦ>у) 1 -/«^о). ]) Л . •

№ ' { т лет v v

I ЛД1.ХД 2

2(Fo)2 + 4«("-1X* + 2)-

/ \n-2 f

Jnkro) V

( \я+3 Г

Л+16cro ) J J (2и + l)r0x

KroJ

4(U)

- Xro ((xr0)2 + 2(/j - 1X2« +1)+ 1ЫУ

Ля(1.х)

- M- - IX" + 2)- Xro((xro)2 + 2(n - 1X2« + jy.Cw,)- 0» " W *

л . / \^л+пл'0/ i г' JnW ПJЬшЧ'^к >um /""ч л

A+iUCo) / X rO J 1Л„(1,Х)

M+ ífecifVj + г{т> - - + (m - 2Xm - l))x

rQ v. m\m + lJ

+ (3 + k(m +1)+Ц2« - 2и - 7))x W)Kkmn + [^jx

X f 2Í-A-. - ] 4<iv0 F+4UKU+0-{

Я Í<J<'>V> ) 1V xif} y'm+l (к* 4 ) f у I "^"ly

2rn V тут +1 ] km lr„

^ кт ) т\т + 1) Ло кт{т +1)

х/> {^{га (^"Кй (У0/] | 'О**' Л+1 >Го)Т|¿я+1 Ч )

Несложно видеть, что коэффициент „ содержит интеграл. Тем не менее, в конкретных ситуациях форма образующей достаточно легко считается в каком-либо пакете компьютерных аналитических вычислений. В асимптотиках малой и большой вязкости полученные выражения имеют вполне компактный вид, удобный для практических расчетов. Результаты расчетов по приведенному выражению проиллюстрированы рис.6-рис.9.

Пусть 4< Ш <5, когда основная мода (п=2) теряет устойчивость, а все более высокие моды ее сохраняют. Показатели экспонент, в которые входит квадрат частоты основной моды, изменят свой знак, поскольку его при 4< № <5 меняет квадрат

Рис. 7 Зависимости безразмерного коэффициента Е,(„2' от безразмерного времени 1, построенные при к = т = 2, и = 2, IV - I, У^—Х, у = 0.01. Сплошная кривая построена по точному выражению, а точечная по выражению справедливому для идеальной жидкости.

' 0 2 4 6 i

Рис. 8 Зависимости безразмерного коэффициента от безразмерного времени построенные при к = т = 3, IV — Ъ, = 1, V = 0.1. Номер у кривой совпадает с номером нелинейно возбуждающейся моды п.

частоты а>2, и соответствующее слагаемое начинает экспоненциально со временем возрастать, тогда, как остальные моды продолжают уменьшаться со временем (см. рис.9). По прошествии некоторого интервала времени исходная деформация капли исчезнет, а ее форма определится растущей со временем основной модой, т.е. капля

будет эволюционировать к фигуре, близкой к вытянутому сфероиду. Удлинение заряженной капли электропроводной жидкости за счет увеличения амплитуды ос-

..... с - 4 -1-

/ / .-/ /2

/'< у ч

///X \

ц/ ------

0 _____ •---

Рис. 9 Зависимости безразмерного коэффициента от безразмерного времени Ъ построенные при к—т = Ъ, (V = 4.01, /»3=1, v = 0.1. Номер у кривой совпадает с номером нелинейно возбуждающейся моды п.

Рис. 10 Зависимости безразмерного коэффициента от безразмерного времени 1, построенные при к = т = 3, IV = 4.01, й3 = I, v = 1. Номер у кривой совпадает с номером нелинейно возбуждающейся моды п.

новной моды будет либо ограничено началом полевой эмиссии зарядов при достаточном увеличении напряженности поля собственного заряда на ее вершинах вследствие увеличения кривизны вершин связанного с вытягиванием капли, либо приведет к делению капли на две части сравнимых размеров. Когда безразмерная вязкость велика: У-Ур/т/'о ст>1, затухание нелинейно возбудившихся мод, устойчивых по отношению к собственному заряду, имеет апериодический характер (см. рис.10). Если при этом основная мода капли неустойчива, то амплитуда основной моды будет нарастать со временем, а капля вытягиваться в сфероид, но в отличие от капли идеальной или слабовязкой жидкости достаточно медленно, и не с увеличивающейся по мере увеличения эксцентриситета скоростью, а с уменьшающейся. Кроме того, обнаружен ранее неизвестный в теории нелинейного взаимодействия факт постепенного (в течение нескольких периодов осцилляций) передачи энергии из изначально возбужденной моды капли маловязкой жидкости в моду, возбуждающуюся только за счет нелинейного взаимодействия (см. рис.7). Выяснилось, что в сильно вязкой капле скорость нарастания амплитуды неустойчивой основной моды не увеличивается непрерывно со временем как предсказывается нелинейным анализом в модели идеальной жидкости, а в начале уменьшается до некоторого мало отличающегося от нуля значения, определяющегося степенью закритичности заряда и вязкостью жидкости, некоторое время остается неизменно малой (так, что ам-

плитуда неустойчивой моды практически не меняется со временем) и лишь потом начинает возрастать.

Четвертая глава посвящена аналитическому асимптотическому исследованию нелинейных центрально симметричных пульсаций и поверхностных осцилляций при неизменном объеме заряженного пузырька в вязкой несжимаемой жидкости. Микропузырьки в жидкости играют определяющую роль в большом количестве физически физически значимых процессов от сонолю- ' минисценции, электрофлотации и электроразряда в жидкостях, до термоядерных реакций под действием высоких температур и давлений, развивающихся при кавитационном схлопыва-нии пузырьков, а потому им посвящено много исследований, проведенных как в линейной, так и в нелинейной постановках. Но, не смотря на обилие теоретических и экспериментальных работ, посвященных пузырькам в жидкостях, многие аспекты закономерностей реализации их осцилляций остались не выясненными. Теоретические ^п исследования осцилляций пузырьков в диэлектрической жидкости, образовавшихся при электрическом или лазерном пробое, незаряженных пузырьков во внешних электрических и магнитных полях, заряженных пузырьков в основном выполнялись для радиально осциллирующих сферических пузырьков. Тем не менее, до сих пор плохо исследованы поверхностные осцилляции формы пузырька, хотя именно они определяют закономерности реализации Релей-

Тейлоровской неустойчивости стенки схлопывающего-

Рис. 11 Зависимость безразмерного радиуса пузырька от безразмерного времени t, рассчитанная для различных значений вязко-стей жидкостей: v - 0.05 (точечная кривая), v = 0.2 (сплошная кривая), v = 0.8 (пунктирная кривая), при р<°> — Ру - -0.6, р<0) = 0.6,^ = 0.1,7 = 4/3,^=1.

Рис.12 Зависимости коэффициента 2,<п')(/) от безразмерного времени построенные при: р^ — ру = — 0.6, ^0)=0.6, ¡V = 0.5, у = 4/3, и = 2, /12 =1 и различных вязкостях жидкости v = 0.005 (1); 0.01 (2). Сплошная кривая соответствует точному решению, точечная - приближению маловязкой жидкости.

ся пузырька и формирования кумулятивной струйки жидкости, вызывающей кави-тационную эрозию, служат основанием для постановки вопроса о существовании трансляционной неустойчивости осциллирующего пузырька. И тем более не решена задача о расчете нелинейных осцилляции пузырьков в вязкой жидкости с учетом, как радиальных пульсаций, так и поверхностных осцилляций формы пузырька.

Й выполненном анализе влияния конечности скорости распространения звука в газе на закономерности реализации его радиальных пульсаций и поверхностных осцилляций показано, что для пузырька, находящегося в равновесном состоянии, такой учет необходимо проводить тогда, когда скорость звука в пузырьке является малой величиной (когда плотность газа в пузырьке большая). Только в этом случае амплитуды высоких гармоник радиальных или поверхностных колебаний становятся значительными и могут существенно изменить форму пузырька. Максимальные значения амплитуд радиальных и поверхностных мод с уменьшением скорости звука снижаются. Это обстоятельство должно сказываться на форме поверхности осциллирующего пузырька. В случае же высокой скорости звука в пузырьке (при малой плотности газа) учет влияния высоких гармоник как радиальных, так и поверхностных осцилляций не нужен. Учет движения газа в пузырьке следует проводить лишь при анализе устойчивости схлопывающегося пузырька, давление газа в котором на финальной стадии схлопывания велико, при рассмотрении же радиальных пульсаций и поверхностных осцилляций малой амплитуды движение газа в пузырьке можно не проводить.

При исследовании капиллярных колебаний и устойчивости заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости выяснилось, что неустойчивость пузырька по отношению к изменению формы имеет место только в случае, когда давление в жидкости больше давления насыщенных паров и газа в пузырьке. Неустойчивость же пузырька по отношению к изменению объема, напротив, наблюдается только в том случае, если давление жидкости меньше давления насыщенного

пара в пузырьке. Наличие заряда на пузырьке приводит к существенному снижению

ня дисперсионного уравнения Оя(5^*')= 0, описывающего поверхностные осцилляции пузырька, от безразмерной вязкости жидкости v, рассчитанные для - Ру = 0.1, р^ =0.6, IV = 0Л, у = 4/ 3, п = 2. Номер у кривой совпадает с номером к.

критического давления в жидкости, при котором наступает неустойчивость формы.

Увеличение вязкости жидкости приводит к уменьшению инкремента неустойчивости. Влияние вязкости на декремент затухания является различным для случаев мало и сильно вязкой жидкости. Так в мало вязкой жидкости декременты затухания поверхностной и радиальной составляющих увеличиваются линейно с увеличением вязкости. А при большой вязкости декремент поверхностных осцилляций уменьшается, в то время как декремент радиальных пульсаций продолжает увеличиваться.

Решение начальной краевой задачи о расчете формы заряженного пузырька в вязкой несжимаемой диэлектрической

жидкости как функции времени позволило исследовать временную эволюцию полей давления, течения жидкости и распределения электрического потенциала в окрестности пузырька, а также найти выражение для образующей его формы:

со

г ~ ' " . .

п=

Ие&<>)

ком-

Рис. 14 Зависимость вещественной части плексного корня дисперсионного уравнения поверхностных осцилляций пузырька 0 от безразмерной вязкости V, рассчитанная при

/»-Л, =0.1, Р™ =0.6, иг = 0.1, у = 4/3, я = 2.

Точечная кривая соответствует приближению маловязкой жидкости, сплошная - точному решению, пунктирная - приближению сильновязкой жидкости.

= а + т + IГ г ■ + • £(2) 1 • Рп(м); т=Л(2)(0+ОН;

«=А " " ; _

т=1

' + 2(и + 2X2« +1)4 - 4„(* + 2)2 1 +

V Л а акп(г\а) { па *„М) ^

кп_х¡¡ахл/у"*") [ ('атл/у"'")

к ¿„(/отл/С""') ¿„(-г'атл/у"1)

3/2 0)?

Т4 +С02

¿Д+гатл/Т7),

2(и + 2Х2и + 1)-£

../„хг ТУ3'2 *„_,(± /от//7) /5

± 4л(и + 2) ,з Г ГТУ; ^ = л ~;

^„(5)= 52 + со2 + 2(и + 2Х2и +- 4и(и + 2)2 ~л/5

! . /^»-1МГ! + 2 ^(п^У

а2 4 ' а3

ЬпМ I л* КМ,

(ол =

Зу

р а

(0)

ЗУ

2ст

ра 2кгар а

б '

ш2=-

ра

О2

4пагиа

э(0) в"-

Рассмотрены как центрально симметричные пульсации, так и осцилляции формы при неизменном объеме (см.рис.11-рис.12). Показано, что форма пузырька, а так же поля скоростей и давлений жидкости в его окрестности как функции времени, представляются конечными суммами по номерам изначально возбужденных мод, и могут быть записаны в виде двух слагаемых, первое из которых - сумма по корням дисперсионного соотношения, а второе представляется несобственным интегралом. В асимптотиках малой и большой вязкостей соответствующие аналитические выражения принимают простые формы, не содержащие интегралов. Выяснилось, что с ростом вязкости жидкости частоты радиальных пульсаций и поверхностных осцилляции монотонно снижаются (рис.13). Декремент затухания радиальных пульсаций с ростом вязкости при любых ее значениях монотонно увеличивается по тому же закону, что и декремент затухания поверхностных осцилляций в асимптотике малой вязкости. Декремент затухания поверхностных осцилляций

при увеличении вязкости сначала растет, но, достигнув некого максимального значения, начинает снижаться (рис.14), т.е. проявляются те же тенденции, что у вязкой капли или волн в вязкой жидкости.

Квадратичные по малому параметру компоненты образующей имеют весьма громоздкий вид. Так, например, выражение для Л® (/) записывается в виде:

12 и 16 18 р(0,-ру

Рис.15. Зависимость резонансного значения давления газа

(0)

г от разности давления в жидкости и давления насы-

(0)

щенного пара в пузырьке р — рассчитанная по (36), построенные при ЯГ = 0, л = 2, У = 0. Номер 1 соответствует у = 5/3,2-у = 7/5,3-у = 4/3.

РисДб. Зависимость безразмерной поправки второго порядка малости к радиусу пузырька Л(2) от безразмерного времени *, при рт~ру =0.1, р^ =0.6, IV = 0, у = 4/3, к0 = 1, \ = 0 и различных вязкостях жидкости v = 0 (сплошная линия), v = 0.1 (точечная линии), v = 1 (пунктирная линия).

„тм , 2Г(ба4Юд -з(а4р-32у2)»о -32ру2) , ч ^ асо0 (9ящ - 32у)

2у(2а4Шл-(13а4р-32у2)и2+32ру2) . , Л Г 2\

- ^^-зЛ.—

Ч 4аЮо(а Шо -4у д9а ©о -32У )

2у(2а4^+(5аУ32у2к-32Ру2)$. *

а С0д(9а ©о -32У 4ф4ш2-4у2} ) Ч а1

кеа ¿я + Цу-1»-!^ ^ V

/ -

X exp[-*r]- ¿{{¿(Si» + 5?>)+ )+ Х,^»,^)-

rexpl :

«vj+H^+^W V *2 jj

M о '

, -но Y\

expl¿l

zilíl

(aVo2 - ~ t?)- 4v%(s^)-- т?)+ 2v)x

■MO Y

_sin(nv)_

Г 2v I 2 xexpl—jt j-a

k(k + \)a I

«О«of f . . .. /

+ J J a2 (4v-a2(x?+x2));6(T„x2) + ii2 ç,(t„t2)-

о о V V \

__\_7/"(х X .bill ,

k(k + l)a Y^^nl^l + (2v _ e*(tf +tf +

(

(flVS +2aJv(tf +xl)-4v%(x^2)~a*(2v-a2ti + x2))x

rft, +

И'-"» - ^•"■^i.tvs.Slífrf^D

xexp^-^íj-я2 (4v-ö2(xf +т2));б(х1,Т2)+а2 ç3(xi,x2)-

| 4-00 ^

соэ(\(/0/)

Т, +т:

2а р *

5б2___

Ангара6 а3р'

2а

Х,10-';У,10

ък 104

\Уг10"2

где подынтегральные функции /у (при /= 1,2,3) выражаются через отношения сферических функций Бесселя третьего рода различных порядков по радиальной переменной и также весьма громоздки. Тем не менее, не смотря на очевидную сложность

математической записи финальных выражений, получающихся при нелинейном анализе, определенные физические выводы из полученных соотношений можно сделать просто на основании общего вида аналитических выражений для нелинейных поправок форме образующей, полям давлений и скоростей течения жидкости.

Уже из приведенного выражения

для видно,

что оно содержит резонансные слагаемые (слагаемые с малыми знаменателями). Так при нулевой вязкости в ноль может обратиться выражение:

а4\Уо + (а2^'1 + стоящее в знаменателе выписанного выражения для

и соответствующее резонансу между нулевой (центрально симметричной) модой и £-ой поверхностной модой. Условия резонансного обмена энергией между поверхностными модами и радиальной модой зависят от величины собственного заряда на пузырьке: чем выше

заряд, тем более высокая поверхностная мода может быть вовлечена в резонансное взаимодействие. Но и при отсутствии заряда резонансный обмен энергией между радиальными пульсациями и поверхностными осцилляциями может иметь места:

1000

2000

3000

Рис. 17. Зависимости от порядкового номера капельки п безразмерных величин: 1- радиусы Х{,2 - заряды , 3 — удельные заряды для дочерних капелек, эмитированных с 1-ой вершины родительской капли, 4 - параметр Рэлея для роди-апли. Начальные значения: м>2 = 2.7,

тельской

IV2 =0.0025, @>0, е2 =0.7, а, =0.9.

именно такая ситуация проиллюстрирована рис.15. Общие закономерности нелинейных пульсаций проиллюстрированы рис.16.

Пятая глава посвящена расчету в рамках принципа наименьшего рассеяния энергии в неравновесных процессах Онзагера физических параметров распада сильно заряженных капель и пузырей в однородном внешнем электростатическом поле (см. рис.17-рис.18). В качественном отношении физические закономерности распада заряженных капель и пузырей сходны. Выяснилось, что в зависимости от величины внешнего электростатического поля Е, а также величины и знака собственного заряда электропроводной капли (пузыря) ее неустойчивость по отношению к суперпозиции собственного и индуцированного поверхностного электрического заряда реализуется в различных режимах с эмиссией дочерних капелек лишь с одной из вершин капли (пузыря) вдоль или против Е, либо с обеих вершин. В последнем случае размеры и заряды дочерних капелек (пузырьков), эмитгированных с различных вершин родительской капли (пузыря), различаются, что приводит в силу реактивного эффекта к движению родительской капли (пузыря), что согласуется с данными экспериментов. Возможна плавная смена режимов эмиссии.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Впервые в мировой научной практике аналитическими асимптотическими методами найдено корректное решение задачи о расчете нелинейных осцилляций заряженной капли вязкой жидкости.

2. Теоретический анализ нелинейных осцилляций капли вязкой жидкости позволил обнаружить ранее неизвестный в теории нелинейного взаимодействия факт постепенного (в течение нескольких периодов осцилляций) передачи энергии из изначально возбужденной моды капли маловязкой жидкости в моду, возбуждающуюся только за счет нелинейного взаимодействия.

Оказалось, что при реализации неустойчивости вязкой капли с зарядом, немного превышающим критическое по Рэлею значение, независимо от вида начальной деформации капли неустойчивая капля принимает вытянутую сфероидальную форму за счет вязкого затухания всех мод,

Х210-'; 10"'; 1 12,110'; \УЧ0-г 0.8 - .1

0.4 , 1

2 ч_ ■—-ч

л ---

700

1400

Рис. 18. Зависимости от порядкового номера капельки / безразмерных величин: 1- радиусы Хг, 2 - абсолютные величины зарядов |У2[, 3 - абсолютные величины удельных зарядов |22| для дочерних капелек, эмитированных с 2-ой вершины родительской капли, 4 - параметр Рэлея для родительской капли.

Начальные значения: и>2=2.7. IV2 = 0.0025.

кроме основной, и ее дальнейшая временная эволюция определяется именно основной модой. Выяснилось, что в сильно вязкой капле скорость нарастания амплитуды неустойчивой основной моды не увеличивается непрерывно со временем как предсказывается нелинейным анализом в модели идеальной жидкости, но в начале уменьшается до некоторого значения, определяющегося степенью закритичности заряда и вязкостью жидкости, и лишь потом начинает возрастать.

Наличие вязкости приводит к росту величин зарядов, при которых реализуются внутренние нелинейные резонансы, и к ограничению амплитуд резонансно нарастающих мод нелинейно-осциллирующей капли.

3. Выполненные аналитические расчеты параметров нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной электропроводной жидкости в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации равновесной сферической формы капли позволили: впервые исследовать внутренние четырехмодовые комбинационные резонансы; определить нелинейные поправки к частотам осцилляций, определяющиеся величиной собственного заряда капли и спектром мод, формирующих начальную деформацию; рассчитать нелинейные поправки к критическому для реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду значению параметра Рэлея.

Оказалось, что величина и знак нелинейной поправки к частоте, а следовательно и величина критического для реализации неустойчивости значения параметра Рэлея, существенно зависят от спектра мод, определяющих начальную деформацию капли. Обнаружено независящее от амплитуды нелинейных осцилляций определяющееся лишь спектром мод, формирующих начальную деформацию, ограничение на величину нелинейного снижения критического значения параметра Рэлея.

4. Выяснилось, что внутренние нелинейные четырехмодовые комбинационные резонансы заряженной капли обеспечивают раскачку основной моды осцилляций даже при отсутствии ее в спектре мод, определяющих начальную деформацию. Однако, амплитуда основной моды, раскачиваемой при резонансной перекачке в неё энергий из возбужденных в начальный момент времени высоких мод, формально имеющая первый порядок малости, тем не менее, не превышает амплитуды поправки второго порядка малости, появляющейся за счет нерезонансного нелинейного взаимодействия.

5. Теоретический анализ влияния на закономерности реализации нелинейных осцилляций капли внешней для нее материальной среды, указал на: существенное изменение величин поправок к частотам осцилляций; снижение критического для реализации неустойчивости капли заряда; резкое увеличение количества и смещение положений внутренних нелинейных резонансов. Выяснилось также, что само нелинейное резонансное взаимодействие мод мало чувствительно к точности задания резонансных значений заряда капли и отношения плотностей капли и среды.

6. Впервые в мировой научной практике физически строго в аналитическом асимптотическом виде решена задача расчета нелинейных пульсаций заряженного пузырька в вязкой жидкости.

радиальных или поверхностных колебаний становятся значительными и могут существенно изменить форму пузырька.

Неустойчивость осциллирующего пузырька по отношению к изменению его формы имеет место только в случае, когда давление в жидкости больше давления паро-газовой среды в пузырьке. Неустойчивость пузырька по отношению к изменению его объема, напротив, наблюдается, когда давление жидкости меньше давления насыщенного пара в пузырьке.

Влияние вязкости на величину декремента затухания осцилляций различно для мало и сильно вязких жидкостей: в мало вязких жидкостях декременты затухания поверхностной и радиальной компонент увеличиваются линейно с увеличением вязкости, при большой вязкости декремент поверхностной составляющей уменьшается, в то время как декремент радиальной компоненты увеличивается.

Из нелинейного анализа следует, что обмен энергией между модами поверхностных осцилляций и радиальных пульсаций обнаруживается уже в расчетах второго порядка малости по амплитуде начальной деформации, имеет резонансный характер и при малых зарядах наиболее эффективно реализуется для низких мод поверхностных осцилляций.

8. Распад сильно заряженной капли (пузыря в жидкости) в зависимости от величины напряженности внешнего электростатического поля, величины и знака собственного заряда капли реализуется в различных режимах: с эмиссией дочерних капелек (пузырьков) лишь с одной из вершин капли вдоль или против вектора напряженности электростатического поля, либо с обеих вершин. В последнем случае размеры и заряды дочерних капелек (пузырьков), эмиттированных с различных вершин), различаются, что приводит в силу реактивного эффекта к движению родительской капли (пузыря).

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Саранин В.А., Жаров А.Н., Белоножко Д.Ф. Колебательная неустойчивость границы раздела проводящих жидкостей в нормальном электрическом поле // Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 16. С.41-44.

2. Жаров А.Н., Коромыслов В.А., Григорьев А.И. О рэлеевском распаде сильно заряженного пузыря в диэлектрической жидкости // ЭОМ. 1998. №1-2. С.43-47.

3. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Жаров А.Н. Критические условия неустойчивости в электростатическом поле капли, осевшей на твердой подложке. // ЖПХ. 1998. Т.71. № 11. С.1912-1915.

4. Григорьев А.Й., Жаров А.Н., Ширяева С.О. Устойчивость во внешнем электростатическом поле пузыря в диэлектрической жидкости.// ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.8. С.43-48.

5. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Неустойчивость во внешнем электростатическом поле пузыря в жидком диэлектрике.// ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.11. С.10-13.

6. Жаров А.Н., Ширяева С.О. Заряженные пузырьки в жидкости (обзор). // ЭОМ. 1999. № 6. С.9-22.

7. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Диспергирование заряженной капли в электростатическом поле. //ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.12. С.26-30.

8. Жаров А.Н. Устойчивость заряженного пузырька по отношению к виртуальным изменениям объема. // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах". Вып. 1. Ярославль, ЯГТУ. 1999. С.33-37.

9. Григорьев А.И., Жаров А.Н. Устойчивость равновесных состояний заряженных пузырей в диэлектрической жидкости.// ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.4. С.8-13.

10. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О диспергировании в электростатическом поле заряженного газового пузыря в жидком диэлектрике. //ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.6. С.37-42.

11. Жаров А.Н., Григорьев А.И. Капиллярные колебания заряженного пузырька в жидкости.// ЭОМ. 2001. № 4. С. 15-21.

12. Жаров А.Н., Григорьев А.И. О капиллярных колебаниях и устойчивости заряженного пузырька в диэлектрической жидкости. // ЖТФ. 2001 .Т.71. Вып.11. С. 12-20.

13. Zharov A.N., Shiryaeva S.O., Koromyslov V.A. The spray of charged drop in an electric field.// Proceedings 17th Annual Conference on liguid atomization & spray systems. 2001. Zurich. P.747-749.

14. Жаров A.H. Математическое моделирование колебаний заряженного пузырька в диэлектрической жидкости // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах". Вып.2. Ярославль, ЯГТУ. 2001. С.85-94.

15. Жаров А.Н., Курочкина С.А. Нелинейные колебания заряженной капли идеальной жидкости.// Тезисы докладов 20-ой научной конференции Стран СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 2002. С.103-104.

16. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О внутреннем нелинейном че-тырехмодовом взаимодействии капиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.9. С.75-82.

17. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О нелинейных осцилляциях заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде одномодового начального возбуждения. //ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.6. С.36-45.

18. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.9. С.60-63.

19. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные колебания заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации. //ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.12. С.9-19.

20. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Филиппова Е.О. О нелинейном изменении частоты капиллярных колебаний заряженной капли.// Сборник докладов 6-ой международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики». С-Петербург. 2003. С.111-112.

21. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. Нелинейное резонансное взаимодействие мод капиллярных осцилляций капли.// Сборник докладов б-ой международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики». С-Петербург. 2003. С.297-300.

22. Жаров А.Н. Нелинейные поправки к частотам осцилляций капли в среде. // Материалы Всероссийской научной конференции посвященной 200-летию Ярославского государственного университета. Ярославль. 2003. С.61-64.

23. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. О некоторых особенностях нелинейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций заряженной капли // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1. С.10-20.

24. Жаров А.Н., Григорьев А.И. О нелинейном изменении частоты капиллярных колебаний заряженной капли. // ЭОМ. 2004. № 1. С.20-27.

25. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частотам осцилляций заряженной капли в несжимаемой внешней среде. // ЖТФ.

2004. Т.74. Вып.7. С. 19-26.

26. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные поправки к частотам осцилляций заряженной капли. //ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.8. С. 116-119.

27. Жаров А.Н., Григорьев А.И. О влиянии движения газа внутри заряженного пузырька в жидкости на параметры его осцилляций. //ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.11. С.13-21.

28. Жаров А.Н., Ширяева С.О. О форме деформированной в начальный момент капли вязкой жидкости. // Тезисы докладов 21-ой научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 2004. С.110-111.

29. Жаров А.Н., Григорьев А.И. О временной эволюции формы поверхности, деформированной в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости. // ЖТФ.

2005. Т.75. Вып.1. С.22-31.

30. Жаров А.Н., Григорьев А.И. Аналитический асимптотический расчет нелинейных осцилляций заряженного пузырька в вязкой среде. Препринт №32. Институт микроэлектроники и информатики РАН. Ярославль. 2005. 44 с.

31. Жаров А.Н., Волкова М.В., Крючков О.С. О коронном разряде с капли, нелинейно-осциллирующей в электрическом поле // Материалы IX Всероссийской конференции молодых ученых "Состав атмосферы и электрические процессы" СА-тЭП-2005. Борок. 2005.

32. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О влиянии вязкости жидкости нелинейно-осциллирующей заряженной капли на положения внутренних резонансов // ЖТФ. 2005. Т.75. Вып.7. С.19-28.

33. Григорьев А.И., Жаров А.Н., Ширяева С.О. Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки к критическим условиям реализации ее неустойчивости //ЖТФ. 2005. Т.75. Вып.8. С.44-53.

Подписано в печать 27.04.2004. Формат 60x90/32. Бумага белая. Условных печатных листов 2.0. Тираж 100 экз. Печать трафаретная. Заказ №23.

HÖ040

РНБ Русский фонд

2006-4 15864

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Жаров, Алексей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯЦИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ

1.1. Нелинейные осцилляции заряженных капель.

1.1.1. Исследование нелинейных осесимметричных осцилляции капли и ее устойчивости по отношению к собственному заряду.

1.1.2. Устойчивость заряженной капли по отношению к неосесимметричным осцилляцям.

1.1.3. Численные расчеты нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель. Учет влияния вязкости.

1.1.4. Экспериментальные наблюдения нелинейных деформаций и осцилляций капель.

1.1.5. Нерезонансный механизм раскачки осцилляций основной моды и ее влияние на устойчивость капли.

1.1.6. Влияние вязкости на нелинейные осцилляции капель.

1.2. Заряженные пузырьки в жидкости.

1.2.1. Методы регистрации микропузырьков в жидкости. Возможные механизмы стабилизации микропузырьков.

1.2.2. Роль заряженных микропузырьков в процессах кавитации, теплообмена и некоторых других технологических процессах.

1.2.3. Роль микропузырьков при электрическом разряде в жидкостях.

1.2.4. Теоретическое и экспериментальное исследование устойчивости пузырьков в жидкости.

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ КАПЛИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ТРЕТЬЕМ ПОРЯДКЕ МАЛОСТИ ПО АМПЛИТУДЕ НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ЕЕ ПОВЕРХНОСТИ

2.1 Нелинейные колебания заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации.

2.2. Асимптотический анализ нелинейных колебаний заряженной капли во внешней несжимаемой среде в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации.

2.3 Влияние формы начальной деформации заряженной капли па нелинейные поправки к критическим условиям реализации ее неустойчивости.

2.4 Нелинейное резонансное четырехмодовое взаимодействие капиллярных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости.

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

3.1. Временная эволюция формы поверхности деформированной в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости.

3.2 Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости.

3.3 Влияние вязкости жидкости нелинейно-осциллирующей заряженной капли на положение внутренних нелинейных резонансов.

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПУЛЬСАЦИИ ЗАРЯЖЕННОГО ПУЗЫРЬКА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

4.1 Влияние движения газа внутри заряженного пузырька в жидкости на параметры его радиальных пульсаций и поверхностных осцилляций.

4.2 Капиллярные колебания и устойчивость заряженного пузырька в диэлектрической жидкости.

4.3 Временная эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька в вязкой жидкости.

4.4 Нелинейные пульсации заряженного пузырька в вязкой несжимаемой диэлектрической жидкости.

ГЛАВА 5. ДИСПЕРГИРОВАНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

5.1 Диспергирование заряженной капли в электростатическом поле.

5.2 Диспергирование в электростатическом поле заряженного газового пузыря в жидком диэлектрике.

Введение диссертация по физике, на тему "Влияние вязкости на нелинейные осцилляции заряженных капель и пузырьков в жидкости"

Первое строгое аналитическое исследование устойчивости заряженной капли идеальной электропроводной жидкости по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы было выполнено в XIX - веке и принадлежит Рэлею. С тех пор заряженная капля стала объектом пристальных теоретических и экспериментальных исследований, спектр которых определяется значительным списком технических, технологических, геофизических и академических приложений, в которых заряженная капля играют определяющую роль.

К простейшим решениям такой задачи следует отнести приближение идеальной жидкости, в котором векторное поле скоростей можно представить в виде градиента скалярного потенциала и отыскать точное общее решение гидродинамической части задачи. Однако форму свободной поверхности капли можно найти только из нелинейных граничных условий, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения для функции, определяющей форму поверхности капли. Решение этих уравнений связно с существенными математическими трудностями, потому для их решения обычно используют методы возмущений. Использование этих методов позволяет исследовать устойчивость капли по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы по первому приближению. Однако в этом приближении автономная система дифференциальных уравнений, описывающих капиллярные колебания капли идеальной жидкости, имеет чисто мнимые собственные числа при параметре Релея не превосходящем четырех и действительные положительные при параметре Рэлея превышающем четыре. Согласно теореме Ляпунова об исследовании устойчивости автономных систем по первому приближению можно утверждать, что при параметре Рэлея, превышающем четыре и нелинейная система будет так же неустойчивой. Однако в том случае, когда параметр Рэлея меньше четырех об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы сказать нечего нельзя. В связи с этим в конце XX века появились работы, исследующие нелинейную динамику заряженной капли идеальной жидкости. Наиболее первыми работами в этой области явились работы, выполненные Tsamopolous & Brown, в которых авторы рассмотрели решение задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости и выделили сдвиг частот, который появляется только в третьем порядке малости по величине начальной деформации капли. Как и следовало ожидать, они обнаружили уменьшение критического значения параметра Рэлея, при котором капля идеальной жидкости становится неустойчивой. Однако их работы были выполнены для начального возбуждения одной из мод: второй, третьей, четвертой капиллярных колебаний поверхности свободной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме.

Теоретическое исследование капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к бесконечно малым искажениям ее формы в случае учета вязкости жидкости наталкиваются на еще большие трудности математического плана, чем в случае идеальной жидкости. Для преодоления которых был разработан метод скаляри-зации векторных краевых задач. Идея этого метода основана на известной теореме Гельм-гольца о возможности разделения векторного поля на потенциальную и вихревую компоненты. Данный метод хорошо применим к исследованию устойчивости нелинейной гидродинамической задачи о капиллярных колебания заряженной капли вязкой жидкости по первому приближению. Чисто теоретически, данный метод, дополненный методами интегральных преобразований (преобразования Лапласа, Фурье и т.д.) и методами теории возмущений, позволяет решить начальную краевую задачу о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, то есть отыскать явный вид полей скоростей, давлений, а,так же образующей капли. Однако, не смотря на это, теоретических работ, в которых найдены конкретные выражения для физических величин, исследуемой задачи нет. Содержание же большинства работ, использующих метод скаляризации, ограничивается исследование дисперсионного соотношения. Исследование же нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной капли вязкой жидкости на основе метода скаляризации наталкивается на математические затруднения, которые до настоящего времени никому из исследователей преодолеть не удалось.

- исследование влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилля-ций заряженной капли и на форму ее образующей;

- разработка метода решения нелинейной задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;

- исследование влияния вязкости на закономерности линейных колебаний заряженной капли;

- исследование влияния вязкости на особенности нелинейных осцилляций заряженной , капли;

- изучение влияния движения газа внутри газового пузырька на закономерности его осцилляций в жидкости;

- исследование влияния вязкости на устойчивость газового пузырька в жидкости;

- исследование влияния вязкости жидкости на закономерности нелинейных осцилляций газового пузырька в ней;

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- исследовано влияние вязкости жидкости на форму образующей капли при линейных и нелинейных ее осцилляциях;

- изучено влияние вязкости жидкости на положение нелинейных трехмодовых резо-нансов, которые имеют место в задаче второго порядка малости по величине начального возмущения капли;

- впервые найдены поправки к частоте капиллярных колебаний заряженной капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания для случая произвольного мно-гомодового начального искажения ее формы;

- впервые изучено влияние внешней среды на нелинейные осцилляции заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по величине многомодовой начальной деформации капли и на нелинейную поправку к частоте ее колебаний;

- выяснено влияние вязкости жидкости на устойчивость линейных и нелинейных ос-цилляций пузырька в жидкости.

На защиту выносятся

- асимптотический метод решения задачи о нелинейных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;

- анализ влияния вязкости жидкости на устойчивость газового пузырька в диэлектрической жидкости;

Апробация работы: Результаты работы докладывались на: VII Четаевской научной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань. 1997); молодежной научно-практической конференции «Проблемы моделирования в естествознании» (Волжский. [1997]); I, II, III и IV Всероссийских конференциях «Математика и математическое образование» (Ярославль. [1999; 2001; 2002, 2004]); на международной конференции "Annual Conference on liquid atomization & spray systems" (Zurich) [2001]; 3-ей областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов "Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии" (Ярославль) [2002]; IX, X, XI Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва. [2002, 2003, 2005]); XVIII - XXI научных конференциях Стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса) [1998, 2000, 2002; 2004]; V, VI и VII-ой международных научных конференциях "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики" (С-Петербург) [1998, 2000, 2003]; Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета (Ярославль) [2003]; IX Всероссийской конференции молодых ученых "Состав атмосферы и электрические процессы" САтЭП-2005 (Борок) [2005].

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

Оказалось, что при реализации неустойчивости вязкой капли с зарядом, немного превышающим критическое по Рэлею значение, независимо от вида начальной деформации капли, неустойчивая капля принимает вытянутую сфероидальную форму за счет вязкого затухания всех мод, кроме основной, и ее дальнейшая временная эволюция определяется именно основной модой. Выяснилось, что в сильно вязкой капле скорость нарастания амплитуды неустойчивой основной моды не увеличивается непрерывно со временем как предсказывается нелинейным анализом в модели идеальной жидкости, но в начале уменьшается до некоторого значения, определяющегося степенью закритичности заряда и вязкостью жидкости, и лишь потом начинает возрастать.

4. Выяснилось, что внутренние нелинейные четырехмодовые комбинационные резо-нансы заряженной капли обеспечивают раскачку основной моды осцилляций даже при отсутствии ее в спектре мод, определяющих начальную деформацию. Однако, амплитуда основной моды, раскачиваемой при резонансной перекачке в неё энергии из возбужденных в начальный момент времени высоких мод, формально имеющая первый порядок малости, тем не менее, не превышает амплитуды поправки второго порядка малости, появляющейся за счет нерезонансного нелинейного взаимодействия.

7. Выяснилось, что учет конечности скорости выравнивания давления газа внутри пузырька в жидкости необходимо проводить, когда скорость звука в пузырьке является малой величиной: только в этом случае амплитуды высоких гармоник радиальных или поверхностных колебаний становятся значительными и могут существенно изменить форму пузырька.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Жаров, Алексей Николаевич, Ярославль

1. Абрамович М., Стиган И. 1979. Справочник по специальным функциям. М.: Наука,832 с.

2. Авдеев Н.П., Борисов A.B. 1992. Некоторые результаты исследования электрического поля ЭГД- насоса с системой электродов игла-конус.// ЭОМ. №3. С.36-39.

3. Авдеев Н.П., Дудов А.Ф., Тушканов C.B., Николенко И.Ю. 1992. Кавитационные характеристики ионно-конвекционного насоса.// ЭОМ. №4. С.23-25.

4. Агранат Б.А., Дубровин М.Н., Хавский H.H., Эскин Г.И. 1987. Основы физики и техники ультразвука. М.: Высшая школа, 352 с.

5. Акуличев В.А. 1966. Гидротация ионов и кавитационная прочность жидкости.// Акустический журнал. Т.12, вып.2. С.160-167.

6. Бейтуганов М.Н. 1989. Об обуславливаемых сильными электрическими полями физических явлениях в облаках.// Метеорология и Гидрология. № 9. С.42-49.

7. Белов В.Т. 1992. Термодинамический механизм генерации звука элементарными частицами в пузырьковой камере.// Письма в ЖТФ. Т.18, вып.11. С.16-18.

8. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. 1993. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью // Изв. РАН. МЖГ. №2. С. 184-192.

9. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. 2000 а. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор) // ЭОМ. №4. С. 17-27.

10. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. 2000 Ь. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли // ЖТФ. Т.70. Вып.8. С.45-52.

11. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. 2003. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости // ЖТФ. Т.73. Вып.11. С.37-45.

12. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. 2004. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности глубокой электропроводной маловязкой жидкости // ЖТФ. Т.74. Вып.З. С.5-13.

13. Белоножко Д.Ф., Жаров А.Н., Ширяева С.О. 1997. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля вязкой жидкости конечной толщины. // Доклады 7-ой Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" Казань.

14. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2000. О делении на две части сильнозаряженной капли при нелинейных колебаниях.// Письма в ЖТФ. Т.26. Вып.19. С.16-23.

15. Бережнов В.В., Семенов В.А. 1996. О поверхностном течении слабопроводящей жидкости в электрическом поле.// Письма в ЖТФ. Т.22, вып.5. С.92-94.

16. Бескаравайный Н.М., Ковалев В.Г. 1994. Высоковольтный электрический разряд в жидкости с пузырьками пара.// ЭОМ. №3. С.38-41.

17. Бескаравайный Н.М., Ковалев В.Г., Кривицкий Е.В. 1994. Критерии подобия высоковольтных электрических разрядов в газожидкостных смесях.//ЖТФ. Т.64, вып. 2. С. 197-200.

18. Бесов A.C., Кедринский В.К., Пальчиков Е.И. 1984. Изучение начальной стадии кавитации с помощью дифракционной оптической методики.// Письма в ЖТФ. Т. 10, вып.4. С.240-244.

19. Блаженков В. В., Дмитриев А. С., Шишов В. В. 1983. Монодиспергирование вещества (от опытов Савара до современных технологий: ретроспектива и перспективы) // Тр. Моск. энерг. ин-та. Вып. 615. С.3-14.

20. Богомаз A.A., Горячев В.Л., Ременный A.C., Рутберг Ф.Г. 1991. Об эффективности импульсного электрического разряда при обеззараживании воды.// Письма в ЖТФ. Т. 17, вып. 12. С.65-69.

21. Богуславский Л.З., Кривицкий Е.В., Петриченко В.Н. 1991. Электрогидродинамические явления при коронном импульсном разряде в сильных водных электролитах.// ЭОМ. №5. С.51-54.

22. Богуславский Л.З., Кривицкий Е.В., Петриченко В.Н. 1995. Плазменные фильтры для обеззараживания сточных вод.// ЭОМ. №2. С.22-25.

23. Боло га A.M. 1991. Эффект кавитационного дробления жидкости в пневматическом электростатическом распылителе.// Письма в ЖТФ. Т.17, вып.23. С.55-58.

24. Болога М.К., Климов С.М., Чучкалов С.И. 1992. Теплообмен и гидродинамика двухфазных потоков при электрическом воздействии.// ЭОМ. №2. С.52-57.

25. Бородин В.П., Климкин В.Ф. 1988. Влияние давления на механизмы электрического пробоя Н-гексана.// Письма в ЖТФ. Т. 14, вып.9. С.802-805.

26. Буланов В.А. 1995. Рассеяние высокочастотных импульсов на резонансных включениях и возможности нестационарной акустической спектроскопии.// Письма в ЖТФ. Т.21, вып. 15. С.67-71.

27. Бункин Н.Ф., Бункин Ф.В. 1992. Бабстоны- стабильные газовые микропузырьки в сильно разбавленных растворах электролитов.//ЖЭТФ. Т. 101, №2. С.512-527.

28. Бункин Н.Ф., Виноградова О.И., Куклин А.И., Лобеев A.B., Мовчан Т.Г. 1995. К вопросу о наличии воздушных субмикропузырей в воде эксперимент по малоугловому рассеянию нейтронов.// Письма в ЖЭТФ. Т.62, №8. С.659-662.

29. Бункин Н.Ф., Лобеев А.Ф. 1993. Оптический пробой прозрачной жидкости, зависимость от материальных параметров.// Письма в ЖТФ. Т. 19, вып.21. С.38-43.

30. Буравова С.Н. 1996. Природа разрушения поверхности при кавитационной эрозии.// Письма в ЖТФ. Т.22, вып.11. С.37-40.

31. Вартанян A.A., Гогосов В.В., Полянский В.А., Полянский К.В., Шапошникова Г.А. 1994. Моделирование нестационарных процессов в каналах ЭГД- насоса.// Изв. АН СССР. МЖГ. №3. С.30-41.

32. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. 1975. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука. 439 с.

33. Васильев А.П. 2003. Влияиие внешнего однородного магнитного поля на затухание осцилляций газового пузырька в вязкой электропроводной жидкости.// ЖТФ. Т.73. Вып.1. С.35-41.

34. Вовченко А.И., Ковалев В.Г., Поздеев В.А. 1997. Особенности гидродинамических характеристик высоковольтного электрического разряда в жидкости при двухимпульсном законе ввода мощности.// Письма в ЖТФ. Т.23, вып.9. С.58-61.

35. Волкова М.В., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. 2003. О резонансном взаимодействии нелинейных осцилляций заряженной капли, находящейся во внешней диэлектрической среде. // ЭОМ. №5. С.24-31.

36. Воробьев В.В., Капитонов В.А., Кругляков Э.П., Цидулко Ю.А. 1980. Исследование пробоя воды в системе с "диффузионными" электродами.// ЖТФ. Т.50, вып.5. С.993-999.

37. Габович М. Д. 1983. Жидкометаллические источники ионов (обзор) // УФН. Т. 140. №.1. С.137-151.

38. ГегузинЯ.Е. 1985. Пузыри. М.: Наука, 174 с.

39. Глазков В.В., Синкевич O.A., Смирнов П.В. 1991. Сферический пузырек в жидком диэлектрике при наличии электрического поля.// ТВТ. Т.29, №6. С. 1095-1102.

40. Голубничий П.И., Громенко В.М., Крутов В.М. 1990. Образование долгоживущих светящихся объектов при распаде плотной низкотемпературной водяной плазмы.// ЖТФ. Т.60, вып. 1.С. 183-186.

41. Голубничий П.И., Громенко В.М., Филоненко А.Д. 1979. Радиоизлучение, сопровождающее коллапс каверны в жидкости.//ЖТФ. Т.49, вып. 10. С.2260-2262.

42. Голямина И.П. 1979. Ультразвук. Маленькая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 400 с.

43. Гонор A.JL, Ривкинд В.Я. 1982. Динамика капли // Сб. Итоги науки и техники. Серия: Механика жидкости и газа. Т.17. М: Изд. ВИНИТИ. С.98-159.

44. Гончар В.И., Товарков А.К. 1991. Образование паровой оболочки при прохождении тока через электролит.// ЭОМ. №1. С.49-52.

45. Горшков В.Н., Чабан М.Г. 1999. Нелинейные электрогидродинамические явления и генерация капель в заряженных проводящих струях жидкости.// ЖТФ. Т.69. Вып.11. С. 1-9.

46. Горячев B.JL, Рутберг Ф.Г., Уфимцев A.A. 1998. О фотолитических свойствах импульсного разряда в воде.// Письма в ЖТФ. Т.24, вып.З. С.91-95.

47. Горячев B.JL, Уфимцев A.A., Ходаковский A.M. 1997. О механизме эрозии электродов при импульсных разрядах в воде с энергией в импульсе ~ 1 Дж.// Письма в ЖТФ. Т.23, вып. 10. С.25-29.

48. Григорьев А.И. 1985. О механизме неустойчивости заряженной проводящей капли // ЖТФ. Вып.7. С.1272-1278.

49. Григорьев А.И. 1990. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор) //ЭОМ. №6. С.23-32.

50. Григорьев А.И. 1999. Об устойчивости по отношению к радиальным возмущениям заряженного пузыря в диэлектрической жидкости.// Письма в ЖТФ. Т.25, вып.1. С.25-29.

51. Григорьев А.И. 2000. Электродиспергирование жидкости при реализации колебательной неустойчивости ее свободной поверхности.// ЖТФ. Т.70. Вып. 5. С.22-27.

52. Григорьев А.И. 2001. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости силыюзаряженной вязкой капли.//ЖТФ. Т.71. Вып.Ю. С.1-7.

53. Григорьев А.И., Жаров А.Н. 2000. Устойчивость равновесных состояний заряженных пузырей в диэлектрической жидкости.//ЖТФ. Т.70. Вып.4. С.8-13.

54. Григорьев А.И., Жаров А.Н., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. 1998. Капиллярные колебания и устойчивость заряженного пузыря в вязкой диэлектрической жидкости.// Изв. РАН. МЖГ. №5. С.205-209.

55. Григорьев А.И., Жаров А.Н., Ширяева С.О. 1999. Устойчивость во внешнем электростатическом поле пузыря в диэлектрической жидкости.// ЖТФ. Т.69, вып.8. С.43-48.

56. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. 1997. О дроблении сильно заряженного пузыря в диэлектрической жидкости на части сравнимых размеров.// Письма в ЖТФ. Том 23, вып. 19. С. 60-65.

57. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. 1999. Неустойчивость заряженной сферической капли, движущейся относительно среды //ЖТФ. Т.69. Вып.5. С.7-14.

58. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. 2000. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. Т.70. Вып.7. С.26-34.

59. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. 1992. Об одном методе решения уравнения Навье-Стокса в криволинейных системах координат. // ЖВММФ. Т.32. №6. С.929-938.

60. Григорьев А.И., Синкевич O.A. 1985. К механизму развития неустойчивости капли жидкости в электростатическом поле// Изв. Ан СССР. МЖГ. №6. С. 10-15.

61. Григорьев А.И., Фирстов A.A. 1992. Критические условия неустойчивости заряженной капли, имеющей форму сплюснутого сфероида//ЭОМ. №6. С.20-23.

62. Григорьев А.И., Ширяева С.О. 1991. Закономерности рэлеевского распада заряженной капли.//ЖТФ. Т.61, вып.З. С. 19-28.

63. Григорьев А.И., Ширяева С.О. 1994. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор)// Изв. РАН. МЖГ. №3. С.З-22.

64. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белавина Е.И. 1989. Равновесная форма заряженной капли в электрическом и гравитационном полях.//ЖТФ. Т.59, вып.6. С.27-34.

65. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В. 2003. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей слабо заряженной капли // ЖТФ. Т.73. Вып.11. С.31-36.

66. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В., Филиппова Е.О. 2003. О напряженности электростатического поля в окрестности нелинейно-осциллирующей заряженной капли // ЭОМ. №6. С. 19-24.

67. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н. 1999 а. Рэлеевский распад сильно заряженного пузыря в диэлектрической жидкости.//ЖТФ. Т.69, вып.2. С.11-15.

68. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н. 1999 Ь. Неустойчивость во внешнем электростатическом поле пузыря в жидком диэлектрике.//ЖТФ. Т.69, вып.11. С.10-13.

69. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А. 1998. Капиллярные колебания и устойчивость заряженной вязкой капли в вязкой диэлектрической среде.//ЖТФ. Т.68. вып.9. С.1-8.

70. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Шевченко С.И. 1991. ЭГД неустойчивости в дисперсных системах (обзор) // Научное приборостроение. Т.1. №3. С.25-43.

71. Гросу Ф.П., Стратулат М.П., Татару П.М. 1993. Влияние газовыделения на концентрацию электролита, движущегося в аксиальном направлении цилиндрического конденсатора.// ЭОМ. №5. С.26-28.

72. Диденкулов И.Н., Селивановский Д.А., Семенов В.Е., Соколов И.В. 1999. Влияние вязкости на Рэлей-Тейлоровскую неустойчивость сильнонелинейных сходящихся-расходящихся сферических течений жидкости.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. Т.42. №2. С.183-197.

73. Диткин В.А., Прудников А.П. 1975. Операционное исчисление. М.: Высшая школа,408 с.

74. Дойников A.A., Завтрак С.Т. 1988. Взаимодействие газовых пузырьков в сжимаемой жидкости.// Изв. АН СССР. МЖГ. №6. С.99-103.

75. Дойников A.A., Завтрак С.Т. 1990. Радиационное взаимодействие газовых пузырьков в сжимаемой жидкости в поле неоднородной звуковой волны.// Письма в ЖТФ. Т.16, вып.5. С.63-66.

76. Дробышевский Э.М., Жуков Б.Г., Резников Б.И., Розов С.И. 1977. Излучение и равновесный состав плазмы импульсного диафрагменного разряда в электролитах.// ЖТФ. Т.47, вып.2. С.255-262.

77. Дрояронов A.JT. 1993. Теоретические основы устойчивости флотационного комплекса.// ЭОМ. №4. С.39-49.

78. Дудников В.Г., Шабалин A.J1. 1987. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор) // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск.:66 с.

79. Дьячук В.А., Мучник В.М. 1979. Коронный разряд с обводненной градины, основной механизм инициирования молнии// ДАН СССР. Т.248. №1. С.60-63.

80. Емец Б.Г. 1996. Эффективное извлечение газа из жидкости с помощью микроволн при практически неизменной температуре.// Письма в ЖТФ. Т.22, вып.8. С.22-24.

81. Емец Б.Г. 1997. Определение методом ядерного магнитного резонанса средних размеров и концентрации воздушных пузырьков, содержащихся в воде.// Письма в ЖТФ. Т.23, вып.13. С.42-45.

82. Емец Б.Г. 1998. Индикация методом ядерного магнитного резонанса наличия или отсутствия конвективного движения в воде.// Письма в ЖТФ. Т.24, вып.18. С.87-90.

83. Жакин А.И. 1988. Исследование электроконвекции и электроконвективного теплопе-реноса в жидких диэлектриках при униполярной инжекционной проводимости.// Изв. АН СССР. МЖГ. №2. С. 14-20.

84. Жаров А.Н. 1998 а. Диспергирование заряженной капли в электростатическом поле. // Тезисы докладов 18-ой научной конференции Стран СНГ. Одесса, С.103-104.

85. Жаров А.Н. 1998 Ь. Влияние сжимаемости газа на критические условия неустойчивости в электростатическом поле пузыря в диэлектрической жидкости.// Письма в ЖТФ. Т.24, вып.21. С.49-54.

86. Жаров А.Н. 1999. Устойчивость заряженного пузырька по отношению к виртуальным изменениям объема.// Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах", Ярославль, ЯГТУ. С.33-37.

87. Жаров А.Н. 2003. Нелинейные поправки к частотам осцилляций капли в среде. // Материалы Всероссийской научной конференции посвященной 200-летию Ярославского государственного университета. Ярославль, С. 61-64.

88. Жаров А.Н., Григорьев А.И. 2001 а. Капиллярные колебания заряженного пузырька в жидкости.// ЭОМ. № 4. С. 15-21.

89. Жаров А.Н., Григорьев А.И. 2001 Ь. О капиллярных колебаниях и устойчивости заряженного пузырька в диэлектрической жидкости. // ЖТФ. Т.71. Вып.11. С. 12-20.

90. Жаров А.Н., Григорьев А.И. 2004 а. О нелинейном изменении частоты капиллярных колебаний заряженной капли. // ЭОМ. № 1. С.

91. Жаров А.Н., Григорьев А.И. 2004 Ь. О влиянии движения газа внутри заряженного пузырька в жидкости на параметры его осцилляций. // ЖТФ. Т.74. Вып. 11. С. 13-21.

92. Жаров А.Н., Григорьев А.И. 2005. О временной эволюции формы поверхности, деформированной в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости. // ЖТФ. Т.75. Вып.1. С.22-31.

93. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. 2003. О внутреннем нелинейном четы-рехмодовом взаимодействии капиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в ЖТФ. Т.29. Вып.9. С.75-82.

94. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. 2005. О влиянии вязкости жидкости нелинейно-осциллирующей заряженной капли на положения внутренних резонансов // ЖТФ. Т.75. Вып.7. С.19-28.

95. Жаров А.Н., Коромыслов В.А. 1997. Математическая модель дробления сильно заряженного пузыря в диэлектрической жидкости. // Тезисы докладов молодежной научно-практической конференции "Проблемы моделирования в естествознании". Волжский, С. 8-9.

96. Жаров А.Н., Коромыслов В.А., Григорьев А.И. 1998. О рэлеевском распаде сильно заряженного пузыря в диэлектрической жидкости.// ЭОМ. №1-2. С.43-47.

97. Жаров А.Н., Курочкина С.А. 2002. Нелинейные колебания заряженной капли идеальной жидкости.// Тезисы докладов 20-ой научной конференции Стран СНГ. Одесса, С. 103104.

98. Жаров А.Н., Ширяева С.О. 1999. Заряженные пузырьки в жидкости (обзор). // ЭОМ. № 6. С.9-22.

99. Жаров А.Н., Ширяева С.О. 2004. О форме деформированной в начальный момент капли вязкой жидкости. // Тезисы докладов 21-ой научной конференции Стран СНГ. Одесса, С.110-111.

100. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 1999. Диспергирование заряженной капли в электростатическом поле. // ЖТФ. Т.69, вып. 12. С.26-30.

101. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2000. О диспергировании в электростатическом поле заряженного газового пузыря в жидком диэлектрике. //ЖТФ. Т.70. Вып.6. С.37-42.

102. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2003. а О нелинейных осцилляциях заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде одномодового начального возбуждения. //ЖТФ. Т.73. Вып.6. С.Зб-45.

103. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2003. b Нелинейные колебания заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации. // ЖТФ. Т.73. Вып. 12. С.9-19.

104. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2004 а. О нелинейных поправках к частотам осцилляций заряженной капли в несжимаемой внешней среде. // ЖТФ. Т.74. Вып.7. С.19-26.

105. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2004 Ь. О нелинейных поправках к частотам осцилляций заряженной капли в несжимаемой внешней среде. // ЖТФ. Т.74. Вып.8. С.116-119.

106. Жаров А.Н., Щукин С.И. 1997. Об устойчивости сильно заряженной эллипсоидальной капли. // Материалы областной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Ярославль, С. 5.

107. Жаров Н.И. 1990. Исследование процесса развития кавитационных парогазовых пузырьков.//ЖТФ. Т.60, вып. 12. С.22-28.

108. Жекул В.Г., Раковский Г.Б. 1983. К теории формирования электрического разряда в проводящей жидкости.//ЖТФ. Т.53, вып.1. С.8-14.

109. Жмаев H.A., Остапенко A.A., Стишков Ю.К. 1991. Влияние свойств границы электрод-жидкость на пробивное напряжение жидких диэлектриков.// ЭОМ. №5. С.38-42.

110. Жуков В.И. 1996. Скорость роста паровых пузырей на поверхности нагрева при кипении.// Письма в ЖТФ. Т.22, вып 21. С.34-38.

111. Завтрак С.Т. 1991. К вопросу об экспериментальной проверке теории дальнодейст-вующих радиационных сил.// Письма в ЖТФ. Т. 17, вып. 19. С.34-36.

112. Завтрак С.Т., Коробко Е.В. 1991. Поведение газовых пузырьков в жидких диэлектриках в присутствии внешнего электрического поля.// ЖТФ. Т.61. Вып.З. С. 177-179.

113. Зелепко В.Л., Мясников В.П. 1992. Стационарные режимы при барботаже газа в колонне с вертикальными вставками.// Изв. АН СССР. МЖГ. №3. С.59-68.

114. Золовкин H.A., Хабеев Н.С. 1993. Радиальные колебания газовых пузырьков в жидкости при наличии в газе горючей компоненты.// Изв. АН СССР. МЖГ. №1. С. 103-109.

115. Иванов В.В., Швец И.С., Иванов A.B. 1982. Подводные искровые разряды. Киев: Нау-кова думка. 192 с.

116. Иевлев И.И., Исерс А.Б. 1982. Равновесие и устойчивость поверхности раздела жидких диэлектриков в электрическом и гравитационных полях. // Изв. РАН. МЖГ. №6. С. 101105.

117. Калишников Н.К., Липов Г.В., Муратов В.М. 1987. Исследование начальной стадии сильноточного наносекундного разряда в жидкости.// ЖТФ. Т.57, вып.11. С.2126-2134.

118. Калишников Н.К., Липов Г.В., Муратов В.М. 1991. Гидродинамические процессы в разрядном промежутке сильноточного наносекундного коммутатора с жидкой изоляцией.// ЭОМ. №3. С.55-59.

119. Карелин В.Я. 1983. Изнашивание лопастных насосов. М.: Машиностроение, 167 с.

120. Кедринский В.К. 1993. Нелинейные проблемы кавитационного разрушения жидкости при взрывном нагружении (обзор).// ПМТФ. №3. С.74-91.

121. Климкин В.Ф. 1986. Особенности развития электрического пробоя Н-гексапа в мик-ронаносекундном диапазоне.//ЖТФ. Т.56, вып. 10. С.2041-2043.

122. Климкин В.Ф. 1987. Особенности развития электрического пробоя воды в субмиллиметровых промежутках.// ЖТФ. Т.57, вып.4. С.805-807.

123. Климкин В.Ф. 1990 а. Механизмы электрического пробоя Н-гексана в наносекундном диапазоне.// ЖТФ. Т.60, вып.6. С.161-163.

124. Климкин В.Ф. 1990 Ь. Механизмы электрического пробоя воды с острийного анода в наносекундном диапазоне.// Письма в ЖТФ. Т. 16, вып.4. С.54-58.

125. Климкин В.Ф. 1991. Границы механизмов электрического пробоя Н-гексана в квазиоднородном поле.// ЖТФ. Т.61, вып.8. С.80-83.

126. Климкин В.Ф., Пономаренко А.Г. 1979. Исследование импульсного электрического пробоя жидкостей с помощью оптической интерференции.//ЖТФ. Т.49, вып.9. С.1896-1904.

127. Кнэпп Р., Дейли Д., Хэммит Ф. 1974. Кавитация.М.:Мир, 687 с.

128. Ковалев В.Г. 1994. Автомодельная задача о цилиндрическом поршне в равновесной газожидкостной среде.// Письма в ЖТФ. Т.20, вып 18. С.61-64.

129. Ковалев В.Г. 1996. Гидродинамика электровзрыва в газожидкостной смеси.// ЖТФ. Т.66, вып.4. С.24-29.

130. Коваленко A.C. 1980. Влияние пузырькового кипения гелия на низкочастотные шумы сверхпроводящих точечных контактов.//ЖТФ. Т.50, вып.З. С.637-639.

131. Коган Е.Я., Мартыш Е.В. 1980. Образование поверхностного заряда в ограниченной плазме.//ЖТФ. Т.50, вып.5. С.902-907.

132. Коженков В.И., Кирш A.A., Фукс H.A. 1974. Исследование процесса образования монодисперсных аэрозолей при электрическом распылении жидкости.// Коллоидный журнал. Т.36, №6. С.1168-1171.

133. Коженков В.И., Фукс H.A. 1976. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) // Успехи Химии. Т.45. №12. С.2274-2284.

134. Колдамасов А.И. 1991. Плазменное образование в кавитирующей диэлектрической жидкости.// ЖТФ. Т.61, вып.2. С.188-190.

135. Комин С.Н., Кучинский Г.С., Морозов Е.А. 1984. Механизм нарушения электрической прочности воды в микросекундном диапазоне.//ЖТФ. Т.54, вып.9. С. 1826-1829.

136. Корн Г., Корн Т. 1973. Справочник по математике. М.: Наука, 832 с.

137. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Ширяева С.О. 1998. Деление заряженных капель на части сравнимых размеров при сильных сфероидальных виртуальных деформациях.// ЖТФ. Т.68, вып.8. С.31-38.

138. Коромыслов В.А., Жаров А.Н. 1998. Критические условия неустойчивости сильно заряженного газового пузыря в диэлектрической жидкости. // Тезисы докладов 5-ой конференции молодых ученых. Ярославль, С. 453-456.

139. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2003. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в диэлектрической среде при одномодовой начальной деформации формы. // ЖТФ. Т.73. Вып.9. С.44-51.

140. Креев М.В., Никитин B.B. 1990. К вопросу о КПД электроимпульсного насоса.// ЭОМ. №5. С.57-59.

141. Кулешов В.М., Недосеев СЛ., Смирнов В.П., Спектор A.M. 1974. Коммутационные характеристики разрядника с самопробоем в воде.//ЖТФ. Т.44, вып.1. С.230-232.

142. Ламб Г. 1947. Гидродинамика. Л.: Гостехтеориздат, 928 с.

143. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. 1982. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 620 с.

144. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. 1986. Гидродинамика. М.: Наука, 733 с.

145. Левачева Г.А., Маныкин Э.А., Полуэктов П.П. 1985. О спектре колебаний форм ми-целлярной частицы. // Изв. АН СССР. МЖГ №2. С. 17-22.

146. Левич В.Г. 1952. Физико-химическая гидродинамика. М.: Изд. АН СССР. 538 с.

147. Липсон А.Г., Клюев В.А., Дерягин Б.В., Топоров Ю.П., Сиротюк М.Г., Хаврошкин О.Б., Саков Д.М. 1990. Наблюдение нейтронов при кавитационном воздействии на дейтерий-содержащие среды.// Письма в ЖТФ. Т. 16, вып. 19. С.89-93.

148. Мазин И.П., Хргиан А.Х., Имянитов И.М. 1989. Облака и облачная атмосфера. Справочник./ Л.: Гидрометеоиздат, 647 с.

149. Максимов А.О. 2005. Максимальный размер пузырька при автомодельных пульсациях// Письма в ЖТФ. Т.31. Вып.7. С.7-13.

150. Малинин А.Н., Сабинин В.Е., Сидоров А.Н. 1994. Эффекты воздействия электрического тока на водные растворы электролитов.// Письма в ЖТФ. Т.20, вып.1. С.57-61.

151. Михеев Г.М., Михеев Гр.М., Некряченко Г.П., Готлиб И.П. 1998. Выделение водорода из диэлектрической жидкости под действием ультразвука.// Письма в ЖТФ. Т.24, вып.1. С.79-84.

152. Михеева Е.В., Хабеев Н.С. 1989. Радиальные колебания паровых пузырьков в растворах.// Изв. АН СССР. МЖГ. №3. С.108-113.

153. Морс Ф.М., Фешбах Г. 1953. Методы теоретической физики. М:. "ИЛ", Т.1., 923 с.

154. Найфе А.Х. 1976. Методы возмущений. М.: Мир, 455 с.

155. Ненно В.Э.,Зеленцов В.И., Дацко Т.Я., Дворникова Е.Е., Радзилевич Т.М. 1994. Сорбция золота и серебра из цианидных растворов активированным углем и его выделение электрофлотацией.// ЭОМ. №3. С.42-44.

156. Никитин В.В., Краёв М.В. 1992. Экспериментальные исследования характеристик электроимпульсиых насосов.// ЭОМ. №6. С.32-35.

157. Поздеев В.А. 1994. Излучение волны давления сферической полостью, пульсирующей со схлопыванием.// Письма в ЖТФ. Т.20, вып.З. С.92-95.

158. Поздеев В.А. 1996. Влияние начальных значений кинематических параметров плазменного канала электрического разряда в воде на время переходного процесса.// Письма в ЖТФ. Т.22, вып. 14. С.7-10.

159. Пылаева И.В., Синкевич O.A., Смирнов П.В. 1992. Численный анализ динамики сферического пузырька в жидком диэлектрике при наличии электрического поля.// ТВТ. Т.ЗО, №2. С.367-371.

160. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. 1984. Введение в теорию колебаний и волн.М.: Наука. 432 с.

161. Рид Р., Шервуд Т. 1971. Свойства газов и жидкостей. JI: Химия, 702 с.

162. Рыбакова М.В., Ширяева С.О., Григорьев А.И. 2004. О внутреннем нелинейном резонансе капиллярных осцилляций заряженной капли в диэлектрической среде при многомодо-вой начальной деформации границы раздела сред. //ЖТФ. Т.74. Вып.1. С.24-31.

163. Рябинин А.Г. 1993. Процессы, сопровождающие разрушение крупногабаритных минеральных включений в скважинах с помощью контактного высоковольтного электрического разряда.// ЭОМ. №6. С.39-41.

164. Рябинин А.Г. 1994. Концентрация энергии гидроэлектроразряда газовыми полостями.// ЭОМ. №3. С.36-38.

165. Рябинин А.Г., Рябинин Г.А. 1976. Экспериментальное исследование энергии газового пузыря при электрическом разряде в воде.// ЖТФ. Т.46, вып.4. С.881-884.

166. Саранин В.А., Жаров А.Н., Белоножко Д.Ф. 1997. Колебательная неустойчивость границы раздела проводящих жидкостей в нормальном электрическом поле.// Письма в ЖТФ. 1997. Т.23, Вып. 16. С. 41-44.

167. Скимбов A.A. 1992. Исследование внутренних характеристик кипения смесей в электрическом поле.// ЭОМ. №6. С.23-27.

168. Скорых В.В. 1986. Влияние пузырьков газа на зажигание разряда в воде.// ЖТФ. Т.56, вып.8. С.1569-1572.

169. Стишков Ю.К., Остапенко A.A. 1981. Границы существования ЭГД-течений в гомогенных жидкостях.// ЭОМ. №4. С.62-65.

170. Стишков Ю.К., Остапенко A.A. 1989. Электро-гидродинамические течения в жидких диэлектриках. Ленинград, 174 с.

171. Тесленко B.C., Жуков А.И., Митрофанов В.В. 1995. Многоочаговый электроискровой разряд в жидкости.// Письма в ЖТФ. Т.21, вып. 18. С.20-26.

172. Трофимова Л.П., Поклонов С.Г. 1993. Электрическая прочность разрядного промежутка при высоковольтном пробое воды в условиях повышенных давлений.// ЭОМ. №6. С.35-38.

173. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. 1963. Курс современного анализа. М., Физматгиз, 516 с.

174. Хасанов М.М. 1994. Исследование устойчивости фильтрации жидкостей с зародышами газа.// Изв. АН СССР. МЖГ. №2. С.66-73.

175. Шамко В.В. 1978. Интегральные характеристики плазмы подводного искрового разряда (ПИР).// ЖТФ. Т.48, вып.5. С.967-971.

176. Шашин В.М. 1990. Гидромеханика. М.: Высшая школа, 384 с.

177. Шевченко С.И., Григорьев А.И., Ширяева С.О. 1991. ЭГД распыление жидкости (обзор) // Научное приборостроение. Т.1. № 4. С.3-21.

178. Ширяева С.О. 2000 с. Асимметрия нелинейного резонансного взаимодействия мод капиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в ЖТФ. Т.26. Вып.22. С.76-83.

179. Ширяева С.О. 2001 а. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость сильно заряженной капли при одномодовой начальной деформации большой амплитуды// ЖТФ. Т.71. Вып.2. С.27-35.

180. Ширяева С.О. 2001 Ь. Нелинейные осцилляции заряженной капли при многомодовой начальной деформации равновесной формы// Изв. РАН. МЖГ. №3. С.173-184.

181. Ширяева С.О. 2002. Нелинейные осцилляции заряженной капли при начальном возбуждении соседних мод//ЖТФ. Т.72. Вып.4. С. 15-22.

182. Ширяева С.О. 2003 а. Нелинейные капиллярные колебания объемно заряженной диэлектрической капли // Изв. РАН. МЖГ. №1. С. 104-113.

183. Ширяева С.О. 2003 Ь. О влиянии собственного заряда нелинейно осциллирующей капли на внутреннее резонансное взаимодействие мод // Письма в ЖТФ. Т.29. Вып. 17. С.28-35.

184. Ширяева С.О. 2003 с. О внутреннем резонансе мод нелинейно осциллирующей объемно заряженной диэлектрической капли // ЖТФ. Т.73. Вып.2. С.19-30.

185. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. 2002. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли// Письма в ЖТФ. Т.28. Вып.22. С.45-51

186. Ширяева С. О., Белоножко Д. Ф., Световой В. Б., Григорьев А. И. 2001 а. Формулировка задач об аналитическом расчете нелинейных движений вязкой жидкости со свободной поверхностью. Препринт №31. ИМИ РАН. Ярославль. 87с.

187. Ширяева С.О., Григорьев А.И. 1993. О некоторых закономерностях распада незаряженной капли в сильном электростатическом поле.// Письма в ЖТФ. Т. 19, вып. 18. С.87-92.

188. Ширяева С.О., Григорьев А.И. 1994. Опыт полуфеноменологической классификации наблюдаемых режимов электростатического диспергирования жидкости.// ЖТФ. Т.64. Вып.З. С. 13-25.

189. Ширяева С.О., Григорьев А.И. 1995 а. Об использовании вариационных принципов при расчете ЭГД диспергирования и течения жидкостей.// ЖТФ. Т.65, вып.2. С.11-21.

190. Ширяева С.О., Григорьев А.И. 1995 Ь. Характерное время развития неустойчивости сильно заряженной капли// ЖТФ. Т.65. Вып.9. С.39-45.

191. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. 1999. О некоторых особенностях реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости // ЖТФ. Т.66. Вып.7. С. 15-22.

192. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. 2000. О делении на две части сильно заряженной капли при нелинейных колебаниях // ПЖТФ Т.26. Вып. 19. С. 16-23.

193. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. 2003. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма в ЖТФ. Т.29. Вып.6. С.69-75.

194. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Жаров А.Н. 1998. Критические условия неустойчивости в электростатическом поле капли, осевшей на твердой подложке. // ЖПХ. Т.71, №11. С.1912-1915.

195. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. 2003. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде // ЖТФ. Т.73. Вып.9. С.60-63.

196. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. 2004. Нелинейный аналитический асимптотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной жидкости //ЖТФ. Т.74. Вып.8. С. 6-14.

197. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Святченко A.A. 1993. Классификация режимов работы электрогидродинамических источников жидко-капельных пучков (обзор) // Препринт ИМ РАН № 25. Ярославль. 118 с.

198. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Сыщиков Ю.В. 1989. Электростатическое монодиспергирование жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор) // ЖПХ. Т. 62. №9. С.2020-2026.

199. Ширяева С.О., Жаров А.Н. 1998. Диспергирование в электростатическом поле заряженного пузыря в жидком диэлектрике.// Письма в ЖТФ. Т.24, вып.24. С.30-35.

200. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. 2004. О некоторых особенностях нелинейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций заряженной капли // ЖТФ. Т.74. Вып.1. С.10-20.

201. Ширяева С.О., Лазарянц А.Э., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Муничев М.И., Сомова И.А. 1994. Метод скаляризации векторных краевых задач. Препринт №27. ИМ РАН. Ярославль. 128 с.

202. Щукин С.И., Григорьев А.И. 1998. Устойчивость заряженной капли, имеющей форму трехосного эллипсоида//ЖТФ. Т.68. Вып.11. С.48-51.

203. Яншин Э.В., Овчинников И.Т., Вершинин Ю.Н. 1973. Оптические исследования пред-пробойных явлений в воде в наносекундном диапазоне.//ЖТФ. Т.43, вып. 10. С.2067-2074.

204. Adornato P.M., Brown R.A. 1983. Shape and stability of electrostatically levitated drops // Proc. R. Soc., London. V.A389. P. 101-117.

205. Aitken F., McCluskey F.M.J., Denat A. 1996. An energy model for artificially generated bubbles in liquids. //J. Fluid Mech. V.327. P.373 392.

206. Azuma H., Yoshinara S. 1999. Three-dimensional large-amplitude drop oscillations: experiments and theoretical analysis // J. Fluid Mech. V.393. P.309-332.

207. Bailey A.G. 1986. The Theory and practice of electrostatic spraying (revue)//Atomization and Spray Technology. V.2. P.95-134.

208. Baily A.G. 1974. Electrostatic atomization of liquids (revue)// Sci. Prog., Oxf. V.61. P. 555581.

209. Baker G. R., Merion D.I., Orzag S.A. 1982. Generalized vortex methods for free-surface flow problems // J. Fluid Mech. V.123. 477-501.

210. Basaran O.A. 1992. Nonlinear oscillations of viscous drops // J. Fluid Mech. V.241. P.169198.

211. Basaran O.A., Scriven L.E. 1989 a. Axisimmetric shapes and stability of isolated charged drops // Phys. Fluids. V.A1. №5. P.795-798.

212. Basaran O.A., Scriven L.E. 1989 b. Axisimmetric shapes and stability of charged drops in an external electric fields// Phys. Fluids. V.AI. №5. P.799-809.

213. Bateman H. 1931. On dissipative systems and related variational principles // Phys. Rev. V.38. August 15. P.815-819.

214. Beard K.V. 1984. Oscillation model for predicting raindrop axis and backscattering ratios// Radio Sci. V.19. №1. P.67-74.

215. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. 1991. Experimental and theoretical investigation of large amplitude oscillations of liquid droplets//J. Fluid Mech. V.231. P. 189-210.

216. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. 1994. Nonlinear dynamics of viscous droplets I I J. Fluid Mech. V.258. P.191-216.

217. Bekshaev A.Ya., Kontush S.M., Rybak S.S., Schweiger G, Esen C. 2003. Resonans penetration of gas bubbles through a thin liquid layer: a capillary resonator and its use for the generation of droplets//J. Aerosol Sci. V.34. P.469-484

218. Benjamin T.B. Note on the shape oscillations of bubbles // J. Fluid Mech. 1989. V.203. P.419-424.

219. Benjamin T.B., Ellis A.T. 1990. Self propulsion of asymmetrically vibrating bubbles // J. Fluid Mech. V.212. P.65-80.

220. Berg T.G.O., Trainor R.J., Vaughan U. 1970. Stable, unstable and metastable charged droplets. //J. Atmosph. Sci. V.27. №11. P.l 173-1181.

221. Bogy D.B. 1979. Drop formation in a circular liquid jet//Ann. Rev. Fluid Mech. V.ll. P.207228.

222. Bohr N., Wheeler J.A. 1939. The mechanism of nuclear fission // Phys. Rev. V.56. P.426450.

223. Bratz A., Egry I. 1995. Surface oscillations of electromagnetically levitated viscous metal droplets //J. Fluid Mech. V.298. P.341-359.

224. Brennen C. 2002. Fission of collapsing cavitations bubbles // J. Fluid Mech. V.472. P.l53166.

225. Brown R.A., Scriven L.E. 1980. The shape and stability of rotating liquid drop // Proc. R. Soc., London. V.A371. P.331-357.

226. Chandrasekhar S. 1959. The oscillations of a viscous liquid globe. // Proc. London Math. Soc. V.3. №9. P.141-149.

227. Cheng K.J. 1985. Capillary oscillations of a drop in an electric field // Phys. Lett. V.A112. №11. P.392-396.

228. Cheng K.J., Chaddock J.B. 1984. Deformation and stability of drops and bubbles in electric field.//Phys. Lett. V.106A,№1,2. P.51-53.

229. Cheng K.J., Chaddock J.B. 1986. // Int. J. Heat and Fluid Flow. V.7, №4. P.278-282. Doinicov A.A. 2001. Acoustic radiation interparticle forces in a compressible fluid // J. Fluid Mech. V.444. P. 1-21.

230. Doinicov A.A. 2004. Tanslational motion of a bubbles undergoing shape oscillation // J. Fluid Mech. V.501.1-21.

231. Doyle A., MofFet D.R., Vonnegut B. 1964. Behaviour of evaporating electrically charged droplets. //J. Colloig Sci. V.19. P. 13 6-143.

232. Duft D., Lebius H., Huber B.A. et al 2002. Shape oscillations and stability of charged mi-crodroplets. //Phys. Rev. Lett. V.89. №8. P. 1-4.

233. Eller A.I., Crum L.A. 1970. Instability of motion of a pulsating bubble in a sound field // J. Acoustical Soc. Amer. V.47. Partn 2. №3. P.762-767.

234. Ellingsen K., Risso F. 2001. On the rise of an ellipsoidal bubble in water: oscillatory paths and liquid induced velocity // // J. Fluid Mech. 2001. V.440. P.235-268.

235. Feng Z.C. 1990. A method of multiple-parameter perturbations with an application to drop oscillations in an electric field. // Quart. Appl. Math. V.47. №3. P.555-567.

236. Feng Z.C. 1997. Instability caused by the coupling between non-resonant shape oscillation modes of a charged conducting drop. // J. Fluid Mech. V.333. P.l-21.

237. Feng Z.C., Beard K.V. 1990. Small-amplitude oscillation of electrostatically levitated drops. //Proc. R. Soc., Landon. V.430. P. 133-150.

238. Feng Z.C., Beard K.V. 1991. Three-dimensional oscillation characteristics of electrostatically levitated drops. //J. Fluid Mech. V.227. P.429-447.

239. Feng Z.C., Leal L.G. 1993. On energy transfer in resonant bubble oscillations. // Phys. Fluids. V.A5. №4. P.826-836.

240. Feng Z.C., Leal L.G. 1994. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonance.// J. Fluid Mech. V.266. P.209-242.

241. Feng Z.C., Leal L.G. 1995. Translational instability of a bubble undergoing oscillations. // Phys. Fluids. V.7. №6. P. 1325-1336.

242. Feng Z.C., Su Y.H. 1997. Numerical simulation of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field. // Phys. Fluids. V.9. №3. P.519-529.

243. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K. et al. 1989. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (revue) // Science. V.246. №4926. P.64-71.

244. Ffowcs-Williams J.E., Guo Y.P. 1991 On resonant nonlinear bubble oscillations.// J. Fluid Mech. V.224. P. 507-529.

245. Foote G.B. 1973, A numerical method for studying simple drop behavior: simple oscillation // J. Comp. Phys. V.l 1. P.507-530.

246. Garton C.G., Krasucki Z. 1964. Bubbles in insulating liquids: stability in an electric field.// Tranc. Jaraday Soc. V.60. P.211-226.

247. Glinsky M.E., Baily D.S., London A.R., Amendt P.A., Rubenchik A.M. 2001. An extended Rayleigh model of bubble evolution. //Phys. Fluids. V.13. №1. P.20-31.

248. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O. 1990. Mechanism of electrostatic polydispersion of liquid.// J.Phys. D: Appl. Phys. V.23, №11. P. 1361-1370.

249. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O. 1994. The theoretical consideration of physical regularities of the electrostatic dispersion of liquids as aerosols // J. Aerosol Sci. V.25. №6. P. 1079-1091.

250. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O. 1996. The possible physical mechanism of initiation and growth of lightning // Physica Scripta. V.54. P.660-666.

251. Hao Lin, Storey B.D., Szeri A.J. 2002. Inertially driven inhomogeneities in violently collapsing bubbles: the validity of the Rayleigh-Plesset equation // J. Fluid Mech. V.452. P. 145-162.

252. Harkin A., Kaper T.J., Ali Nadim. 2001. Coupled and translation of two gas bubbles in a liquid //J. Fluid Mech. V.445. P.377-411.

253. Jassman W.E. 1968. Collapse of a gas-filled spherical cavity // // J. Appl. Mech. №9. P.579587.

254. Jakobi N., Croonquist A.P., Elleman D.D. Wang T.G. 1982. Acoustically induced oscillations and rotation of a large drop in Space// Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena: JPL Publication 82-7. P.31

255. Jog M.A., Ayyaswamy P.S., Cohen I.M. 1996. Evaporation and combustion of slowly moving liquid fuel droplet: higher-order theory. // J. Fluid Mech. V.307. P. 135-165.

256. Jong-Wook Ha, Seunng-Man Yang. 2000. Deformation and breakup of Newtonian and non-Newtonian conducting drops in an electric field. // J. Fluid Mech. V.405. P.131-156.

257. Kang I.S., Leal L.G. 1988. The drag coefficient for a spherical bubble in a uniform streaming flow//Phys. Fluids. V.31. №2. P.233-237.

258. Khaleeq-Ur-Rahman M., Saunders C.P.R. 1991. Corona from bursting bubbles.// Atmos. Res. V.26. P.329-338.

259. Maclntyre F. 1972. Flow Patterns in Breaking Bubbles.// J. Of Geoph. Res. V.77, №27. P.5211-5228.

260. Marston Ph. L. 1980. Shape oscillation and static deformation of drops and bubbles driven by modulated radiation stresses. Theory. // J. Acoust. Soc. Am. V.67. №1. P.15-26.

261. Mei C.C., Zhou X. 1991. Parametric resonance of a spherical bubble. // J.Fluid Mech. V.229. P.29-50.

262. Millikan C.B. 1929. On the steady motion of viscous, incompressible fluids; with particular reference to a variation principle // Phil. Mag. V.7. S.7. №44. P.641-662.

263. Mochizuki T., Mori T., Kaji N. 1990. // AIChE Journal. Vol.36. №7. P.1039-1045.

264. Natarajan R., Brown R.A. 1986. Quadratic resonance in the three-dimensional oscillation of inviscid drops with surface tension // Phys. Fluids. V.29. №9. P.2788-2797.

265. Natarajan R., Brown R.A. 1987 a. Third-order resonance effects and the nonlinear stability of drops oscillations//J. Fluid Mech. V.183. P.95-121.

266. Natarajan R., Brown R.A. 1987 b. The role of three-dimensional shapes in the break-up charged drops // Proc. R. Soc., London. V.A410. P.209-227.

267. Nayfeh A.H. 1970 a. Triple and quintuple-dimpled wave profiles in deep water.// Phys. Fluids. V.13. №3. P.545-550.

268. Nayfeh F.H. 1970 b. Nonlinear stability of a liquid jet // Phys. Fluids. V.13. №4. P.841-847.

269. Nigmatullin R.I., Akhatov I.Sh., Vakhitova N.K., Lanev R.T. 2000. On the forced oscillations of a small gas bubbles in a spherical liquid-filled flask // J. Fluid Mech. V.414. P.47-73.

270. Ogus H.N., Prospereti A. 1990. Bubble entrainment by the impact of drops on liquid surfaces.//J. Fluid Mech. V.219. P.143-179.

271. O'Konski Ch.T., Harris F.E. 1957. Electric free energy and the deformation of droplets in electrically conducting systems.// J. Phys.Chem. V.61, №9. P.l 172-1174.

272. Patzek T.W., Benner R.E., Basaran O.A., Scriven L.E. 1991. Nonlinear oscillations of inviscid free drops // J. Coputational Physics. V.97. P.489-515.

273. Pelekasis N.A., Tsamopolous J.A., Manolis G.D. 1990. Equilibrium shape and stability of charged and conducting drops // Phys. Fluids. V.A2. №8. P. 1328-1340.

274. Pelekasis N.A., Gaki A., Doinikov A.A. et al 2004. Secondary Bjerknes forces between two bubbles and the phenomenon of acoustic streamers // J. Fluid Mech. V.500. P.313-347.

275. Philipp A., Lauterborn W. 1998. Cavitation erosion by single laser-produced bubbles // J. Fluid Mech. 1998. V.361. P.75-116.

276. Popinet S., Zaleski S. 2002. Bubble collapse near a solid boundary: a numerical study of the influence of viscosity //J. Fluid Mech. V.464. P. 137-163.

277. Prosperetti A. 1977. Viscous effects on perturbed spherical flow // Quarterly of Applied Mathematics. V.35. P.339-352.

278. Prosperetti A. 1980. Free oscillations of drops and bubbles: the initial-value problem. // J. Fluid Mech. V.100. P.333-347.

279. Prosperetti A., Ren M. 2001. Comments on "Radial pulsations of a fluid sphere in a sound wave" by S. Temkin // J. Fluid Mech. V.430. P.401-405.

280. Rayleigh, Lord. 1882. On equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil. Mag. V.14. P.184-186.

281. Roulleau M., Desbois M. 1972. Study of evaporation and instability of charged water droplets. //J. Atmosph. Sci. V.29. №4. P.565-569.

282. Saffman P.G. 1967. The self-propulsion of a deformable body in a perfact fluid // J. Fluid Mech. V.28. Part 2. P.385-389.

283. Schweizer J.W., Hanson D.N. 1971. Stability limit of charged drops // J. Coll. Int. Sci. V.35. №3.P.417-423.

284. Seller A. 2004. On the capillary motion of arbitrary clusters of spherical bubbles. Part 1. General theory. //J. Fluid Mech. V.504. P.391-401.

285. Sherwood J.D. 1988. Breakup of fluid droplets in electric and magnetic fields.// J. Fluid Mech. V.188. P.133-146.

286. Shiryaeva S.O., Jarov A.N., Koromyslov V.A. 1998. The dispersion of a bubble in a uniform electrostatic field in dielectric liquid. // "Aerosol Theory" Thesis of RAS. Moscow, Vol. 4c, № 3. P. 98-99.

287. Suryanarayana P.V.R., Bayazitoglu Y. 1991. Effect of static deformation and external forces on the oscillations of levitated droplets // Phys. Fluids. V.3. №5. P.967-977.

288. Sussman M., Smereka P. 1997. Axisimmetric free boundary problems // J. Fluid Mech. V.341. P.269-294.

289. Tao Shi, Apfel R.E. 1995. Oscillations of a deformed liquid drop in an acoustic field // Phys. Fluids. V.7. №7. P. 1545-1552.

290. Taylor G.I. 1964. Disintegration of water drops in an electric field // Proc. R. Soc., London. V.A280. P.383-397.

291. Temkin S. 1999. Radial pulsations of a fluid sphere in a sound wave // J. Fluid Mech. V.380.1. P.l-38.

292. Trinch E., Wang T.G. 1982 a. Large amplitude drop oscillations // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena: JPL Publication 82-87.

293. Trinch E., Wang T.G. 1982 b. Large amplitude free and driven drop-shape oscillations: experimental observations//J. Fluid Mech. V.122. P.315-338.

294. Trinch E.H., Holt R.G., Thiessen D.B. 1996. The dynamics of ultrasonically levitated drops in an electric field // Phys. Fluids. V.8. №1. P.43-61.

295. Trinh E.E., Thiessen D.B., Holt R.G. 1998. Driven and freely decaying nonlinear shape oscillations of drops and bubbles immersed in a liquid: experimental results // J. Fluid Mech. V.364.253-272.

296. Tsamopolous J.A., Akylas T.R., Brown R.A. 1985. Dynamics of charged drop break-up. // Proc. R. Soc., London. V.A401. P.67-88.

297. Tsamopolous J.A., Brown R.A. 1983. Nonlinear oscillations of inviscid drops and bubbles // J. Fluid Mech. V.127. P.519-537.

298. Tsamopolous J.A., Brown R.A. 1984. Resonant oscillations of inviscid charged drops // J. Fluid Mech. V.147. P.373-395.

299. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. 1996. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space // J. Fluid Mech. V.308. P. 1-14.

300. Won-Kyu Rhim, Sang Kun Chung, Hyson M.T., Trinch E.H., Elleman D.D. 1987. Large charged drop lévitation against gravity // IEEE Transaction on Industry Applications. V.IA-23. №6. P.975-979.

301. Yang C.T., Song C.C.S. 1986. Theory of minimum energy and energy dissipation rate.// Encyclopedia of Fluid Mechanics. Flow Phenomena and Measurement. Gulf Publishing Company. Houston Book Division, London, Paris, Tokyo. V.l. P.353-400.

302. Yang S.M., Feng Z.C., Leal L.G 1993. Nonlinear effects in dynamics of shape and volume oscillation for gas bubble in an external flow. //J. Fluid Mech. V.247. P.417-454.

303. Yarin A.L., Brenn G., Kastner O. et al. 1999. Evaporation of acoustically levitated droplets. //J. Fluid Mech. V.399. P.151-204.

304. Zharov A.N., Shiryaeva S.O., Koromyslov V.A. 2001. The spray of charged drop in an electric field.// Proceedings 17th Annual Conference on liguid atomization & spray systems. Zurih. P.747-749.

305. Zvelindovsky A.V., Zatovsky A.V. 1994. Fluctuations of compressible droplets: the role of surface excitations.// J. Phys. France 4. P.613-626.