Влияние температурных режимов на осцилляции заряженного пузырька в жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ
|
Жарова, Ирина Геннадьевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ярославль
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.14
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
Жарова Ирина Геннадьевна
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ НА ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННОГО ПУЗЫРЬКА В ЖИДКОСТИ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.14 - теплофизика и теоретическая теплотехника
ООЗ158565
Москва, 2007
Работа выполнена в Ярославском Государственном Университете им П Г Демидова
Научный руководитель доктор физико-математических наук,
профессор Ширяева С О
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор Дадиванян А К
доктор физико-математических наук, профессор Рудый А С
Ведущая организация- Ярославский Государственный Технический Университет
Защита диссертации состоится '"/(f »OMrLúíjux _2007 года в ^fS" часов на заседании диссертационного Совета Д 212 155 07 в Московском государственном областном университете, по адресу 107005, Москва, ул Радио, д 10 а
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета
Автореферат диссертации разослан "
года
Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физико-математических наук,
профессор * Богданов Д Л
Введение
В последние два десятилетия можно видеть резкое увеличение числа научных публикаций, посвященных теоретическому и экспериментальному изучению динамики пузырьков в жидкости Это связано с открытием в 1990-1992 годах явления однопузырьковой сонолюминесценции Явление состоит в том, что раскачиваемый сфокусированным акустическим полем одиночный газовый пузырек, помещенный в сферический сосуд, излучает световые импульсы, видимые невооруженным глазом в виде непрерывного синего свечения Свет излучается отдельными кратковременными вспышками, излучаемыми в момент максимального сжатия пузырька Температура газа в пузырьке в момент свечения, определяемая различными исследователями по спектру излучения абсолютно черного тела, может составлять от десятков до сотен тысяч градусов Естественно столь необычное и интригующее явление привлекло к себе внимание многих исследователей и явилось хорошей экспериментальной базой для изучения физико-химических свойств пузырьков в жидкостях
Анализ спектров пузырьков совместно с высокоскоростной видеосъемкой образуют необходимую экспериментальную базу Спектральный анализ дает возможность химического анализа состава газа в пузырьке и жидкости вблизи его границы, поскольку некоторые спектры имеют ярко выраженные спектральные линии Анализ подобных спектров для различных жидкостей указывает на то, что в объеме пузырька всегда присутствует насыщенный пар жидкости, газы, растворенные в ней, ионы и свободные радикалы, которые могут образовываться при диссоциации паров жидкости, а на границе пузырька могут адсорбироваться ионы солей растворенных в жидкости Анализ кадров, полученных при высокоскоростной видеосъемке, позволяет определять скорость движения стенки пузырька, фиксировать ударные волны, возникающие в момент сжатия пузырька, а так же дробление пузырьков на части Общепринято, что устойчивый поток сонолюминесценции можно получить, если при сжатии пузырька скорость его стенки достигнет скорости звука в газе, пузырек является устойчивым по отношению к несферическим колебаниям его поверхности, приводящим к его дроблению, пузырек будет устойчив по отношению к диффузионным процессам, газ в пузырьке будет химически стабилен
Несмотря на то, что основные физико-химические свойства газа в пузырьке и динамика поверхности пузырька экспериментально изучены неплохо, серьезных теоретических работ, посвященных изучению динамики кавитационных пузырьков, весьма немного Большинство теоретических работ основываются на численном анализе уравнения Рэлея, описывающего динамику сферического пузырька в жидкости Данная модель не учитывает искажение формы пузырька, поэтому не позволяет описывать дробление пузырьков при очень интенсивном схлопывании Так же, как правило, почти все работы не учитывают присутствие заряда на стенках пузырька, который может быть связан с присутствием двойного электрического слоя вблизи поверхности пузырька или с оседанием носителей заряда из объема пузырька, а так же окружающей жидкости Учет искажения формы пузырька и присутствия заряда на стенках пузырька необходим при анализе динамики стенки пузырька как в идеальной, так и тем более в вязкой жидкости, на что указывают последние эксперименты по сонолюминесценции, проводимые с сильно вязкими полярными жидко-
стями в которых наблюдается очень интенсивный световой поток Увеличение вязкости жидкости сильно влияет на устойчивость пузырька по отношению к дроблению, заметно уменьшая амплитуду несферических искажений поверхности пузырька, как следствие, стабилизируя его сферическую форму
Отметим так же, что сонолюминесценция хотя и является хорошей экспериментальной основой для изучения пузырьков в жидкости, но является далеко не единственным явлением, определяющимся динамикой пузырьков в жидкости Изучение динамики микропузырьков в жидкости представляет большой интерес для значительного числа физических явлений и технологических процессов, в которых могут образовываться микропузырьки в жидкости Такими процессами являются кипение жидкости, флотация и электрофлотация, барботаж, фильтрация жидкостей, кавитация и многие другие Большой интерес исследователей нашего столетия прикован к возможности использования сонолюминесценции в медицинских целях, как для химического анализа внутренних структур живого организма, так и в хирургических целях
Микропузырьки, образующиеся в жидкости в различных физических явлениях, могут значительно отличаться по составу, поскольку, как уже отмечалось, содержат газы, растворенные в жидкости и насыщенный пар своей жидкости в различных концентрациях В связи с чем, движение стенок пузырька будет определяться тем температурным режимом, которому подчиняется смесь газа и пара в пузырьке Основными такими температурными режимами, по-видимому, могут являться изотермический, изобарный и адиабатический законы состояния газа в пузырьке
Цель работы состояла в изучении влияния температурных режимов газа на осцилляции заряженного пузырька в жидкости и закономерности перераспределения энергии между радиальной центрально-симметричной модой и поверхностными модами осцилляций пузырька Для достижения поставленной цели решались следующие задачи
- изучение влияния температурных режимов газа на осцилляции заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости,
- исследование нелинейного взаимодействия между радиальной центрально симметричной и поверхностными осесимметричными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости,
- изучение влияния вязкости жидкости на осцилляции деформированного в начальный момент времени пузырька в диэлектрической жидкости,
- разработка теории пограничного слоя для расчета осцилляций свободных жидких поверхностей, обладающих сферической симметрией
Научная новизна работы состоит в том, что в ней
- исследован параметрический резонанс между радиальной и поверхностными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости в различных температурных режимах, определяющихся уравнением состояния газа в пузырьке адиабатическом, изобарном, изотермическом,
- исследовано нелинейное взаимодействие малых радиальных и поверхностных осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости,
- исследовано влияние вязкости на динамику свободной поверхности заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости,
- разработана теория пограничного слоя для решения задачи о капиллярных осцилляциях заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости и капли вязкой жидкости,
Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о роли нелинейных эффектов и вязкости жидкости на эволюцию пузырьковых систем искусственного и естественного происхождения
На защиту выносятся:
- анализ влияния температурных режимов газа в пузырьке на параметрический резонанс между радиальной и поверхностными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости,
- анализ нелинейного взаимодействия между радиальными и поверхностными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости,
- анализ влияния вязкости на линейные осцилляции заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости,
- теория пограничного слоя, модифицированная для расчета осцилляций заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости и капли вязкой жидкости
Апробация работы: Результаты работы докладывались на Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007» (Санкт-Петербург, 2007), 21-ой и 22-ой научных конференциях Стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2004, 2006), VIII международной научной конференции "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей" (Санкт-Петербург, 2006), XX международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Ярославль, 2007), Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах" (Ярославль, 2001, 2002, 2004, 2006), ХХУП-ой конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ (Москва, 2005), 60-ой научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов (Ярославль, 2007)
Структура и объем работы: Диссертация общим объемом 148 страниц, содержит 50 рисунка, 5 таблиц, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 157 наименований
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту
Первая глава представляет собой аналитический обзор ранее опубликованных работ, посвященных изучению пузырьков в жидкости с помощью сонолюми-несценции и электроразряда Она содержит три части В первой части обсуждается растворимость газов и солей в жидкостях и механизмы образования пузырьков Анализируются механизмы стабилизации пузырьков Вторая часть посвящена изучению физико-химических свойств газа в пузырьке и граничащей с ним жидкости с помощью сонолюминесценции Особое внимание уделяется изучению спектров многопузырьковой сонолюминесценции, имеющих ярко выраженные спектральные линии отдельных молекул и ионов Способность ионов солей, растворенных в жид-
кости и ионов, образующихся при диссоциации газа в пузырьке, оседать на стенках пузырька доказывается прямым анализом спектров Анализируются основные гипотезы сонолюминесцентного свечения, среди которых выделяются тепловая теория и теория локальных электрических полей, предложенная Маргулисом Проводится обзор работ, посвященных однопузырьковой сонолюминесценции, в которых экспериментально и теоретически изучается динамика свободной поверхности кавитаци-онного пузырька Анализируется влияние газосодержания в жидкости, температуры, вязкости, полярности жидкостей на динамику пузырька и поток сонолюминесцентного свечения Указывается на стабилизирующее действие вязкости на осцилляции пузырька в жидкости и на неизученное по настоящий день влияние полярности органических жидкостей Третья часть первой главы посвящена изучению микропузырьков с помощью электроразряда в жидкости Здесь анализируются экспериментальное работы, изучающие зарождение элекгроразряда в жидкости Указывается на главенствующую роль пузырьков при зарождении кистевого разряда с анода и разряда с катода Прямым анализом фотографий указывается на возможность сильного искажения формы пузырьков, а так же их дробления при воздействии сильных электрических полей
Вторая глава посвящена изучению влияния температурных режимов на взаимодействие радиальных и поверхностных осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости Она содержит два параграфа В первом параграфе исследуется влияние температурных режимов на осцилляции заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости
Температурный режим осцилляций пузырька в жидкости определяться тремя характерными временами т - временем колебаний, тт - временем за которое масса пара или газа в пузырьке будет заметно меняться (время конденсации пара или растворения газа), тг - временем выравнивания температуры между газом в пузырьке и окружающей жидкостью В зависимости от соотношения т, тт и тг выделяются три предельных температурных режима изотермический, изобарный, адиабатический.
Изотермический процесс для газа в пузырьке будет справедлив, если характерное время растворения газа будет много больше характерного времени осцилляций тт » т, а время выравнивания температуры много меньше времени осцилляций пузырька тг « т В таком пузырьке масса газа будет оставаться постоянной, а тепло, выделяющееся при его сжатии, будет поглощаться окружающей жидкостью
Изобарный процесс будет справедлив для пузырька, содержащего насыщенные пары своей жидкости, если характерные времена конденсации пара и выравнивания температуры будут много меньше времени осцилляций пузырька тт << т, тг << т В таком пузырьке давление пара всегда будет равно давлению насыщенного пара окружающей жидкости при ее температуре
Адиабатический процесс для газа в пузырьке будет справедлив, если характерные времена растворения газа и выравнивания температуры будут много больше характерного времени осцилляций пузырька тт >> т, тт >> т В таком пузырьке
масса газа будет оставаться постоянной, а температура будет изменяться при изменении объема пузырька
Влияние температурных режимов на устойчивость равновесных состояний заряженного пузырька в диэлектрической жидкости исследуется на основе баланса давлений на границе пузырька
где р'">, ру- соответственно давление жидкости, газа и насыщенного пара, и Я начальный и текущий радиус пузырька, <2 - заряд пузырька, ел - диэлектрическая проницаемость жидкости, а- коэффициент поверхностного натяжения, 7- показатель политропы
Из (1) следует, что в случае изобарного процесса, справедливого для парового пузырька, присутствие заряда на пузырьке приводит к появлению новых устойчивых состояний пузырька Для изотермического и адиабатического законов численное значение равновесного радиуса пузырька сильно зависит от заряда и показателя политропы 7
Математическая модель, описывающая капиллярные колебания заряженного пузырька в диэлектрической жидкости с учетом взаимодействия радиальных центрально симметричных и поверхностных осесимметричных осцилляций, содержит уравнение неразрывности и Эйлера для жидкости, уравнение состояния газа в пузырьке и граничные условия к ним Решение этой задачи классическими методами теории возмущений приводит к системе дифференциальных уравнений
где р - плотность жидкости, - амплитудный коэффициент п - моды, д1 -знак частной производной по переменной г
Из системы уравнений (2)-(3) видно, что если пузырек находится в состоянии статического равновесия В. — а, определяющегося решением уравнения (1), не совершая радиальных колебаний, то его форма может претерпевать электростатическую неустойчивость, когда квадрат частоты поверхностных осцилляций становится отрицательным Данный тип неустойчивости наблюдается только при условии, когда — ру > 0, и связан с неустойчивостью формы пузырька по отношению к искажению под воздействием электрического заряда Наиболее неустойчивой является основная мода поверхностных осцилляций пузырька (п = 2) Неустойчивость этой моды наблюдается при любом заряде для парового пузырька и только начиная с некоторого критического заряда для газового пузырька с изотермическим
(1)
Пдан+= Ар» + + № (I)' \
I О2 2р
8тейЛ4 Я
(2)
или адиабатическими законами состояния газа в пузырьке, определяемого из системы неравенств
4 ъоеаг0
Т>4 Я-
0 58
.Рис Зависимости безразмерных радиуса Я (а) и амплитуды поверхностных осцилляции (Ъ) пузырька от безразмерного времени 4, построенные численным интегрированием системы уравнений (2)-(3) при р= 0, \¥ = 1, р^ — ру = 0 01, п = 2, Лп=1, Д (0) = а + 5До, а-корень уравнения (1), бЩ = 0 (кривая 1) = 0 03 (фивая 2;, 5/^=0 041 (кривая 3)
Данный тип неустойчивости может подавляться радиальными центрально-симметричными осцилляция-ми пузырька в жидкости с полной стабилизацией его формы, что видно из рис 1
Аналитическое исследование устойчивости решения системы (2)-(3) в окрестности устойчивых равновесных состояний пузырьков, определенных (1), дает условие возникновения параметрического резонанса, который наступает, если частота поверхностных осцилляций шп лежит в интер-
0 0 03 0 06 5Я,, 0 0 1 0 2 5Я0
Рис2 Переходные кривые ы^ в зависимости от начальной деформации радиуса пузырька для различных процессов изотермического (сплошная кривая), адиабатического 7 = 4/3 (точечная), 7 = 5/3
(пунктирная) построенные при п=-2, р^=1,
Ру = 0, р{0) = 0 6, V? = 0 (а), \¥ = 0 5 (Ь)
вале < ы, < ш(„+) где
"о ± Щ
2 2шп
(2п + 1)^-(гг2-1)
За 4
ра
п + 2-
2ттетера3
ш0-частота радиальных пульсаций, а -радиус устойчивого пузырька (решение уравнения 1), йЯ{| - начальное изменение радиуса пузырька Анализ этого условия указывает на то, что зона параметрического резонанса для парового пузырька является на много более широкой по сравнению с зонами резонанса для изотермического и адиабатного процессов и весьма заметно зависит от величины заряда на пузырьке Зона же параметрического резонанса для адиабатного процесса с возрастанием -у для незаряженного пузырька сужается, а для пузырька имеющего заряд может расширяться, как это видно из рис.2
Во втором параграфе второй главы исследуется нелинейное взаимодействие малых радиальных и поверхностных осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости Математическая формулировка задачи содержит уравнения неразрывности и Эйлера для жидкости, уравнение состояния для газа в пузырьке и граничные условия к ним В отличие от первого параграфа данной главы, где радиальные пульсации являются крупномасштабными, а поверхностные осцилляции малыми, в данном параграфе радиальные и поверхностные искажения формы пузырька считаются малыми одного порядка Решение задачи проводится методом многих масштабов В результате найдено выражение для образующей пуЗЫРЬКа г = а + е да) (0 + е2д(2) + М(1) (0 рп {соз д) + е2 2 М^ (* ) Рп (соз *), (4)
гсеП п=1
где е- малый параметр характеризующий начальное искажение формы пузырька, П-множество изначально возбужденных мод, Рк (сое полином Лежандра порядка
п, О- полярный угол сферической системы координат, к '
м\\] (£) -амплитудные коэффициенты среди которых определяемые в задаче первого
порядка малости имеют простой и короткий вид
дЮф^соз^), = Н1, = со8(и>„г), п> 2,
а коэффициенты, определяемые в задаче второго порядка малости, имеют простой, но громоздкий вид, поэтому здесь не приводятся
Теоретический анализ выражения (4) указывает на то, что заряженный пузырек в диэлектрической жидкости может претерпевать два типа неустойчивости электростатическую и пародинамическую
Пародинамический канал неустойчивости пузырька реализуется в условиях, когда частота радиальных пульсаций пузырька становится отрицательной ц; < 0, что возможно для пузырька, находящегося в положении равновесия с большим радиусом, отвечающим большему корню уравнения (1) при условии —ру < 0 Он связан с тем, что при больших временах нелинейная поправка к частоте я-ой поверхностной моды (¿) является быстро растущей функцией вида
Рп Л
3 (^¿) + кп ск
На, 2
V)
зН
где т„, 0П, кп - некоторые постоянные Источником энергии в обсуждаемом канале реализации неустойчивости пузырька является потенциальная энергия давления пара в Нем Описываемый эдй тип неустойчивости принципиально отличается от электростатической неустойчивости, рассмотренной выше, поскольку, во первых она может реализоваться даже при нулевом заряде на пузырьке, во вторых при данном типе неустойчивости амплитуда нелинейных осцилляций поверхностных мод увеличивается с ростом номера моды (см рис 3) Таким образом, если в начальный момент времени в спектре мод, определяющих начальную деформацию имеются моды из интервала [0,1,2, ,т], то во втором порядке малости у моды с максимальным номером т будет самая большая амплитуда колебаний, и именно эта мода внесет определяющий вклад в формирование поверхности неустойчивого пузырька (см рис 4, полученный численными расчетами по (4)), что и подтверждает данные наблюдений
Третья глава диссертационной работы посвящена влиянию вязкости жидкости на осцилляции деформированного в начальный момент времени заряженного пузырька в диэлектрической жидкости Математическая формулировка задачи содержит уравнения неразрывности и Навье-Стокса для жидкости, уравнение состояния газа в пузырьке и граничные условия к ним Решение задачи проводится в сферической системе координат г,$,<р методом прямого разложения по малому параметру г, характеризующему начальное искажение формы пузырька, совместно с интегральным преобразованием Лапласа В результате найдены выражения для поля скоростей течения жидкости и, (г, в, ¿),
титудам поверхностных пульсаций пузырька ' (£) от безразмерного времени построенные при у = 4/3, р(0) - ру --1 5, № = 01, /><0)= 04, й0 =1/15, =1/15,
2 < к < 15 и различных значений п Номер у кривой совпадает с номером п поверхностной моды а) П = 1, й = 6, Ь) п = 15
Рис 4 Контуры образующей пузырька, претерпевающего пародинамическую неустойчивость, в различные моменты безразмерного времени 1) 1 = 0, 2) / = 4 5, 3) / = 5 27, построенные при у = 4/3, р^ ~ Рь =— 1 5, Г = 0 1, р^ =0 4, ¿0 = 1/15, Ик =1/15, 2<к<\5, 8 = 03
U:i (г,-0, t), в окрестности пузырька, поля давлений р (г, -д. I), а так же форма образующей пузырька r('ô,i) в виде
U, (г, i) = е Ur о (г, t) Р0 (cos Ô) + U, л (г, t) Рп (cos О),
ябП
(г, = е£ ^ п (г, t) 9flP„ (cos 0), (5)
neil
р (г, t) = pW + е р0 (г, t) Р0 (cos 0) + е^ Р» (г- 0 (cos в),
пеП
г (в, i) = О + е Л(0 + е £ (i) Рп (cos в),
пбП
где Ur0(r,t), pQ (г, t), R(t), U, n(r,t), Щп (г,t), Рп (г, f ), è,n (t)- функции найденные в
аналитическом виде и имеющие весьма громоздкий вид
Теоретический анализ полученного решения (5) показывает, что в случае малой и большой вязкостей жидкости коэффициенты Uт (r,t), (r,t), рп (r,t), (t) имеют простой аналитический вид, не содержащий сумм по корням дисперсионного уравнения и несобственных интегралов Численный анализ решения (5) показывает, что зависимость найденного решения от вязкости в основном определяется зависимостью от вязкости корней дисперсионного уравнения Увеличение вязкости жидкости, окружающей пузырек, приводит к уменьшению мнимой части корней S;,1', s£2), но не приводит к полному их исчезновению Влияние вязкости жидкости на действительную часть данных корней является сложным (рис 5)
комплексного корня дисперсионного уравнения, описывающего поверхностные осцилляции пузырька, от безразмерной вязкости жидкости v, рассчитанные для р(0) - ру =0 1, = 0 6, ^ = 0 1, у = 4/3, п = 2 Номер у кривой совпадает с
номером к Точечная кривая соответствует приближению маловязкой жидкости, сплошная - точному решению, пунктирная - приближению сильновязкой жидкости
Четвертая глава посвящена разработке теории пограничного слоя для расчета осцилляций свободных жидких поверхностей, обладающих сферической симметрией Она содержит два параграфа Идея построения такой теории возникла в связи с математической громоздкостью точного решения задач об осцилляциях свободных жидких поверхностей со сферической симметрией В связи с чем, было предложено использовать при расчете осцилляций таких поверхностей упрощенные уравнения
гидродинамики в надежде получить существенно менее громоздкие финальные выражения в рамках заранее определенной погрешности Первый параграф данной главы посвящен модификации теории пограничного слоя для расчета осцилляций конечной амплитуды заряженной капли вязкой жидкости Данное исследование проводилось потому, что капля вязкой жидкости и пузырек в вязкой жидкости описываются с помощью одного и того же математического аппарата, лишь с тем отличием, что капля не имеет возможности изменять свой объем
Математическая формулировка такой задачи содержит уравнения неразрывности и Навье-Стокса с соответствующими граничными условиями Гидродинамическая система уравнений упрощалась на основе физических особенностей течений, возникающих в близи свободной жидкой поверхности Поле скоростей течения вязкой жидкости в капле представлялось в виде суммы потенциальной и вихревой компонент Считалось, что в основном объеме капли, вдали от ее свободной поверхности, движение жидкости является чисто потенциальным. В тонком же пограничном слое у свободной поверхности капли движение жидкости представлялось в виде суммы потенциального и вихревого, как это принято при расчете волновых течений вязкой жидкости Учитывалось, что вихревая компонента течения затухает с глубиной и заметно убывает на некотором характерном масштабе 8, который является толщиной пограничного слоя Детальные оценки в системе гидродинамических уравнений, приводят к линейному уравнению пограничного слоя
(6)
заменяющему систему уравнений Навье-Стокса в сферической системе координат. Дальнейшее решение проводилось методом прямого разложения по малому параметру е, характеризующему амплитуду начального искажения поверхности капли, с использованием интегрального преобразования Лапласа В результате были найдены выражения для поля скоростей течения жидкости Ur (r,-i),t), U.a (г, t) в капле, поля давлений р(г, d, i), а так же форма образующей капли г (a), t) в виде
U, (г,t) = Ш (r,t) + иЦ (г, f )) Рп (cos V), гееп
и о (г, t) = (е#> (г, t) 4- иЦ (г, t)\ д,Рп (cos -&), р(г,^) = Р(0)+e'£pn(r,t)Pn(c os«), г («, 0 = r0+e][X («»*). (7)
пеГг п€П
где г0 и г>(0) -начальные радиус капли и давление жидкости в капле, U)!'l (г, t),
ufl (г, t), uipl(r,t), ulc)n(r,t), pn{r,t), i„(t)- функции найденные в аналитическом
виде вид которых здесь не приводится
Толщина пограничного слоя, возникающего у свободной поверхности заряженной капли вязкой жидкости имеет вид
V^/K-in), о<w<m, 8 = --- (8)
Kl-m„), w>wcr = n + 2,
где 1У = <?2/(4т1стг03) - параметр Рэлея, Ж,- значение, разделяющее при фиксированной вязкости жидкости периодические и апериодические движения свободной поверхности капли, = (п — 1) (2п +1) V / г02, хап — л/ш2п - Соотношение (8) позволяет контролировать точность расчетов Пусть, в - допустимая погрешность расчета, тогда соотношение 17$ /17$ = © ~ б /(г0ж), совместно с (8) дает связь между
предельными значениями коэффициента вязкости и и параметра Рэлея IV, при которых можно воспользоваться развитой теорией пограничного слоя Результаты подобного расчета, приведены на рис 6
Для оценки точности построенной теории пограничного слоя было выполнено численное сравнение с точным решением задачи об линейных осцилляциях заряженной капли вязкой жидкости Выяснилось, что теория пограничного слоя хорошо приближает точное решение при малой вязкости жидкости, начиная с некоторого времени ¿0, много меньшего времени затухания движений на поверхности капли и в ее объеме, начиная с которого корни дисперсионного уравнения с номерами п > 3 становятся несущественными в точном решении, что можно видеть на рис 7 С физической точки зрения данное обстоятельство связано с заданием в решаемой задаче нулевого начального условия для поля скоростей полноценное распределение поля скоростей течения жидкости, связанное с осцилляциями капли установится на интервале времени порядка периода осцилляции
Второй параграф данной главы посвящен модификации теории пограничного слоя для расчета осцилляций конечной амплитуды заряженного пузырька в вязкой жидкости Математическая формулировка задачи содержит уравнения неразрывности и Навье-Стокса для жидкости, окружающей пузырек, уравнение состояния газа в пузырьке и граничные условия к ним Так же как при решении задачи об осцилляциях заряженной капли вязкой жидкости,
Рис 6 Предлагаемая теория пограничного слоя применима в областях А и В, но не применима в области С Сплошной кривой нанесены результаты расчета при в = 0 09, пунктирной кривой - при 0=005
Рис 7 Зависимости от радиальной переменной г вихря Оп, построенные при V — 0 01, УУ = 0, г = 4 (кривая 1), 1 = Ь (кривая 2), 4 = 6 (кривая 3) Сплошная кривая соответствует точному решению, точечная - приближению пограничного слоя Вертикальная штрихпунктирная линия указывает толшину пограничного слоя
гидродинамическая система уравнений, описывающая осцилляции пузырька в вязкой жидкости упрощалась на основе физических особенностей течений жидкости вблизи свободной поверхности Поле скоростей течения жидкости в окрестности пузырька записывалось в виде суммы потенциальной U<p> и вихревой компонент U!'c} Считалось, что в основном объеме жидкости, окружающей пузырек, вдали от его поверхности, движение жидкости является чисто потенциальным В тонком же пограничном слое у границы пузырька движение жидкости представлялось в виде суммы потенциального и вихревого Считалось, что вихревая компонента течения затухает с глубиной и заметно убывает на некотором характерном масштабе 8, который является толщиной пограничного слоя В рамках сделанных предположений, оценки каждого слагаемого в системе гидродинамических уравнений, как и для капли вязкой жидкости, привели к тому, что систему уравнений Навье-Стокса можно заменить при и -» О одним уравнением (6) Решение упрощенной системы гидродинамических уравнений проводилось методами теории возмущений и интегральных преобразований В результате были найдены выражения для поля скоростей течения жидкости UT(r,$,t), (г, -0, /;), в окрестности пузырька, поля давлений p(r,û,t), а так же форма образующей пузырька г (г>, /,) в виде
Ur (г, 0,t) = eЦЫ (г, t) Р0 (cosО) + Ш (г, t) + U^ (г, ¿)) Рп (cos в),
ne П
Щ (г, V) = <E (г, t) + и<£{ (г, t)) д,Рп (cos г>), (9)
пегг '
р (г, t) = + ерМ (г, t) Р0 (cos в) + p^ (г, t) Рп (cos «),
пеп
г (fl, i) = а + е R(t) + е XX (t) Рп (cos 0), п en
где функции U$(r,t) , U^(r,t), U<e>(r,t), U^(r,t), (r,i), №(r,t), p™ (r,t)
найдены аналитически и имеют гораздо более простой вид в сравнении с (5) Толщина пограничного слоя, прилегающего к границе пузырька определяется выражением
V2> °> 8 = _ (10)
Vl'/(lTOnl_0ln)' тап <°.|тап|>а„, где а„ = (п 4- 2) (2п +1) v / а2, vin = -<jw2n — с?п Выражения (10) позволяют контролировать точность построенной теории Пусть, например, требуется провести расчет с точностью и';:'*1 / u';^ = Q ~ 8 / (air), где © - допустимая погрешность, тогда соотношение 8 ~0 ait, совместно с (10) дает связь между предельными значениями коэффициента вязкости v и параметрами , рт — pv, W при которых можно пользоваться развитой теорией пограничного слоя Результаты подобного расчета дня двух возможных корней уравнения (1), определяющих равновесные состояния пузырька в жидкости, приведены на рис 8, где для заданного 0 и постоянных значений =02 и W = 1 выделены области А, В, D в которых возможно использо-
вание теории пограничного слоя, и области С и Е, в которой нужно пользоваться строгой теорией
Рис 8 Теория пограничного слоя применима в областях А, В, О, но не применима в областях С и Е Сплошная кривая построена при р^ = 0 2, XV = 1, ^ = 4/3, п — 2, © = 0 09, точечная при © = 0 05 а) для меньшего корня уравнения (1), Ь) - для большего
Для анализа точности построенной теории было проведено численное сравнение расчетов выполненных по выражениям справедливым в рамках теории пограничного слоя и точным выражениям (5) Расчеты показывают, что теория пограничного слоя хорошо приближает точное решение, только момента времени 40, начиная с которого интегральные слагаемые в выражениях (5) становятся несущественным Само же время 10 является величиной много меньшей времени затухания движений в объеме жидкости, окружающей пузырек и на его поверхности С физической точки зрения данное обстоятельство связано с заданием в решаемой задаче нулевого начального условия для поля скоростей полноценное распределение поля скоростей течения жидкости, связанное с осцилляциями поверхности пузырька установится на интервале времени порядка периода осцилляций
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1 Показано, что температурные режимы, которым подчиняется газ в пузырьке, влияют на устойчивость, как радиальных, так и поверхностных осцилляций пузырька Незаряженный пузырек, содержащий газ, подчиняющийся изобарному процессу, может совершать только неустойчивые радиальные движения В случае, когда на паровом пузырьке появляется электрический заряд или газ в пузырьке, подчиняется изотермическому или адиабатическому процессам, появляются устойчивые радиальные движения пузырька
2 Найдено, что электростатическая неустойчивость, характеризующаяся неустойчивостью формы пузырька по отношению к избыточному заряду, наблюдается при любом заряде на паровом пузырьке (изобарный процесс) и только начиная с некоторого критического заряда для газового пузырька с изотермическим или адиабатическими законами состояния газа в пузырьке Данный тип неустойчивости может подавляться радиальными центрально-симметричными осцилляциями пузырька в жидкости с полной стабилизацией его формы
3 Впервые обнаружено, что радиальные центрально-симметричные пульсации заряженного пузырька в несжимаемой идеальной жидкости могут приводить к возникновению зависящего от теплофизических характеристик газа в пузырьке параметрического резонанса между радиальной и одной из поверхностных мод в случае, когда частота одной из поверхностных мод оказывается равной половине частоты радиальных колебаний пузырька Резонанс характеризуется переносом энергии из радиальной центрально-симметричной моды пульсаций пузырька в поверхностные и может приводить к дроблению пузырька
4 Показано, что зона параметрического резонанса сильно зависит от температурного режима, которому подчиняется газ в пузырьке Для изобарного режима зона параметрического резонанса является намного более широкой, чем зона для изотермического или адиабатического процессов Ширина зон резонанса при изотермическом или адиабатическом процессах сильно зависит от показателя политропы
5 Обнаружено, что пузырек, нелинейно неограниченно увеличивающий свой радиус в идеальной диэлектрической жидкости, может претерпевать пародинамиче-скую неустойчивость формы даже при нулевом заряде пузырька Данная неустойчивость связана с интенсивной перекачкой потенциальной энергии давления пара в пузырьке от его пульсационной моды к поверхностным модам осцилляции пузырька за счет их нелинейного взаимодействия
6 Выяснилось, что влияние вязкости окружающей пузырек жидкости на его линейные осцилляции в основном проявляется в виде зависимости комплексной частоты от вязкости жидкости Так с ростом вязкости жидкости частоты радиальных и поверхностных осцилляций монотонно снижаются, асимптотически стремясь к нулю Декремент затухания радиальных осцилляций с ростом вязкости жидкости монотонно увеличивается, а декремент затухания поверхностных осцилляций при увеличении вязкости сначала растет, но, достигнув некого максимального значения, начинает снижаться
7 Проведенные расчеты показали, что при осцилляциях пузырька в маловязкой диэлектрической жидкости амплитуда вихря скорости значительно отличается от нуля только в тонком пограничном слое, прилегающем к границе пузырька По мере удаления от границы пузырька вглубь жидкости амплитуда вихря скорости быстро стремится к нулю
8 Выяснилось, что расчет осцилляций заряженного пузырька, находящегося в маловязкой жидкости, можно проводить на основе теории пограничного слоя, учитывая, что уравнения пограничного слоя следует использовать только для вихревой составляющей скорости жидкости, тогда как потенциальную составляющую необходимо определять из точных уравнений электрогидродинамики
9 Расчеты течения жидкости в окрестности пузырька в рамках предложенной модификации теории пограничного слоя в асимптотике малой вязкости хорошо аппроксимируют точное решение Существенно более простая математическая модель задачи расчета осцилляций заряженного пузырька в рамках развитой теории пограничного слоя по сравнению с точной математической моделью позволяет надеяться на значительное снижение трудоемкости расчета нелинейных осцилляций такого пузырька
Основные результаты опубликованы в работах
1 Жарова И.Г. Григорьев А И Параметрическая неустойчивость радиальных колебаний заряженного пузырька в жидкости // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах", Ярославль, 2001, ЯГТУ, сборник научных трудов Вып2 С 95-100
2 Жаров А Н, Жарова И.Г., Григорьев А И О колебаниях пузырька в жидкости с учетом инерционных свойств газа // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах", Ярославль, 2004, ЯГТУ, сборник научных трудов Вып4 С 184-196
3 Жарова И.Г Начальная краевая задача для капиллярных колебаний пузырька в вязкой несжимаемой жидкости // Сб тр молодых ученых, аспирантов и студентов «Актуальные проблемы физики» №5 Ярославль Изд ЯрГУ им П Г Демидова 2005 С 128-135
4 Жаров А Н, Григорьев А И , Жарова И.Г. Эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька в вязкой жидкости // ЖТФ 2006 Т 76 ВыпЗ С 16-24
5 Жарова И.Г. Некоторые свойства разложений произведений полиномов Лежандра в ряд по полиномам Лежандра и их производным // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах", Ярославль, 2006, ЯГТУ, сборник научных трудов Вып 5 С 23-28
6 Жарова И.Г. О двух каналах неустойчивости формы пузырька, нелинейно-осциллирующего в идеальной диэлектрической жидкости // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах", Ярославль, 2006, ЯГТУ, сборник научных трудов Вып 5 С 143-149
7 Жарова И.Г., Ширяева С О О нелинейных осцилляциях заряженного пузырька в идеальной несжимаемой жидкости // Сборник докладов VIII международной научной конференции современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей Санкт-Петербург, 2006 С 126-128
8 Жаров А Н , Григорьев А И , Жарова И.Г Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости // ЖТФ 2006 Т 76 Вып 10. С 41-50
9 Жарова И.Г., Гурылев Д А , Жаров А Н Математическое моделирование капиллярных колебаний заряженной капли на основе уравнений пограничного слоя // Сборник трудов XX международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" Ярославль, 2007 Том 3 С 17-20
10 Жарова И.Г. О расчете осцилляций пузырька в вязкой жидкости на основе уравнений пограничного слоя // Тезисы докладов 60-ой научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов Ярославль, 2007 С 241
Подписано в печать * ^ ~ С& .с ? Формат 60x90/16 Условных печатных листов 1 Тираж 100 экз Печать трафаретная Заказ № 24
Введение.
Глава 1 ИЗУЧЕНИЕ МИКРОПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ СОНОЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ. ЭЛЕКРОРАЗРЯД В ЖИДКОСТИ
1.1. Растворимость газов в жидкостях, как основной механизм образования пузырьков.
1.2. Изучение пузырьков в жидкости с помощью сонолюминесценции.
1.2.1 Основные особенности многопузырьковой сонолюминесценции и основные теории ее возникновения.
1.2.2 Основные особенности однопузырьковой сонолюминесценции.
1.3. Электрический разряд в жидкостях.
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РАДИАЛЬНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ОСЦИЛЛЯЦИЙ ЗАРЯЖЕННОГО ПУЗЫРЬКА В
ИДЕАЛЬНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ
2.1. Влияние температурных режимов на осцилляции заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости.
2.2. Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости.
Глава 3. ВРЕМЕНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ДЕФОРМИОВАННОГО В НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ ПУЗЫРЬКА В ВЯЗКОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ.
Глава 4. МОДИФИКАЦИЯ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ОСЦИЛЛЯЦИЙ СВОБОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ОБЛАДАЮЩИХ СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
4.1. Модификация теории пограничного слоя для расчета осцилляций конечной амплитуды заряженной капли вязкой жидкости.
4.2. Модификация теории пограничного слоя для расчета осцилляций конечной амплитуды заряженного пузырька в вязкой жидкости.
Результаты и выводы.
В последние два десятилетия можно видеть резкое увеличение числа научных публикаций, посвященных теоретическому и экспериментальному изучению динамики пузырьков в жидкости. Это связано с открытием в 1990-1992 годах явления однопузырьковой сонолюминесценции. Явление состоит в том, что раскачиваемый сфокусированным акустическим полем одиночный газовый пузырек, помещенный в сферический сосуд, излучает световые импульсы, видимые невооруженным глазом в виде непрерывного синего свечения. Свет излучается отдельными кратковременными вспышками, излучаемыми в момент максимального сжатия пузырька. Температура газа в пузырьке в момент свечения, определяемая различными исследователями по спектру излучения абсолютно черного тела, может составлять от десятков до сотен тысяч градусов. Естественно столь необычное и интригующее явление привлекло к себе внимание многих исследователей и явилось хорошей экспериментальной базой для изучения физико-химических свойств пузырьков в жидкостях.
Анализ спектров пузырьков совместно с высокоскоростной видеосъемкой образуют необходимую экспериментальную базу. Спектральный анализ дает возможность химического анализа состава газа в пузырьке и жидкости вблизи его границы, поскольку некоторые спектры имеют ярко выраженные спектральные линии. Анализ подобных спектров для различных жидкостей указывает на то, что в объеме пузырька всегда присутствует насыщенный пар жидкости, газы, растворенные в ней, ионы и свободные радикалы, которые могут образовываться при диссоциации паров жидкости, а на границе пузырька могут адсорбироваться ионы солей растворенных в жидкости. Анализ кадров, полученных при высокоскоростной видеосъемке, позволяет определять скорость движения стенки пузырька, фиксировать ударные волны, возникающие в момент сжатия пузырька, а так же дробление пузырьков на части. Общепринято, что, устойчивый поток сонолюминесценции можно получить если: при сжатии пузырька скорость его стенки достигнет скорости звука в газе; пузырек является устойчивым по отношению к несферическим колебаниям его поверхности, приводящим к его дроблению; пузырек является устойчивым по отношению к диффузионным процессам; газ в пузырьке химически стабилен.
Несмотря на то, что основные физико-химические свойства газа в пузырьке и динамика поверхности пузырька экспериментально изучены неплохо, серьезных теоретических работ, посвященных изучению динамики кавитационных пузырьков, весьма не много. Большинство теоретических работ основываются на численном анализе уравнения Рэлея, описывающего динамику сферического пузырька в жидкости. Данная модель не учитывает искажение формы пузырька и поэтому не позволяет описывать дробление пузырьков при очень интенсивном схлопывании. Так же, как правило, почти все работы не учитывают присутствие заряда на стенках пузырька, который может быть связан с присутствием двойного электрического слоя вблизи поверхности пузырька или с оседанием носителей заряда из объема пузырька, а так же окружающей жидкости. Учет искажения формы пузырька и присутствия заряда на стенках пузырька необходим при анализе динамики стенки пузырька, как в идеальной, так и тем более в вязкой жидкости, на что указывают последние эксперименты по сонолюминесценции, проводимые с сильно вязкими полярными жидкостями в которых наблюдается очень интенсивный световой поток. Увеличение вязкости жидкости сильно влияет на устойчивость пузырька по отношению к дроблению, заметно уменьшая амплитуду несферических искажений поверхности пузырька, как следствие, стабилизируя его сферическую форму.
Отметим так же, что сонолюминесценция хотя и является хорошей экспериментальной основой для описания динамики пузырька в жидкости, но является далеко не единственным явлением, определяющимся динамикой пузырьков в жидкости. Изучение динамики микропузырьков в жидкости представляет большой интерес для значительного числа физических явлений и технологических процессов, в которых могут образовываться микропузырьки в жидкости. Такими процессами являются: кипение жидкости; флотация и электрофлотация; барботаж; фильтрация жидкостей; кавитация и многие другие. Большой интерес исследователей нашего столетия прикован к возможности использования сонолюминесценции в медицинских целях, как для химического анализа внутренних структур живого организма, так и в хирургических целях.
Микропузырьки, образующиеся в жидкости в различных физических явлениях, могут значительно отличаться по составу, поскольку, как уже отмечалось, содержат газы, растворенные в жидкости и насыщенный пар своей жидкости в различных концентрациях. В связи с чем, движение стенок пузырька будет определяться тем температурным режимом, которому подчиняется смесь газа и пара в пузырьке. Основными такими температурными режимами, по-видимому, могут являться: изотермический, изобарный и адиабатический законы состояния газа в пузырьке.
Цель работы состояла в изучении влияния температурных режимов газа на осцилляции заряженного пузырька в жидкости и закономерности перераспределения энергии между радиальной центрально-симметриной модой и поверхностными модами осцилляций пузырька. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
- изучение влияния температурных режимов газа на осцилляции заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости;
- исследование нелинейного взаимодействия между радиальной центрально симметричной и поверхностными осесимметричными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости;
- изучение влияния вязкости жидкости на осцилляции деформированного в начальный момент времени пузырька в диэлектрической жидкости;
- разработка теории пограничного слоя для расчета осцилляций свободных жидких поверхностей, обладающих сферической симметрией.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней:
- исследован параметрический резонанс между радиальной и поверхностными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости в различных температурных режимах, определяющихся уравнением состояния газа в пузырьке: адиабатическом, изобарном, изотермическом;
- исследовано нелинейное взаимодействие малых радиальных и поверхностных осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости;
- исследовано влияние вязкости на динамику свободной поверхности заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости;
- разработана теория пограничного слоя для решения задачи о капиллярных осцилляциях заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости и капли вязкой жидкости;
Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о роли нелинейных эффектов и вязкости жидкости на эволюцию пузырьковых систем искусственного и естественного происхождения.
На защиту выносятся;
- анализ влияния температурных режимов газа в пузырьке на параметрический резонанс между радиальной и поверхностными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости;
- анализ нелинейного взаимодействия между радиальными и поверхностными модами осцилляций заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости;
- анализ влияния вязкости на линейные осцилляции заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости;
- теория пограничного слоя, модифицированная для расчета осцилляций заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости и капли вязкой жидкости.
Апробация работы: Результаты работы докладывались на: Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007» (Санкт-Петербург, 2007); 21-ой и 22-ой научных конференциях Стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2004, 2006); VIII международной научной конференции "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей" (Санкт-Петербург, 2006); XX международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Ярославль, 2007); Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах" (Ярославль, 2001, 2002, 2004, 2006); XXVII-ой конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ (Москва, 2005); 60-ой научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов (Ярославль, 2007).
Структура и объем работы: Диссертация общим объемом 148 страниц, содержит 50 рисунков, 5 таблиц, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 157 наименований.
1. Gaitan D.F., Crum L.A., Church С.С., Roy R.A. Sonoluminescence and bubble dynamics for a stable, cavitation bubble.// J. Acoust. Soc. 1992. Am.91, p.3166-3183.
2. Plesset M.S., Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation.// Annu. Rev. Fluid Mech. 1977. 9, p.145-185.
3. Chakravarty A., Georghiou Т., Phillipson Т.Е. Walton A.J. Stable sonoluminescence within a water hammer tube.// Phys. Rev. E. 2004. 69. 066317.
4. Жаров A.H., Ширяева C.O. Заряженные пузырьки в жидкости (обзор).// ЭОМ. 1999. №6. С.9-22.
5. Болога М.К., Климов С.М., Чучкалов С.И. Теплообмен и гидродинамика двухфазных потоков при электрическом воздействии.// ЭОМ. 1992. №2. С.52-57.
6. Дрояронов АЛ. Теоретические основы устойчивости флотационного комплекса.//ЭОМ. 1993. №4. С.39-49.
7. Пенно В.Э.,Зеленцов В.И., Дацко Т.Я., Дворникова Е.Е., Радзилевич Т.М. Сорбция золота и серебра из цианидных растворов активированным углем и его выделение электрофлотацией.//ЭОМ. 1994. №3. С.42-44.
8. Зеленко B.JI., Мясников В.П. Стационарные режимы при барботаже газа в колонне с вертикальными вставками.// Изв. АН СССР. МЖГ. 1992. №3. С.59-68.
9. Хасанов М.М. Исследование устойчивости фильтрации жидкостей с зародышами газа.// Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. №2. С.66-73.
10. Коровин Н.В. Общая химия. М.: Высшая школа, 2007. 558 с.
11. РайхардгХ. Растворители в органической химии. JL: Химия, 1973. 152 с.
12. Равич-Щербо М.И., Новиков В.В. Физическая и коллоидная химия. М.: Высшая школа, 1975.255 с.
13. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1990. 592 с.
14. Буланов В.А. Рассеяние высокочастотных импульсов на резонансных включениях и возможности нестационарной акустической спектроскопии.// Письма в ЖТФ. 1995. Т.21, вып. 15. С.67-71.
15. Бункин Н.Ф., Виноградова О.И., Куклин А.И., Лобеев А.В., Мовчан Т.Г. К вопросу о наличии воздушных субмикропузырей в воде эксперимент по малоугловому рассеянию нейтронов.// Письма в ЖЭТФ. 1995. Т.62, №8. С.659-662.
16. Емец Б.Г. Определение методом ядерного магнитного резонанса средних размеров и концентрации воздушных пузырьков, содержащихся в воде.// Письма в ЖТФ. 1997. Т.23, вып. 13. С.42-45.
17. Бесов А.С., Кедринский В.К., Пальчиков Е.И. Изучение начальной стадии кавитации с помощью дифракционной оптической методики.// Письма в ЖТФ. 1984. Т. 10, вып.4. С.240-244.
18. Бункин Н.Ф., Бункин Ф.В. Бабстоны- стабильные газовые микропузырьки в сильно разбавленных растворах электролитов.//ЖЭТФ. 1992. Т. 101, №2. С.512-527.
19. Акуличев В.А. Гидротация ионов и кавитационная прочность жидкости.// Акустический журнал. 1966. Т. 12, вып.2. С. 160-167.
20. Кедринский В.К. Нелинейные проблемы кавитационного разрушения жидкости при взрывном нагружении (обзор).// ПМТФ. 1993. №3. С.74-91.
21. Кнэпп Р., Дейли Д., Хэммит Ф. Кавитация. М.:Мир, 1974. 687 с.
22. Frenzel Н, Schultes Н. Luminescenz im ultraschallbeschickten Wasser. // Z. Phys.Chem. 1934.27b p.421-424.
23. Harvey E.N. //J. Am. Chem. Soc. 1939. 61,2392.
24. Дробышевский Э.М., Жуков Б.Г., Резников Б.И., Розов С.И. Излучение и равновесный состав плазмы импульсного диафрагменного разряда в электролитах.// ЖТФ. 1977. Т.47, вып.2. С.255-262.
25. Шамко В.В. Интегральные характеристики плазмы подводного искрового разряда (ПИР).//ЖТФ. 1978. Т.48, вып.5. С.967-971.
26. Колдамасов А.И. Плазменное образование в кавитирующей диэлектрической жидкости.//ЖТФ. 1991. Т.61, вып.2. С. 188-190.
27. Калишников Н.К., Липов Г.В., Муратов В.М. Гидродинамические процессы в разрядном промежутке сильноточного наносекундного коммутатора с жидкой изоляцией.// ЭОМ. 1991. №3. С.55-59.
28. Голубничий П.И., Громенко В.М., Крутов В.М. Образование долгоживущих светящихся объектов при распаде плотной низкотемпературной водяной плазмы.// ЖТФ. 1990. Т.60, вып.1. С.183-186.
29. Поздеев В.А. Излучение волны давления сферической полостью, пульсирующей со схлопыванием.// Письма в ЖТФ. 1994. 'Г.20, вып.З. С.92-95.
30. Голубничий П.И., Громенко В.М., Филоненко А.Д. Радиоизлучение, сопровождающее коллапс каверны в жидкости.//ЖТФ. 1979. Т.49, вып. 10. С.2260-2262.
31. Курочкин А.К., Смородов Е.А., Бадиков Ю.В., Маргулис М.А. Химические и физико-химические процессы в полях, создаваемых гидроакустическими излучателями II. О возникновении сонолюминесценции. // ЖФХ. 1986. Т.60. С.893-897.
32. Голубничий П.И., Гончаров В.Н., Протопопов Х.В. // Акустический журнал. 1969. Т. 15. С.534.
33. Маргулис М.А., Грундель JI.M., Эскин Г.И., Швецов П.Н. О возникновении сонолюминесценции в расплавах металлов. //ДАН СССР 1987. 295. С.1170.
34. Taylor К.J., Jarman P.D. // Austral. J. Phys. 1970.29, 319.
35. Taylor K.J., Jarman P.D. // J. Am. Chem. Soc. 1971. 93,257.
36. Peterson F.B., Anderson T.P. // Phys. Fluids. 1967. V.10. p.4.
37. Владимиров Ю.А. Свечение, сопровождающее биохимические реакции. // СОЖ. 1999. №6, с.25-32.
38. Маргулис М.А. Дмитриева А.Ф. Исследование динамики схлопывания кавитационного пузырька III. О механизме эмиссии линий металлов в спектрах сонолюминесценции растворов солей. //ЖФХ. 1982. Т.56. С.875.
39. Flint Е.В., Suslick K.S. Sonoluminescence from nonaqueous liquids: emission from small molecules.// J. Amer. Chem. Soc. 1989. Ill, p.6987-6992.
40. Маргулис М.А. Сонолюминесценция. // УФН. 2000, Т. 170, №3. С.265-287.
41. Колпаков А.В., Малярова JI.B. Электризация струи растяжения жидкости и эффект Марангони. // Тезисы докладов 22-ой научной конференции Стран СНГ. Одесса, 2006. С.182-183.
42. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Жарова И.Г. Закон сохранения количества вещества для субстанции релаксирующей на движущейся границе раздела двух жидких сред. // Тезисы докладов 21-ой научной конференции Стран СНГ. Одесса, 2004. С.46-47.
43. C.-D. Ohl, Т. Kurz, R. Geisler, 0. Lindau, W. Lauterborn. Bubble dynamics, shock waves and sonoluminescence. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1999, V.357,269-294.
44. J.S.Dam, M.T.Levinsen, M.Skogstad. Stable nonspherical bubble collapse including period doubling in sonoluminescence. // Phys. Rev. E 2003. 67, 026303.
45. G.Simon, M.T.Levinsen. Alternative method to deduce bubble dynamics in single-bubble sonoluminescence experiments. // Phys. Rev. E 2003. 67, 026320.
46. H.Ogi, A.Matsuda, K.Wada, M.Hirao. Brightened single-bubble sonoluminescence by phase-adjusted high-frequency acoustic pulse. // Phys. Rev. E 2003. 67, 056301.
47. K.F.MacDonald, V.A.Fedotov, S.Pochon, B.F.Soares, N.I.Zheludev. Oscillating bubbles at the tips of optical fibers in liquid nitrogen. // Phys. Rev. E 2003. 68,027301.
48. M.T.Levinsen, N.Weppenaar, J.S.Dam, G.Simon, M.Skogstad. Direct observation of period-doubled nonspherical states in single-bubble sonoluminescence. // Phys. Rev. E 2003. 68, 035303(R).
49. G.Simon, M.T.Levinsen. Parametric dependence of single-bubble sonoluminescence spectra. // Phys. Rev. E 2003. 68, 046307.
50. C.R.Thomas, R.A.Roy, R.G.Holt. Bubble dynamics near the onset of single-bubble sonoluminescence. // Phys. Rev. E 2004. 70,066301.
51. W.-K.Tse, P.T.Leung. Theory of light emission in sonoluminescence as thermal radiation. // Phys. Rev. E 2006. 73, 056302.
52. H.Okumura, N.Ito. Nonequilibrium molecular dynamics simulations of a bubble. // Phys. Rev. E 2003. 67,045301(R).
53. N.Xu, R.E.Apfel, A.Khong, X.Hu, L.Wang. Water vapor diffusion effects on gas dynamics in a sonoluminescence bubble. // Phys. Rev. E 2003. 68, 016309.
54. J.Holzfuss, M.Ruggeberg. Micromanipulation of sonoluminescence. // Phys. Rev. E 2004. 69, 056304.
55. A.Moshaii, R.Sadighi-Bonabi. Role of liquid compressional viscosity in the dynamics of a sonoluminescing bubble. // Phys. Rev. E 2004. 70,016304.
56. S.-I.Sohn. Density dependence of a Zufiria-type model for Rayleigh-Taylor bubble fronts. // Phys. Rev. E 2004.70,045301(R).
57. J.Holzfuss. Unstable diffusion and chemical dissociation of a single sonoluminescing bubble. // Phys. Rev. E 2005. 71,026304.
58. Y.An, C.F. Ying. Model of single bubble sonoluminescence. // Phys. Rev. E 2005. 71,036308.
59. G.F.Puente, F.J.Bonetto. Proposed method to estimate the liquid-vapor accommodation coefficient based on experimental sonoluminescence data. // Phys. Rev. E 2005. 71,056309.
60. S.Hilgenfeldt, M.P.Brenner, S.Grossmann, D.Lohse. Analysis of Rayleigh-Plesset dynamics for sonoluminescence bubbles. // J. Fluid Mech. 1998, vol.365, pp. 171-204.
61. Horkins S.D., Putterman S.J., Kappus B.A., Suslick K.S., Camara C.G. Dynamics of a Sonoluminescing bubble in sulfuric acid. // Phys. Rev. Lett. 2005,95,254301.
62. O.Baghdassarian et. al. // Phys. Rev. Lett. 2001, 86,4934.
63. Жаров A.H., Жарова И.Г. О нелинейных осцилляциях заряженной капли вязкой жидкости. // Тезисы докладов XXVII-ой конференции молодых ученых механико -математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Москва, 2005. С. 10-11.
64. Жарова И.Г., Григорьев А.И. О сдвиге резонансной частоты нелинейно-осциллирующей капли вязкой жидкости. // Тезисы докладов 22-ой научной конференции Стран СНГ. Одесса, 2006. С.133-134.
65. Григорьев А.И., Жаров А.Н., Жарова И.Г. Нелинейный асимптотический аннализ осцилляций заряженной капли вязкой жидкости//Тезисы докладов Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007» Санкт-Петербург: Изд. СПбГУ. 2007. С. 136.
66. Brenner М.Р., Hilgenfeldt S., Lohse D. Single-bubble sonoluminescence. // Rev. Mod. Phys. 2002. 74, pp.425-483.
67. Lohse D., Hilgenfeldt S. Inert gas accumulation in sonoluminescing bubbles. // The Journal of Chemical Physics November 1,1997 - V. 107, Issue 17, pp. 6986-6997.
68. Коробейников C.M. О роли пузырьков в электрической прочности жидкостей.
69. Предпробивные процессы. // ТВТ. 1998, № 3.
70. Коробейников С.М. О роли пузырьков в электрической прочности жидкостей.
71. Сопоставление с экспериментом. // ТВТ. 1998, № 4.
72. Жмаев Н.А., Остапенко А.А., Стишков Ю.К. Влияние свойств границы электрод-жидкость на пробивное напряжение жидких диэлектриков.// ЭОМ. 1991. №5. С.38-42.
73. Воробьев В.В., Капитонов В.А., Кругляков Э.П., Цидулко Ю.А. Исследование пробоя воды в системе с "диффузионными" электродами.// ЖТФ. 1980. Т.50, вып.5. С.993-999.
74. Скорых В.В. Влияние пузырьков газа на зажигание разряда в воде.// ЖТФ. 1986. Т.56, вып.8. С. 1569-1572.
75. Комин С.Н., Кучинский Г.С., Морозов Е.А. Механизм нарушения электрической прочности воды в микросекундном диапазоне.// ЖТФ. 1984. Т.54, вып.9. С. 1826-1829.
76. Климкин В.Ф. Особенности развития электрического пробоя Н-гексана в микронаносекундном диапазоне.//ЖТФ. 1986. Т.56, вып.10. С.2041-2043.
77. Климкин В.Ф. Границы механизмов электрического пробоя Н-гексана в квазиоднородном поле.//ЖТФ. 1991. Т.61, вып.8. С.80-83.
78. Климкин В.Ф. Особенности развития электрического пробоя воды в субмиллиметровых промежутках.//ЖТФ. 1987. Т.57, вып.4. С.805-807.
79. Яншин Э.В., Овчинников И.Т., Вершинин Ю.Н. Оптические исследования предпробойных явлений в воде в наносекундном диапазоне.// ЖТФ. 1973. Т.43, вып. 10. С.2067-2074.
80. Климкин В.Ф., Пономаренко А.Г. Исследование импульсного электрического пробоя жидкостей с помощью оптической интерференции.// ЖТФ. 1979. Т.49, выи.9. С.1896-1904.
81. Трофимова Л.П., Поклонов С.Г. Электрическая прочность разрядного промежутка при высоковольтном пробое воды в условиях повышенных давлений.// ЭОМ. 1993. №6. С.35-38.
82. Климкин В.Ф. Механизмы электрического пробоя Н-гексана в наносекундном диапазоне.//ЖТФ. 1990. Т.60, вып.6. С.161-163.
83. Климкин В.Ф. Механизмы электрического пробоя воды с острийного анода в наносекундном диапазоне.// Письма в ЖТФ. 1990. Т. 16, вып.4. С.54-58.
84. Бородин В.П., Климкин В.Ф. Влияние давления на механизмы электрического пробоя Н-гексана.// Письма в ЖТФ. 1988. Т.14, вып.9. С.802-805.
85. Жекул В.Г., Раковский Г.Б. К теории формирования электрического разряда в проводящей жидкости.//ЖТФ. 1983. Т.53, вып.1. С.8-14.
86. Богуславский Л.З., Кривицкий Е.В., Петриченко В.Н. Электрогидродинамические явления при коронном импульсном разряде в сильных водных электролитах.// ЭОМ. 1991. №5. С.51-54.
87. Ковалев В.Г. Автомодельная задача о цилиндрическом поршне в равновесной газожидкостной среде.// Письма в ЖТФ. 1994. Т.20, вып 18. С.61-64.
88. Бескаравайный Н.М., Ковалев В.Г., Кривицкий Е.В. Критерии подобия высоковольтных электрических разрядов в газожидкостных смесях.// ЖТФ. 1994. Т.64, вып. 2. С. 197-200.
89. Поздеев В.А. Влияние начальных значений кинематических параметров плазменного канала электрического разряда в воде на время переходного процесса.// Письма в ЖТФ. 1996. Т.22, вып. 14. С.7-10.
90. Вовченко А.И., Ковалев В.Г., Поздеев В.А. Особенности гидродинамических характеристик высоковольтного электрического разряда в жидкости при двухимпульсном законе ввода мощности.// Письма в ЖТФ. 1997. Т.23, вып.9. С.58-61.
91. Коган Е.Я., Мартыш Е.В. Образование поверхностного заряда в ограниченной плазме.//ЖТФ. 1980. Т.50, вып.5. С.902-907.
92. Бескаравайный Н.М., Ковалев В.Г. Высоковольтный электрический разряд в жидкости с пузырьками пара.// ЭОМ. 1994. №3. С.38-41.
93. Ковалев В.Г. Гидродинамика электровзрыва в газожидкостной смеси.// ЖТФ. 1996. Т.66, вып.4. С.24-29.
94. Горячев B.JL, Уфимцев А.А., Ходаковский A.M. О механизме эрозии электродов при импульсных разрядах в воде с энергией в импульсе ~ 1 Дж.// Письма в ЖТФ. 1997. Т.23, вып. 10. С.25-29.
95. Nomura S., Toyota Н., Sonoplasma generated by a combination of ultrasonic waves microwave irradiation. Appl. Phys. Lett. 2003. 83. 4503.
96. Taleyarkhan R.P., West C.D., Cho J.S., Lahey R.T., Nigmatulin R.I., Block R.C. Evidence for Nuclear Emissions During Acoustic Cavitation. Science. 2002. V.295. p. 18681873.
97. Taleyarkhan R.P., West C.D., Lahey R.T., Nigmatulin R.I., Block R.C., Xu Y. Nuclear Emissions During Self-Nucleated Acoustic Cavitation. Phys. Rev.Lett. 2006. 96. 034301.
98. Taleyarkhan R.P., Cho J.S., West C.D., Lahey R.T., Nigmatulin R.I., Block R.C. Additional evidence of nuclear emissions during acoustic cavitation. Phys. Rev.E. 2004. 69. 036109.
99. Nigmatulin R., Akhatov I., Topolnikov A., Bolotnova R., Vakhitova N., Lahey R.T. Taleyarkhan R.P. Theory of supercompression of vapor bubbles and nanoscale thermonuclear fusion Physics of Fluids. Phys. Fluid. 2005. 17. 107106.
100. Липсон А.Г., Кузнецов В.А., Майли Дж. Выход DD-реакции в процессе электрического пробоя кавитиционных пузырьков в диэлектрических дейтерированных жидкостях. // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып. 10. с.39-45.
101. Липсон А.Г., Дерягин Б.В., Клюев В.А., Хаврошкин О.Б. и др. Инициирование ядерных реакций синтеза при кавитационном воздействии на дейтерийсодержащие среды.//ЖТФ. 1992. Т.62. Вып.12. С.121-130.
102. Xu Y. Butt A. Confirmatory experiments for nuclear emissions during acoustic cavitation. Nuclear Engineering and Design. 2005.235. p. 1317-1324.
103. Найфе A.X. Методы возмущений. M.: Мир, 1976.455 с.
104. Nigmatullin R.I., Akhatov I.Sh., Vakhitova N.K., Lanev R.T. On the forced oscillations of a small gas bubbles in a spherical liquid-filled flask // J. Fluid Mech. 2000. V.414. P.47-73.
105. Glinsky M.E., Baily D.S., London A.R., Amendt P.A., Rubenchik A.M. An extended Rayleigh model ofbubble evolution. //Phys. Fluids. 2001. V.13. №1. P.20-31.
106. Жаров A.H., Григорьев А.И. О влиянии движения газа внутри заряженного пузырька в жидкости на параметры его осцилляций. //ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.11. С. 13-21.
107. Ахатов И.Ш., Коновалова С.И. // ПММ. 2005. Т.69. Вып.4. С.636-647.
108. Тесленко B.C., Дрожжин А.П., Санкин Г.Н. Автоцикличный кольцевой пробой в электролите с вынужденным коллапсом пузырьков.// Г1ЖТФ. 2005. Т.32. Вып.4. С. 24-31.
109. Жаров А.Н, Григорьев А.И., Жарова И.Г. Эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька в вязкой жидкости. // ЖТФ. 2006. Т.76. Вып.З. С. 16-24.
110. Feng Z.C., Leal L.G. On energy transfer in resonant bubble oscillations. // Phys. Fluids. 1993. V.A5.№4. P.826-836.
111. Trinh E.E., Thiessen D.B., Holt R.G. 1998. Driven and freely decaying nonlinear shape oscillations of drops and bubbles immersed in a liquid: experimental results // J. Fluid Mech. 1998. V.364.253-272.
112. Benjamin T.B., Ellis A.T. Self propulsion of asymmetrically vibrating bubbles // J. Fluid Mech. 1990. V.212. P.65-80.
113. Feng Z.C., Leal L.G. Translational instability of a bubble undergoing oscillations. // Phys. Fluids. 1995. V.7. №6. P.1325-1336.
114. Doinikov A. A. Translational motion ofbubble undergoing shape oscillations. // J. Fluid Mech. 2004. V.501. P. 1-24.
115. Brennen C. 2002. Fission of collapsing cavitations bubbles // J. Fluid Mech. V.472. P.153-166.
116. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Жарова И.Г. Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости. // ЖТФ. 2006. Т.76. Вып.10. С.41-50.
117. Френкель Я.И. //ЖЭТФ. 1936. Т.6. №4. С.348-350.
118. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. 1997. О дроблении сильно заряженного пузыря в диэлектрической жидкости на части сравнимых размеров.// Письма в ЖТФ. 1997. Том 23, вып. 19. С. 60-65.
119. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Рэлеевский распад сильно заряженного пузыря в диэлектрической жидкости.//ЖТФ. 1999. Т.69, вып.2. С. 11-15.
120. Скимбов А.А. Исследование внутренних характеристик кипения смесей в электрическом поле.// ЭОМ. 1992. №6. С.23-27.
121. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. О некоторых особенностях нелинейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций заряженной капли //ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1. С. 10-20.
122. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. 2003. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде //ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.9. С.60-63.
123. Aitken F., McCluskey F.M.J., Denat A. An energy model for artificially generated bubbles in liquids. //J. Fluid Mech. 1996. V.327. P.373 392.
124. Васильев А.П. Влияние внешнего однородного магнитного поля на затухание осцилляций газового пузырька в вязкой электропроводной жидкости.// ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.1. С.35-41.
125. Bekshaev A.Ya., Kontush S.M., Rybak S.S., Schweiger G, Esen C. Resonans penetration of gas bubbles through a thin liquid layer: a capillary resonator and its use for the generation of droplets //J. Aerosol Sci. 2003. V.34. P.469-484
126. Максимов А.О. Максимальный размер пузырька при автомодельных пульсациях// Письма в ЖТФ. 2005. Т.31. Вып.7. С.7-13.
127. Ffowcs-Williams J.E., Guo Y.P. On resonant nonlinear bubble oscillations. // J. Fluid Mech. 1991. V.224. P. 507-529.
128. Longuet Higgins M.S. Resonance in nonlinear bubble oscillations. // J. Fluid Mech. 1991. V.224. P. 531-549.
129. Mei C.C., Zhou X. Parametric resonance of a spherical bubble. // J.Fluid Mech. 1991. V.229. P.29-50.
130. Feng Z.C. Instability caused by the coupling between non-resonant shape oscillation modes of a charged conducting drop. // J. Fluid Mech. 1997. V.333. P. 1-21.
131. Doinicov A. A. Tanslational motion of a bubbles undergoing shape oscillation // J. Fluid Mech. 2004. V.501.1-21.
132. Жарова И.Г. Начальная краевая задача для капиллярных колебаний пузырька в вязкой несжимаемой жидкости // Сб. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов: «Актуальные проблемы физики». №5. Ярославль: Изд.: ЯрГУ им. П.Г. Демидова. 2005. С.128-135.
133. Левич В.Г. 1952. Физико-химическая гидродинамика. М.: Изд. АН СССР. 538с.
134. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves. // Royal. Soc. London. Trans. Ser. A. 1953. V.245. №903. P.535-581.
135. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. К формулировке теории пограничного слоя, связанного с волновым движением на свободной поверхности жидкости. //ЖТФ. 2007. Т.77. Вып. (в печати)
136. Жаров А.Н., Григорьев А.И. О временной эволюции формы поверхности, деформированной в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости. //ЖТФ. 2005. Т.75. Вып.1. С.22-31.
137. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О влиянии вязкости жидкости нелинейно-осциллирующей заряженной капли на положения внутренних резонансов. // ЖТФ. 2005. Т.75. Вып.7. С. 19-28.
138. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Аналитическое исследование нелинейных осцилляций заряженной капли вязкой жидкости. // ЖТФ. 2005. Т.75. Вып. 12. С.33-46.
139. Chandrasekhar S. The oscillations of a viscous liquid globe. // Proc. London Math. Soc. 1959. V.3. №9. P. 141-149.
140. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. 1992. Об одном методе решения уравнения Навье-Стокса в криволинейных системах координат. //ЖВММФ. Т.32. №6. С.929-938.
141. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Паука, 1986. 733 с.
142. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975.408 с
143. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О некоторых свойствах разложений по производным от полиномов Лежандра, проявляющихся при исследовании нелинейных осцилляций капли вязкой жидкости. // ЖТФ. 2005. Т.75. Вып.9. С.20-27.
144. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Муничев М.И. // ЖТФ. 1996. Т.66. Вып.7. С.18.
145. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Конвективные движения в слое вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью. // ЖТФ. 2006. Т.76. Вып.9. С.41-45.
146. Справочник по специальным функциям/ Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
147. Жарова И.Г. О расчете осцилляций пузырька в вязкой жидкости на основе уравнений пограничного слоя. // Тезисы докладов 60-ой научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов. Ярославль, 2007. С.241.
148. Григорьев А.И., Жаров А.Н. Устойчивость равновесных состояний заряженных пузырей в диэлектрической жидкости // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.4. С.8-13.
149. Жаров А.Н., Григорьев А.И. О капиллярных колебаниях и устойчивости заряженного пузырька в диэлектрической жидкости //ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.11. С. 12-20.
