Исследование динамики пузырьков в трех измерениях ускоренным методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ИТКУЛОВА Юлия Айратовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПУЗЫРЬКОВ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ УСКОРЕННЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Уфа-2014

005554178

005554178

Работа выполнена в Центре «Микро- и наномасштабная динамика дисперсных систем» ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет» и в ФГБУН «Институт механики им. Р. Р. Мавлютова» Уфимского научного центра Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Гумеров Наиль Асгатович

Официальные оппоненты: Осипцов Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики

многофазных сред Института механики ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», г. Москва

Коновалова Светлана Ильдусовна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», г. Уфа

Ведущая организация: ФГБУН «Институт механики и машиностроения»

Казанского научного центра Российской академии наук, г. Казань

Защита диссертации состоится «04» декабря 2014 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 в Башкирском государственном университете по адресу: г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32, физико-математический корпус, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан «/£» октября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор / у/^ Л.А. Ковалева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Пузырьки широко встречаются в природе и во многих технологических процессах, где образование пузырьков может приносить как вред, так и пользу. Например, существенной проблемой является борьба с кавитационной эрозией, когда в результате схлопывания пузырьков разрушаются рабочие поверхности и создаются подводные шумы. В то же время ультразвуковая очистка является одним из передовых современных методов, применяемых в биотехнологиях, медицине и микроэлектронике. Пузырьки могут эффективно применяться в качестве микронасосов в микромеханических устройствах, а также для очистки поверхностей микрочипов. Можно сказать, что пузырьки широко используются для создания новых и усовершенствования существующих технологических процессов.

Динамика пузырьков определяется как силами, действующими со стороны сжимаемого газа, так и поверхностными силами и силами, действующими со стороны практически несжимаемой жидкости. Относительный вклад вязких, нестационарных и инерционных сил со стороны жидкости определяется числами Рейнольдса и Струхаля. При малых числах Рейнольдса и умеренных числах Струхаля движение жидкости описывается уравнениями Стокса. Такие режимы наблюдаются, например, в смесях газа и высоковязкой нефти. Другой предельный режим реализуется при больших числах Рейнольдса, что характерно, например, для миллиметровых пузырьков воздуха в воде. Возможны и промежуточные режимы при умеренных числах Рейнольдса. Однако для понимания явлений, связанных с пузырьками, изучение предельных режимов имеет важное значение, поскольку оно позволяет выявить роль инерции и вязкости жидкости.

Как правило, особое внимание уделялось исследованию динамики сферических пузырьков. Динамика несферических пузырьков, особенно в трехмерном случае, изучена в значительно меньшей степени. В большинстве теорий, связанных с динамикой пузырьков, трехмерными эффектами, которые возникают при колебаниях деформированных пузырьков, пренебрегается. В связи с этим актуально создание математических моделей и реализация соответствующих программных модулей на базе эффективных методов и алгоритмов в трехмерном случае, которые более адекватно описывают рассматриваемые физические процессы. С точки зрения вычислительных методов трехмерные задачи со свободными границами, которые требуют высокой степени дискретизации, представляют большую сложность. Это связно как с большим количеством арифметических операций, так и с ограниченностью памяти вычислительной системы. Эти проблемы могут решаться применением эффективных алгоритмов (метод граничных элементов и быстрый метод мультиполей) и высокопроизводительных вычислений (распараллеливание на многоядерных центральных и графических процессорах).

Цель работы заключается в установлении закономерностей свободных и вынужденных колебаний несферических пузырьков в предельных режимах сильновязкой и невязкой жидкости, как в неограниченной области, так и в присутствии твердых стенок.

Задачи исследования:

1. Разработка математической модели и соответствующей гранично-интегральной формулировки, описывающих динамику пузырьков в стоксовом режиме.

2. Разработка математической модели и соответствующей гранично-интегральной формулировки, описывающих динамику пузырьков в потенциальном течении.

3. Применение быстрого метода мультиполей (FMM) и графических процессоров (GPU) для увеличения масштаба задачи и ускорения расчетов.

4. Валидация разработанных методов путем сравнения в предельных случаях с известными решениями.

5. Моделирование динамики взаимодействующих пузырьков в стоксовом и потенциальном течениях.

6. Исследование свободных и вынужденных колебаний объема и формы одиночного пузырька в сильновязкой и невязкой жидкости.

7. Изучение динамики пузырька в акустическом поле вблизи твердой границы в приближении Стокса.

8. Исследование динамики пузырька, контактирующего с гидрофильной или гидрофобной поверхностями, под действием акустического поля в режимах Стокса и потенциального течения.

Научная новизна:

1. Создание нового подхода для моделирования динамики пузырьков в стоксовом режиме методом граничных элементов в трехмерной постановке.

2. Разработка эффективного алгоритма расчета динамики пузырьков в приближениях Стокса и потенциального течения для задач высокой вычислительной сложности на базе метода граничных элементов и быстрого метода мультиполей и его реализация на гетерогенных вычислительных системах (распараллеливание на центральных и графических процессорах).

3. Разработка и реализация нового метода стабилизации сетки для динамических задач, включающего сферический фильтр для параметрического представления произвольных поверхностей, топологически эквивалентных сфере.

4. Модификация трехмерного метода граничных элементов для расчета динамики пузырька, контактирующего с твердой поверхностью, в стоксовом и потенциальном течениях.

5. Анализ напряжений, действующих на твердую стенку, когда пузырек расположен вблизи нее, и динамики объема, формы и контактного угла пузырька, контактирующего с твердой поверхностью.

6. Анализ колебаний объема и формы пузырька в трехмерном случае и определение условий и параметров задачи, при которых возбуждаются определенные поверхностные моды пузырька, наблюдается явление

самодвижения пузырька и происходит обмен энергией между различными модами;

7. Анализ трехмерной динамики взаимодействующих пузырьков в предельных случаях сильновязкой и невязкой жидкости.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные результаты позволяют объяснить явления самодвижения пузырька, возбуждения или затухания поверхностных мод пузырька, обмена энергией между модами. Все это имеет практическое значение при использовании пузырьков в различных технологических процессах, а также дает основу для дальнейшего исследования многих других эффектов в пузырьковых жидкостях в макромасштабах. Кроме того, разработанный алгоритм может применяться для решения широкого класса гидродинамических задач, связанных с трехмерными течениями жидкости со свободными и фиксированными границами.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается корректностью математических постановок задач и соответствующих гранично-интегральных формулировок, описывающих динамику пузырьков в режимах Стокса и потенциального течения. Все программные модули были протестированы и исследованы на предмет сходимости и точности вычислений. Разработанные программы были использованы для исследования предельных случаев с известными решениями и отмечено хорошее согласование с известными решениями для одиночного сферического пузырька, двух взаимодействующих пузырьков и линейной теорией свободных колебаний амплитуды поверхностных мод пузырька в потенциальном течении. Кроме того, результаты расчетов динамики одиночного пузырька, расположенного на гидрофильной поверхности были сопоставлены с экспериментальными данными и отмечено хорошее согласование.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Анализ взаимодействия пузырьков в двух предельных режимах. Сильное влияние присутствия других пузырьков на изменение объема и динамику каждого пузырька в потенциальном течении, в режиме Стокса такое влияние -незначительно. Параметры акустического поля и расстояние между пузырьками, при которых в крайних пузырьках образуются струи.

2. Условия и параметры, при которых происходит обмен энергией между объемной и определенной поверхностной модами пузырька, акустическое поле возбуждает определенную поверхностную моду пузырька и пузырек начинает двигаться поступательно. Анализ влияния акустического поля на явление самодвижения пузырька.

3. Анализ напряжений, действующих на твердую пластину со стороны гидродинамических потоков, при динамике одиночного пузырька в стоксовом режиме под действием акустического поля.

4. Анализ динамики объема, формы и контактного угла пузырька, контактирующего с гидрофобной или гидрофильной поверхностями, под действием акустического поля в предельных случаях сильновязкой и невязкой жидкости.

5. Эффективный подход, включающий метод граничных элементов, гетерогенный быстрый метод мультиполей и новый метод стабилизации сетки, для прямого расчета динамики пузырьков в трех измерениях в предельных случаях сильновязкой и невязкой жидкости.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных и Всероссийских конференциях: Международный конгресс инженеров-механиков (IMECE-12, Хьюстон, Техас, США, 2012), Международный конгресс инженеров-механиков (IMECE-13, Сан-Диего, Калифорния, США, 2013), Международная конференция по численным методам многофазных систем (ICNMMF-12, Пенсильвания, США, 2012), Международная научная конференция «Наука будущего» (Санкт-Петербург, 2014), Летний семинар «Динамика дисперсных систем» (Уфа, 2014), VI Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2012), XIV Всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математического моделирования» (Абрау-Дюрсо, 2011), Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2011-2012), Международная научная конференция «Параллельные вычисления и технологии» (Новосибирск, 2012); на рабочих семинарах Третьего Физического Института Геттингенского университета под руководством доктора Метгина Р. (Геттинген, Германия, 2013-2014), по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбГПУ - НИИМ МГУ (Москва, 2014), лаборатории механики многофазных сред Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Осипцова А.Н. (Москва, 2014), Центра Микро- и наномасштабной динамики дисперсных систем БашГУ под руководством д.ф.-м.н. Гумерова H.A., д.ф.-м.н., проф. Ахатова И.Ш. и академика РАН Нигматулина Р.И. (Уфа, 2011-2014), кафедры прикладной информатики и численных методов БашГУ под руководством д.ф.-м.н., проф. Морозкина Н.Д. (Уфа, 2012-2014) и Института Механики УНЦ РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. Урманчеева С.Ф (Уфа, 2011-2014).

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 28 печатных и электронных изданиях, в том числе 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 4 - в изданиях, относящихся к Scopus (приравнивается к журналам, рекомендованных ВАК РФ). Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 166 страниц с 95 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 224 наименований.

Автор благодарит своего научного руководителя д.ф.-м.н. Гумерова H.A. за постановку задач, идеи по реализации программных модулей и постоянное внимание к работе, Абрамову O.A. за помощь в реализации части модулей для исследования динамики пузырьков в стоксовом режиме,

к.ф.-м.н. Саметова C.B. за предоставленные экспериментальные данные динамики пузырька на гидрофильной поверхности, д.ф.-м.н., проф. Ахатова И.Ш., доктора Метина Р. и коллег из Третьего Физического Института Геттингенского университета за предложенное направление исследований. Автор выражает признательность д.ф.-м.н., проф. Урманчееву С.Ф. за полезные советы при обсуждении диссертационной работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована основная цель работы и задачи исследования, отмечена научная новизна, достоверность, научная и практическая значимость полученных результатов, описаны основные положения, выносимые на защиту, изложена структура диссертации.

В первой главе приводится обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию свободных и вынужденных колебаний сферических и несферических пузырьков, как в неограниченной области, так и в присутствии твердых стенок (Аганин A.A., Заболотская Е.А., Akhatov I., Benjamin Т. В., Cnim L. A., Doinikov A. A., Ellis A. T., Feng Z. C, Gibson D. C., Gumerov N. A., Lauterborn W., Leal L. G., Parlitz U., Plesset M. S., Rayleigh L. и др.). Кроме того, проведен анализ численных исследований с применением метода граничных элементов для стоксового (Ладыженская O.A., Pozrikidis С., Power H. и др.) и потенциального (Афанасьев К.Е., Воинов О.В., Петров А.Г., Blake J. R., Chahine G. L., Oguz H. N., Zhang Y.L., Prosperetti A. и др.) течений, быстрого метода мультиполей (Greengard L., Rokhlin V. и др.) и высокопроизводительных вычислений (Gumerov N.A., Duraiswami R. и др.).

Представлены математические модели динамики пузырьков в предельных режимах сильновязкой и невязкой жидкости. В первом приближении течение жидкости описывается уравнениями Стокса

V - <т = —Vp + //V2v = О, V • V = 0, (1)

где V— скорость, ¡л — вязкость жидкости, р и с — давление и тензор напряжений, которые включают гидростатический компонент. На межфазной границе пузырек-жидкость^ выполняется следующее граничное условие

f = оп = fix,

(2)

где f — вектор напряжений, n — нормаль к поверхности Sb, направленная в жидкость, к — средняя кривизна поверхности пузырька р — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, х — радиус-вектор рассматриваемой точки, pg — давление в газе и рх — давление в жидкости в

точке X = 0 при отсутствии пузырька.

Во втором приближении течение жидкости описывается уравнениями Эйлера

р- = -Чр, Уу = 0. (3)

ш

Кроме того предполагается, что течение потенциальное, то есть V = Уф, где^ — потенциал скорости, который удовлетворяет уравнению Лапласа Vгф = 0 и на границе Бь определяется согласно динамическому условию <1ф 1, |2 Р. - Ре + 2ук

— = -Н +-*-+ в-х, (4)

Давление в газе определяется согласно некоторому политропному процессу

где к — показатель политропы, который равен 1 для изотермического процесса (режим Стокса) и показателю адиабаты у для адиабатического. Параметры с индексом «О» — начальные значения при / = 0, р0-— начальное давление в жидкости, V — объем пузырька, а — радиус пузырька.

Давление в жидкости рх изменяется согласно действующему акустическому полю и в момент времени I определяется как

Р.(0 = Р,+Л(0, ра(1) = Р^т(йХ + <р), (6)

где ра — давление акустического поля, Ра, а, <р — амплитуда, циклическая частота и сдвиг по фазе колебаний акустического поля.

Движение точек поверхности пузырька описывается кинематическим уравнением

— = у(х), хе^. (7)

Во второй главе описано применение метода граничных элементов (МГЭ) к исследуемым задачам.

Уравнения Стокса (1) могут быть переписаны в интегральной форме у ё 5, у г V, у(у)-у.(у)]

■ = -/К(у,х).у(х>/5(х)-1|с(У,х)-Г(хУ5(х), (8)

у е V, -у„(у)

где П(у) — телесный угол, под которым точка у «видит» жидкость. Он равен 2/г для гладкой части поверхности Я (поверхность твердой стенки или поверхность пузырька Бь) и Лвс для точек, принадлежащих контактной линии — соответствующий контактный угол), V, — скорость, определенная на бесконечности, в и К — тензоры второго и третьего ранга, компоненты которых в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

4тг

8я^т- л3 / ' Лл г5 ' (9)

^„(У,х)=7;,(у,х)-л,(х), г=у,-х„ л- = |у — х| уД = 1,2,3,

где 8ц — символ Кронекера. Однако скорость, определяемая из уравнений (2), не зависит от перепада давления р^ — рг ввиду тождества £с(у,х)-п(хУ.?(х) = 0. Влияние параметра р„—рг на динамику пузырька можно учесть, применяя принцип взаимности Лоренца для пробного потенциального течения, создаваемого источником единичной интенсивности, расположенном в центре пузырька х0

{у,(х>'(х)п (хШх)= — Г /ЧхкЫЛхШх), = (10)

Для решения проблемы в случае двух и М пузырьков рассматривается М пробных течений (11) с центрами монополей, помещенными в точках х0„, п = 1,... М, где хЛл — произвольная точка внутри л-ого пузырька.

Гранично-интегральные уравнения для потенциала скорости ф, где Ф = 0, могут быть записаны в следующем виде

где С(у,х) и ,х)/3л(х) — функция Грина для уравнения Лапласа и ее нормальная производная соответственно

031

В случае потенциального течения, в отличие от режима Стокса (8), интегральные уравнения (12) имеют однозначное решение.

Поверхность пузырьков дискретизируется треугольной сеткой. Для вычисления поверхностных интегралов используются квадратурные формулы. Сингулярные интегралы определяются на основе интегральных тождеств и известных тестовых решений. Для вычисления средней кривизны поверхности в каждом узле сетки применяется метод параболической аппроксимации. Используя метод коллокаций в узлах сетки, второе уравнение в граничных интегралах (8) и дополнительные гранично-интегральные соотношения для каждого пузырька (10) сводятся к переопределенной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных значений на границе (скорость v на границе пузырька или вектор напряжений Г на твердой стенке 5И. и контактной линии 5С), второе уравнение в граничных интегралах (12) — к квадратной СЛАУ относительно неизвестных значений на

(И)

уе£, уеУ, -ф{у)

(12)

уеГ, 0

границе (нормальная производная потенциала скорости дф / дп на границе пузырька или потенциал скорости ф на контактной линии )

А-х = Ь, (14)

где А — расчетная матрица системы, х — вектор неизвестных, Ь — правая часть системы. Таким образом, при моделировании динамики М пузырьков с общим числом узлов сетки на расчетной поверхности N в режиме Стокса требуется находить решение переопределенной СЛАУ размером {ЗИ + М)хЪЫ

на каждом временном шаге, в режиме потенциального течения— решение СЛАУ размером Мх N.

В процессе эволюции узлы сетки перемещаются согласно уравнению (7). В случае потенциального течения кинематическое условие (7) решается совместно с (4). Для стабилизации сетки используется поправка на касательную составляющую скорости и сферический фильтр для параметрического представления произвольных поверхностей, топологически эквивалентных сфере.

В третьей главе описан и протестирован эффективный подход для задач высокой вычислительной сложности на базе метода граничных элементов и гетерогенного быстрого метода мультиполей (РММ).

Такой подход обусловлен тем, что МГЭ сводится к решению на каждом временном шаге плотной СЛАУ (14) относительно//(потенциальное течение) или ЗN (течение Стокса) неизвестных. Для систем из пузырьков и твердых границ с высокой степенью дискретизации поверхности значение N может достигать миллиона. Прямые методы решения с вычислительной сложностью 0(Ыг) в таких случаях неприменимы. Использование эффективных итеративных методов снижает вычислительную сложность до 0(И:1ггЫг), где N— количество итераций, 0(И7 )— сложность одного матрично-векторного произведения (МВП). Однако для больших N решение СЛАУ затруднительно, поскольку время вычислений возрастает пропорционально квадрату N. Основной особенностью реализованного численного подхода является применение алгоритма РММ, имеющего сложность 0(Щ для заданной точности МВП, возникающих при решении СЛАУ (14), что приводит к О(ЛГ((>гЛ0 вычислительной сложности всего алгоритма.

В четвертой главе исследовалась динамика пузырьков в режиме Стокса.

Подобраны физические параметры расчетов, при которых вязкие свойства жидкости доминируют над инерционными (р=1000 кг/м\ ,« = 0.01 Пас, Г = 0.05 Н/м, а0 = 1 мкм, й>/2тг = 200 кГц, 7*= 2л7<и = 5мкс, Ра=р0= 10' Па, <р = тг). Сравнение с известным решением для динамики радиуса одиночного сферического пузырька в силыювязкой жидкости показало, что МГЭ дает решение с хорошей точностью, которая увеличивается при увеличении узлов N (0.28%, N = 642). Рассчитана деформация одиночного пузырька в сдвиговом потоке под действием акустического поля и обнаружено, что вначале пузырек расширяется и вытягивается по сдвиговому потоку, затем, достигнув своего

стабильного состояния, начинает изменяться только его объем согласно действующему на него акустическому полю.

Изучалась динамика двух одинаковых пузырьков и нескольких пузырьков с начальным гауссовым распределением по пространству и по радиусам от 1 мкм до 1.5 мкм. На рис. 1 представлено начальное распределение М =9240 пузырьков. Поверхность каждого пузырька дискретизировалась сеткой с Nь = 162 вершинами. Таким образом, общее количество расчетных узлов составило N = М -Ы ^ =1496880, количество неизвестных ЗА' = 4490640, а число уравнений в системе Ш + М= 4499880. На рис. 2 изображены фрагменты расчетной области (~7;7)3 в различные моменты времени. В стоксовом режиме пузырьки влияют друг на друга незначительно, и изменение объема пузырькового кластера хорошо согласуется с результатами, полученными для одного и четырнадцати пузырьков.

*=0.26Т 1=0.75т

Рис.1 Распределение рис. 2. Фрагменты расчетной области (-7;7)3 динамики кластера пузырьков, М = 9240 . пузырьков в акустическом поле в режиме Стокса, М = 9240 .

Исследовалась динамика амплитуды объемной (и = 0) и поверхностных (/7 >2) мод с начальным возмущением Ар. Поверхность пузырька

представляется как

г(0,<р,о=%±с;(о¥;(в,<р\ с;=д;"соз(Чо, Л2=£1К"12, (15)

где г, в и (р — сферические координаты, Г" — сферические гармоники. Амплитуды С" характеризуют осесимметричные моды, амплитуды С" — секториальные моды, остальные амплитуды С"' — тессеральные моды. Обнаружено, что в режиме Стокса заданные возмущения поверхности затухают и пузырек становится сферическим.

Рассчитано касательное и нормальное напряжение, действующее на твердую стенку со стороны гидродинамических потоков, при динамике одиночного пузырька, расположенного на различных расстояниях от пластины (1, под действием акустического поля амплитуды Ра=р0- Показано, что напряжение растет с уменьшением расстояния или увеличением частоты акустического поля (рис. 3) .

а) Касательное напряжение ег^ . б) Нормальное напряжение сг__.

Рис. 3. Максимальные значения компонент тензора напряжений, действующих на пластину.

Исследовалась динамика пузырька, контактирующего с гидрофобной поверхностью с лапласовским контактным углом в1 = 96°. Скорость движения контактной линии V, определяется как ус = а0(сояв, — сое<9,) / (2гв), где в — контактный угол в данный момент времени, г0 — время релаксации контактного угла. Чем больше время релаксации, тем быстрей изменяется угол вс (рис. 4). При г0 =со контактная линия закреплена, при т0 =0,004Г — движется с сохранением контактного угла.

Рис. 4. Динамика контактного угла пузырька, контактирующего с гидрофобной поверхностью, в режиме Стокса при различных временах релаксации.

В пятой главе исследовалась динамика пузырьков в режиме потенциального течения (^ = 0.073 н/м, аг = 1.4, = 1 ООО кг/м5).

Сравнение с известными решениями для динамики радиуса одиночного и двух сферических пузырьков в невязкой жидкости показало, что МГЭ дает решение с хорошей точностью, которая увеличивается при увеличении узлов N.

Проведены многопараметрические расчеты взаимодействия двух одинаковых пузырьков при различных параметрах акустического поля (Ра и со) и

расстояниях между центрами пузырьков (¿). Результаты исследования позволяют определить набор параметров, при которых пузырьки остаются сферическими, деформируются или образуются струи. Установлено, что с увеличением амплитуды акустического поля и уменьшением расстояния между пузырьками наблюдается образование струй (рис. 5 (а)). Однако характер динамики пузырьков также зависит от частоты акустического поля. Так, несмотря на большое Ра и маленькое с1 с увеличением частоты акустического

поля струи не успевают формироваться (рис. 5 (б)).

Исследование динамики трех (рис. 6) и более пузырьков одинаковых радиусов показало, что струи формируются в крайних пузырьках, тогда как объем центральных пузырьков увеличивается. Отметим, что динамика пузырька в кластере сильно отличается от динамики одиночного пузырька. Расчет динамики пузырькового кластера, содержащего М = 9240 пузырьков, с начальным гауссовым распределением пузырьков по радиусам (а0 =10-15 мкм) и по пространству показал, что взаимодействие пузырьков сильно влияет на изменение объема кластера. Общее количество расчетных узлов в этом случае составило N = М-Ик =1496880, что совпадает с количеством неизвестных в СЛАУ.

а) со/со0 =0.58. б) Р=0.8.

Рис. 5. Характер взаимодействия двух пузырьков в акустическом поле в режиме потенциального течения.

Рис. 6. Динамика взаимодействующих пузырьков в акустическом поле в режиме потенциального течения Ра =70 кПа, СО / (2тг) =200 кГц, М = 3, с! = 5а„.

Исследовались собственные колебания осесимметричных и секториальных поверхностных мод с начальным возмущением поверхности (15). Частота собственных осцилляций различных поверхностных мод, определенная численно, хорошо согласуется с линейной теорией

о/ = (п + 1)(п - 1)(/г + 2) у! (pal), п = 2,3... (16)

Изучалось явление самодвижения пузырька при возбуждении двух соседних секториальных мод. Обнаружено, что проявление этого эффекта зависит от собственной частоты объемных колебаний пузырька а>0, определяемой как

col = (Мр<А / Г + 2) - 2)у / (pal). (17)

Пузырек начинает двигаться поступательно, когда собственная частота объемной моды находится в точном резонансе с одной из возбужденных соседних мод или между ними. На рис. 7 представлены результаты моделирования самодвижения пузырька при начальном возмущении секториальных мод п = 2,3 и соотношении между частотами <и0 = 2а>2. Такое движение объясняется переносом энергии от возмущенной пары мод в трансляционную моду п = 1. График зависимости амплитуд различных мод от времени в полулогарифмической системе координат представлен на рис. 8, откуда видно, что значение трансляционной моды растет со временем. В процессе самодвижения пузырька также начинают возбуждаться другие моды, в то время как амплитуда возбужденной моды, которая не является резонансной, уменьшается.

Рис. 7. Самодвижение пузырька в режиме потенциального течения с начальным возмущением секториальных мод п =2,3 (Ар = 0.05).

Трансляционное движение пузырька исследовалось также в присутствии акустического поля частоты со, которая входит в резонанс с собственной частотой объемных колебаний пузырька со0. Для различных амплитуд акустического поля на рис. 9 показана динамика трансляционной моды в полулогарифмической системе координат. Из рисунка видно, что резонансное акустическое поле большей амплитуды ускоряет процесс самодвижения пузырька.

Исследовалось взаимодействие объемной и поверхностной мод с начальным возмущением (Ар |„.0=-0.006, Ар |„=2 = 0.01) при точном и неточном резонансах, которые определяются параметром расстройки

/3 = (со0 -2со„)^ра1 /у, я =2,3... (18)

"сГ ю"2 10Э

Рис. 8. Динамика амплитуд поверхностных мод с начальным возмущением секториальных мод и = 2,3 (Ар =0.051.

Рис. 9. Динамика трансляционной моды при различных амплитудах акустического поля с начальным возмущением секториальных мод п = 2,3 (Ар =0.05).

Численные расчеты показали, что при точном резонансе (/3 = 0) в течение нескольких периодов колебаний амплитуда колебаний объемной моды и резонансной поверхностной существенно отличается от линейной теории (рис. 10). Такое проявление нелинейных эффектов связано с обменом энергией между возмущенными модами. При неточном резонансе (/? ^ 0) амплитуда колебаний объемной моды согласуется с теорией, в то время как амплитуда колебаний поверхностной моды осциллирует с определенной частотой и не превышает значение начального возмущения. Такое уменьшение амплитуды можно объяснить переходом энергии от возбужденной моды к другим поверхностным модам.

а) б)

Рис. 10. Динамика амплитуд объемной (а) и поверхностной (б) мод пузырька при начальном

возмущении мод п = 0,2.

Рассматривался сферических пузырек без каких-либо начальных возмущений поверхности в акустическом поле частоты со. Показано, что поверхностную моду 77 можно возбудить, если частоты будут удовлетворять условию

а> = <®0=2а>„, /7 = 2,3... (19)

На рис. 11 (б) представлена форма пузырька после семи периодов колебаний акустического поля амплитуды Ра= 10 кПа для п = 3. Динамика амплитуд различных поверхностных мод для этого случая в полулогарифмической системе координат показана на рис. 11 (а). Из рисунка видно, что амплитуда резонансной поверхностной моды растет и происходит постоянный обмен энергии между резонансными модами.

ю5

_ ю (б

£ ю' 10"'

^ТШ'Мг!

-п=0 ---п=1 ........п-2 -п=3 ----п=4

п 5

0 1 2 3 4 5 6 7 <П

а) Динамика амплитуд объемной и поверхностных мод. б) Форма пузырька, / = 7Г„.

Рис. 11. Возмущение поверхностной моды пузырька (и = 3) акустическим полем.

Рассчитана динамика формы, объема и контактного угла пузырька, контактирующего с гидрофобной или гидрофильной поверхностями, под действием акустического поля в режиме потенциального течения. Показано, что со временем начинают возбуждаться различные поверхностные моды пузырька. Проведено сравнение с экспериментальными данными динамики пузырька, расположенного на гидрофильной поверхности, с динамическим ростом амплитуды давления акустического поля Ра=(Ар/А()1, получено хорошее согласование (рис. 12) и проведен амплитудный анализ возбужденных поверхностных мод.

Эксперимент (Экспериментальная лаборатория ЦМНМДДС, Саметов С.П.)

мгэ

(¿^

Увеличение амплитуды давления, Ра = (л р/д

Рис. 12. Сравнение численных и экспериментальных данных динамики пузырька на гидрофильной поверхности в режиме потенциального течения. 61 =41°, Др/ДГ = 11 кПа/0.05с, со/(2л) = 25.23 кГц, а0=120мкм.

Результаты моделирования представлены в безразмерных координатах х' = xla0,y' = y/a0,z' = z/a0. Все программные модули, кроме FMM, разработаны в среде Matlab. Расчеты проводились на персональном компьютере, оснащенном CPU Intel Xeon 5660, 2.8GHz, 12 GB RAM с 12 физическими и 12 виртуальными ядрами и GPU NVIDIA Tesla К20 (Kepler), 5GB глобальной памяти.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведено многопараметрические численное исследование динамики двух взаимодействующих пузырьков в потенциальном течении. Определены параметры, при которых пузырьки сохраняют сферическую форму, деформируются и образуются струи. Показано, что уменьшение частоты акустического поля приводит к увеличению максимального расстояния между пузырьками, при котором происходит формирование струй.

2. Проведен расчет динамики кластера пузырьков и анализ его объема. Установлено, что в режиме потенциального течения присутствие других пузырьков сильно влияет на изменение объема и динамику каждого пузырька, однако в режиме Стокса при той же геометрии такое влияние - незначительно.

3. Проведено численное исследование свободных колебаний одиночного пузырька с возмущенными поверхностными модами в режимах Стокса и потенциального течения. Показано, что в стоксовом течении возмущения поверхности затухают и пузырек приобретает сферическую форму. В то время как при потенциальном течении возбужденные поверхностные моды пузырька осциллируют периодически с собственной частотой, согласующейся с линейной теорией для относительных амплитуд <0.1. Определены условия и физические параметры, при которых проявляется явление самодвижения пузырька. Показано, что при возбуждении амплитуд двух соседних поверхностных мод, когда значение собственной частоты пузырька объемной моды находится между собственными частотами соответствующих возмущенных мод, возбуждается трансляционная мода, что приводит к поступательному движению пузырька. Акустическое поле с резонансной частотой ускоряет явление самодвижения пузырька.

4. Рассчитано напряжение, действующее на твердую стенку со стороны гидродинамических потоков, при осцилляциях одиночного пузырька, расположенного на различных расстояниях от пластины, в стоксовом режиме под действием акустического поля. Показано, что увеличение частоты акустического поля приводит к увеличению значения максимального напряжения, действующего на пластину.

5. Проведены численные исследования динамики пузырька, расположенного на гидрофильной и гидрофобной поверхностях, в режимах Стокса и потенциального течения. В первом режиме выявлены условия, определяющие динамику контактного угла пузырька под действием акустического поля. Во втором режиме обнаружено, что со временем начинают возбуждаться

различные поверхностные моды пузырька. Получено хорошее согласование с экспериментальными данными.

Для проведения диссертационных исследований и получения результатов был разработан и реализован алгоритм расчета динамики пузырьков в приближениях Стокса и потенциального течения на базе метода граничных элементов, гетерогенного быстрого метода мультиполей и нового метода стабилизации сетки. Предложенный подход позволяет хорошо описывать различные физические процессы в трехмерном случае за счет высокой степени дискретизации рассматриваемых объектов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Иткулова Ю.А., Абрамова О.А, Гумеров Н.А., Ахатов И.Ш. Моделирование динамики пузырьков в трехмерных потенциальных течениях на гетерогенных вычислительных системах быстрым методом мультиполей и методом граничных элементов // Выч. методы и программирование. - 2014. - Т. 15. -С. 239-257.

2. Абрамова О.А, Ахатов И.Ш., Гумеров Н.А., Иткулова Ю.А. Трехмерное численное исследование динамики сжимаемых пузырьков в стоксовом течении методом граничных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 9. - С. 1537 - 1544.

3. Абрамова О.А., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А., Ахатов И.Ш. Эффективный метод расчета динамики большого количества деформируемых капель в стоксовом режиме // Доклады академии наук. - 2014. - Т. 456, № 2. -С. 166- 170.

4. Абрамова О.А, Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А., Ахатов И.Ш. Трехмерное моделирование динамики деформируемых капель эмульсии методом граничных элементов и быстрым методом мультиполей на гетерогенных вычислительных системах // Выч. методы и программирование. - 2013. -Т. 14.-С.438-450.

5. Абрамова О.А., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А. Моделирование трехмерного движения деформируемых капель в стоксовом режиме методом граничных элементов // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2013. - Т.6, № 2 -С. 214-223.

6. Солнышкина О.А., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А. Ускорение расчётов на графических процессорах при исследовании течения Стокса методом граничных элементов // Вестник УГАТУ. - 2013. - Т. 17, № 2(55). - С.92- 100.

Работы, опубликованные в изданиях, относящихся к Scopus (приравнивается к работам в журналах, рекомендованных ВАК РФ):

7. Itkulova Yu.A., Abramova О.А., Gumerov N.A., Akhatov I.S. Boundary element simulations of free and forced bubble oscillations in potential flow // Proc. IMECE'14, Canada, Montréal. - 2014.

8. Itkulova Yu.A., Abramova OA., Gumerov N.A. Boundary element simulations of compressible bubble dynamics in Stokes flow // Proc. IMECE'13, CA, San Diego.-2013.

9. Abramova O.A., Itkulova Yu.A., Gumerov N.A. FMM/GPU accelerated BEM simulations of emulsion flow in microchannels // Proc. IMECE'13, CA, San Diego. -

2013.

10. Itkulova Yu.A., Solnyshkina O.A., Gumerov N.A. Toward large scale simulations of emulsion flows in microchannels using fast multipole and graphics processor accelerated boundary element method // Proc. IMECE' 12,Texas, Houston.-2012.

Основные работы, опубликованные в других изданиях: П.Иткулова Ю.А., Солнышкина О.А. Численное моделирование течения Стокса в канале переменного сечения методом граничных элементов // Труды международной конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа. - 2011. - С. 45-49.

12. Иткулова Ю.А, Солнышкина О.А. Моделирование динамики капли в неограниченном потоке жидкости методом граничных элементов в трехмерном случае // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. -2011.-Вып.8. -С. 163-171.

П.Иткулова Ю.А. Трехмерное численное моделирование течения вязкой жидкости в канале переменного сечения методом граничных элементов И Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. - 2011. -Вып. 8.-С. 155-162.

14. Иткулова Ю.А. Метод граничных элементов в численном исследовании трехмерных течений Стокса в каналах произвольной формы // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. - 2012. - Вып. 9. — С.94-98.

15. Иткулова Ю.А., Абрамова О.А., Гумеров Н.А., Ахатов И.Ш. Прямое численное моделирование трехмерной динамики сжимаемых пузырьков в акустическом поле методом граничных элементов // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. - 2014. - Вып. 10. (в печати).

16. Itkulova Yu.A., Abramova О.A., Gumerov N.A., Akhatov I.S. 3D Boundary Element Simulations of Shape and Volume Oscillations of Bubble in Potential Flow // Contribution paper of summer workshop «Dynamics of Dispersed systems», Ufa.-2014.-P. 20.

СВИДЕТЕЛЬСТВА О ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММ ДЛЯ ЭВМ

1. Иткулова Ю.А., Абрамова О.А., Гумеров Н.А Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «P3DBL - трехмерное исследование динамики пузырьков в потенциальном течении». № 2014617103.

2014.

2. Иткулова Ю.А., Абрамова О.А., Гумеров Н.А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «S3DBL — расчет трехмерной динамики сжимаемых пузырьков в стоксовом режиме». №2014611906.2014.

ИТКУЛОВА Юлия Айратовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПУЗЫРЬКОВ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ УСКОРЕННЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа „ плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 14.10.2014 г. Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1,19. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 443.

Редащионно-издательский центр Башкирского государственного университета 450076, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450076, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.