Эволюция возмущения сферической формы газового пузырька в жидкости при его сильном расширении-сжатии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Гусева Татьяна Сергеевна

ЭВОЛЮЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА В ЖИДКОСТИ ПРИ ЕГО СИЛЬНОМ РАСШИРЕНИИ-СЖАТИИ

специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и Плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень - 2 0 0 6

Работа выполнена в лаборатории вычислительной динамики сплошной среды Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Аганин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Сахабутдинов Жавдат Мирсаяпович, г. Казань

кандидат физико-математических наук Санников Иван Николаевич, г. Тюмень

Ведущая организация: Институт механики

Уфимского научного центра РАН, г. Уфа.

Защита состоится чъ 2006 года часов на заседании

диссертационного совета ДМ 212.274.09 в Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, д. 15А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан "V." 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Татосов А.В.

л 00 Ц _

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Жидкости широко применяются для решения различных практических задач во многих отраслях народного хозяйства: теплоэнергетике, химии, нефтяной промышленности и т.д. Применение жидкостей, как правило, сопровождается возникновением в них пузырьков. Наличие пузырьков в жидкости может приводить к существенному изменению ее свойств, в том числе, полезному или нежелательному с прикладной точки зрения. Свойства жидкости с пузырьками в значительной степени зависят от того, насколько форма пузырьков остается близкой к сферической, особенно в тех случаях, когда пузырьки испытывают сильные расширения-сжатия.

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования сильного расширения-сжатия пузырька в акустическом поле показали, что при сохранении сферичности пузырька в финале стадии сжатия внутри него могут возникать очень высокие давления, плотности и температуры. Вместе с тем, эволюция возмущения сферической формы пузырьков хорошо изучена, в основном, при их расширении, сжатии и относительно небольших радиальных колебаниях. 1%,ким образом, изучение эволюции возмущения сферичности пузырьков при их сильном расширении-сжатии является актуальным.

Цель работы

Работа направлена на выявление основных закономерностей эволюции возмущения сферичности газового пузырька в процессе его сильного расширения-сжатия под воздействием сильного акустического поля в зависимости от характеристик воздействия, свойств жидкости и газа.

Научная новизна

1. Описан характер эволюции малого возмущения сферической формы газового пузырька в ходе его сильного расширения-сжатия при гармоническом изменении давления в жидкост З^^ЗЩЩ^^щ^^црй.

библиотека С.Петербург г 09 II

2. Изучено влияние амплитуды колебаний давления жидкости, длины волны возмущения сферичности, вязкости и сжимаемости жидкости, термодинамических процессов, учитываемых посредством уравнения состояния газа, неоднородности давления газа в пузырьке на эволюцию малого возмущения сферичности пузырька.

3. Представлена новая модель эволюции возмущения сферичности на стадии сжатия, в которой сферическая составляющая движения жидкости и газа описывается полной системой уравнений динамики сжимаемой жидкости с замыканием реалистичными уравнениями состояния, а эволюция возмущения сферической формы пузырька - уравнением с более точным учетом влияния градиентов скорости и давления газа и жидкости на поверхности пузырька.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Новое уравнение эволюции малых возмущений сферической формы газового пузырька в жидкости на стадии сильного сжатия с более точным учетом влияния градиентов скорости и давления газа и жидкости на поверхности пузырька.

2. Выявленные качественные и количественные особенности эволюции малых начальных возмущений сферической формы пузырька при его сильном расширении-сжатии.

3. Установленные закономерности влияния параметров газа в пузырьке и окружающей жидкости на эволюцию малых возмущений сферической формы пузырька.

4. Полученные результаты анализа применимости распространенных приближенных моделей эволюции возмущения сферичности пузырька на стадии сжатия.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов работы обеспечивается корректностью постановки задачи, согласованием результатов расчета тестовых и методических задач с результатами расчетов других авторов и экспериментальными данными.

Практическая ценность

Полученные в диссертации результаты можно использовать при оценке свойств пузырьковых жидкостей, находящихся в сильном акустическом поле. В частности, их можно применять при прогнозировании интенсивности физико-химических процессов в реакторах с жидкостью, подвергаемой ультразвуковому облучению.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН за 2002 - 2005гг.; VI Научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2002); Всероссийской школе-семинаре "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в машиностроении" (Казань, 2002); Всероссийском совещании по сверхсжатию пузырька (Уфа, 2002); V Международной научной школе-семинаре "Импульсные процессы в механике сплошных сред" (Николаев, 2003); Третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобаг невские чтения - 2003" (Казань, 2003); Второй международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 2004); XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004); IV Школе-семинаре молодых ученых и специалистов "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении" (Казань, 2004); XII и XIV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003; Алушта, 2005).

По теме диссертации опубликовано 8 тезисов и 11 статей. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержит 151 страницу, 44 рисунка. Список литературы включает 137 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении раскрыта актуальность темы диссертации. Дан обзор работ по динамике сферических и несферических пузырьков. Определена цель работы, ее научная новизна. Представлено краткое содержание разделов диссертации. Изложены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе сформулирована физическая и общая математическая постановка задачи о несферической динамике газового пузырька под влиянием гармонического изменения давления в жидкости вдали от пузырька. Описаны используемые в работе модели сферической и несферической составляющих динамики пузырька. Приведен вывод нового уравнения эволюции малого возмущения сферической формы пузырька на стадии сильного сжатия. Изложена методика решения задачи. Представлено сравнение результатов расчета методических задач с экспериментальными данными.

Уравнение поверхности пузырька принимается в виде

00 >

(г, 0, ¥>,*) = Г - Я (*) - £ £ ау (*, V) = О,

( х=2 ¿=-1

где г - радиальная координата, отсчитываемая от центра пузырька, Я средняя радиальная координата точек поверхности пузырька (в дальнейшем радиус пузырька), У? (в, <р) - сферическая гармоника степени г порядка Степень гармоники г характеризует длину волны соответствующего возмущения сферичности. Коэффициент называется отклонением от сферической формы пузырька. Вводится также параметр £у = а,{3 / Я, называемый искажением сферической формы пузырька.

Отклонение от сферической формы полагается малым по сравнению с линейными размерами пузырька. При этом движение жидкости и газа рассматривается как суперпозиция чисто сферического движения и его малого несферического возмущения (чисто несферического движения).

Система уравнений газовой динамики, описывающих чисто сферическое движение газа и жидкости, имеет следующий вид

. (рг2), + {рг2и)г = О, (рг2и)1 + (рг2 + рг2и2)г = О, (Ег2)1 +[{р + Е) г\]т = («г2Гг)г,

(1) (2) (3)

где р - плотность, и - радиальная компонента вектора скорости, р - давление, Е - полная энергия, отнесенная к единице объема, к - коэффициент теплопроводности, Т - температура. Система замыкается реалистичными уравнениями состояния сред, а также граничными условиями на поверхности и в центре пузырька, на внешней границе жидкости.

Описана более простая модель Рэлея-Плессета чисто сферического движения пузырька, основанная на предположениях о малости радиальной скорости границы пузырька по сравнению со скоростью звука в газе и жидкости и об однородности давления газа в пузырьке, а также модификация этой модели с приближенным учетом неоднородности давления газа. Переход от модели Рэлея-Плессета к (1)-(3) осуществлялся при нарушении любого из неравенств Щ < М2„ М2 < М2„, где М/)й =

«С 1. Индекс ¡(д) указывают на отношение к жидкости (газу).

Приведен вывод нового уравнения эволюции малых возмущений сферической формы газового пузырька в жидкости

я

2(г + 1)(г + 2Ь +-д2- ' а" +

- > щг

+

Г-

+

(г2 - 1)(г + 2)а 2(г +

Я

и± + к 'и;

Я

^ ач

(4)

+

+»(« + + 2г(г + 1)(2г + 1 )иЯ}~3сц} + г(г + = О,

где qx = (i + l)p/ip0f, 2

« + 1

(г + 2)ау -

Я

СЧ] +

(2г +1 )а,3 Д(1-0

Здесь и, p°j - вязкость и невозмущенная плотность жидкости, а - поверхностное натяжение, р - средняя по объему плотность газа, pf,uf -градиенты давления и скорости газа (—) и жидкости (+) на межфазной поверхности, Qi}, atJ, - параметры, характеризующие поле завихренности жидкости, г = Гоо - внешняя граница жидкости. Уравнение (4) применяется на стадии сжатия с момента "включения" уравнений (1)-(3). Характер эволюции отклонения atj от индекса j не зависит, поэтому в дальнейшем индекс j опускается.

Представлены также модели эволюции возмущения сферичности с упрощенным учетом влияния вязкости жидкости, плотности газа, градиентов давления и скорости газа и жидкости на поверхности пузырька.

Исследования проведены для случая воздушного пузырька микронных размеров в воде при комнатных условиях. Амплитуда колебаний давления жидкости варьировалась в интервале 1.4 ^ Ар 5 бар, а номер гармоники - в диапазоне 2 ^ i ^ 5. Полагалось, что до начала расширения несферическая форма пузырька совершает свободные колебания с малой амплитудой, и что фаза этих колебаний <р° в момент начала расширения пузырька является произвольной.

Описан метод решения. На стадии расширения и в начале стадии сжатия эволюция радиуса пузырька и отклонения от сферической формы рассчитывается численным решением уравнения Рэлея-Плессета и уравнения Просперетти (A. Prosperetti), соответствующего (4) при д» = О и с упрощенными градиентами pf,uf, полученными в предположении Mjg <С 1. При высокоскоростном сжатии сначала определяются параметры сферической составляющей движения при интегрировании уравнений (1)-(3), а затем - эволюция отклонения от сферичности. Коэффициенты уравнения (4) аппроксимируются кубическими сплайнами по результатам численного решения уравнений (1)- (3).

Описана методика отыскания максимальных по начальной фазе отклонений от сферичности

Oim(i) = max |oj(i)|.

0<¥>°<27Г 8

С точки зрения устойчивости сферической формы пузырька они соответствуют наихудшему сценарию развития возмущения.

Вторая глава посвящена изучению эволюции малых возмущений сферичности газового пузырька в ходе всего процесса его сильного расширения-сжатия на основе широко распространенной модели, в которой эволюция радиуса пузырька описывается уравнением Рэлея-Плессета, а эволюция'малых возмущений сферичности - уравнением Просперетти с несколькими вариантами учета вязкости жидкости. В этой модели газ считается гомобарическим (с однородным распределением давления), а жидкость возле пузырька - несжимаемой.

Рис. 1. Эволюция радиуса пузырька и от- Рис. 2. Изменение амплитуды откло-клонения от сферичности для Др/р° = 1.5 нения для <р° = 7г/2 (сплошная кри-(сплошные кривые), 4 (пунктирные). вая), -7г/4 (пунктирная).

На рис. 1 представлено изменение радиуса пузырька Я и относительного отклонения от сферичности аг/а®, где а® = аг(0), при расширении-сжатии. Символом х отмечен момент коллапса (максимального сжатия) пузырька. На стадии расширения пузырька малое отклонение от сферичности уменьшается сначала в виде затухающих колебаний, а затем без колебаний с относительно небольшой скоростью изменения. На стадии сжатия отклонение сначала совершает одно (при г = 2) или несколько (при г 3, количество колебаний увеличивается по мере роста г) колебаний с нарастающей амплитудой, а затем растет без колебаний. С ро-

стом Ар относительная продолжительность колебаний отклонения в начале расширения уменьшается. В конце стадии расширения и на стадии сжатия эволюция возмущения определяется, главным образом, инерцией жидкости.

Приведены результаты исследования влияния длины волны возмущения, фазы изменения возмущения в момент начала расширения <р°, вязкости жидкости, и, в частности, ее завихренности, на характер изменения возмущения в процессе всего расширения-сжатия пузырька. На рис. 2 для Ар/р° = 5 сравнивается изменение амплитуды относительного отклонения от сферичности |а,/о^|, г = 2 на стадиях расширения (ось абсцисс Я/Рт, Ящ - максимальный радиус пузырька) и сжатия (ось абсцисс Ят/Щ Для двух значений (р°. Если продолжительность интервала с малым изменением отклонения на стадии расширения достаточно велика, то эволюция возмущения на стадии сжатия для любых значений Iр° оказывается подобной.

Рис. 3. Изменение амплитуды отклонения при полном учете вязкости (сплошные кривые), без учета завихренности жидкости (штриховые), без учета вязкости жидкости (пунктирные).

На рис. 3 для Др/р° = 3.5 представлено изменение амплитуды относительного отклонения от сферичности |а,/а°|, г = 2 (а) и г = 5 (б) при расширении-сжатии пузырька с различными вариантами учета вязкости жидкости Сокращение длины волны возмущения (рост номера гармоники г) сопровождается увеличением частоты и относительной продол-

жительности колебаний отклонения в начале стадии расширения и на стадии сжатия. Вязкость жидкости значительно проявляется в начале стадии расширения пузырька, приводя к заметному увеличению декремента затухания колебаний отклонения. Влияние завихренности жидкости на стадии расширения также имеет демпфирующий характер, но оказывается гораздо менее существенным. При увеличении г демпфирующее влияние вязкости усиливается. На стадии сжатия влияние вязкости жидкости невелико и проявляется, в основном, посредством завихренности жидкости.

Для амплитуд внешнего воздействия 1.4 ^ Ар/р° ^ 5 и номеров гармоник 2 ^ г ^ 5 получены оценки степени затухания максимального искажения сферической формы пузырька на стадии расширения £®/е,тт и степени его нарастания в ходе всего расширения-сжатия к моменту коллапса £1тс/^- Здесь е,тт и е,тс - соответственно величины максимального искажения сферичности в момент наибольшего расширения и коллапса пузырька. Установлено, что при г = 2 и Др/р° = 5 степень затухания максимального искажения сферичности пузырька на стадии расширения оказывается наименьшей (250 раз), а степень его нарастания при расширении-сжатии наибольшей (60 раз). С уменьшением Др/р° и ростом г степень затухания максимального искажения при расширении пузырька увеличивается, а значение максимального искажения, достигаемого к моменту коллапса, уменьшается.

Проведено сравнение решений, полученных для чисто адиабатического пузырька и пузырька изотермического при расширении и сжатии до начальных размеров, а затем - адиабатического. Таким образом во втором случае упрощенно учитывается теплообмен на межфазной поверхности. Пренебрежение теплообменом приводит к небольшому увеличению степени затухания искажения на стадии расширения пузырька. С ростом Ар и уменьшением г влияние теплообмена на эволюцию искажения сферичности уменьшается.

В третьей главе представлены результаты исследования эволюции малых возмущений сферической формы пузырька на стадии сжатия.

Используемые здесь модели отличаются от моделей предыдущей главы лишь более точным описанием динамики пузырька на стадии сжатия.

Первая часть главы посвящена изучению влияния факторов, учитываемых при моделировании сферической составляющей движения': уравнения состояния газа, сжимаемости жидкости, неоднородности давления газа в пузырьке.

Рассмотрены варианты моделирования стадии сжатия с уравнениями состояния совершенного газа, газа Ван-дер-Ваальса и модифицированным уравнением состояния Мосса. Установлено, что различия значений искажения сферичности пузырька в момент коллапса обусловлены лишь

Рис. 4. Эволюция отклонения от сферичности на стадии сжатия пузырька. Штриховая кривая РЛ, пунктирная - РП, сплошная - ГД.

Изучено влияние сжимаемости жидкости и неоднородности давления газа в пузырьке на эволюцию искажения сферичности при сжатии. Сравнивались решения, полученные при описании стадии сжатия системой уравнений (1)-(3) (ГД) и уравнением Рэлея-Ламба (РЛ) для несжимаемой жидкости. Рассмотрена возможность применения уравнения Рэлея-Плессета (РП) вместо уравнений ГД, что важно с точки зрения экономичности вычислений. Применимость уравнения РП строго обоснована лишь при М] 1. На рис. 4 для Ар/р° = 3 представлена эволюция максимальных по относительных отклонений от сферической формы а,т/а®, г — 2 (а) и г = 5 (б) на стадии сжатия пузырька с применением

моделей РЛ, РП и ГД для описания сферической составляющей движения. По сравнению с полным пренебрежением сжимаемостью жидкости ее приближенный учет согласно РП позволяет вполне удовлетворительно описывать динамику пузырька. Полное пренебрежение эффектами сжимаемости жидкости и неоднородности газа приводит к многократному уменьшению амплитуды отклонения (и искажения) в конце стадии сжатия пузырька. Кроме того, в этом случае возникают ситуации, когда максимальное значение отклонения (и искажения) на стадии сжатия достигается не в момент коллапса, а раньше (рис. 46).

Вторая часть третьей главы посвящена изучению влияния факторов, учитываемых при моделировании несферической составляющей движения: плотности газа в пузырьке, градиентов давления и скорости газа и жидкости на поверхности пузырька. При этом чисто сферическое движение пузырька описывалось уравнениями ГД с учетом теплопроводности и реалистичными уравнениями состояния.

Рассмотрены различные варианты учета плотности газа в уравнении эволюции возмущения. В первом варианте плотность газа полагалась равной среднему по объему значению р и приближенно учитывался градиент давления газа на поверхности пузырька. Во втором варианте учитывалось только влияние плотности газа, а пузырек считался гомобари-ческим (с однородным распределением давления). В третьем варианте плотность газа не учитывалась.

Эволюция относительного отклонения сч/а® в конце стадии сжатия пузырька для Др/р° = 3, г = 2, рассчитанная с разными вариантами учета плотности газа, приведена на рис. 5. Символом • обозначен момент, когда средняя плотность газа р становится равной плотности жидкости о - момент, когда Ё = 0 (начало стадии замедленного сжатия, где радиальное ускорение межфазной границы направлено от газа к жидкости). На стадии ускоренного сжатия учет плотности газа приводит к снижению скорости роста отклонения от сферичности. На стадии замедленного сжатия при учете только плотности газа без учета градиента его давления, как и в случае без учета плотности газа, на поверхности пу-

Р = Р/

л = о

коллапс

101

'Ж*'.

Я. /я

ю5

Рис. 5. Эволюция отклонения от сферичности в конце стадии сжатия без учета плотности газа (сплошная кривая), с учетом плотности и градиента давления газа на поверхности пузырька (штриховая), с учетом только плотности газа (пунктирная).

30-

20

10-

о ■о II

• р=р;

X коллапс

10 Д„ /Л 103

10'

Рис. 6. Эволюция отклонения от сферичности в конце стадии сжатия с учетом градиентов давления и скорости гаг за и жидкости на границе пузырька без упрощений (сплошная кривая) и с их упрощенным учетом (штриховая).

зырька наблюдается развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора (ускоренный рост отклонения), несмотря на то, что среднее значение плотности газа здесь уже превышает плотность жидкости. В варианте с приближенным учетом градиента давления газа эффект изменения соотношения плотностей сред учитывается более корректно: на стадии замедленного сжатия ускоренное движение поверхности пузырька способствует уменьшению скорости роста отклонения от сферичности.

Изучено влияние на эволюцию возмущения сферичности градиентов скорости и давления газа и жидкости на поверхности пузырька. Для (

этого сравнивались решения, полученные при определении входящих в уравнение эволюции возмущения (4) градиентов давления и скорости и* на поверхности пузырька, их производных по времени ¿и*/<Й непосредственно из решения уравнений ГД, а также с использованием приближенных аналогов градиентов, полученных в предположении 1. На рис. 6 приведена эволюция относительного отклонения от сферичности а,/о° в конце стадии сжатия при Др/р° = 3, г = 2 с двумя способами учета градиентов давления и скорости газа и жидкости

на поверхности пузырька. Почти сразу после смены соотношения плотностей газа р~ и жидкости р+ на поверхности пузырька в решении с учетом градиентов без упрощений наблюдается значительно более быстрый, чем с упрощенными градиентами, рост отклонения от сферичности. Таким образом, неустойчивость Рэлея-Тейлора в данном случае возникает на стадии ускоренного сжатия, поскольку ускорение оказывается направленным от менее плотной жидкости к более плотному газу. Модель с упрощенными градиентами этой особенности почти не улавливает. В конце стадии сжатия обе модели показывают уменьшение скорости роста отклонения.

Сравнение оценок относительного максимального отклонения в момент коллапса пузырька а1тс/а® показывает, что во всем диапазоне 1.4 ^ Ар/р° ^ 5 для 2 ^ г ^ 5 оценки, полученные согласно новому уравнению (4) с определением градиентов давления и скорости газа и жидкости на поверхности пузырька из решения уравнений (1)-(3), превышают оценки, полученные с приближенными аналогами градиентов, не более чем в 4 раза (за исключением интервала 2 < Др/р° < 5 для г = 5, где расхождение достигает 9 раз), а оценки, полученные без учета плотности газа - не более чем в 3 раза (за исключением интервала 1.5 < Др/р° < 4 для г = 4, где оценки без упрощений оказываются несколько ниже).

Рис. 7. Относительные максимальные искажения сферичности в момент коллапса пузырька в зависимости от амплитуды акустического поля Др/р°. Сплошные кривые - уравнения (1)-(3) совместно с уравнением (4) без упрощений, штриховые кривые - уравнения Рэлея-Плессета и Просперетти.

Проведено сравнение относительных максимальных искажений в момент коллапса пузырька е»тс/е®, полученных с применением (1)-(3) совместно с уравнением (4) без упрощений и распространенной упрощенной модели, в которой эволюция радиуса пузырька описывается уравнением Рэлея-Плессета, а эволюция возмущения - уравнением Просперетти без учета плотности газа (рис. 7). Установлено, что в первом случае в диапазоне 1.4 ^ Ар/р° < 5 для г = 2 амплитуда малого начального искажения сферичности пузырька может вырасти к моменту коллапса максимум в ~600 раз, а во втором случае - в ~200 раз (рис. 7 а). Увеличение номера гармоники сопровождается снижением прогнозируемых в момент коллапса искажений сферичности. При этом расхождение между рассматриваемыми моделями может значительно уменьшиться (рис. 76).

В заключении приведены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Получено новое уравнение эволюции малых возмущений сферической формы газового пузырька в жидкости на стадии сильного сжатия. Новизна заключается в более точном учете влияния градиентов скорости и давления газа и жидкости на поверхности пузырька.

2. Изучена эволюция малых возмущений сферической формы пузырька в виде сферических гармоник степени 2 ^ г ^ 5 при сильном расширении-сжатии под действием колебаний давления жидкости с амплитудой 1.4 ^ Ар ^ 5 бар. До начала расширения несферическая форма пузырька совершает свободные колебания. Фаза этих колебаний <р° и начало расширения не взаимосвязаны.

3. Установлено, что при достаточно больших Ар эволюция возмущения сферичности на стадии сжатия для всех значений ¡р° оказывается подобной.

4. Пренебрежение вязкостью жидкости повышает амплитуду возмущения сферичности пузырька к моменту коллапса более чем в 2 раза. При этом зависимости максимального искажения сферичности от Ар в

момент максимального расширения при i ^ 3 и в момент коллапса при i ^ 4 пузырька становятся немонотонными.

5. Полное пренебрежение сжимаемостью жидкости приводит к занижению амплитуды максимального искажения сферичности пузырька на стадии сжатия более чем в 1.5 раза.

6. При достаточно больших Ар наиболее быстрый рост амплитуды возмущения сферичности пузырька наблюдается в той части стадии сжатия, где радиальное ускорение направлено от жидкости к газу.

l' 7. Амплитуда искажения сферичности пузырька может вырасти к мо-

менту коллапса максимум в 600 раз: в 35 раз - за счет роста амплитуды возмущения и в 17 раз - за счет уменьшения радиуса пузырька. При этом увеличение амплитуды искажения на стадии сжатия составляет около 10® раз.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Х.Аганин A.A., Гусева Т.С., Илъгамов М.А., Косолапова JI.A., Малахов В.Г. Устойчивость сильного сжатия сферического пузырька // Проблемы механики деформируемого твердого тела. С.-Петербург: СПбГУ, 2002. С. 7-13.

2.Ilgamov М.А., Aganin A.A., Guseva T.S. Distortion of the spherical shape of a bubble under strong enlargement-compression // Proceedings of Fifth international symposium on the behaviour of dense media under high dynamic pressures. Sant-Malo, France. 2003. T. 2. P. 417-429.

3. Аганин A.A., Илъгамов U.A., Гусева Т.С. Искажение сферической г> формы пузырька при больших расширениях-сжатиях из состояния покоя // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. С. 95-132.

4. Гусева Т. С. Искажение сферической формы пузырька при его сильном расширении-сжатии // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. С. 133-178.

5. Гусева Т.С. Искажение сферической формы пузырька в процессе его сильного расширения-сжатия // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Труды IV школы-семинара моло-

дых ученых и специалистов. Казань: КГУ, 2004. С. 239-245.

6. Гусева Т. С. Влияние вязкости жидкости на искажение сферической формы пузырька в ходе его однократного расширения-сжатия // Вестник КГПУ. 2004. Т. 2. С. 85-99.

7. Адапгп A. A., Guseva T.S. Distortion of the spherical shape of a bubble under its single strong enlargement-compression // Proceedings of second international summer scientific school "High speed hydrodynamics". Cheboksary: Cheboksary institute of the Moscow State Open University, 2004. P. 191-196.

9. Агонии А.А., Гусева T.C., Илъгамов M.A. Зависимость искажений сферической формы пузырька от модели его сильных радиальных колебаний // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции. Уфа: Гилем, 2004. Т. 2. С. 7 10.

9. Аганин А.А., Гусева Т.С. Эволюция малого искажения сферической формы газового пузырька при его сильном расширении-сжатии // ПМТФ. 2005. Т. 46. № 4. С. 17-28.

10. Аганин А.А., Гусева Т.С. Развитие возмущения сферической формы коллапсирующего пузырька при учете неоднородности давления газа в пузырьке и сжимаемости окружающей жидкости // Материалы XIV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. М.: Вузовская книга, 2005.

11. Гусева Т.С. Расчет несферической динамики газового пузырька в жидкости при сильном расширении-сжатии / / Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы шестого всероссийского семинара. Казань: КГУ, 2005. С. 73-77.

С. 27-28.

Отпечатано в ООО «Печатный двор», г. Казань, ул. Журналистов, 1/16, оф.207

Тел: 272-74-59, 541-76-41, 541-76-51. Лицензия ПД №7-0215 от 01.11.2001 г. Выдана Поволжским межрегиональным территориальным управлением МПТР РФ. Подписано в печать 24.03.2006 г. Усл. п.л 1,13. Заказ М К-4309. Тираж 100 экз. Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Печать - ризография.

JûpéA

Введение.

I. Постановка задачи. Метод расчета

§1. Физическая постановка задачи и основные допущения.

§2. Модель сферического движения жидкости и газа при высокоскоростном сжатии.

§3. Модель сферического движения жидкости и газа при расширении и низкоскоростном сжатии.

§4. Основная модель несферического движения пузырька.

§5. Другие модели несферического движения пузырька.

§6. Начальные условия.

§7. Входные данные.

§8. Метод решения.

§9. Максимальные отклонения и искажения.

Жидкости широко применяются для решения различных практических задач во многих отраслях народного хозяйства: теплоэнергетике, химии, нефтяной промышленности и т.д. Применение жидкостей, как правило, сопровождается возникновением в них пузырьков. Наличие пузырьков в жидкости может приводить к существенному изменению ее свойств, в том числе, полезному или нежелательному с прикладной точки зрения. Свойства жидкости с пузырьками в значительной степени зависят от того, насколько форма пузырьков остается близкой к сферической, особенно в тех случаях, когда пузырьки испытывают сильные расширения-сжатия.

Диссертация посвящена исследованию динамики несферического пузырька газа в жидкости на режимах его сильного расширения-сжатия при изменении давления жидкости по гармоническому закону. Исследования динамики несферического пузырька в жидкости были инициированы еще в начале прошлого столетия в связи с изучением подводных взрывов и кави-тационной эрозии. Интерес к этой области исследований усилился в связи с экспериментальным открытием в 1990 году явления периодической одно-пузырьковой сонолюминесценции (SBSL - single bubble sonoluminescence) - периодического испускания света микронным пузырьком газа в строго определенной фазе колебаний давления в стоячей акустической волне (L.A. Crum, D.F. Gaitan и др. [70]). Это перспективное с точки зрения приложений в науке и технике [61, 62] явление обладает рядом замечательных свойств, подробное обсуждение которых представлено в обзорных работах В.P. Barber'a и др. [50], T.J. Matula [99], М.А. Маргулиса [36], S.J. Putterman'a и К.P. Weninger'a [119]. Наиболее привлекательное свойство SBSL заключается в том, что максимальная температура в пузырьке может достигать 105К и выше [50,94,103,133]. Согласно [99] SBSL наблюдается при акустическом возбуждении на частотах ниже частоты линейного резонанса, что при среднем равновесном радиусе 1 — Юмкм составляет

10 — 50кГц. Диапазон амплитуд акустического поля, при которых наблюдается устойчивая однопузырьковая сонолюминесценция, довольно узок -примерно от 1.2 до 1.4 бар.

Одним из основных направлений исследований на режиме SBSL стало повышение степени сжатия газа в пузырьке. Ряд способов предложен в работах S. Hilgenfeldt'a и D. Lohse [76], W.C. Moss'a и др. [103], Р.И. Нигма-тулина и др. [105], В.А. Симоненко и др. [124], А.А. Аганина и М.А. Ильга-мова [47]. Простое увеличение амплитуды акустического воздействия оказывается для этого неприемлемым, поскольку выход за порог ~ 1.4 бар сопровождается нарушением условий устойчивости периодических колебаний пузырька. Причинами развития неустойчивости могут оказаться, например, диффузия газа через межфазную поверхность [63], протекание химических реакций в пузырьке [94,95]. Одним из важнейших условий устойчивости периодических колебаний пузырька в режиме SBSL является сохранение его сферической формы [57].

Нарушение условий устойчивости приводит либо к полному исчезновению (растворению) пузырька, либо к его разрушению (фрагментации) на несколько более мелких пузырьков. Однако и растворение, и фрагментация, как правило, имеют место не сразу же после выхода за порог устойчивости, а только после некоторого (иногда и очень большого) количества колебаний. Таким образом, нарушение условий устойчивости периодических колебаний не исключает возможности достижения при сильном акустическом воздействии значительного повышения интенсивности сонолюми-несценции в непериодическом режиме колебаний пузырька, например, при его однократном сверхсилыюм расширении-сжатии. Такие расширения-сжатия пузырька можно организовать с некоторой периодичностью. Теоретические оценки, полученные А.А. Аганиным и М.А. Ильгамовым [47] на основе сферически симметричных моделей, показали, что при значительно более сильном, чем в режиме устойчивой периодической SBSL, акустическом воздействии уровень достигаемых значений температуры и давления в пузырьке существенно повышается. Режим сильного расширения-сжатия пузырька подразумевался в экспериментальной установке, схема которой была предложена В.А. Симоненко и др. в [124]. Первая экспериментальная реализация, по существу, подобного режима описана в работе группы американских ученых во главе с R.P. Taleyarkhan'oM совместно с Р.И. Ниг-матулиным [126]. По утверждению ее авторов при ультразвуковом возбуждении кластера пузырьков в дейтерированном ацетоне наблюдался выход нейтронов и ядер трития, что является одним из характерных признаков протекания реакции термоядерного синтеза. Выполнение одного из условий, необходимых для реакции синтеза, а именно, образование плазмы в коллапсирующих пузырьках, подтверждено совсем недавно результатами экспериментов D.J. Flannigan'a и K.S. Suslick'a [68]. Однако вызванная работой [126] оживленная дискуссия [123] продолжается и в настоящее время. Некоторые сомнения критиков связаны с отсутствием оценок относительно сохранения сферичности формы пузырька в момент его экстремального сжатия (коллапса). Действительно, с точки зрения гипотезы о возникновении в пузырьке ударных волн и образовании в результате их фокусировки горячего ядра с ионизированной плазмой, параметры этого ядра в значительной мере будут определяться степенью сферичности коллапса. Поэтому изучение условий, при которых возмущения сферичности оставались бы малыми на протяжении всего процесса расширения-сжатия пузырька, является актуальным.

Обзор литературы. Первые теоретические исследования радиальных движений пузырька в безграничном объеме жидкости проводились на основе модели Рэлея-Плессета [120], [110]. В рамках этой модели расширение-сжатие газа в пузырьке полагается равномерным, а жидкость - несжимаемой или слабосжимаемой. Подробный обзор исследований, выполненных с применением этой модели, представлен в обзоре M.S. Plesset'a и

A. Prosperetti [112].

В классических работах С. Herring'a [74], L. Trilling'a [128], J.В. Keller'a и I.I. Kolodner'a [85}, F.R. Gilmore [71] и R.H. Cole [60] рассматривались вопросы приближенной теории сферически-симметричного движения пузырька в сжимаемой жидкости. Проблеме правильного учета влияния сжимаемости жидкости при радиальном движении пузырька посвящен еще целый ряд исследований W.E. Jahsman'a [84], H.G. Flynn'a [69], В.В. Рождественского [42], J.B. Keller'a и М. Miksis'a [86], G.J. Lastman'a и R.A. Wentzell'a [89], A. Prosperetti и Y. Hao [117]. Систематизированное изложение имеющихся моделей сферической динамики пузырька с акустической коррекцией можно найти в работе A. Prosperetti и A. Lezzi [118], в монографиях РИ. Нигматулина [37,38], В.К. Кедринского [35].

Кроме учета сжимаемости жидкости модель Рэлея-Плессета развивалась и в других направлениях. В.Е. Noltingk и Е.А. Neppiras [108] применили политропический закон для описания изменения давления газа в пузырьке. В работе R. Lofstedt'a и др. [93] сравнивались модели идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса в ходе сжатия пузырька. Влияние вязкости жидкости при сферическом движении пузырька исследовали Н. Poritsky [113], Е.И. Забабахин [31], В.В. Рождественский [42], В.К. Кедринский [35]. Задача о радиальном движении пузырька в большом ограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости рассматривалась в монографии В.К. Андреева [19], в которой также приведен обзор работ по схлопыванию пузырька вязкой жидкости. A. Prosperetti в работе [115] рассматривал тепловые эффекты. В монографиях Р.И. Нигматулина [37,38] рассматриваются вопросы и задачи, касающиеся механических и физико-механических процессов около пузырьков. В [39] Нигматулиным и др. предложена модель радиальных колебаний пузырька в ограниченном объеме жидкости. В отличие от других моделей при ее построении окружающая пузырек жидкость разбивается на две зоны. Принимается, что в ближней к пузырьку зоне, которая составляет от 1 до 10 радиусов пузырька, жидкость несжимаема, а в дальней справедливо акустическое приближение. Другое отличие этой модели от аналогичных моделей состоит в том, что в ней учитываются не только волны, расходящиеся от пузырька, но и волны, отраженные от внешней поверхности жидкого объема. На основе этой модели в последующих работах Нигматулина и др. [106,107] проведен анализ линейных и нелинейных периодических колебаний пузырька при гармоническом законе изменения давления на внешней границе жидкости. Исследовано влияние теплопроводности на колебания пузырька. В работе Ж.М. Сахабутдино-ва и А.Ж. Сахабутдинова [43] приведен вывод уравнения, являющегося обобщением уравнения Рэлея-Плессета на случай, когда занимаемая жидкостью область ограничена. В работе Н. Lin'a, B.D. Storey и A.J. Szeri [91] предположение об однородном сжатии газа в пузырьке модифицируется посредством приближенного учета пространственной неоднородности поля давления в пузырьке.

Проведенное в работе R. Lofstedt'a, В.P. Barber'a и S.J. Putterman'a [93] сравнение результатов расчетов и экспериментальных данных показывает, что на стадии расширения и большей части стадии сжатия модель Рэлея-Плессета правильно описывает радиальную динамику пузырька. Заметные расхождения теории и эксперимента возникают в самом конце стадии сжатия. Они проявляются, в частности, в занижении уровня расчетных температур по сравнению с экспериментальными данными. В [93] было высказано предположение, что причиной таких расхождений является возникновение в пузырьке ударных волн. Гипотеза о формировании сходящихся ударных волн на стадии сжатия пузырька при определенных параметрах возбуждения находит поддержку у многих исследователей [119]. Она позволяет естественно объяснить очень короткую продолжительность световых импульсов при SBSL, а именно, тем, что вспышки света возникают в результате фокусировки ударных воли в центре пузырька.

Правильность этой гипотезы подтвердили расчетами С.С. Wu и Р.Н. Roberts [133]. При этом в пузырьке осуществлялось интегрирование уравнений газовой динамики с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса, жидкость полагалась слабосжимаемой, а радиальная скорость межфазной поверхности определялась согласно модели Рэлея-Плессета. Ту же методику использовали V.Q. Vuong и А.Т. Szeri [130]. В работе L. Kondic'a и др. [87] применен тот же подход для определения радиальной динамики пузырька, но уравнение состояния Ван-дер-Ваальса было дополнено слагаемыми, учитывающими вибрационные степени свободы, ионизацию и диссоциацию. М.С. Chi и D. Leung [59] проводили расчеты с уравнениями состояния Ван-дер-Ваальса, S. Srivasan'a [125] и W.C. Moss'a [102]. В работе V.Q. Yuong'a и др. [131] применялось широкодиапазонное трехчленное уравнение состояния для газа, включающее кроме "холодной" составляющей слагаемые, учитывающие движение ядер и электронов. В работе В.А. Симоненко и др. [40] поведение газа (воздуха) описывалось с использованием табличного уравнения состояния, учитывающего диссоциацию, ионизацию, межмолекулярное взаимодействие, модифицированного с целью более точного описания кривой "холодного" сжатия.

Согласно результатам С.С. Wu и Р.Н. Roberts'a [133] после отражения от центра пузырька расходящиеся ударные волны взаимодействуют с межфазной границей. В таких условиях предположение о малой сжимаемости жидкости является недостаточно точным. Поэтому для корректного моделирования схлопывания пузырька необходимо применять полную гидродинамическую модель не только для газа, но и для жидкости. Это было реализовано W.C. Moss'om и др. [101,102]. Для описания состояния газа использовалось уравнение, позволяющее учитывать процессы диссоциации, ионизации газа [102], для жидкости при больших давлениях применялось уравнение состояния F.H. Ree [121]. В работах А.А. Аганина [45], А.А. Аганина и М.А. Ильгамова [7-10,47], А.А. Аганина, Р.И. Нигматулина,

М.А. Ильгамова и И.Ш. Ахатова [18] уравнения газовой динамики интегрировались также в обеих средах. Для газа использовалось то же уравнение состояния, что и в [102], но с небольшой модификацией для обеспечения физичного поведения функции давления при комнатных температурах. Для жидкости (воды) было использовано уравнение Р.И. Нигматулина и Р.Х. Болотновой [104]. В этих работах в целях существенного снижения затрат компьютерного времени практически на всем периоде, за исключением финальной стадии схлопывания пузырька, совершенно оправданно применялась модель Рэлея-Плессета. Был изучен механизм образования и эволюции ударных волн в газовом пузырьке. Изучению динамики пузырька в жидкости с применением полной системы уравнений газовой динамики в жидкости и газе, а также сложных уравнений состояния, учитывающих процессы диссоциации и ионизации газа, на режимах больших и сверхбольших расширений-сжатий, характерных для ядерного излучения при акустической кавитации, посвящены работы И.Ш. Ахатова, О. Lindau, W. Lauterborn'a и др. [48], а также В.Б. Беляева и др. [20]. В работе [33] на основе результатов численного интегрирования полной системы трехмерных уравнений газовой динамики изучалось сильное сжатие газового эллипсоида вращения под действием внешней нагрузки ударного типа, а также динамика газового объема с отклонением формы от сферической под действием периодического давления.

Вопрос устойчивости сферической формы пузырька при его радиальных движениях в неограниченном объеме жидкости впервые рассматривался в связи с проблемой эволюции пузырьков, возникающих при подводных взрывах [60]. Причиной искажения сферической формы пузырька может быть начальное возмущение, наличие других пузырьков, действие массовых сил и т.д. Задача о динамике несферического пузырька поддается аналитическому исследованию лишь в простейшей постановке без учета сжимаемости и вязкости жидкости, в предположении однородности расширения-сжатия пузырька. В работе [41] А.Г. Петров в плоской постановке получил аналитическое выражение функции Лагранжа, описывающей движение деформирующейся полости. Широкий круг работ по дииамике несферических пузырьков охвачен в обзорах О.В. Воинова и А.Г. Петрова [24], M.S. Plesset'a и A. Prosperetti [112], T.G. Leighton'a [90] и С.Е. Brennen'a [56]. В подавляющей части работ, рассмотренных в обзоре [112], используется подход, основанный на представлении поверхности пузырька в виде, комбинации поверхностных сферических гармоник. Например, в осесимметричной задаче контур пузырька представляется рядом по полиномам Лежандра. Коэффициенты разложения характеризуют отклонение геометрии поверхности пузырька от сферы, определяемое соответствующей гармоникой. Они входят в состав неизвестных, по отношению к которым ставится задача. Модуль коэффициента характеризует амплитуду отклонения от сферы, а знак - направленность отклонения: внутрь сферы или наружу в зависимости от свойств определяющей гармоники. Если отклонения малы, то в терминах коэффициентов разложения обычно используется линейная постановка задачи. В линейной теории сферические гармоники не связаны друг с другом, и эволюция определяемых ими возмущений описывается независимыми линейными дифференциальными уравнениями относительно коэффициентов разложения. При немалых отклонениях задача ставится как нелинейная.

В рамках описанного подхода в линейной постановке G. Birkhoff [54] показал, что коллапсирующие пузырьки по отношению к малым возмущениям сферической формы являются неустойчивыми, и что на этот результат не влияет поверхностное натяжение. В его работе [55] сформулирована и доказана теорема об устойчивости сферической поверхности пузырька в случае малых искажений. M.S. Plesset в работе [109] определил условия устойчивости сферической границы между двумя невязкими несмешиваемыми жидкостями при радиальном движении. M.S. Plesset и Т.Р. Mitchell [111] рассмотрели задачу устойчивости формы пузырька при расширении и схло-пывании в невязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного скачка давления без учета и с учетом поверхностного натяжения. Установленный в работе [111] рост амплитуды возмущения сферической формы схлопывающегося пузырька в работе [23] упоминается как неустойчивость Биркгофа-Плессета. В работе A. Eller'a и L.A. Crum'a [64] сравниваются результаты теоретических и экспериментальных исследований устойчивости колебаний сферического пузырька в воде при гармоническом изменении давления окружающей жидкости с частотой 23.6 - 28.3 кГц. Задачу о схлопывании несферического пузырька в осесимметричной постановке численно решали R.B. Chapmen и M.S. Plesset [58]. В начальный момент задавалось искажение сферической формы пузырька, определяемое полиномом Лежандра второй степени. В работе В.К. Кедринского [34] приведено решение задачи о пульсациях тороидального пузырька в идеальной несжимаемой жидкости. D.Y. Hsieh [79,80], используя метод Лагранжа, получил известные уравнения линейной теории устойчивости сферически симметричного схлопывания пузырька. В монографиях Р.И. Нигматулина [37,38] проведен качественный анализ устойчивости сферической границы раздела в потоке без учета эффектов вязкости. В монографии В.В. Рождественского [42] рассматривались вопросы устойчивости сферической поверхности пузырька как поверхности раздела между двумя несмешиваемыми несжимаемыми невязкими жидкостями. A. Prosperetti [116] исследовал свободные несферические колебания пузырьков с учетом вязкости жидкости. Используемый подход основывался на применении преобразования Лапласа. В цикле работ О.В. Воинова исследования устойчивости сферической формы нелинейно пульсирующего пузырька при скачкообразном изменении внешнего давления основывались на решении дифференциального уравнения устойчивости на полупериоде пульсации. В его совместной статье с В.В. Пе-репелкиным [23] в коротковолновом приближении получена формула для приращения амплитуды возмущения, найдены асимптотические формулы для скорости роста возмущений при пульсациях большой амплитуды. В работе [22] О.В. Воиновым рассматривалась динамика возмущений, обусловленных тепловыми флуктуациями. S.M. Yang, Z.C. Feng и L.G. Leal [135] исследовали динамический отклик пузырька на быстрые изменения распределения давления на его поверхности. T.J. Asaki и P.L. Marston [49] исследовали свободное затухание колебаний формы пузырьков, акустически запертых в воде. Р.Н. Roberts и С.С. Wu [122] рассмотрели затухание колебаний формы пузырька при учете вязкости жидкости согласно модели [114]. А.А. Аганин, М.А. Ильгамов и Д.Ю. Топорков [15] рассматривали свободное затухание малого начального искажения сферической формы газового пузырька при различных способах учета вязкости жидкости. В работе А.Н. Жарова и А.И. Григорьева [30] в линейной постановке исследованы колебания и устойчивость формы заряженного пузырька в вязкой несжимаемой жидкости по отношению к малым искажениям объема и формы. Получены аналитические асимптотические выражения для декрементов затухания осесимметричных колебаний формы пузырька в приближении малой и большой вязкости.

Вязкость жидкости играет важную роль во многих задачах динамики несферического пузырька. Для случая малых искажений сферической формы пузырька A. Prosperetti [114] предложил наиболее точный способ учета вязкости жидкости. Математически он выражается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающей динамику поля завихренности жидкости и амплитуды возмущения сферической формы пузырька. В связи со сложностями, возникающими при решении системы уравнений, предложенных A. Prosperetti, многие исследователи проводили анализ устойчивости сферической формы, используя различные упрощающие предположения. Так, в случае малой вязкости жидкости можно предположить, что влияние завихренности жидкости существенно лишь на по верхности пузырька. При аналогичных условиях Н. Lamb еще в 1932г. [88] получил выражения для декремента затухания малых гармонических колебаний формы пузырька с равновесным радиусом в слабовязкой жидкости. В работах М.Р. Brenner'a, S. Hilgenfeldt'a, D. Lohse и др. [57,77] предполагается, что влияние завихренности жидкости существенно в тонком слое конечной толщины на поверхности пузырька. Устойчивость коллапсиру-ющего пузырька в ограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости изучалась в работе G. Iooss'a, P. Laure и М. Rossi [83] с применением квазистатического приближения, т.е предположения, что радиальная динамика развивается медленно по сравнению с динамикой возмущения сферичности. В работе А.А. Аганина и М.А. Ильгамова [11] предложена простейшая модель учета вязкости при моделировании движения жидкости с цилиндрической полостью. Модель построена на основе линейных уравнений динамики вязкой жидкости. Предложенное уравнение для описания возмущенного движения эквивалентно уравнению, полученному в предположении потенциальности движения жидкости, но с введенным в [И] коэффициентом эффективной вязкости. В работе А.А. Аганина, М.А. Ильгамова и Д.Ю. Топоркова [15] рассматривается модель без учета завихренности жидкости. Вязкость жидкости учитывается только посредством граничного условия на поверхности пузырька. В работе [16] уточняется область применения приближенных способов описания влияния вязкости на затухание малых искажений сферической формы газового пузырька путем сравнения их результатов с результатами модели A. Prosperetti [114]. Предложен новый способ учета вязкости жидкости, применение которого оказывается удовлетворительным в более широком диапазоне изменения параметров задачи затухания малых искажений. В работе [21] О.В. Воиновым определено влияние малой вязкости жидкости на динамику возмущений при нелинейных пульсациях пузырька при скачкообразном изменении внешнего давления. В работе [32] сравниваются различные способы учета влияния вязкости жидкости на малые искажения сферической формы пузырька при его сильном расширении-сжатии.

Значительная часть исследований по динамике несферического пузырька посвящена режиму периодической сонолюминесценции [119]. Основное внимание уделяется определению критериев и областей устойчивости сферической формы пузырька. S. Hilgenfeldt, D. Lohse и М.Р. Brenner [77] рассчитали фазовые диаграммы устойчивости сферической формы пузырька при периодической однопузырьковой сонолюминесценции с применением линейной по искажениям формы постановки задачи. Вязкость жидкости учитывалась упрощенно. В работе выделены следующие типы неустойчивости сферической формы пузырька:

- неустойчивость Рэлея-Тейлора [127], возникающая (при условии, что содержимое пузырька является менее плотным, чем жидкость), когда ускорение стенки пузырька положительно, то есть направлено в сторону жидкости,

- неустойчивость, проявляющаяся на отскоках после коллапса, (afterbounce instability),

- параметрическая неустойчивость, характеризующая суммарный рост возмущения в течение нескольких радиальных колебаний.

В той же постановке, что и в [77], устойчивость формы сферического пузырька при колебаниях в режиме однопузырьковой сонолюминесценции изучалась в работах В.P. Barber'a, R.A. Hiller'a, R. Lofstedt'a, S.J. Putterman'a и K.R Weninger'a [50], S. Hilgenfeldt'a, M. Brenner'a, S. Grossmann'a и D. Lohse [75], C.C. Wu и Р.Н. Roberts'a [134], A. Prosperetti и Y. Hao [117]. В работе [73] Y. Нао и A. Prosperetti в линейной по искажениям сферической формы пузырька постановке задачи с учетом вязкости жидкости по [114], а также с учетом теплопроводности газа провели анализ устойчивости сферических колебаний газовых пузырьков в случае, рассмотренном экспериментально R.G. Holt'oM и D.F. Gaitan'oM [78].

Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. В работе Н. Lin'a, B.D. Storey и A.J. Szeri [92] при анализе устойчивости дополнительно учитывалось изменение плотности содержимого пузырька. А.А. Аганин, М.А. Ильгамов и др. в работе [4] исследовали изменение малых начальных искажений сферической поверхности пузырька при его сильном расширении-сжатии. Все параметры задачи соответствовали режиму периодической сонолюминесценции, за исключением амплитуды акустического поля, варьируемой от 1.5 до 5 бар.

Большое количество исследований по нелинейному взаимодействию поверхностных и радиальной мод для осциллирующего пузырька охвачено в обзоре работы Z.C. Feng и L.G. Leal [67]. Задачу о деформации пузырька при внезапном повышении давления в нелинейной постановке рассматривали Н.С. Yeh и W.J. Yang [136]. В [72] P. Hall и G. Seminara изучали нелинейную устойчивость газового пузырька в акустическом иоле. J.A. Tsamopoulos и R.A. Brown [129] рассмотрели свободные нелинейные осесимметричные колебания пузырьков в невязкой несжимаемой жидкости. M.S. Longuet - Higgins [96,97] рассматривал излучение радиальных колебаний невязкой несжимаемой жидкости, обусловленных несферическими колебаниями формы пузырька. Т.В. Benjamin [52] значительно упростил получение результатов [96,97], используя вириальные уравнения из своей работы [51]. Т.В. Benjamin и А.Т. Ellis [53] изучали перемещения пузырька в жидкости, облучаемой ультразвуком, обусловленные нелинейным взаимодействием между двумя возбужденными поверхностными гармониками. J.E.F. Williams и Y.P. Guo [132] в постановке без учета вязкости жидкости проанализировали изменение энергии в процессе нелинейного взаимодействия между отдельными поверхностными гармониками. Z.C. Feng и L.G. Leal [65] рассмотрели механизм передачи энергии резонансным взаимодействием между модами колебаний объема и формы пузырька. В их работе [66] изучались бифуркации и хаос в нелинейных колебаниях формы и объема пузырька, возбуждающихся периодическим изменением давления жидкости. M.S. Longuet - Higgins [98] рассмотрел резонансные явления в нелинейных несфёрических колебаниях поверхности пузырька газа без учета и с упрощенным учетом вязкости жидкости. С.С. Mei и X. Zhou [100] изучали резонансное взаимодействие между радиальной модой и двумя поверхностными модами для пузырька, колеблющегося в воде, в случае, когда радиальная мода возбуждается звуковым возмущением. D. Zardi и G. Seminara [137] рассмотрели противоборство хаотических мод в колебаниях формы пульсирующего пузырька без учета вязкости жидкости. В работе А.А. Аганина и М.А. Ильгамова [12] приводится математическая постановка задачи динамики несферического (осесимметричного) пузырька в вязкой жидкости, в которой нелинейное взаимодействие между искажениями по сферическим поверхностным гармоникам учитывается до второго порядка малости. Вязкость жидкости учитывается на основе допущений [114]. В работе М.А. Ильгамова, JI.A. Косолаповой и В.Г. Малахова [82] основное внимание уделялось исследованию нелинейных эффектов в ходе колебаний несферического пузырька газа в вязкой несжимаемой жидкости в зависимости от формы и размера пузырька в начальный момент времени. В работе [14] показано, что на режимах, близких к режиму периодической сонолюминесценции, эллипсоидальные колебания ограниченной амплитуды могут иметь место и за границей линейно-устойчивых сферических колебаний.

Цель настоящей диссертации - выявление основных закономерностей эволюции возмущений сферической формы газового пузырька в процессе его сильного расширения-сжатия под воздействием сильного акустического поля; исследование влияния характеристик воздействия, свойств жидкости и газа на динамику возмущения.

Научная новизна. Проведено подробное исследование эволюции малого возмущения сферической формы газового пузырька в ходе его сильного расширения-сжатия в жидкости. Изучено влияние амплитуды колебаний давления жидкости, длины волны возмущения, вязкости и сжимаемости жидкости, неоднородности давления газа в пузырьке, уравнений состояния газа и жидкости, колебаний несферической формы пузырька до начала расширения. Рассмотрен случай, когда все параметры задачи являются характерными для режима однопузырьковой сонолюминесценции, а амплитуда колебаний давления жидкости варьируется в более широких пределах (от 1.4 до 5 бар).

Представлена новая модель эволюции возмущения на стадии сжатия, в которой сферическая составляющая движения жидкости и газа описывается полной системой уравнений динамики сжимаемой жидкости с замыканием реалистичными уравнениями состояния, а эволюция возмущения сферической формы пузырька - уравнением с более точным учетом влияния градиентов скорости и давления газа и жидкости на поверхности пузырька. Проведено сравнение разных моделей сферической составляющей движения жидкости и газа, а также эволюции возмущения сферичности пузырька.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих семнадцать параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

1. Агапип А.А Нелинейные колебания газа в областях с подвижными границами Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.мат. наук. Казань. 2000. 272

2. AzanwL А.А., Гусева Т.С. Устойчивость сферической формы пузырька в процессе его сильного расширения-сжатия Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. науч. сборник Саратов: СГТУ, 2004. 103-107.

3. Аганип А.А., Гусева Т.С. Эволюция малого искажения сферической формы газового пузырька при его сильном расширении-сжатии НМТФ. 2005. Т. 46. 4. 17-28.

4. Аганип А.А., Гусева Т.С, Ильгамов М.А. и др. Устойчивость сильного сжатия сферического пузырька Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. Сб. Санктпетербургский государственный университет. Санкт-Петербург: СПбГУ, 2002. 7-13.

5. Аганин А.А., Гусева Т.С, Ильгамов М.А. Зависимость искажений сферической формы пузырька от модели его сильных радиальных колебаний Современные проблемы физики и математик. Труды Всероссийской паучной конференции, Стерлитамак, 2004. Уфа: Гилем, 2004. Т. 2. 7-10.

6. Аганин А.А., Ильгамов М.А. Особенности расчета нелинейных сферических волн в газе и жидкости методом распада Моделирование динамических процессов в сплошных средах.- Казань: Казанское математическое обп],ество, 1997. 109-194.

7. Аганин А.А., Ильгамов М.А. Колебания сферического нузырька газа в жидкости с образованием ударных волн Изв. АН. МЖГ. 1999. 6. 126-133. 137

8. Агаиин А.А., Ильгамов М.А. Динамика нузырька газа в центре сферического объема жидкости Мат. Моделирование. 2001. Т. 3. J 1. Y 26-40.

9. Агаиин А.А., Илъгамов М.А. Динамика газового пузырька при возбуждении импульсами сжатия и разрежения в жидкости ДАН. 2002. Т. 382. ;f 2. 176-180.

10. Аганин А.А., Ильгамов М.А. Простейшая модель вязкости в динамике жидкости с цилиндрической полостью Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. Сб. Санктпетербургский государственный университет. Санкт-Петербург: СПбГУ, 2002. 1420.

11. Аганин А.А., Ильгамов М.А. Динамика пузырька газа в вязкой жидкости с немалыми искажениями сферической формы Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. 7-22.

12. Аганин А.А., Ильгамов М.А., Гусева Т.С. Искажение сферической формы пузырька при больших расширениях-сжатиях из состояния покоя Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. 95-132.

13. Аганин А.А., Ильгамов М.А., Косолапова Л.А. и др. Эллипсоидальные колебания газового пузырька при периодическом изменении давления окружаюш,ей жидкости МЖГ. 2005. Jf 5. 45-52.

14. Агапин А.А., Ильгамов М.А., Топорков Д.Ю. Затухание начального искажения сферической формы пузырька //Сб. Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ. 2003. 66-94. 138

15. Агапип А.А., Малахов В.Г., Топорков Д.Ю. Методика решения задач динамики несферического газового нузырька в вязкой жидкости //Сб. Динамика газовых нузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. 2341.

16. Агапип А.А., Нигматулип Р.И., Ильгамов М.А. и др. Динамика нузырька газа в центре сферического объема жидкости Докл. АН. 1999. Т. 369. 2. 182-185.

17. Апдреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: ВО Наука, 1992. 136 с.

18. Веляев В.В., Костепко В.Ф., Миллер М.В. и др. Сверхвысокие температуры и акустическая кавитация Сооб. ОИЯИ. Дубна. 18с.

19. Воипов О. В. Динамика капиллярных волн на пузыре при нелинейных пульсациях в жидкости малой вязкости ПМТФ. 1994. 3. 8797.

20. Воипов О.В. О времени жизни симметрично пульсируюш,его пузыря ПМТФ. 1994. J 3. 97-101. V

21. Воипов О.В., Перепелкип В.В. Об устойчивости поверхности газового пузыря пульсируюш,его в жидкости ПМТФ. 1989. 3. 76-83.

22. Воипов О.В., Петров А.Г. Движение пузырей в жидкости Итоги науки и техники. Сер. Механика Жидкости и Газа. 1976. Т. 10. 86147. 2003. 139

23. Гусева Т.С. Искажение сферической формы нузырька при его сильном расширении-сжатии Динамика газовых нузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. 133-178.

24. Гусева Т. Искажение сферической формы пузырька в процессе его сильного расширения-сжатия Проблемы тенломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении. Труды IV Школы-семинара мол. ученых и специалистов. Казань: КГУ, 2004. 239-245.

25. Гусева Т.С. Влияние вязкости жидкости на искажение сферической формы пузырька в ходе его однократного расширения-сжатия Вестник Казанского Государственного Педагогического Университета. 2004. Я 2. 85-99.

26. Гусева Т.С. Расчет несферической динамики газового пузырька в жидкости при сильном расширении-сжатии Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы шестого всероссийского семинара. Казань: КГУ, 2005. 73-77.

27. Жаров А.Н., Григорьев А.И. О капиллярных колебанийх и устойчивости заряженного пузырька в диэлектрической жидкости ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.11. 12-20.

28. Забабахин Е.И. Заполнение нузырьков в вязкой жидкости Прикл. метаметика и механика. 1960. Т. 24, вып. 6 1129-1131.

29. Ильгамов М.А., Аганин А.А., Косолапова Л.А. и др. Модели динамики несферического пузырька с учетом вязкости жидкости Труды 16-сессии Международной школы по моделям механики снлошной среды. Казань: Казанское математическое обш,ество, 2002. Т.16. 192201. 140

30. Кедринский В.К. О пульсации тороидального газового пузыря в жидкости В сб.: Динамика сплош. среды. Вып.

31. Новосибирск. 1974. 35-43.

32. Кедринский В.К. Гидродипамика взрыва: эксперимепт и модели. Новосибирск: СО РАН, 2000. 435 с.

33. Маргулис М.А. Сополюминесценция Уснехи физических паук. Обзоры актуальных проблем. 2000. Т. 170. J 3. 263-287. V

34. Нигматулин Р.И. Осповы механики гетерогеппых сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

35. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, Т. 1. 464 с.

36. Нигматулин Р.И., Ахатов Н.Ш., Вахитова Н.К. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька Докл. РАН. 1996. Т. 348. J 6. 768-771. V

37. Ногин В.Н., Карлыханов Н.Г., Коваленко Р.В. и др. Влияние физических факторов на динамику люминесценции пузырьков V Забабахипские научные чтения. Труды междун. конф. Снежинск: РФЯЦВНИИТФ, 1999. 41-45.

38. Нетров А.Г. Динамика плоской полости в жидкости малой вязкости Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1973. J 5. 15-23. V

39. Роэюдественский В.В. Кавитация. Л.: Судостроепие, 1977. 248 с. 1987.. 141

40. Хайрер Э., Нёрсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990, 512 с.

41. Адапгп А.А. Dynamics of а small bubble in a compressible fluid Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2000. V. 33. P. 157-174.

42. Aganin A.A., Guseva T.S. Distortion of the spherical shape of a bubble under its single strong enlargement-compression Proceedings of Second International Summer Scientiflc School "High speed hydrodynamics", Cheboksary. 2004. P. 191-196.

43. Aganin A.A., Ilgamov M.A. Dependence of bubble compression parameters on the external pressure Dynamics of Multiphase Systems. Proc. Int. Conf. Multiphase Systems, Ufa. 2000. P. 269-273.

44. Akhatov I., Lindau 0., Topolnikov A. et al. Collapse and rebound of a laser-induced cavitation bubble Phys. Fluids. 2001. V. 13. Я 10. P.2805-2819.

45. Asaki T.J. and Marston P.L. Equilibrium shape of an acoustically levitated bubble driven above resonance//JASA. 1995. V. 97. P. 21382143.

46. Barber B.P. ,Hiller R.A., Lofstedt R. et al Defining the unknowns of sonoluminescence Phys. Rep. 1997. V. 281. P. 65-143.

47. Benjamin T.B. Hamiltonian theory for motions of bubbles in an infinite liquid J. Fluid. Mech. 1987. V. 181. P. 349-379. 142

48. Benjamin T.B. and Ellis A. T. Self-propulsion of asymmetrically vibrating bubbles J. Fluid. Mech. 1990. V. 212. R 65-80.

49. Birkhoff G. Note on Taylor Instability Quart. Appl. Math. 1954. V. 12. X 3. P. 306-309.

50. Birkhoff G. Stability of spherical bubbles Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. P. 451-53.

51. Brennen G.E. Cavitation and Bubble Dynamics. Oxford University Press. 1995. 282 p.

52. Brenner M.P., Lohse D. and Dupont T. Bubble shape oscillations and the onset of sonoluminescence Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. J 5. V P. 954-957.

53. Ghapmen R.B., Plesset M.S. Nonlinear effects in the collapse of a nearly spherical cavity in a liquid//Pap. ASME. 1971. Jf FE-5. 59. Ghi M.G., Leung D. Effects of thermal conduction in sonoluminescence J. Phys.: Condens. Matter. 1997. V. 9. P. 3387-3397. 60.

54. Gole R.H. Underwater explosions. Princeton University Press. 1

55. Grum L.A. Measurements of the growth of air bubbles by rectified diffusion J. Acoust. Soc. Am. 1980. V. 68. P. 203-211.

56. Grum L.A. Sonoluminescence, sonochemistry, and sonophysics J. Acoust. Soc. Am. 1994. V. 95. 1. P. 559-562.

57. Grum L.A. and Gordry S. Single bubble sonoluminescence in Proceedings IUTAM Symposium on Bubble Dynamics and Interface 143

58. Eller A. and Crum L.A. Instability of the motion of a pulsating bubble in a sound field J.Acoust. Soc. Am. Suppl. 1970. V. 47. K 3. P. 762-7G7.

59. Feng Z.C. and Leal L.G. On energy transfer in resonant bubble oscillating Phys. Fluids A. 1993. V. 5. 4. P. 826-836.

60. Feng Z.G. and Leal L.G. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonance J. Fluid Mech. 1994. V. 266. P. 209-242.

61. Feng Z. G. and Leal L. G. Nonlinear bubble dynamics Annu. Rev. Fluid Mech. 1997. V. 29. P. 201-242.

62. Flannigan D.J., Suslick K.S. Plasma formation and temperature measurement during single-bubble cavitation Nature. 2005. V. 434. P. 52-55.

63. Flynn H.G. Cavitation dynamics I. A mathematical formulation J.Acoust. Soc. Am. 1975. V. 57. P. 1379-1396.

64. Gaitan D.F., Grum L.A., Roy R.A. et al. Sonoluminescence and bubble dynamics for a single, stable cavitation bubble J.Acoust. Soc. Am. 1992. V. 91. P. 3166-3172.

65. Gilmore F.R. The collapse and growth of a spherical bubble in a viscous compressible liquid California Institute of Technology Hydrodynamics Laboratory. 1952. Rep. Ш 25-4.

66. Hall P. and Seminara G. Nonlinear oscillations of non-spherical cavitation bubbles in acousticfields //J. Fluid Mech. 1980. V. 101. P. 423-444. 144

67. Herring C.j j Theory of the pulsations of the gas bubble prodused by an underwater explosion. OSRD Report. 1941. Jf 236.

68. Hilgenfeldt S., Brenner M., Grossmann S. et al. Analysis of RayleighPlesset dynamics for sonoluminescing bubbles J.Fluid Mech. 1998. V. 365. P. 171-204.

69. Hilgenfeld S., Lohse D. Predictions for upscaling sonoluminecsence Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 1036-1039.

70. Hilgenfeldt S., Lohse D. and Brenner M. Phase diagrams for sonoluminescing bubbles Phys. Fluids. 1996. V. 8. P. 2808-2826.

71. Holt R.G. and Gaitan D.F. Observation of stability boundaries in the parameter space of single bubble sonoluminescence Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3791-3794.

72. Hsieh D.Y. On the dynamics of nonspherical bubbles Pap. ASME. 1972. Я. FE-22.

73. Hsieh D. Y. Lagrangian formulation of bubble dynamics Quart. Appl. Math. 1975. V. 33. 2. P. 115-130.

74. Ilgamov M.A., Aganin A. A., Guseva T.S. Distortion of the spherical shape of a bubble under strong enlargement-compression Proceedings of Fifth International Symposium on the behaviour of dense media under high dynamic pressures, Saint-Malo, France. 2003. T. 2. P. 417-429.

75. Ilgamov M.A., Kosolapova L.A., Malakhov V.G. Nonlinear nonspherical oscillations of a gas bubble in a liquid Proceedings of Second 145

76. Iooss G., Laure P., Rossi M. Stability of a compressed gas bubble in a viscous fiuid Phys. Fluids. 1989. V. 1. J 6. P. 915-923. V

77. Jahsman W.E. Collapse of a gas-filled spherical cavity J. Appl. Mecli. 1968. V. 35. P. 579-587.

78. Keller J.B. and Kolodner I.I. Damping of underwater explosion bubble oscillations J. Appl. Phys. 1956. V. 27. P. 1152-1161.

79. Keller J.B. and Miksis M. Bubble oscillations of large amplitude J.Acoust. Soc. Am. 1980. V. Q. J{ 2. P. 628-633.

80. Kondic L., Gersten J.I. and Yuan C. Theoretical studies of sonoluminescence radiation: Radiative transfer and parametric dependence Phys. Rev. 1995. V. 52. P. 4976-4990.

81. Lamb Я.Hydrodynamics. 6th edn. Cambridge University Press. 632 p.

82. Lastman G.J., Wentzell R.A. Cavitation of a bubble in an inviscid compressible liquid Physics of Fluids. 1979. V. 22. P. 2259-2266.

83. Leighton T.G. The Acoustic Bubble. Academic Press Limited. 613 p. 91. Lin H., Storey B.D. and Szeri A.J. Inertially driven inhomogeneities in violently collapsing bubbles: the validity of the Rayleigh-Plesset equation J. Fluid Mech. 2002. V. 452. P. 145-162. 92. Lin H., Storey B.D. and Szeri A.J. Rayleigh-Taylor instability of violently collapsing bubbles Phys. Fluids. 2002. V. 14. K 8. P. 2925-2928. 1994. 1932. 146

84. Lohse D., Brenner M.P., Dupont T.F. et al. Sonoluminescing air bubbles rectify argon Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 1359-1362.

85. Lohse D. and Hilgenfeldt S. Inert gas accumulation in sonoluminescine bubbles J. Phys. Chem. 1997. V. 107. P. 6986-6997.

86. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part

87. Normal modes J. Fluid Mech. 1989. V. 201. P. 525-541.

88. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 2. An initial-value problem J. Fluid Mech. 1989. V. 201. R 543-565.

89. Longuet-Higgins M.S. Resonance in nonlinear bubble oscillations J. Fluid Mech. 1991. V. 224. P. 531-549.

90. Matula T.J. Inertial cavitation and single-bubble sonoluminescence Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1999. V. 357. P. 225-249. 100. Mei C.C. and Zhou X. Parametric resonance of a spherical bubble J. Fluid Mech. 1991. V. 229. P. 29-50.

91. Moss W.C., Clarke D.B., Young D.A. Calculated Pulse Widths and Spectra of a Single Sonoluminescencing bubble Science. 1997. V. 276. P. 1398-1401.

92. Moss W.C, Clarke D.B., White J.W. et al. Hydrodynamic simulations of bubble collapse and picosecond somoluminescence Phys. Fluids. 1994. V. 6. J{ 9. P. 2979-2985. 147

93. Nigmatulin R.L et al. Mathematical modeling of a single bubble and multi bubble dynamics in a liquid Int. Conf. On Multiphase Systems, Ufa, Russia. 2000. P. 294-301.

94. Nigmatulin R.L, Akhatov I.Sh., Vakhitova N.K. On the theory of supercompression and sonoluminescence of a gas bubble in a liquid-filled flask Proceed. ISMF

96. Nigmatulin R.L, Akhatov LSh., Vakhitova N.K. et al. Hydrodynamics, acoustics and transport in sonoluminescence phenomena Sonochemistry and Sonoluminescence. Kluver Academic Publishers. 1999. P. 127-138.

97. Nigmatulin R.L, Akhatov LSh., Vakhitova N.K. et al. On the forced oscillations of a small gas bubble in a spherical liquid-filled flask J. Fluid Mech. 2000. V. 414. P. 47-73.

98. Noltingk B.E. and Neppiras E.A. Cavitation produced by ultrasonics Proc. Phys. Soc. London Sec. 1950. V. 63. B. R674-685.

99. Plesset M.S. On the stability of fluid flows with spherical symmetry J. Appl. Phys. 1954. V. 25. 1. P. 96-98.

100. Plesset M.S. The dynamics of cavitation bubbles J. Appl. Mechanics. 1949, P. 277-282.

101. Plesset M.S. and Mitehell T.P. On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a liquid Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. Я 4. P. 419-430.

102. Plesset M.S. and Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation Ann. Rev. Fluid Mech. 1977. V. 9. P. 145-185. 148

103. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed sphericalflows// Quart. Appl. Math. 1977. V. 34. P. 339-352.

104. Prosperetti A. Thermal effects and damping mechanisms in the forced radial oscillations of gas bubbles in liquids JASA. 1. P. 17-27.

105. Prosperetti A. Free oscillations of drops and bubbles: the initial-value problem J. Fluid Mech. 1980. V. 100. J 2. P. 333-347. V

106. Prosperetti A. and Hao Y. Modeling of spherical gas bubble oscillations and sonoluminescence Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1999. V. 357. P. 203-223.

107. Prosperetti A. and Lezzi A. Bubble dynamics in a compressible liquid. Part

108. First order theory J. Fluid Mech. 1986. V. 168. P. 457-478.

109. Putterman S.J. and Weninger K.P. Sonoluminescence: How Bubbles Turn Sound into Light//Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. V. 32. P. 445-476.

110. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid on the collapse of a spherical cavity Phylos. Mag. 1917. Vol.34. N200. P.94-97. 121. Ree F.H. Eqation of State of Water LLNL Report UCRL-52190. 1976. Щ

111. Roberts P.H., Wu C.C. The decay of bubble oscillations Phys. Fluids. 1998. V. 10. P. 3227-3229.

112. Seife С "Bubble fusion"paper generates a tempest in a beaker Science. 2002. V. 295. P. 1808-1809. 1977. V. 61. 149

113. Srivasan S., Tannehill J.C., Weilmuenster K.J. Simplified Curve Fits for the Thermodynamic Properties of Equilibrium Air NASA Reference Pubhcation. 1987. V. 1181.

114. Taleyarkhan R.P., West CD., Cho J.S. et al. Evidence for Nuclear Emissions During Acoustic Cavitation Science. 2002. V. 295. P. 18681873.

115. Taylor G. The instability of liquid surfaces when accelerated is perpendicular to their planes Proc. Roy. Soc. 1950. V. 201. A. P. 192196.

116. Trilling L. The collapse and rebound of a gas bubble J. Appl. Phys. 1952. Vol. 23. Я 1. P. 14-17.

117. Tsamopoulos J.A., Brown R.A. Nonlinear oscillations of inviscid drops and bubbles J. Fluid Mech. 1983. V. 127. P. 519-537.

118. Vuong V.Q., Szeri A.T. Sonoluminescence and diffusive transport Physics of Fluids. 1996. V. 8. Я 9. P. 2354-2364.

119. Vuong V.Q., Szeri A.T., Уомп Р.Л. Shock formation within sonoluminescence bubbles//Physics of Fluids. 1999. V. 11. J 1. P. 10-17. V

120. Williams J.E.F., Guo Y.P. On resonant nonlinear bubble oscillations J. Fluid Mech. 1991. V. 224. P. 507-529. 133. Wu C.C, Roberts P.H. Shock wave propagation in a sonoluminescencing gas bubble Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3424-3427. 134. Wu C.C and Roberts P.H. On rectified diffusion and sonoluminescence Theor. Comput. Fluid Dynamics. 1998. V. 10. P. 357-372. 150

121. Zardi D. and Seminara G. Chaotic mode competition in the shape oscillations of pulsating bubbles J. Fluid Mech. 1995. V. 286. P. 257276. 151