Влияние вязкости жидкости на эволюцию малых возмущений сферической формы газового пузырька тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Топорков Дмитрий Юрьевич

ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ жидкости НА ЭВОЛЮЦИЮ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА

специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень - 2 0 0 б

Работа выполнена в лаборатории вычислительной динамики сплошной среды Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических

Аганин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

профессор

Мазо Александр Бенцианович, г. Казань

доктор физико-математических Родионов Сергей Павлович, г. Тюмень

Ведущая организация: Институт механики

Уфимского научного центра РАН, Г- Уфа.

Защита состоится," 15 " ноября 2006 года в 15 часов на заседании диссертациоиного совета ДМ 212.274.09 в Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, д. 15А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан " 12." октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

наук

наук,

наук

Татосов А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Жидкости, испытывающие значительные перепады давления, широко применяются в различных отраслях народного хозяйства: энергетике, химии, медицине, трубопроводном транспорте и др. Обычно в жидкостях всегда имеется большое количество пузырьков. При наличии перепада давления в жидкости пузырьки претерпевают расширения-сжатия. В этих условиях давление, температура й плотность газа в полости пузырьков при сжатии, а вместе с этим и свойства содержащих пузырьки жидкостей, в значительной степени зависят от формы пузырьков. Если в процессе сильного сжатия пузырька форма его поверхности остается близкой к сферической, то внутри пузырька могут наблюдаться химические реакции, диссоциация и ионизация газа. Если же сжатие пузырьков будет несферическим, то это может приводить к таким эффектам, как образование в жидкости сверхзвуковых струек, дроблению пузырьков на более мелкие образования и т.д.

При небольших размерах пузырька эволюция формы его поверхности сильно зависит от вязкости жидкости. При этом по мере уменьшения радиуса пузырька влияние вязкости возрастает. К настоящему времени динамика несферических пузырьков изучалась, в основном, с применением упрощенных способов учета вязкости жидкости. Это значительно упрощает математическую постановку и анализ рассматриваемых задач. Вместе с тем, внесение упрощений может приводить и к существенному искажению представлений об изучаемом явлении. Так, экспоненциальный закон свободного затухания искажения сферичности пузырька в вязкой жидкости со временем сменяется степенным, в то время как приближенные способы предсказывают лишь затухание по экспоненте. В силу вышесказанного изучение влияния вязкости жидкости на несферические колебания пузырька с применением уточненных способов ее учета является актуальным.

Цель работы. Работа направлена на исследование влияния вязкости жидкости на эволюцию малого искажения сферической формы пузырька при его больших расширениях-сжатиях.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана эффективная методика расчета влияния вязкости жидкости на изменение малых искажений сферической формы пузырька в рамках модели с учетом нестационарной диффузии завихренности жидкости.

2. Исследованы особенности влияния вязкости жидкости при свободном затухании малых искажений сферической формы пузырька в широком диапазоне изменения вязкости и длины волны возмущения сферической формы пузырька. Предложен новый приближенный способ учета вязкости, удовлетворительно описывающий затухание искажений в более широкой области изменения физических параметров, чем известные приближенные способы.

3. Исследовано влияние нестационарного характера диффузии завихренности жидкости на изменение искажения сферической формы пузырька на режиме его периодических расширений-сжатий. Выявлены новые режимы эволюции искажения, обусловленные вихревым движением жидкости.

4. Исследована эволюция малых искажений сферической формы кави-тационного пузырька при его однократном сильном расширении-сжатии в дейтерированном ацетоне. При этом использована новая математическая модель описания несферического движения поверхности пузырька. Получены оценки максимальных искажений сферической формы парового пузырька к моменту его экстремального сжатия. Установлена их зависимость от вязкости жидкости.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов работы обеспечивается корректным применением уравнений динамики пузырька в вязкой жидкости, тщательным тестированием методики расчета путем сравнения с известными асимптотическими решениями, с известными результатами расчетов и экспериментальными данными других авторов.

Практическая ценность. Разработанная эффективная методика расчета может применяться для изучении динамики несферических газовых

пузырьков в вязкой жидкости. Полученные результаты могут быть использованы для оценки зависимости свойств пузырьковых жидкостей от вязкости жидкости. Их можно применять при анализе ограничений, накладываемых устойчивостью сферической формы пузырьков на возможности достижения экстремального сжатия вещества с помощью пузырькового механизма.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, научных школах и семинарах: 1) на 16 и 17 сессиях Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002, 2004); 2) на Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов под рук. академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2002,2004); 3) на семинаре в Институте механики и математики им. Чеботарева под руководством профессора A.B. Ко-стерина, (Казань, 2002); 4) на Всероссийском совещании по сверхсжатию пузырька под руководством академика Р.И. Нигматулина (Уфа, 2002); 5) на итоговых конференциях Института механики и машиностроения КазНЦ РАН (Казань, за 2003, 2004, 2005); 6) на V Международной научной школе-семинаре «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (Украина, г. Николаев, 2003); 7) на Международной летней научной школе «Гидродинамика высоких скоростей» (Чебоксары, 2004).

Результаты диссертации опубликованы в 12 статьях и 5 тезисах. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 134 наименований. Работа изложена на 130 листах, включая 33 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении отмечена практическая ценность и актуальность задач, рассматриваемых в диссертации. Дан краткий обзор работ, посвященных сферической и несферической динамике газовых и паровых пузырьков в жидкости. Определены цели работы, сформулирована ее научная новиз-

на. Приведена аннотация разделов диссертации.

В первой главе излагаются используемые во всех последующих главах работы математическая модель и методика расчета влияния вязкости жидкости на изменение несферической составляющей движения межфазной поверхности пузырька при малых искажениях его сферической формы.

Уравнение поверхности пузырька в сферической системе координат г, в, представляется следующим образом

то

р (г, 9, <р, I) - г - п (*) - £ £ (ЦПЦ)УР (9, <р) = 0.

¿=2 п=-1

Здесь f - время, - радиус сферической составляющей формы пузырька (радиус пузырька), У™ - сферическая гармоника степени г порядка п. Параметр а»п(£) характеризует отклонение поверхности от сферы г = Я(£) в виде У*. Полагается, что искажение сферичности £{п(¿) = мало при всех г, п. С учетом этого движение жидкости и газа представляется в виде суперпозиции сферической (радиальной) составляющей и ее малого несферического возмущения. Индекс п не влияет на характер изменения а*п и поэтому в дальнейшем опускается.

Движение жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса в предположении несжимаемости жидкости и отсутствия массовых сил с соответствующими динамическими и кинематическим граничным условиями. Из этих уравнений и условий с учетом малости искажения сферической формы выводятся следующие уравнения эволюции малого возмущения сферической формы пузырька

(1 + д)ё» +

з| + 2(г + 1)(г + 2)-^

+(*" 1)

г (г +1) Я

(? — 1) ^ + (г + 1) (г + 2)

, 2^(2*+ 1) ' Я + я?-* а<+ ИР{

Аи (г + 1) К

В?

(1)

= 0,

л я -1

9м + ¿Я2 + „ (Щ- <Ь„) . О, (2)

«) = т^ |(< + 2)а{ - (г - + (2г + Х)/^"1^ |, (3)

Здесь рд - средняя по объему пузырька плотность газа, и, р/о - вязкость и невозмущенная плотность жидкости, а - поверхностное натяжение, - функция, характеризующая поле завихренности жидкости, г = оо -внешняя граница жидкости. - -

Учет влияния вязкости жидкости согласно уравнениям (1)-(3) далее называется точным,

В работе предлагается новая методика решения уравнений (1)-(3). В данной методике применяется замена переменных £ = Л/г, т — в результате чего пространственная область интегрирования Н (¿) < г < оо уравнения (2) преобразуется в интервал 0 < £ < 1. Этот интервал разбивается на N равных отрезков длиной Д£ = Входящие в (1) интегралы вычисляются по формуле трапеций. Частные производные в уравнении (2) аппроксимируются центральными разностями в узлах к ~ 1,.ЛЛ В результате такой аппроксимации для отыскания значений сеточной функции к = 1, ЛГ получается N обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями в узлах £о и &\г+ь Если для описания изменения радиуса пузырька используется обыкновенное дифференциальное уравнение Рэлея-Плессета, то указанная система ЛГ обыкновенных дифференциальных уравнений относительно С^^к совместно с уравнением (1) и уравнением Рэлея-Плессета решается методом Рунге-Кутта 8-го порядка точности.

Для оценки эффективности предлагаемой методики расчета и достоверности получаемых результатов выполнено сравнение с результатами расчетов тестовых и модельных задач (свободное затухание начального искажения, эволюция искажения сферической формы пузырь-

к& при периодических колебаниях давления жидкости) и экспериментальными данными (относительно границы области устойчивости сферической формы пузырька при его периодических радиальных колебаниях) других авторов. Установлено, что методика расчета обладает высокой эффективностью и дает результаты, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными.

Во второй главе исследуется эффект вязкости жидкости при свободном затухании малого начального искажения сферической формы газового пузырька (радиус пузырька не меняется). Изучается зависимость этого эффекта от величины вязкости жидкости, равновесного радиуса пузырька и номера сферической гармоники, определяющей искажение. При этом наряду с точным способом учета вязкости (1)-(3) применяются и некоторые приближенные, не учитывающие нестационарный характер диффузии завихренности.

Уравнение для е,- при приближенном учете вязкости можно записать в следующем виде

< + 2(|-Ы)(г-|-2)Эга1 + а)^ + (г + 1)2(г + 2)2£« = 0. (4)

Здесь = (г + 1) (г + 2) и/(и>{Н2) - безразмерный параметр, характеризующий влияние вязкости, штрих означает производную по безразмерному времени т = <^(г+1)-1(г+2)-1, где = (г2 — 1) (г + 2) ст/(р/ой3). Приближенные способы различаются выражением для С*. Используются три известных способа и один новый. Среди известных применяются: способ 1 - без учета завихренности жидкости вне поверхности пузырька, что имеет место при О (С; = ¿/(г + 1)); способ 2-е учетом завихренности в квазистатическом приближении, что имеет место при -V оо (С» = —Зг (г + I)-1 (2г + I)-1); способ 3 - в предположении, что суммарное влияние завихренности равно нулю, что имеет место при €¿1 (Я, <) + 2 (2г + 1) (С* = 0). В новом способе 4 при малых Й,-используется решение задачи о затухании плоских волн в вязкой несжимаемой жидкости, а при больших - квазистатическое решение уравнения

о

lg|e2/e2i

-10

-5

0

Рис. 1, Изменение lgl^j/^l в случае = 0-096 при точном (жирная кривая без номера) и приближенных (номер кривой соответствует номеру способа) способах учета вязкости. Сплошными кривыми способов 1-3 и пунктирной способа 4 представлены соответствующие им колебания, а штриховыми - изменение их амплитуды.

(2) в случае R = const

Легко видеть, что при стремлении к нулю и бесконечности способ 4 стремится к способу 1 и 2 соответственно.

Рис. 1 характеризует затухание искажения сферической формы пузырька при малых значениях Sfoi т.е. при слабом влиянии вязкости (Ji2 — 0.096, чему соответствуют, например, а = 0.073 Н/м, R — 4.5 • Ю-6 м, р/о = 103 кг/м3, v = 0.5 -10~6 м2/с). При точном учете вязкости искажение S2 до т еа 4 колеблется с мало меняющимся периодом и с амплитудой, уменьшающейся по закону, близкому к экспоненциальному. После т вз 4 из-за все возрастающего влияния нестационарной диффузии завихренности жидкости искажение начинает совершать колебания относительно выражено (по сравнению с амплитудой колебаний) несферической формы. При этом колебания поверхности происходят сначала (4 < т < 5.8) с переходом через сферическое состояние, а потом (5.8 < т < 8) без него. После t « 8 искажение ег уменьшается без колебаний по степенному

а =

г [1 - 2 (г + 1) 5} (i + 1) (1 + 2S) *

-5 -

0.3 0.6 10 15

Рис. 2. Изменение ^^Аа! ПРИ = 19.1. Обозначения те же, что и на рис. 1.

Рис. 3. Зависимости С2 от 3?2 при точном (сплошная кривая) и приближенном (способ 4, пунктирная кривая) способах учета вязкости. Для способов 1-3 соответствующие значения С% указаны точками.

закону т~('+1/2) = т~5/2.

Рис. 2 характеризует затухание искажения сферичности пузырька при больших значениях 3?2) т.е. при сильном влиянии вязкости (Э^ = 19.1, чему соответствуют, например, <т = 0.073 Н/м, Я = 4.5 • 10~6 м, р/о = Ю3 кг/м3, V = 10~4 м2/с). При точном учете вязкости искажение ^ до т и 20 уменьшается по закону, близкому к экспоненциальному. После г яй 20 форма пузырька из-за все возрастающего влияния нестационарной диффузии завихренности переходит через сферическое состояние, после чего приближается к нему с искажением, уменьшающимся по степенному закону.

Как видно, лучшее приближение точного решения на участке экспоненциального затухания колебаний сг в первом случае и на участке экспоненциального убывания еч во втором дает способ 4.

Проведено исследование работоспособности приближенных способов учета вязкости в широком диапазоне изменения с использованием следующих критериев. При малых считается, что приближенный способ описывает влияние вязкости достаточно хорошо, если скорости убывания

амплитуды затухающих колебаний ег в точном и приближенном решениях остаются близкими до уменьшения амплитуды колебаний на два порядка. При больших 3?2 считается, что приближенный способ описывает влияние вязкости достаточно хорошо, если он удовлетворительно аппроксимирует уменьшение искажения до понижения его величины на два порядка.

На рис. 3 представлен ряд зависимостей коэффициента Сг от параметра Сплошная кривая представляет собой наилучшее (согласно указанным выше критериям) приближение точного решения решением уравнения (4) путем подбора в нем коэффициента В интервале 0.11 < 9^2 < 2.1, где удовлетворительного приближения с применением этих критериев достигнуть не удается (из-за влияния нестационарной диффузии завихренности) ни при каких Сг, участок сплошной кривой отсутствует. Как видно, среди способов 1-4 более удовлетворительное приближение в широкой области изменения дает способ 4.

Аналогичные зависимости коэффициента С* от полученные для г — 35 и 350, показали, что и при больших значениях г лучшее приближение в широкой области изменения дает способ 4.

В третьей главе исследуется влияние вязкости жидкости на изменение искажения сферической формы газового пузырька в ходе его колебаний под действием гармонически изменяющегося давления в жидкости: Роо = ро — Ар Для расчета эволюции радиуса пузырька приме-

няется модель Рэлея-Плессета с учетом сжимаемости жидкости вдали от пузырька. Газ полагается адиабатическим. Рассматривается случай пузырька воздуха в воде при комнатных условиях на режимах, близких к однопузырьковой сонолюминесценции: pfо = 103 кг/м3, ро = 1 бар, 10"6 < V < 1.5 -10~6 м2/с, а = 0.073 Н/м, ш/2тг - 26.4 кГц, 2 < До < 12 мкм, 0.95 < Ар < 1.3 бар (на режиме сонолюминесценции 1.3 < Др < 1.7 бар).

Рис. 4, 5 характеризуют изменение искажения сферичности пузырька при приближенном учете влияния вязкости жидкости. При этом рис. 4 иллюстрирует зависимость от вязкости жидкости, а рис. 5 - от способа

ее приближенного описания. Результаты рис. 4 получены в предположении. что суммарное влияние вихревого движения на изменение искажения равно нулю. Временные зависимости II на этом рисунке графически совпадают и представлены штриховой кривой.

. При приближенном описании вязкости характер изменения колебаний искажения как при разных значениях коэффициента вязкости, так и при разных приближенных способах учета вязкости оказывается подобным - на фоне затухающих колебаний радиуса (на последних отскоках) и на последующей фазе его монотонного роста они затухают, а в ходе сильного сжатия и первых наиболее сильных отскоков - возрастают. Искажение от периода к периоду изменяется по закону, близкому к экспоненциальному. При устойчивых сферических колебаниях пузырька оно убывает, а при неустойчивых - возрастает.

R. мкм

R, мкм

20 t,MKC 40

П71, мкс

Рис. 4. Временные зависимости R (штриховая кривая) и lg|e2/f2l ПРИ и — 1.5 • 10~6ма/с (сплошная кривая) и v = 10~6м2/с (пунктирная кривая) и осевые сечения пузырька при его максимальном расширении, в начале и конце периода колебаний paj при Rq ~ 5 мкм, ре*, = 1,2 бар.

Рис. 5. Временные зависимости К (нижняя линия) и 1ё|еа/£з1 в предположении, что суммарное влияние завихренности равно нулю (верхняя линия) и с учетом завихренности только на поверхности пузырька (средняя линия) при Ло = 4.5 мкм, — 1.2 бар.

Рис. 6 иллюстрирует более широкое разнообразие характерных режимов эволюции искажения при точном способе учета вязкости. Экспоненциальное изменение искажения на всем временном интервале, что всегда наблюдается при приближенных способах учета вязкости, имеет

О 200 400 МКС 600

Рис. 6. Временные зависимости при точном описании вязкости в случае

Ар = 1,17 бар. Показаны различные режимы колебаний; а - затухание колебаний по степенному закону; е - экспоненциальный рост; 4 (М-1) - экспоненциальное затухание; с, <1 (М-2) - «скачущий» режим; Ь, с, й (Л/-3) - «ускоренный диффузионный» режим.

место здесь только при неустойчивых колебаниях (рис. бе). Что касается устойчивых колебаний, то при достаточно малых значениях Ар и Яо (например, для Ар = 1.17 бар при Во < 3.5 мкм) искажение от периода к периоду уменьшается по степенному закону (рис. 6а). При значениях Др и До близких к границе области устойчивых колебаний могут наблюдаться экспоненциальное (М-1 рис. 6^), «скачущее» (М-2 рис. 6с, д.) и «ускоренное диффузионное» (М-3 рис. 66, с, ¿) затухание колебаний искажения и переходы из одного режима в другой.

Под влиянием нестационарного характера диффузии завихренности может происходить увеличение искажения на фазе относительно медленного расширения пузырька до его максимальных размеров (рис. 6а), При приближенных способах учета вязкости этого не наблюдается (рис. 4, 5).

В четвертой главе рассмотрено сверхбольшое однократное расширение-сжатие парового пузырька в дейтерированном ацетоне. Сферическая составляющая движения пузырька на стадии его расширения и низкоскоростной стадии сжатия описывается уравнением Рэлея-Плессета, модифицированным для учета межфазных процессов. Учитываются процессы нестационарной теплопроводности в паре и в жидкости и неравновесных испарения-конденсации на межфазной поверхности. На^высо-коскоростной стадии сжатия сферическая составляющая движения как жидкости, так и пара описывается уравнениями гидродинамики

(рг2)( + (рг2и)г - О, (рг2и)1+ (рг2 Н- рг2и2)г — О, О2) г+[(р+Е) г2и] г=(кг2Тг)г, где и - радиальная компонента вектора скорости, р - давление, Е — полная энергия, отнесенная к единице объема, к - коэффициент теплопроводности, Т - температура. Уравнения состояния пара и жидкости и функции физических параметров этих сред <т, коэффициенты теплопроводности пара и жидкости - к3 и к/, давление насыщения пара Рз, теплота парообразования () от температуры Т принимаются в виде аппроксимаций экспериментальных данных.

Давление в жидкости изменяется г Ро — + <ро), где ш/2тг = 19.3 к]

колебаний давления в жидкости <ро в мс наименьшему значению давления рж и Описанная в первой главе методик; ний пузырька здесь немного модифиц] радиальная составляющая движения я ция искажения при ? ^ 0 в (1), т.е. с плотности пара и неоднородности его р грирования по времени понижается до В начальный момент времени физи дейтерированному ацетону при темпер

/?_ МКМ

бею

О 10 20 '»■мксзо

Рис. 7. Эволюция радиуса Я (сплошная кривая) и давления р«, (пунктирная кривая) при Ло = 0, 30 м/с. Во вставке - эволюция Я на начальном участке.

1

0 20 40 Г> МКЛ160

Рис. 8. Пространственные распределения давления в финальной стадии сжатия: 7 -момент экстремального сжатия пара. Точками показана граница пузырька.

0 гармоническому закону: рж —

Ар = 15 бар, ро = 1 бар. Фаза мент времени £ = 0 соответствует равна четверти периода.

1 расчета несферических колеба-[руется. Сначала рассчитывается идкости и пара, а затем - эволю-приближенным учетом влияния авления. Порядок точности инте-2-го.

«ские параметры соответствуют атуре 273 К.

р,6ар

4

На рис. 7 показаны зависимости Роо(^) и в ходе расширения-сжатия пузырька. Отмечены значения радиуса пузырька в моменты его максимального расширения (Ящ « 457 мкм) и в момент экстремального сжатия пара в пузырьке (Нс ~ 14 мкм). Влияние начальной скорости расширения пузырька проявляется только в самом начале фазы расширения, и в целом на изменение радиуса Я оказывается несуществсн-

103

"" 102 10 1

ш1 щг

ку4 ю-1 я./яя 1

Рис. 9. Зависимости относительной амплитуды искажений в момент экстремального сжатия пара от относительного радиуса Л./Лт (стадии расширения), при

котором возникают искажения (жирная кривая - огибающая для г > 2).

ным (кривые ЩЬ) для разных Ко графически совпадают).

На рис. 8 показано формирование ударной волны в пузырьке и ее фокусировка в его центре в финальной части стадии сжатия. Уровень искажения сферической формы пузырька тем больше, чем сильнее сжатие пузырька. Поэтому является необходимым точный расчет стадии сжатия пузырька до момента экстремального сжатия пара (рис. 8, кривая 7). Эволюция искажения после этого момента на степень экстремального сжатия не влияет, а потому является несущественной, хотя пузырек продолжает сжиматься до тех пор, пока расходящаяся ударная волна не дойдет до его поверхности и не развернет ее движение.

На рис. 9 для ряда значений г представлены зависимости амплитуды относительного искажения сферической формы пузырька в момент экстремального сжатия пара |£*)С/е£*| от радиуса пузырька Я,, при котором возникает искажение Приведена также и огибающая таких зависимостей для г > 2. Огибающая показывает максимально возможные значения Если возмущения (£¿0 возникают в стадии роста пузырька при радиусах много меньше максимального (Я./Я™ <Ю~2), то к моменту экстремального сжатия пара амплитуда возмущений не превышает

начальные значения < 1)- При этом в случае Л* и Яст макси-

мально возможные значения |е»,с/ег*| оказываются меньше, чем ~ 10~3. Наибольший рост амплитуды возмущений получается тогда, когда эти возмущения возникают при размерах пузырька, близких к максимальным (Я, яг Лщ)-

При малых Л^/Ят сферическая форма пузырька оказывается более устойчивой к возмущениям по высшим гармоникам. С увеличением И*/Нт такое соотношение сохраняется лишь для гармоник с номерами выше некоторого критического значения. В частности, при II*/Нт = 1 таким критическим значением является г ~ 40: при г < 40 высшие гармоники оказываются менее устойчивыми. При этом амплитуда возникающих в случае Я» « Нт возмущений при г — 2 и 40 нарастает к концу сжатия соответственно в ~ 100 и ~ 300 раз.

Без учета влияния плотности пара и неоднородности его давления, т.е. при 5 = 0 в уравнении (1), максимальные значения амплитуды искажения в момент экстремального сжатия пара оказываются несколько больше, чем при ^ 0. В частности, при Я* « Дщ они оказывается больше в рз 2.5 раза. Но при любых г и Я» рост амплитуды начальных искажений к моменту экстремального сжатия пара не превышает ~ 103 раз как при учете плотности пара и неоднородности его давления, так и без него.

В заключении приведены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана эффективная методика расчета влияния вязкости жидкости на эволюцию малых возмущений сферической формы газового пузырька в рамках модели Просперетти, учитывающей нестационарную диффузию завихренности жидкости.

2. Исследованы особенности влияния вязкости жидкости при свободном затухании малых возмущений сферической формы газового пузырька в широком диапазоне изменения вязкости и длины волны возмуще-

ния. Уточнены области применимости известных приближенных способов учета вязкости, не учитывающих нестационарный характер диффузии завихренности жидкости. Предложен новый подобный способ, удовлетворительно описывающий затухание возмущений сферической формы пузырька в более широкой области изменения физических параметров.

. 3, Исследовано влияние нестационарного характера диффузии завихренности жидкости на изменение искажения сферической формы газового пузырька при его периодических расширениях-сжатиях. Установлено, что в зависимости от специфики влияния завихренности затухание колебаний искажения может быть не только экспоненциальным, как предсказывают модели без учета нестационарного характера диффузии завихренности, но и степенным, «скачущим», «ускоренно диффузионным» ■ и с переходом одного из этих режимов в другой. Показано, что нестационарная диффузия завихренности может вызывать увеличение искажения на фазе относительно медленного роста пузырька.

4. Исследована эволюция малых искажений сферической формы парового пузырька в ходе его однократного сверхсильного расширения-сжатия в дей тер и рован н ом ацетоне. При этом впервые использована модель, в которой сферическая составляющая движения межфазной границы описывается с применением полной системы уравнений гидродинамики как для жидкости, так и для пара. Эволюция малого несферического возмущения описывается уравнениями Просперетти, преобразованными для учета влияния плотности пара и неоднородности его давления.

5. Установлено, что наибольшим запасом устойчивости сферическая форма пузырька обладает относительно возмущений, возникающих при малых размерах пузырька, что является результатом совместного влияния поверхностного натяжения и вязкости жидкости, С уменьшением длины волны возмущения запас устойчивости значительно повышается из-за вырастающего демпфирующего влияния вязкости.

6. Установлено, что наименьшая устойчивость сферической формы пузырька проявляется к возмущениям, возникающим в окрестности пе-

рехода от расширения к сжатию. Их амплитуда может увеличиваться до нескольких сотен раз. Уменьшение длины волны таких возмущений до некоторого критического значения вызывает понижение устойчивости сферической формы пузырька. Затем устойчивость возрастает, что обеспечивается демпфирующим влиянием вязкости.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Нигматулин PH., Аганин A.A., Илъгалюв М.А., Топорков Д.Ю. Искажение сферичности парового пузырька в дейтерированиом ацетоне // ДАН. 2006. Т. 408. № 6. С. 767-771.

2. Аганин A.A., Илъгамов М.А., Топорков Д.Ю. Влияние вязкости жидкости на затухание малых искажений сферической формы газового пузырька // ПМТФ. 2006. Т. 47. № 2. С. 30-39.

3. Нигматулин P.M., Аганин A.A., Илъгамов М.А., Топорков Д.Ю. Эволюция искажения сферичности парового пузырька при его сверхсильном расширении-сжатии в дейтерированиом ацетоне // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Казань: Изд-во К ГУ, 2006, С. 7282. " ;

4. Топорков Д.Ю. Расчет изменения искажения сферической формы парового пузырька при его сверхсильном однократном расширении-сжатии в дейтерированиом ацетоне // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы шестого всероссийского семинара. Казань: КГУ, 2005. С. 220-223.

5. Аганин A.A., Топорков Д.Ю. Нелинейная динамика несферического газового пузырька при периодическом изменении давления окружающей жидкости // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. науч. сборник. Саратов: Изд-во СГТУ, 2004. С. 107-112.

6. Aganin A.A./ Toporkov D. Yu, Liquid viscosity effect in dynamics of a nonspherical bubble // Proceedings of second international summer scientific school "High speed hydrodynamics". Cheboksary: Cheboksary institute of the Moscow State Open University, 2004. P. 197-202.

7, Топорков Д.Ю. Влияние вязкости жидкости в динамике несферического парового пузырька // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Труды IV школы-семинара молодых ученых и'специалистов, Казань: КГУ, 2004. С. 230-238.

8. Аганин A.A., Топорков Д.Ю. Изменение искажения сферической формы парового пузырька при большом расширении-сжатии // Труды 17-сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Казань: Издательство казанского математического общества, 2004. Т.27. С. 15-18.

; 9:. Топорков Д.Ю. Динамика газового пузырька при периодическом изменении: давления окружающей жидкости // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. С. 179-215. ,10. Аганин- A.A., Малахов В.Г., Топорков Д.Ю. Методика решения задач динамики газового пузырька в вязкой жидкости при малых искажениях его сферической формы // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: КГУ, 2003. С. 23-41.

И.Илъгамов М.А., Аганин A.A., Косолапова Л.А., Малахов В.Г., Топорков Д.Ю» Модели динамики несферического пузырька с учетом вязкости жидкости // Труды 16-сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Казань: Издательство казанского математического общества, 2002. Т.16. С. 192-201.

Отпечатано « ООО «Печатный деор». ■<>: - ч • v ¿^ Казань, ул. Журналистов, 1/16, оф.267

, Тел: 272-74-59, 541-76-41, 541-76-51.

* ' ЛицензияПД№7-0215 от 01.11.2001 г.

:-•>.. • Выдана Поеолмесмим межрегиональным

территориальным управлением А1ПТР РФ.

TOI -'3 .¿-Ü'!\ Подписано в печать 09.10.2006г. Усл. пл 1,25.

Заказ № К-5427. Тираж 10Ô экз. Формат 60x841/16. . г г ■ ; Бумага офсетная. Печать -ршография.

I

Используемые обозначения.

Введение.

I. Математическая модель и методика расчета влияния вязкости жидкости в динамике несферического пузырька

§1. Математическая модель динамики газового пузырька с малым искажением сферической формы в вязкой несжимаемой жидкости.

§2. Методика расчета. Решение тестовых и модельных задач

§3. Заключение по главе 1.

II. Влияние вязкости жидкости при свободном затухании начального искажения газового пузырька

§4. Постановка задачи. Приближенные способы учета влияния вязкости.

§5. Влияние вязкости в широкой области изменения ее величины.

Оценка приближенных способов.

Жидкости, испытывающие значительные перепады давления, широко применяются в самых различных отраслях народного хозяйства: энергетике, химии, медицине, трубопроводном транспорте и др. Обычно в жидкостях всегда имеется большое количество пузырьков. Наличие пузырьков, которые вследствие перепада давления в жидкости могут претерпевать расширения-сжатия, может существенно влиять на свойства жидкостей. Давление, температура и плотность газа в полости пузырьков при сжатии, а вместе с этим и свойства содержащих пузырьки жидкостей, в значительной степени зависят от формы пузырьков. А именно, при сферическом сжатии значения указанных параметров максимальны, а по мере увеличения отклонения от сферичности будут уменьшаться. С другой стороны при радиальных колебаниях пузырька с большой амплитудой несферическое сжатие пузырьков вблизи твердых стенок может вызывать образование сверхзвуковых струек, которые при определенных условиях приводят к эрозии поверхности стенки. Все это представляет интерес не только с механической точки зрения, но и для физики, химии, биологии, медицины.

Примером явления, при котором наблюдаются химические реакции, диссоциация и ионизация газа, служит периодическая сонолюминесценция отдельного пузырька, под которой понимается периодическое испускание коротких световых импульсов маленьким газовым пузырьком, совершающим колебания в пучности ультразвуковой стоячей волны давления. Особенного внимания заслуживает активно обсуждаемое относительно недавно экспериментально открытое академиком Р.И.Нигматулиным и его американскими коллегами явление ядерного излучения при акустической кавитации (выхода нейтронов и ядер трития при акустическом возбуждении кластера паровых пузырьков в дейтерированном ацетоне, 2002г.). Первые результаты исследований явления ядерного излучения при акустической кавитации позволяют предположить, что в момент максимального сжатия парового пузырька внутри него возникают состояния вещества с температурой до миллиона градусов и выше. Возникли идеи использовать это явление в качестве механизма получения ядерной энергии. Для того чтобы этот механизм заработал как неограниченный источник дешевой энергии, необходимо решить, по крайней мере, одну принципиальную проблему, которая состоит в том, как достигнуть таких степеней сжатия парового пузырька, при которых выход энергии был бы максимальным. Форма межфазной поверхности, близкая к сферической, является одним из необходимых условий экспериментальной реализации режима суперсжатия пузырька, при котором наблюдается явление ядерного излучения при акустической кавитации. Во многих случаях колебания формы пузырька сильно зависят от вязкости жидкости. С уменьшением размеров пузырька ее влияние возрастает. Особенно это проявляется для искажений по высокочастотным гармоникам. Поэтому изучение влияния вязкости жидкости в динамике несферического пузырька является актуальным.

Обзор литературы. До относительно недавнего времени для теоретического исследования радиальных колебаний пузырька газа в жидкости применялись в основном модели типа Рэлея-Ламба-Плесета, в которых разрежение-сжатие газа в пузырьке принимается по всему объему равномерным, а окружающая пузырек жидкость - несжимаемой или слабо сжимаемой.

Впервые исследования динамики пузырька были проведены Яау^Ь'ем [92], который решил задачу сферического схлопывания пустой полости в большом объеме невязкой несжимаемой жидкости при постоянном в ней давлении.

Развил модель Рэлея для учета вязкости, поверхностного натяжения и изменяющегося со временем давления Plesset [75].

ИоШп^к и Ыеррказ [65,73] применили политропический закон для описания изменения давления газа в пузырьке.

Более полный учет вязкости жидкости в уравнении движения пузырька в несжимаемой жидкости был рассмотрен Poritsky [81].

Lauterborn [46] предлагал на уравнение Рэлея-Плессета, в котором газ удовлетворяет политропическому закону и учитывается влияние вязкости, поверхностного натяжения, переменного давления в жидкости, ссылаться как на RPNNP-уравнение. RPNNP обозначает первые буквы имен ученых, внесших вклад в создание конечного вида уравнения: Rayleigh [92], Plesset, [75], Noltingk и Neppiras [65,73], Poritsky [81].

Keller и Miksis [44] преобразовали радиальное уравнение движения для описания вынужденных колебаний пузырька большой амплитуды, включая эффекты акустического излучения пузырька и используя аппроксимацию линейного политропического показателя. Это уравнение было преобразовано Prosperetti и др. [90] для более точного учета внутреннего давления. Упомянутые два подхода, а также подход Flynn'a [34] сравнил с экспериментальными данными Gaitan и др [35]. Все три подхода предполагают, что внутреннее давление остается однородным в пузырьке, и что содержимое пузырька подчиняется закону идеального газа.

Одна из последних моделей типа Рэлея-Плессета предложена в работе Нигматулина и др. [131]. В отличие от других моделей при ее построении окружающая пузырек жидкость разбивается на две зоны. Принимается, что в ближней к пузырьку зоне, которая составляет от 1 до 10 радиусов пузырька, жидкость несжимаема, а в дальней справедливо акустическое приближение. Сшивка зон производится асимптотически через промежуточную бесконечность. Другое отличие этой модели от аналогичных моделей состоит в том, что в ней учитываются не только волны, расходящиеся от пузырька, но и волны, отраженные от внешней поверхности жидкого объема.

Свободные радиальные колебания пузырька впервые изучал Minnaert [60]. Импульс, вызывающий колебания пузырька, предполагался малым, вследствие чего пузырек аппроксимировался линейным осциллятором. Пульсации происходили с хорошо известной резонансной частотой. Исследовано затухание колебаний по причине тепловых и вязкостных потерь. Minnaert [60] впервые вычислил собственную частоту колебаний сферического газового пузырька в жидкости, испытывающего простые гармонические колебания малой амплитуды. Более поздние исследования задачи свободных колебаний пузырька с малой амплитудой можно найти, например, у Chapmen'a и Plesset'a [20].

Затухание колебаний пузырьков на резонансной частоте исследовал также Devin [25]. Devin использовал логарифмический декремент затухания для описания затухания колебаний изменения объема пузырька. Eller [27] распространил эти исследования на случай затухания пузырьков, приводимых в движение на нерезонансных частотах, но только для предельного случая, когда длина волны возбуждающего акустического поля (как в жидкости, так и в газе) много больше, чем радиус пузырька.

Plesset и Prosperetti [80], Apfel [10] и Prosperetti [86,87] сделали обзор исследований затухания колебаний сферических пузырьков. Использование политропического приближения для внутреннего давления в пузырьке, содержащего преимущественно неконденсируемый газ, очевидно, не является корректным при некоторых условиях. Подробное рассмотрение варьирования показателя политропы и тепловых потерь с использованием законов сохранения массы, момента и энергии приведено в работах Plesset'a и Prosperetti [80], Prosperetti [83], Chapmen'a и Plesset'a [21], Devin'a [25], Plesset'a и Hsieh'a [78] и др.

Prosperetti [83] отошел от приближения пространственной однородности в пузырьке. Основываясь на модели Fanelli, Prosperetti и Reali [31,32] вынужденных пульсаций пузырька с малой амплитудой, которая учитывает пространственную неоднородность плотности, давления, скорости, концентрации и температуры как в пузырьке так и вне его, Fanelli, Prosperetti и

Reali [33] дают математическое объяснение для пузырька, содержащего газ и пар, который испытывает линейные колебания формы. Miksis и Ting [59] предоставили систему линейных дифференциальных уравнений для радиальных пульсаций пузырька с учетом поверхностного натяжения, тепловых и вязкостных эффектов в предположении тонкого теплового погранслоя в газе, который при линеаризации сводится к результатам Prosperetti [83].

Исследования нелинейного характера затухания вынужденных колебаний пузырька, в том числе и экспериментальные Crum'a и Prosperetti [22], и их формулировка базировались на определении внутреннего давления в пузырьке согласно работе Prosperetti, Crum'a и Commander'a [90]. Нелинейная модель, первоначально предложенная Нигматулиным и Хабеевым [69], которые производили аппроксимацию пространственно однородного внутреннего давления, оказалась очень эффективной. Ее применение можно найти в работах Flynn'a [34], Нигматулина и Хабеева [70], Нагиева и Хабе-ева [64], Нигматулина, Хабеева и Нагиева [71], Kamath'a и Prosperetti [42], Prosperetti [88].

Испарение-конденсация пара и массовые потоки (в результате диффузии газа в жидкость или из нее) на стенке пузырька могут оказывать существенное влияние на затухание колебаний пузырьков (см, напр., работы Fanelli, Prosperetti и Reali [31,32], Prosperetti [85]).

Lin, Storey и Szeri [49] предложили свой способ приближенного учета пространственной неоднородности поля давления в пузырьке .

Vaughan и Leeman [97] предложили употреблять термин «акустическая кавитация» для обозначения нелинейных колебаний пузырька, среди которых выделяют три вида колебаний: 1) дозвуковая кавитация, при которой скорость поверхности пузырька всегда меньше, чем скорость звука в газе и жидкости; 2) «кавитация газовой фазы», при которой скорость поверхности меньше скорости звука в жидкости, но больше скорости звука в газе; 3) «кавитация жидкой фазы», при которой скорость поверхности пузырька больше скоростей звука и в газе и в жидкости. В монографии Leighton'a [48] приводятся минусы, этой классификации, и не делается вывод об ее превосходстве над другими. Кроме монографии Leighton'a [48] среди обобщающих изданий по динамике пузырька отметим монографию Brennen'a [17].

Сильный импульс исследованиям нелинейных колебаний пузырька газа в жидкости дали экспериментальные открытия в начале 90-х годов явлений однопузырьковой сонолюминесценции Gaitan'oM et al. [35] (устойчивого периодического свечения отдельного газового пузырька в стоячей акустической волне SBSL) и в 2000г. ядерного излучения при акустической кавитации Nigmatulin'biM et al. [95] (выхода нейтронов и ядер трития при акустическом возбуждении кластера пузырьков в дейтерированном ацетоне).

Обсуждение различных физических и механических аспектов явления SBSL можно найти в обзорных работах Barber'a et al. [11], Matula [56]. В частности, было выявлено Gaitan'oM et al. [35], что испускание происходит в строго определенной фазе колебаний звукового давления в стоячей волне. Barber and Putterman [12] измерили длительность световых импульсов 50250 пс. В работах Hilgenfeldt'a and Lohse [39], Moss'a et al. [63], Nigmatulin'a et al. [68], Simonenko et al. [94], Aganin'a and Ilgamov'a [4] приведены результаты поисков способов масштабирования периодической SBSL, то есть способов достижения в пузырьке еще более высоких температур и плотностей вещества. Эти исследования представляют большой интерес для физики высоких плотностей и энергий (Simonenko et al. [94]). В целях масштабирования явления SBSL варьируются жидкость и растворяемый в ней газ, температура и статическое давление жидкости, амплитуда и частота возбуждения, концентрация растворенного в жидкости газа (Crum et al. [24], Matula [56], Ohl et al. [74], Маргулис [126]), в работе Moraga et al. [61] исследуется влияние включения в закон возбуждения высокочастотных гармоник, в работах Аганина и Ильгамова [105], Нигматулина и др. [132] изучаются негармонические законы возбуждения.

Для достижения периодических колебаний пузырька в пучности стоячей волны давления необходимо удовлетворять ряду довольно жестких условий устойчивости (Brenner et al. [18]). Природа неустойчивости может быть различной - диффузионная (Crum and Cordry [23]), параметрическая и Релей-Тейлора (Brenner et al. [19]), химическая (Lohse et al. [54,55], Matula and Crum [58]). Запирание пузырька в пучности давления стоячей волны обусловлено действием первичной силы Бъеркнесса, компенсирующей действие выталкивающей силы Архимеда. Неустойчивость колебаний пузырька может быть вызвана также и изменением величины (или даже направления) силы Бъеркнесса (Akhatov et al. [8], Matula et al. [57]). Walton и Reynolds [99] рассмотрели пульсации пузырьков в стоячей волне давления. В зависимости от размера пузырьков - большего или меньшего резонансного - исследовано движение пузырьков под действием силы Бьеркнесса из области узла давления в ее пучность и обратно. Устойчивыми радиальные колебания пузырька нельзя назвать при хаотических режимах колебания. Режимы, обнаруженные Lauterborn'oM в 1976 [46], в которых не существует обычных устойчивых состояний (периодического решения для движения пузырька) являются фактически хаотическими [47]. Kamath и Prosperetti [42] представили количественные изменения в радиальной динамике пузырька на бифуркационной диаграмме. В зависимости от амплитуды внешнего акустического возбуждения радиальные колебания пузырька могут иметь, фактически, до нескольких периодов, а могут быть хаотическими.

Анализ влияния диффузии газа через границу пузырька был проведен в работе ЕИег'а и Flynn'a [30] при изотермическом приближении граничных условий. Eller [28] развил эту теорию для неизотермических граничных условий и применил ее для адиабатического случая. Eller [26] измерил влияние диффузии газа через межфазную границу на рост пузырьков, запертых в пучности ультразвуковой волны давления с частотой 26.6 кГц при амплитуде изменения давления 0.3 бара. Сила Бьеркнеса удерживала пузырек на месте пока проводились измерения, которые показали изменение радиуса пузырька от 15 мкм до 90 мкм. ЕПег [28] измерил рост радиуса пузырьков от 50 мкм до 200 мкм в акустическом поле с частотой И кГц с той же амплитудой изменения давления 0.3 бар.

Сравнение расчетных и экспериментальных данных касающихся явления ЗВБЬ показывает (Lofstedt et а1. [51]), что в подавляющей части периода модель Рэлея-Ламба-Плессета дает правильное изменения радиуса пузырька во времени, и лишь в финальной стадии имеют место существенные расхождения. Расчеты и ЯоЬе^й'а [101,102] показывают, что на финальной стадии схлопывания пузырька внутри него возникают ударные волны, причем имеет место взаимодействие расходящихся ударных волн с границей между газом и жидкостью. Поэтому для моделирования схлопывания пузырька необходимо применять полную гидродинамическую, модель не только для газа, но и для жидкости. Моделирование динамики пузырька с использованием уравнений газовой динамики для обеих сред было выполнено Моээ'ом et а1. [62,63]. В работах Аганина и Ильгамова [106-108,110], Аганина и др. [111], Aganin'a [1] был реализован переход от простой модели Рэлея-Ламба-Плессета, использование которой является совершенно оправданным практически на всем периоде за исключением финальной стадии схлопывания пузырька, где уже применялась полная гидродинамическая модель. Был изучен механизм образования и эволюции ударных волн в газовом пузырьке.

Изучение динамики пузырька в жидкости на режимах больших расширений-сжатий (АЫ^оу et а1. [7]) и сверхбольших расширений-сжатий, характерных для ядерного излучения при акустической кавитации (Беляев и др. [117]) требует применения полной системы уравнений газовой динамики в жидкости и газе, а также сложных уравнений состояния, которые бы учитывали процессы диссоциации, ионизации газа на фазе сжатия. Численное решение здесь отыскивается методом Годунова (Годунов и др. [122]) с применением подвижной сетки, равномерной в газе и неравномерной в жидкости (размер ячеек в жидкости увеличивается по геометрической прогрессии от поверхности пузырька), как описано в работе Nigmatulin'a et al. [72]. В работе Мельникова и др. [127] рассмотрен процесс сжатия парового пузырька под воздействием мгновенно приложенного давления. Проанализированно влияние начальных параметров на динамику сжатия. Выявлены условия возникновения ударных волн в пузырьке. Исследователи из Университета Purdue ученые Хи и Butt [104] подтвердили возможность ядерного синтеза с .помощью звуковых волн. Этот эксперимент подтвердил результаты группы Taleyarkhan'a et al. [95]. В университете Purdue начата процедура официальной верификации экспериментов профессора Taleyarkhan'a и его группы.

Ранее критики отмечали, что Taleyarkhan [95] использовал внешний источник нейтронов, чтобы инициировать появление пузырьков, что осложняло определение истинного выхода нейтронов, образовавшихся в реакциях слияния ядер. В самом начале 2006-го года появилась информация, что Taleyarkhan с коллегами произвели новый эксперимент, который позволил дать ответ на этот вопрос. На этот раз ученые обошлись без использования внешних источников нейтронов вообще - пузырьки образовывались в среде, состоящей из смеси бензола с урановой солью и жидкого ацетона, в котором нормальные атомы водорода были заменены дейтерием {C^DqO). В процессе спонтанного деления ядер урана образуются альфа-частицы, которые также могут инициировать образование пузырьков. Тем не менее, их легко отличить от нейтронов. Хотя уран также может испускать нейтроны в ходе реакций расщепления, Taleyarkhan утверждает, что они характеризуются иными энергиями, что позволяет без труда отделить эти нейтроны от тех, что выделяются при слиянии двух ядер дейтерия.

Результаты проведенных исследований будут опубликованы в журнале Physical Review Letters в ближайшее время.

Наряду с радиальной динамикой пузырька значительный интерес представляет также эволюция его формы. Уровни физических параметров газа и жидкости при сжатии в значительной степени зависят от формы пузырьков. При сферическом сжатии пузырька значения параметров будут максимальны. Несферическое же сжатие пузырьков вблизи твердых стенок может вызывать образование сверхзвуковых струек, которые могут приводить к разрушению поверхности стенки.

Plesset и Chapman [77] решали численно задачу схлопывания пузырька около стенки в идеальной несжимаемой жидкости. Принималось, что в начальный момент времени пузырек имел сферическую форму. Скорость струи при ударе о стенку получалась порядка 100 м/с, что совершенно недостаточно для разрушения большинства твердых поверхностей. В работе Воиновых [120] сделаны расчеты схлопывания уже изначально деформированного пузырька. Обнаружено, что с ростом плавной начальной деформации скорость струйки может в десятки раз возрастать, что чрезвычайно усиливает ее разрушающую способность.

При анализе динамики несферического пузырька газа в жидкости с относительно небольшими отклонениями геометрии межфазной границы от сферической широко используются математические модели, в которых поверхность пузырька представляется в виде суммы поверхностных сферических гармоник с соответствующими коэффициентами. Эти коэффициенты характеризуют отклонение геометрии поверхности пузырька от сферической по соответствующей гармонике. Они входят в состав неизвестных, по отношению к которым ставится задача. Модуль коэффициента характеризует амплитуду отклонения от сферы, а знак - направленность отклонения в определяемых гармоникой областях поверхности, внутрь сферы при одном знаке и наружу - при другом. Если отклонения геометрии поверхности пузырька от сферической малы, то в терминах указанных коэффициентов обычно используется линейная постановка задачи. При немалых отклонениях задача по отношению к ним ставится как нелинейная.

В рамках подхода, основанного на представлении поверхности пузырька в виде суммы поверхностных сферических гармоник с соответствующими коэффициентами, Lamb [45] получил выражения для скорости затухания малых гармонических колебаний формы пузырька в вязкой жидкости. Birkhoff [15] показал, что коллапсирующие пузырьки по отношению к малым возмущениям сферической формы являются неустойчивыми и что на этот результат не влияет поверхностное натяжение. Plesset [76] получил условия устойчивости сферической границы между двумя невязкими несмешиваемыми жидкостями в радиальном движении. Birkhoff [16] доказал теорему, при выполнении условий которой сферическая поверхность пузырька в случае малых искажений является устойчивой. Plesset and Mitchell [79] в линейной постановке без учета вязкости жидкости рассмотрели задачу устойчивости формы парового пузырька при колебаниях под действием скачка давления в бесконечности. В такой же постановке Eller и Crum [29] исследовали устойчивость колебаний сферического пузырька в воде при гармоническом изменении давления окружающей жидкости с частотой 23.6-28.3KHz. Теоретические результаты сравниваются с экспериментальными. Для случая малых искажений сферической формы пузырька Prosperetti [82] предложил наиболее точный способ учета вязкости жидкости, в рамках которого учитывается нестационарная диффузия завихренности жидкости. Математически он выражается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений.

В подавляющей части работ по динамике несферических пузырьков, рассмотренных в обзоре Plesset and Prosperetti [80], используется описанный выше подход, основанный на представлении поверхности пузырька в виде суммы поверхностных сферических гармоник. С применением этого подхода Hall и Seminara [36] изучали нелинейную устойчивость газового пузырька в акустическом поле. При этом влияние вязкости жидкости не учитывалось. Prosperetti [84], используя преобразование Лапласа, рассматривал свободные колебания пузырьков. Вязкость жидкости учитывалось согласно Prosperetti [82]. Tsamopoulos и Brown [96] рассмотрели свободные нелинейные осесимметричные колебания пузырьков в невязкой несжимаемой жидкости. Приведены сравнения с результатами численных расчетов и экспериментов. Kang и Leal [43] рассмотрели установившиеся нелинейные колебания поверхности пузырька газа в потоке невязкой несжимаемой жидкости. Дается способ приближенного учета вязкости в этой задаче. Longuet-Higgins [52,53] рассматривал возникновение радиальных колебаний невязкой несжимаемой жидкости, обусловленных несферическими колебаниями формы пузырька за счет нелинейного взаимодействия между поверхностными гармониками. Benjamin [14] показал, что результаты, полученные в работах Longuet-Higgins'а [52, 53],-можно получить проще, используя вириальные уравнения, введенные в работе Benjamin'a [13]. Воинов и Перепелкин [121] в линейной постановке без учета вязкости жидкости анализировали устойчивость сферической поверхности газового пузырька, радиально пульсирующего в жидкости.

Особенности деформаций поверхности пузырька в линейном приближении при нелинейных радиальных колебаниях рассматриваются в работах Воинова [118,119]. В первой работе вязкость жидкости не учитывается, а во второй жидкость считается маловязкой. В работе Voinov [98] рассмотрен ряд механизмов вызывающих разрушение пузырька при его нелинейных пульсациях в маловязкой жидкости. Asaki и Marston [9] с учетом вязкости согласно Prosperetti [82] исследовали свободное затухание колебаний формы пузырьков, акустически запертых в воде и морской воде. Roberts и Wu [93] также с учетом вязкости согласно Prosperetti [82] рассмотрели свободное затухание колебаний формы пузырька.

При упрощенном по сравнению с Prosperetti [82] учете вязкости Hilgenfeldt et al. [40] рассчитали фазовые диаграммы устойчивости формы пузырька на режиме SBSL. Используется линейная по искажениям сферической формы пузырька постановка задачи. В той же постановке в своем обзоре Hilgenfeldt et al. [38] привели краткий анализ искажения сферической формы пузырька на режиме SBSL. Prosperetti и Нао [89] изучали устойчивость сферической формы газового пузырька при колебаниях на режиме SBSL. Используется линейная по искажениям сферической формы пузырька постановка задачи. Вязкость жидкости учитывается упрощенно. В усложненной постановке с учетом вязкости жидкости по Prosperetti [82] и с учетом теплопроводности газа Нао и Prosperetti [37] провели анализ устойчивости сферических колебаний газовых пузырьков для случая, рассмотренного экспериментально Holt'ом and Gaitan'oM [41]. Результаты расчетов показали удовлетворительное согласование с экспериментальными данными. В той же .постановке задачи, но без учета теплопроводности газа в пузырьке Wu и Roberts [103] изучали устойчивость сферических колебаний пузырька на режиме SBSL. Обзор характера влияния малых деформаций поверхности пузырька на проявление феномена сонолюминесценции можно найти в работе Putterman'a и Weninger'a [91]. Аганин и Гусева [112], Aganin и Guseva [2], Aganin et al. [3] исследовали изменение малых начальных искажений сферической поверхности пузырька при его сильном однократном расширении-сжатии. Lin'a, Storey и Szeri [50] при изучении эволюции искажения формы пузырька учитывали изменение плотности газа в пузырьке.

Во многих задачах динамики несферического пузырька важную роль играет вязкость жидкости. До недавнего времени в задачах динамики пузырька с малыми отклонениями формы от сферической влияние вязкости жидкости учитывалось по отношению к модели Навье-Стокса приближенно. В частности, в работах Lamb'a [45], Воинова [118] с этой целью использовалось решение задачи затухания искажения сферической формы пузырька в сферически симметричном поле массовых сил. Аналогичное описание вязкости получается в предположении, что влияние завихренности жидкости проявляется лишь в поверхностном слое, вне которого движение является потенциальным, что реализовано в работе Нао и Prosperetti [37]. Воинов [118] показал, что указанный способ позволяет получать удовлетворительные результаты при малой вязкости жидкости или больших размерах пузырька. Открытие явления SBSL стимулировало исследование искажений сферичности пузырьков микронных размеров. А чем меньше размеры пузырька, тем влияние вязкости существеннее. Поэтому при изучении этого явления наряду с описанием вязкости жидкости согласно [45], [118], [37] стали применять способ учета вязкости согласно Prosperetti [82], а также ряд основанных на нем приближенных способов Hilgenfeldt'a и др. [40], Аганина и Ильгамова [109], Ильгамова и др. [124], различающихся учетом вихревого движения жидкости. В математическом плане он значительно проще, чем уравнения Навье-Стокса, но значительно сложнее, чем приближенные способы, не учитывающие нестационарную диффузию завихренности. И в этом смысле замена точного способа Prosperetti [82] на соответствующий рассматриваемой задаче приближенный способ представляет значительный интерес. Было установлено (см., например, [40], [109], [124]), что на режиме SBSL условие устойчивости сферической формы неплохо оценивается и с применением приближенных способов.

При немалых отклонениях геометрии пузырька от сферической, когда задача по отношению к ним является нелинейной, влияние вязкости учитывается упрощенно с применением более сильных, чем в работе Prosperetti [82] ограничений. В работах Wu и Roberts'a [100] и Нао и Prosperetti [37] показано, что в задаче устойчивости сферической формы пузырька при периодических колебаниях давления в жидкости согласование решений, полученных согласно приближенным способам описания вязкости и согласно

РгоэрегеШ [82], может быть как вполне удовлетворительным так и нет.

На основании приведенного обзора можно сделать вывод, что влияние вязкости жидкости на несферические колебания пузырька изучено недостаточно. Оно изучалось, в основном, с применением приближенных способов учета вязкости, область применимости которых также является недостаточно исследованной.

Целью настоящей диссертации является исследование влияния вязкости жидкости на эволюцию малого искажения сферической формы пузырька при его больших расширениях-сжатиях.

Научная новизна. В рамках математической модели, в которой движение жидкости и газа разлагается на 'сферическую составляющую (нулевое приближение) и ее малое несферическое возмущение (первое приближение) разработана эффективная методика расчета влияния вязкости жидкости по модели, в рамках которой учитывается нестационарная диффузия завихренности жидкости.

Исследованы особенности влияния вязкости жидкости при свободном затухании малых искажений сферической формы газового пузырька в широком диапазоне изменения вязкости и номера поверхностной сферической гармоники, определяющей отклонение формы пузырька от сферической. Уточнены области применимости известных приближенных способов учета влияния вязкости, не учитывающих нестационарный характер диффузии завихренности жидкости. Предложен новый приближенный способ учета влияния вязкости, удовлетворительно описывающий затухание искажений в более широкой области изменения физических параметров.

Исследовано влияние нестационарного характера диффузии завихренности жидкости на изменение искажения сферичности газового пузырька на режиме его периодических расширений-сжатий. Установлено, что в зависимости от специфики влияния поля завихренности могут наблюдаться режимы диффузионного и экспоненциального затухания колебаний искажения, режимы «скачущего» и ускоренного диффузионного затухания, экспоненциального роста, а так же переходы одного режима в другой. Показано, что нестационарная диффузия завихренности может вызывать увеличение искажения на фазе относительно медленного роста пузырька.

Исследована эволюция малых искажений сферической формы парового пузырька в условиях известных экспериментов по ядерному излучению при акустической кавитации в дейтерированном ацетоне [95]. При этом сферическая составляющая движения межфазной границы описывается с применением полной системы уравнений гидродинамики как для жидкости, так и для пара. При описании эволюции малого несферического возмущения влияние вязкости жидкости описывается уравнениями Просперетти, преобразованными для учета влияния плотности газа и неоднородности его давления. Для изучения динамики паровых пузырьков такая модель применяется впервые.

Получены первые оценки максимально возможных искажений сферической формы парового пузырька в рамках экспериментов по ядерному излучению при акустической кавитации. Установлено, что сферичность пузырька обладает большим запасом устойчивости относительно возмущений, возникающих при образовании зародыша пузырька. По мере увеличения радиуса пузырька, при котором возникают возмущения, уменьшение влияния вязкости способствует понижению запаса устойчивости его сферичности. Наименьшая устойчивость сферичности проявляется к возмущениям, возникающим в окрестности перехода от расширения к сжатию. Пренебрежение влиянием плотности газа и неоднородности его давления при описании эволюции искажения завышает значение искажения на момент коллапса в несколько раз. При этом порядок степени роста искажения не изменяется: она остается меньше ~ 103 раз не зависимо от номера сферической поверхностной гармоники и радиуса, при котором возникает искажение.

Практическая ценность. Разработанная методика расчета может быть использована для изучения влияния вязкости в задачах динамики газовых пузырьков в жидкости.

Уточнение области применимости известных приближенных моделей учета влияния вязкости имеет важное значение для оценки достоверности получаемых с их применением результатов. В работе предложен новый приближенный способ, дающий удовлетворительное описание затухания искажений в более широкой области изменения параметров задачи, что представляет ценность при решении задач, в которых полный учет вязкости может представлять значительные трудности.

Результаты исследования влияния нестационарного характера диффузии завихренности движения жидкости на изменение искажения сферичности пузырька на режимах его периодических расширений-сжатий могут быть использованы для понимания возникновения переходных режимов колебаний формы пузырька, для оценки их продолжительности, а также для более точного определения уровней искажения при возможной реализации импульсно-периодического воздействия на пузырек.

Результаты, полученные для парового пузырька, служат теоретическим обоснованием возможности протекания режима суперсжатия пузырька (явления ядерного излучения при акустической кавитации) относительно вопроса об устойчивости его сферичности и могут применяться при планировании экспериментов по реализации этого явления.

Достоверность результатов обеспечивается корректным применением уравнений динамики пузырька в вязкой жидкости, тщательным тестированием методики расчета путем сравнения с известными асимптотическими решениями, результатами расчетов с применением других методов и других авторов, а также с известными экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, научных школах и семинаpax:

- на 16 и 17 сессиях Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002, 2004);

- на Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов под рук. академика РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2002, 2004);

- на семинаре в Институте механики и математики им. Чеботарева под руководством профессора А.В. Костерина, (Казань, 2002);

- на Всероссийском совещании по сверхсжатию пузырька под руководством академика Р.И. Нигматулина (Уфа, 2002);

- на итоговых конференциях Института механики и машиностроения КазНЦ РАН (Казань, за 2003, 2004, 2005);

- на V Международной научной школе-семинаре «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (Украина, г. Николаев, 2003);

- на Третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции (Казань, 2003);

- на Международной летней научной школе «Гидродинамика высоких скоростей» (Чебоксары, 2004);

- на семинаре в Институте механики и машиностроения КазНЦ РАН в 2002г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах, в том числе в 12 статьях и 5 тезисах. Основное содержание работы отражено в публикациях [6,113-116,124,129,130,133]

Работа состоит из введения, четырех глав, содержащих восемнадцать параграфов, заключения и списка литературы, изложенных на 130 листах, включая 33 рисунка. Список литературы состоит из 134 наименований.

Во введении отмечена практическая ценность и актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации. Дан краткий обзор работ, посвященных теоретическим и экспериментальным исследованиям динамики жидкости с парогазовыми пузырьками. Определены цели работы, сформулирована ее научная новизна. Приведена аннотация разделов диссертации.

В первой главе выписана система уравнений динамики газового пузырька в вязкой несжимаемой жидкости с малыми искажениями его сферической формы. В системе уравнений при описании эффекта вязкости жидкости для случая малых искажений сферической формы пузырька учитывается нестационарная диффузия завихренности жидкости. Приведена разработанная эффективная методика решения задач динамики несферического пузырька. Проиллюстрирована эффективность методики сравнением с результатами расчетов других авторов и экспериментальными данными.

Во второй главе рассматривается влияние вязкости жидкости на затухание малого начального искажения сферической формы пузырька в широком диапазоне изменения вязкости и номера поверхностной сферической гармоники, определяющей отклонение формы пузырька от сферической. Исследована возможность применения известных в литературе дополнительных упрощающих предположений относительно влияния вязкости. Выявлены границы их применимости с точки зрения качественного описания эффекта вязкости. Рассмотрены асимптотики для очень большой и очень малой вязкости, а также для искажений, определяемых высокочастотными гармониками. Исследовано влияние вихревого движения жидкости.

В третьей главе исследованы большие расширения-сжатия пузырька под действием внешнего периодического возбуждения. Установлено, что влияние вязкости жидкости проявляется в результате сложного взаимодействия ближнего и дальнего полей завихренности. Выявлены характерные сценарии такого взаимодействия и проиллюстрированы принципиальные различия решений, полученных с учетом нестационарной диффузии завихренности и без.

В четвертой главе рассмотрен случай сверхбольшого однократного расширения-сжатия парового пузырька в условиях максимально приближенных к условиям экспериментальной реализации явления ядерного излучения при акустической кавитации. Изучено влияние вязкости жидкости на изменение искажения сферической формы пузырька. Получены оценки уровня максимально возможных возмущений сферичности пузырька в зависимости от вида возмущения и момента его возникновения. Показана сильная зависимость влияния вязкости жидкости на эволюцию искажения от указанных факторов.

В заключении представлены основные результаты и выводы.

Во всех публикациях по теме диссертации вклад соавторов заключается в постановке задач, участии в разработке методики расчета и обсуждении полученных результатов. Вклад автора в них состоит в участии в разработке методики расчета, проведении расчетов и анализе полученных результатов. Кроме того, в работе [113], автору принадлежит участие в разработке некоторых приближенных моделей учета вязкости.

Автор выражает большую признательность соавторам большинства своих работ научному руководителю доктору физико-математических наук Аганину А.А. и члену-корреспонденту РАН М.А. Ильгамову за постоянное внимание к работе и полезные консультации. Автор благодарит всех сотрудников лаборатории ВДСС ИММ КазНЦ РАН за поддержку и внимание. Следует отметить финансовую помощь Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 02-01-00100-а, 03-01-06265-МАС, 05-01-00415-а, 03-01-10848-з), Фонда научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок Республики Татарстан (проект 05.5.5-208-2003(ф), 05-5.4-397-2005(ф)), Российской Академии Наук (программа 10002-251/09МППУ-13/079-083/190603-773), федеральной целевой программы «Интеграция» (№ Б0020), позволившую ускорить выполнение и написание диссертации.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработана эффективная методика расчета влияния вязкости жидкости на эволюцию малых возмущений сферической формы газового пузырька в рамках модели Просперетти, учитывающей нестационарную диффузию завихренности жидкости.

2. Исследованы особенности влияния вязкости жидкости при свободном затухании малых возмущений сферической формы газового пузырька в широком диапазоне изменения вязкости и длины волны возмущения. Уточнены области применимости известных приближенных способов учета вязкости, не учитывающих нестационарный характер диффузии завихренности жидкости. Предложен новый подобный способ, удовлетворительно описывающий затухание возмущений сферической формы пузырька в более широкой области изменения физических параметров.

3. Исследовано влияние нестационарного характера диффузии завихренности жидкости на изменение искажения сферической формы газового пузырька при его периодических расширениях-сжатиях. Установлено, что в зависимости от специфики влияния завихренности затухание колебаний искажения может быть не только экспоненциальным, как предсказывают модели без учета нестационарного характера диффузии завихренности, но и степенным, «скачущим», «ускоренно диффузионным» и с переходом одного из этих режимов в другой. Показано, что нестационарная диффузия завихренности может вызывать увеличение искажения на фазе относительно медленного роста пузырька.

4. Исследована эволюция малых искажений сферической формы парового пузырька в ходе его однократного сверхсильного расширения-сжатия в дейтерированном ацетоне. При этом впервые использована модель, в которой сферическая составляющая движения межфазной границы описывается с применением полной системы уравнений гидродинамики как для жидкости, так и для пара. Эволюция малого несферического возмущения описывается уравнениями Просперетти, преобразованными для учета влияния плотности пара и неоднородности его давления.

5. Установлено, что наибольшим запасом устойчивости сферическая форма пузырька обладает относительно возмущений, возникающих при малых размерах пузырька, что является результатом совместного влияния поверхностного натяжения и вязкости жидкости. С уменьшением длины волны возмущения запас устойчивости значительно повышается из-за возрастающего демпфирующего влияния вязкости.

6. Установлено, что наименьшая устойчивость сферической формы пузырька проявляется к возмущениям,1 возникающим в окрестности перехода от расширения к сжатию. Их амплитуда может увеличиваться до нескольких сотен раз. Уменьшение длины волны таких возмущений до некоторого критического значения вызывает понижение устойчивости сферической формы пузырька. Затем устойчивость возрастает, что обеспечивается демпфирующим влиянием вязкости.

Заключение

1. Aganin A.A. Dynamics of a small bubble in a compressible fluid // 1.t. J. Numer. Meth. Fluids. - 2000. - V. 33. - P. 157-174.

2. Aganin A.A., Guseva T.S. Distortion of the spherical shape of a bubble under its single strong enlargement-compression // Proceedings of Second International Summer Scientific School "High speed hydrodynamics", Cheboksary. 2004. - P. 191-196.

3. Aganin A. A., Guseva T.S., Ilgamov M.A. Distortion of the spherical shape of a bubble under strong enlargement-compression // Fifth International Symposium "Hihg Dynanic Pressure", June 23-27. Saint-Malo. France. СБА. 2003. - P. 417-429.

4. Aganin A.A., Ilgamov M.A. Dependence of bubble compression parameters on the external pressure // Dynamics of Multiphase Systems. Proc. Int. Conf. Multiphase Systems, Ufa. 2000. - P. 269-273.

5. Aganin A.A., Khismatullina N.A. Liquid vorticity computation in non-spherical bubble dynamics //Int. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. - Vol. 48. - Issue 2 - C. 115-133.

6. Aganin A.A., Toporkov D.Yu. Liquid viscosity effect in dynamics of a nonspherical bubble // Proceedings of Second International Summer Scientific School "High speed hydrodynamics", Cheboksary. 2004. -P. 197-202.

7. Akhatov I., Lindan O., Topolnikov A., Mettin R., Vakhitova N., Lauterborn W. Collapse and rebound of a laser-induced cavitation bubble // Phys. Fluids. 2001. - V. 13. - № 10. - P. 2805-2819.

8. Akhatov I., Mettin R., Ohl C.D., Pariitz U., Lauterborn W. Bjerknes forse threshold or stable single bubble sonoluminescence // Phys. Rev. E. -1997. V. 55. - № 3. - P. 3747-3750.

9. Asaki T.J., Marston P.L. Equilibrium shape of an acoustically levitated bubble driven above resonance // JASA. 1995. - V. 97. - P. 2138-2143.

10. Apfel R.E. Methods in experimental physics, Vol.19 (Edmonds P.D., ed.). New York: Academic Press. 1981. - P. 355-413.

11. Barber B.P. ,Hiller R.A., Lofstedt R., Putterman S.J., Weninger K.R. Defining the unknowns of sonoluminescence // Phys. Rep. -1997. V. 281.- P. 65-143.

12. Barber B.P., Putterman S.J. Observation of synchronous picosecond sonoluminescence // Nature. 1991. - V. 352. - P. 318-320.

13. Benjamin T.B. Hamiltonian theory for motions of bubbles in an infinite liquid // J. Fluid. Mech. 1987. - V. 181. - P. 349-379.

14. Benjamin T.B. Note on shape oscillations of bubbles //J. Fluid. Mech.- 1989. V. 203. - P. 419-424.

15. Birkhoff G. Note on Taylor Instability // Quart. Appl. Math. 1954.- V. 12. № 3. - P. 306-309.

16. Birkhoff G. Stability of spherical bubbles // Quart. Appl. Math. 1956.- V. 13. P. 451-53.

17. Brennen C.E. Cavitation and Bubble Dynamics. Oxford University Press.- 1995. 282 p.

18. Brenner M.P., Hilgenfeldt S., Lohse D. Why air bubbles in water glow so easily // in: Nonlinear physics of complex systems: current status and future trends. J. Parisi et al. (eds). Springer. 1996. - P. 79-97.

19. Brenner M.P., Lohse D., Dupont T. Bubble shape oscillations and the onset of sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 75. - № 5.- P. 954-957.

20. Chapmen R.B., Plesset M.S. Nonlinear effects in the collapse of a nearly spherical cavity in a liquid // Pap. ASME. 1971. - № FE-5.

21. Chapmen R.B., Plesset M.S. Thermal effects in free oscillation of gas bubbles // J. Basic Eng. 1971. - V. 93. - P. 373-376.

22. Crum L.A., Cordry S. Single bubble sonoluminescence //in Proceedings IUTAM Symposium on Bubble Dynamics and Interface Phenomena, edited by J.R.Blake and N.H.Thomas. Kluwer. Dordrecht. -1994. P. 287297.

23. Crum L.A., Mason T.J., Reisse J.L., Suslick K.S. (eds.) Sonochemistry and Sonoluminescence. NATO-ASI series C. Kluwer. Dordrecht. 1999.- V. 48. 400 p.

24. Devin C.Jr. Survey of thermal, radiation, and viscous damping of pulsating air bubbles in water //J. Acoust. Soc. Am. 1959. - № 31.- P. 1654.

25. Eller A.I. Growth of bubbles by rectified diffusion //J. Acoust. Soc. Am.- 1969. V. 46. - P. 1246-1250.

26. Eller A.I. Damping constants of pulsating bubbles //J. Acoust. Soc. Am.- 1970. V. 47. - P. 1469-1470.

27. Eller A.I. Bubble growth by diffusion in an 11-kHz sound field // J. Acoust. Soc. Am. 1972. - V. 52. - P. 1447-1449.

28. Eller A.I., Crum L.A. Instability of the motion of a pulsating bubble in a sound field //J. Acoust. Soc. Am. Suppl. 1970. - V. 47. - № 3.- P. 762-767.

29. Eller A.I., Flynn H.G. Rectified diffusion through nonlinear pulsation of cavitation bubbles // J. Acoust. Soc. Am. Suppl. -1965. -V. 37. P. 493503.

30. Fanelli M., Prosperetti A., Reali M. Radial oscillations of gas vapour bubbles in liquids. Part 1: Mathematical formulation // Acustica. 1981.- V. 47. P. 253-265.

31. Fanelli M., Prosperetti A., Reali M. Radial oscillations of gas vapour bubbles in liquids. Part 2: Numerical examples // Acustica. 1981. -V. 49. - P. 98-109.

32. Fanelli M., Prosperetti A., Reali M. Shape oscillations of gas-vapour bubbles in liquids. Part 1: Mathematical formulation // Acustica. 1984.- V. 55. P. 213-223.

33. Flynn H.G. Cavitation dynamics I. A mathematical formulation // J.Acoust. Soc. Am. 1975. - V. 57. - P. 1379-1396.

34. Gaitan D.F., Crum L.A., Roy R.A., Church C.C. Sonoluminescence and bubble dynamics for a single, stable cavitation bubble // J.Acoust. Soc. Am. 1992. - V. 91. - P. 3166-3172.

35. Hall P. and Seminara G. Nonlinear oscillations of non-spherical cavitation bubbles in acousticfields //J. Fluid Mech. 1980. - V. 101. - P. 423-444.

36. Hao Y., Prosperetti A. The effect of viscosity on the spherical stability of oscillating gas bubbles // Phys. Fluids. 1999. - V. 11. - № 6. - P. 13091317.

37. Hilgenfeldt S.} Brenner M., Grossmann S., Lohse D. Analysis of Rayleigh-Plesset dynamics for sonoluminescing bubbles // J.Fluid Mech. 1998.- V. 365. P. 171-204.

38. Hilgenfeldt S., Lohse D. Predictions for upscaling sonoluminecsence // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82. - P. 1036-1039.

39. Hilgenfeldt S., Lohse D., Brenner M. Phase diagrams for sonoluminescing bubbles // Phys. Fluids. 1996. - V. 8. - P. 2808-2826.

40. Holt R.G., Gaitan D.F. Observation of stability boundaries in the parameter space of single bubble sonoluminescence // Phys. Rev. Lett.- 1996. V. 77. - P. 3791-3794.

41. Kamath V., Prosperetti A. Numerical integration methods in gas bubble dynamics //J. Acoust. Soc. Am. 1989. - V. 85. - № 4. - P. 1538-1548.

42. Kang I.S., Leal L.G. Small-amplitude perturbation of shape for a nearly spherical bubble in a inviscid straning flow (steadu shapes and oscillatory motion) // J. Fluid. Mech. 1988. - V. 187. - P. 231-266.

43. Keller J.B., Miksis M. Bubble oscillations of large amplitude // J. Acoust. Soc. Am. 1980. - V. 68. - № 2. - P. 628-633.

44. Lamb iJ.Hydrodynamics. 6th edn. Cambridge University Press. 1932.- 632 p.

45. Lauterborn W. Numerical investigation of nonlinear iscillations of gas bubbles in liquid // J. Acoust. Soc. Am. 1976. - № 59. - P. 283-293.

46. Lauterborn W., Parlitz U. Methods of chaos physics and their application to acoustics // J. Acoust. Soc. Am. 1988. - № 84. - P. 1975-1993.

47. Leighton T. G. The Acoustic Bubble. Academic Press Limited. 1994.- 613 p.

48. Lin H., Storey B.D. and Szeri A.J. Inertially driven inhomogeneities in violently collapsing bubbles: the validity of the Rayleigh-Plesset equation //J. Fluid Mech. 2002. - V. 452. - P. 145-162.

49. Lin H., Storey B.D. and Szeri A.J. Rayleigh-Taylor instability of violently collapsing bubbles // Phys. Fluids. 2002. - V. 14. - № 8. - P. 2925-2928.

50. Lofstedt R., Barber B.B., Butterman S.J. Towards a hydrodynamic theory of sonoluminescence // Physics of Fluids. -1993. V. 5. - № 11. - P. 2911— 2928.

51. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 1. Normal modes // J. Fluid Mech. 1989. - V. 201.- P. 525-541.

52. Longuet-Hig gins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 2. An initial-value problem //J. Fluid Mech. 1989.- V. 201. P. 543-565.

53. Lohse D., Brenner M.B., Dupont T.F., Hilgenfeldt S., Johnston B. Sonoluminescing air bubbles rectify argon // Phys. Rev. Lett. 1997.- V. 78. P. 1359-1362.

54. Lohse D. and Hilgenfeldt S. Inert gas accumulation in sonoluminescine bubbles // J. Phys. Chem. 1997. - V. 107. - P. 6986-6997.

55. Matula T.J. Inertial cavitation and single-bubble sonoluminescence // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1999. - V. 357. - P. 225-249.

56. Matula T.J., Cordry S.M., Roy R.A., Crum L.A. Bjerknes forse and bubble lévitation under single-bubble sonoluminescence condition // JASA. 1997. - V. 102. - № 3. - P. 1522-1527.

57. Matula T.J., Crura L.A. Evidence for gas exchange in single-bubble sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 80. - P. 865-868.

58. Miksis M.J., Ting L. Nonlinear radial oscillations of a gas bubble including thermal effects //J. Acoust. Soc. Am. 1984. - V. 76. - P. 897-905.

59. Minnaert M. On musical air-bubbles and sounds of running water // Phil. Mag. 1933. - № 16. - P. 235-248.

60. Moss W.C., Clarke D.B., White J.W., Young D.A. Hydrodynamic simulations of bubble collapse and picosecond somoluminescence // Phys. Fluids. 1994. - V. 6. - № 9. - P. 2979-2985.

61. Moss W. C., Clarke D.B., Young D.A. Calculated pulse widths and spectra of a single sonoluminescencing bubble // Science. 1997. - V. 276. -P. 1398-1401.

62. Nagiev F.B., Khabeev N.S. Heat-transfer and phase transition effects associated with oscillations of vapour-gas bubbles // Sov. Phys. Acoust. 1979. - V. 25. - P. 148-152.

63. Neppiras E.A., Noltingk B.E. Cavitation produced by ultrasonics: theoretical conditions for the onset of cavitation // Proc. Phys. Soc. London Sec. 1951. - V. 64. B. - P. 1032-1038.

64. Nigmatulin R.I. Nano-scale thermonuclear fusion in imploding vapor bubbles // Nuclear Eng and Design. 2005. - V. 235. - P. 1079-1091.

65. Nigmatulin R.I, Akhatov I.Sh., Topolnikov A.S., Bolotnova R.Kh., Vakhitova N.K., Lahey R.T. (Jr), Taleyarkhan R. The Theory of Supercompression of Vapor Bubbles and Nano-Scale Thermonuclear Fusion // Physics of Fluid. 2005. - V. 17. - 107105.

66. Nigmatulin R.I., Akhatov I.Sh., Vakhitova N.K. On the theory of supercompression and sonoluminescence of a gas bubble in a liquid-filled flask // Proceed. ISMF'97. Beijing. 1997. - P. 50-57.

67. Nigmatulin R.I., Khabeev N.S. Heat exchange between a gas bubble and a liquid // Fluid. Dyn. 1974. - V. 9. - P. 759-764.

68. Nigmatulin R.I., Khabeev N.S. Dynamics of vapour-gas bubbles // Fluid. Dyn. 1977. - V. 12. - P. 867-871.

69. Nigmatulin R.I., Khabeev N.S., Nagiev F.B. Dynamics, heat and mass transfer of vapour-gas bubbles in a liquid // Int. J. Heat. Mass. Trans.1981. - V. 24. - P. 1033-1044.

70. Nigmatulin R.I. et al. Mathematical modeling of a single bubble and multi bubble dynamics in a liquid // Int. Conf. On Multiphase Systems, Ufa, Russia. 2000. - P. 294-301.

71. Noltingk B.E., Neppiras E.A. Cavitation produced by ultrasonics // Proc. Phys. Soc. London Sec. 1950. - V. 63. B. - P. 674-685.

72. Ohl C.D., Kurz T., Geisler R., Lindau O., Lauterborn W. Bubble dynamics, shock waves and sonoluminescence // Phil. Trans. R. Soc. A.- 1999. V. 367. - P. 269-294.

73. Plesset M.S. The dynamics of cavitation bubbles //J. Appl. Mechanics.- 1949, P. 277-282.

74. Plesset M.S. On the stability of fluid flows with spherical symmetry //J. Appl. Phys. 1954. - V. 25. - № 1. - P. 96-98.

75. Plesset M.S., Chapman R.B. Collapse of sn initially spherical vapour cavity in the heaigbourghood of a solid boundary //J. Fluid Mech. -1971. V. 47. - № 2. - P. 283-290.

76. Plesset M.S., Hsieh D. Y. Theory of gas bubble dynamics in oscillating pressure field // Phys. Fluids 1960. - V. 3. - P. 882-892.

77. Plesset M.S., Mitchell T.P. On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a liquid // Quart. Appl. Math. 1956. - V. 13. - № 4.- P. 419-430.

78. Plesset M.S., Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation // Ann. Rev. Fluid Mech. 1977. - V. 9. - P. 145-185.

79. Poritsky H. The collapse or growth of a spherical bubble or cavity in a viscous fluid // Proc. of the First U.S. National Congress on Applied Mechanics. New York. // Am. Soc. Mech. Eng. 1952. - P. 813-821.

80. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed spherical flows // Quart. Appl. Math. 1977. - V. 34. - P. 339-352.

81. Prosperetti A. Thermal effects and damping mechanisms in the forced radial oscillations of gas bubbles in liquids // JASA. 1977. - V. 61.- № 1 P. 17-27.

82. Prosperetti A. Free oscillations of drops and bubbles: the initial-value problem 11 J. Fluid Mech. 1980. - V. 100. - № 2. - P. 333-347.

83. Prosperetti A. Bubble dynamics: a review and some results // Appl. Sci. Res. 1982. - V. 38. - P. 145-164.

84. Prosperetti A. Bubble phenomena in sound fields. Part 1 // Ultrasonic.- 1984. V. 22. - P. 69-77.

85. Prosperetti A. Bubble phenomena in sound fields. Part 2 // Ultrasonic.- 1984. V. 22. - P. 115-124.

86. Prosperetti A. The thermal behaviour of oscillating gas bubbles //J. Fluid Mech. 1991. - V. 222. - P. 587-616.

87. Prosperetti A., Hao Y. Modeling of spherical gas bubble oscillations and sonoluminescence // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1999. - V. 357. -P. 203-223.

88. Prosperetti A., Crum L.A, Commander K.W. Nonlinear bubble dynamics // J. Acoust. Soc. Am. 1986. - V. 83. - № 2. - P. 502-514.

89. Putterman S.J., Weninger K.P. Sonoluminescence: How Bubbles Turn Sound into Light // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. - V. 32. - P. 445476.

90. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid on the collapse of a spherical cavity // Phylos. Mag. 1917. - V. 34. - № 200. - P. 94-97.

91. Roberts P.H., Wu C.C. The decay of bubble oscillations // Phys. Fluids. 1998. - V. 10. - P. 3227-3229.

92. Simonenko V.A., Nogin V.N., Kucherenko Y.A., Kovalenko G.V., Karlykhanov N.G. Single bubble collapse: Physiks and Prospects // Dynamics of Multiphase Systems, Proc. Int. Conf. Multiphase Systems, Ufa. 2000. - P. 306-315.

93. Taleyarkhan R.P., West C.D., Cho J.S., Lahey R.T.(jr), Nigmatulin R.I., Block R.C. Evidence for Nuclear Emissions During Acoustic Cavitation // Science. 2002. - V. 295. - P. 1868-1873.

94. Tsamopoulos J.A., Brown R.A. Nonlinear oscillations of inviscid drops and bubbles // J. Fluid Mech. 1983. - V. 127. - P. 519-537.

95. Vaughan P.W., Leeman S. Avoustic cavitation revisited // Acoustica. -1989. № 69. - P. 109-119.

96. Voinov О. V. Breakdown of bubbles:non-linear mechanisms and effects // Proc. of the Third International Conference on Multiphase Flows. ICMF'98. Lion. 1998. - P. 1-8.

97. Walton A. J., Reynolds G.T. Sonoluminescence // Adv. Phys. 1984. -№ 33. - P. 595-660.

98. Wu C.C., Roberts P.H. Bubble shape instability and sonoluminescence // Phys. Lett. A, 1998. - V. 250. - P. 131-136.

99. Wu C.C., Roberts P.H. Shock wave propagation in a sonoluminescencing gas bubble // Phys. Rev. Lett. 1993. - V. 70. - P. 3424-3427.

100. Wu C.C., Roberts P.H. A model of sonoluminescence // Proc. R. Soc. Lond. A. 1994. - V. 445. - P. 323-349.

101. Wu C.C., Roberts P.H. On rectified diffusion and sonoluminescence // Theor. Comput. Fluid Dynamics. 1998. - V. 10. - P. 357-372.

102. Аганин А.А., Ильгамов M.A. Зависимость параметров сжатия пузырька от формы возбуждения // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Краевые задачи аэрогидродинамики и их приложения. 200. - Т. 7. - С. 28-37.

103. Аганин А.А., Ильгамов М.А. Динамика газового пузырька при возбуждении импульсами сжатия и разрежения в жидкости // ДАН. -2002. Т. 382. - № 2. - С. 176-180.

104. Аганин A.A., Илъгамов М.А. Динамика пузырька газа в центре сферического объема жидкости // Мат. Моделирование. 2001. - Т. 3.- № 1. С. 26-40.

105. Аганин A.A., Илъгамов М.А. Колебания сферического пузырька газа в жидкости с образованием ударных волн // Изв. АН. МЖГ. 1999.- № 6. С. 126-133.

106. Аганин A.A., Илъгамов М.А. Численное моделирование динамики газа в пузырьке при схлопывании с образованием ударных волн // ПМТФ. 1999. - Т. 40. - № 2. - С. 101-110.

107. Аганин A.A., Нигматулин Р.И., Илъгамов М.А., Ахатов И.Ш. Динамика пузырька газа в центре сферического объема жидкости // Докл. АН. 1999. - Т, 369. - № 2. - С. 182-185.

108. Аганин A.A., Гусева Т.С. Эволюция малого искажения сферической формы газового пузырька при его сильном расширении-сжатии // ПМТФ. 2005. - Т. 46. - № 4. - С. 17-28.

109. Аганин A.A., Илъгамов М.А., Топорков Д.Ю. Влияние вязкости жидкости на затухание малых искажений сферической формы газового пузырька // ПМТФ. 2006. - Т. 47. - № 2. - С. 30-39.

110. Аганин A.A., Малахов В.Г., Топорков Д.Ю. Методика решения задач динамики газового пузырька в вязкой жидкости при малых искажениях его сферической формы //Сб. Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: Изд-во КГУ. - 2003. - С. 23-41.

111. Беляев В.Б., Костенко Б.Ф., Миллер М.Б., Сермягин A.B., Тополь-ников A.C. Сверхвысокие температуры и акустическая кавитация // Сооб. ОИЯИ. Дубна. 2003. - 18с.

112. Воинов О.В. Динамика капиллярных волн на пузыре при нелинейных пульсациях в жидкости малой вязкости // ПМТФ. 1994. - Ке 3. -С. 87-97.

113. Воинов О.В. О времени жизни симметрично пульсирующего пузыря // ПМТФ. 1994. - № 3. - С. 97-101.

114. Воинов О.В., Воинов В.В. О схеме захлопывания кавитационного пузырька около стенки и образования кумулятивной струйки // ДАН СССР. 1976. - Т. 227. - № 1. - С. 63-66.

115. Воинов О.В., Перепелкин В.В. Об устойчивости поверхности газового пузыря пульсирующего в жидкости // ПМТФ. 1989. - № 3. - С. 7683.

116. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976. - 400с.

117. Ильгамов М.А. Качественный анализ развития отклонений от сферической формы при схлопывании полости в жидкости // ДАН. 2005. -Т. 401. - № 1. - С. 37-40.

118. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая Физика. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. - Т. VI. - 736 с.

119. Маргулис М.А. Сонолюминесценция // Успехи физических наук. Обзоры актуальных проблем. 2000. - Т. 170. - № 3. - С. 263-287.

120. Мельников П.И., Макаренко В.Г., Макаренко М.Г. Достижение высоких температур при сжатии парового пузырька // ПМТФ. 2004.- Т. 45. № 4. - С. 13-25.

121. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. 1987.- Т. 1. и 2.

122. Нигматулин Р.И., Аганин A.A., Ильгамов М.А., Топорков Д.Ю. Искажение сферичности парового пузырька в дейтерированном ацетоне // ДАН. 2006. - Т. 408. - № 6. - С. 767-771.

123. Нигматулин Р.И., Ахатов И.Ш., Вахитова Н.К. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька // Докл. РАН. 1996. -Т. 348. - № 6. - С. 768-771.

124. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К., Лэхи Р.Т. Метод сверхсильного сжатия газового пузырька в жидкости непериодическим вибрационным воздействием давления умеренной амплитуды // ДАН. 1995. - Т. 341. - № 1. - С. 37-41.

125. Топорков Д.Ю. Динамика газового пузырька при периодическом изменении давления окружающей жидкости // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: Изд-во КГУ, - 2003. - С. 179-215.

126. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир. 1990. - 512 с.