Нелинейный анализ равновесных форм и устойчивости заряженных капель в силовых полях

Мокшеев, Павел Владимирович

Нелинейный анализ равновесных форм и устойчивости заряженных капель в силовых полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Мокшеев, Павел Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейный анализ равновесных форм и устойчивости заряженных капель в силовых полях»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейный анализ равновесных форм и устойчивости заряженных капель в силовых полях"

На гюавах DvкoIIиcи

003452848

Мокшеев Павел Владимирович

Нелинейный анализ равновесных форм и устойчивости заряженных капель в силовых нолях

01.04.02. - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2008

003452848

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

Научный руководитель -Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор Григорьев Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Жаров Алексей Николаевич

доктор физико-математических наук, доцент Белоножко Дмитрий Фёдорович

Ярославский государственный технический университет.

Защита диссертации состоится «4» декабря 2008 года в часов на заседании диссертационного Совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном у1гиверситете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, дом 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан «¿¿}> I. ^¿/2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета

кандидат фга.-мат. наук, ^ЬуГ.

доцент У Барабанова H.H.

В связи со сказанным, результаты исследования неустойчивости капли по отношению к собственному и индуцированному зарядам имеют важное значение не только для тех приложений, в которых капля присутствует, как самостоятельный объект, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости. С поднятой проблемой тесно связаны вопросы электро-азрозольных технологий, задачи очистки жидких металлов от шлаков и окислов, различные геофизические вопросы, касающиеся атмосферного (грозового) электричества, задачи, возникающие при разработке электрокаплеструйных печатающих устройств, жидкометаллических источников ионов и устройств для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей. На основе явления неустойчивости заряженной поверхности жидкости созданы устройства для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии, получения капель жидкого водорода для установок термоядерного синтеза. Данная задача представляет также значительный интерес и для проблемы грозового электричества в связи с исследованием физического механизма инициирования разряда молнии.

Цель работы состояла в исследовании влияния величины заряда капли, интенсивности внешних силовых полей: гравитационного, инерционного, электрического на равновесные формы, нелинейные осцилляции и устойчивость идеальной несжимаемой идеально проводящей капли. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- теоретическое аналитическое нелинейное асимптотическое исследование равновесной формы заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси симметрии;

- теоретическое аналитическое нелинейное асимптотическое исследование равновесной формы заряженной капли в поле центробежных сил в стенке смерча;

- теоретическое аналитическое нелинейное асимптотическое исследование равновесной формы заряженной капли, зафиксированной в поле сил тяжести и электростатическом поле;

- теоретическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженной капли, зафиксированной в поле сил тяжести и электростатическом поле;

- теоретическое асимптотическое исследование устойчивости быстро вращающейся вокруг своей оси симметрии заряженной капли.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- впервые в теоретическом асимптотическом нелинейном анализе проведено корректное исследование влияния поля центробежных сил на равновесную форму заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси симметрии;

- впервые в теоретическом асимптотическом нелинейном анализе проведено корректное исследование влияния поля центробежных сил в стенке смерча на равновесную форму заряженной капли;

- в теоретическом асимптотическом нелинейном анализе уточнено влияние на равновесную форму заряженной капли поля сил тяжести и электростатического поля;

- в теоретическом асимптотическом анализе исследованы нелинейные осцилляции заряженной капли, зафиксированной в поле сил тяжести и электростатическом поле;

- впервые в теоретическом асимптотическом анализе исследована устойчивость быстро вращающейся вокруг своей оси симметрии заряженной капли.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о нелинейных эффектах, происходящих в жидкокапельных дисперсных системах, определяющую роль в эволюции которых играют заряды и внешние силовые поля. Результаты исследования могут быть использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложений.

На защиту выносятся:

1. Результаты теоретического аналитического нелинейного исследования равновесной формы заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси симметрии;

2. Результаты теоретического аналитического нелинейного исследования равновесной формы заряженной капли в поле центробежных сил в стенке смерча;

3. Результаты теоретического аналитического нелинейного исследования равновесной формы заряженной капли, зафиксированной в поле сил тяжести и электростатическом поле;

4. Результаты теоретического аналитического исследования нелинейных осцилляций заряженной капли, зафиксированной в поле сил тяжести и электростатическом поле;

5. Результаты теоретического аналитического асимптотического исследования устойчивости быстро вращающейся вокруг своей оси симметрии заряженной капли.

Апробация работы: Результаты работы докладывались на: международной конференции «Современные проблемы электрогидродинамики и элекгрофизики жидких диэлектриков» (Санкт-Петербург, 2006); 5-ей Всероссийской конференции «Математика и математическое образование» (Ярославль, 2008); 21-ой и 22-ой научных конференциях стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2006).

Структура работы: Диссертация общим объемом 167 страниц, содержит 31 рисунок, состоит из введения, трех глав, списка литературы (181 наименование).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, цели научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации представляет собой критический литературный обзор. В нем показано, что, не смотря на обилие выполненных теоретических и экспериментальных исследований проблема влияния на равновесную форму заряженной капли инерционных, электрических и аэродинамических (гидродинамических) полей пока до конца не решена.

Вторая глава посвящена нелинейному аналитическому асимптотическому исследованию равновесных форм заряженных капель в силовых полях.

В персом параграфе проводится нелинейный асимптотический анализ равновесной формы заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси симметрии, в поле центробежных сил. Задача была рассмотрена в неинерциалыюй системе отсчета, вращающейся вместе с каплей, в сферической системе координат, начало которой совпадает с центром масс капли, а полярный угол в отсчитывается от положительного направления оси вращения. Также учитывается, что система является замкнутой. В используемой модели несжимаемой жидкости изменение равновесной формы не должно приводить к изменению объёма капли. Замкнутость системы позволяет утверждать, что центр масс капли при ее вращении вокруг оси симметрии, проходящей через центр масс, не будет изменять своего положения в пространстве. В условиях равновесия на свободной поверхности капли выполняется условие баланса давлений

Р-Рш,ш+Ра + Р<2=Р.> 0)

где р - давление жидкости внутри капли; ратм - атмосферное давление; ра -давление центробежных сил; рд - давление электростатического поля собственного заряда капли; ра - давление сил поверхностного натяжения.

Представим входящие в это выражение (1) давления в виде сумм давлений на поверхность невозмущенной (не вращающейся) капли, которые обозначим верхним индексом "О" и поправок первого и второго порядков малости, возникших из-за наличия вращения.

; а^/М1 ; Рв * $++$ ;

(о) , (0 , (2) Рг^РУ+Ра+РУ.гДе:

Вследствии осевой симметрии задачи решение ищется в виде разложений по

полиномам Лежандра.

K R и=2 Л п=2

Л *=2 o=0

n=2

»ЯД Л „-2 n=0 л=2

В отсутствие вращения все действующие на кашпо силы обладают центральной симметрией и равновесная форма капля является сферической. Вращение капли относительно оси, проходящей через центр масс, приводит к появлению давления осесимметричных центробежных сил рп на поверхность капли и к искажению ее формы, которая из центрально симметричной становится осесимметричной. Принимая, что угловая скорость вращения невелика и давление центробежных сил по сравнению с давлением сил поверхностного натяжения на невозмущенную сферическую поверхность капли, (которое в естественных для решаемой задачи безразмерных переменных, когда R = р - <т = 1, определяет масштаб измерения давления), мало. Тогда в первом порядке малости амплитуда деформации капли под действием сил центробежного давления должна иметь такой же порядок малости Рп-

Нулевой порядок малости определит баланс давлений на свободной поверхности заряженной сферической капли в отсутствии вращения. Балансы давлений первого и второго порядков малости позволят рассчитать амплитуды А<" и А™ возмущения капли соответственно.

Полученную равновесную форму поверхности заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью Q,

можно считать сплюснутым сфероидом с точностью до слагаемых ~е , эксцентриситет которого связан с зарядом капли и со скоростью вращения соотношением: е2 = /9fiJÄ3/4c7(l-FF), где W = Q2/\6лaR2 параметр Рэлея. Видно, что увеличение скорости вращения капли, как и увеличение заряда приводит к росту эксцентриситета, т.е. к увеличению сфероидальной деформации равновесной поверхности капли. Поэтому это соотношение накладывает ограничение на величины угловой скорости вращения, заряд и радиус капли при которых форму заряженной вращающейся капли можно считать близкой к сплюснутому сфероиду: е2 < 1.

Равновесная форма заряженной вращающейся капли в расчетах первого порядка малости может быть аппроксимирована сфероидом, сплюснутым вдоль оси вращения, с эксцентриситетом, величина которого определяется угловой скоростью вращения. Наличие у капли собственного заряда приводит к увеличению эксцентриситета.

На рис.1 приведены формы образующей капли в нулевом, линейном и квадратичном приближениях. На рис.2 приведены формы образующей капли в линейном и квадратичном приближениях, а также уравнение сплюснутого сфероида с тем же значением ег. Несложно видеть, что реальная форма капли отличается от формы сплюснутого сфероида.

Рис.1. Образующая равновесной формы капли: 1- окружность, получающаяся в нулевом приближении по квадрату угловой скорости; 2 - сплюснутый вдоль оси вращения эллипс, получающийся в расчетах линейного приближения; 3 -результат расчета квадратичного приближения. Расчеты проведены при: Г = 0.8; ег =0.5.

Рис.2. Образующая равновесной формы капли: 1 - сплюснутый вдоль оси вращения эллипс, получающийся в расчетах линейного приближения; 2 -результат расчета квадратичного приближения; 3- сплюснутый эллипс с таким же эксцентриситетом, какой получается в расчетах линейного приближения. Расчеты проведены при: Ж = 0Я; е2 = 0.5.

Второй параграф посвящен нелинейному асимптотическому анализу равновесной формы заряженной капли в поле центробежных сил в стенке воронки смерча. Задача была решена аналогично задаче из предыдущей главы. Отличием является то, что теперь капля вращается относительно оси симметрии смерча (рис.3).

Будем полагать, что центр масс капли неподвижен относительно стенки смерча. Расстояние от оси смерча до центра масс капли обозначим Ь, а до произвольной точки на поверхности капли как Ь-2 = Ь-Я-соъв, где ось г берет начало в центре масс капли и идет вдоль перпендикуляра, опущенного из центра масс на ось смерча (см. рис.3).

Ось

вращения смерча

Стенки смерча

1нутренняя Внешняя

Капля

Рнс.З. Схематическое изображение капли в стенке воронки _смерча._

Будем искать форму капли в сферической системе координат в виде разложения по полиномам Лежандра:

л=0 п=0

Малый параметр, характеризующий равновесную деформацию капли,

ИИ 2 \ещёщ\ ги

определим следующим образом: s =J———l; s = --¿-1 ~J-L,

R R R

где функции (0) и £(2' (в) описывают малые отклонения формы капли от

сферической (первого и второго порядков малости соответственно). В состоянии равновесия на поверхности капли должно выполняться условие баланса давлений: р- pr+ pn + рд~ ра, где р - давление жидкости внутри

капли, рг - давление среды в стенке смерча, pn, pQ и ра- давления на

поверхность капли центробежных, электростатических и капиллярных сил, соответственно. Характерной особенностью анализируемой проблемы является присутствие в ее формулировке разных масштабов. Слагаемые, возникшие вследствие крупномасштабного проявления вращения должны компенсировать друг друга, поскольку центробежные силы и силы давления среды действуют на каплю в противоположных направлениях. Мелкомасштабные слагаемые из выписанных давлений будут характеризовать деформацию капли.

Ра~Ру= ~PQl'L(R + £U> + í(2,)(cos(9-1) + |/?Q2 • (R + <f(" + £(2))2sin29-

= рП'ЦЛ + + £(2>)-р, + ^рП2 -(Л + +£(2')25Ш20(

р&гЬК

с(1) с(2) > 1+—+-2— д л

"Л.

^ ' 2 Л Д

БШ 0 = 0.

В этом выражении первые слагаемые, заключенные в квадратные скобки, содержат величины, характеризующие крупномасштабные эффекты. Величина наименьшего из них: рП2Ь^2), не менее чем на два порядка превышает величину наибольшего из слагаемых, стоящих в фигурных скобках рО,2Я2. Следовательно, приравнивая нулю выражение, стоящее в квадратных скобках, можно определить по порядку величины давление р1 в стенке смерча на расстоянии £ от его оси, при котором капля радиуса Л будет находиться в равновесии по отношению к смещению вдоль оси г: р1^я'р С12ЬЯ..

В стенке смерча установится квазиравновесное макроскопическое разделение электрических зарядов с осевой симметрией. Области концентрации положительно и отрицательно заряженных капель будут цилиндрическими с характерными расстояниями до оси вращения Ц и Появившееся в итоге электрическое поле, подобное полю цилиндрического конденсатора, будет создаваться областью концентрации мелких положительно заряженных капель, а его напряженность может достигать предпробойных величин ~104 V !ст.

Для давления сил поверхностного натяжения получаем следующее выражение:

2а

К К п=2

ад;

К 1=2 К „=0

Для давления электрического поля собственного заряда на равновесную поверхность капли получаем выражение:

£ 4»(п-1)Р„(М)+-^т I Л12>(п-1)РП(М)+ 8кК 4лЯ п=2 4жЯ п=2

8яЯ п-0к,/=2

п=0*,(=2

Приравнивая слагаемые одинакового порядка малости и используя ортогональность полиномов Лежандра получаем:

поправка к давлению внутри капли, возникающая вследствие действия центробежных сил. Также получаем равновесную форму капли в стенке смерча:

Под действием центробежных сил заряженная капля в стенке смерча деформируется к фигуре, в линейном приближении по амплитуде деформации совпадающей со сфероидом, сплюснутым в направлении действия центробежных сил. Величина эксцентриситета такой фигуры увеличивается с ростом заряда и размера капли. В диапазоне размеров капель от десятка мкм до сотни мкм величина сфероидальной деформации весьма мала, но с увеличением радиуса капли растет пропорционально его третьей степени.

Третий параграф посвящен нелинейному асимптотическому анализу равновесной формы заряженной капли в суперпозиции внешних гравитационного и электростатического полей. Отличием этой задачи от двух

предыдущих данной главы является то, что коллинеарные внешнее однородное

—>

электростатическое поле Ео и гравитационное поле g, удерживают её в «подвешенном» состоянии. Благодаря этому, система координат, связанная с центром масс капли, является инерциальной. Компонента гравитационного давления Ug и компонента давления электрического поля ~ 0 ■ £а не должны сказываться на форме равновесной поверхности капли. К искажению равновесной сферической формы |/«1 (как и для случая незаряженной капли) приводит зависящая от угла в компонента давления электростатического поля ~£02. Отсюда следует, что ¡/(#)|П ~s, или Е0 ~ с'12, а в силу

требования неподвижности центра масс системы получаем g~Q-E0~s1/2. Взаимодействие гравитационного поля g, заряда Q и электростатического поля Е0 с отклонением формы капли /(в) будет приводить к появлению добавок в соответствующих давлениях, имеющих величину не ниже первого порядка малости, т.е. ~ с, ~ e,/2 , ~ е1 и т.д. Расчёт задачи производится в безразмерных величинах р = а~R-\. Чтобы учесть влияние g, Q и на равновесную

ао

форму капли, коэффициенты а„ в г = r(0) = l+/(0) = l + ^anPn(/i)

и=0

представлены в виде разложения по степеням е :

п п п п \ J

Запишем выражение для равновесной формы поверхности капли, ограничивая рассмотрение вторым порядком малости по в:

На поверхности капли в состоянии равновесия должно выполняться

условие баланса давлений: р. -р +р„„ + р = р , где р.„ - давление

гт aim EQ g cr "

жидкости внутри равновесной капли, ра1т - атмосферное давление, pEQ, pg и ра - давления на поверхность электрических, гравитационных сил и сил поверхностного натяжения, соответственно. Представим давления в виде формальных разложений по параметру е:

Для давления сил поверхностного натяжения имеем следующее выражение:

-2

и(/7+1)(Я+2) )

\«(п-\){п+2)(

к (2л+1) Г-

РоМ-12

&(2и+1)(2и+3) " я+'

л-2|_ *=2т=2

Для гравитационного давления имеем следующее выражение:

Дня давления электрических сил имеется следующее выражение: Лз = + ¿63, 3М3£02(1 + 2Р2 (//)) + 20*(и- 1)/»я(М)

и „Р/2) (»+!) ^(3/2)):

4л-20я 0

(1-^)^(2^-3) _(|) , (И + 1)(2И-1)

(2й-1)

(2и + 3)

Ф)

8 я

4 яг

И £ «И) ^

35 о л 5 * ^2(2«+1)(2П+3) " '

2(я-1)«!2» +11 ((3 -2*1 + » + к(2п + « - 7))^ + а^аМ

4 л

п(п + \){п + 2) 15 ' (2п + 3)(2п + 5)

(и-2)(и-1)я (2и-3)(2и-1)

(2л-1)(2и + 1)

У "■1> (2п + 3)

Ьж

п{2п-Ъ) т (и + 1)(2и-1)

1 (2«-1) ^ + (2я + 3) -

Собирая вместе слагаемые одного порядка малости и требуя выполнения баланса давлений для каждого из порядков малости, получим систему

уравнений, позволяющую последовательно рассчитать амплитуды , а, следовательно, и равновесную форму капли.

Форма равновесной поверхности капли с точностью до второго порядка малости по в включительно (что эквивалентно учёту слагаемых четвёртого порядка по Е0 и g):

г = 1 + („) + («<" + ) Р2 (м) + а^Р3 (») + ^ »/> ( д ),

где коэффициенты выражаются через параметры Тейлора уу = ЕЦ\6к и Релея РУ:

Зм>

■уг

(2) 9ы2(79-84}Г + 81Г2) (2) 54^5(б5-ЗЗГ-28^2)

7(1-^) (5-4Ж)

(3/2)

г\~иг ь » гз ~ (1)

35(1-Г) (3-2ГГ)(5-4Г)

е; {к = 0,2,4). (1*)

а(2)

/г =

Рис.4. Зависимости между и> и соответствующие знакам строго равенства в соотношениях (1*) при е = 0.3._

На рис.4 в плоскости параметров IV, Ж изображены линии, соответствующие знакам строго равенства в соотношениях (1*). Область равномерной пригодности выражения для равновесной формы капли лежит ниже и левее всех кривых.

Третьи глава посвящена анализу устойчивости заряженной капли в силовых полях.

Первый параграф посвящён анализу устойчивости вращающейся вокруг собственной оси заряженной капли в поле центробежных сил и силы Кориолиса. Анализ задачи проводился в линейном приближении по малым параметрам е2и с точностью до членов и ~£е2, где - эксцентриситет сфероида, ¿;(в,<р,() - осесимметричное возмущение равновесной сфероидальной поверхности капли. Давление цёнтробежных сил приводит к деформации равновесной поверхности капли от сферической формы к форме, которая в линейном по квадрату эксцентриситета е приближении может быть

описана сплюснутым сфероидом: г = г!рИ(0) = 1-е2И(0), где к(0) = ^Р2(со%0), 4(1-IV) 16л-

Форма осциллирующей капли в произвольный момент времени представлена следующим образом: г -г!р)1(9) +

£~е2. Также учитываем гидродинамическое условие Р + Рд = Ра, где Рд и Ра -

давления электрических сил и сил поверхностного натяжения соответственно.

Зададимся целью исследовать взаимодействие капиллярных осцилляций со сфероидальным искажением равновесной поверхности, учитывая слагаемые ~е, е2е, . Представим все искомые величины в виде разложения по малому параметру:

и = Е^+0(е2) ; Ф = Ф(£?) + гФ(|)+0(г2) ; Р = рМ +£р + 0{£2);

Рд = р^ +ерв + о(£2)> ра = Ра^ +£Ра + > где V" поле скоростей,

Р- давления внутри капли, Ф- электрический потенциал. Индекс eq обозначает равновесное значение соответствующей величины. В результате решения получаем, что

р™ (г,в) = 2(1 - {V) --П2 (2 - 3 г:2 зш2 (0)), 6

Решая задачу для первого порядка малости, получим систему связанных уравнений для функций р"(г), описывающих зависимость давления от радиальной координаты:

7 г

^ +1^(2 гт +1)| аг, +4 рГ(г)+

1 Г Г

+4С22аГ,

Решая это уравнение, получаем:

/"■•'НЕ!

0 т=-1

А?г'-2

О2 а]

(21 + 5)

ЛГУ*2

}Т(в,<р)ехр(з1), где А?

численные коэффициенты, определяемые из граничных условий. Используя граничные условия на свободной поверхности, находим дисперсионные уравнения:

7,зЗ(/3+2/2+3/-2), п _ 2/2 (/3 - 3 (/ -1) (/ + 2)) + ш2 (2/3 + Х' /2(2/-1)(2/ + 3)

№ - параметр Рэлея, о), определяет частоты капиллярных колебаний заряженной капли в отсутствие вращения.

Поверхность осциллирующей капли остаётся устойчивой, пока частота 5 является чисто мнимой величиной. Такая ситуация реализуется, если дискриминант уравнения

- 2/у£2® + а] + е2 [тц "4^(5/-З))^-- П2

= 0 отрицателен. При

положительном дискриминанте уравнение имеет два комплексных корня с положительной и отрицательной вещественной частью. Комплексная частота у, с положительной вещественной частью ответственна за неустойчивость поверхности, так как она описывает возмущение, амплитуда которого экспоненциально нарастает со временем, приводя к распаду поверхности. Таким образом, критическим для начала неустойчивости является условие обращения в ноль дискриминанта этого уравнения. Это позволяет получить связь между критическими значениями заряда капли (параметра Рэлея IV) и угловой скорости её вращения (рис. 5). Поверхность капли неустойчива, если

выполняется соотношение: 4(1 - ТУ^т] - 0-2х?) +

Причём для осенесимметричных мод (т > 1) неустойчивость всегда является периодической во времени, а для осесимметричных- апериодической.

На рис.5 представлены критические кривые для различных мод колебаний поверхности. Области неустойчивости лежат выше линий, расположенных в первом квадранте и ниже линий, расположенных в четвёртом квадранте координатной плоскости . На рис.6 изображены аналогичные

зависимости частот осцилляции от скорости вращения для различных значений величины заряда на капле (параметра IV): по мере уменьшения толщины линии

увеличивается заряд {V = 0; 0.5; 0.9; 0.99. Влияние вращения капли на частоту колебаний существенней при больших зарядах и приводит к её снижению.

0.85

0.95

Рис.5. Связь критических для развития неустойчивости значений параметра Рэлея (характеризующего заряд на капле IV = и квадрата угловой скорости вращения П2 для различных мод колебаний поверхности_

3 2 1

-1

-2 -3

^__е^"*' ол о.б —

0.2 / 0.4 0.6 /

Рис. 6а. 1 = 2,т = 2.

Рис.бЬ. / = 10,т = 10.

Рис.6. Зависимости частот осцилляции от скорости вращепня для различпых значепнй величины заряда на капле (параметра Ж): по мере уменьшения толщины линии увеличивается заряд Ш = 0; 0.5; 0.9; 0.99. Сплошные линии соответствуют первому корпю дисперсионного уравнения (со знаком «плюс»), пунктирные линии соответствуют второму корню (со знаком «минус»).

Точками на графиках обозначены рассчитанные критические значения параметра Рэлея И^ для соответствующего значения скорости вращения 0.сг для заданного заряда (рис.6).

Второй параграф посвящен нелинейному асимптотическому анализу устойчивости заряженной капли, в суперпозиции внешних гравитационного и электростатического полей.

Будем искать равновесную форму поверхности капли в сферических координатах в виде разложения по полиномам

ОО

Лежандра:г(#) = 1 + /(|9) = 1+ £ а„Р„(/1), Малые (|а„|«1) амплитуды мод

л=0

ап должны быть определены из условия баланса давлений на искомой равновесной поверхности: р(0ед) - рат + р™ + р™ = р['ч).

Здесь - давление жидкости внутри равновесной капли, раШ - атмосферное давление, р^, р^ч) и р^д) - давления на поверхность электрическое, гравитационное и сил поверхностного натяжения, соответственно. Поскольку давление электрического поля рЕ приводит к искажению равновесной сферической формы капли, то, следовательно, оно должно иметь тот же порядок малости, что и вызванное им искажение: рЕ~ Е\ -а. Гравитационное

поле в свою очередь должно удерживать центр масс капли в неподвижном

состоянии, поэтому § ~ б • Ей ~ а2,

Давление электрического поля на равновесную поверхность капли:

(««) 1

Q2 +6QE0 p+9E¡ р2 + 2&%ая{п-\)Ря{м)

п=2

+0 (а'А)

Гравитационное давление на равновесную поверхность капли: р™ = g[r (0) -r(d)p]*g( I- р) + о(а3'2) Давления сил поверхностного натяжения на равновесную поверхность капли:

2-*{„ + l))aHPM+0(ct).

и=0

Индекс eq обозначает равновесное значение соответствующей величины. Подставляя полученные выражения для давлений в условие баланса давлений, получаем условие неподвижности центра масс заряженной капли в электрическом и гравитационном полях: g=-ZQ-Eü¡An. В результате искомая равновесная форма поверхности капли запишется в виде:

Для того чтобы исследовать нелинейные осцилляции поверхности капли, примем, что в начальный момент времени í=0 равновесная слабо сфероидальная форма капли с эксцентриситетом е претерпевает осесимметричное возмущение фиксированной конечной амплитуды е,

много меньшей, однако, радиуса капли (s « 1). Форма капли будет иметь вид

r{e,t)=r{e)+z(e,t)=\+±e2pXp)+${e,t)^\+e2h{e)+z{e,t). Будем решать сформулированную задачу в рамках теории возмущений методом многих масштабов. Искомые функции £(9,t), y/{r,t}, ®(r,í) (возмущение, гидродинамический потенциал и электрический потенциал капли соответственно) представим в виде разложений по степеням малого параметра г:

Для входящих в динамическое граничное условие давлений электрического рЕ0 и гравитационного полей, а также сил поверхностного

натяжения рг примем следующие разложения:

РЩ = № + + ** Р%!) (#) + ^ Р% (#) + <?(**)

рг = РГ]+(?)+*3/2 ¿3/!) (<Г)+Р? (£) Сами потенциалы и возмущение капли запишем в виде:

л=| »»О

В результате получаем для формы нелинейно осциллирующей капли:

я=0

> 0)р (»)+г |Х > (,)/>. (Л+о(^),

».О л=0

где коэффициенты, входящие в уравнение не приведены ввиду их громоздкости.

Результат вычислений представлен на рис.7.

На рис.7 видно, что при нелинейных осцилляциях заряженных капель, подвешенных в электростатическом и гравитационном полях, с вершины капли с большой кривизной может начаться сброс избыточного заряда, что приведет к искажению получаемых в экспериментах данных___

/ °-5

1.П - 0.5 Ч - 0.5 0.5 (ТГ

а) 1-1=0; 2-1=4Т19; 3-1 = |Т19;

2 о

Ь) 1-1 = 0; 2-1 = уТ„; =

Рис.7. Образующая формы нелинейно осциллирующей капли, когда начальная деформация определена суперпозицией 19-ой и 20-ой мод, в различные моменты времени, измеренные в долях периода 19-ой моды, рассчитанная при £ = 0.2, Ж = 3.7.

Результаты и выводы.

1. Равновесная форма заряженной вращающейся капли в расчетах первого порядка малости может быть аппроксимирована сфероидом, сплюснутым вдоль оси вращения, с эксцентриситетом, величина которого определяется угловой скоростью вращения. Наличие у капли собственного заряда приводит к увеличению эксцентриситета.

2. Под действием центробежных сил заряженная капля в стенке смерча деформируется к фигуре, в линейном приближении по амплитуде деформации совпадающей со сфероидом, сплюснутым в направлении действия центробежных сил.

3. Выяснено, что в диапазоне размеров капель от десятка мкм до сотни мкм величина сфероидальной деформации весьма мала, но с увеличением радиуса капли растет пропорционально его третьей степени. При расчетах в квадратичном приближении по величине деформации имеет место отклонение равновесной формы капли от сфероидальной.

4. В аналитической асимптотической процедуре получено выражение для равновесной формы заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, подвешенной в суперпозиции коллинеарных однородного внешнего электростатического и гравитационного полей, в квадратичном приближении по малой амплитуде отклонения равновесной формы от сферической.

5. Получено, что форма равновесной поверхности капли с учётом влияния на неё гравитационного, электростатического полей и взаимодействия собственного заряда капли с внешним электростатическим полем, в области значений заряда капли и напряженности электростатического поля, далёких от критических в смысле реализации неустойчивости по отношению к собственному и индуцированному зарядам, весьма близка к вытянутой сфероидальной форме.

6. Вращение капли может стать причиной неустойчивости её поверхности при зарядах, докритичсских для сферической капли в отсутствие вращения {¡V < 1). Увеличение скорости вращения приводит к неустойчивости колебательных моды с высоким значением азимутального числа т - осенесимметричных мод. В результате на поверхности слабо сплюснутой сфероидальной капли в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, формируются эмиссионные выступа, с вершин которых происходит сброс заряда и вещества.

7. Аналитическими асимптотическими методами найдено решение задачи о нелинейных осцилляциях заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, неподвижно висящей в гравитационном и однородном электростатическом полях, в квадратичном приближении по двум малым параметрам: амплитуде начальной деформации формы капли и по величине стационарного эксцентриситета равновесной формы капли в электростатическом поле.

Основпые результаты опубликованы в работах:

1. Мокшеев П.В. Расчет равновесной формы заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси // ' Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей. Сборник докладов VIII Международной научной конференции. Санкт-Петербург: Изд. СПбГУ. 2006. С.82-84.

2. Ширяева С.О., Мокшеев П.В. Нелинейные осцилляции заряженной капли в электростатическом подвесе //Дисперсные систем. XXII научная конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса: Изд. ОНУ. 2006. С.360-361.

3. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Мокшеев П.В. Равновесная форма заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси симметрии // ЭОМ. 2006. №4. С.46-52.

4. Ширяева С.О., Мокшеев П.В. Нелинейный расчет формы заряженной капли, равноускоренно движущейся в электростатическом и гравитационном полях II Физический вестник. Ярославль: Изд. ЯрГУ. 2006. Выи.1. С.345-353.

5. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Мокшеев П.В. Нелинейный анализ равновесной формы заряженной капли, вращающейся вокруг оси симметрии // ЖТФ. 2007. Т.77. Вып.4. С.32-40.

6. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Мокшеев П.В. Об устойчивости вращающейся заряженной капли II ЭОМ. 2007. №4. С.42-45.

7. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Мокшеев П.В. Нелинейный анализ равновесной формы заряженной капли в стенке воронки смерча // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып.З. С. 11-20.

8. Мокшеев П.В. Линейные осцилляции заряженной капли в поле центробежных сил // Математика и математическое образование. Теория и практика. Тезисы докладов. Ярославль: Изд. ЯГТУ. 2008. Вып.6. С.267.

9. Ширяева С.О., Волкова М.В., Мокшеев П.В. Нелинейные осцилляции заряженной капли, подвешенной в суперпозиции электростатического и гравитационного полей // Вестник ЯрГУ. Серия физическая. 2008. С.3-6.

Отпечатано на ризографе Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская 14 Тираж -/СС -Хг Х, Заказ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мокшеев, Павел Владимирович

Введение.

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Заряженные капли - структурные компоненты смерчей и грозовых облаков

1.1.1. Смерчи

1.1.1.1. Феноменологическая картина

1.1.1.2. Природа электрических явлений в воронке смерча

1.1.2. Грозовые облака. Механизм инициирования разряда молнии

1.2. Устойчивость капли по отношению к собственному заряду

1.3. Равновесные формы капель в электрических, 46 аэродинамических, инерционных и гравитационных полях

Глава 2. Аналитическое асимптотическое исследование равновесных форм заряженных капель в силовых полях

2.1. Нелинейный асимптотический анализ равновесной формы 51 заряженной капли, вращающейся вокруг своей оси симметрии, в поле центробежных сил

2.2. Нелинейный асимптотический анализ равновесной формы 69 заряженной капли в поле центробежных сил в стенке воронки смерча

2.3. Нелинейный асимптотический анализ равновесной формы 90 заряженной капли в суперпозиции внешних гравитационного и электростатического полей

Глава 3. Аналитическое асимптотическое исследование устойчивости заряженных капель в силовых полях

3.1. Анализ устойчивости вращающейся вокруг собственной оси 109 заряженной капли в поле центробежных сил и силы Кориолиса

3.2. Нелинейный асимптотический анализ устойчивости 128 заряженной капли, в суперпозиции внешних гравитационного и электростатического полей

Результаты и выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейный анализ равновесных форм и устойчивости заряженных капель в силовых полях"

Актуальность темы. Исследование равновесных форм и устойчивости заряженных капель во внешних силовых полях представляет значительный интерес в связи с многочисленными геофизическими, техническими и технологическими приложениями. Многие приложения явления ЭГД неустойчивости поверхности жидкости оказывается удобным анализировать в рамках моделей ЭГД неустойчивости капли (см., например, обзоры [Baily,1974; Коженков, Фукс, 1976; Бураев, Верещагин, Пашин,1979; Габович,1983; Bailey,1986; Дудников, Шабалин,1987; Золотой, Карпов, Скурат,1988; Ширяева, Григорьев, Сыщиков,1989; Fenn, Mann, Meng et al.,1989; Шевченко, Григорьев, Ширяева 1991; Григорьев, Ширяева, Шевченко, 1991; Ширяева, Григорьев, Святченко,1993; Григорьев, Ширяева, 1994; Григорьев, 1990; Григорьев, Ширяева, Жаров, Коромыслов,2005а; Григорьев, Ширяева, Жаров. Коромыслов,2005b] и цитируемую в них литературу).

В связи со сказанным, результаты исследования неустойчивости капли по отношению к собственному и индуцированному зарядам имеют важное значение . не только для тех приложений, в которых капля присутствует, как самостоятельный объект, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости. С поднятой проблемой тесно связаны вопросы электроаэрозольных технологий [Болога,1999], задачи очистки жидких металлов от шлаков и окислов, различные геофизические вопросы, касающиеся атмосферного (грозового) электричества [Григорьев, Синкевич,1986], задачи, возникающие при разработке электрокаплеструйных печатающих устройств [Бураев, Верещагин, Пашин,1979], жидкометаллических источников ионов и устройств для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей [Золотой, Карпов, Скурат,1988; Fenn, Mann, Meng et al.,1989]. На основе явления неустойчивости заряженной поверхности жидкости созданы устройства для получения порошков тугоплавких металлов [Mahoney, Taylor, Perel,1987], жидкометаллической эпитаксии и литографии [D'Crus, Pourrezali, 1985], получения капель жидкого водорода для установок термоядерного синтеза {^Л/ооБЬу, ТигпЬи11, Ют, 1982]. Данная задача представляет также значительный интерес и для проблемы грозового электричества в связи с исследованием физического механизма инициирования разряда молнии [Дьячук, Мучник,1979; Оп§ог'еу, 8Ыгуае\'а,1996].

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- в теоретическом асимптотическом анализе исследованы нелинейные осцилляции заряженной капли, зафиксированной в поле сил тяжести и электростатическом поле; впервые в теоретическом асимптотическом анализе исследована устойчивость быстро вращающейся вокруг своей оси симметрии заряженной капли.

На защиту выносятся:

Апробация работы: Результаты работы докладывались на: международной конференции «Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков» (Санкт-Петербург, 2006); 5-ей Всероссийской конференции «Математика и математическое образование» (Ярославль, 2008); 21-ой и 22-ой научных конференциях стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2006, 2008).

Структура работы: Диссертация общим объемом 167 страниц, содержит 31 рисунок, состоит из введения, трех глав, 5 выводов, списка литературы (181 наименование).