Исследование устойчивости нелинейных волн на заряженной границе раздела несмешивающихся жидкостей. Модификация теории пограничного слоя

Пожарицкий, Дмитрий Михайлович

Исследование устойчивости нелинейных волн на заряженной границе раздела несмешивающихся жидкостей. Модификация теории пограничного слоя тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Пожарицкий, Дмитрий Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование устойчивости нелинейных волн на заряженной границе раздела несмешивающихся жидкостей. Модификация теории пограничного слоя»

Автореферат диссертации на тему "Исследование устойчивости нелинейных волн на заряженной границе раздела несмешивающихся жидкостей. Модификация теории пограничного слоя"

На правах рукописи

ПОЖАРИЦКИЙ Дмитрий Михайлович

Исследование устойчивости нелинейных волн на заряженной границе

раздела несмсшивающихся жидкостей. Модификации теории пограничного слоя,

01.04.02. - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г Г

VI „......... ЧЛЛО

- ' V VIV. IV — ^иии

003452845

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян А. К.

доктор физико-математических наук, профессор Коромыслов В.А.

Ведущая организация: Ярославский государственный

технический университет.

Защита диссертации состоится 2008 года в часов на

заседании диссертационного Совета Д 212.155.07 б Московском государственном областном университете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, дом 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан <<"2>0» о^-Д^^а 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук, ДОЦент Барабанова H.H.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Волновое движение на границе раздела несмешивающих-ся идеальных несжимаемых жидкостей неоднократно становилось предметом внимания ученых, уже хотя бы в связи с исследованием неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца и Рэлея-Тейлора. Аналитические расчеты в указанном направлении проводились как в линейной, так и в нелинейной постановках.

Исследование неустойчивости Рэлея-Тейлора, интенсивно проводившееся в середине прошлого века в связи с проблемами разработки ядерного оружия, в последние годы развивается в связи с проблемами инерционного термоядерного синтеза и сонолюминисценции. Обсуждаемый тип неустойчивости проявляется и на заряженной поверхности мениска жидкости на торце капиллярной трубки в разнообразных устройствах для электродиспергирования жидкости.

Исследованию неустойчивости Рэлея-Тейлора посвящено в различных постановках значительное число работ, однако, аналитические исследования нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей не проводились. Частичному устранению этого пробела будет уделено место в настоящем исследовании.

На заряженной границе раздела идеальных несмешивающихся несжимаемых жидкостей кроме неустойчивости Рэлея-Тейлора может иметь место и неустойчивость Тонкса-Френкеля: неустойчивость заряженной поверхности жидкости но отношению к отрицательному давлению электрического поля.

Неустойчивость Тонкса-Френкеля лежит в основе явления эрозии электродов интенсивных дуговых разрядов, появление которых связано с плавлением катода (анода) в области больших плотностей токов и движении эмиссионных выступов, на вершины которых замыкаются линии тока, по поверхности электрода. Тем не менее, до сих пор не проведено исследования нелинейного волнового движения на однородно заряженной поверхности раздела несмешивающихся жидкостей, хотя подобная комбинация физических параметров достаточно широко распространена как в естественных геофизических условиях, так и в различных технических и технологических приложениях. В данной работе проведено нелинейное исследование, посвященное данному феномену.

Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца это неустойчивость капиллярных волн на границе раздела идеальных несжимаемых жидкостей при движении верхней жидкости параллельно границе раздела. Неустойчивости Кельвина-Гельмгольца посвящены сотни исследований. Она лежит в основе феномена раскачки волн на невозмущенной водной поверхности. Однако не будем останавливаться на ней подробно, поскольку она не является предметом нижеследующего рассмотрения.

Выполненные в последние годы корректные аналитические асимптотические расчеты нелинейного периодического волнового движения на поверхности вязкой жидкости (на границе раздела вязких сред, у твердого дна) связаны с крайне громоздкими даже при использовании компьютерных пакетов аналитических вычислений расчетами. Чрезвычайная сложность подобных расчетов резко тормозит темпы и качество исследований многочисленных нелинейных эффектов. В связи с этим

возникла идея построения теории пограничного слоя, связанного с волновым движением на границе раздела сред и в слоях жидкости конечной толщины.

Цель работы состояла в проведении нелинейного анализа устойчивости в поле сил тяжести и электрическом поле заряженной границы раздела идеальных несме-шивающихся жидкостей. В построении теории пограничного слоя для заряженной границы раздела двух вязких несжимаемых жидкостей, одна из которых является идеальным проводником, а другая - диэлектриком. В построении теории пограничного слоя для поверхностно заряженного слоя вязкой электропроводной жидкости на твердом дне. Дня достижения поставленной цели были решены задачи:

- теоретического асимптотического исследования нелинейного волнового движения на заряженной границе раздела двух идеальных несмешивающихся жидкостей;

- теоретического асимптотического исследования нелинейных закономерностей реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора на заряженной границе раздела сред;

- построения теории пограничного слоя на заряженной границе раздела двух вязких несжимаемых жидкостей;

- построения теории пограничного слоя на свободной поверхности заряженного слоя вязкой электропроводной жидкости, лежащей на твердом дне.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено исследование нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей в четвертом порядке малости;

- в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено исследование нелинейной стадии неустойчивости Рэлея-Тейлора на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей, одна из которых проводящая, а другая диэлектрическая.

- предложена модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной границе раздела двух вязких несмешивающихся несжимаемых жидкостей, позволяющая проводить расчеты с заранее заданной погрешностью.

- предложена модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной поверхности электропроводной вязкой жидкости конечной глубины на твердом дне, позволяющая проводить расчеты с заранее заданной погрешностью.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что в работе модифицирована теория пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной границе раздела двух вязких несмешивающихся несжимаемых жидкостей, теория пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной поверхности электропроводной вязкой жидкости конечной глубины на твердом дне. Результаты данных исследований могут быть использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложениях. Результаты нелинейных расчетов неустойчивости Тонкса-Френкеля и Рэлея-Тейлора представляют большой интерес в связи с многочисленными приложениями, перечисленными выше.

На защиту выносятся:

1. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмепшвающихся идеальных несжимаемых жидкостей в четвертом порядке малости.

2. Результаты нелинейного исследования критических условий реализации неустойчивости границы раздела по отношению к поверхностному заряду.

3. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейной стадии неустойчивости Рэлея-Тейлора на однородно заряженной границе раздела двух не-смешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей.

4. Модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной границе раздела двух вязких несмешивающихся несжимаемых жидкостей.

5. Модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной поверхности электропроводной вязкой жидкости конечной глубины на твердом дне.

Апробация работы: Результаты работы докладывались на: международной конференции "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей" (Санкт-Петербург, 2006 г.); XXII научной конференции стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2006 г.); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.); 5, 6-ой Всероссийской конференции "Математика и математическое образование" (Ярославль, 2006, 2008 г.), на научных семинарах кафедры.

Структура работы: Диссертация общим объемом 240 страниц, состоит из введения, четырех глав, выводов, пяти приложений и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность исследуемой проблемы, цели, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

ПЕРВАЯ ГЛАВА диссертации представляет собой литературный обзор, в котором рассмотрены основные достижения в области теоретического моделирования и изучения неустойчивостей Тонкса-Френкеля, Рэлея-Тейлора. Рассмотрена классическая теория ламинарного пограничного слоя.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена нелинейному анализу устойчивости в поле сил тяжести и электростатическом поле заряженной границы раздела идеальных несмешивающихся жидкостей.

В первом параграфе главы построена и проанализирована математическая модель нелинейного волнового движения на заряженной границе раздела идеальных несмешивающихся жидкостей. Рассуждения проводились для физической модели, в которой рассматривались идеальные, несжимаемые, жидкости с плотностями р1 и р2: гле а >р2, заполняющие в поле сил тяжести полупространства 2<0 и г>О соответственно в декартовой системы координат, орт ег которой направлен против

направления ускорения силы тяжести ё21| . Предполагалось, что верхняя жидкость является диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е., нижняя идеальным проводником, а на границе раздела сред, которая характеризуется коэффициентом поверхностного натяжения а, однородно распределен электрический заряд с поверхностной плотностью к так, что в верхней жидкости существует однородное электростатическое поле Е0 = Акк/в* направленное параллельно орту ё7. Целью данного исследования являлся расчет параметров нелинейной волны в рассматриваемой системе в аналитической асимптотической процедуре с точностью до четвертого порядка малости по произведению амплитуды волны на ее волновое число.

На основе построенной математической модели волнового движения формулировалась краевая задача. Решение задачи получено методом многих временных масштабов путем разложения неизвестных величин (которыми являются возмущение границы раздела сред, потенциал поля скоростей в верхней среде, потенциал поля скоростей в нижней среде и потенциал электростатического поля) по малой амплитуде волнового возмущения а. В результате получены с сохранением слагаемых третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации аналитические выражения для потенциалов полей скоростей течения жидкости в верхней и нижней средах, потенциала электрического поля и для профиля нелинейной волны на заряженной границе раздела жидкостей

£(*,/) = а • 008(6»,) + а2 • П21 ■ соб(2Л) + а3 • П31 • со5(3<9); в»=в+(д/ш0)■ а2/ = кх-т0 ■ ? + (¿/«о)'°2(> ак

в = кх- а>пТп, <4= — а

-(a2k2-W-ak + (}-p)) ß + РГ

8 = -gk? • (l 6W2a2k2 -16Wak(\ - p)[(l - p) + a2k2 ] + 8(1 - p)2(l + p2) -

+a2k2(1 - ¿>)(1 -30p + p2) + 2«4£4(1 - 6/7 + p2))/8(1 + pf • Щ;

Q21 = ¿((1 - p)( 1 - p + a2k2) - 2Wak} [щ;

Q31 = к2 (2а V (3p2 -1 Op + 3) + 32Г2a2k2 + (1 - p)(2lp2 ~ 22p + 2\)a2k2 -

-32Wak(\ - p)[(l - p) + a2k2] + (1 - pf[6p2 - 20 p + 6]) /н, -32;

Sj = 2(1 + p)[(\ -p)- la2k2], H2 в 8(1 + p)\(\ -p)- 3a2k2]; cc = Ja/p2g; W = е,ЕЦлж^р^а- p = (p2/pi)<\.

Анализ выражения для профиля волны £ показывает, что говорить о существовании стационарного во времени профиля волны конечной амплитуды можно лишь условно. Стационарный во времени профиль волны получится, если ограничить расчеты вторым порядком малости. В этом случае нелинейной добавки к частоте не будет, и профиль волны определится слагаемыми первого и второго порядка малости по амплитуде волны при S = 0 (при А = <9). В проведенных расчетах четвертого порядка малости нелинейная поправка к частоте вполне законно появляется в линейном и квадратичном слагаемых, но в кубическом по малому параметру ела-

гаемом фигурирует невозмущенный аргумент в. Вышесказанное означает, что фазовые скорости различных компонент профиля волны будут различны, что приведет к его деформации со временем.

Из вышеприведенных выражений видно, что при к = р)!{42-а), в

знаменателе амплитудного коэффициента поправки второго порядка малости П21 множитель Н1 обращается в ноль, (коэффициент П21 при этом стремится к бесконечности), что в теории нелинейных волн трактуется как наличие резонансного взаимодействия. Показано, что при переходе через положения резонанса знак П21 меняется на противоположный. Отмеченные закономерности реализации внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия, проиллюстрированные на примере аналитического выражения для профиля волны, сохраняются для поля скоростей течения жидкости в обеих средах и электростатического поля.

Амплитудный коэффициент поправки к профилю нелинейной волны третьего

порядка малости Г231 имеет уже два резонанса: при к = кх= (л/2 • а)-1 • л/(1 -р) и при

к = к2 = (л/з • а)-1 • л/(1 - р) (что соответствует условиям обращения в ноль множителей и Н2 в знаменателе £>31). Первый из этих резонансов аналогичен разобранному выше резонансу у коэффициента С221, а второй реализуется в вырожденном же варианте для взаимодействия с волной к = ф{\-р)¡а. Показано, что также как и для <321 ПРИ переходе через положения любого из резонансов знак 031 изменяется на противоположный. Направление перекачки энергии в окрестности нового (по сравнению с С^) резонанса будет таким же как и ранее: энергия будет перекачиваться от длинных волн с волновыми числами к = к2 к более коротким волнам с к = 3к2, но сам эффект будет иметь более высокий порядок малости.

Амплитудный коэффициент 5 нелинейной поправки к частоте волны также как и прочие нелинейные поправки имеет резонансный вид, но в отличие от £221 и ^31 коэффициент 5 за исключением некоторой окрестности положений резонансов всегда отрицателен. Знак нелинейной поправки к частоте определяет влияние нелинейного взаимодействия на устойчивость границы раздела сред по отношению к распределенному на ней электрическому заряду.

В используемом порядке малости условие устойчивости границы нарушается, когда о? =((Уо +¿7^ 'Я2)2 = £>о +2() ■ а2 <0. Записанное условие означает, что нелинейное взаимодействие волн при 5 < 0 приводит к снижению критических условий (критического значения IV) реализации неустойчивости, пропорциональному квадрату амплитуды волны, а при 8 > 0 к увеличению. Амплитудный коэффициент при нелинейной поправке к частоте принимает положительные значения только в окрестности резонанса. Это в соответствии со сказанным выше означает, что волна, отдающая свою энергию в резонансном взаимодействии другой волне, становится более устойчивой в смысле реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду.

Второй параграф данной главы посвящен исследованию нелинейных закономерностей реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора на заряженной границе раздела сред. Рассуждения проводились для физической модели, аналогичной той, которая использовалась в первом параграфе, за исключением того, что верхняя среда имела теперь большую плотность по сравнению с нижней (т.е. вверху располагалась более тяжелая жидкость). Целью данного исследования являлся расчет параметров нелинейной волны в рассматриваемой системе в аналитической асимптотической процедуре с точностью до четвертого порядка малости по произведению амплитуды волны на ее волновое число. Также интересно проследить эволюцию профиля волны во времени, задаваясь вопросом: каким образом "тяжелая" жидкость будет "проваливаться" в более легкую среду и какое влияние на этот процесс оказывает электрический заряд, распределенный по границе раздела. Все рассмотрение проведены в безразмерных переменных, в которых Ру= g~a = \.

На основе построенной математической модели волнового движения формулировалась краевая задача. Решение задачи получено методом разложения неизвестных величин (возмущение границы раздела сред, потенциалы полей скоростей в верхней и нижней средах, потенциал электростатического поля) по малой амплитуде начальной деформации а методом многих временных масштабов теории возмущений. Окончательное аналитическое асимптотическое выражение для профиля неустойчивой волны на однородно заряженной поверхности раздела жидкостей, выписанное с точностью до слагаемых третьего порядка малости, имеет вид:

е е2

I;(х,() = , соз(Ь') ■ ехр(^) + —Г221' со$(2Ь) ■ ехр(2у1) +

^23Е21 + к2 *

5 = к3(

+—031 • соб(3 кх) ■ ехр(3р) + 0(ел), где

¡С

16Ж2к2 +16М(р -1 )[к2 - (р -1)] + 8(р-1)2(1+р2) -

2 +

-к2 (р - 1X1 - 3Ор + р2) + 2к*(1 - 6р + р2 ))!ъу{\ + р)2 ■

"21 = *((/>■- Ш2 +2 Ш-{р~ 1)) /щ ;

п3, = к2 (2к4(Зр2 -1 Ор + 3) + 32Ж2к2 - (р-1)(2\р2-22р + 2\)к +32Ш(р-1 )[к2 - (р -1)] + (р - 1)2[6р2 - 20р + 6])/щ -32; Н, н-2(1 + р)[(р-1) + 2*2]; Е2 ^-8(1 + р)[(р-1) + 3к2}-

= р = (р2/р,)> 1, /2н -Л—({р-\)^-к-к2

[(1 + р)^

Также получены выражения для потенциалов полей скоростей соответствующих сред и выражение для потенциала электрического поля.

На рис.1 приведены контуры образующей границы раздела в различные моменты времени от начала реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора для различных

значений волновых чисел, иллюст-1 2 рирующие временную эволюцию

неустойчивой по отношению к гравитационному и электрическому полям границы раздела жидкостей. На рис. 1а приведен профиль поверхности раздела сред определенный неустойчивой волной с максимальным при заданном отношении плотностей и величине параметра W значением инкремента неустойчивости. На рис. 16 и рис.1 в приведены профили поверхности раздела сред определенные не оптимальными в смысле величины инкремента волнами: на рис. 16 взято волновое число меньшее ктах, а на рис.1 в -большее к

Рис.1а

Профиль неустойчивой границы раздела сред, рассчитанный при различных значениях безразмерного времени при £' = 0.01, ^ = 10, р = 1.5, к = 6.67: кривая 1 соответствует безразмерному времени I = 0.8, кривая 2 - времени I = 0.85.

Рис.16

Профиль неустойчивой границы раздела сред, рассчитанный в различные моменты времени: б) - при С = 0.01, IV = 2, р = 1.5, к — 2: кривая 1 соответствует безразмерному времени / = 5, кривая 2 времени I = 7. в) - при £ = 0.01, Ж = 10, р = 1.5, к = 10: кривая 1 соответствует безразмерному времени 1 = 4.6, кривая 2- времени ¿=4.8.

Из сравнения приведенных фигур видно, что амплитуда неустойчивой волны с максимальным инкрементом увеличивается гораздо быстрее, чем у волн меньшими и большими значениями волновых чисел. Кроме того, из рис.1 несложно видеть, что рост параметра Тонкса-Френкеля Ж приводит к уменьшению характерного линейного масштаба, на котором происходит протекание тяжелой жидкости в легкую. Указанное обстоятельство означает более однородное перемешивание жидкостей, разделенных заряженной поверхностью, при реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора, чем при отсутствии заряда на границе раздела сред, и может иметь серьез-

ные последствия для всех практических приложений феномена неустойчивости Рэ-лея-Тейлора.

В результате, наличие электрического заряда на границе раздела в поле сил тяжести двух несмешивающихся жидкостей различных плотностей в ситуации, когда более плотная жидкость находится над менее плотной жидкостью, приводит к уменьшению характерного линейного масштаба, на котором боле плотная жидкость протекает в менее плотную.

Аналитические асимптотические расчеты нелинейного периодического волнового движения на границе раздела вязких сред связаны с крайне громоздкими даже при использовании компьютерных пакетов аналитических вычислений расчетами. Чрезвычайная сложность подобных расчетов резко тормозит темпы и качество исследований многочисленных нелинейных эффектов. Это заставляет искать пути упрощения математической процедуры отыскания параметров периодических нелинейных волн и реанимировать проблему построения теории пограничных слоев у границы раздела двух несмешивающихся сред и у твердого дна, связанных с волновым движением жидкости.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена модификации теории пограничного слоя в окрестности заряженной границы раздела вязких несмешивающихся жидкостей.

В первом параграфе данной главы сформулирована и решена задача о расчете периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на границе раздела двух сред в поле тяжести и в электростатическом поле. Вязкие, несжимаемые жидкости с плотностями Р\,Р2, где рх > р2 и кинематическими вязкостями у1,у2 заполняют в поле сил тяжести полупространства г<0 и г>0 соответственно в декартовой системе координат, ось х которой направлена против направления ускорения силы тяжести е2а ось х - по направлению движения плоской капиллярной волны - ехр(я/ + Ни). Верхняя жидкость является диэлектриком с диэлектрической проницаемостью £*, нижняя идеальным проводником. На границе раздела сред, которая характеризуется коэффициентом поверхностного натяжения у, однородно распределен электрический заряд. Функция £(х,/) = дй -ехр(з1 + На) описывает малое возмущение равновесной плоской границы раздела жидкостей. ¿У(1)(г,0, У(2)(?,0 - поля скоростей движения нижней и верхней среды соответственно, вызванного возмущением ¿¡(х,(), имеющие тот же порядок малости. Все рассмотрение проводились в безразмерных переменных, принимая px = g-y-\.

В результате решения данной задачи классическими методами получено дисперсионное соотношение, имеющее в приближении малой вязкости вид:

{\ + р)-*2-4к2\Р^1 руг)-з + к(кг + р) = 0, (1)

Г = 8-£„74л, р = р2/р{< 1.

Для исследования вихревых компонент полей скоростей, связанных с волновыми движениями в слоях вязких бесконечно глубоких жидкостей, выписаны выражения для роторов полей скоростей течений соответствующих жидкостей:

£2| = Ух и(1) = • [к2 - д^2) • В2 ■ ехр ■ ехр(лГ - гЬ) + к£. | • п^, П2 = V х и(2) = -{к2 -^)"#4 'ехР(-9г2)'СХР(5' ~1кх) + к'с\ 'V

{к-я]){{к + д1)-У1 + р(к + Ч1)^2) На рис.2а-б приведены зависимости роторов полей скоростей течений в окрестности

Роторы полей скоростей течений жидкостей в окрестности границы раздела сред, рассчитанные при: а) -Ж = 13, к = 3, р = 0.9, V, = 0.002, у2 = 0.004, б) - Ж =13, к — 3, р = 0.9, V, =0.002, \>2 = 0.001, тонкие кривые соответствует безразмерному времени / = 0.5, толстые кривые - моменту времени / = 1.

Из приведенных рисунков видно, что вихревое движение в обеих жидкостях, связанных с волновым движением границы раздела сред сосредоточено в малой окрестности границы. Это является основанием для построения теории пограничного слоя, связанного с волновым движением границы раздела сред.

Во втором параграфе сформулирована и решена модельная задача, которой аппроксимируется точное решение описанной в первом параграфе задачи и которая получается на основании представлений о погранслойном строении полей скоростей течений жидкостей. Для достижения этой цели предполагалось, что в соответствии с решением задачи приведенной в первом параграфе данной главы соответствующие вихревые части модельных течениий сосредоточены в приповерхностных пограничных слоях, толщинами 8и82 для нижней и верхней среды соответственно. Толщины слоев 8х,8г оценены с точностью до постоянных множителей в,II в виде

81^в-8182 = Н-812-, 8п =^2 \\!а\ 812 = ^2У2/О)-, с>£1т(,у).

Найдено дисперсионное соотношение, совпадающее в приближении малой вязкости с дисперсионным уравнением (1), полученным при решении точной задачи), выписано решение начальной модельной задачи.

В третьем параграфе математическая формулировка модельной задачи в пределе малой вязкости упрощена с помощью построений, аналогичных тем, что используются в традиционной теории пограничного слоя, с некоторым различием в представлении о строении течения в пограничных слоях, связанных с наличием границы раздела двух сред. Данное упрощение основано на оценочных рассуждениях, которые можно провести, даже не имея точного решения.

Получено дисперсионное соотношение упрощенной задачи, совпадающее в приближении малой вязкости с дисперсионным уравнением (1), полученным при решении точной задачи. Выписано решение упрощенной задачи. Приведем здесь выражение для роторов полей скоростей течений жидкостей в соответствующих приповерхностных слоях

Q, вVхU(l) =\дй-{к2-д,2)• 91 ■ sh[q{(z + ■ exp(si-ikx) + к.с.I• n ,

[ cKW) J

02 * Vx U(2) ^{g0-(k2-q\)- °4 -sh[q2(,z - S2)] ■ exp (st - ikx) + к.с. I- n , [ ch{q282) J

где D2=-2m-(3*)" ■(kq2(vi-pv2) + (ps-vik2)-th(q2S2)},

A = 2is ■ (s*) 1 • (fy {-Vi+py2) + (s - pVjk1) ■ thiq.sS),

5* = q2 (j - v.k1) • + [pqx (j - v.k1) - к(s(l ■+ p)+ k2 (y, + pv2 )) • *%,£,)) x

xth(q2S2).

В четвертом параграфе данной главы, для того чтобы оценить погрешность, допускаемую при замене точного решения на полученное в рамках упрощенной математической постановки, приведены рассчитанные при различных значениях неопределенных коэффициентов G и Я относительные погрешности:

где U^\r,t) - точное решение, a - приближенное. Показано, что 1) при

G-5 и Я = 5 относительная погрешность составляет доли процента; 2) относительная погрешность приближенного расчета горизонтальной компоненты поля скоростей rjx как для верхнего приповерхностного, так и для нижнего приповерхностного пограничных слоев в несколько раз превышает погрешность расчета вертикальной компоненты поля скоростей rjz. Сказанное означает, что общая погрешность расчетов вихревого движения в пограничных слоях определится в первую очередь погрешностью г]х, и что сами расчеты могут быть проведены с контролируемой точностью.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена модификации теории пограничного слоя связанного с волновым движением на свободной поверхности вязкой электропроводной жидкости конечной толщины на твердом дне.

В первом параграфе данной главы сформулирована и решена задача о временной эволюции капиллярно-гравитационных волн плоской однородно заряженной с плотностью заряда а свободной поверхности вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости конечной глубины й. Жидкость характеризуется плотностью р, коэффициентом кинематической вязкости V, коэффициентом поверхностного натяжения у и находится в поле тяжести ^ ив электростатическом поле напряженностью Е0 = Ала, перпендикулярном свободной поверхности жидкости. Функция £(*,/) = £"0-ехр(й*) описывает виртуальную начальную деформацию плоской равновесной в поле сил тяжести поверхности жидкости, где много меньше длины волны и капиллярной постоянной жидкости: а = Предполагалось,

что амплитуда {/(г,?) - поля скоростей течения жидкости, вызванного волной , в безразмерных переменных в которых р = £ = У = 1 имеет тот же порядок малости, что и £(х, I).

В результате получено дисперсионное соотношение, имеющее в приближении малой вязкости вид:

х2 + 4 гк2я + а>1 (к) • *А(Ы) = 0.

Имея в виду исследование вихревой компоненты поля скоростей, связанного с волновым движением в слое вязкой жидкости конечной толщины, выписано выражение для ротора поля скоростей:

□ = V х и = {-£> • в • V V1 ■ {я' {В\ • сИ(Ы) - В2 ■ *ЫЩ ■ с%(г + + +к ■ (В2 ■ сИ(М) -В1 ■ хп{М)) ■ + с?)]) • ехр(яг- ¿кх) + к.с.} • п^,

■В*-(11 + 2ук » ' В2 к-(к- сЦЫ) ■ бИ{ЧсГ) - д ■ зЦЫ) ■ ск(дс!)) '

д = кф + з/(к1-у).

Показано, что когда толщина слоя жидкости сравнима с длиной волны, течение жидкости связанное с волной охватывает весь объем жидкости. Если же толщина слоя много больше длины волны, то все течение, связанное с волной, сосредотачивается в приповерхностном слое жидкости глубиной порядка длины волны. Расчеты показывают, что при уменьшении поверхностного заряда отмеченные выше общие характеристики поля скоростей сохраняются, но амплитудные значения обеих проекций поля скоростей увеличиваются (при IV = 0 примерно в полтора раза). Увеличение длины волны при прочих равных условиях приводит к снижению амплитудных значений компонент поля скоростей при сохранении остальных особенностей течения.

На рис.За-б приведены зависимости от безразмерной глубины амплитудных значений абсолютной величины ротора поля скоростей течения жидкости, связанного с бегущей по ее поверхности капиллярно-гравитационной волной, рассчитанные в различные моменты времени для двух <1 =1 и с1 = 10 безразмерных толщин слоя вязкой электропроводной заряженной жидкости на твердом дне. Для ситуации ¿/ = 10 на рис.3 б иллюстрируемая зависимость приведена лишь для приповерхност-

ной части слоя, где амплитуда ротора заметно превышает толщину линии оси. Наиболее физически значимым фактом на приведенных зависимостях является наличие вихревого движения на дне, порождаемого волной бегущей по свободной поверхно-

Рис. 3 а-6. Зависимости от безразмерной глубины амплитудных значений абсолютной величины ротора поля скоростей течения жидкости, рассчитанные при У = 0.002, к — 3, IV = 1.99 в различные моменты безразмерного времени, измеренного в долях периода волны:

1 - * = 0; 2 - ? = Т/5; 3 - (= 2Г/5; 4 -I = ЗТ/5; 5-1= 4Т/5;6 - I = Т; а) (I = 1; б)<1 = 10

Показано, что при распространении капиллярно-гравитационной волны по свободной поверхности слоя вязкой жидкости на твердом дне с толщиной слоя, меньшей длины волны, поле скоростей течения жидкости, связанного с волной, имеет сложную структуру: вихревое движение концентрируется в малой окрестности свободной поверхности и в малой окрестности твердого дна, потенциальное же течение заполняет весь объем жидкости. В ситуации, когда длина волны много больше толщины слоя жидкости, вихревое движение порождаемое поверхностной волной заполняет весь ее объем, причем интенсивность вихревого движения у твердого дна может значительно превышать таковую у свободной поверхности жидкости. Электрический заряд на свободной поверхности электропроводной жидкости приводит к снижению интенсивности вихревого движения жидкости.

Во втором параграфе сформулирована и решена модельная задача при помощи которой аппроксимировано точное решение описанной в первом параграфе задачи и которая получается из нее на основании представлений о погранслойном строении поля скоростей течения жидкости. Для достижения этой цели предполагалось, что в соответствии с решением задачи приведенной в первом параграфе данной главы (см. рис.За-б) вихревая часть модельного течения сосредоточена в приповерхностном пограничном слое, толщиной (5, и в придонном пограничном слое, толщиной 6г, а потенциальная составляющая поля скоростей течения жидкости охватывает весь ее объем. Толщина слоя оценена с точностью до постоянного множителя б в виде

а для оценки толщины пограничного слоя возле дна получено следующее выражение 8г = Н■ ^¡2ж-у/т. Найдено дисперсионное соотношение, совпадающее в при-

ближении малой вязкости с дисперсионным уравнением, полученным при решении точной задачи, выписано решение задачи.

Решенную модельную задачу используем для построения приближения пограничного слоя, когда в математической формулировке задачи можно пренебречь некоторыми слагаемыми, что позволить упростить математическую формулировку и облегчить процедуру отыскания решения. В используемом линейном приближении по малой амплитуде Ç0 это упрощение не существенно, но при решении нелинейных задач расчета периодического волнового движения в слоях вязкой жидкости конечной толщины, отличающихся крайней громоздкостью, оно может стать весьма важным.

В третьем параграфе математическая формулировка модельной задачи в пределе малой вязкости упрощена с помощью построений, аналогичных тем, что используются в традиционной теории пограничного слоя, с некоторым различием в представлении о строении течения в пограничных слоях, связанных с наличием свободной поверхности и дна. Данное упрощение основано на оценочных рассуждениях, которые можно провести, даже не имея точного решения.

Получено дисперсионное соотношение упрощенной задачи, совпадающее в приближении малой вязкости с дисперсионным уравнением, полученным при решении точной задачи (см. §1). Выписано решение упрощенной задачи. Приведем здесь выражение для ротора поля скоростей течения жидкости в приповерхностном слое

Q, = Vх U(!) = |-£"0 • s ■ С\ ■ [v ■ ch{qôl)]_1 sh[q(z + <?,)]• exp(st - ikx) + k.c.j • n^, , где D1=-i• 2 kvs •

Выражение для ротора поля скоростей течения жидкости в придонном слое имеет вид

Q2 h Vx U(2) = j-Co • D2 ■ s ■ v"1 {sh(qz) - ch{qz) ■ th[q{-d + <S2)]} • exp(ii - ikx) + ¿.c.j • n^

где D2 =/••/_r_ÙfimzM-.

(s - 2 vk2 y(k-sh(qS2)- ch(kd) - q ■ ch(qô2) ■ sh(kd))

В приближении малой вязкости решения упрощенной задачи совпадают с точными решениями модельной задачи.

В четвертом параграфе данной главы для того чтобы оценить погрешность, допускаемую при замене точного решения на полученное в рамках упрощенной математической постановки решение, приведены рассчитанные при различных значениях неопределенных коэффициентов G и Я относительные погрешности:

7 = 1; 2,

где U^J\r,t) - точное решение, a Û^\r,t) - приближенное. Из рис.4а-б., рис. 5а-б.

видно, что 1) при G = 4 и // = 3 относительная погрешность составляет доли процента; 2) относительная погрешность приближенного расчета горизонтальной компоненты поля скоростей г/х как для приповерхностного, так и для придонного пограничных слоев в несколько раз превышает погрешность расчета вертикальной

компоненты поля скоростей г/г. Сказанное означает, что общая погрешность расчетов вихревого движения в пограничных слоях определится в первую очередь погрешностью Т]х, и что сами расчеты могут быть проведены с контролируемой точностью.

а) б)

Рис.4.а-б. Относительная погрешность компонент поля скоростей в приповерхностном слое, рассчитанная при С? = 1, = 1.99, <¡0=0.1, к = 3, V = 0.002, < = 0 для различных значений коэффициента С: 1-0 = 1, 2 - 0 = 2, 3 - 0 = 3,4- (7=4. а) для горизонтальной компоненты, б) для вертикальной компоненты

б)

Рис.5.а-б. Относительная погрешность компонент поля скоростей в придонном слое, рассчитанная при с1 = 1, IV = 1.99, Со = 0.1, к = 3, V = 0.002, < = 0 для различных значений коэффициента Н: 1 - Н ~ 1, 2 - Н = 2, 3 - Н = 3, 4 - Н = 4. а) для горизонтальной компоненты, б) для вертикальной компоненты

В результате показано, что теория пограничного слоя, связанного с волновым движением на свободной поверхности жидкости, может быть использована для расчета волнового движения конечной амплитуды в слоях вязкой жидкости конечной толщины. В ситуации, когда толщина слоя превышает длину волны более чем в два раза, с контролируемой точностью движение жидкости у дна можно считать безвихревым. Если же это условие не выполняется, то необходимо учитывать рассеяние энергии волны в двух пограничных слоях: у свободной поверхности жидкости и у твердого дна. Если толщина слоя жидкости не превышает двух десятых от длины

волны, приповерхностный и придонный пограничные слои перекрываются, и мы приходим к приближению тонкой пленки вязкой жидкости.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Найдено аналитическое асимптотическое решение задачи о расчете нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей в четвертом порядке малости по произведению амплитуды волны на волновое число.

2. Выяснилось, что по сравнению с периодическими нелинейными волнами на однородно заряженной свободной поверхности жидкости положения внутренних вырожденных нелинейных резонансов зависят от отношения плотностей сред, а знаки нелинейных поправок к амплитудным коэффициентам и поправки к частоте волны меняются на противоположные при переходе через положения резонансов. Критические условия реализации неустойчивости границы раздела по отношеншо к поверхностному заряду могут как снижаться, так и увеличиваться за счет нелинейного взаимодействия волн. При наличии нелинейного резонансного взаимодействия волн, повышается устойчивость волны отдающей свою энергию.

3. Найдено аналитическое асимптотическое решение задачи о расчете нелинейной стадии неустойчивости Рэлея-Тейлора на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей, одна из которых проводящая, а другая диэлектрическая. Наличие заряда на границе раздела сред приводит к расширению диапазона длин волн, претерпевающих неустойчивость, за счет смещения в область коротких волн. Длина волны, обладающей максимальным инкрементом, уменьшается. Характерный линейный масштаб деформации поверхности раздела, связанный с протеканием тяжелой жидкости в легкую, уменьшается с увеличением поверхностной плотности электрического заряда пропорционально корню квадратному из параметра Тонкса-Френкеля.

4. Предложена модификацию теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной границе вязких бесконечно глубоких жидкостей, позволяющая проводить расчеты с заранее заданной погрешностью.

5. Показано, что для корректного расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения в слоях вязких бесконечно глубоких жидкостей, необходимо принимать во внимание одновременное существование двух пограничных приповерхностных слоев.

6. Предложена модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной поверхности электропроводной вязкой жидкости конечной глубины на твердом дне, позволяющая проводить расчеты с заранее заданной погрешностью.

7. Показано, что для корректного расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения в слое вязкой жидкости на твердом дне в ситуации, когда глубина сравнима с длиной волны, необходимо принимать во внимание одновременное существование двух пограничных слоев: у свободной поверхно-

сти жидкости и у твердого дна. Учет наличия пограничного слоя вблизи твердого дна актуален только для слоев вязкой жидкости с толщиной, не превышающей двух длин волн. Для более толстых слоев движение жидкости возле дна можно считать потенциальным. В тонких слоях с толщиной порядка двух десятых от длины волны и меньшей приповерхностный и придонный пограничные слои перекрываются, а вихревое движение заполняет весь объем жидкости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Григорьев А.И., Пожарицкий Д.М. О нелинейных поправках к критическим условиям реализации неустойчивости заряженной границы раздела двух сред. // Сборник докладов VIII Международной научной конференции "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей". 2006. Санкт - Петербург. Стр.70.

2. Климов A.B., Пожарицкий Д.М. О нелинейных волнах на заряженной поверхности раздела двух жидкостей. // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Том III.2006. Нижний Новгород. Стр.110.

3. Пожарицкий Д.М., Григорьев А.И. Нелинейный анализ закономерностей реализации неустойчивости Релея-Тейлора на заряженной границе раздела сред // Тезисы докладов ХХИ-ой научной конференции стран СНГ "Дисперсные системы". 2006. Украина. Одесса. Стр. 274.

4. Пожарицкий Д.М. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности раздела двух идеальных жидкостей. // "Математика и математическое образование. Теория и практика". 2006. Ярославль. Выпуск 5. Стр. 259.

5. Григорьев А.И., Пожарицкий Д.М., Климов A.B. Нелинейные поправки к частотам волн на заряженной границе раздела двух идеальных жидкостей // Электронная Обработка Материалов. 2006. № 6. С. 28-37.

6. Григорьев А. И., Пожарицкий Д. М., Егорова Е. В. О неустойчивости Тейлора-Тонкса-Френкеля на плоском мениске жидкости. // Сб. молодых ученых "Физический вестник". 2006. Ярославль. Вып.1. С. 149-156.

7. Григорьев А.И., Пожарицкий Д.М. Нелинейный анализ закономерностей реализации неустойчивости Релея-Тейлора на заряженной границе раздела сред // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып.4. С.35-42.

8. Григорьев А.И., Пожарицкий Д.М. О временной эволюции мениска жидкости на торце капилляра во внешнем электростатическом поле // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып. 10. С.40-46.

9. Пожарицкий Д.М. Нелинейное исследование некоторых закономерностей реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора на заряженной границе раздела сред. // "Математика и математическое образование. Теория и практика". 2008. Ярославль. Выпуск 6. Стр. 270.

Отпечатано на ризографе Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская 14 Тираж УС О Заказ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Пожарицкий, Дмитрий Михайлович

Введение.

Глава 1. Обзор литературы.

1.1. Неустойчивость Тонкса-Френкеля.

1.2. Неустойчивость Рэлея-Тейлора.

1.3. Теория пограничного слоя.

Глава 2. Нелинейный анализ устойчивости в поле сил тяжести и электрическом поле заряженной границы раздела идеальных несмешивающихся жидкостей.

2.1. Нелинейное волновое движение на заряженной границе раздела двух идеальных несмешивающихся жидкостей.

2.2. Нелинейный анализ закономерностей реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора на заряженной границе раздела сред.

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование устойчивости нелинейных волн на заряженной границе раздела несмешивающихся жидкостей. Модификация теории пограничного слоя"

Актуальность темы. Волновое движение на границе раздела несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей неоднократно становилось предметом внимания ученых, уже хотя бы в связи с исследованием неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца и Рэлея-Тейлора, Аналитические расчеты в указанном направлении проводились как в линейной, так и в нелинейной постановках.

Исследование неустойчивости Рэлея-Тейлора, интенсивно проводившееся в середине прошлого века в связи с проблемами разработки ядерного оружия [Book D.L., 1986], в последние годы развивается в связи с проблемами инерционного термоядерного синтеза [Clark D.S., Tabak М., 2005; Kartoon D., Orón D., Arazi L., Shwarts D., 2003; Dimonte G.3 2004; Sapir M., Havazelet D., 1985] и сонолюминисценции [Диденкулов И.Н., Селивановский Д.А., Семенов В.Е., Соколов И.В., 1999; Goncharov V.N., Li D., 2005]. Обсуждаемый тип неустойчивости проявляется и на заряженной поверхности мениска жидкости на торце капиллярной трубки в разнообразных устройствах для электродиспергирования жидкости (см., например, обзоры [Григорьев А.И., Ширяева С.О., 1994; Ширяева С.О., Григорьев А.И., Святченко A.A., 1993] и указанную там литературу).

Исследованию неустойчивости Рэлея-Тейлора посвящено в различных постановках значительное число работ [Азаренков H.A., Михайленко В.В., Михайленко B.C., 2002; Алеханов Ю.В., Левушов А.Е., Логвинов A.A., Ломтев С.А., Мешков Е.Е., 2003; Анучина H.H., Волков В.И., Еськов Н.С., Илютина О.С., Козырев О.М., 2004; Жидков И.Г., Мешков Е.Е, Попов В.В., Рогачев В.Г., Толшмяков А.И., 1977; Зайцев М.В., Шлиомис М.И., 1969; Иванов A.A. мл., Поволоцкая Г.В., Переславцев A.A., 2004; Иногамов H.A., Опарин A.M., 1999; Мешков Е.Е., Невмержицкий Н.В., 2002; Мешков Д.Е., Мешков Е.Е., Сиволгин B.C., 2005; Alón, U., Hecht, J., Ofer, D., Shvarts, D., 1995; Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A., 1980; Rayleigh, 1882; Richtmyer R.D., 1960], однако, аналитические исследования нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей не проводились. Частичному устранению этого пробела будет уделено место в настоящем исследовании.

На заряженной границе раздела идеальных несмешивающихся несжимаемых жидкостей кроме неустойчивости Рэлея-Тейлора может иметь место и неустойчивость Тонкса-Френкеля: неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к отрицательному давлению электрического поля.

Неустойчивость Тонкса-Френкеля лежит в основе явления эрозии электродов интенсивных дуговых разрядов [Аксенов И.И. и др., 1984; Габович М.Д., Хомич В. А., 1987; Кимблин К.В., 1979; Невровский В.А., 1977; Стаханов И.П., Фикс М.М., Филькин Д.Г., 1981; Ширяева С.О., Григорьев O.A., 1993; Эккер Г.К., 1991], а также в основе теории катодных и анодных пятен [Литвинов Е.А. и др., 1985; Лупехин С.М. и др., 1983; Саночкин Ю.В., 1986; Фурсей Г.Н. Воронцов-Вельяминов П.Н., 1967], появление которых связано с плавлением катода (анода) в области больших плотностей токов и движении эмиссионных выступов, на вершины которых замыкаются линии тока, по поверхности электрода. Тем не менее, до сих пор не проведено исследования нелинейного волнового движения на однородно заряженной поверхности раздела несмешивающихся жидкостей, хотя подобная комбинация физических параметров достаточно широко распространена как в естественных геофизических условиях, так и в различных технических и технологических приложениях [Аксенов И.И. и др., 1984; Габович М.Д., Хомич В.А., 1987; Кимблин К.В., 1979; Невровский В.А., 1977; Стаханов И.П., Фикс М.М., Филькин Д.Г., 1981; Ширяева С.О., Григорьев O.A., 1993; Эккер Г. К., 1991]. В данной работе проведено нелинейное исследование, посвященное данному феномену.

Выполненные в последние годы корректные аналитические асимптотические расчеты нелинейного периодического волнового движения на поверхности вязкой жидкости (на границе раздела вязких сред, у твердого дна) связаны с крайне громоздкими даже при использовании компьютерных пакетов аналитических вычислений расчетами [Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2003; Longuet-Higgiins M.S., 1953]. Чрезвычайная сложность подобных расчетов резко тормозит темпы и качество исследований многочисленных нелинейных эффектов. В связи с этим возникла идея построения теории пограничного слоя, связанного с волновым движением на границе раздела сред и в слоях жидкости конечной толщины.

Цель работы состояла в проведении нелинейного анализа устойчивости в поле сил тяжести и электрическом поле заряженной границы раздела идеальных несмешивающихся жидкостей. В построении теории пограничного слоя для заряженной границы раздела двух вязких несжимаемых жидкостей, одна из которых является идеальным проводником, а другая — диэлектриком. В построении теории пограничного слоя для поверхностно заряженного слоя вязкой электропроводной жидкости на твердом дне. Для достижения поставленной цели были решены задачи:

- теоретического асимптотического исследования нелинейного волнового движения на заряженной границе раздела двух идеальных несмешивающихся жидкостей; теоретического асимптотического исследования нелинейных закономерностей реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора на заряженной границе раздела сред;

- построения теории пограничного слоя на заряженной границе раздела двух вязких несжимаемых жидкостей; построения теории пограничного слоя на свободной поверхности заряженного слоя вязкой электропроводной жидкости, лежащей на твердом дне.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

На защиту выносятся: 1. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей в четвертом порядке малости.

3. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейной стадии неустойчивости Рэлея-Тейлора на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на:

- VII международной научной конференции "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей" (Санкт-Петербург, 2006 г.);

- XXII научной конференции стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2006 г.);

- IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.);

- 5, 6-ой Всероссийской конференции "Математика и математическое образование" (Ярославль, 2006, 2008 г.);

- семинарах кафедры.

Структура работы. Диссертация общим объемом 240 страниц, состоит из введения, четырех глав, выводов, пяти приложений и списка литературы.