Поверхностные и внутренние волны в стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Федоров Максим Сергеевич

ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 3 НОЯ 2014

Челябинск - 2014

005555347

005555347

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова», в учебно-научной лаборатории математического моделирования физических процессов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Жакин Анатолий Иванович, ФГБОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет», профессор кафедры общей и прикладной физики

доктор физико-математических наук, профессор Саранин Владимир Александрович, ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г.Короленко», профессор кафедры физики и дидактики физики

Ведущая организация: ФГБУН Инсплуг океанологии им. П.П. Шир-

шова РАН

Защита диссертации состоится «18» декабря 2014 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул.Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Автореферат разослан «<Г» ноября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

В.Е.Федоров

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Проблема исследования волнового капиллярно-гравитационного движения в стратифицированной жидкости актуальна в связи с многочисленными приложениями в геофизике, технической физике, точном научном приборостроении и представляет интерес как чисто академический, связанный с физикой моря и физики атмосферы, так и чисто практический связанный с проблемами судоходства и воздухоплавания. Одной из проблем в исследовании волн в стратифицированной жидкости заключается в исследовании переноса энергии и импульса между нелинейными волнами в слоисто-неоднородной жидкости. Само явление проявляется, например, в виде эффекта «мертвой воды»: в эффекте переноса энергии и импульса нелинейных волн на свободной поверхности жидкости к нелинейным волнам на границе раздела сред. Амплитуда волн на границе раздела при этом принимает очень большую величину. Это явление имеет место в проливах, соединяющих водоемы с различной соленостью, например, в Гибралтарском проливе, соединяющем Средиземное море и Атлантический океан, при смешении неодинаково прогретых потоков воды (воздуха) с различной температурой или при таянии льда на поверхности замерзающих морей, когда на поверхности тяжелой соленой воды, появляется линза более легкой пресной. Суда, попавшие в такую линзу, пройдя по инерции некоторое расстояние, останавливались, и оставались неподвижными, с какой бы мощностью не работали винты, а энергия винтов шла на раскачку гравитационных волн большой амплитуды на границе раздела пресной и соленой воды, тогда как на свободной поверхности пресной жидкости волны имели малую амплитуду. Судно освобождалось из плена, только когда вследствие процессов естественной диффузии и перемешивания соленость воды выравнивалась по вертикали, а граница стратификации по плотности размывалась. Этому феномену было дано наименование эффекта «мертвой воды», которому частично уделено внимание в данной работе.

Имеет приложения этот эффект и в микромире: в слоисто-неоднородной жидкости в жидкостной эпитаксии, при получении микро- и наноматериалов с заданными свойствами. В этой области работает капиллярный аналог эффекта «мертвой воды», исследованный в последнее время и является предметом нижеследующего рассмотрения.

Особенный интерес представляет исследование волнового движения в вязкой слоисто-неоднородной жидкости в связи с неразрешёнными до сих пор проблемами динамического поверхностного натяжения и возобновившимися попытками экспериментального исследования влияния вязкости жидкости на

эффект «мёртвой воды».

В связи с вышесказанным представляет интерес изучение нелинейных волн и возможностей нелинейного резонансного взаимодействия капиллярно-гравитационных и капиллярно-флутктуационных волн (в области наноразме-ров) на границе раздела и на свободной поверхности в системе, состоящей из двух несмешиваемых, несжимаемых, жидкостей.

Степень разработанности темы. Методы исследования нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн начали разрабатываться около ста лет назад. Первая теоретическая работа по этой теме выполнена в начале двадцатого столетия Дж.Р. Вилтоном методом прямого разложения основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости и граничных условий к ним по малому параметру, равному отношению амплитуды волны к ее длине; Анализ Вилтона - первая существенная модификация нелинейной модели периодических гравитационных волн ГГ. Стокса на случай учета капиллярных сил.

Во второй половине двадцатого века, после того как Ф.Р. Брезертон и В.Ф. Саймоне сформулировали методы нелинейного анализа периодических волн, процедура решения Дж.Р. Вилтона была улучшена с помощью метода разных масштабов.

Среди работ последних десятилетий отметим работы Мак-Годдрика, А.Х. Найфэ, М.Дж. Мерсье, У.Дж. Янга,. Т.Б. Бенжамина, P.E. Девиса, Т. Кубота| О.В. Авраменко, И.Т. Селезова и др. Однако большинство решенных задач в основном двухмерные, в которых волны принимаются слабонелинейными и длинными по отношению к полной толщине жидких слоев.

Цели и задачи данной диссертационной работы:

• исследование взаимодействия капиллярно-гравитационных волн, порожденных различными поверхностями раздела в слоисто-неоднородной жидкости;

• исследование нелинейного резонансного взаимодействия волн в слоисто-неоднородной жидкости;

• исследование влияния вязкости контактирующих жидкостей на декременты волн;

• исследование капиллярного аналога эффекта «мертвой воды».

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• в теоретическом аналитическом анализе была исследована и уточнена реализация феномена «мертвой воды», заключающаяся в экспоненциальном увеличении амплитуд гравитационных и капиллярных волн на границе раздела сред при стремлении к нулю разности плотностей или величины коэффициента межфазного натяжения границы раздела;

• в теоретическом аналитическом исследовании проведен анализ влияния электростатического поля на капиллярный аналог эффекта «мертвой воды»;

• в теоретическом аналитическом анализе был проведен нелинейный анализ волнового движения в поле силы тяжести на свободной поверхности и на заряженной границе раздела двух идеальных несмешиваю-щихся жидкостей;

• в теоретическом аналитическом анализе проведено исследование нелинейного резонансного взаимодействия между поверхностными и внутренними волнами.

Научная новизна

— в аналитическом исследовании волнового движения на границе раздела не-смешивающихся жидкостей и на свободной поверхности верхней жидкости выяснилось, что в области капиллярных волн в линейном и нелинейном приближениях имеет место аналог эффекта «мертвой воды», ранее известный лишь в области гравитационных волн.

— найдены аналитические выражения для декрементов поверхностных внутренних волн слабовязкой, двухслойной жидкости.

— в аналитических асимптотических расчетах второго порядка малости показано, что для гравитационных волн в слоисто-неоднородной жидкости, стратифицированной по плотности, и для капиллярных волн порожденных поверхностями раздела с различными коэффициентами поверхностного натяжения имеет место внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие;

— обнаружено, что поверхностные капиллярно-гравитационные волны обмениваются энергией между собой при катализационном влиянии внутренних волн.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа посвящена обнаружению и исследованию новых эффектов: капиллярного аналога «мертвой воды», катализационного влияния внутренних волн на взаимодействие поверхностных.

Полученные результаты помимо чисто академического гносеологического интереса в области геофизики и физики моря представляют и практический для точного приборостроения и многослойной жидкостной эпитаксии при получении материалов с заданными свойствами. Результаты нелинейного волнового движения в поле силы тяжести на свободной поверхности и на границе раздела сред представляют интерес в связи с многочисленными приложениями, перечисленными выше и могут бьггь использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложениях.

Методология и методы исследования. При исследовании нелинейных волн и нелинейного внутреннего резонансного взаимодействия капиллярно-гравитационных волн в слоисто-неоднородной несжимаемой жидкости, использовались аналитические асимптотические методы компьютерного моделирования и классической математической физики: метод многих временных и пространственных масштабов. Так же была использована модель потенциального течения жидкости. Для исследования влияния вязкости использовалась модель маловязкой ньютоновской жидкости.

Положения, выносимые на защиту

1. Нелинейное исследование второго порядка малости волнового движения поверхностных и внутренних волн в слоисто-неоднородной жидкости со свободной поверхностью, в котором получен аналитический вид нелинейных поправок к амплитудам волн имеющие резонансный характер. Найдены точные положения вырожденных и вторичных комбинационных резонансов.

2. Исследование нелинейного резонансного обмена между волнами порожденными различными поверхностями раздела сред. В окрестностях резонансов исследован нелинейный обмен энергией между волнами, порожденными различными поверхностями раздела. Показано, что во вторичных комбинационных резонансах реально обмениваются энергией только волны, порожденные свободной поверхностью. Внутренние волны участвуют в этом процессе, но играют каталитическую роль.

3. Исследование и уточнение реализации капиллярного аналога эффекта «мертвой воды», ранее известного лишь в области гравитационных волн. Установлено, что амплитуды капиллярных волн на границе раздела жидкостей экспоненциально увеличиваются при близких значениях плотности и малой величине коэффициента поверхностного натяжения границы раздела.

4. Исследование влияния вязкости контактирующих жидкостей на волновое движение, в котором получен аналитический вид декрементов затухания поверхностных и внутренних волн. Показано, что величина декрементов зависит от кинематических вязкостей обеих сред, но при малом значении вязкости одной из сред, величина декремента определяется в основном вязкостью другой среды, что позволяет пользоваться моделью контакта вязкой среды с невязкой.

Степень достоверности и апробация результатов. Полученные результаты являются достоверными, что подтверждается асимптотическими переходами к результатам других авторов.

Материалы работы докладывались и обсуждались на: Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2008); Материалы VIII, IX и X Международных конференциях «Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере» (Ярославль, 2009, 2011, 2013); XXIV и XXV научных конференциях стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2010, 2012); 16-й всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010)-Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование и наука в технических и экономических вузах» (Ярославль, 2010, 2012 2014); XIII Харитоновских чтениях «Экстремальные состояния вещества Детонация. Ударные волны» (Саров, 2011); XXI международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2014).

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с А.И. Григорьевым научному руководителю принадлежат лишь постановка задачи и общее руководство. В работах [1-7] автору принадлежит решение задачи, а метод ее исследования С.О. Ширяевой. В работе [6] диссертанту принадлежит процедура построения асимптотического разложения, позволяющая получить В.Д. Труфанову решение задачи.

Основное содержание диссертационной работы

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, цели, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации представляет собой литературный обзор, в котором рассмотрены основные достижения в области изучения волнового движения в стратифицированной жидкости.

Вторая глава посвящена изучению взаимодействия капиллярно-гравитационных волн в двухслойной жидкости с конечной толщиной верхнего слоя жидкости, а так же влияние вязкости жидкости на характер волнового движения.

Первый параграф главы посвящен исследованию эффекта «мертвой воды» для гравитационных волн. Рассматривалась задача с двумя идеальными не-смешиваемыми несжимаемыми жидкостями, из которых верхняя имеет толщину А и плотность р1, а нижняя - с плотностью р2 (по определению р2> р\) заполняет в поле сил тяжести g полубесконечное пространство г 20. Вектор ускорения свободного падения g направлен противоположно е2 - орту декартовой системы координат, координатная плоскость г = 0 которой совпадает с невозмущенной границей раздела жидкостей: йИ-е^ Примем, что часть пространства над верхней жидкостью является вакуумом (представляет собой среду с плотностью, много меньшей плотности обеих жидкостей, и её влиянием на волновое движение в системе в линейном по отношению амплитуды волны к её длине приближении можно пренебречь). Будем исследовать гравитационное волновое движение на свободной поверхности и на границе раздела. Следует отметить, что модель несмешиваемых жидкостей будет описывать реальную ситуацию, если толщина переходного от жидкости с плотностью р\ к жидкости с плотностью рг слоя (толщина зоны стратификации по плотности), будет много меньше длины волны и толщины слоя верхней жидкости.

Решение задачи было получено методом многих временных масштабов путем разложения неизвестных функций (возмущения свободной поверхности и границы раздела сред, электро- и гидро- потенциалы полей скоростей в верхней и нижней среде) по малой амплитуде волнового движения.

В ходе решения задачи было получено дисперсионное соотношение, которое имеет вид:

4 [1+1К*Ь)]Р2& , (Рг-Лк2*2 '^) _0

03 [Р2+Р1-/Й(*Л)] [рг+рхЧкИ)\

Это биквадратное уравнение относительно частоты (О определяет связь частот колебаний (О с волновым числом к и их зависимость от физических параметров задачи. Корни дисперсионного уравнения определяются соотношениями:

2 , 2 kg(pi-p^)th(kh)

Первый корень со 1 соответствует решению дисперсионного уравнения в

случае однородной жидкости, а второй а>2 возникает вследствие стратификации жидкости.

Помимо дисперсионного соотношения, были найдены выражения для временных зависимостей амплитудных множителей волн для ситуации, когда в начальный момент времени задана волновая деформация с волновым числом к границы раздела сред:

«1 (0 = 2Ь 2[соз(йХ) - со5(СУ2/)];

a2(t) =

= £

1-

б\ -tí>2 а-В

2 2 ©f -а>2

■cos(ú)¡t) +

1 +

а~В

ú>Í

-col)

cos(a2t)

и для ситуации, когда в начальный момент времени задана волновая деформация свободной поверхности жидкости:

Г/ ( а-В Л сол-(Й^) + 1--\-^

i+

1-В

Л

af-aj)

~ео2 )

a2(t) = C-T «l

■со\

\_cos{a>lt) - cos{o)2t)~\.

Бьши построены графики для временных зависимостей амплитудных коэффициентов «,(/) и а2((). На «Рис. 1а» рассматривалась ситуация, когда волна возбуждается только на свободной поверхности (^¡^О, =0), а на

«Рис. 1Ь» наоборот, когда возбуждение происходит только на границе раздела жидкостей (£1=0,£2*0).

OW4 í Í Й Í А ' H ? ¡ ¡ ¡ ¡í •

0.5 ;; ¡i ¡| jj jjA¡'I í i ? У í V ШкПП li 0.5

-«j RÍiVIi ¡ :! ¥ 'i У 'i ? ¡ i»¡! «.' ¡¡ 5 4 t Щ j jispf |¡ i, i : ií » ! -0.S \ 50 litó ~

Рис. la: Зависимость щ (штрих) и а2 (сплошная) от времени /, при kh — \ для £=1,62=0, д =1,/>2=1.05 Рис. Ib: Зависимость a¡ (штрих) и a2 (сплошная) от времени t, при kh = l Д™ 6=0. 62=1. А=1, /Ъ = 1.05

Из «Рис. 1а» видно, что при задании в начальный момент времени волнового возмущения свободной поверхности верхнего слоя волновые движения на свободной поверхности и на границе раздела сред имеют амплитуды одного порядка величины. При задании же в начальный момент времени волнового возмущения границы раздела жидкостей при р1~р2^/>1 волновые движения на свободной поверхности и на границе раздела сред имеют амплитуды, разли-

чающиеся по величине примерно в Рг/{Р2~Р\) Р®3 («Рис.1Ь»). Этот результат линейного анализа определяет смысл феномена «мертвой воды».

Второй параграф данной главы посвящен изучению эффекта «мертвой воды» в области капиллярных волн. Полагалось, что верхней средой является вакуум, напряженность электростатического поля в котором равна Ео> Е " Ус" корение свободного падения. Толщина верхнего слоя идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости с массовой плотностью Р\ и диэлектрической проницаемостью е равна А. Нижняя идеально проводящая идеальная несжимаемая жидкость с плотностью Р2 заполняет нижнее полубесконечное пространство (полагаем р^ > А). Коэффициент поверхностного натяжения свободной поверхности верхней жидкости <Т\, а границы раздела сред ст2. Такая же физическая постановка задачи будет использоваться и в последующих главах диссертации.

В ходе решения задачи получили дисперсионное уравнение:

кУ

\рг +Рх 1КЩ] р\[рг +Р\ 'КЩ

= 0;

А

Фк

е(Е+1И(Ш)) ЛГ =

е2 - 2(гг -1 )/Л2(*Л) + ¡КкИ)

А

,2 Кк № + стхк -

(£-1)2

£ (£ + 1КЩ)

(Р2-Р\)ё + <?2к2-

^к{£(МРг) +1)

И^к

(£-1)

£{£+1КкК))сИ{кИ)\ ' 4л

£ (£ + /Л(Щ)

и отношение а2 - амплитуды «внутренней» волны, распространяющееся по границе раздела двух сред к оц - амплитуде волны, распространяющейся по свободной поверхности верхнего слоя жидкости:

= _£п = а, ап

2 ,_( 1Ук (£-\) кЩкИ)

2 IV к2 (е-

А®--~

1)Л{кИ)

сИ(кЬ).

£ (е+ЩкИ))

На «Рис.2а-Ь» приведены зависимости отношения амплитуд х = аг!а\ гравитационных волн от обезразмеренной на рх разности плотностей, рассчитанные для корня со знаком «минус» при радикале: 8 = (р2 - а)/А и зависи-

На «Рис.За-Ь» приведем рассчитанные для первого корня (со знаком «минус» при радикале) дисперсионного уравнения зависимости отношения амплитуд капиллярных волн Х^а2/ах от а = - отношения величины коэффициента поверхностного натяжения границы раздела сред <т2 к величине коэффициента поверхностного натяжения свободной поверхности верхней жидкости а, и зависимости отношения амплитуд х от произведения волнового числа на толщину слоя кк. Сравнение «Рис.ЗЬ» с «Рис.2Ь» показывает, что при ^ на капиллярных волнах имеет место эффект, аналогичный эффекту «мертвой воды», известному ранее только для гравитационных волн. Аналогичные зависимости для первого (со знаком «плюс» перед радикалом) корня дисперсионного уравнения эквивалентны таковым для случая чисто гравитационных волн- у практически не зависит от ст, весьма медленно увеличиваясь (примерно на толщину линии в диапазоне изменения сг от 0 до 0.1) с ростом <х, и экспоненциально убывает с ростом кк.

мостиотношения амплитуд х от произведения волнового числа на толщину слоя кк, полагая РУ = 0, ст, ->0. сг-, ->0,

__}___2_ а

Рис.2а: Для обезрамеренных разностей плотностей: ¿Г = 0.01-точки; ¿' = 0.03-пунктир; <5 = 0.1 — сплошная.

Рис.2Ь: При к = \, для Н = 1-точки; . А = 30 ~пунктир; А = 60-сплошная.

Рис.ЗЬ: При 3 = 0.03, А = 1-точки; . А = 2 — пунктир; А = 3—сплошная.

В связи с упомянутыми во введении к данной работе приложениями, связанными с наличием электрического поля, перпендикулярного границе раздела,

представляется целесообразным исследовать роль параметра ¡V (пропорционального давлению электрического поля на поверхность), входящего в полную постановку задачи, в дисперсионное уравнение и отношение амплитуд. Это интересно еще и потому, что из «Рис.2Ь» - «Ррис.ЗЬ» видно, что отношение амплитуды волны, распространяющейся по границе раздела двух сред, к амплитуде волны, распространяющейся по свободной поверхности верхнего слоя жидкости, имеет резонансный характер. Это обстоятельство имеет место как в чисто гравитационном случае (стремится к бесконечности при (/?2 — Ру) —> 0), так и в чисто капиллярном (при <т2 —>0). Из выражения для соотношения амплитуд видно, что в наиболее общей ситуации, когда g^0;a^2Jt0',W^=0, отношение амплитуд может иметь резонанс при варьировании зарядового параметра (V (когда знаменатель стремится к нулю):

2 IV к2 (е-1 ЩЩ

р,<»-----

е (е+1И(Щ)

->0.

Это обстоятельство указывает на важную роль поверхностного заряда, по крайней мере, в области капиллярных волн. На «Рис.4а» и «Рис.4Ь» приведены зависимости х-х(.с)> построенные по второму корню дисперсионного уравнения (соответствующий режиму «мертвой воды») при ^ = О, при различных значениях параметров , £ и И. Из «Рис.4а-Ь» видно, что при (V ф 0 резонанс, ранее имевший место при <т —> 0, по мере увеличения параметра IV смещается в область больших значений ег, причем кривые, соответствующие различным значениям толщины слоя И, делают это с различной скоростью.

X X |||

2000 н 1 \ 1 \ гооо Г1

1000 / / ! / \ \ \ N. \ ч ^^^ 1000 ', / > N __ ... •..>

0 0.023 0.05 0.075 (Г 0 0.025 0.05 0.075 <т

Рис.4а: (Г = 0.1, * = 1, е = 20. Рис.4Ь: 0.6, к = 1, е = 20.

Зависимости X = %(&), построенные толщин верхнего слоя жидкости: Н = 1 при а, =/0| =1, я = - точки, А = 2 - пунктир 3 = 0.03 , И = 3 - для различных сплошная.

Аналогичные расчеты для первого корня дисперсионного уравнения (который соответствует режиму однородной жидкости) показывают весьма слабую зависимость отношения амплитуд от отношения коэффициентов поверхностного натяжения сг при тех же значениях физических параметров, что были использованы при расчетах, проиллюстрированных на «Рис.4а-Ь».

Если взять более общую ситуацию, когда ^ ^ 0, то картина влияния электрического поля на реализацию капиллярного аналога эффекта «мертвой воды»

качественно не изменится, лишь сместятся положения резонансов и изменится ширина резонансной кривой.

Таким образом, наличие внешнего электрического поля позволяет наблюдать капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» в области хотя и малых, но конечных значений величины коэффициента поверхностного натяжения границы раздела сред сг.

Третий параграф посвящен исследованию внутренних и поверхностных гравитационных волн, с начальными условиями такими, что в начальный момент времени задается волновая деформация на границе раздела и на свободной поверхности жидкости одновременно. Исходя из этого были выписаны профили на свободной поверхности верхнего слоя жидкости ¿f, (х,/) и на поверхности раздела жидкостей £2 (*>'):

(х, í) = «, ) ■ cos(Ax) = — {¿"i [^1 ■cos(mlt) + tj2 -«м(&>2/)] +

+2£2т)ъ [cos(úJit) - cas(¿u2')]} cos(kx); <f2 (*,') = a2 (t) • cos(Ax) = -Щ[cosfat) -cos(ea2i)J +

+C2 \jl2 ' cos(co\t) + щ • cos(cy2í)]}cos(kx)-, % -2A[l + th(khj\; r¡2 =2(p2-pl) [l-th(kh)]; Ъ- {р2 -P\)-sec(kh)\ щ = prsec{kh); ¿ = (2^ • th(kh) + p2 • [l-th(kh)§.

Четвертый параграф посвящен исследованию влияния вязкости жидкости на внешние и внутренние волны в слоисто-неоднородной жидкости. Задача решается классическими методами гидродинамики в линейном по £,(*,/) приближении. Помимо дисперсионного уравнения, которое определяет связь частот волн, бегущих по свободной поверхности и по границе раздела сред, с волновым числом к и их зависимость от физических параметров задачи, впервые найдено аналитическое выражение для декремента слабовязкой, двухслойной жидкости, которое имеет вид:

+<о/с0 + с0) (У^Р) + ) - 2 (а>/ - g, ) ^¡р2 ]

Pj _

-J2{9o}j\- 5о/С0 + G0)(yfcpi + )+ 8®2 (2й)/В, - D¡) ^v~2p2

Индекс j принимает два значения j = 1;2, что соответствует различным режимам волнового течения: режиму однородной жидкости (внешним волнам) и режиму «мертвой воды» (внутренним волнам). Частоты coj считаем известными из решений задач для идеальной жидкости.

Третья глава посвящена исследованию нелинейного волнового движения капиллярно-гравитационных волн, и нелинейному резонансному взаимодействию волн в слоисто-неоднородной жидкости.

В первом и во втором параграфе было проведено нелинейное (квадратичное по малой безразмерной амплитуде волн) аналитическое асимптотическое исследование волнового движения в двухслойной стратифицированной по физико-химическим свойствам жидкости при конечной толщине верхнего слоя, граничащего с вакуумом. Выяснилось, что капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» имеет место и для нелинейных поправок второго порядка малости к профилям капиллярно-гравитационных волн на свободной поверхности верхнего слоя жидкости %[2\х,Т0) и на границе раздела сред которые имеют вид:

£2) = ехр[-_^(2*),)] + 4^Аехр[г-(2кх - ®2(2*)/)] +

«2 — 1 "2 — 1

, ехр[2/(Ах - сц (£)/)] + Р\ 2 ехр[/(2Азс - Ц (к) + са2 (+ з ехр[2/(£х - ю2 (£)/)] + Д 7 ехр[/ ((ю, (к) - ео2 (*))/)];

= 4^Аехр[/(2кх - ^(2*)/)] + с12 схр[/(2&х - «2(2А)?)1 +

"2 - "1

+/321 ехр[2/'(Ьс - ю, (А:)/)] + Р12 ехр[/(2Ах (к) + а>2 (*))/)] + +/?23 ехр[2/(Ь - а>2 (*)/)] + р21 ехр [/((«, (к) - а>2 (*))/)]. где^*).^*)-®,2^)]; / = 1;2; у=1;2;3;4; Г2, (Л) = 7щ (к);

Из

вида амплитудных коэффициентов (£), стоящих в знаменателях амплитудных множителей /^ (Аг), можно ожидать, что при определенных комбинациях физических параметров некоторые из них могут обращаться в ноль. Волны с волновыми числами, соответствующими выполнению условий Лу (к) = 0, согласно существующим представлениям о взаимодействии волн могут обмениваться энергией. В теории нелинейных волн это обстоятельство интерпретируется как наличие внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия волн с волновыми числами к и 2к в соответствии с конкретной резонансной ситуацией. Однако расчеты по соотношениям амплитудных коэффициентов Ку (к) и дисперсионному уравнению показали, что не существует таких комбинаций физических параметров, задействованных в формулировке задачи, при которых выполнялось бы одно из соотношений Лу(к) = 0. Иными

словами, при отсутствии электрического заряда на поверхностях раздела, нелинейное внутреннее резонансное взаимодействие не реализуется.

Однако если учесть возможность появления электрического заряда на границе стратификации, ситуация, с нелинейным внутренним резонансным взаимодействием капиллярных волн, существенно изменится, а именно, при

наличии заряда на границе стратификации обнаруживается как вырожденное, так и вторичное комбинационное внутренние нелинейные резонансные взаимодействия для волн, порожденных различными поверхностями. Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие волн будет реализовываться на линии пересечения поверхностей и Яу = 0, как это проиллюстрировано на

«Рис.5» для конкретной ситуации с вторичным комбинационным резонансом с участием

Рис.5: Поверхность пересеченная плоскостью = 0, рассчитанная при

/з, =<Х] = й= 1; р2 =1.01, сг2=0.05, г = 80 Внутреннее нелинейное резонансное трех-волновое взаимодействие реализуется на линии пересечения указанных поверхностей.

Третий параграф посвящен изучению нелинейного резонансного взаимодействия между поверхностными и внутренними волнами. В аналитических асимптотических расчетах установлено, что в слоисто-неоднородной жидкости, стратифицированной по плотности, имеет место внутреннее нелинейное взаимодействие. Амплитудные множители в решениях второго порядка малости содержат сомножители, которые являются резонансными. Всего насчитывается восемь нелинейных резонансов:

О, ~ [4Ц (А))2 - Ц (2к))2]"'; П2~ (к))2 - (®2 (2А))2]4; 03 ~[4Ы*))2 -МЫ))2]"'; «4 ~[4Ы*))2 -(^(гА))2

П5 ~ [4Ц (к) + а>2 (к))2 -(щ (2А))2]"';

«6 ~ [4*1 (к) + (к))2 - (й>2 (2к))2]"';

а8 ~ [4Ц (к)-&2 (к))2 -(«, (2А))2]"';

I *(*) ¡(„(А))2 ¡(Ш)\Ш

2+ г(*у аЛ ) V 2к*) Лм*); к*)"

где а>](к) - частота волны с волновым числом Л; т; (А), у (к) и ^(Л) - функции, зависящие от физических параметров задачи. Волны с частотами <щ (к) порождаются границей раздела сред, а волны с частотами а>2 (*) порождаются

свободной поверхностью жидкости.

В первых двух резонансных ситуациях мы имеем дело с вырожденными резонансами заданных в начальный момент волн и волн, возбуждающихся из-за нелинейности уравнений гидродинамики, на одной и той же поверхности. Эти резонансы хорошо исследованы, и на них останавливаться не будем. В резонан-сах 3-8 во взаимодействии принимают участие волны, порождённые границей раздела контактирующих жидкостей и свободной поверхностью. В резонансах 3 и 4 волны, порождённые на одной из границ, взаимодействуют с волнами, порождёнными другой границей. В комбинационных резонансах 5-8 (резонансах между волнами, порожденными разными границами) волны с частотами, являющимися линейными комбинациями частот волн, порождённых на разных границах, взаимодействуют со вторичными волнами, порождёнными одной из границ. Под «вторичными» понимаем волны, появляющиеся из-за нелинейности уравнений гидродинамики.

Согласно правилам механики, в первых четырёх резонансных ситуациях мы имеем дело с нелинейным внутренним вырожденным резонансом. В последних четырёх выписанных резонансных ситуациях - с нелинейным внутренним вторичным комбинационным резонансом.

Для детального исследования резонансов из динамического граничного условия второго порядка малости были получены эволюционные уравнения для амплитуд волн (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка по времени). Исключение секулярных слагаемых из эволюционных уравнений позволило получить системы дифференциальных уравнений первого порядка для каждой резонансной ситуации относительно амплитуд взаимодействующих волн. Например, для шестого резонанса система уравнений имеет вид:

¿4^2*^0 + щ (А>75 )„2 )ехр(^ ) = 0;

.сда{(к,Тх) + ^ч 2^Г1)ехр(_ш;) = 0; дЦ

+ ^ {кТ1 }а2 (2к>Г1)ехр(_,щ) = о.

где aj(k,Tx) - амплитуда волны с частотой а>}(к); 8 - параметр расстройки системы; А,В,С,0,Е и F - функции зависящие от физических параметров задачи.

Решение выписанной выше системы дифференциальных уравнений позволило получить временные зависимости амплитуд волн, взаимодействующих в пятом резонансе, изображенные на «Рис.6» при & =0.5582, Е0 =9, Р2 =1.0271 , сг2 = 0.0107, е = 81. Жирной линией отмечена волна с частотой щ (к), толстой линией - &>2(к), тонкой линией - о>2(2&). Значения частот равны:

ными волнами (а>2(к) и а>2(2к)), а внутренняя волна (¿^(А:)) остается без изменений. Хотя внутренняя волна при реализации шестого резонанса не участвует в энергетическом обмене, она играет каталитическую роль. Расчеты показывают, что если в начальный момент времени амплитуду внутренней волны положить равной нулю, то резонансное взаимодействие поверхностных волн в данном случае не реализуется.

Установлено, что при увеличении начальной амплитуды внутренней волны характерное время обмена энергией уменьшается, и в конечном итоге может стать меньше частот взаимодействующих волн, что качественно меняет картину реализации резонансного взаимодействия.

Заключение

В диссертационной работе проведено нелинейное исследование второго порядка малости волнового движения порождаемого границами раздела в слоисто-неоднородной жидкости со свободной поверхностью. Показано, что нелинейные поправки к амплитудам волн второго порядка имеют резонансный характер. Найдены точные положения вырожденных и вторичных комбинационных резонансов. В окрестностях резонансов исследован нелинейный обмен энергией между волнами, порожденными различными поверхностями раздела. Показано, что во вторичных комбинационных резонансах, реально обмениваются энергией только волны, порожденные свободной поверхностью. Внутренние волны участвуют в этом процессе, но играют каталитическую роль.

В аналитических исследованиях эффекта «мертвой воды» показано, что он реализуется не только для гравитационных волн, но и для капиллярных волн, которые проявляются как в линейном, так и нелинейном приближениях. Показано, что наличие внешнего электрического поля существенно сказывается на капиллярном аналоге эффекта «мертвой воды» и в нелинейных исследованиях выяснено, что оно сдвигает область наблюдения эффекта «мертвой воды» в капиллярном аналоге в сторону увеличения коэффициента поверхностного натяжения.

В асимптотике малых вязкостей контактирующих жидкостей показано, что декременты затухания поверхностных и внутренних волн по разному зависят от вязкости жидкости.

Список работ автора по теме диссертации, в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

1. Григорьев, А.И. Капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» в стратифицированной жидкости с заряженной границей раздела сред / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, М.С. Федоров // Жури. техн. физики. — 2010. — Т. 80, вып. 7, —С. 8-17.

2. Григорьев, А.И. Волновое движение в поле силы тяжести на свободной поверхности и на границе стратификации слоисто — неоднородной жидкости. Нелинейный анализ / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2010. — № 5. — С. 130-140.

3. Григорьев, А.И. Нелинейный анализ особенностей взаимодействия капиллярных волн конечной амплитуды в слоисто — неоднородной жидкости / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2011. — Т. 81, вып. 11, —С. 31-39.

4. Григорьев, А.И. Влияние электрического поля на капиллярный эффект «мертвой воды» / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2012. — Т. 82, вып. 6. — С. 9-19.

5. Григорьев, А.И. Волны в стратифицированной по плотности двухслойной жидкости конечной толщины с заряженной границей раздела / А.И. Григорьев, М.С. Федоров // Электронная обработка материалов. — 2013. — №2, —С. 48-51.

6. Григорьев, А.И. О влиянии вязкости на поверхностные и внутренние волны в двухслойной жидкости со свободной поверхностью / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2014. — № 5. — С. 17-24.

7. О нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии поверхностных и внутренних волн в слоисто-неоднородной жидкости / С.О.Ширяева, H.A. Петрушов, А.И. Григорьев, М.С. Фёдоров // Журн. техн. физики. — 2014. — Т.84, вып. 9. — C.3I-38.

8. Труфанов, В .Д. Внутренние волны в двухслойной жидкости конечной толщины с заряженной границей раздела / В.Д. Труфанов, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Электронная обработка материалов. — 2014. — № 4. — С. 311-316.

Другие публикации автора

1. Григорьев, А.И. Взаимодействие гравитационных волн, бегущих по различным поверхностям раздела в слоисто — неоднородной жидкости [Электронный многопредметный научный журнал] / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // «Исследовано в России». — 2010. — С. 260-268. — URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2010/020.pdf.

2. Федоров, М.С. Об устойчивости волн на границе раздела двух жидкостей с близкими плотностями / М.С. Федоров // Неравновесные процессы в сплошных средах: материалы Всероссийской конференции молодых ученых. — Пермь, 2008. — С.286-288.

3. Федоров, М.С. О взаимодействии волн, бегущих по свободной поверхности и поверхности раздела, в двухслойной системе несмешивающихся жидкостей / М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере: материалы VIII междунар. конф. — Ярославль: ЯрГУ, 2009. — С.180-184.

4. Федоров, М.С. Нелинейный анализ эффекта мертвой воды / М.С. Федоров // Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере: материалы IX междунар. конф. — Ярославль: ЯрГУ, 2011. — С.218-223.

5. Федоров, М.С. Нелинейный анализ гравитационного волнового движения на свободной поверхности на границе стратификации слоисто — неоднородной жидкости / М.С. Федоров // Дисперсные системы: XXIV научная конференция стран СНГ, 20-24 сент. 2010г., Одесса, Украина: материалы конференции / М-во образования и науки Украины, Одесский нац. ун-т. им. И.И. Мечникова. — Одесса: Астропринт, 2010. — С.301-303.

6. Федоров, М.С. Капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» / М.С. Федоров // Шестнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, г. Волгоград, 22-29 апреля 2010 г.: материалы конф.; Волгоград: Изд-во АСФ России, 2010. — С.273-274.

7. Федоров, М.С. Нелинейный анализ волн в слоисто — неоднородной жидкости / М.С. Федоров // Дисперсные системы: XXV международная научная конференция, 17-21 сент. 2012г., Одесса, Украина: материалы конф. / М-во образования и науки Украины, Одесский нац. ун-т. им. И.И. Мечникова. — Одесса, 2012. — С.243-244.

8. Федоров, М.С. Математическое моделирование капиллярного эффекта «мертвой воды» / М.С. Федоров // Математика и математическое образование. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Вып. 7. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2010. — С. 356-366.

9. Федоров, М.С. Волны в слоисто — неоднородной жидкости / М.С. Федоров // Математика и математическое образование. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Вып. 8. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2012. — С. 130-140.

Подписано в печать 15.10.14 Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 20/14. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская ,14.