Нестационарное гидродинамическое взаимодействие стратифицированной жидкости и твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М.А. ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи

Ерманюк Евгений Валерьевич

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор

В.В. Козлов В.Ю. Ляпидевский Н.И. Яворский

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН

Защита состоится « Ч » А 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д003.054.01 при Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск - 90, просп. акад. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан « 2. »1л-с-»уэ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. ^ 2, С.А. Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена экспериментальному и теоретическому исследованию генерации внутренних волн телами, совершающими колебания в непрерывно стратифицированной жидкости; оценке действующих на тела гидродинамических нагрузок и мощности излучения внутренних волн. В работе экспериментально изучено взаимодействие гравитационных течений и внутренних волн с закрепленными погруженными телами; проведено исследование процессов перемешивания и потерн устойчивости в аксиально стратифицированном течении Тейлора - Куэтта. Актуальность темы. Детальное изучение динамических процессов, происходящих в атмосфере и Мировом океане, необходимо в широком спектре разнообразных практических приложений — от предсказания погоды и климатических изменений до комплекса задач, связанных с освоением морских глубин и обеспечением безопасности авиационных и морских перевозок. Анизотропия свойств атмосферы и океана наряду с широким спектром пространственных и временных масштабов течений создают большие сложности для математического и численного моделирования. В связи с этим актуальны аналитические исследования упрощенных моделей физических явлений и лабораторное моделирование, позволяющее проводить тестирование существующих моделей, определять диапазон их применимости, изучать основные качественные особенности наблюдаемых физических эффектов.

Исследование взаимодействия потоков жидкости с твердыми телами является одной из классических задач гидродинамики. В связи с развитием средств освоения Мирового океана большое значение приобретает обобщение этой задачи на случай нестационарного движения тел в стратифицированной жидкости с произвольным непрерывным распределением плотности по глубине, а также на случай нестационарного взаимодействия гравитационных течений, линейных и нелинейных внутренних волн с закрепленными погруженными телами. Помимо линейных и нелинейных волновых эффектов большой интерес представляет также исследование влияния вязкой диссипации и перемешивания на формирование структуры стратифицированных течений, их устойчивость, динамические и кинематические характеристики. Целью данной работы является:

• разработка экспериментальной методики оценки присоединенной массы и коэффициента

демпфирования тел, колеблющихся в непрерывно стратифицированной жидкости;

экспериментальная оценка мощности излучения внутренних волн;

3

• теоретическое исследование задачи о колебаниях тел произвольной геометрии в безграничной однородно стратифицированной жидкости;

• проведение эксперимагтальных исследований гидродинамических характеристик различных тел, совершающих колебания в глубокой однородно стратифицированной жидкости, для исследования эффектов, связанных с формой тела;

• проведение экспериментальных исследований колебаний кругового цилиндра и сферы в однородно стратифицированной жидкости конечной глубины н в пикноклине, сравнение динамических характеристик этих двух основных типов волноводов в плоской и пространственной задачах;

• теоретическое и экспериментальное изучение задачи о скорости распространения фронта гравитационного течения при различных значениях числа Рейнольдса; определение диапазона параметров, в котором скорость распространения гравитационных течении соответствует оценке, полученной в рамках модели идеальной жидкости;

• экспериментальное исследование гидродинамических нагрузок, индуцируемых гравитационными течениями на погруженных телах, в зависимости от глубины гравитационных течений и расстояния между телом и дном канала; определение характерных времен, магнитуд и критериев подобия гидродинамических нагрузок;

• экспериментальное исследование силового взаимодействия уединенных внутренних волн с погруженными телами; сравнение динамических эффектов при взаимодействии тел с линейными и нелинейными волнами;

• идентификация основных режимов течения в задаче Тейлора - Куэтта для двухслойной аксиально стратифицированной жидкости, проведение сравнения наблюдаемых сценариев смены режимов течений со случаем линейно стратифицированной жидкости, исследование эволюции системы для больших масштабов времени;

• количественная оценка интенсивности перемешивания через границу раздела в задаче Тейлора - Куэтта для двухслойной жидкости.

Кроме того, была поставлена задача проведения визуализации внутренних волн, генерируемых колебаниями тела в непрерывно стратифицированной жидкости; структуры гравитационных течений; структуры течения Тейлора - Куэтта в аксиально стратифицированной жидкости.

Методы исследовании. Экспериметальная оценка коэффициентов гидродинамических нагрузок, действующих на тела, совершающие гармонические колебания в непрерывно стратифицированной жидкости, проведена с помощью Фурье-анализа кривых затухающих

колебаний. Для выделения вязкостной и волновой составляющих демпфирования использована версия метода Фруда. При проведении теоретического анализа задачи о колебаниях тел в безграничной однородно стратифицированной жидкости используются методы теории уравнений математической физики и теории функций комплексного переменного. Выполнено сравнение теоретических оценок и экспериментальных данных. Для визуализации структуры полей внутренних волн использован синтетический шлирен-метод, основанный на компьютерном анализе оптических искажений в стратифицированной жидкости, возмущенной прохождением волн. Для измерения гидродинамических нагрузок, индуцированных гравитационными течениями и внутренними волнами на неподвижных погруженных телах, использованы двухкомпонентные гидродинамические весы, расчет и тестирование которых осуществлялись с помощью стандартных методов теории колебаний. При исследовании задачи о течении Тейлора — Куэтта в аксиально стратифицированной жидкости использованы теневой метод визуализации и метод регистрации индуцированной лазером флуоресценции; оценка временных масштабов флуктуаций плотности проведена с помощью построения пространственно-временных картин течения. Научная новизна. В работе получены следующие результаты.

Дано теоретическое решение задачи об оценке гидродинамических нагрузок, действующих на тела произвольной геометрии, совершающие гармонические колебания в безграничной однородно стратифицированной жидкости. Теоретически получены и экспериментально подтверждены соотношения аффинного подобия для коэффициентов гидродинамических нагрузок.

Разработана методика экспериментальной оценки гидродинамических нагрузок, действующих на тела, совершающие гармонические колебания в непрерывно стратифицированной жидкости, с помощью Фурье-анализа кривых затухающих колебаний. Применение этой методики и реализация ее в виде конкретной установки для исследования колебаний тел в стратифицированной жидкости и оценки возникающих при этом гидродинамических нагрузок сделаны впервые. Сформулирована и экспериментально обоснована версия метода Фруда, позволяющая выделить вязкую и волновую составляющие демпфирования и впервые получить экспериментальные оценки мощности излучения внутренних волн телами, колеблющимися в непрерывно стратифицированной жидкости.

Определены гидродинамические характеристики различных плоских и

пространственных тел, совершающих колебания в глубокой однородно

стратифицированной жидкости. В частности, для контуров в виде многоугольников впервые

5

показано существование критических частот колебаний, в окрестности которых происходит резкое изменение значений гидродинамических коэффициентов.

Получены экспериментальные оценки коэффициентов гидродинамических нагрузок и безразмерной мощности излучения внутренних волн при колебаниях кругового цилиндра и сферы в однородно стратифицированной жидкости конечной глубины и в пикноклине. В частности, впервые показано, что с уменьшением характерного вертикального размера волновода уменьшается мощность излучения внутренних волн, а максимум кривой мощности излучения смещается в зону меньших частот.

С помощью версии сшгтетического шлирен-метода и корреляционного анализа полей волновых возмущений в различные моменты времени впервые получена количественная экспериментальная оценка длительности переходных процессов формирования картины внутренних воли при внезапном старте гармонических колебаний кругового цилиндра в < однородно стратифицированной жидкости. ;

Получены экспериментальные оценки гидродинамических нагрузок, возникающих при взаимодействии внутренних гравитационных течений и уединенных внутренних волн с погруженными телами. Впервые определен диапазон параметров, в котором скорость распространения гравитационных течений соответствует оценке, полученной в рамках модели идеальной жидкости; предложена полуэмпирическая формула для скорости распространения гравитационных течений с учетом вязкой диссипации энергии. Для диапазона параметров, в котором гидродинамические нагрузки, вызываемые гравитационными течениями, моделируются по Фруду, впервые показано, что силовое воздействие гравитационных течений в нижнем бьефе и уединенных внутренних волн типа горба максимально, когда препятствия находятся на дне канала.

В задаче о течении Тейлора - Куэтта в двухслойной системе смешивающихся жидкостей впервые исследован сценарий смены режимов течения в плавном пикноклине. Показано, что переход от волнового к вихревому режиму течения в пикноклине сопровождается скачком частоты флуктуаций плотности. Получена оценка зависимости глобального числа Ричардсона от числа Рейнольдса для процесса перемешивания двухслойной стратифицированной жидкости вихрями Тейлора.

Прястическая ценность работы. Проведенные исследования имеют непосредственное

приложение в задачах динамики подводных объектов и морских сооружений.

Экспериментальные результаты дали обширный материал для сопоставления с

существующими математическими моделями и оценки диапазонов их применимости. При

проведении дальнейших исследований могут быть полезны методические аспекты данной

б

работы, в частности, методика оценки малых нестационарных гидродинамических нагрузок и мощности излучения внутренних волн.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: в эксперименте — устойчивым воспроизведением результатов в пределах точности измерений, проведением тестовых опытов, анализом погрешностей измерений; в теории - использованием общепринятых гидродинамических моделей, хорошим согласованием теоретических оценок и экспериментальных данных.

Апробация работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В.Пухначева, Институт гидродинамики СО РАН, 2005; семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.М.Тешукова и профессора В.Ю.Ляпидевского, Институт гидродинамики СО РАН, 2005; семинаре под руководством чл.-корр. РАН С.В.Алексеенко, Институт теплофизики СО РАН, 2005; семинаре под руководством профессора В.В.Козлова, Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, 2005; семинаре под руководством профессоров К.В.Показеева, К.Д.Сабинина и Ю.В.Чашечкина, Институт проблем механики РАН, 2005; конференциях НТО им. акад. А.Н.Крылова (Санкт-Петербург, 1993, 1995, 1997, 1999); 20-м Симпозиуме по корабельной гидродинамике (Санта-Барбара, США, 1994); 3-й Европейской конференции по механике жидкостей (Геттинген, Германия, 1997); 5-й Международной конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики» (Новосибирск, 1998); Международных симпозиумах «Актуальные проблемы физической гидродинамики» (Новосибирск, 1999, 2003); 4-й и 5-й Международных конференциях «Лаврентьевские чтения» (Новосибирск 1999, 2005); 5-м Международном симпозиуме по стратифицированным течениям (Ванкувер, Канада, 2000); Международных конференциях «Потоки и структуры в жидкостях» (Москва, 2001, Санкт-Петербург, 2003, Москва, 2005); 8-м Всероссийском съезде по механике (Пермь 2001); 17-м и 19-м Международных симпозиумах по волнам и их взаимодействию с плавающими телами (Кембридж, Великобритания, 2002, Кортона, Италия, 2004); 27-м съезде Европейского геофизического общества EGS 2002 (Ницца, Франция, 2002), 23-м съезде Международного геофизического и геодезического союза 1UGG 2003 (Саппоро, Япония, 2003).

Публикации. По результатам работы опубликованы 15 статей, список которых приведен в конце реферата.

Личный вклад автора. Работы [1, 5, 7] сделаны автором единолично, прочие работы — в

соавторстве. В выполненных в соавторстве работах [3-4, 6, 8-12, 14, 15] автором

диссертации осуществлены постановка задач и разработка программы опытов, получены

7

теоретические результаты, разработана методика оценки гидродинамических нагрузок, написаны программы обработки экспериментальных данных, проведен анализ результатов, написаны статьи. Получение и обработка экспериментальных данных выполнены совместно с Н.В. Гавриловым. Разработка методики генерации солитонов в работе [14], описание методики экспериментов в статьях [И, 12, 14], фото- и видеосъемки в работах [2, 3, 11, 12, 14, 15] выполнены Н.В. Гавриловым. В работе [13] тема исследований была сформулирована Я. Б. Флором. Автором диссертации разработана программа и методика экспериментов, выполнены опыты, проведена обработка экспериментальных результатов, сделаны оценки шгтенсивности перемешивания, написан первоначальный вариант статьи. Доработка текста статьи осуществлялась совместно с Я.Б. Флором.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 258 наименований. Общий объем диссертации 218 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется предмет исследования, его цели и задачи, обосновывается актуальность и новизна работы. Также дан обзор современного состояния изучаемых проблем, приведено краткое изложение представленных в диссертации результатов.

В первой главе диссертации изложено теоретическое решение задачи о гармонических колебаниях тел произвольной геометрии в однородно стратифицированной безграничной идеальной жидкости в приближении Буссинеска. Задача формулируется в терминах «внутреннего потенциала» [Городцов и Теодорович 1980]. Для частоты

колебаний тела т выше частоты плавучести Лг = [(^/р)£/р/<Л,]'2 =сопз1 решается эллиптическая задача (здесь g - ускорение свободного падения, р — плотность, х, -вертикальная ось декартовой системы координат) с условиями непротекания на поверхности тела и затухания возмущений на бесконечности (задача I). С помощью аффинного преобразования координат вида £ = гг.лг,, где о, =(1,1,от), а = (0!-))' исходное

уравнение преобразуется в уравнение Лапласа. Соответственно преобразуются и граничные условия на теле (задача 2). Для тензоров коэффициентов присоединенной массы = т^и К™ = 1У0> в исходной задаче I и задаче 2 о колебаниях

сплюснутого в вертикальном направлении тела в идеальной однородной жидкости (здесь УУт и IV'2' - объемы тел в соответствующих задачах) получено соотношение

Компоненты тензора коэффициентов присоединенных масс в задаче 2 для семейства тел определенной геометрической формы, имеющих различные соотношения е - Ь2/Ь, и <7 = Ь3/Ь, между характерными размерами Ь,, Ьг, Ь, в направлениях обычно представляются

в виде

*?•=/,(«.»). (1)

Соответственно, решение задачи 1 для тензора коэффициентов присоединенных масс тела при заданных е0 и д0 может быть получено из (1) подстановкой ц = ц„а = ^„(О3 -1)' 2/П

(2)

При П < 1 исходное уравнение задачи /, записанное в терминах «внутреннего» потенциала, является уравнением гиперболического типа. Для гиперболической задачи решение может быть получено путем построения аналитического продолжения. В этом

случае можно ввести вещественный параметр = г/п. Аналитическим

продолжением а является -117, коэффициенты а, следует заменить на у, = (1,1,-¡7). Решение (2) при О < 1 принимает следующий вид:

К';'(П) = /0(ео,-ч,1и>)г,/1. (3)

Возможность построения аналитического продолжения связана с тем, что решение задачи может быть получено как Фурье-образ причинной функции времени. Из формул (2) и (3) видно, что результаты экспериментальных измерений К'" для семейства аффинноподобных тел, отличающихся лишь величиной могут быть представлены на универсальной кривой. Правило аффинного подобия для такого семейства имеет вид

^'"/(а.а^Шет, если я1{пг - |)ДУ а1 = ¡<1ет . (4)

В общем случае выражения для гидродинамических нагрузок имеют комплексный вид. В настоящей работе принято стандартное представление, используемое в корабельной гидродинамике [Хаскинд 1947], [Ныомен 1985],

где м, ~ присоединенные массы, - коэффициенты демпфирования (//„ и Яг) -

вещественные). Соответствующие безразмерные величины можно ввести как

9

C;=M„/pJVm = Ke{K¡;>), (5)

C¡" = л/а =Шш (л:«»). (6)

Верхний индекс Aw введен для обозначения коэффициента демпфирования волновой природы. В опытах измерялся коэффициент суммарного демпфирования С,, содержащий существенную по величине добавку C¡", вызванную влиянием вязкости.

Показано, что все известные решения для тел простейшей геометрии ([Lai & Lee 1981] - вертикальные колебания эллипсоидов вращения, [Hurley 1997] - произвольные по направлению колебания эллиптического цилиндра, [Voisin 1999] - вертикальные и горизонтальные колебания сферы) могут быть получены как частные случаи. Из известных формул для однородной идеальной жидкости, имеющихся, например, в справочнике [Короткин 1986], могут быть получены также решения для эллипсоидов при произвольных по направлению колебаниях, контуров с угловыми точками (например, цилиндры прямоугольного сечения) и т. п. Проведено обсуждение соотношений Крамерса - Кронига, связывающих присоединенные массы и коэффициенты демпфирования; показано, что в плоской задаче они содержат дополнительный член, который обычно не возникает в стандартной теории колебаний тела на поверхностных волнах [Wehausen 1971]. В заключительной части первой главы приведено обсуждение альтернативных вариантов оценки гидродинамических нагрузок, действующих на колеблющиеся в однородно стратифицированной жидкости тела. Показано, что при подстановке полученных в [Voisin 1999] распределений особенностей в формулу для оценки мощности излучения внутренних волн [Городцов и Теодорович 1986] получаются оценки, согласующиеся с [Hurley 1997].

Во второй главе диссертации изложена методика экспериментальных исследований колебаний твердых тел в непрерывно стратифицированной жидкости. В рассматриваемой задаче приходится иметь дело с оценками весьма малых гидродинамических нагрузок, вследствие чего практическая реализация стандартной методики вынужденных колебаний (см., напр., [Хаскицд и Риман 1947]) является затруднительной. Отметим, что даже в случае прямолинейного горизонтального движения тела с постоянной скоростью в стратифицированной жидкости измерение стационарных гидродинамических нагрузок является весьма сложным, вследствие чего экспериментальная информация о гидродинамическом сопротивлении тел весьма ограничена: [Никитина 1959], [Lofquist & Purteil 1984], [Amtsen 1996], [Шишкина 1996].

Схема экспериментальной установки, использованной в настоящей работе для оценки

гидродинамических нагрузок, действующих на колеблющиеся тела, представлена на рис. 1.

10

Основным элементом установки служил крестообразный физический маятник, на нижнем обтекаемом конце которого закреплялась исследуемая модель. Колебания маятника возбуждались импульсной нагрузкой — падением шарика на резиновую мембрану, закрепленную на конце поперечной перекладины маятника. Маятник был снабжен противовесом, позволявшим регулировать коэффициент восстанавливающего момента. Колебания маятника регистрировались с помощью электролитического датчика перемещений. Обработка сигнала и оценка коэффициентов гидродинамических нагрузок проводилась с помощью ПЭВМ, снабженной 12-разрядным АЦП.

Если известен отклик произвольной линейной системы на единичный импульс /•('), то отклик этой системы на действие гармонической внешней силы /(() = Ле"* есть

л(<) = //""Я(о>). (7)

где Я(<у) = |г(г)е"'""(/г. Комплексная функция отклика может быть разделена на

о

действительную и мнимую составляющие: /?(<у) = йс(й»)-|Д,((»). Полезно ввести также амплитудно-частотную (л>)| = + [Л, (го)]2 и фазово-частотную

= ((у)/ЛД<и)] характеристики исследуемой системы. Предполагая малость

угловых отклонений (см. рис. 1), запишем следующее уравнение движения маятника в частотной области:

[7/б!+р,,(«)]х + Я1|(й))* + с„д: = /0ехр(|а;(). (8)

Здесь х - горизонтальное перемещение центра тела, точки означают дифференцирование по времени, см - коэффициент восстанавливающей силы, 3 — момент инерции маятника относительно точки опоры. В силу линейности системы, комбинируя (7) и (8), получаем следующие формулы для присоединенной массы и коэффициента демпфирования:

Здесь |л(0)| есть значение амплитудно-частотной характеристики системы |к(л>)| при нулевой частоте. Применяемая методика проиллюстрирована теоретическим примером: показано, что решение [Ьагееп 1969], описывающее вертикальные затухающие колебания кругового цилиндра и сферы в однородно стратифицированной безграничной жидкости, при

II

переходе в частотную область приводит к оценкам гидродинамических нагрузок, совпадающим с полученными в [Lai & Lee 1981] и [Hurley 1997].

Опыты проводились в однородной жидкости глубины Я, а также для двух типов стратификации: линейно стратифицированная жидкость глубины Я, двухслойная жидкость с распределением плотности типа

<5

/>(*,) = A,-f^h

(9)

2 А

Здесь 5 — характерная толщина пикноклина, h, - глубина верхнего слоя жидкости, р, и рг

- плотности верхнего и нижнего слоев жидкости соответственно. В опытах h, = Я/2, где Я

- полная глубина жидкости в лотке. Профиль плотности определяет распределение частоты Вяйсяля -Брента N(x,) = W„ch_,[2(x, + где максимальное значение частоты Вяйсяля

- Брента A/„ =max[/V(jr,)] = [f,g/J)"1. При проведении опытов со стратификацией (9) величина р^ нормировалась аналогично (5), а величина - аналогично (6) с заменой N на Nm. Размер квадратного поперечного сечения использованных в опытах цилиндров составлял 3,7 x3,7 см, диаметр кругового цилиндра 3,6 см. Диаметр эллипсоидов вращения при исследовании пространственной задачи составлял 6,3 см. Использовались эллипсоиды с удлинением 2:1, 1:1, 1:2. Опыты с цилиндрическими телами проводились в лотке глубиной 40 см, шириной 20 см и длиной 200 см, опыты со сферой и эллипсоидами вращення - в лотке глубиной 60 см, шириной 80 см и длиной 100 см. Центр тел во всех опытах находился на глубине Я/2.

Во второй главе описана также экспериментальная методика визуализации внутренних волн с помощью «синтетического» шлирен-метода. Базовый вариант метода предложен в [Sutherland et al 1999], [Dalziel, Hughes & Sutherland 2000]. Как правило, для визуализации течений в стратифицированной жидкости используются классические теневые и шлирен-методы и их модификации: [Mowbray & Rarity 1967], [Иванов 1989], [Макаров, Неклюдов, Чашечкин 1990], [Merzkirch & Peters 1992], [Миткин il Чашечкин 1998, 1999], [Chashechkin & Levitskii 2003]. «Синтетический» шлирен-метод уступает классическим методам в разрешающей способности. Однако при изучении волновых процессов «синтетический» шлирен-метод весьма эффективен в силу возможности получения количественной информации о величине возмущений градиента плотности. Метод основан на компьютерном анализе оптических искажений изображения, получаемого видеосъемкой контрастной картины (например, системы черных точек на белом фоне) сквозь толщу

жидкости, возмущенной прохождением внутренних волн. При прохождении внутренних волн в стратифицированной жидкости имеют место локальные возмущения градиента показателя преломления. Вследствие этого видимые положения точек фона, наблюдаемые сквозь толщу покоящейся и возмущенной жидкости, отличаются друг от друга. В настоящей работе для вычисления смещений точек фона использован взаимно-корреляционный анализ изображений, являющийся одним из базовых методов PIV (particle image velocimetry). Весьма полное изложение основ PIV имеется в работах [Westervveel 1997], [Raffel, Willert & Kompenhaus 1998].

В третьей главе диссертации изложены результаты экспериментального исследования колебаний твердых тел в непрерывно стратифицированной жидкости. В п. 3.1. описаны результаты оценки коэффициентов присоединенной массы и демпфирования сферы и кругового цилиндра, колеблющихся в однородной жидкости ограниченной глубины. Дана интерпретация результатов измерений в рамках классической теории Стокса -Вапга [Wang 1968].

В п. 3.2. изложены результаты исследования затухающих колебаний кругового цилиндра в глубокой однородно стратифицированной жидкости. Основные типы кривых затухающих колебаний при различных значениях частоты £2., соответствующей максимуму зависимостей |/?(П)|, показаны на рис, 2. Результаты оценки зависимостей коэффициентов присоединенной массы С," (fi) и демпфирования С', (П) показаны на рис. 3. Видно, что экспериментальные данные хорошо согласуются с теорией [Hurley 1997]. При частотах, колебаний тела to меньше частоты плавучести N основной вклад в демпфирование дает излучение внутренних волн, при io>N демпфирование обусловлено вязкостными эффектами. Проведено обсуждение методики оценки коэффициентов присоединенной массы и демпфирования по значениям параметров аналитических кривых, аппроксимирующих экспериментальные записи затухающих колебаний. В п. 3.3. продолжено исследование плоской задачи о колебаниях тел в глубокой однородно стратифицированной жидкости. Рассмотрены колебания цилиндров с поперечными сечениями в виде ромба (с вертикально ориентированной диагональю) и квадрата (с вертикально ориентированной стороной). Показано, что для цилиндров с поперечным сечением в виде многоугольников имеет место резкое изменение значений гидродинамических нагрузок в окрестности частоты колебаний, при которой угол наклона вектора групповой скорости совпадает с углом наклона сторон цилиндров. Данный эффект проиллюстрирован на рис. 4 для горизонтальных колебаний ромба с углом наклона сторон

13

45": при П = 0,7 коэффициент присоединенной массы резко надает, кривая коэффициента демпфирования имеет локальный минимум.

В п. 3.4 нрсдставлеиы результаты экспериментальной проверки соотношений аффинного подобия, полученных в первой главе, для случая горизонтальных колебании эллипсоидов вращения различного удлинения в глубокой однородно стратифицированной жидкости. Показано, что результаты теоретического анализа с высокой точностью согласуются с экспериментом. При использовании соотношений аффинного подобия (4) результаты экспериментов с семейством эллипсоидов различного удлинения ложатся на единую универсальную кривую (см. рис. 5). Отметим, что при q;а* -> -да (что соответствует П 0 ) для горизонтальных колебаний тел вращения, имеющих вертикальную ось, выполняется Re(A','I') -> I и 1ш(Л','!1) 0.

В и. 3.5 лап анализ результатов экспериментов по изучению колебании кругового цилиндра il сферы в лппешю стратифицированной жидкости ограниченной глубины. Показано, что с уменьшением глубины жидкости уменьшается безразмерная мощность излучения внутренних волн, причем максимум мощности излучения сдвигается в сторону меньших частот колебаний. При a>-*N направление вектора групповой скорости близко к вертикальному, вследствие чего в жидкости ограниченной глубины между телом и нижней (верхней) твердыми крышками создаются условия для 'существования волн, близких к стоячим. При to-yN мощность излучения резко падает. Для описания этого эффекта использована формула для мощности излучения произвольного распределения особенностей в линейно стратифицированном волноводе [Городков н Теодоровнч 1986|. 15 этой формуле сделана подстановка распределения особенностей [Voisin 1999), моделирующего круговой цилнцдр в безграничной однородно стратифицированной жидкости. Показано, что такой подход лает неплохое качественное соответствие с экспериментальными данными. Проведено также сравнение с расчетными резулыатами [Стурова 2001].

Проведено исследование соотношений аффинного подобия в однородно стратифицированной жидкости ограниченной глубины для удлиненного эллипсоида вращения и сферы. Точность выполнения соотношений аффинного подобия при ограниченной глубине жидкости несколько уменьшается, однако для мнимой части коэффициента гидродинамической нагрузки наблюдается хорошая универсальность экспериментальных данных, полученных для эллипсоидов различных удлинений.

и

В п. 3.6. дан анализ результатов экспериментов по изучению колебаний кругового цилиндра и сферы в пикноклине различной толщины. Установлено, что уже при характерной толщине пикноклина порядка 2.5D (где D - диаметр сферы или цилиндра) измеренные зависимости коэффициентов присоединенной массы и демпфирования от частоты колебаний весьма близки к зависимостям, имеющим место в однородно стратифицированной безграничной жидкости. С уменьшением толщины пикноклина уменьшается безразмерная мощность излучения внутренних волн, причем максимум мощности излучения сдвигается в сторону меньших частот колебаний, как и в случае линейно стратифицированной жидкости ограниченной глубины. Для плоской задачи приведены качественные соображения о поведении низкочастотного предела коэффициента демпфирования в зависимости от соотношения между толщиной пикноклина и вертикальным размером тела. Основные отличия между задачами о колебаниях кругового цилиндра в линейно стратифицированной жидкости конечной глубины и пикноклине конечной толщины проиллюстрированы на рис. 6. В данном случае наглядна аналогия с эффектом блокировки при медленном горизонтальном движении плоских тел. В жидкости конечной глубины с N = const размер зоны блокировки задается вертикальным размером цилиндра D. Соответственно С,, (Q) при малых П слабо зависит от II/D. В случае стратификации с пикноклином при <5<е О и S> D размер зоны блокировки задается величинами S и D соответственно, так что С,* (£i) - (S/Df при малых S и СД(£1)*1 при больших в. При S -» 0 (двухслойная жидкость) С,' (О) = 0 (см., [Мотыгин и Стурова 2002]). Поведение кривых С,", (О) согласовано с поведением кривых С,'(П) в силу следствий из соотношений Крамерса - Кроиига, что использовано при интерпретации результатов третьей главы.

Проведена специальная серия экспериментов при фиксированной толщине пикноклина и различных значениях внутреннего числа Стокса для выяснения влияния вязкостных эффектов. Показано, что зависимость присоединенной массы от частоты колебаний определяется волновыми эффектами, а эффекты конечной вязкости жидкости играют второстепенную роль. Коэффициент демпфирования существенным образом зависит от вязкостных эффектов. Для характеристики вязких эффектов в разных сериях опытов используется внутреннее число Стокса px = D'Njv (v - кинематическая вязкость жидкости). Следует отметить, что в опытах, описанных в пп. 3.2. - 3.6, систематически использован прием разделения вязкостного и волнового демпфирования на основе версии

гипотезы Фруда [Ньгомеи 1985]. Физически гипотеза Фруда основана на различии масштабов вязких и волновых эффектов (отношение этих масштабов в рассматриваемой задаче имеет порядок отношения толщины пограничного слоя, возникающего на колеблющемся теле, к размеру этого тела). Показано, что во всех исследованных случаях в пределах точности экспериментальных данных можно считать, что вязкостная составляющая демпфирования в стратифицированной жидкости весьма близка к величине вязкостного демпфирования в однородной жидкости.

В п. 3.7. изложены результаты визуализации картин внутренних волн, возникающих при колебаниях тел в стратифицированной жидкости. В частности, изучен процесс формирования пучков внутренних волн на начальном этапе колебаний кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости. Тот факт, что при внезапном перемещении тела в стратифицированной жидкости образуется веерообразная картина внутренних волн, хорошо известен [Mowbray & Rarity 1967]. Однако процесс трансформации этой картины в классическую картину типа «андреевского креста», соответствующую установившимся гармоническим колебаниям тела с фиксированной частотой, ранее не изучался. Обзор теоретических работ и асимптотические решения нестационарной задачи о внутренних волнах, генерируемых различными системами модельных особенностей, имеется в [Voisin 2003]. Процесс формирования пучков внутренних волн при внезапном старте гармонических колебаний кругового цилиндра проиллюстрирован на рис. 7. В п. 3.7. диссертации предложен способ экспериментальной количественной оценки длительности переходных процессов с помощью соответствующим образом определенной корреляционной функции для распределений возмущений градиента плотности по угловой координате вдоль окружностей / и 2 (рис. 7), взятых при фиксированной фазе колебаний тела. Получены данные о длительности переходных процессов как функции расстояния от тела и угла наклона пучков внутренних волн.

В п. 3.7. приведено обсуждение результатов по изучению волновой картины,

возникающей при поступательном движении кругового цилиндра в однородно

стратифицированной жидкости по окружности малого радиуса. Дано новое физическое

объяснение наблюдаемому в опытах частичному вырождению картины «андреевского

креста»; показано, что оно согласуется с интересным выводом о независимости мощности

излучения внутренних волн от направления колебаний кругового цилиндра в однородно

стратифицированной жидкости, следующим из теории [Hurley 1997]. В работе [Hurley &

Hood 2001] результатам [Гаврилов и Ерманюк 1997] было дано строгое теоретическое

толкование. Следует отметить, что визуализация картины внутренних волн с применением

16

"синтетического" шлирен-метода показала возникновение ярко выраженных возмущений плотности, соответствующих "нулевой частоте" колебаний. По-видимому, данный эффект является существенно нелинейным.

В заключительной части п. 3.7. описаны картины внутренних волн при вертикальных и горизонтальных колебаниях кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости конечной глубины. Для вертикальных и горизонтальных колебаний цилиндра продемонстрировано вырождение сложной картины внутренних воли в первую и вторую моды соответственно.

В четвертой главе диссертации изложены результаты экспериментального исследования взаимодействия гравитационных течений и нелинейных внутренних волн с погруженными телами.

В п. 4.1 дано описание экспериментальных установок и методики проведения экспериментов. Гравитационные течения в опытах генерировались удалением поперечной перегородки, разделявшей лоток на две одинаковые по длине части (см. рис. 8). По одну сторону от перегородки находилась однородная жидкость (дистиллированная вода), по другую сторону — двухслойная жидкость (нижний слои глубины Лд - раствор сахара в воде, верхний слой глубины й, - дистиллированная вода). Полная глубина жидкости Н по обе стороны от перегородки была одинаковой.

Опыты с уединенными внутренними волнами проводились в двухслойной жидкости с тонким нижним слоем. Уединенные волны генерировались перемещением толстой прямоугольной пластины, находившейся на границе раздела сред, с помощью кулисного механизма из его верхней мертвой точки в нижнюю. Линейные периодические внугренние волны в двухслойной жидкости генерировались гармоническими вертикальными колебаниями полуцилиндра, пересекающего границу раздела сред. Для измерения гидродинамических нагрузок, индуцируемых как гравитационными течениями, так и линейными и нелинейными внутренними волнами на закрепленных погруженных телах, использовались специально сконструированные двухкомпонентные весы.

В п. 4.2. приведены результаты исследования структуры гравитационных течений и скоростей их распространения. Показано, что экспериментальные данные о скоростях распространения гравитационных течений удобно представлять в виде семейства кривых, представляющих собой зависимости числа Фруда ^х-У/^ё^К от относительной глубины течения ал=И,/Н (здесь И,=И^/2 - глубина гравитационного течения). Измерения

проводились при различных значениях критерия Галилея Л = [«■£//'Д"1 ]'' на заданном

17

расстоянии L/H от перегородки. Результаты экспериментов приведены на рис. 9. Видно, что при больших значениях гравитационного числа Рейнольдса экспериментальные данные хорошо согласуются с оценкой [Shin, Dalziel & Linden 2004], полученной в рамках модели идеальной жидкости с соблюдением закона сохранения энергии. Важно отметить, что оценка [Shin, Dalziel & Linden 2004] заметно отличается от оценки [Benjamin 1968], для которой закон сохранения энергии выполняется только при а, =0,5. В п. 4.2 предложена полуэмпирическая формула для оценки скорости распространения гравитационных течений с учетом вязкой диссипации энергии при умеренных значениях числа Галилея

лабораторных экспериментах диапазоне 4-10' < А <2,310" можно принять С = 2. Зависимость (10) хорошо аппроксимирует экспериментальные данные (линии 3 - 7 на рис. 9). Выделен диапазон параметров, в котором для скорости гравитационных течений выполняется моделирование по Фруду (т. е. [г = )). В п. 4.3. показано, что в этом диапазоне параметров гидродинамические нагрузки, индуцируемые гравитационными течениями на погруженном круговом цилиндре, также моделируются по Фруду. На рис. 10 показаны зависимости коэффициентов горизонтальной и вертикальной гидродинамических нагрузок на единицу длины цилиндра, определенных как

Данные приведены для различных расстояний ¿/О от центра цилиндра до дна канала. Максимальные нагрузки имеют место при с//0->0,5 и быстро убывают с ростом (У/О. В п.4.4. приведены экспериментальные данные о зависимости сил, действующих на находящийся на дне прямоугольный цилиндр, от соотношения между глубиной гравитационного течения и общей глубиной жидкости. Показано, что с ростом а,, увеличивается отношение максимальной горизонтальной нагрузки, возникающей при столкновении фронта течения с препятствием, к значению квазистационарнон нагрузки в последующие моменты времени (пиковое значение может превышать квазистационарное в 1,5 раза).

(10)

где

С - экспериментальная константа. В часто используемом в

Здесь О — диаметр цилиндра. По оси ординат отложено безразмерное время г =/(ей/А,)"'.

В п. 4.5. изложены результаты исследования снлопого взаимодействия линейных п нелинейных внутренних волн с погруженными телами. Кратко изложены основные особенности силового воздействия линейных волн на noi ружеиные тела И частности, отмечено, что гидродинамические нагрузки, индуцируемые линейными внутренними волнами па телах, удаленных ог нпкноклнпа, хорошо описываются уравнением Морпсона (см. ILighlhitl 1986]). Отмечено также, что наличие тангенциальною разрыв» скоростей па границе слоев приводит к существенному уменьшению горизонтальной гидродинамической нагрузки, действующей па тело, находящееся в середине ппкпоклпна. ' >ia особенное п. двухслойных систем проявляется и в случае взаимодействия тел с гравитационными течениями и уединенными внутренними волнами. При исследовании синовию «озденавня уединенных внутренних волн на погруженный круговом цилиндр, находящийся «дали от никноклпнл, показано, что уравнение Морнсопа даст сильно заниженные оценки гидродинамической нагрузки. Для оценки параметров уединенных волн использованы данные измерения профиля волн волномерами и результаты работ (Овсянников. Макаренко. 11алимов и др. 1985], [l-'unakoshi & Oikawa 1986), [tirue cl al. 1999].

В пятой главе диссертации изложены результаты экспериментальною исследования течения Тейлора - Куэгта в двухслойной системе смешивающихся жидкостей. В п. 5.1 опнеаны экспериментальная установка и методика визуализации. Для изучения структуры течения II количественной оценки интенсивности перемешивания применены классический теневой метод и метод визуализации с помощью индуцированной лазером флуоресценции. Схема экспериментальной установки показана па рис. II. Установка сосюпг из двух коаксиальных плексигласовых цилиндров 1 н 2. Радиус внутреннею цилиндра />,-15см, внутренний радиус внешнего цилиндра Л, = 20см. Внешний цнлипдр был неподвижен, внутренний цилиндр вращался с частотой а>. Общая глубина жидкости в экспериментах составляла II = 76см. Кольцевое пространство между цилиндрами заполнялось двухслойной жидкостью. Верхний слой представлял собой пресную воду плотностью />,, нижний слой -раствор поваренной соли в воде плотностью />,. Распределение плотности по вер шкальной координате у было аналогично (9), условная граница раздела слоев во всех опытах находилась на глубине II/2. Относительная разность плотностей между слоями варьировалась в диапазоне 0.0015</rs0.02. Исследовались случаи резкого и плавною пнкноклннов, для которых £/(Л,-f>,) = 0,2 и i5/(/>, - ft,) = 2 соответственно. Число Рсйнольдса в опытах варьировалось в диапазоне 600 s Re = oib^b,-h,)/v i 4200. В п. 5.2. описаны

результаты опытов. При псслсдопашш качественных особенностей режимов течения в плавном пикноклине использованы пространственно-временные картины течения (см. рис. 126 и 136), полученные опросом вертикальной линии пикселей, помеченной стрелкой на рис. 12сг и 13а. Отмечено, что наблюдаемый в опытах вихре-волновой режим движения (рис. 12) с вихрями Тейлора вне пикноклина и прогрессивными волнами, распространяющимися от центра пикноклина к его краям, существенно отличается от картины стоячих волн, наблюдаемых в линейно стратифицированной жидкости [Catón, Janiaud & Hopfinger 2000]. Переход от вихре-волнового к вихре-вихревому режиму течения (вихри Тейлора вне пикноклина, стратифицированные вихри в пикноклине) сопровождается скачком частоты флуктуации поля плотности, что также отличается от сценария смены режимов течения, описанного в [Catón, Janiaud & Hopfinger 2000]. Вихри в пикноклине эффективно перемешивают жидкость, что выражается в формировании прослоек (рис. 13в).

С помощью- техники индуцированной лазером флуоресценции проведена количественная оценка интенсивности перемешивания через границу раздела сред в двухслойной системе с резким никноклином. Изучена зависимость «времени жизни» стратификации от « и с. Глобальное число Ричардсона для рассматриваемой системы может быть определено как Ri^ = АП/АЕ, где ДП = ерл{ь1 -b^h1 ¡2 - изменение потенциальной энергии системы между начальным (двухслойная жидкость) и конечным (полностью перемешанная жидкость) состояниями, АЕ - сообщенная системе механическая энергия. Механическая энергия, необходимая для перемешивания жидкости, в наших опытах может быть оценена как ДE = Mj(oTt, где Мл - момент сил вязкого трения, действующих на внутренний цилиндр, - время существования стратификации (от начала опытов до полного перемешивания). Для оценки Л/, использованы данные [Dubrulle & Hersant 2002]. При Re = 3800 имеем R¡„„ = ДП/ДЕ = 0,031. В исследованном диапазоне параметров Ri^, - Re', где к = 3/2, т.е. интенсивность перемешивания заметно возрастает с ростом числа Рейнольдса.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в работе 1. Дано теоретическое решение задачи о колебаниях тел произвольной геометрии в безграничной однородно стратифицированной жидкости. Показано, что решения, предложенные ранее другими авторами для конкретной геометрии тел, могут быть

получены как частные случаи. Теоретически получены и экспериментально подтверждены

соотношения аффинного подобия

для коэффициентов гидродинамических нагрузок.

2. Разработана методика экспериментальной оценки гидродинамических . нагрузок, действующих на тела, совершающие гармонические колебания в непрерывно стратифицированной жидкости. Методика оценки коэффициентов присоединенной массы и демпфирования в частотной области основана на исследовании Фурье-образов кривых затухающих колебаний. Сформулирована и экспериментально обоснована версия метода Фруда, позволяющая выделить вязкую и волновую составляющие демпфирования, провести экспериментальную оценку мощности излучения внутренних волн колеблющимися телами в непрерывно стратифицированной жидкости.

3. Определены гидродинамические характеристики различных плоских и пространственных тел, совершающих колебания в глубокой однородно стратифицированной жидкости. В частности, показан существенно различный характер поведения гидродинамических коэффициентов в плоской и пространственной задачах в низкочастотном пределе. Для контуров в виде многоугольников показано существование критических частот колебаний, в окрестности которых происходит резкое изменение значений гидродинамических коэффициентов.

4. Получены экспериментальные оценки коэффициентов гидродинамических нагрузок и безразмерной мощности излучения внутренних волн при колебаниях кругового цилиндра и сферы в однородно стратифицированной жидкости ограниченной глубины и в ппкноклине, проведено сравнение динамических характеристик этих двух типов волноводов в плоской и пространственной задачах. Показано, что с уменьшением характерного вертикального размера волновода уменьшается мощность излучения внутренних волн, а максимум кривой мощности излучения смещается в зону меньших частот.

5. С помощью версии синтетического шлиреп-метода и корреляционного анализа полей волновых возмущений в различные моменты времени получена количественная экспериментальная оценка длительности переходных процессов формирования картины внутренних волн при внезапном старте гармонических колебаний кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости.

6. Получены экспериме!ггальные оценки гидродинамических нагрузок, возникающих при

взаимодействии внутренних гравитационных течений и уединенных внутренних волн с

погруженными телами. Определен диапазон параметров, в котором скорость

распространения гравитационных течений соответствует оценке, полученной в рамках

21

модели идеальной жидкости; предложена полуэмпирическая формула для скорости распространения гравитационных течений с учетом вязкой диссипации энергии. Выделен диапазон параметров, в котором гидродинамические нагрузки, вызываемые гравитационными течениями, моделируются по Фруду. Показано, что силовое воздействие гравитационных течений и уединенных внутренних волн максимально, когда препятствия находятся на дне канала.

7. В задаче о течении Тейлора — Куэтга в двухслойной системе смешивающихся жидкостей с помощью анализа пространственно-временных образов течения, полученных теневым методом и методом индуцированной лазером флуоресценции, исследован сценарий смены режимов течения в плавном пикноклине. Показано, что переход от волнового к вихревому режиму течения в пикноклине сопровождается скачком частоты флуктуаций плотности. Получена оценка зависимости глобального числа Ричардсона от числа Рейнольдса для процесса перемешивания двухслойной стратифицированной жидкости вихрями Тейлора.

ЛИТЕРАТУРА

Городцов В.А., Теодорович Э.В. Об излучении внутренних волн при равномерном прямолинейном движении локальных и нелокальных источников // Изв. АН СССР, ФАО. 1980. Т. 16., №9. С. 954-961.

Городцов В.А., Теодорович Э.В. Энергетика генераторов внутренних волн // ПМТФ. 1986. № 4. С. 53-59.

Иванов A.B. Генерация внутренних волн осциллирующим источником // Изв. РАН, ФАО. 1989. Т. 25, № 1.С. 84-89.

Коротким А.И. Присоединенные массы судна: Справ. Л.: Судостроение, 1986. Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Эффект рекурренции и перезамыкания в поле присоединенных двухмерных внутренних волн // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №5. С. 139-148. Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Структура стратифицированного течения около цилиндра при малых значениях внутреннего числа Фруда // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 1. С. 80-88. Мотыгин О.В.. Стурова И.В. Волновые движения в двухслойной жидкости, вызванные малыми колебаниями цилиндра, пересекающего границу раздела // Изв. РАН, МЖГ. 2002. № 4. С. 105-119.

Никитина Е.А. Сопротивление судам в «мертвой воде» // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. №1. С. 188-192.

Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. Л.: Судостроение. 1985.

Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. 1985.

Стурова И.В. Колебания кругового цилиндра в слое линейно стратифицированной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 2001. № 3. С. 155-164.

Хаскинд M Д. Методы гидродинамики в проблемах мореходности корабля на волнении // Тр. ЦАГИ. 1947. № 603. С. 1-74.

Хаскинд М.Д., Риман U.C. Экспериментальные методы определения гидродинамических параметров качки // Тр. ЦАГИ. 1947. № 608. С. 1-20.

Шишкина ОД. Сравнение коэффициентов сопротивления тел, движущихся в жидкостях с различными профилями стратификации // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 4. С. 4-11.

Arntsen 0.A. Disturbances, lifl and drag forces due to translation of a horizontal circular cylinder in stratified water // Experiments in Fluids. 1996. V. 21. P. 387-400.

Benjamin T.B. Gravity currents and related phenomena // J. Fluid Mech. 1968. V. 31, pt. 2. P. 209248.

Caslro LP., Snyder W.N., Baines P.G. Obstacle drag in stratified flow // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1990. V. 429. 119-140.

Caton F„ Janiaud B„ Hopfinger E.J. Stability and bifurcations in stratified Taylor - Couette flow //]. Fluid Mech. 2000. V. 419. P. 93-124.

Chashechkin Yu.D., Levitskiy V. V. Pattern of flow around a sphere oscillating at neutrally buoyancy horizon in a continuously stratified fluid // Journal of Visualization. 2003. V. 6. No. 1. C. 59-65. Dakiel S.B., Hughes G.O., Sutherland B.R. Whole-field density measurements by 'syntetic schileren' // Experiments in Fluids. 2000. V. 28. P. 322-335.

Dubrulle B., Hersant F. Momentum transport and torque scaling in Taylor -Couette flow from an analogy with turbulent convection // European Physical Journal (B). 2002. V. 26. P. 379-386. Funakoshi M., Oikawa M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1986. V. 55, No. 1. P. 128-144.

Grue J., Jensen A., Rusds P.-O., Sveen J. K. Properties of large amplitude internal waves // J. Fluid Mech. 1999. V. 380. P. 257-278.

Hurley D.G: The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 1. Inviscid solution//J. Fluid Mech. 1997. V. 351. P. 105-118.

Hurley D.G., Hood M.J. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 3. Angular oscillations and comparison of theory with recent experimental observation // J. Fluid Mech. 2001. V. 433. P. 61-75.

Lai R. Y.S., Lee C.-M. Added mass of a spheroid oscillating in a linearly stratified fluid // Intern. J. Engineering Sciences. 1981. V. 19. P. 1411-1420.

Larsen L.H. Oscillations of a neutrally buoyant sphere in a stratified fluid // Deep-Sea Research. 1969. V. 16. P. 587-603.

Lighlhill M.J. Fundamentals concerning wave loading on offshore structures // J. Fluid Mech. 1986. V. 173. P. 667-682.

Lofquist K. E., Purtell L.P. Drag on a sphere moving horizontally through a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1984. V. 148. P. 271-284.

Merzkirch W., Peters F. Optical visualization of internal gravity waves in stratified fluid // Optics and Lasers in Engineering. 1992. V. 16. P. 411-425.

Mowbray D.E., Rarity B.S.H. A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified fluid // J. Fluid Mech. 1967. V. 28. P. 1-16.

Raffel M„ iVillert C.E., Kompenhaus J. Particle image velocimetry: a practical guide. SpringerVerlag. 1998.

Shin J.O., Dakiel S.B.. Linden P.F. Gravity currents produced by lock exchange // J. Fluid Mech. 2004. V. 521. P. 1-34.

SutherlandB.R., DakielS.B.; Hughes G.O., Linden P.F. Visualization and measurement of internal waves by 'syntetic schlieren'. Part 1. Vertically oscillating cylinder II J. Fluid Mech. 1999. V. 390. P. 93-126.

Voisin B. Internal wave generation: from theory to applications // Scientific report on grant TMR No.ERBFMBI CT97 2653. Grenoble, LEGI. 1999. P. 1-36.

Voisin B. Limit states of internal wave beams // J. Fluid Mech. 2003. V. 496. P. 243-293. WangC.-Y. On high-frequency oscillating viscous flows//J. Fluid Mech. 1968. V. 32. P. 55-68. IVehausen J.V. The motion of floating bodies//Annual Rev. Fluid Mech. 1971. V. 3. 237-268. Westerweel J. Fundamentals of digital particle image velocimetry // Meas. Sci. Technol. 1997. V. 8. P. 1379-1392.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ерманюк Е.В. Экспериментальное изучение силового воздействия внутренних волн на неподвижную сферу//ПМТФ. 1993. Т. 34, № 4. С. 103-107.

2. Гаврилов Н.В., Ермаиюк Е.В. О влиянии пикноклина на силы, действующие на неподвижный эллиптический цилиндр при набегании внутренних волн // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 6. С. 61-69.

3. Гаврилов Н. В., Ерманюк Е. В. Внутренние волны, генерируемые круговым поступательным движением цилиндра в линейно стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38. № 2. С. 64-67.

4. Гаврилов Н. В., Ерманюк Е. В. Дифракция внутренних волн на круговом цилиндре, расположенном вблизи пикноклина И ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 79-85.

5. Ermanyuk Е. V. The use of impulse response functions for evaluation of added mass and damping coefficient of a circular cylinder oscillating in a linearly stratified fluid // Experiments in Fluids. 2000. V. 28. P. 152-159.

6. Ерманюк E.B., Гаврилов H.B. Динамические характеристики цилиндрических тел, колеблющихся в линейно стратифицированной жидкости // Выч. технологии. 2001. Т. 6. Ч. 2. С. 283-289.

7. Ermanyuk Б. V. The rule of affine similitude for the force coefficients of a body oscillating in a uniformly stratified fluid // Experiments in Fluids. 2002. V. 32. P. 242-251.

8. Ерманюк E. В., Гаврилов H. В. О колебаниях цилиндров в линейно стратифицированной жидкости // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4. С. 15-26.

9. Ermanyuk Е. V., Gavrilov N. К Force on a body in a continuously stratified fluid. Part 1. Circular cylinder// J. Fluid Mecli. 2002. V. 451. P. 421-443.

10.Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. Force on a body in a continuously stratified fluid. Part 2. Sphere//J. Fluid Mech. 2003. V. 494. P. 33-50.

11. Ерманюк E.B., Гаврилов H.B. Взаимодействие внутреннего гравитационного течения с погруженным круговым цилиндром // ПМТФ. 2005. Т. 46, № 2. С. 81-90.

12.Ерманюк Е.В., Гаврилов И.В. Взаимодействие внутреннего гравитационного течения с препятствием на дне канала // ПМТФ. 2005. Т. 46, № 4. С. 39-46.

13. Ermanyuk Е. У.. FlorJ.-B. Taylor-Couette flow in a stratified fluid with pycnocline: instabilities and mixing // Dynamics of Athmospheres and Oceans. 2005. V. 40 (1-2). P. 57-69.

14.Ермаиюк E.B., Гаврилов H.B. Экспериментальное исследование воздействия уединенной внутренней волны на погруженный круговой цилиндр Н ПМТФ. 2005. Т. 46, №6. С. 3644.

15.Ерманюк Е.В., Гаврилов Н.В. О длительности переходных процессов при формировании пучков внутренних волн //ДАН. 2005. Т. 404, № 6. С. 771-774.

ГУ8 "А10 'У 6 />оЫ- Гг"'

1гт н

/3 н У - ь 1 ^ Эре*,)

Гнс. 1. Схема экспериментальной установки: 1 — лоток, 2 — датчик плотности, 3 — волногасители, 4 — исследуемое тело, 5 — маятник, б — шарик, 7 — мембрана, 8 — электромагнит, 9 — электролитический датчик перемещений, 10 -

микрометрический винт, 11 — противовес, 12 — опорный нож, 13 ~ микрометрический механизм для тарировки датчика перемещений, 14 — чашка для разновесов.

Рис. 2. Затухающие колебания кругового цилиндра в однородно

стратифицированной жидкости при а) П. =0,74 и 6) £1. =1,11: сплошная линия-данные эксперимента, пунктирная линия — аппроксимация функцией вида

аиехр(-£()мп(<у/).

ПОИПртЬЮЯ ЖИПьцснн,

а)

б)

Рис. 3. Зависимости коэффициента присоединенной массы а) и коэффициента демпфирования б) кругового цилиндра от безразмерной частоты колебаний: точки — экспериментальные данные, пунктирной линией показаны результаты экспериментов в однородной жидкости.

Рнс. 4. Зависимости коэффициентов присоединенной массы а) п демпфирования б) от частоты колебаний дли цилиндров с различным поперечным сечением: / — ромб, 2— квадрат, 3 — круг. Линия 4 — данные для коэффициента демпфирования ромбя и квадрата в однородной жидкости. Направление колебаний — горизонтальное.

а) б)

Рис. 5. Действительная а) и мнимаи б) части коэффициента динамической нагрузки в зависимости от параметра аффинного подобия для эллипсоидов вращения различного удлинения. Сплошная линии — универсальная теоретическая зависимость. Точки — экспериментальные данные: ¿/0 = 0,5 -Л; ¿/0 = 1 -•; ¿/£>=2-о.

1,5 2.0

1.5 a 2.0

Рис. 6

Коэффициенты демпфирования (вверху) и Коэффициенты демпфирования (вверху) и

присоединенной массы (шипу) для кругового присоединенной массы (внизу) для

цилиндра в однородно стратифицированной кругового цилиндра в пикноклние.

жидкости конечной глубины. Сплошная Сплошная линия — решение (Hurley 1997|

линия - решение [Hurley 1997] для H/D-*a>, для однородно стратифицированной

линии 1 — 4 результаты экспериментов в безграничной жидкости, однородной жидкости для H/D = 1.65; 2,19; 3,24; 7,57.

Рис. 7. Развитие картины внутренних волн при внезапном старте колебаний кругового цилиндр» в линейно стратифицированной жидкости, рисунки а) — в) соответствуют моментам времени / = Г,/ = ЗГ,» = 57- после начала колебаний.

i—lib /п б / У

V

Я Pi ч 4 2 Т h>\ Лз А 2

t / i \ ^ л* р2

Рис. 8. Схема экспериментальной установки для изучения взаимодействия гравитационных течений с препятствием: / — перегородка, 2 — головная часть течения, 3 - волна понижения уровня, 4 — препятствие, 5 —двухкомпонентные гидродинамические весы, б — волномер.

1.5,

Рг

«л

Рис. 9. Зависимость числа Фруда Fr от безразмерной глубины гравитационного течения ah: точки — экспериментальные данные, полученные при различных значениях критерия Галилея А, линия / - теория |Bcnjamin 19б8|, линия 2 - теория |Shin, Dalziel & Linden 2004], линии 3 — 7— аппрокспмационные зависимости (10).

28

б)

Гис. 10. Зависимости коэффициентов горизонтальной а) и вертикальной б) сил от безразмерного времени для различных в случае взаимодействии круговою цилиндра с гравитационным течением.

Р, Р,

2Ь,

Н

21ь

б)

е)

Рис. 11. Схема установки для изучении течения Тейлора — Куэтгя в двухслойной системе смешивающихся жидкостей: а) вертикальный разрез рабочей части установки, б) схема проведения опытов при использовании теневого метода, в) схема проведении опытов при использовании индуцированной лазером флуоресценции (/ — внутренний цилиндр, 2 — наружный цилиндр, 3 — заполненный водой куб, 4 — лист кальки, 5 — источник света, б — видеокамера, 7— световой нож, 8 — луч лазера, 9— вибрирующее зеркало).

«) 6)

Рис. 12. Вихре-пол новой режим течения: а) теневое изображение пространства между цилиндрами, б) пространственно-временной образ

течения. Параметры эксперимента: е = 0,024; ¿/(6,-6,) = 1,56;

<а = 0,151 с).

а) 6) в)

Рис. 13. Вихре-вихревой режим течения: а) теневое изображение пространства между цилиндрами, б) пространственно-временной образ течения, в) теневое изображение пространства между цилиндрами через 5 минут после прекращения опыта. Параметры эксперимента: г = 0,024; <5/(6,-Ь,) = 1,56; е> = 0,268с"').

Подписано к печати 31.01.2006 Заказ № 175

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 2,0 п.л.

Тираж 100 экз._;_Бесплатно

Ротапринт Института гидродинамики СО РАН Новосибирск 90, проспект акад. Лаврентьева, 15

Предисловие

Введение

Глава 1. Теория колебаний твердых тел в однородно стратифицированной жидкости

1.1. Уравнения движения жидкости 3 О

1.2. Эллиптическая задача

1.3. Гиперболическая задача

1.4. Присоединенные массы и коэффициенты демпфирования некоторых частных геометрических форм

1.5.Свойства коэффициентов присоединенных масс и демпфирования. Соотношения Крамерса - Кронига

1.6. Гидродинамические коэффициенты удлиненных тел

1.7. Альтернативные подходы к решению задачи об оценке гидродинамических нагрузок, действующих на колеблющиеся в непрерывно стратифицированной жидкости тела

1.8. Оценка средней мощности излучения внутренних волн цилиндром, колеблющимся в однородно стратифицированной жидкости конечной глубины

Глава 2. Методика экспериментальных исследований колебаний твердых тел в непрерывно стратифицированной жидкости

2.1. Методика экспериментальной оценки коэффициентов присоединенной массы и демпфирования тел, совершающих колебания в непрерывно стратифицированной жидкости

2.1.1. Введение

2.1.2. Экспериментальная установка

2.1.3. Методика обработки записей затухающих колебаний

2.1.4. Анализ решений в частотной и временной областях

2.2. Визуализация волновых движений непрерывно стратифицированной жидкости с помощью синтетического шлирен-метода

Глава 3. Результаты экспериментального исследования колебаний твердых тел в непрерывно стратифицированной жидкости

3.1. Колебания тел в однородной жидкости

3.2. Затухающие колебания кругового цилиндра в стратифицированной жидкости. Сравнение различных подходов к оценке коэффициентов гидродинамических нагрузок

3.3. Колебания цилиндров с поперечными сечениями в виде ромба и квадрата в однородно стратифицированной жидкости

3.4. Экспериментальная проверка соотношений аффинного подобия. Коэффициенты присоединенных масс и демпфирования сфероидов, совершающих гармонические колебания в однородно стратифицированной жидкости

3.5. Результаты экспериментов по изучению колебаний кругового цилиндра и сферы в линейно стратифицированной жидкости конечной глубины

3.5.1. Эксперименты с круговым цилиндром

3.5.2. Эксперименты со сферой

3.5.3. Исследование соотношений аффинного подобия при конечной глубине жидкости

3.6. Результаты экспериментов по изучению колебаний кругового цилиндра и сферы в пикноклине.

3.6.1. Эксперименты с круговым цилиндром

3.6.2. Эксперименты со сферой

3.7. Результаты визуализации картин внутренних волн, возникающих при колебаниях тел в стратифицированной жидкости

3.7.1. Формирование пучков внутренних волн на начальном этапе колебаний кругового цилиндра в глубокой однородно стратифицированной жидкости

3.7.2. Поступательное движение кругового цилиндра по круговой траектории

3.7.3. Визуализация картин внутренних волн, генерируемых вертикальными и горизонтальными колебаниями кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости конечной глубины

Глава 4. Экспериментальное исследование взаимодействия гравитационных течений и нелинейных внутренних волн с погруженными телами

4.1. Методика экспериментов

4.1.1. Экспериментальная установка для исследования взаимодействия гравитационных течений с погруженным круговым цилиндром

4.1.2. Экспериментальная установка для исследования взаимодействия гравитационных течений с прямоугольным препятствием на дне канала

4.1.3. Экспериментальная установка для исследования взаимодействия уединенных внутренних волн с погруженным круговым цилиндром

4.1.4. Конструкция гидродинамических весов

4.2. Результаты исследования структуры гравитационных течений и скоростей их распространения

4.3. Взаимодействие гравитационных течений и ондулярных боров с погруженным круговым цилиндром

4.4. Взаимодействие гравитационных течений с препятствием на дне канала

4.5. Результаты исследования силового взаимодействия линейных и нелинейных внутренних волн с погруженными телами

4.5.1. Силовое воздействие линейных внутренних волн на погруженные тела

4.5.2. Дифракция линейных внутренних волн на погруженном круговом цил индре

4.5.3. Взаимодействие уединенных внутренних волн с погруженным круговым цилиндром

Глава 5. Экспериментальное исследование течения Тейлора-Куэтта в двухслойной системе смешивающихся жидкостей

5.1. Методика экспериментов

5.1.1. Экспериментальная установка для исследования течения Тейлора-Куэтта в двухслойной системе смешивающихся жидкостей

5.1.2. Методика визуализации течения

5.2. Результаты экспериментов

5.2.1. Режимы течения в случае плавного пикноклина

5.2.2. Процесс перемешивания в двухслойной системе жидкостей с резкой границей раздела между слоями 192 Заключение 198 Литература

Предисловие

Исследования, изложенные в диссертационной работе, выполнялись в течение 1993 - 2005 гг. в лаборатории экспериментальной прикладной гидродинамики Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автор выражает свою благодарность Букрееву В. И., Стуровой И. В., Коробкину А. А. и Макаренко Н. И. за полезные обсуждения и консультации; Гаврилову Н. В. за постоянное сотрудничество в проведении большого объема исследований; Костомахе В. А., Романову Е. М., Гусеву А. В., Туранову Н. П. за разнообразную техническую помощь и советы на различных этапах изготовления экспериментальных установок, проведения опытов и обработки данных. Во время работы над диссертацией автор неоднократно встречался и имел полезные обсуждения с сотрудниками ИПМех РАН Чашечкиным Ю. Д., Городцовым В. А, Левицким В.В., Миткиным В. В., сотрудницей ИФП РАН Шишкиной О. Д. и сотрудницей С-Пб ГМТУ Васильевой В.В. Всем им автор выражает свою искреннюю признательность. Автор также благодарен Б. Вуазену за плодотворную научную корреспонденцию и консультации.

Изложенные в диссертации результаты опубликованы в статьях [21-23, 38-44, 134, 135, 137,139,140] и докладывались на конференциях НТО им. акад. А.Н.Крылова (Санкт-Петербург, 1993, 1995, 1997, 1999), 20-м Симпозиуме по корабельной гидродинамике (Санта-Барбара, США, 1994), 3-й Европейской конференции по механике жидкостей (Геттинген, Германия, 1997), 5-й Международной конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики» (Новосибирск, 1998), Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физической гидродинамики» (Новосибирск, 1999, 2003), Лаврентьевских чтениях (Новосибирск 1999, 2005), 5-м Международном симпозиуме по стратифицированным течениям (Ванкувер, Канада, 2000), Международных конференциях «Потоки и структуры в жидкостях» (Москва, 2001, Санкт-Петербург, 2003, Москва, 2005), Всероссийском съезде по механике (Пермь 2001), 17-м и 19-м Международных симпозиумах по волнам и их взаимодействию с плавающими телами (Кембридж, Великобритания, 2002, Кортона, Италия, 2004), 27-м съезде Европейского геофизического общества ЕОБ 2002 (Ницца, Франция, 2002), 23-м съезде Международного геофизического и геодезического союза Швв 2003 (Саппоро, Япония, 2003).

Детальное изучение динамических процессов, происходящих в атмосфере и Мировом океане, необходимо в широком спектре разнообразных практических приложений - от предсказания погоды и климатических изменений до комплекса задач, связанных с освоением морских глубин и обеспечением безопасности авиационных и морских перевозок. Атмосфера и океан являются неоднородными по плотности средами, находящимися в состоянии непрерывного движения, при котором сочетаются процессы различных временных и пространственных масштабов. Из-за неравномерности распределения температуры и концентрации растворенных веществ (в случае атмосферы - также из-за сжимаемости воздуха) и действия сил тяжести и плавучести формируется вертикальный градиент поля плотности, характеризующий стратификацию воздушной и водной сред. Анизотропия свойств атмосферы и океана наряду с широким спектром пространственных и временных масштабов создают большие сложности для математического и численного моделирования. Так при численном моделировании явлений глобальных масштабов (например, океанских течений) необходимо тщательное исследование и параметризация явлений, имеющих характерный масштаб, меньше масштаба расчетной сетки. В число таких явлений попадают многие волновые процессы на границе раздела воздушной и водной сред и в толще атмосферы и океана, процессы перемешивания, распада крупномасштабной турбулентности в стратифицированной среде, формирования тонкой структуры стратификации и т. д. Изучение этих процессов представляет большой самостоятельный интерес как в геофизических (например, задача о генерации внутренних волн при обтекании гор стратифицированными воздушными течениями), так и в технических приложениях (например, проблема изучения динамики и структуры следов за движущимися объектами в стратифицированных по плотности атмосфере и океане).

В диссертации рассмотрен ряд задач, относящихся к трем разделам динамики стратифицированной жидкости: • генерация внутренних волн колеблющимися телами,

• взаимодействие гравитационных течений и уединенных внутренних волн с закрепленными погруженными телами,

• процессы перемешивания в стратифицированных потоках при наличии вторичных течений.

Ниже приводится обзор работ, относящихся к упомянутым темам, обосновывающий актуальность исследованных в диссертации задач и новизну полученных результатов.

Исследованию порождения внутренних волн различными источниками посвящено огромное число работ, причем большое внимание уделено задаче взаимодействия стратифицированной жидкости с движущимися телами. В большинстве теоретических работ используется предположение о малости возмущений, широко применяются асимптотические методы анализа. Весьма подробные обзоры по данной тематике имеются в [Тернер 1977], [Степанянц, Стурова и Теодорович 1987], [Voisin 1991а, 1991b, 1994]. Важный вклад в теоретическое, численное и экспериментальное исследование этого класса задач внесли Акуленко Л. Д., Боровиков В. А., Букреев В. И., Булатов В. В., Васильева В. В., Войткунский Я. И., Горлов С. И., Городцов В. А., Долина И. С., Иванов А. В., Кистович Ю. В., Кузнецов Н. Г., Макаров С. А., Миропольский Ю. 3., Миткин В. В., Мотыгин О. В., Нестеров С. В., Никитина Е. А., Никишов В. И., Секерж-Зенькович С. Я., Сретенский Л. Н., Степанянц Ю. А., Стурова И. В., Тер-Крикоров А. М., Ткачева Л. А., Троицкая Ю. И., Франк А. М., Хабахпашева Т. И., Черкесов Л. В., Черных Г. Г., Чашечкин Ю.Д., Шишкина О. Д., Appleby J. С., Baines P.G., Bonneton Р., Boyer D. L., Castro I. P., Crighton D. G., Dalziel S. В., Drazin P. G., Greenslade M. D., Hopfinger E. F., Hurley D. G., Keady G., Krishna D. V., Larsen L. H„ Lay R.Y.S., Lee C.-M., Lin Q., Lofquist K. E., Mawbray D. E., Miloh T., Nicolau D., Purtell L. P., Rarity В. S. H., Sabunku T., Stevenson T. N., Sutherland В. R., Thorpe S. A., Wu G. X., Xu Z., Zilman G. и др.

Основы теории свободных внутренних волн в случае разрывной и непрерывной стратификации были заложены работами Стокса, Рэлея, Гельмгольца, Бьеркнеса. Обзор ряда интересных задач, исследованных на раннем этапе развития теории внутренних волн, имеется в [Прандтль 1949]. Практический интерес к задаче о движении твердых тел в стратифицированной жидкости и вызванных этим движениям внутренних волнах возник в связи с исследованием эффекта «мертвой воды», проявляющемся в резком увеличении сопротивления при движении судов с малой скоростью в слое пресной воды, находящейся над слоем соленой воды. Связь этого эффекта с внутренними волнами была убедительно продемонстрирована в экспериментах Экмана (см. [Глинский 1973], [Тернер 1977]). Теоретическое объяснение эффекта "мертвой воды" для случая разрывной стратификации (т.е. когда плотность претерпевает скачкообразное изменение на границе раздела сред) было дано в работах [Ламб 1947], [Кочин 1949], [Сретенский 1959]. Методы, предложенные этими авторами, были развиты и дополнены в работах [БаЬипки 1961], [Войткунский 1963], [Васильева 1967], [Васильева 1968]. Дальнейшие теоретические и численные исследования были продолжены работами ^и 1990], [Стурова 1993], [Хабахпашева 1996], [Горелов и Горлов 1996], [Горлов 1997], [Motygin & Кдш^оу 1997]. Общая методика решения задач динамики двухслойной жидкости может быть распространена на случай многослойной жидкости (см., напр., [Горлов 20006]). Нелинейная задача о движении контура к границе раздела исследована в [Горлов 2000а]. Рассматривалась также такая стратификация жидкости, при которой на границе раздела скачком меняются сразу два параметра: нижний слой жидкости предполагался имеющим высокую плотность и вязкость, верхний слой - идеальная жидкость [МПоИ & Ъ\\тш 1994]. Экспериментальное исследование добавочного сопротивления, вызванного эффектом «мертвой воды» в двухслойной жидкости представлено в [Никитина 1959].

Обобщение задачи о "мертвой воде" на случай произвольного распределения плотности сделано в [Стурова 1993]. При этом предполагается, что изменение плотности имеет место на горизонтах, расположенных выше или ниже траектории движения тела. В частности, было показано, что для двухмерных тел волновое сопротивление, вызываемое возбуждением высших мод волновых движений жидкости, может превышать волновое сопротивление, связанное с возбуждением низших мод.

В тех случаях, когда градиент плотности на горизонтах движения тела отличен от нуля, задача существенно усложняется. В большинстве теоретических, расчетных и экспериментальных работ исследуется частный случай непрерывно стратифицированной жидкости, в которой плотность экспоненциально меняется с глубиной и, соответственно, частота плавучести имеет постоянную величину (так называемая однородно стратифицированная жидкость). Аналитическое определение мощности, затрачиваемой на генерацию внутренних волн движущимися в однородно стратифицированной жидкости телами, сопряжено с преодолением трудностей, связанных с моделированием формы тела. В связи с этой проблемой интересен цикл работ [Городцов и Теодорович 1980,1981, 1982,1991], [Городцов 1991,1992а, 19926] в которых показано, что при попытке определения волнового сопротивления точечных особенностей встречается парадокс бесконечного сопротивления, намечены методы регуляризации этой задачи, построена высокоскоростная I асимптотика волнового сопротивления. Прямое численное моделирование обтекания сферы потоком вязкой однородно стратифицированной жидкости выполнено в [Hanazaki 1988]. Исследование характеристик крылового профиля, движущегося в идеальной однородно стратифицированной жидкости, выполнено в работе [Ткачева 1995].

Экспериментальные исследования обтекания различных препятствий и тел в непрерывно стратифицированной жидкости продемонстрировали большое разнообразие режимов течения в зависимости от сочетания величин чисел Фруда и Рейнольдса. Исследованы случаи сфер [Lofquist & Purtell 1984], [Сысоева и Чашечкин 19866, 1988], [Hopfinger et al. 1991], [Lin et al 1992], [Chomaz et al. 1992], [Chomaz, Bonneton & Hopfinger 1993]; цилиндров [Миткин, Прохоров и Чашечкин 1998], [Миткин и Чашечкин 1998, 1999а, 19996, 2001]; препятствий в форме холма [Snyder et al. 1985], [Castro, Snyder & Baines 1990]. Эти исследования позволили выявить диапазоны изменения параметров, в которых генерация внутренних волн существенна; были также сформулированы важные энергетические соображения, относящиеся к эффекту блокировки в плоской задаче и концепции разделяющейся линии тока в пространственной задаче.

Измерения гидродинамического сопротивления в однородно стратифицированной жидкости проводились в работах [Mason 1977], [Lofquist & Purtell 1984] - для сферы и [Castro, Snyder & Baines 1990] - для препятствия в форме холма. Следует отметить, что основные наблюдаемые особенности кривой добавочного сопротивления для сферы в однородно стратифицированной жидкости получили интересную интерпретацию в полуэмпирической теории [Greenslade 2000], использующей данные по следу [Сысоева и Чашечкин 1986, 1988], концепцию разделяющейся линии тока, теоретические работы [Drazin 1961] и [Smith 1980], посвященные задаче обтекания гор, и высокоскоростную асимптотику [Городцов иТеодорович 1982].

В случае стратификации с плавным пикноклином результаты измерения гидродинамического сопротивления представлены в работах [Arntsen 1996], [Шишкина 1996] и [Xu, Zhou & Chen 2002] для кругового цилиндра, сферы и тела Ренкина соответственно, причем в [Шишкина 1996] обсуждается обобщение результатов, полученных при разных профилях стратификации (в том числе для двухслойной и однородно стратифицированной жидкостей).

В задаче о качке тела под действием внутренних волн наибольшее развитие получила модель идеальной двухслойной жидкости. В рамках этой модели развиты идеи и методы (см., напр. [Васильева 1974], [Васильева, Войткунский и Ткач 1976]), заложенные классическими работами по теории качки корабля [Крылов 1951], [Хаскинд 1947].

Как известно, в линейной постановке задача о гидродинамической качке тела распадается на задачи радиации (излучения волн колебаниями тела в покоящейся жидкости) и дифракции (набегания волн на закрепленное тело). Решение первой задачи дает значения коэффициентов присоединеных масс и демпфирования, характеризующих тело и окружающую его жидкость как колебательную систему, а решение второй задачи дает оценку возмущающих сил и моментов. При этом решения этих задач оказываются связанными соотношениями Хаскинда - Ньюмана. Аналог этих соотношений для двухслойной жидкости получен в работе [Стурова 1994а]. Аналитическое решение задачи о дифракции внутренних волн на круговом цилиндре, находящемся вблизи границы раздела двухслойной жидкости, получено в работе [Хабахпашева 1993]. Показано, что при введении соответствующей нормировки значения безразмерной силы, действующей на цилиндр, практически совпадают с известными результатами для поверхностных волн [Ogilvie 1963]. Рад физических явлений, наблюдаемых при совместном колебательном и поступательном движении кругового цилиндра в двухслойной жидкости, описан в [Букреев, Гусев и Стурова 1986]. Развитое теории колебаний тела в двухслойной жидкости для случая качки тела с ходом дано в [Стурова 19946], [Khabakhpasheva & Sturova 1998]. Проблема моделирования тела, колеблющегося на границе раздела двухслойной жидкости, рассмотрена в [Мотыгин и Стурова 2002]. В упомянутых теоретических и численных исследованиях задача решалась в частотной области (гармонические колебания). Решение задачи о вертикальных затухающих колебаниях тонких теп различной формы на границе раздела двухслойной жидкости (временная область) рассмотрено в цикле работ [Акуленко и Нестеров 1987], [Акуленко и др. 1988], [Акуленко, Михайлов и Нестеров 1990]. Связанное с этими работами экспериментальное исследование представлено в [Пьшьнев и Разумеенко 1991].

Результаты экспериментального исследования задачи о дифракции внутренних волн на погруженных телах изложены в [Гаврилов и Ерманюк 1999]. Измерения гидродинамических нагрузок, генерируемых внутренними волнами на погруженных телах (сфера и эллиптический цилиндр), проведены в [Ерманюк 1993], [Гаврилов и Ерманюк 1996] для случая стратификации с пикнокжином. В расчетах И. В. Стуровой реальный плавный профиль плотности заменялся на кусочно-линейный (трехслойная жидкость с однородным верхним и нижним слоями и линейно стратифицированным средним слоем). Сопоставление этих расчетов с экспериментальными данными проведено в [Ermanyuk, Gavrilov & Sturova 1998], [Ermanyuk & Sturova 1994], [Gavrilov, Ermanyuk & Sturova 1996]. Показано хорошее качественное и количественное согласие расчетных и экспериментальных данных. Полуэмпирический подход к описанию качки тела в жидкости с плавным пикноклином предложен в [Разумеенко 1995] (см. также [Ермош, Разумеенко и Сочагин 1989]). Обзор работ о гидродинамических нагрузках в стратифицированной жидкости сделан в [Ennanyuk & Sturova 1996].

Следует отметить, что при определенных условиях воздействие внутренних волн на подводные аппараты и заякоренные сооружения может быть весьма заметным, что убедительно продемонстрировано в натурных экспериментах [Osborn, Burch & Scarlet 1978].

Характеристики поля внутренних волн, генерируемых гармоническими колебаниями тел, погруженных в однородно стратифицированную жидкость, изучены достаточно подробно теоретически и экспериментально. Пионерские работы [Gortler 1943], [Mowbray & Rarity 1967] были направлены на изучение фазовых картин внутренних волн: Последующие исследования были направлены на изучение детальной структуры поля внутренних волн в однородно стратифицированной жидкости [Hurley 1969], [Appleby & Crighton 1986], [Appleby & Crighton 1987], [Иванов 1989], [Макаров Нехлюдов, Чашечкин 1990], [Sutherland et al 1999], [Sutherland et al 2000], [Sutherland & Linden 2002], [Flynn, Onu & Sutherland 2003]; фазовой структуры волн в плавном пикноклине [Nicolau, Liu & Stevenson 1993]. Затухающие колебания сферы и кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости исследованы в

Larsen 1969]. Структура течения в окрестности сферы, совершающей затухающие колебания в однородно стратифицированной жидкости изучена в [Левицкий и Чашечкин 1999], [Chashechkin & Levitsky 2003].

Ряд работ посвящен оценке интегральных характеристик, в частности, мощности, затрачиваемой на излучение внутренних волн, и гидродинамической нагрузки, действующей на колеблющиеся тела. В [Городцов, Теодорович 1986] получена оценка мощности излучения внутренних волн произвольной системой особенностей, в качестве первого приближения предложено моделировать колеблющееся тело распределением особенностей, позаимствованным из решения задачи в однородной жидкости. Оценки гидродинамических нагрузок в рамках приближения Буссинеска для невязкой экспоненциально стратифицированной жидкости при точном соблюдении условия непротекания на теле получены в [Lai & Lee 1981] для вертикальных колебаний эллипсоида вращения и в [Hurley 1997] для произвольных по направлению поступательных колебаний эллиптического цилиндра. В работе [Hurley & Keady 1997] решение [Hurley 1997] распространено на случай вязкой жидкости, а в [Hurley & Hood 2001] - на случай угловых колебаний эллиптического цилиндра. Следует заметить, что в последние годы в Институте проблем механики РАН была выполнена серия интересных работ ([Ильиных, Смирнов и Чашечкин 1999], [Кистович и Чашечкин 1999], [Кистович и Чашечкин 2001], [Кистович и Чашечкин 2002]), посвященных исследованию генерации внутренних волн в вязкой однородно стратифицированной жидкости (причем механизм возбуждения колебаний связан с ненулевой вязкостью жидкости).

Следует отметить, что к моменту начала работы над исследованиями, результаты которых включены в главы 1 - 3 настоящей диссертации, т.е. на начало 1997 года, отсутствовала какая-либо экспериментальная информация о поведении гидродинамических нагрузок, действующих на тела, колеблющиеся в непрерывно стратифицированной жидкости. Пробел знаний в этой области был особенно заметен в сравнении с задачей о гидродинамическом сопротивлении при прямолинейном горизонтальном движении тел в стратифицированной жидкости, при изучении которой, как указано выше, был накоплен большой объем экспериментальных данных для плоской и пространственной задач и различных типов стратификации: [Никитина 1959], [Lofquist & Purtell 1984], [Castro, Snyder & Baines 1990], [Шишкина 1996], [Arntsen 1996].

Существенную проблему при теоретическом исследовании представляло моделирование конкретной геометрии колеблющихся тел: даже в случае использования модели идеальной однородно стратифицированной жидкости задача о гидродинамических нагрузках, действующих на колеблющиеся тела, либо связанная с ней задача о мощности излучения внутренних волн, решалась или приближенно [Городцов и Теодорович 1986], или для тел простейшей геометрии, особенности которой существенным образом использовались при решении: [Lai & Lee 1981], [Hurley 1997], [Voisin 1999]. Данные наблюдений полей внутренних волн зачастую не позволяли провести исчерпывающую верификацию различных теоретических моделей (см., напр., обсуждения в [Иванов 1989], [Макаров, Неклюдов и Чашечкин 1990]). В связи с этим была разработана программа экспериментальных и теоретических исследований, включающая в себя следующие этапы:

• разработка экспериментальной методики оценки присоединенной массы и коэффициента демпфирования тел, колеблющихся в непрерывно стратифицированной жидкости; оценка мощности излучения внутренних волн;

• теоретическое исследование задачи о колебаниях тел произвольной геометрии в безграничной однородно стратифицированной жидкости;

• проведение экспериментальных исследований гидродинамических характеристик различных тел, совершающих колебания в глубокой однородно стратифицированной жидкости, для исследования эффектов, связанных с формой тела;

• проведение экспериментальных исследований колебаний кругового цилиндра и сферы в однородно стратифицированной жидкости ограниченной глубины и в пикноклине, сравнение динамических характеристик этих двух основных типов волноводов в плоской и пространственной задачах;

• проведение визуализации картин внутренних волн.

Результаты выполнения данной программы исследований изложены в главах 1 - 3 настоящей диссертации, основанных на статьях [Ermanyuk 2000], [Ерманюк и Гаврилов 2001], [Ermanyuk 2002], [Ermanyuk & Gavrilov 2002], [Ерманюк и

Гаврилов 2002], [Ermanyuk & Gavrilov 2003], [Ерманюк и Гаврилов 2005г]. Основные опубликованные доклады по данной тематике: [Ermanyuk & Gavrilov 2000], [Ermanyuk, Gavrilov & Sturova 2000], [Ermanyuk 2002a].

Выше в обзоре литературы достаточно подробно описано состояние теоретических и экспериментальных исследований дифракции внутренних волн на закрепленных погруженных телах в различных условиях стратификации и возникающих при этом гидродинамических нагрузок. В случае линейных волн задачу можно считать достаточно хорошо изученной. Большой практический и теоретический интерес представляет задача о воздействии внутренних гравитационных течений и уединенных внутренних волн на погруженные тела.

Гравитационные течения разных типов широко распространены в природе. К ним относятся снежные лавины, пирокластические течения при извержениях вулканов, селевые потоки, мутьевые потоки в океанах, атмосферные явления, сопровождающие вторжение масс холодного воздуха и т.п. Кроме того, гравитационные течения имеют место при различных техногенных катастрофах, например, при распространении нефтяных загрязнений в морях и океанах, аварийном выбросе вредных веществ на химическом производстве. Распространение гравитационных течений часто сопровождается катастрофическими разрушениями, поэтому представляется актуальным исследование структуры таких потоков, скорости их распространения и динамического воздействия на различные препятствия. Обзор имеющейся экспериментальной и теоретической информации дан в монографиях [Тернер 1977], [Simpson 1997]. Информация о снежных лавинах изложена в обзоре [Hopfinger 1983]. Для описания динамики гравитационных течений разработан спектр математических моделей. В зависимости от физических свойств жидкостей гравитационные течения могут представлять собой как эффективно невязкие [Benjamin 1968], так и сугубо вязкие потоки [Hoult 1972], [Huppert 1982]. В последние годы проводится активная разработка теоретических и численных моделей гравитационных течений с учетом влияния трения о дно канала и эффектов перемешивания [Ляпидевский и Тешуков 2000], [Härtel, Meiburg & Necker 2000].

В настоящей работе в качестве объекта исследований выбрано внутреннее гравитационное течение, возникающее при вторжении более плотной жидкости в пресную воду в канале с горизонтальным дном (так называемая задача о водообмене между шлюзами). Классическая оценка скорости распространения фронта такого течения в рамках модели идеальной жидкости дана в [Benjamin 1968]. Следует отметить, что для решения [Benjamin 1968] в общем случае не выполняется закон сохранения энергии. Экспериментальные данные, содержащиеся в работах [Huppert & Simpson 1980], [Simpson 1997], не дали исчерпывающего ответа относительно применимости теории [Benjamin 1968] для оценки скоростей распространения реальных гравитационных течений. Лишь в конце 2004 г. в работе [Shin, Dalziel & Linden 2004] было найдено решение, для которого выполнялся закон сохранения энергии, причем результаты теоретического анализа подкреплены большим количеством экспериментов, выполненных при больших значениях числа Рейнольдса (т.е. тогда, когда жидкость ведет себя как эффективно невязкая). Важно отметить, что оценки распространения скорости гравитационных течений в зависимости от соотношения между глубиной течений и общей глубиной жидкости по теориям [Benjamin 1968] и [Shin, Dalziel & Linden 2004] существенно отличаются. Отметим также, что в [Shin, Dalziel & Linden 2004] не рассматривался вопрос о диапазоне применимости их теории при умеренных значениях числа Рейнольдса.

Структура внутренних гравитационных течений достаточно хорошо изучена в ряде экспериментальных и вычислительных работ. В частности, имеются данные о структуре поля скоростей [Thomas, Dalziel & Marino 2003], [Zhang, An, Li, Chen & Lee 2001] и спектре пульсаций возмущений поля плотности в головной части течений [Parsons & Garsia 1998]. В ряде работ исследовалось взаимодействие гравитационных течений с различными препятствиями [Rottman, Simpson, Hunt & Britter 1985], [Lane-Serff, Beal & Hadfield 1995]. Однако задача определения гидродинамических нагрузок, возникающих при взаимодействии гравитационных течений с погруженными телами, ранее не рассматривалась.

Большой интерес представляет также изучение взаимодействия погруженных тел с уединенными внутренними волнами. Натурные данные показывают, что вследствие малой глубины залегания главного термоклина в океане внутренние волны распространяются по нему в виде солитоноподобных возмущений [Филлипс 1969], [Osborne & Burch 1980], [Miropolsky 2001], [Ostrovsky & Stepanyants 1989], [Grimshaw 1997] (см. обзор в [Shishkina, Sveen &

Grue 2003], подробный обзор современного состояния исследований имеется в [Талипова 2004]). Цуги солитоноподобных возмущений оказывают заметное динамическое воздействие на подводные аппараты и морские сооружения [Osborne, Burch & Scarlet 1978]. Теория уединенных внутренних волн наиболее развита для двухслойной жидкости со скачком плотности на границе раздела [Овсянников, Макаренко, Налимов и др. 1985], [Funakoshi & Oikawa 1986]. Более общие случаи распределения плотности по глубине рассмотрены в [Benjamin 1966], [Benney & Ко 1978], [Макаренко 1999], [Maltseva 2003]. Экспериментальные исследования параметров уединенных внутренних волн и их сравнение с теоретическими оценками для систем с плавным пикноклином приведены в [Као, Pan & Renouard 1985], [Grue, Jensen, Rusas & Sveen 1999]. Однако данные о динамическом воздействии уединенных внутренних волн на погруженные препятствия в литературе отсутствуют. Была разработана следующая программа исследований взаимодействия гравитационных течений и уединенных внутренних волн с погруженными телами:

• теоретическое и экспериментальное изучение задачи о скорости распространения фронта гравитационного течения при различных значениях числа Рейнольдса; определение диапазона параметров, в котором скорость распространения гравитационных течений соответствует оценке, полученной в рамках модели идеальной жидкости;

• экспериментальное исследование гидродинамических нагрузок, индуцируемых гравитационными течениями на погруженных телах в зависимости от глубины гравитационных течений и расстояния между телом и дном канала; определение характерных времен, магнитуд и критериев подобия гидродинамических нагрузок;

• экспериментальное исследование силового взаимодействия уединенных внутренних волн с погруженными телами; сравнение эффектов, наблюдаемых при взаимодействии тел с линейными и нелинейными волнами;

• проведение визуализации структуры течений.

Результаты выполнения данной программы исследований изложены в четвертой главе настоящей диссертации, основанной на статьях [Ерманюк

1993], [Гаврилов и Ерманюк 1996], [Гаврилов и Ерманюк 1999], [Ерманюк и Гаврилов 2005а, 20056, 2005в]. Основные опубликованные доклады по данной тематике: [Ermanyuk & Sturova 1994], [Ermanyuk & Sturova 1996], [Gavrilov, Ermanyuk & Sturova 1996], [Gavrilov, Ermanyuk & Sturova 1998], [Ermanyuk & Gavrilov 2004], [Ermanyuk & Gavrilov 2005].

Процессам перемешивания в стратифицированных жидкостях посвящена обширная литература (см. обзоры в [Тернер 1977], [Linden 1979], [Мадерич, Никишов и Стеценко 1988], [Fernando 1991], [Park, Whitehead & Gnanadeskian

1994], [Staquet & Sommeria 2002], [Peltier & Caulfield 2003], [Staquet 2004]). Было рассмотрено большое количество задач, связанных с исследованием различных механизмов появления неустойчивости и генерации турбулентности в стратифицированных жидкостях, изучением динамики вырождения турбулентности, колапса перемешанных областей и формирования тонкой структуры стратификации, оценкой масштабов турбулентности.

Можно выделить следующие типы постановок задач в экспериментальных исследованиях перемешивания в стратифицированных средах: а) перемешивание в непрерывно стратифицированной жидкости вследствие приложения касательных напряжений на верхней границе [Kato & Phillips 1969]; б) перемешивание в сдвиговых течениях различного типа [Thorpe 1973], [Букреев, Гусев и Романов 1993], [Strang & Fernando 2001]; в) перемешивание различными механическими устройствами (колеблющимися, буксируемыми и падающими решетками и т. п.) [Linden 1980], [Ivey & Coreos 1982], [Lange 1982]; г) перемешивание жидкости вихревыми кольцами [Linden 1973]; д) вырождение следов за телами в непрерывно стратифицированной жидкости [Lin & Pao 1979].

В большинстве рассмотренных задач энергия, затрачиваемая на перемешивание жидкости, черпается из основного потока жидкости. Однако в геофизических приложениях нередко встречаются течения, в которых перемешивание обусловлено возникновением регулярных вторичных течений. Пример таких течений - циркуляции Лангмюра [Leibovich 1983]. В последнее время исследования таких течений привлекают большое внимание [Garrett 1996]. Следует отметить, что количественная экспериментальная информация об интенсивности перемешивания за счет вторичных течений остается весьма ограниченной.

Классическим примером хорошо изученного вторичного течения являются вихри Тейлора в задаче Тейлора - Куэтта о течении вязкой жидкости в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами. Со времени появления основополагающих статей Куэтта в 1890 г. и Тейлора в 1923 г. опубликовано более 2000 работ по этой проблеме (в частности, хорошее представление о наблюдаемых в однородной жидкости режимах течения дает работа [Andereck, Liu & Swinney 1986]). Однако задача о течении Тейлора-Куэтта в аксиально стратифицированной жидкости рассматривалась лишь в [Boubnov, Gledzer & Hopfinger 1995], [Boubnov & Hopfinger 1997], [Hua, Le Gentil & Orlandi 1997], [Catón, Janiaud & Hopfinger 1999], [Caton, Janiaud & Hopfinger 2000]. В указанных работах был изучен случай однородно стратифицированной жидкости, была дана классификация наблюдаемых режимов течения, проделан анализ сценариев возникновения бифуркаций. В настоящей диссертации была поставлена задача исследования течения Тейлора - Куэтта в двухслойной системе смешивающихся жидкостей, включающая в себя следующие этапы:

• идентификация основных режимов течения в задаче Тейлора - Куэтта для двухслойной аксиально стратифицированной жидкости, проведение сравнения наблюдаемых сценариев смены режимов течений со случаем линейно стратифицированной жидкости, исследование эволюции системы для больших масштабов времени;

• количественная оценка интенсивности перемешивания через границу раздела.

Результаты экспериментального исследования поставленных задач изложены в пятой главе диссертации, основанной на статье [Ermanyuk & Flor 2005].

Структура изложения материала в диссертации выглядит следующим образом.

В первой главе диссертации изложено теоретическое решение задачи о гармонических колебаниях тел произвольной геометрии в однородно стратифицированной идеальной жидкости. Задача формулируется в терминах внутреннего потенциала» [Городцов и Теодорович 1980], [Hart 1981]. Для частоты колебаний выше частоты плавучести решается эллиптическая задача. С помощью аффинного преобразования координат исходное уравнение преобразуется в уравнение Лапласа. Соответственно, преобразуются и граничные условия на теле. Следует отметить, что похожие преобразования использовались многими авторами (см., напр., [Krishna 1968], [Владимиров и Ильин 1991], [Hurley 1997]). Найдено соотношение между коэффициентами присоединенной массы в исходной задаче и задаче о колебаниях сплюснутого в вертикальном направлении тела в идеальной однородной жидкости. С помошью замены переменных из решения задачи о присоединенных массах в идеальной однородной жидкости можно получить решение исходной задачи. Для гиперболической задачи решение может быть получено путем построения аналитического продолжения. Возможность построения аналитического продолжения связана с тем фактом, что решение задачи может быть получено как Фурье-образ причинной функции времени (в экспериментах в качестве причинной функции времени выступает функция отклика системы на импульсное воздействие). В общем случае выражения для гидродинамических нагрузок имеют комплексный вид и могут быть представлены в виде коэффициентов присоединенной массы и демпфирования, как это принято в теории качки корабля [Хаскинд 1947], [Newman 1978], [Ньюмен 1985]. Показано, что все известные решения для тел простейшей геометрии ([Lai & Lee 1981] - вертикальные колебания эллипсоидов вращения, [Hurley 1997] -произвольные по направлению колебания эллиптического цилиндра, [Voisin 1999] - вертикальные и горизонтальные колебания сферы) могут быть получены как частные случаи. Из известных формул для однородной идеальной жидкости, имеющихся, например, в справочнике [Короткин 1986], могут быть получены также решения для эллипсоидов при произвольных по направлению колебаниях, контуров с угловыми точками (цилиндры прямоугольного сечения) и т. п. Проведено обсуждение соотношений Крамерса - Кронига, связывающих присоединенные массы и коэффициенты демпфирования; показано, что в плоской задаче они содержат дополнительный член, который обычно не возникает в стандартной теории колебаний тела на поверхностных волнах [Wehausen 1971]. В заключительной части первой главы приведено обсуждение альтернативных вариантов оценки гидродинамических нагрузок, действующих на колеблющиеся в однородно стратифицированной жидкости тела. Показано, что при подстановке полученных в [Voisin 1999] распределений особенностей в формулу для оценки мощности излучения внутренних волн [Городцов и Теодорович 1986] получаются оценки, согласующиеся с [Hurley 1997].

Во второй главе диссертации изложена методика экспериментальных исследований колебаний твердых тел в непрерывно стратифицированной жидкости. В исследуемой задаче приходится иметь дело с оценками весьма малых гидродинамических нагрузок, вследствие чего практическая реализация стандартной методики вынужденных колебаний (см., напр., [Хаскинд и Риман 1947]) является затруднительной. Была использована методика, основанная на классическом свойстве линейных систем: отклик системы на воздействие гармонической возмущающей силы в частотной области является Фурье-образом отклика системы на импульс во временной области. Экспериментальная установка представляла собой крестообразный физический маятник, на нижнем обтекаемом конце которого закреплялась исследуемая модель. Колебания маятника возбуждались импульсной нагрузкой - падением шарика на резиновую мембрану, закрепленную на конце поперечной перекладины маятника. Маятник был снабжен противовесом, позволявшим регулировать коэффициент восстанавливающего момента. Колебания маятника регистрировались с помощью электролитического датчика перемещений. Обработка сигнала и оценка коэффициентов гидродинамических нагрузок проводилась с помощью ПЭВМ, снабженной 12-разрядным АЦП.

Применяемая методика проиллюстрирована теоретическим примером: показано, что решение [Larsen 1969], описывающее вертикальные затухающие колебания кругового цилиндра и сферы в однородно стратифицированной безграничной жидкости при переходе в частотную область приводит к оценкам гидродинамических нагрузок, совпадающим с полученными в [Lai & Lee 1981] и [Hurley 1997].

Во второй главе описана также экспериментальная методика визуализации внутренних волн с помощью «синтетического» шлирен-метода. Базовый вариант метода предложен в [Sutherland et al 1999], [Dalziel, Hughes & Sutherland 2000] и использовался в [Dalziel 2000], [Sutherland et al 2000], [Sutherland & Linden 2002] для плоских течений; его обобщение на случай осесимметричных течений описано в [Onu, Flynn & Sutherland 2003], [Flynn,

Onu & Sutherland 2003]. С помощью «синтетического» шлирен-метода в ряде вышеупомянутых работ было достигнуто существенное продвижение в области экспериментальной проверки теоретических предсказаний [Hurley & Keady

1997] для внутренних волн, генерируемых колебаниями цилиндров в вязкой однородно стратифицированной жидкости.

Синтетический» шлирен-метод уступает классическим теневым и шлирен-методам в разрешающей способности (применение классических методов и их модификаций описано, в частности, в работах [Mowbray & Rarity 1967], [Nicolau, Liu & Stevenson 1983], [Lofquist & Purtell 1984], [Иванов 1989], [Макаров, Неклюдов, Чашечкин 1990], [Левицкий и Чашечкин 1999], [Merzkirch & Peters 1992], [Миткин и Чашечкин 1998, 1999а, 19996, 2001], [Миткин, Прохоров и Чашечкин 1998], [Chashechkin & Levitskii 2003]). Однако при изучении волновых процессов «синтетический» шлирен-метод весьма эффективен в силу сравнительной дешевизны применяемого оборудования и возможности получения количественной информации о величине возмущений градиента плотности. «Синтетический» шлирен-метод основан на компьютерном анализе оптических искажений изображения, получаемого видеосъемкой контрастной картины (например, системы черных и белых полос) сквозь толщу жидкости, возмущенной прохождением внутренних волн. В настоящей работе в качестве такой картины использовалась регулярная система черных точек на белом фоне. При прохождении внутренних волн в стратифицированной жидкости имеют место локальные возмущения градиента показателя преломления. Вследствие этого видимые положения точек фона, наблюдаемые сквозь толщу покоящейся и возмущенной жидкости, отличаются друг от друга. В настоящей работе для вычисления смещений точек фона использован взаимно-корреляционный анализ изображений, являющийся одним из базовых методов PIV (particle image velocimetry). Обзор работ по теоретическим основам PIV-метода и анализ алгоритмов обработки данных имеется в диссертации [Маркович 2003]. Общая идеология метода PIV изложена в [Adrian 1991]. В [Westerweel 1997], [Raffel, Willert & Kompenhaus

1998] содержится весьма полное изложение основ DPIV (Digital PIV - версия метода PIV для цифровых видеокамер), способов обработки данных, анализ основных источников погрешностей, практические рекомендации по повышению надежности и точности измерений.

В третьей главе диссертации изложены результаты экспериментального исследования колебаний твердых тел в непрерывно стратифицированной жидкости. В п. 3.1. описаны результаты оценки коэффициентов присоединенной массы и демпфирования сферы и кругового цилиндра, колеблющихся в однородной жидкости ограниченной глубины. Дана интерпретация результатов измерений в рамках классической теории Стокса -Ванга [Stokes 1851], [Wang 1968], [Бэтчелор 1973], [Ландау и Лифшиц 1988].

В п. 3.2. изложены результаты исследования затухающих колебаний кругового цилиндра в глубокой однородно стратифицированной жидкости. Обсуждаются основные типы кривых затухающих колебаний, наблюдаемых при различных условиях эксперимента (как при существенном влиянии излучения внутренних волн, так и в его отсутствие). Показано, что экспериментальные данные хорошо согласуются с теорией [Hurley 1997]. При частотах колебаний тела а меньше частоты плавучести N основной вклад в демпфирование дает излечение внутренних волн, при а > N демпфирование обусловлено вязкостными эффектами. Проведено обсуждение методики оценки коэффициентов присоединенной массы и демпфирования по значениям параметров аналитических кривых, аппроксимирующих экспериментальные записи затухающих колебаний. В п. 3.3. продолжено исследование плоской задачи о колебаниях тел в глубокой однородно стратифицированной жидкости. Рассмотрены колебания цилиндров с поперечным сечением в виде ромба и квадрата. Показано, что для цилиндров с поперечным сечением в виде многоугольников имеет место резкое изменение значений гидродинамических нагрузок в окрестности частоты колебаний, при которой угол наклона вектора групповой скорости совпадает с углом наклона сторон цилиндров.

В п. 3.4 представлены результаты экспериментальной проверки соотношений аффинного подобия, полученных в первой главе, для случая горизонтальных колебаний эллипсоидов вращения различного удлинения в глубокой однородно стратифицированной жидкости. Показано, что результаты-теоретического анализа с высокой точностью согласуются с экспериментом. При использовании соотношений аффинного подобия результаты экспериментов с семейством эллипсоидов ложатся на единую универсальную кривую.

В п. 3.5 дан анализ результатов экспериментов по изучению колебаний кругового цилиндра и сферы в линейно стратифицированной жидкости ограниченной глубины. Показано, что с уменьшением глубины жидкости уменьшается безразмерная мощность излучения внутренних волн, причем максимум мощности излучения сдвигается в сторону меньших частот колебаний. При co-^N направление вектора групповой скорости близко к вертикальному, вследствие чего в жидкости ограниченной глубины между телом и нижней (верхней) твердыми крышками создаются условия для существования волн, близких к стоячим. При co-^N мощность излучения резко падает. Для описания этого эффекта в случае кругового цилиндра сделана подстановка распределения особенностей [Voisin 1999], моделирующего круговой цилиндр в безграничной однородно стратифицированной жидкости, в формулу для мощности излучения произвольного распределения особенностей в линейно стратифицированном волноводе [Городцов и Теодорович 1986]. Показано, что такой подход дает неплохое качественное соответствие с экспериментальными данными.

Проведено исследование соотношений аффинного подобия в однородно стратифицированной жидкости ограниченной глубины для удлиненного эллипсоида вращения и сферы. Точность выполнения соотношений аффинного подобия при ограниченной глубине жидкости несколько уменьшается, однако для мнимой части коэффициента гидродинамической нагрузки наблюдается хорошая универсальность экспериментальных данных, полученных для эллипсоидов различных удлинений.

В п. 3.6. дан анализ результатов экспериментов по изучению колебаний кругового цилиндра и сферы в пикноклине различной толщины. Установлено, что при характерной толщине пикноклина порядка 2.5D (где D - диаметр сферы или цилиндра) измеренные зависимости коэффициентов присоединенной массы и демпфирования от частоты колебаний весьма близки к зависимостям, имеющим место в однородно стратифицированной безграничной жидкости. С уменьшением толщины пикноклина уменьшается безразмерная мощность излучения внутренних волн, причем максимум мощности излучения сдвигается в сторону меньших частот колебаний (как и в случае линейно стратифицированной жидкости ограниченной глубины). Для плоской задачи приведены качественные соображения о поведении низкочастотного предела коэффициента демпфирования в зависимости от соотношения между толщиной пикноклина и вертикальным размером тела. Проведена специальная серия экспериментов при фиксированной толщине пикноклина и различных значениях внутреннего числа Стокса для выяснения влияния вязкостных эффектов. Показано, что зависимость присоединенной массы от частоты колебаний определяется волновыми эффектами, а эффекты конечной вязкости жидкости играют второстепенную роль. Коэффициент демпфирования существенным образом зависит от вязкостных эффектов. Следует отметить, что в опытах, описанных в пп. 3.2. - 3.6, систематически использован прием разделения вязкостного и волнового демпфирования на основе гипотезы типа гипотезы Фруда [Биркгоф 1963], [Ньюмен 1985]. Физически гипотеза Фруда основана на различии масштабов вязких и волновых эффектов (отношение этих масштабов в рассматриваемой задаче имеет порядок отношения толщины пограничного слоя, возникающего на колеблющемся теле, к размеру этого тела). Показано, что во всех исследованных случаях в пределах точности экспериментальных данных можно считать, что вязкостная составляющая демпфирования в стратифицированной жидкости весьма близка к величине вязкостного демпфирования в однородной жидкости.

При анализе экспериментальных данных в третьей главе используются следствия из соотношений Крамерса - Кронига, позволяющие в ряде случаев сделать некоторые общие заключения о поведении кривых гидродинамических коэффициентов.

В п. 3.7. изложены результаты визуализации картин внутренних волн, возникающих при колебаниях тел в стратифицированной жидкости. В частности, изучен процесс формирования пучков внутренних волн на начальном этапе колебаний кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости. Тот факт, что при внезапном перемещении тела в стратифицированной жидкости образуется веерообразная картина внутренних волн, хорошо известен [Mowbray & Rarity 1967]. Однако процесс трансформации этой картины в классическую картину типа «андреевского креста», соответствующую установившимся гармоническим колебаниям тела с фиксированной частотой, ранее не изучался. Обзор теоретических работ и асимптотические решения нестационарной задачи о внутренних волнах, генерируемых различными системами модельных особенностей, имеется в [Voisin 2003]. В п. 3.7. диссертации предложен способ экспериментальной количественной оценки длительности переходных процессов с помощью соответствующим образом определенной корреляционной функции для распределений возмущений градиента плотности по угловой координате, взятых при фиксированной фазе колебаний тела. Получены данные о длительности переходных процессов как функции расстояния от тела и угла наклона пучков внутренних волн.

В п. 3.7. приведено обсуждение результатов опытов [Гаврилов и Ерманюк 1997] по изучению волновой картины, возникающей при поступательном движении кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости по окружности малого радиуса (идея опытов была предложена автором настоящей диссертации). В [Ermanyuk 2000] дано новое физическое объяснение наблюдаемому в опытах частичному вырождению картины «андреевского креста»; показано, что оно согласуется с интересным выводом о независимости мощности излучения внутренних волн от направления колебаний кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости, следующим из теории [Hurley 1997]. В работе [Hurley & Hood 2001] результатам [Гаврилов и Ерманюк 1997] было дано строгое теоретическое толкование. Однако, следует отметить, что визуализация картины внутренних волн с применением "синтетического" шлирен-метода показала возникновение ярко выраженных возмущений плотности, соответствующих "нулевой частоте" колебаний. Эти возмущения наблюдаются при поступательном движении кругового цилиндра по окружности; в случае прямолинейных колебаний они гораздо менее выражены. По-видимому, данный эффект является существенно нелинейным.

В заключительной части п. 3.7. описаны картины внутренних волн при вертикальных и горизонтальных колебаниях кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости ограниченной глубины. Продемонстрировано вырождение сложной картины внутренних волн при распространении в волноводе в первую и вторую моды для вертикальных и горизонтальных колебаний цилиндра соответственно.

В четвертой главе диссертации изложены результаты экспериментального исследования взаимодействия гравитационных течений и нелинейных внутренних волн в погруженными телами.

В п. 4.1 дано описание экспериментальных установок и методики проведения экспериментов. Гравитационные течения в опытах генерировались удалением поперечной перегородки, разделявшей лоток на две одинаковые по длине части. По одну сторону от перегородки находилась однородная жидкость (дистиллированная вода), по другую сторону - двухслойная жидкость (нижний слой - раствор сахара в воде, верхний слой - дистиллированная вода). Полная глубина жидкости по обе стороны от перегородки была одинаковой.

Опыты с уединенными внутренними волнами проводились в двухслойной жидкости с тонким нижним слоем. Уединенные волны генерировались перемещением толстой прямоугольной пластины, находившейся на границе раздела сред, с помощью кулисного механизма из его верхней мертвой точки в нижнюю. Линейные периодические внутренние волны в двухслойной жидкости генерировались гармоническими вертикальными колебаниями полуцилиндра, пересекающего границу раздела сред. Для измерения гидродинамических нагрузок, индуцируемых как гравитационными течениями, так и линейными и нелинейными внутренними волнами на закрепленных погруженных телах, использовались специально сконструированные двухкомпонентные весы.

В п. 4.2. приведены результаты исследования структуры гравитационных течений и скоростей их распространения. Показано, что экспериментальные данные о скоростях распространения гравитационных течений удобно представлять в виде семейства кривых, представляющих собой зависимости числа Фруда от отношения между глубиной течения и общей глубиной жидкости, измеренные при различных значениях гравитационного числа Рейнольдса (числа Галилея). Показано, что при больших значениях гравитационного числа Рейнольдса экспериментальные данные хорошо согласуются с оценкой [Shin, Dalziel & Linden 2004], полученной в рамках модели идеальной жидкости с соблюдением закона сохранения энергии. Важно отметить, что оценка [Shin, Dalziel & Linden 2004] заметно отличается от оценки [Benjamin 1968], для которой закон сохранения энергии выполняется только в том случае, когда глубина гравитационного течения равна половине полной глубины жидкости. В п. 4.2 предолжена полуэмпирическая формула (с точностью до одного экспериментального параметра) для оценки скорости распространения гравитационных течений с учетом вязкой диссипации энергии при умеренных значениях гравитационного числа Рейнольдса. Показано, что предложенная оценка хорошо согласуется с экспериментальными данными. Выделен диапазон параметров, в котором для скорости гравитационных течений выполняется моделирование по Фруду. В п. 4.3. показано, что в этом диапазоне параметров гидродинамические нагрузки, индуцируемые гравитационными течениями на погруженном круговом цилиндре, также моделируются по Фруду. Максимальные нагрузки имеют место, когда цилиндр расположен на дне канала, и быстро убывают с увеличением расстояния от цилиндра до дна. В п.4.4. приведены экспериментальные данные о зависимости сил, действующих на находящийся на дне прямоугольный цилиндр, от соотношения между глубиной гравитационного течения и общей глубиной жидкости.

В п. 4.5. изложены результаты исследования силового взаимодействия линейных и нелинейных внутренних волн с погруженными телами. Кратко изложены основные особенности силового воздействия линейных волн на погруженные тела. В частности, отмечено, что гидродинамические нагрузки, индуцируемые линейными внутренними волнами на телах, удаленных от пикноклина, хорошо описываются уравнением Морисона [Мопэоп е! а1 1950]. Отмечено также, что наличие тангенциального разрыва скоростей на границе слоев приводит к существенному уменьшению горизонтальной гидродинамической нагрузки, действующей на тело, находящееся в середине пикноклина. Эта особенность двухслойных систем проявляется и в случае взаимодействия тел с гравитационными течениями и уединенными1 внутренними волнами.

При исследовании силового воздействия уединенных внутренних волн на погруженный круговой цилиндр, находящийся вдали от пикноклина, показано, что уравнение Морисона дает сильно заниженные оценки гидродинамической нагрузки. .

В пятой главе диссертации изложены результаты экспериментального исследования течения Тейлора - Куэтта в двухслойной системе смешивающихся жидкостей. В п. 5.1 описаны экспериментальные установки и методика визуализации. Для изучения структуры течения и количественной оценки интенсивности перемешивания применены классический теневой метод и метод визуализации с помощью индуцированной лазером флуоресценции. В п. 5.2. описаны результаты опытов. При исследованиии качественных особенностей режимов течения в плавном пикноклине использованы пространственно-временные картины течения. Отмечено, что наблюдаемый в опытах волновой режим движения с прогрессивными волнами, распространяющимися от центра пикпоклина к его краям, существенно отличается от картины стоячих волн, наблюдаемых в линейно стратифицированной жидкости [Catón, Janiaud & Hopfinger 2000]. Переход от волнового к вихревому режиму течения в пикноклине сопровождается скачком частоты флуктуаций поля плотности, что также отличается от сценария смены режимов течения, описанного в [Catón, Janiaud & Hopfínger 2000].

С помощью техники индуцированной лазером флуоресценции проведена количественная оценка интенсивности перемешивания через границу раздела сред в двухслойной системе с резким пикноклином. Изучена зависимость «времени жизни» стратификации от скорости вращения внутреннего цилиндра в системе Тейлора - Куэтта и относительной разности плотностей слоев жидкости. Сделана оценка зависимости глобального числа Ричардсона от числа Рейнольдса в исследованном диапазоне экспериментальных параметров. Под глобальным числом Ричардсона понимается отношение приращения потенциальной энергии в системе за счет перемешивания к механической энергии, подводимой к системе.

Заключение

1. Дано теоретическое решение задачи о колебаниях тел произвольной геометрии в безграничной однородно стратифицированной жидкости. Показано, что решения, полученные ранее для конкретной геометрии тел другими авторами, могут быть получены как частные случаи. Теоретически получены и экспериментально подтверждены соотношения аффинного подобия для коэффициентов гидродинамических нагрузок.

2. Разработана методика экспериментальной оценки гидродинамических нагрузок, действующих на тела, совершающие гармонические колебания в непрерывно стратифицированной жидкости. Методика оценки коэффициентов присоединенной массы и демпфирования в частотной области основана на исследовании Фурье-образов кривых затухающих колебаний. Сформулирована и экспериментально обоснована версия метода Фруда, позволяющая выделить вязкую и волновую составляющие демпфирования, провести экспериментальную оценку мощности излучения внутренних волн телами, колеблющимися в непрерывно стратифицированной жидкости.

3. Определены гидродинамические характеристики различных плоских и пространственных тел, совершающих колебания в глубокой однородно стратифицированной жидкости. В частности, показан существенно различный характер поведения гидродинамических коэффициентов в плоской и пространственной задачах в низкочастотном пределе. Для контуров в виде многоугольников показано существование критических частот колебаний, в окрестности которых происходит резкое изменение значений гидродинамических коэффициентов.

4. Получены экспериментальные оценки коэффициентов гидродинамических нагрузок и безразмерной мощности излучения внутренних волн при колебаниях кругового цилиндра и сферы в однородно стратифицированной жидкости ограниченной глубины и в пикноклине, проведено сравнение динамических характеристик этих двух типов волноводов в плоской и пространственной задачах. Показано, что с уменьшением характерного вертикального размера волновода уменьшается мощность излучения внутренних волн, а максимум кривой мощности излучения смещается в зону меньших частот.

5. С помощью версии синтетического шлирен-метода и корреляционного анализа полей волновых возмущений в различные моменты времени получена количественная экспериментальная оценка длительности переходных процессов формирования картины внутренних волн при внезапном старте гармонических колебаний кругового цилиндра в однородно стратифицированной жидкости.

6. Получены экспериментальные оценки гидродинамических нагрузок, возникающих при взаимодействии внутренних гравитационных течений и уединенных внутренних волн с погруженными телами. Предложена полуэмпирическая формула для скорости распространения гравитационных течений с учетом вязкой диссипации энергии. Выделен диапазон параметров, в котором гидродинамические нагрузки, вызываемые гравитационными течениями, моделируются по Фруду. Показано, что силовое воздействие гравитационных течений и уединенных внутренних волн максимально, когда препятствия находятся на дне канала.

7. В задаче о течении Тейлора - Куэгга в двухслойной системе смешивающихся жидкостей с помощью анализа пространственно-временных образов течения, полученных теневым методом и методом индуцированной лазером флуоресценции, исследован сценарий смены режимов течения в плавном пикноклине. Показано, что переход от волнового к вихревому режиму течения в пикноклине сопровождается скачком частоты флуктуаций плотности. Получена оценка зависимости глобального числа Ричардсона от числа Рейнольдса для процесса перемешивания двухслойной стратифицированной жидкости вихрями Тейлора.

1. Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Колебания твердого тела на поверхности раздела двух жидкостей. // Изв. АН СССР, МТТ. 1987. № 5. С. 34-40.

2. Акуленко Л. Д., Михайлов С. А., Нестеров С. В., Чайковский А. А. Численно-аналитическое исследование колебаний твердого тела на границе раздела двух жидкостей // Изв. АН СССР, МТТ. 1988. № 4. С. 59-66.

3. Акуленко Л. Д., Михайлов С. А., Нестеров С. В. Исследование зависимости колебаний поплавка в неоднородной жидкости от формы его поверхности // Изв. АН СССР, МТТ. 1990. № 5. С. 24-31.

4. Бертрам В., Васильева В.В., Писаревская Л.Г., Шишкина О.Д. Исследование поля внутренних волн, генерируемых айсбергом в пикноклине // Изв. РАН. ФАО. 1999. Т. 35, № 5. С. 689-698.

5. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд. иностр. литературы. 1963.

6. Бронштейн И.Н., Гуров К.П., Кузнецова Е.Б. Краткий физико-технический справочник. Том 1. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1959.

7. Букреев В.И., Гаврилов Н.В. Экспериментальное изучение возмущений впереди крыла, движущегося в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1990. №2. С. 102-105.

8. Букреев В. И., Гаврилов Н. В., Гусев А. В. Внутренние волны в пикноклине при движении крыла над барьером // ПМТФ. 1991. Т. 32, № 4. С. 68-74.

9. Букреев В. И., Гусев А. В., Романов Е. М. Влияние молекулярной диффузии на устойчивость сдвиговых течений стратифицированной жидкости // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 1993. №1. С. 35-40.

10. Букреев В. И., Гусев А. В., Ерманюк Е. В. Экспериментальное исследование движения погруженного тела на внутренних волнах // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 2, С. 199-203.

11. Букреев В. И., Гусев А. В., Ерманюк Е. В. Дрейф и качка вертикального цилиндра на внутренних волнах // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 1. С. 71-76.

12. Букреев В. И., Гусев А. В. Движение шара в жидкости под действием силы тяжести // ПМТФ. 1996. Т. 37, №4. С. 42-49.

13. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973.

14. Васильева В. В. Движение тела над поверхностью раздела сред в идеальной жидкости // Материалы по обмену опытом НТО Судпрома. 1967. Вып. 89. С. 31-37.

15. Васильева В. В. Влияние поверхности раздела идеальных жидкостей на ГДХ тела вращения // Материалы по обмену опытом НТО Судпрома. 1968. Вып. 107. С. 17-21.

16. Васильева В. В. О волнах, возбуждаемых колебаниями тела над поверхностью раздела жидкостей разной плотности // Гидромеханика. Республиканский межведомственный сборник. 1974. Вып. 28. С. 32-36.

17. Васильева В. В., Войткунскнй Я. И., Ткач А. Я. О нестационарных ГДХ тел, движущихся вблизи поверхности раздела сред // Тр. ЛКИ. 1976. Вып. 107. С. 17-23.

18. Васильева В. В., Писаревская Л. Г. Шишкина О. Д. Генерация внутренних волн дрейфующим айсбергом // Изв. РАН. ФАО. 1995. Т. 31. № 6. С. 842-851.

19. Владимиров В. А., Ильин К. И. О медленных движениях твердого тела в непрерывно стратифицированной жидкости И ПМТФ. 1991. № 2. С. 55-61.

20. Войткунский Я. И. Обтекание гидродинамических особенностей, расположенных над поверхностью раздела жидкостей различной плотности // Инженерный журнал АН СССР. 1963. Т. 3., №2. С. 262-270.

21. Гаврилов Н. В., Ерманюк £. В. О влиянии пикноклина на силы, действующие на неподвижный эллиптический цилиндр при набегании внутренних волн // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 6. С. 61-69.

22. Гаврилов Н. В., Ерманюк Е. В. Внутренние волны, генерируемые круговым поступательным движением цилиндра в линейно стратифицированной жидкости //ПМТФ. 1997. Т. 38. № 2. С. 64-67.

23. Гаврилов Н. В., Ерманюк Е. В. Дифракция внутренних волн на круговом цилиндре, расположенном вблизи пикноклина // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 79-85.

24. Глинский Н. Т. Внутренние волны. М.: Наука. 1973.

25. Горелов Д. Н., Горлов С. И. Линейная задача о движении профиля под границей раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 5. С. 4347.

26. Горлов С. И. Линейная задача о движении вихреисточника вблизи границы раздела двух сред // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 2. С. 68-72.

27. Горлов С. И. Нелинейная задача о вертикальном подъеме кругового цилиндра к границе раздела жидких сред // ПМТФ. 2000а. Т. 41, № 2. С. 8489.

28. Горлов С. И. Гидродинамические характеристики вихреисточника, совершающего поступательное движение в многослойной тяжелой жидкости // ПМТФ. 20006. Т. 41, № 5. С. 140-147.

29. Городцов В. А., Теодорович Э. В. Об излучении внутренних волн при равномерном прямолинейном движении локальных и нелокальных источников // Изв. АН СССР, ФАО. 1980. Т. 16., № 9. С. 954-961.

30. Городцов В. А., Теодорович Э. В. Плоская задача для внутренних волн, порождаемых движущимися сингулярными источниками // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. №2. С. 77-83.

31. Городцов В. А., Теодорович Э. В. Излучение внутренних волн при быстром горизонтальном движении цилиндров и шаров // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982. № 6. С. 94-100.

32. Городцов В. А., Теодорович Э. В. Энергетика генераторов внутренних волн // ПМТФ. 1986. № 4. С. 53-59.

33. Городцов В. А. Высокоскоростная асимптотика волнового сопротивления тел в однородно стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1991, № 3. С. 3744.

34. Городцов В. А. Высокоскоростная асимптотика сопротивления тел в волноводном слое неоднородных жидкостей // ПММ. 1992а. Т. 56. № 2. С. 260-267.

35. Городцов В. А. Шар в идеальной однородно стратифицированной жидкости // Гидромеханика. 19926. № 65. С. 23-29.

36. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука. 1979.

37. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука. 1974.

38. Ерманюк Е. В. Экспериментальное изучение силового воздействия внутренних волн на неподвижную сферу // ПМТФ. 1993. Т. 34, № 4. С. 103— 107.

39. Ерманюк Е. В., Гаврил ов Н. В. Динамические характеристики цилиндрических тел, колеблющихся в линейно стратифицированной жидкости // Выч. Технологии. 2001. Т. 6. Ч. 2. С. 283-289.

40. Ерманюк Е. В., Гаврилов Н. В. О колебаниях цилиндров в линейно стратифицированной жидкости // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4. С. 15-26.

41. Ерманюк Е. В., Гаврилов Н. В. Взаимодействие внутреннего гравитационного течения с погруженным круговым цилиндром // ПМТФ. 2005а. Т. 46, № 2. С. 81-90.

42. Ерманюк Е. В., Гаврилов Н. В. Взаимодействие внутреннего гравитационного течения с препятствием на дне канала // ПМТФ. 20055. Т. 46, №4. С. 39^6.

43. Ерманюк Е. В., Гаврилов Н. В. Экспериментальное исследование силового воздействия уединенной внутренней волны на погруженный круговой цилиндр // ПМТФ. 2005*. Т. 46, № 6. С. 36-44.

44. Ерманюк Е. В., Гаврилов Н. В. О длительности переходных процессов при формировании пучков внутренних волн // ДАН. 2005г. Т. 404, №6. С. 771— 774.

45. Ермош В. К., Разумеенко Ю. В., Сочагин А. Г. Силовое воздействие внутренних волн на погруженное тело и результаты эксперимента по его определению // Материалы по обмену опытом. Тр. ВНТО им. А.Н.Крылова. 1989. Вып. 462. С. 14-22.

46. Иванов А. В. Генерация внутренних волн осциллирующим источником // Изв. РАН, ФАО. 1989. Т. 25, №1. С. 84-89.

47. Ильиных Ю. С., Смирнов С. А., Чашечкин Ю. Д. Генерация гармонических внутренних волн в вязкой стратифицированной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 6. С. 141-148.

48. Кистович Ю. В., Чашечкин Ю. Д. Генерация монохроматических внутренних волн в вязкой жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 6. С. 31^0.

49. Кистович Ю. В., Чашечкин Ю. Д. Некоторые точно решаемые задачи излучения трехмерных периодических внутренних волн // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 1. С. 52-61.

50. Кистович Ю. В., Чашечкин Ю. Д. Новый механизм нелинейной генерации внутренних волн // ДАН. 2002. Т. 382, № 6. С. 772-776.

51. Коротки» А. И. Присоединенные массы судна: Справ. Л.: Судостроение, 1986.

52. Кочин Н. Е. Пространственная задача о волнах на поверхности раздела двух масс жидкости разной плотности, вызываемых неровностями дна. Собр. Соч. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1949. Т. 1. С. 478-508.

53. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз. Ч. 1.1963.

54. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 5: Статистическая физика. М.: Наука. 1964.

55. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. М.: Наука. 1988.

56. Левицкий В. В., Чашечкин Ю. Д. Колебания тела нейтральной плавучести в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 39-52.

57. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970.

58. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. Часть 3. Динамика несвободных систем и теория колебаний. М.: ОНТИ гос. техн.-теор. издат. 1934.

59. Лэмб Г. Гидромеханика. М.-Л.: Наука. 1947.

60. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

61. Мадерич В. С., Никишов В. И., Стеценко А. Г. Динамика внутреннего перемешивания в стратифицированной среде. Киев: Наукова думка. 1988.

62. Макаренко Н. И. Сопряженные потоки и гладкие боры в слабо стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1999. №2. С. 69-78.

63. Макаров С. А., Неклюдов В. И., Чашечкин Ю. Д. Пространственная структура пучков двумерных монохроматических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР, ФАО. 1990. Т. 26, № 7. С. 755-754.

64. Маркович Д. М. Гидродинамическая структура ограниченных струйных течений // Дисс. соиск. уч. степ, д.ф.-м.н. Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН. 2003.

65. Миропольский Ю. 3. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. JL: Гидрометеоиздат. 1981.

66. Миткин В. В, Прохоров Е. В., Чашечкин Ю. Д. Исследование изменчивости структуры стратифицированного спутного течения за горизонтальным цилиндром оптическим и акустическим методами // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №3. С. 5-17.

67. Миткин В. В., Чашечкин Ю. Д. Эффект реккуренции и перезамыкания в поле присоединенных двухмерных внутренних волн // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №5. С. 139-148.

68. Миткин В. В., Чашечкин Ю. Д. Структура стратифицированного течения около цилиндра при малых значениях внутреннего числа Фруда // ПМТФ. 1999а. Т. 40, № 1.С. 80-88.

69. Миткин В. В., Чашечкин Ю. Д. Висящие разрывы в поле двухмерных присоединенных внутренних волн // ПМТФ. 19996. Т. 40, № 5. С. 40-50.

70. Миткин В. В., Чашечкин Ю. Д. Влияние подъемной силы на структуру присоединенных внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости // Доклады РАН. 2001. Т. 378, №4. С. 487-491.

71. Мотыгин О. В., Стурова И.В. Волновые движения в двухслойной жидкости, вызванные малыми колебаниями цилиндра, пересекающего границу раздела // Изв. РАН, МЖГ. 2002. № 4. С. 105-119.

72. Никитина Е. А. Сопротивление судам в «мертвой воде» // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. №1. С. 188-192.

73. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. JL: Судостроение. 1985.

74. Овсянников JI. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. 1985.

75. Прандтль JI. Гидроаэромеханика. М.: Изд-во иностранной литературы. 1949.

76. Пыльнев Ю. В., Разумеенко Ю. В. Исследование затухающих колебаний глубокопогруженного поплавка специальной формы в однородной и стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР, МТТ. 1991. №4. С. 71-79.

77. Разумеенко Ю. В. Некоторые особенности моделирования воздействия внутренних волн в пикноклине на подводные технические объекты // Тез.докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. по экспер. гидромеханике судна. Л.: Судостроение. 1988. С. 129-130.

78. Разумеенко Ю. В. Изменчивость гидрофизических полей Мирового океана и проблемы управляемости подводных объектов в реальном океане // Межд. симп. по гидродинамике судна. С.-Петербург. 1995. С. 275-288.

79. Риман И. С., Крепе Р. Л. Присоединенные массы тел различных форм // Труды ЦАГИ. 1946. № 635. С. 1-46.

80. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука. 1966.

81. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1972.

82. Сретенский Л.Н. О демпфировании вертикальных колебаний центра тяжести плавающих тел // Труды ЦАГИ. 1937. № 330. С. 1-12.

83. Сретенский Л. Н. О волновом сопротивлении судна при наличии внутренних волн // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. 1959. Т. 1. С. 56-€3.

84. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. МЖГ. 1987. Т. 21. С. 93-179.

85. Стурова И. В. Влияние внутренних волн на гидродинамические характеристики погруженного тела // Изв. РАН, ФАО. 1993. Т. 29, №6. С. 732-738.

86. Стурова И. В. Плоская задача о гидродинамической качке погруженного тела без хода в двухслойной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 1994а. №3. С. 144-155.

87. Стурова И. В. Плоская задача о гидродинамической качке погруженного тела при наличии хода в двухслойной жидкости // ПМТФ. 19946. №5. С. 3244.

88. Стурова И. В. Задачи радиации и дифракции для кругового цилиндра в стратифицированной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 1999. №4. С. 81-94.

89. Стурова И. В. Колебания кругового цилиндра в слое линейно стратифицированной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 2001. № 3. С. 155-164.

90. Сысоева Е. Я., Чашечкин Ю. Д. Вихревая структура следа за сферой в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1986. №2. С. 40-47.

91. Сысоева Е. Я., Чашечкин Ю. Д. Пространственная структура следа за сферой в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1988. №5. С. 59-65.

92. Талипова Т. Г. Динамика нелинейных длинных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Автореф. дисс. на соиск. уч. степ, д.ф.-м.н., ИПФ РАН, Нижний Новгород 2004.

93. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977.

94. Ткачева Л. А. Нестационарное движение тонкого крыла в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 6. С. 37-49.

95. Филипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. М.: Мир. 1969.

96. Хабахпашева Т. И. Дифракция внутренних волн на цилиндре в двухслойной жидкости // Изв. РАН. ФАО. 1993. Т. 29, №4. С. 559-564.

97. Хабахпашева Т. И. Плоская задача об обтекании кругового цилиндра равномерным потоком двухслойной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 1. С. 91-97.

98. Хаскинд М. Д. Методы гидродинамики в проблемах мореходности корабля на волнении // Тр. ЦАГИ. 1947. № 603. С. 1-74.

99. Хаскинд М. Д., Риман И. С. Экспериментальные методы определения гидродинамических параметров качки // Тр. ЦАГИ. 1947. № 608. С. 1-20.

100. Чашечкин Ю. Д. Гидродинамика сферы в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. № 1. С. 3-9.

101. Чашечкин Ю. Д., Воейков И. В. Вихревые системы за цилиндром в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. РАН. ФАО. 1993. Т. 29. №6. С. 821-830.

102. Червяков М. С. Модельные исследования движения твердого тела в стратифицированной жидкости // Подводные аппараты и роботы. Сб. статей. Ин-т океанологии им. П.П. Ширшова АН СССР. М. 1986. С. 21-22.

103. Черкесов Л. В. Поверхностные и внутренние волны // Киев: Наукова думка. 1973.

104. Чугаев Р. Р. Гидравлика. Л.: Энергоиздат. 1982.

105. Шишкина О. Д. Сравнение коэффициентов сопротивления тел, движущихся в жидкостях с различными профилями стратификации // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 4. С. 4-11.

106. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1969.

107. Abbad M., Souhar M. Effects of the history force on an oscillating rigid sphere at low Reynolds number // Experiments in Fluids. 2004. V. 36. P. 775-782.

108. Adrian R. J. Particle-imaging techniques for experimental fluid mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech. 1991. V. 23. P. 261-304.

109. Andereck C.D., Liu S.S., Swinney H.L. Flow regimes in a circular Couette system with independent rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1986. V. 164. P. 155— 183.

110. Appleby J. C., Crighton D. G. Non-Boussinesq effects in the diffrection of internal waves from an oscillating cylinder // Q.J. Mech. Appl. Maths. 1986. V. 39. P. 209-231

111. Appleby J. C., Crighton D. G. Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere//J. Fluid Mech. 1987. V. 183. P. 439-450.

112. Arntsen 0. A. Disturbances, lift and drag forces due to translation of a horizontal circular cylinder in stratified water // Experiments in Fluids. 1996. V. 21. P. 387-400.

113. Bearman P. W., Downie V. G., Graham J. M. R., Obasaju E. D. Forces on cylinders in viscous oscillatory flow at low Keulegan Carpenter numbers // J. Fluid Mech. 1985. V. 154. P. 337-356.

114. Benjamin T. B. Internal waves of finite amplitude and permanent form // J. Fluid Mech. 1966. V. 25. P. 241-270.

115. Benjamin T. B. Gravity currents and related phenomena // J. Fluid Mech. 1968. V.31,pt. 2. P. 209-248.

116. Benney D. J., Ko D. R. S. The propagation of long large amplitude internal waves // Stud. Appl. Mech. 1978. V. 59. P. 187-199.

117. Boubnov B. M., Gledzer E. B., Hopfinger E. J. Stratified circular Couette flow: instabilities and flow regimes // J. Fluid Mech. 1995. V. 292. P. 333-358.

118. Boubnov B. M., Hopfinger E. Experimental study of circular Couette flow in a stratified fluid // Fluid Dyn. 1997. V. 32. P. 520-528.

119. Castro I. P., Snyder W. N., Baines P. G. Obstacle drag in stratified flow // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1990. V. 429.119-140.

120. Caton F., Janiaud B., Hopfinger E. J. Primary and secondary Hopf bifurcations in stratified Taylor-Couette flow//Phys. Rev. Letters. 1999. V. 82. P. 4647-4650.

121. Caton F., Janiaud B., Hopfinger E.J. Stability and bifurcations in stratified Taylor Couette flow//J. Fluid Mech. 2000. V. 419. P. 93-124.

122. Caulfield C.P., Peltier W.R. The anatomy of the mixing transition in homogeneous and stratified free shear layers // J. Fluid Mech. 2000. V. 413. P. 147.

123. Chaplin J. R. Nonlinear forces on a horizontal cylinder beneath waves // J. Fluid Mech. 1984. V. 147. P. 449^164.

124. Chashechkin Yu. D., Levitskiy V.V. Pattern of flow around a sphere oscillating at neutrally buoyancy horizon in a continuously stratified fluid // Journal of Visualization. 2003. V. 6. No. 1. C. 59-65.

125. Chian C., Ertekin R. C. Diffraction of solitary waves by submerged horizontal cylinders // Wave Motion. 1992. V. 15. P. 121-142.

126. Chomaz J. M., Bonneton P., Butet A., Perrier M., Hopfinger E. J. Froude number dependence of the flow separation line on a sphere towed in a stratified fluid // Phys. Fluids. A. 1992. V. 4. P. 254-258.

127. Chomaz J. M., Bonneton P., Hopfinger E. J. The structure of the near wake of a sphere moving horizontally in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 1-21.

128. Cummins W. E. The impulse response function and ship motions // Schiffstechnik. 1962. V. 9, P. 101-109.

129. Dalziel S. B., Hughes G. O., Sutherland B. R. Whole-field density measurements by 'syntetic schileren' // Experiments in Fluids. 2000. V. 28. P. 322-335.

130. Dean W. R. On the reflection of surface waves from a submerged, circular cylinder//Proc. Cambridge Philos. Soc. 1948. V. 44. P. 483-491.

131. Drazin P. G. On the steady flow of a fluid of variable density past an obstacle // Tellus. 1961. V. 13. P. 239-251.

132. Dubrulle B., Hersant F. Momentum transport and torque scaling in Taylor -Couette flow from an analogy with turbulent convection // European Physical Journal (B). 2002. V. 26. P. 379-386.

133. Ermanyuk E. V. The use of impulse response functions for evaluation of added mass and damping coefficient of a circular cylinder oscillating in a linearly stratified fluid // Experiments in Fluids. 2000. V. 28. P. 152-159.

134. Ermanyuk E. V. The rule of affine similitude for the force coefficients of a body oscillating in a uniformly stratified fluid // Experiments in Fluids. 2002. V. 32. P. 242-251.

135. Ermanyuk E. V. Force on a body in a uniformly stratified fluid: affine similitude // Proc. 17th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Cambridge, UK. 14-17 April 2002a. P. 41-45.

136. Ermanyuk E. V., Flor J. B. Taylor - Couette flow in a stratified fluid with pycnocline: instabilities and mixing // Dynamics of Atmospheres and Oceans. 2005. V. 40. (Issue 1-2). P. 57-69.

137. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. Added mass and damping of a circular cylinder oscillating in a continuously stratified fluid. Experiment // Proc. 5th Intern. Symp. on stratified flows. Vancouver, Canada. 10-13 July 2000. P. 49-54.

138. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. Force on a body in a continuously stratified fluid. Part 1. Circular cylinder//J. Fluid Mech. 2002. V. 451. P. 421-443.

139. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. Force on a body in a continuously stratified fluid. Part 2. Sphere // J. Fluid Mech. 2003. V. 494. P. 33-50.

140. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. Hydrodynamic loads induced by a gravity current on a submerged circular cylinder // Proc. 19th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Cortona, Italy. 28-31 March 2004. P. 31-34.

141. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V. Dynamic interaction of a gravity current with a submerged obstacle // Fluxes and structures in fluids: Proc. Intern, conf. (selected papers). Moscow: IPM RAS, 2005. P.

142. Ermanyuk E. V., Sturova I. V. Effects of regular waves on the body submerged in a stratified fluid // Proc. 20th Symp. On Naval Hydrodynamics, Santa Barbara, California, August 21-26.1994. P. 232-246.

143. Ermanyuk E. V., Sturova I. V. Hydrodynamic loads on a body in a stratified fluid // Proc. 1st Intern. Conf. Marine Industry. Varna. Bulgaria. 2-7 June 1996. P. 123-136.

144. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V., Sturova I. V. Radiation loads on a cylinder oscillating in pycnocline // Proc. 23rd Symp. on Naval Hydrodynamics. Val de Reuil, France. 17-22 Sept. 2000. P. 62-73.

145. Evans D. V., Linton C. M. Active devices fro reduction of wave intensity // Appl. Ocean Res. 1989. V. 11. P. 26-32.

146. Flynn M.R., Onu K., Sutherland B.R. Internal wave excitation by a vertically oscillating sphere // J. Fluid Mech. 2003. V. 494. P. 65-93.

147. Garrett C. Processes in the surface mixed layer of the ocean // Dyn. Atmos. Oceans. 1996. V. 23. P. 19-34.

148. Gavrilov N. V., Ermanyuk E. V., Sturova I. V. The forces exerted by internal waves on a restrained body submerged in a stratified fluid // Proc. 21st Symp. on Naval Hydrodynamics. Tronheim. Norway, 24-28 June 1996. P. 254265.

149. Gavrilov N. V., Ermanyuk E. V., Sturova I. V. Scattering of internal waves by a circular cylinder submerged in a stratified fluid // Proc. 22nd Symp. on Naval Hydrodynamics. Washington DC, USA, 9-14 August 1998. Pt. 3. P. 185-195.

150. Fernando H.J.S. Turbulent mixing in stratified fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. 1991. V. 23. P. 455^93.

151. Flynn M. R., Onu K., Sutherland B. R. Internal wave excitation by a vertically oscillating sphere // J. Fluid Mech. 2003. V. 494. P. 65-93.

152. Funakoshi M., Oikawa M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1986. V. 55, No. 1. P. 128-144.

153. Garrett C. Processes in the surface mixed layer of the ocean // Dynamics of Athmospheres and Oceans. 1996. V. 23. P. 19-34.

154. Görtier H. Über eine Schwingungserscheingnung in Flüssigkeiten mit stabiler Dichteschichtung//Z. angewan. Math. Mech. 1943. V. 23. P. 65-71.

155. Greenhow M., Ahn S. I. Added mass and damping for horizontal circular cylinder sections // Ocean Engineering. 1988. V. 15. P. 495-504.

156. Greenslade M. D. Drag on a sphere moving horizontally in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 2000. V. 418. P. 339-350.

157. Grimshaw R, Slow time-dependent motion of a hemisphere in a stratified fluid // Matematika.1969. V. 16. P. 231-248.

158. Grimshaw R. Internal solitary waves // Advances in Coastal and Ocean Engineering (ed. by P.L.F.Liu). Singapurer World Scientific Publishing Company. 1997. V. 3. P. 1-30.

159. Grue J., Jensen A., Rusas P.-O., Sveen J. K. Properties of large amplitude internal waves // J. Fluid Mech. 1999. V. 380. P. 257-278.

160. Hanazaki H. A numerical study of three-dimensional stratified flow past a sphere // J. Fluid Mech. 1988. V. 192. P. 393-419.

161. Hart R.W. Generalized scalar potentials for linearized three-dimensional flows with vorticity // Physics of Fluids. 1981. V. 24.1418-1420.

162. Hartel C., Meiburg E., Necker F. Analysis and direct numerical simulation of the flow at a gravity-current head. 1. Flow topology and front speed for slip and no-slip boundary // J. Fluid Mech. 2000. V. 418. P. 189-212.

163. Hopfinger E.J. Snow avalanche motion and related phenomena // Ann. Rev. of Fluid Mechanics. 1983. V. 15. P. 47-76

164. Hopfinger E.F., Flor J.-B., Chomaz J.-M., Bonneton P. Internal waves generated by a moving sphere and its wake in a stratified fluid // Experiments in Fluids. 1991. V. 11. No. 4/5. P. 255-261.

165. Hoult D. P. Oil spreading on the sea // Annual Rev, Fluid Mech. 1972. V. 4. P.341-368.

166. Hua B.L., Le Gentil S., Orlandi P. First transitions in circular Couette flow with axial stratification // Phys. Fluids. 1997. V. 9(2). P. 365-375.

167. Huppert H. E. The propagation of two-dimensional and axisymmetric viscous gravity currents over a rigid horizontal surface // J. Fluid Mech. 1982. V. 121. P. 43-58.

168. Hurley D. G. A general method for solving steady-state internal gravity wave problems // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. P. 657-672

169. Hurley D. G. The emission of internal waves by vibrating cylinders // J. Fluid Mech. 1972. V. 56. P. 721-740.

170. Hurley D. G. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 1. Inviscid solution//J. Fluid Mech. 1997. V. 351. P. 105-118.

171. Hurley D. G., Keady G. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 2. Approximate viscous solution // J. Fluid Mech. 1997. V. 351. P. 119-139.

172. Hurley D. G., Hood M. J. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 3. Angular oscillations and comparison of theory with recent experimental observation // J. Fluid Mech. 2001. V. 433. P. 61-75.

173. Iwata K., Mizutani N. Irregular wave forces acting on a submerged sphere // Coastal Engineering in Japan. 1987. V. 30. P. 117-130.

174. Iwata K., Mizutani N., Kasai S. Wave forces acting on a submerged sphere under regular progressive waves // Proc. JSCE. 1989. V. 405.215-224.

175. Iwey G. N., Corcos G. M. Boundary mixing in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1982. V. 121. P. 1-26.

176. Kao T. W., Pan F.-S., Renouard D. Internal solitons on the pycnocline: generation, propagation, and shoaling and breaking over a slope // J. Fluid Mech. 1985. V. 159. P. 19-53.

177. Karamanev D.G., Chavarie C., Mayer R.C. Dynamics of free rise of a light solid sphere in liquid // AIChE Journal. 1996. V. 42, No. 6. P. 1789-1792.

178. Karanfilian S. K., Kotas T. J. Drag on a sphere in unsteady motion in a liquid at rest // J. Fluid Mech. 1978. V. 87. P. 85-96.

179. Kato H., Phillips O.M. On the penetration of the turbulent layer into a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1969. V. 37. P. 643-665.

180. Kerwin J. E., Narita H. Determination of ship motion parameters by a step response technique // J. Ship Research. 1965. V. 9. P. 183-189.

181. Khabakhpasheva T. I., Sturova I. V. Diffraction of internal waves by a submerged circular cylinder at forward speed in a two-layer fluid // J. Engineering Mathematics. 1998. V. 34. P. 249-275.

182. Knobloch E. Symmetry and instability in rotating hydrodynamic and magnetohydrodynamic flows // Phys. Fluids. 1996. V. 8. P. 1446-1454.

183. Kotik J., Mangulis V. On the Kramers Kronig relations for ship motions // Intern. Shipbuilding Progress. 1962. V. 9. P. 531-368.

184. Krishna D. V. Unsteady stratified flow past a cylinder // Zastosow. Matem. 1968. V. 9. P. 417-427.

185. Lai R. Y. S., Lee C.-M. Added mass of a spheroid oscillating in a linearly stratified fluid // Intern. J. Engineering Sciences. 1981. V. 19. P. 1411-1420.

186. Lane-Serff G.F., Beal L.M., Hadfield T.D. Gravity current flow over obstacles. // J. Fluid Mech. 1995. V. 292. P 39-53.

187. Lange R. E. An experimental study of turbulence behind towed biplanar grids in a salt stratified fluid // J. Phys. Ocean. 1982. V. 12. N. 12. P. 1506-1513.

188. Larsen L. H. Oscillations of a neutrally buoyant sphere in a stratified fluid // Deep-Sea Research. 1969. V. 16. P. 587-603.

189. Lighthill M. J. Waves in fluids. Cambridge: Cambridge University Press. 1978.

190. Lighthill M. J. Fundamentals concerning wave loading on offshore structures // J. Fluid Mech. 1986a. V. 173. P. 667-682.

191. Lighthill M. J. An informal introduction to theoretical fluid mechanics. Oxford: Oxford University Press. 1986b.

192. Lin J. T., Pao Y. H. Wakes in stratified fluids // Annu. Rev. Fluid Mech. 1979. V. 11. P. 317-338.

193. Lin Q., Lindberg W. R., Boyer D. L., Fernando H. J. S. Stratified flow past a sphere // J. Fluid Mech. 1992. V. 240. P. 315-354.

194. Linden P. The interaction of a vortex ring with a sharp density inteface: a model for turbulent entrainment // J. Fluid Mech. 1973. V. 60. P. 467-480.

195. Linden P. Mixing in stratified fluids // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1979. V. 26. P. 379-386.

196. Linden P. Mixing across a density interface produced by grid turbulence // J. Fluid Mech. 1980. V. 100. P. 691-703.

197. Lofquist K. E., Purtell L. P. Drag on a sphere moving horizontally through a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1984. V. 148. P. 271-284.

198. Maas L.R.M., Lam F.-P.A. Geometric focussing of internal waves // J. Fluid Mech. 1995. V. 300. P. Ml.

199. Maas L., Benielli D., Sommeria J., Lam F.P. Observation of an internal wave attractor in a confined, stably stratified fluid // Nature. 1997. V. 388. P. 557— 561.

200. Malayachari V., Sunder V. Wave transformation over submerged obstacles in finite water depths // J. Coast. Res. 1996. V. 12, N 2. P. 477-483.

201. Maltseva J. L. Limiting forms of internal solitary waves // J. Offshore Mech. Arctic Engng. Transactions of the ASME. 2003. V. 125(1). P. 76-79.

202. Mason P. J. Forces on spheres moving horizontally in a rotating stratified fluid // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1977. V. 8. P. 137-154.

203. Merzkirch W., Peters F. Optical visualization of internal gravity waves in stratified fluid // Optics and Lasers in Engineering. 1992. V. 16. P. 411-425.

204. Milne-Thomson L. M. Theoretical hydrodynamics. Macmillan. 1960.

205. Miloh T., Zilman G. Hydrodynamics of a body moving over a mud layer // Proc. of the 20th Symposium on Naval Hydrodynamics, Santa Barbara, California, 1994. P. 117-133.

206. Miropolskii Yu. Z. Dynamics of internal gravity waves in the Ocean (transl and ed. by O. D. Shishkina). Kluwer. 2001

207. Mclver P., Linton C. M. The added mass of bodies heaving at low frequency in water of finite depth//Applied Ocean Research. 1991. V. 13. P. 12-17.

208. Moberg G. Wave forces on a vertical slender cylinder // Goteborg. 1988. (Chalmers Univ. Technol. Rep. Ser. A: 16)

209. Moghisi M, Squire P.T. An experimental investigation of the initial force of impact on a sphere striking a liquid surface // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 133— 146.

210. Morison J. R., O'Brien M. P., Johnson J. W., Schaaff S. A. The force exerted by surface waves on piles // Petroleum Trans. 1950. V. 189. P. 149-154.

211. Motygin O. V., Kuznetsov N. G. The wave resistance of a two-dimensional body moving forward in a two-layer fluid // J. Engng. Math. 1997. V. 32. P. 5372.

212. Mowbray D. E., Rarity B. S. H. A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified fluid // J. Fluid Mech. 1967. V. 28. P. 1-16.

213. Newman J. N. The theory of ship motions // Adv. Appl. Mech. 1978. V. 18. P.221-283.

214. Nicolau D., Liu R., Stevenson T. N. The evolution of thermocline waves from an oscillatory disturbance // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 401-416.

215. Odar F., Hamilton W. S. Forces on a sphere accelerating in a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1964. V. 18. P. 302-314.

216. Ogilvie T. F. First- and second-order forces on a cylinder submerged under a fee surface // J. Fluid Mech. 1963. V. 16. No. 3. P.451^72.

217. Onu K., Flynn M.R., Sutherland B.R. Schlieren measurement of axisymmetric internal wave amplitudes // Experiments in Fluids. 2003. V. 35. P. 24-31.

218. Osborne A. R., Burch T. L. Internal solitons in Andaman sea // Science. 1980. V. 208, N 4443. P. 451-460.

219. Osborn A. R., Burch T. L., Scarlet R. I. The influence of internal waves on deep-water drilling // J. Petroleum Technology. 1978. P. 1497-1504.

220. Ostrovsky L. A., Stepanyants Y. A. Do internal solitons exist in the ocean? // Reviews in Geophysics. 1989. V. 27, N. 3. P. 293-310.

221. Park Y.G., Whitehead J.A., Gnanadeskian A. Turbulent mixing in a stratified fluids, layer formation and energetics // J. Fluid Mech. 1994. V. 279. P. 279-311.

222. Parsons J.D., Garcia M.H. Similarity of gravity current fronts // Phys. Fluids. 1998. V. 10, N 12. P. 3209-3213.

223. Peltier W. R., Caulfield C. P. Mixing efficiency in stratified shear flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2003. V. 35. P. 135-167.

224. Raffel M., Willert C. E., Kompenhaus J. Particle image velocimetry: a practical guide. Springer-Verlag. 1998.

225. Robinson A., Laurmann J. A. Wing theory. Cambridge.: CUP. 1956.

226. Rottman J.W., Simpson J.E., Hunt J.S.R., Britter R.E. Unsteady gravity currents over obstacles // J. Hazardous Mat. 1985. V 11. P. 325-340.

227. Sabunku T. The theoretical wave resistance of a ship travelling under interfacial wave conditions // Norvegian ship model experimental tank, publication No. 63.1961.

228. Sarpkaya T. Force on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers // J. Fluid Mech. 1986. V. 165. P. 61-71.

229. Shin J. O., Dalziel S. B., Linden P. F. Gravity currents produced by lock exchange // J. Fluid Mech. 2004. V. 521. P. 1-34.

230. Shishkina O. D., Sveen J. K., Grue J. Propagation of an internal solitary wave along a shelf // Institute of Applied Physics RAS, Nizhny Novgorod. 2003. Preprint №626.

231. Simpson J. E. Gravity currents: in the environment and the laboratory. Cambridge: Cambridge University Press. 1997.

232. Smith R. B. Linear theory of stratified hydrostatic flow past an isolated mountain // Tellus. 1980. V. 32. P. 348-364.

233. Snyder W. H., Thompson R. S., Eskridge R. E., Lawson R. E., Castro LP., Lee J. T., Hunt J. C. R., Ogawa Y. The structure of strongly stratified flow over hills: dividing streamline concept // J. Fluid Mech. 1985. V. 152. P. 249-288.

234. Sobolev S. L. Sur une classe de problemes de physique mathematique // Atti del Simposie internationale suele applicazioni dell'analysi/ Alia Fisica Mathematica, Cagliari-Sassari, 28.09-4.10.1964. Roma. Ed. Cremonese, 1965. P. 192-208.

235. Staquet C. Gravity and inertia-gravity internal waves: breaking and induced mixing // Surveys in Geophysics. 2004. V. 25. P. 281-314.

236. Staquet C., Sommeria J. Internal gravity waves: from instabilities to turbulence // Annu. Rev. Fluid Mech. 2002. V. 34. P. 559-593.

237. Stokes G. G. On the effect of the internal friction of fluid on the motion of pendulums // Trans. Camb. Phil. Soc. 1851. V. 9. P. 8-106.

238. Strang E.J., Fernando H.J.S. Entrainment and mixing in stratified shear flows // J. Fluid Mech. 2001. V. 428. P. 349-386.

239. Sutherland B. R., Dalziel S. B., Hughes G. O., Linden P. F. Visualization and measurement of internal waves by 'syntetic schlieren'. Part 1. Vertically oscillating cylinder// J. Fluid Mech. 1999. V. 390. P. 93-126.

240. Sutherland B. R., Hughes G. O., Dalziel S. B., Linden P. F. Internal waves revisited // Dynamics of Athmospheres and Oceans. 2000. V. 31. P. 209-232.

241. Sutherland B. R., Linden P.F. Internal wave excitation by a vertically oscillating elliptic cylinder// Physics of Fluids. 2002. V. 14, No. 2. P. 721-739.

242. Thorpe S. A. On the shape of progressive internal waves // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1968. V. 263. P. 563-614.

243. Thorpe S. A. Experiments on instability and turbulence in a stratified shear flow// J. Fluid Mech. 1973. V. 61. P. 731-750

244. Thomas L. P., Dalziel S. B., Marino B. M. The structure of the head of an inertial gravity current determined by particle-tracking velocimetry // Experiments in Fluids. 2003. V. 34. P. 708-716.

245. Tyvand P. A. Wave radiation and diffraction from a small submerged circular cylinder// Fluid Dynam. Res. 1992. V. 9. P. 279-288.

246. Voisin B. Rayonnement des ondes internes de gravité. Application aux corps en movement. Ph.D. thesis. 1991a. Université Pierre et Marie Curie, Paris.

247. Voisin B. Internal wave generation in uniformly stratified fluids. Part 1. Green's function and point sources // J. Fluid Mech. 1991b. V. 231. P. 439-480.

248. Voisin B. Internal wave generation in uniformly stratified fluids. Part 2. Moving point sources // J. Fluid Mech. 1994. V. 261. P. 333-374.

249. Voisin B. Internal wave generation: from theory to applications // Scientific report on grant TMR No.ERBFMBI CT97 2653. Grenoble, LEGI. 1999. P. 1-36.

250. Voisin B. Limit states of internal wave beams // J. Fluid Mech. 2003. V. 496. P. 243-293.

251. Vosper S. B., Castro I. P., Snyder W. H., Mobbs S. D. Experimental studies of strongly stratified flow past three-dimensional orography // J. Fluid Mech. 1999. V. 390. P. 223-249.

252. Wang C.-Y. On high-frequency oscillating viscous flows // J. Fluid Mech. 1968. V. 32. P. 55-68.

253. Wehausen J. V. The motion of floating bodies // Annual Rev. Fluid Mech. 1971. V. 3.237-268.

254. Westerweel J. Fundamentals of digital particle image velocimetry // Meas. Sci. Technol. 1997. V. 8. P. 1379-1392.

255. Wu G. X. The wave resistance and lift on a circular cylinder in stratified fluid // J. Hydrodynamics. 1990. V. 2. P. 52-58.

256. Xu Z., Zhou X., Chen X. Drag increment due to internal wave generated by Rankin ovoid // Progress in Natural Science. 2002. V. 12, No. 11. P. 849-853.

257. Zhang L., An Y., Li Z., Chen G. Q., Lee J. H. W. Numerical anatomy of lock-release gravity current // Commun. Nonlinear Sci. and Numer. Simul. 2001. V. 6, N4. P. 183-192.