Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн локальными возмущениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

5 Oft

U РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

г; СЕН СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 532.59

Стурова Изольда Викторовна

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ГЕНЕРАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ВНУТРЕННИХ ВОЛН ЛОКАЛЬНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

0l.02.05 - механика жидкостей* газа й плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. М. Ковеня

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Кузин

доктор физико-математических наук В. Ю. Ляпидевский

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН

Защита состоится "¿Р" Ои-'Т^лТр.Ц 1994 г. в =30 часов

на заседании специализированного совета Д 002.65.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте теплофизики СО РАН, 630090, г. Новосибирск, проспект Акад. Лаврентьева, I. Телефон: 35 14 64

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института.

Автореферат разослан " 1Ь" С &КЛ г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

^ Р^^ / Р- Г. Шарафутдинов

Введение

Теория волновых движений жидкости - раздел современной гидродинамики, быстро развивающийся в последнее время, весьма интересный в теоретическом отношении и связанный с важнейшими приложениями в технике (гидротехнике, судостроении, мореплавании, энергетике) и в геофизике (океанологии, метеорологии, гидрологии, охране окружающей среды).

Первоначально теория волновых движений развивалась как теория поверхностных волн, описывающая поведение свободной поверхности однородной по плотности жидкости, находящейся в поле силы тяжести. Позднее было понято, что поверхностные волны являются частным примером волн, существующих на границе раздела жидкостей разной плотности, которые в свою очередь представляют частный случай внутренних волн в неоднородной (стратифицированной) по плотности среде. Теории поверхностных и внутренних гравитационных волн посвящено большое количество работ, в том числе обзоров и монографий ( Стокер Д.Д., 1959; Wehausen J.V.( Laitone E.V.,. 1960; Краусс В., 1968; Yih C.-S., 1965, 1980; Сретенский Л.Н., 1936,1977; Уизем Дж. 1977; Черкесов Л.В., 1970, 1973, 1976, 1980; Филлипс О.М.,1969, 1980; Миропольский Ю.З., 1981; Лайтхилл Дж., 1981; Алешков Ю.З., 1981, 1990; Ле Блон П., Майсек Л., 1981; Бреховских Л.М., Гончаров В.В., 1982; Габов С.А., Свешников А.Г., 1986, 1990; Мадерич B.C., Никишов В.И., Стеценко А.Г.,1988 и др.).

Важным разделом волновой гидродинамики является линейная теория волн, использующая предположение, что амплитуда волновых движений мала по сравнению с длиной волны. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяет ответить на многие запросы практики.

Обзор выполненных в рамках линейной теории исследований волновых движений в случае бессдвигового течения несжимаемой жидкости дан в [24].

Изучение задач о генерации поверхностных и внутренних волн было начато автором в 1972 г. в ИГиЛ СО РАН по инициативе академика Васильева О.Ф.с целью создания методов расчета и исследования

свойств волновых полей, вызванных различными локальными возмущениями в стратифицированной жидкости.

I. Общая характеристика исследований

В диссертационной работе содержатся результаты теоретических и прикладных исследований характеристик поверхностных и внутренних гравитационных волн, вызванных в устойчиво стратифицированной по вертикали несжимаемой жидкости локализованными источниками различной природы.

Актуальность.Тема работы является актуальной в связи с многочисленными приложениями теории волновых движений в практических задачах, связанных со строительством гидротехнических сооружений в прибрежной зоне, освоением богатств Мирового океана, вопросами безопасности мореплавания, обоснованием новых эффективных технологических процессов. Исследования проводились в соответствии с утвержденным планом научно-исследовательских работ ИГиЛ СО РАН по следующим темам: "Теоретические и экспериментальные исследования внутренних волн", per. N 8Ю99044 (1981-1985 г.г.); "Внутренние волны от движущегося тела ", per. N 01860075788 (1986-1990 г.г.); "Теоретические и экспериментальные исследования нелинейных волн в стратифицированной и вращающейся жидкости", per. N 0l9l000i952 (1991-1993 г.г.).

Ш^ь_исследований состояла в выявлении физических закономерностей формирования волнового движения стратифицированной несжимаемой жидкости при достаточно общих предположениях о распределении плотности по глубине и характере движения гидродинамического источника возмущения. Для этого разработаны и обоснованы эффективные методы расчета амплитудно-фазовых характеристик поверхностных и внутренних гравитационных волн в форме, допускающей непосредственное сравнение с лабораторным экспериментом и натурными измерениями в природных условиях.

Методика_исследований. Для решения линейных задач волновой гидродинамики с начальными и граничными условиями использовались методы теории интегральных преобразований Фурье и Лапласа, теории функций комплексного переменного, спектральной теории линейных дифференциальных операторов, асимптотические и численные методы вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций, численные методы решения трансцендентных и обыкновенных дифференциальных

уравнений, численный метод гибридных конечных элементов для решения двумерного уравнения Лапласа.

Достоверность• Обоснованность научных положений, а также достоверность полученных результатов вытекают из того, что проведенные исследования не противоречат выводам работ других авторов, являясь их продолжением и развитием. Установленные физические закономерности волновых полей согласуются с результатами лабораторного моделирования и некоторыми натурными данными.

Ш£31?ая_новизна проведенных исследований заключается в следующем:

1) Разработаны методы расчета полей поверхностных и внутренних волн, возбуждаемых нестационарно движущимся источником возмущений в жидкости с произвольной устойчивой стратификацией. Построены асимптотические представления для дальнего волнового поля.

2) Исследованы особенности установившегося поля внутренних волн, возникающего при равномерном горизонтальном движении тела для различных стратификации жидкости.

3) Изучены особенности волновых следов при сложных нестационарных движениях тела. Для суперпозиции поступательного и колебательного движений определены угловые размеры волновых зон и мощность, затрачиваемая телом на генерацию волн.

4) Выполненное сопоставление параметров волн, определенных по предложенной методике, с результатами вычислительного и лабораторного эксперимента показало, что для широкого класса источников возмущений разработанные методы расчета поверхностных и внутренних волн дают адекватные результаты в диапазоне применимости линейной теории.

5) На основе решения начально-краевой задачи о генерации внутренних волн при коллапсе перемешанного пятна проведен анализ влияния стратификации жидкости на волновую картину. Выполнено сравнение внутренних волн, возникающих при коллапсе круглого пятна и стационарном горизонтальном движении тела. Показано, что внутренние волны в этих двух случаях имеют различное поведение при наличии областей с резким градиентом плотности. Предложен способ расчета внутренних волн , возникающих при коллапсе турбулизованной зоны смешения.

6) На примере плоских волн изучено влияние малой донной не-

ровности на характеристики вынужденных волновых движений. Показано, что наличие донной неровности вносит дополнительные волновые возмущения, которые могут существенно исказить картину поверхностных и внутренних волн, возникающую в жидкости с ровным дном.

7) Исследовано влияние регулярного волнения на погруженное цилиндрическое тело, движущееся в стратифицированной жидкости. Определены стационарные гидродинамические характеристики (волновое сопротивление, подъемная сила и момент) для различных типов стратификации жидкости. В двухслойной жидкости для вынужденных гармонических колебаний погруженного тела при нулевой скорости хода получены соотношения эквивалентности^ана логичные соотношениям Хас-кинда-Ньюмана, связывающие решение радиационной задачи с решением задачи о рассеянии поверхностных и внутренних волн на неподвижном теле. Выполнены расчеты коэффициентов присоединенных масс и демпфирования , а также возмущающих сил при наличии скорости хода тела. Показано, что в определенных диапазонах скоростей движения тела и частот набегающих волн стратификация жидкости оказывает существенное влияние на гидродинамические характеристики погруженного тела. Для ряда характеристик гидродинамической нагрузки получено приближенное решение, пригодное для глубоко погруженного тела.

Практическая^начимо^ Полученные результаты

позволяют прогнозировать параметры вынужденного волнового движения в океане и атмосфере по известным из экспериментальных наблюдений источникам возмущений, распределениям плотности жидкости и скорости течения по глубине. Результаты диссертации могут быть использованы при интерпретации натурных и лабораторных исследований, усовершенствовании методов расчета поверхностных и внутренних волн, генерируемых возмущениями как естественного, так и искусственного происхождения.

Изложенные в работе методы исследования могут быть применены в разнообразных задачах теории волн и в прикладных задачах физики атмосферы и океана.

Научные результаты работы были включены в отчеты по межведомственным проектам "Волна" (1976-1990г,г.) и "Внутренние волны" (1991-1992г.г.).

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на: I советско-американском симпозиуме по внутренним волнам в

океане (Новосибирск, 1976), vil и VIII Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (Ростов-на Дону, 1977, Львов, 1981), 14 и 16 Международных симпозиумах по гидродинамике (Польша, 1979, 1983), V Всесоюзной школе "Автоматизация научных исследований морей и океанов (Севастополь, 1980), Всесоюзном совещании по проблеме "Волновые процессы в морях и океанах" (Севастополь, 1983), Всесоюзных школах "Волновые процессы в морях и океанах" (Севастополь, 1983), Всесоюзных школах "Методы гидрофизических исследований" (Солнечногорск, 1986; Светлогорск, 1989, 1992), III и IV Республиканских конференциях "Проблемы гидромеханики в освоении ресурсов Мирового океана" (Киев, 1984, 1987), I и II Всесоюзных конференциях "Проблемы стратифицированных течений" (Саласпилс, 1988, Канев, i99l), v Всесоюзной научной школе "Гидромеханика больших скоростей" (Чебоксары, 1992), 35 и 36 Крыловских чтениях (Санкт-Петербург, 1991, 1993), Международном рабочем совещании "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане" (Санкт-Петербург, 1992), I Международной конференции по экрано-планам (Иркутск, 1993), Всесоюзных семинарах по теоретическим и экспериментальным исследованиям внутренних волн (Москва, 1981, 1983), Всесоюзном совещании по вычислительным методам в проблеме цунами (Шушенское, 1987), совещаниях по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Абакан, 1988, 1989, Новосибирск, 1992), совещаниях по природным и антропогенным катастрофам (Томск, 1991, Новосибирск, 1993), семинарах "Теоретические и экспериментальные исследования поверхностных и внутренних волн" соисполнителей и участников межведомственного проекта "Волна" при ГКНТ (Майкоп, 1978, Таганрог, 1980, Севастополь, 1979, 1984 - 1987, 1989 - 1991); представлялись на: II Международном симпозиуме по стратифицированным течениям (Норвегия, Трондхейм, 1980), Международном симпозиуме по уточненному моделированию течений (Франция, Париж, 1982), 14 и 15 сессии научно-методологического семинара по гидродинамике судна (Болгария, Варна, 1985, 1986).

Личный__вклад. Постановка изложенных в работе проблем и основные теоретические результаты принадлежат лично автору. Разработка алгоритмов численного решения волновых задач и их реализация на ЭВМ выполнена лично автором, либо под его руководством и при его непосредственном участии.

2. Исследования волновых движений в жидкости с произвольным устойчивым распределением плотности

Исследования автора по стационарным и нестационарным задачам плоских и пространственных волновых движений при разных распределениях плотности по вертикальной координате представлены в [1-23].

2.1. Постановка задачи

Причины возникновения поверхностных и внутренних гравитационных волн в океане и атмосфере очень разнообразны: колебания атмосферного давления, обтекание неровности дна, движение надводного или подводного судна, деформации поля плотности, образующиеся по каким-либо причинам турбулентные пятна, подвижка дна или подводное землетрясение, надводный или подводный взрыв и-т.п.

В общем случае система линейных уравнений, описывающая малые движения первоначально покоящейся несжимаемой невязкой стратифицированной жидкости, находящейся в однородном поле силы тяжести, в системе декартовых координат х = (х,у,г) с осью г, направленной вертикально вверх, имеет вид

Эи - ар

р„— + ур + Р = о, — + р = 0, dlv и = 0(х,Ъ), (2.1) ^ а! °

где и = р, р - возмущения скорости, давления и плотности,

ро(г) - плотность жидкости в невозмущенном состоянии, Р=(0,0,др) -вектор плотности массовых сил, д - ускорение силы тяжести, штрих означает дифференцирование по г, Ъ - время, функция о представляет интенсивность распределения массовых источников. Слой жидкости глубины н безграничен в горизонтальных направлениях.

Граничные условия на свободной поверхности (г = 0) и на ровном горизонтальном дне (z = -н) имеют вид

V = дг^/дЬ. р - дроТ)о = Р(х/УЛ) (г=0), V = У(х,у, Ь) (г=-Н) . (2.2)

В дальнем поле возмущения затухают -* 2 2

и, р -» 0 (х + у - 00) . (2.3)

Функция Т|о(х,уД) описывает вертикальное смещение свободной поверхности, Р - внешнее давление, действующее на свободной поверхности, а V - вертикальная скорость дна.

Если функция р0(г) является разрывной, необходимо добавить

условия сопряжения. При наличии контактного разрыва вдоль поверхности г = Ьо+ г)(х,у, Ь) условия сопряжения имеют вид

М = о, [р] = д1)[р0 ] (2 = ьо),

где [•] означает скачок функции при переходе через границу раздела. Начальные условия при t = О таковы

3 = и0 (х), р = р° (5), т)0 = П°(х,у), (2.4)

где функции и0, р°, Т)° - начальные значения возмущений вектора скорости, плотности и возвышения свободной поверхности. Для локальных возмущений функции О, Р, V, и°, р°,Т)° отличны от нуля только на конечном интервале изменения пространственных переменных.

В силу линейности задачи вынужденные волны представляют собой суперпозиций свободных гармонических волн, описываемых однородной системой (2.1) и однородными граничными и начальными условиями (2.2}-(2.4). Систему (2.1) можно свести к одному уравнению для любой из искомых функций, обычно это делают для вертикальной компоненты скорости. Тогда однородная система (2.1) и однородные граничные условия (2.2) запишутся в виде

Э2 , к2 а« Л

—2 Д»---+ = (2'5)

Эь 1 д дг }

яЗ а V

—=--д = 0 (2 = 0), V = 0 (2 = -Н),

дьгдг г

где Д - трехмерный, а Л2 - плоский ( по х, у ) операторы Лапласа,. Ы2 (г) = -др^/ро. Уравнение (2.5) несколько упрощается для слабо стратифицированной жидкости при введении приближения Буссинеска. При этом приближении в уравнениях сохранения импульса (2.1) отличие плотности от некоторого постоянного значения рз учитывается только в члене, описывающем плавучесть, в инерционных же членах действительная плотность заменяется значением рз, и уравнение (2.5) приводится к виду

а2

дьг 2

Л V + II2 Д V = 0. (2.6)

Функция N(2) ( в приближении Буссинеска л2(г) = -др^/рз) является одной из основных характеристик стратифицированной жидкости и носит название частоты плавучести или частоты Брента-Вяйсяля.

Однородность уравнений (2.5), (2.6) и их краевых условий по переменным х, у, Ъ позволяет искать элементарные волновые решения в виде плоских волн

= и(г) ехр (Лс-г - (Л), где £ - волновой вектор в плоскости х, у, и - частота колебаний, г= (х, у). Для функции кз (2.5) получается краевая задача

Штурма-Лиувилля

М2 (2) У (2) .

V"--W' + —5--1 к И = 0, (2.7)

д 1 СГ J

И' (0) = дк2И(0)/Ш2, И(-Н) = 0, в приближении Буссинеска

. г«2!*) -I 2 V/" + —2--^ к И = 0, (2.8)

W' (0) = дк2И(0)/Ю2, W(-H) = 0,

где к = |Е|. В результате решения задач (2.7), (2.8)' находится система вещественных собственных значений 0) (дисперсионные зависимости) и собственных функций V(г.) для каждого фиксированного значения волнового числа к. Спектр таких задач всегда дискретен, т.е.

система обладает счетным числом мод Мп(2) (11=0,1,2___), каждой из

которых соответствует свой закон дисперсии Шп = ып(к). В том случае, когда глубина жидкости является бесконечной и отличие функции Щг) от нуля имеет место также на неограниченном интервале (такая ситуация невозможна физически, но зачастую используется в теоретических исследованиях), наряду с дискретным существует и непрерывный спектр.

2.2. Волновые возмущения, вызванные точечным источником массы

Решение линейной задачи (2.1)-(2.4) для различных возмущений выполняется по единой методике,и для подробного исследования выбран один из возможных примеров, подводного возмущения - точечный источник массы. При этом все другие источники возмущений полагаются равными нулю, а функция в (2.1) принимается равной

0(х,1) = б(х - у^)), (2.9)

где с[(1;) - интенсивность источника (<з (1=) = о при t < о), у(Ь) =

(Yj(t),y2(t),y3(t)), x = у(t)- траектория движения источника. Предполагается, что источник во время своего движения не пересекает границы жидкости.

Для решения задачи (2.1)-(2.4) используются интегральные преобразования 'Зурье и Лапласа. Так, например, волновая часть давления в приближении Буссинеска определяется выражением

Ps - Ю * Ю 10*

p(x,t) = —j J dm J dl | q(T) ^ -j *

-oo -oo 0 n=0

/ /

* Wniz)Wn(y3(,r) > COSO)n(t--U) exp i[m(x-y1Ct))+l(y-y2('l))ld'C,

2 p p

где функции шп(к) и «n(z) - решения задачи (2.8), k = l +m . Собственные функции W (z) ортогональны и нормированы так, что 2 2 2 2 g Wn(0) +J N Wn dz = 1. (2.10)

-H

Следуя результатам Миропольского Ю.З. (1981), Городцова В.А., Теодоровича Э.В. (1980), изменение полной энергии во всем объеме стратифицированной жидкости, определяющее мощность т, затрачиваемую на генерацию волн, удовлетворяет соотношению

ps « « t 00 u4

T(t) = —J q(t) J dm | dl J q(T) ^ -j * 4 -« -« о n=0 k

" wn(y3(t)) wn(y3cr)) COS (Jn(t-T) X

x exp i[n(y1(t)-y1(T))+i(y2(t)-y2(t))]dT.

Для исследования поведения волн вдали от траектории движения источника используется метод стационарной фазы для асимптотической оценки интегралов. Приближенное решение для функции Г)(х, t), описывающей вертикальные смещения частиц жидкости и определяемой из соотношения dT)/dt = w, имеет вид t со 2 .

1 Г q(X) ^ п1

Q /x(t-t) n=0 *о lQ Шп/а)с lk=ko где kQ - корень уравнения cgn = dcon/dk = %/(t-x),

q(T) „ Шп<*о>Ип<2> V^»

T) и I--) 4/7. 7- 7.1/9--(2.11)

Х= /[х-у1(т:)]2+[у-у2(т;)]2.

Для внутренних волн, в отличие от поверхностных, групповая

скорость с может немонотонно зависеть от волнового числа. Если 2 2

d ш /dk |k=k > о, следует использовать F1= sin Ф, в противополож-

о

ном случае - Ft= cos Ф, где Ф(Т) = кд - con(kQ) (t-t). Выражение

2 2

(2.11) справедливо только при d GJn/dk |k=k ф о.

о

Полученные решения использованы для исследования поверхностных и внутренних волн, вызванных движением различных тел в стратифицированной жидкости.

2.3. Генерация волн при движении погруженного тела

При движении полностью погруженного тела в слабо стратифицированной жидкости эквивалентное распределение источников и стоков можно заимствовать из теории однородной безграничной жидкости.

Простейшим примером является сфера, движение которой имитиру-

- з -

ется диполем с моментом M(t) = MQU(t), где mq= 27cr , u=(uj,u2,u3)=

= dy(t)/dt, к = y(t)- траектория движения центра сферы, R - ее радиус. В плоском случае таким телом служит круговой цилиндр, движущийся перпендикулярно своей образующей, при этом mq = 2%r2. Ди-польное решение можно применять и при исследовании обтекания других тел, учитывая хорошо известный результат (Ламб Г., 1947), что потенциальное течение вдали от тела эквивалентно тому, которое вызывает диполь. Для моделирования обтекания удлиненного оеесим-метричного тела, движущегося в направлении своей оси, зачастую используется совокупность точечных источника и стока, разнесенных на некоторое расстояние друг от друга в направлении основного движения, которая в однородной жидкости описывает обтекание овоида Ранкина.

Стационарное обтекание. Наиболее простым и изученным случаем движения источника является его мгновенное включение и равномерное горизонтальное движение со скоростью V и постоянной интенсивностью. Решение такой нестационарной задачи в пределе при t -» » в подвижной системе координат, связанной q источником, совпадает с решением стационарной задачи. Определены свойства волновых возмущений, возникающих в жидкости с различной стратификацией как в

плоском, так и в пространственном случаях.

В плоском случае обтекание равномерным потоком полубезграничной экспоненциально стратифицированной жидкости системы источник-сток изучено в [2]. Обтекание диполя потоком двухслойной жидкости, верхний слой которой однороден, а нижний - экспоненциально стратифицирован и между слоями имеется скачок плотности, рассмотрен в [1]. В такой жидкости в связи с тем, что наряду с непрерывным спектром существуют две волновые моды дискретного спектра, суммарное волновое движение описывается системой трех типов волн: внутренние волны, вызванные наличием экспоненциальной стратификации в нижнем слое и аналогичные исследованным в [2], а также две незатухающие с удалением от диполя гармонические волны, обусловленные наличием соответственно свободной поверхности и поверхности раздела. Показано, что поверхностные волны проявляют себя только при небольших погружениях тела, ffpn наличии внутренних волн форма свободной поверхности меняется мало, однако там возникают существенные возмущения горизонтальной скорости. Волновые движения, генерируемые системой источник-сток в жидкости конечной глубины о произвольным непрерывным изменением плотности, изучены в [6J. В качестве примера рассмотрено влияние на характеристики внутренних волн различных распределений плотности, имеющих неизменное отношение ро(0)/ро(-Н), и показано, что картина волновых движений может при этом существенно варьироваться как по фазовым, так и по амплитудным характеристикам.

В пространственном случае волновые движения имеют более сложный характер. Подробно исследовано поведение волнового следа за телом в жидкости с различными модельными распределениями плотности. В [2] построена пространственная картина ближнего и дальнего волнового следа в безграничной экспоненциально стратифицированной жидкости. В [5] исследован случай н = const для жидкости конечной глубины. Изучены особенности поведения дальнего волнового следа при обтекании тела потоком со следующими распределениями плотности: трехслойная жидкость с однородными слоями [3]; двухслойная жидкость с верхним однородным слоем, нижним - линейно стратифицированным, между слоями имеется скачок плотности [7]; трехслойная жидкость с непрерывным кусочно линейным распределением плотности [4].

В случае произвольной непрерывной стратификации вертикальные возвышения в дальнем волновом следе в приближении Буссинеска определяются в виде однократного интеграла

Яо 03 %/2зЫ(акпвт)

Т)(г,ф,2) « - — V Г - И^(-Ь)Ип(г) в (П (гкпв (п (9-ф)) <19.

п=1 ^ \Sine (2.12)

Здесь до - интенсивность источника и стока, разнесенных по горизонтали на расстояние 2а, Ь - глубина их погружения и произведена замена переменных х = гсозф, у = гвСлф, ш = кйСпЭ, 1 = ксовО. Свободная поверхность заменена твердой крышкой, что позволяет отфильтровать поверхностные волны без существенного искажения внутренних волн. Собственные значения кп и собственные функции Ип(г) при равномерном обтекании определяются из задачи аналогичной (2.6)

И2 (г) 2

И + -=- К = к V (0) = V» (-Н) = 0. (2.13)

п и2з1пгв п п ' п п

Разработанный метод решения данной задачи состоит из трех этапов: 1) вычисление максимальных фазовых скоростей с^ внутренних волн при к = 0 и определение углового размера волновой области для отдельной моды; 2) построение дисперсионных зависимостей кп(в); 3) выполнение численного интегрирования в (2.12). Для вычисления дисперсионных зависимостей в (2.13) вводятся модифицированные преобразования Прюфера

И(г) = еа(2)51п Ь(г) , VI' (г) = еа сое Ъ(г), в результате чего для определения дисперсионных зависимостей достаточно решить нелинейную краевую задачу первого порядка для функции Ь(2), поведение которой в отличие от И(г) является монотонным. При этом следует отметить, что для ф > О бесконечный предел суммирования в (2.12) заменяется конечным значением, соответствующим числу внутренних волн с угловым размером волнового клина больше ф.

При сверхкритическом режиме движения тела (и > сГ1) волновой след сосредоточен внутри угла |ф|< агсз1п(с{1/и), при докритичес-ком режиме - внутренние волны охватывают всю область жидкости позади тела.

Подробно исследовано поведение дисперсионных зависимостей и вклад в волновое движение мод с различными номерами для модели плавного пикноклина [Ю]. Выполнено сопоставление с решением для

двухслойной жидкости.

Сравнение поведения внутренних волн в линейно стратифицированной жидкости конечной глубины и моделирующей ее многослойной жидкости, в которой внутри каждого слоя плотность постоянна и равна плотности первоначального распределения в середине слоя, представлено в [141. Кусочно постоянное распределение плотности позволяет избавиться от численного решения дифференциального уравнения и свести задачу к алгебраической. В качестве источника внутренних волн взято малое осесимметричное возвышение на дне. Показано, что при кусочно постоянной аппроксимации непрерывного распределения плотности достаточно хорошо описываются лишь те волновые характеристики, которые непрерывны в многослойной жидкости.

Наиболее сложное поведение дисперсионных зависимостей возникает при наличии в жидкости нескольких волноводов: на графиках дисперсионных кривых могут появляться сгущения, которые свидетельствуют о том, что поведение групповых скоростей внутренних волн становится немонотонным, и на некоторых частотах различные моды распространяются практически с одинаковыми фазовыми скоростями, имея различные групповые скорости. Предложенный метод расчета характеристик внутренних волн позволяет относительно просто проводить расчеты и в этом случае аномальных дисперсионных зависимостей [4,11,14].

Нестационарные движения. Нестационарные режимы движения источника возмущения обладают большим разнообразием. В плоском случае для двухслойной жидкости исследовано движение тела в течение конечного промежутка времени с последующей его остановкой, выход из состояния покоя на равномерное или чисто колебательное движение, суперпозиция поступательного и колебательного движений [21). Определена зависимость от толщины слоев и перепада плотности значений резонансных частот, при которых в рамках линейной теории в идеальной жидкости возбуждение волн сопровождается степенным ростом их амплитуды со временем. Решение этой задачи используется ниже ^ п. 3 при исследовании влияния регулярного волнения на движущееся погруженное тело.

Для непрерывно стратифицированной жидкости изучено чисто колебательное движение тела, а также суперпозиция колебательного и поступательного движений. В отличие от случая двухслойной жидкости

в непрерывно стратифицированной жидкости не возникает волновых движений, если частота колебаний периодического возмущения превышает максимальное значение частоты Брента-Вяйсяля.

В пространственном случае подробно исследован случай безграничной однородно стратифицированной жидкости [8]. Построены картины волновых возмущений в дальнем поле при равномерном движении диполя под углом к горизонту, а также горизонтальном его движении в течение конечного промежутка времени. Сравнение амплитуд внутренних волн при стационарном и нестационарном горизонтальном движении показало, что в последнем случае они больше, так как вносятся импульсы разгона и торможения. При этом волновой след имеет ограниченное распространение по оси х и в основном сосредоточен в той области, которую к данному моменту времени прошло тело.

В двухслойной жидкости уточнены ранее известные результаты по развитию и затуханию установившейся системы волн, возникающей при горизонтальном движении тела [21]. Выполнен большой цикл исследований о влиянии малых колебаний различного типа, наложенных на равномерное горизонтальное движение сферы со скоростью и и глубиной погружения h [19-21). При этом для продольных колебаний в направлении основного движения траектория центра сферы удовлетворяет соотношениям:

yj (t) = ut + y slnílt, y2(t) = o, y3(t) = -h, (2.14)

для поперечных колебаний

Yl(t) = Ut , y2(t) = 7 Sin nt, y3(t) = -h, (2.15)

для вертикальных колебаний

yj (t) = ut , y2(t) = 0, y3(t) = -h + 7 Sin Qt. (2.16)

Для пульсирующей сферы, радиус которой меняется со временем по закону R + 7 Sin Qt, функция Q в (2.1) представляет собой суперпозицию источника и диполя

Q(x,t) = 2X(R+7Stn0t)2 б (у) S(z+h) [27Í) COSflt 6(x-Ut)- (2.17)

- U(R+7 SlrQt) S6(x-Ut)/ax]. Частными случаями таких движений являются при 7=0 чисто поступательное, а при и = о чисто колебательные движения.

Исследование асимптотического поведения возвышений поверхности раздела в дальнем поле удобно проводить в системе координат,

связанной с телом х = ut - х , и решения для всех типов колебаний представить в виде

T](x,y,t)=T)0{x,y,t) + rnV^.y-t) + Пс t) cosnt] + ост2),

где т) одинаково для всех типов колебаний и при t оо описывает стационарное волновое движение, возникающее при обтекании сферы равномерным потоком со скоростью и. Слагаемые Т) и т| зависят от конкретного типа колебаний и -при t - со также выходят на установившееся решение, за исключение тех случаев, когда частота колебаний тела совпадает с резонансной частотой 0с. Особый интерес представляет определение зависимости угловых зон, внутри которых находятся установившиеся волновые возмущения T)s и Т} , от частоты колебаний тела ft. С помощью метода стационарной фазы установлено, что в до-критическом режиме при П < Пс в жидкости существует пять волновых систем, одна из которых охватывает всю жидкость, а четыре других попарно расположены внутри своих угловых зон. При П > Пс существует только четыре волновые системы внутри своих углов. Для достаточно большого диапазона частот колебаний fi угловой размер этих волновых зон больше, чем в случае равномерного движения тела. При сверхкритическом режиме всегда существуют четыре волновые системы, сосредоточенные внутри двух угловых зон, размеры которых монотонно убывают с частотой П и не выходят за пределы клина стационарных волн.

Другой интересной характеристикой рассматриваемого течения является мощность T(t), затрачиваемая телом на генерацию волн. Осредненное за период колебания значение мощности <Т> представляется в виде <Г> = То+ т2 Тк 4 0(74), где слагаемое Тс одинаково для всех типов колебаний и определяет мощность, затрачиваемую телом при чисто поступательном движении. Отношение TQ/U равно волновому сопротивлению сферы при таком движении, функции Тк связаны с силами демпфирования. Получены асимптотические решения для всех этих характеристик. Показано, что наибольшие волновые движения возникают при пульсациях объема, а для сферы фиксированного объема - при вертикальных колебаниях. Существуют такие режимы движения тела, при которых функции Тк для некоторых типов колебаний принимают отрицательные значения, что приводит к снижению полного волнового сопротивления. При чисто колебательном движении функции Тк всегда положительны.

Генерация волн при движениях сферы (2.14)—(2.17) также изучена и в случае непрерывно стратифицированной жидкости [17,21,235. Качественный анализ, выполненный для двухслойной жидкости, повторяется и в этом случае для каждой из волновых мод при условии монотонности их групповых скоростей. В [17,21] сопоставлены волновые характеристики для слоя линейно стратифицированной жидкости (ы = const) между двумя горизонтальными плоскостями и между слоями однородной безграничной жидкости. В [23] последний случай усложняется конечными глубинами однородных слоев и наличием свободной поверхности. Определены зависимости угловых размеров волновых зон от частоты колебаний тела. При колебаниях тела с частотой Q < N волновые возмущения могут охватывать всю жидкость, при О > N размеры волновых областей малы. Амплитуды внутренних волн резко возрастают с увеличением частоты колебаний, намного превышая значения, соответствующие равномерному движению тела. Следует отметить, что моделирование тела точечными особенностями пригодно только для тех случаев, когда тело движется не на горизонте максимального значения частоты Брента-Вяйсяля. Это ограничение может быть убрано при моделировании тела особенностями, распределенными по его поверхности.

2.4. Сопоставление линейных решений с данными вычислительного и лабораторного экспериментов

Для исследования волновых процессов мощным инструментом является вычислительный и лабораторный эксперимент. В настоящее время различными авторами в рамках полной потенциальной модели выполнено большое количество расчетов поверхностных гравитационных волн в однородной несжимаемой жидкости, вызванных действием поверхностных, донных или подводных возмущений. Для плоских поверхностных волн сопоставление численных расчетов с решениями линейной теории волн представлено в [28]. Рассмотрена нестационарная задача Коши-Пуассона об эволюции начального возмущения свободной поверхности, а также генерация волн неравномерно движущимися областями поверхностных давлений или погруженными телами. Показано, что во многих случаях нет существенного различия между линейными и нелинейными результатами и при моделировании тела точечными особенностями возникают те же самые волновые движения, что и при выполнении точных граничных условий непротекания на теле.

Большой цикл лабораторных экспериментов по генерации поверхностных и внутренних волн выполнен в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН под руководством д.ф.-м.н. Букреева В.И. с целью проверки результатов линейной теории.

Эксперименты проводились в канале прямоугольного сечения, заполненном двумя слоями жидкостей разной плотности. Движение цилиндра в верхнем слое осуществлялось с помощью буксировочной тележки. Параметры волн, возникающих на границе раздела при равномерном движении кругового цилиндра и симметричного крылового профиля, определены Букреевым В.И. (1980). Сопоставление с результатами линейной теории показало, что длины волн хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями, а амплитуды волн в эксперименте существенно выше (для кругового цилиндра примерно в 2 раза, для крылового профиля с удлинением 1:6 - в 1,25 раза). К сожалению, круговой цилиндр является в гидродинамическом смысле плохообтекаемым телом, и для него трудно ожидать хорошего совпадения экспериментальных данных и расчетов, проведенных в рамках идеальной жидкости. Наличие вязкости в реальной жидкости с одной стороны вызывает появление областей завихренности и может существенно изменить волновые возмущения, вносимые телом (Нестеров С.В.,1987), а с другой стороны - приводит к вязкому затуханию волн. Теоретическое и экспериментальное изучение этого эффекта для волн на границе раздела при движении тела выполнено в [13]. Показано, что длина волны практически не зависит от вязкости, а декремент затухания, полученный теоретически, примерно в 2 раза меньше измеренного в эксперименте .

Исследование нестационарных внутренних волн, возникающих при горизонтальном движении кругового цилиндра в течение конечного промежутка времени, представлено в [16]. Колебания границы раздела фиксировались волномером, в записях которого четко прослеживалась наряду с коротковолновой модой колебания волна понижения уровня как впереди, так и позади цилиндра. Сравнение расчетных и экспериментальных данных показало, что линейная теория описывает только коротковолновую моду. При этом имело место хорошее совпадение фазовой картины и некоторое расхождение по амплитудам колебаний.

Волны на поверхности раздела в вязкой двухслойной жидкости, возникающие при вертикальных гармонических колебаниях погруженного

кругового цилиндра, теоретически и экспериментально изучены в [18]. При теоретическом решении" вязкость слоев предполагалась малой и учитывалось также поверхностное натяжение на границе раздела. Получено хорошее совпадение теоретических и экспериментальных данных о колебаниях границы раздела. Аналогичным образом исследован и более сложный случай - совместное поступательное и колебательное движение кругового цилиндра [22]. Экспериментальные исследования выполнены в околокритических режимах и показано удовлетворительное согласие с теоретическими решениями. Интересная особенность рассматриваемого волнового движения состоит в том, что максимальные возмущения границы раздела происходят в окрестности тела и намного превышают волновые возмущения, которые возникают для тех же параметров при его чисто поступательном или чисто колебательном движении. Учет вязкости слоев устраняет резонансную расходимость в теоретическом решении, причем для внутренних волн на поверхности раздела демпфирующее влияние вязкости на относительно длинных волнах более значительно, чем для поверхностных волн.

Выполненное сопоставление показало, что разработанные методы расчета поверхностных и внутренних волн дают адекватные результаты в диапазоне применимости линейной теории.

2.5. Генерация внутренних волн при схлопывании зоны смешения

Своеобразным течением, наблюдаемым только в стратифицированной жидкости, является сплющивание (коллапс) области жидкости постоянной плотности. При этом предполагается, что плотность в заданной области стала одинаковой в результате перемешивания в ее пределах стратифицированной жидкости. Пусть в начальный момент времени перемешивание произошло в круговой области радиуса л в слое жидкости, который в исходном состоянии имел постоянный градиент плотности р^(г)/рз = - а, где рз = 'ро(0) и начало координат совпадает с центром пятна. Под действием архимедовых сил эта область начинает сплющиваться в вертикальном направлении и растягиваться в горизонтальном, стремясь восстановить прежнее состояние устойчивой стратификации. Этот процесс сопровождается интенсивной генерацией внутренних волн в окружающей жидкости. Возможна также ситуация, когда перемешивание жидкости является неполным. В этом случае горизонтальные размеры зоны смешения с течением времени увеличиваются лишь до некоторого конечного предела. В природе' появление таких

зон связано с различными геофизическими явлениями (Тернер Дж., 1977).

Линейная теория позволяет описать поведение внутренних волн вдали от области смешения, так как вблизи ее границы большие градиенты плотности делают линеаризацию несправедливой. При этом рассматривается плоская в координатах у, г нестационарная задача о течении, возникающем при охлопывании первоначально круглого пятна перемешанной жидкости, окруженного стратифицированной жидкостью. В предположении, что пятно полностью находится в слое линейно стратифицированной жидкости, в (2.4) возмущение плотности в начальный момент t = о дается соотношением

г ррзаг ( у2 + 22 < я2 ),

Р (у,г) = \ 2 2 2

[ 0 ( у + г > !г ) ,

где степень перемешивания р может меняться в пределах о < р ^ ци в случае полностью перемешанного пятна р = 1. Вне пятна распределение плотности описывается функцией ро(г).

Решение такой плоской нестационарной задачи'выполнено аналогично тому, как это было сделано в п.2.3 для трехмерной стационарной задачи (время t играет роль продольной координаты х). Исследование внутренних волн для различных стратификаций и сравнение волновых картин, возникающих при коллапсе круглого пятна и стационарном горизонтальном движении тела, выполнено в [5,4,7] соответственно для линейно стратифицированной жидкости конечной глубины, трехслойной жидкости конечной глубины (в каждом слое градиент плотности постоянен и в среднем слое он максимален), полубезграничной двухслойной жидкости (верхний слой однороден, в нижнем слое градиент плотности постоянен, между слоями имеется скачок плотности) и в [11] для произвольного устойчивого распределения плотности. Показано, что внутренние волны для этих двух типов возмущений имеют неодинаковое поведение- при наличии областей с резким градиентом плотности. Так, при скачке плотности внутренние волны, генерируемые коллапсом зоны смешения, практически не искажают формы поверхности раздела и не проникают выше границы раздела.

Выполнено сопоставление результатов линейной теории с численным решением данной задачи на основе уравнений Навье-Стокса. В приближении Буссинеска такие расчеты для линейно стратифицированной жидкости проведены д.ф.-м.н. Черных Г.Г. Сопоставление волно-

вых картин, представленных в [15,21], показало, что фазовые портреты во всем поле течения совпадают с большой точностью, а амплитуды отличаются только вблизи пятна.

Удовлетворительное совпадение характеристик внутренних волн в случае нетурбулизованной зоны смешения позволило применить результаты линейной теории и к расчету внутренних волн, генерируемых турбулизованной областью. Численное моделирование плоской нестационарной задачи о коллапсе цилиндрической зоны турбулентного смешения в линейно стратифицированной жидкости выполнено, в частности, в [15], где показано, что через промежуток времени, приблизительно равный периоду Бренга-Вяйсяля, суммарная кинетическая и потеницальная энергия внутренних волн становится почти постоянной, и при больших временах картина внутренних волн практически не зависит от характеристик турбулентности в зоне смешения. Соответствующий подбор трех параметров: радиуса коллапсирующего пятна, степени перемешивания в нем и времени наступления коллапса - позволил добиться хорошего совпадения волновой картины, вычисленной по линейной теории, и в этом случае.

2.6. Внутренние волны, возникающие при обтекании неровности дна потоком со сдвигом скорости

Исследованы стационарные внутренние волны, возбуждаемые при обтекании изолированного возвышения, расположенного на горизонтальном дне. Предполагается, что вектор скорости основного потока, имеющего две горизонтальные компоненты U(z) и V(z), не обращается в нуль в диапазоне глубин и поток устойчив по отношению к наложенным на него мальм возмущениям.

В приближении Буссинеска уравнение для вертикальной компоненты скорости волнового движения имеет вид

DZAw - DD"w + N ¿2w = О

с граничными условиями

w = 0 (z = 0), w = Df (z = -Н) , w -» 0 (х2 + у2 -♦ оо) ,

где D = и a/dx + v д/ду. Свободная поверхность заменена твердой крышкой, а препятствие на дне, определенное соотношением

z = -н +■ f (х,у),

предполагается достаточно малым, так что в качестве граничного

условия на дне используется обычное кинематическое соотношение.

Волновые возмущения в дальнем поле получены с помощью интегральных преобразований и асимптотической оценки интегралов методом стационарной фазы [9,12]. Выполнены расчеты волновых картин, возникающих при обтекании осесимметричного препятствия потоком с линейным изменением скорости по глубине при N = const.

2.7. Поведение вынужденных поверхностных и внутренних волн в жидкости с неровным дном

Характер возбуждения волн существенно зависит от глубины жидкости, поэтому возникает необходимость учета реального рельефа дна при исследовании волновых процессов, происходящих в жидкости. В общем случае задача о генерации поверхностных и внутренних волн локализованными возмущениями в жидкости с неровным дном является пока нерешенной даже в линейной постановке. Трудно рассчитывать на создание единого метода решения такого сорта задач, за исключением прямого численного счета. Развиваются специальные методы, которые используют ту или иную особенность рельефа дна точно или приближенно. Обзор исследований по генерации поверхностных и внутренних волн в жидкости переменной глубины дан в [30].

На основе метода возмущений исследовано влияние донной неровности конечной протяженности, высота которой мала по сравнению со средней глубиной жидкости. При этом решение ищется в виде ряда, первый член которого представляет собой известное решение для ровного дна, а следующие ( как правило ограничиваются лишь первым приближением) описывают влияние неровного дна. Влияние донного рельефа в этом приближении проявляется следующим образом: в дополнение к тем волновым движениям, которые возникают в жидкости с ровным дном от рассматриваемого генератора волн, появляются волновые возмущения, вызванные колебаниями участка дна, соответствующего размерам донной неровности. Можно сказать, что одновременно с началом действия основного генератора волн начинает "звучать" и донная неровность. Появляются дополнительные волновые возмущения и, следовательно, в задачах о движущемся источнике происходит изменение волнового сопротивления. Нетрудно определить вносимый этими фиктивными колебаниями дна поток энергии, величина которого в какой-то степени может служить энергетической мерой влияния донной неровности на волновое пгле.

Поведение плоских поверхностных волн при наличии малой донной неровности изучено в [27] для двух задач: распад начального возвышения свободной поверхности (задача Коши-Пуассона) и движение области поверхностных давлений. Условие применимости приближения малой неровности проверено сопоставлением с численным решением данной линейной задачи конечно-разностным методом. Как в задаче Коши-Цуассона, так и в задаче о движущемся давлении удовлетворительное совпадение приближенного решения с численным наблюдается лишь для неровностей, высота которых не превышает 20% от полной глубины жидкости.

Обнаружено, что неровность дна вызывает существенные возмущения донного давления и изменяет волновое сопротивление не только для тех моментов времени, которые соответствуют прохождению области давления над неровностью, но также и для значительно более поздних моментов.

Плоская задача Коши-Пуассона для двухслойной жидкости с неровным дном исследована в [25]. Усложняющим обстоятельством в данной задаче является то, что в волновых добавках, вызванных донной неровностью, не удается подсчитать независимо вклады поверхностной и внутренней мод.

В приближении малой неровности рассмотрен также один из интересных типов донных неровностей - рифленое дно [26,29]. Источником волн является круговой цилиндр, движущийся с постоянной скоростью. Предполагается, что цилиндр стартует далеко от неровности и при подходе к ней за телом уже сформировался стационарный волновой цуг. Рассмотрено два типа стратификации жидкости: двухслойная жидкость под твердой крышкой и однородно стратифицированная полубезграничная жидкость. Для двухслойной жидкости (и в частном случае для поверхностных волн в однородной жидкости) при выполнении условия брэгговского резонанса: длина набегающей волны в два раза превышает длину волны донной неровности - отраженная волна становится максимальной и ее амплитуда линейно возрастает с числом рифелей. Проходящая волна отсутствует в том случае, когда на длине неровности укладывается целое число периодов рифелей. Для случая однородно стратифицированной жидкости наиболее заметное влияние волнистое дно оказывает тогда, когда длина набегающей волны совпадает с длиной волны донной неровности.

3. Гидродинамические характеристики качки на регулярном волнении погруженного тела, движущегося в стратифицированной жидкости

Методами линейной теории качки изучена плоская задача о генерации и рассеянии поверхностных и внутренних волн горизонтальным цилиндрическим телом нейтральной плавучести, движущимся под пикно-клином [31-37]. Резкий пикноклин моделируется двухслойной жидкостью, плавный - трехслойной жидкостью с линейно стратифицированным верхним и средним слоями и однородным нижним слоем. В двухслойной жидкости верхний слой может быть как безграничным, так и ограниченным твердой крышкой или свободной поверхностью, в трехслойной жидкости верхний слой ограничен твердой крышкой. Во всех рассмотренных случаях погруженное тело полностью расположено в нижнем слое, который имеет бесконечную глубину, и движение жидкости в нем предполагается потенциальным.

Ранее задача о влиянии регулярного волнения на погруженное тело рассматривалась только для поверхностных волн в однородной жидкости}и наиболее эффективным методом ее решения для тел сложной формы в плоском и пространственном случаях признан метод гибридных конечных элементов (Wu G.X., Eatock Taylor R., 1987, 1989). Потенциал скоростей представляется с помощью метода конечных элементов в узкой области, окружающей тело, и с помощью граничных интегральных уравнений - во внешней области. Данный метод может быть использован и в случае стратифицированной жидкости, в которой изменение плотности имеет место только на горизонтах, расположенных выше или ниже погруженного тела.

Наиболее полно исследован случай двухслойной жидкости под крышкой, в котором возможно существование только свободных внутренних волн, обусловленных наличием границы раздела между слоями.

В невозмущенном состоянии верхний слой жидкости плотности рх и толщины Н занимает область -со < х < оо, о < у < Н, а нижний слой плотности р2 = (i+£)Pj (е > 0) область -со < х < со, у < о, где к -горизонтальная, а у - вертикальная координаты. Наряду с неподвижной системой координат (х , у) вводится подвижная система (х = x-Ut, у), которая движется вместе с телом с постоянной скоростью и. В неподвижной системе координат потенциал скоростей для набегающей внутренней волны имеет вид

ш сЛк <у-н>

Ф1в>- ф(8,еарц(и х) ], фш---. ф(2)= екоу,

к0 ^о о о н

о

где шо - частота волны, знак "-" соответствует попутной волне, знак "+" - встречной волне, волновое число падающей волны ко определяется из дисперсионного соотношения

9

ио = 0(ко), [г (к) = 8дк/Р(к), Р(к) = 1+ е + сШеН,

индексы б = 1,2 введены соответственно для верхнего и нижнего слоев.

Считая возмущенное колебательное движение жидкости установившимся, полный потенциал скоростей всего волнового движения ищется в виде

4

ФСз)(х,у,1;) = - их + иф(£:) (х,у) + Яе ^ (х,у) е1Ш;,

¿=0

где <])(Е!'- потенциалы скоростей, отвечающие равномерному движению

( Б ) ——

тела с единичной скоростью, Ф^ (3=1,3) характеризуют радиационные потенциалы, обусловленные чисто вынужденной качкой тела по трем степеням свободы в равномерном потоке жидкости при отсутствии

(И

набегающих волн, т^ - амплитуды колебаний тела, Ф^ ф^5'е:ф(+1кох) - потенциалы скоростей набегающей волны, Ф^5'- дифракционные потенциалы, определяющие волновые движения, возникающие в результате набегания системы волн на тело, как на неподвижное препятствие, т} — — амплитуда набегающей.-волны, ш - кажущаяся частота колебаний частиц волны, которая вследствие доплеровского сдвига равна о = (¿о + кои.

Стационарный потенциал определяется из решения задачи

ДсрС1) = о (0 < у < н), Дф(2)= о (у < 0), (3.1)

<Эф(1)/Эу = 0 (у = н),

Э2$(2) а2ф(1) £дЭф(1> Эф*1* Эф(2)

(1+8)-5---2— + "2- = - = - (у = 0),

вхг Эх \г ау ау Эу

афС2) а$Сз) ,а$(3),

-Щ--' 0 (у -» -СО) , --. 0 (X - СО) , | ■ Дх | <00 (X - -со) .

Предполагается, что в силу малости колебаний тела условие непротекания на контуре выполняется в его среднем положении Ь:

a$(2)/an = nx (x,y e L),

где n = (n , n ) - внутренняя нормаль к поверхности тела, х у

Компоненты радиационных и дифракционных потенциалов удовлетворяют аналогично (3.1) уравнениям

ДФ^П = О (О < у < Н), ДФ^2) =0 (у < 0) (3.2)

с граничными условиями

(i+e)DS>'2)- + eg ЗФ^'/Зу = 0, аФ^г)/Зу = аФ$2)/Зу (у = 0),

ô®j2)/3y ->0 (у -> -œ),

аф]2)/0п = iCtaj - Unij (j=T73), ЗФ^'/Зп = - Эф'2)/Эп (x,y € L), где

D = (Ud/dx - i(0)2, (n1(n2) = (nx,ny), n3 = (y-yo)nx-(x-xo)ny,

гэ2Ф(2) a^(2) a r mîz) , бФ(2)-Л (m ,nu,m_)=J-, -, — (y-y)--1 - (x-x )- k

1 2 3 L ônax dnây anL ° ÔX J ay JJ

xq( yq - координаты точки, относительно которой совершаются вращательные колебания тела. Условия излучения для ®jS ' предполагают, что распространяющаяся впереди тела волна может быть только в том случае, когда ее фазовая скорость положительна, а групповая -больше скорости тела, в противном случае волновые движения существуют только за телом.

При движении на волнении на тело действуют гидродинамические

силы F и момент м, определяемые с помощью интегрирования -давления

[2] (2 ) 2 жидкости р = - р2(ЗФ /3t + |v® | /2) по контуру тела L

f = Jp n dl, M = Jpn3 dl. (3.3)

L L

- »

Обычно вводится представление f = (f1#f2), m = f3 и (3.3) заменяется суммой

fj = fsj + bel fnj + fej) eicJt (3.4)

где первое слагаемое обусловлено равномерным поступательным движением тела и равно

р^ - Р2и2 Х(аф(2)/ах - |уф(2)|2/2) ^ Л1.

^ (21 Второе слагаемое в (3.4) - вклад нестационарных потенциалов ФJ

(1=1,3). Три составляющих указанной силы и момента записываются в

матричной форме

з

Р«и = £ "^лс ТЛ< = - Рг I

к= 1 I

где V = иу(ф -х) - вектор скорости стационарного течения в нижнем слое относительно движущейся системы координат. Комплексная

о

радиационная нагрузка представляется в виде = ш - , где известны как коэффициенты присоединенных масс, а демпфирования.

Возмущающие (дифракционные) силы и момент определяются следующим образом

= " МоХ ф42>) + * v(Ф<2) +

и

Для использования метода гибридных конечных элементов опреде-

(с]

лена функция Грина б (х,у,т],£) задачи (3.2), которая в нижнем слое имеет вид

со

с(2)= \П{Г-Г.) + 2(1+8)рг» Г Р(к) е**7*1^«

1 J к Р (к)

о

*Ц(и2к2 - О2)2- (II2к2 + СО2) П2(к)] СОЭк(х-£) +

+ 2ШаЮ2(к)31пк(х-£) | ак +

+ тс|а1еатр[к1 (у+т]-1(х-5)) ] - а2егр[к2(у+т)-1(х-0) ] -

- Озехр[к3(у+т)+1(х-5)).] + а4егр[к4(у+т)+1(х-£)) ]}, где символы ри означают интеграл в смысле главного значения, г2= (х-£)2 + (у-тр2, г2= (х-£)2 + (у+Г1)2, Р = Р1Р2Р3Р4,

2(к) = ик + О + П(к), Р3 4(к) - Ок - (0 + П(к),

1(1+е)П(кд)Р(кз)

а = - (7 = 1 для б = Т73, 7 = -I для б = 4),

2кв[и-7с8(к5)]

с (к )=(ЭЙ/ак I-_- - групповая скорость волны к . Уравнение Р, (к) = О

6 ы э

имеет два простых положительных корня к1, к2 только при одновременном выполнении двух условий и < ис и со < сос, где ис = V едн -критическая скорость для стационарной задачи в рассматриваемой двухслойной жидкости, а со, = 0(кс) - икс определяется после решения уравнения с (к ) = и. При со = со оба корня сливаются. Уравне-

2 с с

ние Р2(к) = 0 не имеет вещественных корней, а уравнения Р3(к) = О и Р4(к) = о всегда имеют по одному положительному корню соответственно к3 и к4. Свойства корней кв (э = 1,4) и порождаемых ими волн определены в [21].

Численные расчеты полной гидродинамической нагрузки выполнены для кругового и эллиптического цилиндров. Поведение стационарной нагрузки (волнового сопротивления, подъемной силы и момента), возникающей при равномерном движении цилиндра в спокойной воде, изучено для всех указанных выше типов плотностной стратификации жидкости [31,33].

Для двухслойной безграничной жидкости результаты метода гибридных конечных элементов хорошо согласуются с альтернативным способом вычисления стационарной волновой нагрузки - методом граничных особенностей [34]. Этот метод, разработанный в НИИ математики и механики при Казанском государственном университете, позволяет получить решение с заданной точностью.

Решения радиационной и дифракционной задач при нулевой скорости движения тела получены для двухслойной жидкости, ограниченной как твердой крышкой, так и свободной поверхностью [31,32,36]. В дифракционной задаче помимо возмущающих сил определены также характеристики рассеянных волн в дальнем поле. Выведены соотношения эквивалентности, аналогичные соотношениям Хаскинда-Ньюмана, связывающие решения радиационной и дифракционной задач. В двухслойной жидкости, ограниченной свободной поверхностью, существуют одновременно поверхностная и внутренняя волновые моды. Интересной особенностью задачи дифракции для жидкости с многомодовой структурой является то, что при набегании на тело волны заданной моды

происходит рассеяние ее не только в себя, но и во все остальные моды. Это является одним из механизмов перераспределения энергии волновых движений, в частности, переноса энергии поверхностных волн в глубинные слои.

Численные расчеты сопоставлены с приближенным аналитическим решением, основанным на использовании функции Кочина и пригодным для тела, глубоко погруженного под границей раздела. В стационарной задаче приближенное решение получено для волнового сопротивления, а в случае качки без хода (и = 0) для всех характеристик радиационной и дифракционной нагрузки.

С помощью этого приближенного решения определено влияние аномальных дисперсионных зависимостей на рассеяние и генерацию внутренних волн [35]. Одним из примеров такой жидкости является трехслойная модель с линейно стратифицированными верхним и средним слоями и однородным нижним слоем. Показано, что аномальные дисперсионные зависимости могут приводить к "чехарде" мод внутренних волн, когда возбуждение высших мод происходит более интенсивно, чем низших.

Для радиационной и дифракционной задач при наличии хода выполнено сравнение всех компонент радиационной и дифракционной нагрузки для цилиндра, движущегося под свободной поверхностью в однородной жидкости и под границей раздела в безграничной и ограниченной сверху двухслойной жидкости [37]. В отличие от случая без хода коэффициенты присоединенных масс и демпфирования уже не обладают свойствами симметрии и существуют режимы движения, при которых коэффициенты демпфирования принимают отрицательные значения. В предположении глубокого погружения тела вычислены амплитуды радиационных и дифракционных волн в дальнем поле, а также диагональные коэффициенты демпфирования и возмущающие силы.

Разработанные вычислительные программы позволяют эффективно рассчитывать все характеристики гидродинамической качки погруженного цилиндрического тела как в однородной, так и в стратифицированной жидкости.

4. Публикации

1. Стурова И.В. Плоская задача о волновых движениях, возникающих в стратифицированной жидкости при обтекании погруженного ди-

поля//Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1973. Вып.14. С.157-169.

2. Стурова И.В. Волновые движения, возникающие в стратифицированной жидкости при обтекании погруженного тела/ЛМГФ. 1974. N 6. С.80-91.

3. Стурова И.В. Волновые движения, возникающие в жидкости со ступенчатой стратификацией при обтекании погруженного тела// Численные методы в механике сплошной среды. Новосибирск. 1975. Т.6. N 3. С.148-160.

4. Стурова И.В. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в стратифицированной жидкости//Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып.35. С.122-140.

5. ' Стурова И.В. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в линейно-стратифицированной жидкости конечной глуби-ны//ПМТФ. 1978. N 3. С.61-69.

6. Стурова И.В., Сухарев В.А. Плоская задача о волновых движениях, возникающих в непрерывно стратифицированной жидкости при обтекании погруженного тела//Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. N 4. С.148-152.

7. Стурова И.В. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в двухслойной стратифицированной жидкости//Изв. АН СССР. ФАО. 1978. Т.14. N II. C.I222-I228.

8. Стурова И.В. Внутренние волны, возникающие в экспоненциально стратифицированной жидкости при произвольном движении источ-ника//Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. N3. С.67-74.

9. Sturova I.V. Topographically generated three-dimensional internal waves in a shear flow//"Stratified Flows".2nd Inter.Symp. on Stratified Flows. Trondheim. 1980. V.l. P.110-120.

Ю. Стурова И.В., Сухарев В.А. Генерация внутренних гравитационных волн в термоклине//Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1980.N 8.Вып.2. С.136-142.

11. Стурова И.В., Сухарев В.А. Генерация внутренних волн локальными возмущениями в жидкости с заданным изменением плотности по глубине//Изв. АН СССР. ФАО. 1981. Т.17. N 6. С.625-631.

12. Стурова И.В. Трехмерные внутренние волны, возникающие при обтекании неровностей дна потоком со сдвигом скорости//"Волны и дифракция". Краткие тезисы докладов viii Всес.симп.по дифракции и

распространению волн. М. 1981. X.I. C.I78-I80.

13. Бородина Н.Н., Букреев В.И., Гусев А.В., Стурова И.В. Вязкое затухание внутренних волн, возникающих в двухслойной жидкости при движении цилиндра и крыла//Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып.54. С.49-60.

14. Стурова И.В. О сравнении поведения внутренних волн в жидкости с непрерывной и ступенчатой сгратификацией//Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып.56. С.I44-151.

15. Chernykh G.G., Lytkin Yu.M., Sturova I.V. Numerical simulation of internal waves induced by the collapse of turbulent mixed region in stratified mediuni//Inter. symposium on refined modelling of flows. Paris. 1982. P.671-679.

16. Букреев В.И., Гусев А.В., Стурова И.В. Неустановившееся движение круглого цилиндра в двухслойной жидкости/ЛМГФ. 1983.

N 6. C.I0I-I06.

17. Стурова И.В. Внутренние волны, возникающие при нестационарном движении источника в непрерывно стратифицированной жидкос-ти//Изв.АН СССР. МЗКГ. 1985. N 4. С.122-130.

18. Букреев В.П., Гусев А.В., Стурова И.В. Волны от колеблющегося цилиндра в вязкой двухслойной жидкости//Динамика сплошной среды. Новосибирск. JS85. Вып.70. С.54-62.

19. Стурова И.В. Внутренние волны, возникающие в двухслойной жидкости при нестационарном движении тела//Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1985. Вып.70. С.142-162.

20. Sturova I.V. Unsteady motion of a body in two-layer fluid//Actual and Topical Problems of Ship Hydro- and Aerodyn. Proc. 14th Sci. and Methodol.Seminar on Ship Hydrodynamics. Varna. 1985. V.2. P.38-1 - 38-8.

21. Стурова И.В. Генерация внутренних волн в стратифицированной жидкости//Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. С.200-242.

22. Букреев В.И., Гусев А.В., Стурова И.В. Генерация внутренних волн при совместном поступательном и колебательном движении цилиндра в двухслойной жидкости//ПМГФ. 1986. N 3. С.63-70.

23. Sturova I.V. Waves generated by unsteady body motion in stratified fluid// Proc. 15th Sci. and Methodol. Seminar on Ship Hydrodynamics. Varna: BSHC. 1986. V.l. P.27-1 - 27-7.

24. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн//Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. Т.2Г. М.: ВИНИТИ. 1987. С.93-179.

25. Стурова И.В. Плоская задача Коши-Пуассона для двухслойной жидкости с неровным дном//Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып.84. С.106-115.

26. Стурова И.В. Движение кругового цилиндра в стратифицированной жидкости с неровным дном//Тез.докладов Всес.конф."Проблемы стратифицированных течений". Саласпилс. 1988. T.I. C.I3I-I34.

27. Протопопов Б.Е., Стурова И.В. Генерация плоских поверхностных волн при наличии малой неровности дна//ПМТФ. 1989. N I. С.125-133.

28. Стурова И.В. Численные расчеты в задачах генерации плос- . ких поверхностных волн//Препринт/ВЦ СО АН СССР. Красноярск. 1990. N5. 48 с.

29. Стурова И.В. Рассеяние внутренних волн, вызванных движущимся телом, на периодических донных неровностях//Изв. АН СССР. ФАО. 1990. Т.26. N 7. С.755-762.

30. Коробкин A.A., Стурова И.В. Генерация поверхностных и внутренних волн в жидкости переменной глубины//Методы гидрофизических исследований. Материалы III Всес. школы. Н.Новгород. 1990. C.I6I-I79.

31. Стурова И.В. Влияние регулярного волнения на погруженное тело, движущееся в стратифицированной жидкости//Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. Новосибирск. 1992. T.I. N 3. С.263-269.

32. Стурова И.В. Рассеяние поверхностных и внутренних волн на погруженном теле//Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. Новосибирск. 1993. Т.2. N 4. С.30-45.

33. Стурова И.В. Влияние внутренних волн на гидродинамические характеристики погруженного тела//Изв. РАН. ФАО. 1993. Т.29. N 6. С.732-738.

34. Лотфуллип М.В., Стурова И.В., Филиппов С.И. Гидродинамическое воздействие на контур, обтекаемый равномерным потоком двухслойной жидкости//Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. Новосибирск (».почати) ■ А Я ЭЧ , Т. 3. /У -/ О S "US'.

35. Стурова И.В. Влияние аномальных дисперсионных зависимос-

тей на рассеяние и генерацию внутренних волн//ПМГФ. 1994. N 3. С.47-53.

36. Сгурова И.В. Плоская задача о гидродинамической качке погруженного тела без хода в двухслойной жидкости//Изв. РАН. MKT. 1994. N 3. С. 144-155.

37. Сгурова И.В. Плоская задача о гидродинамической качке погруженного тела при наличии хода в двухслойной жидкости//ПШ"Ф

Подписано к печати 3! .Cb.ù-i г. Тираж 100 экз. Формат бумаги 60x84/16. Объем 1,6 уч.-изд. л.

Заказ N215

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, I