Влияние плотностной стратификации и вязкости на структуру и устойчивость внутренних волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Искажающее воздействие тонкой стратификации на внутренние волны в невязкой жидкости

§ I.Iv Постановка задачи и описание гидродинамической модели.

§ 1.2. Свободные внутренние волны

§ 1.3. Внутренние волны, генерируемые периодическими по времени атмосферными возмущениями

§ 1.4. Вынужденные стационарные внутренние волны в потоке со сдвигом скорости

§ 1,5. Резонансное возбуждение слабонелинейных внутренних волн системой поверхностных давлений

Глава П. Искажающее воздействие тонкой стратификации на внутренние волны в вязкой жидкости

§ 2iT. Основные уравнения и методы решения.

§ 2,2, Затухание свободных внутренних гравитационных волн.

§ 2.3. Внутренние волны, генерируемые атмосферными возмущениями

Глава Ш. Влияние плотностной стратификации и вязкости на устойчивость внутренних волн

§ 3.1. Постановка задачи и вывод исходных уравнений

§ 3.2. Достаточные критерии устойчивости волновых возмущений ••.•

§ 3.3. Устойчивость внутренних волн в плоскопараллельных турбулентных течениях

Внутренние гравитационные волны наблюдаются в Мировом океане фактически повсеместно и играют важную роль в его динамических процессах, таких как общая циркуляция вод, вертикальный и горизонтальный обмен,' формирование гидрофизических полей и т.д. Интерес к проблеме распространения внутренних волн постоянно возрастает, что объясняется большим практическим значением исследований волновых движений в толще океана для гидроакустики, гидробиологии, подводного мореплавания, строительства гидротехнических сооружений и решения ряда важных прикладных задач.

Известно, что основным фактором, обусловливающим существование внутренних волн, является устойчивая плотностная стратификация, которая может иметь сложную структуру. В последнее десятилетие развитие технических средств сделало возможным проведение детальных измерений гидрологических характеристик морской среды, что позволило получить более точное представление о вертикальном распределении плотности в океане. В связи с этим возникает вопрос, существенно ли влияет тонкая структура на внутренние волны и когда при анализе волнового движения можно ограничиться более грубыми измерениями температуры и солености ? Чтобы ответить на этот вопрос, очевидно, необходимо изучить искажающее воздействие тонкой стратификации на внутренние волны.

Отметим, что значительная доля исследований, посвященных тонкой вертикальной структуре океана, направлена на изучение той роли, которую играют внутренние волны при ее формировании [15, 24, 50, 58, 75, 87, 90, 107, II6-II8] . Данные исследования тесно связаны с анализом влияния самой тонкой структуры на поле внутренних волн [39, 40, 45, 47, 48, 57, 104, 109] . В настоящее время на основе экспериментальных данных удалось найти некоторые оценки размеров мелкомасштабных не однородно стей, имеющих характер стратификации [47, 116] • Эти оценки, в свою очередь, позволили теоретически проанализировать поле свободных внутренних волн с учетом тонкой структуры [17, 44, 79] .

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию влияния вязкости и сложной вертикальной шютностной структуры океана на свободные и вынужденные внутренние волны. Цель работы состоит в установлении физических закономерностей, связывающих характеристики поля внутренних волн с параметрами стратификации и турбулентной вязкости. Исследования проводятся аналити-ко-чи еле иными, методами, позволяющими в рамках ряда сравнительно простых гидродинамических моделей океана оценивать или рассчитывать элементы внутренних волн.

Диссертация состоит из трех глав, введения и заключения.

В первой главе в рамках модели идеальной жидкости изучается влияние сложной плотно стной стратификации на свободные и вынужденные внутренние волны, генерируемые атмосферными возмущениями.

В § I.I дается описание постановки задачи и приводится линеаризованная система исходных уравнений с граничными условиями. Рассматриваются модели стратификации с осредненным распределением плотности в сезонном пикноклине и модели, содержащие в пикно-клине элементы тонкой структуры. Искажающее воздействие тонкой структуры на поле внутренних волн определяется в процессе сравнения характеристик волновых движений, происходящих при осред-ненной и тонкой стратификациях.

Во втором параграфе изучаются зависимости элементов свободных внутренних гравитационных волн от параметров тонкой структуры. Линеаризованная система уравнений с граничными условиями сводится к задаче Коши. Эта задача решается численно методом

Рунге-Кутта [I] . Показано, что тонкая стратификация может оказывать существенное влияние на дисперсионные зависимости и вертикальную структуру мод внутренних волн. Проанализировано воздействие дошгеровского сдвига частоты на искажения, вызываемые тонкой структурой,

Б § 1,3 в рамках линейной теории исследуются внутренние волны, генерируемые периодическими по времени атмосферными возмущениями. С помощью преобразования Фурье получено решение в интегральной форме. Проведен численный анализ незатухающей части волнового движения. Показано, что искажающее воздействие тонкой стратификации пикноклина на амплитуды внутренних волн проявляется по всей глубине океана. В зависимости от периода колебаний тонкая структура может как увеличивать, так и уменьшать в несколько раз амплитуды волновых возмущений.

Четвертый параграф посвящен анализу стационарных внутренних волн, генерируемых полосой атмосферных возмущений в потоке с вертикальным сдвигом скорости. Решение находится в интегральной форме, затем с помощью теории вычетов и метода Рунге-Кутта проводится численный анализ незатухающей части волнового движения. Предполагается, что вариации поля скорости течения выражены значительно слабее, чем вариации поля шютности [75] . Установлено, что тонкая стратификация может более чем на порядок изменять амплитуды внутренних волн. Причем с увеличением среднего по глубине градиента скорости течения искажающее воздействие тонкой структуры усиливается.

В заключительном пятом параграфе первой главы рассматривается процесс генерации слабонелинейных внутренних волн периодическими перемещающимися (бегущими) волнами атмосферных возмущений. Проводится исследование нелинейного взаимодействия внутренних волн и анализируется влияние тонкой вертикальной структуры поля плотности на нелинейные резонансы /l-то рода ( /I = 2, 3, 4, .). Показано, что тонкая стратификация может оказывать существенное воздействие на нелинейный механизм резонансного возбуждения внутренних волн.

Во второй главе диссертации в рамках линейной теории изучается влияние тонкой стратификации на диссипацию внутренних волн. Исследования проводятся с учетом турбулентной вязкости и диффузии плотности. Искажающее воздействие сложной плотностной структуры определяется так же, как и в первой главе, т.е. путем сравнения кинематических характеристик волнового движения при осред-ненной и тонкой стратификациях.

В первой части § 2,1 приводится обзор литературы и дается описание постановки задачи. Во второй части параграфа излагается схема асимптотического метода решения четырехточечной краевой задачи, полученной из исходной системы уравнений и граничных условий в результате разделения переменных. Асимптотический метод Вишика-Люстерника [13] позволяет свести эту задачу к двухточечной, которая затем решается численно с помощью метода Рунге-Кутта.

Во втором параграфе изучается затухание свободных внутренних гравитационных волн. Влияние тонкой стратификации определяется в зависимости от соотношений между коэффициентами турбулентной вязкости и диффузии плотности. Найдены асимптотические выражения, позволяющие оценить воздействие тонкой структуры на величину декрементов внутренних волн и режим затухания волнового движения. На конкретных примерах показано, что искажения, обусловленные тонкой стратификацией, могут приводить как к значительным количественным, так и к качественным изменениям волнового процесса.

Третий параграф посвящен исследованию вынужденных внутренных волн, генерируемых атмосферными воздействиями* Анализируется влияние вертикальной структуры поля плотности на внутренние волны, возбуждаемые монохроматической волной атмосферных возмущений. Учет турбулентной вязкости приводит к "ликвидации" резонансных эффектов и позволяет оценить воздействие тонкой стратификации на максимально возможные значения амплитуд внутренних волн.

Рассматривается влияние вертикальной плотностной структуры на генерацию внутренних волн фжуктуациями атмосферного давления, представленными в интегральной форме. Показано, что искажающее воздействие тонкой стратификации проявляется в виде резкого уменьшения энергии внутренних волн в верхнем квазиоднородном слое (по сравнению со случаем осредненного пикноклина).

Б третьей главе изучается влияние шютностной стратификации, турбулентного обмена и вращения Земли на устойчивость внутренних волн в параллельных течениях, имеющих вертикальный сдвиг скорости. Учет турбулентной вязкости позволяет исследовать распространение волновых возмущений, когда величина числа Ричардсона не превышает 0,25. Влияние вертикальной структуры поля плотности на устойчивость внутренних волн определяется в результате анализа воздействия плотностной стратификации на турбулентный обмен [46] .

В первой части § 3.1 приводится обзор литературы и дается описание постановки задачи. Во второй части на основе уравнений, широко используемых в физике моря, излагается квазиламинарный подход к проблеме устойчивости малых, но конечных волновых возмущений [16, 77] . Исследование сводится к анализу системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых является аналогом уравнения Орра-Зоммерфельда.

В § 312 найдены достаточные критерии, позволяющие определять области устойчивости внутренних волн на плоскости горизонтальных волновых чисел. Получены также оценки показателей скорости роста неустойчивых возмущений (т.е. оценки инкрементов).

Анализируется влияние вращения Земли на устойчивость внутренних волн. Для случая, когда параметром Кориолиса можно пренебречь, доказаны аналоги некоторых теорем линейной теории гидродинамической устойчивости.

В последнем параграфе третьей главы для плоскопараллельного течения проводится апробация критериев, найденных во втором параграфе. В зависимости от структуры плотностной стратификации и масштаба турбулентности рассматриваются различные турбулентные режимы. Численные расчеты выполняются как дня модельной стратификации, так и в случае профиля частоты Вяйсяля-Брента, характерного для экваториальной зоны Тихого океана. Полученные результаты сравниваются с оценкой Майлса-Ховарда.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы;

- 117 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Исследовано искажающее воздействие тонкой стратификации на свободные внутренние волны в невязкой жидкости. Показано,что степень этого воздействия существенно зависит от расположения и характеристик слабо стратифицированных и сильно стратифицированных слоев (ламин и листов соответственно). Установлено, что изменения, вносимые тонкой стратификацией в дисперсионные зависимости и вертикальную структуру мод внутренних волн, увеличиваются с ростом номера моды ft . При наличии постоянного по глубине потока частотные искажения, обусловленные тонкой структурой, с увеличением номера И сначала возрастают, а затем, начиная с некоторого значения /7=/?^ , могут убывать.

2. Для модели идеальной жидкости в рамках линейной теории проведено исследование внутренних волн, генерируемых полосой атмосферных возмущений, при осредненной стратификации и в случае тонкой структуры. В результате сравнения полученных результатов установлено, что искажающее воздействие тонкой стратификации пикноклина на амплитуды внутренних волн имеет место по всей глубине океана. Тонкая структура может в два-три раза, а при наличии стационарного потока с вертикальным сдвигом скорости даже более чем на порядок, изменять величины амплитуд; с увеличением среднего по глубине градиента скорости течения влияние тонкой стратификации усиливается.

3. Установлено, что аномальные эффекты в дисперсионных зависимостях, обусловленные тонкой стратификацией, могут существенно воздействовать на процесс резонансного возбуждения слабонелинейных внутренних волн периодически перемещающимися (бегу

- 118 щими) волнами атмосферных возмущений. Тонкая стратификация изменяет механизм нелинейного волнового воздействия и число резонансно возбуждаемых внутренних мод. Наиболее сильное влияние наблюдается в случае, когда периоды и длины волн атмосферных возмущений совпадают на дисперсионных кривых с зонами резкого изменения групповой скорости внутренних волн.

4. Проведено исследование диссипации свободных внутренних волн с учетом вертикальной и горизонтальной турбулентной вязкости, а также горизонтальной диффузии плотности. Тонкая стратификация может как увеличивать, так и уменьшать в несколько раз (по сравнению с осредненной) величины декрементов внутренних волн. Причем эти искажения усиливаются с нарастанием номера моды.

Воздействие тонкой структуры проявляется также в изменении режима затухания волнового процесса. При осредненной и тонкой стратификации может существовать различное число колебательных внутренних мод. Установлено, что наиболее значительным количественным изменениям подвержены декременты "медленного" апериодического режима.

Полученные асимптотическим методом формулы позволяют выявить существенную зависимость декрементов внутренних волн от вертикальных масштабов плотностных неоднородностей (листов), содержащихся в пикноклине. Возможны случаи, когда уменьшение толщины листов приводит к изменению величин декрементов низших внутренних мод почти вдвое, но при этом практически не сказывается на их кинематических характеристиках: длине волны, периоде колебаний, вертикальных профилях компонент скорости.

5. Показано, что искажающее воздействие тонкой стратификации на процесс затухания внутренних волн во многом зависит от соотношений мевду коэффициентами турбулентной вязкости и диффузии плотности. Для случая, когда величины коэффициентов горизонтальной вязкости и диффузии II^ на несколько порядков превышают значения переменного по глубине коэффициента вертикальной вязкости flyCD , определены условия, реализация которых приводит к тому, что структура пикноклина практически не влияет на декременты колебательного режима и в то же время заметно изменяет периоды внутренних волн. Если flL , И^ , й^* - величины одного поряцка, то, например, для низших мод процесс сужения листов в пикноклине может вызывать обратные эффекты (см. п. 4).

6. В рамках линейной теории с учетом турбулентной вязкости проведено исследование влияния вертикальной структуры плотности на внутренние волны, генерируемые атмосферными возмущениями.

Проанализировано искажающее воздействие тонкой стратификации на резонансное возбуждение внутренних волн монохроматической волной атмосферных давлений. Показано, что тонкая стратификация при значениях параметров, близких к резонансным (для модели идеальной жидкости), уменьшает максимально возможные значения компонент скорости волнового возмущения. Перемены в структуре пикноклина вызывают сдвиг резонансных частот и приводят к изменению числа резонансно возбуждаемых внутренних мод. Вследствие этих искажений могут возникать такие ситуации, когда при одной и той же фазовой скорости возмущающих давлений для осредненной и тонкой стратификаций будут генерироваться внутренние волны, различные по амплитуде и номеру моды.

7. Исследовано влияние вертикальной структуры плотности на эффективность генерации внутренних волн флуктуациями атмосферного давления; представленными в интегральной форме. Установлено, что искажающее воздействие тонкой стратификации пикноклина можно ожидать в виде резкого уменьшения энергии внутренних волн в верхнем квазиоднородном слое. Как показали расчеты, это объясняется значительным уменьшением максимума горизонтальной компоненты скорости в случае тонкой стратификации (по сравнению с осредненной), которое на амплитудно-частотном спектре имеет место для области основных энергонесущих частот, соответствующих первым внутренним модам. Так, амплитуда горизонтальной скорости в приповерхностном слое может уменьшаться более чем в десять раз.

8. В рамках линейной теории изучено влияние плотностной стратификации, турбулентного обмена и вращения Земли на устойчивость внутренних волн в течениях, имеющих вертикальный сдвиг скорости. Для случая, когда вращением можно пренебречь, доказаны аналоги некоторых теорем линейной теории гидродинамической устойчивости (в частности, доказан аналог теоремы Сквайра).

Из уравнений, широко используемых в физике моря, найдены достаточные критерии устойчивости внутренних волн для произвольных вертикальных профилей зональных и меридиональных составляющих скорости стационарного течения U0(Z) , ; частоты Вяйсяля-Брента Nq(Z) ; коэффициентов вертикального и горизонтального турбулентного обмена /JH(Z) , (z) . Получены оценки показателей скорости роста (инкрементов) неустойчивых возмущений.

9. Разработана методика, позволяющая в отличие от критерия Майлса-Ховарда определить область устойчивости внутренних волн на плоскости горизонтальных волновых чисел и связать длину волны с масштабом турбулентности. Учет турбулентной вязкости дает возможность проанализировать устойчивость волновых возмущений, когда величина числа Ричардсона не превышает 0,25. В то же время предлагаемая схема исследований является более сложной, чем методика применения критерия Майлса-Ховарда, поскольку при ее использовании помимо стандартных гидрологических характеристик необходимо еще иметь информацию о турбулентном режиме изучаемого района океана.

Дальнейшее теоретическое исследование проблемы, изучаемой в диссертационной работе, целесообразно,по-видимому,проводить в следующих направлениях.

1. Изучение нелинейных процессов, связанных с обрушением внутренних волн и образованием тонкой стратификации.

2. Исследование искажающего влияния тонкой вертикальной структуры течений на элементы внутренних волн.

3. Анализ распространения внутренних волн с учетом вертикальной и горизонтальной неоднородности поля плотности.

4. Изучение влияния плотностной стратификации на глобальную устойчивость внутренних волн.

Основное содержание диссертации изложено в работах [23, 43, 60-71] .

Материалы диссертации докладывались на Всесоюзных совещаниях соисполнителей и участников Межведомственного проекта "Волна" (г.Севастополь, 1981, 1983), на У Всесоюзной школе: "Автоматизация научных исследований морей и океанов" (п.Ласпи, 1980), на научном семинаре Л0 ГОЙНа (г.Ленинград, 1980), на конференциях молодых ученых института гидромеханики АН УССР (г.Киев, 1981) и ЛГМИ (г.Ленинград, 1981), на УШ Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (г.Львов, 1981), на региональной научной конференции по теории волновых движений жидкости (г.Таганрог, 1981), на П Всесоюзном съезде океанологов (г.Ялта, 1982), на семинарах отдела теории волн и теоретическом семинаре МШ АН УССР (Севастополь, 1984).

Полученные результаты были использованы при выполнении ряда плановых научно-исследовательских работ в МГИ АН УССР.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность научному руководителю, профессору Черкесову Леониду Васильевичу,за постоянное внимание к работе.

1. Агеев М;И., Алик В.П., Галис P.M., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов I б - 50 б. М., "Сов, радио", 1975, 176 с.

2. Бабий М.В. Распространение длинных волн в многослойной вращающейся жидкости над неровным дном. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1975, № I, с. 70-77.

3. Баренблатт Г.И. Динамика турбулентных пятен и интрузии в устойчиво-стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР, ФАО, 1978, т. 14, В 2, с* 195-206.

4. Беляев B.C., Лозовацкий И.Д., Озмидов Р.В. О связи параметров мелкомасштабной турбулентности с локальными условиями стратификации в океане. Изв. АН СССР, ФАО, 1975, т. II, В 7,с. 718-725.

5. Беляев B.C., Гезенцвей А.Н. О сдвиговой неустойчивости внутренних волн в океане. Изв. АН СССР, ФАО, 1978, т. 14, № 6, с. 648-655.

6. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М;, "Мир", 1971, 352 с.

7. Борисенко Ю.Д. Возбуждение внутренних волн в двухслойной жидкости бегущей системой давлений. Изв. АН СССР, ФАО, 1975, т. II, & 6, с. 660-663.

8. Бреховских Л.М., Гончаров В.В., Куртепов В.М.,Наугольных К.А. О резонансном возбуждении внутренней волны при нелинейном взаимодействии поверхностных волн. Изв. АН СССР, ФАО, 1972, т. 8, № 2, с. 192-203.

9. Букатов А.Е. О внутренних волнах в непрерывно стратифицированном океане. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1971, В 6, с. 26-36.

10. Букатов А.Е. О влиянии горизонтальной диффузии плотности на внутренние волны. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1975, $ 4, с. 61-67.

11. Букатов А.Е., Черкесов Л.В. 0 внутренних волнах от периодических возмущений. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1970, Л 4, с. 49-54.

12. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., "Мир", 1968, 464 с.

13. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и не самосопряженных дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, I960, т. 15, $ 3, с. 3-80.

14. Воронович А.Г. Резонансные трехволновые взаимодействия внутренних волн. Океанология, 1975, т. 10, вып. 5, сь* 773-780.

15. Воронович А.Г., Леонов А.И., Миропольский Ю;3. К теории образования тонкой структуры гидрофизических полей в океане.-Океанология, 1976, т. II, вып. 5, с. 490-497.

16. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск, "Наука", 1977, 368 с.

17. Гончаров В.В. О некоторых особенностях внутренних волн в океане. В кн.: Цунами и внутренние волны. Севастополь, изд. МГИ АН УССР, 1976, с. 87-96.

18. Гришин Г.А., Ефимов В.В. О влиянии вязкости на внутренние волны, генерируемые возмущениями атмосферного давления. -Изв. АН СССР, ОАО, 1976, т. 12, $ 2, с. 176-185.

19. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М., "Мир", 1981, 640 с.

20. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Л.:, Гидрометеоиздат, 1976, 108 с.

21. Доценко С.Ф. О структуре волнового движения в потоке при произвольном изменении плотности по глубине. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1973, $3, с.32-41.

22. Доценко С.Ф., Черкесов Л.В-. О влиянии непрерывного изменения плотности жидкости на волны, генерируемые движущимися поверхностными давлениями. Изв. АН СССР; МЖГ, £ 6, с. 55-62.

23. Дыкман В.З., Пантелеев Н.А. О связи тонкой структуры в океане с внутренними волнами и турбулентностью. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1977, с. 132-147.

24. Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1975, 3, с. 96-109.

25. Задорожный А.И. Исследование влияния вязкости на поверхности и внутренние гравитационные волны в океане. Кандидатская диссертация, РТУ, Ростов-на-Дону, 1980, 185 с.

26. Задорожный А.И., Хартиев С.М., Черкесов Л.В. О влиянии вязкости на вынужденные волны в непрерывно стратифицированном море; В кн.-: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, изд. МГИ АН УССР, 1978, с. I78-I9I.

27. Задорожный А.И., Хартиев С.М. Длинные внутренние волны в непрерывно стратифицированной вязкой жидкости, вызванные колебаниями атмосферного давления. В сб.: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, изд. МГИ АН УССР, 1979, с. 153-162.

28. Зайцев А.А. К вопросу о возбуждении внутренних волн колебаниями атмосферного давления, Океанология, 1975, т, 15, вып. 2, с. 213-217,

29. Каменкович В.М. О нормальных колебаниях многослойной вращающейся жидкости. Изв. АН СССР, ФАО, 1967, т. 3, Л 3,с. 284-290.

30. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л., Гидрометеоиздат, 1973, 240 с.

31. Коротаев Г.К., Пантелеев Н.А. Экспериментальные исследования гидродинамической неустойчивости в океане. Океанология, 1977, т. 17, вып. 6, с. 490-497.

32. Краусс В. Внутренние волны. Л.1, Гидрометеоиздат, 1968, 272с.

33. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане, т. I. М., "Мир", 1981, 480 с.

34. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане, т. 2. М., "Мир", 1981, 368 с.36; Леонов А.И., Миропольский Ю.З., Тамсалу Р.Э. О расчёте тонкой структуры полей плотности и скорости (на примере Балтийского моря). Океанология, 1977, т. 17, вып.З, с.1 389-393.

35. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М., ИЛ, 1958, 194 с.

36. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы. Л., Гидрометеоиздат, 1977, 296 с.

37. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л., Гидрометеоиздат, 1981, 304 с.

38. Миропольский Ю.З., Филюшкин Б.Н. Некоторые статистические характеристики колебаний изотерм в море при наличии внутренних волн. В кн.: Внутренние волны в океане. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 90-П8.

39. Монин А.С., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность.-!., Гид-рометеоиздат, 1981, 320 с.

40. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. М., "Наука", 1967, 720 с.

41. Мордашев В.И., Хартиев С.М., "Черкесов JT.B. Искажающее влияние тонкой стратификащи на свободные и вынужденные внутренние волны. В сб. тезисов докладов ГЕ Всесоюзного съезда океанологов. Вып. 2. Физика и химия океана. Севастополь, 1982, с. 10-11.

42. Навроцкий В.В. Внутренние волны и тонкая структура в океане. ДАН СССР, 1976, т. 231, В 5, с. 87-96.

43. Навроцкий В.В. Внутренние волны и вертикальная структура температуры воды в океане. В сб.: Особенности структурыи динамики вод Тихого океана. Владивосток, изд. ДНЦ АН СССР, 1976, с. I0I-II7.

44. Озмидов Р.В. Горизонтальная турбулентность и турбулентный обмен в океане. М., "Наука", 1968, 200 с.

45. Океанология. Физика океана. М., "Наука", 1978, т. X, 456 с.

46. Островский 1.А. 0 кластерном характере дисперсии внутренних волн в океане с периодической вертикальной структурой. -Изв. АН СССР, ФАО, 1977, т. 13, В 7, с. 783-785.

47. Отчёт экспедиции 20-го рейса НИС "Академик Вернадский". -Научные фонды МШ АН УССР, инв. № 2638. Севастополь, 1979.

48. Пантелеев Н.А., Моисеев Г.А., Киселёва О.А. Временная изменчивость тонкой термической структуры в верхнем слое океана. Океанология, 1983, т. 23, вы. I, с. 68-73.

49. Романов В.А^ Устойчивость плоскопараллельного течения Куэт-та. Функциональный анализ и его приложение, 1973, 7, J£ 2, с. 62-73.

50. Санников В.Ф., Черкесов I.B. 0 развитии пространственных внутренних волн, генерируемых движущимися возмущениями, -Морские гидрофизические исследования, Севастополь, 1977, № 3, с. 5-18,

51. Стурова И.В; 0 сравнении поведения внутренних волн в жидкости о непрерывной и ступенчатой стратификацией, В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Новосибирск, 1982, вып. 56, с. I44-I5I.

52. Суворов А.М,, Черкесов JT.B, Стационарные поверхностные и внутренние волны от барических возмущений в потоке со сдвигом скорости. Морские гидрофизические исследования. Севастополь, 1977, 3, с. 19-27.

53. Суворов A.M., Черкесов JI.B. Волны от поверхностных возмущений в потоке стратифицированной жидкости со сдвигом скорости. В кн.: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, изд. МГИ АН УССР, 1979, с. 129-138.

54. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М., "Мир", 1977, 432 с.

55. Фёдоров К.Н. Внутренние волны и вертикальная термохалинная микроструктура океана. В кн.: Внутренние волны в океане. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 90-118.

56. Фёдоров К.Н, Тонкая термохалинная структура вод океана, JT,, Гидрометеоиздат, 1976, 184 с.

57. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л., Гидрометеоиздат, 1980, 320 с.

58. Хартиев С;М. Исследование влияния тонкой структуры на внутренние волны. В сб. тезисов докладов У Всесоюзной школы: Автоматизация научных исследований морей и океанов. Севастополь, изд, МЕИ АН УССР, 1980, с. 313-314.

59. Хартиев С.М., Черкесов Л.В. Исследование влияния вертикальной структуры плотности на внутренние волны. В кн.: Теоретические и экспериментальные исследования поверхностных и внутренних волн. Севастополь, изд. МГИ АН УССР, 1980, с.143-150.

60. Хартиев С.М., Черкесов Л. В. Исследование влияния вертикальной структуры плотности на диссипацию внутренних волн. -Морские гидрофизические исследования. Севастополь-, 1980,3, с. 7-15.

61. Хартиев С.М. Влияние тонкой стратификации на резонансное возбуждение внутренних волн. В ши: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, изд. МИ АН УССР, 1981, с.62-69.

62. Хартиев С.М. Влияние вязкости на устойчивость внутренних волн в стратифицированных течениях. В кн.: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, изд. МГИ АН УССР, 1981, с. I2I-I26.

63. Хартиев С.М., Черкесов Л.В. Влияние тонкой стратификации на проявление внутренних волн-, генерируемых поверхностными возмущениями. В кн.: Теория океанических процессов. Севастополь, изд.- МЕИ АН УССР, 1981, с. 70-74.

64. Хартиев С.М. Исследование влияния вертикальной структуры плотности и течений на внутренние волны, генерируемые поверхностными возмущениями* В кн.: Теоретическое моделирование волновых процессов в океане. Севастополь, изд. МШ АН УССР, 1982, с. 79-84.

65. Хартиев С;М., Черкесов Л;В. Влияние вязкости жидкости и силы Кориолиса на устойчивость внутренних волн. Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, № 3, с. 61-65.

66. Хартиев С.М. Влияние турбулентного обмена и плотностной стратификации на устойчивость внутренних волн. В кн.: Теоретические исследования волновых процессов в океане. Севастополь, изд. МШ АН УССР, 1983, с. 83-90.

67. Черкесов Л.В. Поверхностные и внутренние волны. К.,"Наукова думка", 1973, 248 с.

68. Черкесов JI.B. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. К., "Наукова думка", 1976 , 364 с.

69. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. К., "Наукова думка", 1980, 260 с.

70. Щрира В.И. О генерации тонкой структуры пакетами внутренних волн. В сб. тезисов докладов П Всесоюзного съезда океанологов. Вып. 2. Шизика и химия океана. Севастополь, 1982,с. 16-17.

71. Эккарт К. Внутренние волны в океане. В кн.: Внутренние волны. М., "Мир", 1964, с. 95-115.

72. Dore B.D. Viscous damping of small amplitude waves in non-homogeneous fluid of infinite deps. Deep-Sea Res., 1968, v. 15, N 5, p. 259-266.

73. Dore B.D. The decay of oscillations of a non-homogeneous fluid within a container. Proc. of the Cambr. Phil. Soc., 1969, v. 65, N 1, p. 501-507.

74. Dore B.D. Forced vertical oscillations in a viscous stratified fluid. Proc. of the Cambr. Phil. Soc., 1969t v. 66, N 5, p. 617-627.

75. Dore B.D. Internal wave motion in a non-homogeneous viscous fluid of variable depth. Proc. of the Cambr. Phil. Soc., 1971, v. 70, N 1, p. 157-167.

76. Dore B.D. Wave-induced vorticity in free-surface boundary layers: application to the theory of mass transport inedge waves. J. Fluid Mech., 1975, v. 70, pt. 2, p. 257-266.

77. Dore B.D. Double boundary layers in standing interfacial waves. J. Fluid Mech., 1976, v. 76, pt. 4, p. 769-779.

78. Friedman J.P. Propagation of internal gravity waves in a thermally stratified atmosphere. J. Geophys. Res., 1966, v. 71, N 4, p. 1055-Ю54.

79. Garret G., Munk W. Oceanic mixing by breaking internal waves.-Deep-Sea Res., 1972, v. 19, N12, p. 825-852.

80. Gordon D., Stevenson T.N. Viscous effects in a vertically propagating internal waves. J. Fluid Mech., 1972, v. 56, pt. 4, p. 629-640.

81. Gordon D., Element U.R., Stevenson T.N. A viscous internal wave in a stratified fluid whouse buoyancy frequency varies with altitude.-J. Fluid Mech., 1975, v. 69, pt.3, p.615-624.

82. Gregg M.O., Briscoe M.G. Internal waves, fine structure, microstructure and mixing in the ocean. Reviews of Geophys. and Space Physics, 1979, v. 17, N 7, p. 1524-1548.

83. Howard L.N. Note on a paper of John Miles. J. Fluid Mech., 1961, v. 10, pt. 4, p. 509-512.

84. Hyun J.M. Internal wave dispersion in deep oceans calculatedby means of two-variable expansion techniques. J. Oceanogr. Soc. Jap., 1976, v. 52, N 1, p. 16-22.

85. Jones I.S.F., Bruzzone F. An oceanographic Richardson number probe. Deep-Sea Res., 1981, v. 28A, N 5, p. 507-519.

86. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part 1. J. Fluid Mech., 1968, v. 33, pt. 3, p. 617-621.

87. Kraichnan R.H. Internal-ranges in two-dimensional turbulence.-Phys. Fluids, 1967, v. 10, N 7, p. 1417-1428.

88. Kraichnan R.H. Statistical dynamics of two-dimensional flow.-J. Fluid Mech., 1975, v. 67, pt. 1, p. 155-17597. Krauss W. Interne Wellen in einem exponentiell geschichteten

89. Leaman K.D., Sanford Т.В. Vertical energy propagation of internal waves: a vector spectral analysis of velocity profiles. J. Geophys. Res., 1975» v. 80, N 15, p. 1975-1978.

90. Le Blond P.H. On the damping of internal gravity waves in a continiously stratified ocean. J. Fluid Meek., 1966, v. 25, pt. 1, p. 121-142.

91. Le Blond P.H. Internal waves in a fluid of finite Prandtl number. Geoph. Fluid Dyn., 1970, v. 1, N J, p. 371-376.

92. Malkus W.V.R. Outline of a theory of turbulent shear flow.-J. Fluid Mech., 1956, v. 1, pt. 3, p. 521-539.

93. McCorman R.E., Mysajfc It.A. Internal waves in a randomly stratified fluid. Geophys. Fluid Dyn., 1973» v. 4, N 3, p. 243-266.

94. Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flows. -J. Fluid Mech., 1961, v. 10, pt. 4, p. 496-508.

95. Morawets C.S. The eigenvalues of some stability problems involving viscosity. J. Rational Mech. and Anal., 1952, v. 1, p. 579-603.

96. Sanford QJ.W. Observations of the vertical structure of internal waves. J. Geophys. Res., 1975, v. 80, IT 27, p. 3861-3871

97. Squire H.B. On the stability of three-dimensional disturbances of viscous flow between parallel walls. Proc. Roy. Soc., London, 1933, v. A142, p. 621-628.

98. Synge J.L. Bydrodynamic stability. Semi-centennial publications Amer. Math. Soc., 1938, v. 2, p. 227-269.

99. Thomas N.H., Stevenson Т.К. An internal wave in a viscous ocean stratified both by salt and heat, J. Fluid Mech., 1973, v. 61, pt. 2, p. 301-304.

100. Thomas N.H., Stevenson T.N. A similarity solution for viscous internal waves.-J. Fluid Mech., 1972, v.54, pt.3, p.493-506.

101. Thorpe S.A. On wave interaction in a stratified fluid. J. Fluid Mech., 1966, v. 24, pt. 4, p. 737-751.

102. Woods J.D. Wave-induced shear instability in the summer ther-mocline. J. Fluid Mech., 1968, v. 32, pt. 4, p. 791-800.

103. Woods J.D. Diurnal behaviour of the summer thermocline off Malta. Dt. hydrogr. Z., 1968, B. 21, H 5, S. 106-108.

104. Woods J.D., Wiley R.L. Billow turbulence and ocean micro-structure. Deep-Sea Res., 1972, v. 19, N 1, p. 87-121.

105. Yanovitch M. Gravity waves in a heterogeneous incompressible fluid. Communs on Pure and Appl. Math., 1962, v. 15, N 1, p. 45-52.

106. Yih O.S. Stratified flows. Annual Rev. Fluid Mech., Palo Also, Calif, USA, 1969, v. 1, p. 73-110.