Проблемы устойчивости вибрационных течений стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Хеннер Михаил Викторович

ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ ВИБРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: — доктор физико-математических наук, профессор Д.В.Любимов.

Пермь - 1998

1 ВВЕДЕНИЕ 10

1.1 Проблема устойчивости течений стратифицированной жидкости в вибрационном поле..........................................10

1.2 Обзор литературы......................................................14

1.2.1 Течения двуслойных жидкостей, устойчивость поверхности раздела и волны......................................16

1.2.2 Течения непрерывно стратифицированных жидкостей

и их вибрационная устойчивость..........................24

1.3 Краткое содержание работы........................................25

2 УСТОЙЧИВОСТЬ ИНДУЦИРОВАННОГО ВИБРАЦИЯМИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ - 28

2.1 Постановка задачи......................................28

2.2 Предельный случай отсутствия молекулярной диффузии . . 30

2.2.1 Модель идеальной жидкости. Конечные частоты вибраций ............................................................30

2.2.2 Предел высоких частот......................................37

2.3 Высокочастотное вязкое и диффузионное демпфирование . 40

2.4 Заключение ..............................................................56

3 ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ СТРАТИФИКАЦИИ: УСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВИБРАЦИЙ 57

3.1 Постановка задачи......................................................57

3.2 Приближение идеальных жидкостей........................59

3.2.1 Основное течение и задача линейной устойчивости . 60

3.2.2 Сведение к уравнению Матье ............... 62

3.2.3 Вязкое демпфирование.................... 64

3.3 Линейная задача устойчивости для вязких жидкостей .... 68

3.3.1 Основное течение и устойчивость........................69

3.3.2 Результаты численных расчетов..........................73

3.4 Слабонелинейный анализ длинноволновой неустойчивости в рамках приближения высоких частот вибраций................75

3.5 Заключение ............................... 86

4 ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЧИСЛЕННЫМ РЕШЕНИЕМ КРАЕВЫХ И НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 87

4.1 Метод сведения краевой задачи к задаче Коши........ 87

4.2 Процедура численного решения спектрально-амплитудной краевой задачи на ЭВМ с параллельными процессорами .... 92

5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 100

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Обозначения, общие для всех Глав диссертации

ь характерный гидродинамический размер

кинематическая вязкость

V динамическая вязкость

6 толщина вязких скин-слоев

со частота вибраций

а амплитуда вибраций

X, 2 координатные оси

V давление

9 ускорение свободного падения

7 единичный вектор вдоль оси г

—* единичный вектор вдоль оси х

£ волновой вектор

к толщина слоя

V скорость

t время

а коэффициент поверхностного натяжения

г = уравнение поверхности

п единичный вектор нормали к поверхности

А декремент возмущений

* 1 * верхний и нижний индексы, обозначающие выделенные значения

параметров задачи

с? сгй нижние индексы, обозначающие критические значения

параметров задачи

ГЛАВА 1

Я параметр надкритичности р, д параметры уравнения Матье 7 коэффициент линейного трения Н безразмерная полутолщина слоя В безразмерная амплитуда скорости вибраций р отношение плотностей

верхний индекс, обозначающий дифференцирование по времени

ГЛАВА 2

Обозначения, общие для всех Частей этой Главы

С(г,£) концентрация примеси

I) коэффициент диффузии

о нижний индекс, обозначающий переменную, относящуюся к

основному состоянию гд параметр стратификации

верхний индекс, обозначающий дифференцирование по £

Часть 1

Т(1 характерное диффузионное время т0 время наблюдения Т период вибраций

Часть 2.1

V скорость

и = (и, 0, к;) попе возмущений скорости

А = а/к безразмерная амплитуда вибраций

а, - д/№)

Я, Ш Лагранжевы переменные

р плотность смеси

5 = £1п Ро

п нижний индекс, нумерующий Фурье - гармоники

Часть 2.2

II средняя скорость

Ь = аси амплитуда скорости вибраций

V амплитуда пульсационной скорости

и, т = (и>,0,д) возмущения квазиравновесного состояния р плотность смеси

М = А2/С0 = а2и2/(дК)

Часть 3

р плотность смеси

q диффузионный поток

V объем

5 = In р

т = cot "быстрое" время

ф функция тока плоских возмущений поля пульсационной скорости

В = a2Lü2h2/(pD) вибрационный параметр

Ga = glß/v2 число Галилея

Pd = p/D диффузионное число Прандтля

Gd =gh*/(yD)

fo перепад плотностей р = -In fo ( ) знак осреднения

верхний индекс, обозначающий пульсации х, z нижние индексы, обозначающие дифференцирование по соответствующей переменной

ГЛАВА 3

Обозначения, общие для всех Частей этой Главы

й = (м,0, w), w = (u>,0, q) возмущения основного состояния

ß нижний индекс, нумерующий слои (ß = 1,2)

Часть 1

6 = ajL безразмерная амплитуда вибраций

Часть 2

II скорости слоев в основном состоянии

ф угол между векторами ] ,к

У(1) = £(£) ехр (-г'Ф(£)), где Ф(£) - периодическая функция

(5, А параметры уравнения Матье для У

Ь = (а/ (д (р1 - Р2)))1//2 капиллярная постоянная

1Уе = ии2Ь/д число Вебера

р = р1/р2 отношение плотностей

Щ = Нх/Ь, Щ = Нъ/Ь безразмерные толщины слоев

Вь = 0.25а2си2 ((/?! - /92)/(да))1^2 = 0.25б2И/е вибрационный параметр

„ нижний индекс, нумерующий области параметрической неустойчивости

Л декремент затухания при малых вязких собственных колебаниях

[.х] скачок величины х на поверхности раздела

В детерминант системы линейных однородных алгебраических

уравнений

б малый параметр

у =г VI/щ отношение вязкостей

и — ¡г/^2 (рХ3)""1^4 "вязкий" параметр

Часть 3

А = а/Н безразмерная амплитуда вибраций = д/^)

0,р = Ь^и/ур безразмерные частоты вибраций }¥е = р^и1 ¡а число Вебера р = Рч/Р\ отношение плотностей

Часть 4

Ф, Ф функции тока для плоских возмущений основного состояния р — рх/рч отношение плотностей

В = 0.25а2ш2 ((/>! - р%)/(да))1/2 вибрационный параметр

Н\, безразмерные толщины слоев е малый параметр

г параметр над(под)критичности

£) потенциальная энергия деформации поверхности раздела нижний индекс, обозначающий дифференцирование по х

ГЛАВА 4

М номер частного решения

В детерминант системы линейных однородных алгебраических

уравнений у трансформированные функции 6^1 символ Кронекера (Л номер трансформированного решения Т\ время исполнения программы на одном процессоре Тт время исполнения программы на т процессорах 5 = Тх/Тщ эффективность параллельного алгоритма

Ключевые слова: неоднородные гидродинамические системы, плотностная стратификация, вибрации, диффузия, устойчивость, поверхности раздела, параметрический резонанс, численное моделирование, параллельные алгоритмы.

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Проблема устойчивости течений стратифицированной жидкости в вибрационном поле

Под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой (плотность, теплоемкость, динамическая вязкость и др.) в основном (стационарном или квазистационарном) состоянии меняются лишь вдоль некоторого выделенного направления. Иначе говоря, в основном состоянии физические характеристики жидкости являются функциями лишь одной пространственной переменной. Стратификация жидкости может быть вызвана различными физическими причинами; наиболее часто встречающейся из них является сила тяжести. Эта сила создает в жидкости такое распределение ее частиц, растворенных в ней солей и взвешенных суспензий, при котором возникает неоднородность жидкости вдоль направления гравитационного поля. Такая неоднородность называется плотностной стратификацией. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные наблюдения, оказывает наиболее существенное влияние по сравнению с другими видами стратификации на динамические свойства жидкости, на процессы распространения в ней волновых движений. Вследствие этого при рассмотрении волновых движений в стратифицированной жидкости обычно пренебрегают всеми видами стратификации, кроме плотностной, и под стратифицированной жидкостью понимают жидкость с плотностной стратификацией. В дальнейшем мы также будем придерживаться этой общепринятой тер-

минологии.

Если физическая система, состоящая из вязкой жидкости, находится в попе силы тяжести и не подвергается какому-либо другому внешнему воздействию, то она стремится к состоянию покоя, характеризующемуся, в частности, тем, что плотность жидкости убывает вверх от нижней стенки (дна) сосуда, т.е. появляется стратификация. Как известно, при подчинении такой системы внешнему воздействию, например, вибрациям, состояние механического равновесия, вообще говоря, становится неустойчивым. В диссертации рассмотрен один частный но, тем не менее, важный случай вибрационного воздействия на жидкость, а именно, рассматриваются линейно-поляризованные вибрации вдоль направления, нормального к градиенту плотности. Вибрации такой ориентации напрямую возбуждают движение в жидкости, давая возможность быстрого развития неустойчивости.

Вибрации индуцируют некоторое (в общем случае нестационарное) течение, обладающее, однако простой структурой. Это состояние будем называть в дальнейшем основным состоянием, или состоянием квазиравновесия. Пусть интенсивность внешнего воздействия на систему характеризуется параметром Я. Тогда, начиная с некоторого критического значения Я*, состояние квазиравновесия становится неустойчивым, уступая место регулярному движению. Регулярность движения сохраняется при небольших надкритических значениях параметра К. При достаточно больших Я движение становиться очень сложным, нерегулярным и хаотическим, т.е. возникает турбулентность.

Все эти явления зависят, разумеется, от размеров и формы полости, в которой находится стратифицированная жидкость, от свойств самой жидкости и других факторов.

По своей сути исследование эволюции системы от состояния механического (квази)равновесия к хаотическому поведению сводится к описанию процесса, согласно которому по мере увеличения управляющего параметра системы одни решения теряют устойчивость и переходят в другие. Для достижения этой цели обычно используются три основных типа анализа: линейный, слабо-нелинейный (локальный) и сильно-нелинейный (глобальный).

В рамках линейной теории критические значения управляющего параметра, при которых происходит смена устойчивости исследуемого решения, могут быть установлены на основе анализа линеаризованных уравнений для возмущений основного стационарного или нестационарного состояний. При этом рассматриваются лишь бесконечно малые возмущения, для которых применимы линеаризованные уравнения. Критерии линейной теории могут дать лишь достаточное условие потери устойчивости, так как течение, которое по линейной теории является устойчивым, может в действительности оказаться неустойчивым относительно возмущений конечной величины.

Следующим этапом исследования свойств устойчивости различных состояний системы является слабо-нелинейный или локальный анализ. Так как, вообще говоря, течение, устойчивое согласно линейной теории, вовсе необязательно будет устойчивым, то для понимания основных физических особенностей неустойчивости таких течений требуется анализ нелинейной задачи. Суть слабо-нелинейного анализа заключается в том, что решения, параметр, а иногда и оператор дифференцирования по времени разлагаются вблизи точки бифуркации, выявленной в результате линейного анализа, в ряды по малому параметру, который может иметь смысл надкритичности, амплитуды решения и т.д. Метод и его результаты яв-

ляются локальными, поскольку они ограничены малыми амплитудами и дают информацию о ветвлении решений лишь вблизи рассматриваемой точки бифуркации.

Наконец, полную информацию о глобальной устойчивости того или иного решения можно получить в рамках сильно-нелинейной теории, в которой рассматриваются полные нестационарные нелинейные уравнения. Как правило, расчеты развитых конвективных движений требуют применения численных методов. Способы решения уравнений в частных производных могут быть достаточно разными. Наиболее употребительным является конечно-разностный метод, когда система уравнений в частных производных сводится к системе алгебраических уравнений. Для решения же последней существуют высокоэффективные численные методы.

Целью диссертационной работы является изучение с помощью вышеуказанных методов вибрационной неустойчивости квазиравновесия и надкритических движений в случаях, когда

- жидкость непрерывно стратифицирована;

- имеются два не смешивающихся слоя жидкости с разными физическими свойствами.

Следует отметить, что случай 2 нельзя получить из случая 1 простым предельным переходом от непрерывного к разрывному распределению плотности, так как появление поверхности раздела между жидкими слоями влечет за собой необходимость учитывать эффекты, связанные с наличием поверхностного натяжения.

В последние годы в связи с бурным развитием вычислительной техники и созданием мощных ЭВМ на основе кластеров быстродействующих процессоров, способных выполнять вычисления намного эффективнее компьютеров, оснащенных единственным (пусть далее достаточно мощным)

процессором, появилась возможность численного эксперимента в классе сложных многомодовых задач теории гидродинамической устойчивости. Создание работоспособного численного алгоритма для "параллельного" компьютера имеет свои специфические особенности и эта область деятельности является достаточно новой. Между тем, специалисты сходятся во мнении, что именно за параллельными вычислениями будущее вычислительной гидродинамики и именно поэтому теория и практика этих вычислений активно культивируются в мировых вычислительных центрах. Эти надежды базируются на том, что большинству физических моделей присущ внутренний "параллелизм" и поэтому "параллельный" алгоритм их расчета кажется наиболее естесственным. В Пгаве 4 этой диссертационной работы излагается процедура реализации одного из методов решения спектрально-амплитудных краевых задач теории гидродинамической устойчивости (метод сведения к задаче Коши) на ЭВМ типа "Компьютер с Распределенной Памятью, или Distributed Memory Computer" с "параллельными" процессорами. "Параллельные" компьютеры этого типа в настоящее время получили наибольшее распространение ввиду их относительно простой архитектуры и дешевизны, гибкости и приспособляемости к нуждам конкретных пользователей.

В следующем параграфе дается обзор работ, имеющих прямое отношение к теме диссертации.

1.2 Обзор литературы

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике, а также проблемами охраны и изучения окружающей среды и рядом дру-

гих задач значительно возрос интерес к изучению динамики волновых движений различных неоднородных и, в частности, стратифицированных жидкостей. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникаюших здесь проблем.

Конечно, для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой стратифицированных жидкостей, необходимо исходить из достаточно развитых нелинейных моделей, для полного исследования которых применимы лишь численные методы, основанные на использовании современных электронно-вычислительных машин. Однако в ряде случаев первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических (а также полуаналитических) методов их исследования. Оказывается, чти в этом отношении весьма характерны задачи динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам. Это определяет наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам [6, 7].

Многообразие течений стратифицированной жидкости можно разделить на 2 класса: течения двуслойных (в общем случае - многослойных) жидкостей и течения непрерывно стратифицированных жидкостей. К течениям 1го класса с успехом применимы аналитические методы исследования. Примером может служить задача, рассмотренная в Гяаве 3 диссертации.

1.2.1 Течения двуслойных жидкостей,

устойчивость поверхности раздела и волны

Двуслойные и многослойные гидродинамические системы находят применение во многих физических и технологических процессах. В качестве примера можно привести, скажем, прослойку жидкости, облегчающую течение нефти по трубопроводу, или несколько жидких пленок, наслае-ваемых одна на другую при изготовлении фотопленки. Неустойчивость поверхности раздела между жидкими слоями может оказать серьезное влияние на эти процессы и привести, например, к уменьшению перепада давления в трубопроводе или к плохому качеству фотопленки.