Проблемы устойчивостивибрационных течений стратиграфицирования жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Хеннер Михаил Викторович

ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ ВИБРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Перыского государственного упи-1 верситета

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор Д.В.Любимов.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор П.Г.Фрак (Институт механикв сплошных сред РАН)

кандидат физико - математических наук, доцент А.А.Черепанов (Пермский государственный университет)

Ведущая организация - Пермский государственный педагогический университет

ционного совета Д-063.59.03 в Пермском государственном университете (г. Пермь, ГСП, 614600, ул. Букирева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Псрмского государственного универ ситета.

Защита состоится

часов на заседании диссерта-

Автореферат разослан

1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д-063.59.03

кандидат физико-математически--------

доцент

Г.И.Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике, а также проблемами охраны и изучения окружающей среды и рядом других задач значительно возрос интерес к изучению динамики волновых движепий различных неоднородных и, в частности, стратифи-цировашшх жидкостей. Этот интерес обусловлен пе только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем. Даже в рамках линейных моделей математические постановки задач динамики стратифицированных жидкостей весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам. Это определяет наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам. Вибрадиопные воздействия относятся к числу самых распространенных факторов, оказывающих влияние на поведение неоднородных гидродинамических систем. Вибрации могут быть следствиями внешних причин, или могут сознательно использоваться с целью управления технологическими процессами.

Целью работы являлось изучение устойчивости плоских течений сильно стратифицированной жидкости под действием гармонических вибраций вдоль направления, нормаль-того к градиенту плотности. Вибрации такой ориентации напрямую возбуждают движение ) жидкости, давая возможность быстрого развития неустойчивости.

Научная новизна работы состоит в аналитическом и численном исследовании ряда тдач вибрационной устойчивости стратифицированных по плотности гидродинамических :истем:

Решена задача устойчивости индуцированного вибрациями цлоскопараллельного зам-щутого течения бинарной смеси с большими пеоднородностями плотности, вызванными из-генениями концентрации. Рассмотрение ироведепо как в рамках приближения высоких [астот вибраций, так и при конечных частотах вибраций в рамках модели идеальной жид-:ости. Предложена модель, учитывающая диссипативные процессы в смеси, а именно мо-екулярную диффузию и вязкость. В рамках этой линейной модели исследована структура ритических возмущений.

Изучен предельный случай стратификации - устойчивость поверхности раздела двух есмешивающихся жидкостей в поле касательных вибраций. Интенсивные исследования бластей устойчивости проведены в рамках модели идеальных жидкостей при конечных астотах вибраций. Построена феноменологическая модель, учитывающая диссипативные ффекты обусловленные вязким трепием. Результаты, предсказываемые асимптотической

теорией, сравнивались с результатами численного расчета полных линеаризованных "вязких" уравнений. Проведен слабонелинейный анализ длинноволновой поверхностной моды неустойчивости в рамках приближения высоких частот вибраций.

Предложена эффективная процедура численного решения краевых задач теории гидродинамической устойчивости на мощной ЭВМ с "параллельными" процессорами.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением теоретических предсказаний с экспериментальными данными других авторов, с точными решениями в пределышх случаях, с известными теориями в области их применимости н прямыми численными расчетами.

Научная и практическая значимость. Полученные теоретические и численные результаты углубляют понимапие явлений в стратифицированных средах при вибрационных воздействиях, расширяют представления о возможных механизмах неустойчивости непрерывно стратифицированных и слоистых течений. Разработанные методы и результаты исследований могут быть использованы при решении технологических проблем (создание высокочистых материалов, космические технологии).

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3-9] и докладывались па II Международной Школе по механике сплошных сред (Пермь, 1997); IV международной конференции "Parallel Computing Technologies" (Ярославль, 1997); Meeting of the European Network "Dynamics of Multiphase Flows across Interfaces" (Wavre, Belgium, 1997).

Личный вклад автора. Полученные результаты обсуждались с научным руководителем - д.ф.-м.н. Д.В.Любимовым, совместно с которым написаны и опубликованы все печатные работы автора по теме диссертации. Соавтором Д.В.Любимова и М.В.Хсннера в работе [3] является М.М.Шоц, в работе [5] - С.В.Шкляев и В.Roux (IRPHE, Marseille, France).

Структура работы и объем. Диссертация состоит из введения (Глава 1), трех глав, содержащих результаты исследований автора, перечня основных выводов (Глава 5), двух приложений и списка литературы. Работа содержит 29 рисунков, 2 таблицы и 53 ссылки па литературные источники. Общий объем диссертации - 112 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 2. Устойчивость индуцированного вибрациями плоскопараллельного течения стратифицированной жидкости

Глава посвящена изучению воздействия гармонических вибраций на течение непрерывно

стратифицированной жидкости. Рассмотрение ведется нак при конечных частотах вибраций, в рамках модели идеальной жидкости, так и в приближении высоких частот вибраций без учета и с учетом диссипации.

В Части 2.1 ставится задача устойчивости плоскопараллельпого течения бинарной смеси с большими цсоднородностями плотности, вызванными изменениями концентрации растворенного вещества. Смесь находится в плоском горизонтальном слое, совершающем гармонические колебания в горизонтальном направлении. Температура смеси считается постоянной.

Перенос вещества в движущейся жидкости обусловлен двумя совершенно различными механизмами. Во-первых, при наличии разности концентраций в жидкости возникает молекулярная диффузия; во-вторых, частицы вещества, растворенного в жидкости, увлекаются последней в процессе ее движения и переносятся вместе с ней. Молекулярная диффузия является необратимым процессом, поэтому с пей, как и с вязкостью и теплопроводностью, связана диссипация энергии. Напротив, конвективпый перенос вещества (механическое перемешивание) есть процесс обратимый и диссипацией эпергии не сопровождается [2].

В Части 2.2 исследуется предельный случай отсутствия диссипации (молекулярной диффузии и вязкости).

В параграфе 2.2.1 исследуется вибрационная устойчивость в рамках модели идеальной жидкости при конечных частотах вибраций. Иными словами, период вибраций Г предполагается малым по сравнению с временем вязкого затухания, но сравнимым с периодами тех мод собственных колебаний, которые соответствуют внутренним гравитационным волнам, а характерное диффузиоппое время т^ предполагается большим по сравнению с периодом вибраций и временем наблюдения т0.

Основному состоянию соответствует плоскопараллелыгое замкнутое течение с распределением скорости

V0 = j ^гаш ^—— l^j exp (iwt) + к.с.^ , Ci = const. (1)

Распределение плотности в основном состоянии выбирается линейным:

^'>0, ,<2)>0. (2)

Здесь 1С - частота вибраций, а - амплитуда, j - единичный вектор вдоль осп х вибраций, г -координата поперек слоя, h - толщина слоя. Начало коордипат выбрано на нижней границе слоя.

Система линеаризованных около решения (1), (2) дифференциальных уравнений и граничных условий для малых плоских нормальных возмущений и = (и, О, tu), р, р в безразмерных переменных имеет (после исключения давления и продольной компоненты и скорости) вид

Ро ~ АУоф + AVoiv^ + р'0 - AV0w + + (3)

= ikG0A~xp + p cos t, ф = w — k2w

^ + ikAVoP = ~Aw^, p0(z) = l+r0(l-z), r0 = W- W

z = 0, 1 : w = 0. (5)

Здесь штрихом обозначается дифференцирование по координате г, к - волновое число, А = а/г-1 - безразмерная амплитуда вибраций, G„ = g/(hu2), r0 - параметр стратификации.

Непрерывные по времени произвольные возмущения w, р аппроксимируются конечными отрезками ряда Фурье:

N N

w(z,t) = ^ ш„(г)ехр(ini), p{z,t) = ^^ pn(z)cxp(int),

где индекс п может принимать как целые, так и полуцелые значения. Для "целых" и "полуцелых" амплитуд wn(z), pn(z) возмущений получаются две независимые линейные двухточечные краевые задачи, допускающие сведение к задачам Коши с начальными условиями.

"Целые" возмущения имеют период вдевшего воздействия в отличие от "полуцелых", которые имеют период, равный удвоенному периоду внешнего воздействия [12].

Задача Коши решается числепно пошаговым интегрированием, используется метод Адам-са. Имеет место многоуровневая монотонная неустойчивость течения, сопровождающаяся параметрической неустойчивостью (последняя имеет место в узком интервале амплитуд вибраций), при этом все нарастающие возмущения имеют "целый" тип. Нарастающие возмущения "полуцелого" типа в данной задаче численным счетом обнаружены не были.

Показывается, что параметрическая неустойчивость связапа с резонансной накачкой энергии во внутренние гравитационные волны, подробно иелледуется влияние параметров задачи на устойчивость состояния (1), (2).

В параграфе 2.2.2 исследуется вибрационная устойчивость в рамках приближения высоких частот вибраций, когда возможно эффективное расщепление задачи на быструю пуль-сацпопную и усредненную части (см., например, [10]).

Формулируется задача линейной устойчивости состояния квазиравповесия (характеризующегося отсутствием средней скорости и линейным распределением плотности) относительно малых нормальных плоских возмущепий и результаты численных расчетов сравниваются с результатами расчетов, полученных в рамках модели идеальной жидкости. При высоких частотах вибраций обнаружено хорошее согласие результатов обеих подходов.

В Части 2.3 в рамках приближения высоких частот вибраций исследуется влияние молекулярной диффузии и вязкости на устойчивость вибрационного течения смеси. Считается, что неоднородности плотности, вызванпые изменениями концентрации смеси вследствие конвективной диффузии, не малы. При этом, вообще говоря, следует учитывать сжимаемость и при произвольном законе состояния р = р(С), где С - концентрация легкой компоненты, возникает проблема согласования уравнения, выражающего закон сохранения полной массы смеси в полости

— = — р div v (б)

at

и граничных условий. Вводится искусственное уравнение состояния

р = , р. = const >0, /3 = const > 0, (7)

1 + р С

не находящееся в противоречии с уравнением (6) и обычным условием непротекания

Ч = 0 (8)

для скорости на ограничивающей полость поверхности s (п - вектор нормали к ограничивающей поверхности). Уравнение состояния (7) имеет простой физический смысл: постоянство объема, приходящегося на каждую молекулу вне зависимости от ее окружения.

Замкнутая система непротиворечивых гидродинамических уравпепий, учитывающих диссипацию, имеет следующий вид:

^ + (vV)v = exp (-S)(-Vp 4- т/ДгЗ) — д~/, (9)

Щ + (vV)S = DAS = - div v. (10)

Здесь S(r,t) - натуральный логарифм плотности, D - коэффициент диффузии, 7 - единичный вектор вдоль оси z, остальные обозначения обычны.

Все поля представляются в виде суперпозиции медленной и быстрой (пульсационной) частей и после осреднения по быстрому времени г = u>t, получается задача

1 1

" + (uV)u+ -V2VS = - (-Vp+ т,Аи) - дъ (11)

ut 4 р

Ц -+- (иУ)5 = £Д5 = - Ли и, (12)

<1Ь V = 0, (13)

го«(рУ) = О, р = ехр (5). (14)

Здесь и - средняя скорость, р - средняя плотность, р - среднее давление, V - амплитуда пульсационпой скорости.

Задача (И) - (11) допускает квазиравновесное решение, в котором средняя скорость отсутствует, а плотпость является функцией вертикальной координаты:

и = 0, 50 = — /.¿2 = сопз1(1), р0 = ехр (-/¿г), // = — 1п г0, г0 = /9О(1)/яо(0), (15)

Й> = (ад.О.О), ОД = с-2ех р(/1г),

где константа Сг определяется из условия замкнутости, г0 - перепад плотностей.

Линеаризованные около квазиравновесного решения (15) безразмерные уравнения для малых возмущений, зависящих от времени посредством множителя ехр (М), имеюг вид

А и + \вУ2 (У5 + 5У50) + \В{%У)У50 = - (-Ур + ДЙ) - С«^, (16) 4 2 ра

+ (иУ)50 = Д5 = - АЪ и, (17)

Ль- V = 0, (18)

гог№(^ + 54)) = 0, (19)

где и(г), У(г), р(г) - амплитуды возмущений, В = а2ш2Ь,2/{иВ) - параметр, ха-

рактеризующий интенсивность вибраций, = д/г3/(г/1)) = ва РСа — дЬ^/и2 - число Галилея, Р^ = ¡//Б - диффузионное число Прандтля. Изотропия задачи в горизонтальной плоскости позволяет ограничиться плоскими нормальными возмущениями и = (и, 0, т), V = {ф2, 0, —фх) [ф " функция тока; индекс означает дифференцирование по соответствующей переменной). В послсдпем соотношении учтено условие соленоидальности пульсационного поля скорости.

На твердых границах слоя ставятся обычные условия прилипания для поля средней скорости й, непрогекания для поля пульсационной скорости V, а также условие отсутствия возмущений потока вещества через границы:

г = 0, 1 : и = т = ф = 5г = 0. (20)

Представляются результаты расчетов спектрально - амплитудной задачи (16) - (20) с А — 0 (нейтральные кривые). Колебательная неустойчивость не была обнаружена. Расчеты

имеют целью проследить влияние диффузии на устойчивость квазиравновесия. Перепад плотностей г0 в квазиравновесном состоянии фиксируется равным 0.25 (плотность смеси у нижней границы слоя в четыре раза превышает плотность у верхней границы). Диссипация подавляет коротковолновую неустойчивость и наиболее опасными становятся плоские возмущения с конечной длиной волны. Показывается, что для жидкостей наиболее опасными являются возмущепия с очень короткой (но копечпой; к„ц 6 (100,200)) длиной волны. Исследуется структура наиболее опасных возмущений.

Глава 3. Предельный случай стратификации: устойчивость поверхности раздела двух несмешиваюгцихся жидкостей в поле касательных вибраций

Глава посвящепа изучению влияния гармонических вибраций па устойчивость поверхности раздела. Рассмотрение ведется при конечных частотах вибраций, как в рамках модели идеальной жидкости, так и па основе линеаризованных "вязких" уравнений. Рассматривается также феноменологическая "вязкая" модель. В рамках приближения высоких частот вибраций методами слабонелипейного анализа исследуется длинноволновая поверхностная мода неустойчивости.

В Части 3.1 дана постановка задачи.

В экспериментах Н.¡{.Безденежных [1] было обнаружено вознпкповепие неподвижного волнового рельефа па границе раздела двух несмешивагощихся жидкостей при горизонтальных вибрациях, причем возникновение рельефа носит пороговый характер. Волновой рельеф паблгодается лишь тогда, когда плотности жидкостей сравнимы; во всяком случае, на свободной поверхности оц це возникает.

Теоретическое описание этого явления было дапо в [11] в рамках высокочастотного приближения и процедуры осреднения. В этом предельном случае исчезает возможность описания параметрического резонанса и остается лишь основпая мода неустойчивости, связанная с развитием пез'стойчивости Кельвшга-Гельмгольца па границе встречных потоков.

Возможность параметрического резонанса возникает при отказе от предельного перехода (. —> 0 (с - безразмерная амплитуда вибраций). В Главе исследуется именно этот случай.

Рассматривается бесконечпый в горизонтальных направлепиях слой толщины Л = Лх + Л2, заполненный двумя песмешипающимися несжимаемыми жидкостями с плотностями р\ и р2 (р\ > /з2; индекс 1 отвечает нижнему слою, 2 - верхнему ). Слой совершает колебания в горизонтальном направлепии с частотой и> и амплитудой а.

В Части 3.2 исследуется вибрационная устойчивость поверхности раздела в рамках модели идеальной жидкости, то есть период вибрапий предполагается малым по сравнению с временем вязкого затухания, но сравнимым с капиллярно-гравитационными временами.

Основное состояние есть состояние, соответствующее недеформироваппой плоской поверхности раздела г — £(x,t) = 0 и плоскопараляельному замкнутому течению со скоростями слоев

т/ тт ~ ■ * г г Mil ~ Рг) 1Т ~ Рг) ,01s

VB = Ugjsmut, Ui=au}--—-, l}% = -«шт--г-. (21)

h\Pi + hip\ П\р2 + hiPi

Здесь индекс /3 = 1,2 нумерует жидкости, j - единичный вектор вдоль оси х вибраций. Начало координат выбрано па невозмущепдой границе слоев, z - координата поперек слоя.

Рассматривая малые нормальные плоские возмущения, линеаризуя около решения (21) и разделяя переменные, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравпеций и граничных условий для зависящих от времени амплитуд. Исключая из нее амплитуды скорости и давлепия, получаем стандартное уравнение Матье для функции Y(í) = £(í) exp (—¿Ф(<)) (í>(f) - периодическая вещественная функция времени):

iPY

— + (/!-Qcos2í)y = 0, (22)

at¿

4iU2 pcth(kHi)cth(kH2) (ffi + Hí)4p - 1 f Q~ Wt (pctA(kti¡) + ctk(kff2))2 [Hi+Ihpf ' fc( 1 + fc2) p- 1

Wc pcth(kHi) + cth(kHi)' L = (a/g(pi - р-г))ф, We = w2L/g, p = pl/p2, =

, f - -4 \ да J 4

Здесь в качестве единицы времени использована обратная частота вибраций, в качестве единицы длины - капиллярная постоянная L, We - число Вебера, параметр Д, характеризует интенсивность вибраций. Квадраты параметров Н\ и Н2 есть, фактически, числа Бонда, определенные по толщинам соответствующих слоев и разности плотностей.

С использованием известных результатов исследования областей параметрического резонанса для уравнения (22) строятся границы областей неустойчивости в терминах параметров Bv,k при различных значениях числа Вебера. Показывается, что уже при сколь угодно малой амплитуде вибраций имеет место параметрическая неустойчивость. С возрастанием частоты вибраций эта неустойчивость вытесняется в коротковолновую область, где она может эффективно подавляться вязкостью. На вид и положение границы пеустойчиво-сти Кельвина - Гельмгольца изменение частоты вибраций оказывает небольшое влияние.

Для приблишенпого учета диссипации затухание вводится прямо в уравнение (22) (феноменологическая модель):

iPY dY

— + A-jj- + {A-Q cos21 + ¿A6sini)y = 0. (23)

dl2 dt

В качестве коэффициента линейного трения А используется декремепт затухания \i(a,v) малых вязких собственных колебаний [2]; параметр Ъ па существенные результаты на влияет.

Исследуется влияние вязкости на порог устойчивости. Приводятся нейтральные кривые для различных значений "вязкого" параметра сг и параметра и, имеющего смысл отношения вязкосгей слоев. Показывается, что с увеличением значения "вязкого" параметра порог устойчивости повышается и что поверхность раздела более устойчива (при одинаковых толщинах слоев) если вязкость нияшей жидкости больше, чем вязкость верхней.

В Части 3.3 решается линейная задача устойчивости для вязких жидкостей. С целью упрощения задачи предполагается, что жидкие слоп имеют одинаковую толщину hi = hi = h.

Основпое состояпие, как и в задаче Части 3.2, есть состояние с плоской границей раздела £ = 0 и плоскопараллельным замкнутым течением. Задача для малых возмущений йр и рр

полей скорости и давлепия в безразмерных перемеппых имеет вид —

+ A{VpV)up + A(upV)Vp = -RpVP0 + Пр'Айр, (24)

div йр = 0, (25)

г - -1 : щ = 0; г = 1 : й2 = 0. (26)

г = 0 : Л"1 {—^Gai + IFe-'Af) Щ + [р]п; = (П^'Ч^ - HjV^K- (27)

'dV

(й] = -

dz

е, (28)

+ = (29)

Здесь скачок величины па поверхности раздела обозначается квадратными скобками; А = с/Г1; йр = = д/^ш2)] Ше = р2Ь3ш2/а-, р = р2\р\\ П\ = р и Н2 = 1. Таким

образом, всего в задаче имеется 6 параметров: безразмерная амплитуда А, две безразмерные частоты Пр, число число Вебера 1Уе и отношение плотностей р.

В Части 3.2 показывается, что справедлива теорема Сквайра. На этом осповании здесь рассматриваются только плоские нормальные возмущения.

Как и в Части 2.2, зависящие от времени поля аппроксимируются конечными отрезками ряда Фурье и в результате для каждого слоя получается двухточечная краевая задача в обыкновенных дифференциальных уравнениях для амплитуд возмущений, зависящих от поперечной координаты.

Представляются результаты численных расчетов. Обнаружены только "синхронные" нарастающие возмущения, то есть такие возмущения, период которых равен периоду внешнего вибрационного воздействия.

Обнаружено, что вязкость оказывает слабое влияние па неустойчивость Кельвина-Гельм-гольца, но сильно подавляет параметрическую неустойчивость, связанную с возбуждением капиллярно-гравитационных волн. Эти результаты находятся в качественном согласии с результатами феноменологической "вязкой" модели. С ростом безразмерной частоты вибраций критическая амплитуда уменьшается и параметрическая неустойчивость смещается в коротковолновую область, в полном согласии с результатами "невязкой" задачи. В случае сильно вязких жидкостей разница между параметрической и непараметрической неустойчивостью исчезает.

В Части 3.4 проводится слабонелинейный анализ длинноволновой неустойчивости в рамках приближения высоких частот вибраций. Выводится нелинейное уравнение

сЪ ( Я? + рЩ \ 2р(р - !)(//. + Н,У 3 (р - 1) а .

I1 " ЦрНг + Ъ)) + (рН2 + Н,Г ^ + ТнГПГ^ - с -сопзг■

для амплитуды £(х) отклонения поверхности раздела от плоской равновесной. Здесь р = Р1/Р2 - отношение плотностей, Н\, Н2- безразмерные толщины слоев, г - параметр над(под)-критичности.

Показывается, что данное уравнение имеет класс устойчивых квазистационарных со-литонных решений (то есть, под действием высокочастотных касательных вибраций поверхность раздела принимает форму пеподвижного солитона, граница которого совершает быстрые пульсации около среднего положения), что позволяет надеяться ца их обнаружение в эксперименте.

Глава 4. Вопросы, связанные с численным решением краевых и начальных задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

В Части 4.1 приводится описание численного метода, в качестве модели используется краевая задача из Части 2.3. Часть 4.2 посвящена процедуре реализации вышеупомянутого метода на ЭВМ с параллельными процессорами.

Процедура численпого решепия лппейной спектрально-амплитудной краевой задачи вкратце состоит в следующем. Как известно, краевую задачу всегда можно свести к задаче Коши. Для того, чтобы получить решение краевой задачи, система линейных обыкновенных дифференциальных уравпепий должна быть проинтегрирована п-ое число раз (п зависит от порядка системы) от левой грапицы области до правой, каждый раз с разным вектором начальных условий. Вектора начальных условий должны быть выбраны линейно-независимыми. Полученные в результате интегрирования решепия подставляются в условия на правой границе, формируя характеристический детерминант О, который является функцией волнового числа возмущений к и безразмерной амплитуды вибраций А. Значение А = Ас при котором В обращается в нуль (для фиксированного к) является критическим для пейтральной устойчивости. Для того, чтобы обратить П в нуль при А = Ас, к = кс, требуется повторить процедуру интегрирования необходимое число раз.

При интегрировании могут возникнуть трудности, связанные с наличием малых параметров при старших производных. Среди решений могут появиться осциллирующие и быстро растущие. Начальные условия обеспечивают линейную независимость четырех частных решений лишь на начальном участке интегрирования. В дальнейшем, однако, из-за наличия быстро растущего решения и ошибок округления линейпал независимость частных решений теряется - они становятся близкими пезависимо от начальных условий на левом конце. Это приводит к тому, что система однородных алгебраических уравпенпй оказывается плохо обусловленной и определить критические волновые числа не удается.

Для преодоленпя такого рода трудпостей С.К.Годуновым предложен метод ортогонали-зации. Суть метода состоит в том, что в процессе численпого интегрирования (например, на каждом шаге) делаются остановки, при которых восстанавливается линейная независимость решений.

Так как задачи, решаемые в Главах 2 и 3 диссертации, требуют большого объема машинных вычислепий, потребовалось увеличить эффективность описанного численного алгоритма за счет процедуры распараллеливания. Эффективностью параллельного алгоритма называется отношение 5 = 1\/Тт, где Т-у - время исполнения "последовательной" программы на одном процессоре, Гга - время исполнения "параллельпого" варианта этой же программы на т процессорах.

В основе предлагаемой "параллельной" процедуры лежит то обстоятельство, что требуемые на одно значепие характеристического детерминанта несколько интегрирований (каждое из которых проводится с "собсгвенпым" вектором начальных условий) могут быть проведены независимо. Несмотря на то, что необходимость проводить ортогонализацию ре-

шений существенно усложняет процедуру решения задачи и снижает эффективность (в основном потому, что увеличивается количество обменов информацией между процессорами, а также размер каждого сообщения), применение данной процедуры позволяет существенно сократить затраты машинного времени (в сравпеппи с однопроцессорным режимом) при численном решении спектрально - амплитудных задач (примерно в 1.8 раза при расчетах па двух процессорах).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Обнаружено, что в случае непрерывно стратифицированной по линейному закону идеальной жидкости вибрации приводят к возникновению многоуровневой коротковолновой неустойчивости. Кроме неустойчивости этого типа имеет место параметрическая неустойчивость, связанная с резонансной накачкой энергии во внутренние гравитационные волны. Этот тин неустойчивости характеризуется пулевым порогом возбуждения и имеет место в узких интервалах волновых чисел. Построена непротиворечивая модель, учитывающая диссинативные процессы (молекулярную диффузию и вязкость) в сильно неоднородной двухкомпонентной смеси. Показано, что включение диссипа-тивных механизмов позволяет стабилизировать коротковолновую неустойчивость. В рамках линейной теории исследована структура критических возмущений.

2. При переходе от непрерывной стратификации к разрывной, то есть при замене линейно стратифицированной жидкости системой двух несмешивающихся жидкостей с различными не слишком отличающимися плотностями появляется необходимость учитывать эффекты, связанпые с наличием поверхностного патяжения на поверхности раздела между жидкими слоями. Показано, что в случае идеальных жидкостей задача линейной устойчивости относительно плоских нормальных возмущений сводится к анализу уравнения Матье. Касательные вибрации порождают неустойчивость поверхности раздела жидкостей, связанную как с неустойчивостью Кельвина - Гельмголша на границе нестационарных встречных потоков, так и с параметрической раскачкой волн на поверхности раздела. Первый тип неустойчивости характеризуется конечпым порогом амплитуды возбуждения, в то время как для параметрической неустойчивости порог отсз'тствует. Однако, при достаточно высоких частотах вибраций параметрическая неустойчивость имеет место в узком интервале волновых чисел и, как следствие, сильно чувствительна к вязкому демпфированию. Из анализа длинноволновой поверхностной моды неустойчивости следует также, что высокочастотные вибрации могут

привести к деформации поверхности в виде неподвижного солитопа. В случае сильно вязких жидкостей разница между параметрической и непараметрической неустойчивостью исчезает.

3. Предложена и реализована эффективная численная процедура решения спектрально-амплитудных линейных задач гидродинамической устойчивости на мощных ЭВМ с параллельными процессорами. Применение данной процедуры позволяет сократить затраты машинного времепи (при расчетах на двух процессорах) примерно (в зависимости от конкретной задачи) в 1.8 раза по сравнению с однопроцессорным режимом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бездепежных, Н.К., Брискман, В.А., Любимов, Д.В., Черепанов, A.A., Шаров, М.Т. Управление устойчивостью поверхности раздела жидкостей с помощью вибраций, электрических и магнитных полей. В кн.: 3-й Всесоюзный семинар по гидромеханике и гпепло.чассобмепу в невесомости. Тез. доклад Черноголовка, 1984, стР■ ¡-8-20.

2. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Теоретическая Физика. Т. 6 Гидродинамика. М.: Наука, 3-е издание, 1986. 736 с.

3. Любимов, Д.В., Хеннер, М.В., Шоц, М.М. Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях. Изв. РАН, Механика жидкости и газа, 1998, N 3, стр. 25-31.

4. Любимов, Д.В., Хеннер, М.В. Об устойчивости поверхпости раздела жидкостей при касательных вибрациях. Тез. докл. II Международной Школы по механике сплошных сред, Пермь, 1997, с. 200.

5. Khcnner, M.V., Lyubimov, D.V., Roux, В., Shklyaev, S.V. The Appplication of Parallel Computations Technique to the Solution of Certain Hydrodynamic Stability Problems. Lccture Notes Сотр. Science, 1997, vol.1277, pp.40-4{.

6. Любимов, Д.В., Хеннер, M.B. О длинноволповой неустойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях. Сб. статей "Гидродинамика", Пермь, 1998, стр. 191 - 196.

7. Любимов, Д.В., Хеннер, М.В. Об устойчивости плоскопараллелыюго вибрационного течения неоднородной жидкости. Сб. статей "Гидродинамика", Пермь, 1998, стр. 197 - 207.

8. Khenner, M.V., Lyubimov, D.V., Belozerova, T.S., Roux, В. Stability of plane-parallel vibrational flow in a two-layer system. European Journal of Fluid Mechanics (принято к печати).

9. Любимов, Д.В., Хеднер, M.B. Об устойчивости вибрационного течения смеси. Изв. РАН, Механика жидкости и газа (принято к печати).

10. Любимов, Д.В., Черепанов, A.A. Влияние вязкости на структуру пульсационного поля скорости жидкости в вибрирующем сосуде. УрО АН СССР, Динамика вязкой жидкости, 1987, стр. 49-58.

11. Любимов, Д.В., Черепанов, A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. Механика жидкости и газа, N 6, 1986, стр. 8-13.

12. Найфе, А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 535 стр.

Подписано в печать 30.06.98. Формат 60 х 84^. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 351.

614600, г. Пермь, ул. Букирева, 15. Типография Пермского университета.