Влияние вибраций на гидродинамические системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г • л»

• .'! I- -■•! / 1

На правах рукописи

Черепанов Анатолий Александрович

ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИЙ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: РЕЗОНАНСЫ И ОСРЕДНЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь-2000

Работа выполнена на кафедре общей физики Пермского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор ф.-м.н., профессор Нестеров Сергей Владимирович

(Институт проблем механики РАН, Москва) доктор ф.-м.н., профессор Тарунин Евгений Леонидович

(Пермский государственный университет) доктор ф.-м.н., профессор Козлов Виктор Геннадьевич

(Пермский государственный педагогический университет).

Ведущая организация - Институт механики МГУ, Москва

диссертационного совета Д 063.59.03 в Пермском государственном университете

(Пермь, ГСП, 614600, ул. Букирева, 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан " ¿1 " 0\СЯЙ __ 2000 г.

Защита состоится

часов на заседании

Ученый секретарь

В Л^2>,3>Ц-{0.3

совета по защите диссертаций Д-063.59.03 кандидат физико-математических наук, доцент

Г.И.Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время поведение гидродинамических систем в ноле вибраций с разными параметрами вызывает пристальный интерес исследователей. Связан этот интерес, прежде всего, с широким спектром технических применений. Вибрации являются практически неизбежным спутником многих технологических процессов, поэтому важно знать, как влияют неконтролируемые вибрации на течения жидкостей и газов, поведение границы раздела сред, на устойчивость равновесных состояний. В то же время проблема влияния вибраций на неоднородные гидродинамические системы представляет большой интерес в теоретическом плане. В такого рода системах возникают необычные резонансные явления и, при высоких частотах вибраций, столь же необычные осредненные эффекты. Как показывают расчеты, контролируемые вибрации могут быть использованы для управления течениями и их устойчивостью. Поэтому тема работы интересна как с практической, так и с теоретической точки зрения.

Целью работы является теоретическое исследования влияния вибраций на поведение неоднородных гидродинамических систем. В работе исследуется: -параметрический резонанс, возникающий па поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей, при вертикальных колебаниях сосуда; -резонансные колебания капли под действием вибраций;

-подавление неустойчивости Рэлея-Тейлора вертикальными вибрациями, а также вращающимися электрическим и магнитным полями;

-рельеф, возникающий на поверхности раздела сред в поле вибраций круговой поляризации;

-осредненные течения, генерируемые вибрационным полем высокой частоты;

-изменение формы капли под действием вибраций различного характера;

-ориентирующее действие вибраций на твердые тела, взвешенные в жидкости;

-взаимодействие твердых тел в поле однородных и неоднородных вибраций.

Научная новизна результатов заключается в том, что впервые

- уточнен порог возбуждения ряби Фарадея, в том числе для поверхности раздела сред со сравнимыми вязкосгями и плотностями;

- построена нелинейная теория параметрических волн с последовательным учетом вязкости;

- разработана теория ряби Фарадея для частот вибраций, удовлетворяющих условию синхронизма;

- получены результаты по взаимодействию волн, возбуждаемых вибрационным и термокапиллярным механизмами;

- проведен расчет порога возбуждения параметрических волн на поверхности раздела сред в состоянии, близком к критическому;

- построена теория динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора;

- проведены теоретические расчеты по подавлению неустойчивости Рэлея-Тейлора вращающимися магнитным и электрическим полями;

получены результаты расчета рельефа, возникающего на поверхности раздела сред в поле горизонтальных вибраций круговой поляризации;

- найдены солитонные решения для указанного рельефа в области существования длинноволновой неустойчивости;

- построена теория вибрационной генерации осредненных течений вблизи поверхности раздела жидкостей;

- вычислен порог возбуждения волн при двухчастотном воздействии на плоскую поверхность раздела;

- проведен расчет вибрационного возбуждения параметрического резонанса для капли жидкости, окруженной средой другой плотности;

- определена средняя форма капли в поле высокочастотных линейных вибраций;

- получены результаты по определению средней формы капли в поле высокочастотных вибраций круговой поляризации;

- проведен расчет резонанса для капли под воздействием двух близких по частоте вибрационных воздействий;

- определены условия возбуждения рельефа и его развития на цилиндрической поверхности раздела сред при осевых вибрациях системы;

- вычислены средние моменты сил, действующих на твердое тело, окруженное вибрирующей жидкостью, обнаружено ориентирующее действие вибрации;

- определены силы взаимодействия тел, взвешенных в жидкости при однородных и неоднородных вибрациях;

- определены средние силы, действующие на каплю в поле неоднородных пульсаций и рассчитана ее средняя форма.

Достоверность полученных результатов обеспечивается следующими обстоятельствами:

Значительная часть задач, изученных в работе, тесно связана с экспериментом. Во всех этих задачах имеется хорошее согласие экспериментальных данных с результатами расчета автора. Применялись хорошо изученные и апробированные математические методы. В задачах, в которых рассматриваются случаи общего порядка, предельные переходы дают полное совпадение с результатами других авторов. Также хорошо результаты согласуются с результатами прямых численных расчетов, проведенных другими авторами.

Научная и практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что в ней получен рад новых результатов, которые, имеют общетеоретический интерес. Часть задач, решенных в работе, прямо инициирована разработчиками технологических и физических экспериментов, проводимых как в условиях орбитального полета, так и в лабораторных условиях. Кроме того, результаты расчетов автора применялись при планировании и интерпретации экспериментов, проводимых в Пермском государственном университете, Институте механики сплошных сред РАН и Пермском государственном педагогическом университете, а также использованы рядом научных организаций, в частности, Российским и Европейским космическими агентствами.

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации опубликовано 67 работ. Основное содержанке диссертации отражено в публикациях [1-38]. Результаты работы докладывались на IV Всесоюзном семинаре по электронной обработке материалов (Кишинев, 1975), IX Рижском совещании по магнитной гидродинамике (Рига, 1978), Первом (Москва, 1979), Втором (Пермь, 1981) и Третьем (Черноголовка, 1984) Всесоюзных семинарах по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, III-X Всесоюзных школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", V (Алма-Ата, 1981), VI (Ташкент, 1986) и VII (Москва, 1991) Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике, Второй (Москва, 1983) и Третьей (Светлогорск, 1989) Всесоюзных школах-семинарах "Методы гидрофизических исследований", XVffl Гагаринских научных чтениях по авиации и космонавтике (Москва, 1989), VI Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, Болгария, 1990), International Symposium on Hydromechanic and Heat/Mass Transfer in Microgravity (Perm-Moscow, 1991), Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (StPetersburg, 1997), ЮТАМ Symposium "Fluid Dynamics in Microgravity" (Bremen, 1991), International Symposium on Microgravity Science and Applications (Beijing, 1993), 3-

rd China-Japan Workshop on Microgravity Science (Xian, 1996), IX Eur. Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Physical Scicnces (Berlin, 1995), 2-nd (Warsaw, 1994) and 3-rd (Gottingen, 1997) European Fluid Mechanics Conferences, EUROMECH Colloquium "Waves in two-phase flows" (Istanbul, 1998), International Workshop "Non-Gravitational Mechanisms of Convection and Heat/Mass Transfer" (Zvenigorod, 1994), International 14 (Atlanta, 1994) and 16 (Lausanne, 2000) IMACS World Congress "Computational and Applied Mathematics", 3-rd International Conference on Multiphase Flow (Lyon, 1998), COSPAR-2000 (Warsaw, 2000) и ряде других Международных и Всесоюзных (Всероссийских) конференций. Кроме того, результаты работ по теме диссертации регулярно докладывались и обсуждались на Пермском городском гидродинамическом семинаре Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого.

Личный вклад автора. Работы [8], [10], [16-17] выполнены без соавторов, работа [15] выполнена совместно со студентом под руководством автора, в работах [9], [12], [14], [19], [21], [25], [29], [31], [35] автору принадлежит постановка задачи, выбор метода решения, аналитические расчеты проведены совместно с соавторами, в работах [1-3], [11], [37-38] автору принадлежат результаты аналитических расчетов. В работах [18], [20], [22], [24], [26], [30], [33] автору принадлежит выбор метода решения, аналитические расчеты проведены параллельно с соавторами, в работах [7], [27] автору принадлежат результаты аналитических расчетов нелинейной теории, в работах [5], [28], [32] автору принадлежат теоретические результаты, относящиеся к осевым вибрациям, в работах [13], [36] автору принадлежит вывод осреднеипых уравнений и граничных условий, анализ устойчивости проведен совместно с соавторами, в работе [34] автору принадлежат теоретические результаты, относящиеся к резонансным явлениям, в работе [6] автору принадлежит вывод общих аналитических формул для силы взаимодействия между цилиндрами, в работе [4] автор принимал участие в аналитических расчетах и обнаружил вибрационно-электрическую ана-

логша, в обзорной работе [23] автору принадлежит часть, относящаяся к поверхностям раздела.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы и содержит 379 страниц текста.

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, новизна и практическая ценность ее результатов, оценивается личный вклад автора в публикациях по теме работы, а также проводится краткий обзор литературы по теме диссертации.

Первая глава "Параметрический резонанс на плоской поверхности раздела жидкостей" содержит пять разделов. Первый раздел посвящен линейной теории параметрически возбуждаемых волн на свободной поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей со сравнимыми плотностями. Вертикальные колебания сосуда приводят к появлению на поверхности жидкости стоячих капиллярно-гравитационных: волн с частотой вдвое меньшей частоты колебаний сосуда. Для свободной поверхности жидкости, глубина которой велика по сравнению с длиной волны возбуждаемой ряби, линейную задачу устойчивости в частных производных удается свести к обыкновенному интегро-дифференциальному уравнению для амплитуды волны £:

Уравнение записано в безразмерном виде, 8, О. и ц - безразмерные вязкость, собственная частота капиллярно-гравитационных волн и амплитуда вибраций

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

-г)вхр (-&-)]

■йт. (1)

соответственно. Анализ уравнения (1) позволяет определить пороговое значение амплитуды скорости вибраций, при котором начинается возбуждение ряби Фарадея:

„ , 72у/2кг

асо<2ук--р— + ——¡7— + ..., (2)

СО'2 СО/2

при этом волновое число параметрических волн определяется частотой колебаний сосуда:

е+к , Л 6у2к4 ,

—г-=1 + 2л/2—р---^—+3\/2—5"г- + — (3)

® а»« ®/2

В приведенных формулах а - амплитуда вибраций, 2 со - их частота, остальные обозначения стандартные. Учет конечной плотности и вязкости более легкой жидкости приводит к заметному повышению порога возбуждения волн, для поверхности раздела сред вместо (2) для порогового значения амплитуды скорости вибраций имеем

р2^уг) ¿ур{р^у\ + р2 у г 2) Первое слагаемое б правой части (4) исчезает для свободной поверхности жидкости, но даже для столь разных по плотности сред как вода и воздух оно составляет 8-10% от второго, для сравнимых же по плотности и вязкости сред оно становится определяющим. В реальных экспериментах воздух всегда присутствует, поэтому при вычислении порога возбуждения волн следует учитывать его влияние.

Линейная теория не может определить амплитуду волны, поэтому во втором разделе главы строится нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн на поверхности вязкой жидкости. Расчет ведется методом разложения по степеням малого параметра, пропорционального амплитуде волны, кроме того, рассматриваются среды с малой вязкостью. Нелинейное взаимодействие порождает генерацию более высоких гармоник, так что стоячая волна имеет довольно сложную структуру:

С = 4jalcosfí + —Icosfoc + ^ H sia2rcos2fcx + ^ H coslkx. (5) b 11 V 4J 2k -l 4k +1

Характерной особенностью данной структуры является наличие не зависящего от времени слагаемого, что приводит к асимметрии пиков и впадин стоячей волны. Кроме того, из (5) видно, что при & = V2¡2 (масштабом длины здесь служит капиллярная постоянная) амплитуда волны формально расходится. Данное значение волнового числа соответствует условию синхронизма а(2к) = 2ю(к) для капиллярно-гравитационных волн. Для волн, удовлетворяющих этому условию, метод, применяемый в разделе 1.2 некорректен и они специально исследуются в следующем разделе. Для волн же, с волновыми числами, отличными от V2/2, процедура разложения по степеням малого параметра приводит к эволюционному уравнению для амплитуды волны а:

3vk6 й Í. 3 v2kA , ,2 V „i й 5 сок2, ,4 qk ...

а, + —т-а---г й)---i-u a a-vQ\a\ а--\а\ а + (6)

а/ 4 vk\ со 1 1 ) 11 v 1 1 Асо

В (б) G и Q - некоторые комбинации частоты и волнового числа, которые здесь не выписываются из-за их громоздкого вида. Величина & характеризует отклонение волнового числа от значения, соответствующего минимуму нейтральной кривой, а q есть надкритачность, то есть превышение амплитуды вибраций порогового значения. Специфика задачи привела к тому, что уравнение (6) отличается от стандартного уравнения Гинзбурга-Ландау и содержит нелинейности как третьего, так и пятого порядка.

Найдены стационарные решения уравнения (6), исследована их устойчивость и режимы возбуждения. Как оказалось, в зависимости от частоты вибраций возможны как мягкое, так и жесткое возбуждение волн в минимуме нейтральной кривой. В приложении 1 показано, что только последовательный учет вязкости позволяет получить физически корректные решения для амплитуды параметрических волн.

В разделе 1.3 рассматриваются такие частоты вибраций, которым соответствует выполнение условия синхронизма для капиллярно-гравитационных волн, возникающих на поверхности жидкости. Для таких волн имеет место генерация второй гармоники, которую в данном случае нельзя считать малой по сравнению с первой, волновое число которой определяется соотношением (3). Для таких частот уравнение колебаний поверхности (в безразмерном виде) принимает форму:

где у - отношение амплитуды вибраций к ее критическому значению. Как видно из (7), с ростом надкритичности растет вклад второй гармоники в общее уравнение для возмущений поверхности.

В первых разделах данной главы изучалась изотермическая рябь Фарадея. В разделе 1.4 рассматривается взаимодействие двух механизмов генерации поверхностных волн. Один из них по-прежнему связан с вертикальными вибрациями сосуда. В качестве второго рассматривается механизм генерации волн за

п.'г1:' тйт-.х/гл«*атг:тттсгттлту> •эгЬ.гЬ.^ьтя ГГпьт пягг.рк*» \t.-itгярт'У гтп ъ-лнтг^ь*-

• - г———-1——" — - —... - . . - - — - -—, - ■— - - - — ~ г~ ~-у > ...■—■ - -----

ция, обусловленная архимедовыми силами, не возникает, возможна конвекция, связанная с зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Поскольку здесь рассматривается взаимодействие поверхностных эффектов, в задаче рассматриваются такие жидкости, объемным расширением которых можно пренебречь. Исследование данной неизотермичной задачи показало, что взаимное влияние указанных механизмов генерации волн несимметрично. Для волн с частотой не соответствующей параметрическому резонансу, плоская поверхность жидкости становится неустойчивой, если число Маранго-ни превышает критическое значение

X -безразмерные коэффициенты вязкости и температуропроводности (единицы

£ = 8^/7^-1 созЬссозГ -4(/ - 1)со52&х5Й12?,

(7)

Здесь О = \]кг + к - собственная частота капиллярно-гравитационных волн, к и

измерения сформированы из плотности, коэффициента поверхностного натяжения и ускорения силы тяжести). Как видно из (8), вибрации не влияют на критическое значение числа Марангони. При числах Марангони ниже критического, однако, возможен параметрический резонанс, если амплитуда скорости вибраций превышает значение

Из (9) следует, что обратное влияние термокапиллярного эффекта на порог возбуждения параметрических волн весьма заметно. Анализ этого выражения показывает, что эффект Марангони может понизить пороговое значение амплитуды скорости вибраций до 40%.

В последнем разделе первой главы рассматривается такая специфическая система, как поверхность раздела жидкость - ее насыщенный пар вблизи критической точки. Интерес к этой задаче стимулирован криогенными экспериментами на борту орбитальной станции, поэтому задача рассматривается без учета силы тяжести. Близость к критической точке приводит к тому, что даже если внешняя температура поддерживается постоянной, из-за аномально большого коэффициента изотермической сжимаемости возникают возмущения температуры и задача становится неизотермической. В данных условиях следует принимать во внимание также возможность фазового перехода, интенсивность которого считалась пропорциональной дисбалансу термодинамических потенциалов фаз. Полная задача об устойчивости плоской границы раздела фаз очень сложна, поэтому ее решение было разделено на несколько этапов. В силу сжимаемости сред возможно движение плоской границы раздела без искажения ее формы. Расчеты показали, что при используемых в эксперименте параметрах вибраций этот эффект пренебрежимо мал, поскольку главную роль здесь играет не расходящийся в критической точке изотермический коэффициент сжимаемости, а остающийся конечным его адиабатический аналог. На следующем шаге был рассмотрен параметрический резонанс в бездиссипативном приближе-

нии, а порог возбуждения резонанса определялся по коэффициентам затухания собственных волн на границе раздела фаз. В рассматриваемой системе работают три механизма диссипации: вязкий, теплопроводный и связанный с возможностью фазового перехода. Проведенные оценки показывают, что вплоть до температур, отличающихся от критической на десятки мК, основную демпфирующую роль играет вязкий механизм диссипации и лишь при приближении к критической температуре на единицы мК на первый план выходит теплопроводный механизм диссипации. Заметим, однако, что экспериментально выдерживать такую близость к критической точке не представляется возможным. Пороговое значение амплитуды вибраций здесь велико, но не в силу сильного демпфирования, а из-за малой разности плотностей фаз.

Во второй главе "Поведение плоской поверхности раздела сред в поле вибраций высокой частоты" рассматриваются осредненные эффекты вибраций. Как следует из результатов первой главы, порог возбуждения параметрического резонанса растет с ростом частоты вибраций. Поэтому если рассматриваются высокочастотные вибрации малой амплитуды, резонансные явления можно не принимать во внимание.

В разделе 2.1 методом многих масштабов получены осредненные уравнения и соответствующие граничные условия для системы несмешивающихся жидкостей, находящейся в поле поступательных высокочастотных вибраций произвольного вида, когда любая точка системы движется по закону:

Я(0 = Д-ю/(т), т = ах, / = (10)

где // - периодические высокочастотные функции времени, а ¡7. - орты декартовой системы координат.

Из общих уравнений и граничных условий, как частные случаи получаются задачи для вибраций линейной, круговой и эллиптической поляризаций, а также некоррелированных вибраций в трех направлениях. В этом же разделе сформулировано понятие квазиравновесия, под которым понимается состояние

с нулевой средней скоростью и стационарными средними величинами. Строго говоря, такое состояние чаще всего невозможно, поскольку в стоксовых слоях вблизи твердых стенок сосуда и вблизи поверхности раздела сред, генерируется среднее течение, выходящее за пределы скин-слоя. Однако в предположениях, в которых проведено осреднение уравнений (толщина стоксова слоя считается малой по сравнению с характерными размерами задачи), влияние такого рода осредпенных течений мало и понятие квазиравновесия имеет право на существование (подробнее течения, генерируемые в стоксовых слоях, рассматриваются ниже).

Полученные в разделе 2.1 уравнения и граничные условия применяются в следующих разделах для анализа конкретных ситуаций. В разделе 2.2 рассматривается возможность предотвращения неустойчивости Рэлея-Тейлора вертикальными вибрациями. Показано, что осредненный эффект высокочастотных вибрации приводит к дополнительной упругос ти поверхности раздела сред и, таким образом, эффективно увеличивается капиллярная длина. Если амплитуда скорости вибраций превышает критическое значение

1 к.

{аю)2 > 2

(П)

Аар (арУ.

то неустойчивость Рэлея-Тейлора будет подавлена. В формуле (11) кт есть минимально возможное значение волнового числа возмущений, оно определяется горизонтальными размерами сосуда, содержащего систему жидкостей. В неограниченном по горизонтали сосуде величина кт может быть сколь угодно малой и, следовательно (11) не может быть выполнено. Для конечных сосудов всегда можно подобрать параметры вибраций такими, что инверсное расположение жидкостей будет устойчиво по отношению к длинноволновым возмущениям. Нельзя, однако, делать амплитуду скорости вибраций сколь угодно большой. В спектре собственных колебаний найдутся такие моды, для которых возможен параметрический резонанс и при инверсном расположении сред. Для

того, чтобы плоская поверхность раздела оставалась устойчивой, необходимо ограничить уровень вибраций сверху:

Здесь для простоты выписана формула невозбуждения резонанса для свободной поверхности жидкости. Для поверхности раздела сред следует пользоваться аналогом формулы (3). Условия (11) и (12) становятся совместимыми, если частота вибраций превышает значение

Таким образом, для стабилизации плоской поверхности раздела сред при их инверсном расположении необходимы достаточно высокие частоты вибраций, а их амплитуда должна быть ограничена как сверху, так и снизу. Изложенные результаты хорошо согласуются с экспериментами (С.Н.\Уо1Г, Z.Ph., 1961, В.227, Н.А.Безденежных [1]).

В приложениях 2 и 3 рассматриваются невибрационные механизмы подавления неустойчивости Рэлея-Тейлора. Электрическое поле, касательное к поверхности диэлектрика, добавляет положительное слагаемое в дисперсионное соотношение для волн, поляризованных в направлении поля. Поэтому следует ожидать, что поле, вращающееся в горизонтальной плоскости, приведет к подавлению неустойчивости Рэлея-Тейлора. Расчет показал, что такой эффект в действительности имеет место и если амплитуда поля достаточно велика

то длинноволновые возмущения будут подавлены. Как и в случае вибраций, невозможно подавление неустойчивости Рэлея-Тейлора в неограниченном по горизонтали сосуде, но можно удержать жидкость в равновесии в сосуде, размеры которого заметно превышают капиллярную длину. Амплитуда поля должна быть ограничена сверху

аа> < Аук.

(12)

V.

(13)

(14)

„2 64тг(£Ч-1)

( }

во избежание возбуждения параметрических волн. Условия (14) и (15) становятся совместимыми при частотах превышающих значение

оК=^(к~п1-к„,). (16)

Формулы (14)-(16) приведены в безразмерном виде, в качестве единиц измерения выбраны капиллярные комбинации. Все сказанное в полной мере относится и к суперпарамагнетикам во вращающемся магнитном поле, для этого случая имеют место те же формулы (14)-(16), в которых напряженность электрического поля заменена на напряженность магнитного, а диэлектрическая проницаемость на магнитную.

Вращающееся в горизонтальной плоскости магнитное поле может быть использовано и для подавления неустойчивости Рэлея-Тейлора проводящей жидкости. Если недалеко от поверхности жидкости поместить хорошо проводящий твердый кожух, то благодаря закону Ленца возникает своеобразная обратная связь, облегчающая возможность стабилизации равновесия (Ладиков Ю.П., Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, №2). В этом случае подавление неустойчивости Рэлея-Тейлора возможно в сколь угодно широком сосуде и если амплитуда поля превышает значение

Н1>Ш, (17)

то будут подавлены возмущения со сколь угодно большой длиной волны (й -расстояние между кожухом и поверхностью жидкости). Как и в разобранных выше примерах, требуется ограниченность поля сверху условием отсутствия параметрического резонанса:

Н1<Шую. (18)

Частота вращения поля, необходимая для устойчивости плоской поверхности жидкости, должна превышать значение

В формулах (17)-(19) также использованы капиллярные единицы измерения.

В разделе 2.3 рассматриваются горизонтальные вибрации круговой поляризации. В отличие от вертикальных вибраций их влияние носит дестабилизирующий характер. При превышении амплитуды скорости вибраций критического значения

Рх + Рг 2 РгРгР2

+ак

к

Шг (20)

плоская поверхность раздела сред становится неустойчивой и на ней возникает практически неподвижный рельеф. В (20) В - величина, пропорциональная квадрату амплитуды скорости вибраций, Р - относительная разность плотностей сред, /г - толщина слоев жидкостей. Из анализа (20) следует, что характер неустойчивости определяется толщиной слоев и при

1*2<( За . (21)

наиболее опасны длинноволновые возмущения. Для глубоких слоев неустойчивость имеет ячеистый характер. В связи с этим нелинейная задача решалась для двух случаев: когда глубина слоев велика по сравнению с длиной волны наиболее опасных возмущений и для тонких слоев, глубина которых удовлетворяет (21). Для глубоких слоев наиболее опасны возмущения с волновым числом

к = № ,

(22)

а

Симметрия задачи допускает три вида стационарного рельефа, без дефектов заполняющих поверхность раздела: рельеф в виде плоских застывших волн и рельефы из квадратных и гексагональных ячеек. Методом разложения по амплитуде возмущений найдены стационарные решения для всех типов рельефа и исследована их устойчивость. Анализ задачи показывает, что для жидкостей с небольшой разницей плотностей плоский рельеф абсолютно неустойчив. При достижении уровнем вибраций критического значения, жестким образом воз-

17

буждается гексагональный рельеф с минимумом в центре ячейки, его амплитуда растет с ростом надкригичности, затем имеет место жесткий переход к рельефу из квадратных ячеек. Обратный ход сопровождается гисгерезисными явлениями, в частности возможны подкритические режимы. Недавние эксперименты (Иванова А.А., Ташкинов С.И. Труды 28 Летней школы «Анализ и синтез-нелинейных механических систем», С.-Петербург, 2000) качественно подтвердили теоретические выводы, в эксперименте на поверхности раздела сред после потери устойчивости возникали гексагональные ячейки с минимумами в их центрах. Отметим интересную аналогию рассмотренной задачи с задачей об устойчивости поверхности жидкого диэлектрика в постоянном вертикальном электрическом поле (ваШ^ А., ЛМ, 1976, у.82, N3, Спектор Е.А. и Кузнецов М.Д., ЖЭТФ, 1976, т.71, вып. 1). Все формулы и картины переходов в этих задачах полностью идентичны, если заменить амплитуду скорости вибраций на напряженность поля, а разность плотностей на разность диэлектрических про-ницаемостсй.

При выполнении (21), когда неустойчивость носит длинноволновый характер, удается, в так называемом приближении мелкой воды, проинтегрировать задачу поперек слоев и свести ее к двумерной. Здесь рассматривались плоские и осесимметричные решения. В плоском случае задача свелась к классическому уравнению Кортевега-де Вриза, так что рельеф имеет вид неподвижного солитона. Аналитического решения осесимметричной задачи найти не удалось, но численное интегрирование показало, что и в этом случае решение имеет вид симметричного двумерного солитона.

В разделе 2.4 рассматриваются осрсднешше течения, генерируемые в стоксовых слоях вблизи границы раздела сред. Показано, что их расчет можно вести на основе обычных уравнений Навье-Стокса с введением эффективных граничных условий на поверхности раздела сред. Условие непрерывности касательных компонент скорости заменяется при этом условием

а вместо непрерывности касательных напряжений следует использовать условие

Выписаны условия для плоской задачи, е - отношение амплитуды вибраций к характерному размеру задачи, 8 - безразмерная толщина стоксового слоя, определенная по сумме вязкостей, г - вертикальная, х - горизонтальная координаты, Л(х) - разрыв тангенциальных скоростей, вычисленный в невязком приближении. Анализ (23)-(24) показывает, что средняя скорость течения сильно зависит от формы поверхности раздела сред, но обратное влияние течения на форму поверхности раздела очень слабо, поэтому расчет стационарной формы поверхности раздела следует вести, как это и сделано в предыдущих разделах, в условиях квазиравновесия. Полученные общие формулы применены к расчету течения вблизи поверхности раздела сред в поле горизонтальных ляпеииополя-ризованных вибраций. Оказалось, что течение имеет более интенсивный характер в той жидкости, вязкость которой выше.

В разделе 2.5 рассмотрен вибрационный дублет высоких частот с малой разницей частот компонент дублета. Получены осредненные по высоким частотам уравнения и граничные условия, которые не являются сейчас автономными. Рассмотрена устойчивость поверхности раздела сред при вертикальных вибрациях такого рода. С одной стороны высокочастотная составляющая дублета оказывает на поверхность раздела стабилизирующее влияние, придавая ей дополнительную упругость. С другой стороны, возможно возбуждение параметрических волн на комбинационной частоте, равной разности частот дублета. Специфической чертой параметрического резонанса в рассматриваемом случае является тот факт, что амплитуды вибраций дублета входят и в собственную частоту волн и в параметр, определяющий действие вибраций. Если Ь ий- ам-

(24)

плитуды скоростей вибраций дублета, то волновое число возникающей ряби определяется соотношением

+ з + (25)

А + Рг А+Рг 2 4

где ю, и со2 - частоты дублета, а

( - V

¿2. (26)

9 =

Р1-Р2

Порог возбуждения ряби зависит от вязкости и равен

= (27)

Третья глава "Капля жидкости в вибрационном поле" посвящена влиянию вибраций на искриатенную поверхность раздела сред. Здесь рассматриваются как резонансные явления, характерные для низких частот, так и осреднен-ные эффекты, вызываемые высокочастотными вибрациями.

В разделе 3.1 рассматривается капля жидкости, погруженная в жидкость другой плотности и находящаяся под действием вибраций низкой частоты, сравнимой с собственными частотами колебаний капли. Сила тяжести отсутствует. На первом этапе расчет проводился без учета диссипативных эффектов. Спектр собственных колебаний капли дискретен. Как оказалось, здесь возникает своеобразный вид параметрического резонанса, когда одновременно возбуждаются две соседние моды собственных колебаний капли, при этом частота вибраций должна удовлетворять соотношению

Пм + О>к=со, (28)

где С2/. - собственная частота к-ой моды собственных колебаний. Форма капли при этом описывается уравнением

/ = й[1+/Л + ЛМ- (29)

Здесь Я - равновесный радиус капли, Г'к - полиномы Лежандра, аргументом которых служит косинус полярного угла, а ]'к - периодические, частоты со функции времени. Функции /к и /к+1 отличаются по фазе, поэтому форма капли при

ее колебаниях меняется, переходя из одной моды в другую. Порог возбуждения этого резонанса определялся путем феноменологического введения коэффициентов затухания, вычисленных для собственных колебаний вязкой капли, в амплитудные уравнения. Наряду с тем, что учет вязкости приводит к конечному порогу возбуждения резонанса, вязкость здесь играет парадоксальную роль, а именно, ее учет приводит к уширению области возбуждения параметрического резонанса и колебания возможны там, где они отсутствуют в модели идеальных сред. Более того, этот эффект сохраняется и при сколь угодно малой вязкости сред, так что резонансные области в случаях у = 0 и V—>0 отличаются друг от друга. Порог возбуждения резонанса растет с номером взаимодействующих мод, поэтому легче всего возбуждаются связанные вторая и третья моды собственных колебаний. Картина параметрического резонанса, описанная выше, получила качественное подтверждение в экспериментах (ВеуБепсе и др., 1999, частное сообщение), проведенных в условиях свободного полета. На кинограмме видно, что при резонансе имеет место периодический переход от эллипсоидальной формы (вторая мода) к грушевидной (третья мода собственных колебаний).

В наземных условиях прямой эксперимент невозможен, поскольку сила тяжести не дает возможности подвесить каплю в жидкой матрице другой плотности. Известны, однако, акустические эксперименты (Магйоп, .Г-Лсош^ Бос.Ат., 1980, у.67) когда использовался узкий ультразвуковой дублет. Его высокочастотная составляющая позволяла удержать каплю в узле стоячей звуковой волны, а комбинационная частота, равная разности частот дублета, вызывала резонансные колебания капли. Картина резонанса, наблюдавшаяся в такого рода экспериментах резко отличалась от параметрического резонанса при низкочастотных монохроматических колебаниях, описанных выше. В акустических экспериментах резонанс носил не параметрический характер, а характер вынужденных колебаний, при этом возбуждалась только вторая мода, соответствующая эллипсоидальной форме капли. В связи с данными экспериментами

был проделан расчет колебаний капли в поле узкого высокочастотного дублета на основе осреднснных уравнений и граничных условий, полученных в разделе 2.5. Несмотря на внешнюю схожесть задач о поведении капли в поле низкочастотных монохроматических вибраций и в поле узкого высокочастотного дублета, результаты расчета показывают, что резонансные явления в данных задачах носят физически разный характер. Резонанс в поле дублета, в согласии с экспериментом, носит характер вынужденных колебаний, возбуждается только эллипсоидальная мода, причем безнороговым образом.

В разделах 3.2 и 3.3 та же система рассматривается в поле монохроматических вибраций высокой частоты, когда резонансные явления демпфированы вязкостью и влияние вибраций носит осредненный характер. Расчеты формы капли показывают, что при линейнополяризованных вибрациях капля сплющивается в направлении вибраций, принимая форму сплюснутого эллипсоида вращения, причем эксцентриситет эллипсоида растет с ростом уровня вибраций. При вибрациях, поляризованных по кругу, капля также принимает форму эллипсоида вращения, но не сплюснутого, а вытянутого в направлении, перпендикулярном плоскости вибраций.

Расчеты раздела 3.4 инициированы технологическими экспериментами в условиях орбитального полета. Здесь речь идет о так называемой жидкой зоне, то есть о цилиндрическом столбе жидкости, окруженном жидкостью другой плотности. Вся система заключена в твердый цилиндрический сосуд, соосный с жидкой зоной. При отсутствии внешних воздействий цилиндрический жидкий столб неустойчив, если его длина превышает диаметр цилиндра — развивается рэлеевская капиллярная неустойчивость. Ранее (Любимов Д.В., Черепанов A.A. Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, Х° 6) было показано, что поступательные вибрации, поляризованные по кругу, в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, могут предотвратить развитие капиллярной неустойчивости. В данном разделе рассматривается другая задача: система вращается вокруг оси симметрии и совершает высокочастотные вибрации вдоль оси цилиндра. Вращение системы ста-

билизирует ситуацию, если плотность окружающей среды выше плотности внутренней жидкости, в противном случае к капиллярному механизму неустойчивости добавляется неустойчивость Рэлея-Тейлора в поле центробежных сил. Осевые вибрации приводят к еще одному типу неустойчивости цилиндрической поверхности раздела сред. Даже при устойчивой в отсутствие вибраций ситуации, когда центробежные силы подавляют капиллярную неустойчивость, осевые вибрации приводят к неустойчивости цилиндрической поверхности раздела и на ней образуется квазистационарный рельеф. Характер неустойчивости определяется в значительной мере скоростью вращения системы: при малых скоростях неустойчивость длинноволновая, при переходе скорости вращения через некоторое критическое значение она становится ячеистой и рельеф приобретает периодический характер. Нелинейный анализ позволил определить области параметров при которых происходит жесткое и мягкое возбуждение периодического рельефа.

Четвертая глава диссертации "Действие вибрационного поля на твердые тела, взвешенные в жидкой матрице" посвящена осредненному воздействию вибраций на твердые включения взвешенные в жидкости.

В разделе 4.1 основное внимание уделено ориентирующему действию вибраций. Получены общие выражения для момента сил, действующего на твердое тело со стороны вибрирующей жидкости, полученные выражения применены для расчета моментов сил, действующих на эллиптический цилиндр и сплюснутый эллипсоид вращения. Так для цилиндра этот момент равен

8(р +1 + р$)

где с и й - большая и малая полуоси эллипса, и = (с2 + с12)/сс!, р - относительная плотность тела, а а - угол между направлением вибраций и большой полуосью эллипса. Анализ (30) показывает, что устойчивым является положение цилиндра, при котором его большая полуось перпендикулярна направлению вибраций. Для эллипсоида вращения имеет место такой же эффект: вибрации

стремятся повернуть его так, чтобы его большая полуось была перпендикуляр-па направлению вибраций.

Раздел 4.2 посвящен взаимодействию твердых тел в вибрационном поле. Найдены силы взаимодействия двух круговых цилиндров при однородных вибрациях (когда колеблется сосуд с жидкостью, в которой подвешены твердые тела) и при неоднородных вибрациях, когда колеблется один из цилиндров. Показано, что силы взаимодействия быстро убывают с ростом расстояния между цилиндрами (обратно пропорционально третьей степени расстояния в случае однородных вибраций и пятой степени при неоднородных вибрациях). Во втором случае это всегда силы притяжения, в первом случае их направление и величина сильно зависит от угла между осью вибраций и линией, соединяющей оси цилиндров.

В разделе 4.3 рассматривается поведение капли в неоднородном пульса-ционном потоке. Для капли, размеры которой малы по сравнению с характерным масштабом неоднородности потока, получены общие формулы, определяющие ее форму и средние силы, действующие на нее со стороны потока.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена линейная теория ряби Фарадея, определен порог ее возбуждения, в том числе для поверхности раздела сред со сравнимыми вязкостями и плотностями, показано, что порог возбуждения ряби растет с ростом частоты вибраций;

2. Построена нелинейная теория параметрических волн с последовательным учетом вязкости, определена амплитуда параметрических волн и режимы возбуждения ряби;

3. Разработана теория ряби Фарадея для частот вибраций, удовлетворяющих условию синхронизма, показано, что в данном случае активно генерируется вторая гармоника;

4. Показано, что при взаимодействии волн, возбуждаемых вибрационным и термокапиллярным механизмами, эффект Марангони сильно и немонотонно влияет на порог возбуждения параметрического резонанса;

5. Построена теория возбуждения параметрических волн на поверхности раздела сред в состоянии, близком к критическому, показано, что основным диссипативным механизмом здесь является вязкость сред;

6. Определены условия динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора, показано, что для устойчивости инверсного расположения жидкостей интенсивность вибраций должна быть ограничена как сверху, так и снизу, а частота вибраций должна быть достаточно высока;

7. Проведены теоретические расчеты по подавлению неустойчивости Рэлея-Тейлора вращающимися магнитным и электрическим полями, определены значения параметров, при которых возможна стабилизация неустойчивого в отсутствие полей равновесия;

8. Показано, что на поверхности раздела сред в поле горизонтальных вибраций круговой поляризации возникает неподвижный рельеф, в виде гексагональных ячеек, исследована устойчивость найденных решений;

9. Обнаружены солитонные решения для указанного рельефа в области существования длинноволновой неустойчивости;

Ю.Построена теория вибрационной генерации осредненных течений вблизи поверхности раздела жидкостей;

I ¡.Проведен расчет вибрационного возбуждения параметрического резонанса для капли жидкости, окруженной средой другой плотности, показано, что возбуждаются связанные соседние моды собственных колебаний, Ьтмечено парадоксальное влияние вязкости;

12.Построена теория резонансных колебаний капли в поле узкого дублета высокой частоты, определены условия возбуждения и форма резонансных колебаний;

13.Определена средняя форма капли в поле высокочастотных линейных вибраций, показано, что при невысоком уровне вибраций она принимает форму сплюснутого в направлении вибраций эллипсоида вращения;

14.Показано, что капля в поле высокочастотных вибраций круговой поляризации принимает форму вытянутого эллипсоида вращения;

15.Определены условия возбуждения рельефа и его развития на цилиндрической поверхности раздела сред при совместном влиянии вращения и осевых вибраций системы;

16.Вычислены средние моменты сил, действующих на твердое тело, окруженное вибрирующей жидкостью, показано, что вибрации ориентируют тела так, чтобы большая часть их поверхности была перпендикулярна направлению вибраций;

17.Определены силы взаимодействия тел, взвешенных в жидкости при однородных и неоднородных вибрациях;

18.Рассчитаны средние силы, действующие на каплю в поле неоднородных пульсаций, получены общие формулы для расчета ее средней формы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах

1. Безденежных H.A., Брискман В.А., Пузанов Г.В., Черепанов A.A., Шайдуров Г.Ф. О влиянии высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей. В кн.: Гидродинамика и массотеплообмен в невесомости, М., Наука, 1982, с. 34-39.

2. Безденежных H.A., Брискман В.А., Черепанов A.A., Шаров М.Т. Управление устойчивостью поверхности жидкости с помощью переменных полей, В кн.:

Гидромеханика и процессы переноса в невесомости, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1983, с. 37-56.

3. Саранин В.А., Черепанов A.A., Шайдуров Г.Ф., Шаров М.Т. Управление устойчивостью равновесия стратифицированных жидкостей с помощью электрических и магнитных полей. Пятый Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Алма-Ата, "Наука" Каз. ССР, 1981, с.314.

4. Любимов Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, №6, с. 8-13.

5. Bezdenezhnykh N.A., Briskman V.A., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Zakharov I.V.,Tcherepanov A.A. The influence of high frequency tangential vibrations on the fluid interfaces in microgravity. Microgravity fluid mechanics, Editor H.J.Rath, Springer-Verlag, 1992, p. 137-144

6. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P. The motion of the solid body in a liquid under the influence of the vibrational field. Proc. Of the First Int. Symp. On Hydromechanics and Heat/Mass Tranfer in Microgravity, Perm-Moscow, 1991, Gordon and Breach Sei. Publ., 1992, pp. 247-251.

7. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Устойчивость поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле с круговой поляризацией. Материалы VII школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ, 1992, с. 39-40

S. Черепанов A.A. Влияние переменных внешних полей на неустойчивость Рэ-лея-Тейлора. В сб. Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости, Препринт Института механики сплошных сред УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, с. 29-53.

9. Любимов Д.В., Черепанов A.A. К нелинейной теории параметрически возбуждаемых волн на поверхности вязкой жидкости. В сб. Некоторые задачи ус-

тойчивости поверхности жидкости, Препринт Института механики сплошных сред УШД АН СССР, Свердловск, 1984, с. 54-76

10. Черепанов A.A. Резонансное взаимодействие гармоник при возбуждении ряби Фарадея, Вестник Пермского университета, Физика, выи.2,1997, с. 39-45.

11. Р.В.Бирих, В.А.Брискман, М.Г.Веларде, А.А.Черепанов, Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн, 1997, Доклады РАН, т.352, N 5, с. 616-619.

12. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов A.A. Особенности возбуждения параметрического резонанса на границе раздела фаз вблизи критического состояния. Гидродинамика, вып. 12, Пермь, ПТУ, 1999, с. 183-203.

13. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Движение неоднородной жидкости в поле высокочастотных поступательных вибраций. В сб. Конвективные течения, ПГПИ, Пермь, 1989, с. 52-59.

14. Любимов Д.В., Перминов A.B., Черепанов A.A. Генерация осредненных течений в вибрационном поле вблизи поверхности раздела сред, Вибрационные эффекты в гидродинамике, Пермь, 1998, с. 204-221.

15. Черепанов A.A., Шипулин Д.В. Поведение границы раздела жидкостей в вибрационном поле, поляризованном по кругу. В сб.: Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей. РАН, Екатеринбург, 1999, с. 134-154.

16. Черепанов A.A. К вопросу об удержании жидкого металла вращающимся магнитным полем. Тезисы докладов IX Рижского совещания по магнитной гидродинамике, ч.Ш, МГД-технология и устройства, Рига, 1978,с.26-27

17. Черепанов A.A. О подавлении Рэлей-Тейлоровской неустойчивости поляризующихся жидкостей вращающимся внешним полем. Сб. Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1979,с.41-49

18. D.V.Lyubimov, A.A.Cherepanov, T.P.Lyubimova, B.Roux, Deformation of gas or drop inclusion in high frequency vibrational field, 1997, Microgravity Quarterly, v.6, No.2-3, pp.69-73.

19. D.VXyubimov, A.A.Cherepanov, T.P.Lyubimova, B.Roux. Interface orienting by vibrations. C.R.Acad.Sci.Paris,1997, t.325,Scrie lib, p.391-396

20. Брискман B.A., Любимов Д.В., Черепанов A.A. Устойчивость поверхности раздела вращающихся жидкостей в осевом вибрационном поле. В кн. Численное и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений в невесомости, Свердловск, УрО АН СССР, 1988, с. 18-26

21. Брискман В.А., Муратов И.Д., Черепанов А.А. К нелинейной теории устойчивости цилиндрической поверхности раздела жидкостей в присутствии вращения и осевых вибраций. В сб. Конвективные течения, ПГПИ, Пермь,1989, с. 115-119

22. D.V.Lyubimov, A.A.Cherepanov, T.P.Lyubimova, D.Beysens, S.Meradji, B.Roux. Equilibrium and stability of drop in a vibrational field. Proc. of the Joint Xtli European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. St.Petersburg, Russia, 15-21 June 1997, vol.1, Moscow, Russia, 1997, pp.66-73.

23. D.V.Lyubimov, T.P.Lyubimova, A.A.Cherepanov, B.Roux. Vibration effects on heterogeneous systems. Microgravity Science and Technology, 1998, voLXI, N 3, pp.107-112.

24. D.V.Lyubimov, A.A.Cherepanov, T.P.Lyubimova, D.Beysens, B.Roux, S.Meradji. Behaviour of isolated bubble (or drop) in oscillating liquid. Third International Conference on Multiphase Flow. ICMF-98, 8th-12th June, 1998, Lyon, France. Proceedings, PDF/PDF600/PDF674.

25. Любимов Д.В., Перминов A.B., Черепанов A.A. Генерация средних течений в поле высокочастотных вибраций вблизи поверхности раздела сред. Сб. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, вып.7, Новосибирск, 2000, с.78-80

26. Briskman V.A., Zamaraev A.V., Lapin A.Yu., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Muratov I.D., Cherepanov A.A. Equilibrium and stability of rotating fluids interfaces under the influence of high frequency axial vibrations. Theoretical and ap-

plied mechanics, Sixth National Congress on Theoretical and Applied Mechanics, Sofia, 1990, v. 3, pp. 129-132.

27. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Устойчивость поверхности раздела жидкостей в высокочастотном вибрационном поле. В кн. Всесоюзный семинар по гидродинамической устойчивости и турбулентности (тезисы докладов), Новосибирск, СО АН СССР, Институт теплофизики, 1989, с. 73-76

28. Bezdenezhnykh N.A., Briskman Y.A., Lapin A.Y., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Tcherepanov A. A., Zakharov I. A. The influence of high frequency tangential vibrations on the stability of the fluid interface in microgravity. Int. J. for Micro-gravity Research and Applications, 1991, v.IV, No 2, pp.96-97.

29. Lyubimov D. V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P. Behavior of a drop (bubble) in a non-uniform pulsation flow. World COSPAR Conference, Warsaw, 2000, Abstracts.

30. Lyubimov D. V., Cherepanov A. A., Lyubimova T.P., Roux B. Deformation of gas inclusions in high frequency vibrational field. Proc. of 3-rd China-Japan Workshop on Microgravity Science, Xian, China, 1996, pp.136-141.

31. Любимов Д.В. Любимова Т.П., Черепанов A.A. Поведение капли жидкости или газового пузыря в неоднородном пульсационном потоке. Сб. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, вып.7, Новосибирск, 2000, с.89-90

32. Lyubimov D.V., Cherepanov А.А., Lyubimova T.P. Stability of fluid interface in vibrational field, 16-th IMACS World Congress on the Scien. Computation, Appl. Math. And Simulation, Proceedings, Lausanne, 2000, Sessions, 164-1

33.Брискман B.A., Любимов Д.В., Черепанов A.A. Устойчивость поверхности раздела вращающихся жидкостей в осевом вибрационном поле. Материалы IV Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, Новосибирск, 1987, с. 64-65 .

34. Lyubimov D.V., Cherepanov А.А., Lyubimova Т.Р., Roux В., Beysens D. Resonance oscillations and equilibrium shape of a liquid drop in a vibrational field.

EUROMECH, 3-rd Eur. Fl. Mech. Conf., Gottingen, 1997, Book of Abstracts, p.222.

35. Lyubimov D.Y., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux В., Beysens D. Parametric resonance at the interface of phase separating media. Waves in two phase flow, EUROMECH Colloquium 376, Istanbul, 1998, Book of Abstracts, pp. 56-57.

36. Брискман B.A., Любимов Д.В., Черепанов A.A. Равновесие, движение и устойчивость неоднородной жидкости в высокочастотном вибрационном поле. Аннотации докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986, с. 135.

37. Birikh R.V., Briskman V.A., Cherepanov A.A., Velarde M.G. Interaction between mechanisms of thermo-capillary overstability and parametric wave excitation. 2-nd European fluid mechanics conference, abstracts of papers, Warsaw, 1994, p. 77

38. Birikh R.V., Briskman V.A., Cherepanov A.A., Chernatynski V.I., Jakushin V.I. Instability of stationary liquid state subject to vibrational and thermocapillary forces. Inter. 14 EMASC World Congress "Сотр. and Appl. Math.", July 1115,1994, Atlanta, Georgia, USA, Proceedings (edited by W.S.Ames), v.2, pp. 577579.

Подписано в печать 25.10.1Щ формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл.печ.л. 4. ,2.6 .Тираж 100 экз. Заказ Ъ65

614600, г.Пермь, ул.Букирева, 15. Типография Пермского университета.

ВВЕДЕНИЕ.:.!.

1. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ НА ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ.?.

1.1. Линейная теория параметрически возбуждаемых волн на свободной поверхности вязкой жидкбСтй.".

1.2. Нелинейная теория ряби Фарадея.

1.3. Резонансное взаимодействие гармоник при возбуждении ряби Фарадея.

1.4. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн.

1.5. Особенности возбуждения параметрического резонанса на границе раздела фаз вблизи критического состояния.

2. ПОВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА СРЕД В ДОЛЕ ВИБРАЦИЙ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ.

2.1. Устойчивость поверхности раздела жидкостей в поле высокочастотных поступательных вибраций произвольной ориентации.

2.2. Вертикальные вибрации. Подавление неустойчивости Рэлея-Тейло-ра.

2.3. Поведение границы раздела жидкостей в вибрационном поле, поляризованном по кругу.

2.4. Генерация осредненных течений в вибрационном поле вблизи поверхности раздела сред.

2.5. Поведение границы раздела сред в поле вибраций с близкими частотами.

3. КАПЛЯ ЖИДКОСТИ В ВИБРАЦИОННОМ ПОЛЕ.

3.1. Резонансное возбуждение колебаний капли в вибрационном поле.

3.2. Исследование поведения капли (пузыря) в жидкой матрице под действием вибраций высокой частоты.

3.3. Поведение жидкой капли в вибрационном поле, поляризованном по кругу.

3.4. Устойчивость цилиндрической границы раздела жидкостей в вибрационном и центробежном полях.

4. ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИОННОГО ПОЛЯ НА ТВЕРДЫЕ ТЕЛА, ВЗВЕШЕННЫЕ В ЖИДКОЙ МАТРИЦЕ.

4.1. Действие вибрационного поля на твердые тела, взвешенные в жидкости.

4.2. Взаимодействие тел в вибрационном поле.

4.3. Поведение капли жидкости в неоднородном вибрацционном поле

Интерес исследователей к изучению влияния вибраций на поведение гидродинамических систем вызван как многочисленными технологическими применениями, так и общетеоретическими соображениями.

Вибрации, воздействуя на неоднородные среды, могут, прежде всего, являться причиной движения. С другой стороны, при определенных условиях, вибрации, оставляя состояния сред равновесными, нетривиальным образом действуют на устойчивость равновесия и даже создают новые равновесные состояния, невозможные в отсутствие вибраций.

В технологических процессах вибрации часто являются неизбежным и неконтролируемым фактором. Поэтому важно понять, как вибрации воздействуют на течения и равновесные состояния гидродинамических систем, чтобы учесть их влияние на ход процесса. Для некоторых процессов полезно использовать контролируемые вибрации, поскольку с их помощью оказывается удобным управлять течениями и их устойчивостью.

Влияние вибраций на поведение неоднородных сред носит разносторонний характер. Во многих ситуациях гидродинамическая система в отсутствие вибраций способна совершать движения периодического характера и обладает спектром собственных частот. Примером такого рода являются капиллярно-гравитационные волны на поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей, собственные колебания пузырька, взвешенного в жидкой матрице, колебательные моды конвективных движений при подогреве сверху и т.п. В отсутствие внешних воздействий, вследствие вязкой диссипации, собственные колебания, как правило, затухают. Подкачка энергии в систему, обусловленная вибрациями, может привести к резонансному возбуждению такого рода колебаний.

Хотя пионерская работа М.Фарадея [1], где, по-видимому, впервые описано явление параметрического резонанса, посвящена именно вибрационному возбуждению капиллярно-гравитационных волн и вышла более полутора веков назад, вопрос о вибрационном возбуждении резонансных колебаний в гидродинамических системах нельзя до сих пор считать полностью исследованным.

Вибрации влияют на равновесие и течения гидродинамических систем не только резонансным образом. Высокочастотные вибрации, как уже отмечено выше, могут подавить развитие неустойчивостей, возникающих в статических условиях и быть причиной возникновения необычных равновесных конфигураций. Кроме того, вибрации высокой частоты, как правило, индуцируют не только пульсационные течения собственной частоты, но, вследствие нелинейных и вязких эффектов, приводят к появлению сравнительно медленных средних движений.

В научной литературе большое место уделено вибрациям акустических частот, когда размеры неоднородностей сравнимы с длиной звуковой волны, соответствующей частоте вибраций, и становятся существенными эффекты, связанные с сжимаемостью сред. Широко исследуются такие явления, как акустический ветер, акустический подвес пузырьков газа, капель и твердых включений в жидкости, влияние ультразвуковых волн на поведение эмульсий и взвесей. Хорошее описание некоторых из этих эффектов можно найти в классической монографии [2]. Более современное состояние проблемы описано в работах [3-5]. Исследования акустического воздействия на неоднородные среды активно продолжаются и в настоящее время. Отметим здесь, например, работы [6-7], в которых изучался акустический подвес капель и пузырьков в поле тяжести и [8-9], где изучены резонансные эффекты, связанные, прежде всего, с сжимаемостью пузырьков газа в акустическом поле.

Другим подробно исследованным примером влияния высокочастотных вибраций на поведение гидродинамических систем является так называемая вибрационная конвекция. Особенно активный интерес к конвекции, индуцированной вибрациями (равно как и к термокапиллярной конвекции) возник после первых неожиданных результатов по технологическим экспериментам в невесомости [10]. Впервые осредненные уравнения вибрационной конвекции были получены в [11] путем осреднения уравнений конвекции в приближении Бусси-неска. Здесь рассматривались вибрации высоких, но не акустических частот. В дальнейшем такой подход получил значительное развитие, библиография по вибрационной конвекции насчитывает в настоящее время десятки статей. Многие результаты по данной тематике обобщены в монографиях [12-13]. Наряду с осредненным подходом продолжаются и численные эксперименты на базе полных уравнений. Отметим работу [120], где сочетаются оба этих подхода. Теоретически предсказанные в [12] эффекты, такие как динамическая стабилизация неустойчивости Рэлея-Бенара или параметрическая раскачка конвективных колебаний, получили в дальнейшем экспериментальное подтверждение [14-15]. Подход, развитый в [11] , адекватно описывает термовибрационную конвекцию в замкнутых сосудах, совершающих однородные поступательные вибрации. При неоднородных или непоступательных вибрациях, а также при наличии свободной поверхности жидкости или поверхности раздела сред, такой подход становится некорректным. Как показано в [16] , осреднение в этом случае надо проводить на базе полных (без упрощений приближения Буссинеска) уравнений, при этом влияние вибраций оказывается более сильным, чем в традиционном подходе вибрационной конвекции [17-18]. Теоретические расчеты, проведенные по новой схеме в [19-20], хорошо согласуются с экспериментальными результатами [21-22]. Подробное изложение различных подходов к проблеме вибрационной конвекции и обзор работ, посвященных данной тематике, можно найти в монографии [23].

В настоящей работе основное влияние уделяется вибрациям неакустических частот при изотермических условиях. Поэтому следует сделать более подробный обзор литературы по данной тематике.

Как уже отмечалось выше, первая работа, посвященная параметрическому резонансу на поверхности жидкости [1], появилась еще в 1831 году. В указанной статье описан ряд экспериментов, в частности эксперименты по возбуждению стоячих волн на поверхности жидкости, налитой на вибрирующую в вертикальном направлении упругую пластинку. Теоретическое объяснение было дано Рэлеем [2] на основе теории идеальной жидкости. Было показано, что рябь Фарадея есть проявление параметрического резонанса, что объяснило наблюдавшееся в [1] соотношение частот: частота возбуждаемых волн была равна половине частоты вибраций. Интерес к указанному эффекту возродился в 1950-х годах в связи с техническими приложениями. В работах [24-25] была более подробно развита линейная теория ряби Фарадея для свободной поверхности невязкой жидкости. В рамках этой теории порог возбуждения ряби нулевой«, & ч экспериментах, однако, рябь всегда возбуждается пороговым образом. Связано это с диссипативными эффектами и потому порог не может быть определен в рамках модели идеальной жидкости. Впервые порог возбуждения параметрических волн определен, по-видимому, в [26-27], где учет вязкости был произведен феноменологически, путем подстановки демпфирующего слагаемого в уравнение Матье, описывающего поведение поверхности невязкой жидкости при наличии вертикальных вибраций. Экспериментальные исследования в [27-28] показали, что стационарный режим стоячих волн, возникающий на поверхности жидкости в вибрирующем сосуде, при увеличении амплитуды вибраций становится неустойчивым и сменяется системой хаотически двигающихся волновых конгломератов. Указанный эффект подробно исследован в ряде теоретических и экспериментальных работ [29-31]. Дальнейшее увеличение амплитуды вибраций приводит к фонтанированию капель с поверхности жидкости [27]. Отметим цикл работ теоретического и экспериментального характера [32-34], в которых изучались параметрические волны не на свободной поверхности жидкости, а на поверхности раздела несмешивающихся сред разной плотности. Список работ, посвященных ряби Фарадея, насчитывает в настоящее время сотни названий. Довольно подробную библиографию можно найти в обзорах [35-36]. К сожалению, эти обзоры несколько устарели, поскольку исследования параметрических волн продолжаются с прежней интенсивностью. До сих пор нет полной ясности даже в линейной теории параметрически возбуждаемых волн, особенно для жидкостей с большим значением коэффициента вязкости, неясно до конца также влияние конечной толщины слоя жидкости [37-38]. Нелинейная теория ряби Фарадея впервые исследована в работе [39] на основе модели идеальной жидкости. Довольно полное исследование нелинейных аспектов параметрически возбуждаемых волн проведено в [40], на основе Лагранжева подхода. При таком подходе затруднительно учесть диссипативные эффекты, поэтому в [40] вязкость не учитывалась^либо вводилась модельным образом, когда предполагалось, что вязкая сила, действующая на жидкую частицу, пропорциональна ее скорости. В работах [41-42] подобная методика применялась для волн в стратифицированных средах. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [43-48] и других работах. Отличительной особенностью цитированных работ является либо полностью невязкий подход, либо феноменологический учет вязкости, когда демпфирующее слагаемое добавляется в амплитудные эволюционные уравнения, полученные в невязком приближении.

Несмотря на обилие работ, посвященных параметрическому возбуждению волн на поверхности жидкости, некоторые особенности возбуждения и развития ряби Фарадея остаются неясными. На взгляд автора, недостаточно выяснены важные теоретические вопросы, связанные с влиянием вязкости на нелинейное развитие параметрических волн.

Отметим еще, что наряду с классической задачей Фарадея, в настоящее время довольно широко исследуется параметрическое возбуждение ряби с учетом ряда осложняющих факторов: границы раздела вязких сред [49-50], близость системы жидкость-пар к критической точке [51-52], неизотермичность системы [53], наличие сообщающихся сосудов [54-56] и т. д.

Другим примером гидродинамической системы, обладающей спектром собственных колебаний, является капля жидкости (или газовый пузырек), взвешенная в жидкой матрице другой плотности. Спектр собственных частот такой капли рассчитан Чандрасекаром [57]. В литературе интенсивно изучается поведение такой системы в поле вибраций акустической частоты [58-60]. В этом случае резонанс может иметь место только для мод высокой частоты, но при таких частотах характерна сильная диссипация энергии вследствие вязких эффектов. Поэтому резонансные колебания капли в поле вибраций акустической частоты, как правило, не наблюдаются. Интересные результаты получены в экспериментах [61-62], где капля подвешивалась в жидкой матрице акустическим полем, состоящим из двух ультразвуковых компонент с близкими частотами. Комбинационная частота, равная разности частот двух компонент, оказывалась при этом близка к собственным частотам низших мод колебаний капли и в эксперименте наблюдалось резонансное возбуждение колебаний капли на указанной комбинационной частоте. Что касается поведения капли (или пузыря) в вибрационном поле неакустической частоты, то оно в научной литературе практически не изучено.

Кроме резонансных движений, высокочастотные вибрации приводят, как правило, к появлению осредненных эффектов. Примером двоякого действия вибраций может служить поведение такой простой системы, как математический маятник с колеблющейся точкой подвеса [63-64]. В отсутствие вибраций, в статическом поле тяжести, маятник имеет два положения равновесия: устойчивое нижнее и неустойчивое верхнее. Вертикальные колебания точки подвеса с частотами, равными или кратными собственной частоте маятника могут сделать нижнее положение равновесия неустойчивым, приводя к параметрическому резонансу. С другой стороны, вертикальные вибрации высокой частоты приводят к тому, что верхнее положение равновесия становится устойчивым. Горизонтальные высокочастотные вибрации точки подвеса достаточной интенсивности приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия [65]. Отметим еще нелинейные исследования [66-67], которые показали, что при достаточно интенсивных вертикальных вибрациях с частотами, сравнимыми с собственной частотой маятника, поведение последнего становится весьма сложным и проявляет элементы стохастики.

В гидродинамических системах высокочастотные вибрации также, при определенных условиях, приводят к стабилизации равновесных состояний, неустойчивых в статических условиях и приводят к возникновению новых равновесных конфигураций. В работах [68-69] описаны эксперименты по динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора, когда высокочастотные вертикальные вибрации приводят к устойчивости инверсного положения сред (тяжелая жидкость налита поверх легкой ). Там же отмечено, что при высокочастотных горизонтальных колебаниях сосуда плоская поверхность раздела сред становится неустойчивой и на ней возникает практически неподвижный периодический рельеф, амплитуда которого определяется уровнем вибраций. Подробное экспериментальное исследование указанных эффектов было продолжено в [70-73], где были обнаружены некоторые новые интересные явления, такие, например, как удвоение пространственного периода рельефа при повышении интенсивности вибраций. Теоретически проблема динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора изучалась в [74], где границы устойчивости плоской поверхности раздела сред определялись численно, путем приближенного расчета соответствующего определителя Хилла [75-76]. Аналогичные эксперименты не для свободной поверхности, а для системы двух жидкостей описаны в [77]. Установлено, что и здесь высокочастотные вибрации подавляют развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора, причем на некоторых частотах наблюдается аномальная диффузия, вызванная, по-видимому, параметрическим резонансом.

Теория возникновения рельефа на поверхности раздела сред в поле высокочастотных горизонтальных вибраций была построена в [78-79], где был проведен линейный и слабонелинейный анализ указанного явления. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментами [72-73]. В работе [80] численно была рассчитана эволюция рельефа при увеличении интенсивности вибраций и показано, что при достаточно сильных вибрациях рельеф преобразуется в систему страт, границы которых практически вертикальны, что также хорошо согласуется с экспериментальными данными [72-73].

Наряду с вибрациями линейной поляризации представляют интерес вибрации более сложного вида: поступательные вибрации круговой поляризации, хаотические трехмерные вибрации, вибрации непоступательные, когда кроме поступательных смещений имеет место повороты сосуда, содержащего неоднородные среды. В работе [81] показано, что поступательные вибрации круговой поляризации подавляют развитие рэлеевской капиллярной неустойчивости жидкого столба жидкости. Непоступательность вибраций, как в изотермическом случае, так и в случае тепловой конвекции приводит к новым эффектам. Общая теория осредненных течений при наличии вибраций общего вида построена, как уже указывалось в [23], проведенные эксперименты [82-83] хорошо согласуются с теоретическими и численными расчетами, проведенными по схеме, предложенной в [23].

Неоднородность вибраций, а также наличие поверхности раздела (или свободной поверхности) при однородных вибрациях, приводят, как правило, к появлению медленных, осредненных течений. Впервые эффект генерации вихревого среднего течения колеблющимся в жидкости твердым телом описан в [84-85]. При высокочастотных вибрациях тела вблизи его поверхности возникает тонкий вязкий скин-слой Стокса. В этом слое, вследствие нелинейных эффектов, возникает, наряду с пульсационным движением, среднее течение вихревого характера, проникающее далеко за пределы стоксова слоя. Другой механизм формирования средних течений вибрациями, характерный для систем с поверхностью раздела жидкостей (или со свободной поверхностью жидкости) изучен Лонге-Хиггинсом и Доре [86-87] применительно к бегущей по поверхности волне. Поскольку вибрации, как правило, приводят к генерации волн на поверхности жидкости, то указанный механизм должен проявиться и в этом случае. Расчеты и эксперименты [88] показывают справедливость такого положения.

Высокочастотные вибрации, действуя на каплю или пузырек, взвешенные в среде другой плотности, не возбуждают, в большинстве случаев, резонансных колебаний, поскольку моды колебаний высокой частоты имеют мелкую структуру и эффективно подавляются вязкостью. Тем не менее, такие вибрации сильно влияют на поведение капли. В уже отмеченных работах [58-60], где рассматривается поведение капли в акустических полях, исследованы такие эффекты, как возникающие вследствие вибраций средние силы, действующие на каплю и изменение ее средней формы. При теоретическом описании указанных эффектов важную роль играет сжимаемость сред, характерная для акустических частот (эксперименты проводятся обычно в ультразвуковой части спектра). Влиянию вибраций акустической частоты на поведение эмульсий и взвесей посвящен цикл работ, обобщенных в уже упоминавшихся работах [4-5].

Что же касается вибраций неакустических частот, а также вибраций с поляризацией, отличающейся от линейной, вопрос об их осредненном влиянии на каплю (пузырек), взвешенную в жидкой матрице, изучен недостаточно.

В экспериментах Челомея [89] наблюдалось парадоксальное поведение твердого тела в контейнере с жидкостью, совершающем вертикальные вибрации высокой частоты: под действием вибраций всплывали тела с плотностью, превышающей плотность окружающей среды, и тонули тела, легкие по сравнению с жидкостью. Теоретическому объяснению эффекта посвящены работы [90-91]. В них показано, что при вибрациях сосуда с жидкостью, содержащей твердые включения, вследствие разной инерционности тел и жидкости, возникают пульсационные течения, которые приводят к появлению средней силы, действующей со стороны жидкости на тело. Было показано, что эти силы действуют на тела таким образом, что они притягиваются к ближайшей из стенок сосуда. В [92-93] проведен расчет сил взаимодействия между двумя телами, возникающих при указанных вибрациях сосуда. В цитированных работах рассматриваются тела с высокой степенью симметрии (сферы и цилиндры), поэтому не изучались осредненные моменты сил, которые, в принципе, могут возникать в вибрирующем сосуде.

Следует отметить еще теоретические и экспериментальные работы последнего времени [94-95], посвященные поведению твердых тел в жидкости при непоступательных (качательных) вибрациях.

Проведенный краткий обзор научной литературы, посвященной влиянию вибраций на поведение гидродинамических систем, показывает актуальность данной тематики, которая связана как с практическими приложениями, особенно в условиях микрогравитации, так и с общетеоретическим интересом. Из этого обзора следует также, что остается широкий спектр вопросов, требующих дальнейшего изучения.

В задаче о классической ряби Фарадея не до конца исследована роль дис-сипативных эффектов, особенно при наличии границы раздела сред. Не развита в полной мере нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн с последовательным учетом вязкости. Требует аналитического решения задача о подавлении неустойчивости Рэлея-Тейлора с помощью вертикальных вибраций. Не исследована устойчивость поверхности раздела сред при горизонтальных вибрациях с поляризацией отличной от линейной. Требует изучения поведение капли (пузыря), взвешенной в жидкости другой плотности при наличии вибрационного поля неакустической частоты. В этой задаче не изучены как резонансные явления, так и эффекты, появляющиеся при высокочастотных вибрациях. Не исследована вибрационная генерация осредненных течений вблизи поверхности раздела жидкостей. Представляет интерес, в связи с технологическими экспериментами в космосе, изучить влияние вибраций на устойчивость цилиндрической поверхности раздела сред. Не изучено ориентирующее действие вибраций на несимметричные твердые тела, взвешенные в жидкости, а также взаимодействие твердых включений при неоднородных вибрациях. Целью диссертационного исследования является изучение перечисленных вопросов и некоторых связанных с ними задач.

Содержание диссертации изложено в четырех главах.

В первой главе диссертации изучается влияние вертикальных вибраций на устойчивость плоской поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей. Рассматриваются вибрации с частотами сравнимыми с собственными частотами невысоких мод капиллярно-гравитационных волн, поэтому на первый план выходят резонансные эффекты.

В разделе 1.1 в линейной постановке изучается классическая задача Фа-радея для свободной поверхности вязкой жидкости. Для сосуда, глубина которого велика по сравнению с длиной возбуждаемых волн, получено эволюционное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее амплитуду отклонения поверхности от равновесного положения. Это уравнение замкнуто, в том смысле, что не содержит частных производных и включает в себя функцию только времени. Анализ этого уравнения позволяет получить уточненное значение порога возбуждения и волновое число ряби Фарадея.

Здесь же эта задача решена для поверхности раздела жидкостей со сравнимыми вязкостями и плотностями. Показано, что наличие второй среды сильно влияет на условия возникновения параметрических волн. Конечная вязкость и плотность второй, более легкой жидкости приводит к заметному сдвигу резонансной длины волны, а также сильно поднимает порог возбуждения ряби. Уже для поверхности раздела таких разных по плотности сред, как вода и воздух, учет конечных плотности и вязкости воздуха приводит к увеличению порога возбуждения параметрических волн на 8-10 % по сравнению со случаем свободной поверхности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам диссертации можно сделать следующие выводы:

1. При вычислении порога возбуждения параметрических волн необходимо корректно учитывать вязкость жидкости;

2. Значительное влияние на порог возбуждения ряби Фарадея имеет вязкость и плотность легкой жидкости, даже если они намного меньше соответствующих параметров тяжелой жидкости;

3. Корректная нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн может быть построена только при последовательном учете вязкости, в противном случае возникают трудности, связанные с коротковолновой неустойчивостью решений;

4. Вибрационный и термокапиллярный механизмы возбуждения поверхностных волн сильно и несимметричным образом взаимодействуют между собой, эффект Марангони приводит к немонотонному изменению порогового значения вибраций;

5. Вблизи критического состояния необходим сравнительно высокий уровень вибраций, необходимый для возбуждения волн на межфазной поверхности, связано это с тем, что в этом состоянии велик уровень диссипации и мала разность плотностей фаз;

6. При возбуждении параметрического резонанса критическая амплитуда скорости вибраций (именно этим параметром определяется подводимая от вибратора мощность) растет с частотой вибраций и, следовательно, при высокочастотных вибрациях резонансные явления затруднены высоким уровнем диссипации;

7. Для вибраций высокой частоты особо большое значение имеют осредненные эффекты. Так вертикальные вибрации приводят к дополнительной упругости поверхности раздела сред и могут, таким образом, предотвратить развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора.

8. Аналогичный эффект оказывают на поверхность раздела поляризующихся сред вращающиеся в горизонтальной плоскости электрические и магнитные поля, для магнитного поля этот эффект имеет место и в случае проводящей жидкости;

9. Горизонтальные поступательные вибрации высокой частоты сильно влияют на устойчивость поверхности раздела сред, в отличие от вертикальных вибраций их влияние носит дестабилизирующий характер. При достаточно высоком уровне вибраций, поляризованных по кругу, плоская поверхность раздела становится неустойчивой и на ней возникает практически неподвижный рельеф в виде гексагональных ячеек для слоев большой толщины и длинноволнового неподвижного солитона при тонких жидких слоях.

10. Вибрации не только влияют на форму поверхности раздела сред, но и генерируют осредненные течения, их основной источник - тонкий стоксов слой вблизи поверхности раздела сред;

11 .Вертикальные вибрации, имеющие вид высокочастотного дублета, приводят к совместному эффекту: высокочастотная составляющая придает дополнительную упругость поверхности жидкости, в то время как комбинационная частота, равная разности частот дублета, приводит к возбуждению параметрического резонанса;

12.Своеобразный вид имеет параметрический резонанс для жидкой капли, взвешенной в жидкой же матрице другой плотности, здесь одновременно возбуждаются две соседние моды собственных колебаний с периодической передачей энергии от одной моды к другой,

13.В рассматриваемом случае влияние вязкости носит несколько парадоксальный характер, учет вязкости приводит, как щ следовало ожидать, к конечному порогу возбуждения резонанса, но при этом уширяет зону неустойчивости - колебания возбуждаются при значении параметров, для которых невозможен резонанс в идеальной жидкости;

14.При воздействии на каплю высокочастотного дублета картина резонанса резко меняется: на комбинационной частоте возбуждается только нижняя мода собственных колебаний, соответствующая ее форме в виде эллипсоида вращения;

15. При высокочастотных вибрациях резонанс подавлен, но влияние вибраций проявляется в изменении формы капли, она приобретает форму эллипсоида вращения, сплюснутого в направлении вибраций, его эксцентриситет растет по мере роста уровня вибраций. Вибрации, поляризованные по кругу, придают капле форму вытянутого эллипсоида вращения, его большая полуось перпендикулярна плоскости вибраций;

16.Осевые вибрации цилиндрической жидкой зоны делают ее поверхность неустойчивой, даже если развитие капиллярной неустойчивости подавлено центробежными силами, на поверхности пороговым образом возникает стационарный волновой рельеф;

17.В вибрационном поле возникают средние силы и моменты сил, действующие на твердое тело со стороны жидкой матрицы, в которой оно взвешено, они не только притягивают тела к стенке сосуда, но оказывают на них ориентирующее действие, разворачивая несимметричные тела так, чтобы их широкая сторона была перпендикулярна направлению вибраций;

18. Твердые тела взаимодействуют между собой в вибрационном поле, силы быстро убывают с ростом расстояния между телами, вибрации и здесь стремятся оказать ориентирующее действие, например, круговые цилиндры выстраиваются так, чтобы линия, соединяющая их оси, была перпендикулярна направлению вибраций, эффект взаимодействие тел имеет место и в случае неоднородных вибраций;

19.При неоднородных вибрациях на каплю, взвешенную в жидкости другой плотности, действуют средние силы даже вдали от стенок сосуда, при этом ее форма имеет более сложный вид, чем при однородных поступательных вибрациях.

Полученные результаты свидетельствуют о сильном и разнообразном влиянии вибраций на неоднородные гидродинамические системы. Учет этого влияния необходим там, где вибрации возникают неконтролируемым образом. С другой стороны из приведенных результатов видно, что контролируемые вибрации мргут эффективно использоваться для управления устойчивостью гидродинамических систем.

Автор благодарен своим соавторам и другим коллегам, как теоретикам, сотрудничество с которыми принесло ему неоценимую пользу, так и экспериментаторам, чьи результаты служили ему вдохновляющей поддержкой при проведении исследований.

1. Faradey М. On a peculiar class acoustical figures and on certain forms assumed by a group of particles upon elastic surface. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1831, v.121, pp.209-318.

2. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука, т.1, М., ГИТТЛ, 1955.

3. Физическая акустика. Т.2 Свойства полимеров и нелинейная акустика . под ред. Мезона, М., Мир, 1969.

4. Ганиев Р.Ф., Лапчинский В.Ф. Проблемы механики в космической технологии. М., Машиностроение, 1978.

5. Ганиев Р.Ф., Лакиза В.Д., Цапенко А.С. Вибрационные эффекты в невесомости и перспективы космической технологии. ДАН СССР, 1976, т. 230, № 1, с. 48-50.

6. Lee С.P., Aniikumar A.V., Wang T.G. Stability of an acoustically levitated and flattened drop: an experimental study. Phys.Fluids, 1993, v. A5, p.2763.

7. Lee C.P., Aniikumar A.V., Wang T.G. Static shape and instability of an acoustically levitated liquid drop. Phys.Fluids, 1991, v. A3, p.2497.

8. Feng Z.C., Su Y.H. Numerical simulation of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field. Fhys.Fluids, 1997, v.A9, p.519

9. Yarin A.L., Weiss D.A. Acoustically levitated drop: ultrasound modulation and drop dynamics on and off resonance. Third Int. Conf. On Multiphase Flow, ICMF-98, Lyon, France, 1998.

10. Авдуевский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д. и др. Проблемы космического производства. М., Машиностроение, 1980.

11. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 5, с. 51-55.

12. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. М., Наука, 1972.

13. Герщуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М., Наука, 1989.

14. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вирационной конвекции. ДАН СССР, 1985, т. 281, № 4, с.815-816.

15. Иванова А.А., Козлов В.Г. Экспериментальное исследование влияния вертикальных вибраций на конвекцию в горизонтальном цилиндрическом слое. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 6, с. 180-183.

16. Lyubimov D.V. A new approach in the vibrational convection theory. C.R.A.S., Ser. 1 lb, 1995, v/320, No. 6, pp. 271-275.

17. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux B. The flows induced by a heated oscillating sphere. Int. J. Heat Mass Transfer, 1995, v.38, No. 11, pp. 2089-2100.

18. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Py Б., Черепанов А.А. Течение, индуцированное колеблющейся нагретой сферой. Изв. РАН, МЖГ, 1996, № 1, с. 31-39.

19. Гершуни Г.З., Любимов Д.В., Любимова Т.П., Ру Б. Конвективные течения в цилиндрической жидкой зоне в высокочастотном вибрационном поле. Изв. РАН, МЖГ, 1994, № 5, с. 53-61.

20. Gershuni G,Z., Lyubimov D.Y., Lyubimova T.P., Roux В. Convective flow in a liquid bridge subjected to high frequency vibrations. Microgravity Quarterly, 1994, v. 4, No. 2, pp. 113-118.

21. Козлов В.Г. О вибрационной тепловой конвекции в полости, совершающей высокочастотные вращательные качания. Изв. АН СССР, МЖГ, 1988, № 3, с. 138-144.

22. Козлов В.Г. О вибрационной конвекции в полости, совершающей пространственные маятниковые качания. Сб. Конвективные течения, Пермь, 111 ПИ, 1989, с. 19-31.

23. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. John Wiley and Sons, 1998.

24. Моисеев И.Н. Динамика корабля, имеющего жидкие грузы., Изв.АН СССР, ОТН, 1957, № 7, с. 25-45.

25. Benjamin Т.В., Ursell F. The stability of the plane free surface of a liquid in a vertical periodic motion, Proc. Roy. Soc., 1954, v.A225. No. 1163, pp. 505-515.

26. Болотин B.B. О движении жидкости в колеблющемся сосуде. ПММ, 1956, Т.20, №2, с.293-294.

27. Сорокин В.И. Об эффекте фонтанирования капель с поверхности вертикально колеблющейся жидкости. Акуст. Журнал, 1957, т.З, №3, с.262-273.

28. Агеев С.Г. Условия нарушения сплошности свободной поверхности вибрирующего столба жидкости. В сб Научные труды Челябинского политехнического института, Челябинск, 1976, № 180, с.24-28

29. Езерский А.Б., Коротин П.И., Рабинович М.И. Случайная самомодуляция двумерных структур на поверхности жидкости при параметрическом возбуждении. ЖЭТФ, 1986, Т.41, сЛ29-131.

30. Henderson D.M., Miles J.W. Faradey waves in 2:1 internal resonance. J. Fluid. Mech., 1991, v. 222, pp. 449-470.

31. Ciliberto S. Gollub J.P. Chaotic mode competition in parametrically forced surface waves. J. Fluid Mech., 1985, v. 158, pp. 381-398.

32. Секерж-Зенькович С.Я., Калиниченко В.А. О возбуждении внутренних волн в двуслойной жидкости вертикальными колебаниями. ДАН СССР, 1979, т.249 №4, с.797-799.

33. Секерж-Зенькович С.Я. Параметрическое возбуждение волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разных плотностей. ДАН СССР, 1983, Т.272, № 5, с. 1083-1084.

34. Калиниченко В.А., Нестеров C.B., Секерж-Зенькович С.Я. Параметрическое возбуждение внутренних волн. В кн. Волны и дифракция. Труды 8-го Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн., М., Наука, 1981, Т.1, с.185-188.

35. Неволин В.Г. Параметрическое возбуждение поверхностных волн. Инж,-физ. журн,, 1985, № 49, с. 1482-1494.

36. Miles J., Henderson D. Parametrically forced surface waves. Annu. Rev. Fluid Mech. 1990, No. 22, pp. 143-165.

37. Miles J. On Faradey resonance of a viscous liquid. J.Fluid Mech., 1999, v.395, pp. 321-325.

38. Kumar K. Linear theory of Faradey instability in viscous liquids. Proc. R. Soc. Lond., 1998, v. A452,pp. 1113-1126.

39. Ockendon J.R., Ockendon H. Resonant surface waves. J.Fluid Mech., 1973, v.59, part 2, pp.397-413.

40. Нестеров С.В. Параметрическое возбуждение волн на поверхности жидкости. В сб. Морские гидрофизические исследования., Севастополь, 1969, № 3(45), с. 87-97.

41. Нестеров С.В. Собственные частоты внутренних волн в жидкости с произвольной частотой Брента-Вяйсяля. ДАН СССР, 1983, т.277, № 3, с. 570-572.

42. Секерж-Зенькович С.Я. Параметрический резонанс в стратифицированной жидкости при вертикальных колебаниях сосуда. ДАН СССР, 1983, т. 270, № 5, с. 1089-1091.

43. Cerda Е.А., Tirapegui E.L. Faradey's instability in viscous fluids. J. Fluid Mech., 1998, v. 368, pp. 195-228.

44. Becchoffer J., Ego V., Manneville S., Jonson B. An experimental study of the onset of parametrically pumped surface waves in viscous fluids. J. Fluid Mech., 1998, v. 288, pp.325-350.

45. Chen P., Vinale J. Pattern selection in Faradey waves. Phys. Rev. Lett., 1994, v.14, pp. 2670-2673.

46. Edwards W.S., Fauve S. Patterns and quasipatterns in the Faradey experiments. J. Fluid. Mech., 1994, v. 278, pp. 123-148.

47. Edwards W.S., Fauve S. Parametrically excited quasicristalline surface waves. Phys. Rev., 1993, v. E47, pp. 788-791.

48. Wright J., Yon S., Pozrikidis C. Numerical studies of two-dimensional Faradey oscillations of inviscid fluids. J. Fluid Mech., 1999, v. 402, pp. 1-32.

49. Неволин В.Г. Параметрическое возбуждение волн на границе раздела. Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 2, с. 167-170.

50. Kumar К., Tuckerman L.S. Parametric instability of the interface between two fluids. J.Fluid Mech., 1994, v. 279, pp. 49-68.

51. Fauve S., Kumar К., Laroche С., Beysens D., Garrabos Y. Parametric instability of a liquid-vapour interface close to the critical point. Phys. Rev. Lett., 1992, v.68, pp. 3160-3163.

52. Beysens D., Wunenburger R., Chabot С., Garrabos Y. Effect of oscillatory ac-cerelations on two phase fluids. Int. J. Of microgravity researh and applications. 1998, v.ll,No. 3, pp.113-118.

53. Неволин В.Г., Кирчанов B.C. Влияние подогрева на параметрическое возбуждение волн на поверхности жидкости. ИФЖ, 1977, т.32, № 4, с. 708-711.

54. Григорян С.С., Жигачев Л.И., Когарко B.C., Якимов Ю.Л. Параметрический резонанс в сообщающихся сосудах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 2, с. 42-51.

55. Брискман В.А., Иванова А.А., Шайдуров Г.Ф. Параметрические колебания жидкости в сообщающихся сосудах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, № 2, с. 3642.

56. Брискман В.А., Иванова А.А., Черепанов А.А., Шайдуров Г.Ф. Параметрическая неустойчивость равновесия жидкости в сообщающихся сосудах. В сб. Гидродинамика, № 8, Пермь, 1976, с. 97-113.

57. Chandrasekhar S. The oscillations of viscous liquid glob. Proc. Lond. Math. Sci., 1959, v. 9, p. 141.

58. Yarin A.L., Pfaffenlehner M., Tropea C. On the acoustic lévitation of droplets. J. Fluid Mech., 1998, v. 356, p. 65.

59. Lee C.P., Anilkumar A.V., Wang T.G. Static shape of an acoustically levitated drop with wave-drop interaction. Phys.Fluids, 1994, v. 6, p.3554.

60. Mei C.C., Zhou X. Parametric resonance of a spherical bubble. J. Fluid Mech., 1991, v. 229,p.29.

61. Marston P.L., Apfel R.E. Quadrupole resonance of drops driven by modulated acoustic radiation pressure. Experimental properties. J. Acoust. Soc. Am., 1980, v. 67, p. 27.

62. Marston P.L. Shape oscillations and static deformation of drops and bubbles driven by modulated radiation stress theory. J. Acoust. Soc. Am., 1980, v. 67, p. 15

63. Капица П.JI. Маятник с вибрирующим подвесом. УФН, 1951, т. 44, № 1, с.7-20.

64. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, т.21, № 5, с.588-594.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М., Наука, 1973.

66. Troger Н. Heteroklinische Punkte und das Pendel mit periodisch erregtem Aufhangepunkt. Z. Angewandte Mathematic und Mechanik, Berlin, B.59, No.5, s.158-160.

67. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Угодников А.Д. Критические точки и "фазовые переходы" в стохастическом поведении неавтономного гармонического осциллятора. Письма в ЖЭТФ, 1983, т. 38, вып.2, с.64-67.

68. Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium. Z.Physik, 1961, B.227, s.291-300.

69. Wolf G.H. Dynamic stabilization of the interchange instability of a liquid-gas interface. Phys.Rev.Lett., 1970, v.24, No.9, pp.444-446.

70. Безденежных H. А. Инвертирование устойчивых стратификаций жидкость-газ под воздействием вибраций (эксперимент). В сб. II Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Тезисы докладов, Пермь, 1981, с. 114-115.

71. Безденежных H.A., Брискман В.А., Пузанов Г.В., Черепанов A.A., Шайдуров Г.Ф. О влиянии высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей. В кн.: Гидродинамика и массотеплообмен в невесомости, М., Наука, 1982, с. 34-39.

72. Безденежных H.A., Брискман В.А., Черепанов A.A., Шаров М.Т. Управление устойчивостью поверхности жидкости с помощью переменных полей, В кн.: Гидромеханика и процессы переноса в невесомости, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1983, с. 37-56.

73. Troyon F., Gräber R. Theory of dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability. Phys. Fluids, 1971, v. 14, No 10, pp. 2069-2073.

74. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложения функций Матье. М., Ил, 1953.

75. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа, ч. 2, М., Физматгиз, 1963.

76. Gerhauser Н. Theoretische Analyse des turbulent Transports durch die diffuse Grenzschicht bei der dynamischen Stabilisierung uberschichteter Flussi gheiten. Ber. Kernforschungsanlage Jülich, 1980, No. 1645, s. 41.

77. Любимов Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, №6, с. 8-13.

78. Замараев A.B., Любимов Д.В., Черепанов A.A. О равновесных формах поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. В кн.: Гидродинамика и процессы переноса, Свердловск, УрО АН СССР, 1989, с.23-26.

79. Любимов Д.В., Черепанов А.А Динамическая стабилизация рэлеевской капиллярной неустойчивости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, № 6, с. 3-7.

80. Kozlov V.G., LyubimovD. V., Lyubimova T.P., Roux В. Time-average vibrational flows induced by vibrations of solid body. Int. Workshop on Non-Gravitational Mechanisms of Convection and Heat/Mass Transfer, Zvenigorod, 1994, Abstracts, p. 28.

81. Lyubimov D.V., Ivanova A.A., Kozlov Y.G., Lyubimova T.P. Time-average flows induced by oscillations of container with change of its orientation. ELGRA-94 Biennial Meeting, Madrid,1994, Abstracts.

82. Batchelor G.K. An introduction to fluid dynamics. Camb. Univer. Press, 1967.

83. SchlichtingG. Grenzchicht-Theory, Karlsruhe, Braun, 1951.

84. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., 1953, Ser. A245, pp. 535-581.

85. Dore B.D. On mass transport induced by interfacial oscillations at a single frequency. Proc. Camb. Phil. Soc., 1973, v. 74, pp. 333-347.

86. Kozlov V.G., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В. On the vibrational flows in the isotheral liquid induced by solid body oscillations. 30th CO SPAR Meeting, Hamburg, 1994, Abstracts.

87. Челомей B.H. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями. ДАН СССР, 1983, т. 270, № 1, с. 62-67.

88. Сенницкий В.Л. О движении кругового цилиндра в вибрирующей жидкости. ПМТФ, 1985, № 5, с. 314-317.

89. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей жидкости. ДАН СССР, 1986, т. 289, с. 49-58.

90. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А. А. О движении твердого тела в вибрирующей жидкости. Конвективные течения, Пермь, 1987, с. 61-70.

91. Kozlov V.G. Solid body dynamics in cavity with liquid under high-frequency rotational vibration. Europhys. Lett., 1996, v. 36, No. 9, pp.651-656.

92. Kozlov V.G., Ivanova A. A., Evesque P. Mean dynamics of body in cavity subjected to high frequency pendular oscillations. Proceed. Of 2nd Europ. Conf. On Fluid in Space, Naples, 1996, pp. 578-582.

93. Черепанов A.A. Влияние переменных внешних полей на неустойчивость Рэ-лея-Тейлора. В сб. Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости, Препринт Института механики сплошных сред УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, с. 29-53.

94. Черепанов А.А. Резонансное взаимодействие гармоник при возбуждении ряби Фарадея, Вестник Пермского университета, Физика, вып.2, 1997, с. 39-45.

95. Бирих Р.В., Брискман В.А., Веларде М.Г., Черепанов А.А. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн, 1997, Доклады Академии Наук, т.352, N 5, с. 616-619.

96. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Особенности возбуждния параметрического резонанса на границе раздела фаз вблизи критического состояния. Гидродинамика, вып. 12, Пермь, ПГУ, 1999, с. 183-203.

97. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Движение неоднородной жидкости в поле высокочастотных поступательных вибраций. В сб. Конвективные течения, ПГПИ, Пермь,1989, с. 52-59.

98. Любимов Д.В., Перминов A.B., Черепанов A.A. Генерация осредненных течений в вибрационном поле вблизи поверхности раздела сред, Вибрационные эффекты в гидродинамике, Пермь, 1998, с. 204-221.

99. Черепанов A.A., Шипулин Д.В. Поведение границы раздела жидкостей в вибрационном поле, поляризованном по кругу. В сб.: Конвекция в системах несмешиваюгцихся жидкостей. РАН, Екатеринбург, 1999, с. 134-154.

100. Черепанов A.A. К вопросу об удержании жидкого металла вращающимся магнитным полем. Тезисы докладов IX Рижского совещания по магнитной гидродинамике, ч.Ш, МГД-технология и устройства, Рига, 1978,с.26-27

101. Черепанов A.A. О подавлении Рэлей-Тейлоровской неустойчивости поляризующихся жидкостей вращающимся внешним полем. Сб. Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость, Свердловск, УНЦ АНСССР, 1979,с.41-49

102. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux В. Deformation of gas or drop inclusion in high frequency vibrational field, 1997, Microgravity Quarterly, v.6, No.2-3, pp.69-73.

103. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux В. Interface orienting by vibrations. C.R.Acad.Sci.Paris,1997, t.325,Serie lib, p.391-396

104. Брискман В.А., Муратов И.Д., Черепанов А.А. К нелинейной теории устойчивости цилиндрической поверхности раздела жидкостей в присутствии вращения и осевых вибраций. В сб. Конвективные течения, ПГПИ, ПермьД989, с. 115-119

105. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Cherepanov A.A., Roux В. Vibration effects on heterogeneous systems. Microgravity Science and Technology, 1998, vol.XI, N 3, pp. 107-112.

106. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Dynamic stabilization of capillary instability of cylindrical liquid zone. Hydromechaiiics and heat/mass transfer in microgravity, Gordon and Breach Science Publishers, 1992, p. 209-213

107. Lyubimov D.V., Cherepanov A. A., Lyubimova T.P. Behavior of a drop (bubble) in a non-uniform pulsation flow. World COSPAR Conference, Warsaw, 2000, Abstracts.

108. Lyubimov D. V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux B. Deformation of gas inclusions in high frequency vibrational field. Proc. of 3-rd China-Japan Workshop on Microgravity Science, Xian, China, 1996, pp.136-141.

109. JI юбимов Д.В. Любимова Т.П., Черепанов А.А. Поведение капли жидкости или газового пузыря в неоднородном пульсационном потоке. Сб. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, вып.7, Новосибирск, 2000, с.89-90

110. Lyubimov D. V., Cherepanov А.А., Lyubimova T.P. Stability of fluid interface in vibrational field, 16-th IMACS World Congress on the Scien. Computation, Appl. Math. And Simulation, Proceedings, Lausanne, 2000, Sessions, 164-1

111. Герценштейн С.Я., Рахманов А.И. Конвекция в осциллирующем поле сил и микрогравитации. Изв. РАН, МЖГ, №5, с. 99-106.

112. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1966.

113. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, М., Наука, 1984

114. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. ПМТФ, 1968, № 2, с. 86-95.

115. Вайнберг М.М.„ Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М., Наука, 1969.

116. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1978.

117. Найфе А.Х. Методы возмущений. М., Мир, 1976.

118. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М., Мир, 1972.

119. Pearson J.R.A., On convection cells induced by surface tension. J.Fluid Mech., 1958, 4, pp.489-500.

120. Garcia Ybarra P.L., Velarde M.G., Oscillatory Marangoni-Benard interfacial instability and capillary-gravity waves in single and two-component liquid layers with or without Soret thermal diffusion., Phys.Fluids, 1987, 30, pp. 1649-1660.

121. Левченко Е.Б., Черняков А.И., Неустойчивость поверхностных волн в неоднородно нагретой жидкости. ЖЭТФ, 1981, 54, с. 102-106.

122. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, М., Наука, 1982

123. Ivanova A.A., Tashkinov C.L Two liquid interface stability in cavity, subject to circular translational vibrations. Труды 28 Летней школы «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем (NOMS-OO», С.-Петербург, 2000.

124. Gailitis A. Formation of the hexagonal patterns on the surface of a ferromagnetic fluid in a applied magnetic field. J. FluidMech., v. 82, N 3, pp. 401—413.

125. Кузнецов E.A., Спектор М.Д. О существовании гексагонального рельефа на поверхности жидкого диэлектрика во внешнем электрическом поле. ЖЭТФ, 1976. т. 71, вып. 1, с. 262—272

126. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., Мир, 1981.

127. Korteweg D.J., de Vries G. On the chouse of form of long waves advancing in a rectangular channel and on a new type of long stationary waves. Phil. Mag., 1895, v.39,No.5, pp. 422-443

128. Любимов Д.В., Хеннер M.B. О длинноволновой неустойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях. Сб. Гидродинамика, № 11, Пермь, ПГУ, 1999, с. 191-196

129. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р. and RouxB. Vibrational convection in a heated liquid bridge with a free surface, C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, 320, Ser. II b, 225-230.

130. Любимов Д.В., Саввина M.B., Черепанов A.A. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести. В кн: Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами, Новосибирск: СО АН СССР, 1987, 97-105.

131. Шмидт Г. Параметрические колебания. М., Мир, 1979.

132. Melcher J.R. Field-coupled surface waves. Cambridge, MIT Press, 1963.

133. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. М., Наука, 1973.

134. Ладиков ЮЛ. Стабилизация процессов в сплошных средах. М., Наука, 1978.

135. Бучин В.А., Цыпкин А.Г. О неустойчивости Рэлея-Тейлора поляризующихся и намагничивающихся жидкостей в переменном электромагнитном поле. ДАН СССР, 1974, т.219, № 5, с. 1085-1087.

136. Шаров М.Т. Устойчивость равновесия поверхности жидкости при гармонических пульсациях электрического поля. В сб. Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1983, с. 85-98.

137. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Устойчивость поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле с круговой поляризацией. Материалы VII школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ, 1992, с. 39-40

138. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova Т.Р., Roux В., Beysens D. Resonance oscillations and equilibrium shape of a liquid drop in a vibrational field. EU-ROMECH, 3-rd Eur. Fluid Mech. Conf., Gottingen, 1997, Book of Abstracts, p.222.

139. Lyubimov D. V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux В., Beysens D. Parametric resonance at the interface of phase separating media. Waves in two phase flow, EUROMECH Colloquium 376, Istanbul, 1998, Book of Abstracts, pp. 56-57.

140. Любимов Д.В., Перминов А.В., Черепанов А.А. Генерация средних течений в поле высокочастотных вибраций вблизи поверхности раздела сред. Сб. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, вып. 7, Новосибирск, 2000, с.78-80

141. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, 1982.

142. Брискман В.А., Любимов Д.В., Черепанов А.А. Устойчивость поверхности раздела вращающихся жидкостей в осевом вибрационном поле. Материалы IV Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, Новосибирск, 1987, с. 64-65 .

143. Брискман В.А., Любимов Д.В., Черепанов А.А. Равновесие, движение и устойчивость неоднородной жидкости в высокочастотном вибрационном поле. Аннотации докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986, с. 135.

144. Birikh R.V., Briskman V.A., Cherepanov А.А., Velarde M.G. Interaction between mechanisms of thermo-capillaiy overstability and parametric wave excitation. 2-nd European fluid mechanics conference, abstracts of papers, Warsaw, 1994, p. 77