Численное исследование осредненных эффектов воздействия высокочастотных поступательных вибраций на неоднородные гидродинамические системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

на правах рукописи

Иванцов Андрей Олегович

Численное исследование осредненных эффектов воздействия высокочастотных поступательных вибраций на неоднородные гидродинамические системы

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2009

003461785

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Любимов Дмитрий Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Тарунин Евгений Леонидович кандидат физико-математических наук Перминов Анатолий Викторович

Ведущая организация Челябинский государственный

университет

Защита состоится марта 2009 г. в 1515 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15; сайт: www.psu.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан "^'ЧРИ&^Д. 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, у'

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Исследование влияния высокочастотных поступательных вибраций на поведение неоднородных гидродинамических систем, с теоретической точки зрения, интересно вследствие разнообразия наблюдаемых эффектов. В частности, вибрации могут быть причиной появления новых устойчивых конфигураций деформируемых границ и поверхностей раздела. Примерами такого рода эффектов являются изменение средней формы деформируемого включения в пульсационном поле и формирование регулярных структур на границе раздела двух несмсшивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях. Исследование осредненного влияния периодического воздействия актуально и с практической точки зрения. Во многих технических процессах вибрации часто являются трудноустранимым сопутствующим явлением, и возникает необходимость исследовать эффекты, которые они вызывают. В то же время вибрации являются одним из перспективных способов управления течениями, сочетающим в себе сравнительную простоту реализации и низкоэнергетичность. Так, контролируемые вибрации могут быть использованы для управления течениями, а следовательно и тепломассопереносом, в ходе процесса выращивания кристаллов методом Бриджмена.

Исследования проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (04-01-00422-а, 06-01-00693-а, 07-01-00695-а), Научно-образовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах» (РЕ 009-0), Программы поддержки Ведущих научных школ (НШ-1981.2003.1), Российско-германской программы «Михаил Ломоносов» 07/08.

Целью работы является исследование влияния поступательных вибраций на неоднородные гидродинамические системы; изучение характеристик пульсационного поведения, влияния вибраций на среднюю форму деформируемых границ и поверхностей раздела, генерации осредненных течений и их устойчивости.

Научная новизна работы.

• Впервые исследовано поведение полусферической капли на подложке, совершающей нормальные колебания акустической частоты.

• Исследовано влияние высокочастотных вибраций на среднюю форму капли, помещенной на твердую подложку.

• Проведено численное моделирование космического эксперимента по выращиванию кристаллов бесконтактным методом Бриджмена.

• На основе метода сквозного счета с использованием технологий параллельного программирования и адаптивной сетки разработан эффективный алгоритм численного исследования систем двух несмешивающихся жидкостей в инерционных полях.

• Впервые проведено прямое численное моделирование волнового рельефа, формирующегося на границе раздела двух жидкостей с сильно различающимися вязкостями при горизонтальных вибрациях.

Автор защищает:

• результаты исследования поведения капли жидкости на твердой подложке, совершающей высокочастотные нормальные вибрации;

• результаты численного моделирования гидродинамики расплава при выращивании кристаллов бесконтактным методом Бриджмена;

• результаты слабо-нелинейного анализа устойчивости по отношению к спиральным возмущениям и прямого численного моделирования термоакустического адвективного течения;

• результаты численного моделирования волнового рельефа, формирующегося на горизонтальной границе раздела двух жидкостей с сильно различающимися коэффициентами вязкости.

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; соответствием численных и аналитических результатов в предельных случаях и с результатами других авторов в тех случаях, где возможно сравнение.

Практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть полезны при разработке новых методов управления течениями расплава в ходе выращивания кристаллов методом Бриджмена. Разработанный в ходе выполнения диссертации новый алгоритм численного моделирования динамики системы двух жидкостей может быть использован при исследовании других эффектов в двухфазных средах. Исследование поведения капель и слоев в вибрационном поле важно для многих технологических приложений, например, для задач смазки, управления теплоотводом с поверхностей, проблем микроэлектроники.

4

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: 11-я Всероссийская конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 2002; Конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2002, 2003, 2004, 2005, 2006); International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, 2003; Областная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов "Молодежная наука Прикамья - 2004", Пермь, 2004; Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая), Пермь, 2005; XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", Saint-Petersburg (Repino), 2006; Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», Бийск, 2008; Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2008; семинар Кристаллографического института Фрайбургского университета, Фрайбург, Германия, 2008; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, ПГУ, Пермь, 2008.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [117], одна из которых опубликована в издании, входящем в список ВАК. Работы [1-9] выполнены диссертантом лично. В [11-16] автор проводил вычисления и участвовал в обсуждении результатов. В работах [10, 17] исследование и обработка результатов проведены диссертантом, анализ осуществлен совместно с соавторами.

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, четырех глав, заключения, списка литературы (126 наименований). Работа содержит 61 рисунок и 2 таблицы. Общий объем диссертации — 176 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Во введении представлен обзор литературы по тематике диссертационной работы, приводится ее общая характеристика, и формулируются основные цели работы. Делается вывод об актуальности темы диссертации и новизне решаемых задач.

Первая глава. Изучено влияние высокочастотных и акустических вибраций на поведение капли на осциллирующей твердой подложке. Ось вибраций направлена по нормали к плоскости подложки, амплитуда предполагается малой по сравнению с равновесным радиусом капли. Предполагается, что каплю окружает газовая среда, плотность которой пренебрежимо мала; влияние силы тяжести не учитывается. Рассматриваются осесимметричные движения. Для описания поведения капли в вибрационном поле используется метод осреднения, основанный на разделении всех процессов на быстрые (характерные времена порядка периода вибраций) и медленные (осредненные по периоду вибраций). Толщина динамического пограничного слоя, образующегося около твердой и свободной поверхностей, предполагалась малой по сравнению с размером капли. Такое условие позволяет пренебречь диссипацией при описании пульсационного движения капли и не учитывать генерацию средних течений в пограничных слоях при определении средней формы капли1. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе получены уравнения и сформулированы граничные условия для задачи пульсационного и осредненного движения капли в поле акустических вибраций. Сжимаемость жидкости необходимо учитывать, если длина звуковой волны в жидкости сравнима с размером капли. Например, для капли воды радиусом 1 см эффекты, связанные со сжимаемостью, будут заметны при частоте вибраций порядка 150 кГц. Уравнения записаны в безразмерной форме, средняя форма капли характеризуется вибрационным параметром <9 = р0а2а)2к/а, где ра - средняя плотность, я, w - частота и амплитуда вибраций, R - средний радиус капли, а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

Во втором параграфе изучаются акустические колебания полусферической в среднем капли на твердой подложке. Средняя форма капли будет иметь форму полусферы, в случаях, когда вибрационный параметр мал и средний краевой угол прямой. Решение пульсационной задачи с учетом поверхностного натяжения жидкости получено в виде рядов по полиномам Лежандра. Показано, что частоты осесимметричных собственных звуковых колебаний полусферической

1 Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. М.: Физматлмт. 2003. 216 с.

6

капли определяются уравнением Л/2п (к)-(2п-\)(2п + 2)/3/2п (А) = 0, где п -меридиональное число, )1п — сферические функции Бесселя первого рода, к = а>тс — безразмерное волновое число (с — скорость звука), /3 = аД/э(|с2/?).

Суммирование рядов проводилось численно с помощью пакета математических вычислений Марк. Обнаружены резонансы акустической моды колебаний капли. Проведены расчеты для ситуаций, когда поверхностные силы можно считать малыми (частота вибраций подложки велика по сравнению с частотами собственных колебаний формы), и при учете поверхностного натяжения. Показано, что в последнем случае резонансным образом возбуждаются высокие моды колебаний формы капли, приводящие к возникновению вблизи поверхности капли мелкомасштабных течений.

В третьем параграфе изучено влияние высокочастотных вибраций на форму несжимаемой капли в квазиравновесии, т.е. состоянии, в котором средние

течения отсутствуют. Предполагалось, что частота вибраций много больше частот главных собственных колебаний формы, поверхностным натяжением при описании пульсаци-онного движения пренебрегалось.

В предельном случае малых значений вибрационного параметра функция, определяющая среднюю форму капли, представлена в виде рядов по полиномам Лежандра. Коэффициенты этого разложения зависят от скорости пульсационного движения, выражение для расчета которой получено в предыдущем параграфе. Вычисления показали, что под воздействием вибраций высота капли уменьшается, а площадь основания увеличивается. При этом деформация поверхности меняется пропорционально вибрационному параметру.

7

Рисунок 1. Зависимость высоты капли от вибрационного параметра. Линией показано решение, полученное в пределе малых (У. Точки - численное решение. На фрагментах изображена осредненная форма капли в состоянии квазиравновесия и поле потенциала пульсационной компоненты скорости при 0 = 0 и 0 = 7

Для определения осредненной формы капли в случае конечных значений вибрационного параметра использован вариационный принцип2. Подбирая такую форму средней поверхности, чтобы соответствующий функционал, зависящий от пульсационных полей, был минимален, можно определить осредненную форму капли в состоянии квазиравновесия. Пульсационная задача с заданной средней формой поверхности капли решалась численно методом граничных элементов. Полученные результаты представлены на рисунке 1. Как видно, вплоть до <2 я 2 численные результаты хорошо согласуются с решением, найденным в пределе малых Q. При увеличении вибрационного параметра характер изменения осредненной формы капли качественно не изменяется, площадь основания капли увеличиваться, высота капли уменьшается. Показано, что при увеличении вибрационного параметра средний краевой угол уменьшается.

Вторая глава. Изучаются течения, возникающие в ходе выращивания кристалла германия бесконтактным методом Бриджмена под действием аксиальных вибраций кристалла. Исследование связано с экспериментом, проведенным в 2007 г. на спутнике ФОТОН Конструкторским бюро общего машиностроения. В соответствии с условиями эксперимента математическая модель процесса выращивания кристаллов должна учитывать отделение кристалла от стенки ампулы и существование дополнительного (технологического) канала в верхней части ампулы. Размер мениска вблизи поверхности кристалл-расплав мал (80100 мкм), при этом поверхностные силы не дают расплаву проникать в область между стенкой ампулы и кристаллом. Предполагалось, что часть технологического канала заполнена расплавом. Верхняя граница расплава и поверхность расплава между кристаллом и стенкой ампулы свободные. В настоящей главе в отличие от первой главы диссертации среднее положение поверхностей раздела предполагается известным, а основное внимание уделяется генерации средних течений в динамических пограничных слоях. Глава состоит из четырех параграфов.

2 СЬегерапоу А.А., ЬуиЫтоу О. V., [.уиЫтоуа Т.Р., Коих В. Мшп^гауИу С>иа11ег1у. 1996. У.6. № 2-3. Р. 69-73

В первом параграфе приводится физическая и математическая постановки задачи. Для описания влияния вибраций, как и в предыдущей главе, используется осредненный подход, условиями применимости которого являются малость толщины вязкого пограничного слоя и амплитуды вибраций по сравнению с характерным размером задачи (в данном случае с радиусом ампулы). Для учета отделения кристалла использовалась модель, основанная на предположении, что в отсутствие вибраций мениск плоский и горизонтальный. Осредненными деформациями мениска и верхней свободной поверхности пренебрегалось. Расчеты проводились для частот вибраций / = 50 400 Ги (го = 2л/ ); амплитуда вибраций варьировалась в интервале а = 5 4-10 мкм.

Во втором параграфе излагается решение задачи о пульсационном течении расплава. На свободных поверхностях ставятся граничные условия Рувинского-

Фрейдмана, учитывающие диссипацию в пограничном слое. Решение задачи находится численно методом коллокаций. Вычисления проводились для физических параметров, соответствующих расплаву германия и следующих геометрических параметров: радиус ампулы Я = 0.75 см, высота ампулы — 4.5 см, зазор между кристаллом и расплавом принимался равным 1.5-10 2 см, высота заполнения технологического канала — 0.2 см. Рассматривались два случая, когда радиус технологического канала равен 0.1 см и 0.2 см. Вибрации кристалла приводят к Рисунок 2. Безразмерная функция тока при возбужденшо колебаний свободной частоте вибраций кристалла 200 Гц и

поверхности в верхнем технологическом

различных значениях амплитуды

вибраций: (а) - а = 5 мкм; (б) - а = 7 мкм; канме и в зазоРе междУ кристаллом и (в)-а = 8мкм стенкой ампулы. Зависимость амплитуды

вынужденных колебаний свободной поверхности в технологическом канале от частоты вибраций носит резонансный характер.

Во третьем и четвертом параграфах проводится численное моделирование средних течений в расплаве. Расчеты проводились методом конечных объемов, учитывались несколько механизмов генерации среднего течения: термовибрационная конвекция, термокапиллярная конвекция, шлихтинговская генерация и генерация осредненной завихренности вблизи свободной поверхности. Вычисления проводились с помощью уравнений, записанных в безразмерной форме. В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости выбраны соответственно Я, Я2/*.

где V — кинематическая вязкость

расплава.

Вибрации приводят к генерации интенсивного среднего течения в верхнем технологическом канале, где высоки градиенты пульсационной скорости. Структура среднего течения вблизи резонанса определяется шлихтинговской генерацией. Интенсивность верхнего вихря сильно возрастает, и он может достичь нижней границы расплава.

На рисунке 2 приводится картина среднего течения при различных амплитудах вибраций. Как видно, уменьшение амплитуды вибраций приводит к снижению интенсивности среднего течения, структура течения при этом качественно сохраняется.

Изучен вклад различных механизмов генерации среднего течения. Исследовалось также влияние формы верхней части ампулы на генерацию среднего течения. Вычисления показали, что сглаживание угла между технологическим каналом и верхней стенкой ампулы приводит к уменьшению интенсивности среднего течения.

Третья глава. Исследуется влияние бегущей звуковой волны на конвективное течение в горизонтальном слое, на границах которого поддерживается линейное распределение температуры. Линейная устойчивость адвективного течения в акустическом поле изучена ранее3, в частности, показано, что в случае достаточно интенсивного звукового воздействия наиболее опасными становятся спиральные возмущения (продольные валы). Настоящая глава диссертации посвящена исследованию нелинейных конвективных течений этого типа. Глава состоит из трех параграфов.

3 Любимов Д.В., Шкляев С.В Изв. РАН. МЖГ. 2000. №3. С. 10-21

10

В первом параграфе приводится математическая постановка задачи. Для описания течений, возникающих в слое, используются осредненные уравнения термоакустической конвекции, которые в случае бегущей акустической волны совпадают с уравнениями тепловой конвекции в приближениях Буссинеска. Влияние вибраций учитывается в эффективных граничных условиях: скорость жидкости на границе тонкого пограничного слоя равна Ъа2о)2/4с, где а, о -амплитуда и частота звуковой волны, с - скорость звука.

Во втором параграфе поведение течения вблизи порога устойчивости изучено в рамках слабо-нелинейного приближения. Из условия разрешимости задачи третьего порядка получено дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию амплитудных функций. Для вычисления постоянных, входящих в данное уравнение, необходимо знать собственные функции линейной задачи устойчивости и решения неоднородных линейных задач, возникающих во втором порядке. Для их нахождения использовался метод стрельбы с применением процедуры ортогонализации. Вычисления показали, что надкритические режимы возникают мягко и вблизи порога устойчивы относительно модуляции.

Во третьем параграфе приведены результаты численного моделирования на основе полных уравнений термоакустической конвекции. Моделирование задачи осуществлено методом конечных разностей. По результатам вычислений построены линии тока и изотермы для различных режимов течения. Проведен анализ устойчивости плоскопараллельного конвективного течения, исследованы условия возникновения и временная эволюция вторичного течения. Подтвержден мягкий характер ветвления решений вблизи порога.

Четвертая глава. Численно изучена нелинейная динамика волнового рельефа, возникающего на границе несмешивающихся жидкостей в замкнутой полости в поле тяжести при горизонтальных вибрациях. Возбуждение волнового рельефа на поверхности двух жидкостей различной плотности обнаружено впервые в экспериментальной работе4. Теоретическое исследование этого эффекта5, проведенное в приближении невязких жидкостей, показало, что

4 Wolf G H. Z. Phys.. 1969. V.227. H. 3. P. 291-300

5 Любимов Д.В., Черепанов A.A. Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 6. С. 8-13

11

рельеф формируется пороговым образом, вследствие развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе формулируются уравнения и граничные условия, описывающие динамику двухслойной системы. В настоящей главе для описания влияния вибраций используется неосредненный подход на основе полных уравнений динамики вязкой жидкости.

Второй параграф посвящен методике численного моделирования. Для описания поведения двухслойной системы с деформируемой границей раздела использовался метод сквозного счета: двухслойная система жидкостей рассматривается как одна среда с переменными параметрами, поверхностные эффекты описываются дополнительной объемной силой. Приводится описание алгоритма разработанной программы, которая позволяет проводить эффективные вычисления на многопроцессорных компьютерах с использованием адаптивной сетки.

В третьем параграфе представлены результаты численного моделирования. Расчеты проводилось для параметров жидкостей, используемых в работе6: силиконовое масло и охлаждающая жидкость Galden НТ135. Вязкости этих жидкостей равны соответственно 0.202 Па-с и 1.96 10 3 Па-с, плотности — р, = 962 кг/м ' и рг - 1752 кг/м', коэффициент поверхностного натяжения а = 6.78 10 3 Н/м . В ходе вычислений предполагалось, что жидкости заполняют в равных долях сосуд размерами 2.0x8.5 см.

Рисунок 3. Поле скорости среднего течения при амплитуде вибраций а = 2.6 мм, частоте / = 20 Гц (И/ а 3.4). Линией показано среднее положение поверхности раздела, длина стрелок пропорциональна квадратному корню из средней скорости

6 Talib Е , Jalikop S., Jue! А. J. Fluid Mech. 2007. V. 584. Р. 45-68

12

Вычисления показали, что в замкнутой полости, как и в бесконечно длинном слое, возникновение рельефа носит пороговый характер. Вблизи порога устойчивости высота рельефа возрастает с ростом интенсивности вибраций по корневому закону. Как показали вычисления, порог возникновения рельефа в системе жидкостей с сильно различающимися коэффициентами вязкости ниже, чем граница устойчивости, полученная в рамках линейной теории для невязких жидкостей. Полученные критические параметры хорошо согласуется с известными экспериментальными данными.

На рисунке 3 показан пример векторного поля скорости среднего течения, полученного в результате осреднения численных данных по периоду вибраций.

Проведено исследование надкритических режимов. На рисунке 4 приведена зависимость длины волны рельефа Ь, измеренной в единицах

Л 6.8-1

5.2-

4.8-

2.5

Г

3.5

I

4.5

—1 5.5 IV

Рисунок 4. Зависимость безразмерной длины волны рельефа £ от IV

1С = л/а/(р2 ~> от безразмерной скорости вибраций IV = аа/. Вблизи порога устойчивости плоской границы раздела при увеличении интенсивности вибраций наблюдается уменьшение длины волны рельефа. При ~ 4 длина волны рельефа

минимальна. В случае IV > IV, с

ростом интенсивности виораций пространственный период рельефа увеличивается. При этом, если скорости вибраций таковы, что 1У>1УСГ, то длина волны рельефа определяется только значением параметра IV . При IV < IVсг длина волны различна для разных частот вибраций. Также следует отметить, что лри IV > 1УСГ с ростом интенсивности вибраций высота рельефа увеличивается заметно быстрее, чем вблизи порога.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Исследованы акустические колебания полусферической капли, помещенной на осциллирующую твердую подложку. Получены частоты собственных

13

звуковых осесимметричных колебаний полусферической капли. Найдено аналитическое решение задачи о вынужденных осесимметричных колебаниях полусферической капли.

2. С помощью вариационного принципа определена средняя форма несжимаемой осесимметричной капли на твердой подложке, совершающей высокочастотные колебания. Показано, что вибрации приводят к уменьшению высоты капли, площадь ее основания при этом увеличиваться.

3. Проведено численное моделирование течений, возникающих в ходе выращивания кристалла германия бесконтактным методом Бриджмена при аксиальных вибрациях кристалла. Установлено, что вибрации генерируют интенсивное среднее течение в верхнем технологическом канале ампулы, где велики градиенты пульсационной скорости. Найдены резонансные частоты. В ходе исследования поведения системы вблизи резонанса определены амплитуды вибраций, при которых вихрь, генерируемый в технологическом канале, достигает фронта кристаллизации. Среднее течение около кристалла при малой интенсивности вибраций генерируется в основном благодаря конвекции Марангони и имеет форму вихря, локализованного вблизи мениска. При увеличении интенсивности вибраций, вследствие развития термовибрационной конвекции, формируется вихрь, охватывающий всю нижнюю часть расплава.

4. Изучено влияние бегущей звуковой волны на устойчивость адвективного течения по отношению к спиральным возмущениям. Проведен слабонелинейный анализ и прямое численное моделирование. Установлено, что надкритические режимы возникают мягко и устойчивы вблизи порога относительно модуляции.

5. В рамках нестационарного подхода численно изучена нелинейная динамика волнового рельефа, возникающего на границе несмешивающихся жидкостей с сильно различающимися вязкостями при горизонтальных вибрациях. Найдены критические условия возникновения волнового рельефа. Установлено, что длина волны рельефа с ростом интенсивности вибраций меняется немонотонно.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Иванцов А.О. Численное исследование термоакустического адвективного течения. П-я всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках». Тез. докладов. Пермь. 2002. С. 16-17.

2. Иванцов А.О. Численное исследование термоакустического адвективного течения. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2002. С. 46-47.

3. Ivantsov А.О. Thermoacoustic advective flow near stability threshold. Int. conf. «Advanced Problems in Thermal Convection». Abstr. Perm. 2003. P. 113-114.

4. Ivantsov A.O. Thermoacoustic advective flow near stability threshold. Proc. of Int. conf. «Advanced Problems in Thermal Convection». Perm. 2004. P. 272277.

5. Иванцов А.О. Изучение термоакустического адвективного течения вблизи порога устойчивости. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2003. С. 36-37.

6. Иванцов А.О. Акустические колебания полусферической капли на твердой подложке. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2004. С. 32-33.

7. Иванцов А.О. Осредненная форма сжимаемого включения на осциллирующей подложке. Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тез. докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С. 138.

8. Иванцов А.О. Поведение капли на подложке в поле высокочастотных вибраций. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2005. С. 37-38.

9. Иванцов А.О. Акустические колебания полусферической капли. Гидродинамика: Межвуз. сб. (тучных трудов. Пермь: изд. Пермск. ун-та. 2005. Вып. 15. С. 22-39.

Ю.Иванцов А.О. Шкляев С.В. Влияние акустического поля на вторичное конвективное течение в слое. Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 204-209.

11.Ivantsov A., Lyubimov D., Lyubimova Т. Numerical modeling of flows during detached Bridgman crystal growth under axial vibrations. XXXIV Summer

School - Conference «Advance Problems in Mechanics». Abstr. Saint-Petersburg. 2006. P. 44.

12.Иванцов A.O., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние вибраций на гидродинамику расплава при выращивании кристаллов методом Бриджмена. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2006. С. 21-22.

13.Иванцов А.О., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Численное моделирование процесса выращивания кристаллов бесконтактным методом Бриджмена под действием вибраций. Межвузовская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края». Тез. докладов. Пермь. 2008. С. 13-14.

14.Иванцов А.О., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние вибраций на процесс выращивания кристаллов бесконтактным методом Бриджмена. Сб. материалов науч. семинара стипендиатов программы «Михаил Ломоносов». Москва. 2008. С. 77-78.

15.Любимов Д.В., Любимова Т.П., Иванцов А.О. Волновые структуры на поверхности раздела несмешивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях. 3-я всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения", Бийск. Тез. докладов. Новосибирск. 2008. С. 65.

16.Любимов Д.В., Любимова Т.П., Иванцов А.О., Черепанова А.А. Использование метода сквозного счета для моделирования динамики сред с поверхностью раздела. Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № 2. С. 5-15.

17.Иванцов А.О., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Волновой рельеф на поверхности раздела жидкостей разной вязкости при горизонтальных вибрациях. Материалы всероссийской конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь. 2008. С. 138-142.

Подписано в печать 28.01.2009 г. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ . Типография Пермского государственного университета 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОВЕДЕНИЕ КАПЛИ НА ТВЕРДОЙ ПОДЛОЖКЕ В ПОЛЕ

ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ И АКУСТИЧЕСКИХ ВИБРАЦИЙ.

1.1. Получение определяющих уравнений.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Задача о пульсационном движении.

1.1.3. Уравнения среднего движения.

1.1.4. Вариационный принцип.

1.2. Колебания полусферической капли в акустическом поле.

1.2.1. Собственные звуковые колебания полусферической капли.

1.2.2. Решение задачи пульсационного движения.

1.2.3. Колебания полусферической капли в отсутствие капиллярных сил.

1.2.4. Вынужденные колебания капли с учетом поверхностного натяжения жидкости.

1.3. Осредненная форма несжимаемой капли в квазиравновесии

1.3.1. Задача о пульсационном движении несжимаемой капли.

1.3.2. Квазиравновесная форма капли, близкой к полусферической

1.3.3. Метод граничных элементов.;.

1.3.4. Влияние вибраций на среднюю форму капли в квазиравновесии.

Вибрации являются одним из перспективных способов управления неоднородными гидродинамическими системами, сочетающим в себе сравнительную простоту реализации и низкоэнергетичность. Как показывает практика, с помощью вибрационного воздействия можно значительно усовершенствовать многие технологические процессы, с другой стороны, вибрации часто являются трудноустранимым сопутствующим явлением технологических процессов, и возникает необходимость исследовать эффекты, которые они вызывают.

В настоящее время поведение гидродинамических систем в вибрационных и акустических полях изучается в большом количестве работ. Исследованию влияния вибраций на гидродинамические системы посвящены работы [1-3]. Большое количество примеров воздействия вибраций на различные механические системы обсуждается в работах И.И.Блехмана [4,5].

Воздействие высокочастотных поступательных вибраций на неоднородные гидродинамические системы, как правило, приводит к возникновению осредненных эффектов. Обсудим основные работы, в которых исследуется осредненное влияние вибраций на неоднородные гидродинамические системы.

1.1.1. Генерация течений в вязких пограничных слоях

Во многих ситуациях характерное время вязкой или другой диссипации оказывается значительно больше периода вибраций, в этом случае поведение гидродинамических систем в вибрационных полях может быть описано в рамках осредненного подхода. Поля скорости, температуры, давления (и, если нужно, другие) разбиваются на две составляющих — пульсационную, характерное время изменения которой сравнимо с периодом вибраций, и осредненную, не зависящую от вибрационного времени.

Осциллирующее движение жидкости может быть рассмотрено в без-диссипативном приближении всюду, кроме тонкого пограничного слоя толщины д = -yjvjco , v - кинематическая вязкости жидкости, со - частота вибраций), формирующегося вблизи твердых поверхностей и поверхностей раздела сред. Вследствие вибраций в пограничном слое, генерируется завихренность, которая затем за счет диффузии или конвективным образом переносится в основной объем, приводя к возникновению среднего движения.

Одним из первых осредненное описание динамики жидкостей применил Рэлей [6]. В частности он показал, что стоячая звуковая волна генерирует средне течение вблизи твердой стенки, что приводит к возникновению системы вихрей. Установлено, что интенсивность среднего течения пропорциональна квадрату скорости вибраций и не зависит от вязкости жидкости. В работе [7] отмечено, что в решении Рэлея ошибочно пренебрегалось сжимаемостью жидкости. Показано, что учет сжимаемости в пограничном слое, вообще говоря, принципиален, однако в задаче, изученной Рэлеем, результат остается неизменным.

Генерацию осредненного течения в случае произвольного потока несжимаемой жидкости впервые описал Г.Шлихтинг [8]. Полученные формулы он применил к задаче о натекании пульсирующего потока на неподвижный цилиндр. В настоящее время течения генерируемые вибрациями в несжимаемой жидкости около твердых стенок часто называют шлихтинговскими.

В работе [9] показано, что генерация средних течений в пограничных слоях высокочастотными малоамплитудными вибрациями может быть описана с помощью эффективных граничных условий. При этом значение скорости среднего течения на внешней границе пограничного слоя переносится для основного течения на твердую границу. Граничное условие, справедливое в случае вибраций с неоднородной фазой, получено в [10].

В наиболее общем и простом для использования виде формула, описывающая генерацию осредненного течения в пограничном слое вблизи б твердой поверхности, выведена в [11]. Показано, что средняя скорость на границе пограничного слоя вычисляется следующим образом: 1 и = Г

4 со

-VVV + 2

1—i 2

3.1,,. -Л 1

VdivV

4 р0с

PV + к.с., где Р, V — амплитуды пульсационного давления и скорости, с - скорость звука, к.с. — комплексно-сопряженные слагаемые. Расчет, проведенный по этой формуле, показывает, что в случае бегущей вдоль слоя плоской волны; скорость акустического течения постоянна вдоль границы и равна За2со2/4с (а - амплитуда звуковой волны). Аналогичный результат можно получить и из [7], если устремить к нулю толщину пограничного слоя.

Генерация- осредненного течения вблизи свободной поверхности изучена в [9]. Подробное обсуждение граничных условий на твердой и свободной границах или поверхности раздела содержится в [1].

1.1.2. Вибрационная конвекция

Неравномерный нагрев жидкости приводит, в.силу теплового расширения, к появлению неоднородностей плотности. В поле тяжести это является причиной возникновения переменной по пространству силы и, как следствие, конвективного движения жидкости. Обычно неоднородности плотности, обусловленные градиентом температуры, малы, и зависимость плотности от температуры линеаризуется: p=pQ(\-J3(T-T0)). Здесь Г0, р0 - характерные температура и плотность жидкости, Р — коэффициент объемного расширения. В таких случаях для описания конвекции можно использовать систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости с дополнительным слагаемым в уравнении движении, которое имеет смысл силы Архимеда. Систему уравнений, полученную таким путем, принято называть уравнениями тепловой конвекции в приближениях Буссинеска [12]. Необходимо заметить, что гравитационное поле приводит к возникновению гидростатического распределения давления pQ--pQgz (z — вертикальная координата). Конвективное движение является эффектом первого порядка по параметру Буссине-ска рв, где G - характерный перепад температур.

Вибрации могут оказывать значительное влияние на конвективные течения. Разнообразные явления, возникающие при взаимодействии вибрационных полей с неоднородной по плотности жидкостью, привели к образованию новой отрасли гидродинамики - вибрационной конвекции.

В работе [13] впервые для исследования влияния вибраций на конвективные течения был применен осредненный подход. Исследована конвективная устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя жидкости под действием высокочастотных поступательных вибраций. Полученную в работе систему осредненных уравнений часто называют уравнениями Зеньковской-Симоненко. Математическое обоснование метода осреднения приводится в работе [14].

При выводе уравнений Зеньковской-Симоненко накладывается несколько ограничений на амплитуду и частоту вибраций. Считается, что частота вибраций со, с одной стороны, велика по сравнению с обратными диссипативными временами (со » v/h2, со » x/h2 )> с другой достаточно мала, чтобы не возбуждалось акустических волн (co^c/h). Здесь j -коэффициент температуропроводности, h - характерная толщина слоя. Амплитуда вибраций а предполагается не слишком большой: а/3в<^к. Последнее условие позволяет не учитывать нелинейные слагаемые при описании пульсационного течения. Интенсивность среднего течения, генерируемого вибрациями, характеризуется вибрационным числом

Грасгофа Gv =(aco/36h/vy jl. Вибрационная конвекция, описываемая уравнениями Зеньковской-Симоненко, является эффектом второго порядка по параметру Буссинеска рв.

Дальнейшее развитие исследований по вибрационной конвекции дано Д.В. Любимовым в [11]. Получены уравнения вибрационной конвекции, справедливые для широкого класса задач. В частности, корректно описываются непоступательные вибрации, наличие свободных поверхностей и погруженных в жидкость подвижных твердых включений. Следует отметить, что в системах со свободными поверхностями или подвижными твердыми телами пульсационное течение могут генерироваться и в изотермическом случае. Вибрационные эффекты в такого рада системах проявляются значительно сильнее, интенсивность среднего течения оказывается пропорциональна первой степени малого параметра (36.

Уравнения вибрационной конвекции, записанные как в общем виде, так и различных предельных случаях, а также подробную библиографию по вибрационной конвекции и результаты наиболее важных исследований можно найти в монографии [1].

1.1.3. Уравнения термоакустической конвекции

Приближения вибрационной конвекции накладывают ограничение сверху на частоту вибраций. В ситуациях, когда частота такова, что в жидкости возникает звуковая волна, необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Уравнения термоакустической конвекции, корректно описывающие различные механизмы осредненного взаимодействия акустического поля и тепловой конвекции, получены в работе [11]. При выводе данных уравнений предполагались выполненными следующие условия:

Ж/, 5 «С/, m<w/, тgh<^c2.

Здесь / = шт(/г,Я) (h - характерный размер системы, Я - длина акустической волны), и - характерная осредненная скорость жидкости. Уравнения термоакустической конвекции имеют вид [11]: ди dt rotw x (и + S) ■

УФ у+

1 (д Ф^2

5/

V ст = -VII + rjM + erg, + (u + S)Vo- = -pJ3xAT—@-Dy, divи =0, dt Ср д2Ф dt2

2с2 с2 АФ.

Здесь Ф — потенциал пульсационной компоненты скорости, й — средняя скорость движения жидкости, Т — ее температура, ст - отклонение энтропии жидкости от равновесного значения, П - перенормированное давление, Dv -диссипативная функция, вычисленная по пульсационному полю скорости, р - средняя плотность, g - ускорение свободного падения, г/ - коэффициент динамической вязкости, y—CpjCy - отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Чертой сверху означена операция осреднения по периоду акустических колебаний. Все параметры жидкости считаются постоянными.

Уравнения содержат вектор пульсационного транспорта, S, называемый иногда вектором Стокса. Осредненные уравнения гидродинамики с учетом пульсационного транспорта были впервые выведены Лонге

Хиггинсом. Вектор S вводится следующим образом: S = (/V)w, где вектор - пульсационное смещение: w=df/dt, J — 0. При этом v=w + S является средней лагранжевой скоростью жидкости [11].

В работе [11] также получена система уравнений «слабой» акустической конвекции, показано, что акустическими эффектами можно пренебречь при /г/Я <§: рв (а не h/X 1, как предполагалось ранее).

Рассмотрен частный случай, когда пульсационное поле скорости имеет вид плоской волны: w=ao)j cosd)(t-x/с), (j - орт оси х). В этом случае уравнения термовибрационной конвекции существенно упрощаются, т.к. все средние величины, определяемые акустическим полем, пространственно однородны. Действительно, vj2=a2co2/2 = const, следовательно, слагаемое, содержащее этот член, имеет градиентный вид, а значит, лишь еще раз перенормирует давление. Вектор пульсационного транспорта в данном случае постоянен и направлен вдоль оси х. Также можно считать, что а = -р/ЗТ, и пренебречь аэродинамическим нагревом (малые числа Маха), что позволяет опустить диссипативное слагаемое в уравнении переноса тепла. В результате получим обычные уравнения тепловой конвекции в приближениях Буссинеска [12]: д\ 1 + (vV)v =--V/? + vAv+gjJTy, dt р

O'Ti (vV)T = ^AT, div v =0, dt где v - средняя лагранжева скорость, у - единичный вектор, направленный вертикально вверх, ар- еще раз перенормированное давление. Таким образом, в данном случае пульсационные поля не входят в уравнения для осредненных величин, влияние акустической волны заключается лишь в погранслойной генерации среднего течения.

Далее обсудим результаты некоторых исследований, близких по тематике к задачам, рассмотренным в диссертации.

1.1.4. Поведение деформируемого включения в вибрационном поле

Исследование колебаний капель и газовых пузырьков берет свое начало с известных работ Рэлея (Rayleigh, 1878). В дальнейшем различными авторами проводилось теоретическое и экспериментальное изучение поведения капель и пузырей в вибрационных полях. Рассмотрен широкий диапазон частот - от сравнимых с собственными частотами колебаний формы включений до акустических.

Известно, что для сферического пузырька, заполненного достаточно разреженным газом, нижняя собственная частота колебаний объема мала по сравнению с характерными звуковыми частотами. Давление внутри пузырька пространственно однородно, его изменения во времени связаны с изменением объема адиабатическим законом. Эта, так называемая "дышащая" мода (breathing mode), была подробно исследована Рэлеем [16]. Получено нелинейное эволюционное уравнение для радиуса пузырька, определена частота малых колебаний. Для малых плотностей газа эта частота может быть сравнима с частотами колебания формы. В этом случае при изучении колебаний формы важно учитывать изменения объема газового пузырька. Подобные явления изучались в работах Лонге-Хиггинса [17, 18], посвященных исследованию возбуждения звукового поля за счет колебаний формы газового пузырька. В работе [19] в сходных предположениях рассматривалось резонансное взаимодействие колебаний формы и "дышащей" моды.

Спектр частот собственных колебаний капли, взвешенной в жидкости другой плотности был получен Чандрасекаром [20]. Поведение полусферической капли, помещенной на твердую осциллирующую подложку изучено в работах [21,22]. Получены собственные частоты и декременты затухаиия колебаний полусферической капли (для осесимметричных мод); изучены линейные и нелинейные колебания капли, в частности, возникающие резонансные явления. Влияние инерции жидкости, окружающей каплю, изучено в работе [22]. В этой же работе рассмотрены неосесимметричные моды собственных колебаний.

В статье [23] изучены вынужденные колебания подвешенной на стержне капли. Учтена тяжесть и вязкость жидкости, используется метод конечных элементов. В качестве начальных условий используются статические условия. Изучены изменения формы и полей скорости, обнаружены хорошо заметные резонансные явления. Последовательно изучено влияние тяжести как положительной, так и отрицательной), нелинейности, размеров капли и ее равновесной формы. Обнаружены гистерезисные явления - скачкообразное изменение отклика при изменении частоты. Неоднозначная зависимость амплитуды колебаний от частоты получена в [24], с использованием метода продолжения по параметру. Данный эффект аналогичен классическому явлению гистерезиса амплитудно-частотной характеристики в первичном резонансе для уравнения Дюффинга [25].

В работе [26] исследована параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний формы почти сферической капли; показано, что для главных резонансов неустойчивость появляется при выполнении условия синхронизма со = Qn + Qn+1, со — частота вибраций, Qn, Q,)+1 - частоты двух соседних мод собственных колебаний. Такое условие резонанса связано с тем, что моды собственных колебаний взаимодействуют через трансляционную моду.

В работах [27, 28] рассмотрено поведение капли в акустическом поле, состоящим из двух компонент с близкими частотами. Комбинационная частота, равная разности частот двух компонент, оказывалась близка к собственным частотам низших мод колебаний капли, и в эксперименте [27] наблюдалось резонансное возбуждение квадрупольных колебаний капли на указанной комбинационной частоте. В теоретической работе [28] было показано, что эти колебания не являются параметрическими, порог возбуждения у них отсутствует. Таким образом, в данном случае речь идет о резонансе вынужденных колебаниях.

Под действием высокочастотных вибраций высокой интенсивности наблюдается резонансное возбуждение высших мод колебаний капли, что может приводить к атомизации капли: выбросу малых частей жидкости со свободной поверхности. Экспериментально атомизация капли, находящейся на осциллирующей твердой подложке, изучалась в работе [29]. На основе данных, полученных в ходе эксперимента, формулируется эмпирическая теория, в которой в систему вводится нелинейное трение. В работе [30] проводится численное моделирование процесса атомизации в полной нелинейной вязкой постановке.

Другой интересной областью исследований жидкостей с поверхностью раздела является изучение динамики контактной линии. Движение линии контакта находится в противоречии с условиями вязкого прилипания жидкости и приводит к появлению сингулярностей (как показано в работе [31], сингулярности отсутствуют только для нулевого контактного угла). В силу этого, в непосредственной близости к движущейся контактной линии необходимо учитывать силы негидродинамической природы. Например, при растекании жидкости по твердой поверхности образуется прекурсивная пленка, в которой существенны короткодействующие ван-дер-ваальсовы силы взаимодействия жидкости с подложкой [32-34]. Ситуация коренным образом меняется при колебательном движении с высокой частотой. В этом случае вязкость существенна лишь в тонких пограничных слоях вблизи твердой поверхности и поверхности раздела. В соответствии с этим имеет смысл искать решение невязкой задачи вне пограничных слоев, учитывая динамику краевого угла с помощью эффективного граничного условия. Наиболее часто используется условие, предложенное Л.М.Хокингом [35]: скорость движения контактной линии пропорциональна отклонению краевого угла от его равновесного значения. Например, в работе [36] использовалось условие Л.М.Хокинга при описании собственных и вынужденных колебаний пузыря на твердой подложке. Показано, что зависимость скорости движения контактной линии от краевого угла приводит к взаимодействию колебаний формы и объема пузыря. Также в работе получен критерий необходимости учета сжимаемости пузыря.

При изучении поведения пузырька, находящегося на твердой подложке, в земных условиях, значительный интерес представляет явление отрыва. Условия, соответствующие отрыву пузырька, формулируются в различных работах. Во многих работах (см., например, [37]) считается, что пузырек отрывается, если рассчитанная по полному объему пузырька подъемная сила превышает вертикальную составляющую силы натяжения в точке контакта. Другая модель отрыва предложена в [38]. Построена кривая равновесных состояний: вертикальный размер пузырька в зависимости от его объема. Обнаружено, что указанная кривая является неоднозначной: одному значению объема соответствуют две различных формы пузырька, одна из которых устойчива, другая (с образованием шейки вблизи линии контакта) — нет. Предполагается, что отрыв происходит в точке касательной бифуркации при критическом значении объема, для которого устойчивое и неустойчивое решения совпадают. В ходе экспериментального исследования, проведенного в этой же работе, обнаружено достаточно хорошее согласие с экспериментом.

Осредненная форма капли, окруженной осциллирующей жидкостью-иной плотности, изучена в работе [39] при малых скоростях вибраций и в [40] для конечной интенсивности вибраций. В [39] сформулирован вариационный принцип, позволяющий определить осредненную форму поверхности: состоянию квазиравновесия соответствует минимум некоторого функционала. Показано, что капля сплющивается вдоль оси вибраций, ее форма достаточно хорошо описывается сплюснутым эллипсоидом вращения. Примеры эффективного применения вариационного принципа к задачам определения равновесной формы свободной поверхности в отсутствие вибраций можно также найти в [41]. Осредненная форма капли, помещенной на осциллирующую твердую подложку, ранее не рассматривалась.

В работе [42] проведено численное моделирование движения капли в вибрационном поле. Рассматривается невязкая несжимаемая капля, окруженная невязкой, но сжимаемой средой (газом). Рассмотрены колебания формы и поступательное движение капли, а также эффекты, связанные с их взаимодействием. При малых отклонениях формы капли от сферической, динамика аксиально-симметричной капли описана с помощью сферических гармонических функций (полиномов Лежандра). В случае конечных отклонений поверхности, динамика капли исследовалась с помощью метода граничных элементов. Показано, что в определенной области параметров существует устойчивая равновесная форма капли. Данная форма была вычислена с помощью введения в систему искусственной диссипации энергии. Определены верхний и нижний пределы интенсивности акустического поля, при котором возможна левитация капли. Изучено взаимодействие между поступательным движением капли и колебаниями формы. Показано, что данные движения можно рассматривать отдельно друг от друга, вследствие значительной разности в скоростях данных процессов (период колебаний формы капли много больше периода трансляционного движения). Взаимодействие становится значительным, если начальные деформации поверхности капли велики. В данном случае, периоды колебаний формы капли и трансляционного движения одного порядка. В результате взаимодействия возбуждаются моды колебаний формы капли высоких порядков.

1.1.5. Выращивание кристаллов бесконтактным методом Бриджмена

Развитие современных технологий предъявляет все более высокие требования к качеству монокристаллов. Управляя течениями в расплаве в ходе выращивания кристалла, можно существенно влиять на качество получаемого монокристаллического материала.

В полупроводниковой микроэлектронике для получения монокристаллического материала широко применяется метод Бриджмена. При выращивании кристаллов этим методом исходное сырье помещается в герметичную ампулу и расплавляется, затем ампула медленно выводится из горячей зоны печи в более холодную, при этом на заостренном дне ампулы образуется кристалл-зародыш, из которого в ходе дальнейшего движения тигля формируется монокристалл.

Вибрационное воздействие является одним из перспективных способов управления процессом кристаллизации. Высокая эффективность использования аксиальных низкочастотных вибраций при выращивании кристаллов методом Бриджмена была продемонстрирована в экспериментах [43,44]. В работе [44] показано, что аксиальные вибрации твердого тела, погруженного в расплав уменьшают неоднородность распределения примеси по длине выращиваемого кристалла.

Исследование влияния низкочастотных вибраций круговой поляризации проводилось в [45]. Такие вибрации генерируют сильное течение, распространяющееся от свободной поверхности жидкости. Обнаружен большой градиент скорости, уменьшающийся от свободной поверхности. Полученный профиль скорости зависит от амплитуды и частоты вибраций, а также от диаметра тигля. В отсутствие протяжки (т.е. при нулевой скорости движения тигля) форма фронта кристаллизации зависит от частоты вибраций. Как только генерируемый вибрациями поток жидкости приближается к межфазной границе, вогнутость фронта уменьшается. В работе [46] найдены параметры вибраций, необходимые для предотвращения флуктуаций фронта кристаллизации и уменьшения его искривления при скорости движения ампулы, большей 10 мм/час.

Результаты теоретических исследований влияния высокочастотных вибраций можно найти в [47, 48]. Показано, что вибрации являются эффективным средством уменьшения сегрегации примеси на фронте кристаллизации в процессе направленной кристаллизации вертикальным методом Бриджмена.

В последние десятилетия проводится большое количество экспериментов по выращиванию кристаллов методом Бриджмена в условиях микрогравитации. На начальном этапе исследования проводились с целью получить кристалл со значительно улучшенными свойствами. В настоящее время микрогравитация стала средством, позволяющим более подробно исследовать процессы, проходящие в ходе роста кристалла, с целью более подробно изучить фундаментальные процессы, проходящие при росте кристаллов.

Данные исследования должны помочь повысить качество кристаллов, выращиваемых в земных условиях.

В ходе экспериментов по выращиванию кристаллов методом Бриджме-на, проведенных в космосе в 70-х годах 20-го века, было обнаружено, что в процессе роста может наблюдаться отделение кристалла от стенки ампулы. При этом уменьшаются механические напряжения вблизи стенки ампулы, что положительно влияет на качество монокристалла. Установлено, что кристалл может расти без контакта со стенкой, даже если изначально расплав находился в закрытом контейнере и соприкасался со стенкой. В работах [49,50] проводится обзор результатов экспериментов. Описаны условия, при которых наблюдался бесконтактных рост кристаллов, анализируется зависимость качества кристаллов от условий роста и наличия контакта кристалла со стенкой ампулы.

Теоретическое исследование условий, обеспечивающих устойчивый рост кристалла без контакта со стенкой ампулы в Земных условиях и условиях микрогравитации, проведено в [51-54]. Для обеспечения отделения кристалла и предотвращения попадания расплава в зазор между ампулой и кристаллом в нижней части ампулы создается повышенное давление. В работе [51] проведен линейный анализ устойчивости роста кристалла на основе условия устойчивости, полученного в работе Татарченко [52]: рост кристалла устойчив, если кривизна мениска положительна на линии контакта трех фаз. Кривизна мениска определяется с помощью формулы Лапласа. Разработана методика, позволяющая определять величину давления, необходимого для обеспечения бесконтактного роста кристалла. Выращен кристалл GaSb, неравномерность поверхности которого близка к величинам, наблюдаемым в ходе экспериментов в космосе. При проведении эксперимента наибольшие трудности вызвало загрязнение поверхности мениска, что приводило к прекращению скольжения контактной линии вдоль стенки ампулы. В результате процесс роста становился неустойчивым. В работе [53] авторы используют новый метод для контроля давления газа в нижней части ампулы, основанный на изменении температуры инертного газа. Разработанная методика позволяет изолировать инертный газ в ампуле и избежать возможного загрязнения контактной линии.

В работах [55, 56] проведены эксперименты по выращиванию кристаллов GeGa бесконтактным методом Бриджмена в ампулах, сделанных из различных материалов: кварца, кварца с графитовым и BN покрытием, а тающее pBN. Проведен анализ формы и устойчивость мениска при различных условиях эксперимента. В статье [55] особое внимание уделено изучению качества поверхности выращенного кристалла. Показано, что в тех частях кристалла, где процесс роста проходил без контакта со стенкой ампулы, искривления поверхности кристалла значительно уменьшаются. Данный эффект объясняется уменьшением радиальной компоненты градиента температуры при отделении кристалла от ампулы, что в свою очередь, снижает механические напряжение, возникающие вблизи поверхности кристаллизации.

1.1.6. Устойчивость адвективного течения в вибрационных полях

Адвективным течением называется конвективное течение, возникающее в плоском горизонтальном слое жидкости, находящимся между двумя твердыми стенками, на которых поддерживается продольный градиент температуры [57]. Особенность данного типа течений состоит в том, что скорость жидкости перпендикулярна подъемной силе. Интерес к изучению подобных течений связан с рядом геофизических приложений. В частности, адвективные течения могут наблюдаться в океане и мантии Земли, а также в атмосфере вследствие, к примеру, циркуляции Хэдли. Кроме того, такого рода течения возникают во многих технологических процессах, например, при выращивании кристаллов горизонтальным методом Бриджмена.

Адвективное течение имеет кубический профиль скорости (течение с таким же профилем формируется в вертикальном слое между нагретыми до разной температуры плоскостями). Распределение температуры описывается нечетным полиномом пятой степени. С теоретической точки зрения интерес к исследованию адвективного течения во многом обусловлен многообразием механизмов неустойчивости. Профиль скорости адвективного течения имеет точку перегиба, вблизи которой может развиваться гидродинамическая мода неустойчивости. Несмотря на то, что в любом вертикальном сечении температура на границах слоя одинакова, конвективное движение жидкости приводит к формированию потенциально неустойчивой вертикальной стратификации вблизи верхней и нижней границ слоя. Вследствие этого возможно возникновение рэлеевской моды неустойчивости. Задача исследования устойчивости адвективных течений не допускает преобразования Сквайра [58], т.е. не удается свести задачу о пространственных возмущениях к соответствующей плоской задаче.

Актуальность изучения устойчивости адвективных течений объясняется большим количеством технологических приложений данной задачи, которые обсуждаются в [59,60]. Плоскопараллельное течение (как для обеих твердых границ, так и для свободной верхней, на которой учитывается термокапиллярный эффект) получено в [57]. Задача линейной теории устойчивости адвективного течения рассматривалась многими авторами, подробный анализ работ проведен в [61].

В работе [62] изучалась устойчивость адвективного течения относительно плоских возмущений. Обнаружены две моды неустойчивости: при малых числах Прандтля наиболее опасны монотонные возмущения гидродинамического типа. Эта мода связана с возникновением вихрей на границе встречных потоков. Критическое число Грасгофа растет с увеличением числа Прандтля, т.к. при конечных Рг в центральной части слоя имеется устойчивая температурная стратификация, затрудняющая развитие неустойчивости. В гидродинамическом пределе (Рг = 0) критическое число Грасгофа совпадает с точкой потери устойчивости изотермического течения с кубическим профилем. Волновое число наиболее опасных возмущений монотонно уменьшается с ростом числа Прандтля.

При умеренных и больших значениях числа Прандтля обнаружена рэ-леевская волновая мода неустойчивости. Данный тип неустойчивости связан с развитием конвективного движения в неустойчиво стратифицированных слоях вблизи твердых границ. С ростом Рг критическое число Грасгофа уменьшается. При больших Рг управляющим параметром задачи становится Ra = GrPr.

Задача устойчивости адвективного течения относительно спиральных возмущений (валов, с осями параллельными основному потоку) рассмотрена в [63]. Показано, что при любых значениях Рг спиральные возмущения оказываются опаснее плоских рэлеевских. Обнаружены две монотонные моды неустойчивости различной четности относительно середины слоя: Данные моды неустойчивости, как и плоская рэлеевская, связана с рэлеев-ским конвективным механизмом. Критические числа четной и нечетной мод близки. Спектр возмущений приводится в работе [64].

Собственные функции линейной задачи изучались в [65]. Для гидродинамической моды суммарное движение, возникающее вследствие неустойчивости, имеет вид системы неподвижных вихрей на границе встречных потоков. Плоские рэлеевские моды характеризуются возмущениями ячеистой структуры, практически полностью локализованными в верхней или нижней части слоя. Критические возмущения для данной моды вырождены по направлению распространения волны. Волна с отрицательной фазовой скоростью распространяется в верхнем потоке; нижний поток практически не возмущен. Для волны с положительной фазовой скоростью ситуация обратная. В широкой области чисел Прандтля размер конвективной ячейки порядка толщины неустойчиво стратифицированного слоя. Фазовая скорость волновых мод слабо зависит от числа Прандтля.

Для спиральной монотонной моды неустойчивости нечетные возмущения имеют структуру двух расположенных друг над другом вихрей с противоположным направлением циркуляции [65]. В случае же четного возмущения основные вихри имеют одинаковые направления циркуляции, а между ними образуется слабый согласующий вихрь противоположной циркуляции. Центры основных вихрей расположены в зонах неустойчивой стратификации.

В работе [66] обнаружена еще одна — спиральная колебательная мода неустойчивости. По своей физической природе она связана с возбуждением внутренних волн в слое устойчивой стратификации; волны распространяются в направлениях, перпендикулярных осям спиральных возмущений. Эта мода наиболее опасна в сравнительно узкой области чисел Прандтля от 0.14 до 0.45.

Таким образом, с ростом числа Прандтля наблюдается следующая картина: при Рг<0.14 наиболее опасны плоские монотонные возмущения, затем при 0.14<Рг <0.45 - спиральные колебательные, а при больших значениях числа Прандтля - спиральные монотонные.

Большое количество работ посвящено прямому численному моделированию адвективного течения: [67] (течение в бесконечном слое), [68,69] (в замкнутых полостях). В работе [67] с помощью метода сеток изучалась структура вторичных течений и характер ветвления решений вблизи порога устойчивости. Расчеты проведены для чисел Прандтля 0.1 и 1; моделировались гидродинамическая, релелеевская и спиральная монотонная моды неустойчивости. Расчеты подтвердили критические значения числа Грасгофа, найденные в линейной теории, а также форму критических возмущений. Вблизи минимумов нейтральных кривых происходит мягкое ответвление вторичного режима, причем его амплитуда вблизи порога растет с надкри-тичностью по корневому закону, а конвективная составляющая поперечного теплового потока — по линейному закону.

Устойчивость адвективного течения изучалась экспериментально в работе [70]. В качестве рабочей жидкости использовался спирт (Рг = 16.1). Экспериментальные результаты хорошо согласуются с выводами теорией: в диапазоне 54 < Gr < 72 развивалась неустойчивость относительно монотонных спиральных мод (теоретическое значение Gr= 55) с волновыми числами 2.9 < кт< 4.3 (теоретическое значение кт ~ 4).

В статье [71] положено начало изучению адвективного течения под действием вибраций. Рассмотрена структура плоскопараллельного течения для случаев продольных, вертикальных и поперечных (но горизонтальных) вибраций, теплопроводных и теплоизолированных границ. В случае продольных вибраций течение вытесняется к границам и ослабевает с ростом вибрационного числа Грасгофа. Вертикальные и поперечные вибрации качественно не меняют профили скорости и температуры адвективного течения.

Устойчивость адвективного течения при продольных и поперечных вибрациях изучена в [72,73], соответственно. Установлено, что продольные вибрации повышают порог устойчивости адвективного течения для всех чисел Прандтля, причем стабилизирующее влияние на разные моды неустойчивости оказывается неодинаковым. В результате при малых числах Прандтля неустойчивость, как и в отсутствие вибраций, связана с гидродинамическими возмущениями. С увеличением числа Прандтля гидродинамическую моду сменяет волновая спиральная и при больших значениях числа Прандтля наиболее опасной становится плоская тепловая мода, которая без вибраций не была наиболее опасной ни при каких значениях числа Прандтля.

В случае поперечных вибраций наблюдается стабилизация плоских рэ-леевских и гидродинамических возмущений. Спиральная монотонная мода возмущений также стабилизируется поперечными вибрациями, причем при больших числах Прандтля четная мода стабилизируется сильнее нечетной и становится менее опасной. Спиральная волновая мода неустойчивости стабилизируется слабо.

В статье [74] изучена структура плоскопараллельного виброконвективного течения в наклонном слое при продольном градиенте температуры и произвольной оси вибрации. Получены условия квазиравновесия, исследована устойчивость течения по отношению к плоским длинноволновым возмущениям. Показано, что при произвольном угле наклона оси вибраций (не продольные и не поперечные вибрации) осредненное течение возникает и в невесомости.

Влияние бегущей звуковой волны на устойчивость адвективного течения изучалось в работе [75]. Получен профиль комбинированного течения и изучена его устойчивость. Показано, что в зависимости от параметров задачи наиболее опасными являются плоские, спиральные или трехмерные возмущения. При слабом акустическом воздействии наиболее опасны плоские гидродинамические возмущения. По мере увеличения интенсивности акустического воздействия, кризис становится обусловленным трехмерными возмущениями. При достаточно сильном воздействии наиболее опасными являются спиральные монотонные возмущения. В этой области параметров наблюдается заметное понижение устойчивости течения. Проведен также слабо-нелинейный анализ задачи, получено дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию амплитудных функций. Позднее, при численном исследовании, этого амплитудного уравнения, было обнаружено, что для спиральной монотонной моды возможно жесткое возбуждение конвекции [76].

1.1.7. Волновые структуры на поверхности раздела двух несмешиваю-щихся жидкостей при горизонтальных вибрациях

Исследование линейной устойчивости поверхности раздела идеальных несмешивающихся жидкостей, движущихся параллельно плоской поверхности раздела, так, что относительная скорость содержит как постоянную, так и периодическую составляющие, осуществлено в работе [77] для случая бесконечно глубоких слоев. Показано, что имеется два типа неустойчивости: неустойчивость типа неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, возникающая при скорости колебаний, превосходящей некоторую пороговую величину, и параметрическая неустойчивость, возникающая безпороговым образом.

Образование квазистационарного волнового рельефа на поверхности раздела двух горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей под действием горизонтальных вибраций было экспериментально обнаружено в работе [78]. Теоретическое исследование этого явления на основе высокочастотного приближения (вязкой диссипацией пренебрегалось) в работах [79, 80] показало, что возникновение рельефа носит пороговый характер, а основным механизмом неустойчивости плоской поверхности раздела является неустойчивость Кельвина - Гельмгольца на границе раздела осциллирующих встречных потоков. Получено следующее выражение для нейтральной кривой: jji (Рх+Рг? ак + (рх- р2)^-к thkh. (1.20)

2PiPi(Pi -P2f

Здесь b — аш амплитуда скорости вибраций. Если глубина жидкости велика (kh>> 1), то критическая скорость вибраций вычисляется по формуле

Рх+Рг)" ак + (рх-р2уf к

2P\PI(P\~ P2f В этом случае функция Ь2(к) имеет минимум в точке k 2{Px~Pi) ё

Кт — > а а минимальное значение критической амплитуды скорости вибраций

2PiPi Oi -р2)

Волновой рельеф не может формироваться при толщинах слоев, меньших некоторого значения. В этом случае неустойчивость носит длинноволновой характер. Плоская поверхность жидкости при таких толщинах слоев будет неустойчива, если

P\+Pifhg 2Р\Р2(Р\-Р2)

Исследование в рамках линейной теории устойчивости при конечных частотах [81] показало, что параметрический резонанс, обусловленный перекачкой энергии пульсационного движения в капиллярно-гравитационные волны, для реальных ситуаций несущественен, так как порог его возбуждения оказался значительно выше порога возбуждения неустойчивости Кельвина — Гельмгольца.

В работе [82] экспериментально и численно обнаружено явление удвоения длины волны квазистационарного рельефа, происходящее при достаточно малых надкритичностях. Более подробно это явление исследовано в работе [83].

В экспериментах [84] было обнаружено формирование квазистационарного волнового рельефа на границе раздела однородная жидкость-взвесь твердых частиц в жидкости и было показано, что реализующиеся длины волн хорошо описываются линейной теорией для случая двух однородных жидкостей при нулевом коэффициенте поверхностного натяжения. Также было обнаружено, что кроме квазистационарного волнового рельефа могут существовать режимы с медленно дрейфующим рельефом.

Явления на поверхности раздела жидкость-взвесь были теоретически исследованы в работах [85, 86], где была построена осредненная теория с учетом взаимодействия между частицами взвеси и несущей жидкостью, включая силы Бассе, эффект присоединенных масс и силы Стокса. Было также показано, что наряду с монотонной неустойчивостью, приводящей к образованию стационарного рельефа, возможна колебательная неустойчивость, которая может привести к дрейфу рельефа или к возникновению стоячих волн. Возбуждение квазистационарных периодических структур на поверхности раздела жидкость-взвесь под действием поступательных вибраций нелинейной поляризации исследовано в работе [86].

В работе [87] экспериментально исследовалось образование квазистационарных структур на поверхности раздела фаз для двухфазной системы С02 при температуре, близкой к термодинамической критической точке. Определена зависимость критической длины волны от амплитуды скорости вибраций. В экспериментах, описанных в [88], исследовались условия возникновения волнового рельефа и надкритическая динамика системы, состоящей из двух жидкостей: силиконовое масло и охлаждающая жидкость Galden НТ135.

Надкритические режимы волнового рельефа к настоящему времени изучены слабо. Остается недостаточно исследованной устойчивость надкритических режимов не только при больших, но даже и при малых надкритичностях. Слабо изучена роль вязкости в возбуждении волнового рельефа, в частности, влияние вязкости на зависимость критической длины волны от амплитуды и частоты вибраций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Исследование влияния высокочастотных поступательных вибраций на поведение неоднородных гидродинамических систем, с теоретической точки зрения, интересно вследствие разнообразия наблюдаемых эффектов. В частности, вибрации могут быть причиной появления новых устойчивых конфигураций деформируемых границ и поверхностей раздела. Примерами такого рода эффектов являются изменение средней формы деформируемого включения в пульсационном поле и формирование регулярных структур на границе раздела двух несмешиваю-щихся жидкостей при горизонтальных вибрациях. Исследование осредненно-го влияния периодического воздействия актуально и с практической точки зрения. Во многих технических процессах вибрации часто являются трудноустранимым сопутствующим явлением, и возникает необходимость исследовать эффекты, которые они вызывают. В тоже время вибрации являются одним из перспективных способов управления течениями, сочетающим в себе сравнительную простоту реализации и низкоэнергетич-ность. Так, контролируемые вибрации могут быть использованы для управления течениями, а, следовательно, и тепломассопереносом, в ходе процесса выращивания кристаллов методом Бриджмена.

Исследования, вошедшие в диссертацию, проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (04-01-00422-а, 06-01-00693-а, 07-01-00695-а), Научно-образовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах» (РЕ 009-0), программы поддержки Ведущих научных школ (НШ-1981.2003.1), программы «Михаил Ломоносов» 07/08.

Целью работы является исследование влияния поступательных вибраций на неоднородные гидродинамические системы; изучение характеристик пульсационного поведения, влияния вибраций на среднюю форму деформируемых границ и поверхностей раздела, генерацию осредненных течений и их устойчивость.

Научная новизна работы.

• Впервые исследовано поведение полусферической капли на подложке, совершающей нормальные колебания акустической частоты.

• Исследовано влияние высокочастотных вибраций на среднюю форму капли, помещенной на твердую подложку.

• Проведено численное моделирование космического эксперимента по выращиванию кристаллов бесконтактным методом Бриджмена.

• На основе метода сквозного счета с использованием технологий параллельного программирования и адаптивной сетки разработан эффективный алгоритм численного исследования систем двух несмешивающихся жидкостей в инерционных полях.

• Впервые проведено прямое численное моделирование волнового рельефа, формирующегося на границе раздела двух жидкостей с сильно различающимися вязкостями при горизонтальных вибрациях.

Автор защищает:

• результаты исследования поведения капли жидкости на твердой подложке, совершающей высокочастотные нормальные вибрации;

• результаты численного моделирования гидродинамики расплава при выращивании кристаллов бесконтактным методом Бриджмена;

• результаты слабо-нелинейного анализа устойчивости по отношению к спиральным возмущениям и прямого численного моделирования термоакустического адвективного течения;

• результаты численного моделирования волнового рельефа, формирующегося на горизонтальной границе раздела двух жидкостей с сильно различающимися коэффициентами вязкости.

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; соответствием численных и аналитических результатов в предельных случаях и с результатами других авторов в тех случаях, где возможно сравнение.

Практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть полезны при разработке новых методов управления течениями расплава в ходе выращивания кристаллов методом Бриджмена. Разработанный в ходе выполнения диссертации новый алгоритм численного моделирования динамики системы двух жидкостей может быть использован при исследовании других эффектов в двухфазных средах. Исследование поведения капель и слоев в вибрационном поле важно для многих технологических приложений, например, для задач смазки, управления теплоотводом с поверхностей, проблем микроэлектроники.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: 11-я Всероссийская конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 2002; Конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2002, 2003, 2004, 2005, 2006); International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, 2003; Областная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов "Молодежная наука Прикамья - 2004", Пермь, 2004; Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая), Пермь, 2005; XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", Saint-Petersburg (Repino), 2006; Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», Бийск, 2008; Всероссийская конференция молодых ученых

Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2008; семинар Кристаллографического института Фрайбургского ун-та, Фрайбург, Германия, 2008; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, ПГУ, Пермь, 2008.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [110-126], одна из которых опубликована в издании, входящем в список ВАК. Работы [110-118] выполнены диссертантом лично. В [120-125] автор проводил вычисления и участвовал в обсуждении результатов. В работах [119, 126] исследование и обработка результатов проведены диссертантом, анализ осуществлен совместно с соавторами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Изучено влияние высокочастотных вибраций на форму капли, помещенной на осциллирующую твердую подложку. Получены уравнения и сформулированы граничные условия для задачи пульсационного и осредненного движения сжимаемой капли. Получен вариационный принцип для сред, в которых важна сжимаемость жидкости.

Найдено решение задачи о пульсационном движении полусферической осесимметричной капли в виде рядов по полиномам Лежандра. Получены частоты собственных звуковых колебаний полусферической осесимметричной капли. Обнаружены резонансы акустической моды колебаний капли. Проведены расчеты для ситуаций, когда поверхностные силы можно считать малыми и при наличии поверхностного натяжения. Показано, что в последнем случае резонансным образом возбуждаются высокие моды колебаний формы капли, приводящие к возникновению вблизи поверхности капли мелкомасштабных течений. Полученные результаты хорошо согласуются с решением задачи о вынужденных колебаниях полусферической капли в пределе слабосжимаемой жидкости.

С помощью вариационного принципа определена средняя форма несжимаемой осесимметричной капли на твердой подложке, совершающей высокочастотные колебания. Пульсационная задача с заданной средней формой поверхности капли решалась численно методом граничных элементов. Полученные результаты хорошо согласуются с решением, найденным в пределе малого вибрационного параметра. Вибрации приводят к уменьшению высоты капли, площадь ее основания при этом увеличиваться. При увеличении вибрационного параметра средний контактный угол уменьшается.

2) Проведено численное моделирование течений, возникающих в ходе выращивания кристалла германия бесконтактным методом Бриджмена под действием аксиальных вибраций кристалла. Исследование связано с экспериментом, проведенным в 2007 г. на спутнике ФОТОН Конструкторским бюро общего машиностроения.

Вибрации' кристалла приводят к возбуждению колебаний свободной поверхности в верхнем технологическом канале и в зазоре между кристаллом и стенкой ампулы. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний свободной поверхности в технологическом канале от частоты вибраций показывает наличие резонансов в системе. Для- значений параметров, использованных при вычислениях, первый резонанс наблюдается при частоте 190 Гц, частота второго резонанса близка к 400 Гц.

Средние поля определялись численно методом конечных разностей в предположении осесимметричности решения. Генерация среднего течения особенно сильная в верхнем технологическом канале, где высоки градиенты пульсационной скорости. Вследствие этого среднее течение сконцентрировано в верхней части ампулы. При малой интенсивности вибраций течение генерируется благодаря конвекции Марангони. В частности, среднее течение около кристалла имеет форму локализованного вблизи мениска вихря. При увеличении интенсивности вибраций, вследствие развития термовибрационной конвекции, становится заметным вихрь, охватывающий всю нижнюю часть расплава.

Структура среднего течения вблизи резонанса определяется шлихтин-говской генерацией. Интенсивность верхнего вихря сильно возрастает, и он может достичь нижней границы ампулы. В интервале частот 250-350 Гц наблюдается минимум интенсивности среднего течения в верхней части ампулы.

Сглаживание угла между технологическим каналом и верхней стенкой ампулы приводит к уменьшению интенсивности среднего течения. Уменьшение радиуса технологического канала приводит с смещению резонансных частот. При i?, =0.1 см первый резонанс наблюдается при частоте вибраций 550 Гц. При уменьшении радиуса канала интенсивность пульсационного течения в верхней части ампулы возрастает, вследствие этого среднее течение также усиливается.

3) Изучено влияние бегущей звуковой волны на устойчивость адвективного течения по отношению к спиральным возмущениям. Проведен слабонелинейный анализ и прямое численное моделирование.

Для проведения слабо-нелинейного анализа использовался метод амплитудных функций, основанный на методе многих масштабов. Из условия разрешимости задачи третьего порядка получено дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию амплитудных функций. При этом, для вычисления постоянных, входящих в данное уравнение, необходимо определить собственные функции линейной задачи устойчивости и решения некоторых неоднородных линейных задач. Для этого использовался метод стрельбы с применением процедуры ортогонализации. Показано, что надкритические режимы возникают мягко и устойчивы вблизи порога относительно модуляции.

Прямое численное моделирование задачи осуществлено с помощью метода конечных разностей. По результатам вычислений были построены линии тока и изотермы для различных режимов течения. Проведен анализ устойчивости плоскопараллельного конвективного течения, исследованы условия возникновения и временная эволюция вторичного течения. Подтвержден мягкий характер ветвления решений вблизи порога.

4) В рамках нестационарного подхода численно изучена нелинейная динамика волнового рельефа, возникающего на границе несмешивающихся жидкостей с сильно различающимися вязкостями при горизонтальных вибрациях в поле тяжести.

На основе метода сквозного счета разработан численный алгоритм для моделирования динамики двухслойных систем несмешивающихся жидкостей с деформируемыми поверхностями раздела. Написанная с применением технологий параллельного программирования программа позволяет проводить расчеты на многопроцессорных компьютерах с использованием адаптивной сетки. Проведены тестовые расчеты для задачи о развитии неустойчивости Релея-Тейлора на поверхности раздела жидкостей в поле тяжести. Проведено сопоставление с имеющимися в литературе результатами, обнаружено хорошее согласие.

Численное исследование динамики волнового рельефа показало, что в замкнутой полости, как и в бесконечно длинном слое, возникновение рельефа носит пороговый характер. Полученные критические условия возникновения волнового рельефа в системе жидкостей совпали с экспериментальными данными [88].

Получены данные об эволюции поля скорости и форме поверхности за период вибрации, а также данные о структуре среднего течения и средней форме поверхности. Построены зависимости квадрата амплитуды рельефа и длины волны рельефа от надкритичностей. Установлено, что длина волны рельефа с ростом интенсивности вибраций меняется немонотонно.

4.4. Заключение

На основе метода сквозного счета разработан численный алгоритм для моделирования динамики двухслойных систем несмешивающихся жидкостей с деформируемыми поверхностями раздела. Написанная с применением технологий параллельного программирования программа позволяет проводить расчеты на многопроцессорных компьютерах с использованием адаптивной сетки.

Проведены тестовые расчеты для задачи о развитии неустойчивости Релея-Тейлора на поверхности раздела жидкостей в поле тяжести. Проведено сопоставление с имеющимися в литературе результатами, обнаружено хорошее согласие.

Численно изучена нелинейная динамика волнового рельефа, возникающего на границе несмешивающихся жидкостей с сильно различающимися коэффициентами вязкости при горизонтальных вибрациях. Показано, что в замкнутой полости, как и в бесконечно длинном слое, возникновение рельефа носит пороговый характер. Полученные критические условия возникновения волнового рельефа в системе жидкостей совпали с экспериментальными данными [88].

Получены данные об эволюции поля скорости и форме поверхности за период вибрации, а также данные о структуре среднего течения и средней форме поверхности. Построены зависимости квадрата амплитуды рельефа и длины волны рельефа от надкритичностей. Установлено, что длина волны рельефа с ростом интенсивности вибраций меняется немонотонно.

1. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. N.Y. et al. Wiley, 1998.358 р.

2. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлит, 2003. 216 с.

3. Birikh R.V., Briskman V.A., Velarde M.G. Liquid Interfacial Systems: Oscillations and Instability. CRC Press. 2003. 367 c.

4. Блехман И.И. Что может вибрация? М.: Наука. 1988. 208 с.

5. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука. Физматлит. 1994. 400 с.

6. Стрэтт Дж. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т.2. М., 1948. 476 с.

7. Ниборг В. Акустические течения // сб. Физическая акустика, под ред. У.Мэзона, т. 2, ч. Б. М.: Мир. 1969. С.302-377.

8. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

9. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves // Phil. Trans. Roy, Soc. London. 1953. V.245. P.535-581.

10. Ю.Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973. 760 с. П.Любимов Д.В. О тепловой конвекции в акустическом поле. // Изв. РАН.

11. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Математический сборник. 1972. Т.87(129) №2. С.236-253.

12. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high-frequency vibrations // Eur. J. of Mechanics, B/Fluids, 1995. V.14, N4. pp.439-458.

13. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity. Philos. Mag. 1917. 34. pp.94-98.

14. Longuet-Higgins M. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 1. Normal modes // J. Fluid Mech. 1989. V.201. pp.525-541.

15. Longuet-Higgins M. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 2. An initial-value problem // J. Fluid Mech. 1989. v.201. pp.543-565.

16. Hall P., Seminara G. Nonlinear oscillations of non-spherical cavitation bubbles in acoustic fields // J. Fluid Mech. 1980. V. 101. pp.423-444.

17. Chandrasekhar S. The oscillations of viscous liquid glob // Proc. Lond. Math. Sci. 1959. V. 9. pp.141-149.

18. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Shklyaev S.V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate//Physics of Fluids. 2006. V.18(l). 012101.

19. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Шкляев С.В. Неосесимметричные колебания полусферической капли // Изв. РАН. МЖГ. 2004. №6. С.8-20.

20. Wilkes E.D., Basaran, О.А. Forced oscillations of pendant (sessile) drops // Phys. Fluids. 1997. V.9. pp.1512-1528.

21. Wilkes E.D., Basaran O.A. Hysteretic response of supported drops during forced oscillations // J. Fluid Mech. 1999. V.393. pp.333-356.

22. Найфе А. Введение в методы возмущений: Пер. с. англ., М.: Мир, 1984, 535 с.

23. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Cherepanov А.А., Meradji S., Roux B. Equilibrium and stability of drop in a vibrational field // Proc. of Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical in Microgravity. St. Petersburg. 1997. pp.66-73.

24. Marston P.L. Shape oscillations and static deformation of drops and bubbles driven by modulated radiation stresses Theory // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. V. 67(1). pp. 15-26.

25. Marston P.L.; Apfel R.E. Quadrupole resonance of drops driven by modulated acoustic radiation pressure—Experimental properties // J. Acoust. Soc. Am. 1980. V.67(l). pp.27-37

26. James A.J., Vukasinovich В., Smith M.K. and Glezer A. Vibration-induced drop atomization and bursting // J. Fluid Mech. 2003. V.476. pp. 1-28.

27. James A.J., Smith M.K. and Glezer A. Vibration-induced drop atomization and the numerical simulation of low-frequency single-droplet ejection // J. Fluid Mech. 2003. V.476. pp.29-62.

28. Пухначев B.B., Солонников B.A. К вопросу о динамическом краевом угле // ПММ. 1982. Т. 46, Вып. 6. С.961-971.

29. Воинов О.В. Гидродинамика смачивания // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. №5. С.76-84.

30. Воинов О.В. Динамические краевые углы смачивания при растекании капли на поверхности твердого тела// ПМТФ. 1999. Т.40, №1. С. 101-107.

31. De Gennes P.G. Wetting: Statics and Dynamics // Rev. Mod. Phys. 1985. V.57. pp.827-863. Де Жен П.Ж. Смачивание: статика и динамика // УФН. 1987. Т. 151, Вып. 4. С.619-681.

32. Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. 1987. V.179, pp.253-266.

33. Shklyaev S., Straube A.V. Linear oscillations of a compressible hemispherical bubble on a solid substrate // Phys. Fluids. 2008. V.20. 052102.

34. Kweon Y.C., Kim M.H., Cho H.J. and Kang I.S. Study on the deformation and departure of a bubble attached to a wall in d.c./a.c. electric fields // Int. J. of Multiphase Flow. 1998. V.24, N 1. pp. 145-162.

35. Mori B.K., Baines W.D. Bubble departure from cavities // Int. J. Heat and Mass Trans. 2001. V.44, N 4. pp.771-783.

36. Cherepanov A.A., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux B. Deformation of gas or drop inclusion in high frequency vibrational field // Microgravity Quarterly. 1996. V.6, № 2-3. pp.69-73.

37. Cherepanov A.A., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Beysens D., Roux В., Meradji S. Behaviour of isolated bubble (or drop) in oscillating liquid // Proc. of Third Int. Conf. on Multiphase Flow, ICMF-98, 8th-12th June. 1998. Lyon, France. PDF/PDF600/PDF676.

38. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Под ред. А.Д.Мышкиса. Киев: Наукова думка. 1992. 592 с.

39. Feng Z.C., Su Y.H. Numerical simulations of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field // Phys. Fluids. 1997. V.9, N.3. pp.519-529.

40. Feigelson R.S., Zharikov E.V. Investigation of the Crystal Growth of Dielectric Materials by the Bridgman Technique Using Vibrational Control // NASA Final Technical Report for #NAG8-1457-06. 2002.

41. Zawilski К.Т., Claudia М., Custodio С., DeMattei R.C., Feigelson R.S. Vibroconvective mixing applied to vertical Bridgman growth // J. Cryst. Growth. 2003. V.258, N 1-2. pp.211-222.

42. Zawilski K.T., Custodio C., DeMattei R.C., Feigelson R.S. Control of growth interface shape using vibroconvective stirring applied to vertical Bridgman growth // J. Cryst. Growth. 2005. V.282. N 1-2. pp.236-250.

43. Uspenskii V., Favier J.J. High frequence vibration and natural convection in Bridgman-sceme crystal growth // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1994. V.37. pp.691-698.

44. Lyubimova Т., Lyubimov D., Roux B. Theoretical Support Group for Vibrational Dynamics and Control // Final report on ESA-ESTEC Contract 15637/01/NL/SH, L3M IMT la Jetee Marseille. France. 2004.

45. Regel L.L., Wilcox W.R. A review of detached solidification in microgravity //Microgravity Sci. Technol. 1998. V. XI/4. pp. 152-166.

46. Benz K.W., Dold P. Crystal growth under microgravity: present results and future prospects towards the International Space Station // Journal of Crystal Growth. 2002. V.237-239, Part 3. pp.1638-1645.

47. Duffar Т., Dusserre P., Picca F., Lacroix S. and Giacometti N. Bridgman growth without crucible contact using the dewetting phenomenon // J. Crystal Growth. 2000. V.211. pp.434.

48. Tatarchenko V.A. Shaped Crystal Growth (Fluid Mechanics and Appl. v.20). Kluwer, Dordrecht, 1993.

49. Duffar Т., Dusserre P. and Giacometti N. Growth of GaSb single crystals by an improved dewetting process // J. Crystal Growth. 2001. V.223. pp.69.

50. Bizet L. and Duffar T. Contribution to the stability analysis of the dewetted Bridgman growth under microgravity conditions // Cryst. Res. Technol. 2004. V.39, N.6. pp.491-500.

51. Patzold O., Jenkner K., Scholz S., Croll A. Detached growth behaviour of 2-in germanium crystals // Journal of Crystal Growth. 2005. V.277, N.l-4, pp.3743.

52. Palosz W., Volz M.P., Cobb S., Motakef S. and Szofran F.R. Detached growth of germanium by directional solidification // Journal of Crystal Growth. 2005. V.277, N.l-4, pp.124-132.

53. Бирих P.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости //ПМТФ. 1966. №3. С.69-72.

54. Squire Н.В. On the stability of three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls // Proc. Roy. Soc. 1933. V. A 142. №847. pp.621628.

55. Кирдяшкин А.Г., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Тепловая конвекция в горизонтальном слое при боковом подводе тепла // Прикл. мех. и техн. физика. 1983. №6. С. 122-128.

56. Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов // Известия РАН. МЖГ. 1984. Т. 18, №4. С. 198-269.

57. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989, 319 с.

58. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое // ПМТ. 1974. № 1. С.95-100.

59. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно пространственных возмущений // ГГМТФ. 1974. № 5. С.145-147.

60. Мызников В.М. О спектре декрементов возмущений стационарного адвективного движения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом температуры // Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1979. С.29-35.

61. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного движения в горизонтальном слое // Учен. Зап. Перм. Ун-т. Серия Гидродинамика. 1974. Вып. 7. С.33-42.

62. Кио Н.Р., Korpela S.A., Chait A., Marcus P.S. Stability of natural convection in a shallow cavity // 8th Int. Heat Transfer. Conf. San Francisco. Calif. 1986. V.3. pp.1539-1544.

63. Laure P., Roux В. Syntese des resultats obtenus par l'etude de stabilite des mouvements de convection dans une cavite horizontale de grande extension // C.R.Acad.Sci. Paris. 1987. V.305. pp.1137-1143.

64. Ben-Hadid H., Roux В. Buoyancy- and thermocapillary-driven flows in differentially heated cavities for low-Prandtl-number fluids // J. Fluid Mech. 1992. V.235. pp.1-36.

65. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Плоскопараллельные адвективные течения в вибрационном поле// Инж.-физ. журн. 1989. Т. 56, №2. С.238-241.

66. Бирих Р.В., Катанова Т.Н. Влияние высокочастотных вибраций на устойчивость адвективного течения // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №1. С.16-22.

67. Бирих Р.В., Катанова Т.Н. О стабилизации адвективного течения поперечными вибрациями // Вибрационные эффекты в гидродинамике: сб. статей. Пермь: изд-во Перм. ун-та. 1998. С.25-37.

68. Бирих Р.В. О вибрационной конвекции в плоском слое с продольным градиентом температуры//Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. №4. С. 12-15.

69. Любимов Д.В., Шкляев С.В. Об устойчивости адвективного термоакустического течения // Изв. РАН. МЖГ. 2000. №3. С. 10-21.

70. Седельников Г.А. Об устойчивости спирального вторичного течения в задаче термоакустической конвекции // Материалы X Всероссийской студенческой конференции "Математическое моделирование в естественных науках". Пермь. 2001. С.38-39.

71. Kelly R.E. The stability of an unsteady Kelvin Helmholtz flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 22, part 3. pp.547-560.

72. Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Tailor instability and the corresponding dynamic equilibrium // Z. Phys. 1969. 227, H 3. pp. 291300.

73. Khenner M.V., Lyubimov D.V., Belozerova T.S., Roux В. Stability of plane-parallel vibrational flow in a two-layer system // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1999. V.18. pp.1085-1101.

74. Иванова А.А., Козлов В.Г., Эвеск П. Динамика границы раздела несме-шивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С.28-35.

75. Kozlov V.G. Experimental investigation of vibrational convection in pseu-doliquid layer // Rev. Proc. 1st Intern. Symp. on Hydromech. and Heat/Mass Transfer in Microgravity. Perm-Moscow. 1991. Gordon* & Breach Science Publishers. 1992. pp.57-61.

76. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Поведение двухслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле // Изв. РАН. МЖГ. 1999. N 6. С.55-62.

77. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Устойчивость границы раздела системы жидкость-взвесь под действием высокочастотных нелинейно-поляризованных вибраций// Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 3. С.3-13.

78. Wunenburgen R., Evesque P., Chabot С., Garrabos Y., Fauve S., and Beysens D. Frozen wave induced by high frequency horizontal vibrations on a C02liquid-gas interface near the critical point 11 Phys. Rev. E. 1999. V.59(5). pp.5440-5445.

79. Talib E., Jalikop S. and Juel A. The influence of viscosity on the frozen wave instability: theory and experiment // J. Fluid Mech. 2007, V. 584, pp.45-68.

80. Бирих P.B., Рудаков P.H. Семакин И.Г. Применение метода ортогонали-зации в пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений. Часть II // Конвективные течения: сб. научн. тр., Пермь: изд-во Перм. ун-та. 1979. С.58-60.

81. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Применение метода ортогонализации в пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений. Часть I // Сб. «Гидродинамика». Пермь: изд-во Перм. ун-та. 1974. вып. V. С.43-46

82. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

83. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Под ред. А.Д. Мышкиса. Киев: Наукова думка, 1992. 592 с.

84. Feng Z.C., Leal L.G. Nonlinear bubble dynamics // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1997. Y.29. pp. 201-243.

85. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика: Учеб. пособие для ВУЗов. Т. VI. Гидродинамика. 4-е изд. М: Наука. 1988.

86. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для ВУЗов. Т III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). 4-е изд. М: Наука. 1989.

87. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977.

88. Гершуни Г. 3.,. Жуховицкий Е. М, Юрков Ю. С. Конечно-амплитудные конвективные движения в прямоугольных полостях с внутренними источниками тепла. Гидродинамика. Вып. V. Пермь: Издательство Пермского университета, 1974. С. 3-23.

89. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL: 4.2. М.: Диалог-МИФИ. 2001. 320 с.

90. Рувинский К.Д., Фрейдман Г.И. Квазипотенциальное приближение для описания нелинейных гравитационно-капиллярных волн на поверхности вязкой жидкости. Горький: ИПФ. 1988. 809 с.

91. Ferziger J.H., Peric М. Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer; 2nd rev. ed. edition. 1999. 389 p.

92. Любимов Д.В., Любимова Т.П. Об одном методе сквозного счета для решения задач с деформируемой поверхностью раздела. Моделирование в механике. 1990. Т.4(21), № 1. С.136-140.

93. Brackbill J.U., Kothe D.B., Zemach С. A continuum method for modeling surface tension. // J. Сотр. Phys. 1992. V.100. pp. 335-354.

94. Sussman M., Smereka P., Osher S. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow. // J. Сотр. Phys. 1994. V.114. pp. 146-159.109. http://www.uned.es/ind-4-mecanica-fluidos/anim-RT2.htm.

95. ИО.Иванцов A.O. Численное исследование термоакустического адвективного течения. 11-я всероссийская школа-конференция молодых ученых истудентов «Математическое моделирование в естественных науках». Тез. докладов. Пермь. 2002. С. 16-17.

96. Ш.Иванцов А.О. Численное исследование термоакустического адвективного течения. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2002. С. 46-47.

97. Ivantsov А.О. Thermo acoustic advective flow near stability threshold. Int. conf. «Advanced Problems in Thermal Convection». Abstr. Perm. 2003. P. 113-114.

98. Ivantsov A.O. Thermoacoustic advective flow near stability threshold. Proc. of Int. conf. «Advanced Problems in Thermal Convection». Perm. 2004. P. 272-277.

99. Иванцов А.О. Изучение термоакустического адвективного течения вблизи порога устойчивости. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2003. С. 3637.

100. Иванцов А.О. Акустические колебания полусферической капли на твердой подложке. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2004. С. 32-33.

101. Иванцов А.О. Осредненная форма сжимаемого включения на осциллирующей подложке. Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тез. докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С. 138.

102. Иванцов А.О. Поведение капли на подложке в поле высокочастотных вибраций. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2005. С. 37-38.

103. Иванцов А.О. Акустические колебания полусферической капли. Гидродинамика: Межвуз. сб. научных трудов. Пермь: изд. Пермск. ун-та. 2005. Вып. 15. С. 22-39.

104. Иванцов А.О., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние вибраций на гидродинамику расплава при выращивании кристаллов методом Бриджмена. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2006. С. 21-22.

105. Иванцов А.О., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние вибраций на процесс выращивания кристаллов бесконтактным методом Бриджмена. Сб. материалов науч. семинара стипендиатов программы «Михаил Ломоносов». Москва. 2008. С. 77-78.

106. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Иванцов А.О., Черепанова А.А. Использование метода сквозного счета для моделирования динамики сред с поверхностью раздела. Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № 2.