Нелинейные проблемы теории быстроосциллирующих конвективных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

" Г ^ЪС^Ц^РСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Любимов Дмитрий Викторович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИХ КОНВЕКТИВНЫХ

ТЕЧЕНИЙ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

А втореферат диссертации на соискание ученой степени докглора физико - математических наук

Пермь - 94

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета

Официальные оппоненты

доктор физико - математических наук С.Я.Герценштейн (Институт механики МГУ)

доктор физико - математических наук, профессор В.И.Полежаев (Институт проблем механики РАН)

доктор физико - математических наук, профессор ЕЛ.Таруник (Пермский государственный университет)

Ведущая организация - Ростовский государственный университет

Защита состоится " " ЯёКаарЯ. 1994 года в часов на заседании совета по защите 'диссертаций Д-063.59.0^ в Пермском государственном университете (г.Пермь, ГСП, 614600, ул. Букирева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан". ." ..Ш.-Я^рл... 1994 г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций Д-063.59.0$ кандидат физико - математических наук, доцент

О I '.И.Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Вибрационные воздействия относятся к числу самых распространенных факторов, оказывающих влияние на поведение неоднородных гидродинамических систем. Вибрации могут быть следствием внешних, посторонних причин или могут сознательно использоваться с целью управления технологическими процессами. Накопленный к настоящему времени опыт теоретического и экспериментального изучения влияния вибраций на устойчивость поверхностей раздела и термовибрационной конвекции неоднородно-нагретой жидкости в поступательно колеблющихся замкнутых контейнерах свидетельствуют о сильном и разнообразном влиянии вибраций на поведение жидкости. Вместе с тем, расширяющиеся потребности практики (в частности, связанные с проблемами космической технологии) и внутренние нужды гидромеханики ■настоятельно требуют перехода от набора частных, хотя и важных, случаев к общему осмыслению явлений и процессов, происходящих под действием вибраций. Это делает актуальной задачу построения теории, описывающей поведение неоднородных гидродинамических систем под действием высокочастотных вибраций при наличии деформируемых поверхностей раздела, температурных неоднородностей и для различных типов вибраций.

Целью работы являлось построение теории осредненных движений неоднородной жидкости под действием высокочастотных вибраций и приложение этой теории к проблемам устойчивости квазиравновесия в системах с деформируемой поверхностью раздела и к изучению термовибрационной конвекции в жидкости со свободной поверхностью и при непоступательных вибрациях, а также изучение сложных динамических режимов поведения в конвективных системах, допускающих осредненное описание..

Научная новизна работы состоит в построении законченной теории осредненных течений неоднородной жидкости под действием высокочастотных вибраций:

Получены уравнения и граничные условия для осредненной и пульсационной компонент течения системы несмешивающихся жидкостей в колеблющемся сосуде.

Сформулирована и решена для ряда конфигураций задача определения осредненной формы свободной поверхности.

Сформулирован вариационный принцип для определения квазиравновесной формы свободной поверхности.

Детально исследовано явление образования квазиравновесного волнового рельефа на поверхности раздела двух жидкостей под действием касательных вибраций.

Выяснены условия мягкого и жесткого возбуждения волнового рельефа в зависимости от свойств жидкостей, геометрических факторов и параметров вибраций.

Изучена устойчивость поверхности раздела жидкостей при поступательных, ьибрациях произвольной поляризации. Обнаружено стабилизирующее действие вертикальных вибраций и дестабилизирующее - горизонтальных. Показано, что некоррелированные изотропные вибрации стабилизируют плоскую поверхность раздела.

Обнаружена возможность стабилизации цилиндрической поверхности раздела жидкостей и полного подавления рэлеевской капиллярной неустойчивости с помощью поступательных вибраций , кругоьой поляризации. Показано, что такая стабилизация возможна даже если наружная жидкость имеет меньшую плотность, чел внутренняя.

Рассмотрено влияние вязкости на структуру пульсационного течения. Для модельной задачи прямыми вычислениями показано, что при увеличении частоты вибраций распределение скорости вне пограничных слоев стремится к решению невязкой задачи.

Рассмотрена устойчивость плоской поверхности раздела жидкостей при конечных частотах касательных вибраций. Исследованы области резонансного параметрического возбуждения неустойчивости и предельный переход к высокий частотам вибраций.

Проведен анализ сил, действующих на тело в г.ульсациопном течении вблизи твердой поверхности. Установлено, что тело испытывает силу притяжения к стенке, быстро убывающую с удалением от стенки.

Проанализирована применимость приближен.ы Буссннеска для исследования вибрационной конвекции неизотсрмической жидкости. Показано, что в общем случае при наличии свободной поверхности или непоступательных вибраций приближение Буссинеска непригодно.

Построена корректная теория гермовибрационных течений, учитывающая влияние неизотермичкости ка инерционные с.войстза жидкости. Получена замкнутая система уравнений и граничных условий для осредненных полей скорости и температуры и пулесационной компоненты скорости течения.

Построено приближение слабой неизотермичност;', позволяющее эффективно исследовать термовибрационные течения при произвольных вибрационных воздействиях.

Показано, что традиционные уравнения вибрационной конвекции описывают эффекты второго порядка по малому параметру неи?о-

тсрмичности и должны использоваться лишь тогда, когда тождественно обращаются в нуль эффекты первого порядка.

Выделены и классифицированы различные случаи, когда справедливы традиционные уравнения.

В рамках разработанного подхода изучены осредненные течения в пространстве между нагретыми до различных температур сферами, когда внутренняя сфера совершает линейные колебания, а наружная сфера неподвижна. Проанализировано влияние на структуру течения объемных термовибрационных сил и погранслэйной Шл»хтинговской генерации.

Построена трехмодовая модель термовибрационной конвекции для случая высокочастотной модуляции силы тяжести. Исследованы механизмы хаотизации поиедения при интенсификации нагрева.

Обнаружен новый сценарий перехода к хаосу, связанный с бесконечной последовательностью го^оклиничсских бифуркаций и бифуркаций потери симметрии циклов. Построено и изучено одномерное отображение, моделирующее этот сценарий. Рассмотрено влияние нарушения симметрии на механизм хаотизации.

Рассмотрена хаотизация поведения в условиях жесткой неустойчивости мехачического равновесия при высоком уровне вибраций. Обнаружен неизвестный ранее тип бифуркационных последовательностей, характеризующийся сверхэкспоненциальной скоростью сходимости. Проведено и\ исследование как для дискретной, так и для непрерывной динамических систем.

Проведен анализ скейлинговых свойств нового сценария хаотизации с помощью метода ренормализационной группы. Изучена структура границы области регулярных режимов в пространстве параметров.

Дано объяснение наблюдавшемуся ранее в численных расчетах факту хаотизации поведения конвективных систем при параметрах, близких к бифуркационной поверхности образования гомоклинической структуры типа "восьмерка".

Обнаружено существование бесконечного числа стационарных решений в задаче о термогравитацконной конвекции в замкнутой области пористой среды, ограниченной массивами высокой теплопроводности. Показано, что существование однопараметрического семейства решений обусловлено не симметрией задачи, а внутренними свойствами уравнений Дарси-Буссинеска.

Исследовано поведение принадлежащих одкопараметричеркому семейству стационарных решений под действием различных возму-щающчх факторов. Показано, что возмущения общего вида приводят к гибели большинства стационарных решений, так что остается их конечное число (подогрев не строго снизу, конечная теплопроводность

границ, анизотропия свойств и т.д.) или континуум стационарных решений сменяется циклом (просачивание жидкости через границы).

Построены конечномерные модели конвекции в пористой среде. На примере этих моделей рассмотрены бифуркации однопараметрического семейства стационарных решений при увеличении числа Рэлея. Показано, что потеря устойчивости частью этих решений не сопровождается, вообще говоря, появлением новых неподвижных точек или циклов.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением теоретических предсказаний с экспериментальными данными других авторов, с точными решениями в предельных случаях, с известными теориями в области их применимости и прямыми численными расчетами, а также применением различных методик.

Научная и практическая значимость. Полученные теоретические результаты углубляют понимание явлений в неоднородных средах при высокочастотных внешних воздействиях, расширяют представления о возможных механизмах генерации осредненных течений. Разработанные теории квазиравновесных поверхностей раздела и термовибрационной конвекции при произвольных высокочастотных вибрациях используются в научно-исследовательской работе в • Пермском государственном университете, Институте механики сплошных сред УрО РАН, Пермском государственном педагогическом институте, а также в Институте механики жидкостей Марсельского университета (Франция) и в учебном процессе в Пермском государственном университете. Разработанные методы и результаты исследования конкретных задач могут быть использованы при решении технологических проблем (создание высокочистых материалов, космическая технология и т.д.).

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-40] и докладывались на II Всесоюзной конференции "Современные проблемы тепловой конвекции" (Пермь, 1975); 1-Х Всесоюзных школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости (Москва, 1976-1994); VI, VIII, IX Всесоюзных школах "Численные методы динамики вязкой жидкости" (Пермь, 1976, Томск, 1980, Новосибирск, 1982); IV-IX Всесоюзных школах "Нелинейные волны" (Горький, 1977-1989); Рабочих семинарах "Численные методы теории бифуркаций" (Пущино, 1980-1989); II, III, IV Всесоюзных семинарах по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Пермь, 1981, Черноголовка, 1984, Новосибирск, 1987); VI и VII Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике, (Ташкент, 1986, Москва, 1991); 2-й Всесоюзной школе по математическим моделям ближнего космоса (Красноярск, 1979); Всесоюзном семинаре "Автостохастические явления и системы" (Горький, 1980);Symposium "Self-Waves in Biology, Chemistry and Physics" (Puschino, 19F.3);

Всесоюзной школе "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (Саратов, 1985); Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986); Conference "Renormalization Group" (Dubna, 1986); Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987); Всесоюзной школе по вычислительной математике и математической физике (Одесса, 1987); Всесоюзной школе "Динамические системы и турбулентность" (Кацивели, I988);Tenth Annual Informal Workshop "Dynamics Days" (Dusseldorf, 1989); III Всесоюзной школе-семинаре "Методы гидрофизических исследонаний" (Светлогорск, 1989); XYI1 Гагаринских научных чтениях по авиации и космонавтике (Москва, 1989); International Symposium on Non-Linear Hydrodynamic Stability ano Transition (Nice, 1990); International Symposium "Generation of Large-Scale Structures in Continuous Media (Perm-Moscow, 1990); VI Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна. 1990)-Всесоюзном семинаре по гидродинамической устойчивости и турбулентности (Новосибирск^ 1990); NATO Advanced Research Workshop "Homoclinic Chaos" (Brussels, 1991); International Symposium on Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity (Perm-Moscow, 1991); IUTAM Symposium "Fluid Dynamics in Microgravity" (Bremen, 1991); XVI General Assembly "Non-linear Processes in Geophysics" (Wis-Baden, 1991); International Conference on Flow-Through Porous Media: Fundamentals and Reservoir Engineering Applications (Moscow, 1992); VHIth European Symposium on Materials and Fluid Sciences in Microgravity (Brussels, 1992); Inte'national Symposium "Instabilities in Multiphase Flows" (Rouer., 1992); International Symposium on Microgravity Science and Applications, (Btijing, 1993); 30tn COSPAR Meeting, Symposium "Microgravity Sciences: Results and Analysis of Recent Spaceflights" (Hamburg, 1994); 14th IMACS World Congress on Computational and Applied Mathematics (Atlanta, 1994); International Astronautical Congress (Moscow, 1994); International Workshop "Non-Gravitational Mechanisms of Convection and Heat/Mass Transfer" (Zvenigorod, 1994); 2nd European Fluid Mechanics Conference (Warsaw, 1994) и других.

Личный вклад автора. Работы [1,26,32,34,36] выполнены автором лично. В работе [2] автору принадлежат теоретическая часть и интерпретация результатов экспериментов. Работы [3,5-8,10,14,21] выполнены под руководством автора совместно с М.А.Заксом, а [33] совместно с С.Л.Белоусовой. В работах [4,13,17,22] автору принадлежат постановка задач, участие в вычислениях к интерпретация результатов. В работе [9] автору принадлежат теоретические результаты, относящиеся к воздействию вибраций на поверхность раздела. В работах [11,18,15,16,19,20,27,29] автору принадлежат постаноька задач, выбор методов решения, участие в вычислениях и интерпретация результатов. В

работах [12 28,37,39,40] автору ' принадлежат постановка задач и аналитические результаты. В работах [23-25,30,31,35] автору принадлежат вывод исходных уравнений и участие в интерпретации результатов численных расчетов. В работе [38] автору принадлежит вывод амплитудного уравнения в длинноволновом приближении.

Структура работы и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих результаты исследований автора, перечня основных выводов и списка литературы. Работа содержит 60 рисунков, 3 таблицы и 146 ссылок на литературные источники. Общий объем диссертации 415 страниц.

Глава 1. Движение неоднородной изотермической жидкости в статическом гравитационном и высокочастотном вибрационном поле

Глава посвящена изучению воздействия высокочастотных вибраций на неоднородные системы, в которых источником неоднородности являются подвижные границы раздела газ-жидкость, жидкость-жидкость или жидкость-твердое тело. При этом основное внимание уделяется ьопросал' устойчивости состояний с равной пулю средней скоростью движения жидкости. Рассмотрение ведется в рамках полученных здесь же уравнений для среднего течения и пульсационной скорости. Обсуждаются также некоторые проблема перехода к предельной ситуации больших частот и малых амплитуд вибраций.

В параграфе 1.1 выводятся и обсуждаются уравнения движения и граничные условия на границе раздела жидкостей под действием статического поля тяжести и высокочастотного вибрационного поля. Уравнения для осредненной скорости й и амплитуды И' пульсационной скорости имеют вид:

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

оЙ I ^ ^

р— + -Ьг(уу)р1у + Дм V) и = - Vр + сг„ +pgy д1 2

го\р№ = Ъ Шуй = 0

Здесь CTU - тензор вязких напряжений, вычисленный по осредненному полю скорости, V — W—k , к - орт оси вибраций, b - амплитуда вибрационной скорости.

Формулируется задача для случая непрерывной стратификации, а также случаев, когда имеется граница раздела однородных жидкостей или свободная поверхность однородной жидкости. Показано, что на границе раздела выполняются условия:

[wK} = о, [рЖг]=о,

ltfVn[pW<}-aK+[p\-[ont} = О

где а - коэффициент поверхностного натяжения, К - средняя кривизна поверхности, Wn , Wv - нормальная и касательная компоненты амплитуды пульсационной скорости, квадратными скобками обозначен скачок соответствующей величины на поверхности раздела.

В параграфе 1.2 вывалятся и обсуждаются условия механического "квазиравноЕесия", т.е. такого состояния, при котором отсутствует осредненная скорость, и все осредненные характеристики не зависят от времени. При этом на поверхности раздела выполняется соотношение

l-f(w2n[p]-[pW^-[p)gz-aK = const ■

Обсуждаются некоторые предельные случаи, позволяющие воспользоваться методом малого параметра для выяснения условий равновесия.

В параграфе 1.3 рассматривается задача о равновесии и о форме свободной поверхности в вибрационном поле. Формулируется и исследуется вариационный принцип, согласно которому проблема определения свободной поверхности сводится к задаче минимизации некоторого функционала F от формы поверхности:

F ---■ \(pgi - \фг{УФ)г)сЮ. + aS

где Ф - гармоническая функция, обращающаяся в нуль на свободной поверхности и удовлетворяющая условию

дФ ,

на жестких гракмцах колеблющегося сосуда, 5 - площадь свободной поверхности, интегрирование производится по области П , занятой жидкостью. В качестве примера с помощью вариационного принципа исследуется задача об определении равновесной формы поверхности жидкости, частично заполняющей полость прямоугольного сечения, при горизонтальном направлении оси вибраций. Для приближенного исследования функционала его варьирование производится на конечномерном семействе функций.

В параграфе 1.4 формулируется и решается "обратная задача" теории равновесия, состоящая в определении формы области, при которой возможна плоская свободная граница жидкости при заданных параметрах вибраций.

В экспериментальных работах в.Н.\Volfa и Н.А.Безденежных было обнаружено явление возникновения неподвижного волнового рельефа на границе раздела двух жидкостей при горизонтальных вибрациях, причем оказалось, что возникновение рельефа носит пороговый характер и что он наблюдается лишь тогда, когда плотности жидкостей сравнимы; зо всяком случае, на свободной поверхности он не возникает. Теоретическому исследованию указанных явлений посвящен параграф 1.5. Рассмотрение ведется на основе системы осредненных уравнений движения двух несмешивающихся жидкостей в высокочастотном вибрационном поле. Развитая в работе линейная теория устойчивости дает возможность определить область параметров, в которой плоская граница раздела слоев жидкостей неустойчива относительно бесконечно малых возмущений, и построить ограничивающую эту область бифуркационную поверхность. Показано, что волновой рельеф возникает лишь в достаточно толстых слоях жидкостей. В пределе бесконечно толстых слоев критическая амплитуда скорости вибраций дается выражением

где /г - отношение толшин слоев, р ■ отношение плотностей жидкостей. Выяснение типа бифуркации и нахождение амплитуды возникающего волнового рельефа проведено с учетом нелинейных эффектов. В частности, показано, что в симметричном случае толстых слоев для наиболее опасных возмущений ветвление носит мягкий характер, если отношение плотностей жидкостей н? превосходит критического значения 3.535 и жесткий в противном случае.

В параграфе 1.6. выводятся уравнения и граничные условия дм системы несмешивающихся несжимаемых однородных жидкостей с учетом поверхностного натяжения при произвольны/ постуяательиых

вибрациях, т.е. таких вибрациях сосуда, при которых его ориентация в пространстве не меняется, так что любая точка сосуда движется по закону к(1) = К9 +а/(а)1), где функция / от выбора точки не зависит. Показано, что полная система уравнений и граничных условий и^еет вид:

— ■+ (мУ)й = --УП + уАй р

rot W, = 0, div Wj = 0, divw =0 на жестких стенках

й=0, lVjn = ejn

на границе раздела

[«] = (>, [И>„]--0, [/>Йл]хй = 0

Л¥

dt L 1

Ь2 3

[сг].пп + —IV' + [П] - \p\gz + ад\ч п = сот1 2 >1

Здесь е, - неподвижный базис для f , а^ - собственные числа корреляционной матрицы \ fjjj • В качестве примера рассмотрена задача устойчивости границы раздела горизонтальных слоев жидкостей.

Важной частью технологических исследований в невесомости являются эксперименты по выращиванию кристаллов. В связи с этими экспериментами вызывает интерес вопрос о равновесных формах и устойчивости жидкой зоны. Задачи по расчету форм равновесия жидких зон и их устойчивости в условиях невесомости интенсивно исследуются. Н-аиболее простой моделью жидкой зоны является жидкий цилиндр кругового сечения. Известно, что такая зона неустойчива по отношению к осесимметричным возмущениям, если длина цилиндра превышает критическое значение, равное длине периметра его сечения (рэлеевская капиллярная неустойчивость). Если внешная жидкость имеет плотность,

большую, чем внутренняя, развитие неустойчивости можно предотвратить, приведя систему во вращение вокруг собственной оси. При обратном соотношении плотностей вращение приводит к дополнительной дестабилизации, поскольку к капиллярной неустойчивости добавляется неустойчивость Рэлея-Тейлора в поле центробежных сил.

В [18] рассмотрена устойчивость описываемой системы при линейных вибрациях высокой частоты вдоль оси симметрии системы. Показано, что в этом случае возникает еще один дестабилизирующий механизм, связанный с неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца. В параграфе 1.7. исследована устойчивость цилиндрической жидкой зоны, окруженной коаксиальным цилиндрическим слоем другой жидкости с отличающейся плотностью при наличии высокочастотных вибраций круговой поляризации. A priory не ясно, каким должно быть действие вибраций круговой поляризации в этой ситуации. Как показано в параграфе 1.7, это действие носит двоякий характер. Наряду с вибрационной неустойчивостью, аналогичной рассмотренной в параграфах 1.5, 1.6, может наблюдаться подавление капиллярной неустойчивости. Более того, имеется область параметров, в которой состояние с цилиндрической границей раздела устойчиво относительно малых возмущений с любой длиной волны, т.е. вибрации способны предотвратить разрушение жидкого столба и разбиение его на капли.

В параграфах 1.1 - 1.7 пульсационное поле скорости находится в приближении, в котором пренебрегается вязкостью, т.е. пульсационное течение рассматривается как течение идеальной жидкости. При этом утверждается, что в- силу малой толщины динамического скин-слоя такое приближение должно давать удовлетворительное описание пульсационного поля в большей части объема, занятого жидкостью. Естественно возникает вопрос, насколько такое предположение соответствует действительности. Чтобы попытаться ответить на этот вопрос, в параграфе 1.8 рассматривается модельная задача о поведении жидкости со свободной поверхностью в цилиндрическом сосуде под действием вибраций с круговой поляризацией. Простая геометрия задачи и отсутствие осложняющих факторов позволяют отказаться от предположения о малости толщины скин-слоя и ограничиться лишь предположением о малости амплитуд вибраций. На этом пути удается провести сравнение невязкого и вязкого решений и выяснить роль вязкости в формировании пульсационного течения. Рассматриваемая задача интересна тем, что в случае, когда амплитуда вибраций много меньше характерного размера можно найти точное решение неосредненных уравнений. Сравнивая эти точные решения с решением, полученным в рамках осредненного подхода можно сделать некоторые выводы о границах применимости осредненных уравнений.

Основное внимание в первой главе диссертации уделено предельному случаю высоких частот и малых амплитуд. Интересно, однако, проследить, как происходит формирование предельного режима. В параграфе 1.8 обсуждается влияние вязкости на структуру пульсационного поля скорости, однако, рассмотренная там задача не позволяет изучить устойчивость поверхности раздела и резонансные явления. В параграфе 1.9 рассматривается предельный случай, соответствующий исчезающе тонким вязким скин-слоям, но, в то же время, не пренебрегается возможностью резонансного возбуждения неустойчивости. Иными словами, период вибраций предполагается малым по сравнению с временем вязкого затухания, но сравнимым с капиллярно-гравитационными временами. Формально это означает, что в уравнениях движения пренебрегается вязкими слагаемыми, т.е. рассмотрение ведется в рамках модели идеальной жидкости. В качестве физической модели исследована задача о поведении плоской поверхности раздела двух жидкостей при горизонтальных вибрациях. Предел высоких частот для этой задачи рассмотрен в параграфе 1.5,

В параграфах 1.1 - 1.9 рассматривается действие вибраций на неоднородные системы, при этом в неоднородность связана с наличием границы раздела жидкостей или свободной поверхности. В последнем параграфе первой главы рассматривается другой тип неоднородности -погруженные в жидкость твердые тела. В работе Челомея описаны эксперименты, демонстрирующие необычное поведение тел, находящихся в сосуде с жидкостью, совершающем вертикальные колебания. Наблюдалось всплывание тел, плотность которых больше. плотности жидкости, и, наоборот, тела более легкие, чем окружающая среда, при некоторых условиях тонули. Параграф 1.10 посвящен анализу поведения твердых тел, находящихся в сосуде, заполненном жидкостью и совершающем высокочастотные колебания. Выводятся осредненные уравнения движения тела и окружающей его жидкости, выясняется, каким образом вибрации влияют на условия плавучести тел. Рассмотрены случаи тел, имеющих форму шара и длинного цилиндра. Исследовано также взаимодействие двух длинных круговых цилиндров одного и того же радиуса с параллельными осями, помещенных в сосуд с жидкостью, совершающий колебания в направлении, перпендикулярном осям цилиндров. Исследуемой в этом параграфе проблеме посвящены также работы Б.А.Луговцова, В.Л.Сенницкого, в которых задачи о поведении шара и цилиндра над горизонтальным плоским дном в вибрационном поле решаются другими методами. В работе Б.А.Луговцова, В;Л.Сенницкого исследуется только предельный случай, когда расстояние от твердого тела до дна велико по сравнению с радиусом плавающего объекта.

Глава 2. Конвективные течения неоднородно нагретой жидкости под действием высокочастотных вибраций

В первой •-лаве диссертации рассмотрены ситуации, в которых неоднородность плотности обусловлена наличием подвижных границ раздела. Другим важным источником неоднородности плотности является неизотермичность жидкости. Эта же причина может приводить и к неоднородности пульсационного поля. В наиболее чистом виде этот эффект имеет место при поступательных вибрациях замкнутого сосуда с жидкостью. Данное явление, получившее название вибрационной конвекции, давно и плодотворно исследуется (см., например, обзор Gershuni G.Z., Zhukhovitsky Е.М. Vibration-Induced Thermal Convection in Weightlessness. - Fluid Mech. - Soviet Res., 1986, 15, pp. 63-80.). Уравнения вибрационной конвекции, полученные впервые в работе: Зень-ковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции. - Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1966, 5, сс. 51-55., основаны на записи исходных уравнений консекции в собственной системе отсчета в приближении Буссинеска, т.е. при учете зависимости плотности от температуры лишь г массовых силах. Однако, указанная причина неоднородности поля пульсаций не является единственной. Существуют по крайней мере еще две группы таких причин: это непоступательные (например, вращательные) вибрации и наличие деформируемых границ, например, свободной границы. В этих ситуациях можно ожидать новых эффектов, и, с другой стороны, требуется новый вывод осредненных уравнений. Этой задаче посьящена вторая глава диссертации. Поскольку в обсуждаемых задачах ускорения элементов жидкости не малы, применимость приближения Буссинеска представляется сомнительной. В этой связи мы начинаем с анализа простой задачи, где некорректность приближения Буссинеска легко проследить. В последующих параграфах дается вывод осредненных уравнений вибрационной конвекции неоднородной жидкости, обсуждены граничные условия и рассмотрено приближение слабой неизотермичности. В заключение рассмотрена связь с традиционными уравнениями термовибрационной конвекции и проанализирован ряд конкретных задач.

При наличии высокочастотных вибраций, в общем случае, как показано в параграфе 2.1, нельзя пользоваться как обычным приближением Буссинеска, так и его простейшим обобщением, заключающимся в учете переменной части плотности в массовых силах инерции (при записи уравнений в неинерциальной системе отсчета). Оказывается необходимым учет переменности плотности в инерционных слагаемых, поскольку ускорения элементов жидкости (ь любой системе

отсчета) оказываются того же порядка, что и вибрационные ускорения. Для демонстрации этого факта рассмотрена задача о поведении жидкости в подогреваемом снизу горизонтальном слое со свободной верхней границей при горизонтальных вибрациях нижней границы. Простота геометрии и структуры решения (плоскопараллельное течение) позволяет аналитически исследовать движение жидкости при конечных частотах вибраций и проследить переход к высоким частотам. Из результатов данного параграфа следует, что попытка использовать приближение Буссинеска приводят к качественно неверным результатам: в пределе высоких частот получается линейный профиль пульсационной скорости, в то время, как я точном решении пульсационная скорость стремится к нулю (в лабораторной системе отсчета).

В параграфе 2.2 с помощью последовательного применения метода осреднения впервые получена замкнутая система уравнений для осредкенных полей скорости и температуры и пульсационного поля скорости для жидкости с произвольной зависимостью плотности от температуры. Сформулированы граничные условия для осредненной и пульсационной компонент скорости ' на твердых поверхностях и поверхностях раздела, в частности, на свободной поверхности жидкости.

В параграфе 2.3. построено приближение слабой неизотермичности и проанализировано его соотношение с приближением Буссинесха. Применение подхода, аналогичного буссинесковскому, к осредненной системе уже является корректным, поскольку она не содержит пульсационных. ускорений. Конкретный вид получающихся в результате уравнений и граничных условий зависит от рассматриваемого класса задач. В ситуациях общего положения, когда пульсационное поле скорости неоднородно, необходимо пользоваться уравнениями, полученными в параграфе 2.3:

—+(й V)» = -— Чр + УДЙ -¡ЗТя -г-А.йДу т 81 рп 2р0

—+йУТ=ХАТ

(И\й~0 то\1¥ = 0 сНУИ'-'-О

В этих случаях действуют два сильных механизма генерации осредненного течения: виброконвективный объемный эффект,

обусловленный взаимодействием неоднородного изотермического поля пульсационной скорости и неоднородности плотности, связанной с неизотермичностью, и шлихтикговский изотермический механизм, связанный с взаимодействием пульсаций скорости и зави\ренности в динамическом вязком скин-слое около твердых поверхностей.

В параграфе 2.3 уравнения термовибрационкой конвекции при малых /39 получаются, исходя из более общих осредненных уразнений, полученных я параграфе 2.2. При этом как будто бы возникает некоторая непоследовательность: при выводе общих уравнений полагается, что амплитуда вибраций стремится к нулю, а частота к бесконечности, так что скорость вибраций остается конечной, а при переходе к пределу малых неизотермичностей приходится считать, что скорость вибраций стремится к бесконечности. В действительности эта непоследовательность кажущаяся, так как указанные предельные переходы управляются разными (и независимыми) безразмерными параметрами. Тем не менее, представляет интерес возможность прямого вывода уравнений термовибрационной конвекции для слабой неизотермичности, когда с самого начала полагается, что перепады температур малы, а скорость вибраций велика. Этой задаче посвящен параграф 2.4.

Имеется ряд особых ситуаций, в которых изотермическое пульсационное поле скорости однородно. Это прежде всего случай поступательных вибраций сосуда с жидкостью, когда жидкость полностью заполняет сосуд или имеет свободную поверхность, ортогональную направлению вибраций. В таких ситуациях неоднородность пульсационного поля сама обусловлена неизотермичностью, главные порядки виброконвективного эффекта и эффекта Шлихтинга исчезают и требуется рассмотрение следующего порядка разложения по параметру малости (50. Как показано в параграфе 2.5, при этом виброконвективный эффект описывается традиционными уравнениями Зень-ковской-Симоненко, а эффект Шлихтинга в следующем порядке вообще не появляется.

В параграфе 2.6 анализируются области применимости осредненных уравнений термовибрационной конвекции, описывающих эффекты первого и второго порядка по параметру неизотермичности.

В параграфе 2.7 подробно рассматривается случай непоступательных вибраций, т.е. таких вибраций, которые сопровождаются изменением ориентации контейнера, содержащего жидкость. Показывается, что при качательных вибрациях основную роль играют эффекты первого порядка, за исключением случаев, когда сосуд имеет форму тела вращения или когда размеры сосуда малы по сравнению с плечом качаний (последний случай был исследован теоретически и экспериментально в работах В.Г.Козлова). Отметим, что при качательных вибрациях сосуда с жесткими стенками, я отличие от случая

поступательных вибраций сосуда с жидкостью, имеющей деформируемую свободную границу, существует система отсчета, в которой псе границы области неподвижны, но в уравнениях движения появляются силы инерции. По этой причине имеет смысл вопрос о применимости приближения Буссинеска. На этом примере хорошо видно, что при непоступательных вибрациях даже при малых частотах приближением Буссинеска пользоваться нельзя. Действительно, силы инерции для качательных вибраций непотенциальны, поэтому пульсационная завихренность, порождаемая вибрациям»:, имеет тот же порядок, что и угловая скорость качаний. Это означает, что переменность плотности нужно учитывать одновременно и в силах инерции, и я слагаемых с производными по времени.

На основе сформулированного общего подхода в параграфе 2.8 рассмотрены течения, индуцированные вибрациями твердой сферы в жидкости, помещенной в твердую неподвижную оболочку, так что среднее расположение центра внутренней сферы совпадает с центром сфери1,еской оболочки. Температуры внешней и внутренней сфер различны. Сила тяжести отсутствует. Аналитически исследованы осред-ненные течения при малых вибрационных числах Рэлея. Показано, что структура течения определяется взаимодействием двух механизмов: объемной генерации, связанной с температурной неоднородностью и шлихтинговской генерации в стоксовских пограничных слоях. Структура течения также зависит от относительной толщины зазора между сферами и от знака разности температур наружной и внутренней сфер. Последнее обстоятельство качественно отличает эту ситуацию от полученной а рамках . классического приближения Буссинеска, когда вибрационное число Рэлея пропорционально квадрату разности температур.

В параграфе 2.9 рассматривается задача о виброконвективном течении в вытянутой прямоугольной области, когда одна из длинных сторон является свободной, вибрации параллельны длинной стороне и короткие стороны находятся при различных температурах. Численное решение задачи методом конечных разностей показывает, что при малых значениях вибрационного числа Грасгофа вблизи торцов области формируются стационарные вибрацисино-конвективные вихри размером порядка толщины слоя. Оба вихря имеют одинаковое направление, соответствующее движению вдоль свободной поверхности от холодной к горячей стенке. Сквозное течение отсутствует. Такая структура течения обусловлена тем, что вибрационно-кочвективное движение индуцируется эффектом первого порядка: если бы течение формировалось эффектом второго порядка, вихри около боковых стенок были бы разных знаков.

Глава 3. Сложные динамические режимы тепловой конвекции

Уравнения, описывающие осредненное конвективное движение при наличии вибраций, могут иметь не только стационарные или периодические решения, но и хаотические. Изучению некоторых аспектов хаотической динамики конвективных систем посвящена третья глава диссертации.

Исследованию влияния вибраций на механизмы перехода к хаотическому поведению посвящен параграф 3.1, где представлены результаты исследования задачи о конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое при вертикальных высокочастотных вибрациях. Проведенное рассмотрение позволяет сделать определенные заключения о характере воздействия высокочастотной вибрации на конвекцию. Умеренная модуляция силы тяжести оказывает слабое стабилизирующее влияние на устойчивость равновесия и сильно понижает границу устойчивости стационарной конвекции и порог возникновения стохастичности. По мере увеличения амплитуды модуляции стохастические режимы сменяются периодическими движениями сложной структуры, которая упрощается при дальнейшем усилении вибрации. В простейшем лоренцевском приближении показано, что сценарий перехода к хаосу через возникновение _ метастабильного хаотического множества и его превращение в странный аттрактор через граничный кризис при возрастании уровня вибраций сменяется качественно другим механизмом. Детальному изучению последнего посвящены параграфы 3.2 и 3.3.

Среди путей (сценариев) возникновения хаоса наиболее полно исследованы теоретически и наблюдались в экспериментах переход через последовательность удвоений периода, через перемежаемость (чередование регулярного и хаотического поведения системы) и через квазипериодический режим. Рассмотрены и более экзотические ситуации, такие как утроения периода, перемежаемость III типа , трикритическая точка удвоений периода и др. Замечательной особенностью большинства из этих задач является аналогия перехода к хаосу с фазовым переходом, имеющая как физическое, так и математическое обоснование.

Физически, аналогом параметра порядка в задаче о переходе к хаосу является ляпуновский показатель X, определяющий скорость разбегания близких фазовых траекторий. Величина X имеет размерность обратного времени; А.-' пропорционально временному масштабу стохастизации. В точке перехода Х=0, и характерное время стохастизации стремится к бесконечности, а в окрестности этой точки оно много больше других временных масштабов (периода и др.). Поэтому переход к хаосу происходит универсальным образом, не зависящим от деталей динамики конкретной системы, подобно тому, как в точке фазового перехода, где характерный пространственный масштаб ' флуктуаций

много больше межатомного расстояния, исчезает зависимость от деталей взаимодействия между атомами.

Математической основой аналогии перехода к хаосу с фазовыми переходами служат понятие масштабной инвариантности и основанный на нем метод ренормализационной группы (РГ)- Впервые аппарат РГ применил к задаче о переходе к хаосу Фейгенбаум, описавший универсальные свойства последовательности бифуркаций удвоения периода. Згтем этот подход использовался при изучении других сценариев перехода, а также критических явлений в динамических системах. Фактически, результатом ренорм-группового анализа являются характеристики объектов (точек, многообразий и т.п.), инвариантных относительно некоторого преобразования в пространстве параметров динамической системы; в окрестности таких объектов последовательности бифуркаций обладают универсальными (то есть не зависящими от конкретных деталей системы) свойствами подобия.

В параграфе 3.2 рассматривается переход к хаосу в системах, в которых основную роль играют гомоклинные бифуркации стационарных режимов. Изучаются динамические системы, в которых имеется состояние равновесия седлового типа с двумя одномерными неустойчивыми сепаратрисами. Динамика такой системы сводится к одномерному разрывному отображению. Качественно охарактеризована структура бифуркационной диаграммы на плоскости параметров и ограничена область, в которой возможны только регулярные режимы. Показано, что в эту границу входит счетное множество отрезков, соответствующих либо касательной бифуркации, либо граничному кризису. Вблизи всех остальных точек границы бифуркационные последовательности подчиняются универсальным законам подобия; сами зти точки делятся на два множества с мощностью континуума, каждому из которых соответствует свой тип подобия. Рассмотрено устройство области регулярного поведения, показано что в ней, наряду с периодическими, встречаются режимы, характеризуемые иррациональными числами вращения и аналогичные устойчивому движению но поверхности канторотора, приведены результаты численных экспериментов с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующей осредненные режимы тепловой конвекции в быстроосциллирующем гравитационном поле при слабом нарушении инверсионной симметрии. Качественно и количгственно подтверждены выводы о различных типах подобия.

Как уже отмечалось, увеличение интенсивности вибраций приводит к стабилизации механического равновесия. Абсолютной стабилизации при увеличении амплитуды модуляции поля тяжести предшествует ситуация, когда это равновесие уже устойчиво относительно малых возмущений, но еще имеются неустойчивые седловые равновесия.

а

соответствующие стационарным режимам конвективного течения. В этой области параметров обнаружен новый тип бифуркационных последовательностей, характеризующийся сверхэкспоненциальной скоростью сходимости. В параграфе 3.3 проведено исследование этой последовательности как с помощью численного решения системы дифференциальных уравнений, так и с помощью анализа модельного отображения. Рассмотрены структуры, возникающие в динамических системах с парой седел, когда система обладает симметрией, переводящей каждое из них в другое. Показано, что в таких системах чередуются бифуркации, соответствующие образованию пар гомоклинных петель, по одной на каждом седле, и образованию контура, составленного из двух гегероклинных (идущих из седла в другое седло) траекторий.

В параграфе 3.3 рассмотрена ситуация, близкая к критической, когда седло приобретает устойчивость, порождая пару симметричных другу седел. В задачах конвекции встречается и другой тип вырождения седла, связанный с вырождением в спектре затухающих возмущений. В параграфе 3.4 исследуются гомоклинические бифуркации в непрерывной конечномерной динамической системе, имеющей седловую точку с одномерным неустойчивым многообразием. Рассматривается область параметров, в которой происходит изменение типа симметрии гомоклинической орбиты: гомоклиническая орбита, имеющая форму "восьмерки", сепаратрисы которой возвращаются в седловую точку вдоль различных компонент ведущего направления устойчивого многообразия, превращается в гомоклиническую "бабочку", сепаратрисы которой возвращаются в седловую точку вдоль одной и той же компоненты. В работе Л.В.Шумовой (Шумова Л.В. Структура перехода к турбулентности в моделях естественной конвекции. - Канд. диссертация, Новосибирск, 1985. 61.) численно было обнаружено хаотическое поведение, связанное с разрушением гомоклинической "восьмерки", тогда как Д.В.Тураевым (Тураев Д.В. О случае бифуркаций канторовс-кого вырождения гомоклиническими кривыми седловой точки,- Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1984, С. 162.) аналитически было доказано, что разрушение гомоклинической "восьмерки" не приводит к рождению каких-либо сложных структур, за исключением одно- или двухобходных периодических траекторий. Результаты проведенного исследования подтвердили существование хаоса в области параметров, в которой "восьмерка" превращается в "бабочку".

В работе Д.В.Тураева хаотическое поведение не было обнаружено, поскольку переходная область параметров не была рассмотрена. Показано, что, как в случае "бабочки", так и в случае "восьмерки" метастабильный хаос ведет к появлению странного • аттрактора лоренцевского типа. Однако, в случае "бабочки" метастабильный хаос

возникает при разрушении гомоклинических петель наружу, а в "случае "восьмерки" он появляется при разрушении хаотического перемешивающего множества. Рассмотрение проведено на основе анализа двумерного отображения

л = афер1117' -н^хр^' -/j)sgn.x

у = су |„v|~'l2U| +(^|хрЯз/Я| — sgn .х

и одномерного, получающегося отсюда при с = d — 0. Здесь ЛГЛ7,Л} -инкременты, причем Л1 > 0, Лг < 0, Л3 < 0 , \Л2 - Л31« Я, Двумерное отображение того же типа исследовалось ранее P.Szefalusi и T.Tel. Однако, эти авторы интересовались структурой странного аттрактора, тогда как мы исследовали бифуркационные переходы.

В рассмотренной в параграфе 3.4 упрощение достигалось за счет вырождения в спектре затухающих возмущений. Чаще приходится иметь дело с вырождением для нейтральных возмущений в критической точке. Обычная причина этого - существование в задаче какой-либо симметрии. Так, в задаче об устойчивости равновесия в подогреваемой снизу сферической области аксиальная симметрия приводит к двукратному вырождению основного уровня неустойчивости. Симметрия этой задачи непрерывна, причем критические движения симметрией не обладают (спонтанное нарушение симметрии), поэтому в надкритической области существует бесконечно много стационарных решений, переводящихся одно в другое поворотом. С возрастанием числа Рэлея все эти решения теряют устойчивость, естественно, одновременно.

Другая ситуация имеет место при наличии дискретной симметрии. Так, при подогреве снизу кубической полости основной уровень неустойчивости двукратно вырожден, как и для сферы, но симметрия связана с поворотом вокруг вертикальной оси на л/2, а не на произвольный угол. Вследствие jroro в надкритической области существует уже не бесконечное, а конечное число стационарных решений. Таких решений оказывается 8, причем 4 из них устойчивы, а 4 -неустойчивы.

Наконец, возможно "случайное" вырождение, не связанное с симметрией. Так, в задаче устойчивости равновесия в подогреваемом снизу бесконечном горизонтальном цилиндре прямоугольного сечения структура плоских критических движений зависит от отношения сторон прямоугольника. В случае квадрата основному уровню неустойчивости соответствует одновихревое движение, а второму уровню - двухвихревое

(два вихря рядом). При достаточно сильном вытягивании области в горизонтальном направлении эти уровни меняются местами, так что при некотором соотношении сторон имеет место вырождение. Однако, это вырождение не приводит к каким-либо интересным результатам при отличной от нуля малой надкритичности: от равновесия ответвляются два одновихревых стационарных решения и два двухвихревых.

Описанная выше картина проста и не вызывает вопросов. Однако, возможные сценарии монотонной потери устойчивости при наличии вырождения ею не исчерпываются. Как показано в параграфе 3.5 диссертационной работы, в плоской задаче устойчивости равновесия в насыщенной жидкостью пористой среде, подогреваемой снизу и ограниченной теплопроводными стенками, нижний уровень неустойчивости двукратно вырожден при любой форме области. Показано, что при малых надкритичностях имеется бесконечно много стационарных решений, образующих однопараметрическое семейство. Динамика системы на пространстве медленных движений описывается системой:

где а, Р - амплитуды двух независимых движений, г - параметр надкритичности. Исследованы различные возмущения задачи, разрушающие это семейство. При этом может остаться конечное число стационарных решений: четыре для случая конечной теплопроводности границ

а=а(г-а2-рг)

/?=Дг-а2-/?2)

одно или три для подогрева не строго снизу

а - а\т- а1 ~рг) + 8 ¡3=р{г-а2-132)

или же появиться предельный цикл:

а- а{г-с+ ¡3={^г-а2-р2)-да

при слабом принудительном просачивании жидкости через границы. Здесь £, - малые параметры, отвечающие за соответствующее нарушение идеальных условий.

Рассмотрена связь обнаруженных явлений с понятием косимметрии, введенным В.И.Юдовичем (Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции. - Математические заметки, 1991, т.49, вып. 5, С. 142-148.). Для исследования поведения решений при конечных надкритичностях с помощью метода Галеркина строится конечномерная динамическая система. Наиболее интересным результатом здесь язляется обнаружение неодновременной потери устойчивости разными решениями бесконечного семейства. Этот факт не имеет аналога в случае систем с симметрией и подчеркивает специфику рассматриваемой ситуации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ К ВЫВОДЫ

1. Построена теория, описывающая поведение жидкости, частично заполняющей сосуд, совершающий высокочастотные колебания. Получены уравнения и граничные услояия для осредненной и пульсационной компонент течения. Исследованы квазиравновесия, т.е состояния, в которых отсутствует осредненная компонента скорости. Сформулирован вариационный принцип, определяющий осреднекную форму свободной поверхности при квазиравновесии. Найдена форма свободной поверхности для нескольких случаев ориентации оси вибраций по отношению к силе тяжести и для различных форм области. Решена обратная задачи нахождения формч области, для которой свободная поверхность жидкости остается плоской.

2. Сформулирована и решена задача об образовании на границе раздела двух жидкостей квазистаткчгского волнового рельефа при наличии поверхностного натяжения и высокочастотных вибраций, ось которых параллельна невозмущенной границе. Рассмотрение проведено на основе осредненной системы уравнений движения для несмешивающихся жидкостей. Обсуждено квазиравновесие в системе дзух жидкостей с горизонтальной границей раздела. Найдены критические условия возникновения волнового рельефа. Определены граница устойчивости и длина волны критического возмущения. Выяснены условия возбуждения (мягкого или жесткого) для слоев жидкостей произвольной толщины.

3. Рассмотрено поьедение поверхности раздела несмешивающихся жидкостей, заполняющих бесконечный горизонтальный слой, в поле высокочастотных поступательных вибраций произвольной поляризации.

Показано, что поверхностное натяжение и вертикальные вибрации являются стабилизирующим фактором, горизонтальные вибрации дестабилизируют равновесие. При некоррелированных вибрациях состояние с плоской границей раздела устойчиво относительно любых малых возмущений. При чисто горизонтальных вибрациях имеется конечная пороговая амплитуда скорости вибраций, при переходе через которую равновесие теряет устойчивость, и может возникнуть волновой рельеф с волновым вектором, параллельным направлению более сильных вибраций.

4. Исследована устойчивость цилиндрической поверхности раздела жидкостей, заполняющих цилиндрическую область, совершающую высокочастотные вибрации круговой поляризации в плоскости, перпендикулярной оси. Показано, что имеется интервал амплитуд вибраций, в котором возможно полное подавг.ение неустойчивости по то как в случае тяжелой, так и в случае легкой наружной жидкости.

5. С целью изучения корректности приближения, в котором стоксовские слои около твердых поверхностей считаются исчезающе тонкими и их влияние не учитывается, рассмотрено влияние вязкости на структуру пульсационного поля в модельной задаче: жидкость частично заполняет цилиндрический сосуд, совершающий поперечные круговые вибрации, причем свободная поверхность жидкости является такхсе цилиндрической. Прямыми вычислениями показано, что при увеличении частоты вибраций распределение пульсационной скорости в ядре течения стремится к решению асимптотической невязкой задачи.

6. В невязком приближении исследована устойчивость плоской поверхности раздела при конечных частотах вибраций. Найдены области параметрического возбуждения и исследован предельный переход к случаю высоких частот.

7. Исследованы вибрационные силы, действующая на тело вблизи твердой границы колеблющейся жидкости. Показано, что при линеино-поляризованных вибрациях, перпендикулярных твердой стенке, тело испытывает силу притяжения к этой стенке, с удалением от которой сила быстро убывает. Это может приводить к удержанию легких тел около дна колеблющегося сосуда и, наоборот, тяжелых тел - около крышки сосуда.

8. Показано, что обычно используемое в теории вибрационной конвекции приближение Буссинеска неприменимо при вибрациях общего вида. Развит подход, в котором зависимость плотности от температуры учитывается не только в слагаемых с силой тя.кести и силами инерции. С помощью метода осреднения получена замкнутая система уравнений для осредненных и пульсационных компонент гидродинамических и тепловых полей. Сформулированы граничные условия для осредненной и

пульсационной компонент скорости на твердых поверхностях и поверхностях раздела, в частности, на свободной поверхности жидкости.

9. В рамках сформулированного общего подхода построено приближение слабой неизотеэмичности и проанализировано его соотношение с приближением Буссинеска.

10. На основе разработанного подхода рассмотрены течения, индуцированные вибрациями твердой сферы в жидкости, помещенной в твердую неподвижную оболочку. Температуры внешней и внутренней сфер различны. Сила тяжести отсутствует. Показано, что структура течения определяется взаимодействием двух механизмов: объемной генерации, связанной с температурной неоднородностью и Шлихтинговской генерацией в стоксовских пограничных слоях.

11. В тре.хмодовом приближении Лоренца построена модель термовибрационной конвекции. Показано, что при достаточно высоком уровне вертикальных вибраций наступает абсолютная стабилизация механического равновесия. Исследованы сценарии перехода к хаосу при различных значениях управляющих параметров.

12. Обнаружен новый механизм хаотизации поведения, при котором усложнение поведения происходит через бесконечную цепочку бифуркаций периодических режимов. Ключевую роль при этом играют гомоклинические бифуркации. Построено модельное одномерное отображение, позволяющее легко исследовать описанный сценарий. Изучено влияние нарушения симметрии на бифуркационную последовательность.

13. Обнаружен новый тип бифуркационных последовательностей, характеризующийся сиерхэкспоненциальной скоростью сходимости. Проведено исследование этой последовательности как с помощью численного решения системы дифференциальных уравнений, так и с помощью анализа модельного отображения.

14. Для объяснения и изучения свойств подобия проведено исследование на основе метода ренормализационной группы динамических систем, в которых имеется состояние равновесия седлового типа с двумя одномерными неустойчивыми сепаратрисами. Линия, ограничивающая область регулярных режимов на плоскости параметров, содержит счетное множестве отрезков, соответствующих переходу к хаосу через перемежаемость или граничный кризис. Вблизи всех остальных точек границы, делящихся на два множества с мощностью континуума, бифуркационные последовательности подчиняются универсальным законам подобия.

15. Построено двумерное отображение Пуанкаре для случая, когда два ближайшие к нулю собственных значения в спектре линеаризованного потока около седдовой точки близки к вырождению. Эта ситуация соответствует переходу гомоклинической орбиты от одного

типа ("восьмерка") к другому ("бабочка"). Показано, что особенности этого двумерного отображения хорошо аппроксимируются одномерным отображением. С помощью этого одномерного отображения продемонстрированы два различных сценария возникновения хаоса. В обоих сценариях структурно-устойчивый хаос Лоренцевского типа возникает из метастабильного хаоса. Метасгабильный хаос возникает при разрушении наружу гомоклинических орбит или при разрушении хаотического множества, возникшего в результате последовательности бифуркаций удвоения периода.

16. Рассмотрена тепловая конвекция в насыщенной жидкостью пористой среде, ограниченной непрсдицаемыми границами высокой теплопроводности. Показано, что в рамках приближения Дарси-Буссинеска потеря устойчивости равновесия при подогреве снизу в плоской области сопровождается рождением бесконечного числа стационарных режимов, не переводящихся друг в друга каким-либо преобразованием симметрии.

17. Исследовано поведение принадлежащих однопараметрическому семейству стационарных решений под действием различных возмущающих факторов. Показано, что возмущения общего вида приводят к гибели большинства стационарных решений, так что остается их конечное число (подогрев не строго снизу, конечная теплопроводность границ, анизотропия свойств и т.д.) или континуум стационарных решений сменяется циклом (просачивание жидкости через границы).

18. Построены конечномерные модели конвекции в пористой среде. На примере этих моделей рассмотрены бифуркации однопараметрического семейства стационарных решений при увеличении числа Рэлея. Показано, что потеря устойчивости частью этих решений не сопровождается, вообще говоря, появлением новых неподвижных точек или циклов. Изучены особенчости перехода к хаосу в таких системах.

Основное содержание диссертации опубликовано ь следующих работах:

1. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу. - Журнал Прикладной механики и технической физики, 1975, № 2, С.131-137. Перевод на англ. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1975, vol.16.

2. Глухов А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в пористой cpc,tc вблизи порога неустойчивости равновесия. - ДАН СССР, 1978, т.238, № 3, С. 549-551. Перевод на англ. Sov. Phys. Dokl., 1978, voi:23.

3. Закс M.A., Любимов Д.В. О возможном механизме ' накопления бифуркаций в конечномерной аппроксимации уравнений конвекции. -

Бифуркационные переходы в некоторых . задачах теории гидродинамической устойчивости. Свердловск, Препринт 45(82) УНЦ АН СССР, 1982, С.40-70.

4. Закс М.А., Любимов Д.В., Чернатынский В.И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции. - Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1983, № 3, С.312-314.

5. ЗаксМ.А., Любимов Д.В. О бифуркациях в модели вибрационной конвекции. - Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1983, С.49-57.

6. Lyubimov D.V., Zaks M. A. Two mechanisms of the transition to chaos in finite-dimensional models of convection. - Physica D, 1983, vol.9, pp.52-64.

7. Закс M.А., Любимов Д.В. Аномально быстрая сходимость цепочки бифуркаций типа удвоения в системах с двумя седловыми равновесиями. - ЖЭТФ, 1984, т.87, вып.5(11), С.1696-1699. Перевод на английский: Sov. Phys. JETP, 1984, vol. 60, N5. .

8. Закс M.А., Любимов Д.В. О законе чередования устойчивых режимов в одной конвективной задаче. - Гидродинамическая и конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1984, С.53-56. -

9. Безденежных H.A., Брискман В.А., Любимов Д.В., Черепанов A.A., Шаров М.Т. Управление устойчивостью поверхности раздела жидкостей с помощью вибраций, электрических и магнитных полей. - III Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Тезисы докладов, Черноголовка, 1984, С.18-20.

10. Закс М.А., Любимов Д.В. Преобразование удвоения в конечномерных моделях конвекции. - Неизотермические течения вязкой жидкости. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1985, С.40-44.

11. Любимов Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. - Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1986, №6, С.8-13..

12. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов A.A. О движении твердого тела в вибрирующей жидкости. - Конвективные течения, Пермь, 1987, С.61-70.

13. Закс М.А., Любимов Д.В., Пиковский A.C. Универсальные сценарии перехода к хаосу через гомоклинные бифуркации. - Препринт 192(87), Свердловск, УрО АН СССР, 1987, 75 с.

14. Zaks M.A., Lyubimov D.V. Period-doubling bifurcation in finite -dimensional models of convection. Fluid Mech.-Soviet Research, 1987, vol.16, N 3, pp.55-61.

15. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Влияние вязкости на структуру пульсационного поля скорости в вибрирующем сосуде. Динамика вязкой жидкости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, С.49-58. .

16. Любимов Д.В., Саввина М.В., Черепанов А.А. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле 1яжести. - Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами, Новосибирск: СО АН СССР, 1987, С.97-105.

17. Lyubimov D.V., Pikovsky A.S., Zaks М.А. Universalities and scaling at the transition to chaos through homoclinic bifurcations. - Proceedings of the Conference on Renormalization Group - 86, World Scientific Publ. Co., Singupore, ¡988, pp. 278-289.

18. Брискман В.А., Любимов Д В., Черепанов А.А.. Устойчивость поверхности раздела вращающихся жидкостей в осевом вибрационном поле. - Численное и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений с невесомости. Свердловск, УрО АН СССР, 1988, С. 18-26.

19. Замараев А.В., Любимов Д.В., Черепанов А.А. О равновесных формах поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. -Гидродинамика и процессы переноса., Свердловск, УрО АН СССР, 1989, С.23-26.

20. Любимов Д.В., Черепанов А.А. Движение неоднородной жидкости в поле высокочастотных поступательных вибраций. - Конвективные течения, Пермь, 1989, С.52-59.

21. Zaks М.А., Lyubimov D.V. Bifurcation sequences in the dissipative systems with saddle equilibria. - Dynamical Systems and Ergodic Theory. -Banach Center Publications, vol.23, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1989, pp.367-380.

22. Lyubimov D.V., Pikovsky A.S., Zaks M.A. Universal Scenarios of Transitions to Chaos via Homoclinic Bifurcations. - Sov. Sci. Rev. Section C, Mathematical Physics Reviews, vol. 8, 1989, pp. 221-292.

23. Брискман В.А., Замараев А.В., Лапин А.Ю., Любимов Д.В., Любимова Т.П., Муратов И.Д., Черепанов А.А. Равновесие и устойчивость поверхности раздела вращающихся жидкостей под действием высокочастотных аксиальных вибраций. - Теоретическая и прикладная механика. VI Национальный конгресс по теоретической и прикладной механике. София, 1990.

24. Любимов Д.В., Любимова Т.П. Об одном численном методе для задач с деформируемой поверхностью раздела. - Моделирование в механике, 1990, т. 4(21), № I, С.¡36-140.

25. Bezdenezhnykh N.A., Eriskman V.A., Lapin A.Yu., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Tcherepanov A.A., Zakharov I.A. The influence of high frequency tangential vibrations on the stability of the fluid interfaces in microgravity. - Int. J. for Microgravity Research and Applications, 1991, vol.1V, N 2, pp. 96-97.

26. Lyubimov D.V. Universal scenarios of transition to chaos in problems of thermal convection. - Eur. J. Mech., B/F!uids, 1991, vol.10, N 2-Suppl., pp.43-48.

27. Любимов Д.В., Черепанов А.А. Динамическая стабилизация рэлеевской капиллярной неустойчивости. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, №6, С.3-7.

28. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova Т.P. The motion of the solid bcdy in a liquid under the influence of the vibrational field. - Reviewed Proc. of the First Int. Syrap. on Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity, Perm-Moscow, 1991, Gordon and Breach Scient. Publ. 1992, pp. 247-251.

29. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A. Dymamic stabilization of the capillary instability of a cylindrical liquid zone. - Reviewed Proc. of the First Int. Symp. on Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity, Perm-Moscow, 1991, Gordon and Breach Scient. Publ. 1992, pp. 209-213.

30. Bezdenezhnykh N.A., Briskman V.A., Lapin A.Yu., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Tcherepanov A.A., ZakharovI.N. The influence of high frequency tangential vibrations oil the stability of fluids interface in microgravity. - Fluid Dynamics in Microgravity, Springer-Verlag, 1992, pp. ¡37-144.

31. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux B. Coupled thermovibrational and thermocapillary convection in liquid bridge (floating zone system).- Proc. of the Vlllth Eur.Symp. on Materials and Fluid Sciences in Microgravity. ESA Publication Division, 1992, pp. 117-122.

32. Lyubimov D.V. Dynamic Properties of Thermal Convection in Porous Medium. - Instabilities in Multiphase Flows. Plenum Publishing Co., London, 1993.

33. Lyubimov D.V., Belousov;/ S.L. Onset of homoclinic chaos due to degeneracy in the spectrum of the saddle. - Physica D, ¡993, vol.62, N 1, pp. 317-321.

34. Lyubimov D.V. Thermovibrational flows in a fluid with a free surface. -Microgravity Quarterly. 1994, vol.4, N.2.

35. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V.,Lyubimcva T.P., Roux B. Convective flows in a liquid bridge subjected to high frequency vibrations. - Microgravity Quarterly, 1994, vol.4, N.2.

36. Lyubimov D.V. New approach in the vibrational convection theory. -Proceedings of the 14th IMACs Congress on Applied and Computational Mathematics, Atlanta, 1994.

37. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Vibrational convective Hows in long rectangular cavity. - 2nd European Fluid Mechanics Conference, Warsaw. Poland, 1994, Abstracts of Fapers.

38.NeelM.C„ Lyubimov D.V. Periodic solutions for three dimensional differential equations with application to heat-flux induced convection. Math. Meth.in Appl. Sci., 1994. '

39. Брацун Д.А., Любимов Д.В. Динамические свойства тепловой конвекции в пористой среде. - Физика, Вестник Пермского университета, вып. 2, 1994, С. 53-72.

40. Lyubimov D.V., Cherepanov А.А., LyubimovaT.P., Roux В. Flows induced by heated oscillating sphere. - Int. Workshop on Non-Gravitational Mechanisms of Convection and Heat/Mass Transfer, Zvenigorod, 1994, Abstracts, pp. 26 21: