Устойчивость комбинированных конвективных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. УСТОЙЧИВОСТЬ КОМБИНИРОВАННОГО КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ В УСЛОВИЯХ БОКОВОГО НАГРЕВА И ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ

1.1. Постановка задачи. Метод решения

1.2. Гидродинамические механизмы неустойчивости комбинированного конвективного течения

1.3. Температурные волны

1.4. Предельный случай больших чисел Рейнольдса

2. УСТОЙЧИВОСТЬ КОМБИНИРОВАННОГО ТЕЧЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ IOI

2.1. Постановка задачи

2.2. Гидродинамический механизм неустойчивости

2.3. Тепловые механизмы неустойчивости

2.4. Вторичные режимы конвекции в случае монотонной тепловой неустойчивости

2.5. Длинноволновая неустойчивость в слое с теплоизолированными границами

I, В неравномерно нагретой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, механическое равновесие, как правило, невозможно, и при любой сколь угодно малой неоднородности температуры возникает конвективное движение. Увеличение градиента температуры может привести к неустойчивости этого движения. При определенных условиях, а именно, когда градиент температуры вертикален и имеет постоянное значение, механическое равновесие возможно. Однако, если градиент температуры достаточно велик, равновесие становится неустойчивым, развитие возмущений приводит к смене его конвективным течением (имеется ввиду случай подогрева снизу). При дальнейшем увеличении неоднородности температурного поля это течение также может потерять устойчивость. Анализ конвективной устойчивости механического равновесия неравномерно нагретой жидкости и устойчивости конвективных течений содержится в книге Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого I и в обзоре этих же авторов 2 Конвективная устойчивость равновесия и устойчивость конвективных течений жидкостей служат частными случаями явления гидродинамической устойчивости. Теория гидродинамической устойчивости представляет собой бурно развивающуюся в настоящее время область*физической гидродинамики. Необычайно возросший интерес к проблемам гидродинамической устойчивости (в том числе и к конвективной устойчивости) связан прежде всего с исследованием закономерностей возникновения и развития турбулентности /3/> с изучением гидродинамических процессов и процессов тепломассообмена в ламинарном и турбулентном режимах движения. В практичес4 ком плане этот интерес вызван различными приложениями результатов теории к решению многих технических и технологических задач. Развитие конвективной неустойчивости сопрововдается изменением законов теплопередачи, знание которых необходимо при конструировании и проектировании различных объектов. Все это свидетельствует об актуальности изучения конвективной устойчивости как в теоретическом плане, так и с точки зрения её применения. Исследования гидродинамической устойчивости сталкиваются с большими математическими трудностями; как указывает академик Г.И.Петров в своём предисловии к недавно вышедшей монографии Д.Джозефа А даже линейная теория устойчивости сейчас далека от завершения, не говоря уже о нелинейных аспектах этой проблемы. Успехи последних лет в значительной мере связаны с использованием ЭВМ. Основные вопросы гидродинамической устойчивости освещены в монографиях Линя /5/, Р.Шлихтинга /6/, в книгах Р.Бетчова и В.Криминале 7 М.А.Гольдштика и В.Н.Штерна 8 Специальные задачи конвективной устойчивости равновесия подробно исследованы в классической монографии Чавдрасекара /9/, вопросы конвективной устойчивости рассмотрены в книге А.В.Лыкова и Б.М.Борковского Ю в уже упомянутой монографии Д.Джозефа обсуждается не только устойчивость различных изотермических течений, но и многие вопросы конвективной устойчивости. В отличие от устойчивости изотермических течений, конвективная устойчивость характеризуется наличием дополнительных специфических механизмов неустойчивости. Это связано с тем, что в конвективных ситуациях спектр возмущений более разнообразный; наряду с гидродинамическими возмущениями в спектре присутствуют также тепловые возмущения. Гидродинамические и тепловые моды неустойчивости могут взаимодействовать, что приводит зачастую к сложной картине кризиса. Кроме того, взаимодействие возмущений различного типа может влиять на гидродинамические механизмы неустойчивости. Знание закономерностей устойчивости конвективных течений подводит нас к возможности её управления. Имеется большое количество работ, Б которых рассматривается воздействие различных факторов на механизмы неустойчивости: влияние магнитного поля, вращения, процессов диффузии, вибрации, присутствия в объеме, занятом жидкостью, пористой среды или твердых частиц и т.д. Все это безусловно интересно: новые факторы могут привести к появлению новых механизмов неустойчивости и, следовательно, к появлению новых рычагов управления конвективной устойчивостью. К числу таких факторов можно отнести и добавление к конвективному движению какого-либо течения неконвективной природы. При этом получается суперпозиция свободного и вынужденного течений комбинированная (смешанная) конвекция. Смешанная конвекция интересна и с теплофизической точки зрения, так как процессы, для которых характерен теплообмен в условиях комбинированной конвекции, встречаются часто в геофизике, атомной энергетике (например, тепловая защита реакторов), в металлургии. Комбинированным конвективным течениям посвящена книга О.Г.Мартыненко и Ю.А.Соковишина /II/. В диссертации рассматривается устойчивость плоскопараллельных комбинированных конвективных течений. Обсуждаются два типа течений. Первое из них представляет собой суперпозицию свободноконвективного движения жидкости в плоском вертикальном слое,.,6 подогреваемом сбоку, и плоского течения Пуазейля, возникающего Б слое под действием продольного (вертикального) градиента давления. Исследуется влияние прокачки жидкости на конвективные механизмы неустойчивости, а также влияние поперечной разности температур на развитие неустойчивости Толдмина-Шлихтинга. Рассмотрение устойчивости течения ведется в предположении высокой теплопроводности границ слоя. Второе изученное комбинированное течение образовано свобод ноконвективным движением жидкости в вертикальном слое и плоским течением Куэтта, вызываемым движением границ слоя. .В отличие от первого течения, здесь вынужденное движение жидкости в линейном приближении абсолютно устойчиво. При тех же тепловых граничных условиях рассматривается поведение конвективных механизмов неустойчивости; показано, что при определенных условиях возможен и оказывается наиболее опасным новый механизм кризиса, связанный с нарастанием монотонных тепловых возмущений. В области параметров, соответствующей монотонной тепловой неустой- чивости рассмотрены нелинейные вторичные режимы движения. Кроме того, для данного комбинированного течения исследован иной вариант тепловых условий на границах случай теплоизолированных границ. 2. Рассмотрим некоторые результаты исследований, имеющих непосредственное отношение к данной работе. Обзор литературы естественно начать с исследований течений, являющихся компонентами рассматриваемых комбинированных течений. Конвекция в бесконечном плоском вертикальном слое жидкости, параллельные границы которого поддерживаются при разных температурах, является типичным течением, на примере которого можно 7 продемонстрировать основные особенности конвективной устойчивости. Если слой замкнут сверху и снизу, то в нем устанавливается стационарное течение, образованное двумя встречными потоками восходящим у теплой стенки слоя и нисходящим у холодной стенки. Если слой достаточно вытянут по вертикали, то в его центральной части движение можно считать плоскопараллельным с нечетными профилями скорости и температуры. Вследствие линейности распределения температуры теплоперенос при таком плоскопараллельном режиме движения осуществляется чисто теплопроводным путем. Параметром подобия этого конвективного течения является число Грасгофа й я е в п у 2 температур 0 ускорение свободного падения, р определенное по полуразности h о и V коэффициенты тепловона границах слоя и полуширине слоя го расширения и кинематической вязкости жидкости. Исходный плоскопараллельный режим движения существует не при любых значениях числа Грасгофа. С увеличением разности температур при некотором критическом числе Грасгофа течение становится неустойчивым. Линейная устойчивость такого течения впервые исследовалась в работе Г.З.Гершуни /12/. Спектральная краевая задача для амплитуд малых нормальных возмущений функции тока и температуры решалась с применением метода Галеркина. В качестве базисных функций выбирались полиномы, причем для аппроксимации возмущений функции тока использовалась одна базисная функция и две для возмущений температуры. В работе рассматривались только нейтральные возмущения. Несмотря на небольшое число базисных функций удалось сделать вывод о неустойчивости стационарного конвективного течения относительно колебательных возмущений; в работе получена оценка критических чисел Грасгофа G При 8 больших числах Прандтля г имеет место зависимость G(xrr(X/I, В совместной работе Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого /13/ для анализа устойчивости этого течения применяется метод Галеркина с четырьмя полиномиальными базисными функциями по четной и нечетной функции для функции тока и температуры. Для аппроксимации температурных возмущений привлекаются дополнительные граничные условия, вытекающие из уравнения переноса тепла и его граничных условий равенство нулю на границах слоя второй производной температурных возмущений по поперечной координате. Использование большего числа базисных функций и более естественный их выбор привели к качественно новым результатам. Во-первых, выяснилось, что существуют два механизма неустойчивости монотонный и волновой. Во-вторых, как выяснилось, "степень опасности" механизмов кризиса существенно зависит от соотношения вязкости и температуропроводности жидкости, т.е. от числа Прандтля г числах F При малых неустойчивость обусловлена развитием монотонных возGm мущений, причем получены достаточно точные значения критических чисел Грасгофа (с ростом Р минимальное критическое число меняется в пределах 390 520). При Р Р личина г появляются волновые Р 0,96). возмущения, которые в дальнейшем становятся более опасными; веоказалась равной 1,8 (в работе /12/ Получение более точных результатов, а также анализ всего спектра возмущений (в /12,13/ рассматривались лишь нейтральные возмущения) с вычислительной точки зрения представляет собой очень трудную задачу. Применение ЭВМ для проведения гидродинамических расчетов позволило использовать не только методы Галеркина с представительным базисом, но и эффективные методы пошагового интегрирования.В работе /V\/ изучены общие свойства спектров возмущений плоскопараллельных течений с четными и нечетными профилями скорости. Использован аппарат разложения по малому параметру, в качестве которого выбрана величина число Рейнольдса, К Ш где 1J G/e волновое число возмущений (применение техники разложения по малому параметру для задач конвекции предложено И.Г.Шапошниковым /15/). Расмотрение проводилось в чисто гидродинамической постановке Р 0 Б этом предельном случае задача конвективной устойчивости плоскопараллельного течения сводится к решению краевой задачи Орра-Зоммерфельда для изотермического течения с выбранным профилем скорости. Показано, что в случае нечетного профиля при малых значениях числа Рейнольдса все нормальные возмущения монотонно затухают. Установлено, что простые "пересечения" декрементов запрещены слияние двух вещественных уровней приводит.к образованию комплексно-сопряженной пары декрементов (возникновение волновых возмущений). Решение задачи Орра-Зоммерфельда при произвольных значениях Т< и R (в том же предельном случае Р О) проведено в /16,17/ методом Галеркина. В качестве базиса принята полная система функций, описывающая возмущения в покоящейся жидкости. В вычислениях использовалось до 36 базисных функций. Высокий порядок метода Галеркина позволил с большой точностью определить II нижних уровней спектра декрементов при к R 1500. Подтвержден вывод работы i V о существовании в спектре точек слияния вещественных уровней; показано, что колебательные возмущения затухают. Обнаружены нарастающие монотонные возмущения, построена нейтральная кртвая монотонной неустойчивости. Для минимального критического числа Грасгофа получена величина Gm 98, при этом 10 k m 1.3. В работе приводятся формы нарастающих монотонных и затухающих волновых возмущений. Показывается, что монотонная неустойчивость связана с образованием вихрей на границе встречных потоков (неустойчивость границы их

- 163 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в данной работе.

Комбинированное конвективное течение в подогреваемом сбоку вертикальном слое при действии продольного градиента давления.

1. Исследована линейная устойчивость течения относительно гидродинамических возмущений. Показано, что суперпозиция свобод-ноконвективного движения и вынужденного течения приводит к их взаимной стабилизации относительно вязких и невязких гвдродина-мических возмущений.

2. Исследовано влияние вязких и теплопроводных свойств жидкости на гидродинамические механизмы кризиса. Показано, что с изменением числа Прандтля количественные характеристики гидродинамической неустойчивости меняются мало.

3. Исследовано влияние продольной прокачки жидкости в вертикальном направлении на развитие возмущений типа бегущих температурных волн. Показано повышение устойчивости течения относительно вязких возмущений, существование температурных волн при числах Прандтля меньших, чем в случае свободноконвективного течения. Показано, что наиболее опасными являются волны, бегущие в направлении вынужденного движения жидкости.

4. Рассмотрен предельный случай больших скоростей вынужденного движения жидкости. Получены зависимости характеристик критических возмущений от числа Прандтля.

Комбинированное течение в подогреваемом сбоку вертикальном • слое с движущимися границами.

I. Исследовано влияние движения границ на устойчивость течения относительно вихрей на границе встречных потоков. Показано, что движение границ приводит к стабилизации течения.

2. Исследовано влияние движения границ на устойчивость течения относительно бегущих температурных волн. Показано существование вязкого теплового механизма кризиса при числах Прандтля меньших, чем в случае свободноконвективного течения. Отмечено повышение устойчивости течения относительно колебательных возмущений.

3. Обнаружена новая мода неустойчивости, связанная с развитием монотонных тепловых возмущений. Изучена область монотонной тепловой неустойчивости. Показано, что такая неустойчивость существует, если вынужденное движение жидкости в каждой из половин слоя направлено навстречу свободноконвективному течению. Неустойчивость характеризуется небольшими величинами & .

4. Рассмотрен предельный случай больших скоростей движения границ. Получены асимптотические характеристики критических возмущений.

5. Численно исследованы вторичные режимы конвекции в области монотонной тепловой неустойчивости комбинированного течения. Показано, что вблизи нижней границы области неустойчивости вторичный режим ответвляется мягко; в надкритической области развивается вторичное течение в виде системы вихрей в середине слоя.

6. Аналитически исследована длинноволновая тепловая неустойчивость в случае данного комбинированного течения в слое с теплоизолированными границами. Определены характеристики длинноволновой неустойчивости. Показано, что такая неустойчивость существует, начиная с некоторого порогового значения числа Пекле.

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.- М.: Наука, 1972. - 392 с.

2. Гершуни Г.З. Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость.- В кн.: Механика жидкости и газа (Итоги науки и техники). -М.: ВИНИТИ, 1978, т.II, с.66-154.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.- М.: Гос-техиздат, 1953, 788с.

4. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкостей.- М.: Мир, 1981.638 с.

5. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости.- М.: ИЛ, 1958. 194 с.

6. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: ИЛ, 1962, -203 с.

7. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971. - 350 с.

8. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. -Новосиб.: Наука, 1977. Збб с.

9. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. -Oxford: Clarendon Press, 1961. 654 p.

10. Лыков А.В., Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны. -М.: Энергия, 1974. 335 с.

11. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Теплообмен смешанной конвекцией.- Минск: Наука и техника, 1975.- 256 с.

12. Гершуни Г.З. Об устойчивости плоского конвективного движения жидкости.- Ж.техн.физ., 1953, т.23, № 10, с. 1838-1844. '

13. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О двух типах неустойчивостиконвективного движения между параллельными вертикальными плоскостями.- Изв.высш.уч.завед.Физика, 1958, № с.43-47.

14. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О спектре возмущений плоскопараллельных течений при малых числах Рейнольдса.-Прикл.мат.и мех., 1965, т.29, № I, с.88-98.

15. Шапошников И.Г. К теории слабой конвекции.- Ж.техн.физ., 1952, т.22, }Ь 5, с.826-828.

16. Бирих Р.В. О малых возмущениях плоскопараллельного течения с кубическим профилем скорости.- Прикл.мат.и мех., 1966, т.30, № 2, с.356-361.

17. Рудаков Р.Н. О малых возмущениях конвективного движения между вертикальными плоскостями.- Прикл.мат.и мех., 1966, т.30, № 2, с.362-368.

18. Рудаков Р.Н. Спектр возмущений и устойчивость конвективного движения между вертикальными плоскостями.- Прикл.мат.и мех., 1967, т.31, № 2, с.349-355.

19. Рудаков Р.Н. О форме нормальных возмущений в конвективном потоке между вертикальными плоскостями.- Уч.зап.Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып.1, с.105-115.

20. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном канале.- Прикл.мат.и мех., 1972, т.36, № 4, с.745-748.

21. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Применение метода ортогонализации в пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1974, № 316, Гидродинамика, вып.5, с.149-158.

22. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин.- М.: ИЛ, 1962. 208 с.

23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. - 832 с.

24. Gil'l А.Е. ,Kirkham С.С. A note on the stability of convection in a vertical slot. J. Fluid Mech. , 1970, v. 42,1. N 1, p. 125-127.

25. Бирих P.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Рудаков Р.Н., Шихов В.М. Об устойчивости стационарного конвективного движения при больших числах Прандтля.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1975, № 327, Гидродинамика, вып.6, с.63-72.

26. Gotoh К., Satoh М. The stability of a natural convection between two parallel vertical planes. J. Phys. Soc. Jap., 1966, v. 21, H 3, p.542-548.

27. Mizushima J., Gotoh K. The stability of natural convection in a vertical fluid layer. J. Fluid Mech., 1976,v.73» N 1» P.65-75.

28. Gotoh K., Ikeda N. Asymptotic solution of the instability problem of channel flows with antisymmetric velocity profile. J. Phys. Soc. Jap., 1972, v.32, U 3, p. 845-850.

29. Зайцев B.M., Сорокин М.П. К вопросу об устойчивости теплового конвективного движения жидкости в вертикальной щели.-Уч.зап.Пермск.ун-та, 1961, т.19, № 3, с.29-32.

30. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н.

31. Устойчивость стационарного конвективного движения жидкостей с продольным градиентом температуры. Прикл.мат. и мех., 1969, т.33, В 6, с.958-968.

32. Мызников В.М. Об неустойчивости конвективного движения в плоском вертикальном слое при наличии продольного градиента температуры. Уч.зап.Пермск.ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып.2, с.99-107.

33. Bergholz R.P. Instability of steady natural convection in a vertical fluid layer. J. Pluid Mech., 1978, v.84, F 4, p. 743-768.

34. Got oh K. , Yanase S. , Mizushima J. The instability of natural convection in a vertical fluid layer in the presenceof adverce temperture gradient. J. Phys. Soc. Jap., 1977» v.45» N 5, P.1773-1882.

35. Gotoh K., Mizushima J. The stability of convection between two parallel vertical walls. J. Phys. Soc. Jap., 1973, v.34, И 5, p. 1408-1413.

36. Бирих P.В., Рудаков P.H. О форме неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения с продольным градиентом температуры. Уч.зап.Пермск.ун-та, 1971, 15 248, Гидродинамика, вып.З, с.56-63.

37. Гершуни Г.З. К вопросу об устойчивости плоского конвективного движения жидкости. Ж.техн.физ., 1955, т.25, № 2,с.351-357.

38. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Луховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Гидродинамическая и тепловая неустойчивость стационарного конвективного движения. Прикл.мат.и мех., 1968, т.32,2, с.256-263.

39. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н.

40. О колебательной неустойчивости стационарного конвективного движения в плоском наклонном слое.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1974, № 316, Гидродинамика, вып.5, с.138-148.

41. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного движения относительно пространственных возмущений.- Прикл.мат.и мех., 1969, т.33, № 5, с.855-860.

42. Squire Н.В. On the stability for three dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls. -Proc. Roy. Soc., 1933, A142, N 848, p.621-628.

43. Гершуни Г.З. К вопросу об устойчивости стационарного конвективного движения вязкой жидкости.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1961, т.19, № 3, с.25-28.

44. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Об устойчивости конвективного течения жидкости с вязкостью, зависящей от температуры.- Теплофиз.высоких температур, 1975, т.13, № 4, с.771-778.

45. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Стационарное конвективное движение электропроводящей жидкости между параллельными плоскостями в магнитном поле.- Ж.экспер.и теор.физ., 1958, т.34, № 3, с.670-674.

46. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Об устойчивости стационарного конвективного движения электропроводящей жидкости между параллельными плоскостями в магнитном поле.- Ж.экспер.и теор. физ., 1958, т.34, № 3, с.675-683.

47. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Об устойчивости конвективного течения проводящей жидкостив магнитном поле.- Магнит.гидродинамика, 1978, № I, с.30-36.

48. Gill А. Е. A proof that convection in a porous vertical slab in stable. J. Pluid Mech. , 1969, v. 35, N 3, p. 545547.

49. Weber J.E. Thermal convection in a tilted porous layer.1.t. J. Heat and Mass Transfer, 1975, v. 18, N 3, p.474-475.

50. Дементьев O.H. Устойчивость конвективного движения среды, несущей твердую примесь. Уч.зап.Пермск.педагог.ин-та, 1974, Гидродинамика, вып.7, с.3-15.

51. Дементьев О.Н. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь.- Н.прикл.мех.и техн.физ., 1976,3, с.105-115.

52. Дементьев О.Н. Об устойчивости конвективного движения запыленного газа. Уч.зап.Пермск.педагог.ин-та, 1976, № 152,с.71-76.

53. Гершуни Г.З., Дементьев О.Н., Жуховицкий Е.М. О влиянии тепловых свойств границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое.- Инж.физ.журнал, 1977, т.32, № 6, с.1062-1064.

54. Lorenz E.U. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. , 1963, v.20, N 2, p. 130-141.

55. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. О взаимодействии волн конечной амплитуды в случае конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя. Докл.АН СССР, 1974, т.219, № 2, с.297-300.

56. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.М. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу.- Докл.АН СССР, 1977, т.235,3, с.554-556.

57. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин ЕЛ. Вторичные ста- ■ ционарные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1968, № 5, с.130-136.

58. Тарунин ЕЛ. О вторичных стационарных конвективных течениях в вертикальном слое.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1972, № 293, Гидродинамика, вып.4, с.71-83.

59. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е., Тарунин ЕЛ. Вторичные колебательные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1974, № I, с.94-101.

60. Сорокин Л.Е. О нелинейном конвективном движении в плоском вертикальном слое жидкости в области колебательной неустойчивости.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1974, № 316, Гидродинамика, вып.5, с.127-137.

61. Непомнящий А.А. О вторичных конвективных движениях в плоском вертикальном слое.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1975, № 4, с. З-И.

62. Непомнящий А.А. О нестационарных вторичных конвективных движениях в вертикальном плоском слое.- В кн.: Конвективные течения: Сб.научн.тр.Пермск.педагог.ин-та. Пермь: Пермск. педагог.ин-т, 1979, с.61-68.

63. Непомнящий А.А. О типах неустойчивости вторичных конвективных течений в вертикальном слое.- В кн.: Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979, с.17-23.

64. Vest С.М. , Arpaci V.S. Stability of natural convection in a vertical slot. J. Pluid Mech. , 1969, V.36», N 1, P.1-15.

65. Кирдяшкин А.Г., Леонтьев A.M., Мухина H.B. Устойчивость ламинарного течения жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1971, № 5, с.170-174.

66. Грязнов B.JI., Полежаев В.И. Численное моделирование турбулентного режима конвекции в вертикальном слое,- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1977, № 5, с.8-15.

67. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Исследование структуры переходного и турбулентного режимов конвекции в вертикальном слое.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1978,б, с.66-75.

68. Непомнящий А.А. О вторичных конвективных движениях в плоском наклонном слое.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1977,3, с.3-9.

69. Непомнящий А.А. Вторичные конвективные движения в плоском наклонном слое.- Уч.зап.Пермск.педагог.ин-та, 1977, Гидродинамика, вып.10, с.94-102.

70. Orr W.McP. The stability or instability of the steady motion of a liquid. Proc. Roy. Irish. Acad. A., 1906-1907, v.27» P.9-27, 69-138.

71. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erklarung der turbulent en Flussigkeitsbewegung. Proc. 4-th Intern. ' Congress math., Rome, 1908, p.116-124.

72. Mises R. Kleiner Swingungen und Turbulenz. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereiniguns, 1912, Bd. 21,s.241-248.

73. Hopf L. Der Verlauf kleiner Swingungen auf einer Stromung reibender Flussigkeit. Ann. Phus. , 1914, Bd. 44, H 1,a. 1-60.

74. Rayleigh. On the stability of the simple shearing motion of a viscous incompressible fluid. Scient. Papers, 1915, v. 6, p.341-349.

75. Дикий JI.А. Об устойчивости плоскопараллельного течения Куэтта.- Прикл.мат.и мех., 1964, т.28, № 2, с.389-392.

76. Бирих Р.В. О спектре малых возмущений плоскопараллельного течения Куэтта.- Прикл.мат.и мех., 1965, т.29, № 4,с.798-800.

77. Deadorff J.W. On the stability of viscous plane Couette flow. J. Fluid Mech. , 1963, v.15, p. 623-631.

78. Штерн B.H. Устойчивость плоского течения Куэтта.- Ж.прикл. мех.и техн.физ., 1969, № 5, с.117-119.

79. Штерн В.Н. Спектр малых возмущений плоского течения Куэтта.-Ж.прикл.мех.и техн.физ., 1970, № I, с.189-190.

80. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта.- Докл.АН СССР, 1971, т.196, № 5, с.1049-105I.

81. Романов В.А. Устойчивость плоскопарадлельного течения Куэтта.- М., 1971, 26 с. (препринт / Ин-т проблем механики АН СССР, № I).

82. Ягодкин В.И. К теории устойчивости течений вязкой жидкости в каналах.- Прикл.мат.и мех., I960, т.24, № 5, с.865-872.

83. Басин A.M., Короткин А.И., Козлов Л.Ф. Управление пограничным слоем судна. Л.: Судостроение, 1968, - 491 с.

84. Thomas L.H. The stability of plane Poiseuille flow. -Phys. Rev., 1953, v.91, N 4, p.780-783.

85. Reynolds W. C. , Potter M.O. Finite-amplitude instability of parallel shear flows. J. Fluid Mech., 1967, v.27, И 3, p.465-492.

86. Orzag S. A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation. J. Fluid Mech., 1971, V. 50, H 4, p.689-704.

87. Гольдштик M.A., Сапожников В.А., Штерн B.H. Локальные свойства задачи гидродинамической устойчивости.- Ж.прикл.мех.и техн.физ., 1970, № 2, с.56-61.

88. Сапожников В.А., Штерн В.Н. Численный анализ устойчивости плоского течения Пуазейля.- Ж.прикл.мех.и техн.физ., 1969, № 4, с.115-117.

89. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об автоколебательных режимах, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале.- Докл. АН СССР, 1965, т.162, № 5, с.975-978.

90. Chen T.S., Joseph D.D. Subcritical bifurcation of plane Poiseuille flow. J. Fluid Mech., 1973, v. 5&, N 2,1. P.337-352.

91. Гольдштик M.A., Штерн B.H. Модельные автоколебания и турбулентность.- В кн.: Проблемы теплофизики и физической гидродинамики. Новосиб.: Наука., 1974, с.17-25.

92. Herbert Т. Nonlinear stability of parallel flow by high-order amplitude expansions. AIAA Journal, 1980, v.18, N 3, p.243-248.

93. Connor M. A., Carr A.D. Heat transfer in vertical tubes under conditions of mixed free and forced convection. -6-th Int. Heat Transfer Conf. Toronto, 1978, Ottava, 1978, p.43-48.

94. Migazaki H . Combined free-and forced-convection heat transfer and fluid flow in rotating curved rectangular tubes. Trans. ASME, 95C, 1973, N1, p.68-74.

95. Копяткевич P.M., Пасконов Б.М. Численное исследование смешанной конвекции в замкнутой прямоугольной области.- В кн.: Численные методы в аэродинамике. М.: МГУ, 1977, вып.2,с.32-51.

96. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. О влиянии движения границ на устойчивость конвективного течения между вертикальными плоскостями.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып.2, с.93-98.

97. Тарунин E.JI. Вторичное конвективное движение жидкости в вертикальном слое с подвижными границами.- Уч.зап.Пермск. ун-та, 1974, № 316, Гидродинамика, вып.5, с.115-126.

98. Fukui К. , Nakajima М. , Ueda Н. , Mizushima Т. Plow instability and transport phenomena in combined free and forced convection between vertical parallel plates.

99. J. Chem. Eng. Jap., 1982, v. 15, N 3, p. 172-180.

100. Шарифулин A.H. Устойчивость конвективного движения при наличии продольной вибрании. Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1983, № 2, с.186-188.

101. Шихов' В.М. Об устойчивости конвективного движения в вертикальном слое с проницаемыми границами.- Уч.зап.Пермск.педагог. ин-та, 1974, Гидродинамика, вып.7, с.17-24.

102. Шихов B.M. Устойчивость конвективного движения в плоском вертикальном слое жидкости с проницаемыми границами. -Прикл.мех. и техн.физ., 1976, № I, с.94-101.

103. Шихов В.М. Спектры возмущений и устойчивость конвективного движения в вертикальном канале с проницаемыми границами.-Уч.зап.Пермск.ун-та, 1976, № 362, Гидродинамика, вып.8,с.69-78.

104. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шварцблат Д.Л. О спектре конвективной неустойчивости в вертикальном канале с проницаемыми границами.- Прикд.мат.и мех., 1970, т.34, № I,с.150-152.

105. Шварцблат Д.Л. О спектре возмущений и конвективной неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости с проницаемыми границами. Прикл.мат.и мех., 1968, т.32, № 2,с.276-281.

106. Ромашко Е.Л. Гидродинамическая устойчивость конвекционного движения в полуограниченной области с равномерным отсосом. В кн.: Тепло - и массоперенос, т.8.Минск: Ин-т тепло и массообмена АН БССР, 1972, с.452-457.

107. Gallagher А.P., Mercer A.McD. On the behaviour of small disturbances in plane Couette flow with a temperature gradient. Proc. Roy. Soc., 1965, v. A286, N 1404, p.117-128.

108. Deardorff J.W. Gravitational instability between horizontal plates with shear. Phys. Fluids, 1965» v.8, IT 6,p.1027-1030.

109. Gage K.S. , Reid W.H. The stability of thermaly stratified plane Poiseuille flow. J. Fluid Mech. , 1968, v. 33» N 1, p.21-32.г

110. Chen T.S. , Moutsoglou A. Wave instability of mixed convection flow on inclined surfaces. Numer. Heat Transf. , 1979, v.2, U 4, p.497-509.

111. Лобов Н.И. Об устойчивости смешанного конвективного течения.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, № б, 1979, с.130-132.

112. Лобов Н.И. Устойчивость комбинированного течения в вертикальном слое. В кн.: Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Сверцл.: УНЦ АН СССР, 1981, с.9-11.

113. Лобов Н.И. Неустойчивость комбинированного конвективного течения в вертикальном слое.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1982, № 3, с.3-9. .

114. Лобов Н.И., Никитин А.И. Влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое.- В кн.: Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Свердл.: УНЦ АН СССР, 1981, с.12-15.

115. Лобов Н.И., Никитин А.И. О механизмах неустойчивости комбинированного конвективного течения. В кн.: Конвективные течения: Сб.научн.тр.Пермск.педагог.ин-та. Пермь: Пермск. педагог.ин-т, 1981, с.41-51.

116. Лобов Н.И., Тарунин Е.Л. Надкритический режим конвекции в вертикальном слое с движущимися границами. Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1984, в печати.

117. Лобов Н.И., Любимов Д.В. Длинноволновая неустойчивость плоскопараллельного конвективного течения в условиях фиксированного теплового потока. В кн.: Конвективные течения: Сб.научн.тр.Пермск.педаг.ин-та.Пермь: Пермск.педаг.ин-т, 198:4, в печати.

118. Островский А. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963. - 219 с.

119. Ортега Дк., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М,: Мир, 1975. - 558 с.

120. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

121. Воропаев В.Н., Ягодкин В.И. Об устойчивости некоторых непараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости в канале.- Изв.АН СССР. Мех.жидк.и газа, 1970, № 4, с.125-129.

122. Кирдяшкин А.Г., Предтеченский А.А. Устойчивость режима пограничного слоя при свободной конвекции в плоской вертикальной щели. В кн.: Проблемы теплофизики и физической гидродинамики. Новосиб.: Наука, 1977, c.III-119.

123. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.487 с.

124. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике.- М.: Энергия, 1964. 208 с.

125. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.: Мир, 1967. 310 с.

126. Nachtsheim P.R. Stability of free convection boundary layer flows. NASA Tech. Note, 1963, D-2089.

127. Knowles C.R. , Gebhart B. The stability of the laminar natural convection boundary layer. J. Fluid Mech., 1968, v.34, N 4, p.657-686.

128. Hurle D.T.J., Jakeman E., Pike E.R. On the solution of the Benard problem with boundaries of finite conductivity. -Proc. Roy. Soc., 1967, v. A296, N 1447, p. 469-475.г

129. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Семакин И.Г. О конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальном слое, разделяющем массивы разной теплопроводности.- Уч.зап.Пермск.ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып.З, с.18-28.

130. Дементьев О.Н., Любимов Д.В. О возникновении конвекции в горизонтальном плоском слое пористой среды.- Уч.зап.Пермск. ун-та, 1972, № 293, Гидродинамика, вып.4, с.25-32.

131. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. К теории реле-евской неустойчивости. Прикл.мат.и мех., 1967, т.31, № 5, с.812-819.

132. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Иоршина С.М. О конвективной неустойчивости равновесия наклонного слоя жидкости. -Прикл.мат.и мех., 1978, т.42, $ 2, с.296-300.

133. Колесников А.К., Любимов Д.В. О конвективной неустойчивости жидкости в наклонном слое пористой среды. Прикл.мех.и техн.физ., 1973, & 3, с.127-131.

134. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Устойчивость равновесия жидкости в горизонтальном цилиндре, подогреваемом снизу.-Прикл.мат.и мех., 1961, т.25, № 6, с.1035-1040.

135. Шайдуров Г.Ф. Тепловая неустойчивость жидкости в горизонтальном цилиндре.- Инж.физ.журнал, 1961, т.4, № II, с.109-113.

136. Гершуни Г.З,, Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси.-Прикл.мат.и мех., 1980, т.44, № 5, с.823-830.

137. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дк. Гравитация (в 3 том.). М.: Мир, т.1, 1977. - 474 с.

138. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980, 616 с.

139. Гердт В.Н., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в применении к физике и математике.- Успехифиз.наук, 1980, т.130, № I, с.ПЗ-147.

140. Закс М.Б. Аналитические преобразования на ЕС ЭВМ.- Саратов: Саратов.ун-т, 1981. Ю с.