Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.946

АМОСОВ Андрей Авенирович

УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА С НЕГЛАДКИМИ ДАННЫМИ И ИХ КВАЗИОСРЕДНЕНИЕ

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва. 1997

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жиков В.В.

доктор физико-математических наук, профессор Тупчиев В.А.

доктор физико-математических наук, профессор Фурсиков A.B.

Ведущая организация: Институт гидродинамики СО РАН

2)0

Защита состоится " ¿ребр 1998 года в часов на засе-

дании диссертационного совета Д.05о.05.37 при факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Воробьевы горы, МГУ, факультет ВМиК, ауд. G -&С

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "_"_ 199 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

дпи^ср юцпилпи! и l-UDbia, I t I! **

член-корр. РАН, профессор (У[/(ТС( (JU* Е.И. Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ х>

Актуальность темы. Уравнения механики сплошной среды привлекают внимание математиков многоообразием постановок задач, сложностью их решения, а также разнообразием методов исследования. Практическая важность решаемых задач обусловлена их многочисленными приложениями. Одной из наиболее известных и интересных моделей механики является модель Навье-Стокса вязкой сжимаемой среды (вязкого газа). Она включает в себя весьма сложную систему квазилинейных дифференциальных уравнений. Входящие в нее уравнения импульса и энергии являются параболическими относительно искомых функций - скорости и и температуры в, а уравнение неразрывности является уравнением первого порядка относительно плотности р, так что вся совокупность уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем уравнений (систем составного типа) развита еще недостаточно полно.

Начало систематического изучения корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса вязкого сжимаемого газа принято связывать с работой Дж. Серрина (1959 г.), в которой были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Этой работе предшествовала статья Д. Граффи (1953 г.) по единственности классических решений начальной задачи для баротропного течения (т.е. для случал р = р(р)).

Первую теорему существования классического решения задачи Коши "в малом" по времени в 1962 г. получил Дж. Нэш. Позже эти результаты были обобщены А. И. Вольпертом и А. И. Худяевым, а также Н. Итая. Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования получены В.А. Солонниковым и А. Тани. В 1980 г. А.Мацумураи Т.Ниши-да доказали разрешимость задачи Коши "в целом" по времени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя, т.е. в малом по данным. Другие результаты о локальной разрешимости (по времени или по данным) получили A.Valli, P.Secchi, A.Matsumura, T.Nishida, G.Lukaszewich, A.Tani, D.Hofï.

Несмотря на значительный интерес к вопросу о глобальной (по времени и по данным) разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости (вязкого газа), он еще весьма далек от удовлетворительного решения. Некоторые новые идеи и подходы для баротропного случал представили в своих работах M.Padula, P.L.Lions. Опре-

Ч Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 96-01-00621, 9701-00214)

деленные надежды появились в связи с опубликованной в 1995 г. важной работой В.А.Вайганта и А.В.Кажихова, в которой доказана глобальная разрешимость двумерной начально-краевой задачи для уравнений вязкой сжимаемой баротропной жидкости при наличии некоторых специальных предположений на коэффициенты вязкости.

Достаточно полная теория глобальной по времени и данным разрешимости уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной координаты х и времени t. В 1968 г. Я.И. Канель впервые установил глобальную по времени и данным однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа ( р = ср1, 7^1). Для модели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая и А. Тани. Целостная теория глобальной корректной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ A.B. Кажихова и его учеников В.В.Шелухина, Николаева В.Б. Разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получили T.Nagasawa, S.Kawashima и T.Nishida. Уравнения движения вязкого баротропного газа с немонотонной функцией состояния и нелинейным коэффициентом вязкости изучены А.В.Кажиховым, В.Б.Николаевым, S.Yanagi. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида (уравнения реального газа) рассматривали M.Okada, S.Kawashima, B.Kawohl, D.Hoff, S.Jiang.

Большинство отмеченных выше результатов получено в предположении достаточной гладкости данных. Интересный и сложный случай разрывных данных (начальных данных, граничных данных, свободных членов и др.) оказался исследован явно недостаточно (Шелухин В.В., Serre D., Hoff D., Zarnowski R., Fuijita Yashima H., Padula M., Novotny А.), несмотря на его важность для приложений.

В 1983 г. Н.С. Бахваловым и М.Э.Эглит была рассмотрена задача осреднения системы уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстроосциллирующими свойствами, и с помощью метода формальных асимптотических разложений были выведены новые предельные уравнения движения. В 1991 г. для случая однородной баротропной среды при быстроосциллирующих начальных данных такие же уравнения независимо и из иных соображений получил D. Serre. Выведенные

уравнения естественно назвать квазиосредненными, т.к. они содержат "быструю" переменную £. Они являются интересным примером двух-масштабных гомогенизированных уравнений, вывод и изучение которых представляет собой новое направление в теории гомогенизации (Allaire G.). Проблема строгого математического обоснования квазиосреднен-ных уравнений до последнего времени оставалась открытой.

Цель работы. Исследование корректной разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосредненных аналогов. Строгое обоснование квазиосреднения - предельного перехода от начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими быстроосциллирующими данными к соответствующим задачам для систем квазиосредненных уравнений.

Методика исследования. В работе широко используются идеи и методы теории функций, функционального анализа, нелинейных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики. Для доказательства разрешимости изучаемых задач используются специальные полудискретные приближенные методы, работа с которыми максимально приближена к работе с самой дифференциальной задачей. При доказательстве единственности и непрерывной зависимости обобщенных решений от данных используется специальная техника зацепления оценок и выводится ряд нестандартных оценок решений параболических задач.

Научная новизна. Основные результаты дисертации.

1. Получены новые результаты о глобальной корректной разрешимости неоднородных начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа и вязкого теплопроводного газа с негладкими данными в классе обобщенных решений.

2. Впервые установлена глобальная корректность начально-краевых задач для систем квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа и вязкого теплопроводного газа с негладкими данными в классе обобщенных решений.

3. Впервые дано строгое обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого газа (баротропного и теплопроводного) с негладкими быстроосциллирующими данными. В баротропном случае получены оценки погрешности квазиосреднения.

4. Получены новые результаты о слабой сходимости специальных классов быстроосциллирующих функций, позволяющие обосновывать осред-

нение при наличии разрывов коэффициентов как по быстрой, так и по медленной переменным.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Установлена корректная разрешимость начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосредненных аналогов. Дано строгое обоснование квазиосреднения - предельного перехода от начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими быстроос-циллирующими данными к соответствующим задачам для систем квазиосредненных уравнений.

Используемые для доказательства теорем существования специальные полудискретные приближенные методы дают хорошую основу для построения конечно-разностных методов решения рассматриваемых задач.

Ряд полученных в работе результатов (о свойствах решений линейных параболических уравнений, о представлении функционалов из [V^1 '°(Q)]* , о слабой сходимости некоторых классов быстроосциллирующих функций) и разработанная методика исследования могут быть успешно применены к изучению различных задач математической физики и механики сплошной среды.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах: Института проблем механики РАН (рук. академик РАН В.П.Маслов) - 1994 г.; Института гидродинамики СО РАН (рук. чл.-корр. РАН В.Н.Монахов) - 1995 г.; Института математики СО РАН (рук. профессор А.М.Блохин) - 1995 г.; Seminare d'URA - 740 CNRS (Франция, Лион, рук. профессор D.Serre) - 1995 г.; механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН Н.С. Бахвалов) - 1995г. и 1996 г.; Математического института РАН (рук. академик РАН А.Г.Куликовский) - 1996 г; механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН Олейник O.A.) - 1997 г.; Математического института РАН (рук. профессор В.П.Михайлов) - 1997 г; факультета ВМиК МГУ (рук. академик РАН В.А.Ильин) - 1996 г. и 1997 г.;

а также на следующих конференциях:

Совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического общества, 16-я и 17-я сессии (Москва, 1994 г. и 1995 г.): Международная конференция "Алгебра и Анализ" (Казань, 1994 г.); 4-ая Международная конференция по современному численному анализу (Москва, 1995); Международная конференция "Функциональные прост-

ранства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, 1995); Международная конференция "Современные проблемы математики и механики" (Москва, 1996 г.); Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 1996 г.); 11-ая Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Пущино, 1996 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ. Основные результаты содержатся в работах [1 - 19]. Значительная часть результатов получена в соавторстве с А.А.Злотником. Некоторые факты, установленные А.А.Злотником (лемма 1.3.3, предложения 2.2.1, 2.4.1, 2.8.1, 2.8.2, теорема 2.8.2), существенно используются в диссертации; чтобы сделать изложение замкнутым, эти факты (с разрешения автора) приводятся с доказательствами.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав и списка литературы. Объем работы - 307 стр., библиография - 284 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актульность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

В главе 1 содержатся вспомогательные сведения из теории функций и функционального анализа и вводится ряд обозначений. В §1.1 рассматриваются некоторые свойства измеримых и суммируемых функций. Через 9ЭТ(<?) обозначается множество вещественнозначных функций, определенных и измеримых (по Лебегу) на измеримом множестве й. Кроме того, ЯЯ+(С) = {/ € 5Ш(С) I / > 0 почти всюду (п.в.) в С} , ЯМС) = {/ е Щв) I ЛГ"1 ^ / ^ N п.в. в С}, где N>1.

Наряду с изотропными пространствами Лебега ЬЧ(С) широко используются анизотропные пространства ЬЧ,Г{Е х (7) и ЬЧ<Г<5(Е х (? х р) С нормами |Ми,,,.(ЕхС) = || 11^11 || ¿г(о 11 1Ик„,,...<ЕхСхГ) = = ||11и'11^,,г(£хС)|^.(/р) . гДе £ [1,оо], а Е,С,Р - измеримые

множества. Используются также аналогичные пространства ЬЧ(С; В) , ЬЧ1г{Е х С; В) функций со значениями в банаховом пространстве В .

Пусть т 6 ОТ(0, Т), 0 < т < Т. Полагается Л(т)ш(<) = -ш^+т)-™^).

I

На ¿1(0, Т) определяется интегральный оператор (7(и;)(4) = /и>(£') .

о

Всюду далее (за исключением §8.1) П = (О.-Х'). Пусть ю € 5Ш(П),

О < 6 < X. Тогда Asw(x) = w(x + 6) - w(x) для x € (О, X - S) и

Asw(x) = 0 для i £ (0, X - 6). Для w € I<i(0) определяется среднее

значение (го)п = J wdx. Вводятся интегральные операторы п

(Iw)(x) = Jw{x')dx', (I*w){x) = Jw{x')dx', I^w = Iw-(Iw)n,

I<2>w = Iw, I<3>w = /(«, - (w)a), /<4>w = /*u» .

В § 1.2 вводятся и исследуются некоторые пространства дифференцируемых функций. Всюду Q = U х (0, Т). Используются банаховы пространства VP(Q), Vp1,0(Q) и V2(1' 1/2>(Q) функций tu 6 с нормами

IMIvp(<?) = INkP,„(<?) + \\Dw\\laq) , INI^i.Ojq, = ||w||C([0,ri|£I)(iJ)) +

+I|£4Im<2) , p 6 [1, oo) и llii'll^.../»)^) = IHk(q) + lhll2°.b1/2> ■ Здесь

llu,ll2°r1/2> = SUP T-1/2||zi(r)u)||r,J <QT \ , r 6 [1,оо]. Вводятся также о <т<Т

и Sj '1 W(<3) — банахово и гильбертово пространства функций w е 9K(Q), с нормами ||w||vv(Q) = |Н1<3 + ll-DHUa.-tQ) + IPHI« и

IhllsJ.-w(Q) = (IHI^Q) + \\DDtw\\%)1/2 .

В § 1.3 приводится неравенство Гронуолла и два близких неравенства, часто используемые в работе.

В § 1.4 изучаются свойства интеграла типа Римана-Стилтьеса /(<р, dg)

а

от функции <р со значениями в банаховом пространстве по векторнознач-ной мере, задаваемой функцией д ограниченной вариации со значениями в сопряженном пространстве. Результаты этого параграфа существенно используются в §1.5, содержащем новый результат об общем виде функционалов из пространства [V^1 *0(<5)]* •

Теорема 1.1. Всякий функционал F £ [V^1'представим в виде

F(<P) = {Dip, + /(¥>, dg)Ll{П) e

0

где ■ф £ Z<2 {Q) > 9 ~ функция ограниченной вариации со значениями в L2(fl) , причем maxflMU,«}) , [0Ш£,ЫП) &} = Н^Н^1 ••(«)]• •

Вводится также нормированное пространство Jrm{Q) (тп = 1, 4), состоящее из функций / € ¿i(Q), которые задают на пространстве

V'J,0(Q;5fn) = {veVr21,0(Q)|v»|sm =0} функционалы F/(tp) = Jfydzdt

с конечной нормой ||/||j^»(q) = ll-F/ll(°,i ,0(Q.s }]. • Здесь Si = 52 U 54 ,

S2 = {(X , t) I 0 < t < Т} , S4 = {(0, t) I 0 < t < T} , S3 = 0 .

В главе 2 изучаются свойства обобщенных решений пространственно одномерного дивергентного параболического уравнения

Dt{av) = D(xDv - ф) + f + Dtg , (2.1)

а также аналогичного "полудивергентного" уравнения.

aDtv = D(xDv- хр) + f. (2.2)

Анализируется случай, когда оба коэффициента а(х , t) и х(х , t) являются негладкими функциями (допускается наличие разрывов по х и t, в том числе "подвижных"). Слагаемое Dtg позволяет, например, учесть "импульсные" свободные члены вида w(x)8(t — £,) .

Рассматриваются неоднородные начально-краевые задачи Ст и Ст (тп — 1, 4) для уравнений (2.1) и (2.2) соответственно с негладкими данными Дирихле и (или) Неймана; функции ф, / и g также негладкие. Подобные задачи относятся к классическим и весьма детально изучались, но только в случае, когда хотя бы один из коэффициентов а и х является регулярным. Результаты главы 2 самым существенным образом используются далее при изучении обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого газа.

Основным результатом § 2.1 является теорема о существовании и единственности обобщенных решений из V2(Q) начально-краевых задач £т . В этой теореме допускаются разрывы по t у коэффициента а и граничных значений vo , их функции v . В § 2.2 в предположении существования производной Dta изучаются некоторые дополнительные свойства обобщенного решения v задачи Ст . В частности, устанавливается, что v S С([0,Т]; ¿2(0)) • Кроме того, для функции v2 выводится специальное тождество, частный случай которого дает уравнение энергетического баланса.

В §2.3 изучаются обобщенные решения задач Ст из классов V2(Q) и W[Q) и устанавливается тесная связь между задачами Ст и Ст . Основным результатом §2.4 является теорема о корректной разрешимости задач Ст в классе обобщенных решений из L2{Q) ■

В § 2.5 устанавливаются некоторые оценки обобщенных решений задач Ст ■ В частности, доказываются весовые оценки потока s — xDv — гр , указывающие на внутреннюю и вплоть до границы его регулярность. Показано, что при некоторых дополнительных условиях на данные решение v становится почти регулярным; это решение таково, что s G ^(Q), а уравнение (2.1) выполняется в 1/г(<Э) • В §2.6 доказываются теоремы

об оценках обобщенных решений в Lao(Q) и C(Q), являющиеся вариантами известных результатов.

Важную роль при исследовании свойств обобщенных решений классических и квазиосредненных уравнений динамики вязкого теплопроводного газа играют результаты § 2.7 и § 2.8. Основной в § 2.7 является теорема о существовании и единственности обобщенных решений задач £т в классе V\{Q) в случае, когда начальное данное и свободный член / принадлежат лишь L\ . Показано, что обобщенное решение из Vj (Q) обладает рядом дополнительных свойств. В §2.8 выводятся специальные оценки обобщенных решений из Vi(Q) и Li{Q) через слабые нормы данных.

В главе 3 изучены обобщенные решения трех начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа с негладкими данными. Установлена корректность этих задач в целом как по времени, так и по данным. При этом охвачен богатый класс моделей движения: уравнение состояния р = р(х , г/) достаточно общее, среда может быть неоднородной с резко меняющимися свойствами, а уравнение импульса записано с учетом внешних сил. Допускаются разрывные быстроосциллирующие начальные данные.

В §3.1 дается постановка начально-краевых задач и формулируются основные результаты главы. Рассматривается система квазилинейных дифференциальных уравнений

Dtr) = Du в Q, (3.1)

Dtu = Da+g[z], а = v[rj\pDu - pfo], р = 1/т? в Q, (3.2)

Dtxe = и в Q. (3.3) Она дополняется начальными условиями

'?l1=o = '70W. ult=o = u°(x)> *«Uo = *2(*) наП (3-4)

х

с я"!2) = JT)°(X') dx> и одной из пар краевых условий

°«l,=o = «o(0. и|,=х =«*(*) «а (0 ,Т), (3.50 *l,=o = ffo(0. u\x=X = ux(t) на (0,Т), (3.52)

сг|х=0 = cr0(i), o\x=x=ax(t) на (0, Т). (З.53)

Искомой является тройка функций z(x, t) = (r)(x, i), u(i, i), xe(x , t)) , определенных для (x , t) 6 Q . Используются обозначения: z/[r?](x , t) = = и(ф ,t),x), p[rj\{x, t) = p(r){x ,t),x), g[z){x , t) = g{z(x , t), x , f). Задача (3.1)- (3.4), (3.5m) обозначается через Vm (m = 1,2,3).

Уравнения (3.1) - (3.3) описывают одномерное движение вязкого баро-тропного газа. Входящие в уравнения величины имеют следующий физический смысл: х - лагранжева массовая координата, t - время, r¡, и и хе - удельный объем, скорость и эйлерова координата; кроме того, а -напряжение, р - давление, р - плотность, и - коэффициент вязкости, а д - плотность массовых сил.

Пусть П = R+ х Г2, П„ = (а-1, а) х П для а > 1. Вводятся функции v п _

Л(»7, х) = J>(C, х) ¿C > L(v, х) = / vV(C. *) . (где /х(С , х) = ^(С, *)/0 i i v

и функции E(r¡, я) = /[—р(С I a;)] ¿C > E+(r¡, х) = шах{£(г?, х) , 0}, i

, i) = тах{-Дг7, х), 0} . Формулируются следующие условия на функции и , р , р . .Ах) Функции 1/(77, х) > 0, р(?7, х) ^ 0 определены и измеримы на П и для почти всех х £ П непрерывны по аргументу tj .

Л2) IMk^n.^ll/HU^n^ + IIPlkootrU) ^ С(а), Иад^п.) ^ С(а) для всех а > 1.

Аз) A(v) ^ Mi i х) ^ Л(т?) на П , где Л(»7) —> -|-оо при г) +оо и

Мл) ПРИ Л •

A*) Л"{Л, х) ^ с0 [E+(r¡, х) + Ь2(т], х) + шах{г/, 1}] на П . As) »7Р(»1 > х) ^ с0 [Е+{т), х) + L2(r¡, х) + тах{т? ,1}] на П . Ав) Е-(т], х) ^ eL2{r¡, х) + С{е~1)т] на (1, +00) х П Ve е (0, 1]. Л7) Функция g(z, х, í) (где z = (r¡, и, хе)) определена и измерима на R+ xRxRxQ и для почти всех (х, í) 6 Q непрерывна по г .

Л8) |д(2, х, t)| < go(t)|u|+9i(x, t) на R+xRxRxQ ,где |ML,(o,T) + +I|9i||¿2,i(<3)

Класс троек функций (v,p,g), удовлетворяющих условиям А\) -Ав), обозначается через У1(С, Л, Л, Со). Через 9V(C, Л, Л, с0) обозначается класс, получающийся заменой условий Л4), /15) условиями Л'4) ij/i/(tj, х) ^ со [J5+(íj, x) + L2(r,, х) + 1] на П. A's) р{г],х) ^с0[А(т],х) + 1} на (1, +00) х Г2.

Считается, что начальные и граничные данные задач Vm удовлетворяют следующим условиям ( N > 1 - параметр )

V е ¿оо(П), еЬ2(П); щ,их ev[o,T],<70,tfx е ь2(о, т);(з.б) N-^n^x) на п, ||«70|и.(П) + ||и°|и1(П) ^ (3-7)

IM|v[o,r] + ||wx||v[o,r] + 1Ык,(0,Т) + \Wx\\l^o,T) (3.8)

В задаче Vi используется также условие

на (О, Г). (3.9)

Всюду далее m = 1,3. Считается, что функции и0 , их , сг0 , ах определены при всех m. Те из них, которые не входят в краевые условия (3.5т) рассматриваемой задачи Vm , полагаются равными нулю.

Через M(Q) обозначается класс функций г) G ffl+(Q), обладающих конечной суммой норм | г) | = ||i?||ioo(Q) + Hl/^IU^Q) + ||А»?||<з •

Ниже K(N), K'(N), Ki(N) (i = 0,1,...) - положительные неубывающие функции параметра N ; они могут зависеть от X, Т и от С , Л , Л , со (но не от v , р, д).

Справедлива следующая теорема существования глобального обобщенного решения г задачи "Рт из класса Äf{Q) х V2(Q) х S\'XW(Q).

Теорема 3.1. Пусть тройка функций v , р Т g принадлежит классу 91(С, Л, Л, со) при m = 1 или классу W(C, Л , Л, со) при m — 2,3, начальные и граничные данные удовлетворяют условиям. (3.6)-(3.8) и при m = 1 - также условию (3.9). Тогда задача Vm имеет обобщенное решение z = (ту, и, хе), удовлетворяющее оценке

I V I M(Q) + NIV* • + IMs« •1 W(Q) < K(N) (3.10) и обладающее свойствами

«7бС([0,Г];Ьоо(П)), u6C([0,T];L2(fî)), Ito &W{Q).

Кроме того, при всех q 6 [1, оо] для функции г) справедлива оценка

IHf7||c([0,n;Mf2)) < WKlI^Wlktfï) + IHiAH^dlîCI«- ,«]) +

+ 1И«р|и,(п ,С1.- ..]) + <5"'). 0 < 6 < X,

где а = K0(N), ач = min{l, 1/2 + 1/q} .

Обратим внимание на то, что от начального удельного объема т/° и начальной скорости и0 требуется лишь следующее: rj° G L00(fi) , 0 < TV-1 < V°{x) и ti° € Ьг(П). В то же время, например, в работах Ка-жихова A.B. накладывались требования rf, и0 £ W2 (П), запрещавшие наличие разрывов в начальных данных. В более поздних работах (Serre D., Hoff D.), специально посвященных исследованию задач с негладкими данными, все же оставались некоторые условия регулярности г/° по х (типа ограниченности вариации или принадлежности пространству На с некоторым а > 0).

В теоремах о единственности и непрерывной зависимости от данных обобщенных решений задач Vm делаются дополнительно следующие предположения о функциях и и д.

Аэ) 1|£>чИкоо(Па) ^ С(а) Для всех а > 1 .

Лю) При всех zk = (>7* , ик, хе, € [а-1, а] х R х [-а, а] (с к = 1, 2) и почти всех (х, t) £ Q выполнено неравенство

|g(Zl, х , t) -g(z2 , * , t)| ^ (C(a)tT5 + b0, a(í))(b - + \xe, i - xe, 2|)+ + (C^u4-*- ¿o,a(í))l«i -W2I Va > 1, (3.11)

где ü = max{|u!|, |u2|} и ||bo,a|U,(o,T) + ||do,a||¿,(o,T) < C(a).

Через Л'10) обозначается модификация условия Лю), отличающаяся заменой неравенства (3.11) неравенством

|<7(г1, х , i) - g(z2 , х, í)(C(a)iZ5 + Ь0 ,a(í))|í?i - т?2|+

+ (C(a)ü6 + bo(t))|xe,i -x^sl + ÍCÍa)^0 +d0,a(t))|wi -u2| Va > 1,

в котором u, 60,a те же, что и в (3.11); кроме того, qo € [1,3] и IHo,a||Lro(o,T) C(a) с некоторым г0 ^ 2.

Справедлива теорема единственности.

Теорема 3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1, условие Лд), а также условие Лю) либо условие Л'10) с до = 3, Го = 2 . Тогда обобщенное решение задачи Vm из класса N{Q) х V^Q) х ¿>2 ' lW(Q) единственно.

Пусть даны 2 экземпляра задачи Vm , которые обозначаются через Vm' и Рт' • Используемые в задаче Vm данные - функции v , р, g, начальные данные r¡° , u° , х° и граничные данные щ , и^- , ст0 , с л: - снабжаются верхним индексом (£) и пишутся, например, как v^ , 77oUgf) и т.д. Обобщенное решение задачи Т^т^ обозначается через г(') = (jj(f) , , х^) . Вводится операция Л взятия разности равенством АФ = Ф(1) - Ф(2) , так что Az = г(1) - г(2) = (Arj, Ли, Лхе) , Av = - i/<2> , Л;,0 = г?0 • <»> - г,0 • <2> , = - и(02) и т.д.

Справедлива следующая теорема о сильной непрерывной зависимости обобщенных решений задач Vm от данных.

Теорема 3.3. Пусть данные задач и Vm' удовлетворяют всем условиям теоремы 3.1, а также условиям Лд) и Лю) . Тогда для разности (единственных) обобщенных решений задач U *Рт ^ вбрНО, оценка

Mc([0 ,71; £»(0)) + ||4u|| VJ(Q) + \\Лхе\\з1., W(Q) < tf (7V)(|| Vllt»(n) + + 1И"°1и,(П) + ||¿Uo||v[O.T] + II Лих II V[0, T\ + ll^o||¿4/3(0,T) + + 1И*х1к/3(0,Т) + ||^(2)]|Um(Q) + ||/<m>/{^(2)]|Uoo(Q) +

+ ||^1коо(П;С[а-. ¡a]) + М^П; C[a"> ;a])) , (3.12)

где a = K'{N).

В этой теореме оценка разности решений Az дана фактически в норме того пространства, которому обобщенные решения принадлежат по определению. Однако и нормы разностей данных Arf , Аи° , Ащ , Лих в ней достаточно сильные. Верна также оценка более слабой нормы Az через существенно более слабые нормы разностей данных.

Теорема 3.4. Пусть данные задач Vm^ и "Рт^ удовлетворяют всем условиям теоремы 3.1, а также условию Ад) и условию А'10) с некоторыми до 6 [1, 3) , го > 2 . Тогда для разности (единственных) обобщенных решений задач V jfi ^ и V$n ^ верно, оценка

,о) + ||^и||<? + ll^^ellwfQ) ^

< *,о,г„(Л0(|| VlU,(n) + ||/ЬХ(-„;~(п) + |Ии0|к</3(0.Г) +

+ 1И^1к/з(о,т) + ll^o|kl(o,t) + ll^xIUno,т) + IH^(2)]|IÍ:L',°q т+ + \\I{m)ItAg[z^]\\Li:00(Q) + ||¿4|Lj(n;C[o-,ia]) + II^PlUa(n;C[a-.;a])), в которой х = M(1)fo(1)], а = K'{N) .

В этой теореме используются следующие нормы:

IHIwJ-');'

(íi)

||/<т>Ик3(П) \\i<p\\L3m + |/vdx|

при m = 1, 2 при m = 3.

IMIn^.Obm^j = || II¥41 wj"1' ' m(íí) I! Loo(0 , T)

{Wx-^If-Vfiy, n)IU(Q) k'^/IUw)

\\f\\;

(-1 ,0) ; m

,x,Q

x-1^/!!^ + y*-1 (f)n

lí-i(Q)

при m = 1, при m = 2, при m = 3.

Здесь (tp) n = dx, ч = х Vil* Mk.tn) n

В § 3.2 изучаются некоторые свойства произвольных обобщенных решений задач Vm . В частности, устанавливаются важные формулы для удельного объема г), весовые оценки скорости и и напряжения а. Показано также, что некоторое повышение гладкости данных приводит к тому, что решение становится почти регулярным.

В параграфах 3.3 - 3.5 проводится доказательство теоремы 3.1 Для этого в §3.3 строится полудискретный (сеточный по х) приближенный метод V^ решения задач Vm . Предварительно изучается полудискретный аналог линейной параболической задачи Ст . В §3.4 устанавливаются априорные оценки приближенных решений, которые затем в § 3.5 дают возможность завершить доказательство теоремы существования предельным переходом при h —> 0. Следует отметить, что работа с полудискретным методом максимально приближена к работе с самой дифференциальной задачей.

В § 3.6 содержится доказательство теорем единственности и непрерывной зависимости решений от данных. При этом доказательство единственности получается по ходу доказательства непрерывной зависимости, а не предшествует ему.

В главе 4 изучаются обобщенные решения трех начально-краевых задач Vm Для квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными. Устанавливается глобальная корректность этих задач как по времени, так и по данным. В предшествующих работах (Бахвалов Н.С. и Эглит М.Э., Serre D.), посвященных квазиосредненным уравнениям, не было доказано каких-либо результатов о разрешимости начально-краевых задач.

В §4.1 дается постановка начально-краевых задач и формулируются основные результаты главы, которые обобщают на случай квазиосредненных уравнений результаты главы 3. Рассматривается система квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений

Dtr,= -^- (a+p[ri\) в J х Q, (4.1) "[Щ

Dtu = Do + g{), а = h{)Du-pq в Q, (4.2)

Dtxe = и в Q (4.3)

Искомая тройка функций z(Ç , х , t) = (rj(£ , x , f ) , u(x , t), xe(x , t)) определена для £ G J = (0, 1) и (x, t) 6 Q. Используются обозначения:

x,t) = v{t](ç ,x,t),ç,x), p[»/](i , x , t) = р(т?(£ ,i,î),(,ï),

î

X,t) = g(z(Z, x, i), x, i), g{)(x,t) = J g[z](Ç, x, i)df ,

ю = [/ • (».о-

T^Í) 1 • Всюду далее для среднего значения функции

i

по быстрой переменной £ 6 J используется обозначение (ф) = J t/>(£) df .

о

Ясно, что д{) = <5[г]), ц{) = 1 / (t}/v[rj\), р0 = (vp[rj]/v[r¡]) / (v/иЫ) ■ Система уравнений (4.1)-(4.3) дополняется начальными условиями

Ч |i=o = »?0(í > х) на Jxfi, u|(=0 = u°(x) на П , хе |(=0 = х°(х) на П, (4.4)

X

где х°(х) = / (v°) (x')dx', и одной из пар краевых условий (3.5т). о

Начально-краевая задача (4.1) — (4.4), (3.5т) обозначается через Vm (m = 1,2,3).

Пусть П-7 = R+ х J х П, Пд = (а-1, а) х J х П для а > 1. Вводятся

ч i _

функции Л(т7,£,х) = L(rj, £ , х) = / >/МСТТГ®) ¿C .

i i

(где р(С, €, х) = Ж , С, х)/0, Е(т}Л,х)= ][-?(<:, € , ®)] dC ,

i

, £, i) = max{E(í7, f, x), 0} , £.(»j,í,i)= max{-.E(i?, f, x), 0} . Формулируются условия на функции v,р,д, являющиеся аналогами соответствующих условий из главы 3.

Ai) Функции и(т), f, х) > 0, p(t), f, х) ^ 0 определены и измеримы на П-7 и для почти всех (f, х) € J х П непрерывны по аргументу т].

Аз) IMlL„(n¿)+||l/Hk„(n¿) + l|p||L„(n¿) <С(а), HA.plU.íní) <С(а)

для всех о > 1.

А3) Л(т)) ^ A(í?, f, х) < Л(»7) на nJ , где Л{т?) -)• +оо при r¡ +с» и Л(t¡) —со при г] —» 0+. A4)T¡v(r],Z,x)i¿co[E+(r),Z,x)+L2(T1,S,x) + max{i1, 1}] на UJ. A5)i7p(»?,í,x)<co[S+(»7,í,x) + L2(í?,í,x)+max{r?, 1}] на nJ . А6) E-(í], f, х) < £L2(rj, £, х) + С{е~1)т) на (1, +схэ) х J х П для всех ее (0,1].

А7) Функция g(z , x,t) (где z= (r¡, и, хе)) определена и измерима на R+ х R х К х J х Q и для почти всех (f, х, t) е J х <5 непрерывна по 2 .

А8) Isfc.C.z.OKíoK.OM + ffiK.®.*) на R+ xRxRxJxQ, где IMU.ÍJXÍO.T)) +llfl||í.i.3l,(Jxnx(0,T))

Класс троек функций (v,p,g), удовлетворяющих условиям Ai) -

Ag), обозначается через 4lJ (С, Л, Л, со). Через 4lJ-'(С, А, Л, со) обозначается класс, полученный заменой условий А4), А5) условиями К) + наП-7.

A's) p(v> { . х) ^ Со [Л(?7, £ , х) + 1] на (1, +00) х J х П.

Считается, что начальные и граничные данные задач *Рт удовлетворяют следующим условиям

' eLx(JxQ), и0 QL2(Q);u0, их eV[0,T], <70, <rx eL2(0,T); (4.6)

на JxQ, ||Л.(7хП) + ||«°|Ц,(П)£ЛГ, (4.7) ||uo||v[o,T] + ll«x||v[0,TJ + lko|U,(o,T) + Ikxlkno.T) ^ N. (4.8)

В задаче V^ используется также условие

II 0?°) ||Мп)+/.(«*-«<>) на (0,Т). (4.9)

Через M(JxQ) обозначается класс функций ф G ÜJl+(JxQ) , обладающих конечной суммой норм | Ф | //(JxQ) = II^IU»(JxQ) + ||l/^||¿00(JxQ) + + HA^|U00i1(Jxq)-

Пусть d = (Jo, <5) G [0, 1) х [О, X) и пусть Vd(í, х) = ф(£ + 60 , х + S) при (£, х) G (0, 1-5о) х (О, X — S) (иначе х) = ф(£, х)). Положим

(Д, ф)(£,х) = фа(£,х)-ф(£,х).

Справедлива следующая теорема существования глобального обобщенного решения г = (tj , и , хе) е J\Í(J xQ)x V2(Q) х '1W(Q) задачи Vm ■

Теорема 4.1. Пусть тройка функций и,р,д принадлежит классу yiJ(C , Л, А , со) при т = 1 или классу Щ-7 "'(С, Л , Л , со) при т = 2,3, начальные и граничные данные удовлетворяют условиям (4-6) -(4-8) и при т = 1 - также условию (4-9). Тогда задача V тп XíM€6TJI обобщенное решение z = (77, и, хе) , удовлетворяющее оценке

l'?U(JxO) + IMIvs<'-«/»>W) + lk.llsí-4i'(Q) ^K(N) (4.10)

и обладающее свойствами

rj G С([0, Т); LX(J xíl)), u G C([0, T]; Lj(£])), Ita G W(Q).

Кроме того, для функции r¡ справедлива оценка

4(JxQ) +

+ IHdA||¿90ií(Jxn;C[o-' ,0]) + ||^dP|Uw,,(Jxn;C[a-' .a]) + ,

с произвольными d = (S0 , 5) G [0, 1) x [0, X), qo, q G [1, oo]2 . где

а = K0{N), ач = min{l, 1/2 + 1/q} .

При анализе единственности и непрерывной зависимости решений от данных потребуются следующие дополнительные условия на и и д: Ад) IIAjHIl«.^^ ^ С (а) для всех а > 1.

Аю) При всех zk = (т)к ,ик,хе<к)е [а-1, а] х R х [-а, а] (с к = 1, 2), всех а > 1 и почти всех (f , х , t) е J х Q выполнено неравенство

, Í - х , t) - g(z2 , £ , х , í)K С (a) {[S5 + ,„({ , х , t)]foi - ift|+ +[й4 + Ь2.«(€, я, 0]l«i -«гЦ-^ + Ьз.вК,®, t)]l««.J -*«,а|} . (4.12) где ü=max{|ui|, |ti2|, 1}, и ||bi .„lU,, ,(./xQ) < 1 (9o 6 [1, oo] - параметр), ||b2,o|Uli0<>il(JxQ) + llb3,a|k,,3il(yxQ) ^ 1-

Через A'10) обозначается модификация условия Аю) с заменой в неравенстве (4.12) множителей й*+Ь2<а, г^ + Ьз.а на ñ3~ía + b2 а,и? + Ь'3 а соответственно, где ||&2,otli-i,2.3+«(JxQ) + II^IUi ,.(JxQ) (^о € [0, 1] - параметр).

Справедлива следующая теорема единственности.

Теорема 4.2. Пусть выполнены все условия теоремы 4-1, условие Ад), а также условие Аю) с параметром до = оо либо условие А'10) с параметрами до = оо и £о = 0. Тогда обобщенное решение задачи Vm из класса AÍ(J х Q) х V2(Q) х S^^WÍQ) единственно.

Пусть даны 2 экземпляра задачи Т^гп » которые обозначаются через Vm'1 и Vm '2 . Данные задачи Vm'1 и обобщенное решение снабжаются верхним индексом (£) . Как и в предыдущей главе, используется операцию взятия разности Л такая, что ЛФ = Ф^1' — Ф^ .

Теорема 4.3. Пусть данные задач Vm'1 и Vm'2 удовлетворяют всем условиям теоремы 4-1, о, также условию Ад) и условию Аю) с параметром <?о Е [1, оо]. Тогда для разности (единственных) обобщенных решений указанных задач верна оценка

ll^l|c([o,7l¡t,0l„(Jxíi)) + ll¿Hlv,(Q) + |Ихе||5..1ц,(д) ^

^ X-(iV)(||VllLf0l»(Jxn) + 1И«°Нмп> + 1И«о||По,71+

4/3 (0 • Л +

+ II^IU,0l«»(Jxn¡C[o-' ,a]) + Ир|к,0>во(.7хП;С[а-' ,а])) , (4-13) где а = K'(N) .

Теорема 4.4. Пусть данные задач V&'1 и V&'2 удовлетворяют всем условиям теоремы 4-1, о. также условию А9) и условию А'10) с параметрами q0 € [1, оо] и f0 Ê (0, 1]. Тогда для разности (единственных) обобщенных решений указанных задач верна оценка

xfi) + 1Ии°НиИ-'>;".(п) + IH«o||l</3(0,T) + ,т) + H^oolU^o.T) + WAoxWL^O ,Т) +

+ 1К^(2)]>ц[;^:т+ii/<m>/.<^(a)]>iL1..(Q)+

+ IH4U,0,3(./xn;C[a-' , а]) + IHpIU,0 , 3 ( Jxfi ; С[а,а])) , в которой х = (г?(1)/1/(1)[7?(1)])~1 , а = K'(N) .

В §4.2 изучаются некоторые свойства произвольных обобщенных решений задач Vm , являющиеся аналогами соответствующих свойств обобщенных решений задач Vm ■ В параграфах 4.3 - 4.5 дается доказательство теоремы 4.1. В §4.3 строится полудискретный (сеточный по £ и х) приближенный метод Vm 'h . В § 4.4 устанавливаются априорные оценки приближенных решений zh , а в §4.5 с помощью предельного перехода при h -* 0 завершается доказательство теоремы существования. В § 4.6 содержится доказательство теорем единственности и непрерывной зависимости решений от данных.

В главе 5 установлена предельная связь между начально-краевыми задачами Vдля системы уравнений одномерного движения вязкого баро-тропного газа с быстроосциллирующими данными и начально-краевыми задачами Vm Для системы квазиосредненных уравнений. В предшествующей работе (D.Serre, 1991), содержавшей ряд важных соображений, для более простой задачи ( и = const, р = p(rj) , однородные краевые условия Неймана) показана сходимость решений z£ системы уравнений с бы-

-пО

строосциллирующими данными к решению некоторой задачи типа Vm ■ Однако предельные значения коэффициентов , Pq остались записанными в терминах мер Янга, что не дает возможности рассматривать указанную работу как строгое обоснование квазиосреднения.

В §5.1 введены используемые в главе специальные функциональные пространства и доказан ряд их свойств. Значительное внимание уделено разработке варианта свойства среднего значения функций, позволяющего обосновывать усреднение при "плохих" свойствах коэффициентов как по быстрой, так и по медленной переменным.

Пусть Е - подмножество интервала J = (0, 1) с mesE = 1. Вводится банахово пространство М(Е) функций /(£), которые заданы и

непрерывны на Е и обладают конечной нормой ||/||а<(=) = SUP|/(0I •

«ен

Вводится также нормированное пространство LqM(=.xil), 9 £ [1, 00], состоящее из функций / G х ii) таких, что /(£, х) g М(3) для

почти всех х € ft, норма ||/||г,„л<(ЕхП) = II ||/||л<(Е)1и,(П) конечна и, кроме того, обладающих свойством Iim ,(jxп> = 0.

Пусть {а} - дробная часть числа а . Пусть хе = хе(х) = {х/е — а£} , где а£ — произвольная фиксированная функция аргумента е > 0 (в частности, ае = 0).

Лемма 5.1. Пусть / £ LqM(S х П) для некоторого q £ [1, 00] . Тогда f'(x) = f(x< , х) £ L4(Q), причем ||Я|МП) ^ •

Следующий результат о свойстве среднего значения (/) (х) = / /(£ , x)d£

J

является одним из основных в данном параграфе.

Предложение 5.1. Пусть / £ LqM(E х П) <?лл некоторого q £ [1, 00]. 7ЪгЛг /£ —> (/) при е —> 0 слабо в Lq{Vt) для q € [1, 00) и *-слабо в 1/оо(П) Эля q = 00.

Пусть G - открытое множество в Rn и q £ [1, 00]. Вводится пространство LqMC(G xExfi), состоящее из функций /(С, £ . х) £ OT(G х J х Г2), которые обладают следующими свойствами:

1) для всех С € G функция /(С, £, х) принадлежит LqM(E х П);

2) для почти всех х € П функция /(£ , £ , х) равностепенно относительно £ 6 Е непрерывна по С на любом компакте 1С С G , т.е.

sup max |/(C',f,s)-/(C.£,x)|-+0 ПРИ 0+;

С, сек IC'-CK"

3) для любого компакта К. С G конечна полунорма ||/|| =

= ||sup пмх|/(С. i . ®)l|L,(n) 5 кР°ме того' £™Н4«/1кл<с<к:х=хП) = 0В §5.2 расматривается задача (е 6 (0, 1] - параметр), то есть задача Vm с быстроосциллирующими данными. Ее постановка включает уравнения

Dtr)c = Due в Q, (5.1)

Dtuc — Doс + gc[zc], ас - uc[r]c]pcDuc ~ р£[г?£], р£ = 1/р£ в Q , (5.2) Z?txe,£ = u£ в Q, (5.3)

начальные условия

Ve\t=o = , «e|(=o = Ie,e|(=0 =х°е>е(х) на íí, (5.4)

x

где х°с(х) = / r}°(x') dx', и одну из пар краевых условий о

«eUo = uo,eW- "«Ux = "*,*(') на (О, Г), (5.50 ^1х=о = ^о,е(0> "Ах=х = «ЛГ.е(0 на (О, Г), (5.52)

<^Uo = <7o,e(í). на (0,Т). (5.53)

В силу результатов главы 3 справедлива следующая теорема.

Теорема 5.1. Пусть для всех е £ (0, 1) тройка функций ие, рс , дс принадлежит классу 9t(C, Л, Л, со) при т = 1 ил« классу

, Л, Л, со) при m = 2,3. Пусть также выполнены условия

Ve ^ оо

JV"1 < f,2(x) «а П, H^IU^tn) + К1к,(П) < N,

||w0,e||v[0,T] + ll«X,e||v[0,ri + Iko.ellijtO.T) + \Wx ,« ||l,(0 , T) < M,

а в задаче V[ - также условие TV-1 < ||'7е1|1,,(П)+Л(«Л'—«о) «а (О, Т). Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Задача Vимеет обобщенное решение zc = (r¡c , ис , хс ¡c), удовлетворяющее равномерным по е оценкам

I Ve I ЛГ(<Э) + ll^llvj*1 + l^e.ellsj 'lW(Q) ^

Ko(N), (5.6)

IMMQ) + IMw(Q> ^K(N). (5.7)

2. Пусть функции po,e и ft,t (фигурирующие б условии As) для функции gc) удовлетворяют требованию IKffo.elUoo.nQ) + llC&i,e||<5 ^ N с функцией £

G W22,1(Q) такой, что С|х=о х ~ Clí=o = 0 и 11-OClUooCQ) + IIACIU-.,(<?> + I|02C||lo.,j(<J) < N . Тогда для обобщенного решения ze из п. 1 справедлива равномерная по е оценка

где K(N) не зависит от ( .

3. Пусть функция ис удовлетворяет условию Аэ), а функция дс удовлетворяет условию Аю) либо условию А'10) с qo = 3, го = 2 Тогда обобщенное решение задачи Vединственно.

В § 5.3 сформулирована и доказана теорема о предельной связи между решениями z£ задач V^ и решениями z задач Vm ■

Делаются дополнительные предположения Сi) - С4) о поведении при е —> 0 данных задач V^ и их связи с данными предельной квазио-средненной задачи Т>т ■ Пусть Ее J, mesE = 1. Напомним, что х£ = {х/е — а£} .

Сi). Для функций ve , рс , д€ справедливы представления vc(Q , х) =

= 1/(С , , х)+Л1/£(С , х) , Ре (С , *) = р(С , Xе , х)+Лр£(С , х) , ff£(z , X , i) =

= g(z , хе , х , i) + Agc(z , x , i). Тройка функций и , p, g принадлежит

классу 9tJ(C, Л , A , c0) при m = 1 или классу Л, Л, со)

при m = 2,3. Предполагается также, что ^ , р £ 1/ооЛ1С(К+ х Е х Г2) и

д(-, t) € L2A4C(R+ xRxlRxExfi) для почти всех t 6 (0, Т). Кроме того,

Zi7£,a(x) = \\Auc(-, х)||с[«-..] ->0 и ~Ä^e<a{x)_= \\Ape(-, x)||c[a-,ra) -> О

по мере на fi для всех а > 1, а также .„Iii.?ti(Q) —> 0 для всех

а > 1, где Аде а(х, t) = sup \Agc(z, х , t)|.

zg[a-' ,o]xRx[-a,o]

C2). Для начальной функции ту£ справедливо представление 7,°(х) ^ i?°'£(x) + Arj°c{x), где г?0 ,£(х) = г?°(х£ , х) , 770 6 L«>.M(H х П) . Кроме того, Ат)° -4 0 по мере на fl, и° и° слабо в ■

С3). Граничные функции таковы, что и0,с —> ito , oq , с —» сто и стд- ,£ стд- слабо в jL2(0, Т).

С4) Функция удовлетворяет условию Лд) для всех е 6 (0, 1) , а функции <7о,е и <?1,£ (фигурирующие в условии As) для функции </£) таковы, ЧТО sup Hso,e|U,(f ,(1-Ä)T) + SUP Ilffi ,HIl3(Q(<)) = Ms < 00

¿€(0,1) e£(0,l)

для всех S € (0, 1); здесь Q<f> = (J , (1 - <5)X) x {5 , (1 - <5)T) .

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия п. 1 теоремы 5.1 и условия Сi) - С4) . Справедливы следующие утверждения.

1. Пусть V^ - произвольная последовательность задач с еп —» 0 при п —> оо . Существует подпоследовательность задач (за которой сохраняем прежнее обозначение), имеющих обобщенные решения zCn = (т7£„ , иСп , хе,£„), удовлетворяющие оценкам (5.6), (5.7) и сходящиеся к некоторому обобщенному решению z — (77, и, хс) задачи 7в следующем смысле: при е = en , п —> оо справедливы свойства

Аг)° = ъ - -> 0 в С([0, Т]; L,(il)) Vg £ [1, 00);

и£ -» и в Lqir(Q) Vg € [1, оо], г £ [1, оо), (2g)-1 + г"1 > 1/4;

ис —> и *-слабо в L2,oo{Q), Due —» Du слабо в L2{Q);

хс) £ —> хе слабо в Sj^WiQ) и сильно в C(Q);

ст£ сг сильно в L'2oc{Q), ItOc J(CT сильно в C(Q).

Здесь т)е(х , t) = т)(хс , х , t) .

Если дополнительно Ar¡° -4Ü в L^iï), ~Ave¡a 0 и Лрс а -> О в Loo(íí) для всех а > 1, то Arjc -4О в С([0, Т]; £oo(fi)) .

2. Пусть дополнительно функции де удовлетворяют условию Аю) либо условию Л'10) с до = 3, го = 2, функция v удовлетворяет условию Ag) а функция g — условию Аю) с параметром q0 = 00 либо условию А!1й) с параметрами qo = 00 и £о = 0 . Тогда единственные обобщенные решения ze задач V^ сходятся при е —t 0 к единственному обобщенному решению z задачи Vm в указанном в п. 1 смысле.

В § 5.4 получена теорема о непрерывной зависимости обобщенных решений задач типа Vm от данных, дополняющая соответствующие результаты главы 3. В § 5.5 при некоторых дополнительных предположениях на данные выведена оценка погрешности квазиосреднения порядка О(е).

Считается, что данные задач Vудовлетворяют условиям пунктов 1 и 3 теоремы 5.1, а данные задачи Vm удовлетворяют условиям теоремы 4.2.2, условию Ад) и ослабленному варианту условия Аю) - условию

Аю) При всех zk = (щ ,uk,xe¡k)€ [а-1, а] х [-а, а] х [-а , а] (с к = 1,2), всех а > 1 и почти всех (f , х, t) G J х Q выполнено неравенство

\g{z\, Ç, x,t)-g(z2 bi,a(f, x, í)bi - Í72I+

+ b2,a(Ç, í)l"i - иг| + , х, t)\xe_! - хе<2\,

где ||bl,a|U,,3ll(JxQ) + H^.olU.tJxto.T)) + \\Ьг, alU, . ,.,(JXQ) ^ C(a).

Предполагаются также выполненными условия Ci) - С3) из §5.2 и условия

С5) rf G LxM(ExS7), и0 = (Q°), где û° G L2M(Exü) . Кроме того, ll«°||wj(n) ^ ЦиоН^зСо.л + Н^И^зСо.л + Н^Нпо.П + Н^Нчо.З! <

С6) Верно представление и° = û°'e + Ли° , где G°,e(x) = й°(х£ , х). Кроме того, ||2°||и,„°.>(.,хп) ^ N и ||i70||w«o.>(jxíl) ^ N • 3Десь 11ШН WH? '1 (Jxn) = llallí... «(Jxn) + sup ¿-'ИАНк.ихп)-

1 0<д<Л

С7) Для всех a > 1 и <5 G (0, X) справедливы неравенства

||AHU,(./xn¡C[a-> ,<■]) + ||ДИк.(-/хП;С[а-> , а]) ^ С(а)6 ,

||AiPlU,(yxQ;C([a-' , а] х[-о , а]')) Ц&1 , a ||¿„ , „ , , (JxQ) ^ О(в).

ПуСТЬ Ли0 ,с = U0 , е - Но , Лих ,е = Ux ,е ~ UX , Лсг0 , е = СГ0 , е - О0 , Лох ,с = <*х ,с — ■ Вводится величина

характеризующая меру уклонения данных дс , i/e , рс , т)° , и° задачи V^ от "периодических" данных дс , Vе , рс , т)0,е , , а также граничных данных «о,с, их,с. , Со,е , &х, с от предельных граничных данных щ , их 1 °о , &Х • В простейшем случае wm,a(e) = 0.

Пусть z = (tj,u, хс) - решение задачи Vm и r)e(x,t) = т)(хс , х , t).

Следующая теорема является основным результатом параграфа.

Теорема 5.3. Пусть данные задач V^ удовлетворяют условиям пунктов 1 и S теоремы 5.1, а данные задачи Vm удовлетворяют условиям теоремы и условиям Аэ), Ац) . Пусть также выполнены условия Ci) ~ Сз) , Cs) - С7) . Тогда верна оценка погрешности квазиосреднения

ii»?е ~ »7е||с([о,71 ;£,(«)) + ii" ~ и*нм<?) + ii" - u«llwi7i,-0"-(q) + + \\хс - x«,e||C(Q) + ||/((cr - at)||C([0 ,п ; МП)) < K(N) [е + ит< Q(e)]

с а = K'(N) .

Глава 6 посвящена исследованию обобщенных решений неоднородных начально-краевых задач Vm для уравнений одномерного движения вязкого совершенного политропного теплопроводного газа. Данные задач могут быть разрывными функциями весьма общего вида. В частности, от начальных скорости и0 и температуры в0 требуется лишь конечность полной энергии и энтропии, от граничных значений скорости и0 , их достаточно конечности вариации. Плотность тепловых источников / и граничные тепловые потоки могут быть функциями из Ь\. Коэффициенты уравнений, определяющие свойства газа, также могут быть разрывными по х. Установлена глобальная корректность рассматриваемых задач Vm как по времени, так и по данным. Ранее в работах других авторов (Шелухин В.В., Serre D., Hoff D.) обобщенные решения задач с разрывными данными изучались при существенно более ограничительных и менее естественных с точки зрения физики требованиях на данные.

В §6.1 дается постановка задач Vm и формулируются основные результаты главы. Рассматривается система уравнений

Dtr/ = Du. в Q, (6.1)

Dtu = Da + g[xe], a = vpDu-p, р=крв, p=l/r) в <3,(6.2)

cvDte = Dtz + aDu + f[xe], va = XpDO в Q, (6.3)

Dt xe = и в Q. (6.4)

Искомые функции т)(х, í), и(х, t), 0(x,í), xe(x,t) определены на Q. ' Здесь v = u(x), к = &(x), cv = cy(x), A = A(x). Кроме того, g[xe](x, t) = g{xe{x, t), x, t), /[xe](x, t) = /(xe(x , i), x, t). Ставятся начальные условия

(:n,n,e,xe)\t=0 = (r)0{x),u0(x),e0(x)1x°e(x)) на П, (6.5)

X

где х°(х) = ¡т]°(х') dx', одна из пар краевых условий о

<=о = Mt), <=х = «*(«) на (О, Т), (6.60

а|х=0 = -po(¿), «1х=х= «х(») на(0, Т), (6.62)

^Uo = -Fo(¿), <=Х = -Рх(0 на(0,Т), (6.63) а также краевые условия

-roU=o+M0<?U=o = Xo(t), Я7|х=х + Ы*)0|г=х = Xx(í) на (0, Т). (6.7)

Начально-краевая задача (6.1) —(6.5), (6.6т), (6.7) обозначается через Vm , m = 1, 2, 3.

Величины х,t,Tj,и, хе,р,р,а,и имеют тот же физический смысл, что и в главе 3; кроме того, в - абсолютная температура, А - коэффициент теплопроводности, су - удельная теплоемкость, / - плотность тепловых источников.

Формулируются условия Ci) - С4) на данные задачи Vm - коэффициенты, начальные значения, свободные члены и граничные функции. Ci) V, су , А 6 ЯЯл,(П), к 6 ГО1(П) и 0 s$ к(х) < N п.в. в П .

с2) rf S mN(n), U° € ЫП), € От+(П) и ||u0||Lj(n, + ||0o|Ul(n) + +111п0°Щ1(п) < N. При m = 1 дополнительно выполнено условие (3.9).

Сз) д, / € [OT(R х Q), и функции g(C, х , t) и /(С , х, t) непрерывны по С £ R Для почти всех (х , í) € Q • Кроме того, |<7(С, х, í)| ^ g(x, t) и

0</(С,*,0<7(*,0 п.в. в RxQ, где ||s|U3,i(q) + ||7lk«3) < N.

С4) А'о i £*х i Хо i Хх i ио > UX i Ро i Рх € ЯЛ(0 > Л. функции (i0 , цх , Хо , XX , Ро , Рх неотрицательны. Крометого, ||u0||y[o,r]+llux||v[o,Tl ^

||ро|ите(о,т) + IbxIlwo.T) HPOIIL.(O.T) + II^XIU.ÍO.T)

для некоторого s > 2, ||xo||l,(o ,t) + ||xx||í„(o,T) < N . Предполагается

также, что для всех т £ (0, Т) и почти всех i £ (0, Т - т) выполнены неравенства

Po(t+T)-po(t)£ar(t) frp0(t')dt', Px(t + T)-px(t)^aT(t)'frpx(t')dt', t t где ат £ Li(0, T), ат ^ 0 и sup ||aT||Ll(0 iT) < TV .

0<r<T

Верна следующая теорема существования глобального обобщенного • решения.

Теорема 6.1. 1. Пусть выполнены условия Сi) — С4) . Тогда существует обобщенное решение z = (rj, и, в , хс) £ Af(Q) х V^iQ) х Vi(Q)x xS2,1VT(Q) задачи Vm, обладающее свойством в > 0 п.в. в Q и удовлетворяющее оценкам

I П I ЩС)) + ||и||^(.../»>(0) + ||ö||vl(<3) + ||are||s. ,>W(Q) < K(N), (6.8)

llln0IU.,o=(q) + 11-°1п6,1из(д) «S K(n), (6.9)

\\e\K,ro(Q) + \m\L4i,ri(Q)<Kc(N), №\?:i1/2) < К(N) (6.10)

с любыми q0 , r0 € [1, oo], qi , ri £ [1, 2] такими, что (2qo)~l + Гд1 = = (l+e)/2, (2д1)"1+г1-1 = 1+е/4, e€(0,l).

2. Функции t) , и, в обладают свойствами

»I 6С([0, Т]; Хоо(П)), u£C([0,T]; Ь2(П)), в £ С([0, Т]; Ь^Щ и удовлетворяют начальным условиям (6.5) в смысле указанных пространств. Кроме того, Ito £ W(Q), Itvo £ С([0, Т]; И^П)) .

3. Если дополнительно Nij п-в■ па Я| то верна также оценка K(N)-1 <0(z,i) п.в. в Q.

Справедлива теорема единственности.

Теорема 6.2. Пусть fio—fiX=Q, выполнены условия С i) - С4) и

Сь) над/.».,..{(-.,«)xg) + IWIlL..l..((-«.a)xQ) Va> 1.

Тогда обобщенное решение задачи Vm из класса N{Q) х V2 (Q) х Vj (Q) х xS2'lW(Q) единственно.

Верна также теорема о сильной непрерывной зависимости (устойчивости) обобщенных решений по начальным и граничным данным и по

(

свободным членам. Рассматриваются задачи гт (£=1,2) вида V т ) в которых данные снабжаются верхним индексом (£). Обобщенные решения задач Vm обозначаются через z(e> = (i/(i), , , х\Р). Как и ранее, используется операция А такая, что Aip — ipW _ <^(2). Пусть Ag{x™) = s(i)[42>] А/[х<2)] = /<Ч[42>] - /<2>[х<2)], причем

¿/Й2)] = /' + /" , /'./" eli(Q).

Теорема 6.3. Пусть данные задач "Рт (I = 1,2) удовлетворяют условиям С\) - С5), причем = = 0. Тогда для разности (единственных) обобщенных решений указанных задач верна оценка

< КС1 4Ч0|к»(П) + + 11^°1к,(П) + +

+ 1И«*|к[0,П + |ИР0||г,</3(0,Т) + 1ИЫк/э(0,Т) + |ИХо|и,(0,Т) + + 1Ихх1к1(о,Г) + \\Л9[х^]\\ГтШ) + ||/<->/Ир[х(2»]||^(<3)+

+ Р(3>/'1к,Л2+.,_.,(«) + ||(/'Ыи,(0,Т) + НЛк.ю,) (6.11)

с любыми д е [2, оо), г 6 [2, 4) такими, что (2q)~1 +г-1 = (1 + е1)/2 , или с д = оо , г = 2/(\ + £\) , и с произвольными 0 < £ < < 1/2 .

В §6.2 изучаются некоторые свойства произвольных обобщенных решений задач "Рт . В §6.3 выводится ряд оценок решений вспомогательных полудискретных параболических начально-краевых задач С, имеющих и самостоятельное значение. В §6.4 строится полудискретный приближенный метод решения задачи Т>т . В §6.5 устанавливаются априорные оценки приближенных решений. В §6.6 с помощью предельного перехода при к —> О завершается доказательство теоремы существования. В §6.7 содержится доказательство теорем 6.2 и 6.3 о единственности и непрерывной зависимости обобщенных решений от данных.

В главе 7 устанавливается глобальная (по времени и по данным) кор-

т>0

ректность неоднородных начально-краевых задач Ит Для квазиосред-ненных уравнений одномерного движения вязкого совершенного поли-тропного теплопроводного газа с негладкими данными.

В §7.1 дается постановка задач Тт и формулируются основные результаты главы. Рассматривается система квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений

Дт? =1(о+р) в7х£?, (7.1)

Ди = Иа + д[хе], а = ц^Би - Р{) в <?, (7.2)

суДб = По; + оБи + /[хе], го = хо£>0 в (5, (7.3)

Дхе = и в С?. (7.4)

Искомые функции г](£ , х , (), и(х , , в(х , <), хе(х , <) определены для / и (х , Ь) £ С) . В уравнениях фигурируют осредненные величины = (ч/")'1 . Р<> = (^/М-1 (к/и) в, х() = (г?/А)-1 , су = (су).

Выписанная система уравнений дополняется начальными условиями т?|(=о = , х) на 7х П, (и, 0 , хе)|,=0 = (гх°(х), в°{х), х°(х)) на П , (7.5)

X

где х°(х) = / (ту0) (х') ¿х', одной из пар краевых условий (6.6т), а также

краевыми условиями (6.7). Задача (7.1)-(7.5), (6.6т) , (6.7) обозначается через Тт , т = 1 , 2 , 3 .

Вводится Л/^./ х С}) - класс функций т? € ЯЛ+(.7 х С}), имеющих конечную сумму норм | т? | = || (п) 1к„«г) + II (п)'1 1коо(<?) +

Предполагается, что коэффициенты и начальные значения удовлетворяют условиям

СР) и, А е 51Л^v(Jxn), су £ ОТ^(П), к 6 Ш1(7хП) и 0 ^ , IV . С?) г)0 6 £Щ+(7 хП),«°€ ¿2(П), € £Ю+(П), (г?0) £ Э71+(7 х П), К1и,(П) + ||в0|и1(П) + ||1пв0|к1(П) + 1|1п'/01и1^хП) ^ N. При т = 1 дополнительно выполнено условие (4.9).

Верна следующая теорема существования глобального обобщенного

-г) о

решения задачи Ит ■

Теорема 7.1. 1. Пусть выполнены условия СР , С^ и условия Сз) , С4) . Тогда существует обобщенное решение г = (г), и, в , хс) задачи из класса ф) х К2(<?) х У^) х 52 ' ^(ф) , обладающее свой-

ством в > 0 п.б. б и удовлетворяющее оценке

^К(М) (7.6)

и оценкам (6.9), (6.10).

2. Функции г), и, в обладают свойствами

г] е с([о, г]; Ь1100(7 х п)), иеС([о,т];ад), в е с([о, т}- ь,(П))

и удовлетворяют начальным условиям (7.5) в смысле указанных пространств. Кроме того, 1га € \¥(<2) , /(П7 6 С([0, Т]; И7(П)) •

3. Указанные в п. 1 оценки можно дополнить оценкой

-^(^К^хН 1) п.в. в J х Q, а если ЛГ-1 ^ 0°(х) п.в. в П , то и оценкой К(ЛГ)_1 ^ в(х, £) п.в. в С} .

Справедливы аналоги теорем 6.2 и 6.3 о единственности обобщенных решений и их непрерывной зависимости от данных.

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия СР), СР) , условия Сз) -С5) и Цо = ИХ = 0 ■ Тогда обобщенное решение г задачи ТЦ из класса х (?) х У2(<5) х VI(<Э) х 52,1И^(д) единственно.

Теорема 7.3. Пусть данные задач Vm'1 (¿=1,2) удовлетворяют условиям. Cf), С<>), С3) - С5) и n{0t] = =0. Пусть дополнительно ||г7° • W ||iio „(jxn) ^ N , i = 1,2 с некоторым ç0 G [1, оо] . Тогда для разности (единственных) обобщенных решений указанных задач верна оценка, которая отличается от оценки (6.11) заменой слагаемого Н^НсЦо,Т\ -.L^m) в левой части оценки на И»?||с([о ,71 ; ¿„0, „(./хП)) « слагаемого H^^Hi^jj) в правой части оценки на ||4?70||£чо ^(jxn) ■

В § 7.2 изучаются некоторые свойства обобщенных решений задач Vm . В §7.3 - §7.5 строится полудискретный приближенный метод решения задач Vm , устанавливаются априорные оценки приближенных решений и выводится теорема существования. В § 7.6 содержится доказательство теорем 7.2 и 7.3.

Глава 8 содержит обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого совершенного политропного газа с быстроосцил-лирующими данными.

В §8.1 устанавливается новый результат о слабой сходимости одного класса быстр о осциллирующих функций, играющий важную роль при осреднении и представляющий самостоятельный интерес.

Пусть П — открытое множество в ( N ^ 1), a Y = [0, 1]^ . Пусть функция /(х , у) задана на Пх RN и удовлетворяет по переменной у условию 1-периодичности. Рассмотрим быстроосциллирующие функции вида fe(x) = f(x, х/е) с е —> 0+ , которые широко используются в теории гомогенизации. Для этой теории, особенно в связи с изучаемой в последнее время двухмасштабной сходимостью (Nguetseng G., Е. W., Allaire G., Valadier M.) весьма важным является выделение классов функций / , для которых соответствующие суперпозиции /с(х) измеримы на ÇÏ при всех £ > 0 и слабо сходятся при £ —> 0+ к среднему по переменной

у значению (f)Y {х) = f f(x , у) dy .

Y

Обратим внимание на то, что во всех известных утверждениях о слабой сходимости /£ функция / предполагается непрерывной по крайней мере по одному из аргументов. Совсем отказаться от каких-либо требований регулярности по одной из переменных нельзя. Известно (Gerard Р., Murat F., Allaire G.), что уже при N = I существует функция

/ G С([0, 1]; Lf{Y)) П Ьоо((0, 1) х К) такая, что lim } fe(x)dx ф

с—»0+ о

f (f)y (х) dx. Здесь Lf(Y) - банахово пространство заданных на о

измеримых 1-периодических функций с конечной нормой || • ||L#(y) = И-НМУ). Рб[1,оо].

Введенные в § 5.1 (в случае N = 1) классы LPM(E х О) допускают у функций разрывы как по переменной х , так и по переменной у, и в то же время обеспечивают нужные свойства суперпозиций f . Оказывается, что эти классы могут быть расширены до Lp(Q; (У)), причем для . произвольного N ^ 1. Положим /е(х) = lim ар f(x, у) , где lim ар -

у-и/г

аппроксимативный предел.

Теорема 8.1. Пусть f € LP(Q ; L%(Y)) для некоторого р £ [1, оо] . Тогда /£ £ Lp(Q), причем ||/e|Up(n) < ll/llz,p(n; L* (У)) • КР0Ме того> /£ —> (/)у слабо в LP(Q) для р € [1, оо) и *-слабо в Loo(Q) для р = оо . В случае р £ [1, оо) выполнено также свойство

lim J\r{x)\'dx= J \f{x,y)\"dxdy. e-»0+ П ПхУ

Пусть теперь функция /(£ , x) задана на Jxfl, где П = (0 , X). Пусть хс = {х/е — а£} , где аг — произвольная фиксированная функция аргумента е > 0. Положим fc (х) = /(хе , х) = lim ар /(£, х). Справедлив

следующий результат, на который опирается обоснование предельного перехода в данной главе.

Теорема 8.2. 1. Пусть f £ ЯЛ(П; Loo(J)) . Тогда для всякого е > 0 функция /£(х) определена п.в. на П , измерима и удовлетворяет неравенству |/£(х)| ^ ||/(-, xJUi^fj) для почти всех igfi.

2. Пусть f £ Lp(П; Loo(J)) для некоторого р £ [1, оо] . Тогда /£ £ Lp(fi) и справедливы свойства: ||/£||i,p(f2) ^ ||/IUp(il; £„,,(./)) « Г (/) слабо в Lp(ü) при р £ [1, оо) и * -слабо в L^ity при р = оо .

Введем линейное пространство ЬчЬооС(Ш. х J х f2), q £ [1, оо], элементами которого являются функции /(С , £ , х) £ ЯЛ(К х Jx Г2), обладающие следующими свойствами:

1) для всех С € R функция /(£, х) принадлежит Ьч(П; L^J));

2) для почти всех (f, х) £ J х Ü функция /(С , £ , х) непрерывна по

С £ R; более того, для почти всех х £ П и для любого компакта К. С R.

верно свойство ess sup max |/(£', £, х) - /(С , f, х)| -» 0 при а 0+ ; с.сех К'-СК"

3) для любого компакта /С С R конечна полунорма Ц/H^ 4(xxJxП) и, кроме того, lim||Zii/||£oo ^ i(KxJxn) =0.

В § 8.2 рассматривается система уравнений одномерного движения вязкого совершенного политропного газа с быстроосциллирующими данными ( е е (0 , 1] - параметр)

Ат?е = £)иг в <?, (8.1)

Аие = Бос + дс[хе ,£], сг£ = 1>среОис -рс, рс = ксреве в <3 , (8.2)

=.ОсаЕ +СГеРие +1е[хе<е], СТе = А £/9£-О0£ В <3, (8.3)

£>(хе,е=ы£ в <2. (8.4)

Система дополняется начальными условиями

(77£,и£,бг,хе,е)|4=о = (7У£о(х),и°(х),0£°(х),х»1г(^)) на П, (8.5)

X

где х° £(х) = /т?£(х') йх', одной из пар краевых условий о

"«1х=0 = "0,= , = (8-61)

= -Ро,« . "<1х=Х = • (8.62)

(Т£|1=0 = -Р0,£ , СГ£|Г =Х=-РХ,е, (8.63) а также краевыми условиями

-ете|,=0+/'о1А|1=0 = Хо1е, ет«|г=х+Р*,«0е|в=х = хх,е. (8.7)

Задача (8.1) — (8.5), (8.6т) , (8.7) обозначается через Р^ , т = 1,2,3.

Предполагаются выполненными условия С{) - С£, которые получаются из условий С\) - С4 заменой входящих в них функций такими же функциями с индексом е.

В §8.3 содержится основной результат главы - теорема 8.3 о предельной связи между решениями задач Р^ и Рт ■ Делаются следующие дополнительные предположения о поведении при е -4 0 данных задачи Р^ .

Л1) Для коэффициентов справедливы представления ис = ис + Лис , кс = кс + Акс , Д£ = Xе + АА£ , су, £ = с\, + Лсу , £ . Здесь и, А, су € £оо(П; Ьоо^)) пал«(7хп), к е ¿оо(П; ь0<,(./)), причем 0 < к ^ N. Кроме того, А^е -* 0 , Аке -> 0 , ЛА£ 0 , Асу ,е 0 по мере на П .

А2) Для начальных функций т;£ , и°с , справедливы представления т1°с=т)°-с + Ат10с, и°с=и°'с + Аи°, 9° =6°-< + Ав° . Здесь г?0 е ^(П; Ь00(7))П'Ш^(7хП), и0 е Ь2(П; £„(./)), в0 6 ; 1^(7)), в0 > 0. Кроме того, Ат)1 0 по мере на П, Аи° 0 в Ь2(П), -4 0 в 1а(Г2).

Лз) Для свободных членов справедливы представления , х, = = 5(С,х£,х,«)+Лд£(С,х, «), Л(С,®,0 = /(С.»в.®. г, 0-

Здесь р, / € 9Л(К х J х Q) и для почти всех фиксированных « е (0, Т)

верны свойства: д(С , £ , я , <) € Ь2ЬовС{Ш х 3 х П), /(С , ^ , х , € 7 хП); дополнительно , х, 01к„([-а,а]хУ) е£2,1(<3),

||/{-, -12:, е И И^Ык«,,,,,([-„,а]хд) О,

ИАМи<»,1,1([-а,а]х<3) ->0 ДЛЯ всех Д>1.

А*) Граничные функции таковы, что и0,£ —> и0 и их —> их всюду на [0, Т]; р0,£ Ро и рх,£ Рх слабо в £2(0,Г); А*о

и ^х,£ Их слабо в Ь3(0,Т) для некоторого в > 2; хо,е Хо и Хх,£ XX слабо в Ь1(0,Т). Здесь щ , их е У[0,Т], р0 , Рх € ¿^Т), /а,, Их 6Х.(0,Т), Хо , Хх 6 ¿1(0, Т).

Пусть е° = |(и°)2-(-су00 и е^ = (е°) . Вводятся усреднения свободных членов <?() = (д), /<) = (/) и усреднения начальных функций и0^ = (и0),

= — . Через Рт обозначается квазиосредненная

задача, которая получается из задачи "Рт заменой коэффициента су , начальных данных и0 , в0 и свободных членов д, / на (су) , и^ , и 9{) > /() соответственно.

Теорема 8.3. 1 . Предположим, что выполнены условия СI) -и А1) - А4) (при всех £ 6 (0, 1]^. Пусть - произвольная по-

следовательность задач с £ — £п —> 0 при п оо, а гс — последовательность их обобщенных решений, существование которых гарантировано теоремой 6.1. Тогда существуют подпоследовательность задач (за которой сохраняем прежнее обозначение) и обобщенное решение 2 = (|7, и, 0, хе) е му X (5) х У2{С}) х VI(д) х 51ДИ^(д) задачи Т& , которые обладают следующими свойствами.

а) Решение г задачи ~Рт удовлетворяет оценкам (7.6), (6.9), (6.10).

б) Решения ге сходятся к г при £ —> 0 в следующем смысле:

т]с — Т]е 0 в С([0, Т]; ЬЧ{П)) Уд 6 [1, оо), где т?г(х , = фс, х , «)/

ие и в Ьч, Г(<5) Уд е [1, оо], г 6 [1, оо), (2д)-1 + г"1 > 1/4;

и£ —> и *-слабо в 1/2,оо(С2), -Ои£ —> слабо в Ь2(С});

0£ -4 0 в ЬЧО,ГО(С?) Удо 6 [1 , оо], г0 € [1 , оо) , (2до)-1 + г^1 > 1/2;

,О0£ Бв слабо в Ьч, ,Г1 Уд,, г, 6 (1, 2], (291)_1 + гГ1 > 1;

хс,£ хе слабо в 52 ЛW(Q) и сильно в С (С});

<т£ о слабо в Ь2(С}), Ьстс Ьо сильно в С(<3);

-> ет слабо в ЬЧ1 >г,(<3) Уд1 , гх € (1, 2], ^д,)-1 + г^1 > 1;

/(07 сильно в С([0, Т]; £,(П)) Уд 6 [1, оо) и *-слабо в Ь^С}).

Если известно, что Arj° 0, Аие -> 0, Акс -> О в £ТО(П), то щ - rf -> О сильно в С([0, Т]; ¿«.(Q)).

2. Пусть выполнены условия п.1 и ц0 <е — fix ,с = О . Пусть также функции дс, fc (при всех е S (О, l]j ы функции дц , Jq , удовлетворяют в роли g, f условию С5) . Тогда обобщенное решение z задачи Vm единственно, и обобщенные решения ze задач V^ (которые также единственны) сходятся к z при е О в указанном в п 1. смысле.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Амосов A.A. Общий вид функционалов из пространства (У2' '°(Q))* // Вестник МЭИ. 1996. N 6. С. 5 - 14.

2. Амосов A.A. О слабой сходимости одного класса быстроосциллиру-ющих функций // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вып. 1. С. 145 -150.

3. Амосов A.A., Злотник A.A. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301. N1. С. 11-15.

4. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" системы уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа // Матем. заметки. 1992. Т. 52. Вып. 2. С. 3-16.

5. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными //Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. N 4. С. 596-609.

6. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа // Матем. заметки. 1994. Т. 55. N 6. С. 13-31.

7. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" квазиосред-ненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными // Вестн. МЭИ. 1994. N 4. С. 7-24.

8. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды //Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. N 7. С. 1123-1131.

9. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1995. Т. 342. N 3. С. 295-299.

10. Амосов A.A., Злотник A.A. О квазиосредненных уравнениях одномерного движения вязкой баротропной среды с быстроосциллирующими

данными // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36, N 2. С. 87-110.

11. Амосов A.A., Злотник A.A. Оценка погрешности квазиосреднения уравнений движения вязкой баротропной среды с быстроосциллиру-ющими данными. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. N10. С. 111-128.

12. Амосов A.A., Злотник A.A. Свойства "в целом" квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Докл. РАН. 1996. Т. 346. N 2. С. 151-154.

13. Амосов A.A., Злотник A.A. Замечания о свойствах обобщенных решений из V2(Q) одномерных линейных параболических задач//Вестник МЭИ. 1996. N 6. С. 15-29.

14. Амосов A.A., Злотник A.A. О свойствах обобщенных решений одномерных линейных параболических задач с негладкими коэфициентами // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. N 1. С. 83 - 95.

15. Амосов A.A., Злотник A.A. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1997. N 4. С. 3 -

16. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1997. Т. 354. N 4. С. 424 -

17. Злотник А.А., Амосов А.А. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т.299. N 6. С. 1303-1307.

18. Злотник А.А., Амосов А.А. Об устойчивости обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. N 4. С. 767 - 789.

19. Amosov A.A., Zlotnik A.A. Semidiscrete method for solving quasi-averaged equations of the one-dimensional motion of a viscous heat-conducting gas // Russ. J. Numer. Math. Modell. 1997. Vol. 12. N 3. P. 171-197.

19.

432.

Типография МЭИ, Красноказарменная, 13.