Математические задачи теории фазовых переходов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Периодические по времени решения задачи Стефана

1 Предварительные сведения.

1.1 Обобщенные решения задачи Стефана.

1.2 Периодические по времени обобщенные решения задачи Стефана.

1.3 Классические решения задачи Стефана.

2 Периодические по времени решения задачи Стефана со знакопеременной температурой на границе области

2.1 Формулировка основных результатов.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.

2 Неравновесные фазовые переходы

1 Задача Стефана с фазовой релаксацией.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вспомогательные предложения.

1.3 Корректность математической модели.

1.4 Предельный переход в задачах А и АК по г О

2 Неравновесные фазовые переходы с учетом миграции жидкой фазы.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Существование и единственность решения

2.3 Предельный переход в задачах В и BN по Л —) О

2.4 Предельный переход в задачах В и BN по г -> О

2.5 Предельный переход в задачах D и DN по Л —) О

3 Фазовые переходы в сжимаемых средах

1 Формулировка модели.

2 Одномерная задача.

2.1 Постановка задачи

2.2 Теорема существования.

2.3 Теорема единственности.

3 Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело сжимаемая жидкость.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Однофазная задача.

4 Некоторые точные решения системы уравнений вязкого газа

4.1 Двумерное стационарное изотермическое радиальное течение газа.

4.2 Двумерное стационарное изотермическое твердотельное вращение газа.

4.3 Один класс решений одномерной задачи истечения газа в вакуум.

4 Математическое моделирование фазовых превращений в упругих средах

1 Статическая теория типа Ландау.

2 Динамическая теория типа Ландау.

2.1 Формулировка модели.

2.2 Корректные задачи линейной термоупругости

2.3 Точные решения.

3 Динамическая теория типа Гинзбурга-Ландау.

5 Осреднение процесса фазовых переходов в многомерных неоднородных периодических средах

Математическая литература, связанная с фазовыми переходами столь обширна, что составить ее полный обзор не представляется возможным. Здесь мы отметим некоторые ключевые математические работы. Более детальный исторический обзор и библиографию можно найти в монографиях Л. И. Рубинштейна [123], А. М. Мейрманова [104], А. Визин-тина [257] и обзорных статьях И. И. Данилюка [33], М. Ниезгудки [225], Э. Маджениса [213], Д. А. Тарция [251] и О. А. Олейник, М. Примичерио, Е. В. Радкевич [228 .

Первой работой, посвященной математическому описанию фазовых переходов, по-видимому, является опубликованная в 1831 году статья Ламе и Клапейрона [207], где изучается процесс затвердевания однородной жидкости, занимающей полупространство и находящейся в начальный момент при температуре фазового перехода, под влиянием постоянной температуры на границе. В этой работе впервые было установлено, что толщина твердой фазы (для однофазной постановки) пропорциональна корню квадратному от времени.

В 1889 г. австрийский физик Иозеф Стефан предложил модель для описания таяния полярных льдов. В серии работ [242]-[245] он рассмотрел несколько аспектов одномерной однофазной и двухфазной задач. Эти ранние работы и важные особенности заложенные в его модели послужили основанием для того, чтобы задача впоследствии была названа его именем.

Исторически сложилось так, что задача о фазовых переходах в чистом веществе без учета перемещения среды (задача Стефана) описывалась "классическим" решением: существуют жидкая и твердая фазы, а множество фазового перехода (граница раздела "жидкое-твердое") есть гиперповерхность, на которой выполнено условие теплового баланса (условие Стефана). На этом пути Л. И. Рубинштейном [123] были получены теоремы существования классического решения задачи Стефана для одномерного уравнения теплопроводности в малом по времени и им же в целом по времени, если априори предположить, что граница раздела фаз аналитическая. Без этого предположения при достаточно естественных ограничениях на данные задачи описанный выше результат получил в 1965 г. Ли Чанг [208]. Позже то же самое различными способами было доказано в работах Дж. Кэннона, Дж. Дугласа, К. Хилла, Д. Генри, Д. Котлова, М. Примичерио [167, 168, 169, 170,171, 172] и А. М. Мейрма-нова [104]. Все указанные теоремы относились к случаю заданной температуры на известных границах области определения решения. Условия существования классического решения задачи Стефана с заданным тепловым потоком на известных границах получены Дж. Кэнноном и М. Примичерио [173].

В работах Дж. Кэннона и его коллег исследовались также качественные свойства и асимптотическое поведение свободной границы при неограниченном возрастании времени. Вопросы устойчивости и асимптотического поведения решения одномерной задачи Стефана при больших значениях времени изучались Л. И. Рубинштейном [123], А. Фридманом [137] Б. В. Базалием и В. Ю. Шелеповым [8], Гу Лянь-Куном [30 Н. В. Хуснутдиновой [139].

Прогресс в изучении классического решения многомерной задачи Стефана связан с развитием теории вариационных неравенств. М. Г. Дюво 180] свел многомерную однофазную нестационарную задачу Стефана к вариационному неравенству, для которого устанавливалось существование слабого решения. В 1975 г. А. Фридман и Д. Киндерлерер [187], используя преобразование М. Г. Дюво, доказали, что в однофазной задаче Стефана свободная граница удовлетворяет условию Липшица. Результаты Л. Кафарелли [161, 162] о гладкости свободной границы позволили Д. Киндерлереру и Л. Ниренбергу доказать аналитичность свободной границы и тем самым впервые установить существование классического решения однофазной многомерной задачи Стефана [205].

Для случая многих пространственных переменных, привлекая регуляризацию условия Стефана и переменные Мизеса, А. М. Мейрманов в 1979 г. [105, 106] доказал существование классического решения двухфазной задачи Стефана в малом по времени. Аналогичный результат в 1981 г. другим методом, с использованием теории Нэша-Мозера, получил Е. И. Ханзава [189]. Отметим, что в исследованиях А. М. Мейрманова и Е. И. Ханзавы был допущен большой "зазор" между гладкостью решеи 1 и и и ний и заданных функций, уменьшенный или сведенный к нулю в работах Б. В. Базалия [6], М. А. Бородина [16, 17] и Г. И. Бижановой [15]. Различные аспекты многомерной задачи Стефана исследовались в работах Е. В. Радкевича, А. С. Меликулова [120, 121] и Е. В. Радкевича [117, 118 .

Отметим еще одну интересную особенность задачи Стефана. Если в условии Стефана поменять знак на противоположный, то возможно разрушение классического решения за конечное время. Первая задача такого типа была рассмотрена в 1980 г. В. В. Пухначевым [116]. В этой работе были приведены достаточные условия для разрушения классического решения одномерной однофазной задачи Стефана в полубесконечной области. В работах И. А. Калиева [53, 56] были рассмотрены как однофазная так и двухфазная одномерные задачи Стефана. Показано, что при определенных условиях на данные задачи, найдется некоторый конечный момент времени, при котором градиент температуры на границе раздела фаз обращается в бесконечность, то есть происходит разрушение классического решения. Этот результат можно трактовать как образование "градиентной катастрофы" в задаче Стефана.

В 1958 г. С. Л. Каменомостская [75, 76] ввела понятие обобщенного решения для многомерной задачи Стефана. При этом уравнения теплопроводности для различных фаз трактуются как одно уравнение ди где и есть энтальпия, либо удельная внутренняя энергия среды, 9 — температура, к > О — коэффициент теплопроводности. Удельная внутренняя энергия есть известная функция температуры и = Ф(9) терпящая разрыв первого рода при значении температуры, равной температуре плавления, и достаточно гладкая всюду вне этой точки. В [76], а также в работе О. А. Олейник [113] были доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения многомерной задачи Стефана.

Поскольку каждое классическое решение является и обобщенным, то вопрос о единственности классического решения задачи Стефана был полностью решен. С этого момента центральным стало изучение структуры обобщенного решения и выяснение условий, при которых обобщенное решение задачи Стефана будет классическим. Естественно было ожидать, что если в начальный момент времени в рассматриваемой области состояние среды двухфазное, то есть присутствуют только жидкая и твердая фазы, разделенные гладкой поверхностью, то обобщенное решение задачи Стефана совпадает с классическим. Для случая однородного уравнения теплопроводности и одной пространственной переменной это было доказано А. Фридманом [186] и Дж. Кэнноном, Д. Генри, Д. Котловым [168].

Однако оказалось, что множество обобщенных решений существенно шире множества классических решений задачи Стефана и проявилось это в обнаружении так называемой переходной фазы ("mushy region" в терминологии Д. Этти [152, 153]). Для объяснения названного явления вернемся к определению обобщенного решения. В переходной фазе температура тождественно равна температуре плавления а удельная внутренняя энергия U принимает значения из интервала {U-.,U+), где а±= Иш Ф(О); и = Ф{9), Вфвл. с—с, ±1) в своей первоначальной постановке задача Стефана формулировалась как задача об определении классического решения. При таком подходе неопределенность зависимости удельной внутренней энергии от температуры в точке плавления нигде не сказывалась. Авторы определения обобщенного решения позволили удельной внутренней энергии принимать значения из интервала {U-,U+) при температуре, равной температуре плавления, то есть в определении содержалась новая аксиома: допускается состояние среды, отличное от жидкого и твердого, при котором температура среды равна температуре плавления, а удельная внутренняя энергия принимает значения из интервала (?7 1/+).

В 1981 г. А. М. Мейрманов [107] построил обобщенное решение с и 1 и и и т-\ переходной фазой, отсутствовавшей в начальный момент времени. В этом примере вообще отсутствует граница фазового перехода, а есть целая область промежуточного состояния. Возможность образования новой фазы, заложенная в определении обобщенного решения задачи Стефана, проявила себя в примере А. М. Мейрманова. Решающими факторами в нем были внутренние источники тепла в уравнении теплопроводности и равенство нулю градиента температуры на границе раздела фаз в начальный момент времени.

Аналогичные примеры обобщенных решений задачи Стефана, не являющихся классическими, построили в 1982 г. М. Примичерио [232] и позже М. Берч, П. Моттони, Л. А. Пелетье [159, 160], М. Уччи [252 . А. Фазано и М. Примичерио [184] показали возможность образования переходной фазы в задаче Стефана с переменной температурой плавления.

А. Е. Бергер, Г. Брезис и Дж. Роджерс [157] доказали, что в многомерной задаче Стефана для однородного уравнения теплопроводности переходная фаза не может возникнуть, если она отсутствовала в начальный момент времени.

В работах И. А. Калиева и А. М. Мейрманова [65, 66], И. А. Кали-ева [54, 55] была описана структура обобщенного решения одномерной задачи Стефана с произвольным распределением удельной внутренней энергии в начальный момент времени (в частности при наличии конечного или счетного числа связных компонент переходной фазы). Доказано, что при отсутствии внутренних источников или стоков тепла, переходная фаза строго убывает с течением времени. Получены достаточные условия, при которых переходная фаза исчезает за конечный момент времени.

Эти результаты используются в первой главе диссертации, где исследуются периодические по времени решения одномерной задачи Стефана в ограниченной области Г2. Когда заданная температура на границе области О близка к постоянной, существование периодического по времени классического решения доказали в 1981 г. М. ХПтедри и О. Вейвода [241]. Их результат усилил в 1983 г. А. М. Мейрманов [108] для произвольно заданной температуры на границе области Г2, не принимающей значения, равного температуре плавления. Общая ситуация со знакопеременной температурой на границе области С1 была изучена И. А. Калиевым и А. М. Мейрмановым [218], [103, §3 гл. VII]. С помощью теоремы А. С. Кронрода и Е. М. Ландиса [83, 84] о структуре линий уровня функции двух переменных и результатов о свойствах решения одномери /—^ 1 и и и ной задачи Стефана с произвольной начальной энтальпией показывается, что периодическое по времени обобщенное решение задачи Стефана будет классическим, и оценивается максимальное число связных компонент жидкой и твердой фаз в каждый момент времени. Эти результаты составляют содержание первой главы диссертации.

Во второй главе изучаются неравновесные фазовые переходы. Вначале несколько слов о том, что такое равновесный и неравновесный фазовые переходы. Для равновесных фазовых переходов концентрация гу жидкой фазы совпадает с функцией Хевисайда где 9 — температура, А* — температура плавления, то есть ш{х,€) = 1 при 9{х,1) > 9А, ги(жД) е [0,1] при 9{х,1) = ™{х,г) = 0 при 9(х,Ь)<9л.

Это означает, что при смене температуры в, концентрация жидкой фазы ги мгновенно принимает новое значение, соответствующее новой температуре. Между тем, в реальных процессах для достижения равновесия между жидкой и твердой фазами требуется некоторое конечное время 138 .

Всюду во второй главе будем считать температуру плавления а* = О, что соответствует равновесной температуре замерзания воды (или таяния льда). В связи с этим концентрацию жидкой фазы у о будем называть влажностью.

В работах [34, 35] были предложены математические модели замерзания воды с фазовой релаксацией и с учетом диффузии. В частности, в 34] реальная влажность п) связывается с равновесной влажностью Н{9) уравнением щ=.А(Н(9)-ш\ т где постоянная г — характерное время релаксации. Температура 6 удовлетворяет уравнению

91 = кМ - Ьиог.

Корректные постановки начально-краевых задач для данной системы уравнений изучены в работах [69]-[71]. Доказано, что при г -> О решения этой системы уравнений сходятся к решению соответстующей задачи Стефана.

Ряд моделей неравновесных фазовых превращений рассмотрен в работах А. Визинтина [257]-[261]. В частности в [257], [258] он изучает похожую систему уравнений 1 т

Аналогичные модели используются для описания фазовых переходов при наличии диффузии [35 ЛА«; + ЦЯ(А)-«;), г е1 = км+-{ио- н{е)). г

Корректные постановки начально-краевых задач для данной системы уравнений изучены в работах [67, 68]. Исследованы предельные переходы при стремлении параметров Л и г к 0.

В последние годы широкую известность получили модели (для описания фазовых переходов при наличии диффузии) под названием модели фазового поля [163]-[165]: тшь = ЛАгу ^ а~А(1и - ииА) + в, вг = кАв- Ьшг.

Здесь по-прежнему в — температура, и) — параметр порядка, например, концентрация жидкой фазы, г, Л, а, к, Ь — некоторые постоянные. При стремлении параметров г. Л, а к нулю мы можем получать различные постановки задач о фазовых переходах: классическую задачу Стефана, задачу Стефана с поверхностным натяжением, задачу Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением. Обоснованию предельных переходов от модели фазового поля к этим постановкам задач Стефана посвящены статьи П. И. Плотникова, В. Н. Старовойтова [114, 231], Е. В. Радкевича [119], В. Г. Данилова, Г. А. Омельянова, Е. В. Радкевича [31, 32, 229]. Различные модели тепломассопереноса исследованы в монографиях В. П. Маслова, В. Г. Данилова, К. А. Волосова 100, 176] и В. П. Маслова, В. Г. Данилова, В. П. Мясникова [101 .

Во второй главе исследуются математические модели неравновесного перераспределения жидкой фазы, предложенные в [34, 35] . Кроме фазовых переходов в этих моделях учитывается миграция жидкой фазы. В диссертации доказываются теоремы существования, единственности, непрерывной зависимости решения от начальных и граничных данных. Рассматриваются предельные переходы по параметрам модели, учитывающим миграцию и неравновесность перераспределения жидкой фазы.

Классическая задача Стефана связана с фазовыми переходами в неподвижных средах. Между тем, во многих процессах фазовых переходов присутствует гидродинамическое течение в жидкой фазе. Интерес к изучению таких явлений мотивируется многочисленными технологическими приложениями.

Фазовые переходы с учетом конвекции рассматривались для несжимаемых жидкостей (см., например, [7], [82], [178], [179], [166], [196], [233]). А вот роль явления сжимаемости все еще требует основательного изучения. В [86], [87] рассматривались одномерные однофазные задачи моделирующие фазовые переходы для упрощенной системы уравнений вязкой сжимаемой жидкости.

В третьей главе формулируется и исследуется новая математическая модель, описывающая фазовые превращения между жидкой и твердой фазами в рамках полной системы уравнений Навье-Стокса для жидкой фазы, с учетом таких свойств жидкости как вязкость, сжимаемость и теплопроводность. Относительно твердой фазы предполагается: (1) твердая фаза неподвижна, т.е. скорости частиц твердой фазы равны нулю; (11) плотность твердой фазы не зависит от времени, а является функцией только от пространственных переменных; (Ш) доминирующим фактором является теплопроводность.

Принятые предположения позволяют сформулировать математическую модель, описывающую процесс фазового перехода между вязкой сжимаемой жидкостью (газом) и твердым телОм, включая все законы сохранения на границе раздела фаз.

Классическая задача Стефана является частным случаем рассматриваемой задачи, когда жидкость находится в состоянии покоя и плотности жидкой, твердой фаз постоянны и равны.

В предлагаемой модели тесно переплетаются задача Стефана и уравнения Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды. Для соответствующей одномерной начально-краевой задачи доказываются теоремы существования и единственности гладкого решения "в малом" по времени [49, 201, 202]. При дополнительных предположениях доказываются глобальные теоремы существования и единственности для однофазной задачи, когда температура в твердой фазе тождественно совпадает с температурой фазового перехода [63, 64, 203]. Найдены некоторые точные решения системы уравнений вязкого газа [60].

Принято считать, что начало изучению вопросов корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса положила работа Дж. Серрина 1959 г. [237]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Однако, необходимо отметить более раннюю статью Д. Граффи 1953 г. [188] о единственности классических решений для баротропного случая.

Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Кэш [224]. Он доказал существование классического решения задачи Коши "в малом" по времени. Этот результат, несколько иными методами, был повторен и обобщен в работах Н. Итая [197], А. И. Вольперта и С. И. Худяева [28 .

Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В. А. Солонниковым [132] и А. Тани [247.

Разрешимость задачи Коши для уравнений Навье-Стокса "в целом" по времени, но при условии, что начальнве данные близки к состоянию покоя, т. е. в малом по данным, была установлена А. Матсумурой и Т. Ни-шидой [214]. Отметим также результаты о локальной разрешимости (по времени или по данным), которые содержатся в следующих работах [190], 191], [212], [215], [235], [248], [249], [253], [254 .

Наиболее полная теория глобальной разрешимости по времени и данным для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, т. е. когда одна компонента вектора скорости зависит лишь от одной пространственной координаты и времени, а остальные компоненты вектора скорости равны нулю.

Первый результат по однозначной разрешимости "в целом" по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я. И. Канелем [77] в случае задачи

Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (Р = Ярл)~ Для модели Бюргерса [Р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [198, 199] и А. Тани [250 .

В 1976 г. А. В. Кажихов [42] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А. В. Кажихова [41]-[47], [52], В. В. Шелухина [140]-[149], С. Я. Белова [11]-[14], [156], В. А. Вайганта [18]-[20] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа. Однозначная разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получена в работах [204], [220]-[222 .

В цикле работ В. В. Шелухина [141]-[143] исследованы вопросы существования периодических, почти-периодических и просто ограниченных по времени решений для уравнений вязкого газа.

Уравнения движения вязкого баротропного газа и теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида и непостоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности исследовались в следующих работах [27], [44], [50, 51], [192, 193], [217], [227], [239 .

Вопрос о стабилизации решений при неограниченном возрастании времени к решению стационарной задачи рассматривался в работах [19], [36], 39, 40], [45, 46], [77, 78], [79], [140], [154, 155], [214], [223], [246]. Ряд работ посвящен некоторым вопросам качественной теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды (распространение разрывов, исчезающая вязкость) [102], [144]-[146], [148], [192]-[195], а также проблемам вырождения плотности [131], [134], [147.

Важной проблемой в теории уравнений динамики вязкого газа является вопрос строгого обоснования приближенных методов. Начало в этом направлении, по-видимому, положила работа Б. Г. Кузнецова и Ш. Смагулова [85]. На данный момент довольно подробно исследованы разностные схемы для уравнений одномерного движения вязкого газа 1], [37, 38], [124]-[130], [262], [263], [264]. Проблема строгого и полного математического обоснования численных решений многомерных задач динамики сжимаемой вязкой среды на данное время является открытой и ее изучение начато в работах Н. А. Кучера [88]-[95], О. В. Троцкой [135], [136.

В работе Н. С. Бахвалова и М. Э. Эглит [10] проведено осреднение системы уравнений Навье-Стокса одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстро осциллирующими свойствами. В результате возник новый интересный класс уравнений — квазиосредненные уравнения одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Исследования по этой проблематике проводились в следуюш,их работах [2]-[4], [236 .

Проблема о глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды далека от удовлетворительного решения и поэтому важное значение имеет каждый результат, касаюш,ийся того или иного подхода к многомерному случаю. Одним из подходов к многомерной модели Навье-Стокса является изучение более простых гидродинамических моделей. Среди различных вариантов упрощения уравнений Навье-Стокса наиболее известными являются, во-первых, квазистационарная модель и, во-вторых, приближение Стокса.

Математические исследования первой приближенной модели были начаты в 1991 г. С. Бернарди и О. Пироннэ [158] в случае стационарных течений. В 1993 г. А. В. Кажихов [48] установил существование глобальных решений в классе потенциальных течений. При этом были рассмотрены и некоторые качественные вопросы. Дальнейшее исследование этой модели было проведено в работах А. Е. Мамонтова [98, 99]. В 1994 г. В. А. Вайгант и А. В. Кажихов [24] исследовали вторую модельную систему уравнений. Ими установлено существование и единственность решения в классе потенциальных течений для начально-краевой задачи. Задача Коши для этой модели изучалась в работах Лю Мин, А.В.Кажихова, Сейджи Укай [211] и П. Л. Лионса [209 .

Для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости вопрос о глобальной разрешимости рассматривался М. Падула [230], П. Л. Лионсом [210]. В этих работах были предложены новые идеи и подходы к решению проблемы в классе обобщенных решений: в первой работе Р = Яр, а во второй Р = Яр, 7 > 1. Для второго случая результат о существовании слабого решения установил Е. Файрайзл [185 . В случае более общего закона напряженного состояния существование обобщенного решения получено в работе А.Е.Мамонтова [99 .

Однако для существования более гладких решений имеются препятствия. Это иллюстрируют примеры, построенные В. А. Вайгантом [20 -22]. В связи с вопросом о разрушении решения, отметим также работу Жоупинг Ксин [265]. Чтобы обойти возникающие препятствия В. А. Вай-гант наложил дополнительные требования на коэффициенты вязкости как функций от термодинамических параметров [23]. В результате ему удалось доказать глобальные теоремы существования для двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды для случая специальных уравнений состояния. Затем аналогичный результат был получен для более общих уравнений состояния и в более широком диапазоне решений В.А.Вайгантом и А.В.Кажиховым [25, 26].

В четвертой главе предлагаются различные математические модели для описания фазовых переходов в многомерных упругих средах с использованием невыпуклой функции свободной энергии. В качестве параметра порядка, отвечающего за различие между фазами, выбирается плотность вещества. Для линеаризованной задачи доказываются глобальные теоремы существования и единственности. Эти модели могут быть привлечены к описанию таких физических явлений, как фазовые переходы в твердых телах (например, графит — алмаз) или к описанию материалов с "памятью" формы. В случае одной пространственной переменной эти модели являются обобщением известной модели Фалька 181]-[183 .

Считается, что имеет место фазовый переход, если некоторые величины, характеризующие макроскопические свойства вещества, меняются скачком относительно внешних переменных. В качестве одного из параметров для описания состояния вещества используется функция энергии. Это может быть внутренняя энергия, свободная энергия Гельмгольца либо свободная энергия Гиббса, которые связаны преобразованием Лежан-дра. В 4 главе нас будут интересовать не обычные фазовые переходы стефановского типа, когда энергия вещества меняется скачком, а такие при которых сама функция энергии изменяется непрерывным образом. Рваться могут ее производные. Если первые производные терпят скачок, то это — фазовые переходы первого рода. Для фазовых переходов второго рода только вторые производные могут терпеть разрыв. Обычно предполагают, что внутренняя энергия и свободная энергия Гельмголь-ца являются невыпуклыми функциями в некотором диапазоне своих аргументов. Более детально описать фазовые переходы можно с помощью специфического параметра, характеризующего различие между фазами, так называемого параметра порядка.

Теоретическое описание процессов фазового перехода с использованием невыпуклой функции энергии началось со знаменитого уравнения Ван-дер-Ваальса (см. [255]) для фазового перехода первого рода между жидкостью и паром. В [256] добавлена зависимость от градиента плотности в свободную энергию, чтобы получить непрерывный профиль при пересечении границы раздела жидкость — пар.

Важный шаг для описания фазовых переходов второго рода сделал Л. Д. Ландау [97], который начал разрабатывать теорию, названную позже его именем. Основное предположение, сделанное в [97], состоит в том, что функция энергии зависит только от параметра порядка и температуры. Чтобы избежать резкого выделения границ между фазами В. Л. Гинзбург [29] добавил зависимость от градиента параметра порядка в функцию энергии. Получаемые при этом дифференциальные уравнения часто называют теорией фазовых переходов Гинзбург - Ландау. Независимо от них А. Ф. Девоншир [177] развил подобную теорию для случая ферроэлектрика.

В [181]-[183] при описании фазовых переходов в упругих средах в качестве параметра порядка, отвечающего за различие между фазами, выбирается деформация. При этом свободная энергия имеет вид подобный предложенному в [97, 29]. Задачи связанные с одномерной моделью Фалька исследовались рядом авторов [226, 240]. в качестве замечания к моделям Фалька можно высказать то, что они предполагают постоянство плотности материала, что не всегда оправдано на практике.

В пятой главе проводится гомогенизация многомерной задачи Стефана в случае, когда среда является композитом, состоящим из двух различных веществ с е-периодической структурой. Методами асимптотического анализа выводится осредненная задача. Доказывается, что ее решение является пределом решений е-задач.

Другие подходы к проблеме гомогенизации задачи Стефана предложены в 175]. Однако стоит отметить, что в последней работе допущены некоторые математические неточности.

1. Амосов А. А., Злотник А. А. Разностная схема для уравнения движения вязкого теплопроводного газа. Ее свойства и оценки погрешности "в целом" // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, N 2. С. 265-269.

2. Амосов А. А., Злотник А. А. Разрешимость "в целом" квазиосред-ненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными // Вести. МЭИ. 1994. N 4. С. 7-24.

3. Амосов А. А., Злотник А. А. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллируюш,ими свойствами // Докл. РАН. 1995. Т. 342, N 3Л С. 295-299.

4. Амосов А. А., Злотник А. А. Обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1997. Т. 354, N 4. С. 439-442.

5. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

6. Базалий Б. В. Задача Стефана // Докл. АН УССР. Серия А. 1986. N 11. С. 3-7.

7. Базалий Б. В., Дегтярев С. П. О классической разрешимости многомерной задачи Стефана при конвективном движении вязкой несжимаемой жидкости // Мат. сборник. 1987. Т. 132, N 1. С. 3-19.

8. Базалий Б. В., Шелепов В. Ю. Об асимптотическом поведении решения одной задачи Стефана // Докл. АН УССР. Серия А. 1978. N 12. С. 1059-1061.

9. Бахвалов Н. С, Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

10. Белов С. Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. Вып. 56. С. 22-43.

11. Белов С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып. 59. С. 23-38.

12. Белов С. Я. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып. 60. С. 34-50.

13. Бородин М. А. О разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, N 5. С. 1040-1042.

14. Бородин М. А. Суш;ествование классического решения в многомерной задаче Стефана на конечном промежутке времени // Укр. ма-тем. журн. 1992. Т. 44, N 12. С. 1652-1657.

15. Вайгант В. А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 3-21.

16. Вайгант В. А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа / / Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 101. С. 31-52.

17. Вайгант В. А. Проблема суш,ествования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред // Дисс. на соиск.уч. степени д.ф.-м.н- / Мин. ОПО РФ. Барнаул. Алтайский гос. ун.-т. 1998.

18. Вайгант В. А. Пример несуществования "в целом" по времени решеи и xx /—1 и и иний уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости // Докл. РАН. 1994. Т. 339, N 2. С. 155-156.

19. Вайгант В. А. К вопросу о разрешимости "в целом" краевой задачи для уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости // Актуальные проблемы современной математики: Сб. науч. тр. / Новосибирск: Изд-во НИИ МИСС НГУ, 1995. Т. 1. С. 43-51.

20. Вайгант В. А., Кажихов А. В. Глобальные решения уравнений по--тенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, N 6. С. 10101022.

21. Вайгант В. А., Кажихов А. В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, N 6. С. 1283-1316.

22. Вайгант В. А., Кажихов А. В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Докл. РАН. 1997. Т. 357, N 4. С. 445-448.

23. Вайгант В. А., Папин А. А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1987. Вып. 79. С. 3-9.

24. Вольперт А. И., Худяев С. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87, N 4. С. 504-528.

25. Гинзбург В. Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и макроскопической теории сегнетоэлектриков // ФТТ. 1960. Т. 2, N 9. С. 2031-2043.

26. Гу Лянь-Кун. О поведении решения задачи Стефана при неограниченном возрастании времени // Докл. АН СССР. 1961. Т 138, N2. С. 263-266.

27. Данилов В. Г., Омельянов Г. А., Радкевич Е. В. Асимптотика решения системы фазового поля и модифицированная задача Стефана // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, N 3. С. 483-491.

28. Данилов В. Г., Омельянов Г. А., Радкевич Е. В. Обоснование асимптотики решения системы фазового поля и модифицированная задача Стефана // Мат. сборник. 1995. Т. 186, N 12. С. 62-80.

29. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, Вып. 5. С. 133-185.

30. Даниэлян Ю. С, Яницкий П. А. О кинетике замерзания воды во влажных грунтах // Изв. СО АН СССР, сер. техн. наук. 1979. Вып.3,N 13. С. 89-92.

31. Даниэлян Ю. С, Яницкий П. А. Особенности неравновесного перераспределения влаги при промерзании и оттаивании дисперсных грунтов // ИФЖ. 1983. Т. 44, N 1. С. 91-98.

32. Злотник А. А. Об уравнениях движения вязкого баротропного газа при наличии массовой силы // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, N 5. С. 62-79.

33. Злотник А. А. К оценкам решений разностных уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Изв. ВУЗов. Математика. 1994. N 9. С. 49-59.

34. Злотник А. А. О свойствах разностной схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 101. С. 58-68.

35. Злотник А. А., Нгуен Жа Бао. К поведению при í —> со решений-одной квазилинейной нестационарной задачи со свободными границами // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, N 6. С. 1080-1082.

36. Злотник А. А., Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическре поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баротропного газа // Матем. заметки. 1994. Т. 55, N 5. С. 51-68.

37. Кажихов А. В. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1975. Вып. 21. С. 18-47.

38. Кажихов А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 24. С. 45-61.

39. Кажихов А. В. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 26. С. 60-76.

40. Кажихов А. В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 38. С. 33-47.

41. Кажихов А. В. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N 4. С. 662-667.

42. Кажихов А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. Вып. 50. С. 37-62.

43. Кажихов А. В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат журн. 1982. Т. 23, N 1. С. 60-64.

44. Кажихов А. В. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственность и стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, N 3.0.70-80.

45. Кажихов А. В., Калиев И. А. Корректность одной модели фазового перехода газ — твердое тело. Новосибирск, 1999. 32 С. (Препр. / Мин ОНО РФ. НИИ Дискретной математики и информатики. N 43).

46. Кажихов А. В., Николаев В. Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, N 5. С. 1045-1047.

47. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, N 2. С. 282-291.

48. Калиев И. А. Двухфазная задача Стефана с однородными краевыми условиями / /В кн.: Материалы XIX Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. Новосибирск: Изд-во Но-восиб. ун-та, 1981. С. 35-39.

49. Калиев И. А. Одномерная многофронтовая задача Стефана // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 67. С. 37-52.

50. Калиев И. А. К вопросу о структуре обобщенных решений одномерной задачи Стефана // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вьш. 68. С. 92-96.

51. Калиев И. А. Качественные свойства решений одномерной задачи Стефана // Дисс. на соиск. уч. степени к.ф.-м.н. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1985.

52. Калиев И. А. Корректность одной задачи линейной термоупругости // Актуальные проблемы современной математики: Сб. науч. тр. / Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1995. Т. 1. С. 67-72.

53. Калиев И. А. Математическое моделирование фазовых превраще--НИИ в упругих средах // Тезисы докл. Ш-й Всероссийской конф. "Ползучесть в конструкциях", Новосибирск: ИГиЛ. 1995. С. 24.

54. Калиев И. А. Математическое моделирование фазовых превращений в упругих средаАх // ПМТФ. 1996. Т. 37, N 1. С. 64-72.

55. Калиев И. А. Некоторые точные решения системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1999. Вьш. 114. С. 40-42.

56. Калиев И. А. Глобальная разрешимость одной задачи, моделирующей фазовый переход газ — твердое тело / / Динамика сплошнойсреды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 36-41.

57. Калиев И. А. Одномерные изотермические решения системы уравнений вязкого газа // Сб. науч. тр. / МО. Новосибирский военный ин-т. 2000. Вып. 9. С. 64-68.

58. Калиев И. А. Глобальная разрешимость одной задачи, моделирующей фазовый переход газ — твердое тело // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 36-41.

59. Калиев И. А. Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело — сжимаемая жидкость // Сибирский журнал индустриальной математики. 2000. Т. 3, N 2(6). С. 97-114.

60. Калиев И. А., Мейрманов А. М. О структуре обобщенного решения одномерной задачи Стефана // Динамика сплошной среды: Сб. на- -уч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 64. С. 24-47.

61. Калиев И. А., Мейрманов А. М. Задача Стефана с одной пространственной переменной // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, N 4. С. 861865.

62. Калиев И. А., Мухамбетжанов С. Т., Разинков Е. Н. Задача Стефана с фазовой релаксацией // Тезисы докл. УП-й Всесоюзной, школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Барнаул: АГУ. 1989. С. 37.

63. Калиев И. А., Разинков Е. Н. Об одной задаче Стефана с фазовой релаксацией // Тезисы докл. У1-й Республ. конф. "Нелинейные задачи математической физики", Донецк. 1987. С. 57.

64. Калиев И. А., Разинков Е. Н. Об одной задаче Стефана с фазовой релаксацией // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, N 2. С. 272-276.

65. Калиев И. А., Разинков Е. Н. О задаче Стефана с фазовой релаксацией // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1989. Вып. 91. С. 21-36.

66. Калиев И. А., Сабитова Г. С. Осреднение процесса фазовых переходов в многомерных неоднородных периодических средах // Докл. СО АН ВШ. 2000. N 1. С. 18-25.

67. Калиев И. А., Сабитова Г. С. Новый метод доказательства теоремы единственности классической задачи Стефана // Сб. науч. тр. / МО. Новосибирский военный ин-т. 2000. Вып. 9. С. 39-50.

68. Калиев И.А., Сабитова Г. С. Осреднение процесса фазовых переходов в многомерных неоднородных периодических средах // ПМТФ. 2001. Т. 42, N 1. С. 102-107.

69. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана // Научн. докл. высш. школы. Физ.-мат. н. 1958. N 1. С. 60-62.

70. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана // Мат. сб. 1961. Т. 53, N 4. С. 489-514.

71. Капель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, N 4. С. 721734.

72. Капель Я. И. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, N 2. С. 293-306.

73. Кейльман Н. Э. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависяш,ей от плотности // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1987. Вып. 79. С. 36-44.

74. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.

75. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

76. Костиков А. А. Термодиффузионная задача Стефана при наличии конвекции // Украинский математический журнал. 1992. Т. 44, N 2. С. 269-274.

77. Кронрод А. С, Ландис Е.М. О множествах уровня функций многих переменных // ДАН СССР 1947. Т. 58, N 7. С. 1269-12??.

78. Кронрод А. С. О функциях двух переменных // Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, Вып. 1. С. 24-134.

79. Кузнецов Б. Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа. Новосибирск, 1982. 45 С. (Препр. / СО АН СССР, Ин-т теор. и прикл. мех. N 17).

80. Кулагина Н. А. Однофазная задача Стефана с учетом движения среды в жидкой фазе // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып. 72. С. 36-49.

81. Кулагина Н. А. Задача Стефана для системы уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1986. Вып. 76. С. 101-110.

82. Кучер Н. А. О методе слабой аппроксимации для многомерных уравнений газовой динамики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 51-62.

83. Кучер Н. А. Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщепления для многомерных уравнений газовой динамики // Труды семинара СЛ. Соболева: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1991. Части 1, 2. N 1. С. 47-69.

84. Кучер Н. А. О сходящейся схеме расщепления для многомерных уравнений вязкого газа // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320, N 6. С. 1315-1318.

85. Кучер Н. А. Об обосновании разностных схем расщепления для многомерных уравнений газовой динамики // Динамика сплошнойсреды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 101. С. 69-84.

86. Кучер Н. А. Метод слабой аппроксимации для уравнений вязкого газа. Новосибирск: НГУ, 1992.

87. Кучер Н. А. Разностные схемы расщепления для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. Новосибирск: НГУ, 1992.

88. Кучер Н. А. Исследование неявной схемы расщепления для многомерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. -Ин-т гидродинамики. 1993. Вып. 107. С. 73-84.

89. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967,

90. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. 1937. Т. 7, N 7. С. 19-37.

91. Мамонтов А. Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, N 5. С. 11171131.

92. Мамонтов А. Е. Пространства Орлича в проблеме существования глобальных решений многомерных уравнений вязкой сжимаемой нелинейной жидкости // Дисс. на соиск. уч. степени к.ф.-м.н. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1997.

93. Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов теплопереноса. М.: Наука, 1987.

94. Маслов В. П., Данилов В. Г., Мясников В. П. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. М.: Наука, 1987.

95. Маслов В. П., Мосолов П. П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука, 1990.

96. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

97. Мейрманов А. М. Многофазная задача Стефана для квазилинейных параболических уравнений // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1973. Вып. 13. С. 74-86.

98. Мейрманов А. М. О классической разрешимости задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1979. Т. 249, N 6. С. 1309-1312.

99. Мейрманов А. М. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений // Мат. сб. 1980. Т. 112, N 2. С. 170-192.

100. Мейрманов А. М. Пример несуществования классического решения задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258, N 3. С. 547-549.

101. Мейрманов А. М. Структура обобщенного решения задачи Стефана. Периодические решения // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, N 4. С. 789-791.

102. Общее мерзлотоведение. /Под редакцией В. А. Кудрявцева. М.: Изд-во МГУ, 1978.

103. Овсянников Л. В. Введение в механику сплошных сред. Ч. 2. Новосибирск: НГУ, 1977.

104. Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1960. Т. 135, N 5. С. 1054-1057.

105. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, N 3. С. 461-471.

106. Пухначев В. В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников // Труды семинара СЛ. Соболева: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1976. N 2. С. 69-82.

107. Пухначев В. В. Возникновение особенностей в решении задачи сте-фановского типа // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, N 3. С. 492-500.

108. Радкевич Е. В. О разрешимости общих нестационарных задач со свободной границей // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1986. С. 85-111.

109. Радкевич Е. В. Об операторных пучках контактных задач со свободной границей // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1988. Вып. 86. С. 79-87.

110. Радкевич Е. В. Об асимптотических решениях системы фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, N 3. С. 487-500.

111. Радкевич Е. В., Меликулов А. С. О разрешимости двухфазной квазистационарной задачи кристаллизации // Докл. АН СССР. 1982. Т. 256, N 1.

112. Радкевич Е. В., Меликулов А. С. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент: Фан, 1988.

113. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. Под ред. П. Я. Полубариновой-Кочиной. М.: Наука, 1969.

114. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967.

115. Рысбаев Б. Р., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, N 3. С. 558559.

116. Смагулов Ш. Об устойчивости разностных схем для модели Бюр-герса // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. Вып. 57. С. 77-89.

117. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, N 1. С. 31-34.

118. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа в переменных Эйлера // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, N 3. С. 553-556.

119. Смагулов Ш. Устойчивые разностные схемы для модели вязкого газа // Вестник АН КазССР. 1985. N 7. С. 60-62.

120. Смагулов Ш., Жанасбаева У. Б. Оценки решения разностной схемы для уравнений баротропного газа с переменной вязкостью // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, N 5. С. 1066-1068.

121. Смагулов Ш., Жанасбаева У. Б. Приближенные методы уравнений теплопроводного газа с переменной вязкостью // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат 1988. N 1. С. 48-51.

122. Солонников В. А, О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128-142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т. 56).

123. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981.

124. Терсенов А. С. Задача об истечении вязкого газа в вакуум // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып. 69. С. 82-95.

125. Троцкая О. В. Исследование разностной схемы расщепления для уравнений движения вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, N 2, С. 424-432.

126. Троцкая О. В. О сходящейся схеме расщепления для многомерных уравнений вязкого газа. Часть 3. Кемерово: Изд-во КемГУ, 1994.

127. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

128. Фролов А. Д. Электрические и упругие свойства криогенных пород. М.: Недра, 1966.

129. Хуснутдинова Н. В. О поведении решений задачи Стефана при неограниченном возрастании времени // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1969. Вып. 2. С. 168-177.

130. Шелухин В. В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1978. Вып. 33. С. 134-146.

131. Шелухин В. В. Периодические течения вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 42. С. 80-102.

132. Шелухин В. В. Суш,ествование периодических решений обобш,енной системы Бюргерса // Прикл. математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 6. С. 992-997.

133. Шелухин В. В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. Вьш. 44. С. 147-162.

134. Шелухин В. В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. Вып. 57. С. 131-152.

135. Шелухин В. В. Эволюция контактного разрыва в баротропном течении вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 870-872.

136. Шелухин В. В. О структуре обобш;енных решений одномерных уравнений политропного вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 912-920.

137. Шелухин В. В. Краевые задачи для уравнений баротропного вязкого газа с неотрицательной плотностью // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1986. Вьш. 74. С. 108-125.

138. Шелухин В. В. Распространение начальных возмущений в вязком газе // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, N 2. С. 211-216.

139. Шелухин В. В. Об одном классе сдиговых течений вязкой сжимаемой жидкости // ПМТФ. 1996. Т. 37, N 4. С. 50-56.

140. Шмулев Н. И. Периодические решения первой краевой задачи для параболических уравнений // Мат. сб. 1965. Т. 66. N 3. С. 398-410.

141. Эдварде. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.

142. Atthey D. R. А finite difference scheme for melting problems / / J . Inst. Math. Appl. 1974. V. 13. P. 353-366.

143. Atthey D. R. A finite difference scheme for melting problems based on the method of weak solutions // Proc. Symposium on moving boundary problems in heat flow and diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1975. P. 182-191.

144. Beirao da Veiga H. Long time behavior for one dimensional motion of a general barotropic fluid // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1989. V. 108, N 2. P. 141-160.

145. Beirao da Veiga H. The stability of one dimensional stationary flows of compressible viscous fluids // Ann. Inst. Henry Poincare. Anal. Non Lineare. 1990. V. 7. P. 259-268.

146. Belov S. Ya. On the initial-boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries / / J . Math. Kyoto Univ. 1994. V. 34, N 2. P. 369-389.

147. Berger A. E., Brezis H., Rogers J. C. W. A numerical method for solving the problem Ut A/(w) = 0 // RAIRO, Analyse Numérique. 1979. V. 13. P. 297-312.

148. Bernardi C, Pironneau 0. On the shallow water equation at low Reynolds number // Comm. Partial Differential Equations. 1991. V. 16, N 1. P. 59-104.

149. Bertsch M., de Mottoni P., Peletier L. A. Degenerate difussion and the Stefan problem. Leiden, 1983. (Preprint / Mathematical Institute of Leiden, The Netherlands. N 20).

150. Bertsch M., de Mottoni P., Peletier L. A. The Stefan problem with heating: appearance and disappearance of a mushy region. Leiden, 1984. (Preprint / Mathematical Institute of Leiden, The Netherlands. N 18).

151. Caffarelly L. A. The smoothness of the surface in a filtration problem // Arch. Rat. Mech. Anal. 1976. V. 63, N 1. P. 77-86.

152. Caffarelly L. A. The regularity of elliptic and parabohc free boundaries // Bull. Amer. Math. Soc. 1976. V. 82. P. 616-618.

153. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V. 92. P. 205-245.

154. Caginalp G. Stefan and Hele-Shaw type models as asymtotic limits of the phase-field equations // Physical Review A. 1989. V. 39, N 11. P. 5887-5896.

155. Caginalp G. The dynamics of a conserved phase field system: Stefanlike, Hele-Shaw and Cahn-Hilliard models as asymtotic Umits // IMA Journal of Appl. Math. 1990. V. 44. P. 77-94.

156. Cannon J. R., DiBenedetto E., Knightly G. K. The bidimensional Stefan problem with convection: the time dependent case // Comm. Part. Diff. Equations. 1983. V. 8. P. 1549-1604.

157. Cannon J. R., Douglas J., Hill C. D. A multi-boundary Stefan problem and the disappearance of phases / / J . Math. Mech. 1967. V. 17. P. 21-33.

158. Cannon J. R., Henry D. B., Kotlov D. B. Continious differentiability of the free boundary for weak solution of the Stefan problem // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. V. 80. P. 45-48.

159. Cannon J. R., Henry D. B., Kotlov D. B. Classical solutions of the one-dimensional two-phase Stefan problem // Ann. Math. Pur a Appl. 1975. V. 107. P. 311-341.

160. Cannon J. R., Hill C. D. Existence, uniqueness, stability, and monotone dependence in a Stefan problem for the heat equation / / J . Math. Mech. 1967. V. 17. P. 1-19.

161. Cannon J, R., Hill C. D., Primicerio M. The one-phase Stefan problem for the heat equation with boundary temperature specification // Arch. Rat. Mech. Anal. 1970. V. 39. P. 270-274.

162. Cannon J. R., Primicerio M. A two-phase Stefan problem with temperature boundary conditions // Ann. Math. Pura Appl. 1971. V. 88. P. 177-191.

163. Cannon J. R., Primicerio M. A two-phase Stefan problem with flux boundary conditions // Ann. Math. Pura Appl. 1971. V. 88. P. 193205.

164. Dacorogna B. Weak continuity and weak lower semicontinuity of nonlinear functionals. N.Y.: Springer-Verlag, 1982. (Lect. Notes in Math.; N 922).

165. Damlamian A. How to gomogenize a nonhnear diffusion equation: Stefan's problem // SIAM J. Math. Anal. 1981. V. 12, N 3. P. 306-313.

166. Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A. Mathematical modelling of Heat and Mass Transfer. Kluwer Academic Pubhsher, 1995.

167. Devonshire A. F. Theory of ferroelectrics // Adv. phys. 1954. V. 3, N 10. P. 85-130.

168. DiBenedetto E., Friedman A. Conduction-convection problem with a change of phase // J. Differential Equations. 1986. V. 62. P. 129-185.

169. DiBenedetto E., O'Leary M. Three-dimensional conduction-convection problem with change of phase // Arch. Rat. Mech. Anal. 1993. V. 123. P. 99-116.

170. Duvant M. G. Résolution d'un problème de Stefan //CR. Acad. Sc., Paris. 1973. V. 276, ser. A. P. 1461-1463.

171. Falk F. Ginsburg-Landau theory of static domain walls in shape-memory alloys // Z. Phys. 1983. Bd 51. P. 177-185.

172. Falk F. Elastic phase transitions and nonconvex energy functions // Free Boundary Problems: Theory and Applications. 1988. V. 1. (Research Notes in Math. Ser. 185). P. 45-59.

173. Falk F., Konopka P. Three-dimensional Landau theory describing the martensitic phase transitions of shape memory alloys / / J . Phys. Condens. Matter. 1990. N 2. P. 61-77.

174. Fasano A., Primicerio M. A parabolic-hyperbolic free boundary problem: mushy region with variable temperature in melting processes. Florence, 1982. (Preprint / Universita degli studi di Firenze, Instituto Matemático <UUsse Dini>. N 4).

175. Feireisl E. On the data dependence of solutions to the Navier-Stokes equations of compressible flow // Inst. Math. Czech. Akad. 1998.

176. Fridman A. One dimensional Stefan problem with nonmonotone free boundary // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 133. P. 89-114.

177. Fridman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem // Indiana Univ. Math. J. 1975. V. 24. P. 1005-1035.

178. Graff] D. II teorema di unicitá nella dinámica dei fluidi compressibli // J. Rat. Mech. Anal. 1953. V. 2. P. 99-106.

179. Hanzawa E. I. Classical solution of the Stefan problem // Tohoku Math. J. 1981. V. 33. P. 297-335.

180. Hoff D. Global existence for 1-d, compressible, isentropic Navier-Stokes equations with large initial data // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 303, N 1. P. 169-181.

181. Hoff D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow with discontinuous initial data // J. Diff. Equat. 1995. V. 120. P. 215-254.

182. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. V. 114. P. 15-46.

183. Hoff D. Global well-posedness of the Cauchy problem for nonisentropic gas dynamics with discontinuous initial data / / J . Diff. Equat. 1992. V. 95. P. 33-74.

184. Hoff D., Tau-Ping Liu. The inviscid limit for the Navier-Stokes equations of compressible, isentropic flow with shock data // Indiana. Univ. Math. J. 1989. V. 38, N 4. P. 861-915.

185. Hoff D., Serre D. The failure of continuous dependence on initial data for Navier-Stokes equations of compressible flow // SI AM J. Appl. Math. 1991. V. 51. P. 887-898.

186. Hoffmann K.-H., Starovoitov V. N. Phase transitions of liquid-liquid type with convection // Advances in Mathematical Sciences and Apphcations. 1998. V. 8. P. 185-198.

187. Itaya N. The existence and uniquiness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow // Proc. Japan Acad. 1970. V. 46, N 4. P. 379-382.

188. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // J. Math. Kyoto Univ. 1974. V. 14, N 1. P. 129-177.

189. Itaya N. A servey on the generahzed Burger's equation with a pressure model term // J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16, N 1. P. 223-240.

190. Kaliev I. A. Nonequihbrium phase transitions in frozen grounds // International Series of Numerical Mathematics. 1992. V. 106. P. 141147.

191. Kaliev I. A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem // Abstracts of the Int. Conf. Mathematics in Applications, Novosibirsk, 1999. P. 79.

192. Kaliev I. A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas-sohd phase transition problem // J. of Math. Fluid Mech. 1999. V. 1, N 3. P. 282-308.

193. Kaliev I. A. Global solutions of a gas-solid phase transition problem // IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Тез. докл. Ч. I, Новосибирск, 2000. С. 26-27.

194. Kawashima S., Nishida T. Global solutions to the initial value problems of the one-dimensional motion of viscous polytropic gases / / J . Math. Kyoto Univ. 1981. V. 21. P. 825-837.

195. Kinderlehrer D., Nirenberg L. The smoothness of the free boundary in the one phase Stefan problem // Comm. Pure. Appl. Math. 1978. V. 31. P. 257-282.

196. Korteweg D. J. Sur la forme que prennent les equations des movement des fluides si l'on tient comple des forces capillaires par des variations de densité // Arch. Neerl. Sci. Exactes. Nat. Ser. II. 1901. N 6. P. 1-24.

197. Lamé G., Clapeiron B. P. Mémoire sur la solidification par refroidissement d'un globe solide // Ann. de Chem. et de Phys. 1831. V. 47. P. 250-256.

198. Li-Shang J. Existence and differentiability of the solution of the two-phase Stefan problem for quasilinear parabolic equation // Chinise Math. 1965. V. 7. P. 481-496.

199. Lions P .L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. V. 2. Compressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1998.

200. Lions P. L. Existence globale de solutions pour les é quations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C.R.Acad. Sei. Paris. 1993. V. 316. P. 1335-1340.

201. Lu Min, Kazhikhov A. V. Seiji Ukai. Global solutions to the Cauchy problem of the Stokes approximation equations for two-dimensional compressible flow // Science Bull, of Josai Univ. Sp. Issue. 1998. N 5.-P. 155-174.

202. Lukaszewics G. An existence theorem for compressible viscous and heat conducting fluids // Math. Meth. Appl. Sei. 1984. V. 6. P. 234-247.

203. Magenes E. Problemi di Stefan bifase in piu variabili spaziaU //Le Matematiche. 1981. V. 36. P. 65-108.

204. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases // J. Math. Kyoto Univ. 1980. V. 20, N 1. P. 67-104.

205. Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids // Comm. Math. Phys. 1983. V. 89. P. 445-464.

206. Matsumura A., Nishida T. Periodic solutions of a viscous gas equations // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1989. V. 10. P. 49-82.

207. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive fluids // Proc. Japan Acad. Ser. A. 1979. V. 55. P. 337-342.

208. Meirmanov A. M., Kaliev I. A. One-dimensional Stefan problem with an arbitrary initial enthalpy. Periodical solutions // Free Boundary Problems: Applications and Theory. 1985. V. III. (Research Notes in Math. Ser. 120). P. 40-49.

209. Meirmanov A. M., Pukhnachev V. V., Shmarev S. I. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. N. Y.: Walter de Gruyter, 1997.

210. Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary // J. Diff. Equat. 1986. V. 65. P. 49-67.

211. Nagasawa T. On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas // Japan J. Appl. Math. 1988. V. 5. P. 53-85.

212. Nagasawa T. On the one-dimensional free boundary problem for the heat-conductive compressible viscous gas // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1989. V. 10. P. 83-99.

213. Nagasawa T. Global asymptotics of the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas with stress-free conditions // Quart. Appl. Math. 1988. V. 46, N 4. P. 665-679.

214. Nash J. Le problème de Cauchy pour les equations différentielles d'un fluide general // Bull. Soc. Math. France. 1962. V. 90. P. 487-497.

215. Niezgddka M. Stefan-like problems // Free Boundary Problems: Theory and Applications. 1983. V. II. (Research Notes in Math. Ser. 79). P. 321-347.

216. Niezgô dka M., Sprekels J. Existence of solutions for a mathematical model of structural phase transitions in shape memory alloys // Math. Meth. Appl. Sci. 1988. N 10. P. 197-223.

217. Okada M., Kawashima S. On the equations of one-dimensional motion of compressible viscous fluids / / J . Math. Kyoto Univ. 1983. V. 23. P. 55-71.

218. Oleinik O. A., Primicerio M., Radkevich E. V. Stefan-like problems // Meccanika. 1993. P. 129-143.

219. Omel'yanov G. A., Danilov V. G., Radkevich E. V. Asymptotic solution of the conserved phase field system in the relaxation case // Euro. Journal of Appl. Math. 1998. V. 9. P. 1-21.

220. Padula M. Existence of global solutions for two-dimensional viscous compressible flows / / J . Func. Anal. 1986. V. 69, N 1. P. 1-20.

221. Plotnikov P. I., Starovoitov V. N. Stefan problem with surface tension as a limit of the phase field model // Intern. Series of Numerical Math. 1992. V. 106. P. 263-270.

222. Primicerio M. Mushy region in phase-change problem // In: Applied Nonlinear Functional Analysis / Lang. Frankfurt/Main. 1982. P. 251269.

223. Rodrigues J. F. A steady-state Boussinesq-Stefan problem with continuous extraction. // Ann. Mat. Pura Appl. 1986. N 144. P. 203-218.

224. Roubicek T. The Stefan problem in heterogeneous media // Ann. Inst. Henri Poincare. 1989. V. 6, N 6. P. 481-501.

225. Secchi P., VaUi A. A free boundary problem for compressible viscous fluids // J. Reine und Angew. Math. 1983. V. 341. P. 1-31.

226. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densité d'un fluide visqueux compressible // Physica. Ser. D. 1991. V. 48. P. 113-128.

227. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V. 3, N 3. P. 271-288.

228. Soner H. M. Convergence of the phase-field equations to the Mullins-Sekerka problem with kinetic undercooling // Arch. Rational Mech. AnaL 1995. V. 131. P. 139-197.

229. Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas / / J . Diff. Equat. 1994. V, 110. P. 157-181.

230. Sprekels J. Global existance for thermomechanical processes with nonconvex free energies of Ginsburg-Landau form / / J . Math. Anal. Appl. 1989. V. 141. P. 333-348.

231. Stedry M., Vejvoda O. Time periodic solutions of a one-dimensional two-phase Stefan problem // Ann. mat. pura et appl. 1981. V. 127. P. 67-78.

232. Stefan J. Über einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 473-484.

233. Stefan J. Über die Diffusion von Sären und Basen gegen einander // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 614-634.

234. Stefan J. Über die Theorie der Eisbildung, insbesonders über die Eisbildung in Polarmeere // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 965-983.

235. Stefan J. Uber die Verdampfung und die Auflösung als Vorg"ange-der Diffusion // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 1418-1442.

236. Sträskraba L, Valli A. Asymptotic behaviour of the density for one-dimensional Navier-Stokes equations // Manuscr. Math. 1988. V. 62, N 4. P. 62-79.

237. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sei. Kyoto Univ. 1977. V. 13, N 1. P. 193-253.

238. Tani A. The initial value problem for the equations of the motion of general fluid with general slip boundary condition // Kyoto Univ. RISM. 1990. V. 734. P. 123-142.

239. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sei. Kyoto Univ. 1974. V. 10, N 1. P. 209-233.

240. Tarzia D. A. A Bibliography on Moving-Free Boundary Problems for the Heat Diffusion Equation. The Stefan Problem. Prog. Naz. M.P.I. Italy, Firenze. 1988.

241. Ughi M. A melting problem with a mushy region: qualitative properties. Florence, 1983. (Preprint / Instituto Matemático <Uhsse Dini>. N 1982-83/11).

242. Valh A. An existence theorem for compressible viscous fluids // Ann. Mat. Pura. Appl. 1982. V. 130, N 4. P. 197-213.

243. Valli A. On the existence of stationary solutions to compressible Navier-Stokes equations // Ann. Inst. Henry Poincaré. Anal. Non Lineare, 1987. V. 4. P. 99-113.

244. Van der Waals J. D. Die Kontinuität des gasförmigen und flüssigen Zustandes: Thesis Leiden. 1873.

245. Van der Waals J. D. The thermodynamic theory of capillarity flow under the hypothesis of a continuous variation of density (in Dutch) // Verhandel. Konink. Akad. Weten. Sect. 1. 1893. V. 1, N 8.

246. Visintin A. Models of phase transitions // Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. 1996. V. 28. Boston: Birkhaeuser.

247. Visintin A. Stefan problem with phase relaxation // I.M.A. J. Appl. Math. 1985. V. 34. P. 225-245.

248. Visintin A. A new model for supercooling and superheating effects // I.M.A. J. Appl. Math. 1986. V. 36. P. 141-157.

249. Visintin A. Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary // Ann. Mat. Pura Appl. 1987. V. 146. P. 97-122.

250. Visintin A. Supercooling and superheating effects in heterogeneous systems // Quart. Appl. Math. 1987. V. XLV. P. 239-263.

251. Zarnowski R. Existence, uniqueness and computation of solutions for mixed problems in compressible fluid flow // J. Math. Anal, and Appl. 1992. V. 169, N 2. P. 239-263.

252. Zarnowski R., Hoff D. A finite-difference scheme for the Navier-Stokes equations of one-dimensional, isentropic, compressible flow // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 28. P. 78-112.

253. Zhao J. Convergence and error-bound analysis for mixed problems in compressible flow // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1994. V. 15, N 1&:2. P. 187-198.

254. Zhouping X i n. Blow-up of smooth solutions to the compressible Navier-Stokes equations with compact density // Inst, of Mathematical S. New York Univ. 1997.