Разностные схемы для уравнений одномерного движения вязких сжимаемых теплопроводных сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Вестфальский, Алексей Евгеньевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Вестфальский Алексей Евгеньевич
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ТЕПЛОПРОВОДНЫХ СРЕД
Специальность 01.01.07 - Вычислительная математика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2004
Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского энергетического института (технического университета)
Научный руководитель:
доктор физ.-мат. наук, профессор Амосов Андрей Авенирович
Официальные оппоненты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Эглит Маргарита Эрнестовна кандидат физ.-мат. наук, доцент Попов Анатолий Вадимович
Ведущая организация:
Институт математического моделирования РАН.
Защита состоится "_"_2004 года в_
часов на заседании диссертационного совета К212.157.01 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 17, в аудитории М-710а.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 17.
Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) на автореферат просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).
Автореферат разослан "_"_
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент_
2004 г.
Григорьев В.П.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1)
Актуальность темы. Уравнения движения вязких сжимаемых сред (уравнения Навье-Стокса) относятся к основным моделям механики сплошной среды п давно являются объектом пристального изучения. Они представляют собой системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных составного типа. Сложность этих систем делает невозможным получение решений в явном виде, что приводит к необходимости развития численных методов их решения.
В настоящее время накоплеп большой опыт численного решения таких задач и имеются значительные достижения в теории численных методов, изложенные в монографиях Белоцерковского О.М. и Давыдова Ю.М., Ко-веня В.М. и Яненко Н.Н., Рождественского Б.Л. и Яненко Н.Н., Годунова С.К., Забродина А.В. и др., Роуча П., Самарского А.А. и Попова Ю.П., Шокина Ю.И. и Яненко Н.Н.. В то же время, в теории разностных схем для решения указанных задач остается много открытых вопросов, связанных с математически строгим обоснованием корректности методов.
Достаточно полно корректность разностных схем исследована только для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа, а также вязкого совершенного политропного газа. Этим вопросам посвящены работы Кузнецова Б.Г., Рысбаева Б.Р., Смагулова Ш., Туретаева И.Л., Штико-наса А, Попова А.В., Zamowski R., HofFD., Zhao J.. Наиболее законченные результаты получены в работах Амосова А.А. и Злотника А.А. В них выведены разностные аналоги законов сохранения, получены априорные оценки разностных решений "в целом" по времени, установлены существование, единственность и сходимость разностных решений, получен ряд оценок погрешности в различных нормах (в том числе в равномерной) в зависимости от гладкости исходных данных, рассмотрены вопросы стабилизации; охвачен случай негладких данных.
Уравнения динамики вязких сжимаемых сред с произвольными нелинейными функциями состояния и коэффициентами изучены гораздо меньше. Существование и единственность классических решений начально-краевых задач для уравнений движения вязкого реального газа установлены в работах Kawohl В., Okada M., Kawashima S., Song Jiang; для нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта - в работах Dafermos СМ., Hsiao L., Kim J.U. Существование глобальных обобщенных решений тех же задач в случае негладких данных доказано Амосовым А.А.
Бахваловым Н.С. и Эглит М.Э. была рассмотрена задача осреднения уравнении динамики вязкоупругой среды с быстроосциллирующими свойствами и выведена (па формальном уровне) система предельных уравне-
Работа выполнена при финансовой поддержке
I БИБЛИОТЕКА 1
I s^fem
ний. Несколькими годами позже к таким же уравнениям для баротропно-го газа пришел Serre D. Осредненная система получилась нестандартной, интегро - дифференциальной. Подобные уравнения сейчас принято называть двухмасштабными осредненными (Allaire G.). Строгое обоснование двухмасштабного осреднения было проведено в работах Амосова А.А. и Злотника А.А.
Построение и строгое обоснование методов численного решения двух-масштабных осредненных уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых сред связано с преодолением значительных трудностей. Первые результаты в этой области получены в работах Амосова А.А., Злотника А.А. и Титова Д.А.
Цель работы. Построение и исследование разностных схем для систем уравнений одномерной динамики вязкого реального газа и нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта с негладкими данными, а также для соответствующих двухмасштабных осредненных систем.
Общая методика исследования. В диссертации использованы идеи и методы теории нелинейных разностных схем, функционального анализа, теории обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Существенно использованы методы, разработанные Амосозым А.А. и Злотником А.А. для уравнений движения вязкого газа.
Основные результаты и их научная новизна. В работе получены следующие результаты.
Построена новая разностная схема для системы квазилинейных дифференциальных уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых тепло-проводящих сред.
В предположениях, соответствующих моделям вязкого реального газа и нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта, выведены априорные оценки разностных решений, доказаны существование и единственность решений разностной схемы, а также сходимость разностных решений к обобщенным решениям соответствующих начально-краевых задач.
Аналогичные результаты получены для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения вязкого реального газа и нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта. Кроме того, установлены новые результаты о существовании обобщенных решений начально-краевых задач для указанных систем двухмасштабных осредненных уравнений.
Все результаты получены в целом по времени и при произвольных больших негладких начальных данных.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты являются вкладом в теорию нелинейных разностных схем. Постро-
енные разностные схемы могут быть использованы при решении некоторых задач динамики вязкого газа и термовязкоупругости.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям МЭИ под руководством проф. Дубинского Ю.А. (2003 г.), научно-исследовательском семинаре академика РАН Бахвалова Н.С. (механико-математический факультет МГУ, 2003 г.), всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 2000 г.), совместных заседаниях семинара им. Петровского И. Г. и Московского Математического Общества (Москва, 2001 г.), летней школе "Итерационные методы и матричные вычисления" (Ростов-на-Дону, 2002 г.), а также международных конференциях студентов и аспирантов в МЭИ (1999, 2001, 2003 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 81 наименование, и трех приложений. Объем работы - 138 страниц, включая 19 страниц приложений.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткое изложение работы.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней ставятся начально - краевые задачи для системы уравнений движения сжимаемых сред, формулируются условия на коэффициенты, даются определения обобщенных решений и приводятся формулировки теорем о разрешимости в классе обобщенных решений, а также вводятся сетки и сеточные функции.
В § 1.1 вводятся необходимые обозначения и пространства. В работе используются изотропные и анизотропные пространства Лебега Lg(G) и
L4,ÁQ) (где q,r é [1,оо]) с нормами |M|t,(G) = (/u>?dG)1/<?, NU,.,(Gx£) =
G
HlMkífGjll^ (Ey скалярное произведение (v,w)a = ¡vwdG, класс M{Q)
положительных функций с конечной суммой норм | r¡ | ^^ — II^Hl^íq) + PAílUooW) + IIA'íIIq и банахово пространство Vq(Q) с нормой |Hlv,(Q) = HU,,o.(Q) + II^HU,«)- Дл* У е £i(°>T) вводится оператор (Ity)(t) =
}y(Qdt. Полагаем ||y||vu,M>(Q) = IMIv.wj+IMI^, где ft <Е (0,1), |Ы|^> =
sup [-y-^II^Wylli (£? )], IHIc = |MUS(G)- Пусть V[0,T] -пространст-0<7<Г
во функций ограниченной вариации на [0, Т] с нормой ¡|w|lv[o г] = sup |iu(f)|
[0,Т]
+var w. Пусть также F+ = max{F, 0}.
В том же параграфе ставится начально - краевая задача для системы уравнений одномерного движения вязкого реального газа. Оно описывается системой квазилинейных дифференциальных уравнений
(1) (2) (3)
Искомые функции T](x,t)tu(x,t),e(x,t) определены на Q = Qt = fl X (0,Т),
где fi = (О,-X"). Для производных использованы обозначения: D = gji-Dt = Выписанная система дополняется начальными и краевыми условиями
ЗГ
. П / V 1 Л V / V „
(4)
(5)
(6)
Входящие в систему величины имеют следующий физический смысл: х - лагранжева массовая координата, £ - время; т],и И в - удельный объем, скорость и абсолютная температура; е - удельная внутренняя энергия, р и р - плотность и давление, а и 7Г - напряжение и тепловой поток; V и А -коэффициенты вязкости и теплопроводности; д и / - плотности массовых сил и тепловых источников.
Предполагается, что коэффициенты уравнений удовлетворяют следующим условиям С\, Сг, где через с,(о), <4(0) обозначаются положительные функции параметра а > 1, а через с, С{ - положительные постоянные.
С\. Функция 1/(17) задана и непрерывна на К"*" = (0, сю). При всех а > 1 на[а-1,оо) верны н е р а вс^а)г <; 1^17)5 оме того, \(г}) =
МО/СЙС —> —оо при Г) -> 0+ и выполнено неравенство < с(т) +
+1)
5+
С2- Функции е(г7,0),р(17,0), А(»7,0) заданы и непрерывны на X К кроме того, функции е(т],в),р(т},9) дважды непрерывно дифференцируемы на , удовлетворяют неравенствам термо-
динамическому тождеству
еч(»7,0) = врд{т], 0) - р(т?,0) (7)
и условию
(8)
РМ) < сотГЧеМ) + 1) + ci
При всех а >1 для всех (*7,0) € [а_1,оо) X Ж"1" выполнены неравенства £iH(0 + 0r) <efo,0) <ci(a)(0 + 0^), (9)
-с2(а)(1 + вг+р) < < с2Нп)/ч, (10)
£з(а)(1 + О < А(г,,в) < Сз(о)(1 + в\ (и)
а для всех (т),в) € [а-1, а) X Ж"1" - неравенства
с5(а)(1 + Йг-1)<ее(г?,б) <с5(а)(1 + 02'-1) (13)
с показателями г е [1, оо), (3 € [0,оо),]3 е\/3,г + /3),г £ [г + (3,г + Р + 1).
Под обобщенным решением задачи (1) - (б) понимается тройка функций г = (Г],и,в) € №((}) X ^(ф) X VI(<Э), удовлетворяющая условиям: в > 0 почти всюду (п.в.) в <3, е(т),в) е Ь^С}), а = и(т])рОи - р(т},0) 6 Ь2{Я), 7г = \(т],в)рВв е Ьх{0) и такая, что:
1) уравнение = Ии удовлетворяется в 1/2(0)!
2) интегральные тождества
- (еМ),адо + (тг,Бф)а = (е°,^Ь=о)п + (<тОи + /,^довыполнены ДЛЯ всех (р, ф Е Сг(ф) таких, что у>\ 1=т = "Ф\1=т = 0, <р\х=о,х =
3) начальное условие т} |*=о = г)° выполнено в смысле пространства С([0,Т]; .¿^(П)), а краевые условия (5) выполнены в Ь2(0,Т) в смысле следов функции из ^(С).
В § 1.2 для системы (1) - (6) формулируются условия на коэффициенты уравнений, соответствующие модели термовязкоупругого тела, а именно, предполагается, что выполнены сформулированные выше условия С1; а функции е,р, А удовлетворяют следующим условиям С2.
С2. Функции е(т/,в),р(т),в),А (г?,в) заданы и непрерывны на х причем е(т},0) = 0. Ф у н кеЦ^й^р^,б)а ж д ы непрерывно дифференцируемы на (К+)2, удовлетворяют стандартному термодинамическому, тождеству (7), неравенству (8) и условию —Сз <р(т],в).
Существуют значения 0 < т\_ < т} < +оо такие, что для всех в 6 верны неравенства
рШ> о У^еад, р(т], б) < 0 Уг^.+схэ). (14)
При всех а > 1 для всех (т), в) 6 [о"*1, о] X выполнены неравенства (9) - (13) (с теми же показателями г, ¡3,(3, г) и неравенство
рМ)<г1(а)(1+07) (15)
с показателем s 6 [г, г + (/? + 1)/2).
Принципиальное отличие от модели реального газа здесь состоит в свойстве (14) функции состояния р(т],в): для реального газа давление р(г),в) всегда положительно, для упругого тела функция р(т},в) положительна при малых значениях т) и отрицательна при больших. Отметим также, что по сравнению с предположениями Сг, в предположениях С 2 появляется дополнительное условие (15) (а также изменяется область определения некоторых неравенств). Еще одним существенным отличием от случая реального газа является то, что ищется обобщенное решение со свойством в > 0 п.в. в Q (вместо в > 0). В остальном определение обобщенного решения совпадает с приведенным в § 1.1.
§ 1.3 посвящен сеточным функциям. В нем на отрезке П = [0,Х] вводятся сетки = {О = хо < xi < ••• < хп = X}, wh = ¡Dh \ {хо,х„}, ш1/2 = {®«-i/2 = (®t-i + ®«)/2,1 < г < я} с шагами hi = х, — Xj_i, где г - целый или полуцелый индекс. Сетка считается квазиравномерной в том смысле, что условие Nq1 < hi+\/hi < No, 1 < i < п выполнено для некоторого параметра Nq > 1. На отрезке [0,Т] вводятся сетки иГ = {0 = to < ti < • • • < tm = Т}, и? = шт- \ {¿о} с шагами Tj = tj - i_ 1. Пусть Тшах = max Tj.
1 <J<m
Пусть функция У< = У(х<) (где г - целый или полуцелый индекс) задана на одной из сеток иД Вводятся разностные операторы 6Yi+i/2 = (Yi+1-Yi)/hi+1, shYi = (А*У<+1/2+А4+1Г,.1/а)/(2Л4+1/2)> shYi+l/2 = {Yi+l + Yi)/2. Для заданной на функции Y на wh определяются функции
= Yi-l/2, %),i = Vj+l/2-
Пусть функция Ф-7 = Ф(^) задана на сетке wT или шг. Вводятся разностные операторы = (Ф-7 - Ф7-1)/гу, /тФ* = £ ф'т*, 1ТФ° = 0,
v. v
Полагается также Ф7 = Ф,_1, 1 < j < m и Ф° = Ф°.
Пусть = [0,Xi/2), Qi = (Xj_1/2,Xi+1/2) (1 < i < n), = {xn-i/2,X\ и fi«-1/2 = (xj_i,Xj) (1 < i < n). Вводятся пространства кусочно-постоянных функций: 5Л(П) = {F | F(x) = F,1 на Пи 0 < i < n}, Sh(Q.) = {F | F{x) = Fi на fij, 1 < г < n}, 5f/a(fl) = {F | F(x) = на SU-1/2, 1 < » <
п}, а также пространства кусочно-постоянных функций со значениями в линейном пространстве С: 5Т ((0,Т];£) = (Ф|Ф(4) = Ф3 на (tj_i,tj], 1 < j < m}, ST ([0,T];£) = (Ф|Ф(0) = Ф°,Ф(4) = Ф* на < j < m}.
Здесь Ф7' е С, 0 < j < m.
Пусть 5Т(0,Т] = ST ((0,T];R), 5Т[0,Т] = ST ([0,T]j_R). Полагаем S^(Q) = 5т((0,Т];5а(П)), Sh'(Q) = S* ([0,Г];5А(П)), Shxf2{Q) = =7115^(11)), = ST([0,T];(П)).
В работе сеточные функции, заданные на сетках TDh, ш\/21 wT> отождествляются с их кусочно-постоянными восполнениями — элементами пространств 5Л(П), Sh(tt)t ^(Oj^l) 5Т[0,Т]. Это соглашение дей-
ствует и для сеточных функции, получающихся в результате применения сеточных операторов S, Ih, sh, sh, dt, /т, а также для функций, заданных на декартовых произведениях указанных сеток.
Вводятся также операторы проектирования пп : Z-i(fi) —> 5Л(П), : Li(Q) —> 5{y2(i)), тгт : Li(il) —> 5Т(0,Т], сопоставляющие заданной функции w ступенчатую функцию, которая на множествах 17, (г = 0, п), ft,_i/2 (г = 1 ,п), (t3-i,t}](j — 1,тп) равна соответствующим средним значениям функции w.
Для У 6 S"'r(Q),S^(Q) полагаем =
+ И^ЗДд + II^IIq, \\YI\v?-(Q) = II^IUiM).
!!V|lS/2>'T = sup ||y||v<x.v^((J) =
0<7<T 2
llyllv2'-(Q)+llril&/2>'T' где = Y(x,t+l)~Y(x,t)} 7т = 7+w
Помимо этого, в § 1.3 приводятся некоторые вспомогательные результаты о свойствах сеточных функций, используемые в дальнейшем.
Вторая глава посвящена исследованию нелинейной двухслойной разностной схемы (PC) для уравнений (1) - (3). В § 2.1 строится PC
dtH = SU в Q, (16)
dtU = 811 + G в Qh, 2 = M5U — Р в Q, (17)
dtE = Л1 + TiSU + a0^sh [(fttf)2] + F в Q, П = Шв Qh, (18)
A
я |t=o = н° на fi, и |t=0 = U° на il\ 0 |t=0 = 0° на ii, (19)
U\X=0 = U0, U\X=X = UX на [О,Г], (20)
-nUo=Xo, П|1=ЛГ=хх на(0,Т]. (21)
Здесь Qh = Qj. = ft'1 х (0, Т), Clh — (xi/2, £«-1/2)- Искомой является тройка
кусочнопостоянных функций Z = (Н,и,в) € х Sh-T(Q) х S^(£?).
1
В уравнениях (17), (18) используются величины М = / v(H^)/H^da
(где ЯМ = аЯ+(1-а)Я), Р = p{H,Q), Е = е(Я,0), Е = (M-rdMJSU-
Р, Мх = /(1-аМЯМ)/ЯН da; d = {Ux-U0)/V, V = \\H0\\Ll{n)+IT(Ux-0
и К = /Л(зЛЯ,6[а)) da/{shH) (где 0[а] = q0(+) + (1 - а)0(_}). Кроме
того, 0 < ао < 1, ао — параметр.
В § 2.2 изучается PC (16) - (21) при условиях на коэффициенты, соответствующих модели вязкого реального газа. В этом случае ищется решение, удовлетворяющее условиям Н > 0, 0 > 0.
Предполагается, что сеточные начальные и граничные данные, а также свободные члены уравнений удовлетворяют следующим условиям с параметром N > 1 (который может быть сколь угодно большим):
Ах. Я°,©° е 5*/2(П), и° € Щ,их е 5Т[0,Т], хо.Х* е 5т(0,т]; ЛГ"1 < Н° < Н, 0 <_©°, 0 < хо, 0 < хх, 0 < Ип + ||е(Я°, в0)^,^) < П, 11^11^(0,т) + 1№11ыо.т) + Ыи1(о,г) <N (а = 0,Х), +
IIII£-1 (С?) £ кроме того, выполнены условия согласования [7°(0) = IIо(0), и°(Х) = их{0) и условие < V = ||Я°||МП) + ~ Щ) на [0,Т].
А2. |КЯ°,е0)|и1(П) < N. где 5(77,0) = + +
Г)
/ Р(С) 1) ¿С - удельная энтропия системы. 1
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия С\, Сг, А\, А?. Пусть также со^_т < 1/2, (¿_ + с2)г < 1/2 и при сх ф 0 дополнительно ттах < т°(Лг). Тогда существует решение разностной схемы (16)-(21), и всякое ее решение 2 = (Я, 17, ©) удовлетворяет оценкам
^о(^)-1 < Я < А-о(^), Ц^ЯЦд < ВД, (22)
ИСГИ^М/»,^) + ||0||^>«э>.) < К(*0, Ц£||д < ОД, (23)
||0|и9о,го(д) < ВД). ||П||^1Г1 < ВД), (24)
||«Ю||д* < К{Ы) при 1 < /3, ¡¡¿©Ь,,,^) < Ке(ьI) при 0 < /? < 1 (25) а также оценкам
+ ^ (26)
с некоторым ц = р(г,г,/3,/3) 6 (0,1/2] и с любыми до, г о £ [г, оо], дьгх 6 [1,2], дг, € [1,2] такими, что г/да + ге/г0 = 1, г/дх +ге/г\ = г + ¡3 + 1, г/я2 + г£/г2 = г + 1, г£ = г + (3 + 1 - е, е <Е (0,1).
Если дополнительно N < Е° на П, где N > И, то К(Ы)~1 < 0 ка (}.
Через К(Ы) (с индексами и без) обозначаются различные положительные неубывающие функции параметра N > 1; они могут зависеть также от Х,Т, от функций с,,с,, постоянных с,с, показа а также
от параметра ЛГд из условия квазиравномерности сетки йР.
§ 2.3 содержит аналогичные результаты в случае модели термовязкоуп-ругого тела. Теперь ищется решение РС (17) - (22), обладающее свойствами Н > 0, 0 > 0. Устанавливается справедливость следующего результата.
Теорема 2.3.1. 1. Пусть выполнены условия Сь Сг и Пусть также сой_г < 1/2, (с/_ + С2)т < 1/2. Тогда существует решение 2 = (Н,и,&) РС (16) - (21) и всякое решение удовлетворяет оценкам (22) -(25).
2. Если выполнены условия п.1 и дополнительно Ц 1п < то справедливы оценки (26).
3. Если выполнены условия п.1 и дополнительно N 1 < Е° на П (где N > И), то К^)-1 < © но д.
Отметим, что теперь (в отличие от § 2.2) от начальных данных не требуется существования и суммируемости начальной энтропии. Набор основных доказываемых априорных оценок одинаков для обеих моделей рассматриваемых сплошных сред, однако, имеются некоторые принципиальные различия как в порядке получения этих оценок, так и в самих доказательствах. Так, с одной стороны, проще получается равномерная оценка удельного объема (22), но, с другой, отсутствие оценки начальной энтропии приводит к изменениям в выводе оценок (24), (25).
§ 2.4 посвящен сходимости рассматриваемой РС. Вводится обозначение РС1 для разностной схемы (16) - (21) с фиксированным значением параметра оо = 1 и с сеточными данными Н°,и°,Е°, иа,хТа (а = 0,Л'), (7, которые связаны с данными задачи.(1) - (6) следующим образом: Н° = т}°'Л = тг*/2»70; и° = и°-Л = А0 на П*. Ц° = ио(0) на П0, и° = их(0) на П„; Е° = е(Я°,0°) = тг^е0; 1/а = итае 5Т[0,Г], где иЦЬ,) = иа(*,) при
0 < 3 < Щ х1 = *тХа, О = 7ГЛ7ГТ5, F = 7Г^27ГТ/.
Снабдим верхними индексами Л, г сеточное решение РСх, а также другие сеточные функции, зависящие от него.
Теорема 2.4.1. Пусть выполнены условия С\, С2, А\, Лг или условия С\, С2, Тогда из произвольной последовательности Z'l'r=(.íГ',,r, С/'Л,Г, О*1'8) решений РС„ отвечающих ктах+ттах0, можно выделить подпоследовательность (сохраним за ней прежнее обозначение которая сходится к некоторому обобщенному решению г = (г],и,в) задачи (1) -(6) в следующем смысле:
Нн,т Г} б оо(<2) V? 6 [1, оо) и * -слабо в Ь^О), иКт->ив Ь,,г(0) Уде[1,оо],гб[1,оо),(2?)-1+г-1>1/4;
вь'т -4 в в Ь?0,Г0(д) € [1,оо],го е [1,оо),г/д0 + (г + /? + 1)/г0 > 1; Кроме этого, <ЮЛ'Г ХМ, ПН'Т тг, £к-г <г, А?, -»• -С
о
слабо в некоторых пространствах Лебега. Здесь Пл,г = Гг,т ка П'»-т = 0 «а д \
В § 2.5 изучается единственность разностных решений. По сравнению с результатами о разрешимости и сходимости, результат о единственности доказывается при более жестких условиях на коэффициенты уравнений, а в случае произвольного коэффициента теплопроводности \{г}, в) - еще и при дополнительном условии на начальную плотность. Этого усиления требований к начальным данным удается избежать, если коэффициент А(т],$) имеет специальный вид Доказываются следующие две
теоремы.
Теорема 2.5.1. Пусть выполнены условия Си С2, Аи А2 или условия Си С2, Ли причем неравенство (12) принимает вид
Ь*М)1<ВД(1 + <П (27)
7 = г/2+/?+тш{г—1-/?,0}/2-ео, £о £ (ОД/2)- Пусть также выполнено неравенство
|е„М)|<с7(а)(1 + б") (28)
с0<ц<г + ((3 +1)/2. Пусть 0 = /3.
Предположим, что функция А имеет производную Х^, которая при всех а > 1 удовлетворяет неравенству *
|Ач(т?,0)|<с8(а)(1 + ^+а) У(гг,0)б[а-1,а]хК+ (29)
с показателем а: 0 < а < тш{г + /3 + 1,2г}/4.
Пусть функция Н° удовлетворяет дополнительному условию
||ИГ°||0Ь < N. (30)
Тогда при т < г°(Лг) решение РС (16) - (21) единственно.
Теорема 2.5.2. Пусть \[г},в) = Х(т])\(в), выполнены условия С\, С?, Ль А2 или условия Си С2, Ах, причем неравенство (27) выполнено с (г- 1)/2 < 7 < (Зг- 1)/4, а неравенство (28) - сО < ц < г + 1/2 и /3 = /3. Тогда при т < решение РС (16) • (21) единственно.
В § 2.6 обсуждаются вопросы, связанные с реализацией рассматриваемой PC. Предлагаются два итерационных метода (метод Ньютона и метод типа простой итерации), вычисления по которым сводятся к решению систем
линейных уравнений методом матричной ИЛИ скалярной прогонки.
Отметим, что все доказанные во второй главе свойства решений PC носят глобальный характер. Описанные выше результаты получены "в целом" по времени и сформулированы в терминах условий на данные. При их выводе не используются предположения малости начальных данных и их гладкости. Также не требуется малости шага по пространственной переменной h, отсутствуют условия связи шагов по пространству h и времени
Третья глава посвящена построению и исследованию PC для двухмас-штабных осредненных уравнений движения вязких сжимаемых сред. В §3.1 приводятся постановки начально-краевых задач. Рассматривается система
А»? = щ(<Т+рМ]), = В JxQ, (31)
Dtu = Da + g, а = iiqDu - pQ в Q, (32)
Dt(e[r),6]}=DTr + crDu + f, ir = x{)D9 в Q. (33)
Искомое решение z(£,x,t) = (r}(^,x,t),u(x,t),6(x,t)) определено для f € J = (0,1) и (x, t) € Q. В уравнениях (1.2) - (1.3) используются следующие обозначения: ¿z[rj](£,х,t)=fi{r¡[^х,t),f), p[r¡,0](£,x,t)=p(rj{£,x,t),в(х,t),£),
eM](£,x,í) = eMW^OMH). AM](£,:r,í) =
HO = (l/ß)"\ P{) = (l/м)-1 {p/fj)> *<) = (чА)"1. гДе Л"3 среднего значения функции V>(£) по быстрой переменной £ 6 J используется обозначение
о
Указанная система дополняется начальными и краевыми условиями
Г] |t=o = |?°({,«) на J х íí, (U) (e»|t=0 = (и°(х),е^(х))на П, (34)
w|x=0 =ixo(t), u|i=JC=ux(í) на (0,Т), (35)
-т|ж=0 = Хо(0. f|I=x=Xx(í) на (0 ,Т) (36)
Используются обозначения, введенные в главе 1. Через Af(JxQ) обознаг чается класс функций ip Е LX(J х Q) таких, что тр > 0, 1/V> € L^J х Q), Dt* € ¿00,2^ x Q).
Условия на функции f,e,p, А почти полностью повторяют соответствующие условия из § 2.2, однако дополнительно эти функции могут зависеть от f. Для модели вязкого реального газа условия имеют вид
СР. Функция задана и измерима на R+ х J и непрерывна по
г) е При всех а > 1 на [а-1, оо) х J верны неравенства Сд(а) < v{r¡, £) <
Т) ___
<со(а). Кроме того, /^(СО/С^С < Hl)' гДе A(í?)-4-оо при т) 0+ и
выполнено неравенство В(т), £) = } 0 с1( < с(г] + 1) \/т) еЕ.+ .
о
С®• Функции е(г},д,€),р(г],в,£),\(т1,в,€) заданы и измеримы на х Ж4" х .7 и непрерывны по (т},9) £ х Ж*". Кроме того, функции е(т},6,^), дважды непрерывно дифференцируемы по (г/, в), удовлетворяют неравенствам 0 < е$ (»7,0,£)> 0 термодинамическому тождеству
е„(»7, в, 0 = Ыъ в, 0 - р(ч,0 (37)
и условию
р{г},9,0<с0г}-1{е(г,,9,О + ^ + с1. (38)
При всех а > 1 для всех (?], 9) 6 [а-1, оо) х выполнены неравенства
сг(а)(9 + вг) < е(т)АО < МФ + О^), (39)
-с2(о)( 1 + 0^) < р^, 9, 0 < сгф, О/Ч, (40)
Сз(а)(1+^)<А(^,0^)<сз(а)(1 + П (41) а для всех (»7, 9) 6 [о-1, о) х Ж1" - неравенства
М>?Л01 <*(«)(!+ (42)
£в(о)(1 + 0Г"1) < евМО < с5(а)(1 + 02'-1) (43)
с теми же показателями, что и в условиях С г-
Под обобщенным решением задачи понимается тройка функций г = (т},и,в) е х ¿3) х Уг(Ф) х Уг(ф), обладающая свойствами 9 > 0, а е (е) е ¿1(<Э),7Г 6 Ь№ и такая, что:
1) уравнение (31) удовлетворяется в х
2) выполнены интегральные тождества.
-(и, .О^ + (сг,£)у>)д = («0,¥>°)п + (<?1¥>)СЗ, - ((е), ВДо + (тг, = «е°>, #=о)п + + /,
+ (лго, ^|г=о)(о,г) + (хл-. Ф\х=х)(0,Т),
где ¡р,ф £ С1 {Я) - произвольные функции такие, что (р\г=т = ^|е=г = 0, Ч>\х=о,х = 0.
3) начальное условие ц о = т)°, выполнено в смысле' пространства С([0,Т], х П)), краевые условия (35) - в смысле следов функций из
ВД).
Предполагается, что начальные и граничные данные, а также свободные члены уравнений удовлетворяют следующим условиям
с3°. Т)° е 1оо{3 X п), 6 Ь2(П), е° 6 х П) и 1 < т?° < ЛГ,
0 < е°, Ц^оИх,,,^^ -Н 1!е°||х.1(^><„) < «а € У[0,Т], Ха е ^(0,Г), 0 < Ха,
KllvpJ.T] < N> ]lxO|Ux(0,T) < N (a = 0,xy, g G L2i1(Q), f e Ii(Q), о < /, ¡|ffiU2.l(Q) + !|/!Ul(Q) < N; a также ЛГ1 < llfo0»!^) + It(ux -u0) na (0,T).
C<>. ||lne0||bl(Jxn)<iV.
Справедлива следующая теорема существования глобального обобщенного решения задачи (31) - (36).
Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия ■ Тогда су-
ществует обобщенное решение задачи (1.1) - (1.6) и всякое ее решение удовлетворяет оценкам
Ko(N)-1 < г) < K0(N), ||Z?t4|Uï(JxQ) < K(N), (44)
Wva.v3>(Q) < K(N), Pll^i,,)(<3) < K(N), (45)
||0||WQ) < Ke(N), N^^q) < Ke(N), (46)
WD6\k»,r3(Q) < Ke(JV) при 0 < /? < 1, \m\Li(Q) < K(N) при 1< 13 (47)
с теми же ц, qo, го, qi,ri,q2,r2, е, что и в теореме 2.2.1.
Если дополнительно ЛГ-1 < (е°), то верна также оценка К(N)-1 < в.
Далее в § 3.1.1 рассматривается задача (31) - (36) в случае коэффициентов, соответствующих описанию термовязкоупругого тела. В этом случае в определение обобщенного решения вносится изменение - оно должно обладать свойством в > О (вместо строгой положительности). Все остальное в определении остается без изменений.
Предполагается, что выполнены сформулированные выше условия , а функции е,р, А удовлетворяют следующим условиям •
С?2 . Функции e(rj, в, £),р(г], в, £), X(rj, в, £) заданы и измеримы на R+ х ж J и непрерывны по (rj, в) £ К+ х R+, причем e(rç, 0) = 0. Функции e(v> QtPblt £) дважды непрерывно дифференцируемы на (R+)2, удовлетворяют стандартному термодинамическому тождеству (37), неравенству
(38) и условию —сз < сосуществуют значения 0 < tj < rj < +оо такие, что для всех (0,£) G
Ж"1" X J верны неравенства
РМ,0> О VTJ G (0,3], рМ,£)< 0 VTJ€[»7,+OO). (48)
При всех о > 1 для всех (т],в) € [а-1, о] х Е+ выполнены неравенства
(39) - (43) (с теми же показателями г, 0, /3, г) и неравенство
pM,0<Êi(a)(l+Ô (49)
с показателем s G [г, г + (/? + 1)/2). Справедлива следующая
Теорема 3.1.2. Пусть выполнены условия С\,С2>Сз . Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Существует обобщенное решение задачи (31) - (36) и всякое ее решение удовлетворяет оценкам (44) - (4V-
2. Если дополнительно || Inе°||х,х(^хП) 5: то справедливы оценки
ll'MJIk^iJxQ) + llßln0||MQ) ^ K(N)-
3. Если дополнительно N~x < (е°), то верна оценка K(N)~1 < в.
Теорема 3.1.2 (в несколько иных предположениях) доказана в работах Амосова A.A. и Злотника A.A.. Теорема 3.1.1 представляет собой новый результат. Обе теоремы доказываются в § 3.4 диссертации.
В § 3.2 строится PC для двухмасштабных осредненных уравнений движения вязкого реального газа. В дополнение к введенным ранее сеткам на отрезке J = [0,1] вводятся сетки {0 = £о < & < ••• < = 1} и wo,i/2 = {&-1/2 = (&-1 + &)/2}> k = Mo с шагами h0ik = £k -Пусть Ло.тах = ^¿О.Ь hmax = h0, max + ^max. = W0,l/2 X Ш1/2'
Пусть Jk-i/2 = (Cfc-bffc) (1 < fc < По). Помимо введенных выше пространств кусочно-постоянных функций вводятся пространства Sq\/2(J) = {W I W(£) = wk-lf2 наЛ_1/2, 1 < к < по}, S*2(J xil) = {W | Wfo®) = Wfc-i/2,i-i/2 на Jk_1/2 x n,_i/2l 1 < к < n0, 1 < i < n}, Sjj(J.xQ) =T ([0,Г];Sy2(J X fl)). Вводится оператор проектирования ttJ0^ : L\(J)
сопоставляющий заданной функции w ступенчатую функцию, которая на множествах'Jjt_i/2 (1 < к < по), равна соответствующим средним значениям функции из. Полагается 7г^2 = ^l/i^i/i-
PC для уравнений (31) - (36) имеет вид
&Я = ^(Е + Р) в JxQ, (50)
dtU = 6-Z + G в Q\ £ = MqSU - Pq в Q, (51)
, dt{E) = Ш + E5U - Td(Mi{dtH)2) + a0T-s{dtU)2 + F в Q, (52) n = £()ie в Qh,
Я|£=0 = Я° на J x ii, U\t=o = U°, 6|t=o = e0, на П, (53)
tf|x=o = U0, U\x=x = üx, П|1=о = Xo П|х=х = Xx. на (0,Т]. (54)
Искомой является тройка функции Z = (Я, U, 0) € З^Д (J х Q) х Sh'T(Q) х 5^2(Q) со свойствами Я > 0, 0 > 0. В уравнениях (50) - (52) используют-
ся величины М = тг*°1/3||/[яМ]/яМЖ* (где ЯМ = аЯ + (1-а)Я), Л?х = <°1/2|(1-а)«/[ЯМ]/ЯМ ¿а, Р = <°/2р[Я, 0], Е = 4°1/2е[Я, 0], й = (17х-Щ)/У, V = ||Я°|их(/хП,£() = /{^Я/А^Я.вн])"1^ (где
е[в] = ав(+) + (1 - а)вн), М() = {1!М)-\ р0 = (Р/М) (1 /М)-\ а0 -
параметр, ао € [0,1].
Предполагается, что сеточные начальные и граничные данные, а также свободные члены уравнений удовлетворяют следующим условиям.
ЛР. Я0 е х П), И-1 < Н° < ЛГ, Е° = е[Я°,е0], е БН{Щ,
0 < 0° на П, К||п + 1№1(./хП) <М,иае б 5Л(0,Т],
о < хта, Ы^(о,т) + < X, ИХйИьЦО.Т) < N (а = 0,Х),
С 6 Я^т € 0 < Р, ||С||ьад(дь, + ||Г|и1(д) < ЛГ; кроме того,
выполнены условия согласования IIй (0) = 1^(0), и°(Х) = С/^(0) и условие ЛГ-1 < V на [0,Т].
Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия С®, , Л2 . Пусть также с^тА- < 1/2, (с2 + ¿)т < 1/4 и при с\ -ф- 0 дополнительно ттах < т°(Ы). Тогда существует решение 1 = (Я, V, 0) РС (50) - (54), и всякое решение РС удовлетворяет оценкам
Ко(М)-1 <Н< К0(М) в JxQ, Иад^о < ОД, (55) ||1/||у<м/«л.,((Э) < К(Ы), це||п<1.м>(д) < К(Ю, (56)
||0|к,о,го(д) < К£{Я), ИЩ^^ < Ке{Я), ■ (57)
ре||*аю») < при 1 < ¡3, рвЦЬи1„(<г*, < Ке(Л) при О < /3 < 1,(58) ««(Я.ели^^ + цшвн^, <К(М). (59)
с теми же (г — 0, 1, 2), что и в теореме 2.2.1.
Если дополнительно 77"1 < (Е°) на П (где N > Ы), то К(Н)~1 < 0 ма
В § 3.3 для PC (50) - (54) устанавливается теорема существования в предположениях на коэффициенты, соответствующих термовязкоупругому телу. Ищется решение этой PC, обладающее дополнительными свойствами Справедлива следующая
Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия С®Пусть также сатв,- < 1/2, (сг+с^т < 1/4. Тогда существует решение Z — (Я, £/, 0) РС (50)-(54) и справедливы следующие утверждения
1. Всякое решение PC удовлетворяет, оценкам (55) - (58).
2. Если выполнены условия п.1 и дополнительно || In^°|tx,1(jxíi) — то справедливы оценки (59).
3. Если выполнены условия п.1 и дополнительно N < (Е°) на Í1 (где Ñ > N), то KÍÑ)-1 <6 на Q.
§ 3.4 посвящен доказательству сходимости РС к обобщенному решению дифференциальной задачи. Снова обозначаем через PCi разностную схему (50)—(54) с фиксированным значением параметра ао = 1 и с сеточными данными Н°, U0, Q°,Ea, Ua,Xa (а = 0,Х), G, F, которые связаны с данными задачи (31) - (36) следующим образом: Н° = T¡°>h = U° = u°'h ~
irhu° на fi\ U° = u0(0) на ft0, U° = ux(0) на fin; E° = е(Я°, 0o) = тг^е0; Ua = uTa 6 5T[0,T], где uTa{t:) = ua{tj) при 0 < j < m, XTa = G = TrhnTg, F = тг^тгrf.
Снабдим верхними индексами h,r сеточное решение PCi, а также другие сеточные функции, зависящие от него.
Теорема 3.4.1. Пусть выполнены условия , А^, А^ или усло-
вия Cf, С2 i А1?. Тогда из произвольной последовательности Zb,T = (НЬ'Т, í7h'T,©h'T) решений РС\, отвечающих hmax -1- ттах —^ О, можно выделить подпоследовательность (сохраним за ней прежнее обозначение Zb'T), которая сходится к некоторому обобщенному решению z = (r¡, и, в) задачи (31) - (36) в следующем смысле:
НЬ,Т г) в LgigiCO{J X Q) Vg € [1,оо) u * -слабо в Lm(J х Q),
í/h>r u в Lq,r{Q) Vg e [1, оо], г G [1, oq), (2g)"1 + r"1 > 1/4;
Ub'T -> u * -слабо в Loo(0,T;l2(n));
0h'r в в Lg0iTo(Q) Vgo € [1, oo], r0 6 [1, oo), r/g0 + (r + /3 +1 )/r0 > 1; Кроме этого, 6Qh'T D9, Пь-Т -+ тг, Eh'r -4 a, dtHh>T -> Dtr¡, SUh'r
o
Du слабо в некоторых пространствах Лебега. Здесь Пь,т = Пь,т на Qh и nh,r = О на Q \ Qh.
Теоремы 3.1.1 и 3.1.2 являются следствиями теорем 3.2.1, 3.4.1 и 3.2.2, 3.4.1 соответственно.
В § 3-5 рассматривается вопрос единственности разностных решений. Так же, как и в § 2.5, устанавливаются две теоремы.
Теорема 3.5.1. Пусть выполнены условия C¡\ Cj}, А^, А®, или условия CP, C¡, Ai, причем неравенства (27), (28) выполнены с указанными в теореме 2.5.1 показателями j, ц, а также Р = (3.
Предположим, что функция А имеет производную Xv, которая при всех о > 1 удовлетворяет неравенству (29).
Пусть функция Н° удовлетворяет дополнительному условию
(60)
Тогда при т < t°(N) решение PC (50) - (54) единственно.
Теорема 3.5.2. Пусть А(т7,0,£) = А(ту, £)А(0), выполнены условия С\, Сг, Ai, А2 или условия С\, С2, А\, причем неравенства (27), (28) выполнены с теми же 7, у,, что и в теореме 2.5.2. Тогда при т < t°(N) решение PC (50) - (54) единственно.
В § 3.6 предлагаются итерационные методы реализации предложенной в § 3.2 PC, являющиеся обобщениями методов из § 2.6.
В § 3.7 обсуждаются результаты численных экспериментов по сравнению решений двухмасштабных осредненных уравнений с решением исходных уравнений с быстро осциллирующими начальными данными или коэффициентами. Приводимые результаты расчетов подтверждают работоспособность предложенных PC. Также подтверждается, что переход к осредненным уравнениям обеспечивает хорошую точность, в то время как вычислительные затраты значительно снижаются.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Амосов А.А., Вестфальский А.Е. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого реального газа // Вестник МЭИ.— 1999.— N6.- С. 5—18.
2. Амосов А.А., Вестфальский А.Е. О сходимости одной разностной схемы для уравнений одномерного движения вязкого реального газа с негладкими данными // Вестник МЭИ.— 2000.— N 6 — С. 10—23.
3. Амосов А.А., Вестфальский А.Е. Единственность решения одной нелинейной разностной схемы для уравнений одномерного движения вязкого реального газа с негладкими данными // Вестник МЭИ.— 2002.— N 6.— С. 5—16.
4. Амосов А.А., Вестфальский А.Е. Разностная схема для системы уравнений одномерной динамики нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта // Russ. J. Numer. Anal, and Math. Modelling.— 2002.— V. 17.— N3 - P. 221—248. — На англ. яз.
5. Вестфальский А.Е. Разностная схема для квазиосредненных уравнений одномерного движения вязких сжимаемых сред // Вестник МЭИ.— 2003 — N6 — С. 30—43.
Подписано в печать о.С-?- СЧ Зак. /£•/ Тир. ÍCC П.л. 1.
Полиграфический центр МЭИ (ТУ)
Красноказарменная ул., д. 13
Введение.
Глава 1. Постановка задач и вспомогательные результаты.
§1.1. Начально-краевая задача для уравнений движения вязкого реального газа.
§ 1.2. Начально-краевая задача для уравнений движения термовязкоупругого тела типа Фойхта.
§ 1.3. Сеточные функции и некоторые их свойства.
Глава 2. Разностная схема для уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых сред.
§2.1. Разностная схема
§2.2. Априорные оценки и разрешимость разностной схемы для задачи динамики вязкого реального газа.
§ 2.3. Априорные оценки и разрешимость разностной схемы для задачи динамики термовязкоупругого тела.
§ 2.4. Сходимость разностной схемы.
§ 2.5. Единственность разностных решений.
§ 2.6. Реализация разностной схемы.
Глава 3. Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых сред.
§ 3.11 Начально-краевая задача.
§ 3.2. Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения вязкого реального газа.
§ 3.3. Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта.
§ 3.4. Сходимость разностной схемы для двухмасштабных осредненных уравнений.
§ 3.5. Единственность решения разностной схемы для двухмасштабных осредненных уравнений.
§ 3.6. Реализация разностной схемы.
§ 3.7. Численные эксперименты.
Задачи движения вязких сжимаемых сред относятся к основным задачам механики сплошной среды и давно являются объектом пристального изучения [17] [35], [41]. Принятая для описания одномерного движения математическая модель включает систему трех квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных (уравнений На-вье - Стокса). В лагранжевых массовых координатах эта система имеет вид: rit=ux, (1)
Щ = <?х + 9, cr = "Мрих -р(?7,0), P = 1Д?, (2) e{'n,0)t=nx+crux +f, it = X (rj,Q)pOx. (3)
Входящие в нее уравнения импульса и энергии являются параболическими относительно искомых функций - скорости и и температуры в , а уравнение неразрывности - уравнением первого порядка относительно искомого удельного объема 77, так что вся система уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем уравнений (систем составного типа) развита еще недостаточно.
Как следует из второго начала термодинамики,. существует зависимость между входящими в уравнения (2) и (3) внутренней энергией е(г],в) и давлением р{т),в) [35], выражающаяся термодинамическим тождеством ( а\ о t а\ i а\
На настоящий момент наиболее изученными являются уравнения одномерного движения совершенного политропного газа (т.е. когда давление и внутренняя энегрия связаны с удельным объемом и температурой соотношенямиp(rj,в) = кв/г], е(т),в) = суО, где су и к- константы). Теория глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для таких уравнений была построена в работах Кажихо-ва А.В., Шелухина В.В., Вайганта В.А. [17], [27 - 30], [48], [21], [22].
Важные результаты получили также Nagasawa Т. [70 - 72], Kawashima S. и Nishida Т. [66]. Разрешимость в классе слабых обобщенных решений изучена в работах Амосова А.А. и Злотника А.А. [10], [12], [13], [26].
Случай уравнений (1) - (3) с произвольными нелинейными функциями состояния е(г), в), p(rj, в) и коэффициентами теплопроводности \(rj, 0) и вязкости г/(т)) (уравнения вязкого реального газа) изучен в значительно меньшей степени. (А случай коэффициента вязкости, зависящего от температуры, практически не изучен). Локальная по времени или данным разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач установлена в работах Matsumura А. и Nishida Т. [69], Tani А. [77], Hoff D. [63], [64]. В работе [64] рассмотрен случай разрывных начальных данных. Существование "в целом" (по времени и данным) и единственность классических решений начально-краевых задач для уравнений движения вязкого реального газа установлены в работах Okada М. и Kawashima S. [73], Kawohl В. [67], Song Jiang [75], [76].
При несколько иных предположениях на функции состояния, соответствующих модели нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойх-та, уравнения (1) - (3) исследованы в работах Dafermos С.М., Hsiao L. [61], [62], Kim J.U. [68], Zheng S. и Shen W. [81], в которых обосновано существование классических решений. Эти результаты также носят глобальный характер.
Существование "в целом" глобальных обобщенных решений тех же задач для произвольных больших начальных данных доказано Амосовым А.А. [1], [2], [53].
Еще одной важной стороной исследования уравнений (1) - (3) являются вопросы, связанные с построением и строгим обоснованием приближенных методов их решения. В настоящее время накоплен большой опыт численного решения задач газовой динамики и имеются достижения в теории численных методов, изложенные в монографиях Белоцерковского О.М. и Давыдова Ю.М. [20], Годунова С.К., Забродина А.В. и др. [24], Ковеня В.М. и Яненко Н.Н. [31], Рождественского Б.Л. и Яненко Н.Н. [35], Роуча П. [36], Самарского А.А. и Попова Ю.П. [40], Шокина Ю.И. и Яненко Н.Н. [49]. В то же время, в теории разностных схем для решения указанных задач остается много открытых вопросов, связанных с обоснованием корректности методов.
Начало изучению разностных схем (PC) для уравнений динамики вязкого газа, по-видимому, было положено работой Кузнецова Б.Г. и Смагулова Ш. [32]. К настоящему времени весьма подробно исследованы PC для уравнений одномерного движения совершенного поли-тропного газа, а также баротропного газа, записанных в лагранжевых массовых координатах. (Для баротропного газа давление не зависит от температуры. В этом случае можно ограничиться рассмотрением системы (1) - (2)). Этим вопросам посвящены работы Смагулова Ш., Рысбаева Б.Р. [37 - 39], [42], [44 - 46], Туретаева И.Л. [47], Шти-конаса А. [50], [51], а также Zarnowski R., Hoff D. [78], [79], Zhao J. [80]. Наиболее законченные результаты получены в работах Амосова А.А. и Злотника А.А [6 - 9], [11], [56], [57]. В них установлены важные дополнительные соотношения между искомыми разностными функциями, выведены разностные аналоги законов сохранения, получены априорные оценки разностных решений "в целом" по времени, в том числе оценки разностной плотности сверху и снизу, а разностной температуры снизу положительными постоянными. Также установлено существование, единственность и сходимость разностных решений, получен ряд оценок погрешности в различных нормах (в том числе в равномерной) в зависимости от гладкости исходных данных, рассмотрены вопросы стабилизации. Охвачен случай негладких начальных функций. В баротропном случае PC построены и исследованы для широкого класса функций состояния р = p(rj) и коэффициента вязкости v(r]), отличного от константы.
Значительно менее подробно исследованы PC для уравнений движения вязких сред, записанных в эйлеровых координатах. Здесь можно отметить работы Смагулова Ш. [43], Попова А.В. [33], [34].
Данная работа посвящена построению и исследованию PC для уравнений динамики вязких сжимаемых сред с функциями состояния р(г}, 0), е(г), в), на которые накладываются условия, соответствующие описанию вязкого реального газа или нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта и с нелинейными коэффициентами 2^(77), А(77, в). В идейном плане она является продолжением работ Амосова А.А. и Злотника А.А [8], [15], [54], [56]: примененная в них методика переносится и развивается на случай произвольных нелинейных коэффициентов.
Отдельный интерес представляет исследование системы уравнений динамики вязких сжимаемых сред в случае, когда среда имеет периодическую структуру. Если период изменения свойств среды достаточно мал по сравнению с линейными размерами образца, то коэффициенты уравнений будут быстро осциллировать, что приводит к существенным трудностям. В частности, при численном решении это приводит к необходимости выбора достаточно мелких шагов (чтобы на каждый период попадало хотя бы несколько узлов сетки).
Бахваловым Н.С. и Эглит М.Э. в [19], [18] методом формального ассимптотического разложения была выведена система осредненных уравнений для уравнений динамики вязко-упругой среды:
Ъ = + (4)
Щ = <ТХ + 9, о- = pqux-Р(), (5) efa, 0))t = + оих + /, 7г — к{)вх, (6) в которой /i() = {r}fv{ri))~l, р{) = (rj/uirj))'1 {p(rj,e)rj/u(r])), х<) = (77/А(77, в))~1, а через (ф{£)) обозначено среднее значение функции по быстрой переменной
Несколько позже такие же уравнения (4), (5) в случае однородной баротропной среды с быстроосциллирующими начальными данными независимо получил Serre D. [74].
Осредненная система получилась нестандартной, интегро - дифференциальной - из нее не исчезла совсем "быстрая" переменная Подобные уравнения сейчас принято называть двухмасштабными осред-ненными [52]. В [18] была поставлена задача строгого обоснования этой системы. Такое обоснование было проведено в работах Амосова А.А. и Злотника А.А [14], [16], [58] для случая совершенного политропного газа и термовязкоупругого тела типа Фойхта.
Построение и исследование методов численного решения уравнений (4) - (6) связаны с преодолением значительных трудностей. Первые результаты в этой области получены в работах Амосова А.А., Злотника А.А. и Титова Д.А. [15], [54], в которых предложены и исследованы PC для двухмасштабных осредненных уравнений движения баротропного и совершенного политропного газа.
В данной работе, развивая эту линию, строится и исследуется PC для случая достаточно произвольных функций состояния.
План диссертации следующий. Первая глава носит вспомогательный характер. В § 1.1, 1.2 вводятся необходимые функциональные пространства, ставятся начально - краевые задачи для системы уравнений движения сжимаемых сред, формулируются условия на коэффициенты, соответствующие вязкому реальному газу и упругому телу, даются определения обобщенных решений, приводятся формулировки теорем о разрешимости в классе обобщенных решений, доказанных в [1], [2], [53].
В § 1.3 вводятся сетки, определяются используемые в дальнейшем сеточные операторы, строятся пространства сеточных функций. Помимо этого, приводятся некоторые вспомогательные результаты о свойствах сеточных функций. В основном эти результаты известны и приводятся для полноты изложения.
Вторая глава посвящена построению и исследования PC для уравнений (1) - (3). В § 2.1 строится нелинейная двухслойная PC dtH = 6U, (7) dtU = SZ + G, S = MSU - P, (8) dtE = Ш + £5U - rdMi(5U)2 + a0^sh [(dtU)2] + F, П = Ш, (9)
Zt в которой используются специальные нелинейные аппроксимации коэффициентов вязкости и теплопроводности
M = }v{H^)/H^da (#(а) =аЯ + (1 - а)Я), о
Mi — /(1 — а) У(Н№)/Н№ da; о d = ад/v,- V = ||Я°||Ь1(П) + IT(Ux - г/о), /С = / \{shH, Q[a]) da/{shH) (ew = ае(+) + (1 - а)0()).
Здесь dt - разностная производная "назад" по времени, 5 - центральная производная по пространственной переменной, sh,sh- разностные операторы усреднения.
В § 2.2 изучается PC (7) - (9) при условиях на коэффициенты, соответствующих модели вязкого реального газа. В нем уточняется класс функций, которому принадлежит искомое разностное решение, выводится набор априорных оценок "в целом", формулируется и доказывается теорема о существовании решений PC. § 2.3 содержит аналогичные результаты в случае модели термовязкоупругого тела. В этом случае уточняется класс функций, в котором ищется решение PC (единственным различием является свойство сеточной температуры: она строго положительна в § 2.2 и неотрицательна в § 2.3), выводятся априорные оценки решений и доказывается результат о разрешимости
PC при новых предположениях на коэффициенты уравнений.
Набор основных доказываемых априорных оценок одинаков для обеих моделей рассматриваемых сплошных сред, однако, имеются некоторые принципиальные различия как в порядке получения этих оценок, так и в самих доказательствах. Отметим, что условия на данные практически совпадают с соответсвующими условиями из [1], [2], [53], а установленные в § 2.2,2.3 априорные оценки и результаты о разрешимости являются сеточными аналогами теорем существования обобщенных решений из тех же работ.
§ 2.4 посвящен сходимости рассматриваемой PC. В нем доказывается, что из произвольного семейства PC, соответсвующих шагам /гиг, стремящимся к нулю, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к обобшенному решению дифференциальной задачи в некотором смысле. В частности, сеточные удельный объем, скорость и температура сходятся сильно в некоторых пространствах Лебега.
В § 2.5 доказывается единственность разностных решений. По сравнению с разрешимостью и сходимостью, результат о единственности доказывается при более жестких условиях на коэффициенты уравнений, а в случае произвольного коэффициента теплопроводности X(rj,9) - еще и при дополнительном условии на начальную плотность (требуется суммируемость с квадратом производной по пространственной переменной от начального удельного объема). Этого усиления требований к начальным данным удается избежать, если коэффициент А(т],в) имеет специальный вид А(г/, в) = А 1(77^2(0).
Важно отметить, что все доказанные свойства решений PC носят глобальный характер. Описанные выше результаты получены "в целом" по времени и сформулированы в терминах условий на данные. При их выводе не используются предположения малости начальных данных и их гладкости (по сути, требуется лишь конечность полной начальной энергии, а для модели вязкого реального газа - еще и начальный энтропии). Также не требуется малости шага по пространственной переменной Л, а возникающие ограничения на шаг по времени т не зависят от шага h.
В § 2.6 обсуждаются вопросы, связанные с реализацией рассматриваемой PC. Предлагаются два итерационных метода (метод Ньютона и метод типа простой итерации), вычисления по которым сводятся к решению систем линейных уравнений методом матричной или скалярной прогонки.
Третья глава посвящена построению и исследованию PC для двух-масштабных осреднений уравнений (4) - (6). В § 3.1 приводятся постановки начально-краевых задач для указанной системы, формулируются условия на коэффициенты уравнений, соответствующие тому и другому типу рассматриваемых сред. Эти условия аналогичны соответствующим условиям из главы 1 с той лишь разницей, что теперь коэффициенты могут зависеть еще и от "быстрой" переменной £ (и быть негладкими по £). Там же дается определение обобщенного решения поставленных задач и приводятся теоремы об их разрешимости, доказанные в [16], [53].
В § 3.2 строится PC для двухмасштабных осредненных уравнений движения вязкого реального газа, имеющая вид dt(E) = ЛГ+ T,5U—rd(Mi(dtH)2} + a0^s{dtU)2 + F, П = /С()<Ю, (12) dtH = ~(E + P),
10) (11) dtU = JE + G, S = M0SU - P(), в которой
Мг = <°1/2 /(1 - [а]]/ЯW da, P = <°1/2rf#, ©], E = 7Г£°1/2е[Я,0], M{) = (1/M)-1, P{) - (P/M) (1/М)' ho 0,1/2 1 ho 0,1/2 d = (Ux- U0)/V, V = \\H°\\Ll{JxQ) + Ir(Ux ~ U0), K0 = }(&Н/\1&Н,е[а]])-г<Ь,. (Q[a] = ae(+) + (1 - a)0())), a,Q - параметр, ao G [0,1], dt, 6, sh,sh, (</?) - введенные ранее операторы, a ~ опеРатоР проектирования на сетку по быстрой переменной
Для построенной PC выводится ряд априорных оценок и доказывается ее разрешимость. Эта PC является обобщением разностной схемы (7) - (9), при ее исследовании существенно используются элементы доказательств из § 2.2. В § 3.3 для PC (10) - (12) устанавливается теорема существования в предположениях на коэффициенты, соответствующих термовязкоупругому телу.
§ 3.4 посвящен доказательству сходимости PC к обобщенному решению дифференциальной задачи, § 3.5 - единственности разностных решений. Эти доказательства являются обобщениями соответствующих доказательств из главы 2.
В § 3.6 предлагаются итерационные методы реализации предложенной в § 3.2 PC. Приводятся расчетные формулы методов Ньютона и метода типа простой итерации, вычисления по которым также удается свести к матричным или скалярным прогонкам.
В § 3.7 обсуждаются результаты численных экспериментов по сравнению решений двухмасштабных осредненных уравнений с решением исходных уравнений с быстро осциллирующими начальными данными или коэффициентами. Приводимые результаты подтверждают, что переход к осредненным уравнениям обеспечивает хорошую точность, в то время как вычислительные затраты значительно снижаются.
В работе применяется двойная нумерация формул - номер состоит из номера параграфа и порядкового номера формулы в параграфе. При необходимости ссылки на формулу из другой главы, к ее номеру впереди прибавляется номер главы. То же самое относится к нумерации утверждений.
1. Амосов А.А. Существование глобальных обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа и одномерной нелинейной термовязкоупругости // Доклады РАН. 1999. Т. 369. N 3. С. 295 - 298.
2. Амосов А.А. Существование глобальных обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа с разрывными данными // Дифф. уравнения. 2000. Т. 36. JV 4. С 486 499.
3. Амосов А.А., Вестфальский А.Е. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого реального газа // Вестник МЭИ. 1999. N6. С 5-18.
4. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для уравнений движения вязкого теплопроводного газа. Ее свойства и оценки погрешности "в целом" //Докл. АН СССР. 1985. Т. 284. N 2. С. 265-269.
5. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа, ее свойства и оценки погрешности "в целом"// Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. N 2. С. 270 275.
6. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Вычисл. процессы и системы (под ред. Г.И. Марчука). М.: Наука. 1986. Вып. 4. С.192 -218.
7. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностные схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого газа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. N. 7. С. 1032 1049.
8. Амосов А.А., Злотник А.А. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Докл АН СССР. 1988. Т. 301. N. 1. С. 11-15.
9. Амосов А.А., Злотник А.А. О разностных схемах для некоторых задач об одномерном движении вязкого газа // Numerical Analysis and mathematical modelling. Banach Center Publications. V. 34. PWN -Polish Scientific Publishers/ Warsaw. 1990. P. 415 434.
10. Амосов А.А., Злотник А.А. Разрешимость "в целом" системы уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа// Матем. заметки. 1992. Т. 52. Вып. 2. С. 3 16.
11. Амосов А.А., Злотник А.А. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1997. N 4. С. 3-19.
12. Амосов А.А., Злотник А.А. О квазиосреднении системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстроос-циллирующими данными//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. N 7. С. 1204- 1219.
13. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для квазиосреднен-ных уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. JV4. С 592 611.
14. Амосов А.А., Злотник А.А. Обоснование двухмасштабного усреднения уравнений одномерной нелинейной термовязкоупругости с негладкими данными. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. N11. С. 1713- 1733.
15. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачимеханики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.
16. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М. Наука, 1984.
17. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Процессы в периодических средах, не описываемые в терминах средних характеристик // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. N 4. С. 836 840.
18. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982.
19. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С. 3 21.
20. Вайгант В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 31-52.
21. Вестфальский А.Е. Разностная схема для квазиосредненных уравнений одномерного движения вязких сжимаемых сред // Вестник МЭИ. 2003. N6. С. 30 43.
22. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомернывх задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.
23. Злотник А.А. Оценки скорости сходимости проекционно сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка // Вычисл. процессы и системы (под ред. Г.И. Марчука). М.: Наука. 1991. Вып. 8. С. 116-167.
24. Злотник А.А., Амосов А.А. Об устойчивости обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. N. 4. С. 767- 789.
25. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динам, сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 45 61.
26. Кажихов А.В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динам, сплошной среды. Новосибирск. 1981. Вып. 50. С. 37 62.
27. Кажихов А.В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23. N. 1. С. 60 64.
28. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл. матем. и мех. 1977. Т. 41. N 2. С. 282 291.
29. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.
30. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа // Препринт ИТПМ СО АН СССР. 1982. N17-82. Новосибирск. 45с.
31. Попов А.В. Исследование конечно-разностного метода для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера // Препринт ОВМ АН СССР. М.: 1988. N198. 25с.
32. Попов А.В. Численные методы решения задач динамики вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера. Диссертация канд. физ.-мат. наук. Москва. 1990. 138 с.
33. Рождественский Б.JL, Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968.
34. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.
35. Рысбаев Б.Р. Исследование устойчивости и сходимости разностных схем для уравнений газовой динамики. Диссертация канд. физ.-мат. наук. Алма-Ата. 1986. 133 с.
36. Рысбаев Б.Р. Устойчивость разностной схемы для теплопроводного газа с контактным разрывом // Применение методов функц. анализа к неклассическим уравн. матем. физ. Новосибирск. 1988. С. 143- 149.
37. Рысбаев Б.Р., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемахдля уравнений вязкого газа // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. N 3. С. 558 559.
38. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.
39. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1978.
40. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. N1. С. 31 34.
41. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. N3. С. 553 556.
42. Смагулов Ш. Устойчивые разностные схемы для модели вязкого теплопроводного газа // Вестник АН Каз. ССР. 1985. N 7. С. 60 62.
43. Смагулов Ш. Математические вопросы приближенных методов для уравнений Навье Стокса. Дисс. докт. ф.-м. н. Алма-Ата. 1997. 380 с.
44. Смагулов Ш., Жанасбаева У.Б. Приближенные методы решения уравнений теплопроводного газа с переменной вязкостью // Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-мат. 1988. N5. С. 48 51.
45. Туретаев И.Л. Скорость сходимости в Ь2 разностных схем для одномерных уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Вып. 74. Новосибирск. 1986. С. 81 86.
46. Шелухин В.В. О структуре обобщенных решений одномерных уравнений политропного вязкого газа//Прикл. матем. и мех. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 912 920.
47. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск, Наука, 1985.
48. Штиконас А. Исследование разностных схем для уравнений симметрического движения вязкого газа. Дисс. канд. ф.-м. н. Москва. 1990. 161 с.
49. Штиконас А. Разностные схемы для уравнений симметрического движения вязкого баротропного газа в магнитном поле // Препринт ОВМ АН СССР. М., 1989. JV230. 27 с.
50. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. V. 23. P. 1482 1518.
51. Amosov A.A. Existence of global weak solutions to the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity with discontinuous data // Proc. Steklov. Inst. Math. 2002. V. 236.
52. Amosov A.A., Titov D.A., Zlotnik A.A. Finite-difference scheme for quasi-averaged equations of one-dimensional motion of a viscous barotropic medium // Russ. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 1996. Vol. 11. iV6. P. 445-475.
53. Amosov A.A., Vestfalsky A.E. Difference scheme for the system of equations of one-demensional dynamics of a nonlinear thermoviscoelastic body of the Voigt type // Russ. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 2002. V. 17. iV3. С 221 248.
54. Amosov A.A., Zlotnik A.A. A study of a finite-difference method for the one-dimensional viscous heat-conductive gas flow equations. Part I: A priori estimates and stability // Sov.J.Numer.Anal, and Math.Model. 1987. Vol. 2. N3. P. 159- 178.
55. Amosov A.A., Zlotnik A.A. A study of finite-difference method for one-dimensional viscous heat-conducting gas flow equations. Part II: Error estimates and realization // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1987. V. 2. iV4. P. 239- 258.
56. Amosov A.A., Zlotnik A.A. On two-scale homogenized equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity with rapidly oscillating nonsmooth data // C. R. Acad. Sci. Paris. 2001. V. 329. Serie lib. P. 169 174.
57. Amosov A.A., Zlotnik A.A. Weak Solutions to Viscous Heat-Conducting Gas ID-Equations with Discontinuous Data: Global Existence,Uniqueness, and Regularity // The Navier-Stokes Equations (ed. Salvi). Marsel Dekker. Inc. New York. 2001. P. 141 158.
58. Andrews G. On the existence of solutions to the equation Utt = uxxt +<t(ux)x // J. Diff. Equat. 1980. V. 35. P. 200 231.
59. Dafermos C.M. Global smooth solutions to the initial-boundary value problem for the equations of one-dimensional nonlinear thermovisco-elasticity // SIAM J. Math. Analysis. 1982. V. 13. N 3. P. 397 408.
60. Dafermos C.M., Hsiao L. Global smooth thermomechanical processes in one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity // J. Nonlinear Analysis. 1982. V. 6, N 5. P. 435 454.
61. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. V. 114. P. 15 46.
62. Hoff D. Global well-posedness of the Cauchy problem for nonisentro-pic gas dynamics with discontinuous initial data // J. Diff. Equat. 1992. V. 95. P. 33 -74.
63. Hsiao L., Luo T. Large-time behavior of solutions to the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity // Quarterly of applied mathematics. 1998. V. LVI. JV2. P. 201 219.
64. Kawashima S., Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases // J. Math. Kyoto Univ. 1981. V. 21. P. 825 837.
65. Kawohl B. Global existence of large solutions to initial boundary value problem for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas // J. Diff. Equat. 1985. V. 58. P. 76 103.
66. Kim J.U. Global existence of solutions of the equations of one-dimensional thermoviscoelasticity with initial data in BV and L1 // Ann. Scuola Norm. Sup. Piza. 1983. V. 10. P. 357 427.
67. Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problems for the equations of compressible viscous and heat conductive fluids // Comm. Math. Phys. 1983. V. 89. P. 445 464.
68. Nagasawa Т. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary // J. Diff. Equat. 1986. V. 65. P. 49 67.
69. Nagasawa T. On the outer pressure problem of one-dimensional polytropic ideal gas // Japan. J. Appl. Math. 1988. V. 5. P. 53 85.
70. Nagasawa T. On the one-dimensional free boundary problem tor the heat-conductive compressible viscous gas // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1989. V. 10. P. 83 99.
71. Okada M., Kawashima S. On the equations of one-dimensional motion of compressible viscous gas // J. Math. Kyoto Univ. 1983. V. 23. P. 55 71.
72. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densite d'un fluide visqueux compressible // Physica Ser. D. 1991. V. 48. P. 113 128.
73. Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas // J. Diff. Equat. 1994. V. 110. P. 157-181.
74. Song Jiang. Global smooth solutions to the equations of a viscous, heat-conducting, one-dimensional gas with density-dependent viscosity // Math. Nachr. 1998. V. 190. P. 169 183.
75. Tani A. The initial value problem for the equations of the motion of general fluid with general slip boundary condition // Kyoto Univ. RIMS-Kokuryoku. 1990. V. 734. P. 123 142.
76. Zarnowski R. Existence, uniqueness and computation of solutions for mixed problems in compressible fluid flow // J. Math. Anal, and Appl. 1992. V. 169. N 2. P. 515 545.
77. Zarnowski R., Hoff D. A finite-difference scheme for the Navier-Stokes equations of one-dimensional, isentropic, compressible flow // SIAM J. Numer. Ana. 1991. V. 28. N1. P. 78 112.
78. Zhao J. Convergence and error-bound analysis for mixed problems in compressible flow // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1994. V. 15. N1-2. P. 187- 198.
79. Zheng S., Shen W. Global smooth solutions to Cauchy problem of equations of one-dimensional thermoviscoelasticity //J. Part. Diff. Equat. 1989. V. 2. N2. P. 26-38.
