Разностные и проекционно-разностные схемы для задачи движения вязкого слабосжимаемого баротропного газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

□ ОЗ 1 "72236

Жуков Константин Андреевич

Разностные и проекционно-разностные схемы для задачи движения вязкого слабосжимаемого баротропного газа

Специальность 01 01 07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 И юн 2000

Москва 2008 г

003172236

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета .Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель

кандидат физ -мат наук, доцент Попов Анатолий Вадимович Официальные оппоненты

доктор физ -мат наук, доцент Василевский Юрий Викторович ксшдидал физ-мси наук Вестфальский Алексей Еыеньевич Ведущая организация

Научно-исследовательский институт математики и механики им Н Г Чеботарева Казанского государственного университета

Защита состоится 2008 года в часов

на заседании диссертационного совета ДМ 212 15717 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу Москва, Красноказарменная ул, д 17, в аудитории М-710а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ) по адресу Москва, Красноказарменная ул , д 17

Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) на автореферат просим направлять по адресу 111250, Москва Красноказарменная ул , д 14, Ученый совет МЭИ (ТУ)

Автореферат разослан 2008 г

Ученый секретарь диссертационного с кандидат физ -мат наук, доцент

Григорьев В П

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию движения вязких сжимаемых сред Уравнения, описывающие эти движения (уравнения Навье-Стокса), представляют собой системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных и относятся к основным моделям механики сплошной среды, давно являющиеся объектом пристального изучения Сложность этих систем делает невозможным получение решений в явном виде, что приводит к необходимости развития численных методов их решения

В настоящее время накоплен большой опыт численного решения таких задач и имеются значительные достижения в теории численных методов, различным аспектам которых посвящены работы Бахвалова Н С , Белоцерковского О М , Годунова С К , Попова Ю П , Рождественского Б Л , Русанова С В , Самарского А А , Шокина Ю И , Яненко Н Н. и др В то же время в теории разностных схем для решения указанных задач остается много открытых вопросов, связанных с математически строгим обоснованием корректности методов

Наиболее полно корректность разностных схем исследована только для одномерных уравнений движения вязкого газа Этим вопросам посвящены работы Кузнецова Б Г, Белова С Я , Рысбаева Б Р, Смагулова Ш , Туретаева И Л , Штиконоса А Д , Zarnowski R, Hoff D и др В случае плоскопараллельного течения вязкого газа наиболее законченные результаты получены в работах Амосова А А и Злотника А А

Значительно менее полно исследованы вопросы обоснования

корректности применения численных методов для двумерных

течений вязкого газа Этому вопросу посвящены работы Кобель-

кова Г М , Смагулова Ш , Попова А В , Kellogg В , Liu В и др

Однако построенные в этих работах разностные схемы не всегда

применимы для задач вязкого газа, так как рассуждения при их

обосновании проведены при условии, что производная функции dp

давления — ограничена константой, от значения которой зависят ар

максимально допустимые шаги сетки и величина константы в оценках точности разностных решений В случае когда давление газа сильно меняется при незначительных изменениях плотности (такой газ называют слабосжимаемым), эта константа достаточно велика, что приводит к потере точности известных численных методов Поэтому вопросы построения специальных разностных схем для слабосжимаемого газа и исследования погрешности их решений в зависимости от этой константы являются недостаточно изученной проблемой и представляют научный интерес

В данной диссертации решение этой проблемы проводится для линеаризованной системы уравнений, описывающей движение вязкого баротропного газа, в которой эта константа присутствует в явном виде и носит название параметра сжимаемости газа В то же время исследуемая линейная задача совпадает с одной из задач, получаемых в результате применения метода введения искусственной сжимаемости к нестационарной задаче Стокса Для таких задач исследованы близость их решений к решениям задач для несжимаемой жидкости Основоположниками этой теории являлись Яненко Н Н , Ладыженская О А и R Temam, дальнейшее развитие было сделано в работах Смагулова Ш , Кобелькова Г М , Shen J , Ransau S R, Prohl А и др Вопрос

же о свойствах решения самой задачи и близости дифференциального и разностных решений оставался на уровне классической априорной оценки, основным недостатком которой является то, что норма функции давления оценивается лишь будучи умноженной на малый коэффициент, равный квадратному корню обратной величины параметра сжимаемости газа Этот недостаток приводит к завышенным оценкам погрешности численного решения для функции давления

Цель работы. Построение и исследование точности разностных и проекционно-разностных схем для линеаризованной системы уравнений, описывающей двумерные движения вязкого слабосжимаемого баротропного газа в зависимости от параметра сжимаемости газа Получение априорных оценок для погрешности численного решения, минимально зависящих от параметра сжимаемости газа

Общая методика исследования. В диссертации использованы результаты и методы функционального анализа, общей теории краевых задач и теории разностных схем

Научная новизна. В диссертации исследована зависимость интегральных норм старших производных функций скорости и давления от параметров задачи (коэффициентов сжимаемости и вязкости газа), которые необходимы для получения оценки погрешности численного решения На основе выполненного исследования построена и исследована неявная проекционно-разностная схема для линеаризованной системы уравнений, описывающей двумерную динамику вязкого слабосжимаемого баротропного газа, и получены оценки точности ее решения в зависимости от параметров сжимаемости, вязкости газа и

шагов сетки Также построена новая неявная экономичная (в смысле требуемого количества арифметических операций для нахождения неизвестных сеточных функций на верхнем временном слое) разностная схема Экономичность схемы достигнута за счет применения расщепляющегося оператора, что в свою очередь позволило предложить явный алгоритм поиска точного решения Кроме того, получены оценки для погрешности разностного решения в зависимости от параметров сжимаемости, вязкости газа, норм точного решения дифференциальной задачи и шагов сетки В доказательствах использованы новые априорные оценки, в которых норма функции давления не умножается на малую константу

Полученные результаты являются новыми Практическая значимость. Результаты диссертации являются вкладом в теорию схем для слабосжимаемых газов Схемы, построенные в диссертации, могут быть использованы при решении задач газовой динамики

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах на механико-математическом факультете МГУ, Московском энергетическом институте, Институте вычислительной математики РАН, Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (2001,2003,2006 гг), Научной конференции "Ломоносовские чтения" (механико-математический факультет МГУ, 2003, 2007, 2008 гг), Международной конференции "Mathematical modeling and analisys" (Литва) Публикации. Основные результаты диссертации отражены

в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 109 наименований, и приложения Объем работы -149 страниц (основная часть - 115 страниц)

Содержанке работы.

Во введении дается обзор литературы по теме диссертации, кратко излагается содержание работы, а также ставится начально-краевая задача для двумерного движения вязкого слабосжимаемого баротропного газа Эта задача описывается следующей линеаризованной системой уравнений

др , ,

— + к а 1Уи = 0,

¿Я / N

^ V, л , (1)

Искомые функции давления р(х, ¿) и скорости и(х, ¿) являются функциями переменных Эйлера и определены на, = П х [0, Т\, где О — ограниченная односвязная область в пространстве

Д2 , границу которой будем обозначать Ш В уравнения входит функция f (вектор внешних сил), являющаяся известной функцией переменных Эйлера Через ¡1 обозначен коэффициент динамической вязкости, который считается известной положительной константой, а через к обозначена положительная константа, являющаяся параметром сжимаемости газа

Выписанная система дополняется начальными и граничными условиями

(р,и)|(=о = (Ро.ио), X е п,

и(х, = О, (х,£) едПх [0,Т]

Первая глава посвящена исследованию зависимости производных функций скорости и давления от параметров задачи к и ¡л Это исследование необходимо, так как погрешность численного решения зависит от свойств точного решения задачи (1), (2). Результаты этого исследования будут использованы для оценки точности схем, рассматриваемых в третьей

рттотзо

Данное исследование проводится для обобщения системы (1)

Ф 7 1

— + к сЬуч - д,

я ®

да _ д

— + VI» = /¿Ди + Г

от

Под обобщенным решением задачи (3), (2) понимаются функции р € СЧО.Т^гФ)) и и € СЧО.Т.Ж^П)), для любого Ь € [О, Т] удовлетворяющие системе уравнений

(др 'ди

1УП,1?) = (3,1?) VI? е ад,

(ж' ^ ~а1У7/) + Уг?) = (Г' ^ е

Здесь и далее выражение (, ) обозначает скалярное произведение в пространстве ¿г(^)

В § 1.1 вводятся обозначения и перечисляются наиболее часто используемые утверждения В § 1 2 при условии, что функции и0 е ИДО), ро € И^П), £ е С2(0,Г,£г(П)) и # е

С2(0, Т, ¿2(0)), доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения задачи (3), (2)

В § 1 3 для области О с гладкой границей методом локализации производится разбиение Далее методом спрямления границы задача сводится к системам уравнений в прямоугольнике, который является образом некоторой части области, полученной в результате ее разбиения

В § 14 для системы (3), (2) в произвольной области с кусочно-гладкой границей исследованы зависимости ¿2-норм функций скорости и давления а также их производных по времени от параметров задачи к и //

Основным результатом параграфа является Теорема 1. При условии достаточной гладкости правой части и решения задачи (3), (2) для п = 0,1,2 верна следующая оценка

дпр

дьп

<9пУи

ь^тмт

дп\1

¿=0(0, т ь2т

+

дР

Ьос{0,ТМ9))

где

д{(к,щ,р0,£,д) = к\\Чйыи0\\ЫП) +

В § 1 5 для системы, полученной в § 1 2 доказывается ряд вспомогательных утверждений

В § 16 для задачи (3), (2) получена оценка зависимости ¿2_норм первых производных функции давления и вторых производных функции скорости от к и ¡1 А именно, доказана

Теорема 2. Пусть решение задачи (3), (2), функции { яд, а также граница области О, достаточно гладкие, тогда для п = 0,1,2 верна следующая оценка

дпр

дГ

Ьоо(0,Т,1¥ЦП))

+

дпр

апи

дЬ1'

Ь2(0,Т,\у1(П))

+

Ру/Ц

у/к

дпи

дЬп

Ьсо(0,Г,И'22(П))

где

Я1{к,щ,р01{,д) = ^(ЦУиоЦ^^) + ИЧыа)) + 0{у/к),

\ /

ОЦ{к,щ,ро,{,д) = Ь/£||Уи0Ц1(п) + 0(к),

(¿1(к, и0,р0, д) = к2\\Уи0||И,2(П) + 0{ку/к).

Вторая глава посвящена построению и исследованию новой экономичной разностной схемы для задачи (1), (2)

Параграф 2 1 носит вспомогательный характер В нем вводятся обозначения и перечисляются вспомогательные утверждения В этой главе область О = [0. /1] х [0,12] На ней строятся равномерные сетки и вводятся разностные операторы д%р, д дуР, дРи, сЬуь, V*, Да Далее приводятся некоторые вспомогательные результаты об их свойствах

Теоретическое исследование численных методов для различных задач и вычислительные эксперименты показывают, что одним из возможных способов снижения зависимости точности от параметров дифференциальной задачи явтяется использование неявных разностных схем Поэтому для численного решения задачи (1), (2) предлагается использовать следующую неявную

разностную схему

& + к 61уьуге+1 + k'1тъBhqn+l = О,

V* + Упдп+1 = мА/гУп+1 + Р+1. где = д?{Е - - г//Дл)"1^в.

Начальные и граничные условия для схемы (4) задаются соответствующим образом

Здесь и ниже через р, и обозначены компоненты точного решения, а через д, V — компоненты приближенного решения, найденного по разностной схеме Индекс п указывает на номер временного слоя, г^ = = Уг)/т, VI = у^ = [у"—у'"~1)/т

Основным достоинством построенной схемы является то, что ее решение можно найти прямым методом за 0(Лт^2ЛГ) арифметических действий, где N — общее число неизвестных на верхнем слое

В § 2 3 доказывается теорема существования и единственности численного решения предложенных схем

В § 2 4 описывается алгоритм поиска точного решения В §2 5 доказываются оценки близости точного решения дифференциальной задачи и численного решения, полученного по разностной схеме (4) В частности, получена оценка, в которой численная погрешность функции давления р не умножается на малую константу А именно, доказана

Теорема 3. Пусть решение дифференциальной задачи (1), (2) гладкое и величина кг2 ограничена, тогда для разности между решениями дифференциальной задачи и численным решением, полученным по схеме (4) верна следующая оценка.

II/ - ЧП\ксс + /фП - Vй!|2100 + ~Ы - 9РЦООО + К - ^\коо+

+[1\ип - УП|2,оо < С + + ^ (к2 + ку/^Щ Выше были использованы следующие обозначения

!Нкос - дах^ ЬЬ,оо = даху II'Укуп\\ьи

Заметим, что величина С в теореме 3 зависит от норм решения задачи (1), (2)

Обоснование точности конечно-разностной схемы предъявляет достаточно большие требования к гладкости точного решения дифференциальной задачи (1), (2) С целью снижения требований к гладкости точного решения в третьей главе строится и исследуется схема, построенная методом конечных элементов

В § 3 1 вводятся обозначения и рассматриваются галеркинские приближения для задачи (1), (2), а именно для ограниченной односвязанной области П в пространстве

Л2, граница которой

кусочно-гладкая кривая, задается триангуляция, удовлетворяющая обычным условиям квазиравномерности Через Р/, обозначается пространство кусочно-постоянных функций, заданных на этой триангуляции Разделив каждый треугольник средними линиями на четыре части, получим триангуляцию, на

о

которой зададим пространство кусочно-линейных функций Ьтл Через к будем обозначать наибольшую сторону треугольника в триангуляции В этом же параграфе доказывается теорема существования и единственности для галеркинского приближения В § 3 2 доказываются оценки близости точного решения дифференциальной задачи и галеркинских приближений

В § 3 3 рассматривается проекционно-разностная схема, полученная в результате дискретизации по временной переменной

системы уравнений для галеркинских приближений В этом же параграфе доказывается теорема существования и единственности численного решения, полученного по проекционно-разностной схеме

В § 3 4 доказываются оценки численной погрешности Теорема 4. Пусть решение (и, р) задачи (1), (2) гладкое Тогда для разности между решением дифференциальной задачи и численным решением, полученным по проекционно-разностной схеме, верна следующая оценка

ТЧ __1177 77 11 , .,11, 77 _П II

хг= шах \\р -у ц щщ т р шах ци -V ¡¡¿2(п)^

71=1, 71= 1 Л

1

-I—-= тах |

д1\ _цп

т тах Ь2(П) П=1, ,У

<9и\™

1 -V?

+

ад

тах !,^(и"-у")|и2(П)<С(г + /г)

71=1, ,Л

При этом требования гладкости к точному решению существенно меньше, чем требования гладкости налагаемые в главе 2 Константа С в теореме 4 зависит от к и /х только через интегральные нормы точного решения дифференциальной задачи (1), (2) Пользуясь результатами главы 1, получена

Теорема 4'. Пусть решение (и, р) задачи (1), (2), а также граница области О, достаточно гладкие Тогда для разности между решением дифференциальной задачи и численным решением, полученным по проекционно-разностной схеме, верна следующая оценка

Ы < С (тк^к +

В теореме 4' константа С не зависит от к и /л

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации

В приложении к диссертации на основе идей главы 2 для задачи (1), (2) построена еще одна конечно-разностная схема, которая является альтернативой схемы, рассмотренной в главе 2 В этом же параграфе для задачи (3), (2) выписаны оценки для вторых и третьих пространственных производных функции давления и третьих и четвертых пространственных производных функции скорости в зависимости от к я и Также в приложении содержаться результаты численных расчетов, которые иллюстрируют теоретические оценки

Основные результаты работы

1 Получена зависимость интегральных норм старших производных функций скорости и давления от параметров задачи (коэффициентов сжимаемости и вязкости газа)

2 Построена новая неявная экономичная разностная схема для линеаризованной системы уравнений, описывающей двумерную динамику вязкого слабосжимаемого баротропного газа

3 Доказаны теоремы о погрешности разностного решения и исследована ее зависимость от параметров сжимаемости, вязкости газа, норм точного решения дифференциальной задачи и шагов сетки

4. Построена и исследована неявная проекционно-разностная схема и изучен вопрос точности ее решения в зависимости от параметров сжимаемости, вязкости газа и шагов сетки

5 Получены новые априорные оценки, в которых норма функции давления не умножается на малую константу

Публикации.

1 Жуков К.А., Попов A.B. Исследование экономичной разностной схемы для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т.45. N 4. 677-693.

2 Жуков К А Разностная схема для нестационарных течений вязкого слабосжимамого газа // Труды Математического центра имени H И Лобачевского Казанское математическое общество Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач Т13 Казань 2001, 178-184

3 Жуков К А , Попов А В Экономичная разностная схема для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // Труды Математического центра имени H И Лобачевского Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач Т20 Казань 2003, 119-128

4 Popov А V , Jukov К A An Implicit splitting difference scheme for viscous weakly compressible gas problems // Abstracts of the 8-th International Conference MMA2003 Ъакш, 2003, p 54

Попов А В , Жуков К А Неявная расщепляющаяся схема для вязкого слабосжимаемого газа // Тезисы докладов 8-ой международной конференции ММА2003 Тракай, 2003, с 54

5 Popov A V, Jukov К A Finite-difference schemes or finite element method for weakly compressible gas // Abstracts of the 10-th International Conference MMA2005&CMAM2, Trakai 2005 p 96

Попов А В, Жуков К А Конечно-разностные схемы и метод конечных элементов для слабосжимаемого газа // Тезисы докладов 10-ой международной конференции ММА2005&СМАМ2, Тракай, 2005, с 96

6 Popov А V, Jukov К A Fmite-difference schemes or finite element method for weakly compressible gas // Mathematical modelling and analysis Proceedings of the 10-th International Conference MMA2005&CMAM2, Trakai 2005 1-14

Попов А В , Жуков К А. Конечно-разностные схемы и метод конечных элементов для слабосжимаемого газа // Труды 10-й международной конференции ММА2005&СМАМ2, Тракай, 2005, с 1-14

7 Жуков К А О точности галеркинских приближений для задачи нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // Вычислительные методы и программирование 2006 Т 7, N 1 47-49

8 Жуков К А Проекционно-разностная схема для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // Труды математического центра им Н И Лобачевского, Т 33, Казань, 2006 139-146

9 Жуков К А , Попов А В Исследование производных функций скорости и давления для задачи нестационарного движения

вязкого слабосжимаемого газа // Труды математического центра им Н И Лобачевского, Т 33, Казань, 2006 45-73

10 Popov А V , Jukov К A An existence theorem of solution for viscous weakly compressible gas problems // Abstracts о the 12th International Conference MMA2007, Trakai 2007 p 48

Попов А В , Жуков К А Теорема существования решения для задачи вязкого слабосжи-маемого газа // Тезисы докладов 12-ой международной конференции ММА2007, Тракай, 2007, с 48

Подписано в печать М 1>ШП Зак, ££ Тир №Пч Ыб

Полиграфический центр МЭИ (ТУ)

Красноказарменная ул., д. 13

Введение

1 Оценка производных точного решения

§1.1 Обозначения и используемые утверждения

§1.2 Теорема существования и единственности обобщенного решения.

§1.3 Локализация и спрямление границы.

§1.4 Оценка производных по временной переменной

§1.5 Локальная оценка производных по пространственным переменным.

§1.6 Оценка производных по пространственным переменным.

2 Конечно - разностная схема.

§2.1 Обозначения и вспомогательные утверждения

§2.2 Разностная схема.

§2.3 Существование и единственность разностного решения

§2.4 Алгоритм поиска разностного решения.

§2.5 Исследование точности разностной схемы.

3 Метод конечных элементов.

§3.1 Галеркинское приближение.: г 87 ~

§3.2 Оценка близости галеркинского приближения.

§3.3 Проекционно-разностная схема.

§3.4 Исследование точности проекционно-разностной схемы

Задачи движения вязких сжимаемых сред относятся к важным задачам механики сплошных сред [39, 54]. Одной из таких задач является движение вязкого баротропного газа, математическую модель которого принято описывать следующей системой, записанной в переменных Эйлера. до &у(ри) - О,

0.1) р (и, У)и Ур = Ьлх + дь р = р(р), где Ь есть линейный эллиптический оператор

Ьи = ++А)&уи).

Выше через ц и Л обозначены коэффициенты динамической и сдвиговой вязкости, которые считаются известными константами и удовлетворяют условиям л> 0, (I + Л > 0, Л < 0. Неизвестные функции: плотность р и вектор скорости и, являются функциями переменных Эйлера х) Е <Э = [0, Т] х П В уравнения входят еще две известные функции: вектор внешних сил £, являющийся функцией переменных Эйлера и давление газа-р,-зависящее-от-плотности.

Дополним систему (0.1) начальными и граничными условия-' ми yO,u)|¿=0 = (/00, Uo), XGfi,

0.2) u(í,x) = O, (í,x) G [0,7] x dÜ. Здесь и далее через dQ обозначается граница области П.

В зависимости от размерности вектора пространственных переменных х задачи принято классифицировать на одно, дву и трехмерные.

Наиболее хорошо исследованными являются уравнения одномерного движения. Теория глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений баро-тропного и теплопроводного вязкого газа как в классическом, так и в обобщенном смысле исследовалась в работах В.А.Солон-никова, A.B. Кажихова, В.В. Шелухина, В.А. Вайганта, A.Tani [9, 14, 29, 30, 31, 59, 65, 108] A.A. Амосова и A.A. Злотника [1, 2, 8, 69]. Важные результаты были получены также Н. Beiräo da Veiga [71], A. Matsumura и S. Yanagi [96], D. Hoff [79], D. Serre [106] и P.L. Lions [89, 90, 91].

Случай двух и трех пространственных переменных изучен более слабо. Следует отметить статью [80], где для задачи Коши доказано существование слабых решений в предположении малости начальных данных, но допускающих существование разрывов, и работу [95], где доказано глобальное существование решения для полной системы уравнений Навье-Стокса с начальными данными близкими к константе. Для смешанных краевых задач установлены только локальные теоремы существования произвольных по норме решений [59, 108] и существование глобальных решений близких к состоянию покоя [16]. В случае упрощенной записи уравнений Навье-Стокса (0.1),(0.2),т.е использования приближения Стокса [54] для второго уравнения, для потенциальных решений в [15] установлено существование обобщенных (слабых) решений при любом конечном числе пространственных переменных. В двумерном случае было показано, что при достаточно гладких данных обобщенное решение также обладает соответствующей гладкостью. Для непотенциальных течений в работе [40] доказана теорема существования "в целом "(по времени и данным) слабого решения.

В связи с тем, что сложность уравнений (0.1), (0.2) делает невозможным получение аналитических решений, не менее важным следует считать вопросы, связанные с построением и строгим обоснованием численных методов для решения данных систем уравнений. К настоящему времени накоплен большой опыт численного решения задач вязкого и невязкого газа и имеются достижения в теории численных методов [12, 13, 35, 36, 43, 50, 53, 67] и др. Однако обоснование корректности методов и получение для них оценок погрешности численного интегрирования в исходной нелинейной постановке представляет сложную математическую проблему.

В работах Н.В. Арделяна [10, 11] получены общие теоремы о сходимости нелинейных разностных схем, использующие схемы в виде одного операторного уравнения и теоремы существования решения операторного уравнения в окрестности известного элемента. Главным условием сходимости является равномерная по коэффициентам устойчивость линеаризованной схемы. Это позволяет использовать теорию устойчивости линейных разностных схем [52] при исследовании нелинейных схем. Однако применение этого подхода при обосновании конкретных разностных —методов встретило-значительные трудности.

В настоящее время наиболее полное исследование математических свойств разностных схем было проведено лишь для одномерных движений газа. В этом случае удобно изучать уравнения газовой динамики в лагранжевых массовых координатах, которые имеют относительно удобный для исследования вид. Вопросам обоснования построенных разностных схем для движения баротропного газа посвящены работы [51, 56, 57, 61]. Наиболее полно исследован этот подход в работах А.А.Амосова и A.A. Злотника, где рассмотрен широкий класс разностных схем [3, 4, 5, 6, 7, 19] (работа [19] выполнена A.A. Злотником совместно с В.В. Гилевой). В отмеченных работах узучены вопросы устойчивости разностных схем в нескольких нормах, в частности в равномерной норме. Получены разностные аналоги законов сохранения и выведены априорные оценки разностного решения "в целом" по времени. Прослежено усиление нормы оценки погрешности и увеличение порядка сходимости с ростом требований на данные.

Значительно менее подробно исследованы разностные схемы для одномерных уравнений движений вязких сред, записанных в эйлеровых координатах. Здесь можно отметить работы A.B. Попова, Д.Г. Слугина [47, 49], в которых для построенных авторами разностных схем доказаны оценки погрешности при условии существования гладкого решения дифференциальной задачи.

Для двумерных течений система уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа становится громоздкой, что не позволяет распространить утверждения, полученные в одномерном случае, на двумерный и трехмерный. Поэтому для многомерных уравнений динамики вязкого газа удобно использовать уравне--ниягзаписанные.в.перемедных^йлера. В этом направлении использовались различные численные методы для построения разностных схем. Отметим два подхода к построению численных решений для многомерных задач газовой динамики.

Хорошо известна важность условия полной консервативности разностных схем для задач газовой динамики [53]. Однако при численном решении этих задач в переменных, отличных от лагранжевых, необходимо каким-либо образом аппроксимировать выражения, описывающие процессы конвективного переноса массы, импульса и полной энергии. Построение полностью консервативных разностных схем в этом случае оказалось достаточно трудной задачей. Для уравнений невязкого газа такие схемы построены в [28].

Другой подход к решению задач газовой динамики основан на применении кинетически-согласованных схем, построенных на основе квазигазодинамических уравнений. Работа в этом направлении ведется давно и основные ее результаты можно найти в [20, 21, 63, 66].

Однако полное обоснование применения этих методов пока к сожалению отсутствует. В работах A.B. Попова [46, 98], Г.М. Кобелькова, А.Г. Соколова [82], В. Kellogg, В. Liu [85, 93] для баротропного газа и A.B. Попова [44, 48] и Ш. Смагулова [55] для теплопроводного газа, строятся различные разностные схемы, для которых получены соответствующие оценки сходимости. Но в этих работах рассуждения проведены при условии, что функция р = р{р) является гладкой функцией с производными ограниченными некоторой константой, значение которой невелико.

В ряде случаев требуется численное моделирование течений газа, при плотностях близких к некоторой величине р* такой, что — (/?*•)-в е л ико. - Э то - означает, что малые изменения плотно-dp ~ ~ " сти влекут за собой существенные изменения давления.

При условии, что \р — р*\ < 5 <С 1, уравнение состояния можно приближенно записать в виде

Р = Р(Р) « р* + к*(р-р"), (0.3) где р* = р(р*), а к* есть положительная константа равная ~(р*) up

Константа к* характеризует сжимаемость газа при плотностях газа близких к р*. Такие течения газа называют слабосжима-емыми и упомянутые выше методы решений обладают неравномерной по к* скоростью сходимости.

Предположим, что существует решение задачи (0.1),( 0.2) (/?, и) такое, что \р — р*\ <8 во всех точках области Q. Через р обозначим разность между функцией р и величиной р*. Тогда можно считать с точностью приближения функции давления от плотности в виде (0.3), что функции р и и являются решением задачи др div((/o* + p)u) = 0, du dt р* + Р) Р = к*р, dt (u, V)u Vp = Lu + (р* + р) f,

5,и)= (Ро,и0), хеП, и(*,х) = 0, (*,х) е [0,7] х да.

При больших числах к* удобнее принять за искомые величины функции р и и и переписать систему, домножив первое уравнение на коэффициент к*, в виде dt к*р* div(u) + div(pu) = 0, ди Р к* dt (u, V)u Р Vp = Lu + ( р* + ^ 1 f.

Упростим полученные уравнения, положив к = к*р* (далее Р будем считать, что к 1) и пренебрегая величинами —, а также опустим знак волны над функцией р. В результате получим следующую задачу для определения р и и др к Шу(и) + сИу(ри) = 0, dt du (и, V)u + Vp = Lu + f, т р, и)|4=0 = (Ро,и0), X е П, и(*,х) = О, (¿,х) € [0,Т] х дп. При численном решении полученной задачи нужно учитывать ее промежуточное положение между сжимаемыми и несжимаемыми средами. В диссертации исследуется двумерная линейная система, полученная отбрасыванием нелинейных членов и члена + Л) Шуи), др dt du fcdivu = 0, + Vp = [¿Au + f,

0.4)

0.5) dt

Pi u)|i=o = (Po,u0), xGfi, u(t,x) = 0, (t,x) G [0,T] x Ш. В дальнейшем будем дополнительно предполагать, что ц < 1.

К системе (0.4), (0.5) также приводит использование псевдо-сжимаемых или квази-сжимаемых методов, в результате которых уравнения Стокса для несжимаемой жидкости заменяются на уравнения эволюционного типа с малым параметром. Впервые это предложил в 1966 году H.H. Яненко [68]. При этом он исходил из естественного физического предположения'^ что при определенных условиях движения несжимаемой и слабосжимаемой среды должны быть близкими. Идея аппроксимации уравнений Стокса для несжимаемой жидкости уравнениями эволюционного типа была использована в [17], а потом развита Тешат Я. в [109]. На сегодняшний день некоторые итоги применения методов с так называемой искуственной сжимаемостью можно найти в [104, 105, 107]. В то же время применение этих методов для решения задач динамики несжимаемой жидкости весьма ограничено. Г.М. Кобельковым в [34] было показано, что решение систем с искусственной сжимаемостью при некоторых условиях обладают осциляциями, которых нет у решений уравнений Стокса для несжимаемой жидкости. В связи с этим применение этого метода с использованием системы (0.4), (0.5) сводится обычно только к поиску стационарных течений исходной системы уравнений для несжимаемой жидкости.

Опишем подробнее содержание диссертации и параллельно продолжим обзор литературы. В первой главе диссертации рассматривается обобщение системы (0.4) др . . к сЬуи = д, (0.6) аи ^ л V р = цАи + £. оЬ

Поскольку первое уравнение задачи (0.6) гиперболического типа, а второе параболического, то вся система уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем уравнений (систем составного типа) развита еще недостаточно. Задачи, аналогичные задаче (0.6), (0.5), рассматривались в работах [37, 72, 76, 86, 104]. В частности в монографии [104] рассматриваются оценки производных по времени для аналогичных задач. В работе [37]^ля^адачи"Стокса получена оценка пространственных производных в случае ограниченной области с гладкой границей. В статье [76] для аналогичной области полученны оценки для обобщенной задачи Стокса, т.е. в случае, когда сЦуи = д, а в статье [72] в случае, когда это уравнение заменено на Ар + с1г/и = д. Частичное обобщение этих результатов для области типа многоугольника, а именно Н2 регуляризация дана в [86]. Полное обобщение для области с углами сделано в [78]. Для системы (0.4), (0.5) в [45, 99] были получены оценки для ¿2 норм функций давления и скорости.

В первом параграфе первой главы вводятся обозначения и приводятся используемые утверждения. Во втором параграфе первой главы для задачи (0.6), (0.5) доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения, в третьем параграфе для области П с гладкой границей методом локализации производится разбиение. Далее методом спрямления границы задача сводится к системам уравнений в прямоугольнике, который является образом некоторой части области, полученной в результате ее разбиения: р + к (Цуи = киуфх + д, й1 + рх = ¡¿Аи1 + Руфх - 2ци1у + ¡ш1ш(фх)2 + Д (0.7) й2 + ру = jj.Au2 - 2ци2ху + ^и2уу{фх)2 + /2, где точка над буквами обозначает производную по временной переменной, а буквы х и у в индексе — производные по пространственным переменным х и у соответственно, ф — функция, задающая границу области О в некоторой локальной системе координат.

В четвертом параграфе для системы (0.7), (0.5) для произ-вольной-области^кусютао^гпадкой границей исследованы зависимости ¿2 норм функций скорости и давления, а так же их производных по времени от параметров задачи А; и да. При условии достаточной гладкости правых частей и решения задачи (0.7). (0.5) доказывается следующая оценка дпр

Ьоо^тмт дпи

9пУи дЬ п дЬп ьоо(о,т,ь2т дп+1Уи дп+1 и дгп+1

ЬаофРМШ дЬп+1

Ь2{.Я) п = 0,1,2, где

Я\(к,щ,р0^,д) = А;||Уио||и^(п) + + (2\(к, щ,р0, ^ д) = ку/к\\Х7щ\\щ(п) + + у/к(}\ + ¿Ц.

Величины (т = 0,1,2,3,4,5) и константа С не зависят от величин к и ¡л.

В пятом параграфе для системы (0.7) в прямоугольнике с начальными условиями (0.5), заданными на одной из сторон прямоугольника, получены оценки ¿2 норм производных по пространственным переменным первого порядка для функции давления и второго порядка для функции скорости. В шестом параграфе для области с достаточно гладкой границей получена оценка зависимости 1/2 норм первых производных функции давления и вторых производных функции скорости от к и ¡1. А именно, в предположении достаточной гладкости правых частей и решения задачи (0.6), (0.5) доказана оценка где дпр Ш дпр дё

Мл/Д

О.Г.ИЗФ)) ' у/к дпи дпи дЬ п ь2(0,тм(п))

4- /1 дЬ п д),

Я\{к,ро, Ид, ?, д) = ку/к\\Чщ\\пип) + Щ\ ч- у/к§\ + 01 и0, ^ д) = ^П^тлоПр^^) + кл/к(% + + +

Величины (т = 0,1,2,3,4,5,6,7,8) и константа С не зависят от к и ¡л.

Во второй главе диссертации построена новая экономичная разностная схема для задачи (0.4), (0.5). Задачи, аналогичные (0.4), (0.5), рассматривались во многих работах (см. например [24, 37, 45, 60, 68, 99, 104, 107]), где были построены различные разностные схемы и проведены оценки точности получаемых сеточных решений. В частности, в [37] для неявных разностных схем переменных направлений доказаны оценки погрешности для функции скорости. Однако оценка для функции давления в этой работе нормирована на коэффициент 1/к, что не дает возможности судить о точности расчетов давления при больших к.

В первом параграфе главы 2 вводятся обозначения и описываются используемые вспомогательные утверждения. Во втором параграфе строится неявная разностная схема, решение которой предлагается искать путем исключения функции скорости. Далее в этом параграфе выписывается оператор, который требуется обращать для получения сеточного решения в этом случае. Производится расщепление (факторизация) этого оператора на два легкообращаемых оператора.

В параграфе 3 для полученной в результате расщепления разностной схемы доказывается теорема существования и единственности сеточного решения. В четвертом параграфе для разностной схемы, построенной в параграфе 2, описывается алгоритм поиска точного решения. А в пятом параграфе для этой схемы в предположении гладкоста ^ё^нтёния дифференциальной зада- чи (0.4), (0.5) и ограниченности величины кг2 получена оценка max \\рп ~ qn\\b2h + V max ||un - vn||^i +

-4= max \\p? — qfWbot + max lluf — v?IUo^ y/k П=1,.Д UFt 4t 11 2,/l n=l,.,n 11 t t

Здесь и ниже через р, и обозначены компоненты точного решения, а через q, v - компоненты приближенного решения, найденного по разностной схеме. Индекс п указывает на номер временного слоя, а через обозначена разность назад по временной переменной [52].

Однако использование техники обоснования точности конечно-разностной схемы предъявляет достаточно большие требования к гладкости точного решения дифференциальной задачи (0.4), (0.5). С целью снижения требований к гладкости точного решения в третьей главе строится и исследуется схема, построенная методом конечных элементов. В настоящее время этот метод широко применяется для задач динамики вязкого газа в основном благодаря возможности использования его в областях со сложной геометрией. В работах [70, 74, 75, 77, 81] предложены различные алгоритмы поиска приближенного решения для задачи движения вязкого газа на основе метода конечных элементов и экспериментально показана эффективность используемых методов. Однако несмотря на такую популярность этого метода, вопросам его обоснования уделено меньше внимания. Для линеаризованной задачи, описывающей стационарные сжимаемые вязкие течения (задача сжимаемого Стокса) R. Kellogg и В. Liu в [83] доказали сущ^твование~и""единственность-приближенного решения, построенного методом конечных элементов, а также ими были получены оценки численной аппроксимации. Этими же авторами в [84] были получены аналогичные результаты для задачи сжимаемого Стокса с добавленным слагаемым ер в уравнение неразрывности. В нелинейном случае O.Pironneau и J.Rappaz [97], используя метод конечных элементов и регуляри-зирующую технику, построили численное решение для задачи сжимаемого Стокса и доказали его сходимость. Далее В. Liu в [92] были получины априорные оценки численной аппроксимации для сжимаемых уравнений Навье-Стокса (регуляризован-ных методом streamline diffusion), как для двумерного, так и для трехмерного случая. R. Kellogg и В. Liu в работах [85, 93] для двумерных сжимаемых уравнений Навье-Стокса, а в работе [94] для трехмерных уравнений было построено конечно-элементное численное решение, доказано его существование и единственность, а также получены априорные оценки ошибки численной аппроксимации. Результаты в этих работах получены в предположении условия т ^ hd/2, где d, (d = 2,3) размерность задачи, а т и h шаги сетки соответственно по временным и пространственным координатам. Однако в этих работах не рассматривается случай слабосжимаемого газа. Этому случаю, а также получению оценок для ошибки численной аппроксимации в зависимости не только от параметров дискретизации, но и от параметров к и ¡л уделил внимание J. R. Kweon, но только для линеаризованной сжимаемой задачи Стокса. Эти результаты отражены в работах [87, 88].

В первом параграфе третьей главы вводятся обозначения, далее для задачи (0.4), (0.5) рассматриваются галеркинские приближения доказываетсяjixj^yjgec^^ , а во втором параграфе доказываются оценки близости точного решения дифференциальной задачи и галеркинских приближе длх дй дЬ дь ь^тмт ний. А именно, в предположении гладкости точного решения дифференциальной задачи получена следующая оценка

1 = 1Ь - Р\\ьоо (о,тмт + м11и ~ йЦьоо^г,^^))^ 1 др др лД дг дь Ьоо^тмт

У(и - и)||Ьоа^тмт ^ С1г

Здесь через р и й обозначены галеркинские приближения соответственно для давления и скорости. Константа С зависит от к и ¡1 через нормы точного решения задачи (0.4), (0.5). Используя результаты главы 1, в предположении гладкости точного решения дифференциальной задачи и границы области О,, получена оценка полной зависимости погрешности галеркинского приближения от к и ¡1.

1 ^ Скк2

Цу/Ц' где константа С не зависит от к и ¡1.

В третьем параграфе третьей главы в результате использования метода конечных разностей по временной переменной из галеркинских приближений получается система алгебраических уравнений для нахождения приближенного решения. Доказывается существование и единственность этого решения. В четвертом параграфе доказываются оценки численного интегрирования в предположении гладкости точного решения дифференциальной задачи (0.4), (0.5) ^ шах ||ип-уп|и2(^+

ТЪ— 1. ^. ^./V

Яо = гпах II о' 1 тах др дь п п тах

Ь2(П) 71=1,. ди ж п

2(П)

У(и" " ^ С (Т + ■

При этом требования гладкости точного решения существенно меньше, чем требования гладкости к точному решению, накладываемые в главе 2. Здесь костанта С также зависит от к и /1 через нормы точного решения задачи (0.4), (0.5). Поэтому, используя результаты главы 1, в предположении гладкости точного решения задачи (0.4), (0.5) и границы области О, получена оценка где константа С не зависит от к и ц.

В приложении к диссертации на основе идей главы 2 для задачи (0.4), (0.5) построена еще одна конечно-разностная схема, которая является альтернативой схемы, рассмотренной в главе 2. Далее для задачи (0.6), (0.5) выписаны оценки 1/2 норм вторых и третьих пространственных производных функции давления и третьих и четвертых пространственных производных функции скорости. Также в приложении содержатся результаты численных расчетов, которые иллюстрируют теоретические оценки.

В каждой главе диссертации принята независимая двойная нумерация утверждений (теорем, лемм) и формул, причем первым указывается номер параграфа в главе, вторым — номер утверждения, либо формулы в параграфе. Если первой указана цифра нуль, то это означает, что данная формула из введения. При ссылке на параграф, утверждение, формулу другой главы дополнительно указывается номер соответствующей главы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22, 23, 24, 25, 26, 27, 100, 101, 102, 103].

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Исследована зависимость интегральных норм старших производных функций скорости и давления от параметров задачи (коэффициентов сжимаемости и вязкости газа).

2. Построена новая неявная экономичная (в смысле требуемого количества арифметических операций для нахождения неизвестных сеточных функций на верхнем временном слое) разностная схема. Экономичность схем достигнута за счет применения расщепляющегося оператора, что в свою очередь позволило предложить явный алгоритм поиска точного решения.

3. Получены оценки для погрешности разностного решения в зависимости от шагов сетки, параметров сжимаемости, вязкости газа и норм точного решения дифференциальной задачи.

4. Построена и исследована неявная проекционно-разностная схема и изучен вопрос точности ее решения в зависимости от параметров сжимаемости, вязкости газа и шагов сетки.

5. Получены новые априорные оценки, в которых норма функции давления не умножается на малую константу.

Заключение

1. Амосов АА. Существование глобальных обощенных решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа и одномерной нелинейной термовязкоупругости // Доклады РАН. 1999. Т. 369. N 3. С. 295-298.

2. Амосов A.A. Существование глобальных обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа с разрывными данными // Дифф. уравнения. 2000. Т. 36. N 4. С. 486-499.

3. Амосов A.A., Злотник A.A. О разностных схемах для некоторых задач об одномерном движении вязкого газа // Numerical Analisis and mathematical modelling. Banach Center Publications. V.34. PWD Polish Scientific Publishers/ Warsaw. 1990. P. 415-434.

4. Амосов A.A., Злотник A.A. Разностная схема для уравнений движения вязкого теплопроводного газа, её свойства и оценки погрешности в целом // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284. N 2. С. 265-269.

5. Амосов A.A., Злотник A.A. Разностная схема для уравнений движения вязкого баротропного газа, её свойства и оценки погрешности в "в целом"// Докл. АН СССР. 1986. Т. 288.---N'2.Crl92-218:-----------------------

6. Амосов A.A., Злотник A.A. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Вычислительные процессы и системы: выпуск 4 (под редакцией Г.И. Марчука). М.: Наука. 1986. Вып. 4. С. 192-218.

7. Амосов A.A., Злотник A.A. Разностные схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. N 7. С. 1032-1049.

8. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом "системы уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа // Матем. заметки. 1992. Т. 52. Вып. 2. С. 3-16.

9. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

10. Арделян Н.В. Разрешимость и сходимость нелинейных разностных схем //Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. N 6. С. 12891292.

11. И. Арделян Н.В. Метод исследования сходимости нелинейных разностных схем //Дифф. уравнения. 1987. Т. 23. N 7. С. 1116-1127.

12. Белоцерковский О.М., Андрушенко В.А., Шевелев Ю.Д., Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. Вычислительный эксперимент. М.: "Янус-К", 2000.

13. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.:Наука. 1982.

14. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С. 3 21.

15. Вайгант В.А., Кажихов A.B. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Дифф. уравнения. 1994. Т. 30, N 6. С. 1010-1022.

16. Вайгант В. А., Кажихов А. В. О существовании глобальных решений двумерных урав- нений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, N 6. С. 1283-1316.

17. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. - Новосибирск: Наука. 1966. С. 29-35.

18. Валединский В.Д., Кобельков Г.М. О разностном аналоге неравенства \\р\\ь2 ^ C^gradp^w-i // Препринт N 67. М., 1983.

19. Гилева В.В., Злотник A.A. О разностной схеме с переменным весом для уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой баротропной жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. N 6. С. 1079-1093.

20. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений-----/уМатем.моделированиегпроцессыв'нелинейных-средахг

21. М.:Наука, 1986. С.261-278.'

22. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е., Шеретов Ю.В. Квазигазодинамические уравнения и численное моделирование течений вязкого газа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. N 3. С. 545-557.

23. Жуков К.А. О точности галеркинских приближений для задачи нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т.7, N 1, С. 47-49.

24. Жуков К.А. Проекционно-разностная схема для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского, Т. 33, Казань, 2006. С. 139-146.

25. Жуков К.А., Попов A.B. Исследование производных функций скорости и давления для задачи нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского, Т. 33, Казань, 2006. С. 45-73.

26. Жуков К.А., Попов A.B. Исследование экономичной разностной схемы для нестационарного движения вязкого сла-босжимаемого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. N 4. С. 677-693.

27. Иванов Ф.В. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных. Диссертация канд. физ.-мат. наук. Якутск. 1999. 122с.

28. Кажихов A.B. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динам, сплошной среды. Новосибирск. 1981. Вып. 50. С. 37-62.

29. Кажихов A.B. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23 N. 1. С. 60-64.

30. Кажихов A.B., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл. матем. и мех. 1977. Т. 41. N 2. С. 282-291.

31. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. Вычислительные процессы и системы. Выпуск 8. М.: Наука. 1991. С. 204-236.

32. Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормировках подпространств L2 // Analysys Mathematica. 1977. N 3 С. 177-186.

33. Кобельков Г.М. Симметричные аппроксимации уравнений Навье-Стокса. // Мат. сб. 2002. Т. 193. N 7. С. 87-108.

34. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука. 1981.

35. Куликовский А.Г. Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболический систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

36. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

37. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1972.

38. Лойцанский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:Наука., 1987.

39. Лукина Е. В., Глобальные решения многомерных приближений уравнений Навье-Стокса вязкого газа. Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. N 2. С. 389-401.

40. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

41. Никольский С.М. О продолжении функций многих переменных с сохранением дифференциальных свойств // Мат. сб. 1956. Т. 40(82), N 2. С. 244-268.

42. Пасконов В.М., Петухова Т.П., Русаков C.B. Численное моделирование нестационарных ламинарных течений вязкого газа. М.: изд-во МГУ, 1986.

43. Попов A.B. Исследование экономичного конечно-разностного метода для двухмерных уравнений вязкого теплопроводного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 30. N 7. С. 1066-1080.

44. Попов A.B. Разностная схема для нестационарного движе- ния вязкого слабосжимаемого газа // Оптимизация численных методов. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН, 2000.

45. Попов A.B. Исследование экономичного конечно-разностного метода для системы уравнений двумерного движения вязкого баротропного газа // Препринт ОВМ АН СССР. М.: 1989. N 245. 31с.

46. Попов A.B. Исследование конечно-разностного метода для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера // Препринт ОВМ АН СССР. М.: 1988. N 198. 25с.

47. Попов A.B. Численные методы решения задач динамики вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера. Диссертация канд. физ-мат. наук. Москва. 1990. 138 с.

48. Попов A.B., Слугин Д.Г. О задаче протекания вязкого баротропного газа в одномерном случае. Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 33 Казань. 2006. С. 195-204.

49. Рождественский Б.Л. Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложений к газовой динамике. М.: Наука. 1978.

50. Рысбаев Б.Р., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнения вязкого газа // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. N 3. С. 558-559.

51. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

52. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.

53. Седов Л.И. Механика сплошнойхреды.-М.:-Наукаг1978.-

54. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. N 3. С 553-556.

55. Смагулов Ш. Устойчивые разностные схемы для модели вязкого газа // Вестник АН КазССР 1985. N 7. С. 60 62.

56. Смагулов Ш. Устойчивая разностная схема для модели вязкого газа // Устойчивость и оптимальность управляющих систем. Алма-ата. 1986. С. 93-97.

57. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Квадратурные формулы. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1996.

58. Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Исследования по линейным операторам и теории функций. Л.: Наука, 1976. Т. 6. С. 128-142.

59. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981.

60. Туретаев И.Д. Скорость сходимости в Ь2 разностных схем для одномерных уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: "Нестационарные проблемы механики", вып. 74. 1986. С.81-86.

61. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

62. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике: новая модель вязкого газа, алгоритмы, параллельная реализация, приложения. М.: Из-во МГУ, 1999.64.~Чижонков~Е. ВгРелаксаЩсшньГе^ет задач. М.: ИВМ РАН, 2002.

63. Шелухин В.В. О структуре обобщенных решений одномерных уравнений политропного вязкого газа // Прикл. матем. и мех. 1984. Вып. 6. С. 912-920.

64. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Изд-во ТвГУ. 2000.

65. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1985.

66. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Новосиб. гос.ун-т, 1966.

67. Amosov A.A. Existence of global weak solutions to the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity with discountinuous data //Proc. Steklov. Inst. Math. 2002. V. 236.

68. Bassi F.,'Rebay S., A high-order accurate discontinuous finete element method for the numerical solutions of the compressible Navier-Stokes equations //J Comput Phys 1997. V. 131. P. 267-279.

69. Beirâo da Veiga H., Long time behavior for one-dimensional motion of a general barotropic viscous fluid // Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. V. 108. P. 141-160.

70. Beirâo da Veiga H. A new approach to the ^-regularity theorems for linear stationary nonhomogeneous Stokes systems- // PortugaH 3, P. 271-286.

71. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. Springer-Verlag New York Inc. 1991.

72. Bristeau M. O., Glowinski R., Dutto L., Periaux J., Roge' G. , Compressible viscous flow calculations using compatible finite element approximations // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1990. V. 11. P. 719-749.

73. Burbeau A., Sagaut P., Simulation of a viscous compressible flow past a circular cylinder with high-order discontinuous Galerkin methods // Comput. Fluids. 2002. V. 31, P. 867-889.

74. Cattabriga L. Su un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1961. V 31. P. 308-340.

75. Choquet R., Leyland P., and Tefy T., GMRES acceleration of iterative implicit finite element solvers for compressible Euler and Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Methods. Fluids. 1995. V. 20, P. 957-967.

76. Dauge M. Stationary Stokes and Navier Stokes systems on two-or three-dimensional domains with corners. Part 1: linearized equations // SIAM J. Math. Anal. 1989, V. 20, P. 74-97.

77. Hoff D., Global existence for ID, compressible, isentropic Navier-Stokes equations with large initial data // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 303, P. 169-181.

78. Hoff D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow with discountinuos initial data // Journal of differential equations, 1995. V. 120. P. 215254.

79. Fortin M., Manouzi H. , Soulaimani A. On finite element approximation and stabilization methods for compressible viscous flow // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1993. V. 17. P. 477-499.

80. Kobelkov G.M., Sokolov A.G. On finite difference schemes for viscous baratropic compressible gas problems // Sov. J. Mumer. Mat. Modelling. 1994. V. 9. P. 223-229.

81. Kellogg B., Liu B. A finite element solution for the compressible Stokes equations // SIAM J. Num. Anal. 1996 V.33. P. 780-789.

82. Kellogg B., Liu B., A penalized finite element method for a compressible Stokes equations // SIAM J. Num. Anal. 1997. V. 34P. 1093-1105.

83. Kellogg B., Liu B., The analysis of a finite element method for the Navier-Stokes equations with compressibility // Numerische Mathematik. 2000. V. 87, P. 153-170.

84. Kellogg R.B., Osborn J.E. A regularity result for Stokes problem in a convex polygon //J. Funct. Anal., 1976. V. 21, P. 397-431.

85. Kweon J. R. A discontinuous Galerkin method for convection-dominated compressible viscous Navier-Stokes equations with an inflow boundary condition // SIAM J. Numer. Anal. 2000. V. 38P." 699-717.

86. Kweon J. R., A mixed finite element method for a compressible Stokes problem with high Reynolds number. // Appl. Numer. Math. 2001. V. 38P. 87-103.

87. Lions P. L., Existence globale de solutions pour les equations de Navier-Stokes compressibles isentropiques // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. Math. 1993. V. 316. P. 1335-1340.

88. Lions P. L., Limites incompressible et acoustique pour des fluides visqueux, compressibles et isentropiques // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. Math. 1993. V. 317, P. 1197-1202.

89. Lions P. L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Vol. 2,Oxford, 1998.

90. Liu B., The analysis of a finite element method with streamline diffusion for the compressible Navier-Stokes equations // SIAM J. Num. Anal. 2000. V. 38P. 1-16.

91. Liu B., On a finite element method for unsteady compressible Navier-Stokes equations // Numer. Methods Partial Differential Eq. 2003. V. 19P. 152-166.

92. Liu B., On a Finite Element Method for Three-Dimensional Unsteady Compressible Viscous Flows // Inc. Numer. Methods Partial Differential Eq. 2004. V. 20. P. 432-449.

93. Matsumura A., Nishida T., The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases. //J. Math. Kyoto, 1980. V. 20 P. 67-104.

94. Matsumura A., Yanagi S., Uniform boundedness of the solutions for a one-dimensional isentoric model system of compressible viscous gas // Commum. Math. Phys. 1996. V. 175, P. 259-274.

95. Pironneau O., Rappaz J. Numerical analysisforcompressible. viscous isentropic stationary flows // IMPACT Comput. Sci. Engng. 1989. V. 1, P. 109-137.

96. Popov A.V. A study of finite-difference method for solving gas dynamic equations in Euler coordinates // Sov. J. Numer. Mat. Modelling. 1991. V. 6, P. 377-394.

97. Popov A.V. Of Finite Difference sheme for viscous weakly compressible gas problem.— Department of Mathematics Univesity of Nijmengen. The Netherlands. 1996. Report N 9617. P. 1-13.

98. Popov A.V., Jukov K.A. An Implicit splitting difference scheme for viscous weakly compressible gas problems // Abstracts of the 8-th International Conference MMA2003". Trakai, 2003, p. 54.

99. Popov A.V., Jukov K.A. Finite-difference schemes or finite element method for weakly compressible gas // Abstracts of the 10-th International Conference MMA2005&CMAM2, Trakai. 2005. p. 96.

100. Popov A.V., Zhukov K.A. Finite-difference schemes or finite element method for weakly compressible gas //Mathematical modelling and analysis. Proceedings of the 10th international conference MMA&CMAM2, Trakai. 2005. p. 1-14.

101. Popov A.V., Jukov K.A. An existence theorem of solution for viscous weakly compressible gas problems // Abstracts of the 12-th International Conference MMA2007, Trakai. 2007. p. 48.

102. Prohl A. Projection and qvuasi-compressibility methods for solving the imcompressible Navie-Stokes equations. Stuttgard, 1997.

103. Ransau S.R. Solution Methods for Incompressible Viscous Free Surface Flows: A Littérature Review. Norwegian university ofsience and technology trondheim, Norway. Preprint numericsno 3. 2002. 67p.

104. Serre D., Global weak solutions for compressible Navier-Stokes equations // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1986. V. 303, P. 639-642.

105. Tani A. On the first initial boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V. 13, N 1. P. 193-253.

106. Temam R. Une methode d'approximation de la solushion des equations de Navier-Stokes // Bull. Sos. Math., France, 1968, P. 115 152.