Исследование разностных схем для уравнений симметрического движения вязкого газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

о 09 ^

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОТДЕЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи ШТИКОНАС Артурас Домович

УДК 519.63

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА

01.01.07— Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва—1990

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики ханико-математического факультета Московского государстве! го университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Н. С. БАХВАЛ

Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук, профессор Г. С. РОСЛЯК кандидат физико-математических наук, доцепт А. А. ЗЛОТН

Ведущая организация — Московский Ордена Ленина и Ордена Октябрьской револю энергетический институт

Защита диссертации состоится «. -1990 I

в /7^- часов на заседании специализированного смета К. 003.4 в Отделе вычислительной математики АН СССР по адр 119034, Москва, ул. Рылеева, 29, ОВМ АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться б библиотеке ОВМ СССР.

Автореферат разослан « » \ ддп года.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических жГук,

И. А ГОШ К

тхгьш:: №шг;и I

«j * ili I» мич

ОТАвЛ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

дьность темы. Значительная часть нелинейных нестацио-

нарных математических моделей, описывающих движения сплошной среды, представляет содой краевые задачи для систем уравнений в частных производных. Как правило, они не имеют простых решений, допускающих запись в явном виде. При исследовании свойств решений и получении конкретных решений с некоторой точностью часто используется нахождение решений этих задач при помощи численных методов на ЭВМ.

Одним из самых универсальных и наиболее эффективных приближенных методов нахождения решений указанных задач является метод конечных разностей.

Важной целью теории разностных схем является построение и обоснование разностных методов решения задач газовой динамики. Различным аспектам теории таких задач и разностных схем для них посвящены работы Бахвалова Н.С., Белоцерковского О.М., Годунова С.К., Рождественского Б.Л., Самарского A.A., Яненко H.H. и многих других ученых. В то же время в теории разностных схем этих задач пока много открытых и малоизученных проблем, представлявших как теоретический, так и практический интерес. Среди них отметим, например, широкий класс вопросов, связанных с получением априорных оценок сеточного решения, с исследованием устойчивости, сходимости построенных разностных схем, а также с нахождением приближенного решения.

Изучению одномерных задач газовой динамики посвящены работы Кажихова A.B., Николаева В.Б., Рослякова Г..С. и других ученых. Разностные схемы для таких задач изучались в работах Попова Ю.П., Смагулова И., Байсуйеуевой S.H. В случав плоскопараллельного течения вязкого газа наиболее законченные результаты получены в работах Амосова A.A. и Злотника A.A.

В то же время вопросы обоснования устойчивости, сходимости разностных схем для симметрического движения вязкого газа остаются открытыми и являются актуальными.

Цель работы. Изучение некоторых разностных схем для уравнений симметрического движения вязкого газа. Получение априорных оценок, установление устойчивости предложенных схем, оценок погрешности.

Общая методика исследований. В диссертации использованн результаты и методы функционального анализа, общей теории краевых

задач, теории разностных схем, итерационных методов для них.

Научная новизна» В диссертационной работе получены cieiyib- ' щке результаты: ;

- построены новые разностные схемы для уравнений симметрй-ческого движения вязкого баротропного, баротропного в магнитном поле, теплопроводного газа;

- выведены априорные или квазиаприорные оценки разностных решений "в целом" по времени, в том числе оценки разностной плотности сверху и снизу положительными постоянными;

- доказана устойчивость решений "в целом" в нескольких нормах, в частности, и в равномерной норме;

- обоснован метод типа простой итерации для вычисления разностного решения, и установлены оценки погрешности этого метола "в целом" по времени.

Для плоскопараллельного движения вязкого газа часть результатов диссертации следуют из работ Амосова A.A. и Злотника A.A.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении разностных схем для других краевых задач для симметрического движения вязкого газа. Схемы, построенные в диссертации, могут быть использованы при решении практических задач газовой, магнитно-газовой динамики.

Апробация. Результаты работы докладывались на:

- KOKi-еренции молодых ученых механико-математического Факультета МГУ / 198Э г. /;

- научно-исследовательском семинаре кафедры математического моделирования МЭИ;

- научно-исследовательском семинаре под руководством д.ф.-м.н. В.М, Басконова, д.ф.-м.н. Г.С. Рослякова на факультете ВМК МГУ;

- конференции Института математики и кибернетики АН ДитССР / 1990 г. /.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 статьях автора, список которых приводится в конце автореферата

Структура к объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 14? наименований. Объем работы - 161 машинописная страница, включая 19 страниц приложения. В приложении приведены графики расчетов задачи о течении вязкого баротропного газа.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы по теме диссертации и кратко излагается содержание работы.

1. В первой главе диссертации построены разностные схемы, и выведены априорные оценки для сеточных решений.

В §1 рассматриваются постановки краевых задач симметрического движения вязкого газа.

Симметрическое движение вязкого баротропного газа в магнитном поле описывается системой уравнений:

!><. X = -и

)1ихт) •

Рп = р<г + 0.5р<. 0.5^

Ъ^уК^Щ^ЫА+пъ^'*} & . (I)

с начальными и граничными условиями

^у.о.^Ъ^у-о^^-.о^О, 2(0) - <Х> 0. (2)

Искомые величины - удельный объем -р , скорость и , эйлерова координата х,напряженность магнитного поля (6^ Кроме того р -плотность, р - давление.Параметр т=0 отвечает плоскопатэаллель-ному случаю, т.=1 - случаю осевой симметрии, "1=2 - случал сферической симметрии.В отсутствии магнитного поля система (33 упрощается и описывает движение вязкого баротропного газа/ь4= 6^=0/. На функцию р накладываются условия:

- < -

АО pt (R*) у * О на ;

Ajj) существуют C,e>> о, такие, что «Cf0>F"V^)

^ Г , где

Иногда дополнительно накладывают условие А^) существует c>U 0 такое, что t

В случае теплопроводного вязкого газа имеем уравнения = « »l^y-Dco . . w^Ua:"1 , ,

¿„D^DO^ä*"^)-рЪиэ + (з)

Di zm,'(p]=(m+i)f(p) .

с начальными и граничными условиями

»DÖ'I^O.L» (4)

Искомые величины 7 , # , X и абсолютная температура .

Задачи (1)-(2), (3J-(4) рассматриваются в области Q-QM0,T.). Будем считать, что Q >0, Cv> 0, )>> 0, k ^ 0, ^ > 0, ? » О, jj > 0, ^t > О, 0, ja = + £ - постоянные.

В /3/-/5/ охвачены случаи истечения газа в вакуум. В §2 вводятся обозначения, формулируются предположения, и доказываются вспомогательные утверждения, которые используются как в данной главе, так и далее в работе. Будем в основном придерживаться обозначений, введенных A.A. Амосовым и A.A. Злотни-

-- б -

ком 1* Отметим следующие обозначения: R(H,Ü)-f6iH-£/»ii)/(H-H) при , R (Н,Н) « Ц"1, К '(süy* при 0<£<а, - . R„ = - Н~п-4Л .р1Н,й)~1£'п(Н)-£т(й)> /(Ц-й)лю Н*Н и РГК,М) =

В §3 строится разностная схема/PCI/ для уравнений (1)- (2):

5tH-S(UXn)

\и-Хт%[уШХ")-Рн} - га?iXnsh f ff Bt 8t 1 t G P^P^Hj + ß5fll81SQ5Aßi J-H/(sXfnfi .(5)

(Щ)=5Гв Ar^ßJ m Hg, S (Г) -pi s д

' t s(X)]

с начальными к граничными условиями.

H|jS.«H\ Uljxo « IT, Belj« -ß'e. i-1.2. Xlj« =X° , иК-...Л- SB,/¿--c<(v=5 ß41s о , г l£>.» a. es;

Функции X, И , U. В i , ßz определены соответственно на сетках й)цх ü>r , из^^СоТ , öh х С с ,х ¿3с , £5 * й> ^ . Решением разностной схемц назовем пятерку £ = (X,Н ,U, , В^ ) сеточных функция, удовлетворяющих уравнениям (5) и условиям (6) , и требованиям Х> О, М>0. Предполагается, что сетка uj^ квазиравномерная, Н°>0, ¡/"I ¡*о,л =0« Для £ (Зудем использовать нормы

1*. Амосов A.A., Злотншс А.А.-ЖВМ и МФ,1987,т.27,.Ч7,с.1032-1С4Э. Амосов A.A..Злотнях A.A.- сб.:Методы математической физики. -N.: СВМ АН СССР, 1988, с. 4-32.

m ¡mi^nsx^ mix,* ♦ Цнпя hi О I vÄ,

IZIU) -1ZI" V ÄS4XIIJ<eo 41SH* I s, H lVl 4. ш II u,i,f

где II Ii"'"« II- llVl+ 15- l|Vi <- J54-Ia,_ Й * , В- (В., Вд).

Решение PCI назовем регулярным ff - решением, если оно _ удовлетворяет оценкам fr* t X • ¡V"'* Н ^ N , /V .

Через KIN) обозначим различные положительные неубывающие функции переменной Л/с (1, во) , а через IN) - аналогичные не-возрастаюшие функции. Пусть выполнены условия At.Ajj, а Р=Р .

'Теорема 1.1. 1. Пусть /T'i Нв* У, lU'blÜ°ll*N. UQlU.i *N и 2l"TmaM i и . Тогда верны априорные оценки а*Х* Х^. »

кту**н* K(N), izi'^a/W.

2. пусть г1* Н° .tHal\u,+ lUl*USirbllB''llli) , HG На if/ у if IN), Тогда всякое решение РС1 является регулярным

K(ti)- решением.

В работе приведено явное выражение £ * через начальные данные.

Пусть дополнительно выполнено условие . Тогда в п.2 можно взять ?°W) = 0.5jji/ir,cLxU,f). Если Р= р(Н) .Лплг: и взять то теорема 1.1 останется верной.

В §4 строится разностная схема/РС2/ для уравнений (3)-(4):

5tX'U(X-xTitH'SW .W'-UXn , P-kH'1©. 5tU-XmSn+G ,n^RSW~P . (?)

cv 3,© = §[)|)гЧ§£>3-Р5У>М - F

M^RisvA+s^saf**"'')

с начальными и граничными условиями

н |js0 -Г, и |jBO - U°, 0|jee - 0е, Ц..и

U\i-.Ol«*0, S'QU.o.rii.o-flL. (8)

-- 7 -

Функции X , Н , И , 9 определены соответственно на сетках й>ь» Со^ , ю5/х *Сог,йЗцхСо'г,Сй!5/4»Л'г . Предположим, что 0, ©*>О, F-*0 и Ц'Ь.о.л. =0, a hi = со*л1 Решением РС2 назовем четвепку £ = (X, Н • U , &) сеточных функций, удовлетворяющих уравнениям (7)-(8), такую, что X > О, И >0, © > 0. Определим Jj-(\Jt ©) • Введем дискретные аналоги плотности полной энергии £ «0.5 s U^-rCy @) , энтропии

S~ll»H+cvtn& .

Лемма 1.5. Для PG2 справедливы законы сохранения:

1) объема =

2) энергии SjEItt OSrS^UI1 - (6,Ю* IF h • Пусть Ц 4 /V , тогда при ivf h^lKi) справедлив закон

неубывания энтропии ¿t(SJ)»0 . где Ив, + а"*'V"'.

Решение РС2 назовем регулярным V - решением, если оно удовлетворяет оценкам V"'iX« IV"' 4 Н , * ® . 12i V Пусть ?>0 при л!=2 в (3). Положим 7 - и Cv 1Н%ик1')'*.

С •[(!£%* fMu^+ftMbd*

Теорема 1.3. Пусть Hi- ft ,N'liH°< V , и fii

1. Если KE-'t^lFI^IQ^H* -Ni(S%i) . то

1WV/+19Koo+ "S0Hii{ iKW).

2. Если + И Г' . то

©^//г*, iS(&-l)8a *К(Ю. >

3. Если

lE'lltHGII^rSFII^^^ и 'О , то

II

Теорема 1.4. Если ИН1"+Шв1Иг1@Т>+ AFH^ < N ,

г1 i н° , v4i g)° , hi w , a w ft , ktiy, cv; .

Ki/VJ"1 *X, Ш"'H, К(Ю"1 .<0 , IZГ * КМ.

3 §5 построена разностная схема/PC/ с весом б» 1 для уравнений (1)-(2) (при 6=0.5 имеем схему второго порядка точности):

Э^^^йзу-РЬ а

81 (ГГ"Ь<«^>Нв

с начальными и граничными условиями

н°, ии-и0, хи-г,

(Ю)

■Функции X » Н , и = II определены соответственно на сетках ^ » Со* , оо^ * ¿йт , м>к< би-*" . Решением разностной схемы назовем тройку ¿~ (X.И , и) сеточных функций, удовлетворяющих уравнениям (9), условиям (10) и ,Х>0, Н>0, и°1с;о,ц= 0. £ля £ будем использовать нормы (сетка квазиравномерная)

где I Оа'<)-Мк4/3<-Ис1 + ||§ ДА,<10+Й54(.),в,1|сг .

Теопема 1.5.1. Пусть А/'4» Н° б N . ¡1С 1л,{ £/У ,

согласовано с р ( т.е. Р(11,И) =р(Н'>)) с = Хр(Ц,Ц)([0,1)). тогда при т^, (ц) рс имеет решение, подчиняющееся оценкам

о<«а км-чн^гю, (н)

Лля Р=Р, при Тпь* {-ТрМ), любое решение РС удовлетворяет(11), 2. Если дополнительно 11$Н*11*11&иЧ+11й1а i N , то решение, подчиняющееся оценкам (11), удовлетворяет и оценке 1£|и>*КМ) , т.е. является регулярным - решением.

В §6 изучается вопрос о существовании и единственности регулярного КШ)- решения.

Б случае РС2 имеем квазиаприорную оценку К(Ы) , где

- -9 -

K(N) не зависит от величины Л/ (мы предполагали, что Н- U) . Определим +

Теорема 1.6. 1. При ttp(N) регулярное К (Ю- решение

PC существует, и такое решение единственно.

2. При Im&Tcid. ,1.")%*« ijx регулярное K(U) - решение PCI существует, а при т^^г'Л)такое решение РС1 единственно.

3. При и регулярное К (Ю- решение РС2 существует, и при Tnvt такое решение единственно.

2. Вторая глава диссертации посвящена изучении устойчивости разностных схем уравнений движения вязкого газа. В данной главе изучаются

1) разностная схема /РС'/

Sjr^'m^W+A. И ""С . Уо > 0,

Н -- SW * А . diU'YSSfyRSW-Pl+F.* G0 . Y{>0. (i2)

///,.„. Н\ Vli,o,n* 0, Г||50- а ;

2) разностная схема /РС1'/

Щ^Ь^пУ^А .W„ = UY? ,Y0> о. StH=SV0*A

3t U - УГ S1 у о R * % Wo-- Р„ J - Fe ■► G о - 2 (Y0 k К Vk) -

*■ Z I Уок sKI Yok Rok Bt)] , Y,> c.

\Vi - Ya SlfiK Y<i mY£L)]+£t (Y«lUVk) + G-Ft*

siA Rlt Yu Я 1 YtJ* Yiki )h

ij.

S[(Xorll*M)H'*D°. Yu >o.Yu> o. ui.....ft<

4

аз)

F=(Po,...,Fni), C = (Go ,6tl... G^) ;

3) разностная схема / PC2'/

SJX^'bfmW)!/^. о ,Yo>o.

, P- P(H,H, 0) , ¿iU-YfStfoRibV-P]*?.* Go , Yi > o, ®= §^ Yi4®Ь ?§W + f5 WI^

z/j-o5 2-rа: н°, u: 9% О,Г/ ,-.-. -- а,

Эти разностные схемы обобщают PC, PCI, РС2 из главы 1. Кроме того схема PCl' обобщает схему из /3/, где изучен случай flt = 4 (когда скорость имеет три компоненты {iii,Mi , U3)) . Далее

YJX.X ) 0, R*(H,H)> 0. Rb(H*,H-,H+,ii-)>0 -

функции, заданные на множествах (Д>+.)4 , , (IR*)"1. (fR*)v и при-

надлежащие пространствам У , W^toi , Wt:, Vii" соответственно, а функция F всегда имеет вил F'-FMXi X') я llfLll'J'jjt

f Л Л ' Л

Введем в случае PC норму

IZI'°'~~ ItXJUs HbXIIJ^IHIJi„+IIUlt'~>llQ+llU § U

(6)l

- II -

■ а для остальных разностных схем определим

12 Г-- + виъйь.оо .

Обозначим /I , 11Г-Шт511, ьУ-- Vм- ^

Будем считать, что (^ * ~ц

(с-.{), , «V бг - 5 6С .

Пусть 2.'° - регулярное V- решение разностной схемы Рс' /РС1', РС2'/, отвечающее А"", Я"0, &(Ч Ц{к)'° , й<к)-с.Ъ°'<" , (¿=1,2).

В §1, §2, §3 доказаны теоремы об устойчивости соответственно РС', РС1', РС2

Для РС' положим "¿=1, 11=1, уо=0, у~1 -0, для РС1' ^=1,

ЛЛЯ РС2' - Л<=1, ув=1, =0.

Теорема 2. Если < 1° (Ы), то

|б21'°Ч К(М/иНвН* |*«Ы*Т>в//* и и * + II 1т * А ¡и,о. * II5 ^ !<л + П Ся «о * «5 с + И*Ьв II+

и г IК1 Л/][ 1лН1*11*и011 + 1*а1*11*Ъ011 + Пи II+

+ и л а 11л,I + и*А11в+а йс яч+и&6 1| б* и].

п*хнс - ьшс - //*////с* и* и ¡и «

4 К1ЮИиИ°110.*11*йвИ1 >у0И*йо11е0т1с>а1г11*1)°Ц + МС.* И*А11л,гПг*АВе+111г (СМс Нс +

^^С^ Ьо2>иЬ и А 11^-11 Л +

^//^//^/иб//^ ]

для справедливости первой оценки предполагается, что ^ * ЛЛ^ , ¿¿2 в случае РС1', а для второй оценки предполагается, что =0 в случае РС'. В §4 приводятся выводы из теорем устойчивости. Положим = Т^-Тная:* й0= , и° =й°.

ЗеСЧ{а, + с°)*10,Г)) ,

/в случае теплопроводного газа это условие следует заменить на € С1 ((а. * оо)* (0,7)), Р'5Д,5,, ^>,*/-^.Ю. Теорема 2.4. 1] Пусть д;с . &('<а) . еС*^ Су-

точное решение задачи (5)-(6). Тогда решение РС сходится к решению дифференциальной задачи (5)-(6) при и при?"я*<г"> имеют место оценки

■ Ии-ъИс

где р =1 при £>0.5, В =2 при #=0.5. _

2) Пусть х с С *■"( О) , ?*С3"ЧС?> .-игС'СО.) -точное решение задачи (1)-(2) /(3)-(4)/. Тогда решение РС1/РС2/ сходится к решении задачи (1)-(2)/ [3)- (А)/ при 71ч"»0» и

имеет место оценка

¡\z-zic =

при г0 / 4 Т°, Н * /.

3. Третья глава диссертации посвящена изучению метода типа простой итерации для нахождения приближенного решения разностных схем РС', РС1', РС2/. _

В данной главе вместе с вектор-функцией II используется и [7 . гда случае РС" с 6=0.5, либо 17= (ЫУ? , 0) .

Обозначим у<Х"'< •

Приближение к решению разностной схемы, полученное при выполнении £ итераций на j слое, обозначим через . Положим = • Если значение2уже найдено, то оно принимается за начальное приближение 2 кпосле чего выполняются о итераций, и последовательно вычисляются 2'ш •

Полагается Zw^, = •

На каждом шаге итерации методом прогонки решаем трехдиа-гональную систему линейных уравнений. Использование позволяет получить симметрическую систему с диагональным доминированием.

Определим нормы / К=В,М,Т/

IZwIk'^ZwI'^II^YIJ^ÄSHII^II^HIq^IWÖJ0, где //• II- IU... + IIS- h,-* IIs' IIa +1V IIq , l II II 18^ IS-11^ HS'- IIQ + II \ .

Соответственно определим множества функций

St={Zir'*Y, I

На данные 5 , F и Z = (Ц°) будем налагать условия

г1 <Ц% nr^lGlla+lFIL.z (15)

W14 1П№* II5IIq *ВРн.д iNj^Q^-O.

В §1 изучается случай вязкого баротропного газа в магнитном поле, когда в PCl' Y„= X . Yi$=X . s =1.... ^Ч . A = А =0. 1>о=0.

Предположение 3.1. Если выполнено (15), то PCl' имеет единственное решение Z «S к.</v;>

В случае PCl'=PCl предположение 3.1 выполнено. Теорема 3.1. Пусть выполнено предположение 3.1 и r^^it'iti). Тогда итерационный процесс имеет единственное решение Z^cS*'«)» и при ^ 2 верна оценка:

- 14 -

В §2 изучается итерационный метол для РС2', когда А = А =0, 1)°=0.

Предположение 3.2. Если выполнено (16), то РС2' имеет единственное решение 2 е Б ка (ы)

Теорема. 3.2. Пусть выполнено предположение 3.2 и ттла. Тогда итерационный процесс имеет единственное решение ¿^сЗкад» и при Я >'2, £=1,2 верна оценка:

В §3 изучается итерационный метод для РС', когда А= А = = 7)°=0, 6=0.5, и выбрана конкретная функция У0 .

Предположение 3.3. Если выполнено (15), то РС имеет единственное решение Z £ Б к.(ы) •

Теорема 3.3. Пусть выполнено предположение 3.3 и Тогда итерационный процесс имеет единственное решение £км. и при £ 2 верна оценка:

"Т/па-х.

В заклдчннии названы основные результаты, полученные в диссертации.

- 15 -

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Штиконас А. Об одной задаче газовой динамики для вязкого баротропного газа в осесимметрическом случае. Разностная схема для обобщенной системы Бюргерса//Тезисы докладов XXIX конференции Литовского матем. общества.11.-Вильнюс, 1988.

2. Штиконас А. Разностная схема для уравнений симметрического движения вязкого баротропного газа//Диффер. уравн. и их примен.-43.-Вильнюс: ИМК АН ЛССР, 1988, с. 88-102.

3. Штиконас А. Об одной разностной схеме для уравнений осескм-метрического движения вязкого баротропного газа в магнитном поле//Тезисы докладов XXX конференции Литовского матем. общества.-Вильнюс, 1989.

4. Штиконас А. Разностная схема для уравнений симметрического движения вязкого теплопроводного газа//Диффер. уравн. и кх примен.-44.-Вильнюс: ИМК АН ЛССР, 1989, с. 85-97.

5. Штиконас А. Разностные схемы для уравнений симметрического движения вязкого баротропного газа в магнитном поле.-Препринт/OBJ АН СССР.-М., 1989.-Л230.

6. Штиконас А. Исследование устойчивости разностных схем для уравнений симметрического движения вязкого газа.-Препринт/ OEM АН СССР.-М., 1989.-*238.