Интегралы энергии и их приложения к конструированию и исследованию адекватных вычислительных моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

?Г6 I'..

АКАДЕМИЯ НАУК РОССИИ

'' ! !'...... СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи УДК 519.63 : о17.958

АЛАЕВ Рахматилло Джураевич

ИНТЕГРАЛЫ ЭНЕРГИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К КОНСТРУИРОВАНИЮ И ИССЛЕДОВАНИЮ АДЕКВАТНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фшико-млтомлтическлх наук

Новосибирск 1993

Работа выполнена в Ташкентском, Новосибирском госуниверситетах.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Блохин A.M..

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ворожцов Е.В..; доктор физико-математических наук, профессор Воеводин А.Ф., доктор физико-математических наук, профессор Ковеня В.М.

Ведущая организация - ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится_______1994г. в/^^чпе. на заседании

Специализированного Совета Д 002.10.01 при Вычислительном центре СО РАН по адресу:

630090, Новосибирск-90, пр. академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВЦ СО РАН (Новосибирск-90, пр. академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан______1993г

Ученый секретарь у

Специализированного совета j / ^

доктор физико-математических наук / "<- Ю.И.Кузнецов

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящий момент в науке характеризуется широким распространением методов математического моделирования. Мы будем понимать под математическим моделированием следующую цепочку отображения: физическая модель явления -математическая модель явления - вычислительная модель явления - программа - ЭВМ. Настоящая работа посвящена вопросу о соотношении между математической и вычислительной моделями явления. Заметим, что в теории дифференциальных уравнений уже давно существует подход одновременного изучения исходной математической задачи и ее конечно-разностного аналога. Здесь уместно вспомнить основополагающую работу Куранта Р.. Фри-дрихса К., Леви Г. "О разностных уравнениях математической физики", а также монографии Годунова С.К. "Уравнения математической физики", Ладыженской O.A. "Краевые задачи математической физики", Блохина A.M. "Интегралы энергии и их приложения,к задачам газовой динамики",а также [13] и [14], в которых этот подход находит свое воплощение.

Существует такая точка зрения, что после того как сформулирована вычислительная модель, она может изучаться отдельно от исходной математической модели.

Однако, на наш взгляд, чрезвычайно важно придерживаться двух главных принципов математического моделирования: принципа одновременного рассмотрения математической и вычислительной моделей явления и принципа адекватности вычислительной модели исходной математической задачи.

Вообще говоря, из первого принципа следует второй, но мы выделяем его в силу исключительной важности этого принципа для конкретной вычислительной практики.

В основу конструирования и исследования вычислительных моделей мы положим требование адекватности вычислительной модели исходной дифференциальной задаче. Под адекватностью мы будем понимать следующее: вычислительная модель строится так. чтобы с ее помощью можно было доказать теорему существования решения исходной дифференциальной задачи. Последнее обстоятельство представляется чрезвычайно важным фактом, поскольку

при численных расчетах мы должны быть уверены в том, что приближенное решение действительно стремится в пределе к решению исходной дифференциальной задачи.

Цель работы. Целью данной работы является конструирование и исследование адекватных вычислительных моделей в случае смешанной задачи для симметрических I - гиперболических систем ( в частности, для квазилинейной системы уравнений газовой динамики) со строго диссипативными и диссипативными граничными условиями методом диссипативных интегралов энергии.

Общая методика исследования. В диссертационной работе приме-неняется техника диссипативного интеграла энергии при конструировании и исследовании вычислительных моделей.

Научная новизна. 1. В случае смешанной задачи для симметрических < - гиперболических систем с диссипативными граничными условиями разработан способ конструирования и исследования разностных моделей (как явных, так и неявных) с учетом граничных условий, основанный на применении техники диссипативных интегралов энергии.

2.Разработан способ задания устойчивых дополнительных граничных условий для разностных моделей симметрических I - гиперболических систем.

3. Доказана необоснованность автоматического переноса результатов исследования разностной задачи Коши на случай краевой разностной задачи на примерах: 1) смешанной задачи для системы акустического типа; 2) для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне.

4. На основе способа, указанного в пункте 1, построены несколько устойчивых разностных и дифференциально-разностных моделей на примерах 1) смешанной задачи для системы акустического типа; 2) для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне.

5. На примере многомерной квазилинейной системы уравнений в частных производных продемонстрирован способ переноса полученных результатов для нелинейных задач. В частности, на этой основе построены несколько новых адекватных разностных моделей для: 1) системы уравнений газовой динамики; 2) уравнений

<1

системы мелкой воды, уравнения Бюргерса. а также адекватные схемы конечных элементов.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации разработана новая методология построения адекватных вычислительных моделей

Результаты работы могут быть использованы при разработке пакетов прикладных программ для расчета задач многомерных уравнений газовой динамики с ударными волнами.

Апробация работы. Весь материал, по мере его получения, обсуждался на семинарах A.M. Блохина в Новосибирском госуниверситете.

Результаты диссертации докладывались на семинаре ''Численные методы механики сплошной среды" под руководством чл.-корр. РАН Шокина Ю.И. и профессора Ковени В.М. (Институт вычислительных технологий СО РАН, кафедра ЧММСС НГУ). на объединенном семинаре кафедры вычислительной математики НГУ и Вычислительного центра СО РАН под руководством профессора Ильина В.П., на семинаре "Вычислительные проблемы математической физики" под руководством профессора Блохина A.M. (кафедра дифференциальных уравнений НГУ), на семинаре " Математика в приложениях" под руководством чл.-корр. РАН Годунова С .К. ( ИМ СО РАН) .на семинаре Краевые задачи для уравнения гидродинамики" под руководством профессора Кажи-хова A.B. ( Новосибирский госуниверситет) . на объединенном семинаре ИТПМ СО РАН, на семинаре им. К.И. Бабенко (ИПМ им. М.В. Келдыша), на Всесоюзном семинаре-совещании "Теория кубатурных формул и смежные вопросы анализа" (Бухара - 1983). на Ш Всесоюзной школе "Методы вычислительной математики" (Новосибирск - 1983), на Пятой Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов в решении задач математической физики и теория приближений" (Казань - 1984). на Международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными" (Новосибирск - 1986), на школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Шушенское - 1987, Абакан - 1989), на конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск - 1989).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 342 страницах и состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы, содержащего 58 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

2 Содержание работы

Во введении дастся обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, и излагается краткое содержание диссертации. В диссертации рассмотрено несколько исходных математических моделей. В качестве первой из них взята смешанная задача для симметрической < - гиперболической системы с диссипативными граничными условиями.

Задача I. Найти решение и симметрической £ -гиперболической системы

д-и. + в-и. + с-и^о, в Л3++, (1)

удовлетворяющее граничным условиям при х = 0 :

и' = Б-У" (2)

и начальным данным при < = О

11(0, х, у) = и0(х,у). (3)

Здесь А = diag(А1 ,Аи,А1П),В = — - клеточно-диа-

гональные матрицы;

А' = (^(аьа2,...,а/у0),

А" =с^(а№,+ Ь--->а^0+лг1), А1'1 = diag(o^v0+N| + l, • • •, я/0 ~ диагональные матрицы; а{ > 0, г = 17ЛГ, И0 + ЛГ] -)- N2 = М-

^N„1 - единичные матрицы порядкаЛ^,, Л^ , соответственно; Оцг -нулевая квадратная матрица порядка N2;

С

с, С2 С'з ^ С*2 С,] С5 V С'1 )

, причем С\ = С7, С/1 = С4*,С6 = Сд - квад-

ратные матрицы порядка Л'о, УУ), N2 , соответственно; Сг, С'з, С5

О

-матрицы размерности До х Ni, N0 х vV2, N1 х Лг2, соответственно;

( Щ ) ( Щ \

и = и (t,x,y) = , и7 =

{ илг \ UN„ )

' И-Vo+I ) ' UNo+N, + l N

и" = , и'" =

V ИЛ'0 + Л', \ «Л/ /

S - вещественная постоянная матрица размерности Nq x Ni ,

= {(г, Г,у)- t,x> о, j/ел1}.

В случае диссипативных граничных условий (2) для задачи I может быть получена следующая априорная оценка.

J(f) < ,7(0), t > 0, (4)

где

J(t) = J J {А ■ U, U)dx ■ dy, i?2+ = {(г, у); х > 0, у £ R1}.

Если теперь вернуться к разговору о разностных моделях для задачи I (это замечание касается и других математических моделей), то их мы будем строить так, чтобы они допускали наличие разностного аналога диссипативного интеграла энергии (4). В конечном итоге это даст нам возможность получить энергетическую оценку (разностный аналог априорной оценки (4)), из которой будет следовать устойчивость предлагаемой схемы. Это и будет означать адекватность разностной модели исходной задаче I, поскольку при наличии энергетической оценки теорема существования достаточно гладкого решения доказывается стандартными рассуждениями

Замечание 1. В случае переменных коэффициентов вместо задачи I будем рассматривать следующую.

Задача II. Найти решение U симметрической t -гиперболической системы с вещественными коэффициентами

A-U, + 2? • U, + СМЛ, + Q • U = / в R3++, (5)

удовлетворяющее граничным условиям при х — 0

U" = S-U'7 (6)

и начальным данным при t — О

U(0 ,х,у) = U й{х,у). (7)

Здесь А, В, С - квадратные матрицы порядка N , симметрические, причем А > 0 , а матрица В имеет тот же вид, что и в задаче I; Q -квадратная матрица порядка N; / = f(t,x,y) - вектор-столбец, компоненты которого - заданные непрерывные функции от t,x,y с компактным носителем в , ; А, С, С), А€ B(R\+) , т.е. элементы перечисленных матриц как функции от i, а:, у принадлежат пространству B(R++) , где - пространство непрерывных ограниченных функций в области -R++; 5 6 B{R3+) , т.е. элементы матрицы как функции от S принадлежат пространству B(R3+) , где область R2+ = {(t,y)\ t > 0,у 6 Я1}. Остальные обозначения такие же, как и в задаче I.

Пусть граничные условия (6) являются строго диссипативными, т.е.

-(В • и, U)|I=0 = (и", \INl -S*-S}- u")U=o >

> k0-(V",\J'%={h (8)

где ¿о > 0 - некоторая постоянная, причем неравенство

(1 - к0) • > S* ■ 5

выполняется для всех t,y из R\. Как и выше, в случае диссипативных граничных условий (6) для задачи II может быть получена следующая априорная оценка (подробный вывод ее приведен в [2] )

у/Щ < т/Щ-схр{М-t/2} + (N/M) • (ехР{М • t/2} - 1),

t > 0. (4')

Здесь D = At + Су - (Q + Q');

M, N - постоянные, которые оценивают правую часть /, коэффициенты системы (5) и их производные. Заметим также, что если .4. С - диагональные матрицы, то справедливо

В главе I для задачи I, II разностные модели строятся так, чтобы они допускали построения разностного аналога диссипатнвного интеграла энергии. Наличие такого аналога даст нам возможность получить энергетическую оценку, из которой будет следовать устойчивость предлагаемой разностной схемы. Это и будет означать адекватность

разностной модели исходной дифференциальной задаче. Поскольку получены энергетические оценки в сильных нормах таких, которые достаточны, чтобы доказать теорему существования достаточно гладкого решения стандартными рассуждениями . В этой главе для явных разностных схем разрабатываются элементы применения техники диссипативных интегралов энергии к исследовании устойчивости разностных схем. Здесь же показано, как легко перенести этот подход на случай переменных коэффициентов

Широко известно (см напр. работы Годунова С.К., Шокина Ю.И. и Яненко H.H.), что в процессе применения явных разностных моделей для нахождения приближенного решепия смешанных задач математической физики возникает проблема задания дополнительных граничных условий; т.е. не определяемых исходной постановкой дифференциальной задачи. Сам принцип одновременного изучения дифференциальной и вычислительной модели подсказывает пути выбора устойчи- • вых дополнительных граничных условий. Этот способ демонстрируется на конкретных примерах, приведенных в гл. I.

Глава П посвящена применению подхода, разработанного в главе 1 для неявных, явно-неявных разностных моделей.Там же изучается вопрос о построении адекватных вычислительных моделей для следующей задачи:

Рассмотрим симметрические t - гиперболические системы следующего вида:

Ä+Ü? + B+Ü+ + C+Ü+ 4- Q+Ü+ = /+,

0 < x < 6, у £ R1, t > 0

Ä~ür + B-Ü- + C~Ü~ + Q-Ü- = r,

а < x < 0, у e Rl, t> 0

Здесь A±, Z?*, ß±, - симметрические, постоянные квадратные матрицы

размерности N X TV;

Q* - квадратная матрица N х N;

f± = f±(t, х, у) - заданная вектор-функция размерности N; U± = U±(t, х, у) - неизвестная вектор-функция.

Известно, что существуют невырожденные преобразования Т* - такие, что:

(f±yıf± = л±) (f±yß±f± = ß±) где А± = diag(af, а£, • • •,

В± = diag(IN±,IN±,0Ni) - клеточно-диагональные матрицы;

IN±, IN± - единичные матрицы порядка Л^, N^ соответственно; On± - нулевая матрица порядка N-f.

Применяя преобразование Г± к исходной системе, имеем:

A+U+ + D+U+ + C+t/+ + Q+U+ = /+,

О < х < Ъ, у 6 Л1, t > 0 (9)

А-иг + в-и; + си; + qr и~ = г,

а < х < 0. у 6 / > 0

где

(T±),c±f± = с*, (т±)*д±г± = g*,

Задача III. В области П = {(t,x,y) : <>0;a<x<b;j/G У?1} найти решение U симметрической t -гиперболической системы с разрывными коэффициентами (9) и с граничными условиями:

¡7+ = Û~ при х = 0, 1 Ur = S ■ UjI при х = а, (10)

Ut, = R Ur при х = Ь

и с начальными данными

и±Ц),х,у) = и±(х,у), (11)

Рассмотрим еще одну исходную математическую модель: смешанную задачу для симметрической t -гиперболической системы акустического типа (по поводу систем акустического типа см. работу Блохи-на A.M.). Пусть дана симметрическая t -гиперболическая система

A- U, + t Bi ■ Ue. = 0, (12)

¡=1

где A, Bi - постоянные симметрические матрицы порядка m, А > 0,

( Ï f i'1 1 f 1

R = \ 1 J , Qi = V Kl- 1 / . v = V,n-i )

D,Fi - симметрические матрицы порядка m — 1, причем, D > 0 .

10

Систему (12) будем называть системой акустического типа, если выполнены условия:

а) F,; — А, • D, hi = Л,- • а. причсмА! ф 0 ;

б) R = О,

в) т > п + 1,

г) (Q„ ■ Qj) = 0, если i ф j, (Q„ D~l ■ Q{) > 0 , т.е. Q{ ф 0. При X\ = 0 для системы (10) зададим следующие граничные условия:

v = N-u + E?=2Ni-F,1) . .

Fi + S^aVF^ji-u, 1 '

где N,Nj - постоянные векторы размерности т — \\ц - постоянная, F = F(t,x!) - неизвестная функция, х' = (z'2,... ,хп).

Задача IV. Найти решение U системы акустического типа (12) в •R+V , удовлетворяющее граничным условиям (13) при i| = 0 и начальным данным при t = 0

и(о,х) = и0(х), х е Я", . .

F(0,x') = F0(x'), х'бЯ"-1, 1 j

Здесь х = (агь ... ,х„),

Rn+\l ={(<,х); t,xi >0, х'еЯ"-1}, Я^ = {х; X, > 0, х' G Я""1}.

В работах Блохина A.M. с помощью техники диссипативных интегралов энергии получена априорная оценка для решения задачи IV. Заметим также, что одновременно с U находится неизвестная функция F , фигурирующая в (11).

В монографии Блохина A.M. была сформулирована также смешанная задача для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне.

Задача V. Найти решение U системы уравнений акустики

Л-и( + В.иг + (С+^-Л)-иу=0 в Я++, (15)

удловлетворяющее граничным условиям при х = 0

u + d-p = 0, vt +ш ■ vy - А • ру = 0 (16)

и начальным данным при t = 0

U(01i,y) = U0(x,ff). (17)

11

Здесь

А =

/10 О О М2 О О О М2

, Б =

1 1 1 М2 О О

О

о

м2

(0 0 1 ^ (р)

С — 0 0 0 , и = и

U 0 <v У

М(0 < М < 1), ui > 0, d, А - некоторые постоянные. Система (13) получена путем линеаризации уравнений газовой динамики относительно постоянного основного решения за косым скачком уплотнения и при определенном способе обезразмеривания линеаризованной системы, а граничные условия (14) - после линеаризации условий Рэнкина-Гюгонио на ударной волне; u,v,p - малые возмущения компонент вектора скорости, давления (см. [4] ). Отдельно от задачи V будем рассматривать следующие соотношения

S+S. + wS^O в В3++,

S + р = 0 при х = 0, 5(0, ж, у) - S0{x, у) при t = 0.

Здесь S - малое возмущение энтропии.

Замечание 2. Легко видеть, что система (13) ( с уравнением для S ) является системой акустического типа, а задача IV является частным случаем задачи IV.

В монографии Блохина A.M. подробно изучался вопрос о выделении областей корректности и некорректности смешанной задачи V.

1. В области К. : А < 0, d ■ /?2 + М2 • А > 0 для задачи (15) - (17) может быть получена следующая априорная оценка

ИифНвд < С2(Т) ■ ||U0|U2W

(18)

где С\{Т),Сч(Т) - некоторые константы, зависящие в конечном итоге от величины Т\

- пространство Соболева. Наличие априорной оценки (18) означает, что задача IV корректно поставлена, когда точка £ /С. Используя оценку (21'), можно доказать существование и единственность решения и(<,х,7/) £ , а также существование и единственность классического решения смешанной задачи V.

\

2. Во всех остальных точках плоскости (1, А не выполнено либо равномерное условие Лопатинского, либо просто условие Лопатинского

В последнем случае некорректность задачи задача V) устанавливается просто построением примера Адамара

Разностные модели для задача V будем строить так, чтобы они в конечном итоге допускали получение разностных аналогов априорной оценки (18).

В теоремах первых двух глав указаны достаточные условия устойчивости рассматриваемых разностных схем. Понятно, что для получения необходимых условий исследования должны быть дополнены, например, спектральным анализом краевых разностных задач.

На практике вычислители обычно ограничиваются спектральным анализом разностной задачи Коши. Получаемые при этом ограничения на шаги разностной сетки переносятся автоматически и на случай краевой разностной задачи. Однако, такой анализ не может учитывать ни одной ошибки, возникающей из граничных точек.

В главе III рассматривается вопрос о влиянии граничных условий на устойчивость разностных моделей для задач III, IV.

В §1 на примере разностной схемы из §6 главы I для смешанной задачи IV показано, что нельзя перенести ограничения на шаги разностной сетки, полученные для разностной задачи Коши на случай краевой разностной задачи. Оказывается, что краевая разностная задача неустойчива, несмотря на то, что разностная задача Коши устойчива.

Или еще существует такой подход. Анализ устойчивости применяемой разностной схемы проводится в лучшем случае только на одномерном уровне (с учетом граничных , в том числе и дополнительных, условий). Полученные при этом рекомендации автоматически переносятся и на многомерный случай.

В §2 как раз и показывается необоснованность такого переноса для смешанной задачи V. В качестве примера рассматривается разностная схема, описанная в §5 гл.1.

В §3 еще раз подтверждаются вышеприведенные факты для разностной схемы расщепления для задачи V.

Главы IV, V посвящены вопросу о конструировании устойчивых разностных и дифференциально-разностных моделей для задач IV, V.

Следует отметить, что задачи IV и V принципиально отличаются от задач I, II. Дело в том, что граничные условия для задач IV, V не являются диссипативными. При конструировании устойчивых

разностных моделей используется подход, разработанный в главах I, И, III.

Вычислительные модели конструируются так, чтобы они допускали построения разностного аналога априорной оценки типа (18).

Глава IV посвящена применению построения разностного аналога диссипативных интегралов энергии, разработанных в главах 1-П, для исследования устойчивости разностных схем для систем акустического типа.

Рассматриваются некоторые разностные модели из гл.II. Предложены устойчивые аппроксимации граничных условий. Для всех предложенных разностных моделей установлена усточивость в тех или иных энергетических нормах.

Из четвертой главы можно сделать вывод о том, что построение устойчивых разностных схем (с учетом граничных условий) для системы уравнений акустического типа является весьма сложным делом. Основная проблема здесь заключается в аппроксимации граничных условий так, чтобы разностная модель в целом осталась устойчивой. В связи с этим возникла идея отказаться от дискретизации по переменной х. В результате этого мы получаем дифференциально - разностые модели, которые изучаются в гл^.

В §1 исследованы на устойчивость две такие дифференциально -разностные модели и получены энергетические оценки устойчивости для них.

В §2 мы строим вычислительные модели с использованием техники сплайн-функций

До сих пор мы рассматривали только линейные исходные математические модели. Доказательство же адекватности той или иной разностной модели исходной нелинейной дифференциальной задаче затруднительно по многим причинам. И тем не менее, мы рассмотрим несколько примеров исходных квазилинейных дифференциальных задач. которые описаны в гл. VI.:

Задача VI. Найти решение II смешанной задачи для симметрической системы квазилинейных уравнений в области Я = {(£, х,у, г) : О < < < Т; 0 < х < |у| < оо; |г| < оо} :

+ + В.Щ+ +с*+ +

+ *=

14

О < t < т- 0 < ж < /; |j/| < оо; \г\ < оо; (19)

с граничными условиями при х = 0 :

U1 = S ■ U11, 0 < t <Т; М<оо; \z\ < оо; (20).

при х = I :

U" = Л- U1, 0 <t<T; \у\ < оо; \г\ < оо; (21)

и с начальными данными при t = 0 :

U{0,x,y,z) = U0(x,y,z). (22)

Здесь

А = A(U, t, х, у, z) = A*(U, t, х, у, z); В = B(U, t, х, у, z) = B*{U, t, х, у, z); С = C{U, t, X, ?/, г) = C*{U, t, X, у, z); D = D(U, t, х, у, z) = D*(f/, <, x, у, г); g = Q(i/, i, x, г/, г) -

- квадратные матрицы размерности N х N ; F = F(t, х, у, г), Uu(x, у, г) — заданные вектор-функции, стремящиеся к нулю на бесконечности. S = S{U, t, у, z), R = R(U, t, у, z) — прямоугольные матрицы размерности Nq х Л^ h./Vi x No соответственно. U = (U1, U", и1")' - неизвестная вектор-функция;

( щ ) ' «ЛГо+1 ' ' UN0+N,+1

и' = «2 , и" = WjVo+2 , и'" = UNo+N, +2

i uNo J k UN0+N, ^ UN /

Кроме того, А > 0 и матрица В имеетЛо штук положительных, Л'] штук отрицательных, N — N0 — штук нулевых собственных значений. Положительным собственным значениям соответствует вектор II1. Отрицательным собственным значениям соответствует вектор 11" и нулевым собственным значениям соответствует вектор II'".

Определение. Граничные условия (20 — 21) назовем для системы (19) диссипативными, если для ненулевых векторов И' удовлетворяющих граничным условиям (20 — 21), выполняется следующее неравенство:

-(Вти, и)и + (Вти, и)\х=1 > О, (23)

15

Мы предполагаем, что граничные условия (20 — 21) являются дисси-пативными для системы (19).

В случае диссипативных граничных условий легко можно получит априорную оценку

Ш < #)ет' + (24)

где

I(t) = J J J(A W, W) dx dy dz.

t=const

Постоянная M здесь оценивает норму матрицы |(<5+<5*), а N - правые части F.

В §1 гл. VI построены новые адекватные разностные модели для задачи VI: 1) Линейная чисто неявная разностная схема; 2) Линейная неявная с усреднением по времени разностная схема; 3) Схема типа предиктор-корректор, ,которые допускают построения разностного аналога априорной оценки (24)

Там же приведены примеры, которые можно представит в виде (19), в частности система уравнений мелкой воды.

Задача VII. Найти решение U смешанной задачи для системы квазилинейных уравнений в области П\ = {(t,x,y,z) : 0 < t < Т; 0<x<¡x\ 0 < у < /„; 0 < z < lz}:

с граничными условиями:

U{t, х, у, z) = U(t, x + lx, у, z),

U{t, х, у, z) = U{t, х, y + lv, z), (26)

U{t, x, y, z) = U{t, x, y, z + lz), и с начальными данными при t — 0 :

U(0,x,y,z) = U0(x,y,z). 16

Здесь

Л = A{U, t, х, у, z), В = B(U, t, x, y, z),

С = C(U, t, x, y, z), D = D{U, t, x, y, z),

E = E(U, t, x, y, z), F = F(U, t, x, y, z),

G = G(U, t, x, y, z), Q = Q(U, t, x, y, z) -

-квадратные матрицы размерности N x N, причем А > О, Е < О, F < О, G <0; f — f(t,x,y,z), Uo(x,y,z) - заданные вектор-функции.

Легко можно получит априорную оценку типа (24) для дифференциальной задачи VII.

В §2 гл. VI построены новые адекватные разностные модели для задачи VII: 1) Нелинейная разностная схема; 2) Линейная чисто неявная разностная схема; 3) Линейная неявная с усреднением по времени разностная схема; 4) Схема типа предиктор-корректор,которые допускают построения разностного аналога априорной оценки типа (24).

Рассмотрим систему уравнений , описывающую трехмерное движение газа, в предположении, что газ невязкий, нстеплопроводящий и находится в состоянии локального термодинамического равновесия, т.е. существует уравнение состояния газа. В декартовой системе координат х = (х\,х2,хз) уравнения газовой динамики можно записать в следующем дивергентном виде:

pt + div(/> • v) = О, (P'V¡)t + ¿(Па),, =0, i = 1.2,3, (28)

/Ь=1

{/>-(£ + М2/2)Ь + div{/>-v(£;+|v|V2+p-V)} = 0.

Здесь р - плотность газа, v = (v\,v2ív3) ~ скорость газа, П,-/ь = р ■ v¡ ■ Vk + р ■ f>ik - тензор плотности потока импульса, р - давление, Е -внутренняя энергия, V = \/р - удельный объем. Кроме того, имеет место следующее термодинамическое тождество:

T-dS = <1Е + р d\(29) где Т - температура газа, S - энтропия. Из (29) в частности следует:

_ _дЕ_ 2 дЕ_ дЕ_

Р ~ 8V s ~ Р "др s' 9S

Таким образом,'если мы добавим к системе (28) уравнение состояния

Е = Е(р,5),

то замкнем систему (28), которую теперь можно рассматривать как систему для определения, скажем, вектора неизвестных величин

( Р^

Б

и

\

Наконец, к системе (28) добавим дополни гельный закон сохранения энтропии

(р ■ 3)1 + <1 1у{р • 5 • V) = 0, (30)

выполненный на гладких решениях системы (28). Заметим также, что с учетом (30) система уравнений (28) на гладких решениях эквивалентна следующей недивергентной системе:

1

Р-

^ + СИуу = 0,

(/5 И

= о,

(31)

¿V _

где

э_ ы

4- (у, У),с = (р • Ер)р > 0 - квадрат скорости звука в

В работах Вольперта А.И. и Худяева С.И. рассматривалась задача Коши для системы (26) и была доказана локальная теорема существования гладкого (классического) решения этой задачи.

В §3 гл. VI показано, что систему (28) можно свести к виду (19), а в §4 строятся несколько новых разностных моделей для системы уравнений газовой динамики с периодическими граничными условиями, которые допускают построения разностного аналога априорной оценки типа (24).

В §5 сформулируется смешанная задача для системы уравнений газовой динамики с диссипативными граничными условиями, а в §6 строятся несколько новых адекватных разностных моделей для нее которые допускают построения разностного аналога априорной оценки типа (24).

,1

Вопрос о конструирования "адекватных" схем конечных элементов для систем вида (19) обсуждается в §7. Строятся несколько новых "адекватных" схем конечных элементов для систем вида (19), которые допускают построения разностного аналога априорной оценки типа (24).

Приложение посвящено некоторым преварительным расчетам, на примерах: 1) модельного уравнения с разрывными коэффициентами; 2) обтекания бесконечного кругового конуса; 3) задачи о движении поршня, демонстрируется работоспособность предложенных в диссертации адекватных вычислителных моделей.

Заканчивая краткое описание исходных математических моделей, заметим, что данная диссертация представляет из себя первую попытку систематического изложения техники построения разностного аналога диссипативного интеграла энергии и применения ее при конструировании и исследовании устойчивости вычислительных моделей, возникающих в вычислительной практике.

Результаты, которые выносятся на защиту:

1. Для смешанной задачи для симметрических < - гиперболических систем с диссипативными граничными условиями разработан способ конструирования и исследования разностных моделей (как явных, так и неявных) с учетом граничных условий, основанный на применении техники диссипативных интегралов энергии.

2. Разработан способ - задания устойчивых дополнительных граничных условий для разностных моделей симметрических < - гиперболических систем.

3. Доказана необоснованность автоматического переноса результатов исследования разностной задачи Коши на случай краевой разностной задачи на примерах: 1) смешанной задачи для системы акустического типа; 2) для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне. Доказана необоснованность автоматического переноса рекомендаций полученные при исследовании одномерной разностной краевой задачи на многомерный случай краевой разностной задачи.

4. На основе способа, указанного в пункте 1, построены несколько устойчивых разностных и дифференциально - разностных моделей на примерах 1) смешанной задачи для системы акустического типа; 2) для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне.

5. На примере многомерной квазилинейной системы уравнений в частных производных продемонстрирован способ переноса полученных результатов для нелинейных задач. В частности, на этой основе построены несколько новых адекватных разностных моделей для: 1) системы уравнений газовой динамики; 2) уравнений системы мелкой воды, уравнений Бюргерса, а также адекватные схемы конечных элементов для них.

Результаты работы могут быть использованы при разработке пакетов прикладных программ для расчета задач многомерных уравнений газовой динамики с ударными волнами.

3 Публикации по теме диссертации

[1] Алаев Р.Д., Блохин A.M. Влияние коэффициентов граничных условий на устойчивость явной разностной схемы для системы уравнений акустики. Труды семинара академика С.JI.Соболева, 1982, 1, стр. 5 - 30.

[2] Алаев Р.Д., Блохин A.M. Теоретическое и численное исследование разностной модели смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне. В сб. Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1983, стр.66 - 83.

[3] Алаев Р.Д., Блохин A.M. Существование достаточно гладкого решения линейной смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне. Труды семинара академика С.Л.Соболева, 1983, 2, стр.5 - 21.

[4] Алаев Р.Д. Краевая разностная задача для системы акустического типа. В сб. Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1983 г. стр.3 - 16.

[5] Алаев Р.Д., Блохин A.M. Об устойчивости модифицированной разностной схемы Мак-Кормака для симметрической t - гиперболической системы. В сб. Неклассичеекие уравнения математической физики. Новосибирск. ИМ СО АН СССР, 1984 г., стр.24 - 42.

20

[6] Блохин A.M., Алаев Р.Д., Дружинин И.Ю. Устойчивость явных разностных схем для симметрических t - гиперболических систем. Труды семинара академика С.Л.Соболева. ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1986 г., 1, стр.26 - 39.

[7] Блохин A.M., Алаев Р.Д. Интегралы энергии в теории устойчивости ударных волн. В кн. Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды Международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными, Новосибирск, Наука, 1986, стр.56 - 60.

[8] Алаев Р.Д. Устойчивость модифицированной разностной схемы Мак-Кормака для системы уравнений акустики. В кн. Численные методы механики сплошной среды. Часть 1. Тезисы докладов школы молодых ученых. Красноярск, Шушенское 28.09 - 03.06 1987 г., стр.14 - 15.

[9] Блохин A.M., Алаев Р.Д. Построение адекватной разностной модели для системы уравнений акустики. В сб. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1987 г., стр.35 - 42.

[10] Алаев Р.Д. Безусловно устойчивая разностная схема для смешанной задачи для системы уравнений акустики. Тезисы Конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока, Новосибирск, 1988 г., стр.18 - 20.

[11] Блохин A.M., Алаев Р.Д. Исследование устойчивости разностной схемы В.В.Русанова методом диссипативных интегралов энергии. В сб. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1989.

[12] Блохин A.M., Алаев Р.Д. Исследование устойчивости одной неявной разностной схемы. Сибирский математический журнал, 1990, т.31, 1 , стр.34 - 39.

[13] Блохин A.M., Алаев Р.Д. Некоторые проблемы математического моделирования. Ташкент: "Университет", 1992. - 112 с,

[14] Блохин A.M.,Алаев Р.Д. Интегралы энергии и их приложения к исследованию устойчивости разностных схем. Новосибирск: " Изд-во Новосибирского университета, 1993. - 224 с.