Динамические свойства интегрируемых систем переменного состава тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЬМ УНИВЕРСИТЕТ

РГв од

На правах рукописи

? 7 ОИТ 1998

ОЛЫ11А ПСКНЙ ВЛАДИМИР ЮРЬЕВИЧ

ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1996

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете. , Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Демин Владимир Григорьевич,

доктор физико-математических наук, профессор Крементуло Валентин Вячеславович,

доктор физико-математических наук, профессор Новоселов Виктор Сергеевич.

Ведущая организация - Российский университет дружбы народов, г. Москва.

Защита состоится " 5 " 1996г. в .часов

на заседании диссертационного совета Д.063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл. д.2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034.Санкт-Петербург, Университетская наб. ,7/9. Автореферат разослан " -Ш " 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.063.57.34 доктор физико-математических наук, профессор С.А.Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа содержит результаты исследования проблемы существования и построения интегральных многообразий (ИМ) динамических систем (ДС) управляемых механических объектов изменяемой конфигурации и состава, называемых сложными механическими системами (CMC). Элементами интегрального многообразия ДС могут быть ее первые интегралы, инвариантные соотношения, частные решения. Анализ динамических свойств систем переменного состава и изменяемой конфигурации (структурно изменяемых систем) выполняется как исследование ДС, обладающей некоторым интегральным многообразием.

Предмет исследования - интегральные многообразия ДС, описывающих вращение носителя CMC, находящейся в однородном параллельном поле силы тяжести, при свободном движении и при движении вокруг неподвижной точки носителя. В работе найдены критериальные условия существования линейных и квадратичных интегралов, явный вид этих интегралов. Предметом исследования являются также динамические свойства систем, обладающих интегралами (интегрируемых систем), приводимость к автономным системам.

Актуальность проблемы. Механические объекты с изменяемой конфигурацией и переменным составом широко представлены как в природе (например, естественные космические тела), так и. в технике (объекты авиационной и ракетно-космической техники, роботизированные системы и т. д.). Возрастающую роль в настоящее время играют задачи динамики и управления такими объектами, в частности, задачи динамики и управления движением систем связанных тел с заданными внутренними перемещениями, задачи небесной механики структурно изменяемых объектов, задачи динамики космических аппаратов.

Построение интегральных многообразий позволяет аналитически исследовать динамические свойства управляемых объектов переменного состава.

Механические системы, имеющие интегралы движения, в некотором смысле выделены среди других и обладают характерными свойствами, исследование которых является актуальной задачей. Например, возможность поставить в соответствие системе переменного состава некоторый эквивалентный гиростат тесно связана с наличием у исходной системы квадратичных интегралов.

Движение CMC с интегралами обладает свободными (не связанными ограничениями) параметрами управления, что дает возможность регулировать состояние этих систем, оставаясь в классе движений, изученных аналитически.

При применении приближенных аналитических или численных методов для оценки и контроля результатов необходимо иметь некоторые точные соотношения, которые можно получить, используя точные частные решения или решения с интегралами.

Наличие первых интегралов открывав т путь к применению качественных методов исследования - например, на основе первых интегралов методом Четаева строится функция Ляпунова.

Широкое распространение в природе и технике механических объектов, важные свойства которых описываются используемой механической моделью и наличие многих принципиальных не решенных задач механики для соответствующей математической модели, вызывают необходимость проведения фундаментальных исследований в области динамики структурно изменяемых механических объектов на основе точных аналитических методов.

Целью работы является решение проблемы прямого аналитического конструирования (проблемы существования и построения) интегральных многообразий уравнений движения определенного класса управляемых объектов переменной структуры, называемых сложными механическими системами.

При этом ставятся задачи:

- определение условий существования ИМ широкого класса механических систем переменного состава, включающих в себя как случай, когда заданы квазиреактивные силы, так и случай, когда заданы собственно реактивные силы;

- получение критериальных условий существования интегралов и самих интегралов в явном виде и в инвариантной форме;

- анализ динамики CMC при наличии интегралов, определение ориентации носителя при существовании системы интегралов;

- получение условий проводимости ДС к автономной "системе, установление связи между приводимостью и наличием интегралов.

Общая методика исследований. Основным методом исследования сформулированной проблемы является метод интегральных многообразий, разработанный А. Пуанкаре, A.M. Ляпуновым и развитый H.H. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским. Идеи метода решения обратных задач динамики твердого тела, основанного С.А. Чаплыги-

ным, Д.Н. Горячевым и развитым A.C. Галиуллиным, использовались при построении интегральных многообразий. Для получения инвариантной формы интегралов уравнения записаны в операторной (тензорной) форме, анализ свойств уравнений широко использует методы линейной алгебры. Описание всего класса, например, квадратичных интегралов требует введения достаточно большого числа заранее не известных параметров - функций времени и их исключение, то есть получение явной формы интегралов (и условий их существования) достигается за счет введения специальной подвижной системы отсчета.

Достоверность результатов основана на получении строгих доказательств методами математического анализа и линейной алгебры и на сравнении, в некоторых частных случаях, с известными решениями. Кроме того, достоверность обусловлена применением структурно-динамических моделей, адекватных исследуемым объектам.

Научная новизна. Она заключается в полном решении проблемы существования линейных и квадратичных интегралов движения систем переменного состава в однородном поле силы тяжести для случаев задания как квазиреактивных, так и собственно реактивных сил, в получении критериальных условий существования интегралов, в нахождении явной формы интегралов и условий их существования. Найдена структура кинетического момента CMC, обладающей линейным инвариантным соотношением. Получена связь между существованием квадратичных интегралов и приводимостью исходной неавтономной ДС к автономной ДС гиростата с постоянным гиростатическим моментом. Показано, что при наличии системы интегралов в квадратурах решается задача определения ориентации носителя для случая Лагранжа-Пуассона. Все результаты, выносимые на защиту, получены впервые диссертантом.

Выносятся на защиту следующие положения:

1. Динамическая система, единая для нескольких исследуемых механических моделей движения CMC в однородном параллельном поле силы тяжести, при найденных критериальных структурно-динамических условиях имеет:

- линейный частный интеграл, задающий проекцию кинетического момента системы на направление ее барицентрического вектора;

- квадратичный интеграл, выражающий тот факт, что сумма кинетической энергии системы в определенном переносном движении и потенциальной энергии прямо пропорциональна модулю статического момента системы относительно неподвижной точки;

- один или два независимых квадратичных по компонентам кинетического момента интеграла свободного движения;

- интеграл проекции кинетического момента на вертикаль.

2. Динамическая система свободного движения приводима к автономной ДС гиростата в том и только в том случае, когда она имеет два независимых квадратичных интеграла.

3. При наличии у CMC в случае Лагранжа-Пуассона системы интегралов (линейного и квадратичного по компонентам кинетического момента и интеграла проекции кинетического момента на вертикаль) задача определения ориентации носителя разрешима в квадратурах.

Теоретическое и прикладное значение результатов работы. Анализ динамических свойств механических объектов, конфигурация и массовый состав которых изменяются заданным образом (таких как кометы, планеты малые и большие, роботизированные системы с учетом инерционности звеньев, твердое тело с горящей поверхностью, ракета с интенсивным массоизменением, твердое тело с системой маховиков и т.д.) имеет определяющее значение как для теории нелинейных неавтономных систем, так и для прикладных задач оптимизации и управления движением. Приведенные примеры движений с интегралами показывают реальность применения полученных результатов для решения практических задач.

Применение результатов, полученных в работе, возможно при:

- редукции неавтономных ДС;

- построении функций Ляпунова, в том числе методом связки первых интегралов по Четаеву, исследовании устойчивости движения объектов на многообразиях, порождаемых первыми интегралами ДС;

- нахождении точных частных решений уравнений движения, тестировании приближенных аналитических и численных методов;

- решении обратных задач динамики объектов изменяемой конфигурации;

- решении задач оптимизации движений управляемых CMC;

- анализе динамики и прогнозе движения космических тел переменного состава;

- изучение свойств движения по промежуточным орбитам космических аппаратов.

- Вклад автора в разработку проблемы Все научные результаты, приведенные в диссертации, получены без соавторов.

Апробаиия работы. Основные результаты, приведенные в дис-

сертации, обсуждались:

- на семинаре по аналитической механике механико-математического факультета МГУ (Москва) - 1994, 1995г.г.;

. - на семинаре по теоретической механике имени H.H. Поляхова при Санкт-Петербургском Доме ученых - 1994,1995 г.г.;

- на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского университета - 1996 г.;

- на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН, секция теоретической механики (Москва) -1993-1996 г.г.;

- на объединенном семинаре по теоретической и прикладной механике кафедры прикладной механики механико-математического факультета МГУ и отдела Института механики МГУ - 1996 г.;

- на семинаре по теоретической механике Саратовского филиала Института машиноведения РАН им. А.А.Благонравова (Саратов) -1993-1995 г.г.;

- на семинаре по теоретической механике Института проблем точной механики и управления РАН (Саратов) - 1996 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 15].

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа содержит 204 страницы и состоит из введения, восьми глав, заключения и списка используемой литературы. Библиография содержит 127 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая историческая справка, отмечается актуальность проблемы, указываются цель и основные задачи исследования. Сформулированы основные положения работы и названы области применения полученных результатов. Приведен краткий обзор содержания работы.

Первая глава посвящается анализу различных механических и математических моделей систем переменного состава и конфигурации, движущихся в однородном параллельном поле силы тяжести.

Ф.Р. Гантмахером и JI.M. Левиным1) при-выводе уравнений движения ракеты получены при помощи сформулированного ими принципа затвердевания уравнения вращательного движения носителя системы переменного состава. В монографии B.C. Новоселова2' приведен, в частности, вывод уравнения Эйлера для вращения твердого тела переменной массы, под которым понимается плотная система материальных точек переменных масс, расстояния между которыми не изменяются. При этом точками системы считаются наделенные соответствующими массами малые области координатной системы, жестко связанной с каркасом тела. У В.М. Карагодина3» тело переменной массы - совокупность конечного числа точек переменной массы, расстояния между которыми неизменны, а движение каждой описывается уравнением Мещерского. М.Ш. Аминов4' при выводе уравнений движения рассматривает систему, состоящую из двух частей - "... неизменной части (корпуса)... и изменяющейся (горючего)''. Делается предположение, что частицы изменяющейся части движутся известным образом вдоль некоторого канала в неизменной части. Вывод уравнений основан на использовании принципа Остроградского-Гамильтона для системы материальных точек переменных масс и использует аксиому гладких связей.

В первой главе диссертации для двух следующих моделей объекта приведен вывод уравнений движения системы К в форме, несколько отличной от известных.

Модель 1. К = Ki и Кг , где Ki - неизменяемое твердое тело (носитель). К: - совокупность материальных точек переменной массы mn(t), движение которых относительно Ki задано. Известны (см. сноски 3, 4) уравнения движения для случая, когда заданы относительные скорости отделения (присоединения) частиц рабочего тела. т.е. заданы

1. Гантмахер Ф.Р.. Л.М. Левин. Об уравнениях движения ракеты. Прикл. матем. и мех., 1947, т. XI, вып. 3.

2. Новоселов B.C. Аналитическая механика систем с переменными массами. - Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1969. - 240 с.

3. Карагодин В.М. К теореме о кинетическом моменте тела переменной массы, вычисленном относительно центра масс // Тр. Моск. авиац. ин-та. - Вып. 50,1955.

4. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы // Тр. Казан, авиац. ин-та. - Вып. 48, 1959.

реактивные силы. В ряде работ1) изучается система, находящаяся под действием так называемых квазиреактивных сил, обусловленных отделением рабочего тела с известными абсолютными скоростями его частиц.

Модель 2. К= К] и К2'и К2 , где К2 - совокупность материальных точек постоянной массы, движение которых относительно носителя Ki задано, Кг (рабочее тело) - изменяющаяся со временем (по

составу) совокупность материальных точек. Массоизменение Кг происходит по некоторой поверхности Sp, заданной относительно Ki как функция времени. Заданы характеристики: количество уносимой

массы ц (t, М) из К г в точке М поверхности Sp в единицу времени с единицы площади (интенсивность входа-выхода частиц - по B.C. Новоселову), скорость (относительно Ki) Vp уноса массы в каждой точке Sp.

В обеих моделях задано поле внешних сил. Выделяется случай, когда это поле однородное.

Рассматриваются две задачи: движение CMC вокруг неподвижной точки носителя и свободное движение CMC.

Для свободного движения CMC от динамической системы, определяющей движение носителя в целом, отделяется нелинейная подсистема, описывающая вращение носителя:

y'=yxx+Ax+L, y=Jx+G2 (1)

Здесь х - абсолютная угловая скорость носителя, J - оператор инерции системы в ее центре масс С, (); - производная по t в системе отсчета (CO)Ei, ( )*=( ) \. Всюду Ei- инерциальная СО, Ез - СО, неизменно связанная с носителем, Ез - главная СО, неизменно связанная с главными центральными осями инерции. Далее, L=MCT+M?+(G2)\ где Mcr - главный момент (относительно С) реактивных сил, Gi, Mf - соответственно кинетический момент и главный момент (относительно С) сил инерции в движении элементов CMC относительно СО, перемещающейся вместе с С поступательно по отношению к системе Ei.

1. Макеев H.H. Интегральные многообразия уравнений динамики сложных механических систем. : Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. - Санкт-Петербург, 1992. - 29 с.

Симметрический оператор Л задается для моделей 1 и 2 следующими тождествами

AxsV (Шп)'гпх(ххгп), Лхн | nrx(xxr)dS

(К ) sp

где гп, г - радиус- векторы точек в главной СО.

Приведен общий дги моделей 1 и 2 способ задания оператора Л Ax=J*x- ]Г гп„[(гп)*х(ххГ„)+Г„х(хх(г„)")]

<К|

Показано, что при всех названных способах задания оператора Л сохраняется его свойство

лхг,=м:-м*+<С0;-(С;};

(Xij - угловая скорость базиса Е, относительно Е,). позволяющее из условия равенства нулю суммы главных моментов внешних сил, реактивных сил и сил инерции (М®) получить систему (1).

Операторы J (t), A(t), векторы L(t). G2U) в изучаемой системе (1) - заданные в Ei функции, (Л. L)eC[0,+co). (J,G;)eC1[0,+ai).

Для описания вращения носителя CMC вокруг неподвижной точки используется система, называемая в дальнейшем системой Жуковского-Пуассона:

G*=Gxx+Ax+sxa+L, s*=sxx (2)

Здесь G - кинетический момент (КМ) системы относительно неподвижной точки, G=Jx+G2, х—Х21, s - направленный вверх орт вертикали. а=Ргс, Р - вес системы. гс=ОС; приведенные выше моменты Gb Mf, Mt вычисляются относительно О, г=ОМ.

Приведенные уравнения (1), (2) можно преобразовать к известной системе уравнений вращательного движения в форме Эйлера, впервые полученной Ф.Р. Гантмахером и U.M. Левиным, или к системе. полученной М.Ш. Аминовым.

Выделены некоторые частные случаи систем (]), (2). Динамические уравнения для модели, используемой H.H. Макеевым (см. сноску 1 на стр. 9) могут быть записаны в виде (2) - при А=0. Показано, что

если оператор инерции подсистемы Ki и Кг в некоторой точке, неподвижной относительно носителя, постоянен в базисе Ег , связанном с носителем, то Л-Г.

Отмечены некоторые обобщения для управляющего момента, сохраняющие вид систем (1) и (2).

Во второй главе для CMC, движущейся вокруг неподвижной точки носителя в однородном параллельном силовом поле, изучены

условия существования линейного первого и частного интегралов. Показано, что CMC может иметь линейный первый интеграл только при наличии осевой динамической симметрии и расположении центра масс на оси симметрии (случай Лагранжа-Пуассона); найдены необходимые и достаточные условия существования такого интеграла. Для линейного частного интеграла получен следующий результат.

Теорема 1. Если система (2) имеет линейный частный интеграл, то этот интеграл задает проекцию кинетического момента системы на направление барицентрического вектора и может быть записан в виде' (при А1>Аг>Аз)

A]X<!>cos(i)+A3X<3>sin<p=h(t) Для существования интеграла необходимо и достаточно, чтобы были выполнены конфигурационные условия Гесса

А|(А2-Аз)(г«")2= А3(А,-А2)(г<3))2, rf =0

и два (указанных в работе) дифференциальных соотношения.

Здесь Ai (t) - главные моменты инерции системы в точке О, ср-угол между гс и малой полуосью эллипсоида инерции в О, х® - проекции вектора х на оси главной СО Ез. Функция h(t) выражается через заданные параметры, определяющие изменение конфигурации и состава системы. Для неизменяемого твердого тела h(t)=0, названные в теореме 1 дифференциальные соотношения выполнены и получаем классический интеграл Гесса.

Для частного случая Л=0 показано, что при наличии линейного интеграла КМ системы может быть представлен в виде суммы двух составляющих. одна из которых коллинеарна гс, а другая равна КМ материальной точки, совпадающей с центром масс системы и имеющей массу Агг;2,

G=GrcT ° + А2Г ;2 гсх V J

Для конфигурационно изменяемой системы постоянного состава составляющая, коллинеарная гс, постоянна по модулю.

Линейный частный интеграл системы (2) может быть, очевидно, записан в виде (n,G)=c=const, где n(t) - некоторая неизвестная функция. Интеграл и условия его существования, приведенные в теореме 1, записаны в явном виде, т.е. функция n(t) выражена через заданные функции. Этот результат является новым даже для частного случая Л=0, для которого известны (см. сноску 1 на стр. 9) условия существования в виде 8 ограничений, связывающих 16 компонент параметров (J, n, a, G3, L, с).

В третьей главе приведены результаты исследования вопроса о существовании квадратичного интеграла (КИ) в полной форме

(у, Ву)+(ш, y)+cp(t)=const (3)

системы (1) для CMC без динамической симметрии. Здесь симметрический невырожденный оператор B(t) , функции m(t), <p(t) подлежат определению.

Если CMC является неизменяемым твердым телом постоянного состава, то для рассматриваемого свободного движения получаем классический случай Эйлера-Пуансо с двумя известными КИ: Т = const, iGl = const. Система (1) может не иметь КИ, иметь только один или два независимых КИ.

Сформулированы и доказаны теоремы, дающие критерий существования КИ и его явный вид (теорема 2), условия существования только одного и двух независимых КИ (теорема 3), достаточные условия существования двух КИ, при которых система (1) приводится к известной системе Эйлера для неизменяемого твердого тела (теорема 4). Как и всюду в настоящей работе, интеграл записывается в инвариантной форме, условия существования и сам интеграл получены в явном виде.

Далее использованы обозначения: Ai.ej - собственные значения и собственные векторы оператора J, fi=AiAA(pn, AA,=Aj-Ak, (ijjk)

Теорема 2. Для существования квадратичного интеграла (3) системы (1) в случае, когда оператор В невырожденный, а собственные значения оператора J различны, необходимо и достаточно выполнения условий:

(G4);=AX24+L (4)

p2lfl + P22f2+023f3sO (5)

Сам интеграл может быть записан в виде

(Jx4i,BiB2Jx4i) = const (6)

где собственными векторами операторов Bi, Вг являются ei, ег, ез, собственные значения рг. оператора Вг постоянны, а собственные значения Pi, оператора Bi задаются равенствами

рп=ехр(-2 J A^MW (7)

о

Угловая скорость Х4з базиса Е4 относительно главного базиса Ез определяется формулой

хЙ> = ((AiPi-AjPj)G^' - (A.fr+Ajp^XA^A^)-', (¡j,k) (8)

Здесь р|=РиР21 - собственные значения оператора В, В=В(В2,

Существенным при получении названного результата является введение специальной подвижной системы отсчета Ец используемой при записи интеграла и условий его существования. Показано, что необходимое условие (4) может быть записано в виде

М„+М:=0 (9)

и означает равенство нулю суммы главных моментов относительно центра масс реактивных сил и сил инерции в движении по отношению к СО Е*.

Условие (5) означает линейную зависимость функций Е, и если обозначить пг размерность линейной оболочки множества , Гг, Гз}, то это условие можно записать в виде пг<3.

Теорема 3. Если пг = 2 и выполнено условие (9), то система (1) имеет только один квадратичный интеграл, который можно записать в виде (6), где постоянные Рз, определены условием (5).

Для неизменяемого твердого тела и для гиростата Л=сопб1 и 1. Приведен пример твердого тела переменного состава, являющегося однородным прямоугольным параллелепипедом, чьи переменные размеры связаны одним (указываемым в работе) условием, так что т=2 и движение тела обладает одним и только одним квадратичным интегралом (х£) )2+(х^) )2/с+(х(23,) )2=сог\5и

Из теоремы 2 следует, что для существования двух независимых КИ необходимо пг= 1, а сами интегралы могут быть-записаны в виде

(1X41, В)В4ЛХ41)=СОШи (1X51, В|В51Х51)=СОП51

где В4, В5 - постоянные в Ез операторы, а угловые скорости Х43, Х53 базисов Е4 и Ез, участвующих в записи интегралов и условий их существования, задаются формулами типа (8). Показано, что в частном случае существования двух КИ, когда базисы Е4 и Е5 совпадают, система (1) приводится к системе Эйлера для неизменяемого твердого тела.

Теорема 4. Система (1) имеет два независимых интеграла вида (1x41, В|В41х41)=соп51, (1x41, В^ВьЬи^сопБ! тогда и только тогда , когда пг=1, выполнено условие (9) и

Сз"1 =>.ц(АА;- ДА(ХДАк)-1 , (и, к) Интегралы при этом можно представить в форме

(1x41, В^х41)=с0п81, (1x41, В^'1\4|)-соп31 (10)

где 1о - оператор с собственными значениями и векторами А\ (0), е;,

Показано, что система (1) при наличии интеграла (б) преобразуется к виду

2Ъ(г)4+(ЪУ4г=2Щгх]-]г)+^хг, г-Зх41 (11)

Для случая, когда система (1) обладает двумя интегралами (10), найдено преобразование

(12)

у А, АЛЛ0) приводящее эту систему к виду

1о(<1и/ск)з=(1ои)хи

Последняя автономная система совпадает с системой для компонент угловой скорости твердого тела в случае Эйлера-Пуансо, ее общее решение записывается в эллиптических функциях. Выделены частные решения, соответствующие, в случае Эйлера-Пуансо, вращениям с постоянными угловыми скоростями вокруг главных осей инерции.

Рассмотрено применение полученных результатов в частных случаях Л=0 и Л=Г.

Показано, что если не существует нулевой линейной комбинации функций АДА>, кроме тривиальной ПАДАЛО, то система (1) в случае Л=0 при отсутствии динамической симметрии имеет только один КИ в полной форме I Зхз!+Сэ1 =сош1 при выполнении необходимого и достаточного условия Ь=0.

Эта же система при Л=0 имеет два независимых интеграла вида (10) тогда и только тогда, когда выполнены условия: пг=1, вз=0, Ь=(). Интегралы при этом можно представить в форме

11X3! |=ССШ1, (3X31, ,1Х31)=СОП51

Условие пг=1 при Л=0 очевидным образом- выполняется, если отношения главных моментов инерции А,/А] постоянны. Однако подобное изменение оператора инерции, 5=у(1)До, не является необходимым для т=1.

Для случая Л=1* доказывается, что система (1) при отсутствии динамической симметрии может иметь два независимых КИ в полной форме только при подобном изменении оператора инерции. Интегралы при этом могут быть представлены в форме

|1о(Х2]-ХЗ2)|=СОП31, (Х21-Х32,1о(Х21-Х32))=СОП51

В четвертой главе результаты, приведенные в главе 3, используются для нахождения условий существования двух независимых КИ

свободного движения CMC без динамической симметрии. Установлена связь между существованием у исходной системы (1) двух КИ и ее приводимостью к автономной системе. Рассмотрены примеры.

Анализ условий существования у системы (1) двух КИ вида (3), основанный на теореме 2, приводит к следующему результату.

Теорема 5. Для того, чтобы система (!) имела два независимых квадратичных интеграла в полной форме, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия:

1) пг=1, т.е. функции AiAAi{3u пропорциональны между собой;

2)B;,2Jx45=GO;

3) (Gs); =Лх25+L.

Здесь Bi - оператор с собственными значениями и векторами Рм, ei (i=l,2, 3), Pii(t) заданы формулами (7), Go - постоянный в главном базисе вектор, угловая скорость Х53 базиса Es относительно главного базиса задана формулой

AAtox- = + , (ij, k)

ДЛ, ДAj АА, Му

Любой квадратичный интеграл (в полной форме) является линейной комбинацией интегралов системы

(u, Jou)=const, (Jou+Go)2=const

где

u=B;'2Ji'Jx5. " (13)

Здесь и ниже ДАю=ДА(0).

Система (1) при наличии хотя бы одного КИ в полной форме может быть записана в виде (11). Показано, что при выполнении условий 1-3 теоремы 5 система (11), при переходе к переменным и (формула (13)), 1 (формула (12)), преобразуется к автономной системе, совпадающей с системой Эйлера для абсолютной угловой скорости гиростата с постоянным гиростатическим моментом:

. Jo(du/dx)3=(Jou+Go)xu (14)

Данная система интегрируется в квадратурах. Таким образом, сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 6. Система (1), описывающая вращение носителя при свободном движении CMC в однородном поле силы тяжести, при отсутствии динамической симметрии приводима невырожденным линейным преобразованием u=Ax+w, T=i(t) (оператор A(t), вектор w(t) заданы в Ег) к автономной динамической системе гиростата с постоянным гиростатическим моментом (14) тогда и только тогда, когда ис-

ходная система (1) имеет два квадратичных интеграла в полной форме.

В частном случае Л=0, соответствующем специальному типу массоизменения или конфигурационно изменяемой системе постоянного состава (при этом и Ь=0) из теорем 5, 6 получен следующий результат.

Теорема 7. Для того, чтобы система (1) без динамической симметрии в случае Л=0 имела два независимых квадратичных интеграла в полной форме, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия:

1) АДА^АюДАю^г),\=\,2. 3;

2)Сз=ГП АюА;'Л¡¡'во, (во) 1=0;

1=1

3) ь=о.

Система (1) при наличии двух интегралов приводится к виду (<Ю|/ск)з=С|х Л-'(в! - Со). с!т=П АюА;1 Д1)сИ",

сами интегралы могут быть представлены в форме (С1-Со)1=ОЖ*, |С| | =СОП51.

Первое условие теоремы в пространстве переменных Г|,=А|(А1вЛАт)~1 задает поверхность с уравнением г|!Г|2+Г|1Г)-,+Т|2Г)з=0 (являющуюся круговым конусом) и, следовательно, это условие налагает только одну связь на допустимые законы изменения главных моментов инерции А(0.

Рассмотрены примеры конфигурационно изменяемых систем с двумя КИ. Показано, что для конфигурационно изменяемой системы постоянного состава, у которой в процессе движения центр масс и главные оси не смещаются относительно носителя и КМ относительно центра масс внутреннего движения по отношению к носителю равен нулю, существуют два КИ при наличии одной связи между главными моментами инерции. Если для названной системы КМ внутренних движений относительно носителя С: отличен от нуля, то два КИ существуют, если С: коллинеарен одной из главных осей и выполнено условие 1 теоремы 7.

Получены условия существования двух КИ для массоизменяе-мой системы в случае Л=Г.

В частности, для того, чтобы система (1) без динамической симметрии в случае, когда главный базис не вращается относительно носителя и Л=1*, имела два КИ в полной форме, необходимо и доста-

точно, чтобы оператор инерции подобно изменялся, J=vJo, и выполнялись условия: G2=vGo, Мсг+М®=0. Интегралы могут быть представлены в форме

(X2I, JoX2l)=COnSt, I J0X21+G01 =COnSt Система (1) приводится к виду Jo(X2i)*=(JoX2i+Go)xx2i, что эквивалентно условию постоянства в инерциальном базисе вектора J0X21+G0.

В пятой главе рассматривается движение CMC без динамической симметрии в однородном параллельном поле силы тяжести вокруг неподвижной точки носителя, что является естественным обобщением классического случая движения тяжелого твердого тела и движения гиростата вокруг неподвижной точки.

Изучение условий существования интеграла системы (2), квадратичного по компонентам КМ,

(G, BG)/2 +(m, G)+(k, s)+<p(t)=const (15)

где оператор B(t), векторные и скалярная функции m(t), k(t), <p(t) подлежат определению, приводит к следующему результату.

Теорема 8. Сложная механическая система без динамической симметрии в случае, когда ее центр масс не совпадает с неподвижной точкой носителя, имеет квадратичный по компонентам кинетического момента интеграл движения в однородном поле силы тяжести тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1)(а°);=0;

2) (G4); =ax24+l;

3)(aAi)*=2aUi= 1.2,3

Угловая скорость хаз базиса Е* относительно главного базиса Ез задается формулой х^'=-2Ац(ДАк)-1, (i, j, к). Интеграл может быть записан в одной из эквивалентных форм

a-'(x4i, Jx4i)+2(a°, s)=const

или

T;+V=P(t)rc(t)const. т.е. сумма кинетической энергии системы в ее переносном движении вместе с базисом Е4 и потенциальной энергии системы в однородном поле силы тяжести прямо пропорциональна модулю стати ческого момента системы относительно неподвижной точки.

Таким образом, в явном виде записаны как интеграл, так и критериальные условия его существования, т.е. найдены 13 скалярных функций (cp(t) и компоненты В, ш, к) задающих интеграл (15).

Выполнено преобразование системы (2) при наличии интеграла

Показано, что одним из необходимых условий существования интеграла в случаях Л=0 и А=3' является подобное изменение оператора инерции, 1=у(1)1о.

Из теоремы 8 следует, что СМС без динамической симметрии в случае, когда ее центр масс не совпадает с неподвижной точкой носителя, а оператор инерции подобно изменяется , имеет квадратичный по компонентам кинетического момента интеграл движения в однородном поле силы тяжести тогда и только тогда, когда выполнены условия 1, 2 теоремы 8 и условия

(ау)*Аю=2аХи, 1=1, 2,3 Угловая скорость базиса Е4 относительно Ез задается формулой

х^-гяуу-члАыОМУД)

При ЛеО квадратичный интеграл (15) существует тогда и только тогда, когда выполнены условия 1=а-'(1)ао1о, (Сз)'=Ь, (а0); =0. Интеграл может быть записан в форме а-2ао(хзи ^хз|)+2(а°, врсопзЬ Динамическая система приводится к виду, эквивалентному динамической системе гиростата:

,1о(с1и7с19)з=:(.1оп')х ту+а^Сзхм'+Эо'яха0, (сЬу/сШХ^хуу, где и-а-'хз!, сШ=а(1)сИ. Если еще (вз)" =0, то получим аналог гиростата с постоянным гиростатическим моментом.

Интеграл вида ( см. сноску 1 на стр. 9)

(С. ВС)+(ш, С)+(к, 8)=сот1 (16)

содержится в множестве интегралов (15) - при ф^сопэг. Учитывая найденное при доказательстве теоремы 8 выражение для <р(1), последнее условие можно записать в виде

(Сз, 3 ¡¡' Сз^СОГ^

что дает, при учете теоремы 8, решение задачи о нахождении в явном виде интеграла типа (16) и критериальных условий его существования.

Найдены условия существования интеграла (15) при А~У. В частности, показано, что СМС без динамической симметрии в случае, когда главный базис в неподвижной точке носителя не вращается относительно носителя, имеет квадратичный интеграл движения в однородном поле силы тяжести тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1) (а°)*=0; 2) Мсг+М® =0; 3) 1=а(0а;,1о. Интеграл может быть записан в форме

(X2i, J0X2i)+2a(0)(a°, s)=const Система (2) приводится к виду

Jo(x2i)"=(JoX2i)xx2i+a-1aoG2XX2i+aosxal>, s"=sxx2i т.е. является системой Жуковского-Пуассона для гиростата с гироста-тическим моментом a-l(t)aoG2(t).'

В шестой главе метод исследования динамической системы свободного движения, развитый в главе 3 для системы без симметрии, применяется для анализа движения CMC с динамической симметрией, поскольку результаты главы 3 не могут быть непосредственно перенесены на этот случай.

Получен критерий существования КИ интеграла и найден его явный вид.

Теорема 9. Если система (1) в случае динамической симметрии (А1=А2*Аз) имеет квадратичный по компонентам угловой скорости носителя интеграл в полной форме (3), то этот интеграл может быть записан в виде (6), где собственными векторами операторов ВкВг являются ei, е;. ез, собственные значения Ра оператора Вг постоянны (причем p2i=p22 ), а собственные значения Рп оператора Bi задаются равенствами (7). Проекция угловой скорости Х43 на плоскость, ортогональную оси симметрии ез, определена формулой (Pi=(3[i{32i)

• р2А|ДА1Х43р=(А1р,-Аз|Зз)Сзр-(А|р1+АзРз)1,1=(Аез)хез Для существования интеграла необходимо и достаточно выполнения условия уравновешенности моментов (4) и условий

А.11=А.22,А.!2=0 (17)

Выполнен анализ структуры оператора А системы с КИ. Показана инвариантность условий (17) относительно поворота базиса Ез вокруг ез. Отмечено, что при выполнении условий (17) Хм - собственное значение, а 1 - соответствующий собственный вектор оператора Л. Поскольку 1 является и собственным вектором оператора инерции J, то это позволяет выделить базис Е. среди множества главных базисов. Показано, что при существовании КИ оператор Л задается тождеством (здесь х=хр+хл, ха Нез.хлХез): Axs^i ixp+ ?.ззХа+1х(хр-ха)

Условие уравновешенности моментов (4) преобразовано к эквивалентному виду, состоящему из двух скалярных условий, связывающих заданные функции, и уравнения, позволяющего определить осевую компоненту Х42а относительной угловой скорости базиса Е4.

Получены условия существования двух КИ, при этом один из

интегралов оказывается следствием линейного интеграла, найдено в квадратурах общее решение системы (1).

Теорема 10. Если система (1) в случае динамической симметрии (А|=А2*Аз) имеет два независимых квадратичных интеграла в полной форме, то каждый из них является линейной комбинацией интегралов:

Рп(А|Х4,рР=СОП51, р1з(АзХ21А)2=([/?^ М'ЭД^Р

с

Для существования двух интегралов необходимо и достаточно выполнения условий : (17), Сзр+ 1=0 и

- (Р!',2 А1Х41р)'+(С2а+А1Х32р)ХХ42р=Мр

где Х43р=-2(ДА1)-Ч.

Теорема 11. Если система (1) с динамической симметрией имеет два квадратичных интеграла, то ее общее решение можно представить в виде

х41р=(А1р;,,г)-'пс1, Х21А=(Азр1,;2)-' )ръг Ма<Ц.

'г

(Здесь ск сг - произвольные постоянные, п - единичный вектор, ортогональный ез, скорость вращения которого в Ез указана).

Рассмотрены частные случаи ЛнО и Л=Г.

Эффективность использования интегральных многообразий, имеющихся у систем, для анализа демпфирующих действий внутренних движений иллюстрируется примерами. В примере, показывающем демпфирование нутационных колебаний ракеты, протекающей внутри корпуса струей, сняты многие ограничения в механической модели по сравнению с моделью.рассматриваемой К. Магнусом'*.

В седьмой главе рассмотрено движение СМС с осевой динамической симметрией в однородном параллельном поле силы тяжести вокруг неподвижной точки носителя, что является обобщением классического случая Лагранжа-Пуассона движения твердого тела на структурно изменяемые системы.

Найден явный вид квадратичного интеграла (15) системы (2) и условий его существования.

Теорема 12. Для существования у системы-(2) интеграла вида (15) при невырожденном операторе В в случае Лагранжа-Пуассона не-

1) Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. -М.: Мир, 1974,

с.272.

обходимо и достаточно выполнения условий:

1) aAi)3i=const, 2) (G3); =Лх2з+Ь и условия (17). Собственные значения ¡3, оператора В заданы при этом формулой (7), интеграл имеет вид

Рi (А| x3iр)2+ (Зз(а3х31 а)2+2А| р] as<3>=const Экваториальная составляющая угловой скорости хз2Р задана формулой

(РIА | -p3A3)(G2P-A 1 хз2Р)=( р IА | +РзАз)1, компонента хзгл связана с заданными функциями условием 2.

Получены условия существования двух КИ.

Теорема 13. CMC при движении в однородном поле силы тяжести вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа-Пуассона имеет два независимых квадратичных интеграла в полной форме (15) тогда и только тогда, когда существуют интегралы

(aAi)-'G?p+2sA=const, Аз(3i'3sX2iA= J Млр^

с

для существования которых необходимо и достаточно выполнения условий: G3 lie;.aAiPn=const, A;1/^iG2P=Lp.?s,n=>.22. ?щ=0 при i=*j.

При наличии двух интегралов порядок исходной системы (2) понижен на две единицы и получена замкнутая система для X2ip, sP.

Следствием данной теоремы являются утверждения.

Система (2) при Л=0 в случае Лагранжа-Пуассона при выполнении условий G2p=AiX32p. Aia=const. LP=Q имеет интегралы

(

(Aix:iP+G2p):!+2AiasA=const, АзХ21а= J 'Ма<^

с

Система (2) при A=J" в случае Лагранжа-Пуассона имеет два квадратичных интеграла (15) в полной форме тогда и только тогда, когда существуют интегралы

f

(x2ip)2+2aA-'sA=const, xi\a= J А;1 Мас1£

с

для существования которых необходимо и достаточно выполнения условий:

1) ось динамической симметрии CMC неподвижна относительно носителя;

2) момент количества движения системы относительно носителя коллинеарен оси ее динамической симметрии;

3) сумма моментов реактивных сил и сил инерции в движении относительно носителя коллинеарна оси динамической симметрии

4) экваториальный момент инерции системы прямо пропорционален модулю ее статического момента системы относительно неподвижной точки носителя.

В классическом случае движения неизменяемого твердого тела вокруг неподвижной точки существует интеграл, выражающий постоянство проекции КМ на вертикаль, (G, s)=const. Для движения CMC вокруг неподвижной точки носителя рассмотрены условия существования интеграла, билинейного по G, s

(BG, s)+(ki,G)+(k2, s)+q>(t)= const (18)

Теорема 14. CMC без динамической симметрии при движении в однородном поле силы тяжести вокруг неподвижной точки носителя имеет интеграл (18) тогда и только тогда, когда выполнены условия A=-a(t)J, L=-a(t)G2. Сам интеграл при этом имеет вид

(G,s)=exp (- J ай№)

с

Найдены условия существования интеграла проекции кинетического момента CMC в случае Лагранжа-Пуассона.

Движение неизменяемого тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа-Пуассона облагает квадратичным по компонентам КМ интегралом (интеграл энергии), интегралом проекции КМ на вертикаль и линейным интегралом, выражающим постоянство проекции КМ на ось динамической симметрии. Наличие указанных интегралов позволяет свести задачу определения ориентации тела к квадратурам. Для изучаемого движения CMC найдены условия существования двух независимых КИ вида (15) и билинейного интеграла (18) и решена в этом случае задача определения ориентации носителя.

Теорема 16. CMC при движении в однородном поле силы тяжести вокруг неподвижной точки носителя в случае Лагранжа-Пуассона имеет интегралы

(vGP)2+2sA=const, v(G, s)=const, vGA=const при выполнении необходимых и достаточных условий: vA+v*J=0, vL+v'G2=0, G3II ез, где v=(aAi)-»2. При наличии указанных интегралов выполнена редукция системы (2) к автономной системе, описывающей изменение в инерци-альном пространстве КМ и орта оси динамической симметрии эквивалентного гироскопа.

Система уравнений для углов Эйлера ср, 9. устанавливающих ориентацию главного базиса, приводится к виду

(du/dx)2=(hi-2u)(l-uI)-(h2-h3u)2, u=cos 6, di=(a/Ai)"2dt dvj//dT=Ch2-h3u)/(l -U2) (19)

dcp/,dt=A;1(h3V-l-G3A)-(h2-h3u)u(v(l-u2))-i,hi=const Два первых уравнения (19) совпадают с уравнениями, используемыми при анализе движения в классическом случае Лагранжа-Пуассона, что позволяет все известные результаты, относящиеся к траектории апекса перенести на рассматриваемый случай движения CMC. Скорость прохождения апекса по траектории будет другой - с учетом зависимости т от t. Скорость собственного вращения также не совпадает с получаемой в классическом случае.

Следствием теоремы 16 являются результат® для случаев Л=0 и

Л=Г.

В случае Лагранжа-Пуассона при А=0 CMC имеет интегралы Gp +2AiasA=const, (G, s)=const, GA=const при выполнении необходимых и достаточных условий

aAi=const, L=0, G3P=0 Эйлеровы углы главного базиса определяются из уравнений (19), где

T=(aoAm)-|Gf a(S)d§.

о

, В случае Лагранжа-Пуассона при A=J* CMC имееет интегралы (a-|GP)2+2Aia-1SA=const, a-!(G, s)=const, a->GA=const при выполнении необходимых и достаточных условий vAj=voAio, aL=a*G2, G2II ез

Эйлеровы углы главного базиса (неизменно связанного с носителем) определяются из уравнения (19), i=(ao/Aio)"2t.

В восьмой главе приведены результаты анализа возможных неполных форм квадратичных интегралов (3), (15), дополняющие результаты предыдущих глав, в которых предполагалось, что оператор В в квадратичной форме (BG,G) - невырожденный. В данной главе рассмотрены случаи, когда ранг В меньше трех. При этом оказывается, что, по-прежнему, собственные векторы оператора В являются собственными векторами оператора инерции J, один или два старших по компонентам G в главном базисе члена будут отсутствовать в интеграле. Такие формы интегралов называем неполными, хотя зависимость от всех компонент КМ может иметь место за счет линейных

членов.

Для движения CMC вокруг неподвижной точки показано, что КИ в неполной форме может существовать только в случае Лагранжа-Пуассона. КИ, для которого ранг В равен единице, не существует; формально такой интеграл можно записать только как квадрат линейного интеграла. Приведены необходимые и достаточные условия существования КИ, когда ранг В равен двум, указан явный вид интеграла. Отмечено, что в случаях движения неизменяемого твердого тела или гиростата, и даже для CMC с А=0 указанный интеграл, если он существует, распадается на два независимых интеграла. Нетривиальная связь в КИ между G 2Р и Ga возможна, только если ортобазис собственных векторов оператора А не совпадает с главным ортобазисом.

Для интеграла свободного движения в случае, когда ранг В равен единице, сохраняется вывод о том, что КИ. если существует, является следствием линейного интеграла. Приведены условия существования и явный вид КИ при отсутствии динамической симметрии и ранге В, равном двум. Как и для случая движения вокруг неподвижной точки, интеграл оказывается квадратичным по составляющей G, принадлежащей множеству значений оператора В и линейным по составляющей, принадлежащей его ядру.

В заключении сформулированы основные результаты, приведенные в диссертационной работе.

Автор приносит благодарность за внимание и помощь в работе A.C. Галиуллину и кафедре теоретической механики РУДН, П.Е. Товстику и кафедре теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского университета, научному консультанту H.H. Макееву.

Публикации автора по теме диссертации

]. Квадратичный интеграл уравнений движения составных объектов / Тез. докл. 30-й научн.конф. ф-та физ-мат. и естеств. наук РУДН, 16-23 мая 1994 г., часть 2, с.67, М., РУДН, 1994.

2. Квадратичный интеграл сложной механической системы в движении вокруг центра масс / Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. инт. - Энгельс, 1994.- 18 е.- Деп. в ВИНИТИ 19.12.94, № 2949-В94.

3. Критериальные условия существования обобщенного интеграла кинетического момента сложной механической системы / Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т. - Энгельс, 1994.- 8с.- Деп. в ВИНИТИ 19.12.94, №2950-В94.

4. Линейный интеграл уравнений движения составного объекта II Материалы 1 научно-техн. конф./ Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т. - Энгельс, 1994 - с. 281-293. - Деп. в ВИНИТИ 10.03.95, № 660-В95.

5. Система линейных интегралов уравнений движения объекта переменного состава // Материалы 1 научно-техн. конф. / Сарат.гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т. - Энгельс, 1994. - с. 294-298. - Деп. в ВИНИТИ 10.03.95, №660-В95.

6. Алгебраические интегралы движения сложной механической системы /Тез. докл. 31 научн. конф. ф-та физ.-мат. и естеств. наук РУДН, 15-23 мая 1995 г., часть 1, с.44, М., РУДН, 1995.

7. Движение сложной механической системы в случае Лагранжа-Пуассона / Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т,- Энгельс, 1995.- 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.10.95, № 2729- В 95.

8. Квадратичный интеграл свободного движения сложной механической системы с динамической симметрией / Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т,- Энгельс, 1995,- 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.10.95, № 2730 - В 95. ,

9. Движение сложной механической системы с динамической симметрией вокруг неподвижной точки / Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т,- Энгельс, 1995,- 24 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.10.95, № 2830 -В 95.

10. Об уравнениях движения сложной механической системы / Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т.- Энгельс, 1995.- 25 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.10.95, №2831 - В 95.

11. Линейный и квадратичный интегралы сложной механической системы. Прикл. мат. и мех., т. 60, вып. 1, 1996, с. 37-46.

12. Свободное движение сложной механической системы с квадратичными интегралами. Космические исследования, т. 34, № 2, 1996., с. 145-149.

13. Критериальные условия существования двух квадратичных интегралов свободного движения сложной механической системы I Сарат. гос. техн. ун-т, Технологич. ин-т.- Энгельс, 1996.- 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.02.96, № 590 - В96.

14. Система переменного состава с квадратичным интегралом // Проблемы механики управляемого движения. - Пермь. 1996. - с. 138144.

15. О приводимости уравнений свободного движения системы переменного состава / Тез. докл. 32-й научн. конф. ф-та физ.-мат. и ес-теств. наук РУДН, 27-30 мая 1996г., часть 2, с. 61, М„ РУДН, 1996.