Теоретическое и численное исследование одного варианта метода прямых для уравнений газовой динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

рро од

, ••• • - ' РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

на правах рукописи

Поздеев Александр Альфредович

Теоретическое и численное исследование одного варианта метода прямых для уравнения газовой динамики.

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Институте Математики Сибирского Отделения российской Академии Наук.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.М.Блохин.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А.Ф.Воеводин, кандидат физико-математических наук С.Г.Черный.

Ведущая организация - Красноярский ВЦ СО РАН.

Защита состоится "9 * июня 1993 года в_часов на

заседании специализированного совета К.002.10.01 по црисукдению ученой степени кандидата физико-математических наук при Вычислительном * Центре Сибирского Отделения

Российской Академии Наук по адресу 630090,_

Новосибирск, 90, проспект Академика Лаврентьева, 6

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке _

_Вычислительного ^ ттвнтрз_

Автореферат разослан .1993 года

ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

Ю.И.Кузнецов

I. Общая характеристика работы

В работе предлагается дифференциально-разностная вычислительная модель для уравнений газовой динамики. Дается обоснование этой модели на линейном уровне (в акустическом приближении). Описаны численные алгоритмы и результаты расчетов по ним для задачи обтекания бесконечного кругового конуса сверхзвуковым потоком идеального газа. Описывается применение рассматриваемой вычислительной модели для проведения численного эксперимента с целью получить обоснование метода установления. Вывод о качественно верном поведении приближенного решения, полученного методом установления, делается на основании исследования устойчивости предельного стационарного решения линеаризованной задачи.

Актуальность проблемы.

Для решения задач газовой динамики применяются различные методы. Одним из подходов является так называемый метод пряма:. Основная идея этого подхода заключается в сведении исходной задачи для уравнений в частных производных к задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Применять подобные методы в газовой динамике предложил А.А.Дородницын. Дальнейшим развитием этого подхода явился метод интегральных соотношений, развитый в работах О.М.Белоцерковского, П.И.Чушкина. С помощью варианта метода

прямых, предложенного Г.Ф.Теленининым, M.Holt провел расчеты некоторых задач газовой динамики. В настоящей работе дифференциально-разностная модель формулируется таким образом, чтобы для нее можно было показать корректность в случае линеаризованной исходной задачи газовой динамики. Более того, на основе идей, изложенных С.К.Годуновым, с помощью построенной полудискретной модели можно доказать теорему существования для линеаризованной задачи. При исследовании применяется развитый в работах А.М.Блохина аппарат диссипативных интегралов энергии.

На основе разработанных численных алгоритмов проводятся расчеты задачи обтекания бесконечного кругового конуса сверхзвуковым потоком идеального газа. Эта задача интересна еще тем, что для нее возможны два решения - с сильной и слабой ударными волнами. Возникает вопрос о том, какое из решений реализуется на практике. Одним из способов исследования этой проблемы связан с изучением устойчивости стационарных решений задачи о конусе. С математической точки зрения это эквивалентно изучению асимптотического поведения решения некоторой нестационарной линейной смешанной задачи. Подобные исследования проводились многими авторами. Настоящая работа продолжает работы А..М.Блохина, Е.И.Роменского, В.Р.Цимермана, посвященные этому вопросу. Поведение предельного стационарного решения при режимах, для которых теоретические исследования не дают ответа на поставленный вопрос, исследуется численно с помощью

i

4

алгоритмов, основанных на построенной дифферениально-разносткой модели, допускающей исследование ее корректности с помощью метода интегралов энергии.

Цель работы.

Целью предлагаемой работы является построение дифференциально-разностной модели, для которой доказывается ее корректность на примере смешанной задаст, получающейся линеаризацией исходной нелинейной смешанной задачи газовой динамики. Затем на основе исследованной модели строятся различные численные алгоритмы типа метода прямых (в сочетании с методом установления по времени) для решения задач газовой динамики.

Научная новизна..

Все основные результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Построение дифференциально-разностой модели. Доказательство корректности этой модели о помощью техники интегралов энергии (на линейном уровне).

2. Разработка алгоритмов для расчета задач газовой динамики на основе построенной адекватной дифференциально-разностной модели.

3. Обоснование метода установления с помощью численного исследования влияния свойств предельного стационарного

решения на его установление.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации носят как теоретический, так и практический характер. С помощью разработанных численных алгоритмов можно решать конкретные задачи газовой динамики.

Основная методика исследования.

В предлагаемой работе основной методикой исследования

корректности вычислительной модели является метод

диссипативных интегралов энергии. При исследовании свойств

предельного стационарного решения, получаемого методом

установления, применяется численный расчет на основе разработанного численного алгоритма.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладовались:

- на объединённом семинаре Института вычислительных технологий СО РАН и кафедры вычислительных методов механики сплошной среды НГУ "Численные методы механики сплошной среды" под руководством член-корр. РАН Ю.И.Шокина и проф. В.М.Ковени;

- на семинаре "Методы вычислительной математики" ВЦ СО РАН под руководством проф. В.П.Ильина;

- на семинаре "Прикладная гидродинамика" ИГиЛ СО РАН

под руководством проф. В.В.Пухначбва. Публикации.

По теме диссертации опубликовано три работы. Структура и объем диссертации.

Диссертация объемом 128 страниц состоит из введения, трех глав и приложения. Приложение включает 7 таблиц и 6 рисунков. Список литературы содержит 35 наименований.

2. Содераание диссертации

Введение.

Во введении кратко описывется идея настоящего подхода. Приводится обзор работ по методу прямых. Приводятся сведения о методе ортогональной прогонки, применяемого для решения получающейся аппроксимирующей задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Первая глава

В первой главе вводятся основные определения теории симметрических г-гиперболических систем. Кратко описывается методика получения априорных оценок с помощью метода интегралов энергии. Строится дифференциально-разностная модель, для которой затем доказывается еб корректность. При доказательстве используется развитый для симметрических г-гиперболических систем аппарат построения дифференциально-разностных аналогов интегралов энергии. Исследования проводятся для линеаризованной нестационарной системы

уравнений газовой динамики, для которой формулируется

следующая смешанная задача.

Рассмотрим смешанную задачу для уравнений акустики в

области П = (а.х.у) | t>0, (х,у) е й^ ):

а-тг + в-и + с-и = о,

% х V

с граничными условиями при ^0, ж=0, уей:

и + <2-р = О, V.* ш-у - = О

и начальными данными при ^=0:

ЩО,х,у) = Ъ0(х,у), (х,у)аЕ?+ Здесь й^ = ((х,у)\ х>0, уеЮ,

А = <Иа$(1, И2, Ж2) - диагональная матрица,

'010' ■001' ' р'

1 0 0 ' со= ООО , и = и

.ООО. . 1 0 0 . . и

В = А + В0, ^ С = С0 + ы-А; Ы (О < II < 1), ш £ О, й, А. - некоторые константы.

Дифференциально-разностная вычислительная модель строится

следующим образом. Произведем дискретизацию с шагами

= А, = ?гу.Введем обозначения:

и = У*(х) = ис&.д, х, 3-Пу),

фи = = еи = еи *(х) =

ъ ь

6 и = е и= - аф + в,

ь - <И э -

- ъ$(х) = и, т = е - _ , е -

-1л Т) + л

17 = 6-7, т} = 7-8 , т} = —— , т) = 1.т|,

и 2П ъ и

V

где а, б » 0 (а + б = 1) - константы.

Сформулируем следующую дифференциально-разностную модель для исходной смешанной задачи:

4-tU + B-eU + С-тДО = 0, хХ), k,\J\=0,1,...; ujro; + а-рЬ(о) = о,

+ ЩЬ^(О) - Хт\р^(0) = 0, k,\J\=0,1

о

Vj(x) = v0(x,j-hy), х Z О, \J\=0,1,...

Для получения априорных оценок в аналоге пространства я| необходимо оценить решение и его дифференциально-разностные производные вплоть до второго порядка. С помощью построения аналогов интегралов энергии для некоторых эквивалентных дифференциально-разностных моделей с диссипативным граничным условием оцениваются решение и аналоги его производных. Суммируя полученные оценки, получают оценку для некоторого агрегата, в который входят квадраты нормы решения и его производных в аналоге пространства Ъ2:.

Jk < const-J0 .

Здесь

= + ЦГуа12+ IJ^I2 + Rp*!2 +

+ | Vl2 + I^P15!2 + №rP\2 + ¡Tr^l2 + liV*!2 +

+ + hW,

00

00

где |Ufe|2 = h £ Г \TJ*(x)\2<3x, K1 > 0 - константа. " J = -00 J 0

Затем доказывается разрешимость полученной дифференциально-разностной модели. Из априорной оценки и разрешимости

9

I

вычислительной модели следует еб корректность. Доказательство корректности не дабт каких-либо ограничений на шаги дискретизации. При получении априорной оценки использовалось только условие а б. Вторая глава

Во второй главе построенная дифференциально-разностная модель используется для численных расчетов задачи обтекания бесконечного кругового конуса сверхзвуковым потоком идеального газа. Приводится постановка задачи в дифференциальной форме. Описываются основные особенности конических течений. Приводятся различные алгоритмы расчета задачи обтекания конуса при нулевом угле атаки. Обсуждается постановка граничных условий, влияние выбора шагов. Приводятся результаты расчетов, которые сравниваются с табличными. Описывается методика расчета обтекания конуса под углом атаки, приводятся различные варианты алгоритма, обсуждаются результаты расчбтов. Формулируется нестационарная смешанная задача для метода установления, которая получается введением фиктивной переменной времени в систему уравнений конического течения. Основной по объему материал посвящается различным приемам получения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и описанию численных алгоритмов.

Общая идея приведения исходной задачи для уравнений газовой динамики к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений выглядит следующим образом.

Пусть имеется нестационарная система уравнений газовой динамики, записанная в виде

и. + л и + В и + Р = 0, ъ х у '

и=(и,где и,и,т,р,Б - соответственно компоненты скорости, давление, энтропия, и = Ч^,х,у). А,В - матрицы, Р - вектор, элементы которых являются функциями от 1,х,у.

Путь каким-либо образом эта система приводится к виду

и =

X

Vи, +В,.*у

Затем заменяем и4 и иу конечными разностями по той или иной схеме ("производим дискретизацию по 1 и у"). Например,

=4 - + в^-¿±1

37 7 » 1

1 1 ~ 3-1

2К,

где о} = иа^.ууХ) = иГйА.С/-1)П,х), J = 1,3. Если положить Т?^ = 1, то

и, т»

3-1

2П.

+ А

ъ

+ в*

3*1

21х .

(I* - 4 —

V V

Это равносильно системе обыкновенных дифференциальных уравнений

(Я - - -— = А И + Р,

<3х

где И =

Я.

Я.

И, = и'

■Ъ+1

и4

Ь+1

, ] = из ■

'V

Л - клеточная матрица, причем ненулевые клетки расположены на трех главных диагоналях. Пусть х € [т0,т]. Тогда остается каким-либо образом сконструировать краевые

условия для * при х=х0 иге помощью граничных, условий для исходной задачи. В результате приходим к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенное решение которой будем искать методом ортогональной прогонки.

При применении такого подхода к конкретной задаче газовой динамики возникает проблема, связанная с обращением матрицы А: выразить и^ из "полной" системы уравнений нельзя в силу того, что матрица А в рассматриваемых уравнениях газовой динамики (случай идеального газа) вырождается на поверхности обтекаемого тела. Вместе с тем, для систем из трех уравнений существует прием, состоящий в некотором предварительном преобразовании системы уравнений и позволяющий обойти эту проблему. Поэтому метод прямых применяется к части уравнений исходной системы. Кратко предлагаемый алгоритм можно описать следующим образом.

1).Рассматриваются несколько уравнений исходной системы. Для них формулируется смешанная задача с использованием данных исходной "полной" задачи.

2).Получающаяся нестационарная система приводится к виду, разрешенному относительно производной по одной из пространственных переменных.

3). Проводится дискретизация по времени и некоторым пространственным переменным. Получается задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

4). Краевая задача решается методом ортогональной прогонки.

5).Остальные параметры находятся из уравнений исходной системы по схемам типа бегущего счета.

Как видим, применяемый в нашей работе метод есть на самом деле некоторый комбинированный метод типа метода прямых, так как собственно метод прямых применяется не ко всей системе, а лишь к некоторым ее уравнениям. Остальные решаются методом конечных разностей, который применяется и при дискретизации на первом этапе метода прямых. Кроме того, важным моментом является использование метода установления, (по времени) для нахождения приближенного стационарного решения тестовой задачи.

При нулевом угле атаки все варианты показали хорошее совпадение с табличными значениями. Рассматривались режимы обтекания с числами Маха от 2 до 7 с различными углами полураствора конуса. Расчеты при больших числах Маха на бесконечности 5) дают более быстрое установление и лучшую точность при разном соотношении шагов. Количество шагов до установления увеличивалось с ростом угла полураствора конуса. Третья глава

Третья глава посвящена обоснованию выбора метода установления для нахождения приближенного решения стационарной задачи. Кратко описывается идея метода установления. Приводятся ссылки на работы, показывающие влияние свойств предельного стационарного решения на установление. Описывается численный эксперимент по

исследованию асимптотической устойчивости при решения линеаризованной задачи, для которой показана корректность на конечном интервале по времени. Доказательство корректности соответствующей нестационарной задачи позволяет надеяться, что решение будет устойчиво и будет сходиться к некоторому предельному. Но для задач, у которых решение неединственно - как это имеет место в случае обтекания конуса - важно, чтобы численный метод обеспечивал сходимость к решению, наблюдаемому на практике. В этой связи появляется необходимость исследования поведения решения с течением времени. Там, где это возможно, получаются оценки, позволяющие говорить об асимптотической устойчивости. Если таких оценок получить не удаётся, то исследование поведения решения проводится с помощью численного эксперимента. Такому экспериментальному

исследованию асимптотической устойчивости предельного стационарного решения задачи обтекания конуса и посвящена эта глава. Исследуется решение смешанной задачи,

полученной линеаризацией относительно стационарного решения. Коэффициенты матриц и данных этой задачи зависят от параметров стационарного решения. Основная идея эксперимента заключается в "навязывании" линейной задаче того или иного режима обтекания с помощью параметров, полученных из расчета стационарной задачи, описывающей течение со слабой или сильной ударной волной.

Компоненты скорости в сферической системе координат

при стационарном обтекании конуса под нулевым углом атаки

удовлетворяют уравнениям:

г 2 г йи г г г

(с - V ) - = u(v -2с ) - с-и-сг^д,

<29

(Ш Од

где с - скорость звука. Эта система уравнений дополняется граничными условиями на ударной волне при -<М>в и условием непротекания на поверхности конуса при Найденные

распределения параметров и(Ъ), 1>(Ъ) подставляются в линеаризованную смешанную задачу. После чего производим дискретизацию и преобразуем полученную полудискретную модель. Получаем краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее пользуемся описанным выше алгоритмом. Численные эксперименты для режимов обтекания со слабой ударной волной при Мю=2, 1/^=7 (для политропного газа с 7=1.4) подтвердили вывод об асимптотической устойчивости при £ -»оо режима обтекания со слабой ударной волной и показали неустойчивость режима обтекания с сильной ударной волной при í На основе проведенных

исследований устойчивости предельного стационарного решения при обтекании кругового конуса можно сделать следующий вывод. Предельное стационарное решение, соответствующее режиму с сильной ударной волной, неустойчиво по отношению к малым возмущениям. Предельное стационарное решение, соответсвующее режиму обтекания со слабой ударной волной, устойчиво по отношению к малым возмущениям. Следовательно, с

помощью метода установления получается решение, соответствующее тому, которое наблюдается на практике. Это может служить обоснованием метода установления для расчёта устойчивых стационарных решений со слабыми ударными волнами (течение газа за ударной волной сверхзвуковое). Эффективность метода установления уменьшается при расчбте околозвуковых течений газа.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях

1. А.М.Блохин, В..Р.Цимерман, А.А.Поздеев. Метод прямых для

уравнений газовой динамики: теоретическое обоснование и численные эксперименты. - Тр. ИМ СО РАН, т.22, Н.:Наука,4992-

2. А.А.Поздеев, В.Р.Цимерман. Численное исследование устойчивости стационарного решения задачи о сверхзвуковом обтекании конуса с использованием адекватной модели (метод прямых).

- Сб. тр. "Теоремы вложения и их приложение к задачам мат. физики", Новосибирск, ИМ СО РАН, 1992, с.79-108.

3. А.А.Поздеев. Метод прямых в газовой динамике.

- Сб.: Вычислительные технологии, т.2, Ж5, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 1993.