Вложенные подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Макаревич, Елена Владимировна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Уфа
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2013
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Макаревич Елена Владимировна
ВЛОЖЕННЫЕ ПОДМОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С "УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ С РАЗДЕЛЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы
7 НОЯ 20)3
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Уфа — 2013
005537084
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет»
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Хабиров Салават Валеевич Официальные оппоненты: Чиркунов Юрий Александрович
доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный технический университет»
Жибер Анатолий Васильевич
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН» Ведущая организация: ФГ'ВУН «Институт математики
и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения РАН»
Защита состоится «_»_2013 года в_. часов на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 в Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32 в аудитории 216 физико-математического корпуса.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.
Автореферат разослан «_»_2013 года.
Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор
Ковалева Л.А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Для изучения уравнений газовой динамики методами группового анализа Л. В. Овсянниковым была предложена программа ПОДМОДЕЛИ. Основной целью программы является получение полного перечня подмоделей газовой динамики. Активные исследования проводятся в этом направлении учеными -участниками программы подмодели: Чунахиным А. П., Хабировым С. В., Мелешко, С. В., Черевко А. А., Головиным С. В., Мамонтовым Е. В., Чиркуновым Ю. А. Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает построение оптимальной системы подалгебр допускаемой алгебры, так как каждая подалгебра служит потенциальным источником некоторой подмодели. Другой важной задачей этой концепции является отыскание и классификация точных решений уравнений газовой динамики, позволяющая более точно описывать явления механики сплошной среды. Построение и исследование новых подмоделей с целью получения точных решений и их интерпретации с точки зрения физики развивает не только методы решения квазилинейных систем дифференциальных уравнений, но и позволяет конструировать аппараты с неожиданными важными свойствами га-зоднамических течений.
В настоящей работе используется усовершенствованный способ построения оптимальной системы подалгебр 12-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью. Способ заключается в использовании разложения 12-мерноЙ алгебры в полупрямую сумму шестимерного абелева идеала и шестимерной подалгебры. Предлагается способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа-дерева вложенных подалгебр. Граф представлен следующими фрагментами: основной фрагмент, конечные фрагменты к основному фрагменту, промежуточные фрагменты к основному фрагменту, конечные фрагменты к промежуточным фрагментам. Дается физическая интерпретация решения, полученного на четырехмерной подалгебре. Разыскиваются точные решения на трехмерной подалгебре, вложенной в четырехмерную. Таким образом, осуществляется
дальнейшая реализация программы ПОДМОДЕЛИ.
Цель работы.
• построение оптимальной системы неподобных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью;
• представление графа всех вложенных подалгебр из оптимальной системы с помощью фрагментов;
• по одному из фрагментов графа вложенных подалгебр 12-мерной алгебры Ли построить вложенные друг в друга подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью;
• нахождение точных решений уравнений некоторых подмоделей и описание движений: газа, звуковой поверхности, звуковых характеристик, а так же выявление оригинальных свойств такого движения.
Научная новизна.
• в явном виде представлена оптимальная система неподобных подалгебр 12-мерной алгебры Ли, предложена компактная таблица оптимальной системы;
• предложен способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа-дерева вложенных подалгебр;
• построены новые подмодели уравнений газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью для одного из фрагментов графа;
• найдены новые частично инвариантные решения уравнений газовой динамики и дана физическая интерпретация одного из них.
Теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование движения сжимаемой жидкости, групповой анализ дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования.
Например, нахождение новых точных решений, их физическое толкование. Полученные точные решения могут быть использованы в тестовых задачах для численных методов, могут быть сопряжены через характеристики с другими групповыми решениями для конструирования аппаратов с необходимыми свойствами движения газа. Развивается также математический аппарат группового анализа дифференциальных уравнений.
Работа выполнена в рамках программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики, руководителем которой является академик Л.В. Овсянников.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена применением методов группового анализа дифференциальных уравнений и методов общей теории дифференциальных уравнений.
Апробации работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:
• 41-я всероссийская молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2010 г.;
• Международная конференция «МОСЕАЫ XV», Кемер (Турция), 2012 г.;
• Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа (Россия), 2012 г.;
• Международная конференция «Проблемы нелинейной математической физики», Нордфьордэйд (Норвегия), 2013 г.,
• Семинар Института механики УНЦ РАН, 2013 г.;
• Международная конференция «MOGRAN XVI», УГАТУ, Уфа (Россия), 2013 г.;
• Семинар Института математики и механики УрО РАН, 2013
г.;
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ [1]-[6]. Из них - 4 в виде статей (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК), 2 - в виде тезисов.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 136 страниц, в том числе 105 рисунков, 5 таблиц, приложения А и В. Список литературы состоит из 87 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении приведен краткий обзор литературы по теме исследования, отмечается актуальность темы, теоретическая ценность.
Первая глава посвящена построению оптимальной системы подалгебр 12-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью.
В п.1.1 приведены основные формулы: уравнения газовой динамики, уравнение состояния с разделенной плотностью, базис 12-мерной алгебры Ли в декартовой системе координат, таблица коммутаторов и внутренние автоморфизмы, необходимые для построения оптимальной системы. Рассмотрена модель газовой динамики
pDü+Vp = 0, Dp + pV ■ u = 0, Dp + AS7-u = О, (1)
где D = dt + й ■ V - полная производная, и - вектор скорости, р -давление, р - плотность, V - градиент, А = рс2, с2 - квадрат скорости звука. Уравнения (1) в случае общего уравнения состояния р = f(p,S) допускают 11-мерную алгебру Ли Ln операторов дифференцирования первого порядка. В случае уравнения состояния с разделенной плотностью
р = h(p)k(S), (2)
где h, к - произвольные функции, алгебра расширяется до 12-мерной алгебры Ли L12, со следующим базисом, записанным в декартовой
системе координат:
Хх = дя, х2 = ду, х3 = дг, х< = гдх + аа,
Х5=гду + дь, х6 = гдг + ды, Хт = удг- гду + уди-ыд», Х8 = гдх - хдг + и>ди - иди„ Х9 = хду - удх + иду - ьди, (3)
= Хп=*дь + хдх + уду + гдг, Х\2 — Ъдь ~ и&и — — чаду, + 2рдр.
Оператор Хп допускается для системы (1) с функцией А, нелинейно зависящей только от р. Структура алгебры Ь\2 определяется ее подалгебрами. При построении оптимальной системы подалгебр использовалось разложение 12-мерной алгебры Ли в полупрямую сумму шестимерного абслева идеала и шестимерной подалгебры.
В п.1.2 построена оптимальная система проекций на шестимерную подалгебру. Алгебра 1/12 разлагается в полупрямую сумму идеала Ьц и подалгебры {Х12}. Для Ьп уже построена оптимальная система подалгебр (Овсянников Л.В.), поэтому рассмотрены только те подалгебры у которых проекция на {Х12} не равна нулю. Имеется разложение алгебры Ь\2 = гДе Лз =
- абелев идеал, Ь6 = {Х7,..., Х12} - подалгебра. Оптимальная система проекций на Ь6 построена на основе разложения в прямую сумму Ь6 = {ХЪХ&,ХЭ}® ({Л'1о}®{Х11,Х12}). Использовались автоморфизмы действующие в Ье- Введены следующие обозначения: Л = {Х7,ХЪ,Х9}, = {Х10}®{Х1ЬХ12},ЛГ2 = {ХП!Х12}, где и
- идеалы в {Х10} - идеал в ]3, {Хп,Хп} - абелева подалгебра в Jз-
В п.1.3 каждая подалгебра оптимальной системы проекций на шестимерную подалгебру дополнялась элементами из абелева идеала. С помощью автоморфизмов, действующих в абелевом идеале и с помощью замен базиса проекция на приводилась к наиболее простому виду в классе подобных. В результате построена оптимальная система подалгебр алгебры Ь\г - таблица из 317 строк. Каждая строка таблицы задает с помощью базиса подалгебру, которая имеет номер гл, где г - размерность подалгебры, г - порядковый номер подалгебры данной размерности. В таблице вместо операторов Х{
пишутся их номера В качестве примера приводится оптимальная система одномерных подалгебр.
г 1 Базис Нормализатор
1 1 а7 + 611 + 12; а ф 0, Ь ф 0, 6 ф -1 3.1
2 1 + а7+ 12; аф 0 3.8; а = 0,6 = 0
3 а! + 12; аф 0 4.5
4 а7 — 11 + 12; афО 4.4
5 а7 + 10 - 11 4-12; аф 0 3.2; а = 0,6 = -1
6 611 + 12; 6^0, 6^-1 5.1
7 1 + 12 5.21; а = 0,6 = 0
8 12 8.2
9 -11 + 12 6.1
10 Ю - 11 + 12 5.2; 6 = -1
В п.1.4 предложена компактная таблица из 138 строк оптимальной системы 12-мерной алгебры Ли с помощью оптимальной системы шестимерной подалгебры.
Во второй главе представлен граф всех вложенные подалгебр 12-мерной алгебры Ли ЬХ2. Граф-дерево всех вложенных подалгебр, содержащих оператор Х12 построен по оптимальной системе подалгебр ¿12 с учетом подобия в классе подобных подалгебр.
Сначала строится основной фрагмент графа - подграф Г7(12.1), в котором обозримо (ребро графа со стрелкой) прослеживаются все вложения подалгебр размерности больше или равной 7 в Ьг2 — 12.1. Затем для всех 7-мерных подалгебр строятся либо конечные фрагменты = 1,2,3,4,10,26,27 к основному графу, в которых приведены все вложенные друг в друга подалгебры размерности большей или равной 1 в подалгебры 7.]\ либо промежуточные фрагменты Гб(7.к), к ф ], в которых приведены все вложения подалгебр размерности 5 и 6 в подалгебры Т.к. Далее строятся конечные фрагменты к промежуточным фрагментам Г1(б.Д;),Г:(5.А;).
Существуют 6-мерные подалгебры, которые не вкладываются ни в одну 7-мерную подалгебру. Для них также построены конечные и промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа.
Все фрагменты графа вложенных подалгебр построены методом
перебора подалгебр из оптимальной системы в несколько этапов. Сначала для подалгебры конечной вершины графа размерности п с номером n.i из оптимальной системы выписываются все подалгебры размерности к < п с номерами k.j, вложенные в подалгебру n.i. Они являются вершинами строящегося графа. Вершины с номерами n.i и n—1 .j соединяются ребрами. Для каждой вершины с номером n—2.j проводятся ребра, связывающие ее с вершинами n—l.i. Если вершин n—l.i не найдется для подалгебры n — 2.j, то она соединяется ребром с вершиной n.i. Вершина п — З.г соединяется с вершинами п — 2.j, если она является их подалгеброй. Вершина п — З.г соединяется с вершинами п — l.j если она не соединяется с ней через подалгебру п — 2.к и так далее.
Граф-дерево всех вложенных подалгебр представлен следующими фрагментами: основной фрагмент, 7 конечных фрагментов к основному фрагменту, 19 промежуточных фрагментов к основному фрагменту и 66 конечными фрагментов к промежуточным фрагментам.
В качестве примера приводится граф Г\(5.33) всех вложенных подалгебр в подалгебру 5.33 для которого рассматривается система вложенных подмоделей (рис. 1).
В третьей главе рассмотрена система вложенных подмоделей (иерархия подмоделей) для конечного фрагмента графа одной 5-мерной подалгебры 5.33. Для всех подалгебр графа вычислены согласованные дифференциальные инварианты (ДИ) и операторы инвариантного дифференцирования (ОИД) согласно утверждениям: инварианты надалгебры есть функции от инвариантов подалгебры; операторы инвариантного дифференцирования надалгебры есть линейная комбинация операторов инвариантного дифференцирования подалгебры с коэффициентами над полем дифференциальных инвариантов подалгебры.
Построено 18 инвариантных подмоделей, для которых все решения одних являются частными решениями других подмоделей. Для четырехмерных подалгебр 4.51(а ф О,Ь ф -1),58(а ф 0) рассматривается частично-инвариантное решение ранга 0, дефекта 2, в котором pup- произвольные функции. Представление решения для
Рис. 1. Граф Г^б.ЗЗ).
подалгебры 4.51 (а ф О, Ь ф -1), 58(а ф 0): {а1+2,5, 6, Ш +12}, а ф 0,Ьф —1 имеет вид
и = = Г^^шу,, - а_1а: + у),ш = Г1(Ц\ш\у>о + г),
р,р — произвольные функции.
Полученное решение
и = О, V = — а-1а;),гу = Ь~1г,р = ¿~2Я(х, ъи),/г(р) = (4)
подробно исследуется в главе 4. Приведены примеры других групповых решений. Получено точное решение регулярной частично инвариантной подмодели ранга 1 дефекта 1, построенной на четырехмерной подалгебре 4.51 при значениях параметров подалгебры а = 0,6 = —1. Рассмотрена нерегулярная частично инвариантная подмодель ранга 1, дефекта 1 на четырехмерной подалгебре 4.58, которая дает три подмодели. Дифференциально инвариантная подмодель ранга 1+0 на пятимерной подалгебре 5.33 при а = 0 сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнения шестого порядка. Для всех вложенных инвариантных подмоделей подалгебр графа Г^б.ЗЗ) было доказано, что решение инвариантной подмодели надалгебры является частым решением инвариантной подмодели подалгебры.
В четвертой главе исследуется частично инвариантное решение ранга 0, дефекта 2 4 на четырехмерной подалгебре 4.51(а ф 0, Ь ф — 1),58(а ф 0) из графа Г1(5.33). Описано движение частиц, выделенного объема газа (контактные характеристики). Частица газа двигается согласно уравнениям
х = яо, У = а~гхо + г = ю0Ь, (5)
где хо,Уо,то - постоянные - глобальные лагранжевы координаты. Частицы двигаются по прямым линиям в плоскостях, параллельных плоскости уОг. При í = 0 все частицы попадают на прямую I : ау — х, г — 0, которая есть многообразие коллапса при —оо < Ь < 0 или мгновенного источника при 0 < £ < +оо. Если а - угол между осью Оу и прямой I, то tga = а. Решение задает движение газа из всего пространства по направлению к прямой
для отрицательных значений времени (коллапс) и от прямой во все пространство для положительных значений времени (мгновенный источник). При бесконечно больших по абсолютной величине значениях времени все пространство занято дозвуковым движением.
Рассматривается движение выделенного объема газа при £ < 0. Для этого достаточно рассмотреть движение сечения этого объема плоскостью, параллельной плоскости уОг. Возможны три случая: окружность располагается в плоскости, параллельной уОг, так, что 1) точка М пересечения I с плоскостью находится вне окружности (см. рис. 2); 2) точка
М пересечения I с плоскостью нахо-
г Рис. 2. Движение кругового сече-
дится на окружности (см. рис. 3); 3) ния Точка м вне круга точка пересечения М прямой I находится внутри окружности (см. рис. 4).
Рис. 3. Движение кругового сечения. Точка М на круге.
Рис. 4. Движение кругового сечения. Точка М внутри круга.
На решении (4) в случае политропного газа с уравнением состояния р = 5(5)р7,1 < 7 < 2 при постоянном Я = р0 уравнение звуковой поверхности принимает вид
(У
а х
СоЧ"
Снаружи звукового цилиндра скорость частиц больше скорости звука. Внутри звукового цилиндра скорость частиц дозвуковая. Так как при і —> О скорость звука возрастает во всем пространстве, а скорость каждой частицы не меняется, то частицы вне звуковой поверхности со временем оказываются внутри звуковой поверхности. Скорости частиц, которые были сверхзвуковыми, становятся дозвуковыми после прохождения звуковой поверхности. Звуковая поверхность движется из бесконечно удаленных точек к прямой.
Распространение слабых разрывов (далее возмущений) задается звуковыми характеристиками и звуковым коноидом, Характеристики уравнения называются бихарактеристиками исходных УГД. На решении (4) в случае постоянного Л = ро уравнения бихарактеристик имеют интегралы
. СоЩ1^ (і^і - а-1^) &
х = Т / . + х0,
І у/рЦ-атЧ^ + і^ + і^2
' Со|г|'-7 ((1 + д~2)^2 - а'ЧР^ А
I
«о
ч
Та <0
(о ^2)2 + + ^з2
! [ соІ^Г"7 а"1^) А і
/ , + а + (уо - а ^о) —,
-> . /гРі _ а-1^)2 + Р22 + і^з2 0
СйИ1"7^ , і
/ = + ,
іуі-і'і'-« "ґ2; -г х-2 -г -гз
(6)
где а^о, г/о, ^оі -^г' > ^ = 1,2, 3 — постоянные. Равенства (6) задают движущуюся двумерную поверхность в Е3.
Пусть начальная поверхность, на которой возникает возмущение в момент времени —ОО < ¿0 < 0 есть эллиптический цилиндр, соосный звуковому цилиндру
Г0 : (уо - а-'ха)2 + (1 + аГ2)г02 = До2.
Тогда уравнения звуковых характеристик (6), проходящих через Е_{у-аГ 1х)2 + (1+а~2)г2 =
задают эллиптические цилиндры, полуоси которых изменяются со временем. Возможны два случая: 1) возмущение возникло на поверхности, охватывающей звуковой цилиндр; 2) звуковой цилиндр охватывает поверхность, на которой возникло возмущение. На рис. 5, 6 изображено изменение полуосей и Р+ характеристик и звукового цилиндра при t —ь- 0.
г
Рис. 5. Характеристики при t <0. Возмущение возникло на поверхности, охватывающей звуковой цилиндр.
Уравнения (6) задают поверхность (коноид) в параметрическом виде, движущуюся в К3. Интегралы (6) не вычисляются аналитически, поэтому были проведены численные расчеты. Рассматривается движение коноида из некоторой фиксированной точки. Рассмотрены следующие случаи.
1) Пусть эта точка в момент времени ¿о < 0 находится в области сверхзвукового движения (вне звукового цилиндра). Тогда в сверхзвуковой области коноид будет двигаться в направлении звукового
г
Рис. 6. Характеристики при ( < 0. Звуковой цилиндр охватывает поверхность, на которой возникло возмущение.
цилиндра. При этом при £ —^ 0 некоторые точки коноида пересекут звуковой цилиндр, дойдут до оси цилиндра, пересекут другую сторону звукового цилиндра. Все точки коноида схлопнутся на прямую I при í = 0 (см.Рис 7.а)).
2) Пусть начало коноида в момент времени ¿о < 0 находится в области дозвукового движения (внутри звукового цилиндра). Тогда при Ь —> 0 некоторые точки коноида выйдут в сверхзвуковую зону, удаляясь от звукового цилиндра. Другие точки, оставшиеся в дозвуковой области, будут двигаться вдоль оси цилиндра (см.Рис 7.6)). Все точки схлопнутся на прямую I при Ь = 0. Таким образом, показано, что звуковые характеристики и точки звукового коноида с течением времени (£ < 0) приближаются к звуковой поверхности.
Далее рассмотрена трехмерная подалгебра 3.23(а = 0), вложенная в четырехмерную подалгебру, с целью найти множество решений для сопряжения с решениями на подалгебрах большей размерности. В результате получено две подмодели: инвариантная ранга 1 и частично инвариантная ранга 1 дефекта 1, семь решений, зависящих от одной произвольной функции и 17 точных решений, зависящих от нескольких постоянных. Минимальное число постоянных - 4, максимальное число постоянных - 8. Все решения записаны с точностью до преобразований, допускаемых УГД.
В заключении сформулированы основные результаты диссер-
а) Два положения звуковой поверхности и коноида в моменты ¿1 < ¿2 < О, когда вершина коноида находится в сверхзвуковой области.
б) Три положения звуковой поверхности и коноида в моменты ¿1 < ¿2 < £з < О, когда вершина коноида находится в дозвуковой области.
Рис. 7. Сечения звуковой поверхности и коноида,. Вид со стороны оси г. тационной работы.
1. Построена оптимальная система неподобных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью. Показано, что построенная система позволяет регулярным образом редуцировать основную модель газовой динамики к более простым подмоделям.
2. Установлено, что представленный с помощью 93 фрагментов граф всех вложенных подалгебр из оптимальной системы дает возможность конструировать иерархию вложенных друг в друга подмоделей газовой динамики.
3. Дана физическая интерпретация частично инвариантного решения ранга 0 дефекта 2. Решение описывает прямолинейное схло-пывание газа на прямую со звуковой поверхностью в виде эллиптического цилиндра в области движения. Обнаружено, что в рассматриваемом случае слабые разрывы накапливаются на звуковой поверхности.
4. Классифицированы все инвариантные и частично инвариантные подмодели и решения, построенные на подгруппе двух галиле-евых переносов и растяжения.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России
1. Макаревич Е. В. Коллапс или мгновенный источник газа на прямой // УМЖ. - 2012. - Т.4, Вып.4, - С.119-129.
2. Макаревич Е. В. Инвариантные и частично инвариантные решения относительно двух галилеевых переносов и растяжения // УМЖ. - 2013. - Т.5, Вып.З, - С.121-129.
Публикации в остальных изданиях, материалы конференций
3. Макаревич Е. В. Оптимальная система 3-х мерных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с коэффициентом, зависящим от давления./ Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург 2010. - С. 275-281.
4. Макаревич Е. В. Оптимальная система подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия - 2011. - Т.8, - С.19-38.
5. Макаревич Е. В. Иерархия подмоделей уравнений газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия - 2012. - Т.9, - С.306-328.
6. Макаревич Е. В, Коллапс или мгновенный источник газа на прямой./ Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа 2012. - С.262.
Работа выполнена при поддержке гранта №11.С34.31.0042 правительства РФ по постановлению №220.
Макаревич Елена Владимировна
ВЛОЖЕННЫЕ ПОДМОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ С РАЗДЕЛЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Подписано к печати 23.10.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр.- отт. 1,0. Уч. - изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 562.
ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
04201453089
Макаревич Елена Владимировна
ВЛОЖЕННЫЕ ПОДМОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ С РАЗДЕЛЕННОЙ
ПЛОТНОСТЬЮ
01.02.05 - «Механика жидкости, газа и плазмы»
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор С. В. Хабиров
УФА - 2013
Оглавление
Введение 4
Глава 1. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР, ДОПУСКАЕМАЯ УРАВНЕНИЯМИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ С РАЗДЕЛЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ 14
1.1. Основные формулы и определения необходимые для построения оптимальной системы................................................14
1.2. Оптимальная система шестимерной подалгебры..................17
1.3. Оптимальная система двенадцатимерной алегбры Ь\2............20
1.4. Компактная запись оптимальной системы алгебры Ь\2..........25
Глава 2. ГРАФ ВЛОЖЕННЫХ ПОДАЛГЕБР 30
2.1. Оптимальная система - основа для графа вложенных подалгебр 30
2.2. Основной фрагмент графа для оптимальной системы двенадцатимерной алгебры....................................................32
2.3. Конечные фрагменты к основному фрагменту графа............35
2.4. Промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа . . 37
2.5. Конечные фрагменты к промежуточным фрагментам графа . . 38
Глава 3. СИСТЕМА ВЛОЖЕННЫХ ПОДМОДЕЛЕЙ ДЛЯ КОНЕЧНОГО ФРАГМЕНТА ГРАФА ОДНОЙ ПЯТИМЕРНОЙ ПОДАЛГЕБРЫ 41
3.1. Согласованные дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования................................41
3.2. Инвариантные подмодели............................................47
3.3. Частично инвариантные подмодели и решения....................56
3.4. Дифференциально инвариантная подмодель......................60
3.5. Вложенные инвариантные подмодели..............................62
Глава 4. КОЛЛАПС ИЛИ МГНОВЕННЫЙ ИСТОЧНИК ГАЗА НА
ПРЯМОЙ И ВОЗМОЖНОЕ ОБОБЩЕНИЕ 65
4.1. Частично инвариантное решение четырехмерной подалгебры и
движение частиц и объемов..........................................65
4.1.1. Частично инвариантное решение..................................65
4.1.2. Движение частиц и объемов........................................66
4.2. Движение звуковых характеристик, коноида и звуковой поверхности ..................................................................70
4.2.1. Движение звуковой поверхности....................................70
4.2.2. Движение звуковых характеристик..............................72
4.2.3. Движение характеристического коноида..........................76
4.3. Инвариантные подмодели трехмерной подалгебры четырехмерной надалгебры........................................................78
4.3.1. Инвариантные решения............................................78
4.4. Частично инвариантные подмодели трехмерной подалгебры четырехмерной надалгебры............................................80
4.4.1. Регулярные частично инвариантные решения ранга 1, дефекта
1, зависящие от всех пространственных переменных............81
4.4.2. Регулярные частично инвариантные решения, зависящие от одной пространственной переменной..............................85
Заключение 90
Литература 92
Приложение А. Оптимальная система подалгебр двенадцатимерной алгебры Ли 99
Приложение В. Графы вложенных подалгебр 106
В.1. Конечные фрагменты к основному фрагменту графа............106
В.2. Промежуточные фрагменты к основному фрагменту графа . . 107
В.З. Конечные фрагменты к промежуточным фрагментам графа . . 109
Введение
Газовая динамика - естественная наука и основывается на наблюдении и анализе происходящих в природе, в технических устройствах и в специальных экспериментах движений газов и сопутствующих этим движениям явлений. Как и в других разделах механики, в газовой динамике можно выделить теоретическое направление, цель которого предсказать поведение газов и их взаимодействие с другими телами в реальных условиях путем построения адекватных математических моделей и изучения их поведения в соответствующих условиях [19, 20, 22, 45, 66].
Задача классической газовой динамики состоит в первую очередь в том, чтобы объяснить и описать качественно главные свойства и особенности течений газа в различных условиях. С точки зрения математики классическая газовая динамика является объектом приложения абстрактных теорем из алгебры, анализа, геометрии, нелинейных дифференциальных уравнений и других математических дисциплин [13, 46]. Кроме того, физические наблюдения за поведением газа приводят к новым математическим понятиям и новым задачам, решение которых развивает известные математические теории и способствует появлению новых аналитических и численных методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Богатство теоретической газовой динамики заключено в большом количестве различных математических моделей и подмоделей, в разнообразии применяемых методов, в многочисленных точно решенных задачах, в разнообразии примененных численных методов, во множестве открытых проблем, в ценности ее выводов для практических приложений.
С недавних пор используется универсальный способ изложения методов газовой динамики, основанный на симметрийном (групповом) анализе дифференциальных уравнений [6, 43, 46, 47, 62]. Симметрийный анализ базируется на теории групп Ли и алгебр Ли, хорошо зарекомендовал себя при отыскании классов точных решений дифференциальных уравнений [44, 63]. Основополагающее начало было сделано норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899) [23, 24]. Теория групп Ли долгое время оставалась в стороне от возможных приложений к дифференциальным уравнениям уравнениям математической физики. Начиная с середины прошлого столетия исследования, выполненные академиком Л. В. Овсянниковым, его учениками и последователями, показали, что методы теории групп Ли яв-
V « ( ' ] V М . ' / ) , ' I , 4 I I » \ 1 ' I ) < , 1 ' ' 1 V '
ляются эффективным способом изучения структуры множества решений дифференциальных уравнений [2, 3, 14, 16, 17, 29, 30, 31, 33, 67].
Выдвинутая академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [31] реализует важнейшие алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений на примере уравнений газовой динамики. Ставятся несколько основных задач.
Главная задача - вычисление основной группы преобразований, допускаемых моделью (групповое свойство) [25, 26, 33, 68, 73].
Задача групповой классификации заключается в необходимости перечислить спецификации произвольного элемента, для которых происходит расширение допускаемой алгебры. В [33] приводятся 13 случаев расширения допускаемой алгебры, образующих «большие модели» газовой динамики, указываются спецификации произвольного элемента и выписываются расширяющие операторы. Работы [8, 27, 28, 69, 81] также посвящены групповой классификации.
Классификация подмоделей связана с алгебраической задачей перечисления подгрупп допускаемой группы. Для уравнений газовой динамики в рамках реализации программы ПОДМОДЕЛИ эта задача выглядит как перечисление подалгебр допускаемой алгебры, то есть построение оптимальных систем подалгебр для различных расширений алгебры Галилея, допускаемых уравнениями газовой динамики при различных уравнениях состояния. Такие оптимальные системы были получены в работах [10, 21, 33, 54, 64, 83].
Кроме основных задач есть множество проблем, связанных с приложениями симметрий к решению краевых задач: преобразование подобия для простейшего представления краевой задачи, законы сохранения и интегралы [15, 71], фундаментальные решения [1]; высшие симметрии, преобразования Беклунда и формулы нелинейной суперпозиции [17], приближенные симметрии и асимптотики решений краевых задач [4, 5], физическая интерпретация групповых решений [9, 50, 59], сходство и различие подмоделей [39, 51], групповой анализ подмоделей [25, 70], дифференциально-инвариантные подмодели и расслоение на подгруппах [49, 72, 77], исследование особенностей инвариантных решений и их сопряжения через слабые и сильные разрывы [11, 50, 56, 60], иерархия подмоделей [40, 78, 80].
По программе ПОДМОДЕЛИ накоплено достаточно большое количество примеров точных решений уравнений газовой динамики. Точные ре-
^'ьГ':^га 1 У' • ^
шения играют важную роль при исследовании различных задач газовой динамики. Они применяются для выявления новых эффектов, описываемых моделью, исследования качественных свойств системы, тестирования численных методов. Классическими примерами могут служить простые волны Римана в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера [43, 66]. На основе автомодельного решения получено решение задачи о точечном взрыве в газе [18, 47].
Следует заметить, что основная цель, выдвигаемая программой ПОДМОДЕЛИ, получения полного перечня подмоделей газовой динамики -трудновыполнима, поскольку массив точных решений и подмоделей насчитывает тысячи представителей [41]. Тем не менее ведется постоянное исследование в этой области целой научной школой. Качественное исследование подмоделей двумерных, винтовых, вращательных, изобарических, барохронных и других движений газа приведено в работах [7, 9, 28, 34, 42, 48, 52, 53, 55, 59, 74, 75, 76, 81]. Примеры нетривиальных частично инвариантных решений имеются в [35, 37, 38, 57, 61]. Эволюционные подмодели уравнений газовой динамики исследуются в работах [12, 25]. Кроме того, рассматриваются дифференциально-инвариантные подмодели [49, 58].
В рамках программы ПОДМОДЕЛИ, помимо исследования конкретных газодинамических моделей, решены многие вопросы, имеющие общетеоретическое значение. В частности, создан алгоритм построения оптимальных систем подгрупп конечномерных групп Ли [32]. В работе [36] введен новый классификационный признак для частично инвариантных подмоделей. Установлено, что все инвариантные подмодели газовой динамики могут быть приведены к канонической форме [39, 51]. Получена теорема об иерархии инвариантных подмоделей [40] и обобщение этой теоремы на частично инвариантные подмодели [80], необходимые для упорядочивания и структурирования множества подмоделей, которое может быть достаточно большим и трудно обозримым.
Настоящая диссертация основана на материале, полученным автором при исследовании уравнений газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью, когда плотность представляется в виде произведения функции давления и функции энтропии в рамках программы ПОДМОДЕЛИ. Этим объясняется тематическая направленность изложенного ниже материала.
Актуальность работы. Для изучения уравнений газовой динамики методами группового анализа Л. В. Овсянниковым была предложена программа ПОДМОДЕЛИ. Основной целью программы является получение полного перечня подмоделей газовой динамики. Активные исследования проводятся в этом направлении учеными - участниками программы подмодели: Чупахиным А. П., Хабировым С. В., Мелешко, С. В., Черевко А. А., Головиным С. В., Мамонтовым Е. В., Чиркуновым Ю. А. Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает построение оптимальной системы подалгебр допускаемой алгебры, так как каждая подалгебра служит потенциальным источником некоторой подмодели. Другой важной задачей этой концепции является отыскание и классификация точных решений уравнений газовой динамики, позволяющая более точно описывать явления механики сплошной среды. Построение и исследование новых подмоделей с целью получения точных решений и их интерпретации с точки зрения физики развивает не только методы решения квазилинейных систем дифференциальных уравнений, но и позволяет конструировать аппараты с неожиданными важными свойствами газоднамических течений.
В настоящей работе используется усовершенствованный способ построения оптимальной системы подалгебр 12-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью. Способ заключается в использовании разложения 12-мерной алгебры в полупрямую сумму шестимерного абелева идеала и шестимерной подалгебры. Предлагается способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа вложенных подалгебр. Граф представлен следующими фрагментами: основной фрагмент, конечные фрагменты к основному фрагменту, промежуточные фрагменты к основному фрагменту, конечные фрагменты к промежуточным фрагментам. Дается физическая интерпретация решения, полученного на четырехмерной подалгебре. Разыскиваются точные решения на трехмерной подалгебре, вложенной в четырехмерную. Таким образом, осуществляется дальнейшая реализация программы ПОДМОДЕЛИ.
Целями диссертационной работы являются:
• построение оптимальной системы неподобных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью;
• представление графа всех вложенных подалгебр из оптимальной си-
стемы с помощью фрагментов;
• по одному из фрагментов графа вложенных подалгебр 12-мерной алгебры Ли построить вложенные друг в друга подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью,
• нахождение точных решений уравнений некоторых подмоделей и описание движений: газа, звуковой поверхности, звуковых характеристик, а так же выявление оригинальных свойств такого движения.
Научная новизна работы состоит в следующем:
- в явном виде представлена оптимальная система неподобных подалгебр 12-мерной алгебры Ли, предложена компактная таблица оптимальной системы;
- предложен способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа вложенных подалгебр;
- построены новые подмодели уравнений газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью для одного из фрагментов графа;
- найдены новые частично инвариантные решения уравнений газовой динамики и дана физическая интерпретация одного из них.
Теоретическая ценность.
Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование движения сжимаемой жидкости, групповой анализ дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования. Например, нахождение новых точных решений, их физическое толкование. Полученные точные решения могут быть использованы в тестовых задачах для численных методов, могут быть сопряжены через характеристики с другими групповыми решениями для конструирования аппаратов с необходимыми свойствами движения газа. Развивается также математический аппарат группового анализа дифференциальных уравнений.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена применением методов группового анализа дифференциальных уравнений и методов общей теории дифференциальных уравнений.
На защиту выносятся следующие результаты:
- Построена оптимальная система неподобных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с уравнением состояния с разделенной
плотностью. Показано, что построенная система позволяет регулярным образом редуцировать основную модель газовой динамики к более простым подмоделям.
- Установлено, что представленный с помощью 93 фрагментов граф всех вложенных подалгебр из оптимальной системы дает возможность конструировать иерархию вложенных друг в друга подмоделей газовой динамики.
- Дана физическая интерпретация частично инвариантного решения ранга 0 дефекта 2. Решение описывает прямолинейное схлопывание газа на прямую со звуковой поверхностью в виде эллиптического цилиндра в области движения. Обнаружено, что в рассматриваемом случае слабые разрывы накапливаются на звуковой поверхности.
- Классифицированы все инвариантные и частично инвариантные подмодели и решения, построенные на подгруппе двух галилеевых переносов и растяжения.
Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:
- 41-я всероссийская молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2010 г.;
- Международная конференция «МОСИАК XV», Кемер (Турция), 2012
г.;
- Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», БГУ, Уфа (Россия), 2012 г.;
- Международная конференция «Проблемы нелинейной математической физики: 20 лет ЖМР», Нордфьордэйд (Норвегия), 2013 г.
- Семинар Института механики УНЦ РАН, 2013 г.;
- Международная конференция «MOGRAN XVI», УГАТУ, Уфа (Россия), 2013 г.;
- Семинар Института математики и механики УрО РАН, 2013 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ [82]-[87]. Из
них - 4 в виде статей (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК), 2 - в виде тезисов.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложе-
ний. Объем диссертации составляет 136 страниц машинописного текста, в том числе 105 рисунков, 5 таблиц, приложения А и В. Список литературы состоит из 87 наименований.
Краткое содержание диссертации.
Во введении приведен кратки
