Барохронные движения газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Предисловие

Введение

Раздел I. БАРОХРОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА

Глава I. Интегрирование барохронной подмодели

§ 1. Некоторые сведения из алгебры [52, 53]

§ 2. Уравнения барохронных движений газа

§ 3. Преобразование базового пространста. Решение задачи Коши

§ 4. Описание начального поля скоростей

Глава II. Свойства барохронных решений

§ 5. Общая характеристика барохронных решений.

§ 6. Основные свойства барохронных решений.

§ 7. Примеры барохронных движений.

§ 8. Теорема о сингулярности характеристического коноида.

§ 9. Примеры характеристических коноидов

Глава III. Барохронные подмодели типа (1,2)

§ 10. Общая характеристика подмоделей типа (1,2)

§11. Подмодель двумерных барохронных движений

§ 12. Подмодели П(5,13), П(5,36)

§ 13. Подмодели П(5,15), П(5,16)

Глава IV. Барохронные подмодели типа (1,1)

§ 14. Общая характеристика подмоделей типа (1,1)

§15. Подмодели сдвиговых барохронных движений.

§16. Подмодели винтовых барохронных движений.

§17. Подмодели конических барохронных движений

§18. Подмодели барохронных движений со специальной симметрией

Раздел И. НЕБАРОХРОННЫЕ ПОДМОДЕЛИ.

Сводка результатов

Глава V. НЕБАРОХРОННЫЕ ПОДМОДЕЛИ ТИПА (1,2)

§19. Общая характеристика

§ 20. Небарохронный аналог канонической системы

§21. Описание подмоделей типа (1,2)

Глава VI. НЕБАРОХРОННЫЕ ПОДМОДЕЛИ ТИПА (1,1)

§ 22. Общая характеристика подмоделей типа (1,1)

§ 23. Подмодели первой группы

§ 24. Подмодели с винтовым годографом.

§ 25. Подмодели «особого вихря»

§ 26. Четвертая группа: подмодели стационарного типа.

Точные решения играют большую роль при исследовании различных моделей механики и математической физики. Практически все известные на сегодняшний день решения имеют теоретико-групповую природу, являясь инвариантными или частично инвариантными.

Концепция частично инвариантных решений (ЧИР) была предложена JI. В. Овсянниковым в [1], разработанная им же теория изложена в монографии [2]. ЧИР являются обобщением инвариантных решений (ИР). В ЧИР только часть искомых функций имеет инвариантное представление, в отличие от ИР, в которых все функции выражаются через инварианты группы. Понятие ЧИР является естественным, поскольку такие решения широко распространены в различных моделях механики и математической физики. Достаточно упомянуть классические волны Римана и Прандтля — Мейера в газовой динамике, функционально-инвариантные решения волнового уравнения. Обширный класс ЧИР, имеющий разнообразные приложения в газовой динамике, представляют кратные волны. Монография [3] в значительной мере посвящена анализу и приложениям решений квазилинейных уравнений типа кратных волн. Решения этого вида используются, например, для моделирования процессов безударного сжатия газов [4]. Такие решения являются ЧИР относительно одной из подгрупп группы инвариантности уравнений газовой динамики. Последние работы [5-7] показывают, что ЧИР для уравнений газовой динамики исчисляются сотнями, их в десятки раз «больше», чем ИР. Можно надеяться на плодотворные приложения новых ЧИР, при этом первым этапом исследований является их аналитическое описание. Результаты на этом пути не даются даром, а требуют большой работы. Анализ ЧИР много сложнее, чем исследование ИР.

В работе дается полное аналитическое описание двух обширных классов точных решений уравнений газовой динамики, в которых термодинамические величины имеют специальный вид: они зависят только от одной независимой переменной. Эти решения имеют теоретико-групповую природу, являясь ЧИР специального вида.

В первом разделе работы описывается интересный класс ЧИР, который, с одной стороны, допускает полное аналитическое описание и является в то же время достаточно содержательным, поскольку получаемые решения определяются с функциональным произволом.

Речь идет о барохронных решениях уравнений газовой динамики, для которых давление является функцией только времени. В случае изэнтропических барохронных решений плотность газа также зависит только от времени. Это следует из уравнения состояния газа. Барохронные решения УГД являются обобщением изобарических, для которых давление газа постоянно. Их систематическое исследование было проведено в [7].

При описании барохронных решений уравнения газовой динамики сводятся к системе уравнений только для скорости и плотности. Давление газа выпадает из системы и определяется из уравнения состояния по найденным плотности и энтропии. Эта же система для скорости и плотности описывает также движение бесстолкновительной сплошной среды [8] или движение среды по инерции. Такие движения являются аналогами простейших механических движений материальной точки с ускорением равным нулю и обладают некоторыми сходными свойствами. Однако вместе с тем специфика сплошной среды резко осложняет характер движения и делает его анализ весьма содержательным и нетривиальным.

Обзор работ до 60-х годов, посвященных безускорительному движению сплошной среды, и некоторые общие результаты о свойствах такого движения содержатся в фундаментальной энциклопедии Трус-делла и Тупина [9]. Одномерные барохронные решения применяются в ряде конкретных газодинамических задач, примеры которых можно найти в классических монографиях [10-12]. Это, в частности, задачи кумуляции, в которых в силу физических аргументов в уравнениях импульсов отбрасывается градиент давления.

Инерционные движения идеальной жидкости рассматривались в работах [13-14]. Решения, описывающие свободное движение газа, используются как главные члены при различных асимптотических разложениях [15-16].

Элементы динамики бесстолкновительной модели сплошной среды изложены в учебнике [8]. Решения такого типа использовались Я. Б. Зельдовичем при моделировании крупномасштабной структуры Вселенной [17]. Характерными особенностями этой модели являются сгустки плотности (блины Зельдовича). Частицы в пылевидной бес-столкновительной среде Зельдовича проходят друг через друга не сталкиваясь, не взаимодействуя. Начиная с некоторого момента времени, поле скоростей становится многозначным, рождаются новые особенности, а имеющиеся взаимодействуют между собой. Согласно концепции модели малые отклонения начального поля скоростей от постоянного приводят через достаточно большое время к образованию скоплений частиц в местах бесконечно большой плотности. Таким образом, поведение частиц в бесстолкновительной среде резко отличается от поведения газа. При исследовании этого круга задач был использован и развит математический аппарат теории особенностей лагранжевых отображений [18]. Эта тематика получила развитие в многочисленных работах (отметим [19-21]), где рассматриваются только движения с потенциальным полем скоростей. Вместе с тем в них отсутствует исчерпывающее аналитическое описание такого класса решений.

Динамика бесстолкновительной сплошной среды весьма нетривиальна. Описание ее поведения в целом по времени (для модели со слипанием частиц после взаимодействия) приводит к введению мерознач-ных решений интенсивно исследуемых в последнее время [22-27]. Во всех этих работах, исключая [24], рассматриваются одномерные движения среды.

Модель пылевой материи, в которой давление р = 0, упоминается в [28]. В трактовке авторов кумуляция в этой модели не наступает.

Систематическое исследование барохронных движений газа с теоретико-групповых позиций было начато в [5]. Специальные движения газа такого вида, отвечающие инвариантным решениям, были исследованы в [29-32]. Отметим работы канадских математиков [33-35], в которых приведены отдельные представители барохронных ЧИР и сделана попытка описания изобарических решений [36].

Частично инвариантные решения для двумерных уравнений газовой динамики изучались в [37, 38]. Точные решения, имеющие сходство с исследуемыми в настоящей работе, рассматривались в [39, 40].

Оказывается, что алгоритм интегрирования уравнений барохронных движений можно использовать и при исследовании РЕЧИР, не являющихся барохронными, в которых давление и плотность зависят от переменной А = А(£, ж) такой, что VA ф 0. Таким образом, баро-хронные РЕЧИР играют роль «затравочных» решений для широкого множества решений уравнений газовой динамики.

Во втором разделе работы дано полное описание небарохронных РЕЧИР типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния указанного вида.

ВВЕДЕНИЕ

1. Сводка результатов. Автором в работах [41-47] построены основы теории барохронных решений, детально исследованы их физические свойства, обнаружены новые эффекты, присущие движениям газа, отвечающим таким решениям.

Среди ключевых результатов, являющихся математической основой теории, выделим следующие:

• Приведена в инволюцию переопределенная система дифференциальных уравнений, описывающих барохронные решения. Условия совместности проинтегрированы в конечном виде.

• Установлено определяющее свойство векторного поля скорости в барохронном решении: алгебраические инварианты матрицы Якоби таких векторных полей зависят только от времени; алгебраические инварианты матрицы Якоби начального поля скоростей являются постоянными вещественными числами.

• Построено преобразование базового пространства, связывающее систему уравнений описывающих барохронные решения с системой для начальных данных. Тем самым исследование барохронных решений редуцируется к исследованию специальных начальных данных.

• Дано полное описание векторных полей произвольной размерности, матрицы Якоби которых имеют постоянные алгебраические инварианты. Эти векторы задаются неявным образом как решения систем конечных уравнений. Произвол в задании этих систем составляет не более п функций п — 1 переменного.

• Построены формулы общего решения, зависящие от алгебраической структуры матрицы Якоби начального поля скоростей. Поле скоростей задается как неявная функция всех независимых переменных и содержит определенное число произвольных функций, диктуемое начальными данными. Плотность является рациональной функцией времени.

• Система уравнений газовой динамики, описывающая двумерные и специальные трехмерные барохронные решения линеаризуется.

• Установлено наличие коллапса плотности в конечный момент времени на многообразии пониженной размерности. Геометрия многообразия коллапса, которое может состоять из нескольких компонент связности, определяется начальными данными и может быть выбрана любой.

• Доказаны характерные свойства траекторного отображения, сопоставляющего начальному положению точки (частицы газа) ее положение в пространстве событий в любой момент времени: сингулярность отображения в момент коллапса;

С> расслоение пространства начальных состояний на страты, отображающиеся на компоненты многообразия коллапса сингулярно с потерей размерности.

• Дано полное описание контактных характеристик уравнений газовой динамики на барохронных решениях как линейчатых поверхностей в пространстве событий ]Rn+1(£, х). Тректории являются образующими этой поверхности.

• Для барохронных решений с линейным полем скоростей проинтегрированы в квадратурах уравнения звуковых бихарактеристик. Тем самым дано аналитическое описание звуковых характеристик уравнений газовой динамики, построенных на решениях такого вида.

• Доказана теорема о сингулярности характеристического коноида для барохронных решений с линейным полем скоростей. Характер сингулярности зависит от сжимаемости газа: коноид схлопывается по компоненте многообразия коллапса для легкосжимаемых газов и асим-тотически приближается к гиперплоскости коллапса, расплываясь, растекаясь по ней в противном случае.

Перечисленные аналитические свойства барохронных решений позволяют описать их характерные физические свойства.

Начальное поле скоростей в барохронном движении является специальным.

Траектории частиц газа являются прямыми линиями. Частицы движутся по ним равномерно, их скорость и положение траекторий в пространстве событий определяются начальными данными.

Задача о поршне имеет решение в классе барохронных движений. Пространство событий разбивается при этом на ячейки, ограниченными пучками контактных характеристик, пересекающихся по компонентам многообразия коллапса.

Барохронные движения реализуют безударное сильное сжатие газа.

Обнаружен эффект акустического коллапса, имеющий место для легкосжимаемых газов и заключающийся в схлопывании характеристического коноида по компоненте многообразия коллапса с концентрацией на ней звуковых возмущений.

Заметим, что некоторые свойства, например наличие коллапса плотности, имеют универсальный - и математический, и физический — характер. В других — физические свойства являются газодинамической интерпретацией математических результатов.

Отметим, что обнаруженные эффекты коллапса плотности на многообразии и акустического коллапса характерны именно для многомерных движений. Для трех- и четырехмерной геометрии пространства событий возможны различные, как по размерности, так и по геометрии, вложенные многообразия. Такая возможность отсутствует в одномерном случае.

В настоящей работе барохронные решения изучаются локально. Рассматриваемые функции предполагаются достаточно гладкими. Под терминами «произвольная функция», «функция общего вида» следует понимать гладкую функцию определенную в некоторой области, на которую не наложено никаких дополнительных условий.

Метод интегрирования барохронных решений используется во втором разделе работы для аналитического описания небарохронных ЧИР.

В главе I проинтегрированы уравнения барохронной подмодели, дано описание матриц Якоби соответствующих векторных полей. Свойства барохронных решений изложены в главе И. Барохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) перечислены в главах III и IV соответственно. В приложении приведен наглядный материал.

В главах V и VI на основе работы [48] дано описание небарохронных подмоделей типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния.

В работах [5, 42] автору принадлежат результаты по подмоделям типов (1,2) и (1,1).

Автор выражает искреннюю благодарность JI. В. Овсянникову за неоднократные обсуждения представленных результатов. Приношу благодарность С. В.Головину и Е. В. Мамонтову за большую помощь в подготовке наглядного материала, Э. 3. Боровской за подготовку рукописи.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ проекта 93-013-17326, 96-01-01780) и Совета поддержки ведущих научных школ (№ проекта 96-15-96283).

2. Частично инвариантные решения: общая схема. Описание и классификация барохронных решений как ЧИР является весьма эффективным. Напомним в общих чертах процедуру построения ЧИР для модели описываемой системой дифференциальных уравнений Е.

Пусть система Е допускает локальную группу Ли G преобразований пространства Нп+т(ж, и), где х Е ]Rn — независимые и и Е Rm — зависимые переменные. Группе G отвечает алгебра Ли L. Пусть QG (соответственно вL) есть оптимальная система подгрупп (подалгебр) группы G (алгебры L). Рассмотрим подалгебру Н С L, являющуюся представителем из 0L, порождающую ЧИР типа (с, £), где а — ранг и 6 — дефект решения Н. Алгоритм построения ЧИР Н(а,8) состоит из следующих этапов.

1. Нахождение универсального инварианта алгебры Н в пространстве ]R"+m(a;,w), т. е. максимального набора функционально независимых инвариантов 71,., I1.

2. Описание представления решения. Для ИР это формулы, представляющие все искомые функции w1,.,^™ через инварианты Н

Для ЧИР дефекта 5> 0 только т — ё функций имеют инвариантное представление, a S функций остаются произвольными — «лишними». Инвариантов подалгебры Н не хватает для выражения всех искомых функций через инварианты.

3. Построение уравнений подмодели Е/Н. В исходные уравнения Е подставим представления функций и производных согласно подп. 2. Система Е/Н распадается на две подсистемы: Е ~ /5иП. Подсистема IS связывает только инварианты Н из подп. 1, система П содержит лишние функции и является, вообще говоря, переопределенной.

4. Приведение системы П в инволюцию. Необходимо получить все условия совместности СС системы П, т. е. представление П ~ CCU-P, где Р является уже пассивной системой, которая не порождает новых условий совместности. Алгоритм приведения в инволюцию является классическим [49], но в конкретных случаях при его реализации приходится преодолевать значительные аналитические трудности, которые не сводятся к чисто вычислительным проблемам. Это иллюстрируется невозможностью, на сегодняшний день, приведения в инволюцию с помощью достаточно мощных компьютеров относительной простых, на внешний вид, подмоделей газовой динамики.

В итоге получаем представление Е/Н ~ /5 U СС U Р. Условия совместности С С дополняют исходную инвариантную систему IS.

5. Интегрирование (насколько возможно) инвариантной системы IS\jCC. Поскольку эта система содержит функции лишь от а < п независимых переменных, то ее интегрирование, по крайней мере в принципе, проще, чем исходной системы.

6. Интегрирование пассивной системы Р (с использованием результатов подп. 5), которая содержит 5 < т искомых функций и ее интегрирование, вообще говоря, проще, чем исходной системы.

7. Построение решения исходной системы, происходит исходя из результатов этапов 5, 6 по решениям систем ISUCC и Р, исходя из представления подп. 2.

Известны условия на алгебру Я, порождающие ЧИР типа (сг, £) max{r* — n, т — q, 0} < S < min{r* — 1, т — 1}, где г* и q есть общие ранги матриц, составленных из координат операторов Н и матрицы Якоби 31/ди соответственно. Таким образом, г* и число инвариантов I связаны равенством I = п+т — г*, так что и = 6 + п — г*.

Отыскание ЧИР системы Е приводит к своеобразному разделению переменных, при котором факторсистема Е/Н расщепляется на две подсистемы одна из которых содержит меньше, чем исходная система Е, независимых переменных, а в другой меньше, чем в Е, неизвестных функций. Такое разложение системы Е для решения Н(а,6) объясняет эффективность применения ЧИР в приложениях.

Для ИР система П пуста, Е/Н ~ I/S и нет сложной части исследования — приведения П в инволюцию. Исследование ИР существенно проще, чем ЧИР.

Возможна ситуация, когда приведение в инволюцию дает в качестве условий совместности противоречивое равенство. Это означает, что решений данного класса не существует. «Глубина» интегрирования на этапах 5, 6, т. е. форма, в которой удается получить решение (конечные формулы, обыкновенные уравнения и пр.), зависит от специфики решения и априори может быть определена только для отдельных классов ЧИР. Так барохронные решения интегрируются до конечных формул независимо от величины дефекта и ранга.

Возможна редукция [2] ЧИР Н(сг,5) к ЧИР Н'(а',8') для подгруппы Н' С Н. В этом случае 5' < 5, а' = а. Необходимо выделять случаи редукции, особенно к ИР 5' = 0, поскольку их анализ проще.

Поиск ЧИР несколько проще для регулярных ЧИР (РЕЧИР), для которых новые инвариантные независимые переменные зависят только от исходных независимых переменных [6]. РЕЧИР являются очень привлекательным классом решений. С одной стороны, они сохраняют широту ЧИР — функциональный произвол, а с другой — допускают конструктивное описание с меньшими усилиями, чем в нерегулярном случае. Примерами нерегулярных ЧИР служат кратные волны, для которых часть искомых функций выражается через одну (простые), две (двойные) и т.д. неизвестные функции. О сложности исследования данного класса решений говорит тот факт, что на сегодня известны лишь отдельные примеры тройных волн для УГД [3].

В [5] дана полная классификация РЕЧИР для уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния. Согласно этой классификации имеется около 100 неэквивалентных представителей РЕЧИР. В работе [50] дано описание 12 РЕЧИР типа (2,1). Барохронным решениям посвящены [41-47]. В данной работе описаны все РЕЧИР типов (1,2) и (1,1).

3. Уравнения газовой динамики. На 10-мерном базовом пространстве JR10(i, ж, и, р, S,p) с независимыми переменными t (время), x = (x,y,z) (декартовы координаты в IR3) и искомыми величинами и = (u,v,w) (вектор скорости), р (плотность), S (энтропия), р (давление) рассматривается система уравнений газовой динамики Е: = 0, Dp 4- р div и = 0, DS = 0, p = F(p,S). (0.1)

Здесь V = (дх, ду,дг), D = + и • V — полная производная или производная вдоль траекторий частиц газа. Давление р определяется из уравнения состояния (последнее в (0.1)), где F(p,S) предполагается заданной гладкой функцией общего вида, удовлетворяющей условиям Fp = с2 > 0, где с — скорость звука, и Fs > 0.

Известно [2], что система (0.1) допускает 11-параметрическую локальную группу Ли Gi\. Алгебра Ли Ьц этой группы имеет следующий базис операторов

Х\ = дх, Х2 = ду, Х3 = dz,

Х4 = tdx + ди, X5 = tdy + dv, Х& = tdz + dw,

X7 — ydz - zdy + vdw - wdv, ^

X8 = zdx - xdz + wdu - udwi

Xq = xdy - ydx + udv - vdu,

X10 = dt, Xu = tdt + хдх + уду + zdz.

Нормализованная оптимальная система подалгебр &Ьц приведена в [51]. Она состоит из 220 представителей, каждый из которых является потенциальным источником Н(а, 5)-подмоделей.

Соответствующие представители ВЬц обозначаются Lk,i, где к — размерность подалгебры, г — номер в 0Ьц согласно [51]. Подмодели, порожденные подалгеброй Lk,i, обозначаются И(к,г).

Если представитель оптимальной системы Lrj зависит от произвольных (вещественных) параметров a, b, с,., то символом обозначается подалгебра, в которой а = Ъ = 0.

Ниже для краткости записи зависимость величин и, v,. от переменных t, х,. обозначается символом (и, v,. .)\(t, х,.). Поскольку величины р, 5, р являются инвариантами как алгебры Ьц (0.2) так и любой ее подалгебры, то мы опускаем их при перечислении инвариантов алгебр Lrj.

Штрихом обозначается, если не оговорено другое, производная по инвариантной независимой переменной.

1. Овсянников JL В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118, № 3. С. 439-442.

2. Овсянников J1. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений М.: Наука, 1978.

3. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

4. Sidorov A. F. Mathematical modelling of the processes of unshocked gas compression // Rus. J. Numer. Analysis and Math. Modelling. 1995. V. 10, N 3. P. 255-277.

5. Овсянников Д. В., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 990-999.

6. Овсянников JI. В. Регулярные и нерегулярные частично-инвариантные решения // Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 2. С. 156159.

7. Овсянников JT. В. Изобарические движения газа // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. С. 1792-1799.

8. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц М.: Наука, 1973.

9. Trusdell С., Toupin R. Principles of classical mechanics and field theory // Handbuch. der Physik. / Hrsg. S. Flugge. Berlin: Springer Verlag, 1960. Bd III/l.

10. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971.

11. Физика взрыва / Под ред. К. П. Станюковича. М.: Наука, 1975.

12. Седов J1. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.

13. Александров В. В., Шмыглевский Ю. Д. Об инерционных и сдвиговых течениях // Докл. АН СССР. 1984. Т. 274, № 2. С. 280-283.

14. Шмыглевский Ю.Д. Об одном инерционном течении // Журнал вычисл. матем. и математ. физики. 1990. Т. 30. С. 1833-1834.

15. Крайко А. Н. Асимптотические закономерности нестационарного расширения идеального газа в пустоту // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, Вып. 4. С. 70-80.

16. Крайко А. Н. О свободном нестационарном расширении идеального газа // Изв. РАН. Механика жидкостей и газов. 1993. № 4. С. 155-163.

17. Зельдович Я. Б. Избранные труды: Частицы, ядра, Вселенная. М.: Наука, 1985.

18. Арнольд В.И. Перестройки особенностей потенциальных потоков в бесстолкновительной среде и метаморфозы каустик в трехмерном пространстве // Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1982. Вып. 8. С. 21-57.

19. Vergassola М., Dubrulle В., Frisch U. and Noullez A. Burgers' equation, Devils' staircases and the mass distribution for large-scale structures // Astron. and Astrophys. 1994. V. 289. P. 325-356.

20. Shandarin S. F. Nonlinear dynamics of the large-scale structure in the universe // Physica D. 1994. V. 77. P. 342-353.

21. Saichev A. I. and Woyczynski. Density fields in Burgers and KdV-Burgers turbulence // SIAM J. Appl. Math. 1996. V. 56, N 4. P. 10081038.

22. Вейнан И., Рыков Ю.Г., Синай Я.Г. Вариационный принцип Лакса — Олейник для некоторых одномерных систем квазилинейных уравнений. // Успехи математических наук. 1995. Т. 50, вып. 1 (301). С. 193-194.

23. Weinan Е., Rykov Yu.G., Sinai Ya.G. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics // Commun. Math. Phys. 1996. V. 177. P. 349-380.

24. Рыков Ю. Г. Вариационный принцип для двумерной системы уравнений газовой динамики без давления // Успехи математических наук. 1996. Т. 51, вып . 1 (307). С. 165 166.

25. Соболевский А. Н. Метод малой вязкости для одномерной системы уравнений типа газовой динамики без давления // Докл. РАН. 1997. Т. 356, № 3. С. 310 312.

26. Cheng S., Li J., Zhang Т. Explisit construction of measure solutions of Cauchy problem for transportation equations // Science in China (Sep. A.). 1977. V. 40. N 12. P. 1288-1299.

27. Bouchut F., James F. Solutions en dualite pour les gas sans pression // C.R. Acad. Sci. Paris. 1998. T. 326, serie I. P. 1073-1078.

28. Забабахин E. И., Забабахин И. E. Явления неограниченной кумуляции. М.: Наука, 1988.

29. Хабиров С. В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, вып. 1. С. 53 -65.

30. Хабиров С. В. Решения уравнений в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 1. С. 133 141.

31. Головин С. В. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 1. С. 3-10.

32. Grundland А. М., Lalague L. Lie subgroups of the symmetry group of the equations describing a nonstationary and isotropic flow I. // (Preprint/ Centre de Recherches Mathemaiques. Universite de Montreal, 1993. CRM 1879).

33. Grundland A. M., Lalague L. Invariant and partially-invariant solutions of the equations describing a non-stationary and isotropic flow for an ideal and compressible fluid in (3 + 1) dimensions // J. Phys. A: Math. Gen. 1996. V. 29. P. 1723-1739.

34. Grundland A. M., Lalague L. Lie subgroups of the symmetry group of the equation describing a nonstationary and isotropic flow. Invariant and partially invariant solutions // Can. J. Phys. 1994. V. 72. P. 362.

35. Doyle P. W., Grundland A. M. Simple waves and invariant solutions of quasilinear systems // J. Math. Phys.1996. V. 37, N 6. P. 2969-2978.

36. Меньшиков B.M. Решения уравнений двумерной газовой динамики типа простых волн // ПМТФ. 1969. № 3. С. 129 134.

37. Меньшиков В.М. К теории частично инвариантных решений дифференциальных уравнений // Динамика сплошной среды: Сб. науч.тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики 1972. Вып. 10. С. 82 93.

38. Зубов Е.Н. О пространственных установившихся течениях идеального газа с вырожденным годографом при наличии интеграла Бернулли // Методы решения краевых задач механики сплошной среды: Сб. науч.тр. / АН СССР. УНЦ. 1978. Вып. 25. С. 31 -42.

39. Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // ПМТФ. 1989. № 2 (174) . С. 34 40.

40. Чупахин А.П. Групповые свойства некоторых подмоделей газовой динамики // Межд. школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа. САМ-ГОП 94». Тез. докл. Арзамас, 1994. С. 119.

41. Ovsyannikov L.V., Chupakhin А.P. Regular Partially Invariant Submodels of Gas Dynamics Equations //J. Nonlinear Math. Phys. 1995. V. 2, N 3-4. P. 236-246.

42. Чупахин А. П. О барохронных движениях газа // Докл. РАН. 1997. Т. 352. № 5. С. 624-626.

43. Chupakhin А. P. Submodel of barochronic gas motions // Proc. Int. Conf. Modern Group Analysis VI, Johannesburg, South Africa, 15 -20 January 1996. P. 55-64. New Age.

44. Chupakhin A.P. Exact solutions with special presure in fluid mechanics // Proc. Intern. Conf. Modern. Group Analysis VII, Nordfjordeid, Norway, 30 June 5 July 1997. P. 70-77.

45. Chupakhin A.P. On applications of infinite dimensional Lie group in fluid mechanics // Тез. Межд. конф., посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина, Москва, 31 августа 6 сентября 1998 г. МГУ.

46. Чупахин А. П. Барохронные движения газа: общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1) // Новосибирск, 1998 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; № 4-98).

47. Чупахин А. П. Небарохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // Новосибирск, 1999 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; № 1-99).

48. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1948.

49. Овсянников JI. В. Регулярные типа (2,1) подмодели уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 2. С. 3-13.

50. Овсянников Jl. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, Вып. 4. С. 30-55.

51. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

52. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

53. Munk М. and Prim R. С. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1947. V. 33. P. 137-141.

54. Prim R. C. Steady rotational flow of ideal gases // J. Rat. Mech. Anal. 1952. V. 1. P. 425-497.

55. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

56. Анисимов С. И. О переходе водорода в металлическое состояние в волне сжатия, инициированной лазерным импульсом // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16, вып. 10. С . 570-572.

57. Clarke J. S., Fisher N. M., Mason R. J. Laser-driven implosion of spherical DT targets to thermonuclear burn conditions // Phys. Rev. Lett. 1973. Vol. 30, N 3. P. 89-92.

58. Kidder R.E. Theory of homogeneous isentropic compression and its application to laser fusion // Nuclear Fusion. 1974. V. 14, N 1. P. 53.

59. Змитренко H. В., Курдюмов С. П. N- и S-режимы автомодельного сжатия конечной массы плазмы и особенности режимов с обострением // ПМТФ. 1977. № 1 . С. 3-23.

60. Каждан Я. М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // Там же. С. 23-30.

61. Сидоров А. Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном сжатии газа // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 3. С. 548-552.

62. Крайко А. Н. О неограниченной кумуляции при одномерном нестационарном сжатии идеального газа // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, вып. 6. С. 1000-1007.

63. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. М.: Гостехтеориз-дат, 1947.

64. Гильберт Д., Кон—Фоссен С. Наглядная геометрия . М.: Наука, 1981.

65. Никольский А. А. Об общем классе однородных движений сплошных сред и разреженных газов // Инж. журнал. 1965. Т. 5, вып. 6. С. 1044-1050.

66. Никольский А. А. Избранные труды. Теоретические исследования по механике жидкости и газа. // Тр. ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского. 1981. Вып. 2122.

67. Овсянников JI. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

68. Сидоров А. Ф. Кумуляция энергии в двумерных процессах безударного сжатия газа // Докл. РАН. 1997. Т. 352, № 1. С. 41-44.

69. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

70. Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1980. № 5. С. 16-24.

71. Сидоров А. Ф. О двух типах закрученных газовых потоков // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47, вып. 5. С. 753-761.

72. Овсянников Л. В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 3. С. 45-52.