Подмодели динамики политропного газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 533;517.958

* р'гк од

Головин Сергей Валерьевич.

< 1 7 ИЮП 2000

ПОДМОДЕЛИ ДИНАМИКИ ПОЛИТРОПНОГО

ГАЗА

Специальность: 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой сгепени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2000

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик Л. В. Овсянников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

чл.-корр. РАН В. В. Пухначев кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Талышев

Ведущая организация: Институт механики УНЦ РАН (г. Уфа)

7 О

Защита состоится июня 2000 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 002.55.01 при Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск-90, пр. ак. М. А. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан мая 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук С Г/-, С. А. Ждан

33 ¿>, О &

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Точные решения играют важную роль мри исследовании различных задач газовой динамики. Они применяются для анализа конкретных начально-красных задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, исследования ее качественных свойств, тестирования численных методов. В настоящее время в газовой динамике накоплен достаточно большой опыт получения и использования точных решений. Классическими примерами могут служить простые волны Римана в одномерных движениях газа или двумерные течения Пранд-тля — Манера, автомодельные решения Л. И. Седова.

Использование свойств симметрии различных математических моделей механики сплошных сред для получения точных решений является предметом исследований многих российских и зарубежных авторов. Выдвинутая академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [1] содержит концепцию систематического использования свойств симметрии в механике сплошных сред. Эта программа дает общий теоретико-групповой подход к математическим моделям с целыо максимального использования заложенных в них свойств симметрии путем формирования и упорядочения банка данных точных решений (подмоделей) математической модели. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. Настоящая диссертация основана на материале, полученном автором при участии в выполнении программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики.

Цель работы. Работа посвящена построению, классификации и физической трактовке новых точных решений уравнений динамики по-литропного газа.

Научная новизна. В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 13-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями пространственных движений политроиного газа. Дан-пая оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей УГД и является одним из основных рабочих документов, используемых при реализации программы ПОДМОДЕЛИ. Получен ряд новых, ранее не встречавшихся в литературе, точных решений двумерных уравнений динамики политроиного газа со специальным показателем адиабаты. Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами, иллюстрируется наглядным графическим материалом.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты выполненных в диссертационной работе исследований вносят вклад в теоретическую газовую динамику, пополняя набор известных точных решений. Физическое описание полученных решений дает возможность применять их как для теоретического исследования движений газа, так и в качестве наглядного материала в образовательных программах. Построенная в диссертационной работе оптимальная система подалгебр позволяет целенаправленно получать подмодели не только для уравнений газовой динамики, но и для других моделей механики сплошных сред, допускающих группу преобразований аналогичной структуры.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, кафедры гидродинамики НГУ, а также на научных конференциях по механике:

— Международная конференция «Современные проблемы механики и математики» (Львов, 1998),

— Всероссийская конференция «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Уфа, 1998),

— Международная конференция «Симметрия в естествознании» (Красноярск, 1998),

— Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999),

— Международная конференция «Современный групповой анализ» (Нордфьордейд, 1997),

— 31-я Региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2000).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [2]-[4], а также в тезисах перечисленных выше конференций

Ш)-______

Структура и объем работы. Диссертация объемом 116 страниц состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений, 5 таблиц, 12 иллюстраций и списка литературы из 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, изложены основные идеи и методы, используемые в диссертации, дано краткое описание работы.

Первая глава посвящена исследованию подмоделей пространственных движений политропного газа. Основным результатом этой главы

является оптимальная система подалгебр для допускаемой уравнениями 13-мерной алгебры Ли ¿13 (ниже обозначается QL13). Она необходима для рационального использования богатых возможностей, предоставляемых свойством симметрии для построения точных решений УГД. Изложение метода построения оптимальной системы предваряется кратким обзором литературы по тематике программы ПОДМОДЕЛИ, а также необходимыми сведениями из группового анализа дифференциальных уравнений [9] и теории алгебр Ли [10].

Следуя [11] уравнения пространственных движений невязкого нетеплопроводного иолигропного газа записываются в следующем виде:

pDu + Vp = 0, Dp + pdivu = 0, Dp + 7pdivu = 0. " (1)

Применяются стандартные обозначения: D = dt + u • V, V = (dx,dy,dz), u = (и, v, w) — вектор скорости, p — плотность, p — давление. Все функции зависят от времени t и координат х = (x,y,z), 7 = const — показатель адиабаты. Известно [9], что уравнения (1) с произвольным 7 допускают 13-мерную алгебру Ли преобразований L13. Расширение допускаемой алгебры возможно при 7 = 5/3 до 14-мерной и при 7 = 0, когда допускаемая алгебра бесконечномерна. Базисные операторы алгебры Ли L13 приведены ниже:

Xi = дх, Х2 - ду, А3 = dz, А4 = tdx +-ди, Х5 = tdy + dv,

А'6 = tdz + дш, Х7 = ydz - zdy + vdw - wdv,

A8 = zdx - xdz -f wdxi - udw,Xg = хду - ydx + udv - vdu,

A'10 = dt, Xn = tdt + хдх + уду + zdz,

Л'13 = tdt - иди ~ vdv ~ wdw ~ 3pdp - 5pdp, Xi4 = рдр + pdp.

При нумерации операторов пропущен номер 12. Это сделано для согласования с работой [12], в которой через Х\2 обозначен дополнительный оператор, допускаемый (1) при 7 = 5/3. Кроме преобразований Lj3 система (1) допускает два дискретных преобразования (инволюции) h : (х, и) ( х, -и), /2 : (t, и) -> (-«, -и).

Оператор Хц порождает центр в L13, идеал {Xj,..., А"б, Хю, Хц, Х13, А]4} (запись {A'j,..., Xj} означает подалгебру, порожденную указанными операторами) образует радикал во всей алгебре. Фактором Леви является алгебра вращений {Х7, As, Х9}.

Оптимальной системой подалгебр называется максимальный набор подалгебр алгебры Ли Lu, попарно не сопряженных относительно действия группы внутренних автоморфизмов А алгебры L13. Для построения оптимальной системы 0L13 применялся метод [13]. Использовано разложение L13 = J ® N с идеалом J — {Xi,..., Хц} и подалгеброй N — {Ai3,A14}. В соответствии с двухэтапным алгоритмом [13]

на первом этапе получена оптимальная система для N. Подалгебра N абелева. Оптимальная система ON состоит из четырех представителей Щ = {Х13,Х14}, N2 = {аХ13 + Хы}, N3 = {Х13}, N4 = {0} (а — произвольное действительное число, разным значениям а соответствуют пс подобные в ¿13 подалгебры).

На втором этапе для каждого к = 1,.. .,4 построены оптимальные системы подалгебр 3 ® А^. Для этого вначале найдена оптимальная система 07 путем упрощения уже известной оптимальной системы 0-£/ц [1] действием автоморфизма, соответствующего оператору Х13. Инвариантность N относительно действия Л позволила получить оптимальные системы 0(7 ® А'Д:) путем соединения каждой из подалгебр ./;> 6 QJ с Л^ £ QN, проверки условий подалгебры, использования преобразований базиса и внутренних автоморфизмов из стабилизатора «/р для максимального упрощения представителей оптимальной системы. Преимуществом такого построения является включение уже известной и изученной оптимальной системы (дЬц из [1] в ОЬ^. Это позволяет устанавливать соответствие между подмоделями, полученными для произвольного уравнения состояния с подмоделями, характерными для политропного газа.

Построенная в диссертации оптимальная система ОЬ13 является нормализованной, т. е. вместе с каждой подалгеброй содержит и ее нормализатор в 1/13. Помимо сокращения произвола в построении оптимальной системы, свойство нормализоваиности является очень важным для исследования подмоделей, так как уравнения подмодели всегда допускают преобразования, задаваемые факторалгеброй нормализатора по порождающей алгебре [9]. Следовательно, допускаемая подмоделью группа становится частично известна априори.

Полученная оптимальная система подалгебр 01-13 приведена в приложении 1 диссертации, а также опубликована в виде препринта [3]. Всего

в пей содержится !342 представителя.-

В оптимальной системе Э/аз есть устойчивая комбинация операторов: {Л'з + Х5, Х2 — А'6}. Для исследования порождаемых этой комбинацией подмоделей, выбрана серия трехмерных подалгебр Ь\з, зависящая от двух произвольных констант

{II1 + Ьду + д„, Я2 =ду- Ьдг - дш,

Я3 = адх + /3(1,дх + ди) + удг- гду + удш - гид»} В случае о2 + ф 0 она порождает инвариантное решение, описы-

вающее барохронное [14] движение газа.

/Зх ty + z - Lí(t eos Ф + sin Ф)

v =

a + pt' í2 + l

tz-y-U(t sill Ф-COS Ф) Po

W =-¡-, p =

í2 +1 (t* + l)(a + pt)'

ОС

S = const, Ф =-—, U = const.

a +

Траектории частиц на решении (2) описываются формулами х = xq(а + /3í), у = yo + tz0 — tUsinreo, z — zq — ty0 + tUcos^o-

Несмотря na то, что траектории частиц являются прямыми линиями, движение частиц в целом нетривиально. Рассмотрим эволюцию частиц, находящихся при t = 0 на прямой, параллельной оси Ох. При t > 0 они образуют спираль с периодом 2-n(a + 0t) и радиусом tU. Ось этой спирали заметает плоскость, оставаясь параллельной оси Ох. В момент времени t, = - а / /3 происходит коллапс: спираль сжимается в окружность па плоскости а; = 0, а плотность возрастает до бесконечности.

На решении (2) при U = О построен характеристический коиоид, являющийся геометрическим местом всех бихарактеристик УГД, выходящих из данной точки P(í0,x0) [11]. Показано, что при приближении t к времени коллапса í» = —а//3 поверхности уровня характеристического коноида «сплющиваются», приближаясь к плоскости х — 0, оставаясь конечными при малых значениях показателя адиабаты 7 (легкосжимае-мый газ) и «распластываясь» по многообразию коллапса при больших 7 (слабосжимаемый газ). Эти эффекты находятся в полном соответствии с теоремами о поведении характеристического коноида вблизи момента коллапса, приведенными в [14].

В случае, когда а = /3 = 0 инвариантную подмодель построить нельзя. Исследование регулярной частично инвариантной подмодели с одной лишней функцией показало, что оно редуцируется к инвариантной, порождаемой двумерной подалгеброй {11\, Я2}. Для этой подмодели проведена групповая классификация относительно уравнения состояния газа, построены точные решения.

В заключение первой главы исследован класс подмоделей, порождаемый представителями оптимальной системы ОЬц специального вида. В алгебре L\3 выделяется оператор Хц, соответствующий преобразованию равномерного растяжения плотности и давления. Он порождает центр в Li3, наличие которого ведет к значительному увеличению числа представителей в оптимальной системе 9Lu. В то же время подалгебры, содержащие оператор в качестве одного из базисных, не отвечают

необходимым условиям существования инвариантного решения. Они порождают регулярные частично инвариантные подмодели с давлением в качестве лишней функции. В оптимальной системе ©Хаз содержится около 200 таких подмоделей. В диссертации доказано что все они редуцируются к инвариантным.

Во второй главе диссертации изложены результаты исследований подмоделей динамики двумерного политропного газа со специальным показателем адиабаты. При проведении групповой классификации уравнений газовой динамики Л.В. Овсянниковым был установлен следующий замечательный факт: в случае политропного газа с показателем адиабаты 7 = (п + 2)/тг (п — количество пространственных переменных) уравнения газовой динамики помимо «угадываемой» группы Галилея и растяжений допускают проективное преобразование.

В работе ряда авторов (см, например, [15]) оно применялось для «размножения» классических точных решений УГД. В то же время, в литературе практически отсутствуют примеры построения точных решений УГД на основе групповых методов с использованием проективной симметрии. В диссертации на основе программы ПОДМОДЕЛИ проведено полное исследование подмоделей уравнений двумерных движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2, порождаемых проективным преобразованием. Отметим, чго в изэнтропическом случае рассматриваемые уравнения совпадают с моделью мелкой воды. При этом гидродинамическим аналогом плотности является высота слоя жидкости. Эта аналогия использовалась для более наглядной трактовки получаемых решений.

Для реализации поставленной задачи построена оптимальная система подалгебр, содержащих проективный оператор, для допускаемой 10-мерной алгебры Ли Ью- Помимо Ью уравнения допускают дискретное преобразование (инволюцию) (¿,х,и,р,/э) -> (1/<,х/£,х — £и, — ¿4р> — ¿2/>)> которая меняет местами проективный оператор с оператором сдвига по времени. В силу этого преобразования проективный оператор входит в оптимальную систему только в виде суммы с оператором сдвига по времени, либо в составе простой алгебры Ли, изоморфной 5/(2).

На основе полученной оптимальной системы проведено исследование инвариантных и регулярных частично инвариантных подмоделей. Оказалось, что существует только две нередуцируемые регулярные частично инвариантные подмодели. Для одной из них решение содержит произвольную функцию одного аргумента. Для другой, порождаемой простой алгеброй $1(2), непрерывного на плоскости решения не существует.

Инвариантные подмодели с двумя независимыми переменными по-

рождаются тремя одномерными представителями 0Лю- Все они имеют смешанный эллиптико-гиперболический тип. Найдены области гиперболичности. Групповая классификация показала, что допускаемая ими группа во всех случаях совпадает с наследуемой из УГД. Введением инвариантной функции тока в некоторых случаях удалось получить в подмоделях первые интегралы (Бернулли, завихренности, энтропийный).

Инвариантные подмодели с одной независимой переменной порождаются семью двумерными представителями оптимальной системы. На основе иерархии подмоделей найдены их первые интегралы, некоторые подмодели проинтегрированы полностью. Полученные решения описывают движение газа с замкнутыми инвариантными линиями тока, непрерывное течение с областями вакуума, растекание с одновременным вращением полосы газа в вакуум.

Подмодели, сводящиеся к системе алгебраических уравнений («простые» решения) порождаются трехмерными подалгебрами ЭЬю- Всего имеется 4 различных решения этого типа. Они описывают различные режимы растекания газа. На них проинтегрированы в явном виде уравнения звуковых и контактных характеристик.

В качестве иллюстрации ниже приводятся типичные подмодели с одной и двумя независимыми переменными.

Инвариантная подмодель ранга 2. Представление решения в цилиндрической системе координат:

+ ^ _ (0(Л, (/?) + а)А

~ ~7РтТ~' ~ '

р = р(Л,^)((2 + 1)-2, р = р(\,<р)^ + 1)-\ 5 = 5(А|¥>).

(ис — радиальная и ьс — тангенциальная компоненты вектора скорости). Искомые функции й, V, р, р, § зависят от переменных А = г/\/<2 +1, (р = 9 — aa.rctgt. Уравнения подмодели:

Бй + рх/р = (а2 - 1 + 2ад + и2)А, Пд + руЦрХ2) = -2 (а + 0)0/А, (3)

Вр + р(йа + Уц>) - -рй/А, 1)5 = 0, £> = йд\ + ддц,.

Инвариантная функция тока вводится в силу третьего уравнения (3):

4>х = -Аур, фр = Айр. (4)

С использованием гр стандартной процедурой получены инвариантные интегралы Бернулли и энтропии: •

й2 + \Ч2 + (1 - а2)А2 + 4§р = Р(ф), 5 = ЗД (5)

{F, S — произвольные функции). Непосредственное вычисление характеристик системы (3) позволяет убедиться, что она гиперболична в области с2 = 2р/р < й2 + г;2А2.

Инвариантная подмодель ранга 1. Представление решения в цилиндрической системе координат:

_ (t/(y>) + t)r _ (У (у) + a)r _ R(ip)rk~2 ис- р + 1 , «с- t2 + i , р- (i2 + 1)t/2,

р = P{ifi)rk(t2 + 1)-к/2~2, 5 = ЗД(г2 + i)*/2-V-*/2

Независимая переменная у? та же. Уравнения подмодели:

Vi/' = (V + а)2 - 1 - U2 - kP/R, VV' + P'/R = -2(о + V)U,

(VR)' = -kRU, VS1 = (fc - 4)US W

(штрих — производная no tp). Подмодель (6) можно получить, как автомодельное решение подмодели (3). Этот факт является иллюстрацией леммы Ли — Овсянникова— Талышева (ЛОТ) [16] об иерархии подмоделей. На основе леммы ЛОТ имеется возможность «унаследовать» первые интегралы подмодели (3). Для этого подставляем представление решения в уравнения (4) и получаем выражение для функции тока ф в терминах V, R и А. Оно позволяет определить конкретный вид функций F и S из (5). Полученные интегралы удобно записать в терминах инвариантной скорости звука Z{ap) — 2P/R:

S = So(VZ)l-k/\ U2 + V2 + 2Z + (1 - а2) = ay/ZV. (7)

Из последнего интеграла следует существенное различие в поведении описываемого течения при а2 > 1 и а2 < 1. При а2 < 1 поверхность (7) всегда лежит в полупространстве Z > 0, что соответствует положительному значению плотности р. При tt >1 поверхность (7) может пересекать— плоскость Z = 0, что означает наличие областей вакуума в движении газа.

Уравнение г[> = const задает замкнутые инвариантные линии тока в подмодели (3). В «физическом» пространстве им соответствует семейство контактных характеристик, что позволяет дать конструктивное описание траекторий частиц на рассматриваемом решении. На рис. 1а приведена характерная инвариантная линия тока ■ф = const. Соответствующая ей траектория изображена на рис. 16.

В изэнгропическом случае к = 4 помимо интегралов (7) система (6) имеет еще один первый интеграл

4Z2 + ßV2 - 4aZV - 4ßZ + 2aßV + a2ß = 0, ß = const.

Решение оставшегося уравнения выражается квадратурой. Для непрерывности полученного решения па всей плоскости (г, в) требуется, чтобы искомые функции были периодичны по </> с периодом 2тг/Лг, с некоторым натуральным числом N. Показано, что возможны непрерывные решения с N = 1,2,3,...

В случае Z = aV, S = const, уравнения подмодели (6) удалось проинтегрировать в явном виде:

U = x sin2(^, V — а + х cos 2ip Z = а(а 4- xcos2(/J), х = Va'2 - 1 + а2.

(8)

Па этом решении хорошо прослеживается различно в характере течения при а < 1 и а > 1,о котором упоминалось выше. Действительно, при а < 1 плотность р > 0 на всей плоскости. В то время, как при а > 1 плотность положительна только в двух симметричных секторах, между которыми находится область вакуума. В рамках модели мелкой воды это решение можно трактовать, как растекание с одновременным вращением жидкости, свободная граница которой при о < 1 является эллиптическим параболоидом, при а = 1 — параболическим цилиндром и при а > 1 — верхней частью гиперболического параболоида.

В заключении приведены следующие основные выводы.

• Построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 13-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями динамики политроино-го газа. Каждый из ее 1342 представителей служит источником классов точных решений уравнений газовой динамики.

• В явном виде получено точное решение уравнений газовой динамики, описывающее пространственное барохрониое движение газа с коллапсом плотности в конечный момент времени. Дано описание динамики движения. Исследовано поведение характеристического коноида вблизи времени коллапса.

• Доказана редукция к инвариантным около 200 регулярных частично инвариантных подмоделей с давлением в качестве лишней функции.

• На основе программы ПОДМОДЕЛИ проведено полное исследование подмоделей, порождаемых проективным преобразованием в уравнениях двумерной газовой динамики со специальным показателем адиабаты.

— Построены канонические формы всех инвариантных подмоделей с дву-

мя независимыми переменными. Все они имеют смешанный эллипти-ко-гиперболический тип. Найдены области гиперболичности. Допускаемая этими подмоделями группа непрерывных преобразований совпадает с группой, наследуемой из уравнений газовой динамики. Найдены первые интегралы (Бернулли, завихренности, энтропийный).

— Проведено исследование всех инвариантных подмоделей, сводящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы. Некоторые подмодели проинтегрированы полностью. Дано описание траекторий частиц.

— Построено тоуное решение, инвариантное относительно поворота вокруг начала координат на конечный угол. Явными формулами описано непрерывное движение газа с областями вакуума. Найдено решение, описывающее растекание с одновременным вращением полосы газа в вакуум. Распределение давления в начальном сечении полосы произвольно.

— Построены все «простые» (аналоги постоянного) решения. На них проинтегрированы уравнения звуковых и контактных характеристик. Среди регулярных частично инвариантных подмоделей с одной лишней функцией найдено решение, обладающее функциональным произволом.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю JI. В. Овсянникову за постановку задач и многочисленные ценные советы и замечания.

Литература

[1] Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, № 4. С. 30-55.

[2] Головин С. В. Об одном инвариантном решении уравнений газовой -динамики // ПМТФ. 1997. Т. .38, №1. С. 3-10. _

[3] Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае поли-тропного газа // Новосибирск, 1996. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 5-96.

[4] Golovin S. V. On reduction of some class of regular partially invariant solutions of gas dynamics equations for polytropic gas //Proc. of the Int. Conf. MGA VII, Nordfjordeid, Norway, 30.6-05.7 1997, P. 115-121.

[5] Головин С. В. Редукция класса регулярных частично инвариантных решений уравнений газовой динамики // Тез. докл. Межд. конф. «Современные проблемы механики и математики». 25-28 мая 1998 г. Изд-во Инст. прикл. пробл. механ. и матем. АН Украины.

[6] Головин С. В. Инвариантные решения двумерных уравнений газовой динамики, построенные с использованием проективного оператора // Тез. докл. Межд. конф. «Симметрия в естествознании». 23-29 августа 1998 г. Изд-но Инст. выч. модел. СО РАН.

[7] Головин С. В. Движение газа со специальными свойствами симметрии // Тез. докл. Межд. конф. «Математические модели и методы их исследования». 18-24 августа 1999 г. Изд. центр КрасГУ.

[8] Головин С. В. Растекание жидкого «хребта» // Труды 31-й Per. молодежи, конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики». 24-28 января 2000 г. Екатеринбург: Инст. матем. и механ. УрО РАН.

[9] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

[10] Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.:Мир, 1964.

[11] Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

[12] Черевко А. А. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = /(S)p5/3 // Новосибирск. 1996. Препр./ИГиЛ СО РАН. №4-96.

[13] Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333, № 6. С. 702-704.

[14] Чупахин А. П. Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1) // Новосибирск, 1998. Препр./ИГиЛ СО РАН. №4-98.

[15] Никольский А. А. Инвариантное преобразование уравнений движения идеального одноатомного газа и новые классы их точных решений // ПММ. 1963. Т. 27, №3. С. 496-508.

[16] Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 1998. Т. 361, №6. С. 740-742.

Введение.

Глава 1. Подмодели политропного газа

§1. Оптимальная система подалгебр.

§2. Пример инвариантного решения.

2.1. Случай а2 + /З2 ф 0.

2.2. Случай а2 + j32 =

2.3. Групповая классификация инвариантной подмодели

2.4. Автомодельное решение.

§3. Теорема о редукции.

Глава 2. Динамика двумерных движений газа, обладающих специальной симметрией

§4. Предварительные сведения

§5. Оптимальная система подалгебр

§6. Инвариантные подмодели ранга два.

6.1. Подмодели 11(1.1) и П(1.2).

6.2. Подмодель П(1.3)

§7. Инвариантные подмодели ранга один.

7.1. Подмодель П(2.1)

7.2. Подмодели П(2.2) и П(2.3).

7.3. Подмодель П(2.5)

7.4. Подмодель П(2.6).

7.5. Подмодель П(2.8)

7.6. Подмодель П(2.9)

§8. Простые решения.

8.1. Характеристики на простых решениях.

§9. Регулярные частично инвариантные решения.

9.1. Подмодель П(3.4)

9.2. Подмодель 11(3.10).

Свойства симметрии математической модели отражают факт независимости законов природы от систем отсчета, в которых наблюдаются и измеряются основные величины и выражаются в инвариантности модели относительно некоторых преобразований пространства значений этих величин. Такие преобразования образуют группу. Следуя С. Ли говорят, что математическая модель допускает данную группу преобразований.'

Выдвинутая академиком Л.В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [1] содержит концепцию систематического использования свойств симметрии в механике сплошных сред. Эта программа дает общий теоретико-групповой подход к математическим моделям с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии путем формирования и упорядочения банка данных точных решений (подмоделей) математической модели. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Точные решения играют важную роль при исследовании различных задач газовой динамики. Они применяются для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, исследования качественных свойств системы, тестирования численных методов. В настоящее время в газовой динамика накоплен достаточно большой опыт получения и использования точных решений. Классическими примерами могут служить простые волны Рима-на в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера. На основе автомодельного решения Л.И. Седовым [2] получено решение задачи о точечном взрыве в газе. Различные обобщения этого решения содержатся монографии [3]. Большой набор точных решений можно найти в монографиях [4, 5]. Обширный класс решений, так называемые кратные волны, исследован в [6] на основе метода дифференциальных связей. Отметим, что большинство полученных в этих работах решений имеют групповую природу [7].

В рамках программы ПОДМОДЕЛИ точные решения УГД строятся с помощью подгрупп допускаемых уравнениями расширений группы Галилея. Очевидно, что каждая подгруппа допускаемой группы также допускается исходной моделью. В то же время она имеет инварианты, конечные и (или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы выделяет из множества решений модели определенный класс точных решений. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие некоторой системе уравнений, более простой по сравнению с исходной. Эта система уравнений называется подмоделью исходной модели. Большинство известных точных подмоделей в виде систем уравнений пониженной размерности, таких как одномерные, двумерные, плоскопараллельные, осесимметричные, винтовые, стационарные, конические, автомодельные, дают примеры инвариантных решений. Ясно, что этот перечень можно пополнить.

Существенно различаются два типа подмоделей: инвариантные (ИП) и частично инвариантные (ЧИП). Для первых все искомые функции выражаются через инварианты, поэтому система уравнений подмодели является определенной. Напротив, в частично инвариантных подмоделях только часть искомых функций имеет инвариантное представление. На оставшиеся «лишние» функции при построении подмодели не накладывается никаких дополнительных ограничений. Поэтому уравнения ЧИП содержат переопределенную подсистему для лишних функций. Приведение этой подсистемы в инволюцию зачастую является очень непростой задачей, что и определяет относительную сложность получения и исследования ЧИП. Иногда в процессе приведения переопределенной подсистемы в инволюцию лишние функции получают инвариантное представление. Это означает, что данная подмодель совпадает с ИП, построенной на подгруппе меньшей размерности. В этом случае говорят, что ЧИП редуцировалась к ИП. Установление редукции позволяет избежать большого количества фактически ненужной работы. Важно иметь по возможности простые признаки редукции ЧИП.

Каждая подгруппа допускаемой группы служит потенциальным источником некоторой точной подмодели. При этом, подмодели, построенные относительно разных подгрупп допускаемой группы могут совпадать (с точностью до замены переменных). Такое происходит всякий раз, когда выбранные подгруппы сопряжены (подобны) относительно внутренних автоморфизмов допускаемой группы. В этой связи актуален вопрос построения ее оптимальной системы подгрупп — максимального набора несопряженных подгрупп допускаемой группы. Массив решений, получаемых при реализации программы ПОДМОДЕЛИ определяется именно оптимальной системой подгрупп. О его широте в случае уравнений газовой динамики можно судить по следующим цифрам: для общего уравнения состояния газа оптимальная система подгрупп допускаемой группы содержит 221 представитель [8], а для одноатомного газа уже 1817 представителей [9].

Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает также выполнение предварительного анализа качественного поведения решений получаемых подмоделей. Такое «одевание» подмодели может включать описание типа системы, изучение структур множества траекторий, характеристик и т.д.

Настоящая диссертация основана на материале, полученном автором при участии в реализации программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Этим и объясняется тематическая направленность изложенного ниже материала.

Диссертация объемом 116 страниц состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений, 5 таблиц, 12 иллюстраций и списка литературы из 60 наименований.

Заключение

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

• Построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 13-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями динамики политроп-ного газа. Каждый из 1342 представителей этой оптимальной системы служит потенциальным источником точных решений уравнений газовой динамики.

• В явном виде получено точное решение уравнений газовой динамики, описывающее пространственное барохронное движение газа с коллапсом плотности в конечный момент времени. Дано описание траекторий частиц на этом движении. Для частного случая движения построен характеристический коноид. Исследовано поведение характеристического коноида при времени близком к времени коллапса.

• Показана редукция частично инвариантной подмодели, порождаемой комбинациями переносов и галилеевых переносов по осям координат, а также вращениями. Для соответствующей инвариантной подмодели с двумя независимыми переменными проведена групповая классификация относительно уравнения состояния. Приведены примеры ее точных решений.

• Дан простой признак редуцируемости к инвариантным большого класса регулярных частично инвариантных решений дефекта 1. Конструктивное доказательство редуцируемости позволяет точно установить подалгебру, относительно которой соответствующая подмодель является инвариантной. Этот признак позволяет сократить число подмоделей, нуждающихся в исследовании более, чем на 200.

• На основе программы ПОДМОДЕЛИ проведено исследование подмоделей, порождаемых проективным преобразованием в уравнениях двумерной газовой динамики со специальным показателем адиабаты.

Построены канонические формы всех инвариантных подмоделей с двумя независимыми переменными. Все они имеют смешанный эллип-тико-гиперболический тип. Найдены области гиперболичности. Допускаемая этими подмоделями группа непрерывных преобразований совпадает с группой, наследуемой из уравнений газовой динамики. Найдены первые интегралы (Бернулли, завихренности, энтропийный) полученных подмоделей.

Проведено исследование всех инвариантных подмоделей, сводящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы. Некоторые подмодели проинтегрированы полностью. Для них дано описание траекторий частиц.

Построено точное решение, обладающее дискретной симметрией — инвариантностью относительно поворота вокруг начала координат на конечный угол.

В явном виде найдено непрерывное решение, описывающее движение газа с областями вакуума. Газ занимает два симметричных сектора, в смежных секторах — область вакуума.

В явном виде найдено решение, описывающее растекание с одновременным вращением полосы газа в вакуум. Решение содержит произвольную функцию — распределение давления в начальном сечении полосы.

Построены все «простые» (аналоги постоянного) решения. На них проинтегрированы уравнения звуковых и контактных характеристик.

Исследованы регулярные частично инвариантные подмодели с одной лишней функцией. Найдено решение с функциональным произволом. Интегрирование сведено к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения первого или второго порядка.

• Предложен способ «наследования» первых интегралов из подмоделей с двумя независимыми переменными в подмоделях с одной независимой переменной. Приведены нетривиальные примеры полученных таким путем интегралов различных подмоделей.

1. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1992. 11 с.

2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1965. 388 с.

3. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. М.: Наука. 1985. 400 с.

4. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.-.Наука. 1975.

5. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука. 1980. 319 с.

6. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1984.

7. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

8. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58. № 4. С. 30-55.

9. Черевко A.A. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = f(S)p5/3. Новосибирск. 1996 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; JV®4 96).

10. Джекобсон Н. Алгебры Ли //М.:Мир, 1964.

11. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропного газа. // Новосибирск, 1996. Препринт/Ин-т гидродинамики. Сиб. отделение РАН. № 5-96.

12. Golovin S.V. On Reduction of Some Class of Regular Partially Invariant Solutions of Gas Dynamics Equations for Polytropic Gas. //Proc. of the Int. Conf. MGA VII, Nordfjordeid, Norway, 30.6-05.7 1997, P. 115-121.

13. Головин C.B. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики. //ПМТФ. 1997. Т. 38. №1. С. 3-10.

14. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. //ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 3. С. 362-372.

15. Хабиров C.B. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Уфа. 1998. (Препр. / УНЦ РАН. Ин-т механики)

16. Мелешко C.B. Групповая классификация уравнений движения газа в постоянном поле сил // ПМТФ. 1996. Т. 37. №1. С. 42 47.

17. Мелешко C.B. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 56 62.

18. Овсянников Л.В. Изобарические движения газа // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. №10. С. 1792 1799.

19. Хабиров C.B. Подмодель винтовых движений в газовой динамики // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 53 65.

20. Хабиров C.B. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Матем. заметки. 1996. Т. 59. Вып. 1. С. 133 141.

21. Хабиров C.B. Подмодель вращательных движений газа в однородном поле сил // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 263 271.

22. Мелешко C.B. О неизэнтропических стационарных пространственных и плоских нестационарных двойных волнах // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 255 260.

23. Мелешко C.B. Об одном классе частично инвариантных решений плоских течений газа // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. №10. С. 1825 1827.

24. Овсянников JI.B. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т. 36. К0-3. С. 45 -52.

25. Овсянников JI.B., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 990 999.

26. Овсянников JI.B. Регулярные типа (2,1) подмодели уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1996. Т. 37. №. С. 3 13.

27. Чупахин А.П. Не барохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики. Новосибирск, 1998 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №5 98).

28. Чупахин А.П. О барохронных движениях газа. // Докл РАН. 1997. Т. 352. №5. С. 624 626.

29. Чупахин А.П. Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1). Новосибирск, 1998 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №4 98).

30. Чупахин А.П. О регулярных подмоделях типа (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики. //ПМТФ. 1999. Т. 40. №2. С. 40-49.

31. Овсянников JI.B. О «простых» решениях уравнений динамики по-литропного газа // ПМТФ. 1999. Т. 40. №.

32. Овсянников JI.B. Плоские течения газа с замкнутыми линиями тока. //Докл. РАН 1998. Т. 361. №1. С. 51-53.

33. Черный Г. Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости. //Изв. РАН. МЖГ. 1997. №4. С. 3953.

34. Мамонтов E.B. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 2.

35. Овсянников JI.B. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333. № 6. С. 702-704.

36. Овсянников JI.B. О свойстве ж-автономии // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗО. №5. С. 559 561.

37. Овсянников JI.B. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения. //Докл. РАН. 1995. Т. 343. №2. С. 156-159.

38. Хабиров C.B. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Докл. РАН. 1995. Т.341. № 6. С. 764 766.

39. Овсянников JI.B. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики. Новосибирск, 1997 (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №3 97).

40. Черевко A.A. Построение канонических систем дифференциальных уравнений для инвариантных подмоделей газовой динамики.// Выч. технологии. 1998. Т. 3. №6. С. 92-96.

41. Овсянников JI.B. Инвариантные интегральные законы сохранения // Докл. РАН. 1996. Т. 351. №5. С. 599 602.

42. Овсянников JI.B. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений.//Докл. РАН. 1998. Т. 361. №6. С. 740742.

43. Patera J.,Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups //J. Math. Phys. 1977. V. 18. № 12 P. 2259-2288.

44. Ибрагимов H.X. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа. //ПМТФ. 1966. т. С. 19-22.

45. Лапко Б. В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики. // ДСС. 1973. Вып. 14. С. 112-119.

46. Gagnon L. Continuous subgroups of the Galilei and Galilei-similitude groups. // Cañad. J. of Phys. 1989. V. 67. №.

47. Фущич В.И., Баранник И.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук, думка. 1991. 304 с.

48. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

49. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. М.: Наука. 1978.

50. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений. //ДАН СССР. 1958. Т. 118. №3. С. 439-442.

51. Никольский A.A. Инвариантное преобразование уравнений движения идеального одноатомного газа и новые классы их точных решений. //ПММ. Т. 27. №3. С. 496-508.

52. Никольский A.A. Инвариантные преобразования уравнений движения идеального газа для специальных случаев. //Инженерный журнал. 1963. Т. 3. №. С. 140-142.

53. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983. 280 с.

54. Speciale М.Р., Oliveri F. Exact Solutions to Gas Dynamics Equations and Substitution Principles. //Proc. of the Int. Conf. MGA VII, Nordfjordeid, Norway, 30.6-05.7 1997, P. 293-300.

55. Munk M., Prim R. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1947. V. 33. P. 137-141.

56. Хабиров С. В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой во-ды.//ДСС. 1969. В. 3. С. 82-90.

57. Хабиров С. В. Нестационарное инвариантное решение уравнений газовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума. //ПММ. 1988. Т.52. В. 6. С. 967-975.

58. Grundland A.M., Lalague L. Invariant and partially-invariant solutions of the equations describing a non-stationary and isentropic flow for an ideal and compressible fluid in (3 + 1) dimensions. // J. Phys. A: Gen. 29 (1996) 1723-1739.

59. Grundland A.M., Lalague L. Lie subgroups of symmetry groups of the fluid dynamics and the magnetohydrodynamics equations II. // Univ. de Montreal. 1993. CRM-1889.

60. Simonsen V. 0. Self-similar solutions in gasdynamics with exponential time dependence. //Max-Planck-Inst. fur Quantenoptik. 1996. MPQ 214.