Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЮЛМУХАМЕТОВА Юлия Валерьевна

ПОДМОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

-МЕН 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2011

005003086

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО " Уфимский государственный

авиационный технический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хабиров Салават Валеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Андреев Виктор Константинович; доктор физико-математических наук, Сулейманов Булат Ирекович

Ведущая организация: Институт Гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 23 декабря 2011 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Учреждении Российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу. 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан "Л_"ноября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математичнских наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие явления окружающего нас мира можно описать математической моделью, состоящей из набора дифференциальных уравнений. Математическая модель движения сжимаемой жидкости - уравнения газовой динамики. Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению решений уравнений газовой динамики в виде линейного поля скоростей. Объектами исследования газовой динамики являются газ, при обычных условиях, жидкие тела и твердые тела, находящиеся под воздействием больших температур и давлений. Поэтому решение в виде линейного поля скоростей является фундаментальным решением для любых уравнений механики сплошной среды: при этом постоянная вязкость и постоянная теплопроводность не влияют на такие движения.

Движения сплошной среды с линейным полем скоростей изучали G.L. Diri-chlet и Б. Риман. Они рассматривали движения несжимаемой жидкости, движущейся в силовом поле. JI.B. Овсянниковым впервые было показано, что для политропного газа система уравнений газодинамики сводится к системе девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (модель Овсянникова). Найдено несколько интегралов такой системы. Развитие математической теории этих уравнений получил J.F. Dyson при изучении динамики враг щающегося газового облака. Им были найдены другие интегралы системы и выяснено за какие физические законы сохранения они отвечают. О.И. Богоявленским, И.В. Немчиновым были изучены поведение и общие свойства газовых эллипсоидов с линейным полем скоростей. С.И. Анисимовым, Ю.И. Лысиковым, H.A. Иногамовым найдены некоторые частные решения модели Овсянникова. О.В. Лаврентьевой, В.В. Пухначевым была рассмотрена математическая модель движения несжимаемого жидкого эллипсоида, в котором скорости частиц жидкости являются линейными функциями координат.

В настоящей работе, в отличии от перечисленных, разыскивались решения уравнений газовой динамики с линейным полем скоростей в эйлеровых переменных с произвольным уравнением состояния. Уравнения состояния, выражения для функций плотности и давления, обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, назовем подмоделью с линейным полем скоростей. Как будет показано, задачи о нахождении решения в эйлеровом и лагранжевом представлениях эквивалентны, но при решении задачи в эйлеровых переменных намечается полная классификация подмоделей по рангу не постоянной вспомогательной матрицы и по видам уравнений состояния.

Целью работы является классификация и нахождение всех уравнений состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решение в виде ли-

нейного поля скоростей. При этом требуется определить выражения для функций плотности и давления, вывести обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, то есть построить подмодель. Найти интегралы, полученных подмоделей. Графически представить и физически интерпретировать новые виды движений, полученные как частное аналитическое решение полученных подмоделей.

Методы исследования. Для реализация поставленной задачи использованы методы группового анализа, теории дифференциальных уравнений, теории матриц, обобщенный метод разделения переменных. Для визуализации полученных результатов, использовались пакеты прикладных программ.

Научная новизна.

1. Развит метод разделения переменных, с помощью которого проведена полная классификация подмоделей движения газа с линейным полем скоростей.

2. Найдены все уравнения состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решения в виде линейного поля скоростей.

3. Рассмотрены примеры движения газа с линейным полем скоростей: разлет частиц газа из точечного источника, схлопывание шара в иголку или диск, выпрямляющийся разлет газа из вихря.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей, на которые не оказывают влияния вязкость и теплопроводность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования. Например, нахождение новых точных решений перечисленных подмоделей и их физическое толкование. Развитие метода разделения переменных позволит, в дальнейшем, решать сложные переопределенные функционально-дифференциальные уравнения. Полученные точные решения можно использовать в тестовых задач для численных методов, а также для конструирования новых численных методов. Они так же могут быть положены в основу конструирования аппаратов с заданными характеристиками движения газа.

В работе проведена визуализация следующих процессов: вытягивание выделенного сферического объема в иглу или диск; выпрямляющийся разлет частиц газа из вихря; радиальный разлет частиц газа из точечного источника с вакуумной границей и радиальный разлет частиц газа с дальнейшей фокусировкой в точке.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

• 37, 38, 39, 40-ая региональные молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2006-2009 гг.);

• IV, V Всероссийские конференции "Актуальные проблемы прикладной ма-

тематики и механики", посвященные памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау - Дюрсо, 2008, 2010 гг.);

• Международная конференция "MOGRAN-13. Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.);

• Международные конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ "(Ванное, 2009, 2010 гг.);

• Всероссийская конференция "Нелинейные волны: теория и новые прило-жения"(Новосибирск, 2011 г.);

• Семинар по дифференциальным уравнениям БашГУ, 2011 г.;

• Семинар Института механики УНЦ РАН, 2011 г.

• VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения, посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова" (Уфа, 2011 г.);

• Семинар по дифференциальным уравнениям математической физики Учреждения РАН Института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2011 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 статей [1]-[8], (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК [7], [8]).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 9 рисунков и 1 таблица. Список литературы состоит из 50 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель, проведен обзор литературы, связанный с тематикой исследования, приведено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе показано, что многие инвариантные решения ранга ноль уравнений газовой динамик (УГД) являются решениями с линейным полем скоростей. При изучении совместности УГД для решений с линейным полем скоростей получена переопределенная система функционально-дифференциальных уравнений. Из этих уравнений выведено соотношение, позволяющее классифицировать подмодели. Доказана эквивалентность постановок задачи в эйлеровом и лагранжевом представлениях. Найдена ПОДМОДЕЛЬ 1, описывающая движение газа с линейным полем скоростей в случае, когда плотность зависит только от времени.

В п. 1.1 рассмотрены уравнения газовой динамики:

Ш + р-1Ур = 0, £>р + рШуи = 0, Бр + ра2 (р,р) сНу и = О (УГД)

с произвольным уравнением состояния р = /(р,5), где и - вектор скорости частицы, р - плотность, р - давление, 5 - энтропия, Б = + й ■ V - оператор полного дифференцирования по времени г, а2(р,р) = /р - квадрат скорости звука.

УГД допускают 11-ти параметрическую алгебру Ли с произвольным уравнением состояния. Для четырехмерных подалгебр из оптимальной системы (Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: ИКИ. 2003. 336 с.) выбраны 14 подалгебр, для которых инвариантные решения имеют представление с линейным полем скоростей. Эти инвариантные решения имеют ранг 0 и поле скоростей таково:

и = А(1)х + щ{1), (ЛПС)

где А - матрица, удовлетворяющая уравнению А! + А2 = 0.

В п. 1.2 приведена общая постановка задачи. После подстановки представления решения (ЛПС) в УГД, находим все производные от функции давления. Уравнения совместности имеют вид:

Чр®{Вх + ь) +РВТ = рВ + (Вх + {Г)®Чр, (УС 1)

(В' + ВА + АТВ - ВыА)х +г/ + Ату- 1гЖГ + Вщ =

= ЪА [(ра2)„У Ы р- р{а\ (Вх + в)] , (УС 2)

где ® - тензорное произведение, В = Л' + А2, V = Ш0 + Аий. Систему уравнение совместности дополняет уравнение для плотности:

Р1 + {Ах + щ) • Ур + р и А = 0.

Матрицу В представим в виде суммы симметричной и антисимметричной частей: В = Б + Е<й>, где 5 = Бт - вспомогательная матрица, О —и3 ы1

Е = —ЕТ = ш3 0 —а;1 - матрица, элементы которой задаются коор-

-ш2 и>1 О динатами вектора угловой скорости й — (ы1,и2,ы3).

Первое уравнение совместности является тождеством для диагональных элементов. Остальные три равенства имеют вид:

V 1п р х (5х + (3x1+1)) = - 2<Л,

из которых следуют равенства

5ш = 0, V- ш = 0.

Векторное уравнение является классифицирующим. В зависимости от ранга матрицы 5 проведена классификация всех найденных подмоделей.

В п. 1.3 введены лагранжевы переменные t, £ с помощью решения х = :?(£, задачи Коши:

— =А(1)х + й0(4), =

Решение имеет вид

х = х0{{) + 1О(0)=0, М(0) = I,

где М' = ЛМ, Хд = А?о +ио, I - единичная матрица.

В лагранжевых координатах УГД с линейным полем скоростей имеют 2 интеграла

р = ро{()\М\-\ 5 = 50(& р = /Ы^Г1.5о) и сводятся к векторному уравнению

рМтха + Víp = 0.

После подстановки интегралов в последнее уравнение, получим уравнение в которое входят функции зависящие только от I или только от Разделение переменных в таком уравнении возможно только для специальных уравнений состояния.

В п. 1.4 найдена ПОДМОДЕЛЬ 1 движения газа с линейным полем скоростей в случае, когда плотность зависит только от времени. В этом случае из уравнения совместности и уравнения для р из УГД, получим:

р = р0ехр

1, В = ВТ = Б,

р = -2 lpx ■ Sx — pv ■ x + po(t),

где po - некоторая функция, p0 ~~ произвольная постоянная. После подстановки найденных функций во второе уравнение совместности определяется уравнение состояния и дифференциальные уравнения для матрицы S и v:

p = a(p)D(S) + l3(p), S' + 2SA = (1 - a" Vp)StrA А' + А2 = S, г? + ATv + Suq = (1 - a~lotp)vtiA, it0 + Ащ - v, p'0-pu0-v = -p(crV(p0 -/3) + P')tvA,

где a(p), ¡5{p), D(S) - произвольные функции.

Во второй главе найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей в случае нулевого вектора угловой скорости. Получено три подмодели. Найдены интегралы подмоделей в лагранжевых переменных и доказано несколько важных теорем.

В п. 2.1 из (УС1), (УС2) найдены: вид функции плотности

p = e-ltIÁdtR!{I),

где I — Je~Sa°dt - 2/щ ■ ve~^aoitdt, a0(í), R'(I) - некоторые функции, J -x ■ Sx + 2-й ■ x и дифференциальные уравнения подмоделей

S' + 2SA = ao{t)S, v1 + ATv + SÜq = a0(t)v,

а также классифицирующее соотношение, из которого определяется уравнение состояния, вид функций ao(í), -ñ'(J):

a0{t) = trA(l + 2(ра2)Д1пй')'е"/аоЛ - {pa?)P}. (КС)

Классифицирующее соотношение является функциональным: в него входят функции, зависящие от разных переменных.

В п. 2.2 введены новые независимые переменные Í, /, р позволяющие из (КС) определить уравнение состояния, функции ao(í), R'{1)- В результате получено три подмодели.

Общие уравнения этих подмоделей таковы

S' + 2SA = ao{t)S, A' + A2 = S,

v1 + ATv + Suo = oq(t)v, if0 + Ащ = v. ПОДМОДЕЛЬ 2 имеет уравнение состояния

1 - рт

р = p1h0{S)+p0-,

7

где 7,ро - постоянная, Ло - произвольная функция энтропии. Коэффициент в уравнениях имеет вид

<ю($ = (1 -7)кА Плотность выражается формулой

р = е-1иМгВ.'{1),

где Я'(I) - произвольная функция.

ПОДМОДЕЛЬ 3 имеет уравнение состояния

071 _ 07 1 — л»

р = рЧо(5) + -- 7^,

(71 ~ 7)71 7

где 71, 72 - постоянные. Коэффициент в уравнениях таков

где N - постоянная. Плотность задается формулой

где ро> Ь ~ постоянные.

ПОДМОДЕЛЬ 4 имеет уравнение состояния

р = Я^ + Х(р5(5)),

где х, 9 ~ произвольные функции. Выражение для коэффициента уравнений и плотность задаются формулами

оо(4) = (1 - 7)1гА, р = р0е-/'гЛ<г'|71 + (7 - 1)/Г/(т-1}.

В п. 2.3 при помощи замены:

5 = М"М~Х, у = М"М-1хе,

которая была обоснована в п. 1.3, дифференциальные уравнения подмоделей для матрицы 5 и вектора V записаны в лагранжевом представлении:

мтм" = цмм1^1 - ¡м|1_7|, мт4' - г^м]1-* - |мМ,

где Ь, I - постоянные матрица и вектор, |М| = | det М\. Из симметричности матрицы 5 следует, что Ь = Ьт. Для матричного дифференциального уравнение доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Матричное уравнение для М имеет первые интегралы

МТМ' - (МТ)'М = Мх - М?, где М(0) = I, М'(0) = Мх.

Теорема 2. При Ь — й1 матричное уравнение для М имеет интегралы

М(МТУ - М'МТ = м? - ми

где Л - произвольная постоянная, I - единичная матрица.

Теорема 3. Уравнение для матрицы М инвариантно относительно группы линейных преобразований, осуществляемых постоянными неособыми матрицами Т:

М=МТ, Ь = ТтЬТ, N1 = |Т|71-7 N.

Теорема 4. Пусть Ь — йгад 12,1з), Ь ф 0. Тогда существует преобразование с диагональной матрицей Т, которое переводит Ь в диагональную с элементами |Г,| = 1 при 7 ^ 1/3. Если 7 = 1/3, то ¡Г^ = |Г2| = 1, Щ =

В третьей главе найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей в случае нулевой вспомогательной матрицы и ненулевого вектора угловой скорости. Получено две подмодели. Найдены новые интегралы подмоделей.

В п. 3.1, 3.2 введена интегрирующая замена переменных. В результате функция плотности имеет вид

/> = ЯМКа. (П)

где I = Да"1, а1 = а - а0, Д = 0 - /?0, а0 = -и3 (и1)"1, /30 = V2 (и1)"1, а - х2 - х1ш2 {ы1)~\ 0 = х3 - хгси3 (и1)-1. Получены две подмодели. ПОДМОДЕЛЬ 5 состоит из уравнений

г? -1- АТу + ш х щ = (1 - 7)<;гАН, и!0 + Ай0 - Н,

А' + А2 = Е <ш >, й' = Аш - 7<;г Аш, уравнение состояния

где к - произвольная функция энтропии. Плотность определяется по формуле (П), где определяется из уравнения

(Д^-1 + ^,4) а;1 + (а2 + /а3) • (е3 - Щ - 2?2) = 0,

где Л = 1131,52,^11, е2 = ||-ы2,о;1,0|Г, 4= ||-ы3,0,Ш1||г. ПОДМОДЕЛЬ 6 состоит из уравнений

А! + А2 - Е < ш > со' = Аш - -уХхАш, V ■ й - О,

(ЬА)' , _ ^ /(НА)' , 1;гЛ

т2 + а2 ■ т = т2 с уравнением состояния

„1/2-7 _ 1

а плотность определяется по формуле (П), гдей(^/) имеет вид

т2 + т37

В п. 3.3 из дифференциального уравнения для матрицы А и вектора ш из ПОДМОДЕЛИ 5, ПОДМОДЕЛИ 6 следуют интегралы

¿5 = (¿г^ + сг<72)е"~'№, ц' = ЬтА, + = Зи

(И1)

(И2)

где о\,(Т2- постоянные единичные вектора, а - постоянная.

Интеграл (И2) сводит матричное дифференциальное уравнение А! + А? = Е < й > к системе 7-го порядка.

При помощи замены А = М'М"1 матричное уравнение из подмоделей запишем в лагранжевом представлении:

М" = [му

0 0 1 а

0 0 -г

— а í 0

М, М(0) = /,

(ЛП)

а (И2) примет вид

аМ = + Еще 2 интеграла имеют вид

Зпсг = ¿т'п — Шц + сгт'21, Згзо = ¿77г'13 — 7П13 + сяг^з,

где 3\2, Згъ - постоянные, М = ||ту||-

В результате (ЛП) сведена к системе 10-го порядка.

В четвертой главе рассматривается вырожденная (сМ 5 = 0) вспомогательная матрица и ненулевая угловая скорость. В этом случае из (УС 1) получено одно скалярное линейное неоднородное уравнение для плотности. Здесь получено пять подмоделей.

В п. 4.1, 4.2 введена интегрирующая замена переменных в уравнении для плотности:

p = e2"lfp-läIR(t,J),

где R - некоторая функция, J = a\\P\l!2é^^p'leI, Р = I2s33 + 2/s23 + S22, ai = а - a), ßi = ß - ßo, I = ai/ßi, a0 = (-Л33 + u3(s23 - wl))/A, ß0 = (-v3s22 + v2{wl + s23))/Д, Д = s22s33 - S23 + (w1)2 Ф 0, a и ß из (П).

В результате получено две подмодели, каждая из которых состоит из общих уравнений вида:

А' + А2 = S + Е < ш >, и>' = Аш- 7(4гЛ)Ш,

S' + ЗА + ATS = (1 - 7 + co(t))S tiA, vf0 + Auo = v, tf + ATv + Suo + й x. щ = {1 - j)v trA - co(i) £ trA + v0(t),

где

A<P{t) = (u3)2s22 + (v2)2s3S + 2v2v3s23, a£= (S33S22 - 4))« - ul ~ .

co(i)(ao + exp(—7 f trAdt)) = 7, Д == s22s33 - s23 + (ш1)2. Jt0

Представление для плотности таково

ад + ехр(-7 t lAdt)

Р х • Sx + 2Ç- х + ф(€) '

Специфика подмоделей заключается в следующем. ПОДМОДЕЛЬ 7

w1 ф О, Д ф 0 и s23 — s22s33 ф 0. В этом случае в уравнении для v должно быть г>о = 0, а уравнение состояния имеет вид:

ПОДМОДЕЛЬ 8

W1 ф 0, Д ф 0 и s23 — s22s33 = 0. В этом случае в уравнении для вектора v имеем

Ь Гг

M*) = ~(ao + exp(-7 / trAdt))'1'2

ш Jt„

OJ

а уравнения состояния имеет вид:

tM,

v = p-'hiS) ± ^ 1пр т 1.

I 1/^-7

В п. 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 введена интегрирующая замена переменных в уравнении для плотности:

(ФП)

п

где Д - некоторая функция, 3\ = 2ш1(а + Л/3) - (г>3 - Ли2) 1п |тг|, Л = (523 + ^Хвгг)-1 = язз^гз - п = 2и)111 + \s22v3 - а33г!2,= аа22А + /Зйзз-При Д^ ф 0 и и3 ф Ли2 получена подмодель. ПОДМОДЕЛЬ 9 состоит из уравнений:

А'+ Л2 = £ + £<£!>, ш'-Аш-^ш^А,

Б' + БА + АТБ = (1 - -у)БЬА + ^^е ® ёяА,

1т - Ли2

С + Ат£ + 5и0 + ¿3 х «о - (1 - 7)«?= +

гг — Агг

Плотность имеет экспоненциальный вид

2шгх ■ е

р = Д0(*)ехрищ2_из^

где Но(*) удовлетворяет уравнению

(Ли2 - г;3) ((1п До)' + <*А) + • е = О, е = Ашг ~ ¿Зз, Е < ш >= |]ш1,аЬ,й;з||. Уравнение состояния имеет вид

р = р7Ь(Б) + —(ко + ¿11пр), при 7^1, 1-7

р = рЛ(5) + р1пр(А;11пр + /:4 - к\), при 7 = 1,

где к{ - постоянные, /г - произвольная функция. При Дд ф 0 и V3 = Лг;2 получена подмодель. ПОДМОДЕЛЬ 10 состоит из уравнений:

А' + А2 = Б + Е <й >, ¿3' = Аш- -ушЬс А,

Б' + БА+АТБ=( 1 - 7 + г/ + Лтг/ + +шхйи-(1- у)ьЬгА = ^в^ср^ЬгА, где 5= 115*1, ¿2 > «з 11, <р(1) = 2\кьЩ1. Представление плотности

=_(агз+Ц1) До(<)_

Р (Бх -+ й х х + у)3 (Бх - ¿3 х х + ■и}2

Здесь нижний индекс означает номер декартовой координаты вектора. А функция Ло(*) удовлетворяет уравнению

(lu Ло)# = (V - -y)trA. Уравнение состояния имеет вид

p = p7h(S) + ^bp, при 7^ О,

р = h(S) - 2~1k5{lnp)2 + ка)пр, при 7 = 0.

При R = R{t) получена подмодель. ПОДМОДЕЛЬ 11 состоит из уравнений

Л' + Л2 = S + Е < ш >, ш' = Аш - yûtiA,

2

. R.

S' + SA + ATS - (1 - 7)5 = 2 ( ^ j P2ei ® eftr Л,

С + АТУ + Бщ + ш х и0 - (1 - 7)^гЛ = ^ (2р5 - р2йД ') е^гЛ,

где <5 = в33и2-Аягг^3, в! = ¿з-^з'. Плотность имеет вид (ФП), где Л) = Д(г) и удовлетворяет дифференциальному уравнению

(1п й)' + ^Л = (1п5)' + 25~1щ - (5зз^2 - вггА^з).

Уравнение состояния имеет вид

—1 7

р = рЩв) - р2Р, ~Р + - 1пр при 7^0, г г 1+7 7

р = /1(5) - рзр-1 - 1п р (р0 - 2_1Рб Ь р) при 7 = 0,

где Рг - постоянные.

В пятой главе для некоторых найденных подмоделей рассматриваются частные случаи движения газа. В результате получены следующие движения частиц газа: разлета из точечного источника, выпрямляющийся разлет из вихря, охлопывание выделенного объема в иголку или диск.

В п. 5.1 для ПОДМОДЕЛИ 1, в случае политропного газа с показателем адиабаты 7 = 5/3, найдено частное решение. Для радиальных движений уравнение мировых линий таково

где |а?| = г, п - постоянная.

Рис. 1: С>0. Рис. 2: С<0.

При £ > О, С ^ О имеем разлет частиц газа из точечного источника. При С — 0 частицы двигаются по прямой с постоянной скоростью п. Это граница с вакуумом. Для С > 0 частицы двигаются с отрицательным ускорением, т.е. замедляются (рис.1). Если одну из замедляющихся мировых линии принять за движение поршня, то получим прибор для образования вакуума.

При С < 0, t > 0 каждая частица вылетает из начала со скоростью Зп(7 — 1)/(37 — 1) в свой момент времени — (С/п)'37^1'^37-3' (рис. 2).

При £ < О, С > 0 каждая частица вылетает из начала со скоростью 3'/г(7 — 1)/(З7 — 1) в момент времени —(С/тг)'37-1'^37-3'. Далее она останавливается на расстоянии (С1~37(п2:1тр-)2)1/''3 37' в момент времени ~(тг(37 -1)/(2С))'37_1'^3_37'. Затем летит обратно, ускоряясь. Все вместе частицы встречаются в момент времени < = 0 с бесконечной скоростью. Если одну из мировых линии считать движением поршня, то получим прибор для фокусировки частиц.

В п. 5.2 для ПОДМОДЕЛИ 4 найдено частное решение. Уравнения движения частиц в пространстве имеют вид

х-хаГ1, у = £г/о, г = ¿г0,

где го, уо, г® - лагранжевы переменные. Эта поверхность симметричный эллипсоид с полуосями а = Ь = с = 4.

При £ —> 0 одна полуось неограниченно увеличивается, а две другие полуоси стремятся к нулю. Получаем, что любая сфера превращается в иглу (рис. 3).

При £ —оо одна полуось стремится к нулю, а две другие полуоси неограниченно увеличиваются. Получаем, что любая сфера превращается в диск (рис. 4)"

В п. 5.3 ПОДМОДЕЛЬ 7, при специальных значениях начальных данных для неизвестных матриц А, 5 и векторов ¿5, и0, сведена к системе двух диф-

Рис. 3: Вытягивание выделенного объема газа в иглу.

70 15 10

5 10 15 Ю 26 30

1Р- 15. .. 20

Г

Рис. 4: Превращение выделенного объема газа в диск.

ференциальных уравнений. После растяжения переменной т —¥ у/ет, где е -малый параметр, для нулевого приближения с точностью до е получено уравнение Риккати

4М9 = 1 + 92 + /Д (Р)

где ц ~ г', д ~ ты а, и а = <^ы(1,0,0) - вектор, задающий антисимметричную часть матрицы А. При щ = 0 уравнения мировых линии частиц имеют вид

х = х0, <р = <р1 + у/ёф2 + 0(е),

где у = г cos tp, z = rsm ip, fi = <Poi +

/

2 tM

dr, (P2 = (¡?02 •

/

sin 2<pi 2tM

dr.

Vob V02 ~ постоянные, которые согласуются с пределами интегрирования,М(т) = F{G(t)), 9 = G(r), Г® F{g)dg = 2 In —, fi = - решение уравнения (Р), удовлетворяющее нулевым начальным данным. Начальные данные <р(0) = <poi + \/е<Л)2, г(0) = г0.

Траектории частиц изображены на рис. 5. Каждая частица газа двигается по своей траектории. Частицы, находящиеся на одной траектории в начальный момент времени, двигаются по ней. Доказано, что траектории частиц выпрямляются. Таким образом, получаем выпрямляющийся разлет газа из зихря представленный на рис. 5.

Рис. 5: Выпрямляющийся разлет частиц газа.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертации решены следующие новые задачи.

1. Развит метод разделения переменных в переопределенных функционально-дифференциальных уравнениях.

2. Проведена полная классификация уравнений состояния, для которых существуют подмодели УГД с линейным полем скоростей.

3. Найдены новые интегралы для каждой подмодели движения газа с линейным полем скоростей.

4. Изучены движения газа с линейным полем скоростей: радиальный разлет частиц газа из точечного источника, схлопывание шара в иголку или диск, выпрямляющийся разлет газа из вихря.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Движение газа с линейным полем скоростей и плотностью, зависящей только от времени // Труды 37-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С. 258-262.

2. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Главная подмодель движения газа с линейным полем скоростей // Труды 38-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 210-213.

3. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Частное решение одной подмодели движения газа с линейным полем скоростей // Труды 39-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2008. С. 175-179.

4. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей, определяемые матрицами ранга 1 // Труды Института механики УНЦ РАН, Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. Вып. 6. С. 137-142.

5. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с нулевой вспомогательной матрицей // Труды 40-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2009. С. 192-196.

6. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей и с нулевой вспомогательной матрицей // Уфимский математический журнал. 2009. Т.1. №3. С. 125-131.

7. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Классификация подмоделей движения газа с линейным полем скоростей в газовой динамике // СибЖИМ. 2009. Т. 12, №4 С. 128-136.

8. Юлмухаметова Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей в вырожденном случае // СибЖИМ. 2011. Т. 14, №2 С. 139-150.

ЮЛМУХАМЕТОВА Юлия Валерьевна

ПОДМОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 15.11.2011. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд.л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ №368

ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический

университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12.

Введение

1 Постановка задачи и основные уравнения

1.1 Об инвариантных решениях с линейным полем скоростей.

1.2 Общая постановка задачи, уравнения совместности: угловая скорость и вспомогательная матрица.

1.3 Решения УГД с линейным полем скоростей в эйлеровых и лагранжевых переменных и их связь.

1.4 Подмодель с плотностью, зависящей только от времени.

2 Подмодели с нулевой угловой скоростью

2.1 Дифференциальные уравнения подмодели и классифицирующее соотношение

2.2 Классификация уравнений состояния. Три подмодели.

2.3 Уравнения подмоделей в лагранжевых переменных.

3 Подмодели с нулевой вспомогательной матрицей

3.1 Дифференциальные уравнения подмоделей. Общий вид функции плотности.

3.2 Нахождение уравнений состояния. Две подмодели.

3.3 Новые интегралы

4 Вырожденная вспомогательная матрица и ненулевая угловая скорость

4.1 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно растяжения. Уравнение для угловой скорости.

4.2 Уравнение для вспомогательной матрицы и уравнение состояния

4.3 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно переноса

4.4 Уравнения подмодели с плотностью экспоненциального типа.

4.5 Уравнения подмодели с плотностью дробного типа.

4.6 Уравнения подмодели с плотностью дробно-линейного типа.

5 Примеры поведения частиц газа для некоторых подмоделей

5.1 Разлет частиц газа из точечного источника.

5.2 Схлопывание шара в иголку или диск.

5.3 Выпрямляющийся разлет газа из вихря

Многие явления окружающего нас мира можно описать математической моделью, состоящей из набора дифференциальных уравнений. Математическая модель движения сжимаемой жидкости - уравнения газовой динамики. Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению решений уравнений газовой динамики в виде линейного поля скоростей. Объектами исследования газовой динамики являются газ, при обычных условиях, жидкие тела и твердые тела, находящиеся под воздействием больших температур и давлений. Поэтому решение в виде линейного поля скоростей является фундаментальным решением для любых уравнений механики сплошной среды: при этом постоянная вязкость и постоянная теплопроводность не влияют на такие движения.

Движения сплошной среды с линейным полем скоростей изучали G.L. Dirichlet [1] и Б. Риман [2]. В своих работах они рассматривали движения с однородной деформацией (линейное поле скоростей) несжимаемой жидкости. При этом предполагалось, что жидкость движется в силовом поле, обусловленном взаимным притяжением частиц по закону всемирного тяготения Ньютона. В статье JI.B. Овсянникова [3] впервые было показано, что для политропного газа система уравнений газодинамики сводится к системе девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдено несколько первых интегралов такой системы. Развитие математической теории этих уравнений получил J.F. Dyson [4] при изучении динамики вращающегося газового облака. Им были найдены другие первые интегралы системы, а также выяснено за какие физические законы сохранения они отвечают. Найден интеграл энергии системы при условии, что внутренняя энергия зависит только от времени. Доказано утверждение (лемма Дайсона) о необходимости и достаточности равенства нулю первых интегралов системы для того, чтобы существовали такие системы эйлеровых и лагранжевых координат, в которых матрица перехода от эйлеровых к лагранжевым переменным диагональна. В работах В.К. Андреева [5], [14], [22] изучалась устойчивость неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей, имеющей форму эллипсоида вращения. Им рассматривались уравнения газовой динамики в лагранжевых переменных. Найдена функция давления при условии, что плотность зависит только от времени. Для изоэнтропических движений найдено соотношение для определения давления. О.И. Богоявленским доказаны некоторые общие свойства динамики газового эллипсоида с однородной деформацией [6]. А именно, получены оценки скорости роста суммы квадратов полуосей эллипсоида. Результаты, полученные в [3], были использованы И.В. Немчиновым для описания адиабатического разлета в пустоту трехосного газового эллипсоида [7]. Были приведены результаты численных расчетов, показывающих изменение формы газового облака и характер его разлета во времени. Найдено частное решение для случая движения газа при наличии подогрева. На основании работ [3], [4] С.И. Анисимовым и Ю.И. Лысиковым в [8] решается задача о расширении газового облака в вакуум. Найдены частные решения, описывающие расширение сфероида в отсутствии вращения и вращающегося эллиптического цилиндра. В работе С.И. Анисимова и H.A. Иногамова [9] исследовано нелинейное развитие возмущений при изоэнтропическом сжатии сферической капли под действием приложенного к ее поверхности внешнего давления. Показано, что сферическая форма капли неустойчива. C.B. Хабировым в

10] были найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей в случае нулевого следа основной матрицы. В работе M. Fujimoto

11] изучались коллапс и осциляции вращающегося сжимающегося эллипсоида с плотностью, зависящей только от времени, с учетом гравитации. В этой модели рассмотрено решение в виде линейного поля скоростей. Для случая неадиабатического движения совершенного газа, найдена система семи дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая коллапс остывающего газового эллипсоида с вращением. Построено численное решение такой системы. В книге [15] рассмотрена задача о вихревом свободном движении идеальной жидкости, ограниченной поверхностью эллипсоида для случая, когда скорости являются линейными функциями координат. О.В. Лаврентьевой в [18], была рассмотрена математическая модель движения несжимаемого жидкого эллипсоида со свободной границей, в которой скорости частиц жидкости являются линейными функциями координат. Изучено качественное поведение решения такой модели при больших временах. В.В. Пухначевым в [19] рассмотрено плоское движение идеальной несжимаемой жидкости с линейным полем скоростей. Получено решение, описывающее вращение жидкого круга вокруг центра с постоянной угловой скоростью. В работе Гарифуллина А.Р. [44] были найдены решения с линейным полем скоростей регулярной переопределенной подмодели сжимаемой жидкости ранга 2 дефекта 1.

В настоящей работе, в отличии от перечисленных, разыскивались решения уравнений газовой динамики с линейным полем скоростей в эйлеровых переменных с произвольным уравнением состояния. Уравнения состояния, выражения для функций плотности и давления, обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, назовем подмоделью с линейным полем скоростей. Как будет показано, задачи о нахождении решения в эйлеровом и лагран-жевом представлениях эквивалентны, но при решении задачи в эйлеровых переменных намечается полная классификация подмоделей по рангу непостоянной вспомогательной матрицы и по видам уравнений состояния.

Целью работы является классификация и нахождение всех уравнений состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решение в виде линейного поля скоростей. При этом требуется определить выражения для функций плотности и давления, вывести обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, то есть построить подмодель. Найти интегралы полученных подмоделей. Графически представить и физически интерпретировать новые виды движений, полученных как частное аналитическое решение этих подмоделей.

Методы исследования. Для реализация поставленной задачи были использованы методы группового анализа, теории дифференциальных уравнений, теории матриц, обобщенный метод разделения переменных. Для визуализации полученных результатов, использовались пакеты прикладных программ. Научная новизна.

1. Развит метод разделения переменных, с помощью которого, проведена полная классификация подмоделей движения газа с линейным полем скоростей.

2. Найдены все уравнения состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решения в виде линейного поля скоростей.

3. Рассмотрены примеры движения газа с линейным полем скоростей: разлет частиц газа из точечного источника, схлопывание шара в иголку или диск, выпрямляющийся разлет газа из вихря.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей, на которые не оказывают влияние вязкость и теплопроводность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования. Например, нахождение новых точных решений перечисленных подмоделей и их физическое толкование. Развитие метода разделения переменных позволит, в дальнейшем, решать сложные переопределенные функционально-дифференциальные уравнения. Полученные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов, а так же для конструирования новых численных методов. Они так же могут быть положены в основу конструирования аппаратов с заданными характеристиками движения газа.

В работе проведена визуализация следующих процессов: вытягивание выделенного сферического объема в иглу или диск; выпрямляющийся разлет частиц газа из вихря; радиальный разлет частиц газа из точечного источника с вакуумной границей и радиальный разлет частиц газа с дальнейшей фокусировкой в точке.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

• 37-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2006 г.);

• 38-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2007 г.);

• Российская конференция "Механика и химическая физика сплошных сред"(Бирск, 2007г.);

• 39-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2008 г.);

• IV Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" , посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.);

• 40-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2009 г.);

• Международная конференция "МОС11АК-13. Симметрии и точные решения дифференциальных и интегрально-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.);

• Международная конференция "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Банное, 2009 г.);

• V Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механик", посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2010 г.);

• Международная конференция "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Банное, 2010 г.);

• Всероссийская конференция "Нелинейные волны: теория и новые приложения"(Новосибирск, 2010 г.);

• Семинар по дифференциальным уравнениям БашГУ под руководством д. ф.- м. н. А. В. Жибера и д. ф.- м. н. И. Т. Хабибуллина , 2011 г.;

• Семинар Института Механики УНЦ РАН, 2011 г.;

• VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2011 г.);

• Семинар Института математики с ВЦ РАН, 2011 г.

В 2004 году работа, связанная с результатами первой главы была удостоина дипломом Министерства образования Всероссийского открытого конкурса на лучшую работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в высших учебных заведениях Российской Федерации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Из них - 9 в виде статей [12], [23]-[31], (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК, 5 - в виде тезисов [34]-[38]).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 9 рисунков и 1 таблица. Список литературы состоит из 50 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решены следующие новые задачи.

1. Развит метод разделения переменных в переопределенных дифференциально-функциональных уравнениях.

2. Проведена полная классификация уравнений состояния, для которых существуют решения УГД с линейным полем скоростей.

3. Найдены новые интегралы у подмоделей движения газа с линейным полем скоростей.

4. Изучены движения газа с линейным полем скоростей: разлет частиц газа из точечного источника, схлопывание шара в иголку или диск, выпрямляющийся разлет газа из вихря.

1. Dirichlet G. L. Untersuchunger über eih Problem der Gydrodynamik // J. Reine Angev. Math. 1860. vol. 58. C. 181.

2. Риман В. Сочинения. M.-JL: ГИТТЛ, 1948. 339-366 с.

3. Овсянников JI. В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. 1956. Т. Ill, mi. С. 47-49.

4. Dyson J. F. Dynamics of a spinning gas cloud // J.Math.Mech. 1968. vol. 18, m. pp 91-101.

5. Андреев В. К. К задаче о неустановившемся движении сжимаемой жидкости со свободной границей // ДАН СССР. 1979. Т. 244, №5. С. 1107-1110.

6. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980. 314 с.

7. Немчинов И. В. Разлет трехосного газового эллипсоида в регулярном режиме // ПММ. 1965. Т. 29, №1. С. 134-140.

8. Анисимов С. И., Лысиков Ю. И. О расширении газового облака в вакуум // ПММ. 1970. Т. 34, №5. С. 926-929.

9. Анисимов С. И., Иногамов Н. А. Развитие неустойчивости и потеря симметрии при изэнтропическом сжатии сферической капли // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20, №3. С. 174-176.

10. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Классификация подмоделей с линейным полем скоростей в газовой динамике // СибЖИМ. 2009. Т. 12. Ш. С. 128-136.

11. Богоявленский О.И., Новиков С. П. Однородные модели в общей тео-риии относительности и газовой динамике // УМН. 1976. Т. 31. Вып. 5. С. 33-48.

12. Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1992.

13. Должанский Ф.В., Кляцкий В.И., Обухов A.M., Чусов М.А. Нелинейные системы гидродинамического типа. М.: Наука, 1974.

14. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Пер. с англ./ Под ред. В.В. Румянцева. М.: Мир, 1973.

15. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. 3-е изд. М.: Наука, 1954.

16. Лаврентьева О.М. О движении жидкого эллипсоида // ДАН СССР. 1980. Т. 253. т. С. 828-831.

17. Пухначев В.В. О движении жидкого эллипса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1978. Вып. 33. С. 68-75.

18. Андреев В.К. Нестационарное движение струи газа с линейным полем скоростей // СибЖИМ. 2002. Т. 5. №1. С. 23-35.

19. Овсянников Л. В. Об одном случае неустановившегося движения жидкости со свободной границей // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1972. Вып. 12. С. 124-130.

20. Андреев В.К. Об устойчивости неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей, имеющей формуэллипсоида вражения // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1972. Вып. 12. С. 14-25.

21. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Движение газа с линейным полем скоростей и плотностью, зависящей только от времени // Труды 37-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С. 258-262.

22. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Главная подмодель движения газа с линейным полем скоростей // Труды 38-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 210-213.

23. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Частное решение одной подмодели движения газа с линейным полем скоростей // Труды 39-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2008. С. 175-179.

24. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей, определяемые матрицами ранга 1 // Труды Института механики УНЦ РАН, Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. Вып. 6. С. 137-142.

25. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с нулевой вспомогательной матрицей // Труды 40-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2009. С. 192-196.

26. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей и с нулевой вспомогательной матрицей // Уфимский математический журнал. 2009. Т.1. №3. С. 125-131.

27. Юлмухаметова Ю.В. Классификация подмоделей с линейным полем скоростей в газовой динамике // СибЖИМ. 2009. Т. 12, №4 С. 128-136.

28. Юлмухаметова Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей в вырожденном случае // СибЖИМ. 2011. Т. 14, №2 С. 139-150.

29. Tarasova (Yulmukhametova) Yu.V. Classiffication of submodels with a liner velocity field in gas dynamics // Journal of Applied Industrial Mathematics, Vol. 4. Number 4. p. 570-577.

30. Зельдович Я. Б. Ньютоновское и эйнштейновское движение вещества // Астроном, ж. 41:5, 1964. 873-883.

31. Овсянников JI. В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 336 с.

32. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с классификационной матрицей ранга 1// Тезисы докладов IV Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова, Екатеринбург.: УрО РАН, 2010, С. 59 60.

33. Тарасова (Юлмухаметова) А).5.Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с вырожденной классификационной матрицей // Тезисы докладов V Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова, Екатеринбург.: УрО РАН,2010, с. 78.

34. Юлмухаметова Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей // Сборник тезисов Всероссийской конференции "Нелинейные волны: теория и новые приложения", Новосибирск.: ИГиЛ,2011, 75с.

35. Юлмухаметова Ю.В. Разлет газа с линейным полем скоростей из вихря // Тезисы VI Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", Уфа.: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2011, 167 с.

36. Хабиров C.B. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа.: Гилем, 2003. 192 с.

37. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Высшая школа, 1998. - 320с.

38. Уразбахтина JI.3. Математическое моделирование движения сжимаемой жидкости методами группового анализа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Уфа, УГАТУ. 2009. 144с.

39. Хабиров C.B. Плоские движения газа без расхождений с линейным полем скорорстей // УМЖ 2010. Т.2, №3 С. 107-113.

40. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

41. Гарифуллин А.Р. Решения с линейным полем скоростей регулярной переопределенной подмодели сжимаемой жидкости ранга 2 дефекта 1 // Труды Всероссийской научной конференции "Современные проблемы физики и математики". Т.1. Уфа: Гилем, 2004. С. 32-35.

42. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. 4-е изд., испр. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. - 576 с.

43. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1992. 11 с.

44. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады РАН. 1993. Т.ЗЗЗ, т. С. 702-704.

45. Хабиров С. В. Инвариантные решения уравнений газовой динамики // Вестник УГАТУ. 2001. №1(3). С. 47 52.

46. Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы «Подмодели» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 3, С. 439-444.

47. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983, 280 С.