Винтовая галилеево-инвариантная подмодель газовой динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Уравнения винтовой галилеево-инвариантной подмодели газовой динамики.

§1.1. Уравнения газовой динамики и их инвариантность

§ 1.2. Уравнения подмодели, интегралы.

§ 1.3. Термодинамические движения газа для подмодели

§ 1.4. Автомодельное решение.

§1.5. Решение с линейной функцией тока.

Глава 2. Групповое свойство винтовой галилеево-инвариантной подмодели.

§ 2.1. Вычисление преобразований эквивалентности

§ 2.2. Групповая классификация. Система определяющих уравнений допускаемой алгебры.

§ 2.3. Два-уравнения системы определяющих уравнений

§ 2.4. Один-уравнения и ноль-уравнения системы определяющих уравнений.

§ 2.5. Решение системы определяющих уравнений.

§ 2.6. Таблица групповых расширений.

Глава 3. Инвариантные решения ранга 1 винтовой галилеево-инвариантной подмодели.

§3.1. Одномерные подалгебры алгебр из таблицы групповых расширений

§ 3.2. Интегрируемые случаи (тип I).

§ 3.3. Случаи сведения к одному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка (тип II)

§ 3.4. Случаи сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (тип III).

§ 3.5. Случаи сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка (тип IV)

Глава 4. Физическая интерпретация инвариантного движения

§4.1. Существование непрерывного движения в физическом пространстве.

§ 4.2. Характеристики и уравнения сильных разрывов для винтовой галилеево-инвариантной подмодели.

§ 4.3. Примеры винтовых галилеево-инвариантных течений для решений типа I.

Газовая динамика - наука, изучающая быстропротекающие процессы в сжимаемых средах. Область практических приложений результатов газовой динамики охватывает процессы и явления, происходящие при движении в газе летательных аппаратов, снарядов, ракет, истечении газовых струй, при протекании газа через газовые турбины и компрессоры, при формировании погоды в атмосфере Земли и т.д.

Основной задачей газовой динамики является изучение движения газа как целого и его взаимодействия с другими физическими телами.

В сравнительно недавнее время широкое распространение получило изучение газовой динамики методами группового анализа. Здесь прежде всего следует отметить работы JI.B. Овсянникова [15-25], Н.Х. Ибрагимова [6, 7], а также C.B. Хабирова [32-38], A.A. Черевко [40], А.П. Чупахина [42, 43], C.B. Мелешко [13, 14], Е.В. Мамонтова [11,12] и др.

В работе [15] предлагается программа перечисления подмоделей для уравнений газовой динамики. В основе этой концепции лежит исследование группового свойства и применение алгоритмов группового анализа для дифференциальных уравнений газовой динамики. Рассматривается модель невязкого нетеплопроводного газа, который движется в отсутствие внешних источников энергии и силовых полей.

Уравнения газовой динамики имеют вид: р Du+ Чр = 0,

Dp + pdivu = 0, (1)

Dp + рс2 div й = 0, где й - скорость, р - плотность, р - давление, с2(р,р) = fp,p = f(p,S)-уравнение состояния, S - энтропия, D = ât + й • V.

Отличная от уравнений (1) модель вязкого газа описывается уравнениями Навье-Стокса (см., например [27]). Групповые свойства такой модели рассматривались в работах [2, 26].

Групповое свойство системы дифференциальных уравнений выражается в её инвариантности относительно некоторых преобразований всех участвующих в системе переменных.

Согласно теории [20, 21] для уравнений газовой динамики эти преобразования образуют 11-ти параметрическую локальную группу Ли.

Благодаря теоремам, доказанным С.Ли, о соответствии между группами и алгебрами Ли стало возможным сводить сложные нелинейные алгебраические задачи к линейным. Для решения этой проблемы была создана инфинитезимальная техника исследования [20, 39].

Группе преобразований однозначно (с точностью до изоморфизма) соответствует алгебра Ли дифференциальных (инфинитезимальных) операторов первого порядка. При таком переходе полностью сохраняется алгебраическая структура изучаемых объектов и удается получить инфини-тезимальные критерии инвариантности.

В программе подмодели выдвигаются и реализуются важнейшие алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений на примере уравнений газовой динамики.

Эти задачи и алгоритмы таковы:

1. Отыскание наиболее широкой группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений.

В работе [15] для уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния вычислена 11-ти мерная алгебра Ли и выписан ее базис.

2. Групповая классификация.

Задача групповой классификации заключается в необходимости перечислить спецификации произвольного элемента, для которых происходит расширение допускаемой алгебры. В [15, таб. 1] приведены 13 случаев (N=1,., 13) расширения допускаемой алгебры, указаны спецификации произвольного элемента и выписаны расширяющие операторы. Эти случаи образуют, так называемые, «большие модели» газовой динамики.

Различным приложениям теории Ли, в частности групповой классификации посвящены также работы [3, 13, 14, 25].

3. Построение подмодели.

Для «больших моделей» ставится задача упрощения или их изучение путем перехода к подмоделям. Такое преобразование достигается за счет перехода к подалгебрам соответствующей допускаемой алгебры. Выписываются инварианты подалгебры, через которые определяется вид инвариантного решения. После подстановки этого вида решения в «большую модель» получается факторсистема - система дифференциальных уравнений, содержащая меньшее число переменных. В результате факторсистема называется подмоделью исходной «большой модели».

Число независимых переменных подмодели определяет ее ранг. В случае четырехмерного пространства событий (время и пространственные координаты) ранг подмодели может принимать значения 3, 2,1, 0.

В работе [15] для «большой модели» N=1 из таб. 1 приводятся инвариантные подмодели ранга 3 для уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния.

Также отысканием групповыми методами инвариантных решений в разных конкретных прикладных задачах занимались авторы работ [1, 29, 32-36].

Кроме группового, можно выделить метод поиска частных решений с помощью теории размерностей [9, 28, 41], которая является частным случаем группового анализа.

4. Построение оптимальной системы подалгебр.

Необходимость построения такой системы заключается в том, что подмодели, построенные относительно разных подалгебр, могут оказаться подобными. Тогда соответствующие точные решения переходят друг в друга некоторой заменой переменных. Для получения различных подмоделей необходимо перечислить неподобные подалгебры, т.е. построить оптимальную систему подалгебр соответствующей алгебры.

Общий алгоритм такого построения следующий:

Пусть дана конечномерная алгебра Ли Ь размерности п над полем вещественных чисел с базисом Хх,.,Хп и таблицей коммутаторов вида:

С помощью этой таблицы, путем интегрирования системы дифференциальных уравнений Ли вычисляется присоединенная группа А, внутренних автоморфизмов. Группа А действует на множестве подалгебр алгебры, в результате это множество разбивается на классы сопряженных (подобных) подалгебр. Совокупность представителей этих классов составляют оптимальную систему подалгебр ©ЛХ.

В качестве примера, в статье [15, таб. 6] представлена оптимальная система подалгебр для алгебры Ли Ь]ь в которую кроме всех подалгебр, несопряженных относительно внутренних автоморфизмов, входят также их нормализаторы.

Среди работ, посвященных построению оптимальных систем подалгебр можно выделить [4, 6, 10, 23, 31, 37, 40]. Причем, в [4, 40] получены оптимальные системы для «больших моделей» N=6, 7 из [15, таб. 1].

В работе [37] устанавливается подобие между алгебрами N =6, 12; N=3, 9; N=2, 4, 5, 8, вычисляются оптимальные системы подалгебр для N=10, 13, обсуждается вопрос построения оптимальных систем подалгебр для других алгебр, используя уже построенные оптимальные системы.

Задача выдвинутая в работе [15] об изучении подмоделей уравнений газовой динамики, построенных по подалгебрам из оптимальной системы послужила отправной точкой для исследования проведенного в настоящей диссертации.

Основной целью настоящего исследования является построение и групповой анализ винтовой галилеево-инвариантной подмодели газовой динамики.

При этом используются основные методы и алгоритмы группового анализа: запись подмодели через инварианты допускаемой подалгебры, нахождение преобразований эквивалентности и групповая классификация, получение и классификация инвариантных решений ранга 1 для подмодели, исследование полученного физического движения. Привлекаются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

Научная новизна работы, по мнению автора, проявляется в нахождении нового класса точных решений уравнений газовой динамики. Имеются элементы новизны и в проведении групповой классификации. Получены групповые расширения для системы уравнений, содержащей два произвольных элемента, что существенно усложняет расчет. Найден новый оператор: дг- рГ1 др ранее не встречавшийся в газовой динамике. Рассмотрен вопрос о термодинамических движениях для исследуемой подмодели, выписаны инвариантные решения ранга 1, которые сведены к одному из четырех обобщенных типов. Рассмотрен вопрос о существовании непрерывного физического движения на примере решений первого типа.

Работа носит теоретический характер, позволяя пополнить новой подмоделью «банк данных» инвариантных подмоделей уравнений газовой динамики. Следует заметить, что конечная цель, выдвигаемая программой подмодели: получение полного перечня подмоделей газовой динамики -трудновыполнима, за счет существования целого массива точных решений, который насчитывает тысячи представителей [16]. Тем не менее ведется постоянное исследование в этой области целой научной школой. Качественно исследованы подмодели, описывающие изобарические [19], двумерные [13], винтовые [34], винтовые барохронные [38], вращательные [35], общие барохронные движения газа [41, 42].

Автору данной работы представляется, что имеются возможности применения полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Например, дальнейшее изучение полученных точных решений в плане построения течений, ограниченных стенками, что, в свою очередь, определяет возможную конструкцию аппаратов с внутренними движениями газа.

Также представляет интерес исследование с групповой точки зрения квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка, к которому сводятся многие инвариантные подмодели, в том числе винтовая галилее-во-инвариантная подмодель после введения функции тока.

С практической стороны, полученные явные решения могут использоваться для тестирования программного продукта, создаваемого с целью упрощения расчетов при выполнении задач группового анализа. Также работа может оказаться полезной при математическом моделировании реальных процессов газовой динамики.

Диссертация состоит из введения и 19 параграфов, разбитых на четыре главы.

Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях [45-52]. Из них [49] выполнена в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановки задач и указания о возможных путях решения.

По мере получения результаты докладывались на семинарах по дифференциальным уравнениям в Институте механики УНЦ РАН, а также на конференциях преподавателей Башкирского государственного педагогического института.

Также были сделаны доклады:

1. На межвузовской научно-практической конференции «Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе» (Уфа, 1997 г.).

2. На Всероссийской научной конференции «Физика конденсированного состояния» (Стерлитамак, 1997 г.).

3. На семинаре лаборатории дифференциальных уравнений механики института Механики УНЦ РАН, руководитель профессор C.B. Хабиров (Уфа, 1998 г.).

4. На ученом совете института Механики УНЦ РАН, руководитель член. кор. РАН P.P. Мавлютов (Уфа, 1999 г.).

5. На городском семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета, руководитель профессор В.А. Байков (Уфа, 1999 г.).

6. На городском семинаре института Математики УНЦ РАН, руководитель профессор JI.A. Калякин (Уфа, 1999 г.).

7. На семинаре института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, руководитель академик РАН Л.В. Овсянников (Новосибирск, 2001 г.).

8. На семинаре института Вычислительного моделирования СО РАН, руководитель профессор О.В. Капцов (Красноярск,2001 г.).

ГЛАВА 1

УРАВНЕНИЯ ВИНТОВОЙ ГАЛИЛЕЕВО-ИНВАРИАНТНОЙ ПОДМОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

§ 1.1. Уравнения газовой динамики и их инвариантность.

Исходная система уравнений газовой динамики (в безразмерных переменных) имеет вид: рБй + Ур = О,

Ир + р сИу й = О, (16) р + рс2(1гу й = О, где и- скорость, р - плотность, р - давление, с2(р,р) = /р - квадрат скорости звука, р = /(/7,5)- уравнение состояния, 51- энтропия, £> = ^ +£• V -оператор полного дифференцирования.

Первое из уравнений системы (16) называется уравнением импульсов, второе - уравнением неразрывности, третье - уравнением для давления, которое есть следствие закона сохранения энергии [21].

Часто третье уравнение системы (16) записывается в виде:

5 = 0. (17)

Равносильность устанавливается с помощью равенств:

Ир = /рИр + /да, /р=с2, сИу й = -р-'Ир.

Для скалярной записи система (16) в декартовых координатах х = (х,у,г), й = используется выражение операторов:

У? = (Рх>Ру>Рг)> =их+Уу+ Ч>2.

Таким образом, в декартовых координатах уравнения газовой динамики имеют вид: и, + иих + уиу + \тг + рхр~х = 0, V, + шх + УУ^ + + рур~х = 0, м>, + и\л>х + УМ>у + хтг + ргр 1 = О, (18)

Я + иРх + Щ + + Р(их +Уу+™,) = О, Р, +иРх +УРу+Ъ>Рг +РС2{их +Уу+Ч>;) = 0.

Как известно [15], система (18) с произвольным уравнением состояния допускает 11 -ти параметрическую группу Ли вц преобразований пространства Я9 Ц,х,у,г,и,у,м>,р,р), которой соответствует 11-ти мерная алгебра Ли операторов. Базис алгебры Ли Ьц образуют операторы: = 4, х2 = 4, х3 = 4, х4 = /4 +4,Х5 = /4+4, х6 = '4+4.

Х7 = уд2-гду+\дщ= гдх-хдг+ъди-«4, Х9 = хду-удх+иду(19) Х10 = 4, ^, = Щ + хдх + уду + 74.

Здесь операторы Х1>Х2,Х3,Х10 соответствуют преобразованиям переноса по переменным операторы Х4,Х5,Х6 - галилееву переносу по осям х,у,г, операторы Х7,Х&,Х9соответствуют вращениям в подпространстве (х)х (й), оператор Хп - однородному растяжению по переменным

Уравнения газовой динамики представляют из себя пять квазилинейных дифференциальных уравнений от четырех независимых переменных, непосредственное решение которых является сложной задачей. В связи с этим в работе [15] выдвинута программа подмодели, которая заключается в исследовании более простых систем уравнений, построенных по подалгебрам допускаемой алгебры. Полный список подалгебр для алгебры Ли Ьц в случае произвольного уравнения состояния приведен в работе [15, таб. 6]. В тех случаях, когда подалгебра содержит операторы вращения подмодель удобнее записывать в цилиндрической системе координат (г,хс,г,в). Для этого необходимо представить уравнения газовой динамики в цилиндрических переменных.

Декартовы координаты связаны с цилиндрическими формулами: х = хс,у = гсоъв,г = гъ\х\.в,и = ис,у = уссоэт^м/ = ус зт0 + м>с со$>в, обратная замена такова: г = л/У + z2,6 = arctg—,uc = u,vc = vcos# + wsin#, wc = wcosé? - vsin#. (20) У

Здесь vc- радиальная (в плоскости y,z), wc— окружная компонента вектора скорости.

После соответствующей замены в (18) система уравнений газовой динамики в цилиндрической системе координат перепишется в следующем виде: ис + исисх + vcucr + + P'lPx = 0,

Vet + UcVa + + *>ег~\о +p~lpr = WCV ,

Wc, + UcWcx +Vcyvcr+wcr~lwce +p~Xpe = -yvcver~\ ^

Pt +ucPx +vcpr+wcr~1pe+p(ucx +vc, + r~xvc +r~lwce) = 0, Pt + UcPx + VcPr + Wcr~XPo +P°2 (Ucx + Vcr + + Г~\в) = 0.

Операторы (19) в цилиндрической системе координат записываются следующим образом:

Хх = дх ,Х2 = с,оъвдг -$т.9г~хдв - wcsm9r~xdv +v sin9г'хд , с с с

Хг = ътвдг + cos9г~хдв + wc cos9r~xdv -vccos9r~xdw , X,=Wx +du ,

С с

X5 -t(cos9dr-s\n9r'xde) + (cos0-w/sin0r1)¿?v -(sm9-vts\n9r~x)dw ,

С с

X6 = t( sin<9<?, + cos 9г~хдв) + (sine + wctcos9r~x)^ + (cos<9 - vjtcosffr'1)^, ^2)

X1 = дв,

X%=r únddx + (vesin6> + wccos&)du - xc sm0dr - xccos9r~xde -- (wcx cos 9r~x + и sin &)dv + (xcvc cos Or1 - и cos &)dw , с с

X9 - -rcos9dx - (vc cosd - wc sin9)ди + xc cosOdr -xc sin9r~xde + + (uc cos9 - wcxc sin9r~l)dv + (vcxc sin 9r~x - uc sin 9)dv , Xw=dt,Xn=Wt+xcdXc+rdr.

Замечание. В дальнейшем будут рассматриваться уравнения только в цилиндрической системе координат, поэтому нижний индекс при переменных убирается, кроме того ис =u,vc= V,wc = W.

§ 1.2. Уравнения подмодели, интегралы.

Винтовая галилеево-инвариантная подмодель в газовой динамике строится по двумерной подалгебре 1210 = {х4,х] + Х7] взятой из оптимальной системы подалгебр для алгебры 1п [15, таб. 6]. Здесь г = 2 - размерность, / = 10 - порядковый номер подалгебры в таблице. Базис подалгебры: Х4- оператор галилеева переноса по оси х, Хх- оператор переноса, Х1-оператор вращения вокруг оси х.

Так как подалгебра содержит оператор вращения, то подмодель удобно записывать в цилиндрической системе координат. Базисные операторы задаются формулами (22): Х4 = 1дх + ди, X, =дх,Х1 - дв.

На первом этапе построения подмодели вычисляются инварианты подалгебры Ь210.

Как известно, (см. например, [21]), для вычисления инвариантов /группы С, соответствующей алгебре П с базисом Х1(г = 1,.,г), необходимо решить систему уравнений: Х^ = 0. Тогда существует функциональный базис инвариантов: 1\12,.,Г. Число базисных инвариантов определяется по формуле: э = N-г,, где N - число зависимых и независимых переменных, п - общий ранг матрицы, составленной из координат всех базисных операторов X,.

Для уравнений газовой динамики N=9, {Я9,0,и,р,р)). Для подалгебры Ь2 Ю следует г, = 2. Таким образом, число базисных инвариантов £ = 7. Этот базис таков: г, г, Ю - (х - в), V, Ж, р, р.

На следующем этапе определяется вид инвариантного решения. Для этого последние пять инвариантов назначаются функциями от инвариан-тов-независимых переменных и из этих соотношений определяются искомые функции: и,V,IV,р,р.

Таким образом, вид инвариантного решения, построенного по подалгебре L2 W, следующий:

U = t~l[x-e + v(t,r)], V = u{t,r), W = w(t,r), p = p(t,r), p = p(t,r). (23)

Далее осуществляется подстановка вида решения (23) в систему уравнений газовой динамики (21). Такая подстановка дает следующую систему: ut +uur + p'lpr = r~xw2, V, + uvr = r'xw, wt+uwr=-r~luw, ^24) pt +upr + pur = -pit'1 + ur'1), pt + upr + Aur = -A(t~l + ur'x), где t,r - независимые переменные, u,v,w, p ,p - новые искомые функции, A(p,p) = p с2 - функция, определяемая уравнением состояния.

Согласно уравнению (17) из системы (24) следует уравнение для энтропии:

S,+uSr= 0. (25)

Второе уравнение (24) отщепляется от системы. Его можно решать как линейное уравнение отдельно после нахождения решения оставшихся уравнений (24): у = {\rxw{t,r)dt)\cI(Kr) +^(/(/,г)), (26) dv где I(t,r) -С - интеграл уравнения — = u,r = J(t,C) - обратная функция к функции I,ç>(I) - произвольная функция.

Из третьего уравнения системы (24) следует: rw)t + u(rw)r = 0.

Вместе с уравнением энтропии (25) это дает:

Sr{rw)t-St{rW)r=Q,

D(S,rw) т.е. якобиан —-—— = 0. Отсюда уравнение rw = %(S)~ определяет интеграл Dit,г) факторсистемы, где % - произвольная функция.

После подстановки интеграла в систему (24) и отбрасывания уравнения на функцию vit,г) получим преобразованную факторсистему или винтовую галилеево-инвариантную подмодель газовой динамики: и, + uur + р~х (Jppr + /А) - r~3M(S) = 0> pt + upr + pur + p(t~l + иг~х ) = 0,

27)

S, + uSr = 0, где ju(S) = z2(S) = r2w2. (28)

Здесь равенство (28) задает интеграл закрутки.

Введем функцию тока y/(t,r), удовлетворяющую уравнениям: ptr = a>iy/)y/r,uptr = -co{y/)y/t, где со - произвольная ненулевая функция. Тогда второе уравнение системы (27), записанное в виде: (ptr), +(uptr)r = 0 - обращается в тождество. Из последнего уравнения системы (27) следует интеграл энтропии:

5 = S(W). (29)

Остается первое уравнение, которое после подстановки интегралов закрутки и энтропии становится квазилинейным гиперболическим уравнением второго порядка на функцию тока: wlwu - IVtVrVtr + (tf - cYr)Vrr = wifsS'm'tr - с V1 - //г~3]+ ^Vû/ûT1. (30) Для системы (24) проводится групповая классификация по функции состояния А(р,р).

На первом этапе вычисляются преобразования эквивалентности методом работы [15], т.е. такие преобразования, которые изменяют произвольный элемент, сохраняя дифференциальную структуру самих уравнений.

Записывается условие инвариантности (см. например, [20]), с оператором: гА= ад щБ^со,£>, = <?д + и А + + XV А + рАР + рхдр + {Аррх + где Я = t,r, со = и,у,м>,р,р. где ст - А, 5 = 1,г,и,у,м>,р,р.

Условие инвариантности приводит к переопределенной системе дифференциальных уравнений для нахождения преобразований эквивалентности. Эти преобразования таковы: г' = а{г,и' = ахи,м>' = = а2р,р' = а2а^(р + а3),А' = а2а^А.

На втором этапе осуществляется алгоритм групповой классификации методом работы [15]. Разыскивается оператор вида: координаты которого задаются формулами:

- согБ^/)д = 4 + и А + у А + "Л + РЛ + РАР, где Я = ¿у = и,у,м>,р,р.

Далее записывается условие инвариантности для системы (24) с оператором Х2. Получается переопределенная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка на функцию А(р,р). Используя преобразования эквивалентности, получают наиболее простую аналитическую форму для произвольного элемента . Для каждой спецификации произвольного элемента А(р,р) находится общее решение переопределенной системы. В результате определяются координаты операторов, допускаемых системой (24) при соответствующей функции А. Если Аф 0, то

С/ + С4 + С3,<Г= г{С4 + Х-С, + С0),<Г= "(С0 -^ - С20,Г=

Г= н<С0 -^С, -С20,£'= р{С-2Сх-2С0 -ЗС2/-СзГ'),<Г= /?(С-- 3^ - 5С/ - С3Г*) + ЛГ, + м + , где у/ {Б) - произвольная функция.

Если А = 0 (случай с нулевой скоростью звука), то с/,<г= КС, + х-сии~ "(Со -= "= ЦС0 - ^С,), где - произвольная функция.

Ядро допускаемых алгебр, т.е. подалгебра допускаемая системой (24) при любой функции А, задается операторами: где у/(Б)- произвольная функция.

Результат групповой классификации системы (24) приводится в таб. 1 (см. с. 28 ), где N - номер расширения из [15, таб. 1]. Ядро входит во все алгебры Ли. Последняя строчка соответствует расширению для новой функции А = р, которой нет в [15, таб. 1]. Введены следующие обозначения операторов, встречающихся в таблице:

К(Р) = Р<Р\р)др + = гдг + иди + -2рдр,

Г2 = 1гдг + (г-Ш)ди --Ъгрдр-Ырдр, Уг=д1-Г\рар+рдр).

У системы (27) групповое свойство изменяется. Видно, что в отличие от системы (24) без отщепленного уравнения на V, она не допускает оператор гд1 + гдг. Очевидно, это является следствием того, что использовался интеграл закрутки (28).

Групповое свойство винтовой галилеево-инвариантной подмодели (27) изучается в главе 2.

1. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Тринадцать основных типов инвариантных уравнений газовой динамики. //Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. - М.: Наука, 1989. - С. 37-56.

2. Бытев В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса. //Сб. Численные методы механики сплошной среды. 1972. - №5- С. 13-17.

3. Гладышев М.Т. Групповая классификация дифференциальных уравнений, описывающих одномерное неустановившееся движение жидкости. //Дифференциальные уравнения. 1966. - Т.2. - №5. - С. 695-700.

4. Головин C.B. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропно-го газа. //Препринт. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1996. -31с.

5. Головин C.B. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики. // Прикл. механика и тех. физика. 1997. - Т.38. - №1. - С. 310.

6. Ибрагимов Н.Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1967. - 59 с.

7. Ибрагимов Н.Х. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа. //Прикл. механика и тех. физика. 1966. - №4.-С. 19-22.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматгиз., 1961. - 703 с.

9. Катков В.Л. Точные решения некоторых задач конвекции. //Прикл. мат. и техника. 1968. -Т.32. -№3. - С. 482^86.

10. Лапко Б.В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики. //Динамикасплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. -1973.-Вып. 14.-С. 112-119.

11. Мамонтов Е.В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики. // Прикл. механика и тех. физика. 1999. - Т.40. - №2. - С.50-55.

12. Мамонтов Е.В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Е уравнений газовой динамики. // Прикл. механика и тех. физика. 2001. — Т.42. -№1. - С.33-39.

13. Мелешко С.В. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа. //Прикл. математика и механика. 1994. - Т.58. - Вып.4. - С. 56-62.

14. Мелешко С.В. Групповая классификация уравнений движений газа в постоянном поле сил. //Прикл. механика и тех. физика. 1996. - Т.37. -№1. - С. 42-47.

15. Овсянников Л. В. Программа подмодели. Газовая динамика. //Прикл. математика и механика. 1994. - Т. 58. - Вып. 4. - С. 30-56.

16. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы «подмодели» для уравнений газовой динамики. //Прикл. математика и механика. 1999. - Т.63. - Вып. 3. - С. 355-372.

17. Овсянников Л.В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения. //Доклады РАН. 1995. Т.343. - №2. - С. 156-159.

18. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр. //Доклады РАН. 1993. - Т.ЗЗЗ. - №6. - С. 702-704.

19. Овсянников Л.В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики. //Препринт ИГ и Л. Новосибирск, 1997. - 41 с.

20. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности. //Доклады АН СССР. 1959. - Т. 125. - №3. - С. 492-495.

21. Пухначев В.В. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса в плоском случае. //Прикл. механика и тех. физика. 1960. - №1. - С. 83-90.

22. Рахматуллин Х.А., Сагомонян А.Д., Бунимович А.Н., Зверев H.H. Газовая динамика. М.: Высшая школа, 1965. -722 с.

23. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука, 1977.-438 с.

24. Сухарев Н.Г. Инвариантные решения уравнений, описывающих движения жидкости и газа в длинных трубопроводах. //Доклады АН СССР. -1967.-Т. 175.-№4.-С. 781-784.

25. Федорюк М.Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.-447 с.

26. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук. Думка, 1991.-300 с.

27. Хабиров C.B. Одно инвариантное решение уравнений мелкой воды. //Сб. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1969. - Вып. 3. - С. 8290.

28. Хабиров C.B. О структуре псевдогруппы, допускаемой уравнениями идеальной несжимаемой жидкости. //Сб. Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1967. Вып. 24. - С. 105-114.

29. Хабиров C.B. Подмодель винтовых движений в газовой динамике. //Прикл. математика и механика. 1996. - Т.60. - С. 53-65.

30. Хабиров C.B. Подмодель вращательных движений в газовой динамике. //Прикл. механика и тех. физика. 1998. - Т.39. - №6. - С. 37-45.

31. Хабиров C.B. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики. //Доклады РАН. 1995. - Т.341. -№6. - С. 764-766.

32. Хабиров C.B. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнений газовой динамики. //Препринт института механики УНЦ РАН. -1998.-33с.

33. Хабиров C.B. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени. //Матем. заметки. 1996. -Т.59. -Вып.1. - С. 133-141.

34. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.; Л.: Гостехиздат, - 1940. - 396 с.

35. Черевко A.A. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнениемУсостояния р = f (S)p/3. //Препринт ИГИЛ. Новосибирск, 1996. - 31,с.

36. Черный Г.Г. Плоские установившееся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости (кеплеровы движения). //Доклады РАН. 1997. -Т.352.-№3.-С. 335-338.

37. Чупахин А.П. О барохронных движениях газа. //Доклады РАН. 1997. -Т.352. -№5. - С. 624-626.

38. Чупахин А.П. Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (1, 2) и (1, 1). //Препринт. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН.-1998.-66 с.

39. Шанько Ю.В., Капцов О.В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера. //Дифференциальные уравнения. 1994. - Т.ЗО. - №10. - С. 1814-1819.

40. Мустаев А.Ф. Групповая классификация инвариантной подмодедли винтовых галилеево-инвариантых течений в газовой динамике. //Физика конденсированного состояния: Тез. докл. Всероссийской научной конференции. Стерлитамак, 1997. - С. 98-101.

41. Мустаев А.Ф. Подмодели винтовых галилеево-инвариантных течений в газовой динамике. // Препринт Уфа; БГПИ. - 1999. - 27 с.

42. Мустаев А.Ф. Построение инвариантных решений ранга один для винтовой галилеево-инвариантной подмодели в газовой динамике. //Ученые записки. Сб. Научных трудов БГПИ Уфа. - 1999. - С. 40-46.

43. Мустаев А.Ф., Хабиров C.B. Винтовые движения газа инвариантные относительно равномерного движения системы отсчета. //Прикладная математика и механика. Т.65. - Вып.5, 2001. - С.855-862.

44. Мустаев А.Ф. Об одном частном решении винтовой галилеево-инвариантной подмодели газовой динамики. //Математические модели иметоды их исследования: Труды международной конференции. 16-21 августа 2001 г. Красноярск, 2001. - Т.2. - С. 108-110.