Точные решения уравнений газовой динамики, порожденные проективной симметрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

бесплатнь.' льпп;т»

На правах рукописи

Павленко Андрей Сергеевич

Точные решения уравнений газовой динамики, порожденные проективной симметрией

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2006

Работа выполнена

в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физ.-мат. наук Александр Павлович Чупахин

доктор физ.-мат. наук, профессор

Сергей Сергеевич Титов, кандидат физ.-мат. наук Михаил Владимирович Нещадим

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Защита состоится_апреля 2006 года в_часов

на заседании диссертационного совета Д212.174.02 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан «___* марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета .

доктор физ.-мат. наук СчИчС1'^—_МакаРенк

Д-00& А

Общая характеристика работы

Актуальность Уравнения газовой динамики (УГД) описывают широкий класс физических явлений, обусловленных быстропротекающими процессами в сжимаемых средах. Исследование их решений является сложной математической задачей, которая в настоящее время далека от полного решения. Наряду с установлением наиболее общих свойств решений, важным этапом исследования УГД является отыскание и анализ точных решений. Они описывают физически значимые конкретные явления и являются основой для решения многочисленных задач газовой динамики, имеющих практические приложения.

Цель работы заключается в классификации существенно различных теоретико-групповых решений уравнений двумерных изэнтропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2 и уравнений изобарических движений газа, а также построении новых точных решений уравнений газовой динамики и их физической интерпретации. .

Методы исследования Работа выполнена в соответствии с выдвинутой академиком Л.В. Овсянниковым научно-исследовательской программой ПОДМОДЕЛИ [1], в которой поставлена задача об исчерпании всех возможностей точного упрощения математических моделей за счёт наиболее полного использования заложенных в них свойств симметрии путем формирования и упорядочения банка данных точных решений (подмоделей) исходной модели. В работе использованы алгоритмы и методы группового анализа дифференциальных уравнений [2}, элементы теории гиперболических уравнений, неявных дифференциальных уравнений.

Научная новизна Построены полные списки существенно различных инвариантно-групповых решений уравнений двумерных изэнтропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2 и проведена классификация инвариантных решений больших рангов уравнений изобарических движений газа путем построения оптимальных систем подалгебр ЭЬд и 0^20 • Изучены новые точные решения дифференциальных уравнений плоскопараллельных и пространственных движений политропного газа со специальными показателями адиабаты. Все результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается доказательствами, иллюстрируются примерами точных решений, наглядным графическим материалом.

Теоретическая и практическая ценность работы Результаты выполненных в диссертационной работе исследований вносят вклад в теорию дифференциальных уравнений газовой динамики, пополняя набор известных точных решений. Физическое описание полученных решений дает возможность применять их как для теоретического исследования движений газа, так и в качестве наглядного материала в образовательных программах. Построенные в диссертационной работе оптимальные системы подалгебр позволяют целенаправленно изучать инвариантно-групповые решения не только для уравнений газовой динамики, но и для других моделей механики сплошных сред, допускающих группу преобразований аналогичной структуры.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на научных семинарах Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН под руководством академика Л. В. Овсянникова, чл.корр. РАН В. В. Пухначёва и семинарах Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством чл.корр. РАН И. А. Тайманова, профессоров В. С. Белоносова и М.В. Фокина, а также на следующих научных конференциях по механике и дифференциальным уравнениям:

1. XXXI Региональной молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2000).

2. Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 2000).

3. Молодёжной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001).

4. Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001).

5. Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003).

6. Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004).

7. Всероссийской конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Абрау-Дюрсо, 2004).

Публикации Основные положения диссертации опубликованы в 4 научных статьях [15]-[18].

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Работа изложена на 108 страницах машинописного текста

(включая 9 графических иллюстраций). Перечень литературы содержит 56 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, изложены основные идеи и методы, используемые в диссертации, приведен обзор литературы, дано краткое описание работы.

В первой главе исследуются уравнения двумерных изэнтропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2, которые согласно [3] записываются в виде

£>и + 2сУс = 0, 2Г>с + ссНуи = 0, (1)

где Ю = + и • V, V = (дх, ду), и = (и, у) - вектор скорости, с - скорость звука. Искомые функции с, и, V зависят от времени < и пространственных координат х, у.

Основные результаты главы относятся к построению полного списка существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений рассматриваемых уравнений. Такой список определяется оптимальной системой подалгебр вЬд для допускаемой в этом случае 9-мерной алгебры Ли Ьд. Исследованы инвариантные решения ранга 0 и дана их физическая трактовка. Изложение результатов предваряется необходимыми сведениями из группового анализа дифференциальных уравнений (2) и описанием концепции программы ПОДМОДЕЛИ (1].

Если некоторая математическая модель описывается системой дифференциальных уравнений Е. допускающей алгебру Ли Ь, то каждая пода-легбра К С Ь является потенциальным источником классов инвариантных и частично инвариантных подмоделей Е/К рассматриваемой модели. Фак-торсистема подмодели Е/К получается добавлением к уравнениям Е дополнительных соотношений на инварианты подалгебры К. что приводит к редукциии уравнений Е для инвариантных величин подалгебры К. В результате понижается размерность уравнений и упрощается их интегрирование. Интегрирование факторсистемы Е/Н даёт точные решения уравнений Е, которые называются соответственно инвариантными или частично инвариантными решениями.

Задача о перечислении существенно различных подмоделей уравнений Е сводится к построению оптимальной системы подалгебр вЬ алгебры Ли

Ь — максимального набора подалгебр из Ь такого, что никакие две подалгебры из него не переводятся одна в другую внутренними автоморфизмами присоединенной группы 1пЬ Ь.

Система уравнений (1) допускает девятимерную алгебру Ли Ьд. порождаемую инфинитезимальными операторами

Х\ = дх, Х2 = ду, Х4 = Ьдх + ди, Хъ = Ьду + д„, Хд = хду - удх + ид„ - уди, Хю = дь,

Хц = хдх + уду + сдс + иди + гд„, (2)

Х12 — + 1хдх 4- Ьуду - Ьсдс -I- (а; - Ы)ди + (у -Х13 = 2¿9/ + хдх + уду - сдс - иди - уд„.

Для единообразия представления результатов, в (2) применяется нумерация операторов Х{, использованная в работах [4, 5). Поэтому операторы Хз,Хв,Хт,Хй, содержащие пространственную переменную г, здесь отсутствуют. Группа внутренних автоморфизмов Ьд алгебры Ьд порождается набором однопараметрических групп внутренних автоморфизмов 1ак : Ьд —» Ьд (к е ¿Т = {1,2,4,5,9,10,11,12,13}), действующих на Ьд как линейные преобразования

1ак: Х{-> ехр(акаЛХк)Х{, i€J, (3)

где 0ъАХк)тХ1 = (ааХк)"1-1^,^!, (^Хк)°Х{ = X, и [Х*,Х,] = ХкХ, -Х,Хк — коммутаторы операторов Хк и Х<. Алгебра Ли Ьд имеет разложение Ьд = 3 © N в полупрямую сумму радикала 3 = {Х^, Х^, Х4, Х5, Хд, Хц} и фактора Леви N — {Хю, Х12, Х13}.

На алгебре Ьд действует инволюции £2- Им соответствуют допускаемые системой (1) дискретные преобразования

¡1 : (£, х, с, и) (<-1,1с, х - <и), /2 : (<, и) -♦ -(<, и)

базового пространства 11в(<, х, с, и) зависимых и независимых переменных. Инволюция £1 переводит друг в друга проективный оператор Х12 и оператор переноса по времени Хю- Впервые инволюция £1 была указана в работе [5], где была использована для уменьшения числа представителей оптимальной системы подалгебр ©Ьи-

"Утверждение 1.1. Инволюция е\ содержится в группе внутренних автоморфизмов алгебры Ли Ьд.

Из утверждения 1.1 следует, что преобразование /1 содержится в однопа-раметрической группе непрерывных преобразований, порожденной соответствующим инфинитезимальным оператором алгебры Ьд.

Для построения оптимальной системы подалгебр QLg применяется двух-этапный алгоритм, предложенный в [6]. На первом этапе строится нормализованная оптимальная система подалгебр QN = {Np\p е Р} простой алгебры Ли N. Она состоит из шести представителей

Ni = W, N2 = {Х10}, N3 = {Х13}, N4 = {Х10 + Xi2}, , .

N5 = {X10,X12},Ne = N. U

Для каждого представителя Np находится стабилизатор Sp С А подалгебры Np в Lg.

На втором этапе строятся оптимальные системы подалгебр @sp(JФТР), р € {1,...,6}, в совокупности образующие оптимальную систему подалгебр QLg. Часть подалгебр оптимальной системы QLg объединены в серии подалгебр с вещественными параметрами а, Ь.

Построенная оптимальная система подалгебр QLg приведена к нормализованному виду: вместе с каждой подалгеброй К € QLg в оптимальной системе содержится и её нормализатор Nor А" е QLg. Нормализованная оптимальная система позволяет априори частично указывать симметрии подмоделей в соответствии со следующим свойством [7]: подмодель Е/Н допускает фактор-группу (NoroH)/#. Требование нормализованности оптимальной системы также возникает при построении иерархии подмоделей [7] в связи с применением леммы Ли-Овсянникова-Талышева для сведения двухступенчатых подмоделей к одноступенчатым.

Полученная нормализованная оптимальная система подалгебр QLg приведена в приложении. В ней содержится 179 представителей, каждый из которых является подалгеброй или серией подалгебр.

Трехмерные подалгебры QLg порождают инвариантные подмодели ранга 0. Факторсистемы этих подмоделей являются алгебраическими соотношениями на инвариантные константы, поэтому решения подмоделей ранга 0 были названы «простыми» [8]. Из 49 серий трехмерных подалгебр QLg, только 11 порождают нетривиальные подмодели. Для этих подмоделей получены решения, найдены траектории частиц, дано описание движения газа. На некоторых решениях проинтегрированы уравнения звуковых характеристик и построены характеристические коноиды. Среди исследованных подмоделей выделим следующие.

• Подмодель, описывающую разлет частиц газа от центра по спиральным траекториям. Характеристический коноид, построенный на этом решении, имеет точки самопересечения. Физически этот факт трактуется следующим образом: звуковые возмущения, локализованные в начальный момент времени в вершине коноида, распространяясь по разным направлениям, в некоторый момент времени сходятся в одну точку (рис. 1).

• Барохронные подмодели, описывающие движение частиц газа по прямым с постоянной скоростью: а) сдвиговое движение газа с коллапсом плотности на одномерном многообразии в конечный момент времени; Ь) разлет частиц газа по плоскости от центра. На полученных решениях проинтегрированы уравнения звуковых характеристик.

• Решение, описывающее растекание газового пятна по плоскости: частицы газа двигаются от центра с закруткой на конечный угол.

Вторая глава диссертации посвящена вычислению оптимальной системы подалгебр малых размерностей алгебры Ли ¿207 допускаемой уравнениями изобарических (р = Ро = const) движений газа рис ^

Du = 0, divu = 0,Dp- 0, (5)

и построению инвариантных подмоделей ранга 3. Здесь компоненты вектора скорости и = («1,«21мз) и плотность р являются функциями переменных £,х = (х1,а;2,а;з), D = dt + щдХ1 + U2dxi + издХз — полная производная. Систему (5) необходимо дополнить уравнением состояния, связывающего плотность р и энтропию S :ро = f(p, S).

Уравнения (5) допускают 20-мерную алгебру Ли ¿20 [10], порождаемую инфинитезимальными операторами

Xij = xldxi + u'dui, Gi = tdxi + du., Pi = xldt - u'ujdu,, R = tdt-uidu., T0 = dt, Ti = dXi, i,j = 1,2,3.

Алгебра L^o имеет композиционный ряд идеалов: 0 С зЦ с gU С Ь2о, где зЦ — алгебра вещественных матриц четвертого порядка с нулевым следом и gl4 — полная линейная вещественная алгебра Ли над четырехмерным пространством R4-

Сложность построения OL20 состоит в том, что 15-мерная алгебра sU, образующая фактор Леви алгебры L20, является простой и значит не разложима в прямое произведение подалгебр. Для построения оптимальной системы подалгебр малой размерности алгебры gU привлекаются элементы теории представлений групп (11]. Построение оптимальной системы двумерных подалгебр алгебры gU сведено к построению при помощи алгоритма ]6] оптимальной системы одномерных подалгебр алгебр Ли меньших размерностей, чем размерность алгебры Ли glj.

Внутренние автоморфизмы алгебры £.20 определяются 20-мерными неразреженными матрицами. Для упрощения описания действия внутренних

автоморфизмов на L2o используется матричное представление алгебры L2o-Введем базис, состоящий из таких 5x5 матриц etJ , что все элементы каждой матрицы e,j нулевые, за исключением элемента стоящего на месте (i,j), равного единице (здесь ¿-номер строки, j -номер столбца). Отображение

Xij —+ еу, Pi —» ец, Gj e4j, R —> 644,Г, —► е5„ Т0 —» е54, i,j = 1,2,3

(7)

определяет изоморфизм алгебры L20 в аффинную алгебру aff4, образованную 5x5 матрицами

(у 2). Уе9ц,уеш\ (8)

Согласно следующей лемме, 20-мерные матрицы внутренних автоморфизмов алгебры L20 «сворачиваются» в 5-мерные матрицы, что упрощает использование внутренних автоморфизмов при построении оптимальной системы подалгебр.

Лемма 2.1. Действие группы внутренних автоморфизмов Int £20 hg ал~ гебре L20 определяется линейными преобразованиями

Y' = A~lYA, у' = у А- а {A^YA), (9)

где Y,Y' € gh, А G GL4, GL4 есть группа линейных преобразований четырехмерного вещественного пространства, у, у', а е / = £2o/gU/ элементы матрицы А и вектора а являются параметрами присоединенной группы Int L20 •

Построение оптимальной системы одномерных подалгебр QlgU эквивалентно классификации жордановых форм четырехмерных вещественных матриц с точностью до постоянного множителя. Оптимальная система одномерных подалгебр 91 gU содержит 13 представителей i = 1,..., 13.

Пусть в матричном представлении (7) представителям L\ti соответствуют матрицы Yt. Достраивание QlgU до оптимальной системы одномерных подалгебр BJq производится согласно алгоритму [6]. Для этого необходимо вычислить стабилизаторы Si матриц У* в алгебре L20 и построить оптимальные системы одномерных подалгебр 0д (У; ф I), представители которых в совокупности образуют в1 ¿20- Оптимальная система одномерных подалгебр ö1L20 содержит 27 представителей, включая 13 представителей оптимальной системы подалгебр О1 gl4.

При построении оптимальной системы 02agi4 двумерных абелсвых подалгебр {Y,Z}, где Y,Z е gU, можно считать, что Y е ö'gU, т.е. Y = Yi, i & {1,..., 13}. Для матрицы Yi € gL| введем множество матриц Ly, =

{г € д14 : [У{, г] = О}, коммутирующих с У и = {А 6 : = Стабилизатор (Л) матрицы У^ в алгебре определяется преобразованиями вгЛАУ- Я — £ 6 </¿4, А е Су<.

Лемма 2.2. Ьу{ является алгеброй Ли группы Ли Су,. Стабилизаторы

(Л), образуют присоединенную группу Ъ&Ьу, алгебры Ьух.

При помощи леммы 2.2 разбиение множества абелевых подалгебр {У*, на классы эквивалентности относительно действия стабилизаторов (А) : —> {У\,А~Х2А\ сводится к построению оптимальной системы одномерных подалгебр 01Ьу1 алгебры Ьу{. Размерность алгебры Ьу, меньше gl4 и построение осуществляется применением двухэтапного алгоритма

[6] для разложения алгебры Ьу{ в полупрямую сумму фактора Леви и радикала. Оптимальная система двумерных абелевых подалгебр 02<^Ц содержит 50 представителей.

Одномерные и двумерные подалгебры ©¿го определяют подмодели ранга 3 и ранга 2 соответственно. Построены подмодели ранга 3, порождаемые одномерными подалгебрами 0^Ц, которые содержат новые для газовой динамики операторы Х^, Р¡¡.

Приведем в качестве примера дифференциальные уравнения подмодели, порожденной подалгеброй £«1,6 = {Х21 + <?з}- Инварианты подалгебры: t, хЬ — 1/2, у, V, — г, иЬ — ьг. Подстановка в систему (5) представления решения

и = (гУ + (/)/<, у = У,ю = (\¥-1- г)Ц,

где II, V, \¥ — функции переменных у и = хЬ — у г, дает подмодель, описываемую дифференциальными уравнениями

ви + (у\У - ЩЦ = 0, ВУ = 0, ОЖ = 0, ЦиЯ1+У9)-уУГХ1 + 1 = 0, Ъ = д1 + (и- уЦГЦ + хф)дхх + Уду.

Реализация программы ПОДМОДЕЛИ [1] для уравнений изобарических движений газа предполагает дальнейшее исследование полученных подмоделей: определение начального поля скоростей решений, интегрирование звуковых характеристик, выявление физических особенностей полученного движения газа, «склейка» найденных решений с другими решениями УГД.

В третьей главе диссертации исследуются уравнения вихря Овсянникова. Основной целью исследований является групповая классификация уравнений вихря Овсянникова, изучение решений проективной подмодели и их физическая интерпретация.

Особым вихрем [9) или вихрем Овсянникова (ВО) называется частично инвариантное решение уравнений газовой динамики ранга два дефекта один, построенное по группе вращений Б0(3). Этот класс решений обобщает сферически-симметричные решения в том смысле, что касательная к сферам компонента вектора скорости отлична от нуля.

В сферических координатах г, в, ц> (0 < в < 7г, 0 < < 2-я) с неинвариантной функцией и>, характеризующей угол отклонения касательной компоненты (V, ]У) вектора скорости от меридиана, модулем касательной компоненты Н = (V2 + \№2)1!2 и радиальной составляющей 0 вектора скорости представление решения ВО имеет вид

0 = 0(1,г), Н = Н{1,г),р=р(1,г), 5 = 5(«,г), и = ы(4,г,0,<р). (Ю)

Уравнения вихря Овсянникова распадаются на инвариантную подсистему, описывающую радиальное движение газа:

+ р~1рг = г-1#2, До(гЯ) = 0, £>05 = 0, р = /(р,5), .

кИ0к = /г2 + 1, к = г/Н, к = Цр^Юор + г~2{г2и)г), V

и переопределенную подсистему для неинвариантной функции а/, задающей сферическую составляющую движения. Последняя подсистема проинтегрирована [9] в неявном виде на решениях инвариантной подсистемы. Полное описание движения газа возможно после нахождения решений радиальной подсистемы (11), для чего можно использовать методы группового анализа дифференциальных уравнений. В работах [12, 13] исследованы стационарный и однородный вихрь Овсянникова.

В диссертационной работе проведена групповая классификация инвариантной подсистемы (И) уравнений ВО относительно произвольного элемента — уравнения состояния газа.

Теорема 3.1. Ядро основных алгебр Ли, допускаемых уравнениями (11) при произвольном уравнении состояния, есть двумерная алгебра Ли Ь°, порождаемая операторами

кх = ди К2 = Ьдь + гдг + НдЙ. (12)

При специализации уравнения состояния возможно расширение ядра Ь° до трёх-, четырёх- или пятимерной алгебры Ли. Операторы, дополняющие ядро Ьо до базиса расширенной алгебры, имеют вид:

= Ьдь + 2рдр - идо - Ндй, 1У2 = рдр + рдр, = д„, V = + Ьгдг - Ырдр - Ырдр + (г - 10)д0 ■

Выделено 12 случаев расширения допускаемых алгебр Ли. Расширение ядра Ьо до 5-мерной алгебры Ли происходит в случае политропного газа со специальным показателем адиабаты 7 = 5/3.

Результат групповой классификация инвариантной подсистемы (11) уравнений ВО относительно уравнения состояния газа аналогичен результату ■ групповой классификации УГД, описанному в [1, 2]. На основе проведенной групповой классификации возможно более полное исследование уравнений ВО с использованием свойств симметрии, заложенных в этих уравнениях.

В работе исследуется инвариантная подмодель ранга 1 уравнений вих- ' ря Овсянникова, выделяемая симметрийным оператором, представимым в виде суммы оператора переноса по времени и проективного оператора. Газ предполагается политропным с уравнением состояния р = 5р5//3. Представление решения записывается через инвариантную переменную А, функции от неё и переменную £

- __Ц(Х) + М Й_ Я(А) Д(А) г

Функции и, Н, Я, 5 задают инвариантные компоненты соответствующих физических величин. Инвариантная подсистема (11), после подстановки в нее представления решения (14) сводится к неявному относительно производной обыкновенному дифференциальному уравнению

^(Л', Л, А) = ЗС0/г'8/3 + В( А)Л'2(/12 + I)1/3 + (Л2 + 1)7/3а2/А4 = 0. (15)

Рис.2 Рис.3

сновы теории неявных дифференциальных уравнений изложены в [14]. Все искомые инвариантные функции выражаются через решение Л = /г(А) этого

ключевого уравнения (КУ) и его производные:

^^^^'^^ТРТТ'^50' (16)

Изучены свойства решений КУ. Через каждую точку области П, ограниченной замкнутой дискриминантной кривой дС1, проходят четыре интегральные кривые КУ. В продолженном пространстве решения КУ лежат на четырех листах, составляющих две замкнутые непересекающиеся поверхности Е+,Е~ (рис.2).

Доказано, что на каждой из поверхностей Е+, Е- существует ровно две неправильные особые точки [14] типа «сложенный» фокус. Интегральные кривые «обматывают» каждую поверхность по направлению от одной неправильной особой точки к другой — «разматываясь» вокруг одной точки, а затем «наматываясь» на другую (рис. 3).

Интегральная кривая {Л. = А)} С Н с областью определения [А^ Аг] задаёт движение объёма газа между нестационарным сферическим источником 5х(() и стоком ¿>г(£)

51(0 : г = Ахч/РТТ, : г = Агх/^ТТ,

с расходом С}({) = 4тгЯоа<)/(£2 + 1)- На рассматриваемом решении поверхности 5*1 (¿), 5г(<) являются звуковыми характеристиками УГД. На них ускорение частиц газа бесконечно, а вектор скорости и плотность конечны.

Введем интеграл I = аЦ1 А2^аг^Л(А). Возможны следующие режимы движения частиц газа, стартующих со сферического пояса радиуса г о:

1). При I < 7г/2 частицы за конечное время достигнут стока 5г-

2). При I > 7г/2 частицы не достигнут стока ¿>2, движение не ограничено по времени. Угол раствора сферического пояса, на котором находятся частицы газа, стремится к конечной величине, а радиус со временем бесконечно увеличивается.

Поверхность Е+, на которой лежат интегральные кривые ключевого уравнения (15), образована верхним и нижним листом Е* и Доказав но, что в проективном ВО возможно сопряжение через ударную волну двух решений {к = /н(А)} С Е*, {Л = /12(А)} С Е2 , соответствующих двум уравнениям (15) со специально подобранными параметрами. Движение газа перед и за ударной волной определяется решениями к = /и(А) и Л = к?{\) соответственно (рис.4). На рис.5 изображены траектории частиц в проективном ВО с ударной волной.

Рис.4

Рис.5

В заключении сформулированы основные результаты диссертации:

• Построен полный список существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений уравнений двумерных изэнтропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2, определяемый оптимальной системой подалгебр 9Lg 9-мерной алгебры Ли L9. Найдены все инвариантные решения ранга 0, дано их физическое описание.

• Получена оптимальная система подалгебр 20-мерной алгебры Ли L20, определяющая классификацию подмоделей больших рангов модели изобарических движений газа. Построены подмодели ранга 3, порожденные нсклас-сическими для газовой динамики инфинитезимальными операторами.

• Проведена групповая классификация инвариантной подсистемы уравнений вихря Овсянникова относительно функции уравнения состояния. Исследованы дифференциальные уравнения, описывающие проективный вихрь Овсянникова и дана физическая интерпретация соответствующих движений газа.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А. П. Чупахину за постановку задач и ценные замечания по работе, академику Л. В. Овсянникова за постановку задачи, исследованной в первой главе диссертационной работы, а также к.ф.-м.н. С. В. Головину за обсуждение полученных результатов.

Список литературы

|1J Овсянников JI.B. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58. № 4. С. 30-55.

[2| Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

[3] Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М., Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.

[4] Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропно-го газа, Новосибирск, 1996, Препринт, Ин-т гидродинамики СО РАН, № 5-96.

[5] Черевко A.A. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = f{S)p5/3, Новосибирск, 1996, Препринт, Ин-т гидродинаг мики СО РАН, № 4-96.

|6] Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗЗ, №6. С. 702-704.

[7] Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 1998. Т.8. №6. С.740-742.

/

[8] Овсянников Л. В. О «простых» решениях уравнений динамики политроп-ного газа // ПМТФ. 1999. Т. 40. №2.

[9] Овсянников Л. В. Особый вихрь //ПМТФ 1995. Т. 36, №3. С. 45-52.

[10] Овсянников Л.В. Изобарические движения газа // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. №10. С. 1792 - 1799.

]11] Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения, Айнпггайн, 1997, Т. 1,2.

[12] Чупахин А. П. Инвариантные подмодели особого вихря //Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, Вып. 3. С. 390-405.

[13] Черевко A.A., Чупахин А. П. Однородный особый вихрь // ПМТФ. 2004. Т. 45, №2. С. 75-89.

[14] Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевевск: Ижевская республиканская типография, 2002. 400 С.

•"683 1

С2>Ъ\

Список работ автора по теме диссертации

[15] Павленко А. С. Симметрии и решения двумерных движений политроп-ного газа // Сибирские электронные математические известия. 2005. Т. 2.

С. 291-307. ,

[16] Павленко А. С. Классификация подмоделей изобарических движений газа // Вестник НГУ, серия «Математика, механика, информатика». Т. 4,

№4, 2003, С. 19-32. I

[17] Павленко А. С. Проективная подмодель вихря Овсянникова // ПМТФ. 2005. Т. 46, №4. С. 3-16.

[18] Павленко A.C. Симметрии и простые решения уравнений двумерных изэнтропических движений политропного газа // Тр. межд. конф. «Симметрия и дифференциальные уравнения», Красноярск: ИВМ СО РАН. 2000. С. 166-169.

/

Подписано в печать 16.03.2006. Формат60х84 1/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж 75 экз. Бесплатно. Заказ №178.

Отпечатано на полиграфическом участке Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15.

Введение

1 СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА

1.1 Предварительные сведения. Программа ПОДМОДЕЛИ

1.2 Оптимальная система подалгебр OLg.

1.3 Инвариантные решения ранга нуль.

1.4 Физическая интерпретация нестационарных подмоделей

2 ПОДМОДЕЛИ УРАВНЕНИЙ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА

2.1 Постановка задачи.

2.2 Внутренние автоморфизмы.

2.3 Оптимальная система одномерных подалгебр QlgU

2.4 Оптимальная система одномерных подалгебр 0^

2.5 Оптимальная система двумерных подалгебр Q2gl\.

2.6 Подмодели ранга 3.

3 ПРОЕКТИВНАЯ ПОДМОДЕЛЬ ВИХРЯ ОВСЯННИКОВА

3.1 Уравнения вихря Овсянникова.

3.2 Групповая классификация уравнений ВО.

3.3 Проективная подмодель.

3.4 Свойства решений ключевого уравнения.

3.5 Движение газа.

3.6 Ударная волна.

Многим математическим моделям присущи свойства симметрии, определяемые фактом независимости заложенных в модель законов природы от систем отсчета. Эти свойства симметрии выражаются в инвариантности дифференциальных уравнений модели относительно некоторых преобразований пространства основных величии, образующих группу Ли. Исследования свойств дифференциальных уравнений на основе теоретико-группового подхода, начатые Софусом Ли в XIX веке, были положены в основу группового анализа дифференциальных уравнений [1]— эффективного математического аппарата для изучения широких классов точных решений уравнений механики и физики [2, 3].

Выдвинутая академиком Л.В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [4] содержит концепцию систематического исследования моделей механики сплошных сред методами группового анализа [1]. В этой программе поставлена задача об исчерпании всех возможностей точного упрощения моделей за счёт наиболее полного использования заложенных в них свойств симметрии. Такое упрощение достигается переходом к подмоделям, описывающим классы точных решений, приводящим к понижению размерности задач и делающим более доступным их анализ. Реализация программы ПОДМОДЕЛИ подразумевает не только получение точных решений, но также их «одевание» — физическую интерпретацию полученных решений, выявление их осо бенностей, построение разрывных решений, постановка и решение новых конкретных задач. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Подмодель выделяется из уравнений модели добавлением к ним дополнительных соотношений на инварианты подгруппы. Факторсистема подмодели получается редукцией уравнений модели для инвариантных величин подгруппы, в результате понижается размерность уравнений и упрощается их интегрирование. Выделяется несколько типов подмоделей. В гтваргшнтной подмодели (ИП) все искомые функции выражаются через инварианты, и факторсистема связывает инвариантные переменные, инвариантные функции и их производные. Число инвариантных функций в ИП совпадает с числом функций в исходной системе, а число переменных (ранг ИП) уменьшается. Т1астично инвариант?те подмодели (ЧИП) являются обобщением ИП. В случае ЧИП не хватает инвариантов для выражения через них всех искомых функций. Потому часть искомых функций (называемых "лишними" функциями) нужно положить зависящими от всех переменных. Число лишних функций называется дефектом ЧИП. Факторсистема ЧИП распадается на инвариантную и переопределенную системы на лишние функции. Последняя требует приведения в инволюцию и вместе с условиями совместности образует пассивную подсистему. Соответственно типу подмодели, её решения называются инвариантными или частично инвариантными решениями.

При решении многих задач газовой динамики большую роль играют точные решения [5, 6]. Классическими примерами могут служить волны Римапа в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера. Автомодельное решение было использовано Л.И. Седовым [7] для решения задачи о точечном взрыве в газе. Большой набор точных решений можно найти в монографии [8]. Обширный класс решений, так называемые кратные волны, исследован в [9] на основе метода дифференциальных связей. Отметим, что большинство полученных в этих работах решений имеют групповую природу [1]. Групповые методы широко применяются и при исследовании других моделей механики сплошных сред. Так, для различных задач гидродинамики исследование точных решений проведено в монографии [10]. В работе [И] теоретико-групповой подход применен для построения точных решений уравнений упругости и пластичности.

Реализация программы ПОДМОДЕЛИ позволяет существенно пополнить банк данных точных решений симметрийной природы, являющихся основой решения многочисленных газодинамических задач. Приведём, не претендуя на полноту, некоторые результаты, полученные в рамках программы ПОДМОДЕЛИ для газовой динамики. Групповая классификация УГД относительно функции уравнения состояния проведена в [1], [4]. Перечень регулярных ЧИП для УГД в случае общего уравнения состояния представлен в [12]; их описанию посвящены работы [12], [13], [14]. В работе [15] описаны нерегулярные частично инвариантные нестационарные подмодели УГД ранга 2 дефекта 1, построенные по трехмерным подалгебрам, не содержащим оператора вращения, а также изучена редукция этих подмоделей к инвариантным.

Общие решения, специальные условия па начальные данные, характеристики, симметрии изобарической и барохроипой подмоделей изучены в работах [1G], [17], [18], [19]. Инвариантные подмодели ранга 0 для трехмерных движений политропного газа рассмотрены в [20]. Проведена групповая классификация уравнений двумерных движений газа [21] и уравнений движения газа в постоянном поле сил [22]. Работы [23], [24],

25], [26] посвящены исследованию винтовых и вращательных движений в газовой динамике.

В работе [27] исследована частично инвариантная подмодель ранга 2 дефекта 1, порожденная группой вращения. Эта подмодель получила название особый вихрь, поскольку описываемые сю движения газа обобщают сферически-симметричные движения в том смысле, что термодинамические параметры, радиальная и модуль касательной компоненты вектора скорости сферически-симметричны, а лишней функцией зависящей от всех переменных является угол, образованный проекцией вектора скорости на сферу с её меридианами. В 2004 году на проходившей в Новосибирске Всеросийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» приуроченной к 85-летию академика JI.B. Овсянникова член-корреспондент С. И. Похо-жаев предложил назвать этот класс решений вихрем Овсянникова (ВО). Стационарная и однородная подмодели вихря Овсянникова изучена в работах [28, 29, 30].

Важным этапом реализации программы ПОДМОДЕЛИ является классификация неподобных подмоделей, которые не переводятся друг в друга заменой переменных. Каждая подгруппа допускаемой группы может служить потенциальным источником инвариантных или чаетично-инва-риаптпых подмоделей. Если две подгруппы сопряжены внутренним автоморфизмом допускаемой группы, то соответствующие подмодели подобны: они совпадают с точностью до преобразования переменных, индуцированных этим автоморфизмом. Классификация неподобных подмоделей сводится к алгебраической задаче построения оптимальной системы подалгебр допускаемой алгебры, т.е. построения нолпого списка несонря-жеиных подалгебр.

Индуктивный алгоритм [31] подъема от низших размерностей подалгебр к высшим, использующий композиционный ряд идеалов алгебры Ли, эффективно применяется для построения оптимальных систем подалгебр алгебр Ли, допускаемых уравнениями газовой динамики. При увеличении размерности алгебры число представителей оптимальной системы подалгебр, а значит и неподобных подмоделей, сильно возрастает. Так, для 11-мерной и 13-мерной алгебр Ли, допускаемых УГД для произвольного уравнения состояния и в случае политропного газа соответственно, оптимальные системы подалгебр содержат 223 и 1342 представителя [5], [32J. Для исключительного показателя адиабаты 7 = 5/3 оптимальная система подалгебр насчитывает 1827 представителей [33]. Построение иерархии подмоделей [34], использование теорем о редукции [1, 35], для понижения дефекта ЧИП и леммы ЛОТ (Ли-Овсяшшкова-Талышева) [34] для сведения двухступенчатых подмоделей к одноступенчатым позволяет существенно уменьшить число подмоделей подлежащих исследованию.

Краткий обзор содержания работы. Первая глава диссертации посвящена построению полного списка существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений уравнений двумерных изэн-тропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2, определяемого оптимальной системой подалгебр ОLq допускаемой в данном случае 9-мерпой алгебры Ли Lg, и изучению инвариантных решений ранга 0. Исследования предваряются описанием концепции программы ПОДМОДЕЛИ а также необходимыми сведениями из группового анализа дифференциальных уравнений.

Вычислена таблица коммутаторов алгебры и присоединенная группа IntLg. На алгебре Lg также действует инволюция £Ь переводящая друг в друга проективный оператор и оператор переноса по времени.

Впервые инволюция Е\ была указана в работе [33], где она использовалась для уменьшения числа представителей оптимальной системы подалгебр 14-мерной алгебры Ли [33]. В работе [36] инволюция Е\ применялась при классификации и изучении подмоделей с проективной симметрией неизэнтропических движений нолитроппого газа. В данной работе доказывается утверждение, что инволюция £\ содержится в группе внутренних автоморфизмов алгебры Ли Lg.

Оптимальная система подалгебр 0Lg строится согласно двухэтаппо-му алгоритму [31]. Выбрано разложение алгебры Lg в полупрямую сумму 6-мерного радикала и 3-мерного фактора Леви N, изоморфного простой алгебре sl2- На первом этапе строится оптимальная система QiV, и на втором она «достраивается» до О Lg.

Построенная оптимальная система подалгебр OLg приведена к нормализованному виду: вместе с каждой подалгеброй К £ OLg в оптимальной системе содержится и сё нормализатор Nor if G 0Lg. Свойство нормализованное™ может быть использовано при построении иерархии подмоделей [34]. Для каждой подалгебры оптимальной системы вычислен набор её точечных инвариантов, необходимый для построения подмоделей. Полученная нормализованная оптимальная система подалгебр ©Lg приведена в приложении. В ней содержится 179 представителей, каждый из которых является подалгеброй или серией подалгебр.

Трехмерные подалгебры OLg порождают инвариантные подмодели ранга 0. Факторсистемы этих подмоделей являются алгебраическими соотношениями на инвариантные константы, поэтому решения подмоделей ранга 0 были названы «простыми» [20]. Из 49 серий трехмерных подалгебр 0Lg, только 11 порождают нетривиальные подмодели. Для этих подмоделей получены решения, найдены траектории частиц, дано описание движения газа. На некоторых решениях проинтегрированы уравпения звуковых характеристик и построены характеристические коноиды. Среди исследованных подмоделей выделим следующие.

• Решение, описывающее разлет частиц газа от центра по спиральным траекториям. Характеристический коноид, построенный на этом решении, имеет точки самопересечения. Физически этот факт трактуется следующим образом: звуковые возмущения, локализованные в начальный момент времени в вершине коноида, распространяясь по разным направлениям, в некоторый момент времени сходятся в одну точку.

• Барохроппые подмодели, описывающие движение частиц газа по прямым с постоянной скоростью: а) сдвиговое движение газа с коллапсом плотности па одномерном многообразии в конечный момент времени; Ь) разлет частиц газа по плоскости от центра. На полученных решениях проинтегрированы уравнения звуковых характеристик.

• Решение, описывающее растекание газового пятна по плоскости: частицы газа двигаются от центра с закруткой на конечный угол.

Во второй главе диссертационной работы проведена классификация подмоделей больших рангов модели изобарических движений газа и построены инвариантные подмодели ранга 3. Уравнения, описывающие изобарические движения газа, допускают 20-мерную алгебру Ли L20 |16], порождаемую инфинитезимальными операторами

Xij = xldxj -f uldni, Gi = tdxi + 0ui. Pi = xl0t - ulu3duj,

1)

R = tdt- игдпг, To - dt, Ti = dXl, ij = 1, 2, 3.

Алгебра L20 имеет композиционный ряд идеалов: О С зЦ С gU С Z/20, где SI4 — алгебра вещественных матриц четвертого порядка с нулевым следом и gli — полная линейная вещественная алгебра Ли над четырехмерным пространством. Сложность построения QL20 состоит в том, что 15-мерная алгебра бЦ , образующая фактор Леви алгебры L20, является простой и, значит, пс разложима в прямое произведение подалгебр. Для построения оптимальной системы подалгебр малой размерности алгебры gli привлекаются элементы теории представлений групп [37] и алгоритм [31].

Внутренние автоморфизмы алгебры L2o определяются 20-мерными неразреженными матрицами. Для упрощения описания действия внутренних автоморфизмов па L20 используется матричное представление алгебры L20. Введем базис, состоящий из таких 5x5 матриц с^, что все элементы каждой матрицы е^ нулевые, за исключением элемента стоящего на месте (i,j), равного единице (здесь г'-номер строки, j-номер столбца). Отображение

Хц —> Cij, Pi —» см, Gj —► C/jj, R —► eu,Ti —* T0 —» e5.i, i,j = 1,2,3

2) определяет изоморфизм алгебры L20 в аффинную алгебру аЩ, образованную 5x5 матрицами regLi, yeR\ (3)

Действие группы внутренних автоморфизмов Int aff.^ на алгебре afF^j описывается через 5-мерные матрицы. Построение оптимальной системы одномерных подалгебр О^Ц эквивалентно классификации жордаио-вых форм четырехмерных вещественных матриц с точностью до постоянного множителя. Оптимальная система одномерных подалгебр О1 gU содержит 13 представителей Lij, г = 1,.,13. Достраивание ©^Li до оптимальной системы одномерных подалгебр 620 производится согласно алгоритму [31]. Оптимальная система одномерных подалгебр О1!^ содержит 27 представителей, включая 13 представителей оптимальной системы подалгебр

При построении оптимальной системы 0gLi двумерных абелевых подалгебр {Y,Zj, где Ц G gU, можно считать, что У е O^U, т.е. Y = Y{, i 6 {1,.,13}. Построение оптимальных систем двумерных подалгебр алгебры g^ сведено к построению оптимальных системы одномерных подалгебр ©lLy. алгебры Ли Lyi = {Z G gl4 : [Yi,Z] = 0}. Размерность алгебры Ly. меньше gl4 и построение QlLyi осуществляется применением двухэтагшого алгоритма [31] для разложения алгебры Ly в полупрямую сумму фактора Леви и радикала. Оптимальная система двумерных абелевых подалгебр 02agl4 содержит 50 представителей.

Одномерные и двумерные подалгебры OL20 определяют подмодели ранга 3 и ранга 2 соответственно. Построены подмодели ранга 3, порождаемые одномерными подалгебрами , которые содержат новые для газовой динамики операторы Xij,P{.

В третьей глане диссертации исследуются групповые свойства и решения уравнения вихря Овсянникова.

Проведена групповая классификация инвариантной подсистемы уравнений ВО относительно произвольного элемента — уравнения состояния газа: вычислены преобразования эквивалентности, ядро основных алгебр Ли, перечислены все случаи расширения допускаемых алгебр Ли. Результат групповой классификации инвариантной подсистемы (3.2) уравнений ВО относительно уравнения состояния газа аналогичен результату групповой классификации УГД, описанному в [1, 4]. Максимальное расширение ядра основных алгебр Ли до 5-мерной подалгебры происходит в случае политропного газа со специальным показателем адиабаты 7 = 5/3.

На основе проведенной групповой классификации возможно более полное исследование уравнений ВО с использованием свойств симметрии, заложенных в этих уравнениях. В работе исследуется инвариантная подмодель ранга 1 уравнений вихря Овсянникова, выделяемая симметрийным оператором, представпмым в виде суммы оператора переноса по времени и проективного оператора. Газ предполагается полптропным с уравнением состояния р — Представление решения записывается через инвариантную переменную Л, функции от неё и переменную t

0=uw^JIssmp= i5=5(A)iAe г y/F+i ' sjvТТ" (t2 +1)3/2' v" y/F+1'

4)

Функции U, H, R, S задают инвариантные компоненты соответствующих физических величин. Инвариантная подсистема уравнения ВО, после подстановки в нее представления решения (4), интегрируется и сводится к неявному относительно производной обыкновенному дифференциальному уравнению

F(/>', Л, Л) = ЗС0/*'8/3 + B(X)h'2(h2 + I)1/3 + (h2 + l)7/3ag/A4 = 0, (5) называемого в дальнейшем ключевым уравнением (КУ). Изучены свойства решений КУ. Через каждую точку области О,, ограниченной замкнутой дискриминантной кривой 0VL, проходят четыре интегральные кривые КУ. В пространстве 1-струй решения КУ лежат па четырех листах, составляющих две замкнутые непересекающиеся поверхности ,Е~.

Доказано, что на каждой из поверхностей , Е- существует ровно две неправильные особые точки типа «сложенный» фокус. Интегральные кривые «обматывают» каждую поверхность по направлению от одной неправильной особой точки к другой — «разматываясь» вокруг одной точки, а затем «наматываясь» на другую.

Интегральная кривая {h = h(Л)} С П с областью определения [Ai, А2] задаёт движение объёма газа между нестационарными сферическим источником S\(t) и стоком 5г(0

Si{t) : г = AiV^Tl, S2(t) : г = A2\/*2 + l, с расходом Q(t) — 47гЯоао/(£2 + 1). На рассматриваемом решении поверхности Si(t), S2{t) являются звуковыми характеристиками УГД. На них ускорение частиц газа бесконечно, а вектор скорости и плотность конечны.

Выделены различные режимы движения газа в проективном ВО. Указаны условия, когда движение частиц газа не ограничено по времени.

Поверхность £+, па которой лежат интегральные кривые ключевого уравнения (3.24), образована верхним и нижним листом и Т,^. Доказано, что в проективном ВО возможно сопряжение через ударную волну двух решений {h = h\(X)} С Е*, {h = /^(А)} С ££, соответствующих двум уравнениям (3.24) со специально подобранными параметрами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1° Построен полный список существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений уравнений двумерных изэнтропиче-ских движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2, определяемый оптимальной системой подалгебр ©Lg 9-мерной алгебры Ли Lg. Найдены все инвариантные решения ранга 0, дано их физическое описание.

2° Получена оптимальная система подалгебр 20-мерной алгебры Ли L2о, определяющая классификацию подмоделей больших рангов модели изобарических движений газа. Построены подмодели ранга 3, порожденные неклассическими для газовой динамики инфипитезимальпыми операторами.

3° Проведена групповая классификация инвариантной подсистемы уравнений вихря Овсянникова относительно функции уравнения состояния. Исследованы дифференциальные уравнения, описывающие проективный вихрь Овсянникова и дана физическая интерпретация соответетвующих движений газа.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН под руководством академика Л. В. Овсянникова, чл.корр. РАН В. В. Пухначева и семинарах Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством чл.корр. РАН И. А. Тайманова, профессоров B.C. Белоносова и М.В. Фокина, а также на следующих научных конференциях но механике и дифференциальным уравнениям:

1. XXXI Региональной молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2000),

2. Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 2000),

3. Молодёжной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001),

4. Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001),

5. Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),

6. Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004),

7. Всероссийской конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Абрау-Дюрсо, 2004).

По теме диссертации опубликованы работы [38]-[41].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.П. Чупахпиу за постановку задач и ценные замечания по работе, академику JI.B. Овсянникову за постановку задачи, исследованной в первой главе диссертационной работы, а также к.ф.-м.н. С.В. Головину за обсуждение полученных результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 02-01-00550, 05-01-00080) и Совета поддержки ведущих научных школ (проект № НШ-440.2003.1).

Основные результаты главы 3

Изучена подмодель уравнений вихря Овсянникова, выделяемая проективной симметрией. Интегрирование факторсистемы сведено к решению ключевого уравнения (КУ) — неявного дифференциального уравнения первого порядка. В продолженном пространстве решения КУ лежат на четырех листах, составляющих две замкнутые непересекающиеся поверхности £+ , Исследовано поведение интегральных кривых КУ на этих поверхностях и проведена классификация неправильных особых точек КУ. Дана физическая трактовка газа в проективном ВО, указано условие, когда движение объема газа неограничепо по времени. Построено решение с инвариантной ударной волной.

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

• Построена оптимальная система подалгебр 0Lg 9-мерной алгебры Ли Lg, допускаемая уравнениями двумерных изэитропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2. Для каждого из 179 её представителей вычислен набор точечных инвариантов, необходимый для построения подмоделей, описывающих частные классы точных решений уравнений газовой динамики.

• Найдены инвариантные решения ранга 0, индуцируемые трехмерными подалгебрами оптимальной системы подалгебр ©Lcj, дана их физическая трактовка, на некоторых решениях проинтегрированы уравнения звуковых характеристик. Описано движение газа, имеющее следующую особенность: звуковые возмущения, локализованные в начальный момент времени в точке, распространяясь по разным направлениям, в некоторый момент снова сходятся в точку.

• Построена оптимальная система подалгебр малых размерностей 20-мерной алгебры Ли L20, определяющая классификацию подмоделей больших рангов дифференциальных уравнений изобарических движений газа. Построены подмодели ранга 3 уравнений изобарических движений газа, порождаемые одномерными подалгебрами 6L20, которые содержат новые (неклассические) для газовой динамики операторы.

• Проведена групповая классификация инвариантной подсистемы уравнений вихря Овсянникова. Показано, что её результат аналогичен групповой классификации УГД. Максимальное расширение допускаемой алгебры происходит в случае политропного газа со специальным показателем адиабаты 7 = 5/3.

• Исследована подмодель вихря Овсянникова порождаемая проективной симметрией. Интегрирование факторсистемы подмодели сведено к решению неявного дифференциального уравнения первого порядка. Изучены свойства решений этого уравнения. Показано, что подмодель описывает движение газа с нестационарными источником и стоком. Указано условие, при котором движение газа не ограничено по времени. Рассмотрена задача о движении объема газа между поршнями сферической формы, найдено её решение с инвариантной ударной волной.

1. Овеянников Л.В. Грунновой аналнз днфференцнальных уравнений.М.: Наука, 1978.

2. Ибрагимов Н.Х. Г1)уины преобразований в математической (|)изнке, М., Наука, 1983.

3. Ibrayimov N.II. CRC Handbook of Lie Croup Aualysis of Differeutial E(iuations, Vol. 1, Synunetries, Exact Solutions and Conservation Laws,CRC Press, Boca Raton, 1994.

4. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58. J\^ 4. 30-55.

5. Овсянников Л. В. Лекции но основам газовой дн11алнн<и. AL, Ижевск: Ин-т кокин>ютериых исследованиГ!, 2003.

6. Черный Г. Г. Газовая дииамика. М.:Наука. 1988.

7. Седов Л.И. Методы нодобня и ра^мериости в мехаиике. М.: Наука. 1965. 388 |8| Станюкович К.П. Неустаиовивинюся движения ciuioiiuioii среды.М.:ГЬяука. 1975.

8. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциаль- ных связей и его ириложения в газовой дииамике. Новосиби1)ск: На-ука. 1984.

9. Овсянников л.Б. Нзобарнческне движения га:за // Дп(})(})еренц. уравнения. 1994. Т. 30. МО. 1792 - 1799.

10. Чупахип А.П. О барохронных движениях газа. // Докл РАН. 1997. Т. 352. №5. 624 - 626.

11. Хабиров СВ. Подмодель В1)ан;ательных двнже]нн'1 газа в однород- ном ноле снл // ПММ. 1998. Т. 62. Вын. 2. 263 - 271.

12. Хабиров СВ. Течення газа со сннральнымн н вннтовы\н1 лнннялн! уровня. ПМТФ. 2002. 43(6), 32-38.

13. Овеяпштов Л. В. Особый внхрь //ПМТФ. 1995. Т. 36, J\'^ 3. 45-52.

14. Чупахип А. П. Пнварнантные нодмоде;н1 особого внх])Я //П1)иклад- ная математика и механнка. 2003. Т. 67, Вын.З. 390-405.

15. Барут.А., Рончка P. Тео[)ия представлений rpynu и ее ириложеиия, Айинггайн, 1997, Т. 1,2.

16. Павленко Л. G. Проективная иодмодель вих1)Я Овсяииикова // ПМТФ. 2005. Т. 46, №4. 3-16.

17. Patera J.,Sh.arp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. I. General method andthe Poincare grou.) //.I. Math. Phys. 1975. V. 15. № 8

18. Patera J.,Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus П. Continuous subgroups of the fuudaniental groups of physics. II. The similitude group//J. Math. Phys. 1976. V. 15. X^ 8.

19. Patera J.,Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sittergroups //J. Math. Phys. 1977. V. 18. Л'^ 12.107

20. Фуыич В.И. Подгрунновой апплпз грунп Галнлея, Пуанка1)е н ])е- дукцня нелинейных уравнений, Киев, Наукова ;1^лн<а, 1991.

21. Овсянников Л.В. О евойстве х-автонолни1 // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗО, Л^ 5^. 559-561.

22. Арнольд В. И. Реомет|)нчеекие методы в теории обыкновенных дн(})- ференциальных уравнений. Нжевевек: Ижевекая реенублнканскаятннографня, 2002. 400 G.

23. Курош А.Г. Курс иысшсп алгебры. М., Фнзматгнз, 1963.

24. Чуппхин А. П. Ga^юcoнpяжeниe рен1еннй через ударную волну: иро- дельный скачок унлотнення // НМТФ. 2003. Т. 44, Л'^ 3. 26-40.108