Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ч^ЗГ"

г

[ Черевко Александр Александрович

г

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИХРЯ ОВСЯННИКОВА В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2005

Работа выполнена

в Институте гидродинамики имени М. А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, А. П. Чупахин

доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН В. В. Пухначев доктор физико-математических наук, профессор С. В. Хабиров

Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН

Защита состоится 21 июня 2005 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан__2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета .

доктор физико-математических наук Н.И. Макаренко

Мое-г

тнаьо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Свойство симметрии играет важную роль при изучении дифференциальных уравнений. Адекватным математическим оформлением концепции симметрии является групповой анализ дифференциальных уравнений — раздел математики, лежащий на стыке алгебры и дифференциальных уравнений, изучающий алгебраическую структуру на множестве решений. * Сегодня групповой анализ дифференциальных уравнений является

одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного г вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред

и математической физике, поскольку математические модели в этих науках по своему построению инвариантны относительно некоторой группы симметрии.

Использование свойств симметрии дифференциальных уравнений для получения точных решений является предметом исследований многих российских и зарубежных авторов. Большое число точных решений уравнений газовой динамики приведено в классических монографиях [1], [2]. Основы группового анализа изложены в [3]. Различным его приложениям, поиску и исследованию точных решений на основе понятия симметрии посвящены работы Н.Х.Ибрагимова, В.В.Пухначева, С.В.Хабирова, П.Олвера и других авторов.

В предложенной академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательской программе ПОДМОДЕЛИ [4] описан наиболее общий теоретико-групповой подход к изучению дифференциальных уравнений с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии. В , лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики

им. М. А. Лаврентьева СО РАН программа ПОДМОДЕЛИ применяется к уравнениям газовой динамики. Результаты настоящей диссертации способствуют выполнению этой программы.

Цель работы. Работа посвящена классификации, построению, исследованию и физической трактовке новых точных решений дифференциальных уравнений, возникаюших в газовой динамике.

Основные результаты и их научная новизна. В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (од-, ноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень

|<*6с НАЦИОНАЛЬНАЯ * ЗвИСЛИОТЕХА [

■ ¿"та/1

существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.

Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.

Получены и изучены новые точные решения дифференциальных уравнений газовой динамики. Эти решения порождаются стационарной и однородной подмоделями вихря Овсянникова.

— Для однородной подмодели получены следующие основные результаты

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неоднородного уравнения Шварца.

2. Для частных значений показателя адиабаты, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения в терминах уравнений меньшего порядка.

3. Описано изотермическое движение газа. Показано, что возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий с особенностью плотности.

— Для стационарной подмодели получены следующие основные результаты

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.

2. Обнаружены и изучены все качественно различные режимы течения.

3. Наиболее интересным является режим "тонкого диска". В этом режиме газ при больших значениях радиуса Я занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при Я оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая.

4. Построено решение, описывающее течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой. В таком течении происходит переход с одного режима течения на другой, соответствующий переходу между двумя пересекающимися интегральными кривыми неявного уравнения.

■ • т •

Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами, иллюстрируется наглядным графическим материалом.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты выполненных в диссертационной работе исследований носят теоретический характер. Построенная в работе оптимальная система подалгебр позволяет целенаправленно получать подмодели не только для уравнений газовой динамики, но и для других систем дифференциальных уравнений, допускающих группу преобразований аналогичной структуры. Полученные точные решения существенно обобщают сферически симметричные решения, вносят вклад в теоретическую газовую динамику, и их использование представляется перспективным при моделировании задач астрофизики. Эти решения также могут использоваться в качестве тестовых при конструировании численных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

— на семинаре под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова в ИГиЛ СО РАН,

— на семинаре под руководством академика РАН В.Н.Монахова и чл.-корр. РАН П.И.Плотникова в ИГиЛ СО РАН,

— на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В.Пухначева в ИГиЛ СО РАН,

— на семинаре под руководством академика РАН С.К.Годунова в ИМ СО РАН,

— на семинаре под руководством чл.-корр. РАН И.А.Тайманова в ИМ СО РАН,

— на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ НГУ под руководством профессора А.М.Блохина,

— на семинаре под руководством профессора В.С.Белоносова и профессора М.В.Фокина в ИМ СО РАН,

а также на следующих научных конференциях:

— Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999),

— Всероссийские конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Уфа, 1998; Абрау-Дюрсо, 2004),

— Всероссийская конференция «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003),

— Всероссийская конференция молодых ученых по математическому мо-

делированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),

— Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004),

— результаты работы, касающиеся стационарного вихря Овсянникова, были отмечены на Общем собрании РАН ее президентом академиком Ю.С. Осиповым в числе важнейших научных достижений Российской Академии наук в 2003 году [5].

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [11]—[14]. Работы [13, 14] выполнены в соавторстве с А.П.Чупахи-ным. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 164 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 3 приложений, 2 таблиц, 52 иллюстраций и списка литературы из 44 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, изложены основные идеи и методы, используемые в диссертации, дано краткое описание работы.

Первая глава посвящена построению нормализованной оптимальной системы подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3. Ниже эта оптимальная система обозначается

©¿14-

Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая пространственные движения газа как двухпараметрической сплошной среды в отсутствии диссипации и внешних силовых полей,

р Им + Ур = 0, Т)р 4" р (Цу и = 0, (1)

Ор + А6\уи = 0,

где .О = дь + и • V, V = (дх,ду,дг), и = (и,у,и>) — вектор скорости, р — плотность, р —давление. Все зависимые переменные считаются функциями времени Ь и координат х = (х,у,г). Физический смысл функции А = А(р, р) определяется выражением А = рс2, где с — скорость звука. Известно, что при произвольной функции плотности и давления А система допускает 11-мерную алгебру Ли. В случай одноатомного политропного газа А = (5/3)р и эта алгебра расширяется до 14-мерной алгебры

¿14. Расширение с большей размерностью получается только в случае А = 0, при этом алгебра бесконечномерна [4).

Базисные операторы алгебры Ли Ьы приведены ниже.

= дх, Хг — ду, Хз = дг,

Х4 = Ьдх + ди, = Ьду + дк, Хб = Ьдх + дю, Х7 = уд г - гду + уди, - и)д„, Х8 = гдх - хдг + и>ди - идш, Х9 = хду - удх + ид„ - уди, Хуо — дг,

Хц = Щ + хдх + уду + гдг, Х12 = *20( 4- Ыдх + гуду + Ьгдх+

+(® - Ш)ди + (у- №)д„ + (г - гь))ди, - Ырдр - Ырдр, Хц = Ьд1 - иди ~ - юди, - 3рдр - Ьрдр, Хц = рд„ + рдр.

Алгебре Ьи соответствует группа непрерывных преобразований С?14. Кроме того, система (1) допускает еще три дискретных преобразования

/х : (¿,х) -» (-¿,-х),

к ■ (*,и) -4 (-¿,-и),

13 :1 (1/0. * (х/0, и -4 (х - Ы), р -4 (-¿5р), р -у

Преобразования /1 и 12 допускаются независимо от вида функции А. Преобразование 13, напротив, возникает только в случае А = (5/3)р.

Поскольку известна алгебра Ли операторов ¿14, допускаемая системой дифференциальных уравнений (1), то становится возможным построение подмоделей, т.е. факторсистем (1) по подалгебрам Н из Ьи- Эти подмодели описывают классы точных (инвариантных, частично инвариантных либо дифференциально инвариантных относительно соответствующей подалгебры Н) решений исходной модели. Может случиться, что два класса решений, порожденных двумя подмоделями, построенными относительно разных подалгебр, переводятся друг в друга преобразованиями из (714 и {/1, /2, -^з } • Это возможно в том случае, если эти подалгебры переводятся одна в другую соответствующими внутренними автоморфизмами алгебры Ли Ь\4. Поэтому возникает задача построения системы всех подалгебр, существенно различных с точки зрения действия внутренних автоморфизмов Ьи - Такая система подалгебр называется оптимальной.

Построенная в диссертации оптимальная система ©¿и является нормализованной, т. е. вместе с каждой подалгеброй Н содержит и ее норма-

лизатор в £/14, обозначаемый Мог(Н). Помимо сокращения произвола в построении оптимальной системы, свойство нормализованное™ является очень важным для исследования подмоделей, так как уравнения подмодели, построенной по подалгебре Н, всегда допускают факторалгебру ЛГог(Я)/Я [3]. Следовательно, допускаемая подмоделью группа становится частично известна априори. Известно, что требованию нормализован-ности всегда можно удовлетворить [б].

Основой для построения оптимальной системы вЬн является двух-этапный алгоритм, описанный в [4]. Обозначим через (Хх,..., Х{) подалгебру, порожденную указанными в скобках операторами. Необходимый для применения двухэтапного алгоритма композиционный ряд идеалов для 1/14 выбирается следующим образом :

(XI,..., Хб) С (Дъ . . . ,Хд) С (Хх,..., Хд,Х\о,Хц + Х13, Х\2) С 1/13 С 1/14,

где Газ = (Х\,..., Хю, Хп, Х12,Х13). Подалгебра, стоящая в ряду слева от знака включения, является идеалом в подагебре, стоящей справа.

В соответствии с двухэтаиным алгоритмом, оптимальные системы строятся последовательно для подалгебр

(Хю,Хц,Хх2,Х1з) , (Ху, Хд, Хю, Хц, Х\2, Х13) , 1/13,

на каждом шаге происходит надстраивание оптимальной системы, полученной ранее.

Оператор Хц — цент]) в алгебре, и поэтому он является инвариантом внутренних автоморфизмов. Оптимальная система 01/14, содержащая Хц, строится после построения оптимальной системы для ¿13 путем ее надстраивания.

Полученная оптимальная система подалгебр 01/14 приведена в приложении диссертации, а также опубликована в виде препринта [11]. Всего в ней содержится 1827 представителей. Каждый представитель служит источником класса точных решений симметрийной природы для любой системы дифференциальных уравнений, допускающих алгебру Ли Ьц.

Во второй главе диссертации описаны две программы аналитических вычислений, созданные автором.

Первая программа позволяет получать канонические системы дифференциальных уравнений для инвариантных подмоделей газовой динамики. Необходимость в такой программе возникла в связи с тем, что одной из задач программы ПОДМОДЕЛИ [4] является нахождение инвариантных решений дифференциальных уравнений. Для построения решения, инвариантного относительно некоторой подалгебры, необходимо

пыбрать инварианты этой подалгебры Выбор инвариантов осуществляется с функциональным произволом. Следовательно, система дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет инвариантное решение, может быть получена в различных формах, эквивалентных друг другу. Это затрудняет сравнительный анализ подмоделей. Кроме того, подмоделей довольно много (сотни), и поэтому весьма полезны дополнительные классифицирующие признаки.

В работе [7] доказано существование определенной канонической формы дифференциальных уравнений инвариантных подмоделей уравнений газовой динамики. Эта форма имеет дивергентный вид, и в ней явно выделена операция дифференцирования инвариантных искомых функций вдоль инвариантных траекторий. При использовании описанного в [7] алгоритма построения канонической системы возникает большой объем аналитических выкладок, связанный с громоздкими подстановками, обращением матриц, упрощением возникающих уравнений и т.п. В связи" с этим и написана программа аналитических вычислений, упрощающая всю эту работу. Программа приведена в приложении 2 диссертации, а также опубликована в статье [12].

Вторая программа позволяет вычислять нормализаторы подалгебр в заданной алгебре Ли. Эта программа полезна при построении оптимальной системы подалгебр алгебры Ли, допускаемой системой дифференциальных уравнений. Известно, что уравнения подмодели, построенной по подалгебре Н всегда допускают факторалгебру 7Уог(Я)/Я [3]. Поэтому важно, чтобы оптимальная система была нормализованной, в этом случае априори становится известна подалгебра допускаемой подмоделью алгебры симметрии. Программа приведена в приложении 3 диссертации и использовалась автором при построении оптимальной системы ОЬ^.

Третья глава диссертации состоит из двух частей. В ней получены и изучены новые точные решения дифференциальных уравнений газовой динамики (1). Эти решения порождаются стационарной и однородной подмоделями вихря Овсянникова [8]. Газ считается политропиым, т.е. уравнение состояния имеет вид р = Бр*, где 5 — энтропия. При этом А - ИР-

Вихрь Овсянникова является регулярным частично инвариантным решением ранга 2 и дефекта 1 дифференциальных уравнений газовой динамики и обобщает сферически симметричные решения. Часть искомых функций являются сферически симметричными, т. с. представляют собой инварианты группы вращений в пространстве независимых переменных и скоростей В?6(х,и). К этим функциям относятся радиальная скорость I/ и модуль касательной компоненты скорости Н = |ит|, а также все тер-

модинамические параметры (давление р, плотность р и энтропия 5). В отличие от сферически симметричных решений, вектор скорости и имеет ненулевую касательную компоненту иг, причем угол ее отклонения от меридиана ш не является инвариантом группы вращений и представляет собой функцию всех независимых переменных ы{1,х,у,г) (Рис. 1).

Рис. 1: Разложение вектора скорости частицы

После введения сферических координат (г, в, ip) по формулам

х = г sin в cos <р, у = г sin 0 sin ip, z = r cos lp

где г > О, О<0<7г, 0 < (p < 2n, представление решения для вихря Овсянникова принимает следующий вид:

U = U(t,r), H = H(t,r), p = p(t,r),

p = p(t,r), S = S(t,r), u = w(t,r,e,<p).

Изучение этого решения уравнений газовой динамики было начато в [8], продолжено в [9).

Модель вихря Овсянникова описывается системой уравнений в частных производных, являющейся объединением инвариантной и переопределенной неинвариантной подсистем. Л.В.Овсянниковым в [8] было получено условие совместности последней, и она была проинтегрирована в конечном виде. Поэтому особый интерес представляет собой исследование инвариантной подсистемы, описывающей радиальные движения газа. Для инвариантных подмоделей вихря Овсянникова эта система сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям и допускает полное

аналитическое исследование. В диссертации оно проделано для двух важных подмоделей — однородного и стационарного вихря Овсянникова.

В первой части третьей главы рассмотрена однородная подмодель вихря Овсянникова [13]. Эта подмодель возникает при наличии у модели вихря Овсянникова дополнительной симметрии — растяжения

К = rdr + Udu + Ндн + ардр + (а + 2)рдр , а € К.

В этом случае все инвариантные функции имеют следующее представление:

U = A(t)r, Н = C{t) г, р = raR{t), p=ra+2P(t), c2=jr2B{t).

где с2 = тр/р — квадрат скорости звука. Величины А, В, С, Р, R выражаются через вспомогательную фуикцию h = /i(f) и ее производные по формулам

А = ~\ (in J^L)', В = Д>(1 + h>)-*\h'\W,

С = (1 + h2)~lh', R = Яо(1 + ла)-(«+а)/а|Л'|(«+з)/а ,

где 7 > 1 — показатель адиабаты, В0, Ro > 0 — постоянные, В = R~iP.

Функция h удовлетворяет неоднородному уравнению Шварца

Ы" 3 fh"\2 а \h'\^~l)/2

^ ~h' 2 \И/ / =fti(W' (2)

где fa = 2(а + 2)В0.

Для однородного вихря Овсянникова в диссертации получены следующие результаты:

1. При частных значениях показателя адиабаты 7, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения уравнения (2) в терминах уравнений меньшего порядка.

2. Наиболее подробно исследован случай изотермического газа, для которого 7=1. Показано, что в этом случае возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий, однако плотность газа при этом имеет сингулярность. На Рис. 2 изображена геометрическая конфигурация для двух частиц. Физически определенное решение существует на интервалах времени, не содержащих точек сингулярности.

Рис. 2: Периодическая геометрическая конфигурация траекторий для двух частиц

Во второй части третьей главы рассмотрена стационарная подмодель вихря Овсянникова [14]. Эта подмодель возникает при наличии у модели вихря Овсянникова дополнительной симметрии — переноса по времени.

В этом случае все инвариантные величины не зависят от времени и имеют следующее представление:

г, - 1 + Ь2 _ \Н'\ „ ао а _2 (/I')2

и = а°-ЩГ' р = р07Т+^' Н=я' с = с° ТТл2'

Здесь Л = Л(Я), Я = г/г,, г»,5о,со, р0 — константы, с — скорость звука, с2 = тр/р.

Уравнение для функции получается из интеграла Бернулли

SM)

с2

+-г = Ьо , (3)

7-1

где Ьо = const > 0.

После подстановки в (3) представлений инвариантных величин, для определения функции h получается следующее неявное дифференциальное уравнение:

i^,-=0. (4)

где « = (1 - I)aJ"V (2О-ЧО !,<■>-'>" •

Таким образом, задача исследования стационарного вихря Овсянникова сведена к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения (4). Такое исследование полиостью проведено для случая 7 = 3. В этом случае уравнение (4) принимает вид

>4 - 02о (1 + Ь2)Ь2я + = 0, (5)

где

Уравнение (5) является неявным дифференциальным уравнением (10]. Его решения определены только в части плоскости (Я,/г), ограниченной дискриминантной кривой, задаваемой уравнением

На дискриминантной кривой всегда существуют неправильные особые точки типа "сложенный фокус", координаты которых определимся из уравнения

Ь2(Я2 - 1) - 2П4 = 0 .

Через каждую точку области определения проходят четыре различные интегральные кривые. На Рис. 3 изображено одно из четырех семейств интегральных кривых уравнения (5) на плоскости (Я, Л).

Рис. 3: Семейство интегральных кривых уранения (5)

Для стационарного вихря Овсянникова на основе анализа поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения (5) в диссертации доказаны следующие основные утверждения:

1. Течение газа является каналовым и определено вне шара Я < Яг конечного радиуса Яг, как и в классическом сферически симметричном случае.

2. Обнаружены и изучены все качественно различные режимы течения.

• Если в течении газа радиальная компонента скорости II по модулю меньше скорости звука с, то течение определено только внутри некоторого шара с центром в начале координат. Область, заполненная газом, симметрична относительно плоскости экватора. По мере удаления от начала координат она уплощается, и ее границы приближаются к плоскости экватора. При максимально возможном значении радиуса Я = йКрит газ занимает слой ненулевой толщины. В таком движении возможен двукратный непрерывный переход через скорость звука. При первом переходе течение становится дозвуковым, а при втором — снова сверхзвуковым. Такой режим течения назван автором режимом "толстого диска". На Рис. 4 изображен разрез течения плоскостью, проходящей через полюса.

Рис. 4: Область, заполненная газом

• Если радиальная компонента скорости II по модулю превосходит скорость звука с, то возможны три качественно различных режима течения.

— Режим, аналогичный режиму "толстого диска".

— Режим "асимптотического конуса". В этом режиме газ при движении занимает неограниченную в пространстве область, которая в пределе при Я ->■ оо совпадает с дополнением к конусу. Асимптотики физических величин такие же, как и в сферически симметричном случае.

— Режим "тонкого диска". В этом режиме газ при больших значениях радиуса занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при Я оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая. На Рис. 5 изображено истечение газа из сферического пояса для этого случая.

Рис. 5: Область, заполненная газом

3. Возможно течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой или сферическим поясом. В таком течении происходит переход сверхзвукового режима, для которого |[/| > с, на режим "толстого диска". Это соответствует переходу между двумя пересекающимися интегральными кривыми ключевого уравнения (5), при котором выполняются соотношения Ренкина—Гюгонио на сильном разрыве.

Список литературы

[1] Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука, 1965

[2] Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.:Наука, 1971

[3] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

[4] Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, № 4. С. 30-55.

[5] Осипов Ю. С. Фундаментальная наука как важнеМн^ fic2><ßia3H-ональной инновационной системы

наук. 2004. Т. 74, № 10, С. 870-87

[6] Овсянников Л. В. Об оптимальны: РНБ РуССКИЙ фонд РАН. 1993. Т. 333, № 6. С.702-704

[7] Овсянников Л. В. Каноническая фс 2006-4 зовойдинамики //Новосибирск, i л/^ло

97. 1069 о

[8] Овсянников Л.В. Особый вихрь /Дiivix-*-. IV VO. ±. ОО, IN- Ö, Ъ. 4Ö-Ö2.

[9] Чупахип Л.П. Инвариантные подмодели особого вихря //ITMM. 20Ü3. Т. 67, вып. 3, С. 390-405.

[10] Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000.

Работы автора

[11] Черевко A.A. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р — f{S)p5/3 // Новосибирск, 1996. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 4-96.

[12] Черевко A.A. Построение канонических систем дифференциальных уравнений для инвариантных подмоделей газовой динамики // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 6. С. 92-96.

[13] Черевко A.A., Чупахин А.П. Однородный особый вихрь //ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2, С.75-89

[14] Черевко A.A., Чупахин А.П. Стационарный особый вихрь // Новосибирск, 2005. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 1-05.

Подписано в печать 12.05.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 142

Отпечатано на полиграфическом участке Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева. 630090, Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15

1 Оптимальная система подалгебр

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Алгоритм построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли

2 Программы аналитических вычислений

2.1 Построение канонических систем для инвариантных подмоделей газовой динамики

2.2 Вычисление нормализаторов подалгебр алгебры Ли

3 Инвариантные подмодели вихря Овсянникова (ВО)

3.1 Модель вихря Овсянникова.

3.1.1 Уравнения газовой динамики в сферических координатах

3.1.2 Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение

3.1.3 Полученные результаты.

3.1.4 Исследование радиального движения для инвариантных подмоделей ВО

3.2 Однородный вихрь Овсянникова (ОВО).

3.2.1 Уравнения ОВО в лагранжевых координатах.

• 3.2.2 Интегрирование уравнения Шварца для частных значений j.

3.2.3 Анализ изотермических движений газа

7 = 1).

3.3 Стационарный вихрь Овсянникова (СВО).

3.3.1 Неявные дифференциальные уравнения.

3.3.2 Свойства решения ключевого уравнения для СВО

7 = 3).

3.3.3 Поведение интегральных кривых на бесконечности

3.3.4 Описание течения газа в стационарном ВО

3.3.5 Ударная волна в стационарном вихре Овсянникова

Свойство симметрии играет важную роль при изучении дифференциальных уравнений. Адекватным математическим оформлением концепции симметрии является групповой анализ дифференциальных уравнений — раздел математики, лежащий на стыке алгебры и дифференциальных уравнений, изучающий алгебраическую структуру на множестве решений.

Сегодня групповой анализ дифференциальных уравнений является одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред и математической физике, поскольку математические модели рассматриваемые в этих науках по своему построению инвариантны относительно некоторой группы симметрии.

Использование свойств симметрии дифференциальных уравнений для получения точных решений является предметом исследований многих российских и зарубежных авторов. Большое число точных решений уравнений газовой динамики приведено в классических монографиях [1], [2]. Основы группового анализа изложены в [3]. Различным его приложениям, поиску и исследованию точных решений на основе понятия симметрии посвящены работы Н.Х.Ибрагимова, В.В.Пухначева, С.В.Хабирова, П.Олвера и других авторов.

В предложенной академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательской программе ПОДМОДЕЛИ [4] описан наиболее общий теоретико-групповой подход к изучению дифференциальных уравнений с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии. В лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН программа ПОДМОДЕЛИ применяется к уравнениям газовой динамики. Результаты настоящей диссертации способствуют выполнению этой программы.

Работа посвящена классификации, построению, исследованию и физической трактовке новых точных решений дифференциальных уравнений, возникаюших в газовой динамике.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты.

• В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (одноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.

• Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.

• Получены и изучены новые точные решения дифференциальных уравнений газовой динамики. Эти решения порождаются стационарной и однородной подмоделями вихря Овсянникова.

Для однородной подмодели получены следующие основные результаты.

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неоднородного уравнения Шварца.

2. Для частных значений показателя адиабаты, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения в терминах уравнений меньшего порядка.

3. Описано изотермическое движение газа. Показано, что возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий с особенностью плотности.

Для стационарной подмодели получены следующие основные результаты.

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.

2. Обнаружены и изучены все качественно различные режимы течения.

3. Наиболее интересным является режим "тонкого диска". В этом режиме газ при больших значениях радиуса R занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при R —> оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая.

4. Построено решение, описывающее течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой. В таком течении происходит переход с одного режима течения на другой, соответствующий переходу между двумя пересекающимися интегральными кривыми неявного уравнения.

Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами, иллюстрируется наглядным графическим материалом.

Все результаты являются новыми.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством академика РАН В.Н.Монахова и чл.-корр. РАН П.И.Плотникова в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В.Пухначева в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством академика РАН С.К.Годунова в ИМ СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН И.А.Тайманова в ИМ СО РАН, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ НГУ под руководством профессора А.М.Блохина, на семинаре под руководством профессора В.С.Белоносова и профессора М.В.Фокина в ИМ СО РАН, а также на следующих научных конференциях:

Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999),

Всероссийские конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Уфа, 1998; Абрау-Дюрсо, 2004),

Всероссийская конференция «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003),

Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),

Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004), результаты работы, касающиеся стационарного вихря Овсянникова, были отмечены на Общем собрании РАН ее президентом академиком Ю.С. Осиповым в числе важнейших научных достижений Российской Академии наук в 2003 году [5].

Основные положения диссертации опубликованы в работах [41]-[44]. Работы [43, 44] выполнены в соавторстве с А.П.Чупахиным. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Диссертация объемом 164 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 3 приложений, 2 таблиц, 52 иллюстраций и списка литературы из 44 наименований.

Заключение

В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (одноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.

Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.

Для модели однородного вихря Овсянникова в диссертации получены следующие результаты:

1. При частных значениях показателя адиабаты 7, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения уравнения (1.2) в терминах уравнений меньшего порядка.

2. Наиболее подробно исследован случай изотермического газа, для которого 7 = 1. Показано, что в этом случае возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий, однако плотность газа при этом имеет сингулярность. Физически определенное решение существует на интервалах времени, не содержащих точек сингулярности.

Дано описание движения газа в стационарном вихре Овсянникова. Задача сведена к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.

1. Доказано, что течение газа определено вне шара R < R2 конечного радиуса R2) как и в классическом сферически симметричном случае.

2. Существует несколько качественно различных режимов течения.

Если в течении газа радиальная компонента скорости U по модулю меньше скорости звука с, то течение определено только внутри некоторого шара с центром в начале координат. Область заполненная газом симметрична относительно плоскости экватора. По мере удаления от начала координат она уплощается и ее границы все более приближаются к плоскости экватора. При максимально возможном значении радиуса R = Лкрит газ занимает слой ненулевой толщины. В таком движении возможен двукратный непрерывный переход через скорость звука. При первом переходе течение становится дозвуковым, а при втором снова сверхзвуковым. Такой режим течения назван авторами режимом "толстого диска".

Если радиальная компонента скорости U по модулю превосходит скорость звука с, то возможен режим течения, аналогичный режиму толстого диска". Кроме того, возможны еще два режима течения, в которых область, заполненная газом, не ограничена в пространстве: режимы "асимптотического конуса" и "тонкого диска".

Для первого из них газ при движении занимает область, которая в пределе при больших значениях радиуса совпадает с дополнением к конусу. Асимптотики физических величин такие же, как и в сферически симметричном случае.

Для режима "тонкого диска" газ при больших значениях радиуса занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при jR —> оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая.

Возможно течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой. В таком течении происходит переключение сверхзвукового режима, для которого \U\ > с, на режим "толстого диска".

1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука, 1965

2. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971

3. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

4. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, № 4. С. 30-55.

5. Осипов Ю.С. Фундаментальная наука как важнейший ресурс национальной инновационной системы // Вестник Российской Академии наук. 2004. Т. 74, № 10, С. 870-873.

6. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады РАН. 1993. Т. 333, № 6. С.702-704.

7. Овсянников Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск, 1997. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 3-97.

8. Овсянников Л.В. Особый вихрь //ПМТФ. 1995. Т. 36, № 3, С. 45-52.

9. Чупахин А.П. Инвариантные подмодели особого вихря //ПММ. 2003. Т. 67, вып. 3, С. 390-405.

10. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000.

11. Patera J.,Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups //J. Math. Phys. 1977. V. 18. т 12 P. 2259-2288.

12. Джекобсон H. Алгебры Ли //М.:Мир, 1964.

13. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае по-литропного газа. // Новосибирск, 1996. Препринт/Ин-т гидродинамики. Сиб. отделение РАН. № 5-96.

14. Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Уфа. 1998. (Препр. / УНЦ РАН. Ин-т механики)

15. Лапко Б. В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики. // ДСС. 1973. Вып. 14. С. 112-119.

16. Gagnon L. Continuous subgroups of the Galilei and Galilei-similitude groups. // Canad. J. of Phys. 1989. V. 67. №1.

17. Фущич В.И., Баранник И.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук, думка. 1991. 304 с.

18. Ибрагимов Н.Х. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа. //ПМТФ. 1966. т. С. 19-22.

19. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1992

20. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

21. Чупахин А. П. Небарохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // Новосибирск, 1999 (Препр./ Институт гидродинамики СО РАН; №1-99).

22. Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 1998. Т. 361, №. С. 740 -742.

23. Чупахин А. П. Гидродинамика с квадратичным давлением // ПМТФ. 2002. Т. 43, т. С. 27 36, №2. С. 227 - 28.

24. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.

25. Rogers С., Ames W. Nonlinear boundary value problems in science and engineering. Academic Press. 1989.

26. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1941.

27. Зеликин М.М. Однородные пространства и уравнение Рикатти в вариационном исчислении. М.: Факториал, 1998.

28. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

29. Овсянников Л. В. О периодических движениях газа // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 4. С. 567 577.

30. Овсянников JI.B. О концепции "особого вихря". Тезисы Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", 10-14 мая 2004г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с. 103

31. Чупахин А.П. Самосопряжение решений через ударную волну //ПМТФ. 2003, Т.44, №3, с.26-40

32. Павленко А.С. Проективная подмодель особого вихря. Тезисы Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", 10-14 мая 2004г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с.107

33. Павленко А. С. Проективная подмодель вихря Овсянникова //ПМТФ. 2005, Т.46, №4, с.3-16

34. Головин С.В. "Особый вихрь" в магнитогидродинамике. Тезисы Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", 10-14 мая 2004г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с. 48-49

35. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999

36. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970

37. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961

38. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990

39. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988

40. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 19861. Работы автора

41. Черевко А.А. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = f(S)p5//3 // Новосибирск, 1996. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 4-96.

42. Черевко А.А. Построение канонических систем дифференциальных уравнений для инвариантных подмоделей газовой динамики // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 6. С. 92-96.

43. Черевко А.А., Чупахин А.П. Однородный особый вихрь //ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2, С.75-89

44. Черевко А.А., Чупахин А.П. Стационарный особый вихрь // Новосибирск, 2005. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 1-05.