Точные решения типа вихря Овсянникова дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии гравитации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Паршин Даниил Васильевич

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ТИПА ВИХРЯ ОВСЯННИКОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРИ НАЛИЧИИ ГРАВИТАЦИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1«¡ $£3 2015

Иовосибирск-2014

005557117

005557117

На правах рукописи

Паршин Даниил Васильевич

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ТИПА ВИХРЯ ОВСЯННИКОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРИ НАЛИЧИИ ГРАВИТАЦИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-2014

Работа выполнена в Федеральном госудаственном бюджетном учреждении науки Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук. Научный руководитель:

Чупахин Александр Павлович, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Ревуженко Александр Филиппович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. H.A. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук, лаборатория механики деформируемого твердого тела и сыпучих сред, заведующий лабораторией Семенко Евгений Вениаминович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Новосибирский государственный педагогический университет", Институт физико-математического и информационно-экономического образования, заведующий кафедрой математического анализа Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых"

Защита состоится "22"января 2015 г. в 15-00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru.

Автореферат разослан " ffl" "декабря 2014 года. Ученый секретарь диссертационного совета

к. ф.-м. н.

Мирошниченко Валерий J? Леонидович

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Свойство симметрии присуще многим моделям механики сплошной среды и математической физики. Оно являются их важной характеристикой. Эффективным подходом к аналитическому исследованию этого свойства с математической точки зрения является применение методов группового анализа дифференциальных уравнений1. Групповой анализ является действенным инструментом построения и исследования точных решений уравнений газовой динамики (УГД). В классических монографиях Л.И. Седова, К.П. Станюковича рассмотрены отдельные точные решения уравнений газовой динамики в том числе, обладающие определенными симметриями, однако получение подобных решений не было систематизировано. Академиком Л.В. Овсянниковым был предложен принципиально новый подход к исследованию симметрийных решений уравнений газовой динамики. В программе ПОДМОДЕЛИ 2 сформулирована концепция наиболее общего теоретико-группового подхода к изучению дифференциальных уравнений с целью эффективного использования заложенных в них свойств симметрии.

Точные решения, обусловленные теоретико-групповыми свойствами уравнений газовой динамики, описывают конкретные физические процессы и являются основой для решения важных практических задач газовой динамики. Включение в дифференциальные уравнения газовой динамики потенциальных сил, таких как сила гравитации, позволяет расширить класс исследуемых явлений и описать новые классы точных решений. Наличие дополнительного слагаемого, отвечающего гравитационному потенциалу, в системе дифференциальных уравнений газовой динамики существенно усложняет математическое исследование задачи.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является аналитическое исследование точных решений дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающих движения политропного газа в поле внешних потенциальных сил. Анализируются следующие свойства таких решений: ограниченность, поведение на границе области существования, асимптотики на бесконечности.

В диссертационной работе решаются три задачи, соответствующие трем газодинамическим моделям движения политропного газа с различными представлениями внешней гравитационной силы. В первой модели

'Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

2Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58. № 4. С. 30-55.

гравитационный потенциал определяет центральную силу, во второй исследована модель самогравитирующего газа. Для третьей модели потенциал задает поле силы тяжести с постоянным ускорением.

Научная новизна полученных результатов. Большинство известных аналитических результатов в этой области, как правило, относится к одномерным моделям. В диссертационной работе получены и проанализированы новые многомерные точные решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии сил гравитации.

Практическая значимость. Большая часть результатов, полученных в диссертации являются аналитическими и потому имеют общий характер. Это делает возможным их применение как для численных расчетов задач многомерной газовой динамики с учетом внешних потенциальных сил, так и для построения более сложных моделей, например с дополнительным учетом электромагнитного взаимодействия или излучения.

В целом, результаты диссертационной работы расширяют класс исследованных точных решений системы дифференциальных уравнений газовой динамики.

Основные положения выносимые на защиту. Диссертант защищает:

1. Построение и аналитическое исследование точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающего движения газа типа стационарного вихря Овсянникова с центральной гравитационной силой.

2. Нахождение и исследование точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающего движения самогравитирующего газа в рамках модели стационарного вихря Овсянникова.

3. Поиск и аналитическое исследование нового точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии внешней гравитационной силы с постоянным ускорением.

Методы исследования. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе неявных, теории гиперболических дифференциальных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, элементы линейной алгебры, теории особенностей.

Степень достоверности и апробация результатов работы. Основные результаты, полученные в работе докладывались и обсуждались на конференциях: Международная конференция " Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" 2005, ИГиЛ СО РАН, г. Новосибирск;

XXXVII и XXXVIII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной механики" 2006 и 2007 годы, ИММ УрО РАН, г. Екатеринбург; VI Всероссийская конференция "Аналитические методы в газовой динамике" САМГАД 2006, г. Санкт-Петербург; Международная конференция ICMAR 2007, ИТПМ СО РАН, г. Новосибирск; Всероссийская конфенеция "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва" 2007, ИГиЛ СО РАН, г. Новосибирск; Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" 2007, НГУ, г. Новосибирск; Всероссийская конференция "Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение" 2009, ИГиЛ СО РАН, г. Новосибирск; Молодежная международная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных задач" 2011, ИВМ и МГ СО РАН, г. Новосибирск; IX Всероссийская конференция молодых ученых "Теория, эксперимент и новые технологии" 2012, ИТПМ, г. Новосибирск; "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" 2012, ИВМ и МГ СО РАН, г. Новосибирск; Всероссийская научная школа молодых ученых "Волны и вихри в сложных средах" 2012, ИПМех РАН, г. Москва; Международная конференция по математической теории управления и механике, 2013 ВлГУ, г. Суздаль; а также на семинарах под руководством академиков Овсянникова Л.В. в ИГиЛ СО РАН, Тайманова И.А. в ИМ СО РАН, члена корреспондента РАН Плотникова П.И. ИГиЛ СО РАН, профессора Белоносова B.C. и профессора Демиденко Г.В. в ИМ СО РАН.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 3 статьях (все в журналах из перечня ВАК).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 98 страниц, включая 25 иллюстраций. Список литературы включает в себя 41 наименование на 5 страницах.

Личный вклад автора. Постановка задачи в [3] принадлежит Чу-пахину А.П., а в [1,2] Чупахину А.П. и Черевко А.А. Подготовка публикаций [1 — 3] по теме диссертационной работы выполнялась авторами совместно и их вклад равновелик. Диссертантом были исследованы решения дифференциальных уравнений в [1 — 3]. Результаты численных расчетов, а также графические данные получены лично автором. Все сформулированные в диссертационной работе результаты получены диссертантом.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражена актуальность научной работы, практическая значимость полученных результатов и приведены научные положения, выносимые на защиту; дан краткий обзор работ и методов исследований по теме диссертации.

В первой главе приводится краткое описание основных математических методов, используемых автором в диссертационной работе. Глава состоит из трех параграфов.

Первый параграф посвящен краткому обзору теории группового анализа дифференциальных уравнений.

Основы этой теории были заложены норвежским математиком Со-фусом Ли более века назад. Теория и ее приложения были существенно развиты в работах академика Л.В. Овсянникова и его школы (Овсянников, 1978,1994; Ибрагимов, 1983,1989). Групповой анализ позволяет в полном объеме использовать свойства симметрии для построения классов частных решений уравнений путем упрощения исходных уравнений за счет понижения размерности числа независимых переменных и их редукции. Система уравнений газовой динамики для политропного газа с

уравнением состояния р = Бр"1 имеет вид:

1 л

Р

< Р1 + и ■ ур + р<3гуи = 0, ^

„ pt + и • ур + 7рс1м1 = О,

где и,р,р,Я- скорость газа, его плотность, давление и энтропия; показатель политропы 7 > 1, функция Ф- потенциал внешних сил. Этот потенциал может быть либо задан явно, либо к системе (1) добавляется уравнение для его определения.

Групповым свойством системы (1) называется ее свойство оставаться неизменной (инвариантной) при некоторых преобразованиях группы Ли в всех участвующих в (1) переменных.

Если при таком преобразовании система (1) не меняется, то говорят, что она допускает непрерывную группу Ли С? преобразований. Задача описания группового свойства системы (1) состоит в отыскании всех локальных групп Ли С преобразований пространства К10. В случае политропного газа, р — Бр~' с произвольным показателем 7, максимальная допускаемая

(1) группа Ли G13 имеет вид

Xi = dXi,x3+i=ddXi+-dUi,x6+i =£^(xjdx,+uWuk),x10 = dt,

Xu = tdt+x*dxj ,Xi2 ==, tdt-udu—vdv—wdw—3pdp-5pdp,Xi3 = рдр+рдр,

е^-альтеринирующий тензор, i,j,k e {1,2,3}. В рамках программы ПОДМОДЕЛИ, выдвинутой Л.В. Овсянниковым (1992,1994), найдены и исследованы широкие классы инвариантных и частично инвариантных физически содержательных решений системы (1) при Ф = 0. Решения уравнений газовой динамики (1) при наличии гравитации систематически не исследовались, в диссертационной работе рассматриваются такие решения для гравитационного потенциала различного вида.

Во втором параграфе дается краткое описание решения системы дифференциальных уравнений типа вихря Овсянникова. Система уравнений газовой динамики (1) при Ф = О допускает группу вращений 50(3). Класс точных решений частично инвариантных относительно группы 50(3)-в пространстве Е3(х) х R3(u) получил название особого вихря 3 или вихря Овсянникова. Разложение вектора скорости в сферической'системе координат для этого решения имеет вид: и = £/(£, r)un + uT,r = | где и„-единичный вектор нормали к сфере г = const, ii-г-проекция вектора скорости на касательную плоскость к сфере, U- модуль радиальной компоненты вектора скорости, Н = |ит| -модуль касательной компоненты. На рисунке 1 представлено это разложение.

координат.

3Овсянников Л.В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т.36. №3. с. 45-52.

Угол и определяет отклонение вектора ит от меридиана <р = const. Представление решения имеет вид U = U(t,r),H = H(t,r),p = p{t,r),p = p{t,r), функция w = u(t, r, <p, 0) не является инвариантной величиной и зависит не только от г и t, но и от угловых переменных ip, в. Это частично инвариантное решение ранга 2 и дефекта 1.

Согласно общей теории частично инвариантных решений дифференциальных уравнений (Овсянников, 1978) после подстановки этого представления в систему (1) при Ф = 0 и ряда преобразований, она распадается на две подсистемы. Инвариантная подсистема имеет вид:

DoU + p-'pr = r~lH2, D0(rH) = 0, Do(S) = 0, (2)

где D0 = dt + Udr■ Переопределенная система для функции ы состоит из двух уравнений:

к sin 6Dqu> + sin в cos ùjoj$ + sin иш^, = — cos 9 sin w,

(3)

sin 0 sin UJIOQ — COS LOüJp = eos f) eos ш + h sin 0,

где к = г/H,h = fc(/?_1£>oP + r-1(r2C/)r). Овсянников нашел3 условие совместности системы (3)

kDoh = h2 + 1 (4)

и проинтегрировал систему (3) при условии (4) в конечном виде. Тем самым, при изучении различных моделей вихря Овсянникова анализу подлежит инвариантная система (2),(4).

Исследованию различных моделей вихря Овсянникова посвящены работы A.A. Черевко и А.П. Чупахина (2003-2005), C.B. Головина (20022009), A.C. Павленко (2004). Вихрь Овсянникова описывает завихренное истечение газа с поверхности сферического источника. Истечение газа происходит, как правило, с некоторого пояса на поверхности сферы.

L.

Рис. 2. Движение газа, описываемое решением УГД типа вихря Овсянникова.

В пространстве ВО является каналовым течением: поток газа ограничен стенками с определенными значениями давления.

Третий параграф посвящен обзору теории неявных дифференциальных уравнений (В.И. Арнольд 2000, A.A. Давыдов 1985, А.О. Ремизов 2002). Дифференциальное уравнение

F{x,y,p) = 0, (5)

где р = dy/dx называется неявным дифференциальным уравнением относительно производной р. Оно задает в пространстве 1-струй R3(x,y,p) поверхность М, на которой определено поле направлений. Вектор приложенный в некоторой точке пространства струй, имеет координаты

■ (dx(0,dy(i),dz(£)) Плоскость dy = pdx, построенная в точке (х,у,р) этого пространства, называется контактной плоскостью.

Предположим, что поверхность М гладкая и не имеет самопересечений. Рассмотрим какую-либо точку этой поверхности и предположим, что в этой точке касательная плоскость к поверхности не совпадает с контактной плоскостью. Тогда эти плоскости пересекаются по прямой. Это верно для касательных и контактных плоскостей во всех близких точках поверхности. Таким образом, в окрестности рассматриваемой точки возникает поле направлений на поверхности (5), определенное бескоординатным образом.

Интегральными кривыми уравнения (5) называются интегральные кривые полученного поля направлений на поверхности М. Решить или исследовать уравнение (5) значит найти или исследовать эти кривые. Пучком интегральных кривых уравнения (5) в точке {хо,уо) области определения называется набор всех интегральных кривых (5), проекции которых на плоскость R2(x,y) проходят через точку (х0,у0).

Точка М называется регулярной, если касательная плоскость к поверхности в этой точке не вертикальна.

Особые точки - это точки поверхности М, в которых не выполнено условие теоремы о неявной функции dF/dp ф 0, множество всех особых точек уравнения (5) определяется уравнениями:

F(x,y,p) = 0,Fp(x,y,p) = 0 (6)

в пространстве R3(a;, у,р)-

Криминантой К уравнения (5) называется кривая, образуемая множеством точек, удовлетворяющих (6). Проекция криминанты на плоскость

К2(х, у) называется дискриминантной кривой Ш> уравнения (5). Крими-нанта и дискриминантная кривая могут состоять из нескольких компонент.

Особая точка уравнения (5) называется регулярной, если

Теорема (Чибрарио). Пусть (Хо,уо,ро) — регулярная особая точка уравнения,

причем в этой точке Ррр ф 0. Тогда существует диффеоморфизм окрестности точки (хо,Уо) плоскости (х,у) на окрестность точки (0,0) плоскости (Х,У), приводящий уравнение (1) к виду Р2 = X, где Р =

Регулярная точка дискриминатной кривой D называется точкой ветвления или точкой остановки, если из нее выходят либо в нее входят две интегральные кривые соответственно.

Поле направлений на поверхности М в случае общего положения имеет в соотвествующей точке К такую же особенность, что и поле направлений векторного поля на плоскости в окрестности обыкновенной особой точки типа седла, фокуса или узла. Поэтому возникающие здесь особые точки неявных дифференциальных уравнений называются сложенным седлом, фокусом или узлом. Они получаются из обычных седла, фокуса и узла с помощью ототбражения складывания вдоль криминан-ты К. Если особая точка является не регулярной, то для определения ее типа необходимо применение специальных методов (A.B. Пхакадзе, A.A. Шестаков, 1959). Окончательная классификаций в этом вопросе принадлежит A.A. Давыдову (1985). ,

Под сепаратрисой понимается кривая поля направлений, задаваемого (5), любая окрестность которой содержит элементы кривых различных типов из поля направлений.

Для анализа числа решений дифференциальных уравнений специального вида в работе используется

Лемма 1.1 (правило Декарта). Количество'положительных корней многочлена F(p) = аоРп + aip"-1 + ... + ап либо совпадает с числом перемен знаков в последовательности его коэффициентов при степенях: ао, ai,..., ап, либо на четное число меньше.

Областью fly (в дальнейшем просто П) для уравнения (5) будем обозначать множество точек {(х,у) 6 R2,F(x,y,y ) = 0}.'

Вторая глава посвящена исследованию решения дифференциаль-

dY/dX.

ных уравнений газовой динамики типа стационарного вихря Овсянникова с центральной гравитационной силой. Она состоит из четырех параграфов.

В параграфе 1 приведены дифференциальные уравнения, описывающие движения политропного газа в поле массивного притягивающего центра:

Ор + /зсНуи = О,

£>и+ -Ур= Ф, Р

Бр + 7рсИуи = О, Р = 6>7.

Гравитационный потенциал в данном случае имеет вид: Ф Система (7) допускает группу Ли С4 с алгеброй Ли

Для системы (7) построено частично инвариантное решение относительно С4 (8)

- стационарный вихрь Овсянникова. Согласно общей теории на этом решении система (7) сводится к инвариантной подсистеме и системе (3) для неинвариантнон функции. Инвариантная подсистема имеет вид

■ " ии'+р-1р =г~1Н2 ~г~2СМ, I/ {гН)' = О, С/51' = О, < Шкг = }12 + 1, (9)

к = г/Н,

1г = к(и (1п р)'+г~2(г2и)'У где штрих означает производную по г.

Интегрирование (9) дает представление части инвариантных функций в

= —хСМ/г3.

(8)

решении:

U = = a0/r,p = p0\hr\y/T+h?,p = So (p0\hr\^/l + h?y .

(Ю)

Функция h — h(r) является своеобразным "потенциалом"решения. Параметр а0 = const в (10) характеризует закрутку газа.

Первое уравнение (9) интегрируется, имеет место инвариантный интеграл Бернулли:

- а20 , 2с2 2GM

U2 + -% +-г--= ь0.

г2 7 — 1 г

В параграфе 2 после замены R = r|b0|/ao система уравнений (9),(10) сводится (подстановкой представления решения в интеграл Бернулли) к одному неявному дифференциальному уравнению для функции h = h(R):

IM7+1 - ßoQi1 + h2)b~1)/2h2R + + fr2)(7+3)/2 = 0, • (И)

где Q = täR+oR2 -1 )/И2Л = Ь~ ^"^^ГЧ^Г V = ±1, $ = {2GM)2l(a20\b0\). Уравнение (И) отличается от инвариантного неявного уравнения, возникающего при описании OB без гравитации4. В [1] доказано полезное утверждение.

Пусть интегрирование инвариантной подсистемы для (9) сводится к неявному дифференциальному уравнению вида

a0|<7'p+1+ai(<7')2 + a2 = 0, ■ : (12)

где ao,ai,a2— функции а,х.

Лемма 2.1. В случае рационального показателя j = т/п,т > п > 0 количество решений алгебраического уравнения (12) совпадает с размерностью пучка интегральных кривых дифференциального уравнения (12), определяется количеством перемен знаков в последовательности коэффициентов: {a0,ai,o2} и не зависит в общем случае от т,п.

Далее рассматривается случай, когда 7 = 3 (это не умаляет общности рассуждений в силу приведенной леммы 2.1). На рисунке 3 изображены пучки интегральных кривых для (11).

4Черевко A.A., Чупахин А.П. Стационарный вихрь Овсянникова // Новосибирск, 2005 (Препр./ ИГиЛ СО РАН; №1, 2005).

Рис. 3. Дискримииантиая кривая И, интегральные кривые и нерегулярные особые точки (нот) для (11) при а)сг = 1, б)сг = -1.

Лемма 2.2. Все решения (10) (за исключением тождественно постоянных) являются строго монотонными функциями переменной Я. Лемма 2.3. Область П для уравнения (10) является неограниченной при <7 = 1, и ограниченной при а = — 1.

Нерегулярные особые точки имеют тип сложенных фокусов. Лемма 2.4. Через каждую точку области П проходят четыре интегральные кривые (11) С±±:

: /гд = £1

Я + е^ф - (4/(/?02Д4))у/ГТТ?

,£1,2 = ±1.

В параграфе 3 анализируется асимптотика решений (11) при Я +оо. Вводятся проективные координаты 2 = 1/Я,и = к/Я, и задача о поведении решения (11) при Я —> +оо сводится к исследованию динамической системы

Ро

= + У2) (<3 - £\]02 - Ф4 + г2«2) 1 -

и,

(13)

г = —г,

£>5 = 0,

в окрестности точек (0,0) и (0,1) плоскости и). Доказаны утверждения:

Лемма 2.5. При а = 1 существуют интегральные кривые (12), входящие в точку (0,0) и входящие в точку (0,1).

При а = — 1 пи одна из интегральных кривых (12) не проходит через точки (0,0), (0,1).

Следствие При сг = 1 существуют интегральные кривые исходного уравнения (11), которые никогда не приходят на дискриминантную кривую и уходят на бесконечность с различной асимптотикой. При а = — 1 все интегральные кривые начинаются и заканчиваются на дискрими-нантной кривой.

В параграфе 4 дается описание картины течения, исследуются характеристики уравнений газовой динамики на данном решении. Из представления решения (10) следует, что касательная компонента скорости максимальна вблизи источника и ее влияние на решение уменьшается по мере удаления от него. Доказано, что интегральным кривым С+-,С— соответствует сверхзвуковое течение ((72 > с2), а интегральным кривым С-+,С++ - дозвуковое в радиальном направлении течение (I/2 < с2). Они отвечают течениям газа на которых возможен переход через скорость звука. Из Леммы 2.4 следует, что при неограниченном разлете в вакуум газ может разлетаться с различными асимптотиками на бесконечности: и ~ 0(1), с ~ 1/Д2 или и ~ 0(1), с ~ 1/Д в зависимости от стартовых условий. В случае стока решение вида (10) описывает сток из области на одной плосткости в область на другую плоскость.

Результаты второй главы опубликованы в [2].

В третьей главе рассматривается задача об истечении/стоке само-гравитирующего политропного газа с поверхности сферического источника в рамках модели стационарного вихря Овсянникова. Глава состоит из пяти параграфов.

В параграфе 1 описывается представление решения типа ОВ системы дифференциальных уравнений, описывающих движение политропного самогравитирующего газа:

1

Бр + рйпи = 0, .Ои + -Ур = УФ,

(14)

Ир + 7рШуи = 0, ДФ = —4ттСр,р = Бр''.

Система (14) при Ф = Ф(г) допускает группу Ли (?4 с алгеброй Ли (8) и поэтому имеет решение типа стационарного вихря Овсянникова. Согласно общему подходу к анализу частично инвариантных решений система (14)

на этом решении сводится к инвариантной и не инвариантной подсистеме. Последняя совпадает с (3) и интегрируется в конечном виде. Инвариантные величины в данном случае имеют представление:

и = а0{К^\н = а0/г,р = р0\НгЫ1 + ^,р = (15)

совпадающее с (10), однако уравнение для обобщенного потенциала к отличается от (11).

После подстановки представления решения (14) в инвариантную подсистему для (14), ряда преобразований и дополнения ее условием совместности (4) получим систему для определения всех инвариантных функций:

(17)

7 '

Ро\!г'\ 2 др^'Г"1 Р д/1ТР' (1 + Л2)^"1)/2'

Ф +-Ф = уо --(181

В параграфе 2 исследуются общие свойства решения системы уравнений (16)-(18) при 7 = 5/3. Ввиду леммы 2.1 такой выбор 7 не умаляет общности рассуждений. Получены и доказаны следующие свойства решения системы (16)-(18):

Лемма 3.1. Решение (16)-(18) определено в области г > г > 0.

Как и в классической газовой динамике, источник газа имеет конечный

радиус.

Лемма 3.2. Для всех г в области определения решения системы (16)-(18) справедливо: 1гг ф 0.

Лемма 3.3. Система (16)-(18) имеет не более двух различных решений.

Система уравнений (16)-(18) более сложна для исследования, чем инвариантные подсистемы в случае гравитационного потенциала постоянной силы или притягивающего центра (см. главы 2,3). Поэтому анализ решения (16)-(18) проводится преимущественно численно. Графики физических величин для обоих типов течения показаны на рисунке 4 (а- ограниченная область, б- неограниченная область, 1-плотность,2-модуль радиальной компоненты скорости,3-число Маха в радиальном направлении, 4- гравитационная сила).

В параграфе 3 система (16)-(18) сводится к дифференциальному уравнению третьего порядка для функции к:

-rY3'2h\l2h{h)2 + У (—б/г" + rti')) + Зг2УГ((2Г - 1 ){h)4+ +3 r2(h")2Y5'2 - k0re(h')5 + 6 Y3'\h)2{Y - r2hh)) = 0,

(19)

a

Рис. 4. Графики физических величин на решении (13)-(15).

где Y = 1 + h2, ко = const.

В параграфе 4 анализируются данные численных расчетов для решений уравнения (19) и описываются свойства соответствующих им движений газа.

Решения уравнения (19) соответствуют в физическом пространстве газовому источнику или стоку. Качественная картина течения для случаев источника и стока в общем случае различна. Показано, что:

а) решениям уравнения (19), существующим на ограниченном интервале по г, отвечают движения газа, в которых возможен переход через скорость звука. Такие решения описывают течение газа из области на сфере г = п в область на другой сфере г = гг ф п;

б) решениям уравнения (19), существующим на всем интервале по г соответствуют сверхзвуковые движения газа.. Эти решения описывают либо классический разлет газа из области на сфере в вакуум, либо натекание газа из бесконечности в коллапсирующее сферическое облако.

В параграфе 5 рассматриваются частные решения (14), когда отсутствует радиальный поток (U = 0, Н ф 0), либо отсутствует закрутка

(Н = 0,U Ф 0).

Результаты третьей главы опубликованы в [3]. В четвертой главе исследуется решение уравнений газовой динамики при наличии силы с постоянным ускорением. Глава разбита на семь

параграфов.

В параграфе 1 выводятся уравнения подмодели системы дифференциальных уравнений газовой динамики с учетом внешней гравитационной силы с постоянным ускорением. В системе (1) в этом случае Ф = д0 = const.

Исследуется частично инвариантная подмодель ранга 1 и дефекта 1, порождаемая четырехмерной алгеброй Ли L4 = (dy,dz, tdy + dv,dt), являющейся подалгеброй максимальной алгебры Ли L13 группы Ли симметрии G 1з (см. Введение) уравнений газовой динамики.

Согласно общей теории система уравнений газовой динамики на данном решении сводится к инвариантной системе дифференциальных уравнений и уравнению дая не инвариантной функции. После частичного интегрирования приходим к представлению решения:

1 (у + #(£,т/)) т„ о и — —-, v = —- ,W = W0,p = Ло

re' СТ

,S^S0,P = S0P1, (20)

где искомая функция а = а(х) является своеобразным "потенциалом"решения.

В параграфе 2 выводится уравнение для функции а и тем самым задача исследования инвариантной системы сводится к исследованию решений дифференциального уравнения:

|а'Г+1 - + V)2 + ^^ = О- (21)

II % да ¿со

Штрихом в (21) обозначена производная по х. Следствием Леммы 2.1 является:

Лемма 4.1.Размерность пучка интегральных кривых уравнения (21) в случае произвольного рационального показателя 7 не превышает четырех.

В параграфе 3 доказывается ряд свойств, которыми обладает решение.

Лемма 4.2. Все решения уравнения (21), кроме а = 0, являются строго монотонными функциями переменной х.

Лемма 4.3. Область П существования решения уравнения (21) ограничена дискриминантпой кривой В. Через каждую точку П проходят четыре интегральные кривые.

Лемма 4.4. Точки дискриминантной кривой В обладают свойствами:

1) каждая регулярная точка О , является точкой ветвления или точкой остановки для интегральных кривых уравнения (21);

2) уравнение (21) имеет две нерегулярные особые точки типа фокус, положение которых зависит от параметра задачи ао-

Лемма 4.5. Нерегулярные особые точки уравнения (21) исчезают (смещаются на бесконечность) при до 0.

Последнее утверждение демонстрирует возможность непрерывного перехода к задаче, когда внешняя сила отсутствует.

В параграфе 4 исследуется поведение интегральных кривых уравнения (21) при |х| оо. Для этого делается замена переменных £2 = 1/х,д2 = 1/{ху)2, переводящая бесконечно удаленную точку в начало координат и приводящая (21) к виду:

2

«У = 21? Ч + 2^а0е1е2д{1 - ¿4) + °((2> 92) (22)

при Ео = 1 и

+ +о(г2,д2) (23)

«о

при е0 = -1- Исследуется поведение интегральных кривых уравнений (22),(23) в окрестности точки (0,0). Применение методов теории Пуанкаре-Бендиксона, описанных в монографиях Ф. Хартмана (1970) и А.Ф. Андреева (1979) позволяет доказать следующие утверждения:

Лемма 4.6. При е0 = 1, окрестность особой точки (0,0) уравнения (22) делится на два гиперболических и один параболический сектор.

Лемма 4.7. При е0 — -I, окрестность особой точки (0,0) уравнения (23) делится на два гиперболических и два параболических сектора.

В параграфе 5 рассматриваются некоторые физические свойства данных решений системы уравнений газовой динамики.

Лемма 4.8. Точки дискриминантной кривой на плоскости М2(ж,Х) являются образами звуковых характеристик системы (1) в физическом пространстве, задаваемых уравнением х = хо- Иными словами, на дискриминантной кривой выполняется соотношение:и2 = с2.

В параграфах 6 и 7 доказывается существование решения уравнения (21) с сильным разрывом. Схема доказательства аналогична предложенной А.П. Чупахиным (1999-2003).

Теорема. Любому состоянию газа перед скачком (Х^йт) соответствует состояние газа после скачка (Х2,Яо2)• Величины X?, ¿>02 вычисляются из уравнений:

Dj + X? Di+Xj_ DxXi D2X2

где

Di = л

ffpXQ y2 , V; I g%xl 4 2

где <7; = |l/co|Xj на скачке x = xq, постоянные величины go, До- параметры задачи; Soi- постоянные значения энтропии перед и за скачком (» = 1,2).

В параграфе 8 дается интерпретация полученных результатов, которые являются следствиями Лемм 4.6, 4.7.

При £i = 1 в (22) решение описывает источник, расположенный на плоскости х = х\ = const. При £х = — 1 имеет место сток. Для стока и источника характерны следующие особенности режимов течения:

В случае источника

1) Найдены два режима движения газа в которых струя газа разгоняется и уходит на бесконечность. Доказано, что разгон может происходить с двумя различными асимптотиками на бесконечности, причем тип асимптотики определяется по начальным данным задачи.

2) Остановка потока газа происходит на конечном расстоянии от ис-точника(сток с части плоскости х = х\ = const на область на плоскости X = Х2 = const).

В случае стока

1) Поток газа приходящий из бесконечности останавливается на плоскости х = xi = const.

2) Сток с одной плоскости на другую. Отличие течения от случая источника состоит в том, что плоскости источника и стока меняются местами.

Результаты четвертой главы опубликованы в [1].

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Публикация результатов по теме диссертации

Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах и в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Паршин Д.В., Чупахин А.П. Об источнике газа в поле постоянной силы // ПМТФ. 2006. Т. 47. №6. С.3-16.

2. Паршин Д.В., Чупахин А.П. Стационарный вихрь Овсянникова в поле

массивного притягивающего центра // Журн. СФУ. Сер. Матем. и Физ. 2010. Т. 3. Вып. 2. С. 228-243.

3. Паршин Д.В., Черевко A.A., Чупахин А.П. Завихренные установившиеся течения самогравитирующего газа // ПМТФ. 2014. Т. 55. №2. С.159-167.

Публикации в трудах научных конференций

4. Паршин Д.В. Автомодельный вихрь Овсянникова в гравитационном поле. Труды XXXVII-ой региональной молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной механики" 2006. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. С. 225-228.

5. Паршин Д.В., Чупахин А.П. Аналитическое исследование движения газа в криволинейном канале. Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" 2007. Новосибирск. НГУ. С. 613-614.

6. Паршин Д.В., Чупахин А.П. Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного притягивающего центра. Тезисы докладов всероссийской конференции "Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение" 2009. ИТПМ СО РАН. Новосибирск. С. 110-111.

7. Паршин Д.В., Черевко A.A. Завихренные установившиеся движения самогравитирующего газа. Труды IX Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" 2012. ИВМ и МГ СО РАН. Новосибирск. С. 231-233.

8. Паршин Д.В., Черевко A.A. Чупахин А.П., Завихренные установившиеся движения самогравитирующего газа. Тезисы докладов международной научной школы молодых ученых "Волны и вихри в сложных средах" 2012. ИПМех РАН. Москва. С. 164-167.

9. Паршин Д.В., Черевко A.A. Чупахин А.П. Завихренные установившиеся течения самогравитирующего газа. Тезисы докладов международной конференции по математической теории управления и механике 2013. BJI-ГУ. Суздаль. С. 183-185.

Подписано в печать 21.11.2013 Заказ № 164

Формат бумаги 60x84 1/20 Объем 1.5 п.л.

Тираж 75 экз.

Ротапринт Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН 630090 Новосибирск, проспект ак. Лаврентьева, 15