Подмодели и точные решения уравнений динамики двухфазной среды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Панов Александр Васильевич

ПОДМОДЕЛИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2015

Уфа - 2015

005566643

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет», на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Фёдоров Владимир Евгеньевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится 14 мая 2015 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при ФГБУН Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН по адресу: 454008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБУН Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН. Автореферат разослан 18 марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор Хабиров Салават Валеевич, ФГБУН Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, заведующий лабораторией «Дифференциальные уравнения механики»; кандидат физико-математических наук, доцент Талышев Александр Алексеевич, ФГАОУ ВПО «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет», доцент кафедры математического моделирования

Ведущая организация: ФГБУН Институт теоретической

и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН

кандидат фнз.-мат. наук

С. В. Попёнов

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В различных явлениях природы и техники значительную роль играют процессы, в которых участвуют несколько различных фаз и компонент вещества. Компоненты могут быть в различных агрегатных состояниях, смешиваться как на молекулярном уровне, так и на макроуровне. В последнем случае среду называют гетерогенной. Существует определённое количество моделей гетерогенных сред, которые описывают различные явления гидро- и газодинамики, теории фильтрации, ракетостроения, угле- и нефтедобычи, ядерной и неядерной теплоэнергетики, металлургической и строительной промышленности, астрофизики. Одной из первых феноменологических моделей гетерогенных сред, в которой рассматривается взаимопроникающее движение нескольких идеальных сжимаемых сред в условиях скоростной неравновесности фаз, была система уравнений X. А. Рахматулина. При этом температура среды считалась неизменной. Данная математическая модель механики гетерогенной среды была развита в работах Н. Н. Яненко, Р. И. Ннгматулина, В. М. Фомина, А. Н. Крайко, А. В. Фёдорова, Дж. Клигеля и Г. Никерсона, Д. Гидаспова, В. Ф. Куропатенко п других ученых.

Разнообразие процессов, в которых участвуют многокомпонентные среды, и большой интерес исследователей к описывающим их моделям свидетельствует об актуальности тематики диссертационной работы.

Степень разработанности темы исследования. Система уравнений взаимопроникающего движения сжимаемых сред включает уравнения массы и импульса каждой из фаз. Давление полагается общим для всех компонент и описывается баротропным уравнением состояния. Также X. А. Рахматулиным предложена схема силового взаимодействия фаз и рассмотрены одномерные нестационарные течения.

А. Н. Крайко и JI. Е. Стсрнин обобщили систему уравнений двухфазной газодинамики, добавив уравнения энергии смеси и частиц для случая нереа-гирующей смеси газа с несжимаемыми частицами и не используя предположение о баротропности среды. Кроме того, в работах А. Н. Крайко осуществлен анализ допускаемых уравнениями двухфазной среды поверхностей разрыва, рассмотрен начальный этап распада произвольного разрыва; исследуется корректность задачи Коши для системы уравнений, описывающей течение смеси газа н частиц — предложены функциональные пространства, в которых задача является корректной.

В работе 1 исследуется корректность задачи Коши для системы уравнений, описывающей течение смеси баротропного газа с несжимаемыми частицами, отмечается неустойчивость малых возмущений решений, а также причины возникновения неустойчивости.

В мнонографии 2 описаны общие принципы математического моделирования потоков газовзвеси. Рассмотрены модели X. А. Рахматулина и В. В. Стру-

1 Клебанов Л. А., Крошилин А. Е., Ннгматулин Б. И., Ннгматулин Р. И. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы уравнений двухскоростного движения двухфазных сред // Прикл. математика и механика. 19S2. Т. 46. Л'1 1. С. 83-95.

2Яненко Н. Н, Солоухин Р. И., Папырин А. Н., Фомин В. М. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной нерзвновесности частиц. Новосибирск: Наука, 1980. 159 с.

минского. Выведены условия, при которых обе модели сближаются. Проведен анализ систем, показаны трудности в постановке и решении краевых задач, исследованы типы ударных волн, изучено качественное поведение решений уравнений, описывающих двухфазные течения в сверхзвуковых соплах, рассмотрены некоторые аспекты численного моделирования систем.

В работах А. В. Фёдорова, В. М. Фомина и их соавторов (см. 3 и 4) приведены результаты численного моделирования взаимодействия ударных волн, волн гетерогенной детонации в реагирующих/инертных газовзвесях. Для этой цели разработаны соответствующие математические модели и численные технологии для решения задач гетерогенной детонации. Уделено внимание и построению некоторых типов точных решений.

Следует отметить существенный вклад Р. И. Нигматулина5 и его многочисленных учеников и последователей (А. А. Губайдуллин, Д. А. Губайдуллин, С. Ф. Урманчеев и др.) в развитие теории и практики механики гетерогенных сред.

Как видно, проблемы механики гетерогенных сред вызывают значительный интерес исследователей. В тоже время проблеме построения точных решений даже для уравнений механики изотермической гетерогенной среды уделяется недостаточное внимание. В данной работе в некоторой мере восполнено это упущение.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является:

• исследование групповых свойств системы уравнений X. А. Рахматули-на, описывающей динамику взаимопроникающего движения сжимаемых идеальных сред;

• поиск и классификация точных решений данной системы уравнений;

• качественный анализ системы уравнений и её решений, опирающийся на использование симметрийных свойств исследуемых объектов.

Для достижения цели решены следующие задачи:

• найдено ядро основных алгебр Ли рассматриваемой системы уравнений газовзвеси в случаях одной и трех пространственных переменных;

• в одномерном случае вычислена оптимальная система подалгебр ядра основных алгебр Ли системы;

• получены инвариантные и частично инвариантные решения, а также выписаны все инвариантные подмодели системы уравнений в одномерном случае;

• выписаны инварнантные подмодели ранга три, перечислены все инвариантные решения ранга, нуль, найдены инвариантные и частично инвариантные ранга 1, дефекта 1 решения системы уравнений в трехмерном случае;

3Федоров А. В, Фомин П. А., Фомин В. М., Тропин Д. Л., Чей Дж.-Р. Фнзпко-математнческое моделирование подавления детонации облаками мелких частиц. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2011. 156 с.

Федоров А. В., Фомин В. М., Хмель Т. А. Гетерогенная детонация газовзвесеЛ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. 204 с.

'Нпгыатулпн Р. И. Дггнампка »шогофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987. 360 с.

• исследованы качественные особенности движения газа и частиц: некоторые из найденных решений описывают мгновенный источник или коллапс газа и частиц;

• изучена структура области гиперболичности системы уравнений на семействе решений.

Научная новизна. К настоящему времени хорошо изучены групповые свойства различных уравнений газовой и гидродинамики, уравнений теории упругости и пластичности, уравнений релятивистской и квантовой механики и т. д. Успешно развиваются методы симметрийного анализа интегро-диффе-ренциальных уравнений и уравнений с дробными производными, стохастических дифференциальных уравнений, разностных уравнений.

При всем разнообразии приложений и методов группового анализа исследования групповых свойств систем уравнений динамики двухфазной среды не проводились, по крайней мере сколь либо систематично. Новизна работы также заключается в том, что, несмотря на большое количество исследований системы уравнений X. А. Рахматулина и её обобщений, точных решений данной системы по большому счету не приводилось. Уравнения часто изучались либо численными методами, либо с использованием линеризовапиых и других приближенных моделей, некоторых частных случаев. Точные решения описывают наиболее простые закономерности, заложенные в системе уравнений, которые не всегда удается обнаружить численным моделированием.

Результаты данной диссертационной работы дают новые знания о симмет-риях системы уравнений X. А. Рахматулина. Это позволило построить серию инвариантных и частично инвариантных решений, подмоделей, дающих естественные упрощения системы. На основе найденных операторов симметрия найдены новые точные решения системы, исследованы явления, ими описываемые.

Теоретическая и практическая значимость работы. Знание симметрии системы играет порой ключевую роль при исследовании различных уравнений в частных производных. Выведенные в работе инвариантные подмодели позволят исследовать специальные движения двухфазной среды, представляющие наибольший интерес с физической точки зрения. Теоретическая ценность работы заключается еще и в том, что найденные группы симметрии, подмодели и точные решения могут быть использованы для качественного анализа фундаментальных принципов, заложенных в данной модели, для вывода и обоснования корректности приближенных, в частности, линеаризованных, моделей уравнений динамики двухфазной среды по аналогии с тем, как это сделано в газовой динамике, для апробации численных методов.

Найденные точные решения были использованы при апробации численных методов расчета задачи Коши для двухфазного течения. Одной из особенностей системы уравнений двухфазных течений является ее негиперболичность, точнее смена типа системы с гиперболического на составной. С помощью найденных решений и программы численного счета решений системы уравнений двухфазных течений А. В. Федорова и Д. А. Тропина исследована зависимость размеров области гиперболичности на семействе решений системы от начального проскальзывания фаз на примере смеси песка и воздуха.

В работе впервые описано с помощью полученных решений явление коллапса или источника для смеси двух фаз, изучавшееся в однофазной газовой динамике различными авторами.

Методология и методы исследования. Исследования проводились с использованием методов группового анализа дифференциальных уравнений, разработанных С. Ли, Л. В. Овсянниковым и его учениками, а также классических методов теории дифференциальных уравнений.

Положения выносимые на защиту

1. Найдено ядро основных алгебр Ли системы уравнений в частных производных, описывающей динамику смеси газа и частиц, в случае одной и трех пространственных переменных. Для случая одной пространственной переменной построена оптимальная система подалгебр алгебры Ли симметрии системы.

2. Найдены все инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений в одномерном случае, за исключением одной подмодели, существенным образом зависящей от спецификации функции давления.

3. В случае трех пространственных переменных выведены все инвариантные подмодели ранга 3, перечислены все инвариантные решения ранга нуль. Также получены частично инвариантные подмодели дефектов 1 и 2, найдены частично инвариантные решения ранга 1, дефекта 1 и ряд других точных решений системы уравнений в частных производных.

4. Исследованы качественные особенности движения двухфазной среды: некоторые из найденных решений описывают мгновенный источник или коллапс газа и частиц как на прямой, так и в пространстве. Показано, что в последнем случае размерность многообразия коллапса может быть 0, 1 или 2. Изучена структура области гиперболичности на семействе решений системы.

Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета, лаборатории волновых процессов в ультрадисперсных средах Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН," на международных и всероссийских конференциях: «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейпа», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2010 г., 2014 г.; «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», Институт вычислительных технологий СО РАН, Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, г. Новосибирск, 2011 г.; «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Башкирский государственный университет, г. Уфа, 2012 г; «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,

оз. Банное, Башкортостан, 2013 г., 2014 г.; «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгородский государственный университет, г. Белгород, 2013 г.; «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2013 г.; «Современный групповой анализ: МОСЛАМ-16», Уфимский государственный авиационный технический университет, г. Уфа, 2013 г.; «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение», Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск, 2014 г.; «XII Забабахинские научные чтения», Российский Федеральный Ядерный Центр Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики им. Е. И. Забабахина, г. Снежинск, 2014 г.

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В. Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат постановка задачи и общее руководство.

Основное содержание диссертационной работы

Во введении к диссертации речь идет об актуальности темы исследования, ее степени разработанности, о целях и задачах работы, научной новизне, методологии и методах исследования, степени достоверности и апробации результатов, а также формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе собраны факты, которые используются при доказательстве основных результатов диссертации. Приведены основные понятия и теоремы, применяемые при исследовании дифференциальных уравнений методами теории групп Ли.

Во второй главе рассмотрена система уравнений динамики двухфазной среды в одномерном случае6

дрх д(р1гч) др-2 д(р2и2) _ Ш дх ' дЬ дх

/дщ

V дг

диЛ дР(рир2) р2{щ-и2)

+ дх Г '

(ди2 ди2\ , дР(рир2) /э2(и 1-и2)

р2 уж= —;—•

В предпололожснни конечности объемной концентрации дискретных частиц и отсутствия температурных эффектов данная система состоит из уравнений

р2{и 1 — и2)

сохранения массы и импульса каждой из фаз. Правая часть---отвечает за силу вязкого трения между фазами. Кроме того р1 = т^рц средняя плотность г-й фазы, тщ, ри, щ — объемная концентрация, истинная плотность, скорость г-й фазы, Р — давление, общее для смеси в целом. Первая фаза соответствует несущей среде (газ), вторая — дисперсной (частицы взвешенного в газе вещества). К данной системе добавляется основное тождество динамики гетерогенных сред: т\ + ш2 = 1.

6Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прпкл. математика и механика. 19М. Т. 20, Л' 2. С. 181 19Г».

Неизвестными являются функции скорости и плотности фаз, давление — функциональный параметр системы, зависящий от плотностей фаз.

Данная система рассматривается как класс систем, так как параметр Р может принимать различные значения. Для каждой конкретной функции Р = Р{р\, Рт) можно найти основную алгебру Ли преобразований этой системы. Пересекая основные алгебры, полученные при всевозможных Р, найдем алгебру преобразований, допускаемых системой при любом значении параметра Р. Эта алгебра называется ядром основных алгебр Ли.

Теорема 1. Базис ядра основных алгебр Ли системы уравнений (1) со свободным элементом Р = Р{р1,р2) состоит из операторов

X - д У - д X +д о. а ^ 8

Для перечисления всех существенно различных инвариантных решений и подмоделей указанной системы уравнений была построена оптимальная система подалгебр ядра основных алгебр Ли.

Теорема 2. Оптимальные системы одномерных (0!) и двумерных (02) подалгебр ядра основных алгебр Ли имеют вид:

= {(х2), (Х3), (Х1 + сХя)} ; 02 = {(хг, Хз), (Х2, X! + сХ3)} .

Относительно каждого представителя оптимальной системы подалгебр был осуществлен поиск инвариантных решений.

1. Относительно подалгебры (Х2) найдено инвариантной решение

(С2+£1)£ (сг + сх)«

02 " I ---

Р\ = Сь Р2 = С2, щ =--с4 ехр С1 Т, и2 = с4 ехр с-1 т .

2. В случае подалгебры (Х3) имеем инвариантное решение

С! с2

Р1 = Т,Р2 = Т,

(с2 + Сг) г (С2 + С1)(

х + с3 с2с41 " Г - х + с3 1 -----

"1 = —7---~ехр 1 т, и2 = —-—- + с4-ехр т.

ь с 1С I £

3. Для подалгебры (-Х^ + сХ3) инвариантное решение ищется в виде

се

£ = ~2 ~ х> Р1 = П (О > Р2 = г2 (£) , щ = гч (4) + с«, и2 = V2 (О + а. Получена подмодель

П«! = сь г2у2 = с2, ( дих \ дР{гъг2) VI — г'2

Г1 ^с - Ух—у - ТП! ^ =

( ди2\ дР(п,г2) г'!-г>2

Г2 Vе"г'2 аёУ -7712 ас =

4. Относительно подалгебры (Х^ Х2) инвариантным является решение =

Си р-2 = С2, «! = «2 = С3.

5. Для подалгебры (Х2,Х\ + сХ3), с ф 0, получено инвариантное решение Р1 = Си рг = -сь И1 = с2 + сЬ, и2=с2 + с(£ - г).

Инвариантная подалгебра (Л'2, не удовлетворяет необходимому условию существования инвариантных решений. Для нее был осуществлен поиск частично инвариантных решений ранга 1, дефекта 1, которые совпали с инвариантными решениями относительно подалгбер (Х?), (Ху.

Третья глава содержит исследование с-имметрийных свойств системы уравнений динамики двухфазной среды в случае трех пространственных переменных. В данной главе найдено ядро основных алгебр Ли рассматриваемой системы уравнений, выведены все инвариантные подмодели ранга 3, найдены все инвариантные решения ранга 0, дефекта 0, некоторые частично инвариантные решения ранга 1, дефекта 1 и другие точные решения системы уравнений динамики двухфазных сред.

Система уравнений взаимопроникающего движения двух сжимаемых сред в трехмерном случае имеет вид

+ й\ = 0, ^ + р2<цу й2 = О, М1 0,12

+ т1ЧР{риР2) = - Ъ), (2)

ал 1 т

£Й?2 , , р2, -, - ч

Р1~ТГ + ГП2"Р\,РиР2) = —(«1 - "2).

ас 2 т

Здесь й\ = — вектор скорости несущей фазы, «2 = {и2,ь'2,ш2) —

вектор скорости дисперсной фазы, р\, р-2 ~ плотности фаз, Р{р\,р2) — давление смеси, т2 = —, р22 — объемная концентрация и абсолютная плот-

Р22 „

ность второй фазы, тх = 1 — т2 — объемная концентрация первой фазы,

а д а _ _

-7- = 777 + «1 ■ V, — = + Щ ■ V.

ОТ «¿2 ОТ

Теорема 3. Базис ядра основных алгебр Ли системы уравнений (2) со свободным элементом Р = Р{р\,р2) в случае трёх пространственных переменных состоит из операторов

х 9 д д

д д д д д_ д д д д

+ дщ + ди2' 5 ~ ду + дт + дг>2' 6 дг + дт1 ди,2'

д д д д д д X^ = у— - 2— + VI---VII— + V2---№2^—,

дг ду дш1 дш2 ои2

д д д д д д

Хз = г---х— + --«1т;--Ь ">2т;--Щт.—,

дх дг дщ дшх ди2 дт2

¿> 8 д д д д v д оу дх dvi дщ dv¿ du2 dt

Оптимальные системы подалгебр всех размерностей данной алгебры были найдены в связи с другими исследованиями Л. В. Овсянниковым7 и С. В. Ха-бировым8.

Используя оптимальную систему одномерных подалгебр из указанных статей, в диссертационной работе были выведены все инвариантные подмодели ранга 3. Выпишем некоторые из них.

1. Галиигеево-инвариантные движения. Инвариантные решения относительно подалгебры (Х4> имеют вид щ = f + Ui{t,y,z), и2 = f + U2(t,y,s), {vi,wuv2,w2,pi,p2) =(Vl,Wi, V2,W2,pi,p2)(t,y, z), а соответствующие уравнения подмодели —

/i övi dWA „ (\ av2 aw2\ DlUl + = _P2Ui-U2t D V + midPfato) = _P2V> - Vi

t PIT Pi Oy PI T '

D{Wi + midP(/?bP2) = p2 Wi - W2 Pi dz pi T

d2U2 + V2 = 4i~Sät d.2V2 + P2) = ü^i

t T p-2 ду T '

¿yf- i rn2dP(PuP2) __Wl-W2 p2 dz г '

где

dt dy dz dt dy dz

2. Винтовые движения. Подмодель для подалгебры (¿>Xi + Х-,) удобней записывать в цилиндрических координатах. Для этого вводятся новые независимые переменные Í, х, г, в, где г, в — полярный радиус и угол. Компоненты векторов скорости фаз в цилиндрических координатах щс = (ulc, vlc, wic), и2с = (Щс, v2c, vj2c) вводятся заменами

«1с = Iii, Viс = Vi COSÖ + Wi sinö. Wie = -Vi Sillé? + W\ cos в,

U2c = U-2, V2c = V-2 COS в + W-2 sin в, W2c = -V2 Sin в + W2 COS в.

Здесь v¡c — радиальная в плоскости (у, г), a wic — окружная компоненты векторов скоростей фаз. Обозначения для плотностей и давления не изменяются. Вектор Xi не изменится в цилиндрических координатах, вектор X-j примет вид Х7 = de- Инвариантные решения для данной подалгебры будут иметь

' Ovsyaimikov L. V. On the optimal systems of subalgebras // Lie Groups and Their Appl. 1994. V. 1, № 2. P. IS 2G.

8Хабпров С. В. Спыметрийный анализ модели несжимаемой жидкости с вязкостью и теплопроводностью, зависящими от температуры. Уфа: Гилем, 2004. 37 с.

вид {ulc,vlc,wlc,u2c,v2c,w2c, ри р-г) ={Ui,Vi,Wi,U2,V2,W2,pup2){t,^r), £ = х — SO. Уравнения подмодели примут вид

fdUi QVy Vi Ö'ÖIVA „

п (du2dv,г v2 saw2\

DlUl + = DlVl _ П + üüPr =

p\ PI T r PI PI T

DlWl + Ш - i^Pc = PiWi-W^ o2u2 + ^ = D2V2 - м 1 !üiPr = ^

P'2 T r p-2 Г

n ur , W2V2 Sm2 Wi - W2

L>2W2 H-----Г( = -,

Г ГР2 T

3. Стационарные течения. Инвариантные решения вида {Üi,ü2,pi, р2) = (Ci, ¡7г, Рь р2)(х, у, z) соответствуют подалгебре (Хю). Уравнениями подмодели будут

Dipi + pidivC/i = О, D2P2 + P2<iivÜ2 = О,

г> Гт , mi jn P2Ü1-Ü2 „.-t m2 Üi-Ü2

D\Ui Н--gradP =---, D2U2 -1--gradP =-,

pi pi Т р2 т

Di = uS + Vi?- + wS, D2 = U24- + +

ax oy oz их dy az

С помощью оптимальных систем из указанных выше работ были также найдены различные частично инвариантные решения ранга 1, дефекта 1. Представим некоторые из них.

1. Частично инвариантное решение относительно подалгебры (Х\, Х2, Х.-j, ЛГ4) имеет вид

к к х — у + 5[у — z) / п\ m-u„i<

pi = p2 = ? ttl = / - /' (l ■- j) e"^,

Vl = V2 = Wi = w-2 = e"<1+<

2. Частично инвариантным относительно той же подалгебры является также решение

pi = рГхк, р2 = к, ui = —y + 5{у -г)+ц (m- + -т^—) г \ г 1 +р/

и2 = —у + 8(у - г) - (т- А--—|

Т \ т 1 + у.)

г/1 = VI = = и,2 =

В этих решениях 5(-) — дефект инвариантности, ц > 0, к > 0, тп, п — произвольные константы.

3. Относительно подалгебры {Х2, А'3, 01X1 + Х5, /ЗХв + 7X4 + А'ю) при а = О, 7 ф 0 получено частично инвариантное решение

Ъ ь р! = ±—-^ = ±-

Щ =и2 =7ͱ х/^Т?, VI = - V2 = е(*,х,г/,2) + Ф(0>

wt = /3t± ^VÍTt - w2 = f3t± P-Vw +

7 7

(ТУ + C372 + ¿ ~ (7* ± VZfficapt Где">0' G =--'

4. При a = 7 = О найдено частично инвариантное решение

ц~гЬ Ъ

Р\ =-г, рг =--, щ = и2 = а,

Cía — £ Cía — £

Vi = e{t,x,y,z) -/хФ(|), = G{t,x,y,z) + Ф(0, ,, . &e íi±iiif . /3. , u±íiic

W\ = pt-\—£ — ¿íC2e " \ w2 = pt + — t + c2e ^ a a

^ n e ay + c3z + 6^ + at)-(i + at) fí-ft ^ - 1¡±tíí

где /л > O, 6 =---—, Ф =--r-e "

Cía — £ cía — £

При этом, как и прежде, í(-) — дефект инвариантности, pi и р2 считаются

положительными, р, а, Ь, е., — константы интегрирования, а Ф 0, £ = ^— ж.

5. Как уже было сказано, найден также ряд других решений системы уравнений двухфазной газовой динамики, например, следующее:

ci с2 Pi = ТГ~,-\7Г,-\77~:-\> Р2 =

(í + C3)(í + C4)(í + с5)' " (Í + C3)(Í + C4)(Í+C5)'

х Се _£2±а.< х Св _£2±а i

щ= —--—-с2е ч т, и2= ——+ —-—cíe

t + с3 t + с3

У Cf _¡2±£1<

•t'i = 7-7--77—с2е <1 v2= —;—+ ——Cje

' - £ + с4 С + С4

г es _£2±ах

w 1= —--—--— l?1 т, w2= ——+ ——с:е -i

t + с5 t + с5 t 4- с5 t + с5

í+ С3 t + c3

У C7

t + C4 í + c4

Z Cg

К решениям можно применять преобразования допускаемой группы, получая больший произвол в выборе констант.

Четвертая глава содержит приложения полученных во второй и третьей главах результатов и интерпретацию некоторых полученных решений.

Исследуемая система является системой составного типа. Как известно, условие гиперболичности, при котором у характеристического многочлена, системы есть четыре действительных корня, имеет вид (см., например, 9) < 0, где

\ \ "11/722/ J \ a J

Здесь mi, т2, Ри, Р22 — объемные концентрации и истинные плотности первой и второй фазы, а — изотермическая скорость звука в первой фазе. Подставив найденное галилеево инвариантное решение одномерного двухфазного течения (решение под номером 2 из описания второй главы), получим условие гиперболичности системы

т = а2 ((/>22* - с2)? + (cad)*)'3 - {(Hit - C2fe~^ <

Видно, что при любом выборе констант функция Н будет принимать отрицательные значения лишь при достаточно малых положительных £. Таким образом, при фиксированных значениях констант область гиперболичности имеет вид полосы {t: 0 < t < th} , где t^ — время, до которого система имеет гиперболический тип: #(t/,) = 0.

Константа С4 = («2(^0) ~ Ui(to))toA(to) определяется начальной разностью скоростей и начальным моментом времени и может быть интерпретирована как приближенная величина перемещения частиц второй фазы по газу к моменту времени to- Безразмерная величина A(to) зависит от tо экспоненциально:

Cf + Cl (д

A{to) = j^j^e 01 г • При фиксированных значениях ci,c2 получим функцию двух переменных t, с4, задающую размер области гиперболичности. Общий вид функции H(t,c4) представлен на рис. 1. Область гиперболичности при разных начальных разностях скоростей (разных значениях q) отделена вертикальной полосой от области составного типа. Вертикальная полоса соответствует корням уравнения ff(t, С4) = 0.

В том же решении одномерной системы уравнений газовзвеси занулим константу С3 сдвигом по х. Система уравнений динамики газовзвеси не допускает растяжений в случае произвольного уравнения состояния, но при барохрон-ных движениях появляется допускаемая группа однородных растяжений по координатам и2, используя которую можно константу С4 сделать равной

"Федоров А. В., Фомин П. А., Фомин В. М., Тропин Д. А., Чен Дж.-Р. Физико-математическое моделирование подавления детонации облаками мелких частиц. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2011. 156 с.

Рис. 1. График функции lift, сл)

1. Соответствующее решение описывает мгновенный источник газа и частиц на прямой, либо коллапс, если сдвинуть время на отрицательную константу. Решение задачи Коши в момент времени £о = §

(1х

— = щ(Ь,х), хЦ0) = хиа

даст траектории движения газа

, ( С2 \ 2 С2 _!2±£1>А С2(С2+С1) £ / _12±£1Н\

(£) = Хи0--а - £ Н--е т Н---- -1л е ч * ) .

V С! ) Т С! С! С! Т \ )

Решение такой же задачи для скорости и2{Ь,х) даст траектории движения частиц

п\ / , ^ 2 * -*2±£12« (С2 + С1) £ / _(^г±£111\

х2(£) = (г2(о + а) - £ - е ч т - --- -1л (е ч - ) .

г С1 г V /

_(с2+с1)1 , , > / (с?+4) 1\ 2 Л

Здесь а = е ч 2 + ^ ';|1л 4 2) ~ константа, а 1л(?7) = / ?/ 6

(0,1), — логарифмический интеграл.

Используя предельный переход при £ —> 0, можно убедиться, что многообразием источника являются две точки 0:1(0) = х2(0) = —1. При £ —> +оо слагаемое с логарифмическим интегралом стремится к нулю, таким образом траектории движения газа и частиц имеют наклонные асимптоты. Это согласуется с известным из газовой динамики фактом прямолинейного движения газа в барохронном случае. Данное решение также задает барохронное движение газовзвеси. Отклонение от прямолинейных траекторий связано с наличием сил межфазного взаимодействия, когда же £ много больше времени релаксации, вклад данных сил становится мал и траектории стремятся к прямым линиям. Перебирая различные начальные значения хи0, х2го получим характерный вид мгновенного источника газа и частиц на прямой (рис. 2). Весь

Рис. 2. Мгновенный источник газа и частиц на прямой

рисунок можно сдвигать по х на любую константу и масштабировать, меняя константу с4 растяжением по х, щ, щ. Применив сдвиг по времени на отрицательную константу, получим коллапс газа и частиц. Характер движения при этом не изменится, так как оно будет определяться теми же уравнениями для траекторий, сдвинутыми по времени на заданную константу.

В диссертационной работе пример такого источника рассмотрен также в трехмерном пространстве. Если положить в решении под номером 5 из третьей главы сз = с4 = с.5 = 0, = 1 и с7,с8, например, равными нулю, получим точечный источник газа и частиц в прострастве. При сз ^ 0, с4 = О данное решение будет задавать одномерный источник газа и частиц, слетающих с оси Ох, а при с.ч, с4 ф 0 — двумерный источник. При ст, са ф 0 получим нелинейный характер движения относительно соответствующих осей.

Частично инвариантное решение под номером 1 из третьей главы также описывает мгновенный источник газа и частиц в пространстве. Характер течения в данном случае может быть гораздо сложнее, так как решение имеет функциональный произвол и составляющие решения, отвечающие за межфазное взаимодействие, разнообразнее аналогичных составляющих в решении 5. В последней главе работы рассмотрен случай 5{у — г) = 0, п = 0. Решение задачи Коши, поставленной в момент времени £о = даст уравнения траекторий движения газа и частиц в К3:

»<'>-(«■«-1

»«>-(»•-!??-*) + IV"**-

V 2 1 + М / 1 + /^

= (г/25 + т^е-1?) + (хц - у2.) 2-1 -

V2 1+р / х 2 -' т 1+м

у2{1) = (щ + ^-е-НЛ - -^-е"^,

V 2 1+д / 1+р

ггЦ) = (щ + т^е-1?) - -1-е-^П.

V 1+м / 1+р

Устремляя £ к нулю, получим равенства £1(0) = 2/1(0) = уц + ^^ — е-1?1), = Щ *г(0) = 2/2(0) = щ - ^ (1 - е-1^), г2(0) =

гц — (1 — е г41). Видно, что многообразием источника является плоскость х — у = 0. Исследуя функции ж;(£),2/*(£),можно получить общий вид траекторий движения в К3. На рис. 3 показаны характерные траектории первой (сплошные линии) и второй (пунктир) фазы, исходящие из одной точки плоскости х — у — 0. Параметризовать семейство траекторий, исходящих из фиксированной точки, можно значениями

Заключение

В диссертационной работе исследованы симметрийные свойства системы уравнений в частных производных, описывающей взаимопроникающее движение двух сжимаемых сред. На основе найденных групп преобразований были выведены инвариантные и частично инвариантные подмодели, найдены различные точные решения системы. Некоторые точные решения были использованы при анализе структуры области гиперболичности системы. В работе дано теоретическое описание коллапса динамики двухфазной среды для различных размерностей многообразия коллапса. В дальнейшем выведеные подмодели могут быть предметом отдельного исследования, найденные решения могут служить главными членами при построении приближенных моделей. Полученные частично инвариантные решения будут подробно исследованы с целью развития изложенных и выявления новых физических интерпретаций.

Список работ автора по теме диссертации, в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

1. Федоров, В. Е. Инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды / В. Е. Федоров, А. В. Панов // Вестник Челяб. гос. ун-та. Физика. — 2011. — № 38 (253), вып. 11. — С. 65-69.

2. Панов, А. В. Групповая классификация одного класса полулинейных псевдопараболичских уравнений / А. В. Панов // Уфимский мат. журнал. — 2013. Т. 5, № 4. С. 105 115.

3. Панов, А. В. Инвариантные подмодели системы уравнений динамики газовзвеси в случае трех пространственных переменных / А. В. Панов // Научные ведомости Белгородского гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. — 2014.— № 12 (183), вып. 35. - С. 188-199.

Другие публикации автора

4. Панов, А. В. Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды / А. В. Панов // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика, 2011. Вып. 13. С. 38 48. ~

5. Федоров, В. Е. Симметрии одного класса квазилинейных уравнений псев-допараболпческого типа. Инвариантные решения / В. Е. Федоров, А. В. Панов, А. С. Карабаева // Всстннк Челяб. гос. vn-та. Математика. Механика. Информатика. - 2012. - Вып. 15. - С. 90-11L

6. Федоров, В. Е. Групповой анализ псевдопараболического уравнения с квадратом второй производной / В. Е. Федоров, А. В. Панов // Вестник МаГУ. Математика. - 2012. - Вып. 14. - С. 146-156.

7. Панов, А. В. Ядро основных алгебр Ли системы уравнений механики газовзвеси / А. В. Панов // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании»: сб. тр. Междунар. шк.-конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых. Т. 1. Математика. — Уфа: БашГУ, 2012. — С. 136-142.

8. Панов, A.B. Алгебра Ли системы уравнений механики двухфазных сред / А. В. Панов // Тез. докл. Воронежск. зимн. мат. шк. С. Г. Крейна. — Воронеж: ВГУ, 2010. - С. 101.

9. Панов, А. В. Симметрийный анализ системы уравнений механики двухфазной среды / А. В. Панов, В. Е. Федоров // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: тез. докл. Межд. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко. — Новосибирск: Академгородок, 2011. — С. 123.

10. Панов, А. В. Оптимальные системы подалгебр алгебры Ли системы уравнений механики двухфазной среды / А. В. Панов // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф. — Самара: Универс rpvnn,

2011. - С. 84.

11. Панов, А. В. Инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды / А. В. Панов, В. Е. Федоров // Физика и технические приложения волновых процессов: тез. докл. IX Межд. иауч.-техн. конф. — Челябинск: ЧелГУ, 2011. С. 203 204.

12. Панов, А. В. Частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды / А. В. Панов, В. Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Межд. конф., посвященной памяти В. К. Иванова. — Екатеринбург: УрФУ, 2011. — С. 259-260.

13. Панов, А. В. Ядро основных алгебр Ли системы уравнений механики двухфазной среды в трехмерном случае / A.B. Панов / / Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. Межд. конф., посвящ. 80-летшо со дня рождения академика М. М. Лаврентьева. — Новосибирск: Сн-бирск. науч. нзд-во, 2012. — С. 413.

14. Панов, А. В. Ядро основных алгебр Ли системы уравнений механики газовзвеси / А. В. Панов / / Фундаментальная математика и её приложения в естествознании: тез. докл. Междунар. шк.-конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. — С. 263."

15. Панов, А. В. Инвариантные решения одного квазилинейного псевдопараболического уравнения / А. В. Панов, В. Е. Федоров // Физ.-мат. науки и образование: сб. тр. Всеросс науч-практич конф. — Магнитогорск: МаГУ,

2012. - С. 93-96.

16. Panov, А. V. Symmetry groups for a class of quasilinear pseudoparabolic equations / A. V. Panov // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез.

докл. междунар. конф. — Уфа, 2013. — С. 45-46.

17. Панов, А. В. Групповой анализ одного класса квазилинейных псевдопараболических уравнений / А. В. Панов, В. Е. Федоров // Тез. докл. Четвертой Междунар. конф., посвящ. 90-летню со дня рождения чл.-корр. РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева. — М.: РУДН, 2013. — С. 216-217.

18. Панов, А. В. Основные алгебры Ли одного класса полулинейных псевдопараболических уравнений / А. В. Панов // Дифференциальные уравнения и их приложения: с.б. материалов Междунар. науч. конф.— Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2013. С. 143 144.

19. Панов, А. В. Групповая классификация одного класса псевдопараболических уравнений / А. В. Панов // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 105-летпю со дня рождения С. Л. Соболева. — Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2013. — С. 209.

20. Панов, А. В. Подмодели и некоторые точные решения системы уравнений динамики газовзвеси / А. В. Панов, В. Е. Федоров // Современный групповой анализ: тез. докл. Междунар. конф. MOGRAN-16. — Уфа: УГАТУ,

2013. - С. 19.

21. Панов, А. В. Оптимальная система подалгебр одного псевдопараболического уравнения / А. В. Панов // Воронежск. зимн. мат. шк. С. Г. Крейна: материалы междунар. конф. — Воронеж: Издат.-полиграф. центр «Научная книга», 2014. - С. 242-243.

22. Panov, А. V. Invariant solutions and optimal system of subalgebras some pseudoparabolic équation / A. V. Panov // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез. докл. междунар. конф. памяти акад. А. М. Ильина, — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2014. - С. 39-40.

23. Панов, А. В. Групповой анализ и подмодели динамики газовзвеси / А. В. Панов, В. Е. Федоров // Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение: тез. докл. Всеросс. конф., приуроченной к 95-летию академика Л. В. Овсянникова, Новосибирск: ИГиЛ СО РАН,

2014. - С. 110.

24. Панов, А. В. Точные решения системы уравнений газовзвеси / А. В. Панов, В. Е. Федоров // XII Забабахинские научные чтения: сб. материалов 12-ой Междунар. конф.. - Снежпнск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2014. - С. 315.

Работа поддержана грантом XU1-01-16013 Российского фонда фундаментальных исследований, грантом Фонда поддержки молодых учёных Челябинского государственного университета, программой «Академическая мобильность» Фонда Михаила Прохорова.