Численное моделирование решений асимптотических нелинейных уравнений газовой динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

Глава 1.

Алгоритмы и примеры численного решения уравнения Линя-Рейснера-Цзяня.

1. Общие теоретические положения.

1.1 Вывод уравнения Линя-Рейснера-Цзяня в пограничном слое.

2. Численные алгоритмы решения.

2.1 Виды записи уравнения ЛРЦ.

2.2 Численная схема Фазеля.

2.3 Псевдоспектральная схема.

2.4 Метод Боллхауза.

2.5 Аналог метода приближенной факторизации.

2.6 Схема коррекции потоков.

2.7 Сравнительный анализ схем.

3. Примеры расчета реальных течений.

3.1 Основные формы возмущенных течений на пластинке.

3.2 Течения в каналах.

3.3 Обтекание конечных тел. 48 Список литературы к Главе 1. 49 Иллюстрации к Главе 1. 52

Глава 2.

Численное моделирование динамики невязких возмущений в рамках двумерных эволюционных уравнений гидродинамического типа.

1. Некоторые положения общей теории.

2. Численные методы

2.1 Итеративный метод нахождения решений в виде изолированных солитонов.

2.2 Псевдоспектральный метод расчета динамики столкновений солитонов.

3. Изучение интегрируемых уравнений.

3.1 Уравнение Богоявленского.

3.2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили.

4. Изучение неинтегрируемых точно уравнений.

4.1 Уравнение Захарова-Кузнецова.

4.2 Уравнение Шриры. 91 Список литературы к Главе 2. 98 Иллюстрации к Главе 2. 102-111 Приложение 1.

Актуальность темы исследования. Основой теоретической базы в динамике жидкости и газа являются уравнения Навье-Стокса. Наряду с прямыми теоретическими и численными методами исследования этих уравнений важным направлением является изучение свойств связанных с ними модельных уравнений, полученных путем масштабирования независимых переменных и разложением искомого решения в асимптотический ряд по малому параметру, определяемому спецификой конкретно решаемой задачи.

К классическим модельным уравнениям газовой динамики принадлежит уравнение Линя-Рейснера-Цзяня, полученное для описания нестационарных трансзвуковых течений в случае малых низкочастотных возмущений. Несмотря на длительную историю изучения различных трансзвуковых течений с помощью этого уравнения до конца остаются невыясненными несколько важных моментов. К ним относится динамика образования местных сверхзвуковых зон, структура замыкающих ударных волн, течения между перфорированными пластинами, а также сложные явления отрыва потока и бафтинга. Современное состояние численных методов и бурное развитие вычислительной техники позволяют в настоящее время рассмотреть указанные проблемные задачи на новом уровне. В данной работе описывается созданная для этого вычислительная база и с помощью ее дается решение ряда важных задач трансзвуковой газовой динамики.

Уравнение Линя-Рейснера-Цзяня есть частный случай уравнения Кадомцева-Петвиашвили, которое в свою очередь принадлежит к группе уравнений, представляющих собой длинноволновое приближение уравнений Навье-Стокса для обширного класса гидро- и газодинамических течений. К ним принадлежат уравнения Захарова-Кузнецова, Богоявленского, Шриры и описывают они ионно-магнитные волны в плазме, волновые возмущения в пристенных струях, приповерхностные гравитационные волны в океане.

Эта группа уравнений интенсивно исследуется в настоящее время в связи с их важностью в области механики нелинейных волновых процессов. В большей степени повышенный интерес к ним объясняется существованием у них особого рода решений в виде уединенной волны, сочетающей в себе линейные и нелинейные свойства. Они называются солитонами.

Численные методы являются основным инструментом исследования перечисленных уравнений. Поэтому развитие численных схем для их эффективного решения является необходимым условием достижения прогресса в этой важной области теории дифференциальных уравнений в частных производных и тесно связанных приложений в волновой нелинейной механике.

Целью диссертационной работы является разработка численных схем для решения уравнений Линя-Рейснера-Цзяня, Кадомцева-Петвиашвили, Богоявленского, Шриры, Захарова-Кузнецова и получение с их помощью решений ряда наиболее важных прикладных задач.

Основные результаты.

По численному моделированию уравнения Линя-Рейснера-Цзяня:

1. Реализован численный метод Боллхауза.

2. Адаптированы схемы Фазеля, Дака-Бурграфа и коррекции потоков.

3. Создан метод, основанный на идее факторизации.

4. Получено численное решение задачи о развитии трансзвукового потока в плоских каналах при наличии возмущений на стенках. Проанализированы основные случаи течений.

По эволюционным уравнениям:

1. Расширена область применимости метода Похотелова-Кадомцева для нахождения односолитонных решений.

2. Существенно модернизирован двумерный спектральный метод решения нестационарных уравнений в части расчета нелинейного слагаемого, что привело к увеличению устойчивости и быстродействия всего алгоритма.

3. Впервые получены односолитонные решения уравнения Богоявленского и исследованы парные взаимодействия солитонов уравнений Шриры и Богоявленского.

4. Найдено подтверждение факта зависимости упругости взаимодействия солитонов от свойства интегрируемости уравнений с помощью обратной задачи рассеяния и существования соответствующей пары Лакса.

Практическая важность. Работа имеет теоретическое значение. Разработанные численные методы могут быть применены для решения широкого круга трансзвуковых задач, а также целого ряда важнейших эволюционных уравнений гидродинамического типа. Самостоятельное значение имеют полученные решения конкретных задач в механике жидкости, газа и плазмы, а также в теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Достоверность результатов гарантируется качеством работы предлагаемых схем, проверка которых производилась несколькими взаимодополняющими методами. Применялось поблочное тестирование, сравнение схем между собой и на точных решениях. Использовалось сравнение с результатами других авторов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и приложения. Объем составляет 119 страниц текста, в число которых входит 39 рисунков, таблица и список цитируемой литературы из 65 наименований. Ссылки на литературу, формулы и рисунки ведутся обособленно по главам.

1. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Гидродинамика. Т.6. М.: Наука. 1988.

2. Жук В.И. Волны Толмина-Шлихтинга и солитоны. М.: Наука. 2001.

3. Lighthill M.J. On boundary layers and upstrim influence. I. Supersonic flows without separation // Pros. Roy. Sos. London. A. 1953. Vol. 217, N. 1131. P. 478-507.

4. Нейланд В.Я. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа,1969. N. 4, 53-63.

5. Stewartson К. Williams P. G. Proc. Roy. Sos. А,1969. V. 312, N. 1509, 181-195.

6. Messiter A. F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate//SIAM J. Appl. Math. 1970, v. 18, N. 1, 241.

7. Lin C.C., Reissner E., Tsien H.S. On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid // Journal of Math, and Phys. 1948. V.27. N.3. P. 220-231.

8. Van Dyke M. Perturbation Methods in Fluid Mechanics ( Annotated Edition ), Stanford, 1975.

9. Stewartson K. The Theory of Laminar Boundary Layers in compressible Fluids, Oxford, 1964.

10. Messiter A. F., Feo A., Melnik R. E.Shock-wave strength for separation of a laminar boundary layer at transonic speed// AIAA J. 1971, v. 9, N. 6, 1197-1198.

11. Рыжов О. С. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока // Докл. АН СССР.1977. Т.236. N. 5. С. 1091-1094.

12. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. 1960. М.: Изд. ин. лит.

13. Katsis С., Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution. Part 2. Three-dimensional effects // J.Fluid Mech.1987. V. 177. N. 1. P. 49-65.

14. Бибик Ю.В., Жук В.И., Попов С.П. Основные закономерности взаимодействия двумерных гидродинамических солитонов // Сообщения по прикладной математике. 2001. М.: ВЦ РАН. 59 с.

15. Fasel Н. Investigation of the stabilty of boundary layers by a finite-difference model of the Navier-Stokes equations // Journal of Fluid Mech. 1976. V.78. Pt.2. P. 355-383.

16. Burggraf O.R., Duck PAV. Spectral computation of triple-deck flow // In: Numerical and Physical Aspect of Aerodynamic Flows (ed. T. Cebeci ) P. 145-158.

17. Ballhaus W.F., Goorjian P.M. Finite-difference computations of unsteady transonic flow about airfoils // AIAA Journal. 1977. V. 15. P. 1728-1735.

18. Ballhaus W.F., Jameson A., Albert J. Implicit approximate factorization schemes for steady transonic flow problems // AIAA Journal. 1978. V. 16. N. 6. P. 573-579.

19. Боллхауз У.Ф. Некоторые новейшие достижения в численном исследовании трансзвуковых течений // Численные методы в динамике жидкостей. 1981. М.: Мир.

20. Kwak D. Nonreflecting far-field boundary conditions for unsteady transonic flow computation // AIAA Journal. 1985. V. 399. N. 18. P. 25-55.

21. Кривцов B.M. Об одной схеме приближенной факторизации для расчета течений газа в каналах. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. N. И. С. 1680-1692.51

22. Попов С.П. Примеры численных решений устойчивого уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниками // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. N. 4. С. 62-70.

23. Boris J.P., Book D.L. Flux corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works //J. Comput. Phys. 1973. V. 11. N. 1. P. 38-69.