Быстро осциллирующие и быстро убывающие асимптотические решения нелинейных уравнений математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ям. М.В.ЛОМОНОСОВА

Г 6 .ОДФАКУЛЬт ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ 5 АПР 1093 На правах рукописи •

с

ОМЕЛЬЯНОВ Георгий Александрович

УДК 517*9

БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ й БЫСТРО УБЫВАЮЩИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ . УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ,

Специальность 01.01.02*"- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедра Прикладной математики Московского института электроники и математики - технического университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Б.Ф.Бутузов доктор физико-математических наук, профессор И.А.Молотков доктор физико-математических наук В.И.Петвиашвили

Ведущая организация; Екатеринбургский Институт математики и механики УО РАН

I

Защита состоится

" {3" уиЛА' • 199'3 г. в

часов на заседании специализированного Совета Д.053.05.37 при Московском государственном университете им. ц,В.Ломоносова по адресу: 119899 Москва, МГУ, ф-т выч.мат. и киб,, 2-ой учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВМ и К МГУ

Автореферат разослан 14. (Хл/^циьА.^ 1995 г.,

Ученый секретарь О специализированного Совета

доктор физико-математических наук / Е.Й.Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение явных формул для точтйс реше-° аий реальных задач (или модальных, учитывающих неоднородность среды), как правило,оказываемся невозшжным. Поэтому потребности математического моделирования привели к развитию математических методов исследования задач, явные формулы для решения которых неизвестны» Одним из наиболее мощных средств исследования математических' моделей, содержащих малый параметр, являются асимптотические методы построения приближенных решений, удовлетворяющих уравнейш с любой степенью точности по малому параметру. Круг задач, для исследования которых применяются асимптотические методы, весьма широк и„ соответственное имеется много методов, применяемых в той или иной ситуации. Фундаментальный вклад в развитие асимптотических методов внесли Н.Н.Боголюбов, Н.М'.Крылов, А.Н.Тихонов, В.П. . Маслов, Дл.Уизем и др. , .

В диссертации развиваются методы построения быстро осциллирующих и быстро убывающих вце некоторой поверхности асимптотических решений эволюционных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных математической физики. В первой главе диссертации излагается метод построения солитонообразных асимптотических решений эволюционных нелинейных уравнений с переменными коэффициентами и малой дисперсией, Солитонообразн'ыми называются решения, представляющие собой "искаженные" солитоны, амплитуда и скорость которых меняются о временем. Уравнения с малой д^пврсией и переменными коэффициентами возникают в различных физических задачах: теория волн на воде, нелинейная теория упругости, физика плазмы и т.д. Основные методы решения этой задачи можно разделить

на два группы: методы опирающиеся на технику обратной задачи рассеяния (ОЗР) и методы, на использующие ОЗР, так называемые прямыа

> ,

методы. Б первом случае рассматриваются уравнения вида

. (I)

где уравнение интегрируется методом ОЗР, - ма-

лый параметр, - малая поправка. Здесь в первую очередь следует отметить работы Дкс.Кинера, Д.Мак Лафлина, Э.Скотта; Д.Каупа, ■ А.Ныоэлла,'В.Й.Карпмана, Е.М.Маслова и др., в которых была построена теория возмущений для солитонов на основе метода ОЗР. Вместе с тем, уравнения с переменными коэффициентами (.к- А в общей случае не сводятся к уравнениям вида (I) с интегрируемой методом ОЗР главной частью. Таким образом, развитые в указанных работах методы не решают полностью задачи построения теории воз' муцений для солитонов.

В разработке прямых методов также принимало участив много авторов. Здесь следует отметить работы М.Абловица, С.А.Вакуленко, Р.Грмшоу,Р.Джонсона, К.Ко, К.Кузла, Д.Цак-Лафлина, В.П.Иаслова, . И.А.Молоткова, Л.А'.Островского, Е.Н.Пелиновского, В.А.Цупина и ' др. На.первом этапе изучались односолитонныв асимптотики для уравнений с постоянными, либо зависящими только от времени коэффициентами и,фВ основном, только в адиабатическом приближении. Систематическая теория возмущений для уравнений с переменными коэффициентами строилась в работах Р .Джонсонами Р.Гримшоу^исходя из метода многомасштабных разложений Уизема, однако их построения справедливы только в малом.

® Во второй главе диссертации развивается метод построения бы-

стро .осциллирующих асимптотических решений з'адачи Коти для много-

^ГоТйСоТкТТ?^!"^. ' 1973' 60' Р-ЫЗ-82^.

хх) (тМтДй^ К ,-Ргос ,й. А 368, 1979, р. 377-388 .о

о

мерных уравнений с малой нелинейностью и слабой дисперсией или вязкостью. Уравнение с параметром имеет малую нелинейность, еслкг I) главный член асимптотического, осциллирующего с Частотой ©0/6.) решения имеет фазу, удовлетворяющую уравнению Гамильтона -Якоби (эйконала), которое соответствует линейной части исходного уравнения, 2) для главного члена асимптотического решения не выполнен принцип суперпозиции.

Приближение малой нелинейности издавно использовалось в работах физиков. Здесь следует отлегать работы ?„В,Хохлова, Н;Блом-бергена, С.А.Ахманова, В.Е.Захарова, С.В.Манакова, О.В.Руденко,0 С.Й.Солуяна (нелинейная оптика и акустика), Б.Б.Кадомцева, В'.И.Пе-твиагаили, О.П.Погуце, В.И.Нарпмаяа, А.Б.Михайловского (физика плазмы), А.М.Обухова, Дж.Уизема, О.Филлипса, Л.А.Островского, E.H. Пелиновского (гидродинамика и газовая динамика), а также многих других авторов, в которых для различных физических задач выведены основные нелинейные модельные уравнения математической физики.-

Выведенные уравнения, в связи с их фундаментальным значением для физических приложений, пдивлб-али внимание многих математиков. Именно изучение одного из таких модельных уравнений уравнения Кортевега - де фриса привело к созданию метода обратной задачи рассеяния. Исследования указанных уравнений проводились также традиционными методами, в том числе и численными^ В этой связи следует отметить работы Ю.Н.Днестровского, Д.П.Костомарова, С.Н.Кру-искова, А.А.Самарского, Р.Темама, й.А.Шишмарева и других авторов.

Систематическая разработка асимптотических методов в приближении малой нелинейности была начата в работах А.В.Гапонова, Л.А; Островского, Н.И.Рабиновича и др. Первые строгие результата по иссл дованию эволюционных задач с одной пространственной -временной были получены A.JI.ffiiapacou для осциллирующих резвниЯ л Л.А. Каляккныа для.реавнлй,•стабпллзирукиигся на бесконечности, или^й

библиография привэдэна в обзоре*} Вместе с тем широкий круг задач, связанный с резонансным взаимодействием коротких воли в многопарных средах со слабой дисперсией или -вязкость», долгов время оставался нерешенным. Построение теории таких взаимодействий било начато в работах В.П.Маслова и его учеников для задач со слабой дисперсией или вязкостью и в более поздних работах А.Майды с сотрудниками для гиперболических систем.

В третьей главе диссертации рассматривается краевая задача для уравнений магнитной гидродинамики (МГД) и уравнений газовой динамики при больших числах Рейкольдса в случае, когда быстро меняющееся начальное возмущение имеет величину (О (О , т.о. сравнит с основный "гладким фоном". Подобные задачи в погранслойной постановке, начиная с классических результатов Прандтля, Кардана, Г. .Шлихтинга,.Л.Г.Лойцянского, изучались в работах'Ю.Д.Шевелева, О.С Рыжова, Э.Хиршеля, В.Кордулла и многих других авторов для уравнений гидродинамики и газовой динамики, а также В.Н.Жигулевым, А.Б. Ватажинын, Г.А.Любимовым, С.А.Регирером для уравнений МГД»

В последние годы активно развивается такке направление, связанное с исследованиеи возникновения, эволюции и устойчивости структур. Общеизвестным примером таких структур являются ячейки

Банара в подогреваемой жидкости. Другиц примером являются так на-О

зываемые когерентные структуры в гидродинамике, представляющие со бой быстро осциллирующие решения уравнений Навье - Стокса. Первый результат по построению асимптотического решения, описывающего анизотропную когерентную структуру для уравнений Навье - Стокса О и газовой динамики был получен в работах В.П.Маслова*^, в которых был установлен факт асимптотической неединственности для этих ура

х^Калякин. Л.А. - УМН, 1989, т. 44, вып. Г, с. 5-34-. хх>Иаслов В.П. - ТМФ, 1985, Т. 65, № 3, с. 448-459.

о

- ? -

знаний. Практически в это зэ время была опубликована статья Д.Мак-Лафлина, Д.Папаниколау и О.Пирннеу, содержащая условный результат по построении асимптотического решения» описывающего изотропную когерентную структуру. Следует отметить такие работу В.Н.Пет-виашвкли и В.В.Янькова по теории плазмы» з которой исследовалась вопросы5 связанные с третьим типом структур - солитонани.

Близкими я рассматриваемым здесь вопросам являются такие исследования по проблеме турбулентного динаио, т.е. по явлению "самопроизвольной" генерации сравнительно больших магнитных появ'Й.

Целью работы является:

I. Разработка метода'построения сояитонообразных асимптотических решений нелинейных уравнений о переменными коэффициентами и малой дисперсией»

2 о Развитие метода построения быстро осциллирующих асимптотических решений задачи Кош для квогокзрных уравнений с кзлой нелинейностью и слабой дисперсией или вязкостью.

3. Построение асимптотического решения, описывающего когерентные структуры 2 магнитной гидродинаникв и газовой динамике при больших числах Рейнольдеа.

Научная новизна. Предложен метод построения солитонообразных асимптотических решений уравнений с переменными коэффициентами и малой дисперсией. Построены указанные асимптотические решения уравнений Кортевега - да Фриса, Уизеиа, Кадомцева - Петвиашвили» системы уравнений Буссинеска и многомерного уравнения - Гордона с переменными.коэффициентам. Получены оценки для невязки между точным и асимптотическим решением для уравнений Кортевега - да Фриса, Уизеиа и »кие - Гордона. Развит метод построения асимптотических реаений, описывающих как трехцуговое взаиыодейспле, так и явление полного резонанса в слабонелинейных средах с малой вяз-

костью или дисперсией. Построены асимптотические решения« описывающие взаимодействие коротких волн'в вязкоупругой среде8 барот-ропной атмосфере, магнитной гидродинамике, а такке взаиыодействи оптических и акустических волн. Получена оценка для невязки мевд точным и асимптотическим решением задачи Коим для пятиконстантны уравнений теории упругости. Выведены новые модельные уравненля, описывающие взаимодействие волн в-плазме в приближении токамака, обобщающие известные уравнения Кадомцева - Погуце на случай нера; новесвого внешнего поля и произвольной симметрии конфигурации пл змы, а также учитывающие аффекты генерации продольных компонент скорости и $оля. Доказано существование и единственность решения о винтовой 'симметрией указанных уравнений в изэнтропическом случае. Построено асимптотическое решение, описывающее при больших числах Рейнольдса (Ке~ анизотропную когерентную МГД-стр;

.ктуру. Показано, что решение уравнений магнитной гидродинамики асимптотически неединственно, и что гидродинамические осцилляции при малых, величины ) гладких возмущениях магнитного пол:

генерируют гладкое магнитное поле амплитуды ОС£) . Выведенные мо дельные уравнения образуют замкнутую систему для МГД-аналога ура внений Рейнольдса. Построено также асимптотическое решение, описывающее для областей со специальной симметрией (б -пинч, 2-пинч

тор) "одномерС^ю" когерентную структуру. Получен критерий асимп-

• »

тотической устойчивости структуры в несжимаемом случае. Выведана: модельные уравнения описывают, в частности, погранслойные решени) уравнений МГД и газовой 7.:шаиики для областей с произвольной гла ^кой границей. Построено асимптотическое решение,, описывающее ко герентную МГД-структуру в случаях 1?е Ре^ОДО.'Ке-*«

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер, Рассмотренные в диссертации уравнения возникают з различных зада-с чах гидродинамики, газовой динамики,.физики плазмы, нелинейной оптики и теории упругое г».« Методы, развитые в диссертации, позволяют изучать влияние неоднородностей среды на протекание процессов, а также эволюцию быстро меняющихся возмущений.

Полученные в диссертации результаты рекомендуется использовать з следующих организациях:Институте прикладной механики РАН, . Институте прикладной математики им. М„В.Келдыша РАН, ИАЗ им. Й.В^ Курчатова, Институте гидродинамики им. И.А.Лаврентьева СО РАН, Екатеринбургском институте математики к механики уо РАН.

Апробация работы. Результаты, излояенные в диссертации, докладывались на семинарах по дифференциальным уравнениям $ институтах проблем механики, проблем управления, ЛОМИ АН России, в институтах математики и гидродинамики АН Украины, з ИГУ им. М.В.Ломоносова, в МйЭМ, Харьковском гойударственном унивадситете, на Всесоюзных, Республиканских и Международных' конференциях, в том числе на Всесоюзной школа-семинаре "Методы малого параметра и их применение" (Минск, 1982), б-й Всесоюзной школе-семинаро по оптической обработке информации (Фрунзе, 1986), Всесоюзной научной совещании "Методы малого параметра" (Нальчик, 1987), Всесоюзных школах-семинарах по турбулентности и динамически,системам (Кацивели, 1985, 1988, 1991), Всесоюзной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (Тарнополь, 1989), Международных рабочих группах по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1983,1987), Международной конференции по физике плазмы (Каев, 1987), 4-й Международной конференции по пограпчяым и внутренним слоям (Новосибирск, 1986).

Публикации по теме диссертации,, Основное содержание диссертации опубликовано в 21 статье.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 205 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ- РАБОТЫ

Во введении к диссертации дается краткий исторический обзор, обосновывается актуальность темы диссертации и приводится аннотация основных результатов, полученных в ней.

В первой главе, состоящей из семи параграфов дается подробное изложение метода построения асимптотического с точностью£%е*0, однофазового солитонообразного решения на примере, уравнения

гдб^.еС0®, ,§.>0 ,¿=4,3 - малый параметр.

Определение I» Обозначим(э линейное пространство функций

({¡«Лсо/РЛ таких, что равномерно на каждом компакте

КсйМоЛ выполнено:

Р Vй Ъ

• п,*« Ьо,

существует функция §~ссг;и£Сад(Л<>Д*)сакая» что

где<.эеД>е-к, р,^, гА - мулыииндекс.

Определение 2. Обозначим д» подпространство

в таких функций

чт О

г^-еа

Определение 3. функцияиссс,-4:.д) называется (однофазовой) со-литонообразной, если для любого целого//>0 справедливо разложение

+ (3)

ы \

4 ' • о

" . £>

О

ГД6 Äc^BeC^ < CÜM ti! 0 г P= [ юг,**0},

Проведено конструктивное построение асимптотического решения

и, в частности, доказана следующая '

ос, -;

Теорема I» Пусть функция ц сос^бС CSMoJ]) удовлетворяет уравнению Хопфа

Тогда для любого целого М^О существует асимптотическое попюПЩу) солитонообразное решение уравнения (2), главный член которого дается формулой

У0= иэСоеЯ + АШеГ (f^lgt^C^ - (5) где Л ¿Щь'/Чз ;А>0 в<Ц> удовлетворяют п^иЫо.Т]ус-

ловиям типа Гюгонио ■

^-(А + а«.)^!«,.?, .

ä (А+2«вс*л»« 1А (||Ц « V (б)

- <4f «;3 v* **u. i *. *,

С=СШ удовлетворяет линейному уравнению второго порядка. Обоснование формального асимптотического решения следует из оценки для невязкибЗ=<4-^ между точным и асимптотическим решением уравнения{2). Теорема 2. Пусть выполнено предположение теоремы I,Л/><и A£±> + 3Uo0?,±)>0 . Пусть также . ,,

Тогда существует число ¿0>0 такое, что при (О,справедлива оценка //+ |

с постоянной С,, не зависящей отю и <S .

Аналогичное асимптотическое решение построено такие для уравнения Кортевега - де фриса - Бюргерса' и регуляризованиого уравне-нияданнных золн с переменными коэффициентами. Построение аналогичного асимптотического решения в случае нескольких пространсэвенных переменных проведено на примере уравнений Кадомцева - Петвиашвюш, ¿гне - Гордона с переменными коэффициентами

(?)

а также системы уравнений Буссинеска

|| +С£СУ((Н(ог>4-9С«/ди.>=0, ^ § =

гдеоебй8, - ограниченные в С функции изС*?

Определение Ь. Функция исзв&£) называется функцией, типа ударной волны,, если для любого целого числа Мъ 0 справедливо разложе-' ние (3)', где а^еС0*, £№,1)6 С*сй% 1°/П).

Обозначим в ЧЧОД решение задачи ^

Т"/ ^.УИг^-Лг.,

где , ^е 5 К -

- кривая класса - нормаль к Рс .

Отметим, что при!^*Р1>4 (8) - гиперболическое уравнение. Теорема 3. Пусть в окрестности й^Гд существует гладкое решение (8)Д?»?1И и при всех1бЮ;Г1 кривые ,Ц>С0£)=Ц лекат в Л. йгда для любого целого НъО существует асимптотическое по у»оЛ9(бл'т*)решение ударной волны уравнения (?), главный член которого имеет вид

фГде к - целое число, §> = сое,«?)/,/ (V Ч)*- ± } с я с сае ) е С "С Л

. Обоснование форкальцого асимптотического решения ^ следует из оценки для невязки между точным и асимптотическим ре-

шением уравнения (?).

Теорема Пусть выполнены предположения теоремы 3,^ % , и (^^»ДСН-ЬГ* . Пусть также-

Тогда при достаточно малых <£

•с постоянной Сд, не зависящей огй а 5 .

Аналогичные теореме 3 утверждения доказаны также,для уравнения Кадомцева - Петвиашвили и системы Буссинеска.

Построение асимптотических солитокообразных решений псевдодифференциальных уравнений проводится на примере уравнения Уиэема ^♦С^ + З^Ц^-^К-СвЬ^-О, (9) где , 3 - псевдодиффаренциальный оператгр -а символом

» и> о - некоторые константы.

со

Теорема 5. Пусть функцияиэ(£,<£)€£<ОЛ^$)удовлетворяет уравнению (4) ( .) и гладкие функции <РШ,$Фе<ОД) удовлетворяют уравнениям ^ ^

^(«й^ае + И^с^Е, (Ю)

где 92 = -!- ^еЫ 5 .Езсо^ . Пусть также Ч>.->0

оэ I

<1, где® >0 - некоторая константа, X« 5 + «Ч^. Тог-

» о

да для любого целого Л»>0 существует асимптотическое потос1ЙС£ )

солитонообразное решение уравнения (9), главный член которого да/

ется формулой ^

и0)¡¡1^8[с1»(^<гче» + ¿о*г> Г1, (II)

где С = Сак С"0 . ПриН-»0 условия (10) и функция (II) переходят в (5) и (6) = ).

Разрешимость задачи Коал для широкого класса уравнений вида (9) доказана И.А.Шиамаревым,, Обоснование асимптотика следует из оценки для невязки...злду точным и асиизтотяческим резвая-

- « -

ей уравнения (9)«

Теорема 6. Пусть выполнены предположения теоремы 5,и

приЧ6К г- " ' "

Тогда при достаточно малых £ * ¡^1

с постоянной не зависящей ото и £ .

Построение многофазовых асимптотических солитонообразных решений проводится на примере уравнения (2).

Теорема 7. Пусть функция Сй *1о,ТЗ) удовлетво-

ряет уравнению (4), и пусть функции Ц5А0 удовлетворяют ири^Со/П условиям , причем Р/

» ^ ? к** . Тогда главный членИ

.-фазового асимптотического солитонообразного решения уравнения (2) - имеет вид

г№ V. . я5, о п I о

функции выбираются из условий нормировки: предел V4

функции при

имеет вид ^.Сц^С^Ш- гладкие функции.

Аналогичные утверждения получены также для уравнений Кадомцева - Петвиашвили, Уизеыа и ^»¿це. ~ Гордона

С* ей1)

с перемен, Оными коэффициентами.

Метод построения быстро осциллирующих асЛптотических решений уравнений с малой нелинейностью и слабой вязкостью излагается в § I главы П на примере задачи о волновых процессах в среде, описываемой пятиконстангными уравнениями ^о'рии упругости. ©

ЗШ II -С „О _а<Э„ .о , . \1С1

где эе© , , ^ - положительные константы,

й О I о

дифференциальный оператор с тензорным символом,

- гладкие функции, Ч* , ^ у-пе-

риодичны по 2? с нулевым средним. Проведены конкретные построения в случаев когда начальные данные в (12) являются совокупностью двух поперечных волн с положительной фазовой скоростью, т.е. о ^{Г^Ф ЭУДх,-!)А?, ,(13)

и указан способ построения асимптотики при произвольных яериоди-

® с ческих^ «^ •

Для формулировки результата введем обозначения. Пусть решения уравнения Гамильтона - Якоби

такие,' что IV1 /¡V (пример , яри которых вы-

полнено это условие', приведен з § I)« Если %г - иррациональное число, будем предполагать, что существуют числа С>О и 2 такие, что при всех целых 0 , выполнена оценка •

}"8' Ц5)

Обозначим Н^-М^сг^эгД) , гдеЧи^ Л'** Уц . % - ска-

лярные функции,,^ -периодическое по £ решение' задачи -

% £ . I

«и,

А ХТГ

'•'¿и* »г % и./

где Л - матрица поворота, Я - диагональная 2x2 матрица,И;

ь

- скалярные коэффициенты,- производные вдоль характе-

.о .0

ристик гаыильтоиовой системы, Ф^ - коэффициенты разложения по

° векторам

Теорема 8. Пусть при^Ю/П существует гладкое решение (14)

- единица либо иррациональное число, удовлетворяющее (15), и

пусть А • а '

я (\ - ) Со*, е) = (Ссе/сА

гдеСг- /зТ-Тр/з1 , © - угол между^* и V ?>! . Тогда для любого целого^© существует асимптотическое порешение задачи (12), (13), главный член которого дается формулой

% с*,*,« - (Л3 сг'^Л

якобианы перехода к лагранжевыы координатам соответствующей системы Гамильтона, - решение (16), - решение за-

4 „

дачи . ус(1'\/ис= $ юеД)7

где функция определяется среднишзначениями и Ч3 •

Как видно из этой теоремы, в данном случае происходит как генерация третьего цуга волн, так и генерация среднего Ид .

Обоснование формалпой асимптотики ^ следует из оценки для невязки между точным и асимптотическим решением. .

Теорема 9» Пусть ЛЖ , выполнены предположения теоремы 8 и

где Н, - пространство с нормой ш , л ^ЦмЬ э £ Тогда , ' 1<<,=0

- I? -

я » „ ■ ^

с постоянными С; , на зависящими от«!? 6 .

Случай, когда имеются как однородные, так и неоднородные корни характеристического уравнения, разбирается на крикере задачи о генерации оптическими волнами (сильная дисперсия) цуга акустических волн (слабая дисперсия). Математическая модель - нелинейное уравнение Максвелла и уравнения теории упругости.

Показано, что две оптические волны с амплитудами, определяемыми Функция«« Ч^ , порождают цуг акустических волн, определяемый с помощью скалярной функции £^,38,4), согласно модельным уравнениям , ¡>

ГД- производыыэ вдоль характеристик; ^ , 1,2,3 - (2x2) -матрицы, Г, , - скаляры. При этом происходит также генерация ' гладкого акустического "фона" согласно уравнению зида (17).

Построение асимптотического решения в случае линейных корней характеристического уравнения (явление полного резонанса) проводится на примере задачи о взаимодействии соленоидальных вихрей в баротропной атмосфере

£ (II + <и^>«)в-ур_?ли, + (18)

где иММ-цИд), "Ж 6 К , Л - матрица поворота, й0 . Ставится начальное условие 0 „

где р9, и^*,,«**.«^'^,**,*-«* ^ сое) -

гладкие, регулярно зависящие от £ функции, невырокдены и их ,

градиенты не параллельны друг другу» и® ,£ Ли -периодичны по V

о о 11® оО

с нулевым средним. В главном члене функции и ,и ,Г образуют соленоидальный вихрь,' т.е.

eUvU'C,«,£>+?лив»еЖв, (20)

где ^v*, - некоторые ограниченные в С функции.

Обозначим f» coe.t) решение уравнения

(21)

Пусть также ¿jCae,-t) удовлетворяю® уравнению

и пусть -периодическая по г, , функция (8,0 удовлетворяет задаче ^

где Ъ^ь/дгл+^ь/агд, WW

- скобки Пуассона по переменным ,^ а tt< <, 1Г-

периодическая по с нулевым средним функция определяется

из начальных данных: (19) равенством СО,

Для решения задач (21), (22) справедливы законы сохранения

!!Р„1И fZ2 II r«.lS4=consis i fWj^si:, Й^ЧВ-»const, ц£Ф11г+.2§н§ >4

4 4 9 ffi « a

где II-II - норма в L CR м )5 !l • И r - норма в L ССО,йи) ). Вместе с тем гладкое решение (21), (22) существует, в случае общего

положения, лишь при достаточно малых t , что является следствием отсутствия

диссипации и дисперсии в исходной модели (18).

Теорама 10. Пусть выполнены предположения (20) и npntsio,^] существует гладкое решение задач (21), (22). Тогда асимптотическое по moot 0(£ ) решение задачи (18), (19) имеет вид

где = S% , способ вычисления

гладких функций Ub р, указан в § А.

В §§ 5,6 строятся асимптотические реаенкн, описывающие вза-кк^дейгтьке коротких волн в плазме в двухзвдкостном слабо диспер-глгеярм лгл бсльглх числах Рейнольде».

Показано,; что взаимодействие альйвеновских и медленных магни-тоэвуковых волн в косом магнитном иоле в сжимаемом случае приводит к возникновению цуга новых магнитозвуковых волн. Процесс взаимодействия этих волн описывается уравнениями вида (16), однако альф-веновские волны на взаимодействую® сами с собой, т.е. з отвечавшей альфвеноЕскиы волнам уравнении отсутствует член (Ч*4)^ Показано такяе, что при переходе к несаимаемому случаю процессы взаимодействия таких волн ослабевают и в предельном, несжимаемом случае, эффекты малой нелинейности пропадают. Построено также асимптотическое решение, описывающее вааимодействие альфвеновских волн, течения и магнитного звука. Показано, что в такой задаче волны не взаимодействуют сами с собой, и что построение асимптотического решения в этом случае сводится к решению модельных уравнений, яв-

I

ляхщихся системой линейных гиперболических уравнений и линеаризованного уравнения вида (22).

Существенно более интересная ситуация возникает в задаче о взаимодействии нескольких эолн течения. В литературе такая ситуация получила название "приближение большого продольного магнитного поля" или "приближение токамака". Этот случай разбирается в § ? для одножидкостных уравнений магнитной гидродинамики при больших числах Рейнольдса

к

V 947= о, Щ в (.V хН) - Ло! (2.о± Н), М «*с&уС«*Т) НИ

+ И £! ч 3 Л £\, /

(23)

Ставится начальное условие

представляющее совокупность гладкого "фона" И® С* и быст-

ро осциллирующих вола теченияПУ , . » Здесь глад

кие 8 невырожденные и некогерентные функции

ИЛ ««У (25)

меняющиеся в ортогональных внешнему полю Б* направлениях

<2б>

Функции^ предполагаются гладкими, почти

периодическими по^.^и такими, что начальная скорость^6 соле-ноидалька, а возмущение магнитного давления медленно меняется по воем направлениям:

^ «-О, 1,^4

и*. (27)

Мы используем обозначениеП = Х- N , где I - единичный оператор, П - оператор осреднения по ^ , .

Для описания асимптотического решения задачи (23), (24) удо-

Л л I »

бно перейти в лагранжевы координаты Ж , которые задаются

как решение уравнений ,

се°о ссО, (28) гдеж£ = 4£ , '¿"Л* , функция выбирается так, чтобы

1 а

^о определяли правую систему криволинейных координат, Ч -решение задачи Коши для уравнений идеальной магнитной гидродинами

КИ >.<1 1 п

Теорема II. Решение задачи (29) при условиях (25), (26) ЙМ96Т ВИД

и-е^с»',««*®*), 3* е3ь'с.«'71\ Щ

'5

(30)

8.- ¿о"«''«»'*

где и' , ¿ИМ^ находятся из задачи

«. с -Л ау'5, (30))

Здесь я ниже используются стандартные обозначения:©; , е - нап-

<I 3

раздающие векторы криволинейнс Я системы координат ос , ое .

•. " а а

^ - коэффициенты метрического тензора, • р^ _ коэф-

фициенты разложения вектора Р по базису „рД - ковариаитная производная,

где Г^ - символы Кристоффеля второго рода. При этом из (30) и со

леноидальности Ве следует формула В3- &^ж*.

Основной результат § 7 состоит в выводе модельных уравнений,

обобщающих известные уравнения Кадомцева - Погуце как на случай

неравновесного "внешнего" поля В так и на случай произвольной

симметрии области, занимаемой плазмой.& частной изэнтропическом

случае при равновесном состоянии В , §0 ,М. = р эти уравнения,

.описывающие взаимодействие волн течения, имеют вид 5*0 В4 Г Ъ I , 1, «V , Г; 1 1

" „ +*л'у<-»»

- скобки Пуассона по2\х

Начальному условию (24) в изэнтролическом случав отвечает следующее начальное условие для почти периодических по^,^ с нулевым средним функций Ч1 „^ »Vй

Сформулируем утверждение, ограничившись изентропическим случаем при равновесных Р> , Р6 .

Теорема 12. Пусть выполнены Предположения (25)-(2?) и пусть при -Ьб существует гладкое решение задачи (31), (32). Тог-

да асимптотическое поМое<(Р(е )решение задачи (23), (24) в указанном случае имеет вид (в лагранжевых координатах)

гг= г

Н= Всоо+ е (.■зЛе^ое,*:)* Ж^се^е*,*,^ § » ^„сог^ + е^сг^ ое,^ + £ ЗЧг^,),

О 9 3 у 5 *

Рассмотрены конкретные примеры равновесных конфигураций -9 -пинч, 2 -пинч, тороидальная конфигурация и указаны случаи, когда (51) сводится к уравнениям Кадомцева - Погуце. Вместе с теи показано, что при достаточно общем равновесном давлении р0 и не-тр/.в/.алъной геометрии плазмы (^^ Сси^) происходит генерация

продольных компонент скорости и поля, (в линейном приближении этот эффект описан В.Д.Пустовитовыы и В.Д.Шафрановым), Обозначим р

v^vvVvl^Vrin о

Пусть начальные значения имеют винтовую симметрию, т.е. = »^C*«,^-«®3, пусть $ ,5ЭЗ яе зависят от'3?3. Обозначим

i'S"4)- пространство Соболева А Г -периодических по с нулевым средним функций и опустим в обозначениях зависимость решения (31) от параметров^ , . Предположим, что диссипация в (31) является достаточно сильной, т.е.

е«р'(.-с0т) >е,, (33)

где величины С , fit определяются равновесным состоянием Ч0,& ,о

и начальным значением.^ . Существование решения (31) с винтовой симметрией следует из утверждения

Теорема 13. Пусть ^нЧ Т*) .«pJet^lT1), ¿Щи

выполнено (33). Тогда существуют и единственно функции

^«^(вхнЧт^я^со.тзн'стг*)), t'W,

удовлетворяющие задаче (31)„ (32).

Из этой теоремы и параболичности системы (31) следует гладкость решения при&>0 и, в частности, существование классического решения задачи (31), (32).

В третьей главе диссертации, состоящей из трех параграфов, строится асимптотическое решение уравнения магнитной гидродинамики, описывающее при больших числах Рейнольдса анизотропную когерентную МГД-структуру.

Поставим краевую задачу для уравнений (23) в области Sic ß3 с гладкой границей

где V?, оа),,, ,г А" -периодические при гладкие

функции, согласованные с граничными условиями; 5,6 ^ф'сосзеС^ IV ф" 1*0,

^аа.»0, ^Ф^СяЛо^^-О, (35)

полежи осциллирующая часть скорости еоленоидальны

(Зб)

причем

' (37)

гда 4

^^С^^озДа^о^^аЧта!, /Л Ь^лиг,

Введем лагранкевы координаты ¿»•И.ДД как р8ше-

< ■ л *

нив уравнений (28)9яс,«ч», и определив функции

1Р>е4и,4сю,^+е|у<|,сг,яД), «Ч (38)

где - скалярные функции, <?1Г-периодические по Г

приее, как решение уравнений

Л г .1 . • и ^

Здесь к=ДА

напряжения Рейнольдса ^ и А, К - заданные функции "VI Определим также 4<п,-Ь) как решение уравнения

гд'е функция Г. , определяемая младшими членами асимптотического решения задачи (23), (34). зависит» в частности, от гладкого возмущения скорости Ц® .

Теорема 14. Пусть выполнены предположения (35)-(37) и при ¿$10,4*3 существует гладкое решение (39). Тогда главный член асимптотического решения задачи (23), (34) имеет вид

^с^д), т*тс£в,дл (40)

где функции , определяются формулами (38) как решение (39), «»о^/а.+ ^соМ:).

Зависимость главного члена асимптотики от ф,, означает асимптотическую неединственность, а зависимость ЭД от функции С. при

приводит к эффе-ту турбулентного динамо. Осреднение уравнений (39) по 2* приводит к замкнутой системе МГД-урав-нений Рейнольдса, причем средние значения'функций (40) не зависят от сдвига фазы ф. . В частном случае погранслоИного начального ус-

ловия (37)» о , (40) является решением

типа пограничного слоя, а уравнения (39) с точностью совпа-

дают с МГД-уравненаями Прандтля. Эффекты асимптотической неединственности и турбулентного динамо в этом случае пропадают. Следствием теоремы .14 являются также формулы для когерентной газодинамической структурыв которые получаются из (39), (40) при.«Я30 .

В области со специальной симметрией решение (40), при выполнении весьма кестких условий, оказывается "одномерным".

Теорема 15. Пусть выполнены предположения теоремы 14,П^в"0,

*&оз=0 и пусть . а 3.

(41)

Тогда векторы tf к в (40) имеют вид

е,alcm¿>+e^u ®t».-4)*<2,4 ís . (42)

где скалярные функции 'Hcs определяются из

уравнений (39), в которых а® ® 0 , s 0 ,

Доказано, что условия (41) выполнены для быстро осциллирующих аналогов таких равновесных конфигураций, как © -пинчsg-пикч и тор. Получен также критерий асимптотической устойчивости "одномерной" когерентной структуры (42) в несжимаемом случае.

В § 3 рассмотрены уравнения магнитной гидродинамики в случае,

когда гидродинамическое Re и магнитное числа Рейнольдса не

£

совпадают по порядку величины. Показано, что в случаеRe^e^Re-i»«»,;

возникает два "быстрых" масштаба изменения решения. Один из них n n -VI о -</4

с^ке*, ~ Ке .отвечает когерентной структуре и магнитному пограничному слою, а второй, '^отвечает гидродинамическому логранслою. Основываясь на идеях, развитых для логранслойных асимптотик М.И.Вмикои, Л.А.Люстеряиком и А.Б.Васильевой, В.Ф.Буту- . зсвым, а тахкэ ла результатах § I, построено асимптотическое рв-Егнсе-этой задачи. Рассмотрен также случай Re^-CO) ,

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Асимптотические солктонообразные решения уравнений с налой дисперсией. - УМН, 1981, т. 36, К» 3, с.63-126 (совм. с В.П.Масловым) .

2. Поведение уединенной волны при учете малой дисперсии.- В сб. Процессы возбуждения и распространения цунами. М., Ин-ут океанологии АН СССР, 1982, с. 58-97 (совм. с В.П.Масловым и В.А.Цу-линым).

3. Об условиях типа Гюгонио для бесконечно узких решений уравнения простых волн.- Сиб. мат. жур., 1983, т. 24, № 5, с. 172-182 (совм. с В.П.Масловым).

Асимптотика некоторых дифференциальных, псевдодифференциальных уравнений и динамических систем при малой дисперсии. - Мат. сб. 1983, т. 122, fâ 2, с. 197-217 (совм. о В.П.Масловым и В.А.Цу-пиныи).

5. Солитонообразная асимптотика внутренних волн в стратифицированной жидкости с малой дисперсией. - Диф. уравнения, 1985, т. 21, ® 10, с» 1766-1775 (совм. с В.П.Масловым).

6. Quasi-noti-btociiûiiCL^ ax^aicon-S. a^ ev/a^uatcn

tnteUo'j. êouyiafaî.^ ¿ayefeâ." -ôo&ton-

SAlL-jy, Psloç. o$iie ¡V ¿иЬ^и. cowf. ov> âau.v\o!a>« and? uvicviot , - Soo£e FV-s-i*, >

Ш6, p, 362-36?. (WtU, V.P Woa&v A.

Tsu.p ivi .

7. Многоволновое взаимодействие в слабонелинейных средах с дисперсией. -В сб. Матем. механизмы турбулентности. Киев, ин-т математики АН УССР, 1986, с. 25-45 (совм. с С.Ю.Доброхотовым и В.П.Масловым).

8. Взаимодействие трех волн с учетом эффектов удвоения частот.-Изв. ВУЗов, физика, 1986, т. 29, № 5, с. 3-23 (совм. с В.П.ЕЙ-еловым).

9. Взаимодействие коротких волк малых амплитуд в слаба дисперсионной плазме, ч„ I,- Укр. матем. жур.» 198?. т. 59, 16 4» с.464--472 (совм. с В.П.Масловым).

10. Взаимодействие крротких волн малых амплитуд в слабо дисперсионной плазме, ц. П.- Укр. матем. кур», 1987, т. 39, Кн 6, с.73 7- 744 (совм. с В.П.Масловым).

11. ¿(л р&аЛг-лй.

МУЛ -ьгиа^К. - Хи'Ь. еси§. ©VI ¡р&ьЫ'Ш ,

Ръос«се(.о£ kíevJ <92?« р. Л43-ЛЧС._

12. Генерация высокочастотных волн в слабонелинейных средах с малой дисперсией. Уравнения магнитной .гидродинамики» - В сб. Асимптотич. решения диф. ур-ий. Уфа, 1988, с. 76-91.

13; Взаимодействие коротких волн в баротропной атмосфере. -ДАН СССР, 1989, т. 307, № 4, с. 844-849.

14. Однофазоваг. асимптотика для уравнений магнитной гидродинамики при больших числах Рейнольдса, -Сиб. мат. жур., 1988, т. 29, » 5, с. 172-180 (совм, с В.П.Масловым).

15. [.¿^-¡.ее'Ъ, 6оыио(А^. ¿аде^Л ¿и с/отаСм-ь си¿еи-иова*«^ - Р^Лгс®. Зз^ 1358, «33Л6В-Л80 У.?. ЯПо^Ь*),

16. Эволюция магнйтогидродинамических структур. - В сб. Вопросы кинетической теории неравновесных процессов в плазме. М., АН СССР, 1988, с. 24-44 (совм. с В.П.Масловым).

1?. ТИъ^уюЫь е^а^ои*, 1м сеъ1аи-ч

Ки-%. о^ Сотр. 1992, у/А} р. •5"-'/С С\xfCtL ЧР.7Па*,(!°1/ аиЛ 1/.4."ТЧ,«.рС*),

18. Взаимодействие коротких волн с нелинейншш фазами з слабонелинейных средах в малой вязкость». - Мат. заметки, 1990, т. 48, № 5, с. 150-155.

19. Высокочастотные ангармонические колебания в изотропных средах. - В сб. Асимлтотич. ранения задач мат. физики» Уфа, 1990, с»7б--98 о

20. Об уравнениях типа Кадомцева - Погуце для токамака а областей с произвольной симметрией. - ДАН, 19920 т„ 326, й I, с.83-90 (совм. с В.П.Масловш)»

21. Быстро осциллирующее асимптотическое решение уравнений МГД в приближении токамака. -ТИФ, 1992„ к. 92, № 2, о. 269-292 (совм. с В.П.Масловым),