Асимптотические методы для сингулярно возмущенных и осциллирующих систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Есипенко Дмитрий Георгиевич

Асимптотические методы для сингулярно возмущенных и осциллирующих систем

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Стрыгин В. В.

ВОРОНЕЖ 1998

Содержание

Введение..........................................................4

Глава I. Осциллирующие системы с двумя быстрыми временами.......................................................17

§ 1. Обозначения и необходимые утверждения....... 18

§ 2. Системы в стандартной форме с двумя быстрыми

временами................................... 25

2. 1. Построение асимптотики (25). 2. 2. О задачах, приводящих к системам с двумя быстрыми временами (30).

§ 3. Системы второго порядка с двумя быстрыми временами ...................................... 32

Глава II. Сингулярно возмущенные быстро осциллирующие системы..............................................49

§ 4. Асимптотика решения начальной задачи........ 50

4. 1. Обозначения и необходимые утверждения (50). 4. 2. Постановка начальной задачи (52). 4. 3. Построение асимптотики (53). 4. 4. Оценка остаточного члена (60).

§ 5. Асимптотика решения краевой задачи.......... 67

5. 1. Предварительные утверждения (67). 5. 2. Постановка краевой задачи (71). 5. 3. Построение асимптотики (73). 5. 4. Оценка остаточного члена (84). 5. 5.

О некоторых оптимизационных задачах, приводящих к краевым для сингулярно возмущенных осциллирующих систем (99).

Глава III. Асимптотические методы в задачах вибрационного управления......................................103

§ 6. Вибрационное управление в системах, описываемых векторными уравнениями второго порядка.. 103

6. 1. Высшие приближения в окрестности асимптотически устойчивой точки покоя (106). б. 2. Вибрационная стабилизируемость точки покоя (117). § 7. Вибрационное управление в сингулярно возмущенных системах с погранслоем................ 121

Литература.....................................................125

Введение

Настоящая работа посвящена разработке асимптотических методов для осциллирующих и сингулярно возмущенных осциллирующих систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Задачи такого рода возникают везде, где имеют место определенные быстро переходные процессы. Со времен Лапласа и Лагранжа и до наших дней такие задачи продолжают привлекать внимание, и их список продолжает пополняться. "Неослабевающий интерес к методам малого параметра обусловлен больше всего их большой прикладной значимостью. Асимптотические методы решения задач, содержащих малые параметры, находят широкое применение в гидродинамике, нелинейной механике, химической и биологической кинетике, экологии, электродинамике, теплофизике, задачах управления, теории оболочек, теории гироскопических систем, физике полупроводников и многих других областях" [52].

В работе будут рассмотрены два новых класса задач: осциллирующие системы с двумя быстрыми временами и сингулярно возмущенные осциллирующие системы, и построены их асимптотики, а также рассмотрены некоторые приложения предлагаемых асимптотических методов к задачам вибрационного управления.

Хорошо известно, что бурно развивающиеся в настоящее время численные методы не исключают асимптотических. Это происходит по ряду причин. Во-первых, разумно построенная асимптотика, особенно ее главный член, несет существенную для приложений информацию о качественном поведении решения и в этом смысле в определенной мере заменяет точное решение, которое чаще всего не может быть найдено.

Во-вторых, как это следует из сказанного выше, знание структуры решения помогает при разработке численных методов решения сложных задач, поэтому развитие асимптотических методов способствует развитию методов численных. В-третьих, для некоторых задач, особенно связанных с быстрыми осцилляциями, эффективных численных методов, дающих достаточную степень точности, пока просто нет.

Основы теории возмущений были заложены еще Лапласом и Ла-гранжем [31, 32], в работах которых встречались разложения координат планет по степеням малых планетных масс. Уже на первых этапах развития теории возмущений появились задачи как регулярно, так и нерегулярно зависящие от малых величин.

Первыми из задач с нерегулярной зависимостью, возникшими в связи с проблемами небесной механики и электротехники, стали нелинейные уравнения, которые в настоящее время часто называют осциллирующими. Уже в работах Гаусса и Делоне [18, 23] можно найти различные усредняющие схемы для нахождения приближенных решений таких задач. Систематическое применение усреднения связано с открытием ван-дер-Полем нелинейных процессов в радио- и электротехнике.

Огромную роль в создании теоретических основ асимптотических методов сыграли работы А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре [36, 48], в которых исследовались обыкновенные дифференциальные уравнения, правые части которых регулярно зависели от малого параметра, а решение рассматривалось на конечном промежутке времени.

Идея построения асимптотических рядов для дифференциальных уравнений, регулярно зависящих от малого параметра, но рассматриваемых на асимптотически больших или бесконечных промежутках времени, впервые появилась в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова в связи с очень актуальными на тот момент проблемами нели-

нейной механики. Задачи такого типа уже не могут быть отнесены к регулярно возмущенным. В работе [30], стр. 6, о рассматриваемых там "колебательных системах" говорится: "Область применимости формул, получаемых при помощи обычных методов разложения, необходимо ограничить достаточно узким интервалом времени", — и далее, — "настоящая монография и посвящена рассмотрению методов разложения по степеням малого параметра ..., равномерно удовлетворяющим дифференциальным уравнениям с точностью до фиксированной степени еп.

Дальнейшее развитие эти идеи получили в многочисленных работах ученых киевской математической школы. Суть разработанного метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского [9] состоит в автономизации исходной системы, т. е. в нахождении замены переменной, приводящей исходную систему дифференциальных уравнений к простой автономной, которая может быть легко решена. После нахождения первого и улучшенного первого приближения и подстановки их в исходное уравнение по той же схеме может быть найдено следующее приближение и т. д.

Метод усреднения для общего класса дифференциальных уравнений, имеющих многомерные векторы быстрых и медленных движений был разработан В. М. Волосовым [14,15, 16]. Им были построены первое и второе приближения для таких задач. Ю. А. Митропольский показал, как строить N-06 приближение асимптотики [40]. Позднее этот подход был применен Л. Перко к системам в стандартной форме с условно-периодическими коэффициентами [45].

Некоторые трудности, осложняющие применение метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского, связаны с громоздкостью аналитических преобразований. Вследствие этого разрабатывались различные модификации метода усреднения [41], [27]. В частности,

В. В. Стрыгин [50], [51], в связи с задачами теории гироскопических систем, предложил искать асимптотику в виде суммы плавной и вибрационной составляющих.

Несмотря на почтенный возраст теории усреднения, многие связанные с ней вопросы остаются до конца не изученными. В частности, так называемая проблема резонансов [2], [57], [20]. С другой стороны, в приложениях, например, в моделях вибрационного управления [37], возникают задачи, требующие несколько иного подхода.

В главе I данной работы рассмотрены система в стандартной форме с двумя быстрыми временами

и вибрационная система, описываемая векторным дифференциальным уравнением второго порядка с двумя быстрыми временами

д + В(д)с[ = .Р(д) + кФ(д, к1) + к2Ф(д, к*, к2*), к » 1,

и построены асимптотические разложения решений начальных задач для этих систем.

Система в стандартной форме с двумя быстрыми временами обобщает систему в стандартной форме по Боголюбову [30]. Система второго порядка рассматривается, поскольку такими уравнениями описываются многие практические задачи. Математические модели с двумя быстрыми временами могут оказаться эффективным средством при изучении осциллирующих систем с частотами различного порядка. Например, к рассмотрению системы в стандартной форме с двумя быстрыми временами приводит квазигармоническое уравнение

, 2 л/ . Ау

если = у/е. Переход к системе с несколькими быстрыми временами может оказаться полезным также при возникновении эффектов

типа резонансных. Если частоты системы близки к рационально соизмеримым, то можно ввести малый параметр, который будет эту соизмеримость характеризовать, что приведет к возникновению нового времени.

Зависимость от быстрых времен в данной работе предполагается условно-периодической, как это бывает во многих приложениях [59], [2]. Еще в классической работе [30] системы в стандартной форме были рассмотрены именно в предположении об условной периодичности колебаний (в современной терминологии).

С чисто математической точки зрения выбор в пользу рассматриваемого класса условно-периодических функций сделан исходя из следующих соображений. Если /(£) — периодическая функция и М — ее среднее значение, то /о(/($) — — вновь периодическая функция

с тем же периодом. Как известно, для почти периодических (в смысле Бора) функций аналогичное утверждение неверно. То есть если /(¿) — почти периодическая функция и М — ее среднее значение, то /о(/(а) ~ М)йв — может не быть почти периодической, ограниченной функцией. Это проявляется в расходимости соответствующего обобщенного ряда Фурье. Следовательно, в этом случае при построении асимптотики возникает необходимость проверять сходимость рядов, причем при построении каждого приближения. Поэтому в данной работе класс почти периодических функций ограничивается до подкласса условно-периодических функций Лш, где ш удовлетворяет условию отсутствия резонанса.

Определение 0.1. Класс Лш обозначает множество функций / : [0,оо) —Б,", представимых в виде /(г) = Р{шт), где — фик-

сированный вектор, а ^ : Ы* —у Ип — бесконечно дифференцируемая 2тг-периодическая по каждому аргументу функция.

Таким образом, по определению функции класса Лш допускают простую конечную аналитическую запись, что позволяет легко оперировать с ними. Часто условно-периодические функции вводятся с помощью ряда Фурье. Эквивалентность определения обосновывается следующей леммой.

Лемма 0.1. Функция / G Лш тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия :

1- /М = Е

le ik

2. коэффициенты ai, а_[ — комплексно сопряжены;

3. для любой константы (3 > 0 существует а > 0 такая, что ||а/|| < а|/|_/? для всех I G Z*.

В работе используется следующее условие отсутствия резонанса, обеспечивающее замкнутость класса условно-периодических функций относительно операций интегрирования.

Определение 0.2. Вектор и G называется нерезонансным, если найдутся такие константы g, 7 > 0; что

\(1^)\>Q\IP

для всех I G 1ф 0.

Как указывается в работе [45], мера Лебега множества нерезонансных векторов равна единице.

Суть предлагаемого подхода к конструкции асимптотик состоит в следующем. В рассмотрение вводятся медленное и быстрые времена, и асимптотика ищется в виде суммы плавной (зависящей от медленного времени) и осциллирующих компонент с нулевым средним:

xN(t, г, -â, е) = u0(t)+£{ui(t)+vi(t, t)}+£2{u2(t)+v2(t, T)+w2(t, г, #)}+. . .

Для определения коэффициентов асимптотического разложения формальный ряд подставляется в уравнение и начальное условие. В новых переменных разложение имеет вид регулярного ряда, поэтому правая часть уравнения легко может быть разложена в ряд Тейлора по степеням малого параметра. Далее приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях е и производится декомпозиция плавной и осциллирующих компонент с помощью оператора усреднения. Компоненты одинаковых типов в левой и правой частях приравниваются друг к другу, и таким образом легко и естественно получаются задачи для определения любого приближения асимптотики, коэффициенты которых выражаются через приближения более низкого порядка. Для каждой из рассматриваемых систем получены соотношения, из которых последовательно могут быть определены коэффициенты асимптотики. При этом вибрационные компоненты находятся простым интегрированием, а плавные компоненты получаются как решения некоторых начальных задач в медленном времени, причем для отыскания первого и последующих приближений получаются линейные дифференциальные уравнения, отличающиеся только неоднородностями.

К иному типу нерегулярно возмущенных задач, по сравнению с названными выше осциллирующими, можно отнести дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной, то есть сингулярно возмущенные.

Фактически еще Лиувиллем [34] было рассмотрено уравнение такого рода и, выражаясь современным языком, построена его асимптотика. В 1904 г. Прандтль [47] написал знаменитые уравнения пограничного слоя, описывающие поведение жидкости малой вязкости вблизи границы. На практике возникало много сложных задач с сингулярными возмущениями, исследованием которых занимались в каждом конкретном случае представители прикладных дисциплин,

так как соответствующего математического аппарата еще разработано

не было о

Математические основы теории сингулярных возмущений были заложены А. Н. Тихоновым в работе [53]. С этого времени началось бурное развитие данной теории, привлекшее внимание широкого круга математиков. А. Б. Васильева [11, 12, 13] разработала метод погранфункций для построения асимптотик широкого класса сингулярно возмущенных нелинейных систем. Упомянутые выше работы В. М. Волосова [15, 16] можно рассматривать как обобщение метода усреднения для сингулярно возмущенных систем в колебательном случае. Метод регуляризации С. А. Ломова [35] позволяет строить асимптотики сингулярно возмущенных систем в зависимости от свойств спектра дифференциальных операторов.

Как отмечается в работе [13], "едва ли можно говорить о получении единого простого алгоритма для всех классов задач теории сингулярных возмущений ввиду их большого разнообразия, но можно ставить вопрос о некоторой общей идее построения асимптотики, открывающей возможность получения соответствующего алгоритма в каждом отдельном случае". Представленная в главе I модификация метода усреднения допускает естественное объединение с методом погранфункций А. Б. Васильевой и поэтому, возможно, представляет некоторые перспективы в этом плане. Построению асимптотик некоторых задач на основе такого подхода посвящена вторая глава этой работы.

В главе II рассмотрен новый класс задач, описываемый сингулярно возмущенными быстро осциллирующими дифференциальными уравнениями:

= у, г),

(0.1)

= С(х)у + г).

(0.2)

Система в стандартной форме по Боголюбову является частным случаем системы (0.1), (0.2), если С = 0, D = 0. Если же отсутствует зависимость от г = t/e, то рассматриваемая система становится сингулярно возмущенной системой Васильевой.

Зависимость от быстрого времени т = t/e Е [0,Т/е] предполагается условно-периодической, а условие отсутствия резонанса (определение 0.2) выполненным.

При выполнении ряда естественных требований для системы (0.1), (0.2) построены асимптотики решений по степеням е как начальной, так так и краевой задачи. Предлагаемые для этого методы основаны на идеях А. Б. Васильевой [13] и подходе, представленном в главе I.

При построении асимптотики задачи Коши предполагалось выполненным хорошо известное условие устойчивости

sup Re\i(C(uo(t)) < 0,

1<г<т, iG[0,T]

где щ — решение задачи начального приближения. Асимптотика в данном случае имеет вид суммы трех компонент:

xN(t, е) = uo(t) + e{ui(t) + vi(t, т) + щ(г)} + ...,

yN(t, е) = U0(t) + F0(i, т) + П0(г) + e{L\(t) + V\{t, т) + Щт)} + ....

Здесь uQ(t) + eu\(t) + ..., Uo(t) + eU\(t) + ... — плавная составляющая, ev\(t, т) + ..., Vo(t, т) + eV\ (t, r) + ... — вибрационная составляющая с нулевым средним по г, а е-к\(т) + ..., П0(т) + еП^т) + ... — погран-слойная составляющая асимптотики.

Краевые условия для системы (0.1), (0.2) в данной работе задаются в следующем достаточно общем виде (предполагается, что t £ [0,1]):

Гц®(0, ё) + Г12®(1, ё) = а, Г20(О, е) + Г22у(1, ё) = (3. (0.3)

При этом должно быть выполнено требование условной устойчивости

Re\i(C(u0(t))) <0, i = 1,... ,fc, Re\i(C{u0(t))) >0, i = +

при всех t £ [0,1], где щ — начальное приближение асимптотики, а также естественные условия разрешимости краевых задач.

Асимптотика краевой задачи (0.1), (0.2), (0.3) построена в виде суммы четырех компонент:

xN(t, е) = u0(t) + e{ui(t) + vi(t, т) + tti(t) + gi(n)} + ...,

yN(t, e) = U0(t) + V0(t, т) + Пo(r) + g0(n)+

+е{и^) + V^t, t) + ni(r) + Qi(T!)} + ....

Здесь новой по сравнению с начальной задачей является погранслой-ная составляющая в окрестности t = 1 £qi(ri)+..., Qo(ri)+£Qi(7i)+- • -, где т\ = (t — 1 )Je.

Соотношения для определения коэффициентов асимптотик как для начальной, так и для краевой задач получаются аналогично тому, как э�