Возмущение двухсолитонного решения уравнения Кортевега - де Фриза тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Возмущение двухсолитонного решения КдФ в случае различных значений амплитуд.

1.1. Постановка задачи и формулировка результата.

1.2. Асимптотика решения линеаризованного уравнения КдФ

1.2.1. Разложение по квадратам функций Йоста.

1.2.2. Асимптотика двухсолитонного потенциала и функций Ф^, Ф^1 из разложения (1.16)

1.2.3. Асимптотика интеграла из разложения решения ЛКдФ

1.2.4. Асимптотика дискретной части разложения решения ЛКдФ

1.3. Доказательство теоремы

1.3.1. Доказательство теоремы 1 в случае <9UF[0] =

1.3.2. Доказательство теоремы 1 в общем случае

1.4. Частные случаи возмущения

ГЛАВА 2. Возмущение двухсолитонного решения уравнения КдФ с близкими значениями амплитуд.

2.1. Постановка задачи и формулировка результата.

2.2. Асимптотика двухсолитонного потенциала в случае близких значений амплитуд

2.3. Асимптотика решения линеаризованного уравнения

2.3.1. Асимптотика при £ —>■ 0 функций Ф"1",

2.3.2. Асимптотика интеграла из разложения первой поправки

2.4. Доказательство теоремы

2.5. Частные случаи возмущения

Введение и постановка задачи. Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой аналитический аппарат для большей части математических моделей естествознания. В частности, теоретические исследования в механике и физике в значительной степени сводятся к исследованию дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения или системы, соответствующие точным моделям, оказываются, как правило, довольно сложными, что делает невозможным не только получение решения в явном виде, но и сколько-нибудь эффективный качественный анализ. В этом случае их стремятся упростить, редуцировать к интегрируемым, пренебрегая теми или иными малыми эффектами. После решения упрощенных уравнений или систем возникает естественный вопрос об анализе более точной модели, включающей отброшенные малые эффекты. Вопросы такого характера составляют содержание теории возмущений дифференциальных уравнений.

Мерой малости обычно служит параметр 0 < е < 1, который может входить как в исходное уравнение, так и в краевые условия. Члены с множителем г в уравнении обычно называют возмущением, а уравнения, содержащие такие члены возмущенными уравнениями. Литература, посвященная уравнениям с малым параметром довольно обширна, отметим, например, монографии [5, 6, 7, 10, 14, 16, 40, 39, 42, 43, 44, 60].

Открытие в 1967 году [58] метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) позволило проинтегрировать ряд дифференциальных уравнений в частных производных, таких как уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Sin-Гордон и другие. Это послужило источником для постановки новых задач и в асимптотической теории [9, 11, 15,

25, 31, 32, 41, 59, 57, 62].

В диссертации исследуется проблема возмущения солитонов на примере уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Точнее, рассматривается задача Коши для уравнения КдФ, возмущенного малой добавкой в правой части: ut + 6иих + иххх — eF[u], t > 0, 0<е<1. (1)

Оператор F[u] - гладкая (бесконечно дифференцируемая) функция от и и от конечного числа ее производных; F[0] = 0. Начальные данные выбираются в виде двухсолитонного потенциала: u|t=0 = C/(®;S,B). (2)

S, В — параметры потенциала, постоянные векторы.

Уравнение КдФ возникает в различных областях физики, например, в гидродинамике, физике плазмы, теории волн. Члены с множителем е в правой части уравнения (1) соответствуют малым возмущениям, неизбежно присутствующим в реальном физическом процессе, например, малая диссипация, медленно меняющаяся глубина [13, 46].

Пример. Проблемы, которые возникают при построении асимптотического решения (АР) и(х, t, е) в задаче (1),(2), и способы их разрешения обсудим на примере обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрим уравнение линейного осциллятора с малым трением: utt + ш2и — —2ещ, 0 < е « 1, (3) дополненное начальными данными: и(0) = а, щ(0) - 0. (4)

Для возмущенного уравнения (3) с начальными данными (4) можно написать точное решение: u(t,e) — ехр(—et)[acos(Vuj2 - e2t) Н—. £а sin(\/cc;2 — e2t)]. (5) уа;2 — el

Рассмотрим некоторые варианты асимптотического решения задачи (3), (4). Вообще, наша цель.построить функцию u(t,e), которая при подстановке в уравнение давала бы невязку 0(е1+а), а = const > 0, е —> О, меньшую по порядку, чем возмущение. Таких функций можно построить сколько угодно, однако, ценность для нас будут представлять только те, которые допускают выделение главного члена, поправка к которому при е —> О имеет порядок о(1), равномерно в достаточно большой области переменной t, например, t G [0,то£-1].

В качестве асимптотического решения можно взять отрезок ряда Тейлора точного решения в окрестности е — 0 :

U(t, е) — a cos ut + е[ — at cos ujt H— sin ujt]. (6) uj

На конечных промежутках времени, например, 0 < t < М (М = const > 0) функция U(t, е) (6) представляет собой асимптотическое решение. При этом о , поправка к главному члену и = acosujt имеет равномерную оценку на таком промежутке через 0(e). Такие возмущения называются регулярными. На больших промежутках времени, например, порядка обратной величины малого параметра 0 < t < Ме~х (М — const > 0), разложение (6) оказывается непригодным: первая поправка содержит члены с множителем et, так что она будет иметь порядок 0(1) при е —> 0, t = О (а

Можно привести другое асимптотическое решение, включив в главный член зависимость от е : ecl аехр(—et) cos cut Н--sina;£. (7) uj

Теперь разность между точным решением и главным членом будет иметь порядок 0(e) равномерно на большом интервале t £ [0,0(б-1)]

Асимптотическое решение (7) можно получить формально в рамках общего подхода. В случае произвольного возмущения нет явных формул для точного решения. Будем строить АР, которое также обозначим через U(t, е), ак видно из (7) первая поправка при £ -> 0 ограничена для всех t > 0. Неравномерность приближения при t > 0(e~L) связана с дальнейшими поправками, в которых присутствуют члены entn~l, п > 2. и определять главный член. Широко распространенный подход состоит в том, чтобы искать АР в виде отрезка ряда по степеням е :

U (t,e) = tznu(t,z). (8) п—0

Главный член в (8) возьмем из двухпараметрического семейства периодических функций, которому принадлежит решение невозмущенного уравнения. При этом параметры, амплитуду и сдвиг фазы, будем считать функциями от медленного времени т — et : и (t,e) = A(r)cos(ujt + ф(т)). (9)

Подставляя (8) с главным членом (9) в уравнение (3) и приравнивая члены при одинаковых степенях £, получаем уравнения на коэффициенты и . Например, первая поправка определяется из уравнения

1 2 1 т-> utt -fur и— К.

Правая часть уравнения состоит из возмущения и производной главного члена по медленному времени т :

R = 2А{т)шът(ио1-\-ф(т)) — 2А!{т) cos(c^+0(r)) +2А(т)шф'(т) sin(^ + ф(т)).

В общем случае в первой поправке могут присутствовать непериодические слагаемые вида t cos out, t sin cut, которые при t — 0(г~1) имеют порядок 0(1) при е —0. Такие члены называются секулярными. Очевидно, что из асимптотического разложения секулярные члены необходимо исключить. Это накладывает на правую часть некоторые условия. А именно, в поправке и не будет секулярных членов, если в разложении правой части R(t) в ряд Фурье будут отсутствовать первые гармоники - члены пропорциональные cosut, sineat. To есть

2TT/W 27r/w

J R(t) cos ujtdt — 0, J R(t) s'mcotdt — 0. (10) о 0

Произвол, необходимый для удовлетворения этим условиям, имеется в неопределенных функциях А (г) и ф{т). Из (10) вытекает:

А'(т) = -А{т), ф'(т) = 0.

Дополнив дифференциальные уравнения соответствующими начальными данными А(0) = а, <^>(0) = 0, получаем результат, совпадающий с (7):

А(т) = аехр(-т), ф{т) = 0.

При таком выборе параметров первая поправка периодична и ограничена

Mt е к.

Первая поправка, как решение дифференциального уравнения второго порядка, содержит пару произвольных констант. Подобрав подобным образом зависимость этих параметров от г можно добиться ограниченности 2 второй поправки и— 0(1), £ —> 0. Продолжая эту процедуру, определим все коэффициенты в (8).

После построения главного члена и поправок в АР (8) возникает ряд вопросов: однозначно ли определен главный член, какова разность между точным решением и главным членом или отрезком АР. В рассмотренном примере, и это несложно проверить, главный член определен однозначно, разность между точным решением и U равна o(eN), t G [0,то£-1]. Однако, результатов такого сорта не так уж много даже для обыкновенных дифференциальных уравнений [3, 37]. Так или иначе, первым шагом при построении приближенного решения является определение главного члена асимптотического решения.

Интегрирование уравнения КдФ. Задачу о возмущении дифференциального уравнения естественно ставить в случае, когда невозмущенное уравнение (е = 0) интегрируемо, либо можно выписать решение в явном виде. Метод обратной задачи рассеяния дает возможность получить частные решения для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений.

Уравнение Кортевега-дс Фриза в МОЗР связано с линейным уравнением Шредингера:

Ь(д)ф± = ф±х + д(х)ф± = -&V. (И)

В случае убывающего потенциала |д| —У 0 при \х\ —» оо функции ф± определяются как решения с осциллирующей асимптотикой на бесконечности: ф+\х->+00 — ex.p(ik(x + 4k2t)), = ехр(-г/с(ж + 4k2t)). (12)

Эти функции связаны между собой на вещественной оси к G ш следующим соотношением: t(k)i/j~(x, к) = ф+(х, —к) + г(к)ф+(х, к), к е ш.

Функции t(k), г (к) в этом равенстве называются коэффициентами прохождения и отражения соответственно.

Известно, что потенциал q в этом уравнении находится во взаимно однозначном соответствии с так называемыми данными рассеяния оператора L, которые представляют собой коэффициент отражения г (к), точки дискретного спектра {mi,., гкдг} (нули коэффициента прохождения), коэффициенты пропорциональности {&!,., бдг} собственных функций ф+ и ф~ на дискретном спектре: iV-солитонный потенциал соответствуют нулевому коэффициенту отражения и определяются N точками дискретного спектра (дискретный спектр - простой). Таким образом, каждый iV-солитонный потенциал идентифицируется 2N параметрами:{mi,., Ikn} и {&i,., бдт}. Такая параметризация, в дальнейшем мы будем называть ее стандартной, наиболее удобна, так как параметры имеют в этом случае наглядный физический смысл (амплитуды и сдвиги фаз отдельных солитонов на которые распадается N-солитонное решение на бесконечности) и просто связаны со спектральной задачей (11).

Обратная задача восстановления потенциала по данным рассеяния приводит к интегральному уравнению типа Вольтерра [56]. Если потенциал q в уравнении Шредингера зависит от t согласно уравнению КдФ, то данные рассеяния зависят от времени достаточно просто: г (к, t) = г (к, 0) ехр(8 ikH), Kj = const, b(t) = 6(0) ехр(8/ф).

Односолитонное решение, в частности, соответствует одной точке дискретного спектра и имеет вид:

Ux = 2«2sech2(«[a: - (2к)~2In\b{t)\}) = 2к28есЬ2(к[х - 4K2t + s0}), s0 = (2«)"2In |6(0)|. (13)

Точные iV-солитонные решения (N > 2) соответствуют N точкам дискретного спектра и представляют собой довольно громоздкие выражения, однако, при \х\ + t —> +оо имеют простую асимптотику в виде суммы N различных солитонов вида (13): N

Un=J2 2/фесЬ2(^-[ж - 4/ф + Sj]) + 0(ехр(—5(|х| + *))), 5 > 0. (14) з=1

Солитоны являются устойчивыми решениями при t —> оо и с этим связан интерес к ним с точки зрения теории возмущений. Несмотря на то, что «чисто солитонные» решения соответствуют лишь очень специальным начальным данным, рассматриваемый класс задач не является чересчур узким, так как достаточно произвольная начальная функция порождает решение, асимптотически выходящее на iV-солитонный режим при t —+оо [45, 55, 75].

Возмущение интегрируемых уравнений. Богатая внутренняя структура солитонных уравнений позволяет рассматривать проблему возмущения с различных точек зрения. В теории возмущений для солитонов имеется довольно много подходов, развитых на основе МОЗР, например, [25, 61, 62]. Методы Каупа, Ньюэла [61, 62] и Карпмана, Маслова [25] позволяют вывести уравнения, описывающие медленную эволюцию данных рассеяния, используя теорию возмущений соответствующей задачи рассеяния. Кинер и Мак-Лафлин [64] развили теорию возмущений, воспользовавшись функцией Грина для решения линеаризованного уравнения. Еще один подход, предложенный Уиземом, заключается в использовании вариационного принципа для невозмущенной задачи, обобщенного на случай возмущения [49].

Довольно близко примыкает к этим подходам общая теория возмущений для частных решений нелинейных уравнений (таких, как солитоны, бризе-ры, уедененные волны, периодические решения). Она обобщает известные идеи возмущения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений [8, 30, 51, 42, 44, 54] и успешно применялась для решения многих задач в частных производных, например, [12, 18, 19, 28, 29, 38, 53, 66, 67, 68, 76].

На этих идеях основывается подход, реализованный в диссертации. Асим-птоическое решение строится в виде отрезка степенного по е ряда; в качестве главного члена выбирается двухсолитонный потенциал. Амплитуды и сдвиги фаз отдельных солитонов полагаются функциями от г и £ и подлежат определению. Эти функции определяются из условия ограниченности поправок при £ —0 равномерно Vr Е [0,то].

Возмущение одиночного солитона. Проблема возмущения одиночного солитона рассматривалась многими авторами [19, 25, 41, 64, 66]. Начальные данные имеют вид односолитонного потенциала: u(x7t)\t=o = 2к2сЬ~2(кж — s).

АР строится в виде (6) с главным членом - односолитонным потенциалом с медленно меняющимися параметрами: т к(т, е) (т) + £/с (т), s(r, е) — е"1 J 4к2(р, e)dp+ s (г), т — et. о

Первая поправка и, определяемая как решение линеаризованного на главном члене уравнения КдФ, содержит растущие при е —> 0 члены. Исключение из первой поправки секулярных членов вида et2 приводит к уравнениям на главный член амплитуды

7 ОО

Й2 = / F[2(S)2ch-2T/]ch"V»? оо и сдвига фазы

7 00 %) = f F[2(£)2ch-277](th27? + thrj + rjch.~2ri)dr). ат J 00

Определение к, s (г) гарантирует оценку для первой поправки и— 0(1), Vr Е [0, го] и невязку в уравнении порядка 0(е2). Для идентификации главного члена этого недостаточно. Необходим анализ второй поправки. Такая ситуация характерна и для случая обыкновенных дифференциальных уравнений [51]. Исключая из второй поправки члены порядка 0(s~2) получаем линейное уравнение на к (г) : кк)' + А(т) кк=В(т), где А (г), D(r)~ известные функции. Через функцию k (т) полностью восстанавливается сдвиг фазы в членах порядка 0(1). Для второй поправки можно добиться оценки е2 и— тогда невязка оценивается через

0(е2+а), а > 0.

Из построенной асимптотики усматривается качественный характер поведения возмущенного солитона. Главный член асимптотики представляет собой солитон с медленно меняющейся амплитудой (следовательно и скоростью) и сдвигом фазы. Из анализа первой поправки обнаруживается, что позади солитона главным членом асимптотического решения является медленно меняющаяся функция (так называемый хвост солитона). Она имеет порядок 0(e) и вблизи х — 0 обрывается убывающей осциллирующей функцией [22, 27].

Постановка задачи и результаты. В диссертации исследована проблема возмущения двухсолитонного решения уравнения КдФ. В рассматриваемой задаче есть принципиальные отличия от односолитонного случая. Во-первых, усложняется постановка задачи: малый параметр может присутствовать в начальных данных, характеризуя пару солитонов. В случае, когда скорости солитонов близки, начальные данные сингулярно зависят от е. Во-вторых, возникают отличия в конструировании асимптотического решения. Для построения главного члена асимптотики медленного солитона требуется детальная информация о первой поправке быстрого солитона в так называемом секторе хвоста.

Содержательная часть диссертации состоит из двух глав. В обеих главах рассматривается задача о построении асимптотическтого решения возмущенного уравнения КдФ, когда начальная функция имеет вид двухсолитон-ного потенциала. В первой главе диссертации параметры потенциала , к<2 - амплитуды солитонов различны и не зависят от малого параметра. Вторая глава диссертации посвящена похожей задаче в случае, когда амплитуды начальных солитонов зависят от £ и асимптотически близки. При этом в качестве малого параметра, характеризующего близость амплитуд, берется их усредненная разность, которая, как мы полагаем, имеет одинаковый порядок с возмущением:

К\ — К.2

-= Xs, X — const, е —У 0. (15)

Подходы к решению каждой из этих задач одинаковы и основываются на известных идеях, связанных с именами Крылова и Боголюбова. В обеих задачах построение асимптотического решения связано с четырехпара-метрическим семейством двухсолитонных потенциалов. Из этого семейства берутся начальные данные, в виде двухсолитонного потенциала можно выписать решение невозмущенной задачи. В этом же виде строится и главный член асимптотического решения для возмущенной задачи. Основная проблема, возникающая при конструировании асимптотического решения, состоит в определении параметров в главном члене, как функций от т и е.

В первой задаче в качестве таких параметров удобно выбрать амплитуды и сдвиги фаз солитонов. Таким образом, главный член асимптотического решения представляется в виде двухсолитонного потенциала (индекс 2 в обозначении такого потенциала в дальнейшем будем опускать) u= U(х; S, В), В = {кь «2}(т, е), S = {sh s2}(r, е).

Сложнее ситуация во второй задаче. Здесь более подходящей оказывается параметризация посредством другой четверки параметров Z, которая однозначно выражается через стандартные параметры B,S. Зависимость от параметра £ более сложная: малый параметр присутствует в решении даже в случае, когда исходное уравнение не возмущено (при F = 0). Представляется удобным в этом случае идентифицировать главный член АР не с самим двухсолитонным потенциалом, а с главным членом его асимптотики при е —>• 0. Такая асимптотика известна, главный член асимптотики представляется в виде суммы двух солитонов:

2K2. 2 к2

U(x;K, Q, 5, Z,e) = 2~ + 2+ +е2г(ж,г), rj± = к±[х - s±], ell Г/ СП Г)+ s± = s =F ~ In(eZ), к± = К± eQ.

Крайне важно, что в этом представлении остаются свободными введенные выше четыре параметра K,Q,S, Z.

Способы получения уравнений деформаций параметров схожи с теми, что были упомянуты выше. Мы строим выражение, которое удовлетворяло бы дифференциальному уравнению и начальным данным с невязкой 0(г2+а), а > 0, равномерной для всех т из некоторого конечного интервала [0,То]. Чтобы удовлетворить уравнению с такой точностью главного члена недостаточно и требуется построение поправок. Более того, эти же требования ведут к необходимости исключения из поправок так называемых секуляр-ных членов. Сделать это можно подходящим выбором параметров в главном члене. На этом пути и получаются уравнения для параметров.

Основные результаты содержатся в следующих двух теоремах. В первом случае начальные данные берутся в виде двухсолитонного потенциала (независимом от е) в главном члене асимптотики: u|r=o = U{x] В, S) + £v(x). (16)

Функция v(x) предполагается гладкой и быстро убывающей на бесконечности.

Теорема 1. Существует такое значение то > 0, что при всех г Е [0, tq] можно построить асимптотическое решение задачи (1), (16) в виде (6), которое обладает следующими свойствами:

1. Подстановка АР в уравнение (1) дает невязку 0(£2+а) при £ —> 0 с некоторой константой а > 0 равномерно по т Е [0, то] и х Е к.

2. Главный член АР представляет собой двухсолитонный потенциал

U = U(x;B,S)+0(e2/9), е^О, VzEk, те [0,то].

3. Параметры В — к.2}(т,е), S = {si, S2}(r, е) однозначно определяются из системы дифференциальных уравнений: dTKJ=a°j(B) + ea1j(B,S), (17) K2dT(sj/Kj) + 4:к1[/е — г!-(В, S). (18)

Функции а®, аj, в правых частях уравнений (17), (18) определяются в силу секулярного условия формулами (1.51)- (1.55) ниже.

4. Решение уравнений (17), (18) с начальными условиями В, S|r=o = В0, So имеет асимптотическое разложение:

В(т;е) = В°(т) + еВ\т) + 0(е2),

S(r;e) = e^S^B,т) + S\B,t) + 0(e), £ 0.

Во втором случае начальные данные берутся в виде двухсолитонного потенциала с близкими амплитудами: u\T=o = U(x;K,Q,S,Z,e). (19)

Теорема 2. Существует такое значение tq > 0, что при всехт Е [0, то] можно построить асимптотическое решение задачи (1),(19) в виде (6), обладающее следующими свойствами:

1) Подстановка АР в уравнение (1) и начальные данные (2) дает невязку 0(е2+а) при е —> 0 равномерно для всех т Е [0,7о], Vi G 1, с некоторым a > 0.

2) Главный член АР представляет собой двухсолитонный потенциал: й= U(x; К(т, е), Q(r, e),S(r, е), Z(r, е),е) + 0(s3/4), Vr Е [0, т0], х Е е.

3) Солитонные параметры К, Q, S, Z(r, е) определяются, как решения задачи Коши из системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

-4 К К' =a (K)+eD{K), Sr = 4K2/£ + G{I<), (.KQY - A(K)KQ = 64K5Z2 + J5(AT), (K-HnZ)' = -16KQ- a (K)/(4K3) lne- - H(K),

20) с начальными данными:

K(t,e)\t=0 = Ф(т,е)|г=о = Qo> 5(т,г)|г=0 = So, ^(r,e)|r=0 =

21)

Коэффициенты уравнений a, D,G, A, H, B(K) определены в (2.68), (2.76)-2.79) ниже. 4) Если возмущение таково, что

00 П 00

2 к$ dr, ch2rj ch2r]

0, то система (20) с начальными данными (21) однозначно разрешима на интервале т Е [0, го] равномерно для всех е Е (0, £о); — const > 0.

5) Функции К(т, с), 5(г, е) имеют асимптотические разложения при е —>

О :

К(т-е) =к (т) + 5^(т) + 0(е2),

S(t,e) = £-1s(t,e)+s(t) + 0(e), равномерные на промежутке т Е [0,ть].

Отличие друг от друга этих двух близких по содержанию утверждений состоит в том, что во втором случае система содержит явно малый параметр ее разрешимость зависит от оператора возмущения. Зависимость решения от £ оказывается более сложной.

Содержание диссертации. Перейдем к более подробному описанию содержания работы. Методы решения обеих задач схожи, базируются на одинаковых идеях, поэтому изложение будем вести параллельно для обеих глав, подчеркивая при необходимости специфику той или иной задачи.

Исследуется задача Коши для уравнения Кортевега - де Фриза, возмущенного малой добавкой: ut + Quux + иххх = eF[u], х е R, t > 0, ^ u\t=o = U(x,e) + ev(x).

Оператор возмущения F[u] - гладкая функция от и и от конечного числа производных их,., и^; F[0] = 0. Функция v(x) из начального возмущения предполагается гладкой и быстро убывающей на бесконечности. Влияние возмущения в начальных данных отслеживается лишь в первой главе, во второй полагаем v = 0.

Так как малый параметр £ может входить и в начальные данные, характеризуя пару солитонов, под невозмущенным решением будем понимать решение задачи Коши (22) при F = 0, v = 0.

Решение невозмущенного уравнения щ(х,т,£), (т = et) может быть выписано в виде двухсолитонного потенциала с подходящей зависимостью от времени и от е. Важное значение имеет асимптотика при е —> 0 невозмущенного решения. В случае различных начальных значений амплитуд решение характеризуется быстрым распадом на сумму двух солитонов с экспоненциально малой погрешностью:

Подчеркнем, что эта асимптотика пригодна лишь при г, отделенных от нуля Во втором случае, когда ni — «2 = О(е), решение невозмущенного уравнения щ(х, т, е) имеет асимптотику при е —> 0 : г]± = к±(т,е)[х — s±(r,e)} х,т£ш.

Функции s±, к± легко выражаются через К, Q, S, Z. Зависимость si s2, а также K,Q,S, Z от времени известна. 2 и0(х,т,е) = U(x;KhK2,si,s2) = Ё 2Knch \n + 0(eN), \/N > 0,

71=1

Цп = кпх - sn(r,e), x еш, т е [£2/3,то].

АР конструируется на промежутке г Е [0, то] в виде отрезка степенного ряда. Главный член АР выбирается из соответствующего класса потенциалов, параметры которого являются неизвестными функциями от т и £ : и= U(x] «i(t, е), К2(т, е), si(r, e), S2(r, е)) в первой главе, или u= U(x; К(т,е), Q(r,e), S(r,e:), Z(t:£),£) - во второй. Неизвестными являются поправки u, и и функции солитонных параметров. Задачи об определении поправок и солитонных параметров связаны между собой секулярным условием:

1 2

Секулярное условие. Поправки в АР малы: £«, £2 и— о(1) при е —> О равномерно по т Е [0, то].

Ключевой проблемой в диссертации является подробное исследование задач для поправок. Такими задачами являются решение линеаризованных на главном члене уравнений КдФ (ЛКдФ):

C(U) и = щ +6(С/ й)х+ uxxx = f, 71 = 1,2.

23)

Для решения ЛКдФ в диссертации применяется метод Фурье, хорошо зарекомендовавший себя во многих схожих задачах в теории возмущений нелинейных уравнений [22, 29, 32, 64, 46, 74, 65]. Линеаризованное уравнение разрешимо на каждом шаге методом Фурье, и решение выписывается в явном виде: v(x,r,e) = 1 г-ОО dk

2ivi •> —oo k дхЧ>+(х,к,т, e)v{k,r, e)

-^ЕК(®,т1фп"(г1е) + Фп-(11г|фв+(г,е)]. (24) n=1

Функции Ф111, Ф^ в этом разложении выражаются через функции Йо-ста ф±, которые определяются как решения спектральной задачи Штурма-Лиувилля (11),(12) при q — U.

При подходящей нормировке функций Йоста на бесконечности (12), функции Ф*, Ф^ с постоянными параметрами принадлежат ядру линеаризованного оператора:

C(U) Ф+ = 0, C{U)Vf = 0.

25)

Коэффициенты разложения в (24) легко получаются методом вариации: т т v(k, т, е) = е'1 J f(k, 9, e)d9, vf{r, е) = г"1 / ff{9, e)d9. (26) о о

Подынтегральные функции представляют собой коэффициенты разложения вида (24) правой части /(см. раздел 1.2.1 главы 1).

Если параметры потенциала U(x] B,S) произвольные функции от т, то невязка, получаемая при подстановке соответствующих функций в

ЛКдФ, имеет вид:

С7)Ф+ = «9ГФ+, £{U)Vf = dr4?f.

Усеченная производная дт вычисляется по формуле: дт = (дтВ)дв + [<9rS - -B3]<9S, (в3 - (4 4}). (27)

Если усеченная производная функций мала, порядка 0(e), то (24) дает асимптотическое решение ЛКдФ. Выражения для коэффициентов будут отличаться от (26) членами порядка 0(e). Все невязки порядка е выносятся на следующие шаги в общую асимптотическую процедуру определения 1 2 поправок и, и .

Основные результаты, составившие содержание диссертации, получены с использованием асимптотических формул для двухсолитонного потенциала и соответствующих ему функций Йоста. Асимптотическая структура потенциала в виде суммы быстро убывающих функций позволяет эффективно исследовать многие проблемы, сводя их, фактически, к односолитонному случаю. Для случая различных амплитуд характерна экспоненциальная асимптотика по е. На временах отделенных от нуля при т > 0(е1~а), У а < 1 такая асимптотика становится эффективной. Для случая близких значений амплитуд к\ — К2 — 0(e) имеет место степенная асимптотика по е. Двухсолитонный потенциал в главном представляет собой также сумму двух солитонов с равномерной по £ 1 погрешностью порядка 0(е2). Этой асимптотикой мы пользуемся для анализа первой поправки, так что погрешность такого порядка в уравнениях на солитонные параметры не проявляются вовсе.

Асимптотика функций Ф^ Ф^ получается либо непосредственно из асимптотики потенциала для первого случая [22], либо из явных формул, как во втором случае для потенциала с близкими амплитудами.

Асимптотика при gr —>- 0 дискретной части представления (24) получается из асимптотики функций Ф*, Ф^ с учетом (26). Значительная часть диссертации посвящена анализу интегралов типа Фурье с быстро осциллирующей экспонентой, возникающих в представлении (24) для поправок. В обеих главах приходится отдельно рассматривать интегралы, соответствующие первой и второй поправкам. Это объясняется отличием в поведении 1 правых частей уравнения (23): функция / быстро убывает вне солитон2 ных секторов при 00 > либо т]± -» оо, функция / не убывает при

Tjit2 —> —оо, т]± —> —оо, но экспоненциально быстро стремится к определенной константе. Асимптотика интеграла из первой поправки в задаче для солитонов с различными значениями амплитуд, полностью исследована в работах Калякина J1.A. [19, 20, 22]. Аналогичными методами исследуется интеграл, возникающий во второй поправке. Два фактора определяют структуру асимптотики интеграла: полюс к — 0 и стационарные точки фазы (к — 0, 9 — 9j) [50]. Для выделения главных членов асимптотики используются известные приемы: деформация контура в интеграле по к и интегрирование по частям в интеграле по 9. Контур деформируется в верхнюю либо нижнюю полуплоскость на линии, которые обходят полюс на расстоянии не ближе 0(е1//3). Направление деформации определяется знаком вещественной части фазы, чтобы на деформированном контуре гарантировать равномерную ограниченность экспоненты. Смена направления деформации контура происходит при 9 = 9j £ [0, г] так, что интеграл по 9 может оказаться разбитым на две части. При деформации контура появляется половина вычета в полюсе с множителем е-1. Он представляет собой главный, секулярный, член асимптотического разложения. Его порядок 0(е~2) из-за 2 неубывания функций / вне солитонных секторов [33].

В интеграле из первой поправки во второй задаче, вследствие близости амплитуд солитонов, все стационарные точки фазы находятся вблизи границы и изменение направления деформации контура интегрирования не производится. Отметим, во второй поправке возникающие секулярные члены порядка 0(е~2) сокращаются с аналогичными из дискретной части разложения (24).

Правые части уравнений на поправки определяются через предыдущие приближения с участием нелинейного оператора F[u] : f= F[U(x; В, 5)] + 2dx £ [a°nWi + r0nW^], п=1 п=1

Усеченная производная дт представляет собой разность производных по т при возмущенных и невозмущенных солитонных параметрах (27). Мы пользуемся первыми двумя членами разложения .F[U] по степеням е :

F[ U] - F[U] + s5uF[U] и +., 5UF[U] и= £ d<n)F[U]dnx и .

П=1

Функции W*'2 есть производные потенциала по параметрам. Для первой задачи:

Wl = (1 - 7?nthr)n)sech2T]n, W.2 = th7/nsech2?7n, r\n = кп(х - sn). Для второй задачи:

Wl = (1 - 77thr7)sech2^, W2 = thr/sech2//,

W] = (1 — ?7+th 77+)sech2?7+, W2 — th 7]+sech2^+, rj± = k±(x — s±).

На каждом шаге задача для поправки решается с точностью 0(e), и все невязки выносятся на следующие шаги (за исключением линейных по и членов возмущения в первой задаче). В частности, при подстановке функций U(x]B,S) в уравнение КдФ получается невязка в виде комбинации четырех линейно независимых функций Wj, (i,j = 1, 2) с множителями, которые обозначим через eaj, erj, (j = 1,2). Они представляют собой функции от параметров солитонов и их производных.

Вся неопределенность в правых частях, связанная с неизвестными соли-тонными параметрами, содержится в aj, rj. Требование асимптотического выполнения уравнения КдФ с точностью 0(e) сводится к соотношениям aj,rj = 0(1). В остальном функции aj, rj остаются неопределенными; на следующих шагах они включаются в правые части линеаризованных уравнений. Неопределенность в параметрах ликвидируется при исключении се

1 2 кулярных (не убывающих) членов в поправках £ и, е2 и. Исключение таких членов приводит к интегральным условиям на правые части. Из этих условий определяются функции aj, rj. После нахождения aj, rj, исходя из их определения выписываются дифференциальные уравнения для солитонных параметров. Таким образом задача в быстрых переменных отделяется от задачи в медленных переменных. При этом aj, rj можно отыскивать в виде рядов по степеням £ с коэффициентами, зависящими от неизвестных солитонных параметров: aj = а%В, S) + еа](В, S) + ., г, = г°(В, S) + ег}(В, S) + . .

Принципиальное отличие от односолитонного случая заключается в определении сдвига фазы второго, более медленного солитона. Дополнительные члены в сдвиге фазы порядка 0(1), возникают из-за взаимодействия с хвостом (членами порядка 0(e)) первого, более быстрого солитона. В случае различных амплитуд дело осложняется тем, что хвост медленно зависит от пространственной переменной £ = ех и от медленного времени т, вследствие воздействия на него возмущения. За большой промежуток времени от зарождения хвоста до взаимодействия с задним солитоном такое воздействие становится существенным и его необходимо учитывать. Несколько иная ситуация во второй задаче. В силу близости скоростей солитоны располагаются в пространстве на относительно небольшом расстоянии 0(| In£:[) даже на временах т = 0(1). Здесь также присутствуют эффекты взаимодействия заднего солитона с хвостом переднего, характерные для первой задачи. Кроме того, влияние солитонов друг на друга происходит и в силу их взаимодействия из-за нелинейности уравнения. В любом из этих случаев необходим аккуратный анализ асимптотики первой поправки.

В первой задаче эволюция хвоста под воздействием возмущения определяется линейной частью возмущения Fq = <9U.F[0]. В диссертации рассматривается сначала случай Fq = 0, затем результаты обобщены на случай общего возмущения Fq ф 0. В случае общего возмущения слагаемое eFu[0] и необходимо учитывать в уравнении на и:

C(U) и -6rFu[0] u=f .

1 2

Выбор a®, aj, S) обеспечивает оценку для поправки £ и +е2 и= £ —У 0 и невязку в уравнении порядка 0(е2). Более того, подбором г^ можно добиться следующей оценки £2 и (х, t] е) = 0(e1+s), обеспечивающей нужную оценку для невязки 0(e2+2S).

Локальная разрешимость уравнений для солитонных параметров в первой задаче на некотором конечном промежутке г Е [0, то] равномерно по £ не вызывает сомнения.

Поскольку в первой задаче малый параметр входит регулярно, можно построить асимптотическое разложение решения B,S(r, е) при £ —> 0. При построении такого асимптотического разложения задача несколько упрощается: уравнения переписываются в виде системы задач на коэффициенты разложения. При этом нелинейности могут встретиться лишь в скалярных уравнениях для главных членов амплитуд Конечный промежуток

0, tq], на котором разрешимы эти уравнения, определяет значение tq.

Во второй задаче равномерная разрешимость доказана лишь для особого класса возмущений. В случае, когда малый параметр входит в уравнения регулярно, можно также упростить интегрирование, разыскивая неизвестные функции в виде разложения по степеням е.

Принципиальным результатом работы является установление характера слабого взаимодействия возмущенных солитонов. В случае различных амплитуд солитонов, в уравнениях деформаций параметров первого солитона не обнаруживается никакого влияния более медленного солитона. Его поведение в точности совпадает с поведением возмущенного одиночного солитона. В уравнении для первой поправки амплитуды к\(т) второго солитона обнаруживается зависимость от амплитуды первого солитона. Подобная зависимость от переднего солитона имеется и в уравнении для сдвига фазы sj. В случае близких значений амплитуд солитоны на временах т — 0(1) представляют собой пару взаимодействующих волн и существенно влияющих друг на друга при возмущении. В обоих главах приведены результаты, соответствующие наиболее интересным возмущениям F[u] — ju и F[u] — аихх.

1 2

Поправки £ и, г2 и определены неоднозначно. Они определяется с точностью до решений однородного линаризованного уравнения с произвольными коэффициентами, от которых требуется лишь обращение в нуль при т — 0. Однако, вся неопределенность такого типа не влияет на сдвиги фаз в главном члене порядке 0(1) [24]. В этом смысле главный член определен однозначно.

Конструкция вида (8) носит формальный характер. Вопрос об обосновании полученного решения представляет отдельную задачу. В диссертации такая задача не рассматривается.

1. Абловиц А., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.- М.:Мир, 1987,- 480 с.

2. Адлер В.Э. О iV-солитонном решении уравнения Кортевега- де Фриза/ / Асимптотические методы решения задач математической физики.-Уфа, 1989 г.- С. 3-8.

3. Ажоткин В.Д., Бабич В.М. О применимости метода двухмасштабных разложений к одночастотной задаче теории нелинейных колебаний// Прикладная Математика и Механика.- 1985г. том 49, 3 С. 377-383.

4. Аркадьев В.А., Погребков А.К., Поливанов М.К. Разложение по квадратам, симплектические и пуассоновы структуры, ассоциированые с задачей Штурма Лиувилля. 1// Теоретическая и Математическая Физика.- 1987 г., том 72, 3.- С. 323-339.

5. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

6. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: ЛГУ, 1974. - 124 с.

7. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

8. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

9. Вакуленко С.А. Действие возмущения на солитоны// Записки научных семинаров ЛОМИ,- 1979 г., вып. 89.- С. 91-96.

10. Вишик М.И., Люстерник Л.А.Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// УМН,- 1957 г., том 12,5.- С. 3-120.

11. Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях// Итоги науки и техники,- 1980 г., том 15,- С. 3-94.

12. Захаров В.Е., Рубенчик A.M. Неустойчивость волноводов и солитонов в нелинейных средах.// ЖЭТФ.-1973 г., том 65, 3.- С. 997-1011.

13. Зейтунян Р.Х. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны// УФН, 1995 г., том 165, 12,- С. 1403-1456.

14. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М:. Наука, 1989. 336 с.

15. Ильин A.M., Калякин Л.А. Возмущение конечносолитонных решений уравнения Кортевега де Фриса//Доклады РАН,- 1994 г., том 336, 5. С. 595-598.

16. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнения еАи + иу — f(x,y) в прямоугольник/Математический сборник 1975 г., том 96, 4 - С. 568-583.

17. Иванычев Д.Н., Фрайман Г.М. Образование солитонных пар в нелинейных средах с малой диссипацией//Теоретическая и Математическая Физика,- 1997 г., том 110,2.- С. 254-271.

18. Кадомцев Б.В., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уедененных волн в среде со слабой дисперсией.//ДАН СССР,- 1970 г., том 192,- С. 753-756.

19. Калякин Л.А. Возмущение солитона Кортевега де Фриза// Теоретическая и Математическая Физика - 1992г., том 92, 1- С. 62-76

20. Калякин JT.А. Асимптотика первой поправки в возмущении N -солитонного решения уравнения КдФ// Математические Заметки. 1995 г, том 58, 2,- С. 204-217.

21. Калякин Л.А. Асимптотика одного интеграла, возникающего в теории возмущений// Математические Заметки.- 1991 г., том 50, 5 С. 32-42

22. Калякин Л.А. К задаче о первой поправке в теории возмущения солитонов// Мат. сборник. 1995 г., том 186, 7. С. 51-76.

23. Калякин Л.А. Асимптотика двойного интеграла типа Фурье из теории возмущений солитонов// Дифференциальные уравнения.- 1993 г., том 29,6.- С. 1010-1024.

24. Калякин Л.А. Асимптотическая корректность задачи о возмущении со-литона Кортевега де Фриза.// Асимптотики и симметрии в нелинейных динамических системах - Уфа, 1995 г., С. 38-51.

25. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // ЖЭТФ. 1977 г., том 73, 8,- С. 537-559

26. Карпман В.И. Система солитонов под воздействием возмущения. Ос-цилляторные ударные волны// ЖЭТФ,- 1979 г., том 77, 1.- С. 114-123.

27. Карпман В.И., Маслов Е.М. Структура хвостов, образующихся при возмущении солитонов// ЖЭТФ,- 1978 г., том 75, 2,- С. 504-517.

28. Киселев О.М. Асимптотика решения задачи Коши для возмущенного уравнения Клейна-Фока-Гордона // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987 г., том 165. - С. 115-121.

29. Киселев О.М. Асимптотика кинка возмущенного уравнения Sin-Gordon // Теоретическая и Математическая Физика,- 1992 г., том 93, 1- С. 39-48.

30. Кузмак Г.Е. Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами//ППМ.- 1959 г., том 23, 3.- С. 515-526.

31. Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных интегрируемых уравнений// Функциональный анализ и его приложения.- 1988 г., том 22, 3,- С. 37-52.

32. Кричевер И.М. "Гессианы"интегралов уравнения Кортевега де Фриза и возмущение конечнозонных решений// Доклады АН СССР.- 1983 г., том 270, 6,- С. 1312-1317.

33. Лазарев В.А., Асимптотика интеграла из второй поправки в теории возмущения солитонов уравнения Кортевега -де Фриза// Асимптотики и симметрии в нелинейных динамических системах.- Уфа, 1995 г.- С. 7179.

34. Калякин Л.А., Лазарев В.А., Возмущение двухсолитонного решения уравнения Кортевега де Фриза //Теоретическая и Математическая Физика.- 1997 г., том 112, 1- С. 92 102.

35. Лазарев В.А., Модуляция параметров двухсолитонного решения возмущенного уравнения КдФ// сб. трудов конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. III".- Уфа, 1996 г.-С. 109-114.

36. Лазарев В.А., Возмущение двухсолитонного решения уравнения Кортевега де Фриза в случае близких значений амплитуд, //Теоретическая и Математическая Физика- 1999 г., т.118, 3.- С. 434-440.

37. Маслов В.П. Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией // Успехи Математических Наук.-1981 г., том 36, 3.- С. 63-126.

38. Маслов В.П. Омельянов Г.А. Об условиях типа Гюгонио для бесконечно узких решений уравнения простых волн // Сибирский Математический Журнал,- 1983 г., том 24.- С. 172-182.

39. Маслов В.П. Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.- М.:Наука. 1976 г.- 296 с.

40. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы.- М.:МГУ. 1965 г.

41. Маслов Е.М. К теории возмущений для солитонов во втором приближении// Теоретическая и Математическая Физика.- 1980 г., том 42, 3.- с. 362-370.

42. Моисеев Н.Н. Асимтотические методы нелинейной механики,- М.: Наука, 1981 г.- 400 с.

43. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны.-Ленинград: ЛГУ, 1988 г.- 240 с.

44. Найфэ А. Методы возмущений М.: Мир, 1976 г. - 455 с.

45. Новокшенов В.Ю. Асимптотика при t —У оо решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера// ДАН СССР.- 1980 г., том 251,4,-С. 799-802.

46. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике,- М.: Мир, 1989 г.- 323 с.

47. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения,- М.: Наука, 1982 г.- 331 с.

48. Теория солитонов. Метод обратной задачи/ Под ред. Новиков С.П.- М.: Мир, 1980 г.- 319 с.

49. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны,- М.: Мир, 1977 г.- 622 с.

50. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды М.: Наука, 1987 г.-544 с.

51. Федорюк М.В. Метод ВКБ для нелинейного уравнения второго порядка// ЖВМ и МФ.- 1986 г., том 26,2,- С. 198-210.

52. Христов Е.А. О спектральных свойствах операторов, порождающих уравнения типа КдФ// Дифференциальные Уравнения.- 1983 г., том 19, 9.- С. 1548-1557.

53. Ablowitz M.J. Application of slowly varying nonlinear dispersive wave theories.// Stud. Appl. Math. 1971, V.50.- P. 329-344.

54. Bourland F.J., Haberman R. The modulated phase shift for strongly nonlinear, slowly varying, and weakly damped oscillators//SIAM J.Appl.Math.- 1988, V. 48,3,- P. 737-748.

55. Calogero F., Degasperis A. Spectral transform and solitons. North-Holland Publ. Сотр.- 1982.

56. Deift P., Trubowitz E. Inverse scattering on the line // Comm. Pure Appl. Math. 1979, V.32.- P. 121-251.

57. Flashka H., Forest M.G., McLaughlin D.W. Multiphase spectral solution of the Korteweg de Vries equation// Comm. Pure Appl. Math. - 1980, V.33, 6,- P. 739-784.

58. Gardner C.S., Greene G.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the KdV equation.Phys. Rev. Lett.- 1967, V.19.- P. 1095-1097.

59. Grimshaw R.H.J. Slowly varying solitary waves. l.Korteweg-de Vries equation// Proc.Roy.Soc.Lond.- 1979, A368.- P. 359-375.

60. Jeffrey A., Kawahara T. Asymptotic method in nonlinear wave theory.-Pitman, Boston, 1982. 256 p.

61. Каир D. J., Newell A.C. Solitons as particles, oscillators and in slow changing media: a singular perturbation theory // Proc.Roy.Soc.Lond.- 1978, A361.-P. 413-446.62