Структура симметрии эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

А а я 9 о

V • и " АКАДЕМИЯ НАУК СССР

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ БАШКИРСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Институт математики с вычислительным центром

На правах рукописи

МАГАДЕЕВ, БОРИС АЛЬБЕРТОВИЧ

УДК 517.95

СТРУКТУРА СШШТИИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ ' диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа -4 990

Работа выполнена на кафедре высшей алгеоры и геометрии Башкирского государственного университета имени 40-летия Октября.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.Б.Шабат

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Лычагин кандидат физиков- математических наук С.В.Хабиров

Ведущая организация: Математический институт

АН СССР им. В.А.Стеклова

Защита состоится " 1990 г. в_/5^часов на

заседании специализированного совета К 003.59.01 при, Институте математики с Вычислительным центром.Башкирского научного центра Уральского отделения АН СССР ( 450057, Уфа-57, ул'. Тукаева, 50, комн. 12 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БНЦ УрО АН СССР..

Автореферат разослан "

1990 Г.

Ученый секретарь специализированного совета, КР. , А.Б.Секерин

к.ф.- м.н.

.'. '¡г:'а

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

•Актуальность проблемы. Теория симметрии дифференциальных уравнений, восходящая к работам С. Ли, интенсивно развивалась в последние двадцать лет в связи с потребностями теоретической и математической физики, и в первую очередь, теории солитонов. После открытия метода обратной задачи началось изучение критериев его применимости к конкретным уравнениям, классификация интегрируемых уравнений и исследование необходимых для нее замен переменных. Оказалось, что все эти вопросы тесно связаны со структурой алгебры симметрии дифференциального уравнения.

Простейшими, с точки зрения теории симметрия, уравнениями с частными производными являются эволюционные уравнения

• = Р(1,х,и,и1,и2,...,ип), (1)

где ^ = Зки/ахк. Структура локальных1 симметрии' таких уравнений, независящих явно от х и г, достаточно хорошо изучена. В диссертации изучаются симметрии уравнений (1), зависящие явно от х и I. Кроме этого, затрагиваются вопросы, возникающие при попытках исследования симметрии нелокальных уравнений и уравнений с болышм числом независимых переменных. Известно, что в этих случаях возникают проблемы с выбором "динамических" переменных, что существенно затрудняет алгебраическую формализацию задачи. В диссертации рассматривается модельный класс нелокальных уравнений, для

Под локальной симметрией уравнения понимается функция, зависящая от независимых переменных X и ^ зависимой переменной и(хД) и всевозможных производных и по. X и I, и удовлетворяющая линеаризации уравнения на каждом его решения и(х.г)

которых указанные трудности удается преодолеть.

Цель работы. Работа посвящена изучению локальных ■симметрия эволюционных уравнений.

В главе 1 изучаются явно зависящие 01 I и ) локальные симметрии некоторых классов эволюционных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью.

В главе 2 изучаются контактные симметрии эволюционных дифференциальных уравнений общего вида.

В главе 3 изучаются высшие симметрии некоторых псевдодифференциальных эволюционных уравнений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

В главе 1 полностью описаны явно зависящие от х и t локальные симметрии достаточно широкого класса эволюционных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью.

В главе 2 доказано, что эволюционные уравнения, имеющие бесконечномерную алгебру классических симметрий, линеаризуются контактным преобразованием.

• В главе 3 на примере псевдодифференциальных эволюционных уранений, интегрируемость которых методом обратной задачи

о

установлена Двгасперисом и Сантини , показано, что выбор нетрадиционных динамических переменных позволяет применить локальную теорию симметрии к нелокальным уравнениям.

Методика исследования. В работе используется язык, близкий к дифференциальной алгебре. Понятия эволюционнного уравнения и его симметрии формализуются как эволюционные

Degasperis a., Santini P.m. Linear operator and conservation laws for a class of nonlinear integro differential evolution equations // Phys. Lett. A, 1983, v.98, » 5,6, p. 240 - 244.

дифференцирования в алгебре функций ■ от динамических переменных.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях по теории солитонов и нелинейным уравнениям в частных производных.

Апробация работы. Результаты диссертации регулярно докладывались на семинаре "Интегрируемые системы" под руководством проф. А.Б.Шабата в Башкирском государственном университете, а также докладывались автором на семинаре под руководством чл'.-корр. АН СССР В.Е.Захарова и Всесоюзной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Черноголовка, 1987).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 31. Работа [1] выполнена совместно с В.В".Соколовым. Из результатов этой работы в диссертацию автором включены только те результаты, которые получегш им лично.

Объеи работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на семь параграфов, и списка литературы, содержащего 30 наименований. Диссертация изложена на 100 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе изучается алгебра локальных симметрий уравнений вида

иь = Р = ип + Р(и,и,,... ,ип_2), п > 2', (2)

где = аки/<3кк, РЧи.ц,.....ип 2) - полином.

Теореиа 1. Пусть £и,х,и.....х^) - силлетрия-уравнения

(2). Тогда g = е, и,х,и,... .и^ '+ где g1 - полшол

от х, и, ..., Uj^.

Для уравнений (2) без свободного члена, таких, что

Р(0.....0) = 0, (3)

изучаются пространства симметрия ограниченного порядка. Пусть Sym_1 - пространство симметрия вида g(x,t), Syn^ пространство симметрии порядка не выше i.

Теорема 2. Бели уравнение (2), удовлетворяет условию (3), no din Syml/Syml1 < а>. Для нелинейных: уравнений dim Sym^ < а>.

Далее рассматривается вахный класс не.линейных уравнений -однородные уравнения, то есть уравне1шя, инвариантные относительно однопараметрической группы растяжений

í = x x, t = l" i, u ~ 1~a u, (4)

где n - порядок уравнения. Все однородные уравнения вида (2) удовлетворяют условию (3).

Теорема 3. Пусть однородное уравнение вив а (2) не

r¡

является формально линеаризуемы . Тогда его алгебра силлетрий порождается, гак линейное пространство, ciuuempuíuu, независяи,гии от х и t, силлетрией n F X + и J + a u,

соответствующей лаытавной группе (А), и силлетрияли

д¥/ди t + 1, если д?/8и - сшиетрия,

<9F/5u1 t + i, если д¥/ди = О, a д?/ди^ - сшиетрия,

х, хг..... х"\ если SF/Ou. = 0 при 0 í 1 { ®, dF/du , ¿ 0.

i r mil

3

Определение формальной линеаризуемое™ ст. Sokclov V.V., Shabat А.В. Classification of integrable evolution equations // IJ.Y. rHarwood Academic PubLiehers. Soviet Scientific Rewiews. Section G. 1984, v.4, - 280.

се неинтегрируемые однородные уравнения (2) удовлетворяют словию теоремы 3. Кроме того, ее условию удовлетворяют многие елинейные интегрируемые уравнения4, в частности уравнение ортевега - де Фриза и модифицированное уравнение Кортевега -е Фриза. Структура симметрия этих уравнений, не зависящих вно от х и хорошо 'известна, поэтому применение теоремы 3 эзволяет немедленно описать все их локальные симметрии.

Вторая глава посвящена изучению алгебры классических имметрий эволюционных дифференциальных уравнегай Еида (1). эрошо известно, что множество обратимых преобразования, эреводящих уравнение (1) в уравнение того же вида, счерпывается контактными преобразованиями

X - зеШ, х = ф(г,х,и,и1), ^фи.х.и.и,), (5)

1е аф/аи1 (и1 аф/аи + аф/ах) = аф/аи1 (и, лр/аи + <Эф/ах).

гассические симметрии уравнения (1) соответствуют однопараме-шческим грушам преобразований (5), действующим на множестве ¡тений этого уравнения, и часто называются контактными [мметриями. Основным результатом второй главы является

Теорема 4. Если сигебра контактных силлетрий юмэционного уравнения (1) бесконечнолернато конмштил еобразованиел (5) его ложно превратить в линейное уравнение.

Доказательство теоремы 4 основано на изучении ряда далгебр в алгебре Ли Ву эволюционных векторных полей. Пусть 0 - подалгебра векторных полей с генераторами вида 11(3:,и,и )

См., например, описки интегрируемых, уравнений в обзоре хаПлов Л.В., Соколов В.В., Шабат А.Б. СимметриАшй подход к эссификации интегрируемых уравнений. В кн. 1!нтегрируемость и этические уравнения для политопов. Киев: Наукова думка,

59.

(зависимость от t мы временно опускаем). По каждому генератор;

Fix.u.u,.....un) , € Ev (6) '

определяются три подалгебры в EvQ:

5р - лножество hix.u.u,) € EvQ, таких, что [P,hl t EvQ, ЬТ - лножество hix.u.u,) е Ev0, таких, что [F,hl е 5F, t q„ - лнохество h(x,u,u,) е таких, что (ad F)kh е Ev

£ 1 (J

при всех k е IN. Легко видеть, что э i) а ар. Удаетс описать все генераторы (6), такие, что dim 5р = <»:

Теорема 5. Пусть ord F £2. Для бесконечнолерносп алгебра необходило и достаточно, чтобы контактнь

преобразование* Р ложно Оьио превратить в один ив следугщ генераторов (с точностью до произвольного слагаелого из EvQ):

1) aF4 + pP3+7F2

где а, р, 7 = const,

F4 = u4/u4 - 10 u,u3/u5 - 5 u^/u5 + 45 u^ug/u6,

F3 = u3/u3 - 6 u^/u4 + б ut3/u5,

F2 = a/u2 - 2 u^/u3, причел 5f - алгебра всех функций вида h = g(x) u1 + g' (x) u;

n-1

2) u+J]a.(x)u,

1=2

\

причел при п 2 3 как линейное пространство порождает

элелегтали g(x), и, и, если вй±/дх = 0 для всех 1, элеленжии g(x), и в противнол случае, а при п = 2 состс из элелентов вида h = X и, + g(x,u), А. = const;

3) '- 3/2 и2г/и1 + а(х) Ug,

причел как линейное пространство порождается элелент.

g(u), u( если да/дх = О, и элементами g(u) в проливном случае. Применение теоремы 5 позволяет доказать'следующие утверждения: Теореме 6. Если dim t>F = <», по контактным преобразованием генератор F лохно превратить в линейный генератор вида

' и 4П£а.(х) u. + i(x). (7)

V 1=0

Теореыа 7. Для любого генератора F вида (б), не сводящегося контактны* преобразованиях к линейному генератору (7), илеет лесто неравенство dim «р $ ord Р + 3.

В основе доказательства теоремы 4 лежит тот факт, что подалгебра ContQ симметрия вида h(t.x.u.uj) в алгебре контактных симметрия является подмножеством алгебры Ьр, которая, согласно теореме б, конечномерна, если уравнение не линеаризуется контактным преобразованием. Однако, при доказательстве теорем 5 - 7 не учитывалась зависимость генераторов от t, и потому доказана лишь конечномерность алгебры Ър над полем ¥ функций от t, откуда, вообще говоря, не следует конечномерность алгебры ContQ над полем констант. Преодолеть это затруднение помогает

Теорема 8. Пусть S - произвольное пространство (над С) силлетрий зво.кционного уравнения (1), а Н. - конечномерное пространство над полем U, содержаще S. Тогда dlm^ S ^ dim^ Н. В третьей главе изучаются симметрии эволюционных систем г u.= w Т и

* (8) t v = и Т v,

u = w Т"1и

* , (9)

v = w Т V,

где w2 + u v = 7г = const, и некоторых редукций этих систем. Действие псевдодаТференципльных' операторов Т и Т-1 на бы^троубнвающие Функции ф(х) определяется соотношениями

ии

Т <р(х) = - V.р. Г ■п

ф(б) (18

аь(5(х-в))

00

1 г <р(в) <18

I Г цдв

Т 1 <р(х) = - - у.р. —— V ■>

Теореиа 9. Системы (8) и (9) илеют бесконечные серии коллушруюцих высших сшиетрий. Эти силлетрии являются рациональным функциями переменных и1 = Б^и и у1 = где - дифференцирование в силу соответствующей системы, и совпадают с высшли симметриями дифференциальной систем.

и?У + 2 и.У,и и2у

1и = и_ + -р-1-1* ^ 2(т г- и V)

о ? (Ю)

ути + 2 и.У.У У и

-IV = У. + ' 11

2 2(7г - и у)

Симметрии редукций систем (8) и (9) совпадают с симметриями соответствующих редукций системы (10).

Далее в диссертации рассматривается уравнение

и{ = I ч2, (11).

которое является нетривиальной редукцией системы (8), и, по-Видимому, изучается впервые. Высшие симметрии этого уравнения совпадают с симметриями модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза

и, = + 6 иЧ- (12)

Тот факт, что уравнения (11) и (12) имеют общие решения, позволяет построить п-солитонные решения уравнения (11) (отметим, что в" отличие от систем (8) и (9), при попытке получить п-солитонные решения ' уравнения .(11) стандартными

2

метода™ возникают затруднения, которые преодолеваются благодаря наличию симметрии (12)). В параметры, задающие фазы всех солитонов п-солитоннсго решения и^.т) уравнения (12), удается включить зависимость от дополнительной переменной х так, что полученная функция и(г,т:,х) удовлетворяет уравнению (11). 'Так, общее для• уравнений (11) и (12) двухсолитонное решение имеет вид

(а^ + ) (а1 сЬ Аг + а2 ей А,)

и(х,г,т) = --,

(а^ + с|) с1г А1 сЬ А2 + 2 а1 аг (1 - 8)1 А1 зП Аг)

где Ак = *Л) х - о^ г - с£ т - рк, ак.|Зк е с.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Магадеев Б.А., Соколов В.В. О полной алгебре Ли-Беклунда уравнения Коргевега-де Фриза // Динамика сплошной среды, 1981, вып.52, с.48 - 55.

. 2. Магадеев Б.А. 0 нелокальных эволюционных уравнениях, связанных со спектральной задачей Захарова - Шабата // Теор.и мат.физ., 1987, т.72, * 2, с.313 - 317.

3. Магадеев Б.А. Об алгебре контактных симметрий эволюционных уравнений//25 с. Деп. в ВИНИТИ. 1990. Я 2505-В90.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.Б.Шабату, а так ке В.В.Соколову и С.И.Свшюлупову, оказавшим значительную помощь в работе.

Соискатель Магадеев'Б.А.

П07178.ТНР.100. Sax.fi 353

У0П БЕЦ УрО АН СССР

- :

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

ДЖУРАЕВ АБУБАКИР МУХТАРОВИЧ

УДК 517.919

РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения и математическая физика

Ав тореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1989

// */ («У

Работа выполнена на кафедра специальных курсов высшей математики Московского ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Энергетического института.

Научный руководитель - доктор физино-математичвеких наук,

профессор С.А.Ломов

Официальные опнонбнты - доктор физико-математических наук,

профессор А.Б.Васильева, кандидат физико-математических наук Ю.П.Губин.

Ведущая организадия - Казахский государственный университет.

Защита состоится в 15 час.30 мш>

на заседании специализированного совета Д.053.05.37 в Московской государственной университете им.и.В.Ломоносова па адресу: 119899, Москва, В-234, Ленинские горы, фанультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотека факультета ВМ и К ЧТУ.

Автореферат разослан "

Ученый секретарь Специализированного Совета

Е.И.Моисеев

: .j -з -

'" ;' i

: ; : ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

-

Актуальность темы. Создание математических моделей реальных процессов в эпоху научно-технической революции является важным направлением современной прикладной математики. Для анализа этих модален используются различные приближенные методы. На пракгине большой интерес представляют уравнения о малым пара-негром. Поэтому, естественно, наряду с численными методами используются асимптотические методы. В настоящее время асимптотический анализ для дифференциальных операторов имеет развитую теорию в основном для случая регулярных возмущений. Что же касается сингулярно возмущенных задач, т.е. задач с малыш параметрами при старшей производной, они привлекли внимание математиков после известных работ А.Н.Тихонова, в которых были доназа-ны теоремы о предельном перехода. На основе этих работ А.Б.Васильевой и еэ учениками был разработан метод асиыпготичесного интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных задач. 8тот метод позволяет решать задачи в не колебательном случае. Для исследования задач в колебательном случае был разработан метод усреднения, получивший развитие в трудах Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Штропольского, А.Н.Филатова, М.М.Хапаева и других исследователей. Однако ни тот, ни другой метод не используются в задачах, когда спбктр содеркит как мнимые точки, тан и точки, на леаащие на мнимой оси. К задачам со смешанный спектром применяется метод регуляризации Ломова СЛ. Путей ввделення существенно особых многообразий по спектру предельного оператора метод Ломова С.А. позволяет с единой точки зрения изучить сингулярно возмущенные задачи. Поэтому развитие этого метода на сингулярно

- f -

возмущенных задач с кратный спйигрой является актуальный.

/ Цель работы. В настоящей работе изучаются линейные сингу-

/

| лярно возмущенные задачи для систем обыкновенных дидференциаль-

\ ных уравнении, в случае тождественно кратных корней харакхе-

| ристичесного уравнения. Целью работ являются получение точных

! теорем о гладкости по иалоыу параметру решений задачи Кош

\ и развитие аягоритиов асимптотического интегрирования для краевых

I задач на основа метода регуляризации Лонова С.А.

!

; Научная новлзна и практическая ценность. В диссертацион-

ной рабом получены следующие новые результаты.

1. Получены необходимые условия обычно 11 сходимости решений сингулярно возмущенной задачи Коти с иратным спектром к точный решениям.

2. Построено регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущённой краевой задачи с кратным спектром. Задача изучена в услошях стабильности спектра и при нарушении стабильности спектра предельного оператора.

S. Для краевой задачи проведено обоснование асимптотической сходимости.

Результаты диссертации id гут быть применены к задачам теории гироскопов, теории оптимального управления, к различным задачам радиотехники.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзном научном совещаний "Методы малого параметра" (Нальчик, 198? !••), на конференции математиков и механиков Киргизии (Фрунве, 1987г.), на школе-семинаре ВМК МГУ (Черноголовка, 1988 г.), на

научно-технической конференции МЭИ (Москва, 1985 г.), на школе-семинаре молодых ученых МЭИ (Фирсановка, 1986 г.), на семинарах проф. Васильевой А.Б. и проф. Хапаева М.М. и на научном семинаре по теории возмущений МЭИ (руководитель - профессор С.А.Ломов).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 80 названий. Объем диссертации составляет 90 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе диссертации рассматривается сингулярно возмущенная задача Коши

-лещ = Л аъ у (с, (1 >

При ¿->(7. Здесь предельный оператор^С^) действует из ^-мерного гильбертова пространства Н в ¡-¡и имеет точдественно кратный спектр. Для задачи (I) получены условия, при которых ре-гуляризованное асимптотическое решение, построенное А.Г.Елисеевым для данной задачи, является рядом Лорана. С этой целью в соответствии с методом р е гу л я р и э я ц и и *' в в о д я т с я регуляризующие функции

■тк = £ ¡('ЛЫ/уГ^т) с... у

о

(^..../г^-т, (Ж,..., у*;,)-- ^,/4

Ломов С.А. Введение в обиуп теория сингулярных ропмудп-нкй. - М.: Паука, 19ПГ. - 400с.

- И. -нратноа собственной значение оператора -ЛС^), и-вмьсто задачи (I) рассиагриваатся "расширенная" задача:

гд9

Определяя решниа задачи (а) в виде рада

со

И-Ц/С,^/Ч^ОЦС^Л (4)

с коэфЗицибнтаии из

v. <=л.

П-

||иЦ=Упсюс X II и-

получим итерационные аадачи

^^ ' и- =

(5)

,Г-с

Последовательно решая итерационные задачи (5) (Георемы об однозначной разрешимости итерационных задач (5) в Л/ доказаны А.Г.Ели-оеевш) в X/" опрзделик всо гааф^ицианты

Основной результат первой главы дается в видо следующего утверждения-

- 7 -

Теорема I. (стр. 16-23). Пусть выполнены условия:

2) Оператор Л(±) пе меняет структуру на С0)^1"]»

3) АтС^ШЖН^Шс^Т), и) , где ад -пространства линейных ограниченных операторов из й в И;

5) Оператор АЩ и правая часть таковы, :то решения,

однозначно определенные в Т/~ по задачам (5), удовлетворяют неравенствам:

Н^И^ >»-5'1<оьС)С55СпС.>03

Тогда задача (3) имеет единственное аналитическое по /*-решение , полученное в виде ряда (4), сходящегося в

некоторой области равномерно по -¿. и С. . Ряд

(4) при /С = ('¿^ (р = \/Р ) является решением задачи (3) (при У-ЬеСр,Т^ в области о < & << С н

равномерно ограниченным по £ ).

В качестве иллюстрации полученных в глава I результатов рассмотрены две задачи Коши (стр.24-28). Показано, что при выполнении условий теоремы I первая задача имеет единственное аналитическое по ук (¡к- решения в области о «< !/*(< £ • При нарушении условия 5) теоремы I вторая задача на имеет аналитических по /и решений.

Во второй главе рассматривается краевая задача

е^- JL(tày.= ht), (â)

где предельный оператор Jh(t) подобен кордановой матрице порядка (Т. , - Целая часть. При ¿-^О для задачи (б)

строится регулярпэованное асимптотическое решение.

В соответствии с методом регуляризации Лошва С.А. для описания существенно особых многообразий задачи (б) вводятся новые

регуляризующие фикции -fc

о 4.

где Я(-L) - единственное собственное значение оператора /L(é). Вместо искомого решения задачи (6) рассматривается "расширенная" задача:

К=1 - w-w*^-

решение которой определяется в виде степенного ряда

(7)

(8)

где = , (<c0.. ,/Ch>'CJ (Yu.. 0,

XLe = JXC (о, По, il)> oUt - fC^il).

Определяя решение задачи (7) в вида ряда (8), получки итерационные задача

^-и..»,^ о,

Л/ ri"i

Здесь введены обозначения

£ н » =>

Oh - символ Кронанора. Зги задачи решаются в пространства 1

Справедливы следующие утверждения о разрешимости итерационных задач.

Теорема 2. (стр. 36-37). Пусть вшолнейы условия 1)-;|) теоремы I (л'зС) и Т17 . Тогда для разрешимости в ТУ уравнения необходимо и достаточно, чтобы правая . часть была ортогональна (тондесг-енно по ^ ) ядру оператора со пр'яав иного я .

Георгия 3. (стр. 37-42). Пусть дола яадача

Хг*.^ о, о (ю)

и .выполнены условия 1)-'+) теоремы I ( при Т=1 ),

6) = о Уь€[Ь»£\;

и функции » являются корнями следующих

уравнений тондественно по

(И)

где Тогда:

1) существует решение в "V системы уравнений

»-I

скоНь - ^¡К^. э

И-1

2) задача (10) имеет только нулевое решение, если выполнено условие (ц-* £ Ои^-ЙГ*^

С0-иг о, 9 О»^«^*)=о} 5=е, а .

В плаве доказывается следующий результат.

Теорема 4- (сгр. 51). Пусть выполнены условия 1)-4) теоремы I и условия б),7) теоремы 3. Тогда суяоиие ряда (8) является асимптотическим рядом при £->о для решения краевой задачи (б),

т.е. для достаточно иапых (о^"] справедлива оценка /V I М+л.

В третьей глава рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача (б), при нарушении условий стабильности спектра предельного оператора. Разрабатывается алгоритм построения рагуляризо-ванного асимптотического решения этой задачи.

По спектру пучка оператора вводятся основные регуля-

.ризующие переменные по формулам; -ь

о

1.

Для описания существенно особых сингулярностей, содержащихся в решении задачи (б) при нарушении условия стабильности, введен дополнительные независимые пз ременные по формулам:

- в \ С. СЬ; = у~ц,к&ЧЬЩ".

4.

Вместо искомого решения задачи (б) рассматривается "расрираняая"

задача

К. *

%,-и=у ^^^-^е^-чл (12)

Где оС^го^П, (э- - операторы, определенные в

Определяя решение задачи (12) в виде ряда (4), получим итерационные задачи

к

^о^ - = X %¿^Лч^о^Т&г.

Справедливы следующие утверждения о нормальной и об однозначной разрешимости итерационных задач (13): Теорема 5 (стр. 61-63). Пусть в

и

дано уравнен на

где

- оператор, определенный в (9) и пусть выполнэ-

пы условия 2)-4) теоремы I и условие

Тогда для разрешимости уравнения (14) в ХГ необходимо и достаточно, чтобы 4.. <4., у**?«} ~ О,

где - скалярное произведение на гг^Т/ (стр. 58),

система векторов сопряженного оператора .

«г

Теореиа 6. Пусть в Т/~ дана задача (10), выполнены условия 2.)-Ь) георагч I, условия б),7) теоремы 3, условие 8) теоремы 5 условия

Ут. И-ь .

10) О и ©гнкциа ^(^ун^'ТЯ

определяются из уравнений (II). Тогда:

1) существует в решение системы уравнений

Ч 1 -I

2) задача (10) имеет только нулевое решение, если выполнено

условие

<

< X < О, ,

г

Используя теоремы 5 и б можно построить асимптотическое решение 8адачи (б). Основное обоснование алгоритма асимптотического интонирования дается в виде утвэркдания об оценка остаточного члена.

Теорема 7. (стр. 81). Пусть выполнены условия теоремы б. Тогда сужение ряда (4) является асимптотическим рядом при £->о для решения краевой задачи (10), то есть для достаточно малых справедлива оценка

/V 8 у

|||\

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ломову Сергею Александровичу еа постановку задач, весьма полезные советы и внимательное отношение в процессе выполнения данной работы.

ОЙЮШШ? РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Днуравв A.M. Разработка метода регуляризации для некоторых задач с кратным спектром. - В кн.: Тезисы докладов Всесоюзного научного совещания по методам малого параметра.-Нальчик,1987.-С.54.

2. Джураев А.П., Лонов С.А. Ряди Лорана для решений сингулярно возмущенных: задач. В кн.: Тезисы донладов конференции математиков и механиков Киргизии. - Фрунзе: Илим, 1987. - С.26.

3. Дкураев A.M., Елисеев А.Г. Асимптотическое интегрирование краевой задачи с кратным спектром с особенностью. - Фрунзе: Илии, 1987. - С.26.

джураев А.!,!. Разработка метода регуляризации для некоторых задач с кратным спектром. - т.: LBil, вып.141, 1^87. -

5. Дкураав A.I.I., Ломов С.А. Об аналитических решениях сингулярно возмущенных задач с кратным спектром. - В кн. :Исследования по интегро-дисйаренциальным уравнениям. - ¡1рунзв;11лим, 1980. -Вып.21. С.2ЗД-2Н.

Погммсмо к «вчап 22.03.89 г.-Формвт. бумага 6Ш90Т/ Об*ем I i.x. J-00130. 3skis 129.. Тираж ICO эк», г. ipyase,. т»аогр*$*)Т Акщеыии тук Я*рг**скоВ СОГ

ул. Цуик««,. IW»