Некоторые задачи асимптотической теории длинных нелинейных волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

• 0 0 - / С/ А' Ч - V -(

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Ли Чжи

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДЛИННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор Н. Р. Сибгатуллин

Москва 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................................................................................3

Глава 1. Уточненная теория длинных волн на поверхности воды 13

§1.1. Постановка задачи....................................................................13

§ 1.2. Уточненные уравнения Буссинеска......................................17

§ 1.3. Гамильтонов формализм........................................................21

§ 1.4. Уточненное уравнение КдФ и его каноническая форма. 25

§1.5. Солитоны на воде......................................................................30

§ 1.6. О третьем приближении для поверхностных волн на воде 43

§ 1.7. Об уточненном уравнении КП . ... .....................................47

Глава 2. Уточненное уравнение КдФ в других физических системах ...................................................................51

§ 2.1. Ионно-акустические волны в плазме....................................51

§ 2.2. Волны в нелинейной линии передачи....................................55

Глава 3. Нелинейные изгибные волны в свободных жидких пленках ..................................................................................................59

§3.1. Постановка задачи..............................................................59

§ 3.2. Гамильтонов формализм........................................................61

§ 3.3. Численное моделирование изгибных волн..........................65

Заключение..................................................................................................73

Приложения..................................................................................................75

Список литературы....................................................................................79

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена построению и исследованию модельных уравнений, описывающих нелинейные длинные волны в следующих физических задачах: 1) волны на поверхности тяжелой жидкости, 2) ионно-акустические волны, 3) волны в нелинейной линии передачи, 4) волны в свободной пленке жидкости. Показывается, что в первых трех задачах проблема сводится к исследованию уравнения типа Кортевега — де Фриза (КдФ) с поправочными членами более высокого порядка. В четвертой задаче возникает новая эволюционная система, описывающая нелинейные изгибные (капиллярные) возмущения свободных тонких пленок жидкости. Развивается асимптотический анализ, позволяющий изучить эти задачи по малому параметру.

По содержанию диссертация делится на две части. В первой части (задачи 1—3) выводится и исследуется уравнение типа КдФ

(0.0.1)

где щ — численные коэффициенты, е, ¡1 — малые параметры. Во второй части численно моделируются нелинейные изгибные волны в свободных тонких пленках на основе выведенной эволюционной системы.

Как известно, уравнение КдФ впервые было получено Корте-вегом и де Фризом [76] в 1895 г. при изучении волн на мелкой воде с плоским дном, и это уравнение дает аналитическое истолкование замечательного экспериментального открытия Рассела (1834 г.) о суще-

ствовании уединенной волны, которая распространяется вдоль канала (см. [35,43—45]). Уединенная волна — это всякий плоский волновой импульс, перемещающийся в одном направлении в пространстве и сохраняющий при этом свою форму. После работы Забуски и Крускала (1965 г.) [107], где проводится численный эксперимент для уравнения КдФ, появилось слово «солитон», под которым теперь мы понимаем уединенную волну, сохраняющую свою форму и скорость после столкновения с другой такой уединенной волны. Уравнение КдФ, в частности, описывает взаимодействие солитонов, при котором один солитон (быстрый, с большей амплитудой) догоняет другой (медленный, с меньшей амплитудой), и в результате взаимодействия первоначальные форма и скорость солитонов сохраняются. Единственное изменение солитонов после взаимодействия состоит в том, что быстрый солитон приобретает конечный фазовый сдвиг вперед, а медленный сдвигается назад. В 1967 г. Гарднер и др. [66, 67] разработали метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ, который существенно обобщил Лаке [78]. После того как в 1971 г. Захаров и Шабат [15] показали, что нелинейное уравнение Шрёдингера также может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния, теория солитонов стала бурно развиваться. В настоящий момент почти в каждой области физики обнаружены солитоны или связанные с ними физические механизмы и известно несколько десяток интегрируемых систем. По теории солитонов имеется ряд книг и монографий (см., например, [1, 8,18, 27,35,43—45,48,49, 52, 73,97]). Теория солитонов стала важной частью современной математической физики.

Уравнение КдФ — универсальное уравнение, описывающее слабо нелинейную, слабо диспергирующую плоскую волну. Основные понятия и свойства нелинейных и диспергирующих волн в различных сре-

дах изложены в книгах [8,19,32,50]. Кроме рассматриваемых в диссертации задач, уравнение КдФ еще описывает внутренние волны в стратифицированных жидкостях [33], волны давления в газо- и паро-жидкостных средах [31,34], уединенные волны Россби во вращающейся атмосфере [90], продольные волны в упругих стержнях [86]. Другие примеры содержатся, например, в книгах [43,45,73].

Двумерным аналогом уравнения КдФ является уравнение Кадомцева — Петвиашвили (КП) [17], которое описывает поперечное возмущение решений КдФ. Уравнение КП имеет ту же степень универсальности, что и уравнение КдФ. Оно возникает, например, при описании двумерных поверхностных волн на воде, когда гребни волн не совсем параллельны линии берега или друг другу. Это уравнение описывает и двумерные ионно-акустические волны [39,72]. Современные достижения для уравнения КП и различные аспекты его обобщения предлагаются в книге [7].

Уравнения КдФ и КП выделяются при соответствующих предположениях о доминирующих и малосущественных слагаемых. Для уединенной волны нелинейный эффект точно уравновешивает дисперсию. Иногда возникает необходимость модифицировать или обобщить эти уравнение в связи с повышенным требованием к изучаемым объектам, что часто отражается на учете поправок к нему. По этому направлению было опубликовано большое количество работ, и большинство из них относится к классической задаче о длинных волнах на воде.

Построение математической теории распространения поверхностных волн в идеальной жидкости конечной глубины было начато во второй половине прошлого века работами Эйри, Грина, Релея, Буссинеска, Стокса, Кортевега и де Фриза (см., например, книги [20, 21,46,47]). В последние десятилетия значительные результаты до-

стигнуты в теории нелинейных поверхностных волн в рамках уравнений длинноволнового приближения. Основные достижения в этой области и современное состояние проблемы представлены в работах [16,41,51,68,108].

Слабо нелинейные длинные поверхностные волны в жидкости конечной глубины характеризуются двумя малыми параметрами одинакового порядка е = /г§/Л2, д = а/Ио, гДе ^о — средняя глубина жидкости, Л — характерная плановая длина, а — характерная амплитуда волны. Введение этих малых параметров позволяет упростить математические модели рассматриваемых объектов, при этом с приемлемой для практических целей точностью учитываются важнейшие факторы динамики волновых процессов — нелинейность и дисперсия.

При разложении уравнений движения идеальной жидкости по малому параметру е, если опускаются все члены порядка е и выше, определяющие уравнения с учетом граничных условий становятся уравнениями мелкой воды. Если сохранить в этом разложении члены порядка 1, е, д, то будем иметь много различных форм уравнений типа Буссинеска. Разнообразие форм таких уравнений связано с возможностью преобразования диспергирующих членов с помощью линейных уравнений мелкой воды, а также связано с возможностью введения различных искомых функций — скорости на дне, на свободной поверхности или средней по глубине скорости, возвышения свободной поверхности над среднем уровнем. Для волн, распространяющихся в одном направлении, система уравнений Буссинеска сводится к уравнению КдФ.

Уравнение КдФ удовлетворительно описывает распространение и взаимодействие длинных поверхностных волн, что многократно подтверждено в экспериментах (см., например, [1, 70, 71,105,106]). В част-

ности, это уравнение оказывается пригодным для описания свойств волн цунами в открытом океане [22,38,85]. Однако имеются другие экспериментальные данные [5,6,91,93,94], которые не объясняются классической теорией КдФ. Естественно, одним из способов построения уточненной теории является удержание в уравнениях членов более высокого порядка по малым параметрам.

Эта задача в случае установившихся волн впервые была решена Лайтоном [77] и Чэппелиром [54] во втором и третьем приближениях соответственно. Фентон [61,62] продолжил их вычисление и получил решение девятого порядка с помощью компьютера. Подобные результаты также содержатся в [101]. В этих работах получено выражение для скорости распространения уединенной волны в зависимости от ее амплитуды и представлена форма уединенной волны в виде степенного ряда по функции яесЬ2.

Для исследования неустановившихся волн необходимо получить эволюционные уравнения для интересующих переменных, после чего можно поставить задачу Коши или краевые задачи.

Эволюционное уравнение вида (0.0.1), обобщающее уравнение КдФ на случай учета членов порядка е2, е/л, /Д по-видимому, впервые было получено Олвером [87,88], использовавшим гамильтонов формализм Захарова [13] для поверхностных волн на воде. Олвер обратил внимание на геометрическую структуру выведенных уравнений и не занимался их конкретным решением. Подобные уравнения получены и в ряде других работ [3—6,11, 29,30, 53, 55].

Малых и Серегин [29, 30] получили уравнение типа КдФ с поправкой и правильно заметили, что это уравнение сводится к высшему уравнению КдФ, хотя использованное ими преобразование является ошибочным.

Арсеньев и его коллеги опубликовали серию работ [3—6], посвященных уточненной теории длинных волн на поверхности воды. Был найден профиль уединенной волны и проведена экспериментальная проверка.

По-видимому, только Байатт-Смитом [53] сумел использовать полученное уравнение для изучения взаимодействия двух уединенных волн, применяя метод, обобщающий метод возмущений Карпмана — Маслова, и метод обратной задачи рассеяния. При этом уравнение типа КдФ рассматривается как возмущение соответствующего уравнения КдФ, что позволяет установить зависимость данных рассеяния оператора Штурма — Лиувилля от времени для него. Было обнаружено, что волны, имеющие в начальный момент времени вид двух-солитонного решения уравнения КдФ, после взаимодействия вопреки ожиданиями имели большее различие в амплитудах, чем до взаимодействия, при этом высокая волна немного вырастала за счет более низкой. Этот результат был подтвержден работами Фентона и Ринеккера [63, 64], где численно решалась полная система для поверхностных волн.

В настоящей диссертации в первой главе с использованием га-мильтонова формализма дается вывод уравнений, описывающих длинные волны на поверхности бесконечного слоя воды над горизонтальным ровным дном, при учете членов второго порядка по г, д, т. е. уточняются уравнения Буссинеска в теории мелкой воды. Дается метод выделения волны Римана для диспергирующих систем. Выведены эволюционные уравнения типа КдФ для возвышения свободной поверхности и горизонтальной скорости воды. В отличие от подхода Байатт-Смита в диссертации с применением техники Ко дамы [74, 75] найдено преобразование, превращающее уравнение типа КдФ в одно

из высших уравнений КдФ. Это означает, что поставленная задача во втором приближении по е, ц интегрируема и может быть решена методом обратной задачи рассеяния. Построено решение, описывающее взаимодействие N солитонов. С помощью одно- и двухсолитонных решений продемонстрированы особенности поведений уединенных волн, описываемых приведенным уравнением. Эти решения дают лучшее согласование с некоторыми экспериментальными данными. Кроме того, в диссертации рассмотрено третье приближение по е, д и показано, что в этом приближении задача уже неинтегрируема. Показано, что учет следующего приближения к уравнению КП дает также неинте-грируемую систему.

Уравнение вида (0.0.1) в других физических задачах рассмотрено во второй главе. Это тоже классические примеры, взятые из физики плазмы и электроники соответственно. В каждой задаче получено од-носолитонное решение и дано сравнение с экспериментальными данными. По-видимому, построенная в диссертации теория может быть применена для описания слабо нелинейных, слабо диспергирующих волн в других приложениях.

Во второй части диссертации рассматриваются волны в свободных жидких пленках. Под свободной пленкой жидкости подразумевается плоская жидкая струя, т. е. непрерывный слой жидкости с двумя свободными границами, перемещающийся почти в постоянном направлении пространства на расстояние многих своих поперечных размеров. Вязкостные эффекты в гидродинамике свободной пленки в силу отсутствия твердой поверхности обычно пренебрежимо малы.

Свободные струи и пленки имеют важные приложения во многих областях техники и технологии. Они применяются в таких важных технологических процессах как струйное резание, гранулирова-

ние, кондиционирование, пылеочистка, охлаждение, распыливание, инсектицидов в сельском хозяйстве, сушка и окраска распыливанием (см., например, обзор [12]).

Несмотря на столь широкое применение свободных пленок жидкости, тем не менее многие вопросы, связанные с механизмом волнообразования и разрушением пленки, особенно с учетом нелинейных эффектов, остаются открытыми. Этим проблемам и посвящена третья глава данной диссертации.

Существуют два подхода для теоретического исследования течений свободных пленок жидкости. Первый подход — это исследование неустойчивости пленочных течений на основе дисперсионного соотношения, получаемого из линеаризации уравнений движения и соответствующих граничных условий. Этот подход дает возможность учесть влияние движения окружающего воздуха на пленку. Во втором подходе обычно производится моделирование движения пленки с помощью эволюционных уравнений, что позволяет учесть нелинейные эффекты. Именно такой подход используется в диссертации. Конечно, эти два подхода не противоречивы друг другу; наоборот, они дополняют друг друга. Например, можно составить эволюционное уравнение для толщины пленки из дисперсионного соотношения и добавить в него нелинейные члены, получаемые при помощи второго подхода.

Неустойчивость плоской свободной жидкой пленки в покоящемся газе впервые исследована в [69, 98] в 50-х годах. Установлено, что по свободным пленкам могут распространяться два типа возмущений: из-гибные возмущения и возмущения толщины, на которые влияет окружающий газ. При изгибных возмущениях пленка деформируется как целое, сохраняя примерно постоянную толщину, и в этом случае волны не диспергируют (фазовая скорость равна групповой). При возмуще-

ниях толщины обе свободные поверхности симметричны относительно срединной плоскости, и имеется дисперсия (отличие фазовой от групповой скорости). Изгибные возмущения в литературе иногда называются капиллярными, извилистыми или синуозными, а возмущения толщины — узловатыми или варикозными. Примеры обоих типов возмущений даются в [99]. На пленке со стационарным полем скоростей можно наблюдать стационарную картину изгибных волн возмущений от точечного источника (см. [50]).

Фотографии свободных пленок, формирующихся при соударении струй жидкости, при истечении из форсунок, при вращении диска, к оси которого подается струя жидкости, и при других видах течения, представлены в [57]. Экспериментально изучается влияние на размер и устойчивость пленки поверхностного натяжения, вязкости и плотности жидкости. Показано, что поверхностное натяжение и вязкость жидкости оказывают стабилизирующее влияние, а влияние за счет изменения плотности проявляется незначительно. Отмечено, что в вакууме разрыв пленки осуществляется перфорацией, волнового движения на ее поверхностях не наблюдается. Этот результат подтверждается в [58,65], где также отмечается, что при наличии окружающего газа образуются изгибные волны. Стабилизирующее влияние вязкости подтверждается теоретически и в работе [59]. Следует заметить, что их результаты при использованной там аппроксимации справедливы лишь при очень больших значениях скорости.

Линейный анализ устойчивости течения свободных пленок в газовой среде продолжен в работах [79—82,84].

Задача о разрушении свободной пленки численно моделируется в работах [56,60,89,95,96] (см. также ссылки в [95]), где рассмотрены возмущени