Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГБ ОД

2 Ь АПР 1935

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 533.6.011

ШИНДЯПИН Георгий Петрович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ И ГА30ЖИДК0СТННЕХ СРЕДАХ

01.02.03. Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

САНКТ - ПЕТЕРБУРГ - 1993

Ра^тч 5ИП0ЯЙ6ЯЗ е Саратовском государственном унигегсйтет» Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Усков Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор

Жигалко Евгений Фаддоович, Доктор технических наук, профессор

Заславский Борис Иванович. Ведущая организация: Объединенный институт высоких температур Российской Академии наук ( НО ИВТ РАН ).

Защита состоится " 1993 г. в час, ОО-иын. на заседании диссертационного Совета Д 063.97.34 по заките диссертаций на соискание ученой степени доктора физико --математических наук при Санкт-Петербургской государственном университете по адресу: 198304, Санкт-Петербург, Старий Петергоф, Библиотечная пя,, 2. _

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. 1!. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресуг 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан " о/^рггЯ 1993 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета

доктор физико-иатеыатических

наук, профессор . ЗЕГЖДА С,А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. . Проблема нелинейных взаимодействий ударных волн в газах и газохидкостных средах является одной из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. С решением ее связаны успехи развития сверхзвуковой авиации и космонавтики, надежность расчетов при проектировании трубопроводов для транспортировки' топливных и др. смесей, развитие теории безопасности использования взрывных процессов в промышленности при разработке новых технологий и др.

В настоящей работе исследуются процессы взаимодействия ударных волн в газах и газохидкостных средах, теоретическое описание которых в механике'хидкости и газа в настоящее время является незавершенным. Особенно это касается взаимодействий волн относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн при этом мохет быть велика), когда за фронтами ударных волн возникают области резких изменений параметров - области коротких волн, и ударные нагрузки возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает серьезные трудности при анализе. В частности, известный парадокс Неймана состоит в том, что для относительно слабых ударных волн теоретические результаты в случае нерегулярного отрахения ударных волн не согласуются с экспериментом, в то время, как для относительно сильных волн такое согласие наблюдается.

Необходимость анализа влияния диссипативных эффектов.среды при исследовании внутренних зон взаимодействия ударных волн и, в частности, в условиях парадокса Неймана^ порохдает комплекс слабо изученных проблем, связанных с особенностями эволюционного развития структуры зон в диссипативных средах.

, В настоящее время • теория взаимодействий ударных волн в • газожидкостных средах только складывается. Необходимость анализа эффектов двухфазности среды связана о большим влиянием пузырьков нерастворенного газа на свойства схимаемости хидкости. Наличие второй фазы необходимо учитывать в связи с возмох-ной сменой рехииа взаимодействия волн и значительными количест-веннши и качественными изменениями результатов.

Изучение характерных особенностей и выявление основных закономерностей процессов взаимодействий ударных волн и возможности их практического использования представляет сложную, актуальную с практической и теоретической точки зрения задачу.

Работа выполнена в Саратовском государственном университете в рамках темы "Аэродинамика" координационного плана по механике AHGCCP ( н г.р. 01870000167 ), а также по гранту (2-44-13-46, 1092-93г.) мин-ва ВШ и ТП.

Целью данной работы является развитие общего теоретического подхода к исследованию процессов нелинейных взаимодействий ударных волн относительно малой и умеренной интенсивности в газах и газожидкостных (пузырьковых) средах при различных режимах взаимодействия, отражения, дифракции и рефракции волн, включая режимы маховского взаимодействия волн в условиях парадокса Неймана, способствующего углублению и расширению представлений о закономерностях и физических особенностях явлений.

Комплексный характер проблемы вызывает необходимость использования теоретических (аналитических и численных) методов анализа, а также результатов известных экспериментальных исследований. Основную роль выполняют аналитические методы анализа, основанные на выделении структурных особенностей течений.

Научная новизна. В работе получило обоснование новое научное направление - метод исследования нелинейных взаимодействий относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах, включающий:

- оригинальную постановку краевых и локальных задач взаимодействия на базе математической модели равновесной газожидкостной среды с уравнениями, обобщающими уравнения движения газа (Лайт-хилла);

- численно-аналитический метод решения краевых и , локальных задач, содержащий анализ классов точных решений уравнений коротких волн и численное решение нелинейных краевых задач взаимодействия. '

Показано принципиальное место нелинейной теории коротких волн, заложенной в отечественных работах (Гриб А.А, Рыжов O.G., Христианович С.А. (1956-1960)), как внутренней асимптотической теории разложения по .малому параметру интенсивности ударной волны.

Получены решения для класса задач: отражения, взаимодействия, дифракции, рефракции ударных волн на границе раздела сред с различными газосодержаниями и различными физическими свойствами, позволяющие провести анализ явлений и установить закономерности процессов.

Выявлена внутренняя диссипативная структура потока при зарождении зон взаимодействия (ветвления) ударных волн в" дисси-пативных средах. На основе анализа начальной особенности для зон взаимодействия волн выявлены качественные различия при зарождении регулярных и нерегулярных (маховских) структур, объясняющие различия в формировании условий в точках ветвления ударных волн при исчезающей диссипации.

Разработаны аналитические модели нерегулярного,взаимодействия и отражения ударных волн в газах и газожидкостных средах в условиях действия парадокса Неймана при нетрадиционных условиях в тройных точках. Получены теоретические результаты, согласующиеся с экспериментом.

Проведена классификация режимов взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах в задачах отражения, взаимодействия двух волн, рефракции. Выявлено влияние газосодержания среды на положение границ областей существования различных режимов взаимодействия ударных волн.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов и расчетных зависимостей с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными, согласованностью результатов для внутренних и внешних полей течений, обоснованностью используемых методов исследования. В частности, на основе анализа полученных расчетных и известных экспериментальных данных по гидроудару при пузырьковом и снарядном режимах течения газожидкостной смеси обоснована применимость использованной термодинамической модели при исследовании взаимодействий ударных волн относительно малой и умеренной интенсивности.

Практическая ценность. Выводы, оценки и рекомендации теории нелинейных взаимодействий ударных волн используются в различных областях хозяйственной деятельности: авиации, космонавтике, транспортировке нефти и газа по трубопроводным системам, метрологии, машиностроении и др.

Применение разработанной в диссертации теории к анализу явления гидравлического удара в газохидкостных средах позволило объяснить ряд физических закономерностей ударных процессов, предсказать интенсивность ударных нагрузок.

Полученные результата углубляют представление о физических процессах взаимодействия ударных еолн и развивают аналитические

и численные методы исследований и расчета течений с относительно слабыми ударными волнами.

Результаты исследований использованы при подготовке учеб-нометодических пособий по динамике ударных волн и газожидкостных сред, подготовке и чтении специальных курсов для студентов механико-математического факультета СГУ .

Результаты исследований использованы при разработке метода расчета гидроудара и метода определения газосодержания в газожидкостных средах. Результаты внедрены во ВНИИФТРИ (Москва) при проектировании и усовершенствовании метрологической аппаратуры.

Публикация и апробация результатов. Содержание диссертации отражено в 43 работах, опубликованных в центральных изданиях, межвузовских и отраслевых сборниках научных работ. Материалы исследований по теме диссертации вошли также в учебное пособие "Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред", в 2-х частях (совм. с А.Д.Ковалевым).

Результаты исследований докладывались на всесоюзных, республиканских и отраслевых конференциях, семинарах и симпозиумах. Среди них:

in,IV Всесоюзные совещания по аналитическим методам газовой динамики (САМГАД, рук. Яненко H.H., Овсянников Л.В.) Саратов 1968, Фрунзе 1970;

Всесоюзная конференция по краевым задачам, Казань, 1969; in Всесоюзный симпозиум по импульсам давления, Москва, 1979; I Всесоюзная конференция "Петрология гидрофизических измерений", Москва, 1980;

Всесоюзный семинар "Дифракция ударных волн на телах различной формы" (рук. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г.), Москва, 1989; Всесоюзна семинар-совещание "Нестационарные взаимодействия ударных волн" (рук. Баженова Т.В.), Ташкент, 1989; Специализированные семинары в ВЦ АНСССР (рук. Рыжов О.С.); ИПМ АНСССР (рук- Чуцов Л.А.), ВНИИФТРИ (рук. Христианович С.А., Заславский Б.К.), ИВТАЯ (рук-. Баженова Т.В.), ЛГУ (рук. Валлан-дер C.B., Дулов В.Г.) и др.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, выводов по главам, заключения, списка использованной литературы и приложений; изложена с учетом рисунков на 304 страницах. Работа содержит 37 рисунков, 2 приложения. Список ( использованной литературы включает 174 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность работы, конкретизируются ее цели, кратко излагается содержание работы и основные результаты, внносимне на защиту. В главе I изложены общие основы математического моделирования взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах.

В п.1.1. проведен аналитический обзор проблем взаимодействия и обоснована методика проведения исследований. Отмечается, что для анализа проблем взаимодействия ударных волн относительно малой интенсивности, когда, за фронтами ударных волн возникают области резких изменеиий параметров - области коротких волн, и процесс в целом нелинеен, перспективными являются асимптотические исследования, позволяющие детализировать анализ явлений. Эти исследования позволяют выделить области нелинейных взаимодействий вблизи фронтов и точек взаимодействия ударных волн.

Показано принципиальное место нелинейной теории коротких волн, заложенной в отечественных работах Гриба A.A., Рыжова О.С., Христиаковича С.А. (1958 - 60), как внутренней асимптотической теории разложения по малому параметру интенсивности ударной волна. Для уравнений коротких воли в работах Заславского Б.И. (I9G2 - 64) и работах автора (1964 - 71) построены достаточно широкие классы точных решений, решен ряд практически интересных задач- В работах автора с учениками (1971 - 72) получили развитие асимптотические методы исследований в применении к задачам нестационарных взаимодействий ударных болн.

Дальнейшее развитие теории коротких волн связано с постановкой, анализом и классификацией краевых задач нелинейных взаимодействий ударных 'волн, разработкой в работах автора аналитических (1974 - 73)' и численных (1930 - 81) методов решений. Результаты исследований создали основу для асимптотической теории взаимодействия ударных волн в идеальных средах. Данные расчетов по этой теории для относительно слабых ударных волн в отличие от данннх расчетов по теории Уизема (1937) значительно лучше согласуются с экспериментальными данными.

Необходимо отметить тесную связь асимптотической теории взаимодействия ударных волн с асимптотической теорией нелинейных конических течений, во многом обязанной своим развитием

работам Лайтхилла (1949)„ Го CI9SS), Булаха Б.У. (1970). Значительную роль в развитии теории сыграли идеи и методы анализа ударно- волновых структур, предложенные в работах Баженовой Т.В., Гвоздевой Л.Г., Дулова В.Г., Ускова В.Н., Фонарева A.C. Жигалко Е.Ф., а также экспериментальные исследования Семенова А.Н., Садиковой Ы.П. и их сотрудников.

При анализе проблем математического моделирования процессов взаимодействия относительно слабых ударных волн в условиях возникновения парадокса Неймана (при нерегулярных взаимодействиях) рассматривалось влияние вязкости и теплопроводности на формирование внутренней структуры зон взаимодействия ударных волн. Структура зон взаимодействия ударных волн исследовалась в работах автора (1976 - 79) (совм. с А.Д. Ковалевым). В этих работах на основе анализа начально-краевой задачи для внутренних зон взаимодействия ударных волн были выяснены качественные различия при зарождении регулярной и нерегулярной (маховской) структуры. Результаты обосновывают (в условиях исчезающей диссипации и бесконечных градиентов) появление неклассического условия с разрывом поперечной (ортогональной радиус-вектору) составляющей скорости в точке ветвления для нерегулярной (маховской) структуры. Результаты исследований согласуются с общими выводами работ Дулова В.Г. (1973), Заславского Б.И. (1973), Подлубного В.В- (1978), раесматриваваих принципиальную возможность построения течения при нарушении условия непрерывности направления потока (разнонаправленное™ скоростей) за тройной точкой. Результаты исследований объясняют возникающий баланс сил б окрестности тройной точки при взаимодействии слабых ударных волн и, в .частности, появление области понижения давления и окрестности тройной точки при нерегулярных взаимодействиях, 'впервые обнаруженной Заславским Б.И. в серии экспериментальных исследований (1973 -74).

Для анализа проблемы отражения и взаимодействия относительно слабых ударных волн в идеальных сродах в условиях парадокса Неймана в работах автора (1990) построены'аналитические модели нерегулярного отражения и взаимодействия, основанные на приближенном решении соответствующих краевых задач , и допускающие как классические, так и неклассические (с разрывом поперечной составляющей скорости) схемы течений за тройными точками. Получена классификация областей существования различных

режимов нерегулярной взаимодействия и отражения, полностью соответствующая экспериментальным данным для слабых воЛн Семенова А.н. (1990),- Colella Р., Hsndarson L.F. (1990) и др.

Последние годы характеризуются интенсивным развитием теории вззимодейотвия ударных волн в газожидкостпых сродаз, связанным с решением проблем добычи и транспортировки топливных и др. смесей. Специфичный для газохидкостных сред пузырькового типа является значительное влияние пузырьков нерастворенного газа на свойства сжимаемости жидкости. Скорость звука при этом может бить существенно ниже скорости звука в жидкости, что приводит к появлению ударно-волновых явлений при сравнительно низких скоростях движения среды.

Для исследования задач взаимодействия ударных волн относительно малой интенсивности в газожидкостных средах пузырькового типа автором проведена постановка краевые и" локальна?, задач взаимодействия на базе математической модели равновесной газо-жидкоотноЯ сроды с достаточно общими свойствами фаз (жидкость -баротропна, газ - совершенный) и нелинейными уравнениями движения газожидкостиой среды. В предельном случае эти уравнения переходят в известные уравнения адиабатического движения газа Лайтхилла»

При анализе явления гидравлического удара при пузырьковом и снарядном режимах течения в работах автора (1984 - 83) рассчитан эффект ослабления гидроудара с ростом газосодержания смеси. Результаты расчетов качественно и количественно согласуются с экспериментальными данными отечественных и зарубежных авторов и обосновывают принятый подход к анализу ударно-волновых процессов.

В серии работ автора (1983 - 93) (сови. с A.B. Волошмно-вым, А.Д. Ковалевым, А<Г» МаркукинтО рассмотрены локальные задачи регулярного взаимодействия, регулярного и маховского (ЭТЫО) отражения и рефракции ударных волн в газйжидкостных средах. Рассчитана зависимость параметров взаимодействия, положения границы между областями существования регулярного и маховского отражения, регулярной рефракции от газосодержания смеси. Параметры отражения для водо-воздушной среды согласуются с экспериментальными данными, полученными Тимофеевым Е.И., Гельфандом Б.Е. Цыгановым С.А. и др. (IS33). При встречном взаимодействи волн результаты расчетов предсказывают для волн

умеренной интенсивности существенную зависимость решения от отноиения интенсивностей волн и газосодержания, тогда как для волн малой интенсивности эта зависимость исчезает, что согласуется с окспериментальныыи данными Накорякова А.Е., Покусаева Б.Г., Шрейбера И.Р. и др. (1973).

Анализ постановки краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн) в газожидкостных средах позволяет определить параметры и законы подобия для газовых и газожидкостных сред. Это дает возможность при решении краевых задач для газовых и газожидкостных сред использовать общие аналитические и численные методы решения. В работах автора (1990) приведены решения различных задач взаимодействия (отражения, дифракции, взаимодействия и рефракции) ударных волн, иллюстрирующие физические особенности явлений.

В п.1.2. сформулирован класс задач взаимодействия ударных волн относительно малой интенсивности в газах и газожидкостных средах, допускающий основные типы и режимы взаимодействий.

В п.1.3. построена локально равновесная термодинамическая модель двухфазной газожидкостной среды с достаточно общими уравнениями состояния фаз (жидкость баротропная, газ соверыен-ный) р= к(р), р = и р,,т, характеризуемая относительным массовым газосодержанием у = вц/ Ш1 (индекс I соответствует жидкости, и - газу). Записаны дифференциальные уравнения термодинамической модели локально равновесной двухфазной среды, обобщающие аналогичные уравнения для газа. Обоснована применимость этой модели для описания ударно-волновых явлений.

Проведен анализ общей постановки краевых задач взаимоодей-ствия ударных волн в идеальных газовых и газожидкостных средах (п. 1.4.), а также краевых задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред (п. 1.8.), характерных для ударных волн относительно малой интенсивности Р1 (р,-р0)/<р0с£ ). Уравнения динамики при автомодельных движениях в переменных £ = г сове , у/{сог) = л = г в1пв

приводятся к уравнению для потенциала скоростей

ф^xlylt)=cltf{r,в)|llr=ftl

о о

вида:

I oJ I- . г J

№

2 " « Р-Р0 1 2

1 + 2(1-1* р =-Ог

0 р С

'О О

2 3 4

2а+1 РоСо . Ь РаСо в2 р о 2(а+1; р„ "гТа+ТТ рп ^ Г(р)

о

„ ь Су,+СУ,ГУ

а=(1+у )Ь , "эТТ+гТя

Здесь и,V - компоненты скорости, с - скорость звука, р - давление, р - плотность среды (индекс о - соответствует параметрам невозмущенной среды).

Зависимость решения от относительного массового газосодержания г проявляется через параметры к, и ра, со, определяемые термодинамическими формулами (с71, , п - постоянные). В предельном случае чистого газа (?-» «) уравнения (I) переходят в известные уравнения Лайтхилла для потенциальных адиабатических течений газа, при г*-» О (I) переходят в уравнения движения жидкости•

Условия динамической совместности на фронте подвижной ударной волнн для общего случая малой и умеренной интенсивности, определяемой в переменных £ , и уравнением С = ? (ч), представляются в пидо (индекс 1 - соответствует параметрам перед фронтом):

и1 • ч,2

о

о

1+е

' сЗ?

Н(Р)

v

Рх Н(р)-Р '

V

1

~с

' г

ц

Р

и, 1Г и и1 1,

и О О О О л

пР(Р+п2)

н(р) = Р^С^ТРУ-'РГ/Р^Т) '

Р-Р,

Р с го о

п

1+2а 2а

л.

2(1+а)

1+2а с2 ■ о о

п =

3

Р;

(2)

1 + г)роСо

о

о

Рассмотрены методы решения краевых задач (п. 1.6.), основной сложностью которых является нахождение фронта ударной волны, положение которого заранее неизвестно. Отмечено, что одним из перспективных методов, основанным на выделении областей значительных градиентов параметров, является метод асимптотических разложений.

Обоснован подход к исследованию взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана (п. 1.7.), содержащий анализ влияния вязкости и теплопроводности на структуру внутренних зон взаимодействия ударных волн.

В главе 2 исследовано взаимодействие относительно слабых ударных волн в идеальных газовых и газожидксстных средах асимптотическими методами. Проведаны постановка и анализ краевых и локальных задач.

В к.2.1. приведены результаты исследований ь газах. Из уравнения для потенциала скорстей (I) и условий на фронтах, представляющих запись (2) для газа, получены при совместном анализе б первом приближении значения производных для потенциала .ско^юстей и давления на фронтах. Эти результаты имеют важное

физическое значение: представляют истинные порядки производных за фронтами; подчеркивают, что хотя скорости и давления 'малы, их производные в узких областях вблизи фронтов конечны. Анализ параметров потока вблизи фронтов вместе с анализом параметров потока в общей области возмущения позволяет обосновать вид асимптотических разложения как в областях, прилегающих к фронтам возмущений, так и в окрестностях точек пересечения (взаимодействия) ударных волн-

Показано, что в областях, прилегающих к фронтам возмущений и имеющих протяженность в направлении радиус-вектора порядка р (в системе координат, движущейся со скоростью однородного потока перед фронтом), изменение давления порядка р2 . Течения в этих областях имеют квазиодномерный характер и описываются уравнениями типа одномерных коротких волн (Христнанович С.Л.,1956).

В областях, прилегающих к точкам взаимодействия ударных волн и имеющих протяженность в направлении радиус-вектора, порядка р; и в направлении, ортогональном радиус-вектору порядка t-J^2, изменение давления порядка р о. Течения в этих областях имеют существенно двумерный характер и описываются нелинейной системой уравнений коротких волн (Гриб A.A., Рыжов О.С., Христианович С.А-, I9S8-I960-). Показано, что области асимптотических разложений вблизи фронтов ударных волн и линий слабого разрыва, а также области двумерных течений вблизи точек взаимодействия ударных волн перекрываются с областями линейного решения (во внешней области возмущения) и между собой и удовлетворяют в смежных областях условиям сращивания решений.

В п.2.2. приведены результаты асимптотических исследований взаимодействий относительно слабых ударных волн в газожидкостных средах. Эти исследования также базируются на анализе уравнений (I) для потенциала скоростей и условий (2) на фронтах ударных волн и линиях слабого разрыва. В общем случае газожидкостных сред оценки для производных основных параметров потока на фронте ударной волны и линии слабого разрыва имеют вид, аналогичный полученному в случае газа.

Анализ решений уравнения (I) при разложению по малому параметру р10 вида f ч р10е'1, + ... , р*= о ор"(1,4..., н = р,0н(1,+_ приводит к постановке линейных краевых задач для областей малых градиентов параметров для уравнения Лапласа относительно р*'1' с кусочно-постоянными значениями p*(I)= gt на границах области

возмущения при г = I и условиями типа pq<11= 0 при о = const, на твердых стенках и др. поверхностях, исследованных в ряде работ (Сагомонян Л.Я., Поручиков В.Б., 1970; Hunter J.к.,. Keller j.в., 1084 и др.). Разложение общего вида линейного решения в окрестности фронта возмущения вида рм,)=

q,+ Г2(1-г)п(0) + ... показывает особый характер решения вблизи фронтов ударных волн и линий слабого разрыва, а также в окрестности точек взаимодействия ударных волн, в которых функция П(е) терпит разрыв- Приведены конкретные выражения для n(ß), соответствующие различным задачам взаимодействия.

• Для асимптотического описания течения в окрестности фронтов возмущений рассматривается внутреннее разложение r(k)= 1 +

проводимое в системе, движущейся со скоростью однородного потока перед фронтом (на участке (к)}. Из системы (I) при отом для первых членов разложения получаются уравнения квазиодномерных коротких волн. Решения, удовлетворяющие условиям на фронте (2) и условиям сращиваиия с линейным решением, записываются в аналитическом виде. Квазиодномерное решение непригодно в. окрестности точек взаимодействия волн, в которых функция п(в) терпит разрыв.

В п.2.3. приведены результаты асимптотических исследований в областях двумерных нелинейных взаимодействий в окрестности точек взаимодействия ударных волн. Рассматриваются случаи малых и конечных углов а взаимодействия ударных волн. В случае малых углов взаимодействия рассматривается внутреннее разложение (случай конечных а во многом аналогичен):

г -1 + р 0R0 г , е т р;;2х/г Y

(3)

f = P'oRoF^'V> + Ль*4, •••

при котором из системы (I) для старших членов разложения полу-чаэтея система уравнений коротких волн (г^11*» м, у):

2(ц - б)и6+ 1>у+ ц = о , ду= Р'м '« д (4)

Условия (2) на фронте удгрной волны г = k"(e) = I + pjoroö*(y)

примут вид:

do . < i >

dS clY

* 1 2

Характерными граничными условиями при постановке краевых задач для областей нелинейных взаимодействий кроме условий (5) выступают также условия на линиях слабого разрыва, твердых и свободных поверхностях, а также условия сращивания решения на границах с областями линейного решения ' («-*-■» ) вида ч,, ч, ,=

const, 0 ^ Arctg [..] i П }:

' , -1-26 'У1- >.........■■ :;г> (в)

и условия сращивания на границах с областями квазиодномерных течений ( у -> ±» ) за фронтами ударных волн 5 = 5*(у) и линий слабого разрыва 5 = д, вида:

- qk+ ^(¥>[1 + sign Q -Tl - К"2 (Y) (5-^)] IC(Y) = 2 (qi+r q ( _ j ) 2/ (ТГ Y2)

Здесь sign n = I на фронте ударной волны, sign о «-1 на линии слабого разрыва.

Для решения нелинейных задач взаимодействия, состоящих в интегрировании уравнений (4) при условиях (3)-(7) и других в эллиптической области, когда и > г , удобно свести систему (4) к одному уравнению относительно функции ц (5,у) . (компоненты скорости или функции давления)

(д2- 2бд)55+ Дуу+ Зд5= 0 , м = р'(1> (8)

и представить все граничные условия, включая к условия на фронте (5), как условия для функции м. Условия на фронте при этом содержат дифференциальное уравнение для Определения уравнения фронта s = «"(у).

Для различных задач взаимодействия (характеризуемых е общем случае взаимодействия двух солн интенсивноотями р , Р20 , углом взаимодействия а и газосодержанием среды г t параметрами подобия,-входящими в постановку задач,'янляютоя:

а = а / (И

• I

1 / 2

>1 /; г о

)

л

р / р4 20/ 1

(9)

Таким образом, при фиксированных а*,п постановки краевых задан для газожидкостных и газовых сред формально совпадают. Закон подобия (9) существенно упрощает анализ взаимодействий.

При анализе в п.2.4. локальных взаимодействий ударных волн малой и умеренной интенсивности в газожидкостных средах на примере задач регулярного отражения и взаимодействия волн показана специфика отыскания решений и границ областей существования регулярных взаимодействий при различных газосодержаниях сред. Показано, что е случае относительно слабых ударных волн анализ задач приводит к асимптотическим решениям, удовлетворяющим законам подобия для взаимодействий в газах и газожидкостных средах-Сравнение общих результатов расчета с асимптотическими позволяет установить пределы применимости асимптотических решений коротких волн в газах и газожидкостных средах.

В главе 3 построен двухпараметрический класс точных частных решений асимптотических уравнений коротких волн (4), описывающих течение в области нелинейных двумерных взаимодействий ударных волн, обобщающий класс точных решений Заславского Б-И.(1962-64) и другие известные решения- Показана специфика использования част-'ных решений для анализа задач взаимодействия ударных волн.

В п.3.1. рассмотрены двухпараметрические решения системы уравнений коротких волн (4) ( а ,р ,7 - натуральные числа) вида:

ос

д = Е

п = О

. г' б « Е

п=0

<Рп (?) V

* (?) V ,

V

/з Е

г> = с 10

V = Е

псо

Ф(Ч) V

V (?) ■п

(10)

и определяющая система дифференциальных уравнений, позволяющие провести классификацию и выявить четыре основных класса решений. Выписан общий вид определенной системы дифференциальных уравнений для нахождения функций <рп , , хп, • Проведены построение и анализ основных классов точных частных решений. Приведены примеры новых точных частных решений.

В п.3.2. показаны возможности приближенного анализа задач

взаимодействия при использовании точных частных решениий с характерными свойствами. Приведено решение ряда задач взаимодействия (дифракции при конечном угле взаимодействия, нерегулярного взаимодействия волн различной интенсивности при малом угле взаимодействия) , полученных при использовании решений, удовлетворяющих условиям сращивания на границе нелинейной области взаимодействия; задач (дифракции, и нерегулярного отражения от стенки с малым углом излома), полученных При использовании решений, удовлетворяющих условиям ударного перехода; задач (регулярного и нерегулярного преломления ударной волны на свободной поверхности), полученных при использовании решений, содержащих особенность сверхзвукового взаимодействия ударных волн со свободной поверхностью. Исследования подчеркивают специфику решений и раскрывают физический особенности процессов взаимодействия ударных воли.

• В главе 4 обсуждаются результаты использования численного метода решения нелинейных двумерных краевых задач коротких волн, разработанного автором (1980-84).

В п.4.1. излагаются основные идеи численного метода, основанного на выделениии в области возмущений подобластей коротких волн. Преимущество метода состоит в том, что удается сузить расчетную область взаимодействия до малой окрестности точки взаимодействия фронтов, а в преобладающей области течения (линейных и нелинейных квазиодномерных течений) получить результат аналитическим путем. В главе 2 была рассмотрена общая постановка нелинейных эллиптических краевых задач для областей коротких волн рассматриваемого класса задач. Решение отих задач осложняется тем, чю все они представляют собой краевые задачи с- неизвестными элементами границы области, так как фронты ударных волн заранее неизвестны.

Описан численный метод решения нелинейных краевых задач, сводящий краевую задачу для уравнений коротких волн о неизвестной ударно-волновой границей к серии краевых задач с фиксированной границей. Решение каждой задачи серии проведено с помощью конечно-разностного метода расчета второго порядка точности. Разностная система уравнений решена итерационным методом секущих, начальное приближение задачи построено по методу прямых.

Ц пЛ.2 - '-"'приводом анализ результатов численного решения задач нелинейного взаимодействия ударных волн, иетод использован для расчета типовых задач иелинеиннл взаимодействий ударных волн--

дифракции, взаимодействия двух волн, отражения от твердой и свободной поверхности. Но результатам расчетов определены ударно-волновые конфигурации взаимодействий, распределение давления вдоль фронтов и характерных поверхностей, поля давлений и скоростей в областях взаимодействия. Вычисления показали, что сходимость описанных итерационных прцессов вычисления поля давления и фронта волны достаточно быстрая (20-40 первичных итераций), а для решения задачи в целом требуется, как правило, решить серию из 2-4 задач -

Выявлены качественные и количественные закономерности взаимодействий. Сравнение результатов расчета задачи дифракции ударной волны с данными расчета по теории Уизема (1957) и экспериментальными данными skews B.w. (1972) показало, что для слабых ударных волн данные расчета по развитой асимптотической теории лучше согласуются с экспериментальными данными. Сравнение расчетных данных в задаче нерегулярного отражения { а"=0.5, ч =1 при условии вырождения фронта ударной волны), а также в задаче регулярного взаимодействия двух ударных волн разной интенсивности (аг= 2.0, п - 0.5) с экспериментальными результатами BleakneyW., Taub a.m. (1949): smith и.R. <1959) показывает хорошее соответствие расчетных линий равных давлений и интерфероиетрических полос в эксперименте (линий постоянной плотности и давления,в рассматриваемом приближении). При анализе результатов расчета полей давления в задаче нерегулярного отражения ударной волны в воде от свободной поверхности (а"- 0.5) с образованием центрированной волны разрежения обращает внимание, в силу относительной узости расчетной области вблизи фронта, хорошее соответствие расчетных данных с.результатами приближенного аналитического решения задачи, описанного в п.3.2.

Отмеченные результаты и результаты, приведенные в работах автора (1930-84), решения типовых задач взаимодействия ударных волн показывают достоверность численных расчетов и обосновывают применение рассмотренного численного метода для решения краевых задач для областей .нелинейного взаимодействия.

В главе 5 проведен анализ влияния вязкости и теплопроводно-' сти на формирование структуры внутренних зон взаимодействия относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах.

В п.5.1. построена нелинейная теория свободного взаимодействия ударных волн, описывавшая эволюционную структуру зон взаи-

модействия при конечных углах взаимного падения волн, когда течение в области взаимодействия локально независимо и определяется только структурой и углом взаимного падения инициирующих волн вследствие сверхзвукового характера течения относитольно отраженных волн. Основная идея построения связана с отысканием подвижной деформируемой криволинейной системы координат, в которой двумерный нелинейный процесс взаимодействия волн расцепляется в главном приближении на два одномерных процесса распространения инициирующих волн. Общее решение записывается, в явном виде и выражается через одномерные реиения уравнений Бвргерса, полученные Лайтхиллом (19БВ). Приведены примеры расчета двумерных полей давления при взаимодействии ударных волн равной и неравной интенсивности, характеризующие структуру внутренних зон взаимодействия. Исследована зависимость углов отражения от интонсивностей и угла взаимного падения инициирующих волн.

При анализе влияния газосодержания сроды отмечено, что оффекты нелинейности возрастают с увеличением газосодержания и, в частности, различие углов отражения и углов падения становится существенным. Решение теряет смысл при малых углах взаимодействия, когда оно перестает быть локально независимым и должно описываться двумерной теорией коротких волн для диссипативных сред (Рыжов О.С., Шефтер Г.Li., 1964).

В П.5.2. исследована структура отраженных и дифрагировашшх волн. Выявлена начальная особенность зарождения и исследовано эволюционное развитие структур ударных волн и волн разрежения.

Отраженные и дифрагированные волны, возникающие при взаимодействии ударных волн, представляют размытые под влиянием диссипативных эффектов среды ударные волны или волны разрежения, которые распределены вдоль границы характерной области возмущений .

Для асимптотического описания течения в окрестности волн установлено внутреннее разложение, которое приводит уравнения динамики вязкой, теплопроводящей среды к квазиодномерным уравнениям коротких волн для диссипативных сред. Аналитически выявлена" начальная особенность зарождения структуры волн. Численно исследовано эволюционное развитие структур ударных волн и волн разрежения, удовлетворяющих начальной особенности и граничным условиям (перед фронтом и сращивания за ним).

В n.tJ.J. исследована диеоипативнг;я структура внутренних зон

взаимодействия ударных волн- Разработана математическая модель описания эволюционной структуры зон взаимодействия ударныг волн. Иодеяь локализует описание нелинейной, эволюционной, диссмпатив-ной структура потока в зонах влияния внутренних условий течения при ветвлении ударных волн и применима при различных режимах взаимодействия. Для описания течения во внутренней зоне взаимодействия введены переменные, допускающие сращивание с внешним ревэниеи

Г « 1 + га'Р„ „<5 * 10

*

Здесь 10 - величина, пропорцианальная вязкой длине С,/ С ра св), н0 - термодинамический параметр (соответствующий к0), нулевым индексом отмечены параметры невез ¡лущенной среды, звездочкой -параметра однородного потока, по которому распространяется зона. Разложение (II) приводит уравнения динамики вязкой, теплопроводя-щей среды в главком приближении к нелинейным, нестационарным, двумерным уравнениям коротких волн для диссилативных сред:

т* (д-б) дв+ ,* * -г «V" 4" даа' " (В

Система граничных условий для зон взаимодействия в общем случае взаимодействия двух ударных волн при малых углах взаимодействия характеризуются параметрами т? « рг 0 / Р1 о' а / ( '2 £2 5 '

Граничные условия краевой задачи выражаются через эволюционные профили инициирующих ударных волн (п.3,1.), профили отраженных и дифрагированных волн (п»8.2.).'

Исследована начальная особенность зарождения структур зон взаимодействия ( г-* 0 ), соответствующая краевой задаче для уравнения (12). Введением специальных переменных, допускающих предельный переход,.удается представить решение задачи при х « О в вида суперпозиции решений для задачи дифракции. Доказана единственность реиения. Получены численные решения начальных задач для различных типов и режимов взаимодействий ударных волн.

0 -х ш1/гР1/2У, Ъ == »10

С* Р?0 (П)

Р.С2

л 1 )

1 о

Выявлены качественные различия при зарождении регулярных и нерегулярных (маховских) структур, связанные о возникновением в последнем случае за локальной зоной вниз по потоку области больших обратных градиентов, наблюдаемых также и экспериментально (Заславский Б.И., 1973). Показано, что в продольной случае изчо-зающей диссипации и бесконечных градиентов выявленные различия могут привести к формирований различных условий в точках ветвления ударных волн для регулярных и нерегулярных структур, нарушению классического условия равенства направлений скоростей за точкой ветвления для нерегулярных (маховских) структур.

В главе В исследовано нерегулярное взаимодействие я отраженна ударных волн в условиях парадокса Неймана. Построены аналитические модели нерегулярного взаимодействия и отражения, ссновгдацз на приближенном решении соответствующих краевнх задач взаигкдая-ствия ударных волн в идеальных средах (п.6.1.). Влияние потока в целом на характер течения за фронтом Паха исследовано в п.8.2= о помощью класса точных частных решений уравнений коротких волн, удовлетворяющих условиям динамической совместности на фрснто Маха, а также обобщенных зависимостей, учитывавших характер течений в тройных точках и вдали от фронта Наха (уравнение притока массы)..

Модели допускают, как традиционные (е непрерывным давлением и направлением скорости), так и нетрадиционные (с непрерывный давлением и разрывом поперечной скорости) схемы течений за тройными точками. В последнем случае вместе с другими условиями в тройных точках используется принцип экстремального поворота потока на фронте отраженной волны, предложенный Заславским Б.И. (1973).

Определены области существования различных моделей нерегулярного взаимодействия двух воли в плоскости параметров подобия (а*, т|): нерегулярного взаимодействия с невырожденными отраженными волнами,- нерегулярного взаимодействия с вырожденной отраженной волной в одной из тройных точек а положительной или отрицательной кривизной фронта Паха; симметричного нерегулярного взаимодействия с вырожденными отраженными {нишами.

Построены границы для областей существования нерегулярного отражении в плоскости угла падения, числа Маха падающей волны: нерегулярного отражения о невырожденной отраженной волной; нерегулярного отражения с вырожденной отраженной волной.

Показано, что данные расчетов с помощью аналитических моделей границ для областей существования нерегулярного взаимодействия и отражения, а также зависимостей характерных величин (координат тройных точек, давления в основании ножки Uaxa и др.) от параметров подобия <*", т) хорошо согласуются с известными экспериментальными данными отечественных и зарубежных исследователей (Семенов А.Н., I9S0; Colella P., Henderson L.F., 1990 и др.). Сравнение в п.&.З. результатов расчета давления вблизи фронта liaxa с помощью аналитических моделей и численного решения соответствующих краезых задач показывает их достаточную близость и позволяет использовать аналитические модели как хорошее приближение, правильно качественно и количественно описывающее процесс.

В главе 7 исследованы локальные и краевые задачи рефракции ударных волн на свободной поверхности, разделяющей различные среды типа газ - газожидкостная (пузырьковая) среда. Задачи такого рода возникают при изучении взаимодействий ударных волн, например, с поверхностью океана (Henderson L.F., Ma J.H., Sakurai А., такауата к., 1990), а также при взаимодействии волн с газовыми экранами (Паркин Б.Р., Гилмор ф.Р., Броуд Г. Л., 1974), и являются малоисследованными.

В п.7.1. для анализа локальных задач рефракции ударцых волн умеренной и малой интенсивности с образованием отраженной ударной волны или волны разрежения разработан конструктивный метод решения, использующий при отборе корней непрерывное соответствие решения с предельным решением в случае однофазных сред и с асимптотическим решением для относительно слабых волн.

Определены границы для областей существования регулярной рефракции на поверхностях, разделяющих водо-воздушную (пузырьковую) и.воздушную среды. Исследовано влияние газосодержания среды на параметры, рефракции. В частности, при анализе рефракции с отраженной волной показано, что возрастание газосодержания среды может приводить (для волн умеренной интенсивности) к снижению давления за отраженной волной и к существенному изменению (для относительно слабых волн) положения границы области регулярной рефракции.

Установлено, что рефракция с волной разрежения имеет место в ограниченном диапазоне газосодер.ганий среды. При достижении гззсеедержзнкя верхнего предельного значения газожидкостная среда отацсгитсл газопсдсонсй и волны разрежения не возникает.

Сравнение результатов расчета с результатами асимптотической теории показало их хорошее соответствие при малых углах взаимодействия.

В п.7.2. для анализа краевых задач рефракции относительно слабых ударных волн использован асимптотический метод исследований (см. гл, 2.), позволяющий редуцировать решение краевой задачи на последовательное решение задач для областей возмущений в газе и жидкости.

В частности, установлено, что задача взаимодействия относительно слабой ударной волны со свободной поверхностью в газе в линейном и нелинейном приближении эквивалентна задаче отражения от твердой поверхности.

Основную трудность анализа представляют исследования в' областях значительных изменений параметров, где использован развитый ранее (см. гл. 4.) численно-аналитический метод решения нелинейных краевых задач. Для решения краевой задачи в области возмущения в жидкости поставлена и решена линейная краевая задача с граничными условиями на свободной поверхности, учитывающими решение задачи в области возмущения для газа.

В целом применение метода позволяет построить пола давлений во всей области течения при рефракции ударней волны. Результаты решения краевых задач соответствуют известным экспериментальным данным (такауатаа К., Ben-Dor G., 1989 и др.), предсказывают закономерности и оффекты процесса, рефракции ударных волн, подтверждаемые физическими наблюдениями.

В заключении диссертации перечислены основные результаты, полученные в работе.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработка общего теоретического подхода к исследованию процессов нелинейных взаимодействий ударных волн относительно малой и умеренной интенсивности в газах и газожидкостных (пузырьковых) средах при различных режимах взаимодействия, отражения, дифракции и рефракции волн, включая режимы маховского взаимодействия волн в условиях парадокса Неймана, на основе оригинальной постановки и анализа краевых и локальных задач взаимодействия на базе локально равновесной термодинамической модели и уравнений движения газожидкостной среды.

2. Результата нелинейного анализа взаимодействий ударны? волн в га;;ах и газожилкостных средах асимптотическими методами, позво-

лившими выделить области нелинейных' взаимодействий (коротких волн) вблизи фронтов и точек взаимодействия. Постановка и анализ нелинейных краевых и локальных задач. Формулировка закона подобия для газовых и газожидкостных сред.

3. Построение и анализ классов точных частных решений нелинейных уравнений коротких волн. Решение задач взаимодействия ударных волн с помощью точных решений.

4. Численно-аналитический метод решения нелинейных краевых задач взаимодействия ударных волн. Результаты использования метода для решения типовых задач взаимодействия ударных волн.

3. • Анализ влияния диссипативных факторов (вязкости, теплопроводности) на формирование внутренней структуры зон взаимодействия ударных волн в диссипативных средах. Результаты исследований эволюционного развития структур отраженных и дифрагированных волн. Анализ особенности формирования структуры зон взаимодействия ударных волн на начальном этапе. Результаты исследований качественных различий при зарождении регулярных и нерегулярных (маховских) структур и их влияние в случае исчезающей диссипации на формирование классических и неклассических условий (для нерегулярных структур) за точками ветвления ударных волн.

6. Аналитические модели нерегулярного взаимодействия и отражения ударных волн в условиях парадокса Неймана, допускающие как классические, так и неклассические условия -за тройными точками. Классификация режимов нерегулярных взаимодействий и отражений ударных волн.

7. Анализ влияния газосодержания газожидкостной (пузырьковой) среды на параметры взаимодействия и положение границ областей существования режимов взаимодействия ударных.волн. Классификация режимов взаимодействия в задачах отражения, взаимодействия двух волн, рефракции ударной волны на свободной - поверхности, разделяющей газохидкостные среды с различными газосодержаниями. Результаты решения локальных и 'краевых задач рефракции ударных волн на свободной поверхности, разделяющей среды типа газ - газожидкостная (пузырьковая) среда.

В целом, приведенные результаты представляют совокупность завершенных исследований, развивающих перспективное направление -нелинейные Еззимсдействия ударных волн в газах и газожидкостных средах.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шиндяпин Г.П., Ковалев А.Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. Ч. п. Краевые задачи взаимодействия ударных волн. Изд. Сарат. ун-та. 1990.108 С.

2. Шиндяпин Г.П. О нерегулярном отражении слабых ударных волн от жесткой стенки. //. ПМТФ. N2.1964. С. 22-28.

3. Шиндяпин Г.П. О регулярном отражении слабых ударных волн. // Трансзвуков, течения газа. Сб. Изд. Сарат. ун-та. 1964. С. 101—112.

4. Шиндяпин Г.П. Некоторые задачи теории коротких волн. // Третий Бсесоюз. симпозиум по дифракции волн. U.: Наука. 1964. С. 216-219.

5. Шиндяпин Г.П. О регулярном отражении слабых ударных волн от жесткой стенки. // 1ШМ. Т. 29. В. I. I96S. С. II4-I2I,

6. Шиндяпин Г.П. О режиме регулярного взаимодействия слабых ударных волн. // П1Ш. Т. 29. В. 6. 1968. С. II28-II3I.

7. Шиндяпин Г.П. Регулярные взаимодействия слабых ударных волн. // Трансзвуковые течения газа. В. 2. Сб. Изд. Сарат. ун-та..1968. С. 91-113.

8. Шиндяпин Г.П. Влияние вязкости и теплопроводности при махов-ском отражении. // НИМ. Т.33. В.2. 1969. С. 368-375.

9. Ыогилевич JI. И., Шиндяпин Г. П. Некоторые задачи негюгониевских течений.// Ыатер. Всесоюзн.конф. по краевым задачам. Казань. 1970. С. I87-I9I.

10. Клейнер Б.Г., Шиндяпин Г.П. Об одном классе точных частных решений уравнений коротких волн. // ПШ. Т. 34. В. 6. 1970. С. II50-II58.

11. Шиндяпин Г.П., Клейнер Б.Г. Некоторые классы решений уравнений коротких волн в нестационарном случае. // Трансзвуковые течения газа. В. 3. Сб. Изд. Сарат. ун-та. 1971. С. 46-60.

12. Шиндяпин Г. П., Могилевич Л. И., Козлинер С. Д. О решениях уравнений коротких волн, удовлетворяющих условиям.ударного перехода. // Трансзвук, течения газа. В. 3. Сб. Изд. Сарат. ун-та. 1971. С. 31-45.

13. Могилевич JI. И., Шиндягшн Г. П. О нелинейной дифракции слабых ударных волн. // ПММ. I97L Т. 33. В. 3. С. 492-498.

14. Шиндяпин Г. П. Вельмисов П. А. О решении системы уравнений коротких волн, содержащем произвольную функцию. // Аэродинамика. Ыежвуз, Сб. В. 1(4) 1972. Изд. Сарат. ун-та. С.76-78.

19. Шиндяпин Г. П. Вельмисов П. А. Асимптотические исследования нелинейных взаимодействий слабых ударных волн.// Аэродинамика. Цежвуз. Сб. В. 1(4). Изд. Сарат. ун-та. 1972. С.78-93.

16. Шиндяпин Г.П. Нерегулярное взаимодействие слабых ударных волн разной интенсивности. // ГШ. Т. 38. В. I. 1974. С. I0S-II4

17. Шиндяпин Г.П. Об особенности "сверхзвукового" взаимодействия слабых ударных волн и задаче преломления слабой ударной волны в воде на свободной поверхности. // Аэродинамика. Цежвуз. Сб. В.3(6). 1974. Издат. Сарат. ун-та. С. 92-104.

18. Шиндяпин Г.П. Нелинейное регулярное взаимодействие двух слабых ударных волн разной интенсивности. // Аэродинамика. Нежвуз. СО. В, 4(7). I97S. Изд. Сарат. ун-та. С. 83-94.

19. Ковалев А. Д.,Шиндяпин Г.П. Нелинейная структура отраженных и дифрагированных волн в вязком теплопроводящем газе.//Аэродинамика. ¡¡ехвуз.Сб. В. 8(8). 1976. Изд. Сарат, ун-та С. 83-92.

20. Ковалзв А.Д., Шиндяпин Г.П. О двумерной структуре течения при взаимодействии олабых ударных волн в вязком теплопроводящем газе. // Аэродинамика. Нежвуз. Сб. В. 6(9). 1978. Изд. Сарат. ун-та. С. 97-103.

21. Ковалев А.Д., Шиндяпин Т.П. О начальной стадии взаимодействия слабых ударных волн. // Аэродинамика. Нежвуз. Сб. В. 7(10). 1979. Изд. Сарат. ун-та. С. II6-I22.

22. Шиндяпин Г. П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе. // ЖВЦ И №. ШО. MI. С. 249-234.

23. Шиндяпин Г.П. Расчет полей давлений при маховском отражении слабой ударной водны от жесткой стенки. //Аэродинамика,

Нежвуз. Сб. В, 8(11). 1981. Изд. Сарат. ун-та. C.I42-I5I.

24. Волошинов A.B., Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. Переход от регулярного отражения к маховскому при взаимодействии ударной волны с твердой стенкой в газожидкостной среде. // Изв. АН СССР. иЖГ. 1983, N5 С.190-192.

25. Ковалев А.Д., Шиндяпин Г. П. К теории гидроудара в двухфазной газожидкостной смеси.// Изв. АН СССР. ШКГ. I984.HS. С.202-204.

26. Шиндяпин.Г.П.Анализ течения за фронтом криволинейной ударной волны при нелинейном взаимодействии ударных волн.//Лородина-мика. Межвуз. Сб. В. 9(12).. 1903. Изд. Сарат. ун-та. С. 67-73.

27. Шиндяпин Г.П. К теории дифракции слабых ударных волн. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N6. С. 178-178.

28. Волошинов Л. В.,Ковалев А. Д., Шиндяпин Г. П. К теории регулярного и маховского отражения ударных волн в двухфазной газохид-костной среде. // Изв. ЛИ СССР. ¡ЯГ, 1980. иа. С. 188-190.

29. Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. К теории гидроудара в двухфазной газожидкостной смеси при снарядном режиме течения. // Изв. ЛИ СССР. !КГ. 1983. НЗ. С. 188-190.

30. Волошинов Л.В., Ковалев Л. Д.,Шиндяпин Г.П. Влияние газосодер-, жаиия при взаимодействии ударник воли различной интенсивности в двухфазной газожкдкостпой среде. // Изв. АН СССР. ШХГ. 1906. n6. с. 172 - 174.

31. Шиндяпин Г. П.Ковалев А. Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных срод. Ч.I. Нелинейные локальные взаимодействия ударных волн. Изд. Сарат. ун-та. 1988. 70 С.

32. Шиндяпин Г.Н. Анализ маховского отражения ударных волн в идеальном газе с помощью асимптотических уравнений коротких воли. // Исследования в области измерений динамики и кинематики параметров жидкости и газон. СО, ВНИИ физ.-тох.

и радиогохн. измерен. М. 1990.1?. 83-62,

33. Титарепко I). В., Шиндяпин Г. П. Исследования взаимодействий ударных волн в идеальных газокидкостпнх средах асимптотическими методами. // Нестационарные течения газов с ударными волнами. Ленинград. ФТИ АН СССР. 1990. С. 199-210.

34. Маркуими Л.Г., Шиндяпии Г.П. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостпой средо с образованием волны разреженния. // Аэродинамика. Ыеэсвуз. Сб. В. 12(13). Изд. Сарат. ун-та. 1991. С. 24-39.

ЗЭ. Шиндяпин Г.П. К теории взаимодействия ударных волн в

газожидкастннх средах.// Ыожвуз. сб. Математика и ео приложения. В. 2.1991. Изд. Сарат. ун-та. С. 101-103.

30. Наркушии Л.Г.,Шиндяпин Г. П. 0 максимальном давлении и асимптотическом законе подобия при перехода от регулярного к махов-скому взаимодействию ударных волн в газожидкостных средах. // Аэродинамика. Иожнуя.С». П. Т3( 16). Изд.Сарат. ун-та. 1993. С. 14-27.