Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах

Гамаюнова, Елена Николаевна

Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Гамаюнова, Елена Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах»

Автореферат диссертации на тему "Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах"

На правах рукописи

Гамаюнова Елена Николаевна

УДК 533.6.011

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР И ПОТОКОВ ПРИ ОТРАЖЕНИЯХ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ И ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕДАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре вычислительного эксперимента в механике механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г.

Чернышевского

Научный руководитель

Доктор физико-математических наук, профессор

Георгий Петрович Шиндяпин

Официальные оппоненты

Доктор технических наук, профессор Есин Александр Иванович

Кандидат физико-математических наук, доцент Шевырев Сергей Павлович

Ведущая организация

Балтийский государственный технический университет им. Д.Ф. Устинова (БГТУ -«Военмех») (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится ¿¿¿<?/Ус/ 2005 года в /Учас. мин. на

заседании диссертационного совета К 212.243.02 при Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д.83, Саратовский государственный университет, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2005 года.

Учёный секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

В .В. Корнев

гщ. Mos*,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке аналитических методов исследования процессов нелинейных отражений и взаимодействий относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных пузырьковых средах.

Актуальность темы. Теоретическое исследование процессов отражений и взаимодействия ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных средах представляет одну из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. Решение этой проблемы важно для развития сверхзвуковой авиации, космонавтики, проектирования трубопроводов для транспортировки топливных смесей и др. Теоретическая важность проблемы обусловлена нелинейным характером основных уравнений и сложным разрывным характером решений, в силу чего методы, возникающие при исследовании процессов взаимодействий, имеют универсальный характер и связаны с решением общих проблем выявления структуры обобщенных решений задач математической физики.

Исследуются процессы отражения и взаимодействия (взаимного проникновения УВ) относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн при этом может быть велика), когда за фронтами УВ возникают области резких изменений параметров - области коротких волн, и ударные нагрузки возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает серьезные трудности при анализе. Особое внимание уделяется моделированию процессов отражения и взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана, когда для относительно слабых УВ теоретические результаты для нерегулярных отражений УВ (локальные теории Неймана) не согласуются с экспериментом, в то время как для относительно сильных УВ такое согласие наблюдается.

Неизменное внимание к проблеме отечественных (С.А. Христианович, A.A. Гриб, Б.И. Заславский, Г.П. Шиндяпин и др.) и зарубежных исследователей (А.Ф. Хендерсон, К. Такаяма, Г. Бен-Дор и др.) на протяжении более 50 лет привело к появлению разнообразных альтернативных точек зрения на природу противоречия. Известны многочисленные попытки подправить локальные теории Неймана. Однако все яснее вырисовывается необходимость построения теории взаимодействий, отражающей влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры.

Настоящие исследования развивают положения асимптотической теории коротких волн, опирающейся на решения внутренних краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), которая позволяет учесть влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры, изучить характерные особенности и закономерности процессов отражений и взаимодействий УВ.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка аналитического подхода к исследованию процессов нелинейных отражений и взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных пузырьковых средах при различных режимах нерегулярных взаимодействий, включая взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана.

Исходя из этой цели, в работе решались следующие задачи: - Разработка достаточно простых аналитических моделей нерегулярных отражений и взаимодействий относительно слабых УВ, допускающих как классические, так и неклассические (с разрывом поперечной составляющей

скорости) условия в тройных точках. /ос нациоцальцай!

- Классификация режимов нерегулярных отражен ш и ввдзддовд^^и УВ.

- Анализ областей существования различных режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.

- Получение явных аналитических зависимостей для основных параметров, характеризующих возникающие ударно-волновые структуры.

- Аналитическое описание границ областей существования различных режимов отражений и взаимодействий УВ.

- Анализ полей давлений и скоростей в областях нелинейных взаимодействий при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.

Методика исследований основана на использовании асимптотической теории коротких волн при постановке краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн) и формировании аналитических моделей взаимодействий, соответствующих краевым задачам.

Основную роль выполняют аналитические методы анализа, основанные на выделении структурных особенностей течений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получил развитие новый аналитический метод исследования ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах;

- разработаны оригинальные аналитические модели, допускающие как классические, так и неклассические условия в тройных точках;

- найдены аналитические выражения для границ областей существования различных режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;

- разработан параметрический метод решения модельных уравнений, позволяющий получить явные аналитические зависимости для основных параметров, характеризующих ударно-волновые структуры и течения при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;

- разработана методика построения течений в областях нелинейных взаимодействий с помощью класса точных параметрических решений Заславского-Гриба и анализа течений в окрестности тройных точек при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;

- исследованы ударно-волновые структуры и течения в областях нелинейных взаимодействий. Выявлены качественные закономерности и особенности процессов взаимодействий, показавшие в условиях действия парадокса Неймана физическую адекватность разработанных аналитических моделей.

Достоверность результатов работы подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными; согласованностью результатов для рассчитанных ударно-волновых структур и полей течений с известными результатами численного решения соответствующих краевых задач; обоснованностью используемых методов исследований.

Практическая ценность работы. Полученные результаты исследований углубляют представления о физических процессах отражений и взаимодействий УВ в газах и газожидкостных средах, развивают аналитические методы исследований и расчета течений с относительно слабыми УВ.

В частности, результаты исследований были использованы при выполнении программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным напрйвленийм науки и техники». Подпрограмма «Транспорт» (проект

№ 205.01.01.30 2001-2002 гг. Исп. СГУ) НИР «Разработка детонационных двигателей для воздушных транспортных средств на основе вычислительного и натурального экспериментов».

Результаты исследований могут быть использованы в учебном процессе при подготовке учебных пособий и чтении специальных курсов по динамике ударных волн в газах и газожидкостных средах.

Апробация результатов и публикации. Результаты исследований докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и вузовских конференциях и семинарах. Среди них:

- IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ - 2002), Санкт-Петербург, 2002 г.;

- XIX и XX Международные семинары по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 2002,2004 гг.;

- Международная конференция «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении». Саратов, ИГГГМУ РАН, 2002 г.;

- ХП Международная конференция аспирантов и студентов. Новосибирск, СО РАН, 2004 г.;

- XXXIV и XXXV постоянно действующий научно-технический семинар «Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет и ракетных двигателей». Саратов. СФ ВАУ. 2002,2003 гг.;

- Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике». Ульяновск, УлГТУ, 2003 г.;

XV Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика». Казань. КазФВАУ. 2003 г.;

Ежегодные научные конференции Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики». Саратов. СГУ: 2001, 2002,2003,2004, 2005 гг.;

- Специальные семинары кафедры вычислительного эксперимента в механике Саратовского государственного университета. 2001-2004 гг.

Результаты исследований опубликованы в тринадцати печатных работах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по главам, заключения, списка использованной литературы и приложений; изложена с учетом рисунков на 163 страницах. Работа содержит 21 рисунок, 12 приложений. Список использованной литературы включает 69 наименований.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость работы, кратко излагается содержание работы и основные результаты, выносимые на защиту.

В главе 1 изложены общие основы математического моделирования отражений и взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных пузырьковых средах, обоснована методика исследований.

В п. 1.1 проведен обзор аналитических исследований нелинейных взаимодействий УВ. Рассмотрено развитие асимптотической теории коротких волн заложенной в работах Гриба A.A., Рыжова О.С., Христиановича С.А. (1955-1960),

позволяющей исследовать течения в областях резких изменений параметров за фронтами взаимодействующих УВ. Для нелинейной системы уравнений коротких волн в работах Заславского Б.И., Шиндяпина Г.П. (1962-1971) построены достаточно широкие классы точных решений, расширяющие возможности анализа. Развитие теории коротких волн связано с постановкой и анализом краевых задач нелинейных взаимодействий УВ, разработкой в работах Шиндяпина Г.П., Ковалева

A.Д. и др. (1984-1987) аналитических и численных методов решений. Результаты исследований легли в основу асимптотической теории взаимодействий УВ (19841990), результаты которой в случае относительно слабых УВ в отличие от результатов теории Уизема (1957) значительно лучше согласуются с экспериментальными данными.

Значительную роль в развитии теории сыграли идеи и методы анализа ударно-волновых структур, предложенные в работах Баженовой Т.В., Гвоздевой Л.Г., Дулова В.Г., Ускова В.И., Фонарева JI.C., Жигалко Е.Ф. и др., а также экспериментальные исследования Заславского Б.И., Сафарова P.A., Семенова А.Н, Сыщиковой М.П. и их сотрудников.

Рассмотрены проблемы взаимодействий УВ в условиях возникновения парадокса Неймана, связанные с неприменимостью в общем случае классических условий непрерывности давления и направления скорости за тройной точкой при нерегулярных отражениях УВ. В работах Заславского Б.И., Дулова В.Г., Шиндяпина Г.П., Ковалева А.Д. и др. (1973-1987) рассмотрены неклассические условия в тройных точках, при нарушении условия непрерывности направления потока (разрыва поперечной составляющей скорости) за тройной точкой. Сформулированный в последствии на основании анализа краевых задач принцип притока массы (Шиндяпин Г.П. 1990), позволяет рассчитать разрыв поперечной составляющей скорости и вместе с другими условиями динамической совместности течений сформулировать математические модели (Шиндяпин Г.П. 1990-1997), допускающие как классические, так и неклассические условия в тройных точках. Анализ модельных уравнений численными методами (Шиндяпин Г.П., Мыльцин

B.А. 1999) дополнен аналитическими исследованиями (Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. 2001-2004 гг.), особенностей и закономерностей процессов взаимодействия, анализом физической адекватности математических моделей нерегулярных взаимодействий УВ.

Исследования взаимодействия УВ в газожидкостных пузырьковых средах (1974-1985) показали, что эти процессы можно описать аналогично процессам взаимодействий в газах. Для относительно слабых УВ, используя модель равновесной газожидкостной среды, удается свести задачу к решению нелинейного уравнения для потенциала скорости с параметром, выражающим зависимость решения от газосодержания среды. В предельном случае это уравнение переходит в известное уравнение для адиабатического движения газа Лайтхилла.

Анализ краевых задач нелинейных взаимодействий для областей коротких волн (1990-1997) показал, что в формулировку краевых задач входят параметры подобия, выражающие зависимость решения от интенсивносгей, угла взаимодействия УВ и газосодержания среды. При фиксированных значениях параметров подобия постановки краевых задач для газа и газожидкостной пузырьковой среды формально совпадают, что позволяет использовать в общем случае результаты аналитических и численных решений.

Современное состояние теории отражения и взаимодействия УВ характеризуется бурным развитием. В этом направлении многие годы успешно работает ряд научных школ: Австралии, Японии, Израиля, Польши, США и др. Ведутся интенсивные экспериментальные и численные исследования. В п. 1.1.1 работы обсуждаются наиболее интересные результаты исследований.

В работах автора (2001-2004) разработан аналитический подход к анализу математических моделей нелинейных взаимодействий УВ. Разработан параметрический метод решения модельных (трансцендентных) уравнений, позволяющий провести аналитическое исследование ударно-волновых структур и параметров при различных режимах взаимодействий, получить аналитические выражения для распределения параметров на фронтах УВ, аналитические выражения для границ областей существования различных режимов взаимодействий УВ. Проведены аналитические исследования полей давления и скоростей, включающие анализ течений в окрестности тройных точек. Сравнение полученных теоретических результатов с известными экспериментальными и численными результатами показало физическую достоверность развитых моделей, позволяющих преодолеть трудности, связанные с парадоксом Неймана.

Проведенный обзор обосновывает общую методику исследований нелинейных отражений и взаимодействий УВ в газах и газожидкостных средах с помощью развитого аналитического метода исследований, основанного на выделении функциональной структуры особенностей течений при различных режимах взаимодействий.

В п. 1.2 сформулирован класс задач взаимодействий, рассмотрены характерные ударно-волновые структуры и режимы взаимодействий и отражений (в случае симметрии) УВ, определяемые, в общем случае, интенсивностями, углом взаимодействия инициирующих волн, относительным массовым газосодержанием среды. Обычно при уменьшении угла взаимодействия волн, при фиксированных значениях интенсивностей волн и газосодержании среды, регулярные взаимодействия, регулярные отражения (RR) переходят в развитые нерегулярные (маховские) взаимодействия, отражения (SMR - простое маховское отражение). Дальнейшее уменьшение угла взаимодействия, отражения УВ приводит к вырождению одного из отраженных фронтов, отраженной УВ в линию слабого разрыва. Возникают режимы вырожденных нерегулярных взаимодействий, отражения УВ (NMR - Неймановское маховское отражение). Сформулированный класс задач взаимодействия допускает все основные режимы взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах, наблюдаемые при экспериментальных исследованиях.

В п. 1.3 рассмотрены термодинамические характеристики течений, возникающих при взаимодействиях относительно слабых УВ в газах и газожидкостных пузырьковых средах. Используется локально равновесная термодинамическая модель двухфазной газожидкостной среды с достаточно общими уравнениями состояния фаз (жидкость баротропна, газ совершенный pt = F{p\ р = Rp,,T, индекс I соответствует жидкости, П - газу), характеризуемая относительным массовым газосодержанием у = т„1т,. Рассмотрены основные уравнения и параметры (состояния смеси, калорического состояния, внутренняя энергия, энтропия) для газожидкостной пузырьковой среды.

В п. 1.4 проведен анализ применимости модели двухфазной газожидкостной среды для описания процессов взаимодействия относительно слабых УВ. Исследована зависимость параметров покоящейся газожидкостной среды (плотности р0, скорости звука с0), скорости УВ Б,,, числа Маха М0, термодинамических параметров Р0(у), ¿„(7) от газосодержания среды, отмечено, в частности, что значения параметра /.0(/) (£„ = Р„с1> -1 = • р0), характеризующего влияние газосодержания на интенсивность УВ, для практически важного диапазона газосодержания Ю'7 ~ у ~ Ю"4 близко к значениям этого параметра для чистого газа. Поэтому, в целом, режимы взаимодействий и конфигурации УВ, возникающие при взаимодействиях в газожидкостных пузырьковых средах, оказываются близкими к случаю взаимодействия волн в чистом газе - газоподобны.

В п. 1.5 проведен анализ общей постановки краевых задач для описания взаимодействий УВ в идеальных газовых и газожидкостных средах, а также краевых задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред , характерных для УВ относительно малой интенсивности Р10 = (р{ - р0 )/р0с„ ■ Общие уравнения динамики при автомодельных движениях в переменных х/с0/ = £ = гсозв, у/с01 = т) = г8тв приводятся к уравнению для потенциала скоростей, которое вместе с уравнениями состояния и интегралом Лагранжа составляют систему уравнений потенциальных адиабатических движений газовых и газожидкостных сред.

Ф{х,у,()=с^/{г,в\ —=/г; - =

Jв

(/„ +;/, +4г/, ¡2-1/, -2(г-/,)/„

=1+2(1-^X7; = =

Р. 2 2г

„ 2а+1 рс\ Ь р\с\ <1г (

^ — ___________ 1 • о о | . ( • о а ^ | _

р с 2

2(в+1) р. 2(а+1) ро с!рг{Р(р)

Здесь и, V — компоненты скорости; с - скорость звука; р - давление; р -плотность среды.

Зависимость решения от относительного массового газосодержания проявляется через параметры />„, с0, определяемые термодинамическими формулами (сп, ст, Л- постоянные). В предельном случае чистого газа (у ->оо) уравнения (1) переходят в известные уравнения Лайтхилла для потенциальных адиабатических течений газа.

При постановке краевых задач для уравнений (1) в качестве граничных условий выступают: условия динамической совместности на фронтах УВ (индекс 1 - соответствует параметрам перед фронтом) при г = к{в)

Ро (* -к1) рос1

р~ЩР)-Р' Л *

Ро

N(P) =

(f~ Л); (2)

п,Р(Р + п2) 1+2 а

P-n,(PIF(p)-p,/F(Pl)y 1 2а ' 2(1 + а) р, , _ А

условия на линиях слабого разрыва, где параметры потока непрерывны (f - fw. fe-fun Р = 0, и условия на твердых непроницаемых стенках (= = 0). Основной сложностью решения краевых задач является нахождение фронтов УВ, положение которых заранее неизвестно.

В п. 1.6 для решения краевых задач взаимодействия УВ в идеальных средах рассмотрено применение метода сращиваемых асимптотических разложений по малому параметру Р№ = (/?, - р0)/р0с* интенсивности УВ. Этот метод позволяет редуцировать исходную задачу - свести решение задачи для области возмущений в целом к решению ряда задач: для области (I) малых градиентов, где течение описывается с помощью линейной теории и находится аналитически; решениям задач для областей (III) значительных градиентов, примыкающих к фронтам УВ и линий слабого разрыва, где течение описывается системой нелинейных квазиодномерных уравнений, которая интегрируется аналитически; решениям для областей (И) двумерных нелинейных течений со значительными градиентами параметров в окрестности точек взаимодействия УВ, где соответствующая краевая задача решается численно или аналитически приближенно.

Метод позволяет существенно сузить область исследований до малой окрестности точек взаимодействия УВ - областей коротких волн. Анализ общей постановки задач взаимодействия приводит (п. 1.7) для областей (II) нелинейных взаимодействий во внутренних переменных 8,Y (X, Y)

r = l + P,0R0ir)S, в=Р^Хп{г)У, 8 = X + 1/2Y2; - = /, = />, -=«'2Mv; Р* = РЮР*{,) (3)

Со Со

к постановке краевой задачи, состоящей в нахождении решения р, v системы нелинейных уравнений коротких волн

\/л{р-28%+У) +3/i=0, pr=v„ /^■Р^Я"1, (4)

удовлетворяющих на границах области нелинейных взаимодействий условиям: на фронтах УВ 8 =

8*(У)(знак «+» и qm = 1 соответствует верхнему; знак

«-» и = 7 - нижнему отраженному фронту; цп =0на фронте Маха)

((¡дЛ1 _ , Ж

¿у

= 28-р-н, (М-Ю^'Ч-У. А = />*0) = Я(|); (5)

аг

А =9.. «'= ^. ; (6)

"о «0 (Г) Ло

асимптотическим условиям сращивания на границе с областью (I) линейного решения —> -», -оо<У<оо, 0<Лгс/&[--]<;г)

¿^--Лге^-—+ ——, (7)

я / +ог я / — се

и асимптотическим условиям сращивания на границах с областями (III)

нелинейных квазиодномерных решений (У —>±оо, -<я<3<8*) за фронтами УВ

8=8*(У) и линий слабого разрыва <5* = ^

(8)

ч / я-ЧУ + а' а*-У;

Здесь в общем случае взаимодействия УВ = 1 при У -> +оо; дг = 77 при "У -> -оо; знак «+» соответствует общему случаю, когда отраженные волны ударные; знак «-» соответствует вырождению волн в линию слабого разрыва.

Постановка краевых задач (4) - (8) содержит параметры подобия а", т] (6). При фиксированных значениях а", г] постановки краевых задач в газовых и газожидкостных средах формально совпадают. Закон подобия (6) существенно упрощает анализ взаимодействий.

При решении краевых задач (4) - (8) основными трудностями являются нелинейность системы уравнений (4) и неизвестное положение ударных фронтов, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (5). Сложность проблемы усугубляется тем, что в условиях дозвукового характера течения (// > 8) параметры течения за образующимися ударно-волновыми структурами и сами структуры зависят от характеристик течения во всей области возмущения. Это обстоятельство побуждает при разработке схем расчета использовать решения, характеризующие поток за фронтами волн в целом. Так, например, численный метод решения (см. п. 1.1) позволяет построить итерационный процесс, состоящий в последовательном уточнении решения задачи и положения ударных фронтов. Результаты численного решения, как показывает анализ, адекватно описывают процессы нелинейных взаимодействий УВ.

Приведенные исследования показывают, что для дальнейшей разработки теории нелинейных взаимодействий УВ, особенно в условиях возникновения парадокса Неймана, необходимо развитие аналитических методов анализа краевых задач, развитие аналитических моделей взаимодействий УВ. Эти исследования должны выявить основные ударно-волновые структуры (режимы взаимодействий) и области их существования, позволить получить простые аналитические выражения для основных параметров, приближенно рассчитать поля течений в областях, прилегающих к ударно-волновым фронтам, при различных режимах нерегулярных

взаимодействий УВ.

В главе 2 исследуются аналитические модели и классификация нелинейных взаимодействий УВ.

В п. 2.1 сформулирована методика разработки аналитических моделей взаимодействий УВ. Методика включает: разработку общей аналитической модели, позволяющей описать все разнообразие нелинейных взаимодействий; разработку аналитических моделей (подмоделей общей модели), позволяющих описать конкретные режимы взаимодействий; получение аналитических выражений для основных параметров, характеризующих течения и возникающие ударно-волновые структуры; анализ областей существования различных режимов нелинейных взаимодействий УВ, общий анализ физической адекватности развитых моделей.

При разработке общей аналитической модели (п. 2.1.2), учитывающей свойства решения соответствующей краевой задачи нелинейных взаимодействий, основные трудности связаны с адекватным описанием: положений УВ, особенностей в тройных точках; влияния потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры. Математически исследуемые течения и возникающие ударно-волновые структуры характеризуются набором параметров для верхней (с индексом 1) и нижней (с индексом 2) точек взаимодействия.

Влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры при различных a", tj исследуется с помощью класса точных параметрических решений системы уравнений коротких волн (4) Заславского-Гриба (q - параметр). ц = срХчУ + + <Ра(й S = qr2+ xXq)Y + ХАя\ v = ¥l{q)Y' + vMY1 + ¥iq)Y + vM

удовлетворяющих точно при q=q = const условиям (5) на фронтах УВ 3 = 8*(у) Маха (q = qB) или отраженных (q-q*). Подстановка (9) в условия (5) на фронте Маха (q-q0) приводит к системе условий для значений функций

<Рг(ч«)= 2g0(l-2 q,\ <*>,(?„)= 20-2 Яа)хАяЛ Р„(?о)= Т-ХокоУ Х*{я*)< v3(qoh-4ql(i-2qol гАяо)=-з<Рг(яо)х,(яЛ (10)

v,(go)=2(3g„-i)xl{q0)-4q,,Xo{qo\ Vo(<7„)= х,{яо)~^хХяЛхЛяЛ хХЯо)=-2ЯоГ„±С„, *„(<?„)=*. +qXTYC„, выражению для параметра qa

q,= 1-С| +Сг (И)

40 2 Y, - Yj' и уравнению симметрии

1 - 7J + А? - А* = (С, - СгХА, + А2 - 2а"). (12)

Значения п = 1, верхний знак и qn = 1 соответствуют значениям в верхней, /7 = 2, нижний знак и qn = rj - значениям в нижней тройной точке.

Общая аналитическая модель допускает, как классические (Неймановские) условия (с непрерывным давлением и направлением скорости), так и неклассические (с непрерывным давлением и разрывом поперечной составляющей скорости, (fi* = /Г, v* Ф v*) схемы течений за тройными точками.

Условия динамической совместности (5) на фронтах УВ в тройных точках 8 = 3,, У = У„ (у" = ¿X \ а, (}, у - углы наклона УВ) принимают вид А.=а"±У„ «5„=(9„+А;)/2, в-Р.ЛО*

, * (13)

У* = А ± В„0/„ - ?Д у: = ТС.//,.

Система (11) - (13) дополняется тремя соотношениями. Первое соотношение - уравнение притока массы, учитывающее влияние потока в целом на течение за фронтом Маха, получается (Шиндяпин Г.П. МЖГ. 1996. № 2) при использовании интегральной формы первого уравнения системы (4) (для области, примыкающей к фронту Маха)

(У.-УДзЛ*-2Цс)=у;-у;, Де = (1 + /?)/2. _ (14)

Здесь (I * - среднее значение на фронте Маха; - среднее значение на границе с областью (1) линейного решения. Два других соотношения выражают принцип экстремального поворота потока в тройных точках на фронтах отраженных УВ (Заславский Б.И. ПМТФ. 1973. № 5) (Зу* /Э//„ = 0)

//, =(1 + 2А,2)/3, + (15)

Система уравнений (11)-(15) представляет замкнутую систему для определения в общем случае 21 параметра (при симметричных взаимодействиях, отражениях 11 параметров), определяющих ударно-волновые структуры. С помощью системы (10) определяется положение фронта Маха и распределение параметров вдоль него. Анализ уравнений (11) — (15) показал, что можно выразить все основные параметры взаимодействия через параметры А„ А2 (и = 1,2; <р,=1;

¿т={д. + л1)/2, у„=±(л„ ~а'\ а„=(?.+2л;)/з,

V;Яа+А1У\ у: (16)

Параметры А„ А3 при различных а", т] находятся при решении уравнений (12), (14), представляющих основную систему уравнений. Переход к новым зависимым г,, г2 и независимым А, 7 параметрам

Зг2 = А,2 + 2, Ъ2\ = К\+2т], А = А,+Аг-2 а" (17)

позволяет записать основную систему в виде

А[б^ -АХ2Г, -1Г +&1 ">?Г ] (18>

Анализ основной системы (18) осложнен вследствие иррациональных выражений в правой части второго уравнения. Обычно применяемый для решения систем нелинейных трансцендентных уравнений подход основан на численном

решении этих уравнений или получаемых из них алгебраических уравнений довольно высоких степеней, что порождает проблемы выделения физически реализуемых решений.

Для анализа ударно-волновых структур на базе решений системы (18), их автоматического формирования в некоторых областях параметров подобия а", rj, более пригодны явные параметрические формулы решений (18). Пример построения такого решения для аналогичной системы трансцендентных уравнений, описывающей регулярные взаимодействия УВ, указан Ковалевым А.Д. (Дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м.н. Саратов. 1987) и приведен в п.2.3.

Система (18) является основной для общих случаев невырожденных нерегулярных отражений и взаимодействий УВ. В случаях вырожденных взаимодействий (вырождений отраженных УВ) система (18) будет вырождаться. Построение явных параметрических решений для различных режимов взаимодействий связано с конкретным видом системы и требует неформального нахождения параметров для аналитического представления решения в каждом случае.

В п. 2.1.3 рассмотрены основные режимы отражений и взаимодействий относительно слабых УВ и возникающие ударно-волновые структуры при различных значениях параметров подобия а', т]. Теоретическое исследование областей существования различных режимов взаимодействий УВ (карт режимов) (Шиндяпин Г.П.. МЖГ. 1996. №2) опирается, в основном, на численное определение границ областей существования. Сформулированы критерии для аналитического определения границ областей существования различных режимов (А - регулярного; С - развитого нерегулярного, В - выраженного нерегулярного) взаимодействия и (А", В", С') отражения УВ.

В п. 2.1.4 рассмотрены аналитические модели, описывающие различные режимы нерегулярных взаимодействий и отражений УВ. Для наиболее общей модели С - развитого нерегулярного взаимодействия разработан метод нахождения решения системы (18) в виде явных параметрических формул. Анализ сводится к рассмотрению уравнения для параметра А относительно неизвестных R = z, - z2, W = 2z, - , которое решается методом малого параметра (RA «1).

Модель С* - развитого нерегулярного отражения (SMR) получается из основной системы (18) (tj = 1, z, = z2 при исключении А из второго уравнения) в явном параметрическом виде (z, параметр) А, = Л,(г,).

Модели В. В"_- вырожденного нерегулярного взаимодействия с

положительной В и отрицательной В' кривизной фронта Маха (при вырождении отраженной УВ в верхней тройной точке; z, = 1; //,=<?,= 1, v* ~ vf) выписываются в явном параметрическом виде (А, т] - параметры) z2 = z2(A, rj).

Модель В" - вырожденного нерегулярного отражения NMR (»7 = 1, z2 = z2 = 1) записывается в явном виде А = л(ау).

Модели А'. А - регулярного дозвукового (<5Л < /лл) и сверхзвукового (SA > jja) взаимодействия, а также модели А", А" - регулярного дозвукового и сверхзвукового отражения RR анализируются, следуя работе Ковалева А.Д. (дисс.

на соиск. учен.степ. канд. ф.-м.н. Саратов. 1987).

В п. 2.1.5 определены аналитически границы областей существования различных режимов нерегулярных и регулярных взаимодействий и отражений УВ:

Граница (1) - между развитым нерегулярным С и регулярным А' взаимодействием;

Граница (3) - между вырожденным нерегулярным В и регулярным А' взаимодействием ;

Граница (2) - между нерегулярным С и вырожденным нерегулярным В взаимодействием ;

Граница (4) - между вырожденными нерегулярными взаимодействиями В, В' с положительной и отрицательной кривизной ножки Маха;

Граница ГП - между регулярным А' дозвуковым и нерегулярным С взаимодействием;

Граница (Г) - между регулярным А' дозвуковым и регулярным А сверхзвуковым взаимодействием.

В п. 2.2 рассмотрено аналитическое представление основных параметров. характеризующих нерегулярные взаимодействия и отражения УВ.

В п. 2.2.1 получены формулы для расчета основных параметров взаимодействий; положения фронта Маха и распределения параметров на фронте Маха при различных режимах взаимодействия и отражений УВ, различных a", tj.

В п. 2.2.2 получены формулы для расчета параметров на фронтах отраженных УВ при нерегулярных и регулярных взаимодействиях.

В п. 2.3 проведен анализ основных параметров взаимодействия УВ. Рассмотрен вопрос о физической адекватности развитых аналитических моделей.

В п. 2.3.1 рассмотрена интерпретация аналитических решений для распределения параметров на фронтах УВ методом ударных поляр. Проведено сравнение аналитических результатов с результатами численных исследований (Ковалев А.Д. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м.н. Саратов. 1987). Проведено сравнение результатов аналитических исследований и экспериментальных данных (Adachi Т, Suzuki T., Kobayashi S. Trans. Jap. Soc. Mach. Eng. В. 1994. V. 60 № 575), характеризующих непараллельность потока за тройной точкой, показавшее количественное и качественное соответствие результатов.

В п. 2.3.2 проведено исследование параметров нерегулярных отражений УВ в условиях действия парадокса Неймана. Сравнение результатов аналитических расчетов для основных углов (а, ß, а>', а>0), характеризующих нерегулярные отражения MR, TMR, с экспериментальными данными (Henderson L.F., Siegenthaler A. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. V. 369. № 1739), показало, что теоретические результаты ТКВ достаточно хорошо согласуются с экспериментальными.

В п. 2.3.3 проведен анализ параметров нерегулярных взаимодействий УВ и сравнение результатов аналитических расчетов (Ps/Plt P6/Pt, z") с экспериментальными данными (Smith W.R. Phys. Fluids. 1959. V.2. № 5; Заславский Б.И., Сафаров P.A. ПМТФ. 1973. № 5). Отмечены характерные закономерности поведения основных параметров взаимодействия, подтверждаемые экспериментальными данными.

со'

.«о

60,

50 55 60 65 70 75 80

Рисунок 1. Сравнение полученных результатов аналитических расчётов (ТКВ) для углов со0, со' с экспериментальными данными Henderson, Siegenthaler (1980).

В п. 2.4 проведен анализ параметров, характеризующих ударно-волновые структуры взаимодействия, а также анализ границ областей существования различных режимов взаимодействий УВ. Построены ударно-волновые структуры (фронты падающих, Маха и отраженных УВ), а также распределение скоростей ¡и, v вдоль фронтов отраженных волн и Маха при различных a", rj. Для угла характеризующего положение тройной точки при отражении УВ, приведено сравнение аналитических результатов с результатами численных и экспериментальных исследований Colella P., Henderson L.F. (J. Fluid Mech. 1990. Vol. 213), показавшее хорошее соответствие. Проведено сравнение аналитических результатов по распределению скорости ц (давления />(,) = /и) вдоль фронтов (Маха и отраженного) при отражениях УВ с экспериментальными данными Заславского Б.И., Сафарова Р. А. (ПМТФ. 1973. № 5); Sasoh A., Takayama К. (J. Fluid. Mech. 1994. V. 277), а также полученных аналитических и экспериментальных Такауама К. (1988) результатов для радиуса кривизны фронта Маха в тройной точке, показавшие хорошее соответствие.

При анализе границ областей существования различных режимов отражений УВ проведено сравнение теоретических (ТКВ) и экспериментальных Sasoh А., Такауама К. (1994) результатов для границы (1), соответствующей переходу от простого Маховского (SMR) к регулярному (RR) отражению, и для границы (2), соответствующей переходу от простого маховского (SMR) к Неймановскому маховскому (NMR) отражению. При исследовании несимметричных взаимодействий УВ сравнение теоретических (ТКВ) и экспериментальных

Smith W. R. (1959) результатов показало их соответствие (обращение х" в ноль,

характеризующего положение тройных точек, при a" ->a't)*; * - соответствует

значениям на границе (1); в эксперименте г = 0.147; J] = 0.36; ог^* = 1.6).

В целом приведенные в п. 2.3; 2.4 результаты анализа аналитических исследований позволяют считать, что развитые аналитические модели нерегулярных отражений и взаимодействий УВ физически адекватно описывают процессы нелинейных взаимодействий для относительно слабых УВ (1 й £ ёо,7).

Предложенный подход позволяет преодолеть трудности, связанные с парадоксом Неймана, объяснить закономерности нерегулярных взаимодействий относительно слабых УВ.

В Главе 3 проведено аналитическое исследование полей давлений и скоростей при нерегулярных взаимодействиях УВ.

В п. 3.1 рассмотрен класс точных параметрических решений Заславского-Гриба и основная система 9 дифференциальных уравнений (д -параметр), описывающих течения в областях нелинейных взаимодействий за фронтами УВ. Обсуждаются условия невырожденности преобразования переменных 3, У в д, У, используемых в решении. Основная система 9 дифференциальных уравнений разрешена относительно производных. Для интегрирования системы в качестве начальных используются условия (для значений входящих в решение функций) на фронтах УВ: на фронте Маха при д~д0 (полученные в п. 2.1.2); на отраженных » фронтах при д = (полученные в п. 2.2.2). В п. 3.1.1 рассмотрены различные формы записи основной системы дифференциальных уравнений.

В п. 3.1.2 рассмотрен метод, позволяющий свести решение для основной системы 9 дифференциальных уравнений к решению системы для двух дифференциальных уравнений (для хМ\ Хо (?)) в общем случае и одного дифференциального уравнения (для %„{%)) в случае симметричных взаимодействий, отражений УВ.

В п. 3.1.3 проведен анализ особенностей решений основной системы дифференциальных уравнений и начальных условий, использующий аналитические решения для двух ключевых функций (рг\ч\ ¥ъ(я) решения Заславского-Гриба. Разработана методика прохождения при интегрировании особой точки с устранимой особенностью, соответствующей обращению в ноль выражений для знаменателей уравнений основной системы. Приведены практические рекомендации по интегрированию основной системы в окрестности фронта Маха (при <?>д0) и в окрестности отраженного фронта (при при возникновении предельных

линий(0 = 0„, %о(д)=0).

В п. 3.2 рассмотрен метод построения аналитических решений основной системы дифференциальных уравнений Заславского-Гриба в задачах симметричного взаимодействия, отражения УВ (»7=1). В п. 3.2.1 решение дифференциального уравнения третьего порядка для Ха(р), (д = $р2 - В), к которому сводится задача, находится методом разложения по малому параметру {е = -\!А). Выписан вид * общего решения в виде степенного ряда по £, коэффициенты которого находятся при удовлетворении начальных условий (при р = р0, ца--В- р\). В п. 3.2.2 найдены начальные условия на фронте Маха (<? = д0) для %0(р0\ х'0{ра\ Хо{Ро)-Построено, в качестве примера, решение для Хо(р) до степеней е1 включительно. Остальные функции решения Заславского-Гриба вычисляются (п.3.1.2) через Хо(ч) в явном виде (п. 3.1.2).

В п. 3.3 построено решение в окрестности тройных точек при неклассических условиях нерегулярных взаимодействий УВ Дц„=0).

Решение в окрестности тройных точек (А) удовлетворяет приближенно системе

уравнений коротких волн и на фронтах Маха при q = qt) и отражённом при q = q* удовлетворяет условиям динамической совместности, описываемым параметрическими решениями Заславского-Гриба. В п. 3.3.1 построено параметрическое семейство кривых (р - параметр, 0</?<1) содержащее фронты УВ: отраженный при р = 0, Маха при р = 1. В п. 3.3.2 на основе анализа свойств решений системы уравнений коротких волн в переменных р, У построено решение в окрестности тройной точки. Анализ решения при построении полей скоростей (давлений) выявил ряд закономерностей течений, отмечаемых также и при численном решении краевой задачи (Ковалев А.Д. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м.н. Саратов. 1987).

В п. 3.4 обсуждается методика и результаты построения полей давлений и скоростей в областях нелинейных взаимодействий в окрестности фронтов УВ с помощью точных решений Заславского-Гриба и локальных решений в окрестности тройных точек (п.3.3).

В п. 3.4.1 для интегрирования базовой системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка для ■&>(?)> к которым сводится основная система

(п.3.1.2), выписаны начальные условия при q-q для £,(?)> х'М)> хМ\

Хо(?)> х"(ч) как ПРИ Ч=Ча на фронте Маха, так и для q=q* на отраженном фронте. Описана методика интегрирования системы методом Рунге-Кутта четвертого и восьмого порядка. В п. 3.4.2 проведен анализ полей давлений и скоростей при нерегулярных отражениях и взаимодействиях УВ. Построены поля давлений и скоростей при симметричных взаимодействиях, отражениях (7 = 1) для случая вырожденного маховского отражения (NMR при а' =0,5) и случая невырожденного маховского отражения (SMR при а" = 1,0) (Рис. 2). При несимметричных взаимодействиях (7*1) построены картины распределений параметров jj, v за фронтами УВ при: а" =0.50, 7 = 0.70; а" =0.50 7=0.30, соответствующих вырожденному нерегулярному взаимодействию (режим В); а" =1.00, 7 = 0.70; а" =1.00, 7 = 0.30, соответствующих невырожденному (режим С) и вырожденному (режим В), соответственно, нерегулярному взаимодействию.

¿и(Х, У) у(Х,У)

Рисунок 2. Поля скоростей /л, V (давлений Р{,) = ц) при невырожденном нерегулярном отражении (SMR, а" -1,0), построенные с помощью аналитических решений

В п. 3.4.3 проведено сравнение полученных полей давлений и скоростей с результатами численного решения краевой задачи (Ковалев А.Д. 1987; Colella Р. Henderson L.F. 1990), позволяющее оценить протяженность расчетной области, где аналитические результаты остаются достаточно надежными. В п. 3.4.4 проведено сравнение полученных результатов с результатами известных экспериментальных исследований (интерферограммами) (Bleakney W., Taub A.U. 1949; Заславский Б.И., Сафаров P.A. 1973; Smith W.R. 1959). Результаты иллюстрируют закономерности поведения параметров, изменения ударно-волновых структур при смене режимов взаимодействий.

По результатам исследований главы 3 сделаны выводы, позволяющие считать, что развитый метод построения полей давлений и скоростей с помощью аналитических решений в окрестности фронтов УВ физически адекватно описывает процессы нерегулярных отражений и взаимодействий для относительно слабых УВ; * иллюстрирует возникновение различных режимов взаимодействий; объясняет и устраняет несоответствия, возникающие при нерегулярных отражениях в условиях возникновения парадокса Неймана.

В заключении диссертации перечислены основные результаты и общие выводы, полученные в работе.

В работе получены новые научные данные об ударно-волновых процессах, возникающих при нерегулярных отражениях и взаимодействиях относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах. Развит аналитический подход, позволяющий получить количественные и качественные характеристики исследуемых нелинейных процессов, объяснить и устранить несоответствия теории, связанные с парадоксом Неймана.

В приложениях (1-12) приведены необходимые разъяснения и выкладки, а также результаты сравнения полученных теоретических результатов с результатами известных численных и экспериментальных исследований

Часть работ по теме диссертации написана совместно с руководителем Шиндяпиным Г.П., участие которого в проведённых исследованиях состояло в постановке задач. Основные результаты в совместных работах принадлежат лично автору.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю -профессору Г.П. Шиндяпину за поставленные задачи и большое внимание к работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Развиты аналитические модели нерегулярных взаимодействий и * отражений относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах. Получены новые аналитические результаты по классификации режимов взаимодействий, аналитические выражения для границ областей существования различных режимов взаимодействий.

2. Разработан параметрический метод построения аналитических решений для основных модельных уравнений, позволяющий определить базовые параметры взаимодействий, геометрию возникающих ударно-волновых структур при различных режимах нерегулярных взаимодействий и отражений.

3. Развит аналитический подход для анализа течений в областях нелинейных взаимодействий (вблизи фронтов УВ), использующий класс точных частных решений Заславского-Гриба и анализ течений в окрестности тройных точек при

неклассических условиях взаимодействий.

4. Проведен систематический анализ поведения основных параметров на ударно-волновых фронтах, а также полей давлений и скоростей при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ, показавший хорошее соответствие результатов известным результатам численных и экспериментальных исследований.

5. Выявлены качественные и количественные закономерности и особенности нерегулярных отражений и взаимодействий УВ, показавшие в условиях действия парадокса Неймана физическую адекватность аналитических моделей и преимущества развитого аналитического подхода.

В целом, приведенные результаты представляют совокупность завершенных исследований, развивающих перспективное направление - нелинейную теорию взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гамаюнова E.H. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и параметров при нелинейных взаимодействиях ударных волн / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Унта, 2001. Вып. 3. с. 193-196.

2. Гамаюнова E.H. Аналитическое представление основных параметров нерегулярных взаимодействий и отражений ударных волн / Гамаюнова E.H. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2002. Вып. 4. с. 178-181.

3. Гамаюнова E.H. Аналитическое исследование общего случая нерегулярного взаимодействия и отражения ударных волн / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2002. Вып. 4. с. 225-229.

4. Гамаюнова E.H. Анализ ударно-волновых структур и потоков при нелинейных взаимодействиях и отражениях ударных волн / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. //АВН. Труды ПДНТС. Саратов: СФВАУ, 2002. Вып. 34. с. 42-45.

5. Гамаюнова E.H. Нелинейные особенности маховского отражения и взаимодействия относительно слабых ударных волн / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. // Тр. IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNS - 2002, Санкт-Петербург: Изд-во МАИ, 2002. с. 437-438.

6. Гамаюнова E.H. Расчет ударно-волновых структур и нагрузок при взаимодействиях и отражениях ударных волн в газах и газожидкостных смесях / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. // Материалы Международной конференции: Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении. ИПТМУ РАН. Саратов: Изд-во СГТУ. 2002. с. 115-116.

7. Гамаюнова E.H. Ударно-волновые структуры и потоки при нелинейных взаимодействиях ударных волн / Гамаюнова E.H. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2003. Вып. 5. с. 153-156.

8. Гамаюнова E.H. Нелинейные особенности отражения и взаимодействия слабых ударных волн / Гамаюнова E.H. // АВН. Труды ПДНТС. Саратов: СФВАУ, 2003. Вып. 35. с. 15-18.

9. Гамаюнова E.H. Аналитические модели нелинейного взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. //

¡1иЪ0Ъ

Z0üb-4 t

10113 '

Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Об.н.тр. Ульяновск: Изд-во Ул. ГТУ. 2003. Том. 5. с. 112-117.

10. Гамаюнова E.H. Ударно-волновые нагрузки при маховском отражении и взаимодействии ударных волн / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. // Сб.матер. XV Всерос. межвуз. науч-техн. конф. Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий. Казань: Изд-во Каз. ГУ. 2003. с. 50-52.

11. Гамаюнова E.H. К анализу результатов аналитического и численного решения задачи нерегулярного отражения ударных волн / Гамаюнова E.H. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2004. Вып. 6. с.

12. Гамаюнова E.H. К теории нелинейных взаимодействий ударных волн в условиях парадокса Неймана / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. // Сб. науч. тр. «Прикладная математика и механика». Выпуск 6. Ульяновск. УлГТУ. 2004. с. 55-70.

13. Гамаюнова E.H. Анализ нелинейных взаимодействий ударных волн с помощью решений Заславского-Гриба / Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. // Тр. XX Юбилейного Междунар. семинара по струйным, обрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург: ИПЦ СПб ГУТД, 2004. с. 249-250.

Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Подписано в печать 20 05 2005 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать RISO Объем 1,2 печ л. Тираж 100 экз. Заказ № 403

Отпечатано с готового оригинал-макета Цеигр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 304645506500043 410600, Саратов, ул. Московская, д. 152, офис 19

179-182.

Гамаюнова Елена Николаевна

Автореферат

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гамаюнова, Елена Николаевна

Введение.

ГЛАВА 1. Математические модели взаимодействий и отражений относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах.

4 1.1. Аналитические исследования нелинейных взаимодействий ударных волн.

1.1.1. Развитие аналитической теории коротких волн.

1.1.2. Исследование процессов взаимодействий УВ в условиях парадокса Неймана.

1.1.3. Проблемы взаимодействия ударных волн в газожидкостных пузырьковых средах.23.

1.1.4. Современное состояние исследований нелинейных взаимодействий ударных волн.

1.2. Ударно-волновые структуры и режимы отражения и * взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных пузырьковых средах.

1.3. Модель двухфазной газожидкостной среды и термодинамика газовых и газожидкостных пузырьковых сред.

1.4. Анализ применимости модели двухфазной ГЖС для описания ударно-волновых процессов.

1.5 Постановка краевых задач для описания взаимодействий ударных волн в газовых и газожидкостных средах.

1.5.1. Дифференциальные уравнения идеальной, сжимаемой газовой и газожидкостной среды.

1.5.2. Граничные условия для областей неоднородных течений при взаимодействиях УВ. Условия на фронтах УВ.

1.5.3. Постановка задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред.

1.6. Метод сращиваемых асимптотических разложений решения краевых задач взаимодействия ударных волн в идеальных средах.

1.6.1. Линейные решения для областей (I) малых градиентов.

1.6.2. Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва.

1.6.3. Задачи для областей (II) в окрестности точек взаимодействия ударных волн, областей нелинейных взаимодействий.

1.7. Краевые задачи для областей (II) коротких волн, областей нелинейных взаимодействий.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. Аналитические модели и классификация нелинейных ударно-волновых взаимодействий.

2.1. Разработка аналитических моделей нерегулярных взаимодействий для описания основных параметров взаимодействия.

2.1.1. Проблемы аналитического моделирования.

2.1.2. Разработка общей аналитической модели нерегулярных взаимодействий УВ. Построение замкнутой системы уравнений.

2.1.3. Анализ общей аналитической модели. Сведение исходной системы к системе двух уравнений. Идея параметрического метода решения.

2.1.4. Основные режимы отражений и взаимодействий относительно слабых ударных волн и возникающие ударно-волновые структуры.

2.1.5. Аналитические модели нерегулярных и регулярных взаимодействий и отражений ударных волн.73.

2.1.6. Определение границ областей существования нерегулярных и регулярных взаимодействий и отражений ударных волн.76.

2.2. Аналитическое описание основных параметров взаимодействия и отражения ударных волн.79.

2.2.1. Расчёт основных параметров взаимодействий, положения фронта Маха и распределения параметров на фронте Маха.

2.2.2. Расчёт параметров на фронтах отражённых ударных волн.

2.3. Анализ основных параметров взаимодействия ударных волн. Физическая адекватность развитых аналитических моделей.

W 2.3.1. Интерпретация аналитических решений методом ударных поляр. Сравнение аналитических результатов с результатами численных и экспериментальных исследований.

2.3.2. Аналитическое исследование параметров нерегулярных отражений ударных волн в условиях действия парадокса Неймана.

2.3.3. Анализ параметров нерегулярных взаимодействий ударных волн. Сравнение результатов аналитических исследований с известными экспериментальными результатами.89.

2.4. Анализ параметров, характеризующих ударно-волновые структуры взаимодействий. Анализ границ областей существования различных режимов нерегулярных взаимодействий. Физическая адекватность аналитических результатов.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. Аналитическое исследование полей давления и скоростей при нерегулярных взаимодействиях ударных волн.

3.1. Класс точных решений Заславского - Гриба уравнений коротких волн и основная система дифференциальных уравнений, определяющих параметры течения.

3.1.1. Различные формы записи основной системы

Ч' дифференциальных уравнений.

3.1.2. Сведение основной системы дифференциальных уравнений к двум уравнениям относительно Х\(я\ Xoifl).

3.1.3. Анализ начальных условий и особенностей решений основной системы дифференциальных уравнений.

3.2. Построение аналитических решений системы дифференциальных уравнений Заславского-Гриба в задачах симметричного взаимодействия, отражения ударных волн.

3.2.1. Построение решений методом разложения по малому

4 параметру.

3.2.2. Начальные условия на фронте Маха.

3.3. Построение решений в окрестности тройных точек при неклассических условиях нерегулярных взаимодействий ударных волн.

3.3.1. Построение семейства кривых, содержащего фронты ударных волн.

3.3.2. Построение решения в окрестности тройной точки.

3.4. Построение полей давлений и скоростей с помощью аналитических решений. Сравнение результатов с известными результатами численных и экспериментальных исследований.117.

3.4.1. Начальные условия и интегрирование системы уравнений

Для хМ\ хМ).И

3.4.2. Анализ полей давлений и скоростей при нерегулярных отражениях и взаимодействиях ударных волн.

3.4.3. Сравнение результатов с результатами численного решения краевых задач для областей нелинейных взаимодействий.

3.4.4. Сравнение результатов с результатами известных экспериментальных исследований.

Выводы к главе 3.

Введение диссертация по механике, на тему "Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах"

Актуальность темы. Теоретическое исследование процессов отражений и взаимодействия ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных средах представляет одну из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. Решение этой проблемы важно для развития сверхзвуковой «? авиации, космонавтики, проектирования трубопроводов для транспортировки топливных смесей и др. Теоретическая важность проблемы обусловлена нелинейным характером основных уравнений и сложным разрывным характером решений, в силу чего методы, возникающие при исследовании процессов взаимодействий, имеют универсальный характер и связаны с решением общих проблем выявления структуры обобщенных решений задач математической физики.

Исследуются процессы отражения и взаимодействия (взаимного проникновения УВ) относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн при этом может быть велика), когда за фронтами УВ Ф возникают области резких изменений параметров - области коротких волн, и ударные нагрузки возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает серьезные трудности при анализе. Особое внимание уделяется моделированию процессов отражения и взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана, когда для относительно слабых УВ теоретические результаты для нерегулярных отражений УВ (локальные теории Неймана) не согласуются с экспериментом, в то время как для относительно сильных У В такое согласие наблюдается.

Неизменное внимание к проблеме отечественных (С.А. Христианович, А.А. Гриб, Б.И. Заславский, Г.П. Шиндяпин и др.) и зарубежных исследователей (А.Ф. Хендерсон, К. Такаяма, Г. Бен-Дор и др.) на протяжении более 50 лет привело к появлению разнообразных альтернативных точек зрения на природу противоречия. Известны многочисленные попытки подправить локальные теории Неймана. Однако все яснее вырисовывается необходимость построения теории взаимодействий, отражающей влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры.

Исходя из этой цели, в работе решались следующие задачи:

- Разработка достаточно простых аналитических моделей нерегулярных отражений и взаимодействий относительно слабых УВ, допускающих как классические, так и неклассические (с разрывом поперечной составляющей скорости) условия в тройных точках.

- Классификация режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.

- Анализ областей существования различных режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.

- Аналитическое описание границ областей существования различных режимов отражений и взаимодействий УВ.

Основную роль выполняют аналитические методы анализа, основанные f' на выделении структурных особенностей течений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- исследованы ударно-волновые структуры и течения в областях нелинейных взаимодействий. Выявлены качественные закономерности и у особенности процессов взаимодействий, показавшие в условиях действия парадокса Неймана физическую адекватность разработанных аналитических моделей.

Достоверностьрезультатов работы подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными; согласованностью результатов для рассчитанных ударно-волновых структур и полей течений с известными результатами численного решения соответствующих краевых задач; обоснованностью используемых методов исследований.

В частности, результаты исследований были использованы при выполнении программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники». Подпрограмма «Транспорт» (проект № 205 01.01.30 2001-2002 гг. Исп. СГУ) НИР «Разработка детонационных двигателей для воздушных транспортных средств на основе вычислительного и натурального экспериментов».

- IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ - 2002), Санкт-Петербург, 2002 г.;

- XIX и XX Международные семинары по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 2002, 2004 гг.;

- Международная конференция «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении». Саратов, ИПТМУ РАН, 2002 г.;

- XII Международная конференция аспирантов и студентов. Новосибирск, СО РАН, 2004 г.;

- XV Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика». Казань. КазФВАУ. 2003 г.;

- Ежегодные научные конференции Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики». Саратов. СГУ: 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 гг.;

Результаты исследований опубликованы в тринадцати печатных работах.

Структура и объем работы.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Выводы к главе 3

1. Развит аналитический подход к анализу нелинейных отражений и взаимодействий ударных волн, использующий класс точных частных решений Заславского-Гриба системы уравнений коротких волн и локальные решения в тройных точках при неклассических условиях взаимодействия.

2. Построены поля давления и скоростей для различных режимов нелинейных отражений и взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах, включая режим взаимодействий в условиях действия парадокса Неймана.

3. Проведено сравнение полученных результатов расчета полей давлений и скоростей с известными результатами численных и экспериментальных исследований, показавшее их хорошее соответствие. Это позволяет сделать вывод о математической корректности и физической достоверности результатов, полученных с помощью разработанных аналитических моделей.

4. Полученные результаты расчета полей давлений и скоростей подчёркивают преимущество аналитического подхода к анализу нелинейных взаимодействий; выявляют закономерности и особенности поведения параметров в зонах больших градиентов, иллюстрируют возникновение различных режимов взаимодействий и переход от одних режимов к другим. Результаты объясняют и устраняют несоответствия, возникающие при нерегулярных отражениях относительно слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены новые научные данные об ударно-волновых процессах, возникающих при нерегулярных отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах. Развит аналитический подход, позволяющий получить количественные и качественные характеристики исследуемых нелинейных процессов, объяснить и устранить несоответствия теории, связанные с парадоксом Неймана. Результаты способствуют развитию теории нелинейных взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах, имеющей важное теоретическое и прикладное значение.

Основные научные результаты работы:

1. Развиты аналитические модели нерегулярных взаимодействий и отражений относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах. Получены новые аналитические результаты по классификации режимов взаимодействий, аналитические выражения для границ областей существования различных режимов взаимодействий.

3. Развит аналитический подход для анализа течений в областях нелинейных взаимодействий (коротких волн), использующий класс точных частных решений Заславского-Гриба и анализ течений в окрестности тройных точек при неклассических условиях взаимодействий.

4. Проведен систематический анализ поведения основных параметров на ударно-волновых фронтах, а также полей давлений и скоростей при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий ударных волн, показавший хорошее соответствие результатов известным результатам численных и экспериментальных исследований.

5. Выявлены качественные и количественные закономерности и особенности нерегулярных отражений и взаимодействий ударных волн, показавшие в условиях действия парадокса Неймана физическую адекватность аналитических моделей и преимущества развитого аналитического подхода.

Г'

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Гамаюнова, Елена Николаевна, Саратов

1. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г., Лагутов Ю.П. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах. М.: Наука, 1986. 207 с.

2. Griffith W.C. Shock waves // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 106. P. 81-101.

3. Шиндяпин Г.П., Ковалев А.Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. ч. 2. Краевые задачи взаимодействия ударных волн. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 108 с.

4. Шиндяпин Г.П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 2. С. 183-190.

5. Шиндяпин Г.П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1997. 104 с.

6. Гриб А.А., Рыжов О.С., Христианович С.А. Теория коротких волн //

7. ПМТФ. 1960. № 1. С. 63-74.

8. Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1981. 484 с.

9. Гриб. А.А., Березин А.Г. Нерегулярное отражение плоской ударной волны в воде от свободной поверхности // ПМТФ. 1960. № 2. С. 34-39.

10. Заславский Б.И. О нелинейном взаимодействии сферической ударной волны, возникающей в результате взрыва заглубленного заряда, со свободной поверхностью воды // ПМТФ. 1964. № 4. С. 57-65.

11. Шиндяпин Г.П. О нерегулярном отражении слабых ударных волн от жесткой стенки // ПМТФ. 1964. № 2. С. 22-28.

12. Заславский Б.И. Некоторые частные решения уравнений коротких волн // ПМТФ. 1962. № 2. С. 63-69.

13. Клейнер Б.Г., Шиндяпин Г.П. Об одном классе точных частных решений уравнений коротких волн // ПММ. Т. 34. вып. 6. 1970. С. 1150-1158.

14. White D. R. An experimental survei of the Mach reflection of shock waves // Proc. Second Midwestern Fluid Mech. 1952. P. 253-262.

15. Smith W.R. Mutual reflection of two shock waves of arbitrary strengths // Phys. Fluid. 1959. Vol. 2. № 5. p. 533-541.

16. Вельмисов П.А., Шиндяпин Г.П. Асимптотические исследования нелинейных взаимодействий слабых ударных волн // Аэродинамика. Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972. Вып. 1(4). С. 78-93.

17. Могилевич Л.И., Шиндяпин Г.П. О нелинейной дифракции слабых ударных волн // ПММ. 1971. Т. 35, вып. 3. С. 492-498.

18. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван. Изд-во АН АрмССР. 1961. 276 с.

19. Титаренко В.В., Шиндяпин Г.П. Исследования взаимодействий ударных волн в идеальных газожидкостных средах асимптотическими методами // Нестационарные течения с ударными волнами. Л.: ФТИ АН СССР. 1990. С. 199-215.

20. Шиндяпин Г.П. Нерегулярное взаимодействие слабых ударных волн разной интенсивности // ПММ 1974. Т. 38. Вып. 1. С. 105-114.

21. Шиндяпин Г.П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе // ЖВМ и МФ. 1980. № 1.С. 249-254.

22. Шиндяпин Г.П. К теории дифракции слабых ударных волн // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 6. С. 176-178.

23. Whitham G.B. A new approach to problem of Shock dynamics. Pt 1: Two dimantional problems // J. Fluid Mech. 1957. Vol. 2. P. 145-171.

24. Henderson L.F., Siegenthaler A. Experiments on the diffraction of weak blast waves: the von Neumann paradox // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. Vol. 369. № 1739. P. 537-555.

25. Семенов A.H. Разновидности отражения ударных волн от клина // Нестационарные течения газов с ударными волнами. Л.: ФТИ АН СССР. 1990.1. С. 162-172.

26. Lighthill M.J. The shock strength in supersonic "conical fields" // Philos. Mag. 1949. Vol. 40, №511. P. 1202-1223.

27. Kuo Y.H. A similarity rule for the interaction between a conical field and a plane shock // J. Aero. Sci. 1955. Vol. 22, № 7.щ 29. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. М.: Наука. 1970. 344 с.

28. Дулов В.Г. О движении тройной конфигурации ударных волн с образованием следа за точкой ветвления // ПМТФ. 1973. № 6. С. 67-75.

29. У сков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов // Сверхзвуковые газовые струи. Новосибирск: Наука. 1983. С. 22-46.

30. Фонарев А.С., Подлубный В.В. Распространение взрывных волн при частичном разрушении газонасыщенной цилиндрической оболочки// Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1834. 23 с.

31. Neumann J. Von. Collected Works. Oxford, London, New York; Paris: Pergamon Press. 1963. 538 p.

32. Kft: 34. Colella P., Henderson L.F. The von Neumann paradox for the diffraction ofweak shock waves // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 213. p. 71-94.

33. Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. О начальной стадии взаимодействия слабых ударных волн // Аэродинамика: Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. унта. 1979. Вып. 7(10). С. 116-122.

34. Ковалев А.Д. Исследование структур зон взаимодействия ударных волн. Дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.м.н. Саратов: Сарат. ун-т. 1987.

35. Сагомонян А.Я. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М.: Изд-во МГУ. 1962. 80 с.

36. Сагомонян А .Я., Поручинов В.Б. Пространственные задачинеустановившегося движения сжимаемой среды. М.: Изд-во МГУ. 1970. 120 с.

37. Shindyapin G. , Mylcin V. Shock wave structure in gases and fluids with gases medium in under the von Neumann paradox conditions // Fluxes and structures in fluid. Intern. Conf. St. Petersburg. Russia. 1999. p. 119-120.

38. Гельфанд Б.Е., Губанов A.B., Тимофеев Е.И. Расчет параметров щр нестационарных ударных волн в двухфазной среде // ФГВ. 1981. № 5. С. 139143.

39. Губайдулин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И., Хабеев И.С. Волны в жидкостях с пузырьками // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. ВИНИТИ М. 1982. Т. 17. С. 16-249.

40. Пархин Б.Р., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.Л. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха// Подводные и подземные взрывы. (Пер. с англ.) М.: Мир. 1974 С. 152-258.

41. Волошинов А.В., Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. К теории регулярного и маховского отражения ударных волн в двухфазной газожидкостной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. № 2. С. 188-190.

42. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р., Кузнецов В.В., Малых Н.В. Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа.//Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск. 1975. С. 54-97.

43. Волошинов А.В., Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. Влияние газосодержания при взаимодействии ударных волн различной интенсивности в двухфазной газожидкостной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 6. С. 172174.

44. Sasoh A., Takayama К. Characterization of disturbance propagation in weak shock-wave reflections // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 277. P. 331-345.

45. Ben-Dor G. Shock wave reflection phenomena. New-York: Springer Verlag. 1991.

46. Kobayashi S., Adachi Т., Suzuki T. Non-self-similar behavior of the von Neumann reflection// Physics of Fluids. Vol. 12, № 7. 2000. p. 1809-1877.

47. Takayama K., Ben-Dor G. State-of-the art in research on Mach reflection of shock waves// Sadhana. V. 18, Part 3,4. 1993. P. 695-710.

48. Adachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S. Mach reflection of a weak shock waves // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. 1994. V. 60. № 575. C. 2281-2286.

49. Васильев Е.И. Четырехволновая схема слабого маховского взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МЖГ. № 3. 1999. С. 144-152.

50. Zakharian A.R., Brio М., Hunter J.H., Webb G.M. The Von Neumannparadox in weak shock refection // J. Fluid Mech. Vol. 422. 2000. P. 193-205.

51. Henderson L.F., Menikoff R. Triple-shock entropy theorem and its consequences // J. Fluid Mech. Vol. 366. 1998. P. 179-210.

52. Шиндяпин Г.П. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражении и взаимодействии относительно слабых ударных волн // Аэродинамика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 31-44.

53. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и параметров при нелинейных взаимодействиях ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2001. Вып. 3. с. 193-196.

54. Гамаюнова Е.Н. Аналитическое представление основных параметров Ф нерегулярных взаимодействий и отражений ударных волн // Математика.

55. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2002. Вып. 4. с. 178-181.

56. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Аналитическое исследование общего случая нерегулярного взаимодействия и отражения ударных волн //

57. Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2002. Вып. 4. с. 225-229.

58. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Анализ ударно-волновых структур и потоков при нелинейных взаимодействиях и отражениях ударных волн // АВН. Труды ПДНТС. Саратов: СФВАУ, 2002. Вып. 34. с. 42-45.

59. Гамаюнова Е.Н. Ударно-волновые структуры и потоки при нелинейных взаимодействиях ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2003. Вып. 5. с. 153-156.

60. Гамаюнова Е.Н. Нелинейные особенности отражения и взаимодействия слабых ударных волн // АВН. Труды ПДНТС. Саратов: СФВАУ, 2003. Вып. 35. с. 15-18.

61. Изд-во Каз. ГУ. 2003. с. 50-52.

62. Гамаюнова Е.Н. К анализу результатов аналитического и численного решения задачи нерегулярного отражения ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2004. Вып. 6. с. 179-182.

63. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. К теории нелинейных взаимодействий ударных волн в условиях парадокса Неймана // Сб. науч. тр. «Прикладная математика и механика». Выпуск 6. Ульяновск. УлГТУ. 2004. С. 55-70.

64. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Анализ нелинейных взаимодействий ударных волн с помощью решений Заславского-Гриба // Тр. XX Юбилейного Между нар. семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург: ИПЦ СПб ГУТД, 2004. с. 249-250.