Интегрируемая система, расширяющая уравнение Кортевега-де-Фриза тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи

ФОФАНА Джпбрил

ИНТЕГРИРУЕМАЯ СИСТЕМА, РАСШИРЯЮЩАЯ УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-де ФРИЗА

01.01.04— геометрия п топология 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического университета им. В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор О. И. БОГОЯВЛЕНСКИЙ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор А. Т. ФОМЕНКО,

доктор физико-математических паук, профессор В. В. ЖАРИНОВ

Ведущая организация — Московский педагогический университет.

Защита состоится «.. 0.1.».....шт.... ..1992 г. в ...час.

на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИТУ им. В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан «............»........................1992 г.

Ученый секр

кализгрозанного совета Г. А. КАРАСЕВ

Диссертация посвящена исследовали» интегрируемой системы двух дифференциальных уравнений в частных производных, расширящей ура в пенив Нортевега-де Фриза /!<дФУ

пь - &иух- иххх + 6 гя,

(И

Система уравнений (V имеет представление Лакса С1 У

с операторами лаксовой пар! « I вида

. ^ г ^

л ~ з(идх + дхи).

ш

- самосопряженный оператор четвертого порядка, Л - кососшметрический оператор третьего порядка.

Актуальность теш. Интерес к исследованию нелинейных уравнений, обладающих представлением Лакса (2) или каким-нибудь его обобщением, объясняется возможностью применения к ним метода обратной задачи рассеяния. Этот метод, возникший в известной работе Гарднера, Грина, Крускала я Мири Г12 ], позволяет детально исследовать задачу Коши для таких нелинейных уравнений, сводя ее к некоторой спектральной задаче (задаче рассеяния) для оператора £ .

Другой особенность» интегрируемых нелинейных уравнений, связанной с существованием представлений типа Лакса, является наличие большого числа решений этих уравнений, даваемых явными Формулами в элементарных и специальных функциях. Пространственно локализованные решения такого вида: солитоны, кинки, бризеры и т.д. находят применение в приложениях (п гидродинамике, нелинейной оптике, <Т>мз:гке

плазмы и др.) при описании различных волновых процессов в бездисси-патипньк нслинейшк средах. Одиночный солитон уравнения ЦцФ

а

и = -

{Ь

и простейшее периодическое решение этого уравнения - кнойдальная волна С 3 У

и я 2 $>(х - аЬ)+ J

0 (5)

были известны задолго до появления метода обратной задачи рассеяния» Здесь ¡¡Р(х) функция Вейерштрасса, удовлетворяющая обыкновенному дифференциально?// уравнению

К - солитонше решения уравнения КцФ било построено Хиротой /"II .7, а в рамках метода обратной задачи рассеяния оно получено Вздати и ТодоГи Эго решение дается формулой

X 5Ь

где б ~ квадратная /У* /Г-матрица со следующими компонентами

5 » «Г. + г л1--^-^— с - . (7;

Рациональные решения уравнения Ццф задаются некоторыми специального вида полиномами

^ 2 £ (х-хл^)1

Йетод алгебро-геометричелкого или конечнозонного интегрирования, возникший в работах Новикова, Дубровина, Чатиеева и Итсо и развивавшийся впоследствии так ко л работах Чередника, Кричепвра и др, 6 - £0.7, значительно расширил список явных решений интегрируемых нелинейных уравнений, дополнив его периодически.'.™ и кваэиле-риодическими конечнозоннши решениями этих уравнений, ¡{онечнопошше решения уравнения 1<дФ выражаются через тэта-функции гиперэллиптических римановых поверхностей и имеют вид

*с ос

и параметризуются уже тэта-функциями произвольных ричаиових поверхностей. Кноидальная волна (5) входит в число конечнозонных решений уравнения 1{цФ (9) и отвечает эллиптическому случаю, когда род рима-новай поверхности ^ » I.

Цель работы. Цель настоящей работы состоит в исследовании одной системы двух нелинейных уравнений, расширяющей хорошо известное уравнение Кортевега-дэ Фриза ; в нахождении некоторых точных решений этой системы ; а исследовании возможности применения метода Хлроты к рассматриваемой системе и построения о помощью метода Хиротьг специальных солитонных решений.

Научная новизна^.3 работе получены точные реягеняя рассматриваемой системы, расширяющие известные формулы (4) ¡1 (5) . Выведены уравнения эволюции данных рассеяния связанных с оператором четвертого порвдка, которые обобп^ют классические уравнения Грина, Гардаера, Крискала и Миуры, получеште для уравнения 1-Сортевзга-де Фриза..

Построено счетное множество первых интегралов для рассматриваемой системы, Исследована рассматриваемая система и построено общее решение в виде рядов Лорана, содержащие 6 произвольных функций -

- б -

максимальное возможное число. Выведены рекуррентные формулы, после-доватслыю определяющее нее коэффициенты радов Лорана через эти IIрои3ВОЛЫIHC функции.

Доказано, что метод Хироты но позволяет найти Л^-солитонные решения для Jf> 2, т.е. методом Хироти можно получить только одно-солигонное решение, которое имеет профиль решения (4) и двухсолитон-ное решение, имеющее специальный вид.

Практическая и теоретическая ценность работы

гЬ-бота носит теоретический характер, гезультаты, полученные в диссертация, являются есгоственнда дополнением известных фактов теории уравнения Кортевега-де Фриза и поэтому представляют теоретическую ценность с точки зрения теории интегрируемых нелинейных уравнений. Построение точных: решений систем нелинейных уравнений имеет важнЭ теоретическое значение ; свойство этих уравнений могут моделировать некоторые виды динамики волн в плазме.

Апробация работа. Оснотше результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции по теории нелинейных уравнений в ЛОМИ (руководитель акад. Ладькенская O.A., 1991 г.), на научном семинаре кафедры ди№ерснциалъноП геометрии ЭТУ (руководитель проф. Фоменко А.Т.). .результаты диссертации доплачивались на семинарах в MÜAH.

Публикации. По теме диссертации опубликозаш две печатные работы, список которых приводится в конце автореферата.

Структура ,цисссрта_ц1!л. Диссертация состоит из введения и четырех глав к изложена на 79 машинописных страницах. Список литературы включает 50 «а;г!ено»аяий#

Содержание дне сс г/га u: т. IIa рздл глава (§§ 1-у) посвящена выводу е.-.стс^ д\гр; нслшшйгавс ураэаетгЛ из урашепия ¿лиса (2)

где Д и Л - это пар! Лакса,-определенной формулами (3). 1

Напо?,;икн, что п случае урзлшенця Коргепега-де Фриза I - оператор Шредкнгеря ий- оператор, определенный в формулах (3). Система (I) была получена Еогояпленсют.? О.Я. в работе Г4 7.

Во второе параграфе первой гласи построена пысшая система ¡}-го породна из иерареш! высших систе.'г для с'нстеш (I). иерархия системы (I), ¡эквивалентное! урапнешгм Лакса, строится изменением порядка !{осос;ал!отричоокого оператора Л , коториЛ представим в г>иде /*5,4.

ГДО с' - ШЬ'у1 , С* ч'71:Щ!?Я ОТ X И £ .

л.';,м Л: : 1

1).;г;:;ая с потока 5-со порлдгга длч с;:стомн (I) шоет вид

к- > 70 и + 50 и,.,у Миге-к НОV - ЩиV)

] VI » - ХО 0-1%)., 10 и\ - - ЪОм-, + 4 V

^ 1 "" 4 л зхгхх ■

3 третьем параграфе получено предстазлет» пулевой кривизны для снстемн (1) вида

■рг а]-о.

Зго представление позволяет рассмотреть систему (I; как ус-ловле совестимо от и скстеш двух линейнш: уравнений вида

где 'Р. и •£? - патрицц-фушцта от К (:Г,^) я У(х^) и их пропз-

иодные.

Во второй главе получены решения в терминах двоякопериодичес-ной ^-функции Вейерштраоса, удовлетворяющая уравнению

где с(х> Ctf/i-it.,

Нетривиальные решения в этом случае имеют вид

•ф, fix -at)-- f fj, ai«f*x

Во втором параграф этой главы решения системы 1Д> записываются в виде Лорана с иостыо произвольными функциями

li-zV К j-M J

где X 0 и вое коэффициенты могут быть функциями t .

Система, позволяйся определить коэффициенты <Лп и $п имеет

вид

но 1

^-U^K-xSt'bJ? 6a6az*n(n-i)(7i-2)a-6(n-2){-о, \

О 00

i+x«n-X

Произвольными функциями ЯВЛЯЮТСЯ 'функции •

Ъ^Ь), айЦ) » £6СЬ>.

Третья глава посвящена применению метода Хиротн к системе уравнений (I), Тот факт, что уравнение Кортевега-де Фриза имеет многосолитонныз 11 рациональные многополюсник решения, вообще говоря, на связан с граничными условиями (периодичность или быстрое убывание на бесконечность^, но является следствием весьма специфического равновесия, котороо имеет место между различными членами уравнения. Изменение этого равновесия добавлением, например, планов типа И или и ихх нарушает намного свойства этих уравнений. Изменение граничного условия на беоконечнооти может сделать уравнение более сложным о точки зрения решения начально краевой задачи, но не нарушает .его свойство локальной интегрируемости 13 _7.

В § I выводится перепись систеш (1,) в форто системы билинейных уравнений, имеющей вид

(3)ь - 2$*.) Н • Г - 0,

XX '

гдо $ - диффчзрепц^алшый оператор, дзйстБуотдеЯ на упорядоченную пару функции Ь) » &I ) ' таким образом ,

ЪЛ'ё - 1Л) « <0 - ТС ,

«.Ч» л ' ' X

а Г и Я ~ пол«номы своих аргументов.

Напомним, иго уравнение !-Оэр?евега-де Хриза в форло Хиротц имеет пнд

^С V ^) Г• Г -0, и к Г)хх •

¿3 § 2 доказывается, что метод Хироти на позволяет найти //"-соли-тонные рс'лония для Я" Ъ 3.

Однссодитонное и двухсолитонное рапении шопт вид

г* < 5

где р ---'] + а е . а ~ со-н 1 /

бЬ

О- --ох Ь р.х 1 ¿¡(со. = (д. у.= О ы

и

А

где 1 -ь е ■■!■ е + е . е -а.е . еЫА )«--:-'—-—•

В § 3 получены рациональней реаешш системы (I) при некотором предельном переходе в результатах § I. Зги рзшешш имеют вид

9

где

Четвертая глава (§§1-3) пэсвяцена выводу уравнений эволюции данных рассеяния, законов сохранения, а также систем модифицированной но отношению к системе (I).

В § I получено уравнение эволюции данных рассеяния, связанные с оператором четвертого порядка . Эти уравнения имеют вид

= гьЧм ^м) 5= м,ьу.

В § 2 доказано существование бесконечного набора нетривиальных полиномиальных законов сохранения вида

• '

приводящие к пцжым интегралом уравнений (I) . • „ .

1П1 (и,^ = (и,-*) ^ , с! 1п, Ы,1Г) = О

- -Ь г)

При этом указана рекуррентная формула получения полиномов

„д 'й-1 >:>-'£'-}-I

-ы и пр[ ь ¿Г

В § 3 показано существование системы двух уравнений, модифицированной по отношению к системе (I), связанной с ней двумя различными разложениями на множители оператора четвертого порядка Напомним, что уравнение Кдф 1! связаны двумя преобразова-

ниями Миуры |2] , обусловленными двумя различными разложениями на множители оператора Шредингера.

Модифицированная система имеет вид

аналогичные преобразования к преобразованиям Миуры имеют вид

к = а + Ж-С+Ь)

Результата этого параграфа принадлежат Богоявленскому О.И.

[14] •

Использованная литература. ■

1. Lax Р, V. lnU0jial<i> ûj nvnlitaai ¿^uaticn C-VeLuticn end ioUtaiy w-avu // Cçtnm. P,uve Ярр(. t'atk.,

2. Я.М., C-S.Cxaxdnvt and H. П Ktu6kd£-KoxUwt^ - de VtU6 e^uaiiçn and yenexcthtatim Exiituite. wniwvatiçhi, law6 and tvmtam tnciion // J. Malh. Php. v. 9, pp- IZob- 1Л93-.

3. Захаров В.Ь'., Манокоэ C.B., Иоников С.II. ti Иитаепский Л.П. Теория солитоноп и метод обратной задачи, ,'i. тука, I9C0.

4. Богоявленский О.Я. Алгебраические нонетрукции некоторых интегрируемых уравнений // Изв. АН СССР.Сер. мат. I960, т.52. ^ 4.

с. 712-739. '

5. Богоявленский О.И. Некоторые конструкции интегрируег.мс динамических систем//изв. АН СССР. Сер. мат. 198?, V.51, Г б, с.737-766.

6. Новиков С.П. Периодическая задача для уравнения Коргевега-де Фриза // Зуикц.анализ и прил., 1974, т.8, вып. 3, с. 54-66.

7. Дубровин Б.Л., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги шогосолитопных радений уравнения ВД5 Ц ЖЭГФ, 1974, т.67, вып. 12, с. 2I3I-2I43.

8. Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, ¡Ц Фунпц.анализ и прил. 1975, т. 9, вш. 3, с.41-51.

9. йтс А.Р., !!атпеев В.Б. Операторы Иредингора с конечновокинм сиогот-ром и солитонные решения уравнения Кортевега-до Орнза. jf Т-1»', 1975, т.23, Р I, с. 51-68.

ID. Дубровин Б. Л., '-¡атлеев З.Б,. Новиков С.fi. Не.чшгейлне уравнен!-': типа КдФ, конечнозоннне жгиейшо операторы и аболепы •г.ютоК-рг,-asmf/ УЖ, 1976, т. ¿31, иль I, с. 55-136.

II. Теория солвзонэв /Аэд ред.С.ПЛЬвжшз. М.: ?/,яр, 1989.

.А те^Л - ^е Угк^

«оцлЪс« // Ы*"., тГ^Э, рр МЖ-НЯ^.

13, Ньюэлл А, (Ьдвтшш в математике к физике. 1,5. Мир. 1989.

14, Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитони: М.: Наука.

1991. с.86.

Публикации авторе ¡10 теме диссертации

.1. Фофана Д. Инт-егрдрусиая система, расширяющая уравнение Корте-вега-де Фриза // Иэв.АН СССР, сер.мат. 1991, т.55, № 6, С. К87-1299.

2. Оофона Д, Одно йнтегаруег.ое расширение уравнения Корзевега-де Фриза. В сб.: Вичисл»тельная математика и математическая физика, М.! МПГУ вм.В.И.Ленина, 1990. с. тот - той.