Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

КИСЕЛЁВ АРТЕМИИ ВЛАДИМИРОВИЧ

МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В АНАЛИЗЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ

ТЕОРИИ ПОЛЯ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И. С. КРАСИЛЬЩИК

доктор физико-математических наук, профессор В. В. СОКОЛОВ кандидат физико-математических наук, профессор А. В. САМОХИН

Ведущая организация: Институт программных систем РАН,

г. Переславль-Залесский

Защита с о Ш1Д&1Д2004 г. В /£"час. ООшн.л за-

седании диссертационного совета К.501.001'17 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992 Москва, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан * * ¿ИарЮС 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К.501.001.17 доктор физико-математических наук

в МГУ, П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнения Тоды1 и, в частности, уравнения То-ды, ассоциированные с полупростыми алгебрами Ли2, играют существенную роль в построении и анализе моделей современной конформной теории поля. Известны многочисленные приложения уравнений Тоды в теории гравитации и теории Янга-Миллса, в классической дифференциальной геометрии,задачах классификации нелинейных уравнений в частных производных, установлена их связь с интегрируемыми динамическими системами, фробениусовыми многообразиями и структурами ассоциативных алгебр. В перечисленных выше областях математической физики непосредственно к уравнениям Тоды сводятся задачи изучения таких систем, как антиавтодуальные вакуумные уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса, структурные уравнения комплексных кривых в кэлеровых многообразиях, динамика инвариантов Лапласа дифференциальных уравнений, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение WDVV (Witten-Dijkraaf-H. Verlinde-Е. Verlinde) и т.д.

Алгебраический подход к изучению гиперболических уравнений Тоды UXy = exp{Äu) был развит в работах А.Н.Лезнова и М.В.Савельева2, В.Г.Дринфельда и В.В.Соколова3, Б.А.Дубровина и др., в которых уравнения Тоды интерпретированы как уравнения плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли (или их обобщениях) с матрицей Картана К. Известно, что такие уравнения, называемые уравнениями, ассоциированными с алгебрами Ли, точно интегрируемы2; в фундаментальной работе3 им были поставлены в соответствие интегрируемые иерархии Дринфельда-Соколова — аналоги бигамильтоновых уравнений Кортевега-де Фриза. Между тем, алгебраический подход не в полной мере учитывает геометрические

' Toda М, Теория нелинейны* решеток, — М„ 1984, — 264 с,

2

Лезнав А. Н, Савельев М. В, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М.., 1985. — 276 е.

Дринфелчд 8. Г.. Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортееега-де Фриза / В сб.: Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 24; — м ■ rhhi^th — jgfrf. — с ei-

180. I »ОС НАЦИОНАЛЬНА*

I БИБЛИОТЕК*

свойства самих уравнений Тоды, например, такие как структура алгебры Ли нётеровых симметрии, наличие у этих уравнений операторов рекурсии и взаимосвязь допускаемых уравнениями Тоды законов сохранения с гамильтоновыми структурами для уравнений Кортевега-де Фриза. В частности, до настоящего времени не было известно, что перечисленные свойства уравнений Тоды сохраняются при переходе к значительно более общему случаю уравнений и^р = exp(ifu), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К — не обязательно матрицей Картана.

Мощным средством изучения алгебро-геометрических структур служат гомологические методы4, развитые в работах И. С. Красильщика, В. В. Лычагина, А. М. Виноградова5 и их научных школ. В связи со значительными успехами методов геометрии дифференциальных уравнений было естественным применить их к исследованию уравнений Тоды.

Тема диссертационной работы соответствует «Перечню приоритетных направлений фундаментальных исследований», утвержденных Президиумом РАН (раздел 1.1 — Математика, подраздел 1.1.3 — Математический анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика).

Цель работы. Целью диссертационной работы является анализ геометрических свойств уравнений Тоды, построение на их основе новых интегрируемых систем и установление взаимосвязи между уравнениями Тоды и иными уравнениями математической физики.

Предмет исследования. Диссертационная работа посвящена изучению алгебро-геометрических свойств уравнений Тоды

= GXp(tfu), (1)

^ Vinogradov A. M. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws, I. The linear theory. II. The nonlinear theory. // J. Math. Anal. Appl. - 1984. - 100. - С 1-129.

,5 БочаровAJL, Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Ред. А. М. Виноградов и И. С. Красильщик. — М., 1997. — 464 с. = : V/ 1-1'i!' i

где К — невырожденная симметризуемая постоянная матрица, бездисперсионного уравнения Тоды

и нелинейных многокомпонентных уравнений Шрёдингера (мультисо-литонных комплексов)

где Ф — да-компонентный вектор и I — мнимая единица. Кроме того, установлена взаимосвязь между уравнениями Тоды (1) и иерархиями уравнений Кортевега-де Фриза

Т1 = ~рТхтх+ЗТГТх, + /3 = соп^. (4)

Задачи исследования. В работе решены следующие задачи:

1. Получить явное описание алгебры Ли нётеровых симметрий лагранжиана уравнений Тоды (1), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей ранга г.

2. Зная алгебру Ли точечных симметрий бездисперсионного уравнения Тоды (2), найти новые классы решений этого уравнения 'и реконструировать для него законы сохранения. Построить набор законов сохранения для нелинейного уравнения Шрёдингера (3).

3. Построить операторы рекурсии для уравнений Тоды (1), указать коммутативную иерархию их локальных гамильтоновых симметрий, порождаемую нелокальным оператором рекурсии, и установить ее взаимосвязь с иерархиями уравнений Кортевега-де Фриза (4) и операторами рекурсии для них.

4. Проанализировать свойства однопараметрических семейств преобразований Беклунда для уравнения Лиувилля и изучить переход от преобразований Беклунда к представлениям нулевой кривизны для этого уравнения. Построить явно пары решений, связанные преобразованиями Беклунда, найти нелокальные симметрии этого уравнения.

5. Построить представления 1У-местных аналогов алгебры Ли конформных симметрий уравнений Тоды (1) — алгебр Шлезингера-Сташефа — в пространствах дифференциальных операторов высших

и1у = ехр(-и„)

(2)

Фе = 1Ф** + //(|Ф|)Ф,

(3)

порядков, указать свойства этих алгебр и их связь с определителями Вронского. Получить обобщения определителей Вронского функций многих переменных, удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа.

Метод исследований. Использованный метод исследований состоит в систематическом применении методов геометрии дифференциальных уравнений при изучении уравнений (1)-(4) и структур на них.

Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Дано полное описание алгебры Ли нётеровых симметрии уравнений Тоды иХц = СХр(Ки), ассоциированных с невырожденной симметризу-емой матрицей К общего положения; показано, что уравнения Тоды допускают континуум локальных и континуум нелокальных операторов рекурсии, некоторые из которых, тем не менее, генерируют локальные цепочки высших симметрии уравнений Тоды.

2. Проведен исчерпывающий анализ всех инвариантных решений бездисперсионного уравнения Тоды , полученных применением групповых методов, и построены 5 законов сохранения для этого уравнения. Получены т(т — 1)/2 физически существенных законов сохранения для да-компонентного аналога = №31 + ¿/(|Ф() Ф нелинейного уравнения Шрёдингера, указывающих на сохранение корреляций напряженности полей излучения между разными модами.

3. Гиперболическому уравнению Тоды иХц = схр(А"и), которое не является интегрируемым в случае матрицы К общего положения, сопоставлена коммутативная гамильтонова иерархия 21 нётеровых симметрии, причем установлено, что гамильтонианами этой иерархии являются гамильтонианы высших уравнений Кортевега-де Фриза, которые описывают эволюцию тензора энергии-импульса уравнений Тоды вдоль симметрии

4. Установлено, что деформации однопараметрических семейста преобразований Беклунда для скалярных уравнений Тоды, ассоциированных с алгеброй зГ^С), определены скобкой Фрёлихера-Нийенхейса структурного элемента связности Картана и тени масштабной симметрии уравнений Тоды.

5. Вычислены структурные константы ассоциативных алгебр Шлезин-repa-Сташефа, представимых в пространстве дифференциальных операторов; указана взаимосвязь структуры этих алгебр и определителей Вронского. Построены обобщения определителей Вронского функций многих переменных, удовлетворяющие тождествам Якоби для таких алгебр.

Положения, выносимые на защиту. 1. Нётеровы симметрии лагранжиана уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симмет-ризуемой постоянной находятся во взаимно однознач-

ном соответствии с законами сохранения для этих уравнений и имеют указанный в диссертационной работе вид. Построен континуум параметризованных произвольными гладкими функциями операторов рекурсии для уравнений Тоды, причем как чисто локальных, так и нелокальных.

2. Существуют 5 классов инвариантных решений бездисперсионных уравнений Тоды, 3 из которых параметризованы произвольными функциями; сохраняющиеся токи, соответствующие нётеровым классическим симметриям этого уравнения, имеют приведенный в работе вид. Построены алгебра симметрий и набор из ш2 законов сохранения для m-компонентного нелинейного уравнения Шрёдингера.

3. С произвольной невырожденной симметризуемой (г х г)-матрицей К ассоциирована коммутативная иерархия 21 аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза, связанная с иерархией В деформаций тензора энергии-импульса для уравнений Тоды иХу = ехр(Ки). Установлено, что иерархйЪи 1& имеют общие гамильтонианы, находящиеся в инволюции.

4. Существуют и предъявлены в диссертационной работе обобщения определителей Вронского функций многих переменных, удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа. Теоретическая и практическая значимость. Работа в целом носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны исследователям, работающим в МГУ им. М.В.Ломоносова, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Институте теоретической

физики им. Л.Д.Ландау РАН и Институте программных систем РАН, специализирующимся в области конформной теории поля и в теории интегрируемых систем.

Апробация работы. Результаты диссертации были изложены на конференциях:

• V, VI, VII Международные конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов», секция "Физика" (Москва, 2000, 2001, 2002 г.),

• XXII, ХХШ, XXIV, XXV, XXVI Конференции молодых ученых. Механико-математический факультет МГУ (Москва, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004 г.),

• Международная конференция «Current Geometry 2003» (Неаполь, 25-28 июня 2003 г., Италия),

• Юбилейная научная сессия-конференция секции ЯФ ОФН РАН «Физика фунжаментальных взаимодействий», посвященная 100-летию со дня рождения акад. А. И. Алиханова (Москва, 1-5 марта 2004 г.), а также на научном семинаре по геометрии на физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова, на семинарах «Алгебра и геометрия дифференциальных уравнений» (рук. И. С. Красильщик) и «Риманова геометрия, алгебры Ли и математическая физика» (рук. О. К. Шей-нман) в Независимом московском университете, в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, в университетах Твенте (Энсхеде, Нидерланды), Утрехта (Нидерланды) и Лечче (Италия), на VI и VII Школах по геометрии дифференциальных уравнений и вторичному дифференциальному исчислению (Санто Стефано дель Соле, Италия), а также на 1-м семинаре по геометрии дифференциальных многообразий (2003, там же).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в 5 статьях и 7 тезисах докладов на научных конференциях; автором подготовлены 3 препринта и депонированы в ВИНИТИ 2 рукописи. Список публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Личное участие автора. Все основные результаты получены лично автором на основе собственных идей и рекомендаций, предложенных

научным руководителем или высказанных при обсуждении результатов работы на семинарах и конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 137 машинописных страницах и состоит из введения, 5 глав, содержащих 14 разделов и списка литературы из 112 наименований. Формулируемые в работе леммы, теоремы, утверждения и следствия имеют сплошную нумерацию от 1 до 70.

Благодарность. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору И. С. Красильщику, за постановку задачи, многочисленные обсуждения на всех этапах исследования и конструктивную критику. Кроме того, автор благодарен А. М. Вербовецкому и А. В. Овчинникову за существенные замечания и советы, а также А. А. Белавину, Р. Витоло, В. А. Головко, В. Г. Кацу, П. Керстену, Б. Г. Конопельченко, В. Г. Марихину, Ю. Д. Плетнеру, А. К. Погреб-кову, Б. Л. Фейгину, Е. В. Ферапонтову, А. Б. Шабату и всем участникам семинара по геометрии дифференциальных уравнений (НМУ) за полезные обсуждения. Также автор выражает благодарность профессорско-преподавательскому составу кафедры математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Диссертационная работа выполнена при поддержке стипендии Правительства Российской Федерации и гранта ШТАБ У8 2001/2-33.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны основные определения, приведены изучаемые уравнения, сформулирована постановка задачи и изложены результаты диссертационной работы.

В первой главе рассмотрены несколько важных свойств алгебры симметрии и законы сохранения для уравнений Тоды. В разделе 1 содержится обзор известных свойств гиперболических уравнений Тоды, ассоциированных с полупростыми алгебрами Ли, и дано определение уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденными симметризуе-мыми матрицами; именно эти, существенно более общие уравнения рассматриваются в дальнейшем. В разделе 2 первой главы описаны

нётеровы симметрии лагранжиана Тоды, в разделе 3 построен континуум операторов рекурсии для уравнений Тоды. Вторая глава содержит два примера систематического применения методов геометрии дифференциальных уравнений в исследовании бездисперсионного уравнения Тоды и многокомпонентного аналога нелинейного уравнения Шрёдингера. В третьей главе построена коммутативная иерархия 21 аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортеве-га-де Фриза, которые образуют коммутативную подалгебру нётеро-вых симметрий уравнений Тоды; также в третьей главе рассмотрены вопросы гамильтонова формализма для самих уравнений Тоды и установлена взаимосвязь иерархии 21 с высшими уравнениями Кортевега-де Фриза. В четвертой главе рассмотрены преобразования Беклунда для уравнений Тоды, ассоциированных с алгеброй з12(С), и их од-нопараметрические деформации; приведены примеры интегрирования преобразований Беклунда; изучены представления нулевой кривизны и соотношения между перечисленными структурами. В пятой главе обсуждаются свойства ассоциативных алгебр Шлезингера-Сташефа, являющихся обобщениями алгебр Ли, и их взаимосвязь с рассмотренными выше уравнениями математической физики. Приведены примеры представлений таких алгебр, поставляемые, в частности, определителями Вронского, и показано, каким образом использование методов геометрии дифференциальных уравнений позволяет построить аналоги вронскианов от функций многих переменных, согласованные со структурой алгебр Шлезингера-Сташефа.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертационной работы.

В главе 1 рассмотрены стандартные для геометрии дифференциальных уравнений задачи описания взаимосвязи симметрий, законов сохранения, нётеровых симметрий и операторов рекурсии; полученные здесь структуры существенно используются в дальнейшем изложении.

Пусть К = I ^ г, $ ^ г|| — невырожденная г х г-матрица, а есть обратная к ней. Пусть существует такой набор чисел {в; г}( что матрица К = Цку|[, элементы которой суть

Kij = at • kij, симметрична: Kij = Kji', в этом случае будем называть матрицу К симметризуемой. Гиперболические уравнения Тоды, ассоциированные с невырожденной симметризуемой г х r-матрицей К имеют вид

£тш = {Я = < - exp(J^=i kijtiP) =0, г < г}. (5)

В частности, если Q — полупростая алгебра Ли ранга г, {alt 1 ^ i ^ г} — система простых корней, К = = • |öj|_2t 1 ^ t,J ^

г| — матрица Картана алгебры g,TO öj ~ ¡«¡¡"^ И соответствующие матрице Картана К уравнения Тоды (5) называются2 уравнениями, ассоциированными с алгеброй Ли Q.

Уравнения Тоды (5) являются лагранжевыми; для них известна6 каноническая гамильтонова структура. При любой невырожденной сим-метризуемой матрице К уравнения Тоды (5) допускают по крайней мере один интеграл, то есть зависящее явно от производных выражение — элемент ядра ker Dy полной производной Dv, ограниченной на уравнение

Т = 5 - Ell ■ е ker Dr (6)

Введем обозначение Tj = дифференциальные следствия 7} из

функционала Т порождают подпространство Т С ker-Öy в ядре полной производной в самом деле, любая гладкая функция Q задает функционал Положим, что

введенная выше невырожденная симметризуемая матрица К находится в общем положении, если интеграл (6) — единственное решение уравнения Dy(T) = 0 для соответствующего уравнения Тоды (5).

Между тем, специальным выбором матрицы К можно добиться того, что функционал Т будет не единственным интегралом, допускаемым уравнением Тоды (5). В частности, для существования г нетривиальных независимых решений уравнения необходимо и достаточно7, чтобы К была матрицей Картана полупростой

с

v Овчинников А. В. Системы Тоды, ассоциированные с алгебрами Ли, и IV-алгебры в некоторых задача* математической физики. Дисс. к.ф.-м.н, М.: МГУ. 1996. — 96 с.

Шабот А. В., Ямилоа Р. И. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Карта на. Препринт. Уфа, Башкир, филиал АН СССР. 193]. — 22 с.

алгебры Ли g; уравнения Тоды, ассоциированные с д, точно интегрируемы'2' 6. В дальнейшем через ÍÍ будем обозначать подпространство в кег Dv, дифференциально порожденное всеми решениями п4 уравнения £^(0') = 0, общее число которых обозначим буквой q: также положим

Обозначим через А = |Д* = вектор конформных весов по-

лей Тоды ехр (tí) ='(expfu1),exp(tír)): преобразование переменных х ^ Х{х), у w У(у), «'(ж, у) w Ü1 = и*(Х,У) + Д<1аД"(аг)У(у) является конечной конформной симметрией уравнений Тоды ¿Toda. Производящее сечение инфинитезимального конформного преобразования есть где векторный дифференциальный оператор первого

порядка есть

□ = + (7)

а / — произвольная гладкая функция. Структура образующих алгебры Ли sym Ítoj» симметрии уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой (г X г)-матрицей К общего положения, такова8: всякая симметрия уравнений Тоды (5) есть

^ = (8)

где Ф — произвольная гладкая функция, зависящая от набора интегралов Я С ker Dy.

Введем важное определение. Пусть — некоторое ¿-нормальное5 дифференциальное уравнение и»е с т ь один из его законов сохранения: где

— горизонтальный дифференциал и — некоторый оператор в полных производных. Производящим сечением называется вектор-функция = V*(l), причем она удовлетворяет соотношению4 = 0 в силу уравнения через обозначена линеаризация оператора G, а означает сопряжение.

а

Мешков А. Г, Симметрии скалярных полей. III. Двумерные интегрируемые модели // ТМФ. — 1935. -63, т. - С. 323-332.

При изучении в разделе 1.2 связи между симметриями и законами сохранения для лагранжевых уравнений используется теорема Нётер9:

Теорема. Пусть S ~ {Е(£) = 0} — уравнение Эйлера-Лагранжа, соответствующее лагранжиану Эволюционное векторное поле является нётеровой симметрией лагранжиана С: Э=0, — тогда и только тогда, когда есть производящее сечение некоторого закона сохранения tj: d^J/ = 0 на уравнении £.

Из установленного в работе соотношения между произво-

дящими сечениями законов сохранения и нётеровыми симмет-риями <р£ уравнений Тоды (5) следует

Теорема ([17]). 1. Для каждого интеграла а уравнений Тоды (5) существует такой оператор Vf, ЧГПО V¡ = V(OD*ok, е d)tffiè) =

V^)- В частности, интегралу заданному формулой (б),

соответствует оператор 2. Нётеровы симметрии уравнений Тоды имеют вид

где

Í11

G кег Dy — набор интегралов для у р а в нйтон Efâ = • д/дЩ есть оператор Эйлера относительно Í2', П — произвольное множество дифференциальных следствий из а — гладкая функция.

Пример 1 ([13]). Нётеровы симметрии tflç уравнений Тоды (5), ассоциированных с симметризуемой матрицей К общего положения, с точностью до симметрии имеют вид

В разделе 3 построен континуум операторов рекурсии для алгебры симметрии уравнений Тоды. Несмотря на то, что структура (8) алгебры симметрии в целом известна, наличие операторов рекурсии дает дополнительную информацию о самих уравнениях Тоды и, кроме того, устанавливает их взаимосвязь с иными уравнениями математической физики.

® Baraich G., Brandt F., and Henneaux M. Local 6RST cohomology in the aatifteld formalism: ). General theorems // Commun. Math. Phys. - 1995. — 174. - C. 57-92.

Теорема ([13]). 1. Существует континуум локальных дифференциальных операторов рекурсии Я: 8ут£т«1э —» Эуш^То^а вида Я = По^^/у(х, еде /у — произвольные гладкие функции, а

линеаризации £& относительно интегралов п* для уравнений Тоды суть

= (9)

** V *

Ья компонента I

2. Существует континуум нелокальных операторов рекурсии для .

уравнения (5). Для их построения сопоставим интегралам £1* нелокальные переменные ^ задав правила дифференцирования = П* и ^ = 0, так что выполнены условия совместности = = 0; линеаризации £,,: заданы формулами = а вычисление Iд.

производится согласно (9). Искомые операторы рекурсии таковы: Я = □ '»^/¡(х, 1 где — произвольные функции. В об-

щем случае эти операторы не сохраняют локальность элементов (8) алгебры симметрии 8ут£ти1а.

В главе 2 содержатся примеры практического применения методов *

геометрии дифференциальных уравнений в анализе свойств уравне- ^

ний (2) и (3).

В разделе 4 главы 2 рассмотрено бездисперсионное уравнение Тоды (2), иХу = ехр(-и„), и реализуем для него следующую схему исследования: находим алгебру Ли классических симметрий и строим классы точных решений и сохраняющиеся токи ([15]). Результаты этих вычислений достаточно громоздки, они приведены на с. 48-59 диссертационной работы.

В разделе 5 той же главы изучаются свойства да-компонентного аналога Ф( = + |/(|Ф|) Ф нелинейного уравнения Шрёдингера (3); при / = это уравнение допускает коммутативную бигамильтонову иерархию высших симметрий и бесконечный набор сохраняющихся плотностей в инволюции, однако в общем случае это не так. В работе вычислена алгебра симметрий в физически реализуемом случае

[

однородной функции / веса Д и указаны сохраняющихся токов

щ = ах+* (Ф; Ф* - ¥ Ц) <и.

Полученные токи обобщают известные законы сохранения энергии 1-Й моды Ф' многокомпонентных уравнений Шрёдингера.

В главе 3 построена коммутативная иерархия 21, состоящая из г* компонентных аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза, и установлена её взаимосвязь с иерархией высших уравнений Кортевега-де Фриза, которые задают динамику интеграла (6).

! Сначала приводится пример ([12]) — скалярный случай Г = 1, —

в котором по скалярному уравнению построены, во-

, первых, последовательность симметрии данного уравнения, отожде-

[

ствляемая с иерархией 21 потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза и, во-вторых, иерархия уравнения Кортевега-де Фриза Построение иерархии 2С в общем случае проводится в разделе 4 следующим | образом. Введем новую переменную s, такую что SX=T и = 1, и выберем начальную функцию = 1. Построим две последователь" ности: набор & = (Тф..,). где % = -0 0\{ф) + ТОх{ф) + ЬХ{Т- ф) | задает эволюцию интеграла (6) водль симметрии у = П(^), и последовательность первая из этих последовательностей, обо' значаемая через 35, — это коммутативная бигамильтонова иерархия локальных высших симметрии потенциального уравнения Кортевега-де Фриза = в то время как вторая, ее мы обозначаем через 21, и есть искомая иерархия аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза И( = ! Справедлива

Теорема ([17]). Элементы последовательности 21 С 8ут£то<1а об' разуют коммутативную алгебру Ли: [2(, 21] = 0.

В работе приведено описание элементов ^ € 21 для k < 0. Установлено, что симметрией является само уравнение Тоды, представленное в гамильтоновой форме , где

Л[ = к-1 - 1 есть первая гамильтонова структура для остальных уравнений в иерархии 21 и а = '(«i,... ,ar)t ч ~

Теорема ([17]). 1. Образующие <p/¡ коммутативной алгебры Ли % являются нётеровыми симметриями уравнений Тоды: € sym ¿Toda' 2. Для всякого к ^ 0 к~Й член ф^ иерархии 33 является сохраняющейся плотностью для А-го высшего потенциального модифици- ^ рованного уравнения Кортевега-де Фриза. j

Сформулируем основное соотношение между иерархиями % и i

\

Теорема ([17]). 1. Всякая нётерова симметрия (f>¿ = OoEj>(Q(a;,T)) i

ё sym jCjoda уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К, является гамильтоновой симмет- i

рией относительно гамильтоновой структуры и

гамильтониана

2. При каждом-к ^ О гамильтонианом нётеровой симметрии является гамильтониан для высшего уравнения

Кортевега-де Фриза. j

*

В главе 4 новые геометрические концепции в теории преобразований j

Беклунда и представлений нулевой кривизны проиллюстрированы на примере скалярного уравнения Тоды, ассоциированного с алгеброй '

б = $[г(С), — уравнения Лиувилля

¿Liou = {«13, = cxp(2u)}. (10)

В разделе 9 изучены вопросы построения однопараметрических семейств (авто)преобразований Беклунда £t вида

¿t = {(й-ujj = exp(-í)*exp(ü+u), (ü+u)^ = 2cxp(f)-sh(ü-«)} (11)

для уравнения (10). Введем обозначения щ ^ д*и/дхк И и% = д^и/д^ при всяком k G и рассмотрим масштабную симметрию

Х = -хд/дх + уд/ду + У^ кщд/дик-У2, ки^д/дщ (12)

уравнения Лиувилля (10). Недавно И. С. Красильщиком был разработан10 механизм построения однопараметрических семейств накрытии над дифференциальными уравнениями: Пусть г: £ —* £ - накрытие и At: £ —* £ - гладкое семейство диффеоморфизмов, п р и ч ==id и Т( = to/1|:¿ -►£ является накрытием при любом í е К. Тогда изменение формы связности Картана Ut описывается соотношени-„ PN *

ем dUt/dt = |Xt, í/«l . где Xt является ггтенью при всех i £ I, а

[-, *JFN — скобка Фрёлихера-Нийенхейса.

В работе показано, что масштабная симметрия (12) и является той

т*-тенью, для которой изменение формы связности Картана U, в на-

FN

крытии п: £t~* fuoui см. (И), задано уравнением dUt/dt = [X|,I/j . Доказательство носит вычислительный характер и опирается на полезное тождество в полных производных:

Теорема ([11]). Пусть и(х), /(«) - гладкие функции, Dx - полная производная по х, u¡t = D*(u(x)), k^ 0, Щ = и. Тогда равенство п • = выполнено при любом целом

п ^ 1.

В разделе 10 рассматривается задача построения пар решений гиперболического уравнения Лиувилля (10) и волнового уравнения sxy = 0, связанных преобразованем Беклунда. Именно, указан такой набор нелокальных переменных, в которых, во-первых, преобразования Бе-клунда удается проинтегрировать, а во-вторых, всякое из двух решений уравнений, связанных преобразованием Беклунда, выражается через эти переменные явным образом.

В разделе 11 изучаются вопросы соответствия между преобразованиями Беклунда и представлениями нулевой кривизны, используя два представления алгебры Ли g = 5(г(С) с образую щ(н,миПе р в о е из них — это представление g в бесследовых матрицах: =

а второе — в векторных полях на прямой: р(е) = 1д/д=, P(h) = -2Е-д/9Е, p{f) = -H2-d/ae. В работе подробно

Igcntrt S. Krasd'shchtk t S On one-parametric families oí Bácklund transformations // Advanced Studies In Pure Mathematics. 2003 - 37. — С 99-114.

рассмотрено, какие именно преобразования Беклунда соответствуют известным представлениям нулевой кривизны, и наоборот.

В главе 5 рассматривается формализм TV-местных аналогов структуры алгебр Ли, — алгебр Шлезингера-Сташефа, — то есть TV-линейные кососимметричные скобки, удовлетворяющие некоторому обобщению тождества Якоби, и устанавливаем взаимосвязь таких структур с уравнениями Тоды. Именно, отмечено, что структурой таких алгебр наделено пространство W-преобразований11 комплексных W-кривых, ассоциированных с уравнениями Тоды; во-вторых, построены N-местные аналоги ассоциативной алгебры Ли голоморфных векторных полей — инфинитезимальных конформных симметрии (8) уравнений (5), — и анализируем свойства заданных определителями Вронского обобщений алгебры Вирасоро, которую образуют Фурье-компоненты функционала (6). Кроме того, известна связь12 между бездисперсионным уравнением Тоды (2), решениями WDVV-уравнений и структурами ассоциативных алгебр; наконец, разработан алгебраический подход, позволяющий единым образом описывать как структуры алгебр Шлезингера-Сташефа, так и гамильтоновы структуры.

В разделе 12 приведены необходимые алгебраические сведения. Именно, пусть Л — алгебра над полем к характеристики 0; через S* С Sm обозначим растасовки, то есть такие перестановки q, для которых

(Г{1) < <т{ 2) < ... < и a(k+1) < o(k+2) <..,< а(т). Пусть Д € Нотк(Л*АЛ) и V 6 Нотк(Л'А-4)- Через Д[У] € Ноть(Л*+'"1 А Л) обозначим действие Д[-]: Нот^Д^ А, А) —» Нот^Д"4"*-1 Л, Л) оператора Д на V:

• • •. «Jt+i-i)=f ..аа(!1), ^(¡+1),.. .,aa(t+,_i)),

" Gervais J.-L, Sawlieo M. V. If-geometry of I tie Toda systems associated with lion-exceptional Lie algebras // Commun. Math. Phys. - 19%. - 180. №2. - C. 265-296.

12 Cartel G., Dubrovin B.Zhang Y. The extended Toda hierarchy. arXivinlin.SI/0306060.

где а^ С А. По определению, алгебра Л наделена структурой N алгебры Шлезингера-Сташефа, если выполнено М-тождество Якоби

\ Д[Д] = 0. (13)

. Примером (ЛГ+1)-мерной алгебры Шлезингера-Сташефа служит пространство полиномов со скобкой — определителем Вронского: | т/, .-.,. хк/к\ . х"/М) = - А)!, где 0 ^ А; ^ ЛГ; приведенное выше свойство вронскианов ([10]) доказано в работе на основе комбинаторного аппарата производящих функций. Еще одним классом алгебр Шлезингера-Сташефа являются ассоциативные13 алге-• бры, рассматриваемые в разделе 13. Пусть Л — ассоциативная алгебра; условимся, что нижний индекс i при обозначении Д; скобки

I

Д|(в1. - • -. 1») =Г У) _ (-1)" * а<г(1) о... О ааф

| указывает количество ее аргументов: Д; б Ноть(Д* .4, Д), выберем

также произвольные целые к и £. Тогда верны соотношения Д^Дг*] =

1 0, Дгь+1[Дг(| = ДгН2£. Д*[Дгм-1] = & • Дгг+л.

Обозначим через О(С) алгебру рядов Лорана над С и рассмотрим ассоциативную алгебру ШГ„(С?(С), С(С)) дифференциальных опера-

I торов высших порядков, наделенную структурой алгебры Шлезинге-

ра-Сташефа. В работе установлена связь соотношений в этой алгебре I с уже возникшими выше определителями Вронского:

Теорема ([16]). Пусть р — произвольное натуральное число и о,- £ 0(С) при 0 ^ з ^ 2р. В этом шоучае выполнено соотношение I Д 2р{ах &>,..., а2р О?) = \У(аь ..а^) - &>.

I

( Далее вычислены конформные размерности образующих и структур-

ные константы для алгебры Шлезингера-Сташефа — М-местного обобщения классической алгебры Вирасоро, М-скобка в которой задана определителями Вронского:

Джумадильдаев А. С. Целочисленные н пня! р-когоиологни алгебры Ли №| // Фуькц. анализ и его приложения. - 1968. — 22. Ш. ~ 226-228.

Теорема '([16]). Пусть € С — некоторые константы.

Положим V = тогда имеет место равенство

то есть определитель Вронского мономов вновь является мономом, а коэффициент в нем — опеределитель Вандермонда.

В заключительном разделе 14 определение вронскианов расширено на случай п ^ 1 независимых переменных х 6 используя понятия и утверждения геометрии дифференциальных уравнений. Из-

5 Т **

вестно , что размерность пространства сечений расслоения

* Кп равна ("**)+л; положим N — *) равным размерности слоя расслоения струй и определим 7У-ЛИнеЙную кососимметричную скобку е Нотх(Д^Сл>(Кп), С00^")) следующим образом: к

О* К.. -, аы) = Д ( Д с1с • А,«) (Эа1Эан) = ЛЛ II(а,)||,

1=0 ]а\=1

где Э*. = ^(й;) - д/ди^ — эволюционные векторные поля, а С; пробегает все мультииндексы, соответствующие координатам- и<, на пространстве В работе доказана

Теорема ([16]). Пусть ^ = ("+*1) и N2 = ("***) — размерности слоя расслоения струй, соответствующие натуральным числам к\ и к2\ через и О^, обозначим определенные выше полилинейные кососимметричные скобки. Тогда верно тождество □^[Л^,] = О, которое редуцируется к ("**) -тождеству Якоби (13) для обобщенных определителей Вронского при произвольном П^ 1 в случае = ¿2 =

Выводы

1. В работе приведено исчерпывающее описание нётеровых симметрии гиперболических уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К общего положения. Построен континуум операторов рекурсии для уравнений (1), причем как локальных, так и нелокальных.

2. Построены 5 классов решений бездисперсионных уравнений Тоды,

инвариантные относительно подгрупп группы Ли симметрии, а также реконструированы 4 закона сохранения, соответствующие локальным нётеровым симметриям лагранжиана этого уравнения. Приведены законы сохранения для многокомпонентных аналогов нелинейного урав-! нения Шрёдингера.

3. Построена коммутативная гамильтонова иерархия й нётеровых симметрии уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симмет-ризуемой матрицей установлено соответствие между иерархией , и 'схемой Магри для иерархии 23 уравнения Кортевега-де Фриза (4)

деформаций тензора энергии-импульса для уравнений (1). Показано, ! что элементы иерархии 21 гамильтоновы и имеют общие с иерархией

] 35 гамильтонианы уравнения Кортевега-де Фриза.

| 4. Представления нулевой кривизны и преобразования Беклунда для

| уравнений Тоды — уравнений плоских связностей на полупростых

! комплексных алгебрах Ли — изучены с алгебро-геометрической точки

зрения; исследованы свойства однопараметрических семейств преобразований Беклунда; реализован метод интегрирования преобразований Беклунда в нелокальных переменных. ' 5. Изучены свойства ассоциативных алгебр Шлезингера-Сташефа,

I представимых в дифференциальных операторах высших порядков; вы-

числены структурные константы и конформные размерности генераторов этих алгебр; получено тождество, которому удовлетворяют опре-■■ делители Вронского. Указаны аналоги классической алгебры Вирасо-

ро голоморфных векторных полей, образованные операторами высших порядков. Построены обобщения определителей Вронского, действующие на алгебре функций многих переменных и удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа. ! - Результаты работы могут найти применение в анализе задач кон-

формной теории поля и способствовать дальнейшему продвижению как в теории полей Лиувилля, так и в теории интегрируемых систем.

I

!

>

>

I 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Киселёв А. В. Классические законы сохранения для эллиптического уравнения Лиувилля // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. - Вып. 6 (2000). - С. 11-13.

[2] Киселёв А. В. Классические симметрии и законы сохранения эллиптического уравнения Лиувилля / VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «ЛО-МОНОСОВ-2000», секция «Физика». Сб. тезисов. - 2000. - М.: МГУ. - С. 274-275.

[3] Киселёв А. В. Законы сохранения эллиптических систем Тоды, t ассоциированных с алгебрами Ли А2, В2, С2, D, 02 / В сб.: I XXII Конференция молодых ученых. Механико-математический ! ф-т МГУ. - 2000. - М.: МГУ. - С. 70-73.

i

[4] Киселёв А. В. Об операторе рекурсии для уравнения Лиувилля / VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Л0М0Н0С0В-2001», секция «Физи- i ка». Сб. тезисов. - 2001. - М.: МГУ. - С. 48-50. 1

[5] Киселев А. В. О (3,1,0)-алгебре Ли гладких функций / В сб.: Труды XXIII Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. - М.: МГУ. - 2001. - С. 157-158.

[6] KiselevA. V. On the geometry of Liouville equation: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations // Acta Appl. Math. - 2002. - 72, №1-2. - С 33-49.

[7] Kiselev A V. On n-ary generalizations of the Lie algebra sl2(k). — 2002. — Препринт DIPS-2/2002 лаборатории геометрии дифференциальных уравнений (диффеотопии) при ИПС РАН, г. Пере-славль-Залесский. — 14 с.

Internet: http: //dif fiety. ас. ru/preprint/2002/02_02 .pdf.

[8] Киселёв А. В. Об интегрировании преобразований Беклунда для уравнения Лиувилля в нелокальных переменных / IX Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «ЛОМОНОСОВ-2002», секция «Физика». Сб. тезисов. — 2002. М.: МГУ. - С. 35-37.

[9] Kiselev A. V Backlund transformations for the Liouville i equation provide nonlocal variables and nonlocal structures. —

2002. — Препринт DIPS-5/2002 лаборатории геометрии дифференциальных уравнений (диффеотопии) при

! 21 . ИПС РАН, г. Переславль-Залесский. — 9 с. Internet:

; http://diffiety.ac.ru/preprint/2002/05_02.pdf.

[10] Киселев А В.: Об n-арных обобщениях алгебры Ли sl(k) / В сб.: Труды XXIV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. - М.: МГУ. - 2002. - С. 78-81. ! [И] Киселёв А. В. Об автопреобразовании Беклунда для уравнения

Лиувилля // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. ] Астрономия. - Вып. 6 (2002). - С. 22-26.

[ [12] Киселёв А В. О некоторых свойствах оператора рекурсии для

1 уравнения Лиувилля / В сб.: Труды XXV Конференции моло-

1дых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — 2003. — М.: МГУ. - С. 74-77.

j [13] Kiselev А. V. On the conservation laws for the Toda equations. —

\ 2003. - Preprint №8/2003, Dipartimento di Matematica 'Ennio De

j Giorgi', Universita degli Studi di Lecce, Italy. — 9 с

! [14] Киселёв А В. Применение методов геометрии дифференциальных

' уравнений в решении краевых задач // Математика и её прило-

Í жения. - 2004. - 1, №1. - С. 59-68.

[15] Киселёв А. В. О непрерывном аналоге двумерных систем Тоды // ; Математика и её приложения. — 2004. — 1, №1. — С. 69-74.

I [16] Киселев А. В. Об ассоциативных алгебрах Шлезингера-Сташефа

1и определителях Вронского. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, №413-В2004, 30 с.

[17] Киселев А. В. Об уравнениях Кортевега-де Фриза, ассоциированных с системами Тоды. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, №412-В2004, 86 с.

(

- 5371

ООП Фт.ф-та МГУ. 3uus 42-100-04

Введение

Глава I. Законы сохранения и нётеровы симметрии уравнений

1. Об уравнении Тоды: обзор литературы

2. Нётеровы симметрии уравнений Тоды

3. Операторы рекурсии для уравнений Тоды

Глава II. Примеры вычислений

4. Бездисперсионное уравнение Тоды

5. Нелинейное уравнение Шрёдингера

Глава III. Иерархии Кортевега-де Фриза и уравнения Тоды

6. Аналоги модифицированного уравнения Кортевега-де

Фриза

7. О гамильтоновом формализме для уравнений Эйлера

8. О некоторых свойствах иерархий Кортевега-де Фриза

Глава IV. Преобразования Беклунда и представления нулевой кривизны

9. Преобразования Беклунда и их деформации

10. Об интегрировании преобразований Беклунда

11. Представления нулевой кривизны

Глава V. Алгебры Шлезингера-Сташефа и определители

Вронского

12. Алгебраическая теория

13. Ассоциативные алгебры Шлезингера-Сташефа

14. Построение вронскианов функций многих переменных:

Выводы

Уравнения Тоды ([41]) и, в частности, уравнения Тоды, ассоциированные с полупростыми алгебрами Ли ([34]), играют существенную роль в построении и анализе моделей современной конформной теории поля. Известны многочисленные приложения уравнений Тоды в теории гравитации ([46, 52]) и теории Янга-Миллса ([85]), в дифференциальной геометрии ([67, 75]), задачах классификации нелинейных уравнений в частных производных ([15]), установлена их связь с интегрируемыми динамическими системами ([11]), фробениусовыми многообразиями и структурами ассоциативных алгебр ([57]). В перечисленных выше областях математической физики непосредственно к уравнениям Тоды сводятся задачи изучения таких систем, как антиавтодуальные вакуумные уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса, структурные уравнения комплексных кривых в кэлеровых многообразиях, динамика инвариантов Лапласа дифференциальных уравнений, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение \VDVV (\Vit-1еп-БукгааГ-Н. Уег1тс1е-Е. УегНпс1е) и т.д.

Алгебраический подход к изучению гиперболических уравнений Тоды иху = ехр(Я"и) был развит в работах А. Н. Лезнова и М. В. Савельева ([34]), В. Г. Дринфельда и В. В. Соколова ([И]), Б. А. Дубровина ([57]) и др., в которых уравнения Тоды интерпретированы как уравнения плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли (или их обобщениях) с матрицей Картана К. Известно, что такие уравнения, называемые уравнениями, ассоциированными с алгебрами Ли, точно интегрируемы ([34]); в фундаментальной работе [11] им были поставлены в соответствие интегрируемые иерархии Дринфельда-Соколова — аналоги бигамильтоновых уравнений Кортевега-де Фриза. Между тем, алгебраический подход не в полной мере учитывает геометрические свойства самих уравнений Тоды, например, такие как структура алгебры Ли нётеровых симметрий, наличие у этих уравнений операторов рекурсии и взаимосвязь допускаемых уравнениями Тоды законов сохранения с гамильтоновыми структурами для уравнений Кортевега-де Фриза. В частности, до настоящего времени не было известно, что перечисленные свойства уравнений Тоды сохраняются при переходе к значительно более общему случаю уравнений иху = ехр{Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К — не обязательно матрицей Картана.

Мощным средством изучения алгебро-геометрических структур служат гомологические методы, развитые в работах И. С. Красильщика, В. В. Лычагина, А. М. Виноградова ([4, 82, 83, 108]) и их научных школ. В связи со значительными успехами методов геометрии дифференциальных уравнений было естественным применить их к исследованию уравнений Тоды.

Целью диссертационной работы является анализ геометрических свойств уравнений Тоды, построение на их основе новых интегрируемых систем и установление взаимосвязи между уравнениями Тоды и иными уравнениями математической физики.

В диссертации рассмотрены алгебро-геометрические свойства гиперболических уравнений Тоды иху — ехр(Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К, построена иерархия аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза щ = иххх + и установлена её связь с иерархией уравнения Кортевега-де Фриза Tt = Тххх + ТТХ, получено описание групповых структур для без дисперсионных (2 + 1)-мерных уравнений Тоды иху = ехр(—uzz) и изучены геометрические свойства многокомпонентных систем = №хх + г/(|Ф|)Ф типа нелинейного уравнения Шрёдингера (мультисолитонных комплексов), также связанных с уравнениями Тоды. Использованный метод исследований состоит в систематическом применении методов геометрии дифференциальных уравнений при изучении перечисленных выше уравнений и структур на них.

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, содержащих 14 разделов, выводов и списка литературы из 112 наименований. Формулируемые в работе леммы, теоремы, утверждения и следствия имеют сплошную нумерацию от 1 до 70.

127 Выводы

1. В работе приведено исчерпывающее описание нётеровых симме-трий гиперболических уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К общего положения; для матриц К специального вида указан структурный состав симметрий лагранжиана. Построен континуум операторов рекурсии для уравнений Тоды, причем как локальных, так и нелокальных, но генерирующих цепочки локальных симметрий.

2. Построены 5 классов решений бездисперсионных уравнений Тоды, инвариантные относительно некоторых подгрупп группы Ли симметрий, а также реконструированы 4 закона сохранения, соответствующие локальным нётеровым симметриям лагранжиана этого уравнения. Приведены законы сохранения для многокомпонентных аналогов нелинейного уравнения Шрёдингера.

3. Построена коммутативная иерархия 21 нётеровых симметрий уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К\ установлено соответствие между иерархией 21 и схемой Магри для иерархии 95 потенциального уравнения Кортеве-га-де Фриза деформаций тензора энергии-импульса для уравнений Тоды. Исследованы вопросы гамильтонова формализма для лагран-жевых гиперболических уравнений; показано, что элементы иерархии 21 гамильтоновы и имеют общие с иерархией гамильтонианы уравнения Кортевега-де Фриза.

4. Представления нулевой кривизны и преобразования Беклунда для уравнений Тоды — уравнений плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли — изучены с алгебро-геометрической точки зрения; исследованы свойства однопараметрических семейств преобразований Беклунда; реализован метод интегрирования преобразований Беклунда в нелокальных переменных.

5. Изучены свойства ассоциативных алгебр Шлезингера-Сташефа, представимых в дифференциальных операторах высших порядков; вычислены структурные константы и конформные размерности генераторов этих алгебр; также получено тождество, которому удовлетворяют определители Вронского. Указаны аналоги классической алгебры Вирасоро голоморфных векторных полей, образованные операторами высших порядков. Построены обобщения определителей Вронского, действующие на алгебре функций многих переменных и удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа

Полученные в диссертационной работе результаты опубликованы в работах автора [20]—[30] и [77]—[80]. Результаты работы могут быть полезны исследователям, работающим в МГУ им. М.В.Ломоносова, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН и Институте программных систем РАН, специализирующимся в области конформной теории поля и в теории интегрируемых систем.

Благодарность. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору И. С. Красильщику, за постановку задачи, многочисленные обсуждения на всех этапах исследования и конструктивную критику. Кроме того, автор благодарен А. М. Вербовецкому и А. В. Овчинникову за существенные замечания и советы, а также А. А. Белавину, Р. Витоло, В. А. Головко, В. Г. Кацу, П. Керстену, Б. Г. Конопельченко, В. Г. Марихину, Ю. Д. Плетнеру, А. К. Погреб-кову, Б. Л. Фейгину, Е. В. Ферапонтову, А. Б. Шабату и всем участникам семинара по геометрии дифференциальных уравнений (НМУ) за полезные обсуждения. Также автор выражает благодарность профессорско-преподавательскому составу кафедры математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке стипендии Правительства Российской Федерации и гранта ШТАБ УБ 2001/2-33.

129

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1979. — 432 с.

2. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск, Ижевская респ. ти-погр., 2000. — 400 с.

3. Боголюбов Н. И., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Физма-тлит, 1993. — 335 с.

4. Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Ред. А. М. Виноградов и И. С. Красильщик. — М.: Факториал, 1997. — 464 с.

5. Гельфанд И. М., Дорфман И. Я. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры // Функц. анализ и его прилож. — 1979. — 13, т. — С. 13-30.

6. Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности // Функц. анализ и его приложения. — 1968. — 2, Ш. — С.92-93.

7. Головко В. А. О законах сохранения для систем Тоды / X Международная конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «ЛОМОНОСОВ-2003», секция «Физика». Сборник тезисов. — М.: МГУ. — 2003. — С. 53-55.

8. Головко В. А. О представлениях нулевой кривизны и преобразованиях Беклунда для уравнения Лиувилля / В сб.: Труды XXV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — М.: МГУ. — 2003. — С. 20-22.

9. Джумадильдаев А. С. Целочисленные и mod р-когомологии алгебры Ли W\ // Функц. анализ и его приложения. — 1988. — 22, т. — С. 226-228.

10. Дринфельд В. Г., Соколов В. В. Уравнения типа Кортевега-де Фриза и простые алгебры Ли // Докл. АН СССР — 1981. — 258, №1. — С. 11-16.

11. Дринфельд В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 24. — М.: ВИНИТИ, 1984. — С. 81-180.

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979. — 760 с.

13. Жибер А. В. Уравнения n-волн и система нелинейных уравнений Шредингера с групповой точки зрения // ТМФ. — 1982. — 52, т. — С. 405-413.

14. Жибер А. В., Шабат А. Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Докл. АН СССР. — 1979. — 247, №5. — С. 1103-1107.

15. Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. — 56, №1. — 2001. — С. 63-106.

16. Зограф П.Г., Тахтаджян JI.A. Об уравнении Лиувилля, акцессорных параметрах и геометрии пространства Тейхмюллера для ри-мановых поверхностей рода 0 // Матем. сб. — 1987. — 132(174), №. — С. 147-166.

17. Ибрагимов Н.Х., Шабат A.B. Уравнение Кортевега-де Фриза с групповой точки зрения // Докл. АН СССР. — 1979. — 244, №1. — С. 57-61.

18. Ибрагимов Н.Х., Шабат A.B. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда // Функц. анализ и его приложения. — 1980. — 14, №1. — С. 25-36.

19. Касымов Ш. М. Сопряженность подалгебр Картана в п-лиевых алгебрах // Доклады РАН. — 1996. — 345, №1. — С. 15-18.

20. Киселёв А. В. Законы сохранения эллиптических систем Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли Л2, В2, С2, Д2, G2 / В сб.: XXII Конференция молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — 2000. — М.: МГУ. — С. 70-73.

21. Киселев А. В. Классические законы сохранения для эллиптического уравнения Лиувилля // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия.2000. — Вып. 6 (2000). — С. 11 13.

22. Киселев А. В.: Об n-арных обобщениях алгебры Ли з1г(к) / В сб.: Труды XXIV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — М.: МГУ. — 2002. — С. 78-81.

23. Киселёв А. В. Об автопреобразовании Беклунда для уравнения Лиувилля // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. — Вып. 6 (2002). — С. 22-26.

24. Киселёв А. В. О некоторых свойствах оператора рекурсии для уравнения Лиувилля / В сб.: Труды XXV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — 2003. — М.: МГУ. — С. 74-77.

25. Киселёв А. В. Применение методов геометрии дифференциальных уравнений в решении краевых задач // Математика и её приложения. — 2004. — 1, №1. — С. 59-68.

26. Киселёв А. В. О непрерывном аналоге двумерных систем Тоды // Математика и её приложения. — 2004. — 1, №1. — С. 69-74.

27. Киселев А. В. Об уравнениях Кортевега-де Фриза, ассоциированных с системами Тоды. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, №412-В2004, 86 с.

28. Киселев А. В. Об ассоциативных алгебрах Шлезингера-Сташефа и определителях Вронского. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, №413-В2004, 30 с.

29. Лезнов А. Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных вдвумерном пространстве // ТМФ. — 1980. — 42, №3. — С. 343349.

30. Лезнов А. Н., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М., 1985. — 278 с.

31. Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. — 1982. — 51, №1. — С. 10-21.

32. Мешков А. Г. Симметрии скалярных полей. III. Двумерные интегрируемые модели // ТМФ. — 1985. — 63, №3. — С. 323-332.

33. Джет Неструев Гладкие многообразия и наблюдаемые. — М.: МЦНМО, 2000. — 300 с.

34. Овчинников А. В. Системы Тоды, ассоциированные с алгебрами Ли, и W-алгебра в некоторых задачах математической физики. Дисс. к.ф.-м.н. — 1996. — М.: МГУ. — 96 с.

35. Поляков А. М. Калибровочные поля и струны. — Ижевск: Изд. «Удмуртский университет», 1999. — 312 с.

36. Савельев М. В. О проблеме интегрируемости непрерывной системы Тоды // ТМФ. — 1992. — 92, №3. — С. 457-465.

37. Toda M. Теория нелинейных решеток. — М., 1984. — 264 с.

38. Филиппов В. Т. О лиевых п-алгебрах // Сиб. матем. журн. — 1985. — 24. — С. 126-140.

39. Хоръкова Н. Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Матем. заметки. — 1988. — 44, №1. — С. 134-144.

40. Шабат А. В., Ямилов Р. И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана. — Препринт. Уфа, Башкир, филиал АН СССР. 1981. — 22 с.

41. Akhmediev N., Ankiewicz A. Multi-soliton complexes // Chaos. — 2000. — 10, т. — С. 600-612.

42. Barnich G., Brandt F., Henneaux M. Local BRST cohomology in the antifield formalism: I. General theorems. Commun. Math. Phys. — 1995. — 174. — C. 57-92.

43. Barnich G., Fulp R., Lada T., Stasheff J. The sh Lie structure of Poisson brackets in Field Theory // Commun. Math. Phys. — 1998. — 191. — C. 585-601.

44. Bilal A., Gervais J.-L. Extended C = oo conformal systems from classical Toda field theories // Nucl. Phys. B. — 1989. — 314, №3. — C. 646-686.

45. Bilal A., Gervais J.-L. Systematic construction of conformal theories with higher-spin Virasoro symmetries // Nucl. Phys. B. — 1989. — 318, №. — C. 579-630.

46. Boyer C. P., Finley J. D. Killing vectors in self-dual Euclidean Einstein spaces // J. Math. Phys. — 1982. — 23. — C. 1126-1130.

47. Boyer C. P, Plebanski J. F. An infinite hierarchy of conservation laws and nonlinear superposition principles for self-dual Einstein spaces // J. Math. Phys. — 1985. — 26, №2. — C. 229-234.

48. Brandt F. Backlund transformations and zero curvature representations of systems of partial differential equations //J. Math. Phys. — 1994. — 35. — C. 2463-2484.

49. Bullough R. K., Dodd R. K. Backlund transformations for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc., London. — 1076. — A351, №1667. — C. 499-523.

50. Bullough R. K., Dodd, R. K. Polynomial conserved densities for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc. London. — 1977. — A352. — C. 481-503.

51. Carlet G., Dubrovin B., Zhang Y. The extended Toda hierarchy. arXiv:nlin.SI/0306060.

52. Case K. M., Roos A. M Sine-Gordon and modified Korteweg-de Vries charges //J. Math. Phys. — 1982. — 23, №3. — C. 392-395.

53. Cieslinski J. A generalized formula for integrable classes of surfaces in Lie algebras // J. Math. Phys. — 1997. — 38, №8. — C. 4255-4272.

54. Dorfman I. Dirac structures and integrability of nonlinear evolution equations. Nonlinear Science: Theory and Applications. — John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1993. — 176 c.

55. Dunajski M., Mason L. J. Hyper-Kahler hierarchies and their twistor theory // Commun. Math. Phys. — 2000. — 213. — C. 641-672.

56. Dzhumadil'daev A. S. Wronskians as n-Lie multiplications. Preprint arXiv: math. RA/0202043, 5 Feb 2002.

57. Dzhumadil'daev A. S. iV-commutators of vector fields. Preprint arXiv: math.RA/0203036, 18 Mar 2002.

58. Feher L., O'Raifeartaigh L., Ruelle P., Tsutsui I., Wipf A. On Hamiltonian reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten theories //Phys. Rep. — 1992. — 222, №1. — C. 1-64.

59. Gervais J.-L., Matsuo Y. W-geometries // Phys. Letters. — 1992. — B274. — C. 309-316.

60. Gervais J.-L., Matsuo Y. Classical W-geometries // Commun. Math. Phys. — 1993. — 152. — C. 317-368.

61. Gervais J.-L., Saveliev M. V. W-geometry of the Toda systems associated with non-exceptional Lie algebras // Commun. Math. Phys. — 1996. — 180, №2. — C. 265-296.

62. Geurts M. L., Martini R., Post G. F. Symmetries of the WDVV equation // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, №1-2. — C. 67-75.

63. Gusyatnikova V. N., Samokhin A. V., Titov V. S. et al. Symmetries and conservation laws of Kadomtsev-Pogutse equations // Acta Appl. Math. — 1989. — 15, №1. — C. 23-64.

64. Hanlon P., Wachs M. L. On Lie A;-algebras // Adv. in Math. — 1995. — 113. — C. 206-236.

65. Igonin S., Krasil'shchik /. S. On one-parametric families of Backlund transformations // Advanced Studies in Pure Mathematics. — 2003. — 37. — C. 99-114.

66. Kac V. G., Raina A. K. Bombai lectures on highest wieght representation of infinite dimensional Lie algebras. — Singapore etc.: World Scientific, 1987. — ix, 145 c.

67. Kaliappan P., Lakshmanan M. Connection between the infinite sequence of Lie-Backlund symmetries of the Korteweg-de Vries and sine-Gordon equations // J. Math. Phys. — 1982. — 23, №3. C. 456-459.

68. Kassel Ch. Quantum groups. — Springer-Verlag, 1995.

69. Kazdan J. L., Warner F. W. Curvature functions for open 2-manifolds // Ann. Math., (2). — 1974. — 99, №2. — C. 203-219.

70. Kersten P., Krasil'shchik I., Verbovetsky A. Hamiltonian operators and ¿'-coverings. — 2002. — Preprint DIPS-6/2002. — 25 c.

71. Kiselev A. V. On n-ary generalizations of the Lie algebra sl^Ik). —2002. — Preprint DIPS-2/2002. — 14 c.

72. Kiselev A. V Bâcklund transformations for the Liouville equation provide nonlocal variables and nonlocal structures. — 2002. Preprint DIPS-5/2002. — 9 c.

73. Kiselev A. V. On the geometry of Liouville equation: symmetries, conservation laws, and Bâcklund transformations // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, №1-2. — C. 33-49.

74. Kiselev A. V. On the conservation laws for the Toda equations. —2003. — Preprint №8/2003, Dipartimento di Matematica 'Ennio De Giorgi', Università degli Studi di Lecce, Italy. — 9 c.

75. Krasil'shchik I. A simple method to prove locality of symmetry hierarchies. — 2002. — Preprint DIPS-9/2002. — 4 c.

76. Krasil'shchik I. S.f Kersten P. H. M. Symmetries and recursion operators for classical and supersymmetric differential equations. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht etc., 2000. — 380 c.

77. Krasil'shchik J., Verbovetsky A. Homological methods in equations of mathematical physics, Advanced Texts in Mathematics. — Open Education and Sciences, Opava, 1998. — 150 c.

78. Lada T., Stasheff J. D. Introduction to sh Lie algebras for physicists // Int. J. Theor. Phys. — 1993. — 32. — C. 1087-1103.

79. Leznov A. N., Saveliev M. V. Spherically symmetric equations in gauge theories for an arbitrary semisimple compact Lie group // Phys. Lett. B. — 1978. — 79, №3. — C. 294-296.

80. Liouville J. Sur l'équation aux differences partielles d2 log X/du dv ± A/(2a2) = 0 // J. de math, pure et appliquée. — 1853. — 18, №1. — C. 71-72.

81. Magri F. A simple model of the integrable equation //J. Math. Phys. — 1978. — 19, №5. — C. 1156-1162.

82. Martina L., Sheftel M. B., Winternitz P. Group foliation and noninvariant solutions of the heavenly equation // J. Phys. A: Math. Gen. — 2001. — 34. — C. 9243-9263.

83. Marvan M. Jets. A software for diferential calculus on jet spaces and diffieties, ver. 4.9 (December 2003) for Maple V Release 4. — Opa-va. — 1997. Internet: http://diffiety.ac.ru/soft/soft.htm.

84. Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, №12. — C.51-65.

85. Marvan M. Another look on recursion operators / Proc. Conf. Differential Geometry and Applications. — 1995. — Masaryk Univ., Brno, Czech Republic. — C. 393-402.

86. Michor P., Vinogradov A. M. n-ary Lie and associative algebras // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. —1996. — 53, №4. — C. 373-392.

87. Miura R. M. Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. // J. Math. Phys. — 1968. — 9, №8. — C. 1202-1204.

88. Nambu Y. Generalized Hamiltonian dynamics // Phys. Rev. D. — 1973. — 7. — C. 2405-2412.

89. Ovchinnikov A. Toda systems and W-algebras / Proc. 1st Nonorthodox School on Nonlinearity and Geometry. Ed. D. Wojcik, J. Cieslinski. — Polish Sc. Publ. PWN, Warsawa, 1998. — C. 348-358.

90. Poincare H. Les fonctions fuchsiennes et l'equation Au = exp(u) // J. math, pures et appl., 5e ser. — 1898. — №4. — C. 157-230.

91. Razumov A. V., Saveliev M. V. Lie algebras, geometry, and Toda-type systems. Cambridge Lecture Notes in Physics 8. — Cambridge Univ. Press, 1997. — 327 c.

92. Rogers C., Shadwick W. F. Backlund transformations and their applications. — NY etc.: Academic press, 1982. — 334 c.

93. Sahoo D., Valsakumar M. C. Nambu mechanics and its quantization // Phys. Rev. A. — 1992. — 46. — C. 4410-4412.

94. Schlessinger M., Stasheff J. D. The Lie algebra structure of tangent cohomology and deformation theory //J. Pure Appl. Algebra. — 1985. — 38, №2-3. — C. 313-322.

95. Sakovich S. Yu. On special Backlund autotransformations // J. Phys. A: Math. Gen. — 1991. — 24. — C. 401-405.

96. Sakovich S. Yu. On conservation laws and zero-curvature representations of the Liouville equation //J. Phys. A: Math. Gen. — 1994. — 27. — C. L125-L129.

97. Saveliev M. V., Vershik A. M. On the continuous Lie algebras and the Cartan operators // Commun. Math. Phys. — 1989. — 126. — C. 367-381.

98. Shabat A. B. Higher symmetries of two-dimensional lattices // Phys. Lett. A. — 1995. — 200. — C. 121-133.

99. Shadwick W. F. The Backlund problem for the equation d2z/dx1dx2 = f(z) U J. Math. Phys. — 1978. — 19, №11. — C. 2312-2317.

100. Sukhorukov A. A., Akhmediev N. N. Intensity limits for stationary and interacting multi-soliton complexes. — 2001. — Preprint arXiv:nlin.PS/0103026.

101. Takhtajan L. On foundations of generalized Nambu mechanics // Commun. Math. Phys. — 1994. — 160. — C. 295-315.

102. Vinogradov A. M. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws. I. The linear theory. II. The nonlinear theory // J. Math. Anal. Appl. — 1984. — 100, №1. — C. 1-129.

103. Vinogradov A., Vinogradov M. On multiple generalizations of Lie algebras and Poisson manifolds // Contemporary Mathematics Amer. Math. Soc. — 1998. — 219. — C. 273-287.

104. Wahlquist H. D., Estabrook F. B. Backlund transformation for solutions of the Korteweg-de Vries equation 11 Phys. Rev. Lett. — 1973. — 31, №23. — C. 1386-1390.

105. Wang J. P. Symmetries and conservation laws of evolution equations. — PhD thesis, Vrije Universiteit, Amsterdam, 1998. — 166 c.

106. Witten E. Some exact multipseudoparticle solutions of classical Yang-Mills theory // Phys. Rev. Lett. — 1977. — 38, №3. — C. 121124.