Локальный интеграл движения в звездной динамике тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШАМШИЕВ Фазилиддин Тулаевич

УДК 524.3/4-32

ЛОКАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДВИЖЕНИЯ В ЗВЕЗДНОЙ ДИНАМИКЕ

Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

САЯКТ-ПЕТЕРБУРГСКИП ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШАМ15ИЕВ Фэзилиддин Тудаевич

УДК 524.3/4-32

ЛОКАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДВИЖЕНИЯ 3 ЗВЕЗДНОЙ ДИНАМИКЕ

Специальность 01.03.01 - астрс-мотрия и небесная мэхани:<а

Автореферат диссертации ка соискание ученой стеггсгш кандидата физико-математических наук

САИКТ—ПЕТЕРБУх. 19Э4

Работа выполнена в Институте теоретической астрономии Российской Академии Наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В. А. Антонов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С- А. Кутузов

кандидат физико-математических наук С. А. Клиокер

Ведущая организация: Государственный астрономический институт имени П. К. Штернберга

Защита диссертации состоится Мирт*)и. 1994 г. в /5~^ас

на заседании специализированного совета Д 063.57-39 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математи-чесхих наук при Санкт-Петербургском Университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/3, геологический факультет, ауд. 88

С диссертацией иоию ознакомиться в библиотеке СПбГУ

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

И. В- Петровская

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГОТЫ

Актуальность пели. Поиски качественных закономерностей в движении тел, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, всегда были важной зр.дачеК з небесно!! механике. В звездной динамике актуальность подобных поисков сохраняется, и причем сии стали относиться к более шрокому классу возможных потенциалов ип-'?з разнообразия встречающихся заездит: к галактических гравитационных полей тяготения. В принципе, в наце время траекторию движения частицы в заданном гравитационном поле всегда чо'но рассчитать с хслрсуоЯ точностью с почокм» вычислительных машин. Однако, такой эмпирически!! подход не всегда достаточен, потому что з вопросе о космогонии и статистике малых тел Солнечной системы часто знание индивидуальной траектории отступает на задчий план и сравнении с обздши закономерностями. Езо а большей мере это можно сказать о дзихония звезд и других тел внутри галактик. Действительно, форма гравитационных потенциалов у них хззсстиа весьма неточно и такое-тсчкое вычисление траекторий, которое было сч характерно для классической задачи небесной механики, просто теряет смысл. 1С тому .те движение отдельно!! звезды з Галактике представляет весьма частный интерес, а главное состоит а исследовании закономерностей, обда для разных звезд.

Одкич из средств качественного исследования закономерностей двиаения гвляется нахояденко интеграла движения. Е этой направлении выполнено много работ 13,6!, однако проблема далеко еч-е не ге^еиа полностью 11-51. Во всяком случае ясно, что интеграл движения в виде достаточно гладких функций вчрахается ко всегда. Поэтому нам представляется актуальным использовать обобщение интеграла дзилэния, а именно: локальный интеграл движения (другие наименования: частный интеграл, изолированный интеграл). Б сущности, речь идет о нахождении отдельной инвариантной поверхности в разовом пространстве 121. Конструирование таких инвариантных поверхностей до сих пор осуществлялось лшль в немногих работах 12!. Поэтому нахождение

достаточных условий наличия локального интеграла представляет несомненный интерес. Во - первых, таким путем получается значительная информация о тех траекториях, которие согласуются с данным локальным интегралом. Ео-вторых, для всех остальных частиц определяется некоторый барьер, через который они не могут проникать. Тем самым ставятся определенные пределы уходу частиц из системы или перемешивание различных населения.

Целью настоящего исследования является:

1) исследование линейного относительно компонентов скорости локального интеграла движения в стационарном гравитационном поле во вращающейся системе с двумя степенями свободы и постановка численных экспериментов, позволяющих изучать характер движения пробной частицы при наличии такого локального интеграла и сравнивать результаты с движениями в более реалистическом потенциала;

2) изучение возможности полного нахождения траекторий плоского движения с локальным интегралом;

3) построение класса потенциалов, допускающих двукратное и восьмикратное поля скоростей в стационарном потенциальном поле для пространственной задачи с вращением и без него. Описание некоторой физической и динамической интерпретации потенциалов, получающихся в результате указанного анализа.

//ручная новизна.

В подавляющем большинстве случаев результаты диссертации являются новыми- Повторение уже встречавшихся расчетов происходит только там, где известные интегралы движения или сами траехтории выступают в качестве примеров и частных случаев в более новых открывающихся схемах. Конкретно, наиболее оригинальными являются выражение линейного локального интеграла в двумерно!! системе с вращением, интегрируемость уравнения движения при наличии такого локального интеграла, двукратные и восьмикратные поля скоростей в трехмерном случае с условиями существования таких полей, а также основанные на этих

аналитических данных различные примеры и дополнения.

Методика расчетов таг. «в песет г, cede элемент оригинальности, поскольку астречагдаеся уравнения в частных производных, линейны? н нелинейные, не совсем обычны с точки зрониз' теорий яастоягдос иитеграгов дритения, и требует несколько специфического подхода. Полумгл^еся модели граг.ятиругда систем тахяе рлльие ке встречались и благодаря им зозно.т.::а иногда копая точкз зрения ira кинематику и динамику определенных классов гравитиоусэдх систем.

Научная и пуахяиче.стр. цеккосг.ь.

Некоторые из найденных ?срч пото.чциала иогут с удовлетворительной точностьи представлять гравитационные потешгплы одиночных или двойных галактик и других гразиткрую'дчх объектов. Построение локального интеграла означает ограничение на двигение тех или иных теп внутри этих объектов или покр^г них, если v.« интересуемся движением ка космогонически существенна интерпалах времени. Те ге самые математические методы могут предлагаться в теории двиге.чия парязешшх частиц я электромагнитном поле, что имеет прямое отно^ени?- к проблеме удергагия пдгзиы. В определенных случаях aw получаем точно интегрируемое решение уравнений движения частицы в определенном гравитационном поле, если не для всех начальных условий, то для некоторого их подмножества.

На заиипу Зкнос."пся след;¿M¡ue__pез^уьпо_та

1. Доказывается, что класс потенциалов, допускасгадх локальный интеграл, существенно чире, чем допускающих истинный интеграл перво!! степени или второ!! степени относительно компонентов скорости.

2. Построение наиболее общего локального интеграла перве!! степени для двумеркс:! системы при наличии вращения. Установлена аналогия с интегралом площадей и выведена ¿орма потенциала-Найдены все случаи, когда локальный интеграл позволяет полностьи строить траектории на соответствующей гиперповерхности по

образцу настоящего интеграла.

3. Распространение локального интеграла, задаваемого дпумя уравнениями, на пространственный случай. Построение потенциалов, совместимых с соответствующими Е - и 8 - кратными полями скоростей. Построение н изучение структуры конкретных потенциалов такого типа.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

Всесоюзном совещании "Проблемы физики и динамики звездных систем". Ташкент, 1939;

Советник проблемной группы "Аналитическая небесная механика", Киев, 1991;

Конференции "Mathematical Methods In Studying the Structure and DymvEics of the Gravitating Systems", Петрозаводск, 1993;

Копфоренциии с международным участием "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика", С.-Петербург, 1993, а также на семинарах:

лаборатории звездной динамики и небесной механики АО СПбГУ; общеинститутском семинаре ИТА РАН; кафедру астрономии ТашГУ.

Обьел u стрцкпцра диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заклечения, списка цитируемой литературы (114 наименований). Содержит 103 страниц машинописного текста, 26 рисунков, 1 таблицу. Общий объем диссертации - 117 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность рассматриваемых б данной диссертации проблем, сформулирована цель исследования, отмечена научная новизна и практическая ценность, приведены положения, выносимые на защиту. Кратко изложено содержание диссертации, перечислены полученные новые результаты

3 первой славе исследуется линейный относительно компонентов скорости и, V локальный интеграл Л

3 » А(х, у) и + В(х, у) V - ^<х.У> =0, (1)

в стационарном гравитационном поле во вращающейся с постоянной

угловой скоростью О декартовой системе координат х, у, где А, В

и <р некоторые неизвестные функции. По смыслу определения локального интеграла, соотноиение

dJ _

ОТ

= о,

где полная производная понимается как результат дифференцирования вдоль траектории, дол-:;о соблюдаться для всех значений фазовых координат, удозлетворягщих таинству J - 0. Это эквивалентно делимости dJ/dt на J как полиномов относительно и, v. Понятие локального интеграла можно рассматривать как достаточно широкое обобщение истинного интеграла. Поскольку выраяек::а J п аироких пределах произвольно, можно модифицировать интеграл площадей, т.е. ксгдз А = - у, В = х, найти класс потенциалов U :

U = F(r) - П г<0) + . (О ~ Arct;' ) , С>!

г"'

где F(г) и gf0) некоторые произвольные функцхн. На этом примере видна нетриг.иалькость обобщения: с истнным интегралом площадей получился бы более узкий класс U = F(r).

Построен также класс потенциалов, для случая А = sin<r, В = - COGC,

U = X (Sfi) + <f - П2 (хг + у?)! , (3 1

с помогав SI1!'), и ei",e двух fier), N<сг) входящих в v" произвольных функций одной перекеннной с- = сг(х,у), которая определяется неявным образом из х slntr - у cosa = Г'1er), где

Ф = х со го- + у х1шг ♦ Пег). (4)

Показаны также возможности применения локального интеграла для' понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения.

Построены конкретные примеры, позволяющие судить о характере движения. Именно, доказаны существования периодических (с относением частот 1:3) и условно-периодических орбит, определены формы витков траектории вблизи точек возврата ("волиы" либо "завитки") а также области движения частицы ("кольцеобразные", "грушевидные" и "ящикообразные").

Указакньга результаты сравнивается с движениями в более реалистических потенциалах, точнее с моделью Шустера в поле галактика - спутник и с моделью однородного вара.

Вторая глава посвящена некоторому специальному случаю интегрируемости плоского движения в поле тяготения вращающейся системы при наличии линейного локального интеграла, определенного в предыдущей главе. Описывается общий принцип интегрируемости, когда известен какой-нибудь локальный интеграл вместе с интегралом энергии. Приводятся известные случаи полной интегрируемости уравнений дзижекия в гравитационном поле с ротационно-екмметрнчным и квадратичным потенциалами, а также когда существует уравновешенность по одной из координат. Рассматривается возможность применения линейного локального интеграла к нахождению к анализу траекторий. Показано, что существование локального интеграла в некоторых определенных случаях приводит к разделению переменных и точному нахождению орбит. Аналитически включены в общую схему также тривиальные траектории. В более общем нетривиальном случае изучается полная определимость траектории перенесением построения локального интеграла на некоторую бесконечно близкую поверхность при фиксированном потенциале. Выявлены новые примеры интегрируемости уравнений движения при наличии такого линейного локального интеграла, но относящиеся только к гиперповерхности (1).

Аналитически показано в некоторых определеннных случаях существование периодических орбит, а в некоторых других - "уход" за пределы допустимой области.

В агрешьей главе диссертации рассматривается проблема существования локальных интегралов движения для систем с тремя степенями свободы. Один из возможных подходов состоит б том. что заранее задается двузначное поле скоростей,

и = и + а Й ,

о

V = чо + Р Я , __(5)

у = и + г Й , У Б + 2 й ,

о

с неизвестными функциями Э, ио, чо, ио, а, р, у координат (х,у,2) подлежащими определению. Задание локального интеграла тогда состоит в Фиксации двух функций фазовых координат:

I

З(и-и) = а (V - V ) ,

' о о

■у(и-и)=а(и-у)

о о

Построен класс потенциалов, допускаюют поле скоростей (5)

и = [ (ггас! Ф)2 + 1МШ. (б)

где Ф = ) и ио(Ь) произвольные функции, причем I

определяется опять через произвольную функцию , п^)

1=-пх-пу-пг - г(п , п ), (7)

и у х ~ у ' г '

с помесью единичного переменного вектора п(п>, пу. п^).

Построены примеры, ведуище к известном схемам, а также новые модели. Конкретно, изучено поведение потенциала на сфере, определяются и анализируются изопотенцнальнке линии.

В частности, такая же задача рассмотрена и при наличии вращения.

Чепвер~.ая. глава посвящена другому подходу такхе к системам с тремя степенями свободы. Ищется по существу обобщение ящикообразкых орбит, характерных для случая существования истинных интегралов. В этом случае, как известно, в каждой точке х, у, г при фиксированной тройке интегралов движения каждая из компонент скорости по отношение к некоторой криволинейной системе координат определяется по модуле, но знак остается произвольным и выбирается независимо от знака остальных двух компонент, так что всего получается 8 комбинаций. По аналогии, в более общем случае ищется 8 - кратное поле скоростей в виде

и = ± сг

■ и л О- V 4 <г и ,

II I г 13'

V = ± сг и±<г V ± <г и,

г 1 гг г з ' (о)

и = ± <т 1) 1 О" V 1 с У,

31 зг зз

где и, V. V - некоторые функции от х, у, г, (1, определяющие собой скорости в криволинейной системе координат. Величины сг токе функции координат, они образуют ортогональную матрицу. Алгебраически (8) удобно рассматривать как решение системы двух уравнений для компонент скорости, т.е. опять строить локальный интеграл в виде не одной, а двух функций фазовых координат. Указанные уравнения мы строили в виде

Ь и* - I. V2 = 2(1. К - I К ) . 2 1 2 112

(9)

ь иг - ь = 2и к - т ,

3 1 3 113'

подразумевая, что ±У, ±М выражены согласно (8) обратно через и, V, и, а , К2. Кз зависят заранее не известным образом только от координат.

С помощью произвольных функций К восстанавливается класс потенциалов

Ф = I К , (10)

где К( = % / L , %t, L , !i = 1,2,3) некоторые произвольные функции.

В некоторых случаях показывается, что задание локального интеграла дает фактически снова настоящий интеграл, действусдий во всем фазовом, пространстве. Видонзлоненчем системы сферических координат строятся nosve модели- Речь идет также об облает;;, заполняемой орбитой, в общэм случае несоизмеримости периодов и исключении ухода частиц на бесконечность.

В Заключении кратко изложена сводка основных результатов, полученных в диссертации.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Антонов В.Л., Шампиев Ф. Т. ЛокальныЧ интеграл при движении во вращающемся поле // В сб.: "Проблемы физики и динамики звездных систем", Тазкент, 19S9, С. 13.

2- Антоноз В.А., Шамяиев Ф. Т. Специальный класс потенциалов, допускаяших лекальный интеграл // Астрономический дурная, 1992, Т. 69, вып. 5, С. 971-977.

3. Antonov У. A., Shasshiev F.T. Local integral;; and the plane motion of a point in rotating systems // Celest. Mech. and Dyn. Astron., 1993, V. SG, P. -151-469.

A, Antonov V.A., Sharrshiev F.T. The local integrals of the motion in stellar dynamics // Program and Abstracts of the Conference "Mathenatical Methods In Studying the Structure and Dynanics of Gravitating Systems", 1993, Petrozavodsk, P. 7.

5. Sharashiev F.T. Special class of potentials having a local integral // Progran and Abstracts of the Conference "Mathematical Methods in Studying the Structure and Dynanics of Gravitating Systems, 1993, Petrozavodsk, P. 40.

6. Shanshiev F.T. On the linear local integrals of motion // Program and Abstracts of the Conference "Mathematical Methods in studying the Structure and Dynamics of Gravitating Syster.s,

1993, Ре1гогаУО|1зк, Р. 41.

7. Шамшиев Ф.Т. Специальный хласс потенциалов, допускающих В-кратиое поле скоростей // Программа и тезисы докладов, Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика, 1993, С.-Петербург, С. 22-23.

В совместных работах 11-41, руководителе принадлежит общая постановка задачи и некоторые идеи по ее решению, автору -решение и численные расчеты.

1. Age 1с! an Т. A., Nikiforov I.I.. Orlov V.V.. Pltjev К. P. The third Integral of r.otion // Progran and Abstracts of the Conference, Petrozavodsk, 1393, P. 3.

2. Антонов В-А. Локальный квадратичный интеграл движения в звездной динамике //Вестник Ленинград, ун-та, 1931, >119, С. 97-105.

3. Антонов В.А. Итоги науки и техники, Сер.астр., 1985, Т.26. С. 4-55.

4. Antonov V.A. Search of exact integrals of the star notion // Prograa and Abstracts of the Conference, Petrozavodsk, 1933, P. 4.

5. Contopoulos G., Vandervoort P. A rotating Stackel potential //Astroph.J., 1992, 389, P. 118-128.

6. Hietarinta J. Direct methods for the search of the second Invariant //Physics Reports, 1987, 147, N 2. P. 87-154.

ЛИТЕРАТУРА