Исследование движения тел в полях, характеризующихся потенциалами, близкими к интегрируемым тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

•те од

На правах рукописи

КЕНЖАЛИЕВ Досым Исатаевпч

УДК 531 + 524.3/Л

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЯХ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХСЯ ПОТЕНЦИАЛАМИ, БЛИЗКИМИ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ

Специальность 01.02.01. — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степепи кандидата физико-математических наук

Алматы, 1994

Работа выполнена в Казахском государственном национальном университете имени Аль-Фараби.

Научный руководитель - доктор Физико-математических наук, профессор Генкин И. Л.

Официальные оппоненты - член-корреспондент НАН РК,

доктор физико-математических наук Омаров Т.Е

кандидат физико-математических наук, доцент 1&мшбеков Е. К.

Ведущая организация - Институт механики и машиноведения НАН РК.

Защита диссертации состоится п,20" (7 < Ч 1994 г.

, (¿-О

в IЧ ' часов на заседании специализированного совета КА 14/А 01.02. 01 в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47, ауд. (С -.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан ".б- с?пЬглх 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

А

А.Ш. Рахматуллаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию движений тел,с помощью аналитических и численных методов, в ряде ротационно-симмет-ричных неинтегрируемых потенциалов, рассматриваемых в звездной динамике.

Актуальность тема В звездной динамике, равно как и в других областях механики часто изучаются движения тел в нзли-.нейных неинтегрируемых потенциалах. Изучение особенностей развития траекторий тел в таких потенциалах различными методами позволяет понять закономерности в движении звезд в реальных звездных системах, в строении звездных систем, их эволюцию под действием сил гравитации и другие явления. Однако изучению доступны только движения в таких неинтегрируемых потенциалах, которые мало отличаются от интегрируемых. Изучение таких движений с помощью методов теории возмущений актуально.

Цель работы

1. Аналитически исследовать движения в потенциалах Конто-пулоса, Энона-Хейлса и других.

2. Найти приближенный третий интеграл для потенциала Куз-мина с малым возмущением и исследовать с его помощью свойства движения в меридианальной плоскости. ■

3. Определить форму третьего интеграла для некоторых неаналитических потенциалов при наличии малых возмущений.

. 4. Исследовать численно и аналитически движение тел в потенциале Оорта, представляющем собой комбинацию Ньютоновского и квавиупругого потенциалов.

Научная новизна.

- При интегрировании уравнений движения в потенциалах

Контопулоса и Энона-Хейлса известных в галактической динамике применен вариант метода Линдштедта-Пуанкаре, названный в данной работе методом Витта-Горелика. С помощью этого метода можно не только проинтегрировать уравнения движения в резонансном и в общем случаях, но пересчитать все моды периодических траекторий;

- метод Контопулоса впервые применен к интегрированию уравнений движений в возмущенном потенциале Куэмина (другие названия - пот. Штеккеля, Уиттекера), выраженном аналитическим рядом. В результате был получен приближенный третий интеграл для возмущенного потенциала Кузмина. С использованием полученного приближенного интеграла определены особенности движения тела в потенциале Кузмина с малым возмущением;

- обобщением известных неаналитических потенциалов Кузмина получен общий неаналитический потенциал Кузмина в виде ряда по степеням координат. Методом Контопулоса для движений в этом. потенциале получен третий неаналитический интеграл. Рассмотрены резонансные формы интегралов для аналитического и неаналитического потенциалов Кузмина с машми возмущениями;

- аналитическими, и численными методами исследовано движение в потенциале Сорта. С помощью графостроителя построены графики траекторий движения в меридианальной сопутствующей плоскости. Полученные траектории исследованы на наличие складок и элементов перехода к хаосу.

Практическая ценность работы.

- Примененный при интегрировании уравнений движений в потенциалах Контопулоса и Энона-Хейлса метод может быть исполь-

вован при интегрировании движения в других елабонелинейных потенциалах, применяющихся в других задачах звездной динамики и небесной механики;

- полученные методом Контопулоса третий аналитический и неаналитический интегралы в соответствующих потенциалах Кузмина с малыми возмущениями может быть использован в практических расчетах движений тел с применением ЭВМ;

- программа расчета траектории движения тел в модельном потенциале (Оорга) может быть модифицирована для применений при расчетах движения тел в других потенциалах.

Результаты исследований нелинейных неинтегрируемых динамических систем могут найти применение в различных областях естествознания. Можно указать четыре основных области, в которых могут быть применены результаты наших исследований: во-первых, в небесной механике при исследовании движения небесного тела в сложном гравитационном поле межпланетного пространства. Во-вторых, при исследовании движения электронов в эамагниченной плазме (при некоторых ограничениях, исключающих излучение электронов). В-третьих, при исследовании движения звезд в сложном потенциале галактик и скоплений. В-четвертых, в химической и молекулярной физике, при анализе движения атомов и молекул в межатомном межмолекулярном поле.

На защиту выносятся:

- применение модифицированного варианта метода Линдштедта интегрирования уравнений движения в слабонелинейных потенциалах Контопулоса и Энона-Хейлса;

- определение методом Контопулоса вида г^иближенного третьего интеграла для возмущенного потенциала Кузмина в общем

и резонансном случаях и исследование свойств траекторий в ме-ридианальной плоскости с помощью найденного третьего интеграла;

- определение методом Контопулоеа вида приближенного третьего интеграла для возмущенного неаналитического потенциала Куамина в общем и резонансном случаях;

- исследование аналитическими и численными методами свойств движения в потенциале Оорга, моделирующем потенциал галактики.

Апробация работа Работа докладывалась на:

1. Всесоюзной XVI зимней астрономической студенческой конференции "Физика Галактики", г.Челябинск (2-6 февраля 1987 г.).

2. Всесоюзном совещании "Динамика гравитирующих систем и методы аналитической небесной механики", г. Алма-Ата (22-24 сентября 1987 г.).

■ 3. Совещании "Кинематика и динамика звездных скоплений", г. Ленинград (15-22 мая 1988 г.).

4. Совещании рабочей группы "Звездные скопления и агрегаты" Астрономического совета АН СССР, г. Тарту, Эстония (15-19 мая 1989 г.).

5. Семинарах в кШ им. В. Г. Фесенкова HAH PK

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

в работах 1-7, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 106 страниц машинописного текста, 8 рисунков. Библиография содержит 114 наименований.

- 7 -

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор литературы по рассматриваемой проблеме, обоснована актуальность данной постановки задачи, сформулированы цель работы и общая постановка задачи, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе уравнения движения в потенциалах Контопу-

• лоса:

где £ - малый параметр, и Энона-Хейлса:

где - малый параметр, интегрируются методом последовательных приближений в форме Малкина или Витта-Горелика. Указанный метод применительно к нашей задаче несколько упрощен и усовершенствован таким образом, что может применяться к задачам с любыми начальными условиями. Показано, что предлагаемый метод по сравнению с примененным Даву* вариантом метода Линд-штедта, обладает рядом преимуществ: а) он может быть применен как в резонансном, так и в общих случаях, б) накладываемые на решения условия отсутствия перекачки энергии между парциальными ■ системами позволяют пересчитать все моды периодических ре-, шеиий. Наиболее сильное взаимодействие между парциальными системами 'наступает при резонансе частот колебаний

1. ОаУоизЬ, Е.: Се1ез1. МесГ>, 31, 293 (1983).

2.'-1 . При других соотношениях частот резонансные явления менее заметны.

Решения ищутся в виде рядов по степеням малого параметра:

к= (?<«>>+1^.^(2)+. ...

+ . . . (3)

где

Я® и представляют собой опорное решение:

/Л а +9^

( . (4) '

2®= бсоЗ^^^) а последующие приближения Я^ и считаются малыми степени £ь. В данном методе Сх)^ и представляются в виде аналогичных рядов по степеням малого параметра: ; ,

В этом заключается отличие от варианта, примененного Даву. В последнем методе ищут пс?правки к одной определенной частоте, а парциальные частоты считаются кратными ей, а значит, соизмеримыми между собой.

При подстановке ряда (3) в уравнения движения в потенциала (1), эти нелинейные уравнения заменяются системами линейных уравнений. Уравнения нулевого приближения представляют собой уравнения движения двумерного гармонического осциллятора.

Уравнения первого приближения:

с- I (6)

- 9 -

% {шг от^щи щ+ед ^

+ ¿гЬ + Ъ-Ог!} +2 +4Г

и т. д.

Решение будет квазипериодическим, если положить равными нулю члены, дающие начало секулярньгм членам в решениях. В общем случае, в первом приближении эти члены:с в первом и втором уравнении. В результате получается условие

во втором приближении получены условия

ЪВ-Я-4 (9)

за исключением решения а- 0 (центрально-периодическая орбита) получены следующие поправки к частотам.

£

ЯР® (10)

В двумерной системе,вследствие взаимных связей между парциальными системами, частоты .всегда будут отклоняться из состояния (10). что ведет к появлению вековых членов в решениях и попеременной перекачке энергии между степенями свободы с периодом:

. ъЭе ■ ' '

Перекачка энергии отсутствует при периодических колебаниях. Отсюда условия периодичности- решений получаются в виде:

оМ

Из уравнения (10) получим

а

■ (13)

Преимущество метода Витта-Горелика от варианта, примененного Дазу, в том, что учитываемое явление перекачки энергии между степенями свободы позволяет исследовать не только периодические, но и квазипериодические движения.

При резонансе 2:1 возмущение проявляется уже в первом приближении. В уравнениях (6) к резонансным относятся члены cos гв первом уравнении и COS во втором.

Условие стационарности решений дает

^cosZ92 + 2AdfJacos9¿=o ;

. fsihtfy+ZAtLfaSihCdTO (U)

£аб SLhC&í-Oz) +£BJ?£<$SinQrO

Условие разрешимости этой системы сводится- к следующему

о-^г&г+тг (is)

Условие ограниченности решений получены в виде:

2d%&6+ta6=0 <16)

Условие периодичности, записываемое и в этом случае в виде 112),'приводит к следующему соотношению

6г=8С? ' (17)

При резонансе 1:1 аналогичный анализ приводит к следующим ре-

зультатам:

а) при1 К - четное)' и соотношении амплитуды:

(18)

б) при . где КЛ - нечетное, и соотношение амплитуд зависит от того, равно ли нечетному или четному числу Я" . В первом случае получается предыдущий результат. Во втором .случае получается:

аг-^6г (19) -

в) при , где ©2 равно полуцелому числу 5ДГ ■ , периодическое решение возможно при

а2-^вг его)

Большинство полученных выше результатов подтверждает и уточняет полученные ранее другими методами.

Методом Витта-Горелика проинтегрированы уравнения движения в потенциале Энона-Хейлса (2). Показано, что при движении в этом потенциале существуют три семейства периодических решений: .

а) а. = 0, уравнение траектории в этом случае

(21)

б) . периодическое решение соответствует

а*=±в (22)

В) эллиптическая циркуляция.

Таким образом, метод Витта-Горелика оказывается удобным при интегрировании уравнений движения в гаиактических потенциалах, близких к интегрируемым.

• ,. - 12 -

Во второй главе' потенциал Кузмина представлен рядом:

Ф^Еч^г*1 > где

- произвольны, (23)

Для тела, движущегося в этом потенциале, сохраняется, третий, квадратичный по скоростям, интеграл

2(24)

где называется усечённым потенциалом, производным от потенциала (23). С использованием формального метода, разработанного Контопулосом, определена форма третьего интеграла для тела, движущегося в потенциале (23) с малым возмущением:

(25)

Для потенциала (25)-формальный интеграл ищем в виде рядов:

Метод Контопулоса органически свяван с методом Линдштедта-Пуанкаре. Суть состоит в том. что решение (26) подставляется в бееотолкновительное уравнение Больцмана

и приравниваются члены с одинаковыми степенями 4 и $ .

•I ¡¡I •

Полученные С и I - представляют собой многочлены от коор-

- 13 -

динат и скоростей до шестого порядка

С помощью данного интеграла получено уравнение огибающих линий к траектории движения в сопутствующей плоскости. Их удобнее изучать в сфероидальной системе координат:

(28)

В этой системе координат поправка С записывается (после исключения Уд с помощью интеграла площадей) в виде:

(А и 2 (29) .

где - функции координат и параметров :

явный вид ^ и ^ представляется многочленами по сте-'

пеням координат , £ .

л.

С помощью известной методики, путем совместного решения уравнений (исключения компонент скоростей)

к=+^ %г4-г $* о!)

определяется уравнение для огибающих

{^-¿Ус'- ¿^'ХСтг+лЯг'-тсад

где тг ¿2

Х * ^¿йг "^¿ф* '^оЩ^Ш у" I" ¿" У Iй #

Решение, определяющее две пары сторон "ящика", представляется в виде

е ^0)2"."-» Л г-/'

где

Мо) ¿(о) 1 ^ ^

с^ и являются4решением уравнений:'

С^^О . соответственно.

Отсюда видно,' что в возмущенном случае огибающая "ящика" отличается от огибающей в невоэмущеняом потенциале на малую величину, совпадая с ней в вершинах "ящика" 1

Рассмотрен класс плоских потенциалов, зависящих от |н). Они могут быть представлены рядом:

Ф

(34)

где гаа'°>2МГ пр°ИЗВ0ЛЬНЫ >

Движения тел в поле с таким потенциалом регулярны, поскольку сохраняется третий интеграл Кузмина. Для малого возмущения вида:

(35)

снова применен метод Контопулоса и определен третий интеграл в виде бесконечного ряда по степеням малых параметров.

+¿1*+... об)

В работе дано только первое приближение.

Рассмотрены резонансные случаи потенциалов (25) и (34), при которых найденные интегралы теряют смысл. Это случаи 1.0^0=1^ 2. 3. Для потенциала (25),

и случай Оо^ЯрдД,2 для потенциала (34).

Определены формы приближенных интегралов для резонансных форм потенциалов.

В третьей главе изучено движение в потенциале Оорта, являющемся комбинацией двух известных: потенциала тяготения Ньютона и квазиупругого потенциала

Л- -

'ТРЧГ (37)

Такая комбинация моделирует потенциал галактики на некотором интервале расстояний от центра системы. Рассмотрено движение в ньютоновском потенциале с малым квазиупругим возмущением.

Ф

"""Яр5? А^д+н^ (з8)

Изучено движение в модельном потенциале, где обе компоненты сравнимы друг с другом. Показано, что подобная задача вполне

- 16 -

разрешима в каждом конкретном случае. Уравнения движения в модельном потенциале

проинтегрированы на ЭВМ БЭСМ-6, а результаты счета с помощью методов машинной графики вычерчены в виде траекторий в сопутствующей меридианальной плоскости. В результате, отмечено отсутствие на графиках траекторий наличия складок поля направлений. Подмечены некоторые особенности изменения траекторий тела в зависимости от соотношения ньютоновской и квазиупругой компонент. В конце главы приведены наиболее характерные графики и приложена программа расчета в виде распечатки.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В итоге диссертационного исследования показано следующее:

а) при интегрировании уравнений движений тел в галактических потенциалах,'близких к интегрируемым, метод Витта-Горелика, являющийся одним из вариантов метода Линдштедта-Пуанкаре, позволяет исследовать не только периодические движения, но и квазипериодические движения, при которых происходит перекачка энергии между степенями свободы-,

б) для тела, движущегося в возмущенном потенциале Кузми-на, методом Контопулоса найден формальный третий интеграл движения в виде ряда по степеням малого параметра;

в) с помощью найденного третьего интеграла определена форма огибающей к траекториям в проекции на меридианальную со-

путстукхцую плоскость;

г) для тела, движущегося в возмущенном неаналитическом потенциале Кузмина, методом Контопулоса найден формальный неаналитический третий интеграл в виде ряда по степеням малого параметра;

д) аналитически и численно исследовано движение в потенциал Оорта, представляющем собой сумму потенциалов поля центральной массы и квазиупругого поля. Результаты численного интегрирования получены в виде массивов, по ним вычерчены графики. отдельные из. них представлены в работе. Аналитически исследовано движение в слабонелинейном потенциале Ньютона с малым квазиупругим возмущением. В результате численных исследований выяснилось, что движение в потенциале Оорта отличается, особой упорядоченностью, выраженной тем фактом, что на огибающей к траекториям в сопутствующей плоскости отсутствуют складки поля направлений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ ■

1. Кенжалиев Л- И. Движение звезд в потенциале Контопулоса //Динамика гравитирующих систем и методы аналитической небесной механики. - Алма-Ата: Наука, 1987. - С. 25.

2. Генкин И. Л. , Кенжалиев Д. И. Движение тел в полях, заданных неинтегрируемыми потенциалами //Динамика бесетолкнови-тельных графитирующих систем. - Алма-Ата: Наука, 1988. - С. 40-45.

3. Кенжалиев Д. И. Движение звезд в потенциале Контопулоса //Астрономо-геодезические исследования: Динамические и Фчзи-

ческие характеристики-небесных тел. - Свердловск, 1988. - С. 51-52.

4. Генкин И. Л., Кенжалиев Д. И. Нормальный интеграл движения для потенциала Кузмина с малым возмущением //Астроном, ж. - 1989. - Т. 66. - С. 428-431.

5. Кенжалиев Д. И. Неаналитические интегралы движения для возмущенного потенциала Кузмина //Вопросы небесной механики и звездной динамики. - Алма-Ата: Наука, 1990. - С. 91-92.

6. Кенжалиев Д. И. Взаимосвязь резонансного и нерезонансного интегралов движения ввезд для потенциала Кузмина с малым возмущением //Тезисы конф. молодых ученых и специалистов КазГУ им. С. М. Кирова. - Алма-Ата: Изд. КазГУ, 1988. - С. 226.

7. Кенжалиев Д. И. Применение метода последовательных приближений для объяснения движения в потенциале Контопулоса //Тезисы докладов XIV научно-теоретической конференции преподавателей Джезказганского педагогического института - Караганда, 1990. - С. 354-357.

Кенхалиев Д.И.

Интегралданута яуыц потенциалдармен сипатталатын ■ epicTepfleri денелердхц щозгалысын зерттеу

ТУЖЫРЫЫДАЫА

Контопулоо жене Энон - Хейлес погенциалдарындагы цозгалыс тевдеулер1 интегралданган.Шешхмдерге шектелгендхк шартын жене epKiHfliK дережелер1нхц арасында энергия адмасуыньщ тежелу шартын Tycipy ардылы гтйеде mymkih тербел1отердцц модаларын анык,тауга мумйндхк пайда болада.

Цузмин потенциалында шамалы уйтцылы epiCTe цоэгалган дене ybiih цозгалыстьщ ymiHmi интегралы аныцталган. Осы интегралды цолданып, траекторияга орайжанаопа сызыгыныц тевдеулер1 цорыты-лып шыгарылган.

Аналитик алый;Сыз Кузмин потенциалында шамалы уйтцылы epic-те цозгалган дене ущн цозгалыстьщ YmiHmi интегралы ашцталган.

Оорт потенциалындагы цозгалыо тецдеулерх аналитикалыц эдаспен кэне есептегш мвшинаныц кемегшен интегралданган.

Kengaliev D. I; p

Th& ■ study of bodies motions in - fields, like integrable ones

Abstract •;

The equations of motions in the; Contopoulos' and Henon-Heiles' potentials is approximate integrated. The condition of limitations and condition of absence; of energy pumping between degrees of freedom, that putted on the solutions, is allowed to studied all modes of periodic oscillations.

The third integral of motions for the Kuzmin's potential with small perturbation is derived and equations of' envelope to traektory is obtained.

- The third integral of motions for the nonanalytic Kuzmin's potential with small perturbation is derived.

The equations of motion in Oort's potential is numerically and., analytically integrated.

Подписано в печать 15.03.94. Формат 60x84/16. Бум.тип.№ 2. Печать офсетная. Усл.. леч.л.1,16. Усл.кр.-отт. 1,33. Уч. -изд.л.0,76. Заказ 250. Тирах ICO.

Типография КазгосИНТИ, 480096,гг Алыаты, Богенбай батыра,221,