Новый интегрируемый случай дифференциальных уравнений аналитической динамики и его приложения в небесной механике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ЯРСЗЛЕЦ .1ЕХАНЯКЙ РАН

На правах рукописи

жжев джея архиюея

^аггегкй'уе.к! случая ;л::ере;2;длд>2Ш!Х уравнения А^^ЛГЛИЗОЮЯ ВЗШГШИ и его пкшезннл '

В 1НШШ1СЛ 13ХШ1Ш5

Спешюзънсса'ь 01.С2. 01 - 'Гесретячзскал механика

' Лвторефэрат диссертации на соисгсаниэ ученой степени доктора наук

5-ЬскЕа 1392 г.

Работа выполнена в Ыосковском институте инженеров землеустройства.

Официальные оппоненты: чдек-корр. РАН. профессор Журавлев В. Ф.; доктор физика-ыатем. наук, профессор Яров-Яровой и. С.; доктор технических наук, профессор Урмаев Ы. С.

Ведущей организация: КГУ им. и. Е Ломоносова

Зашита диссертации состоится " " 199 г. в

час. на заседании специализированного совета Л 002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Иэсква, пр. Вернадского, 101, ауд. 235

С диссертацией кюлао ознакомится в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан " " 19Э г.

Ученый секретарь специализированного совета,

канд. Фиг.-мат. наук / ,, А.КЫеняйлсв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. Актуальность дынного иссх догчния обусловлена необходимостью изучения дви. ~>ния как искусственных так и естественных небесных тел. Проблема эта, эсобенно в с. ви с последними достижениями космонавтики, на современном этапе интересует широкий круг ученых, и прежде вето пстрономов, геофизиков и геодезистов. Так, определение параметров гравитационного поля планеты и распределение масс внутри нее успешно решатся с помощью наблюдений за дв 'жением спутников. Нь исключено появление в будущем и других не менее вадных падач, решение которых тесно связано с использованием и^людек'"} ьэ. движением спутников планет (Земли),

Целью работы является, во-первых выявления наиболее общего случая интегрируемости в квадратурах дифференциальных ;рап-кений движений точки в гравитационном'поле абсолютно твердого тела и качественного и количественного исследования сооч-ветсгвувхего движения; во-вторы" нахо?хдение вовмолно более обеих прс .глуточных потенциалов, допускающих инте4 риру .¡ость в квадратурах дифференциальных уравнений движения спутника и *о-лее точно описывающих потенциалы гравитационных полей реальных тел и качественного и количественного исследования соответствующего двйгешгя, а такта на их основе разработка алгоритма расчета промежуточных1 орбит; в-третьих получение нсевозмок-ных интегрируемых в квадратурах канонических систем дифференциальных уравнений, путем решения соответствующего нелинейного

уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби.

Научная новизна результатов работы. В результате исследований удалось:

1) найт новый интегрируешь случай дифференциальных уравнений движения материальной точки в нулевой меридиональной плоскости тела, имеющего три взаимно-перпендикулярные плоскости геометрической и динамической симметрии, есгли произвольно взять п-нолъную -теть, вторую секториальную гармонику и специально подобрать с- стори^шьные и "ессеральные гармоники четвертого и более ьысоких порядков; (

2) и найденном инте. рируе' )м случае провести качественный анализ «видений и эллиптические координаты точки представить в виде уело. ю-г"оиод. »еених функций времени;

построить промежуточный потенциал нор), льного гравитационного поля планеты, удовлетворяющего условиям: 3.1) совпадает с точным потенциалом точностью г^ второй зонально.. гармоники и в, точках зкватс- иальной плоскости; 3.2) дифференциальные уравнения движения '"гтегрируемы в квадратурах; 3.3) возмущающий

4) на основе построенного промежуточного потенциала провести качественн1'" анализ движения спутника и разработать обший алгоритм I: троения фомежуточной орбиты для ограниченных движений; 1 ^. еформул'-оовать и доказать теорему, аналогичную теореме -Лиу-вилля !> теории канонических систем, имеющих УЬ первых интеграл >ь : инволюпии;

получить новое доказательство теоремы Якоби о канонических ;>*'Обра;, маниях;

разработать способ нахождения интегрируемых уравнений • Га-

квадрату синуса наклона орбиты;

миллтона-Якоби аналитической механики, путем решения вы! денной в работе системы уравнений в частных производные 8) обобщить теорему Шгеккеля в теории интегрирования канонических уравнений методом разделения пере' ^ 'ых на случай нестационарной канонической системы.

Практическая ценность результатов работы. С казанные в диссертации теоремы могут быть применена для решенья конкретных задач, где используются канонические системы дифференциальных уравнений. С помощью общего разработанного алгоритма мотаю строить теорию движения спутников больших планет ( литер, Сатурн и т.д.), так как они близки к симметричным планетам и [г'слон движения почти всех их спутников близок к нулю. Эти спутники такте не подвершены действию атмос^ы и мотзи пренебречь в первом приближении влиянием других небесных тел.

Апробация работы. Отдельные части и ь^я работа в це..:ом были дологены автором на научных семинарах («афегры теог этической механики МГУ им. Ломоносова (руковод. профессора В. А. Егоров, В. а Белецкий, М. Л. Лидов), на совете по небесной механике и астрономии ГЛИШ при МГУ им. Ломоносов , на кафедре-космической геодезии и навигации НИИГАиК, в иисти,"/те прикладной ча-1 ",:зтша1 АН СССР, в институте проблем механики РАЯ

Структура и объем работы. Диссертация состоит из зведе-нкя, пяти глав основного текста, зшслючения и списка литературы, насчитывающего 2В наименований, содержит 4ыошиноплсных страниц и два рисунка в основном тексте.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Прегде всего диссертация представляет собой развитие идей

и методов, предложенных в кандидатской диссертация автора "Новая модельная задача небесной механики и ее приложения", 1978г.

Во введении сформулирована цель работы, показана шггуаль-ность ""»мы диссертации и практическая ценность полученных результатов, дано место диссертации среди других в той области исследований.

Как известно, разложение в ряд по сферическим функциям гкпенщ-чла притяжения на внешнюю точку неподвижного абсолютно твердого ?ела, имеющего три взаимно-перпендикулярные плоскости i .ометрической и динамической ¡имметрии имеет вид

со п,^ г vi- (, j

И -1 ^ - 1 -1 '

где J{ - постоянная притяжения, ¿iL - масса тела; %о-средний экваториальный радиус тела; J2}1< C3l,t а„ -безразмерные поет' ¡иные, характеризующие отличие тела от тела с прической структура; ^^(ii^s) ' пшшномы 11 присоединенные

Функции Лежандрг" \f ^ -соответственно радиус-вектор, широта и долгота д. лмущейся точки, связанные с прямоугольными координатами X S направленными по главным осям центрального эллипсоида инерции тела, формулами

J( = г c^Y'c^X, 1

% = * ыяъьх, V г = г ,

Если тело вдобавок обладает геометрической и липами .еской осью симметрии (осесимметричное тело) потенциал (1) примет вид

11 = ?-

D случае те когда Touita 'Р постоянно движется в плоскости Х'В . т.е. у " потенциал '1) будет

Its«- . (4)

рЭ п. , . v

MS». '

Ряды (1), (3), (4) абсолютно сходятся при "Ъ > t где

- расстояние наиболее удаленной" точк"' поверхности тела от его центра ¡/лее и любых У и Д ^г 5 V I Л.+ с) для любого тела. Одной из основных задач теоретической прикладной небесной иэхаликн является интегрирование в квадратурах .тифференцигиь-1шх уравнений движения материалтой точки с потенциалами (1). (3)

и (4). Однако« в общем случае, при любых «

сь »»I ti tff li

эта задача до сих пор не решена. В связи с от им условием по тавнм следующую задачу: найти наиболее общий набор постоянных Jan Csn s.а при 1:от°Р11Х дифференциальные уравнения двите-ния материальной точки допускают интегрирование в квадратурах и по возможности исследовать это движение.

Первый результат в этом направлении это задача Кеплера,

которая получается если в качестве параметров С-вп^и взять О, • Соответствующий потенциал имеет вид

Ъ

Зад- ча Кеплера наиболее полно разработанная задача :еоретической и классической небесной механики.

следующий результат обобщенная задача двух неподвижных центров, потенциал

которой получас.ся, если взять

С - как „¿йствительный так н чисто мнимый комплексна]

параметр.

В тех случаях с Земля) когда Эс/ ... малы по сравнению с ^7*2 гравитационное поле, создаваемое потенциалом \л/ близко г. полю, создаваемое потенциалом (3).

'ГюОлишая задача двух неподвижных центров также подробно исоледиьанс

Для потенциала (4) наиболее I "мций случай интегрируемости в кьадрачурах 1,>А ж ь 1975 г. И. С. Козловым. Исходя из интегрируемой г-адачи четырех неподвижных центров, потенциал которой

ВИД;

4 т 1

Ъх Ъи

» , л?

7* (л-с/ + ^

г1 =

(5;

ему удалось, путем подбора постоянных /«"У-, !п"; совпал чия потенциала разлокенный в ряд по сферическ .м функциям, с

потенциалом (4) с точностью до второй зональной и второй

секториалыюй С4г гармоник. В настоящей работе получен след: гощий результат: если произвольно взять 7«,,- • • ;

то вовмокно подобрать постоянные п Ш ! ц)«-"^

так, что дифференциальные уравнения движения материальной точки с потенциалом (4) будут интегрируемы в квадратурах, т.е. найдено четнрехпараметрическое семейство точных решений С сконеч-но-пара).;етричес1сого гравитационного поля.

Этот результат получен сравнением интегрируемого потенциала

где Щ^ц находятся из (5), -произвольная функция,

с потенциалом (4), и доказано их совпадение при определенных условиях.

Глава 1. состоящая из пяти параграфов, посвящена интегрируемые каноническим системам дифференциальных уравнений анали-

тической механики. В §1.1 доказаны теоремы 1, ? являющиеся аналогом теореш Лиувилля в теории канонических систем, имеющих УЬ первых интегралов в инволюции. Теорема 1. Пусть 1) система

0(^1 . 9И1 о/Р£

Ы-1 - В Р1 ' с/*

о! 5,

ы-ь

3 У 4

Тп'

(7)

гдьи±(с!1,¥>1) "5 ¿, ~ ФУНКВДЯ Гамильтона, имеет &1г-

независимых первых интегралов вида-

(8)

где - произвольные постоянные интегрирования;

Я) найдено какое-либо частое решение V/ ^г., 1 £ уравнения Гамильтон?-Якоби

такое, что

32\/

<2) —

^о.

(10)

Тогда еис ема остальных 2 К независимых первых интегралов уравнений (7) ищется по формул; .1

р -А ч.-.-Эу.,

дЧс 1 ЯП СИ)

с произвольными постоянными (¿¿^'¡^которые возникают при подстановке ¿¿(Ь, , ^ • «¿^ , полученные из (8) и

I /

за :ене /_р,г нае^^.

Если теперь в качестве Н^ взять функцию

где И и К произвольные функции своих переменок, то система (7) распадается и теорему 1 моет сформулщ. вать ч виде теорем 2.

Пусть 1) для некоторой произвольно заданной функции к, известно общее решение

динамических уравнений'

Эл

НА ~

& . 1г.

(13)

(14)

где с1 I. - произвольные постоянные интегрирован..л;

2) найдено 1сакое-либо решение •£$ урапньни». з

чаетт:х производных

таксе, что

I .

(16)

Тогда система 2 первых интегралов каноничес1С1х уравнений

с/<?«_ ЭЫ с1Р£ с) И

(17) -

ыг " ЭР1 > ~~ дй1'

где I ЧI - обобщенные координаты> Р - импульсы.

с 2 и- при .збольчыми постоянными

Теорема 2 является обоще.лгем теоремы Якоби в теории интегрирования канонических истем (следствие 1). С помощью тео-рьыы ^ приведен^ новое доказательство теоремы Якоби о к?"они-ч-.'ских пр( бракован!...х (следствие 2). Здесь же доказаны две човые теоремы 2, 3 (следствие 3, 4), касе циеся интегрируемых м.шони"еских систем дифференциальных уравнений аналитической м^ х&ники.

Теорема 2. Еслл известно частное решение о

уравнения (15), довлетворяющее условию (16) и общее решение системы ^ 14) или (17), то полный интеграл уравнения в частных производных (151 находится посредством квадр<..ур. Или, воспользовавшись теоремой Якоби об интегрировании канонической систем) теорему ^ можно сформулировать и так.

Теорема 2'. Псиный интеграл уравнения в частных производных (1Ь) находит я в квадратурах, если известно частное реше-

ш°ч. удовлетворяющее условию (16) и общий интеграл при К = ° или Н =0 .

Теорема 3. Если две канонические системы интегрируемы и они могубыть переведены одна в другую путем канонического преобразования, тг указанное каноническое преобразование может

Формулам

(18)

быть найдено методом вариации произвольных постоянных Лагран-га.

В §1.2 на основе результатов §1.1 пострс но преобразование н. ^

и

# ГС* '4

о >Т!

.р г ~ \

Ч с у)

г г 1

( с/?,-

о

,4>.

где введены обозначения Зг*

е

(

Л Ш) у

* Ыи)

ь

гъ

(о

| " ■ 11ЧМ1Д1Ш11,

у (¿"V-, И-),

П>

> ^ 1,

(1

(20)

переводящее интегрируемую систему дифференциальных уравнений

с/«?; Ыи)

Д-Ь

(21)

где

>0 И ФУЖЦИИ А'^С)

периодические с периодом

- 12 -в систему

(22)

вшшсанную в переменных "действие-угол".

Как частный случай подробно рассмотрены системы Лиувилля, для которых обобщенные координаты представлены в виде рядов условно-периодических функций времени с доказательством схо-чмости при всех ■ §1.? посвящен уравнению Гамильтона-Якоби вида и.

(23)

где, в обцем случае, все коэффициенты I и потенциальная

энергия 1ч "О заьисят от обобщенных координат и времени Получены необходимые и достаточные услс ия для того, чтобы заданная функция • была полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби (21. аналитической механи,.. (теорем 4). Если ввести обозначения

А = ~

ФО,

< 24)

3=

ЗУ;

9 «Ьи

Эу

I

эу ... Ъу, УУ ... М

Э^З^-н Э. Лп

(25)

здесь определитель r-V- получается из опред л> :еля зажни его К-го столбца столбцом

/-111- ^ Эй Ъ

путем

. эау 3& Del.»,

>

(26)

ft. - Л1

t 5-

(27)

то справедливо.

Теорема 4. Для того, чтобы функция \liit ^'А')., довлетв' .мю-

i

соя условия (24), была полным интегралом какого-либо уравнения вида (23), необходимо и достаточно, чтобы функции В; Ji; fi,rf,l) из (27) lie зависели от произвольных постоянных

На основе, теоремы 4 доказана теорема й, поев ляюпгч находить ног,^ интегрируемые случаи канонических уравнений. Теорема 5. Пусть 1) даны- It.1 -f-и. произвольных функций

и ^ (i,%shs)из которых Cjy удовлетворяют уелвию

Л = сил lcij\£°>

2) функции

(28)

- ^

Ъ

("9)

\

где

Л к*

CMl ... ») ' • • с. ии

(30)

в определителе ¿2) и на месте К-го столбца стоит столбец

ir-

(31)

не зависят от постов.шых сЬ V . 3) система уравнений в частных производны:

имеет решение

Тогда функция является полным интегралом

уравне. 1Я (23) е ли [ч ¡, ~ В ¿($¿>2) и

л.мя каких-либо конкретных значений , входящих в область un, деления функции ¿,<¡l í) -

В частности, с помощью теоремы 5, ■ удалось (теорема 6)

обобщить теорему Шгеккеля об интегрировании методом разделения переменных канонических уравнений на нестационарные системы. Соответствующий результат имеет вид, введя обозначения

гле

Д:

,-Д. . -^ -

(33)

Ь=\с о,

КС*)-

(34)

»

И

(£5)

справедлива.

Теорема 6.- Для интегрируемости у; внен: 1 (23) кэтодси раг деления переменных необходимо и достаточно существование ¡1? ->3 функций , через которые коэффициенты

) вырезаются формулами (33) и (35).

В §1.4 с помощью М' года Якоби, являмдиг.юя, как отшчено частным случаем, приведенного в §1.1 метода, прои. .едено интег рирование уравнений двидения материальной точки в консерватив ном силовом поле достаточно общего вида, с потенциалом

<3б)

г"е 1 ^(ъТг)- любые комплексные Функции,

такие, что X/ У, действительна, а

г* = х^Ч*-^

_ '

(37)

квадраты рал..усов векторов от двух неподвижных центров до точки Р; С- - как де£. .'вительный так и комплексный параметр, X/ В - прямоугольные координаты движущейся точют.

Полученные здесь ¡ак частные случаи потенциалы могут с высокой степенью точности аппроксимировать потенциал произвольного равномерно вращающегося гокруг перманентной оси абсолютно зердого тела с учетом не только зональных гармоник, но и части долготам членов.

1. пусть фф=о, фг-0, ^^^«(г.+г«).

Тогда силовая функция (36) приобретает вид

г [Ч ъг)> (зз)

что совпадао" с симметричным вариантом силовой функции обобщенной вадачи двух неподвижных центров.

2. Пусть теперь Ф=0, <г>, =0, а. ^¿('Ч -произвольная функция переменной "Н+'^г . Тогда

и= г1--гг ' (а»"

Систему дифференциальных уравнений движения материальной точки с силовой функцией (39), если ввест.. обозначения

¿4 (= ФМ+*Ьг- и

lil(w) - <¿1 ,

моига привести к виду

sil - \fui))_

c'~ iVc1 fc* ' ыг ~ 7 -<- cM? ' el vy

^ (s'-^íi-h1) '

В дальнейшем подробно вместе с практическими пр делениями, изучена система (41) для любой функции Ф^ (J) в (40).

Следует отметить, что возможности для небесно/) механики и космической геодезии, получен: го здесь потенциала (36), в настоящей работе далеко не г черпаны и необходимо раскрыъ гь все новые его связи с потенциалом гравитационного поля абсолютно ТВ' ;>дого тела, ршп.омерно вращающегося вокруг nej анент-ной оси.

В §1. 5 получены три первых интеграла уравнений движения материальной точки с силовой фук цией (39),' которые необходимы для вывода связи произвольных постоянных интегрирования с прямоугольными координатами и скоростью точки. Они имеют вит

Обозначив орбитальную скоросча точки че, .-э V=s и, воспольёовавшись тем, что поле сил стационарно, получим интеграл энергии

который в сжатых эллипсоидных координатах имеет вид

V --; \ ^¿¡Ъ. (43)

Далее, так как поле сил симметрично относительно осп 2 , то проекция вектора кинетического юмента ка ось 2- постоянна, т. е. сусзсть. ет интеграл площадей

который в сфероидальны/. координатах ^ будет иметь вид

Введя "борначения

Л = (46)

можно найти недостающий третий первый интеграл

(45)

(

(47)

3

или в прямоугольных координатах

*--— • (48)

Интеграл (48) вместе с интегралами энергии и площадей дает вовмохшость проинтегрировать уравнения движения в квадратурах до конца

В главе 2, состоящей из шести параграфов, рассмотрено движение спутника в одной из трех взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии тела и построен потенциал гравитационного поля, допускающий интегрирование б квадратурах уравнений дви-гсения.

В §2.1 дана постановка основной задачи исследования: найти наиболее общий пот нциал гравитационного поля тела, допускающей интегрирование в квадратурах дифференциальных уравнений движения материальной точки

^ ЭЛ' ' * Ъу ' 9 2 (49)

с потенциал м, определяемым одной из формул (1), (3) и (4).

В 02. 2, - §2.3 получено разложен» потенциала

..Р

\д/= л

'7

I

(50)

где - масса т чк. - даются формулами (37).

по степеням £•/ 1. в виде

2

1 = 1

где «¿^ г - Ц - постоянные, независящие от ^г«' под-

нежат определению, а - зависящие от СГ£¿,тйт:з

необходимо определить.

В §2. 4 получены формулы для многочленов

/1 / . г \ Г7 л* (а 1+2 к +ги / /

¿сО

являющихся соэффициенташ разложения потенциала (БО) в ряд (61).

В §2. б найденные многочлены '52) представлены посредством удобных формул чер-з многочлены и присоединенные функции Лэ-жандра

О-Ъ. и К ь^у) КI. ^ +

где козффг:" >нты

<4. (к, I -к-1) ы (^-¿>-1)Н(10и

(53)

¿! ¿—л

<? г©

ю зависят от 1 ^ 0 е * & 1

¿ >- (Ь гЛк), О! = (-1) .'/= О.'.' = 4 .

В частности для ¿^ »+1, ] ~ 1, из •(54) могло подучить

, / I ./И НГ"'1^

и т. д. Здесь же получена оценка

(55)

(56)

В §2.6 дг'т окончательное построение потенциала (50), (51). При этом

г*,

2 С

До" ^

Л

гс3, + %

А: =-

'за

.ах

,21 1-1

J

Г 57)

° ;<= а

¡«¿¿^К, ъичисляются по формулам (54).

где постоянные*

Доказано, что в общем пространственном случае найденный потеп-■ 'ал не может совпаст. с потенциалом гравитационного полл реального тела кроме как в случае задачи двух неподвижных центров.

Таким образом, получен следующий результат: пусть 1) материальная точка постоянно двигается в одной из трех взаимно-пер!к лдикулярных плоскостей^тела; 2) произвольно взяты постоянные • Тогда существуют (и они могут быть вычислены) значения коэффициентов

при тессеральных и секториальных гармониках, позволяющих про-интегри! мать дифференциальные уравнения движения.

В главе 3. состоящей из четь. ех параграфов, дано обращение квадратур в найденном интегрируемом случае.

В §3.1 приведена обшдя постановка задачи, как нахождения эллиптических координат 3 и I в зависимости от времени в вид. ртов условно-периодических функций. При этом переменные 5 ) 5 звлетворяют системе дифференциальных уравнений

сИ" е1±

(58)

. й / с \ а

као 4'/ )

и задача сводится к нахождению из (58) функции ^[1),

- 23 -

В 03.2 рассмотрены вопросы качественного анализа и доказало существование движения точки в эллиптическом кольце, охватывающем планету. При этом постоянная интеграла энергии к 'О и функции (59) имеют корни и 'г.«. , ^

соответственно такие, что | '¿4| = Л., |'¿г! 1ц>0«

В §3.3 дано непосредственное шх роение эллиптических координат и '¿¿с) в виде условно-периодических функций времени ^ и элементов орбиты й. и £ . Соответствующие формулы мы не приводим, так как они аналогичны формуле • (19), (20) (22).

§3.4 пс зящен опред«. энию элементов орбит сс. \\ £■ по начальным условиям прямоугольных' коо^инат -V», и вектора скорости Л, , Зо , на основе первых интегралов (42), (.48).

В главах 4 5 рассмотрены практические приложения в теории двшжния спутников больших планет, имеющих нормальные гравитационные поля, найденного потенциала (39), (37).

В главе 4, содержащей девять параграфов, потенциал нормального гравитационного поля ланеты раз ломе н на невозмущен-нуэ и возмущающую части так, что потенциал дифференциалы лх уравнений невоемущенного двитения удовлетворяет условиям:

1) совпа;; :ет с точным потенциалом до второй зональной г рмони-ки и в точках экваториальной плоскости планеты;

2) дифферешщальные уравнения движения точки допускают интегрирование е квадратурах;

3)разложение возмущающего потенциала по степеням величины начинается с ("10/1.) и оно пропорционально квадрату син"са наклона траектории спутника.

6 §4.1 приведена постаьовка задачи и дифференциальные уравнения невозмущенного движения с потенциалом

П г „ геи -|

' гггу -Ь (60)

где и *<Ц

^ " с ) v б2;

предстаг-чют собой расстояния от точки Р до точэк пересечения плоскости, проходящей через тс лу Р и осьо£с окружностью радиуса ,с , с центром в начале координат и лека-г1й в плоскости X II (экватора тела), сведены к квадратурам, •гак как из (61) и (3?) следует

■X

(62)

Здесь тв приведена общая структура воэмудающего потенциала

©э

й »£

и, ^ (63>

откуда видно, что он пропорционален ("5 еД) и квадрату синуса наклона траектории.

В §4.2, '§4. 3 получено разложение незозмущэнного потепциа-

.с О

да (60) по степеням б'/"2 в Б11ле

Г , ( Я .1 с21 г 1

¿=1 г 1)=^ кго / ■Н)1 '"'^р 1)1! (21 ЗсН;//

(64)

4- '

¿ч (>•.'-■ ЯРи^***)!.

(7 —} В

В §-1. 4 по точному потенциалу (при заданных 3,, ... ) найд( .! коэффициенты промежуточного потенциала (60)

Ло --0,3", с1*

»И,

и для этих значений доказана сходимость ряда (60), если сходится ряд (3).

В §4. 5 как частный случай 'айденного 'промелуточного потенциала (60) при

? ^ (г с

'^ " ~ОиТф) } (6б)

получен потенциал пространственной обобщен .ой задачи двух не

подвижных центров.

В §4.6 как ьпюге юны

г-7 £.*)' ^¿-»-гк4-£и-н)(? Ш У "РТТ (2£ ии•+*).'/(ги-г 0(! '

(67)

степени 2 М- вычислены коэффициенты разложения невозмущенного потенциала 1.60) по степеням с/х .

В 7 найденное в §4. 6 многочлены (67) представлены по многочленам и присоединенном ф: .щиям Лехандра вида (63), (54).

i

В §4.8 на основе изложенного указан способ вычисления возмущающего потенциала (63) при этом

Г. (у П г +

Ъо [ЦГГГфГ7"'™ 7>*

+ (г¿-аи -г)// Л J ^ V }>

¿»а о/к-^"^'^2'1'

и приведены некоторые оценки его коэффициентов в зависимости от параметров . ..

если 4 с) I и | г 1 ^ 1 -

* §4.9 посЕящен потенциалу сжатого планетарного эллипсоида вращения и для него построен точны? (без рядов'1 невозмуценный потенциал

\д/= /«. _А I Л±. +

V с/ «у

2 I о* Т-ъ+Ъч};

где Л - постоянная^

ъ —

удовлетворяющий всем приведенным условиям.

В главе 5', содержащей пять параггафов, проведен-расчет промежуточной орбиты.

В §5.1 дифферент .а..ь.;ые уравнения промежуточного движения преобразованы к более удобному виду и дана постановка основной задачи как получение в лде условно-периодических функций времени £ эллиптических координат ) , \ ({■) и

В §5 2 выявлен качественный характер промежуточного движения. При этом установлено, чт~ промежуточное движение про исходит внутри тороидального тела, ограниченного двумя эллипсоидами и одноп лостным- гиперболоидом вращения. 11.» практике

движение всех реальных спутников происходят именно в такп;: во. .окно чуть деформированных тороидальных областях.

В §5. 3 получены эллиптические координаты 3 2 10/ в виде условно-периодических функций времени , для класса блкзэкваториальных и блиэкругов1,х орбит, если известии элементы орбиты ОI,

В §5. 4 элементы орбиты £», в, 5, ^ъм&роь, чены через начальные условия движения прямоугольных координат Хс, Ч* » • *

и вектора скорости .X«, *о •

В §5.5 разработан общий алгоритм построения промежуточной орбиты сп. лига, пригодной для всех ограниченных движений.

В заключен™ дано краткое содержание и основные выводы, полученные в диссертации. В конце приведен список литературы.

Таким образом, в диссертации получен?' следующие основные результаты, выносимые на защиту.

1) найден новый потенциал гравитационного поля абсолютно твердого тела, упускающий интегрируемость в квадратурах дифференциальных уравнений двш-ания материальной точки;

2) разработан алгоритм, с поыоиъю которого мокко строить новью промежуточные орбиты как естественны . так и искусственных небесных тел с более высокой степенью точности, чем существующие;

3) доказаны теоремы 1-5, с помощью которых можно получать новые интегрируемые в ке 1ратурах случаи гакяльтсновых систем;

4) обобщена теорема Кгеккеля об интегрировании канонических уравнений методом разделения переменных на нестационарные системы.

¿у.ссертация представляет развернутое изложение методов и результатов, опубликованных s статьях автора:

1. Кочиев А. А. Об одном видоизменении теории Якоби. ИЗ и ССО СССР, Сб. научно-методических статей "Теоретическая механика". M : 1977.

2. Кочиев Л. А. Реиение задачи о движении точки в одном силовом поле консервативных сил и ее приложения в небесной механике. "Астр, лдфнал", т. I, М.: 1977.

3. Кочиев А. А. К решению задачи движения точки б поле тяготения твердого тела - Астр, "журнал, т. 64, в. 5, 1987.

4. Кочиев А. А. Построение нормального гравитационного поля сил, допускающего интегрируемость уравнений движения спутника. -1!зз..ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, 5, 19S8.

5. Кочиев А. Д. Расчет орбиты спутника в. нормальном гравитационном поле Земли.-Изз.ЬУЗоз. Геодезия и аэрсфотосъемса, б, 1938.

G. Кочиев Л. А. Определение разложения потенциала нормального гравитгтционного поля Земли.->'эб. Е'Зов, Геодезия и аэрофо-

r* 1 л-ï О « i-

TOCleî.'j-'a, <Л

7. Кочиев А. А. Сравнение г.стеициала аормгяьного гравитационного поля Зежр с потекшалсм обобщенной задачи дьух неподвижных центров. Егз. ВУЗов, Геолог :я и азроЗетосьемка.о, 1933.

8. Кочиев А. А. Интегрируемые г-чноничесгае системы в космической геодезии.-Изв. ЕУОсв, Геодезия и азрофстост-гм.-з. 3, 19S0.

9. Кочиев A.A. Дзкдение слугника в поле тяготения Е9Г0са трехосного тела (Земли).-Изв. ЕУЕ-.:в, Геодезия к я?;с-1с-тосъемка, 4. 1990.

t .

участок oncfwihbhci' üh/wwi'ii гу 3e ; /

----- ' ' —

3AK. li'ys. ТИР. ICO.