Алгоритмы типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля в задачах динамики особых астероидов и спутников планет тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

и

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики при Томском государственном университете

АЛГОРИТМЫ ТИПА ЭНКЕ В ПЕРЕМЕННЫХ КУСТААНХЕЙМО-ШТИФЕЛЯ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ОСОБЫХ АСТЕРОИДОВ И СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ

Специальность 01.03.01-Астрометрия и небесная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОБРАЗОВАНИЯ РФ

На правах рукописи

АВДЮШЕВ ВИКТОР АНАТОЛЬЕВИЧ

УДК 521.1

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук,

доцент Л.Е.Быкова

Томск-1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................ 4

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КЗ-ЭЛЕМЕНТАХ............................... 16

1Л. Регуляризация уравнений движения............ 16

1.2. Преобразования, исключающие дифференциальное уравнение для быстрой переменной из системы уравнений движения. Метод Шарковского .... 20

1.3. Другие способы исключения дифференциального уравнения для быстрой переменной из системы уравнений движения......................... 22

1.4. Проблема стабилизации в КБ-теории........... 27

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ТИПА ЭНКЕ В ПЕРЕМЕННЫХ

КУСТААНХЕЙМО-ШТИФЕЛЯ............... 30

2.1. Основные принципы построения уравнений в алгоритмах типа Энке.......................... 30

2.2. Построение алгоритмов типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля...................... 33

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ НА ПРИМЕРЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ОСОБЫХ АСТЕРОИДОВ И СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА................................. 35

3.1. Постановка эксперимента..................... 35

3.2. Численные модели движения объектов.......... 38

3.2.1. Выбор объектов............................. 38

2

3.2.2. Моделирование возмущающих сил............. 48

3.3. Неявный одношаговый алгоритм Эверхарта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка ....................... 50

3.4. Сравнительный анализ эффективности алгоритмов 53

3.5. Исследование стабилизации уравнений движения . 63 ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ

ДВИЖЕНИЯ ГАЛИЛЕЕВЫХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА................................. 71

4.1. Аналитическая теория движения галилеевых спутников Лиске............................. 71

4.2. Уравнения движения спутников в переменных Кустаанхеймо-Штифеля...................... 72

4.3. Модель возмущающих сил.................... 74

4.4. Анализ структуры возмущений................ 76

4.5. Оценка точности численной модели движения галилеевых спутников.......................... 92

4.6. Получение начальных параметров движения численной модели из теории Лиске................ 94

4.7. Сопоставление результатов численной модели движения галилеевых спутников с аналитической теорией Лиске............................... 99

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................ 103

ЛИТЕРАТУРА ............................................ 105

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. В настоящее время применение радиотехнических и квантово-оптических средств измерения выдвигают повышенные требования к точности и быстродействию численных алгоритмов прогнозирования пространственных положений наблюдаемых объектов. Это обстоятельство, а также возросший в последние годы интерес к задачам долгосрочной динамической эволюции небесных тел Солнечной системы приводят к необходимости дальнейшего совершенствования методик исследования движения и ставят задачу создания высокоточных численных моделей движения в ряд актуальных задач прикладной небесной механики.

Цель работы. Целью настоящей работы является развитие высокоточных алгоритмов долгосрочного прогнозирования движения астероидов и спутников планет на основе дифференциальных уравнений типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля (КБ) и оскулирующих кеп-леровских элементах, исследование их эффективности и применение в задачах динамики рассматриваемых объектов.

Научная новизна. В диссертации предложены новые алгоритмы высокоточного прогнозирования движения астероидов и спутников планет. основанные на применении регуляризированных и стабилизированных уравнений движения. Применительно к системам дифференциальных уравнений в КБ-переменных и оскулирующих кеплеровских элементах разработан ряд методик замены дифференциального уравнения для быстрой переменной уравнением для медленной переменной, не содержащей явно в правой части быстрых переменных. На основе нового опорного решения выведены дифференциальные уравнения типа Энке в КБ-переменных и в оскулирующих кеплеровских элементах. Впервые построена численная модель движения галплеевых спутпиков Юпитера, позволяющая на длительных интервалах времени с высокой точностью определять их пространственные положения. Для моделирования движе-

ния галилеевых спутников использовалась полученная автором система дифференциальных уравнений в КБ-элементах возмущенной задачи пяти тел.

Практическая значимость. Разработанное математическое и программное обеспечение может быть использовано в задачах высокоточного и долгосрочного прогнозирования движения астероидов и спутников планет, для исследования структуры возмущений и при улучшении параметров движения этих объектов по данным измерений.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались на Всероссийской конференции с международны?*г участием "Компьютерные методы небесной механики" (Санкт-Петербург, 1995), на IV Международном семинаре "Позиционная астрономия и небесная механика" (Испания, 1997), на XXVI (Коуровка, 1997), XXVII (Коуровка, 1998) Международных студенческих научных конференциях "Физика космоса", на Международной научной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997), на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики" (Санкт-Петербург, 1997), на Международной научной конференции "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики" (Москва. 1997).

По результатам, приведенным в диссертации, опубликованы 11 научных работ.

Диссертация изложена на 110 страницах машинописного текста, содержит 40 рисунков и 7 таблиц и состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованных литературных источников (5-3 наименований) .

Как известно, используемые в классической небесной механике ньютоновские .уравнения движения небесных тел сингз'лярны в окрестности соударений гравитирующнх масс. В практических задачах небесной механики прямые соударения тел. как правило, не рассматриваются. Однако наличие особенностей в уравнениях движения вызывает прпнциппаль-

ные практические сложности в их численном решении. Дело в-том, что при численном исследовании наличие тесных сближений гравитирующих масс приводит к значительному возрастанию функций правых частей дифференциальных уравнений движения на соответствующих участках траектории, что с необходимостью влечет за собой значительное уменьшение шага интегрирования, а следовательно, увеличение объема вычислений и потерю точности численного решения. В практических задачах тесные сближения происходят довольно часто. Характерным примером является возмущенная задача двух тел, где тесные сближения имеют место в перицентре сильно эксцентрической орбиты. Поэтом}' регуляризация дифференциальных уравнений движения является одной из наиболее важных задач небесной механики, направленной на повышение эффективности численного интегрирования.

Проблема регуляризации двойных соударений в задаче трех тел в пространственном случае впервые была рассмотрена К.Сундманом [1]. В частности, было выведено регуляризирующее преобразование независимой переменной, которое нашло применение во многих методах регуляризации двойных соударений, предложенных после К.С'ундмана, Т.Леви-Чивита [2] удалось получить преобразование координат для плоского случая, позволяющее вместе с временным преобразованием К.С'ундмана привести уравнение движения невозмущенной задачи двух тел к линейному виду.

В дальнейшем появилось много работ, посвященных построению различных регулярпзирующих преобразований [3, 4, 5]. Детальный обзор работ на эту тему представлен В.Себехеем [4], который исследовал регуляризацию в ограниченной задаче трех тел. Разработан ряд методов [5. 6, 7], понижающих порядок сингулярности дифференциальных уравнений и регуляризирующих их решение путем использования различных преобразований независимой переменной.

Сравнительно недавно П.Кустаанхеймо п Е.Штифелю [8, 9] удалось продолжить координатное преобразование Леви-Чивита на четырехмер-

ное пространство и это позволило обобщить линейную теорию задачи двух тел для пространственного случая.

Д.Хегги [10] предложены более общие регулярпзпрующпе алгоритмы, устраняющие особенности дифференциальных уравнений движения в окрестностях двойных соударений в общей задаче Х-тел. Алгоритмы Хегги нашли широкое применение в практических задачах небесной механики [11, 12, 13].

Работы Д.Хегги [10], Е.Штифеля и Г.Шайфеля [8]. а также другие работы, выполненные в последние годы, показали исключительную важность регуляризации для численного решения задач небесной механики.

Заметный вклад в развитие К Я-алгоритмов внес коллектив специалистов НИИ прикладной математики и механики Томского университета под руководством Т.В.Бордовицыной. Работы томских авторов [13, 14. 15]. посвященные теоретическим и экспериментальным исследованиям регуляризирующих и стабилизирующих преобразовании Куотаанхеймо-Штифеля на предмет эффективности их использования в численных моделях движения различных небесных объектов, позволили значительно расширить область их применения во многих прикладных задачах небесной механики.

В плане численного интегрирования существенный недостаток систем дифференциальных уравнений в регуляризирующих переменных заключается в том. что они содержат уравнение для быстрой переменной (физического времени, либо временного элемента). Данный недостаток характерен не только для регулярных систем. Вообще1 численное интегрирование систем с дифференциальными уравнениями для быстрых и неограниченно возрастающих переменных сопряжено с известными трудностями. Во-первых, они задают малый шаг интегрирования, а во-вторых, вычисления больших величин быстрых переменных, как и функций правых частей их дифференциальных уравнений, за счет ошибок округления приводят к значительной потере точности численного решения.

В руководствах по небесной механике рекомендуется вместо быстрых переменных (долгот или аномалий) вводить переменные типа средних долгот эпохи, либо момента прохождения через перицентр. Преимущество таких новых переменных - постоянство в невозмущенном движении. Однако переход к новым переменным приводит к тому, что в системе дифференциальных уравнений возмущенного движения появляются уравнения, правые части которых явно зависят от быстрой переменной и неограниченно возрастают со временем. Поэтому для таких систем всегда существует определенный интервал времени, вне которого возмущения перестают быть малыми. В силу сказанного выше в задачах исследования долгосрочной эволюции движения предпочитают не иметь дело с такими системами.

Оригинальный .метод исключения дифференциального уравнения для быстрой переменной был предложен Н.А.Шарковским [16]. Путем введения в качестве независимой переменной кеплеровской эксцентрической аномалии им была получена система в которой дифференциальное уравнение для физического времени интегрируется в квадратурах и это позволило исключить его из системы интегрируемой численно.

В данной диссертации на примере систем дифференциальных уравнений в КБ-переменных и кеплеровских элементах с независимой переменной эксцентрической аномалией автором представлен метод преобразования уравнения для быстрой переменной, связанной с физическим временем. к уравнению для некоторой медленной переменной т8. Особенность предложенного способа преобразования уравнения для быстрой переменной путем перехода к каким-либо медленным переменным в отличие от принятых в классической небесной механике состоит в том, что получаемое уравнение при слабых возмущениях имеет малую правую часть на длительных интервалах времени. Идея метода проста и главным образом состоит в удачном использовании переменных как возмущенной, так и невозмущенной задач.

Другим способом повышения точности п быстродействия числе нно-

го интегрирования является преобразование дифференциальных уравнений по принципу Энке [17, 18. 19]. Основная идея метода Энке состоит в том. чтобы подобрать такую опорную орбиту, которая в течение длительного времени была бы близка реальной эволюционирующей орбите. Для отклонений параметров реальной орбиты от соответствующих величин на опорной траектории составляется система дифференциальных уравнений, которая затем интегрирз'ется численными методами. Таким образом, метод Энке нацелен на то. чтобы получить такие дифференциальные уравнения, численное интегрирование которых не требовало бы вычислительных операций с большими величинами.

В классическом методе Энке в качестве опорной используется орбита невозмущенной задачи двух тел. В последнее время предпринимались попытки усовершенствовать метод Энке щ'тем использования лучшей опорной орбиты.

Перспективным для построения таких опорных орбит оказался подход. основанный на идее введения фиктивного притягивающего центра [20]. Этот подход получил развитие в работах Ю.В.Батракова [21]. Построенные автором промежуточные траектории в методе Энке задают движение по кеплеровской орбите относительно фиктивного притягивающего центра.

Продолжая работы Батракова, В.А.Шефер [22] предложил в качестве опорного решения в методе Энке рассматривать движение по промежуточной траектории относительно фиктивного центра, которое при этом не1 является кеплеровским, а описывается уравнениями задачи Гюльдена-Мещерекого.

У.Т.Каннер и М.М.Беннет показали [23], что при интегрировании уравнений движения низкого спутника Земли метод Энке можно улучшить, если при построении опорной траектории учесть эффект первого порядка от сжатия Земли.

Весьма эффективным для численного исследования движения близких спутников планет может быть использование уравнений Энке с

опорным решением задачи двух неподвижных центров, полученных Н.А.Сорокиным [24].

В настоящей диссертации автором излагается алгоритм построения уравнений Энке на основе дифференциальных уравнений в КЗ-переменных с опорным решением, представляющим невозмущенное движение в КЗ-пространстве, причем в качестве независимой переменной используется аналог возмущенной эксцентрической аномалии. Метод Энке в КЗ-пнтерпретацпи имеет разнообразные преимущества. Во-первых, преобразование Энке не требует специальных алгебраических действий над исходными дифференциальными уравнениями с целью устранения вычитаний близких по значению величин. Во-вторых, в результате преобразования формульный вид дифференциальных уравнений принципиально не меняется. В частности, дифференциальные уравнения Энке, описывающие движение в КЗ-пространстве, также имеют вид уравнений возмущенного гармонического осциллятора. В-третьих, опорное решение выражается явно через независимую переменную (эксцентрическую аномалию ).

Сравнительный анализ численных алгоритмов, проведенный в диссертации, показал, что КЗ-регуляризация может стать эффективным средством для исследования долгосрочного движения на интервалах времени порядка десятков тысяч оборотов объекта.

В настоящей работе алгоритмы, основанные на КЗ-регуляризации, используются для численного моделирования движения галилеевых спутников Юпитера.

Для исследования движения и вычисления эфемерид близких спутников планет традиционно применяются аналитические методы [25, 26]. Численные .методы, несмотря на универсальность и простоту реализации. практически не используются для этих целей.

Главной особенностью движения близких спутников планет являются большие величины среднего движения этих объектов. Принято считать, что на интервалах времени в 100 и более лет, охваченных наблюдения-

мп, численные методы не способны обеспечить точность прогнозирования движения, сравнимую с точностью наблюдений. По-видимому, это мнение оправдано при использовании в численном моделировании классических уравнений небесной механики, которые сингулярны в окрестности начала координат, а их решения неустойчивы по Ляпунову.

В настоящей работе, на основе регуляризирующих п стабилизирующих преобразований Кустаанхеймо-Штифеля построена численная модель движения галплеевых спутников Юпитера. По аналитической теории Лиске [27. 28. 29] получена и улучшена система начальных параметров численной модели. Кроме того, выполнена оценка внутренней точности численной модели при долгосрочном прогнозировании движения на интервале времени 20