Новые решения задачи нескольких тел и их приложения тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

^ Б Яшиных ВАЛЕРИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

2 7 ОКТ 1998

УДК 521.13

НОВЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.03.01 — Астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1998

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, член-корр. РАН В.К.Абалакин Доктор физико-математических наук, профессор И.А.Герасимов Доктор физико-математических наук, профессор Е.А.Гребеников

Ведушая организация: Институт проблем механики РАН.

в 14.00 час. на заседании диссертационного Совета Московского Государственного университета им.М.В.Ломоносова, шифр Д.053.05.51.

Адрес: 119899, Москва, В-234, Университетский проспект, дом 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им.П.К.Штернберга МГУ (Москва, Университетский проспект, 13)

Защита состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного Совета канд.физ.-матем. наук

Л.Н.Бондаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача нескольких тел имеет разнообразные приложения в небесной механике (теория движения планет и спутников Солнечной системы) и в динамике космического полета (теория движения искусственных спутников планет и межпланетных космических аппаратов). Ввиду чрезвычайной сложности задачи в настоящее время ее общее решение при ЛГ>3 является неизвестным. Изучение эволюции орбит в рамках задачи нескольких тел путем использования только точных численных решений системы дифференциальных уравнений движения тел, даже в том случае, если эти решения получаются при помощи современных компьютеров, требует затраты значительного времени и трудоемкого последующего анализа. Поэтому представляется целесообразным применять для исследования этой задачи также аналитические методы, удовлетворяющие требованиям, которые практика предъявляет к развивающейся теории. В последнее время научные результаты этого направления опубликованы в работах В.А.Брумберга, Е.А.Гребеникова, В.Ф.Мячина, А.Роя, Л.Л.Соколова и К.В.Холшевникова, В.Н.Тхая, Дж. Хаджидеметриу, Б.Эльмабсута и других авторов. Данная диссертация посвящена аналитическому решению задачи нескольких тел, что свидетельствует об актуальности ее темы.

Основными целями работы являются:

— изучение с единых позиций (усовершенствованной регуляризации уравнений движения и последующих сходящихся асимптотических разложений решений) офаниченной круговой задачи нескольких тел, спутниковой задачи четырех и трех тел (с учетом сжатия центрального тела), задачи Д. Хилла;

— рассмотрение влияния светового давления (с учетом случайного параметра) на промежуточное движение спутника в задаче четырех тел Земля-спутник-Луна-Солнце;

— построение аналитических решений (точных или приближенных) плоской круговой ограниченной задачи трех тел;

— построение промежуточных орбит астероидов-"греков" в рамках задачи четырех тел Солнце-Юпитер-Сатурн-астероид на базе метода характеристических показателей;

— определение движения материальной точки в осредненной задаче трех (или нескольких) тел по 1раничным условиям, накладываемым на векторы скорости (или положения) материальной точки;

— применение полученных результатов к конкретным естественным и искусственным телам Солнечной системы.

Методы исследования

Для решения рассматриваемых задач производятся усовершенствования (указанные далее в круглых скобках) известных ранее в аналитической динамике

— способов регуляризации уравнений движения (обобщение временной замены Зундмана, введение функций типа Энкс в качестве регулярной фазовой переменной);

— способа характеристических показателей (продвинутого в направлении конструктивного решения линейных периодических дифференциальных систем);

— метода интегрирования при помощи степенных рядов (разрабатываемого путем применения обобщенных матриц для правых частей и решений аналитических дифференциальных систем);

— метода приближенного интегрирования в смысле СА.Чапдыгина (обобщаемого по размерности дифференциальной автономной системы и числу итераций приближения);

— метода асимптотического разложения в смысле Н.Н.Боголюбова (который приспособлен для представления многопараметрического периодического решения нелинейной дифференциальной системы).

Кроме того используемыми методами решения являются: метод регуляризации П.Кустаанхеймо-Е.Штифеля, положения классической и современной небесной механики, способ цепной дроби в обычной и интегральной формах, прием блочного обращения матриц, метод вариации постоянных.

Научная новизна работы. В результате исследований удалось:

— впервые составить глобально регуляризированную систему уравнений движения материальной точки (без соударений с возмущающими гравитационными точками) в круговой задаче нескольких тел, разработать полное асимптотическое сходящееся разложение для общего решения этой системы;

— применить полученную методику к вычислению промежуточной орбиты астероида Икар и к приближенному определению прямоугольных координат галилеевых спутников Юпитера;

— построить эффективный алгоритм вычисления квазипериодических движений астероидов "греков" в рамках плоской задачи Солнце-Юпитер-астероид-Сатурн и проиллюстрировать его на примере промежуточной орбиты астероида Ахиллес;

— впервые найти общее решение плоской регуляризированной круговой ограниченной задачи трех тел в форме рядов по степеням аргумента, начальных значений и параметров в рамках метода обобщенных матриц;

— представить в приближенной форме локальные интегралы плоской ограниченной круговой задачи трех тел в окрестности ее эйлеровых решений;

— впервые составить регуляризированную систему уравнений движения в пространственной задаче Хилла, разработать ее общее решение, построить для плоской задачи Хилла цепную интегральную дробь в окрестности орбиты соударения;

— получить асимптотическое разложение регуляризированного движения спутника в поле притяжения земного сфероида при совместных возмущениях Луны, Солнца и светового давления; проиллюстрировать это разложение путем вычисления высокоэллиптической траектории типа орбиты научного ИСЗ "Астрон";

— предложить алгоритмы вычисления орбит по заданным векторам положения (в поле сил, соответствующем осредненному потенциалу задачи N тел), а также по заданный векторам скорости (для осредненной задачи трех тел).

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих небесно-механических и математических методов, а также согласованием выводов с известными в частных случаях.

Теоретическая и практическая ценность работы

Разработан теоретический аппарат, базирующийся на регуляризирующих преобразованиях К.Зундмана и П.Кустаанхеймо-Е.Штифеля, способе характеристических показателей, асимптотическом методе нелинейных колебаний, рекуррентной схеме А.Депри-А.Кэмила, методе С.А.Чаплыгина, способе цепных интегральных дробей, методе обобщенных матриц, методе интегральных многообразий.

Полученные асимптотические разложения (в основном, сходящиеся) решений рассмотренных вариантов задачи нескольких тел могут быть использованы в качестве промежуточных орбит при построении теории движения различных естественных и искусственных небесных тел.

Установленные теоретические результаты применяются к конкретным небесным объектам Солнечной системы: астероидам Икар и Ахиллес, галилеевым спутникам Юпитера.

Кроме того, в качестве модельных выбираются:

— высокоэллиптическая траектория типа орбиты ИСЗ "Астрон";

— близкокруговая орбита ИСЗ геодезического типа;

— траектория тела, являющегося попеременно спутником Земли и Луны.

Теоретические результаты могут также представлять интерес при реализации

космических программ, связанных с научными исследованиями при помощи искусственных спутников, а также — с изучением больших планет, их естественных спутников, астероидов и комет.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались автором на научном семинаре по небесной механике в ГАИШ МГУ, на семинаре по классической динамике при мехмате МГУ, на семинаре при Научном Совете РАН по механике систем. Доклады автора об отдельных выводах работы неоднократно обсуждались на научных конференциях:

Четаевской конференции по аналитической механике, Казань 1992; международной конференции "Пространство, время, тяготение", СПб 1994; научных конференциях по космонавтике 1995, 1996, 1997, Москва; конференции "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике", Архангельск, 1995; всероссийских конференциях с международным участием — "Компьютерные методы небесной механики", СПб 1995, "Наблюдения естественных и искусственных тел Солнечной системы", СПб 1996; международной конференции "Дифференциальные уравнения и применения", СПб 1996, всероссийской конференции с международным участием "Проблемы небесной механики", СПб 1997.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, четырех приложений, заключения и списка литературы 156 наименований. Общий объем составляет 251 страницу, включая 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, относящейся к теме диссертации, обосновывается ее актуальность. Отмечается место и роль полученных автором результатов среди других в данной области исследований. Формулируется цель работы. Излагается ее теоретическая и практическая ценность, а также краткое содержание работы и положения, выносимые на защиту. Приводятся сведения о публикациях на тему диссертации.

В первой части первой главы рассматривается механическая система, состоящая из ТУ точек М[, ..., М^ с массами /П], ... , т^. Вводится г: — радиус-вектор точки Л// в некоторой инерциальной ортогональной системе координат. В рамках ньютоновской задачи N тел уравнение движения точки М2 относительно точки М1 имеет вид

N

уи

Г +■

г3 ' Д3^- (1)

ц = у{щ + т2), р., = ут„ г = гг - г„ Д = г, - й, = г - Д (у - гравитационная постоянная).

С целью преобразования правой части уравнения используются переменные

ч^Щ1

Ri■r--\,<p¡=(\-ql)г-\>rФRi (2)

Тогда уравнение ]ХГ А Щ

' 1=3 А

(3)

в силу соотношений (2) эквивалентно уравнению (1).

Предполагается, что точка М$=3, ...,Ы) движется относительно М) по круговой орбите радиуса Яь задаваемой уравнением:

Я, = Я, сое

Е<0 +К' +'

в котором Ею — начальное значение эксцентрической аномалии Еь векторы А,,В, являются постоянными, Яц./>/?,-.

Из уравнения (3) в помощью преобразования Зундмана &==гск и Кустаанхеймо-Штифеля

г = А(й)м,г = и1 ,и = {щ,иг,щ,щ)т

(4)

и1 ~«2 щ

мю= иг щ -щ

иг «4 Ы1 щ

образуется регуляризированная система уравнений й' = = -\й + ¿^[рЛ^. -и\ 1 + р)й]

^ 1=3

(5)

в которой и - вектор КЗ-положения, штрих означает дифференцирование по Приведенные выше равенства позволяют записать уравнения для переменной щ, полной механической энергии (-Ь) точки М2 и времени г следующим образом:

3(1 + Ф;)з

'8Д

,Г

дЕ,

+ 2(7?,, А«7) - 2(г, АТГ)

(б)

А' = -2(7?, Лг/), Г = н2

Таким образом составлена глобально регуляризированная система уравнений (5), (6) относительно фазовых переменных . В момент 1—0 (8=0) задаются

начальные значения гй,гй, которые в силу переходных формул регуляризации

определяют начальные значения г7С0> ,!и7<:0).

С помощью специальных функций Штумлфа нулевое приближение решения системы (5), (6) записывается в универсальной регулярной кеплеровской форме для произвольных начальных значений.

В случае выделения параметра А = шахц уравнения (1) преобразуются в

эквивалентную регуляризированную каноническую систему, для которой составлено асимптотическое (сходящееся в некоторой области начальных значений) разложение решения по реккурентному алгоритму Депри-Кэмила.

В общем случае предлагается чаплыгинское приближение решения системы уравнений (5), (6) и оценка его отклонения от точного решения.

В середине первой главы путем обобщения векторного дифференциального уравнения (3) на случай сфероидального основного центра притяжения (Юпитера) с

8

учетом внутреннего взаимодействия материальных точек Л/} (галилеевых спутников) и внешнего (солнечного) возмущения их орбит с последующим применением усовершенствованного метода С.А.Чаплыгина составлен алгоритм приближенного решения задачи шести тел Юпитер-галилеевы спутники-Солнце, при этом в качестве порождающего выбирается решение С.Феррас-Меллу.

Во второй части первой главы разрабатывается аппроксимация орбиты спутника в регуляризованной задаче четырех тел земной сфероид-спутник-Луна-Солнце с учетом светового давления. Составляются четвертые (по степеням параметров) приближения значений прямоугольных координат ИСЗ. Реализация предлагаемой методики вычисления промежуточной спутниковой орбиты проводилась для траектории ИСЗ со следующими начальными значениями фазовых координат в прямоугольной инерциальной геоэкваториальной системе: хо=0; уд=-5888.9727 км го=-3400 км, х0 = 10.6913 км/с , у0 = 0;г0 = 0

Этим значениям соответствуют элементы высокоэллиптической орбиты: гп=6800 км, г¿=265200 км, е—0.95,1=30°,7=5.7625 сутп., которые близки к соответствующим элементам орбиты научного ИСЗ «Астрон» (1983-1991).

Сравнение результатов проведенных вычислений с эталонными расчетами по численному методу Рунге-Кутта (0.5%—1.5% относительно невязки координат в пределах десяти оборотов спутника) дает удовлетворительное согласие. При этом вклад Солнца в абсолютные измерения координат спутника под влиянием рассматриваемых возмущений увеличивается с ростом числа оборотов приблизительно от 50 км до 2120 км. В последующем парахрафе данной главы в закон И.Ньютона-П.НЛебедева вводится случайный параметр и предлагается способ приближенного вычисления соответствующей переменной ковариациозшой матрицы.

Во второй главе доказывается теорема 1 о практическом способе вычисления решения линейной периодической системы с помощью характеристических показателей. Затем для общего случая выводятся условия чисто мнимой структуры характеристических показателей. Здесь по аналогии с уравнениями К.Шарлье записываются дифференциальные уравнения плоского движения астероида в рамках задачи четырех тел Солнце-астероид-Юпитер-Сатурн, а именно:

х-2пу = ^ + е~(-, } ,--(7)

ЙХ дх ^{х-КакКп.-п^ + фЛ} +{у-118ш[(п,-п)1+<р„]}

. , . ап, а, 1

у+2пх = —^ + е—(--,----).

ду ду ^{х-Ыс(к[(п, -+ ср0]}' + {у-Квт[(п, - п)г +<р,]}'

При выводе уравнений (7) п считается угловой скоростью Юпитера, масса Солнца принимается за единицу, а масса Сатурна обозначается через е; кроме того, предполагается, что Сатурн движется по окружности радиуса II вокруг центра масс Солнце-Юпитер с постоянной угловой скоростью л» и начальной фазой <рд. Силовая функция По определяется известным образом в рамках задачи трех тел Солнце-астеровд-Юпитер. Уравнение (7) при £=0 имеют решение, соответствующее либрационной точке равновесия Ьф

На основании (7) составляется система уравнений в вариациях (В), описывающих движение астероида-"грека" в окрестности Ьф

Общее решение ^ - системы (В), включающее в качестве своих

компонент отклонения от либрационных значений по координатам и скоростям, записывается в силу теоремы 1 в виде:

= л/Л

в котором числовые величины ыь ом определяющие характеристические показатели системы (В), и периодические вектор-функции (?,£") находятся в рамках теоремы 1, а коэффициенты С/, вычисляются по начальным значениям элементов орбиты астероида.

С учетом этих результатов устанавливается квазипериодичность решений системы уравнений в вариациях для задачи четырех тел Солнце-астероцд-"грек"-Юпитер-Сатурн. Ввиду того, что астсроид-«грек» Ахиллес (малая планета №588) на интервале времени (август 1994 - сентябрь 1995) совершал движение, близкое к плоскости эклиптики, проекция его орбиты на плоскость эклиптики для указанного интервала времени была выбрана в качестве вычисляемой орбиты. Начальные данные на момент времени ¿о=4 августа 1994 г. 0 ч. и.Т. вычислялись по элементам орбиты Ахиллеса, приведенным в ежегоднике «Эфемериды малых планет на 1994 год».

Итоги расчета, проведенного на основе формулы (8) на интервале времени 4 августа 1994—8 сентября 1995, позволяют сделать вывод о том, что максимальные

относительные отклонения координат, вызванные действием Сатурна, составляют 10%, при этом максимальные абсолютные отклонения координат Ахиллеса от вычисленных в ИТА РАН пугел! точного численного интегрирования составляют 45000 км. Этот факт вполне объясняется действием на астероид неучтенных в рассматриваемой методике больших планет.

Третья глава посвящена получению аналитических решений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. В первой части главы разработан метод построения векторного решения аналитической дифференциальной системы общего вида с помощью обобщенных матриц, которые являются двумерными, счетными вправо и вниз. Метод базируется на матричном экспоненциальном решении линейных дифференциальных систем с постоянными коэффициентами. Для регуляризованной дифференциальной системы плоской ограниченной круговой задачи трех тел получено векторное представление решения с координатами в виде рядов по степеням регулярного времени, произвольных начальных значений фазовых координат и параметров.

Локальная численная иллюстрация соответствует периодической траектории, охватывающей попеременно две основные гравитирующие точки.

Во второй части третьей главы приводится полное асимптотическое разложение периодического решения первого типа и выводятся на основе метода интегральных многообразий приближенные локальные интегралы в окрестности эйлеровых решений плоской задачи трех тел Земля-Луна-материальная точка.

В четвертой главе рассмотрены решения некоторых частных случаев задачи нескольких тел. В первой части главы изучается задача Д. Хилла. Предварительно решение известного из теории колебаний уравнения А, Льенара в комплексной области значений находится в виде цепной интегральной дроби, а затем полученный результат применяется к траекториям плоской регуляризованной задачи. В пространствешюй задаче применяются регуляризирующие преобразования К. Зундмана и П. Кустаанхеймо - Е. Штифеля, а также рекуррентная схема А. Депри-А Кэмила. В результате произвольная орбита этой задачи представляется в аналитическом вице. Далее в предположении несферичности центрального тела в пространственной задаче построено приближенное решение чаплышнского типа. Доказывается теорема 2 о сходимости чаплыгинских приближений к точному решению соответствующей автономной дифференциальной системы в общем случае.

Во второй части четвертой главы регуляризованное движение материальной точки в экваториальной плоскости сфероида при условии возмущения гравитирукяцей точки, движущейся по круговой орбите, представлено в виде разложений по степеням малого параметра. В последнем параграфе данной главы выводится в конечном виде общее решение векторного дифференциального уравнения возмущенного кеплеровского движения в случае, когда векторы положения и возмущающего ускорения коллинеарны, показывается применимость этого решения в осредненной задаче нескольких тел и релятивистской задаче К. Шварцшильда.

В пятой главе производится определение траекторий движения по граничным условиям в некоторых случаях задачи нескольких тел.. Вначале рассматривается ориентированное на последующее применение решение двухточечной краевой задачи в ньютоновском поле тяготения, это решение получено с помощью нетрадиционного метода цепной дроби, затем двухточечная краевая задача решается в поле притяжения сфероида, а также — в соответствующем центральном силовом поле. Приводится числовой пример для орбиты ИСЗ геодезического типа. Показано, что полученный способ решения двухточечной краевой задачи распространяется на случай осредненного силового поля нескольких тел. В последнем параграфе данной главы задача определения орбиты по трем векторам скорости решается для кеплеровских и посткеллеровских орбит; на основании этих решений показывается, что в осредненной задаче трех тел определение орбиты по аналогичным условиям приводится к решению системы нелинейных трансцендентных уравнений стандартного типа. Способы пятой главы проиллюстрированы на примерах орбит перелета Земля-Марс и Земля-комета Тутгль-Джакобини-Кресак.

Приложение 1 посвящено вопросам продолжимости полученных (в первой, третьей и четвертой главах) решений на конечные или бесконечные интервалы изменения аргументов.

В приложении 2 проводится вычисление орбиты астероида Икар (малой планеты №1566) на основании методики, разработанной в первой главе. Начальные значения фазовых координат на момент 2 января 1997 г. О ч. эфемеридного времени вычислялись по приведенным в ежегоднике "Эфемериды малых планет на 1997 год" элементам орбиты Икара:

1=22°87, е=0,8269, а=1,078а.е., ш=31°25, П=88°13, М=170°73, Т=409 сут,

отнесенным к эклиптике и равноденствию 2000.0, эпохе 1995г., декабрь 18.0 эфемеридного времени. В рассматриваемом случае в качестве материальной точки М[ выбирается Солнце, в качестве Мэ — Икар, а за остальные материальные точки (1=3, 4, ... 10) принимаются большие планеты Солнечной системы Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Уран, Нептун. Вычисление прямоугольных координат астероида Икар производится на интервале времени 2 января — 6 июня 1997 года. Сравнение результатов расчетов (с едиными начальными условиями), проведенных по предложенной методике "глобальная регуляризация—выделение параметра—схема Депри-Кэмила" и путем численного интегрирования в ИТА РАН (эталонное решение) позволяет сделать вывод о том, что относительные отклонения одноименных координат на указанном интервале времени составляют не более 1%. При этом для интервала времени 23.03.1997 — 22.04.1997 более точное приближение эталонного решения дает способ, связанный с выделением параметра, а на интервале 12.05.1997 — 11.06.1997 — обобщенный метод Чаплыгина.

В приложении 3 рассмотрены выражения для функции типа Энке, которые могут применяться при различных значениях фазовых координат. В приложении 4 проведено исследование структуры периодического движения спутника в задаче трех тел земной сфероид-сцутник-Луна на основании усовершенствования с помощью теоремы 3 метода асимптотического разложения нелинейных колебаний.

В заключении приведены основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие положения

1. Общее представление ( на основе регуляризации ) движения материальной точки относительно основного центра притяжения в рамках пространственной круговой ограниченной задачи нескольких тел (в частности, трех тел, включая предельный хилловский вариант), его приложение к вычислению орбиты астероида Икар; приближённые решения задачи шести тел Юпитер-Ио-Европа-Ганимед-Каллисто-Солнце для прямоугольных координат галилеевых спутников Юпитера.

2. Алгоритм вычисления промежуточной регуляризованной орбиты ИСЗ в спутниковой задаче земной сфероид-спутник-Луна-Солнце при наличии светового давления и способ нахождения соответствующей ковариационной матрицы.

3. Новый класс квазипериодических промежуточных орбит астероидов-"греков" в рамках задачи четырех тел Юпитер-астероид-Солнце-Сатурн.

4. Разработка асимптотического разложения общего решения плоской регуляризованной ограниченной круговой задачи трех тел, вывод приближенных локальных интегралов в задаче Земля-Луна-частица.

5. Способы определения орбит материальной точки по векторам положения (осредненная задача нескольких тел) и по векторам скорости (осредненная задача трех тел).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 21 работе автора (без привлечения соавторов).

1. О регуляризации задачи Хилла // Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР. Л.: Наука, 1981, т.15, №1. С.33-36.

2. К задаче Эйлера-Ламберта //Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР. Л.: Наука, 1984, т.15, N5. С. 264-267.

3. Асимптотическое разложение общего решения регуляризированной задачи Хилла //Астрономический журнал. 1987, т.64. Выд.2. С.426-430.

4. Об интегрируемом случае возмущенного кеплеровского движения. // Прикладная математика и механика. 1988, т.52, Вып.6. С.1033-1036.

5. О регуляризации экваториальных орбит // Космические исследования. 1991, т.29, Вып.6. С. 944-947.

6. Замечания о регуляризации спутникового варианта задачи трех тел // Астрономический журнал, 1993, т.70, вып. 3. С. 642-648.

7. Регуляризация, приведение и аппроксимация промежуточной орбиты спутника //Космические исследования. 1993, Т.31, N6. С.107-110.

8. Определение орбит кеплеровского и посткеплеровского движений по векторам скорости // Изв. вуз. "Геодезия и аэрофотосъемка". 1994, №5. С.95-103.

9. Об определении орбит возмущенного кемеровского движения по векторам положения // Астрономический журнал. 1995,1.12, N5. С.782-784.

10. О применении обобщенного метода Чаплыгина в регулярном представлении возмущенного кемеровского движения // Космические исследования. 1995, т.ЗЗ, N5. С. 554-556.

11. Об одном способе вычисления оскулирующих элементов галилеевых спутников Юпитера // "Наблюдение естественных и искусственных тел Солнечной системы". Тез. докл. всерос. конф. с междуи. участием. СПб.: Изд-во ИТА РАН. 1996. С. 94-96.

12. О промежуточных орбитах астероидов в окрестности треугольной точки либрации системы Солнце-Юпитер // "Наблюдение естественных и искусственных тел Солнечной системы". Тез. докл. всерос. конф. с междун. участием. СПб.: Изд-во ИТА РАН. 1996. С.96-97.

13. Чаплыгинское решение векторного дифференциального уравнения // "Дифференциальные уравнения и применения". Тез. докл. междун. научно-практической конф. СПб.: Изд-во СПбГТУ. 1996. С. 132-133.

14. О влиянии светового давления на промежуточное движение спутника // Космические исследования. 1997, т.35, N1. С. 107-110.

15. О глобальной регуляризации орбит относительного движения в одном варианте задачи нескольких тел. // Прикладная математика и механика. 1997, т.61, Вьш.1. С. 75-79.

16. О применении усовершенствованного метода Боголюбова в регулярном представлении промежуточного периодического движения спутника // Изв. вуз. "Геодезия и аэрофотосъемка". 1997, №1. С. 37-48.

17. Построение промежуточной квазипериодической орбиты спутника на основе нового способа вычисления характеристических показателей. // Изв. вуз. "Геодезия и аэрофотосъемка". 1997. №4. С.73-84.

18. Об аналитическом представлении орбит в рсгуляризированной плоской ограниченной задаче трех тел // Космические исследования, 1997, т.35, N4. С. 434439.

19. Аппроксимация шгге1ральных многообразий траекторий в плоской ограниченной задаче трех тел // "Проблемы небесной механики". Тез. докл. всерос. конф. с междун. участием. СПб.: Изд-во ИТАРАН. 1997. С. 114-115.

20. Цепная интегральная дробь в плоской регуляризированной задаче Хилла // "Проблемы небесной механики". Тез. докл. всерос. конф. с междун. участием. СПб.: Изд-во ИТАРАН. 1997. С. 115-116.

21. Нелинейный алгоритм вычисления орбит галилеевых спутников Юпитера // "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики". Тез. докл. рос. конф. М. 1997. С. 52.

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИМ

т г тли к г. тля и /

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Й 05

т> Г-.

* и-

."Ж'"

V

с£*

/Л / * 1 \

На правах рукописи

УДК

521.13

Кузьминых Валерий Алексеевич

Новые решения задачи нескольких тел и их приложения

Специальность 01. 03. 01 - Астрометрия и небесная

механика

ъ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва

1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение............................................................................................................ 4

Глава 1. Асимптотические разложения решений в четырех случаях задачи

нескольких тел.................................................................................................. 32

§1. Глобальная регуляризация орбит в пространственной ограниченной

круговой задаче нескольких тел .................................................................... 32

§2. Приближенное решение задачи шести тел Юпитер-галилеевы спутники-

Солнце............................................................................................................... 43

§3. Аппроксимация орбит в регуляризированной спутниковой задаче четырех тел с учетом сжатия Земли и светового давления...................................50

§4. Влияние случайного параметра светового давления на промежуточное движение спутника в системе земной сфероид-спутник-Луна-Солнце....... 59

Глава 2. Теорема о практическом способе вычисления решений линейной дифференциальной периодической системы и квазипериодическое представление промежуточных орбит в астероидной задаче четырех тел................ 65

§5. Основные теоретические выводы ..............................................................65

§6. Исходная дифференциальная система, уравнения в вариациях и характеристические показатели.................................................................................... 76

§7. Квазипериодическая структура промежуточных. движений астероидов-

"греков"..............................................................................................................87

Глава 3. Применение усовершенствованных методов аналитического решения дифференциальных систем в плоской ограниченной задаче трех тел.. 102 §8. Способ решения дифференциальной автономной аналитической системы,, основанный на использовании обобщенной матрицы и ее экспоненты,... 102 §9. Разложение решений плоской ограниченной круговой задачи трех тел в ряды по степеням начальных значений, параметров и регулярного времени ......................................................................................................................... 110

§10. Полное асимптотическое разложение периодического решения первого типа..................................................................................................................... 118

§11. Интегральные многообразия траекторий в окрестности эйлеровых решений задачи трех тел Земля-Луна-материальная точка............................. 123

Глава 4. Результаты в теории возмущенного кеплеровского движения.... 132 §12. Цепная интегральная дробь в плоской регуляризированной задаче

Хилла как новый способ решения уравнений Льенара............................... 132

§13. Регуляризация уравнений и асимптотическое разложение общего решения в пространственной задаче Хилла......................................................... 138

§14. Обобщение метода Чаплыгина. Регулярное представление движения спутника сфероидальной планеты при наличии возмущений хилловского

типа..................................................................................................................... 152

§15. Описание движения экваториального спутника сфероидальной планеты в форме гармонического осциллятора и аппроксимация орбит в плоской

спутниковой задаче трех тел............................................................................ 161

§16. Интегрируемый случай возмущенного кеплеровского движения, применимый для осредненной задачи нескольких тел и задачи Шварцшильда 168 Глава 5. Определение промежуточных орбит по граничным условиям движения ................................................................................................................... 175

§17. Прием и результаты вычисления эллиптического движения по двум заданным векторам положения и моментам наблюдения................................175

§18. Определение орбит возмущенного кеплеровского движения по векторам положения................................................................................................... 180

§19. Определение промежуточных орбит по векторам скорости............. 188

Заключение Литература

ВВЕДЕНИЕ

Знаменитая задача динамики, так называемая задача N тел, может быть сформулирована следующим образом:

N материальных точек взаимно притягиваются по закону И. Ньютона, согласно которому между каждыми двумя из этих точек имеет место сила притяжения, прямо пропорциональная массам этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними; точки могут свободно

двигаться в пространстве и могут находиться в начальный момент в любом состоянии движения. Определить дальнейшее движение.

Эта задача имеет большое значение в небесной механике [ 1 ]. Классическими объектами, изучаемыми в небесной механике, являются планеты и спутники Солнечной системы. Так как расстояния между телами Солнечной системы велики по сравнению с размерами самих тел, то при исследовании поступательного движения все тела можно рассматривать как материальные точки, взаимодействующие по закону И. Ньютона.

Необходимо отметить, что в рамках задачи N тел следует различать

задачу нескольких тел и задачу многих тел. При рассмотрении Солнечной

системы мы имеем дело с задачей нескольких тел, согласно

определению М. Ф. Субботина [2 ], А. Роя [ 3 ] и других авторов.

При изучении звездных систем исследуется задача многих тел.

4

Целью небесной механики является получение решений системы дифференциальных уравнений задачи нескольких тел наряду с выявлением связей между этими решениями или, другими словами, описание поведения динамической системы.

Известны десять классических интегралов задачи нескольких тел, имеющих простую механическую интерпретацию [ 4 ].

Система дифференциальных уравнений задачи нескольких (более двух) тел не имеет достаточного числа интегралов, т.е. порядок системы выше, чем число интегралов.

Представляют интерес решения этой системы при различных значениях

масс взаимодействующих тел и при различных начальных условиях движения.

Большая часть известных в настоящее время теоретических результатов, относящихся к задаче нескольких тел, получена с помощью методов теории возмущений для планетной проблемы, т.е. в случае, когда массы взаимногравитирующих материальных точек малы по сравнению с массой центрального тела, вокруг которого движутся точки.

Теория движения больших планет сводится к решению задачи десяти тел, под которыми понимаются Солнце и девять больших планет

солнечной системы. Уравнения движения интегрируются приближенно с помощью разложений в ряды.

Отметим, что существуют наиболее благоприятные обстоятельства, при которых эти ряды сходятся и суммирование нескольких первых членов приводит к почти точному ( на конечном промежутке времени) результату.

В. А. Брумберг [ 5 ] установил, что наиболее общим видом планетного движения является квазипериодическое движение с несоизмеримыми частотами.

Единственным универсальным методом получения решений этой задачи для произвольных начальных значений фазовых координат является численное интегрирование. Хорошо известно, что этим методом решение не может быть найдено для произвольно большого промежутка времени из-за накопления ошибок.

Кроме того, общее поведение динамической системы не может быть выявлено на основании частных решений, полученных численными методами. Поэтому исследование дифференциальных систем, описывающих взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы, проводится не только на основе прямого численного интегрирования на ограниченном интервале времени, но и посредством

формальных разложений кеплеровских оскулирующих (изменяющихся во времени) элементов орбит в ряды по степеням малых параметров.

Ряды, полученные классическими методами, разработанными П. Лапласом, Ж. Лагранжем, С. Пуассоном, У. Леверье, С. Ньюкомом и другими авторами [ 2 ], и более современными методами М. Ли и П. Л. Чебышева, дают возможность с той или иной степенью точности предсказывать положение планет путем вычисления их орбит.

Для построения теории движения конкретных небесных тел разрабатываются вычислительные методы, основанные , как правило, на асимптотических разложениях решений соответствующей задачи нескольких тел Солнечной системы.

Общие вопросы задачи нескольких тел рассматриваются в монографиях [ 2 ], [ 3 ], [ 6 ], а в работе [ 7 ] изучаются особенности решений этой задачи возникающие, в частности, при соударениях тел. Известные современные асимптотические разложения решений включают в себя последовательности пикаровских приближений в некоторых областях фазового пространства ([ 8 ], [ 9 ] ), а также первое приближение в окрестности порождающего решения [ 10 ] . Особое место занимают исследования [ 11 ], [ 12 ], посвященные регуляризации уравнений движения этой задачи. Здесь регуляризацией, введенной в общем виде в [ 13 ], [ 14 ], считается преобразование

времени и фазовых координат, при котором в правых частях дифференциальных уравнений движения устраняются особенности, возникающие при соударениях материальных точек. С позиций аналитической динамики Е. Уиттекер [ 15 ] рассматривал первые приемы регуляризации. В работе [ 11 ] в результате локальной регуляризации ( в окрестности одного соударения ) выведены начальные члены разложения решений относительно степеней регулярного времени, а в статье [ 12 ] получена регуляризированная каноническая система (8Ы-6) уравнений, гамильтониан которой имеет слагаемые, содержащие значения масс материальных точек в своих знаменателях. В статье [ 16 ] составлена глобально регуляризированная система (N+8) дифференциальных уравнений (справедливых для любых значений масс) движения материальной точки относительно основного центра притяжения с учетом возмущений гравитирующих точек, совершающих круговые движения около центра. В статье [ 16 ] также разработано полное асимптотическое сходящееся разложение ( рекуррентной структуры) для общего решения системы. При этом функция типа Ж. Энке [ 17 ] рассматривается в качестве фазовой переменной.

Осредненное по угловым переменным решение системы в конечном виде получается на основании статьи [18 ].

Изучение движения малых планет ( астероидов ) представляет собой самостоятельную задачу небесной механики [ 19 ] . Аналитические методы, разработанные для больших планет, становятся неприемлемыми при их применении к малым планетам, так как эксцентриситеты и наклонения орбит, по которым ведутся разложения в ряды, перестают принимать малые значения почти для всех астероидов.

Большое количество ( более шести тысяч) открытых в настоящее время астероидов делает практически невозможным создание точной аналитической теории для каждого из них.

Формулы статьи [16 ] не накладывают ограничений на элементы изучаемой орбиты. Это обстоятельство дает возможность применять прокомментированную выше методику [16 ] к приближенному вычислению орбиты любого астероида.

Малые планеты, движущиеся почти точно по орбите Юпитера ( на

о

угловом расстоянии +_ 60 от него ) , называют соответственно астероида-ми - "греками" и астероидами - "троянцами".

Из многих наблюдений за движением астероида - "грека" Ахиллеса обнаружена замысловатая по своей форме орбита, его движение является близким к периодическому. Цикл теоретических исследованйй, начатых К. Шарлье [ 20 ] и продолженных Ю. А. Рябовым [ 21 ], А. Депри [ 22 ] и другими, посвящен построению теории периодических движений

астероидов Троянской группы и в развернутой форме отражен в монографии А. П. Маркеева [23 ]. В этих работах не рассматривалось влияние Сатурна на эволюцию орбит малых планет.

Согласно [ 24 ], при учете возмущения от Сатурна имеет место квазипериодическая структура движения астероидов - "греков" ( и "троянцев") в рамках плоской задачи четырех тел Солнце - астероид -Юпитер - Сатурн.

Для вывода приближенного решения этой задачи потребовалось применение способа характеристических показателей, который, в частности, рассматривался Л. Г. Лукьяновым [ 25 ] и Ю. В. Баркиным [ 26 ] в других конкретных задачах небесной механики.

В диссертации этот способ в общем виде продвинут от известных теоретических положений [ 27 ] до уровня приближенного решения линейной периодической дифференциальной системы по методике статьи [ 28 ] и применен к составлению алгоритма вычисления орбит астероидов - " греков " .

Теория движения естественных спутников Солнечной системы во многом аналогична теории движения больших планет, однако особенностью этой задачи является то обстоятельство, что масса планеты, относительно которой движется спутник, значительно меньше массы Солнца, притяжение которого существенно возмущает движение

спутников. Для близких спутников необходимо также учитывать несферичность центрального тела.

Система галилеевых спутников Юпитера определяет задачу шести тел Юпитер - Ио - Европа - Ганимед - Каллисто. Наиболее полную картину движения галилеевых спутников представил С. Феррас-Меллу в монографии [ 29 ], в которой, используя классический метод теории возмущений, автор получил основные закономерности в движении спутников. Возмущающая функция включает в себя эффекты взаимного притяжения галилеевых спутников, возмущения от Солнца и от гравитационного поля сфероидального Юпитера. Кроме того в движении самого Юпитера, согласно [ 29 ], учитывались прецессия и нутация оси вращения, которые влияют на движение галилеевых спутников. Всего теория [ 29 ] содержит более тридцати физических параметров и постоянных интегрирования, которые должны быть определены из наблюдений.

В обзоре [30 ] представлен также (максимально объемный по вычислениям) метод Ж. Лиске [31 ], в котором используются сложные ряды, и совокупность других методов определения движения галилеевых спутников.

В диссертации предлагается нелинейный алгоритм вычисления координат и скоростей галилеевых спутников , соответствующий работам

[16 ], [ 32 ] и включающий в качестве исходной линейную дифференциальную систему [29 ], которая приближенно описывает гравитационное взаимодействие галилеевых спутников в поле притяжения сфероидального Юпитера.

Частным случаем задачи нескольких тел является задача трех тел. В классической постановке задача трех тел была предметом исследования многих выдающихся механиков и математиков (Л. Эйлер, П. Лаплас, Ж. Лагранж, Н. Е. Жуковский, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Г. Н. Дубощин, Н. Д. Моисеев).

По справедливому замечанию Л. Парса [ 33 ], "...ни одно сочинение по механике не будет полным без задачи трех тел - проблемы, оказавшей на развитие этой науки, по-видимому, большее влияние, чем любая другая ".

Из свойств силовой функции этой задачи выводятся десять известных первых интегралов уравнений движения в абсолютной системе координат.

Г. Брунс [ 15 ] доказал, что дифференциальная система этой задачи не имеет никаких других первых интегралов, вьфажающихся с помощью алгебраических функций от координат и их производных, а П. Пенлеве [ 15 ] обобщил этот результат на задачу нескольких тел.

Уравнения задачи трех тел допускают пять частных решений. Два частных решения соответствуют случаю, когда три тела все время образуют равносторонний треугольник. Это - так называемые треугольные ( лагранжевы) решения.

Три частных решения, соответствующие расположению всех тел на одной прямой, называются прямолинейными (эйлеровыми ) решениями.

В этой задаче известные аналитические результаты, описанные в монографиях [ 2 ] и [ 34 ], принадлежат К. Зундману [ 35 ] и Г. А. Мерману [36 ]. Первый из перечисленных результатов характеризуется крайне мед-ленной сходимостью полученных рядов, а второй - существенными ограничениями в виде неравенств на начальные значения фазовых переменных.

В работах [37 ], [ 38 ] и [ 39 ] при условии резонансности движения и ограничении на массы содержатся решения задачи трех тел в функциях К. Вейерштрасса.

Наиболее полно исследована ограниченная задача трех тел, в которой масса одного из тел столь мала, что ее влиянием на движение остальных двух тел можно пренебречь. В этом случае два основных тела движутся под действием сил взаимного притяжения по эллиптическим орбитам вокруг центра масс. Проблема состоит в том, чтобы описать движение третьего тела (частицы).

В монографии [ 40 ] изучены периодические решения этой задачи в плоском случае; в статье [41] рассматривается в пространстве класс орбит, охватывающих тело меньшей массы и расположенных вне сферы

к/ __ТЧ __цу

его действия. В случае круговой ограниченной задачи имеет место первый интеграл движения частицы» называемый интегралом К. Якоби. Для этой задачи существуют разнообразные классы периодических движений. В диссертации составлено полное разложение периодического решения первого типа [2] . Собственные результаты авторов и обзоры многочисленных классических и современных исследований ограниченной задачи трех тел» базирующихся, в �